ANÁLISE NUMÉRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA DE … · 2007-10-09 · viii k2 – coeficiente de flambagem da aba L – comprimento da banda finita m – semi-ondas de flambagem

i

ANÁLISE NUMÉRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA

DE SEÇÃO TIPO C

MÁRCIA SARMENTO SANTOS

Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia

da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como

parte das exigências para obtenção de título de Doutor

em Ciências de Engenharia.

Orientador: Prof. Luiz Felippe Estrella Jr.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE – UENF

CAMPOS DOS GOYTACAZES – RJ MARÇO – 2000

ii

ANÁLISE NUMÉRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA

DE SEÇÃO TIPO C

MÁRCIA SARMENTO SANTOS

Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia

da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como

parte das exigências para obtenção de título de Doutor

em Ciências de Engenharia.

Aprovada em 30 de março de 2000

Comissão Examinadora:

Prof. Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco, PhD – FEN/UERJ

Prof. Sebastião Arthur Lopes de Andrade, PhD – FEN/UERJ

Prof. José Guilherme Santos da Silva, DSc – FEN/UERJ

Profa Vânia José Karan, DSc – LECIV/UENF

Prof. Luiz Felippe Estrella Júnior, PhD – LECIV/UENF

Orientador

iii

AGRADECIMENTOS

À minha filha Carolina, meu marido Ubiracy e todos amigos e familiares que

compreenderam e ajudaram nas minhas ausências e nos momentos difíceis.

Aos funcionários da UENF, que sempre foram dedicados e atenciosos para a

melhor realização deste trabalho.

A todos os membros desta banca, que se dispuseram a comparecer e tão

seriamente fizeram seu trabalho.

iv

ÍNDICE

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

1.1. GENERALIDADES............................................................................................1

1.2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA..............................................................................4

1.3. OBJETIVOS DA TESE......................................................................................9

1.4. ESCOPO DA TESE.........................................................................................11

CAPÍTULO 2 - ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS PLACAS

2.1. INTRODUÇÃO.................................................................................................13

2.2. O MÉTODO DAS LARGURAS EFETIVAS......................................................20

2.2.1. Placas Enrijecidas.................................................................................24

2.2.2. Placas Não-Enrijecidas.........................................................................27

2.2.3. Carregamento de Compressão Uniformemente Variável......................28

2.3. PLACAS NO ESTADO DE SERVIÇO.............................................................34

2.3.1. Aproximação de Thomasson.................................................................35

2.3.2. Aproximação de Mulligan.......................................................................37

2.3.3. Aproximação Utilizada...........................................................................43

2.4. LARGURA EFETIVA SEGUNDO AS NORMAS: AMERICANA E EUROCODE

2.4.1. Introdução..............................................................................................46

2.4.2. Placas Enrijecidas.................................................................................46

2.4.3. Placas Não-Enrijecidas.........................................................................52

2.4.4. Enrijecedor do Perfil C..........................................................................56

2.5. A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS

2.5.1. Eurocode 3............................................................................................58

2.5.2. AISI-90.................................................................................................58

2.5.3. AISI-90*.................................................................................................59

2.5.4. BANDA FINITA.....................................................................................59

v

CAPÍTULO 3 - LARGURA EFETIVA PELO MÉTODO DA BANDA F INITA

3.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................60

3.2. DIFERENÇA ENTRE OS MÉTODOS.................................................................61

3.3. DESENVOLVIMENTO........................................................................................62

3.4. DISCRETIZAÇÃO..............................................................................................74

3.5. ANÁLISE DA INSTABILIDADE LOCAL.............................................................78

3.6. A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA FINLOC...........................................95

CAPÍTULO 4 - A INTERAÇÃO ENTRE AS FLAMBAGENS LOCAL E GLOBAL

4.1. INTRODUÇÃO....................................................................................................98

4.2. DESCRIÇÃO DA INTERAÇÃO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM............98

4.3. O ELEMENTO FINITO......................................................................................102

vi

CAPÍTULO 5 - RESULTADOS

5.1 – INTRODUÇÃO...............................................................................................105

5.2 – ANÁLISE DOS RESULTADOS......................................................................110

5.3 – A INFLUÊNCIA DA DEFORMADA INICIAL E DA EXCENTRICIDADE DA

CARGA NO PERFIL DE CHAPA DOBRADA...............................................125

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES ...............................................................................135

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................137

vii

NOTAÇÕES

LETRAS DO ALFABETO ROMANO

A – área da seção plena

a – comprimento da placa

Ae – área da seção efetiva para carga uniforme igual à fy

b – largura da placa

b1, b2, b3 – larguras de cálculo das paredes do perfil C

bc – largura comprimida da placa

be – largura efetiva

bo - largura tracionada da placa

bp – largura plana da placa

bp1 – largura plana da placa 1

bp2 – largura plana da placa 2

C – centro de torção

CG = G – centro de gravidade do perfil C

CGe = Ge – centro de gravidade efetivo do perfil C

d – deslocamento transversal

D – rigidez da placa à flexão

dy – deformada inicial do perfil na direção y

dyL, dzL – flechas máximas medidas

dz – deformada inicial do perfil na direção z

E – módulo de elasticidade

ep – excentricidade da carga

fy – limite elástico

H – função de forma

I3 – matriz identidade 3 x 3

k – coeficiente de flambagem

Kσ - matriz tensão inicial

K0 – matriz dos pequenos deslocamentos

k1C – coeficiente de flambagem da placa 1 da seção C

k1U – coeficiente de flambagem da placa 1 da seção U

viii

k2 – coeficiente de flambagem da aba

L – comprimento da banda finita

m – semi-ondas de flambagem longitudinalmente

Mx, My, Mxy - momentos

n – semi-ondas de flambagem transversalmente

NBP – número de bandas finitas por placa

P – ponto de aplicação da carga

Pa – caminho de equilíbrio adjacente

Pcr – carga crítica de flambagem global da coluna

Pcr,s – carga crítica de flambagem local da seção

Pexp – carga de ruína experimental

Pf – caminho de equilíbrio fundamental

Pf,y – carga crítica de flambagem por flexão

Pft1 – carga crítica de flambagem por flexo-torção

Pr,th – carga teórica de ruína

Pruína = PR – carga de ruína numérica

Py – carga de ruína plástica

R – raio interno entre b1 e b2

RI – raio interno entre b2 e b3

rmin – raio de giração mínimo da seção transversal

t – espessura da placa

u – campo dos deslocamentos

w – deformação transversal da placa

W1, W2, W3 – larguras totais das placas

wo - imperfeição inicial

yp - excentricidade da carga aplicada

ix

LETRAS DO ALFABETO GREGO

ε - deformação longitudinal total

εe - deformação longitudinal nos bordos da placa

εp – deformação para tensão linear plana

εb – deformação para flexão

pLε - parcela não-linear do Tensor de Green

εcr,p – deformação crítica da placa

λ - multiplicador crítico (auto-valor)

λC – multiplicador da tensão crítica de uma seção C

λU – multiplicador da tensão crítica de uma seção U

pλ - esbeltez reduzida da placa para o estado de serviço

pyλ - esbeltez reduzida da placa na ruína

ν - coeficiente de Poisson

π - energia potencial total

θ - rotações nos bordos das placas

ρ = be/b – coeficiente de redução da largura efetiva

ρy - coeficiente de redução da largura efetiva para uma placa sob fy

σ - tensão uniaxial de compressão na direção x

σ1 – tensão de compressão de sinal positivo e de maior valor absoluto

σ2 – tensão que pode ser de compressão (positiva) ou de tração (negativa)

σcr = σcr,p = σcr,local – tensão crítica de flambagem local

σm – tensão de compressão uniforme atuante sobre b

σemáx – tensão máxima no bordo não carregado da placa

σem – tensão média no bordo não carregado da placa

σx – tensão não-uniforme atuante sobre b

σe – tensão variável no bordo não carregado

∆ - parâmetros nodais

Ψ - coeficiente que define o tipo de solicitação ( Ψ=σ2/σ1)

x

ABREVIAÇÕES

AISI – American Iron and Steel Institute

PUC-RIO – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

Tecgraf – Grupo de Computação Gráfica

SSRC – Strutural Stability Research Council

BF-M – carga de ruína numérica com o MBF e as equações de MULLIGAN[43]

BF-E - carga de ruína numérica com o MBF e as equações do EUROCODE 3[21]

BF-W – carga de ruína numérica com o MBF e as equações de WINTER[74]

MBF – Método das Bandas Finitas

EURO - carga de ruína numérica com as equações do EUROCODE[21], segundo

[20]

AISI - carga de ruína numérica com as equações do AISI[1], segundo [20]

AISI* - carga de ruína numérica com as equações do AISI[1] levando em conta a

eficácia do enrijecedor segundo [20]

FINLOC – programa computacional [20]

BANFIN – programa com o MBF desenvolvido nesta tese

xi

LISTA DE FIGURAS

1.1 – Eficiência estrutural x seção transversal, WINTER[74].......................................1

1.2 - (a) Produtos tipo seção;

(b) Produtos tipo chapa.......................................................................................2

1.3 – Representação do perfil C..................................................................................9

2.1 – Comportamento de uma estrutura perfeita[20]..................................................14

(a) Comportamento não-linear

(b) Comportamento linear

2.2 – Placa retangular submetida à uma carga de compressão

no seu plano......................................................................................................15

2.3 – Os caminhos de equilíbrio fundamental e adjacente relativos

à equação 2.1 do problema de flambagem das placas.....................................16

2.4 – Coeficientes de flambagem para placas enrijecidas e submetida

a uma carga uniaxial de compressão uniforme.................................................17

2.5 – Configuração de flambagem para uma placa enrijecida e submetida

a uma compressão uniaxial uniforme................................................................18

2.6 – Coeficientes de flambagem mínimo para uma placa enrijecida e

submetida a uma compressão variável linearmente[7].....................................19

2.7 – Coeficiente de flambagem de uma placa não enrijecida e

submetida a uma compressão variável linearmente[7].....................................19

2.8 – Resposta de uma placa real..............................................................................20

2.9 – O conceito da largura efetiva.............................................................................22

(a) Placa deformada;

(b) Placa enrijecida;

(c) Placa não-enrijecida

2.10 – Curvas de larguras efetivas.............................................................................26

2.11 – Comparação de curvas de largura efetiva.......................................................28

2.12 – Placa enrijecida submetida a uma compressão excêntrica

constante.........................................................................................................29

2.13 – Placa enrijecida submetida a uma carga com excentricidade

constante.........................................................................................................30

2.14 – Notação e distribuição das larguras efetivas...................................................31

2.15 – Distribuição das larguras efetivas....................................................................32

xii

2.16 – Largura efetiva da alma da seção submetida à flexão pura,

de acordo com DEWOLF e GLADDING[18]....................................................33

2.17 – Proposição de THOMASSON[66], para o comportamento de uma

placa no estado de serviço pós-crítico............................................................35

2.18 – Proposição de THOMASSON[66] para o cálculo da largura efetiva...............36

2.19 – Proposição de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o comportamento de

uma placa no estado de serviço......................................................................38

2.20 – Proposição de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o cálculo da

largura efetiva..................................................................................................39

2.21 – Largura efetiva da placa não enrijecida com b/t=50........................................41

2.22 – Largura efetiva da placa não enrijecida com b/t=15........................................42

2.23 – Diagrama tensão x deformação da placa não enrijecida com b/t=15.............43

2.24 – Largura efetiva da placa enrijecida com b/t=26...............................................45

2.25 – Largura plana bp consideradas pelas normas.................................................46

2.26 – Notação e representação gráfica da distribuição da largura efetiva...............47

2.27 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo da largura

efetiva para uma placa enrijecida, com k=4....................................................49

2.28 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo de largura

efetiva para uma placa enrijecida, com k=5....................................................50

2.29 - Comparação gráfica das fórmulas de cálculo de largura

efetiva para uma placa enrijecida, com k=6,998.............................................50

2.30 – Distribuição da largura efetiva para o Eurocode[21] e o

AISI-90[1].........................................................................................................52

2.31 – Comparação do coeficiente de flambagem k para a placa

não-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1]....................................53

2.32 – Comparação das aproximações do cálculo de largura efetiva

para a placa não-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1]................55

2.33 – Comparação entre várias aproximações de cálculo da largura

efetiva para a placa não-enrijecida..................................................................56

2.34 – Nomenclatura do perfil tipo C..........................................................................56

3.1 – Perfil C discretizado em bandas finitas.............................................................62

3.2 – a – Banda finita submetida a um gradiente de tensões....................................63

b – Deslocamentos e rotações – elemento finito de viga

3.3 – Placa reduzida a um elemento finito de viga.....................................................64

xiii

3.4 – Discretização do perfil tipo C, em bandas finitas...............................................75

3.5 – Perfil CLC/3 – 120x60 – estudo da variação do número...................................76

de bandas finitas por placa

3.6 – Perfil CLC/2.2 – 120x60 – estudo da variação do número................................77

de bandas finitas por placa

3.7 – A geometria e os modos locais de flambagem de uma seção C,

BATISTA[3]........................................................................................................79

3.8 – Influência do enrijecedor na flambagem da aba de uma seção

C uniformemente comprimida,[43]....................................................................80

3.9 – Influência do enrijecedor na flambagem da aba de uma seção

C uniformemente comprimida,[36]....................................................................81

3.10 – Variação da tensão crítica de flambagem da seção e flambagem

global de uma coluna de seção C, sob compressão uniforme,

com o comprimento de semi-onda correspondente, L, obtida por

meio do método das bandas finitas, segundo HANCOCK [27].......................82

3.11 – (a) Nomenclatura utilizada na geometria do perfil C......................................86

(b) Seção submetida à compressão uniforme.

(c) Seção submetida a uma gradiente de tensão +y.

(d) Seção submetida a uma gradiente de tensão -y.

(e) Seção submetida a uma gradiente de tensão +z.

3.12 – Modos de instabilidade do perfil C, sob compressão uniforme,

com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................88

3.13 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão +y,


3.14 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão -y,


3.15 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão +z,


3.16 – (a) Modos de instabilidade da série 75 tipo comercial, de perfil C,

de fabricação “Tecnofer”.

(b) Características geométricas da seção ......................................................93

3.17 – (a) Modos de instabilidade da série 127 tipo comercial, de perfil C,


(b) Características geométricas da seção.......................................................94

xiv

3.18 – Cálculo das larguras efetivas, considerando as placas associadas................96

4.1 – Visualização da interação entre a flambagem local e a flambagem

global, com auxílio das curvas de flambagem européias [21]...........................99

4.2 – Redução devido a flambagens simultâneas [26].............................................101

4.3 – Característica da seção assimétrica................................................................104

5.1 – As características geométricas do perfil C e do contraventamento................108

(a) Características geométricas;

(b) Contraventamento das extremidades abertas da coluna.

5.2 – Sistema de eixos e o sentido das deformadas iniciais....................................113

(a) Eixos;

(b) Sentido das deformadas.

5.3 – Curvas de carga x deslocamentos..................................................................120







5.10 – Deformada do perfil CLC/1 – 90 x 90 na ruína para uma

deformada inicial de +L/1000, usando BF-M................................................124

5.11 – (a) Deslocamento do centro de gravidade da seção....................................126

efetiva após a flambagem local.

(b) Perfil com deformada inicial negativa

Flecha máxima no nó 3.

5.12 – Posição de Ge para uma tensão constante igual a fy para o perfil

CLC/3-120x60...............................................................................................128

5.13 – Posição de Ge para uma tensão constante igual a fy para o perfil

CLC/2-180x60...............................................................................................130

5.14 – Gráfico da carga de ruína x ponto de aplicação da carga,

para o perfil CLC/3-120x60...........................................................................133

5.15 – Influência da deformada inicial no comportamento do perfil.........................134

(a) Gráfico carga x deformação

(b) Características geométricas do perfil

xv

LISTA DE TABELAS

2.1 – Cálculo e distribuição das larguras efetivas para a placa enrijecida e submetida

a uma carga excêntrica.....................................................................................32

2.2 – Cálculo e distribuição das larguras efetivas de placas enrijecidas...................48

2.3 – Cálculo das larguras efetivas para a placa não-enrijecida...............................54

5.1 – Características geométricas e mecânicas das colunas..................................109

5.2 – Resultado das colunas com deformações iniciais medidas............................114

5.3 – Resultado comparativo entre os métodos utilizados......................................115

5.4 – Resultado das colunas longas........................................................................116

5.5 – Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da orientação do

EUROCODE [21]............................................................................................128

5.6 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da orientação da

posição de Ge na ruína....................................................................................129

5.7 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da orientação do

EUROCODE [21]............................................................................................131

5.8 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da orientação da

posição de Ge na ruína...................................................................................132

xvi

RESUMO

As pesquisas realizadas nos últimos anos, na Europa e nos EUA, tem

permitido um maior emprego do uso de chapas dobradas na construção civil.

A expansão de seu uso se deve também as suas vantagens econômicas, em

relação aos perfis compactos.

Porém, as formas complexas das seções e a esbeltez de suas paredes

exigem um conhecimento mais profundo de seu comportamento estrutural.

A esbeltez das placas que constituem as suas paredes pode provocar a sua

flambagem local e uma interação entre este modo de instabilidade e o modo de

instabilidade do tipo coluna (flambagem global).

Essa interação exerce um efeito redutor sobre a carga de ruína do perfil, tornando-se

necessário um maior conhecimento da resposta de carga versus deformação de

uma estrutura formada por tais perfis.

Utilizam-se métodos não-lineares a fim de simular a interação entre o modo local e

global de flambagem que, inclui fatores de não linearidade geométrica.

Sendo o objetivo desta tese o desenvolvimento de uma ferramenta numérica

capaz de levar em conta a interação entre os modos de flambagem local e global,

sugere-se que a resposta carga versus deformação possa ser obtida por intermédio

do elemento finito não-linear de viga espacial de paredes finas. Considerando que o

perfil seja uma associação de placas, a flambagem local pode ser modelada pelo

método das larguras efetivas. Assim sendo, temos um elemento finito cuja seção

transversal é variável ao longo do carregamento da peça a fim de simular a interação

entre os fenômenos de instabilidade local e global.

A contribuição desta tese consiste no aprimoramento do cálculo das larguras

efetivas, para isso, levam-se em conta a influência que cada placa exerce sobre a

outra, ou seja, o engastamento parcial nos cantos do perfil, através do método das

bandas finitas. Desenvolveu-se um programa computacional na linguagem Fortran,

para a introdução da formulação do Método das Bandas Finitas.

Esse estudo, também, permite a verificação da influência da deformada inicial

dos perfis, devido aos processos de fabricação, e o seu comportamento de acordo

com a excentricidade do carregamento aplicado.

xvii

ABSTRACT

The latest researches carried out in Europe and in The United States have allowed a

wider use of cold-formed steel sections in civil edification. This increasing use is also

due to the economical advantages in relation to hot rolled shapes.

However, the complex shapes of the cross sections and the slender of their

walls demand a deeper knowledge of their structural behaviour. The slender of the

plates that constitute the walls may result in a local buckling and an interaction

between this way of instability and the overall buckling way.

This interaction produces a reducing effect over the column collapse load, making

necessary a greater knowledge of the load response versus the strain of a structure

constituted by such profiles.

Non-linear methods are used in order to simulate the interactio between the local and

the overall buckling, that include non-linear geometrical factors.

Being the aim of this thesis the development of a numerical tool able to take

into consideration the interaction between the local and the overall buckling it is

suggested that the load response versus strain may be resulted through the non-

linear finite element of this walled spatial beam. Considering that the profile is an

association of plates, the local bucckling can be shaped by the effective width

method. So we have a finite element, the transversal section of which varies along

with the load of the structure in order to simulate the interaction between the local

and overall instability phenomena.

The contribuition of this thesis consists of the improvement of the effective

width calculus, therefore, it is taken into consideration the influence that each plate

produces over the other, that is the partially fixed joints. A Fortran language computer

program was developed to introduce the finite strip method. This study also permits

the verification of the influence of the initial imperfection of the profiles, due to the

fabrication processes and their behaviour according to the eccentricity of the applied

load.

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1. GENERALIDADES

Os perfis de chapas dobradas são resultantes da conformação a frio de

chapas finas de aço, de espessura entre 0,4 a 6,4 mm. Esses perfis podem ser

produzidos por dois métodos de fabricação: a perfilagem - conformação a frio em

mesa de roletes - e a dobragem - processo não contínuo realizado por máquinas

dobradeiras. Como resultado desses processos podem-se produzir economicamente

uma grande variedade de formas de seções transversais, com alta relação

resistência x peso, visto que a eficiência estrutural de uma seção depende da

maneira com que é distribuído o material disponível, ver figura 1.1.

Figura 1.1 - Eficiência estrutural x seção transversal, WINTER[74].

Quanto ao domínio de aplicação dos perfis dobrados a frio, podem-se

distinguir de uma maneira geral, duas categorias: os produtos do tipo seção, como

mostrados na fig. 1.2 a, e os produtos do tipo painel, mostrados na fig. 1.2 b. Os

produtos do tipo seção têm hoje sua utilização como elementos principais ou

secundários de estruturas – vigas, colunas e barras de treliças, terças, bem como,

cantoneiras para prateleiras de estocagem industrial, torres de transmissão de

energia elétrica, construção de chassis e estruturas de veículos. Quanto aos perfis

do tipo painel, tem-se sua utilização como fechamento lateral e cobertura para

edificações industriais e habitações, como forma colaborante de vigas mistas em

2

aço-concreto de edificações e tabuleiros de pontes, e como elemento de

acabamento em painéis horizontais e verticais.

(a)

(b)

Figura 1.2 - (a) Produtos tipo seção;

(b) Produtos tipo painel.

O crescente emprego deste tipo de perfil, comparado aos perfis laminados a

quente, se deve a sua grande versatilidade como a variedade de formas, o que

permite a maior adequação da forma à sua função, e a leveza que leva a outras

vantagem como redução nas fundações, a facilidade de manutenção, de transporte

e de montagem.

Muitos procedimentos de análise e cálculo que se aplicam às estruturas de

aço laminado são igualmente aplicáveis às estruturas de aço leve. Entretanto,

diferenças no comportamento das estruturas sob carregamento são de tal

importância que se fazem necessários diferentes métodos de cálculo. As principais

razões são descritas a seguir, segundo WINTER e PEKÖZ [48]:

1. A variedade de formas dos perfis leves, que já são fabricadas e as que

serão, leva à necessidade de procedimentos de análise tão gerais que

3

possam ser aplicados a praticamente qualquer tipo de seção transversal.

Ao passo que os perfis laminados a quente têm relativamente pouca

variedade de forma e, de certa maneira, já preestabelecidas.

2. A relação largura x espessura das placas componentes dos perfis leves é

freqüentemente muito maior que a mesma relação para as placas dos

perfis laminados. A esbeltez das paredes exige do calculista um

conhecimento mais aprofundado de seu comportamento estrutural , a

esbeltez das paredes pode provocar uma flambagem das placas e uma

interação entre esse modo de instabilidade e os modos de instabilidade do

tipo coluna, por flexão ou flexo-torção. Acrescenta-se a isso o fato de que

os perfis abertos de paredes finas tem baixa rigidez à torção.

3. Os processos de produção e fabricação relativos aos dois tipos de

estruturas de aço afetam de modo diferente as propriedades mecânicas

dos materiais, levando a modificação da curva tensão-deformação do aço

em relação ao material virgem. A perfilagem proporciona o aumento da

tensão de escoamento e, algumas vezes, o aumento da tensão última, e é

relevante nos cantos dobrados e ainda apreciável nas partes planas do

perfil, enquanto que, após a dobragem, as modificações citadas acima são

praticamente desprezíveis nas partes planas do perfil.

4

1.2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O comportamento estrutural deste tipo de perfil tem sido o objetivo do estudo

de vários pesquisadores, não somente no Brasil mas também na Europa e nos

Estados Unidos. A seguir uma breve revisão dos trabalhos nesta área [44], [57]:

ANO

PESQUISADOR

ALGUMAS CONTRIBUIÇÕES

1766

EULER

Primeiro a estudar a Teoria da Membrana

para Placas.

1789

BERNOULLI

Teoria da Flexão.

1807

YOUNG

Mostrou que o comportamento das colunas

reais é afetado pelas imperfeições

geométricas e pela imprecisão do ponto de

aplicação da carga.

1826

NAVIER

Mostrou que a fórmula clássica de Euler, para

colunas perfeitas, fornecia um limite superior

para as cargas de colapso de colunas reais.

1877

1883

KIRCHHOFF

SAINT VENANT

Teoria combinada dos efeitos da membrana e

da flexão.

1860

1879

GEHRING

BOUSSINESQ

Teoria na qual as placas enrijecidas em graus

diferentes nas direções ortogonais

comportam-se como placas ortotrópicas.

1889

1894

ENGESSER,

CONSIDER e

JASINSKI

Com intenção de correlacionar a teoria da

barra perfeita aos resultados obtidos com

colunas reais, trabalharam com o módulo de

elasticidade tangente ou intermediário.

1891

BRYAN

Primeiro a resolver o problema de uma placa

retangular simplesmente apoiada com dois

lados opostos carregados por compressão

uniforme. Primeiro a resolver o problema de

flambagem de placas usando os princípios

energéticos.

5

1907

1910

1913

TIMOSHENKO

Analisou placas com diferentes condições de

contorno pelo método energético e por

integração.

1910

VON KARMAN

Deduziu as equações que governam as

placas perfeitas.

1914

HUBER

Equação de Huber - responsável pelo

carregamento transversal.

1929

WAGNER

Primeiro trabalho sobre flambagem por flexo-

torção em perfis com seções transversais

abertas de paredes finas.

1936

F. BLEICH

H. BLEICH

Estudos mais exatos e aprofundados do

problema de flexão, torção e flambagem de

barras com seções transversais abertas de

paredes finas. Derivaram as equações

diferenciais fundamentais do problema a partir

do teorema da energia potencial estacionária.

1938 MARGUERRE Equações para placas imperfeitas.

1940

WINTER

Estudos semi-empíricos que constituíram a

base da primeira edição do AISI (1946) .

1940

ROSTOVTSEV

A equação de Von Karman para placas

isotrópicas foi modificada para placas

anisotrópicas e introduziu os efeitos das

imperfeições iniciais.

1951

COAN

Estudou o comportamento pós-crítico das

placas usando as equações de Marguerre.

1953

CHILVER

Estudos de colunas curtas em U e C, com a

consideração da interação entre as placas.

1966

GRAVES SMITH

Teoria para o estudo de colunas fechadas

com seções transversais retangulares e

paredes finas.

6

1968

VAN DER NEUT

Estudos analíticos do problema da interação

entre os modos local e global nos perfis leves

comprimidos.

1959

1969

1971

YAMAKI

WALKER

RHODES e HARVEY

Estudaram o comportamento pós-crítico das

placas usando técnicas diferentes.

1961

VLASSOV

Um dos primeiros a compreender que o

princípio de Bernoulli não se aplica as seções

de paredes finas.

1971

KLOPER e

SHUBERT

Comportamento de estruturas tubulares,

adotando a ruína no instante em que as

tensões nas fibras mais comprimidas atingem

o limite de escoamento.

1971

1975

KOITER e KUIKEN

SVENSSON e CROLL

Prosseguiram com os estudos de Van Der

Neut e os últimos autores incluíram nos

estudos o efeito da plasticidade.

1972

WALKER

DAWSON

Discutiram a aplicação da fórmula de Winter

para o comportamento pós-crítico antes de se

atingir o colapso.

1973

DEWOLF

Estudou seções de dupla simetria com

elementos comprimidos, enrijecidos e não

enrijecidos, com flambagem local.

1974

BILSTEIN

Empregou as equações de Marguerre

aplicadas às placas isoladas com imperfeição

inicial.

1960

1968

1970

1971

1979

KLÖPPEL e SCHEER

KLOPPEL e MOLLER

BULSON

C. R. C. do Japão

WILLIAMS e AALAMI

Utilizando os computadores com as técnicas

da relaxação, diferenças finitas e elementos

finitos desenvolveram várias soluções para a

equação de Marguerre com uma grande

variedade de formas de placas e distribuição

de tensões.

7

1977

SKALOUD e

NAPRSTEK

Programa de cálculo utilizando a fórmula de

Winter, levando em conta a variação das

larguras efetivas ao longo da altura da coluna.

1977

REIS

Pesquisas sobre o fenômeno da interação

entre os modos de flambagem global e local

das estruturas elásticas de perfis de paredes

finas.

1978

KALYANARAMAN

Estudo mais aprofundado de perfis

comprimidos de dupla simetria.

1978

THOMASSON

Utilizou diferentes formulações para a largura

efetiva a fim de estudar o comportamento de

colunas no estado de serviço e também no

estado limite último.

1979

LOUGHLAN e

RHODES

Comportamento de colunas de perfis U

submetidas à compressão e flexão, levando

em conta os efeitos da flambagem local nas

paredes.

1984

MULLIGAN e

PEKOZ

Propuseram uma formulação para larguras

efetivas calculadas no estado pós-crítico e

antes da ruína da placa.

1985

PIGNATARO

Estudo da redução de carga de colapso de

colunas devido à interação entre os modos de

instabilidade.

1988

BATISTA

Método baseado na formulação de Mulligan e

Pekoz, utilizando um algorítmo de resolução

numérico do tipo “Newton-Raphson” e “passo-

simples”.

8

1989

DE VILLE

Desenvolvimento de um elemento finito de

viga espacial sem os fenômenos de

“membrane” e “bending-locking”, que permite

considerar o modo torcional não uniforme, os

fenômenos de instabilidade, a plasticidade e

as tensões residuais.

1993

RODRIGUES

Estudo de perfis C com carga centrada,

considerando as imperfeições iniciais e a

interação entre as placas. Sem consideração

do modo torcional.

1993

ESTRELLA

Estudo de perfis L, U e C, com cargas

centradas e excêntricas. Desenvolveu um

software numérico de fácil utilização onde

também levou em conta a interação entre as

flambagens local e global.

Neste trabalho atem-se aos métodos semi-analíticos, a modelagem para a

flambagem local e seus efeitos é feita usando o conceito da largura efetiva de placa,

com auxílio do elemento finito de viga espacial. Com a introdução da banda finita

para o cálculo da tensão crítica de flambagem, não como placas isoladas mas, como

uma seção completa. O comportamento não-linear da coluna é levado em conta pelo

elemento finito não-linear de viga espacial e a interação entre a flambagem local e

flambagem global é tratada com ajuda de um algoritmo numérico de resolução passo

a passo do problema não-linear.

9

1.3. OBJETIVOS DA TESE

Nesta tese é realizado um estudo dos modos de instabilidade de perfis de aço

compostos por paredes finas, onde leva-se em conta a interação entre os modos de

flambagem local e global. O que torna imprescindível o emprego de métodos não-

lineares a fim de simular a interação que inclui fortemente fatores de não linearidade

geométrica.

A sugestão deste trabalho é que a resposta carga versus deformação possa

ser obtida por intermédio do elemento finito não-linear de viga espacial de paredes

finas. Considerando a flambagem local e utilizando o método das larguras efetivas,

tem-se um elemento finito cuja seção transversal é variável ao longo do

carregamento da peça, a fim de simular a interação entre os fenômenos de

instabilidade local e global.

A contribuição desta tese consiste no aprimoramento do cálculo das larguras

efetivas. No trabalho de ESTRELLA[20] foi feita uma simplificação para o cálculo das

larguras efetivas, assim como nas normas existentes [1, 21], onde o perfil de chapas

dobradas é calculado como uma associação de placas isoladas. Nesta tese leva-se

em conta a influência que cada placa exerce sobre a outra, ou seja, o engastamento

parcial nos cantos do perfil. Para isso, utiliza-se o Método das Bandas Finitas.

As seções transversais dos perfis aqui analisados são do tipo C.

Figura 1.3 – Representação do perfil tipo C.

Alma

Aba

Enrijecedorde bordo

10

O programa, desenvolvido nesta tese, BANFIN é um programa de

instabilidade de elementos de banda finita para obtenção do multiplicador crítico da

seção, λ. A partir do multiplicador crítico obtém-se a seção efetiva com auxílio das

formulações de larguras efetivas. O programa desenvolvido permite a análise de

carregamentos centrados, bem como carregamentos excêntricos.

A introdução das imperfeições iniciais foi feita de duas maneiras: a primeira,

conforme a flecha máxima obtida do perfil em laboratório [43], ou seja, sua

imperfeição global máxima, a segunda, como para alguns perfis não houve medida

de imperfeição, adotou-se como flecha máxima o valor L/1000, onde L é o

comprimento do perfil estudado. Em ambos os casos, adotou-se uma distribuição

senoidal ao longo do comprimento dos perfis, a fim de representar essas

imperfeições quanto à retidão.

O BANFIN permite além do estudo das deformadas iniciais, também o estudo das

excentricidades da carga de compressão aplicada.

O modo de flambagem por torção foi introduzido segundo os critérios teóricos

de VLASSOV[70] e as modificações introduzidas por De VILLE[15].

Para calibragem do programa computacional desenvolvido foram comparados

os resultados teóricos com resultados experimentais de MULLIGAN[43].

Para melhor compreensão das conclusões, além das tabelas comparativas,

foram empreendidas saídas gráficas com auxílio do programa Pos-3D para melhor

visualização dos deslocamentos e tensões. O programa Pos-3D foi desenvolvido

pelo grupo de computação gráfica Tecgraf da Pontifícia Universidade Católica, PUC-

Rio.

11

1.4. ESCOPO DA TESE

No capítulo 2 fez-se um estudo do comportamento das placas isoladas,

começando com o método das larguras efetivas e a introdução ao caso de

carregamentos de compressão uniformemente variável. Também, apresentou-se

algumas aproximações para as placas no estado de serviço e as larguras efetivas

segundo a norma americana, AISI-90[1], e a norma européia, o EUROCODE[21].

Em seguida, é apresentado um resumo da introdução das larguras efetivas no

programa preexistente [20], devido a introdução da subrotina aqui desenvolvida,

BANFIN.

O capítulo 3 é consagrado ao método das bandas finitas, nele encontra-se

todo o desenvolvimento do método, análises da instabilidade local e sua introdução

no programa de cálculo.

No capítulo 4 encontra-se o estudo da interação entre a flambagem local e a

flambagem global das colunas comprimidas, as pesquisas realizadas, comparações

e análises de resultados encontrados com o método das bandas finitas e uma breve

descrição do elemento finito de DE VILLE[15].

Do capítulo 5, dedicado a apresentação dos resultados, apresenta-se estudos

comparativos dos resultados experimentais realizados por MULLIGAN[43] de vigas-

colunas de paredes finas submetidas à compressão centrada e excêntrica, seção

transversal do tipo C, com os resultados numéricos achados com o método das

bandas finitas para o cálculo da tensão crítica da seção, considerando a interação

entre as paredes. Neste trabalho foram utilizadas três possibilidades de curvas de

flambagem, a do EUROCODE, de MULLIGAN e de WINTER, conforme item d do

ítem 3.6. Também fez-se comparações com os resultados obtidos por

ESTRELLA[20], onde foi utilizado o programa FINLOC sem a introdução do método

das bandas finitas. Em seu trabalho foram usadas as curvas de flambagem do

EUROCODE [21] e do AISI-90 [1], sendo também apresentado um estudo do AISI-

90 com a introdução da eficácia do enrijecedor de bordo, conforme parágrafo 2.4.4,

intitulado AISI-90*.

12

Apresentou-se a influência do sentido da deformada inicial no valor da carga

de ruína, e também no comportamento carga x deformação lateral, conforme a figura

5.15. Na figura 5.10 a visualização em 3-D leva a uma melhor compreensão das

larguras efetivas no instante da ruína da peça, bem como suas deformadas.

Foram apresentadas tabelas comparativas entre os métodos e as curvas carga x

deformação para diversos perfis.

13

CAPÍTULO 2

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS PLACAS

2.1. INTRODUÇÃO

Sendo este trabalho um estudo de colunas constituídas por perfis de aço

dobrados a frio, torna-se necessário o estudo das placas esbeltas que compõem os

mesmos. Uma das principais características geométricas das placas que compõem

os perfis dobrados a frio é a sua relação largura/espessura, b/t. Quanto maior a

relação b/t, menor será sua tensão crítica de flambagem local, σcr. Vê-se, a seguir,

que a flambagem local das paredes, agindo simultaneamente com a flambagem

global do tipo coluna, conduz a uma redução da resistência do perfil. Desta forma, a

ruína poderá ocorrer através de um colapso súbito, o que caracteriza um

comportamento de equilíbrio pós-crítico instável. A sensibilidade para este

comportamento dependerá da relação σcr,global/σcr,local e das imperfeições iniciais.

Neste capítulo, limita-se ao estudo da flambagem local das placas e deixa-se

o estudo da interação entre os modos de instabilidade para o capítulo 4.

As estruturas perfeitas podem desenvolver dois tipos de comportamento:

linear e não-linear, conforme ilustrados na figura 2.1.

14

Figura 2.1- Comportamento de uma estrutura perfeita [20].

(a) Comportamento não-linear;

(b) Comportamento linear.

Nas placas de paredes finas, é de se esperar dois tipos de não-linearidade:

- a não-linearidade geométrica, devido à esbeltez da estrutura, conduzindo a uma

estrutura sujeita a grandes deslocamentos, e;

- uma não-linearidade devido ao fenômeno da flambagem local.

Neste capítulo, estuda-se a estabilidade de placas retangulares com dois

bordos, paralelos à direção da carga de compressão aplicada, simplesmente

apoiados (placas enrijecidas) ou com um lado simplesmente apoiado e o outro livre

(placas não-enrijecidas).

Começa-se pelo estudo das placas perfeitas, a fim de conhecer seu comportamento

teórico. Em seguida, passa-se ao estudo não-linear das placas imperfeitas.

Partindo da teoria da conservação da energia potencial total (π), SAINT

VENANT[20] deduziu a equação diferencial de equilíbrio :

2

2

4

4

22

4

4

4 .2

x

w

D

t

y

w

yx

w

x

w

∂

∂−=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ σ (2.1)

onde:

d d

λλλλ λλλλ

Ponto de bifurcação

Ponto limite

(a) (b)

Caminho de equilíbrio adjacente

Caminho de equilíbrio fundamental

15


σ - tensão uniaxial de compressão na direção x

D – rigidez da placa à flexão

D = Et3/12(1-ν2) (2.2)



w(x,y) – deformada transversal da placa.

Figura 2.2 – Placa retangular submetida a uma carga de compressão uniaxial no

seu plano.

Para uma placa enrijecida, figura 2.2, submetida a uma tensão uniformemente

distribuída σ, a equação 2.1 tem duas possíveis soluções:

a) A solução trivial w(x,y)=0.

b) Substituindo-se, na equação 2.1, o deslocamento transversal w(x,y) por uma

função que satisfaça as condições de apoio geométricas e naturais nos quatros

bordos simplesmente apoiados da placa, conforme segue:

w(x,y) = Wmn sen

a

xmπsen

b

ynπ (2.3)

obtém-se:

−

pcr ,

1σσ

Wmn sen

a

xmπsen

b

ynπ= 0 (2.4)

sendo:

a

b

z,w

σ

σ

x,u

y,v Espessura t

16

a – comprimento da placa

b – largura da placa

m – semi-ondas de flambagem no sentido longitudinal da placa

n - semi-ondas de flambagem no sentido transversal da placa

σcr,p = k 2

2

2

)1(12

− b

tE

νπ

(2.5)

onde:

k – coeficiente de flambagem que depende do tipo de carregamento, condições de

contorno e da geometria da placa.

σcr,p – tensão crítica de flambagem da placa.

com:

k =

++

2

422

2mb

ann

a

mb (2.6)

A análise da equação 2.4 mostra que só há um meio de achar uma solução para

w(x,y) não nula, e isto pode ser feito anulando o termo entre parênteses, fazendo:

σ = σcr,p (2.7)

Na condição da equação 2.7, a deformada transversal w(x,y) pode tomar um valor

importante, chamado bifurcação de equilíbrio, ilustrado na figura 2.3.

Figura 2.3 – Os caminhos de equilíbrio fundamental e adjacente relativos à

equação 2.1 do problema de flambagem das placas.

w

σ

σ

1

P

P

f

a

Estável

Instável

Indiferente

cr,p)min

17

Para se assegurar da estabilidade, é necessário que a segunda variação da

energia potencial total seja positiva, cuja demonstração é facilmente encontrada na

literatura [20]. Com essa demonstração, tem-se:

σ < σcr,p (2.8)

Para que a desigualdade acima seja satisfeita é necessário tomar o menor valor de k

e, desta forma, faz-se n=1, resultando em:

k = 2

1

+b

a

ma

bm (2.9)

Para o valor de m é feito um estudo de curvas dos diferentes modos de instabilidade,

ver figura 2.4, do qual conclui-se que todas as curvas passam por um valor mínimo

de k igual a 4, para uma placa enrijecida e submetida a uma tensão uniforme, e que

a influência de m sobre o valor do coeficiente de instabilidade é menor quanto maior

a relação entre as dimensões da placa.

Figura 2.4 – Coeficientes de flambagem para placas enrijecidas e submetida a uma

carga uniaxial de compressão uniforme.

Mostra-se, na figura 2.5, a configuração do modo de flambagem da placa em

estudo.

0

4

8

12

16

k

0 1 2 3 4a / b

m = 1m = 2

m = 3m = 4

18

Figura 2.5 – Configuração de flambagem para uma placa enrijecida e submetida

a uma compressão uniaxial uniforme.

O estudo do valor de k para uma placa enrijecida, porém sujeita a um

carregamento variável linearmente, é feito utilizando a relação que define o tipo de

solicitação:

ψ = σ2/σ1 (2.10)

sendo:

σ1 – tensão de compressão de sinal positivo e de maior valor absoluto.

σ2 – tensão que pode ser de compressão (positiva) ou de tração (negativa).

A solução da equação 2.1, para diferentes valores de ψ, é dada na figura 2.6,

segundo BULSON[7], para uma placa enrijecida. Nota-se também que o valor da

tensão crítica no caso da flexão pura (ψ = -1) é cerca de 6 vezes o valor da tensão

crítica da compressão pura (ψ = 1).

Na figura 2.7 obtida de BULSON[7] é mostrado o gráfico do coeficiente de

flambagem k em relação a a/b para uma placa não-enrijecida e vê-se que todas as

curvas tendem assintoticamente a um certo valor (para cada valor de ψ) quando a

relação entre as dimensões das placas a/b cresce. Desta forma, chega-se ao valor

do coeficiente de flambagem (k) para a compressão pura (ψ = 1), k = 0,425.

b

a

σ σ

ab

= 2

19

Figura 2.6 – Coeficiente de flambagem mínimo para uma placa enrijecida e

submetida a uma compressão variável linearmente [7].

Figura 2.7 – Coeficiente de flambagem de uma placa não enrijecida e submetida a

uma compressão variável linearmente [7].

kmin

0

4

8

12

16

20

24

ψ = σ / σ2 1111

0

σ1111

σ1111

σ2222

σ2222

-1,0 -0,5 0,5 1,0

a / b

k

0

5

10

1 20

Borda livre

a

b

σ1

σ1

σ1

σ1

σ2

σ2

20

2.2. O MÉTODO DAS LARGURAS EFETIVAS

Contrariamente ao comportamento de colunas, as placas apresentam

resistência significativa após a ocorrência da flambagem. Quando essa resistência

pós-crítica é totalmente utilizada, um projeto estrutural eficiente e econômico pode

ser obtido [43].

A figura 2.8 mostra o comportamento pós-crítico estável de uma placa sujeita

a compressão uniaxial, o que faz com que ela possa resistir a cargas superiores à

carga crítica.

Entretanto, esta reserva pós-crítica não é ilimitada, segundo VON KARMAN,

SECHLER e DONNELL[71], de acordo com resultados experimentais, a placa atinge

a ruína quando a tensão de compressão máxima nos bordos não carregados atinge

o limite elástico fy.

Figura 2.8 – Resposta de uma placa real.

A placa fina enrijecida da figura 2.9 mostra a resposta enquanto é aplicada

uma tensão de compressão uniforme σm. Enquanto essa tensão permanece menor

que o valor crítico σcr, a tensão longitudinal interna é uniforme através da placa.

Quando a tensão aplicada alcança σcr, uma pequena onda de flambagem

desenvolve-se na placa. Quando o carregamento cresce mais, cresce a deformação

fora do plano da placa, porém é impedida por tensões atuantes transversais.

Reservapós-crítica

σ

σ

Imperfeição inicial wo

Pa

Pf

iP'

Início de plastificaçãocr,p

w

21

Ao mesmo tempo, uma redistribuição da tensão longitudinal interna ocorre, e passa

de uniforme a não-uniforme, onde a maior parte do carregamento é suportado pelas

porções menos flambadas da placa. Este processo continua até que o nível de

tensão σemax, para o bordo da placa, alcança o escoamento; após o qual geralmente

a placa atinge a ruína.

Após a flambagem da placa, o estudo com a distribuição de tensões não-

uniforme iria complicar demasiadamente os cálculos práticos. Porém, o conceito de

uma “largura efetiva” foi introduzido por VON KARMAN [71] e outros em 1932.

VON KARMAN [71] argumentou que na placa carregada acima da tensão crítica, a

parte central flambada não tem qualquer resistência apreciável e que a maior parte

do carregamento deverá ser suportado pelas duas faixas adjacentes as bordas da

placa.

22

y

a

b

x

σ

σ

m

m

σ

σ

e

em

σemax

y

x

σm

σm

b

σ σm

be/ 2be/ 2 be

σσ σ

σm

σm

σe

mem

σ σm >

(b) (c)

cr,p

cr,p

σσx

x

Figura 2.9 – O conceito da largura efetiva

(a) Placa deformada;

(b) Placa enrijecida;

(c) Placa não-enrijecida.

b

u

σm

σm

a

w

Espessura t

u / aε =

(a)

23

Nesta aproximação, a tensão não-uniforme σx, agindo sobre a largura da placa b, é

substituída por uma tensão máxima, agindo sobre uma largura efetiva be.

O equilíbrio é mantido pela definição de largura efetiva:

σemáx.be.t = ∫x

x dxt0

..σ = σm.b.t (2.11)

onde:

σm – tensão atuante sobre b.

σemáx – tensão máxima no bordo não carregado.

σx - tensão não-uniforme.

be – largura efetiva.

Da equação 2.11, tem-se:

be/b = σm/σemáx ⇒ emáx

m

b

be

σσ

ρ == (σm>σcr,p) (2.12)

sendo:

ρ - coeficiente de redução da largura efetiva.

A equação acima é utilizada para o cálculo da largura efetiva na ruína da peça,

também chamada de “largura efetiva de tensões”. Vê-se que a tensão a qual a

largura efetiva be está submetida é a tensão máxima do bordo não carregado, isto é,

a pior posição flambada da peça – a central.

Porém, quando σemáx < fy, a formulação acima subestima a rigidez da placa no

estado pós-crítico.

Num estado intermediário, anterior à ruína da peça, no estado de serviço, a

fim de se achar a rigidez pós-crítica da placa, define-se a “largura efetiva de

deformações”. Aqui, a tensão não-uniforme σx, agindo sobre a largura da placa b, é

substituída pela tensão média equivalente do bordo não carregado, agindo sobre

uma largura efetiva be.

Calculando a tensão média no bordo não carregado:

σem = ∫a

edxa 0

1σ (2.13)

σe – tensão variável no bordo não carregado.

24

Assim, temos:

be/b = σm/σem ⇒ em

me

b

b

σσ

ρ == (σm > σcr,p ) (2.14)

Define-se a esbeltez reduzida da placa para o estado de serviço e na ruína,

respectivamente:

pλ = pcr

e

,σσ

(2.15)

pyλ =pcr

yf

,σ (2.16)

2.2.1. PLACAS ENRIJECIDAS

A aproximação da largura efetiva, desenvolvida inicialmente por VON

KARMAN [71], é baseada em resultados experimentais de ensaios de placas

isoladas, carregadas até a ruína, o que permite tirar as seguintes conclusões de

seus ensaios:

a) A carga de ruína independe da largura da placa;

b) A carga de ruína é proporcional ao quadrado da espessura t da placa.

A partir dessas conclusões, VON KARMAN [71] formulou a hipótese de que a tensão

de flambagem na largura efetiva no estado de ruína deve se igualar ao limite elástico

fy. Substituindo-se fy na equação 2.5, temos:

fy = k 2

2

2

)1(12

− eb

tE

νπ

(2.17)

Combinando-se as equações 2.5, 2.16 e 2.17 chega-se a:

11

≤==py

e

b

b

λρ (2.18)

Generalizando a equação 2.18 para o estado de serviço, tem-se

11≤==

p

e

b

b

λρ (2.19)

25

A equação de VON KARMAN 2.18 dá a largura efetiva na ruína. A equação

2.19 está ligada ao conceito de largura efetiva de deformações, onde o valor de σe

varia entre 0 e fy.

Os trabalhos de pesquisa que sucederam VON KARMAN [71] constataram

duas falhas na sua formulação:

a) Ela superestima a resistência de placas pouco esbeltas, quando a esbeltez

reduzida λpy varia em torno de 1;

b) Ela superestima a rigidez da placa para valores de tensões menores que fy.

Nos anos 40, WINTER[74] empreendeu uma série de ensaios de compressão em

placas, para achar uma fórmula mais realista para a largura efetiva. Em seus

ensaios, WINTER [74] baseou-se em placas integrantes de perfis dobrados a frio e

que, consequentemente, estavam submetidos a todas as imperfeições inerentes ao

processo de fabricação. A fórmula a seguir foi obtida estatisticamente a partir de tais

ensaios:

125,0

11

≤

−==

pp

e

b

b

λλρ (2.20)

Apesar das imperfeições, constata-se que se alcança a ruína quando a tensão σe,

nos bordos não carregados, atinge o limite elástico fy e, neste caso, substitui-se

pλ por pyλ na equação 2.20.

Nota-se que a expressão entre parênteses do termo a direita da equação 2.20 tende

a valores próximos a 0,75 para valores de pλ em torno de 1, e tende a 1 para

grandes valores de pλ .

Essa redução de 25% da largura efetiva de WINTER [74] em relação a VON

KARMAN [71] na região pλ =1 é devido aos efeitos negativos das não-linearidades

acarretadas pelas imperfeições, e são mais importantes próximas à carga crítica (ver

figura 2.10).

26

Figura 2.10 – Curvas de larguras efetivas.

Em 1968, WINTER [74] empreendeu novos estudos experimentais e propôs

uma fórmula menos conservativa para a equação 2.20, substituindo o coeficiente

0,25 por 0,22:

122,0

11

≤

−==

pp

e

b

b

λλρ (2.21)

As equações 2.19 e 2.21 estão graficamente representadas graficamente na

figura 2.10. Pode-se constatar um afastamento muito importante entre as duas

curvas na região de pλ =1 e, em seguida, a curva de WINTER [74] tende

assintóticamente à curva de VON KARMAN [71] para as placas mais esbeltas. O

patamar inicial das curvas caracteriza a região de esbeltezes para as quais a placa

não flamba e é totalmente efetiva.

A título de ilustração, representam-se, na mesma figura, curvas de larguras efetivas

desenvolvidas por outros pesquisadores. Embora a equação de WINTER [74] seja a

mais utilizada e adotada nas normas de diversos países.

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

λ p

ρ

Von Karman, eq. (2.19)

Winter, eq. (2.21)

Chilver [64]

Gérard [65]

Faulkner [66]

27

2.2.2. PLACAS NÃO-ENRIJECIDAS

O estudo das placas não-enrijecidas foi iniciado por WINTER [74]. Seu

trabalho baseou-se nas abas comprimidas que compõem as seções de perfis

dobrados a frio, nos quais, a maior relação para largura x espessura (b/t) é igual a

109. Ele sugere que o dimensionamento das abas seja limitado à consideração da

tensão de flambagem, a fim de evitar qualquer distorção da extremidade livre visto

que o efeito visual não é aceito para o estado de serviço. Esta concepção de

dimensionamento é adotada em todas as normas americanas desde a norma AISI-

86. Apesar da flambagem das abas, WINTER [74] pôde constatar que elas podem

resistir além da carga crítica, até que a tensão σemáx, no bordo apoiado, atinja o limite

elástico fy. A partir desta hipótese para a ruína, ele deduziu a seguinte fórmula para

a largura efetiva:

−=

eee

E

b

tEtb

σσ202,018,0 (2.22)

A fórmula acima dá uma boa aproximação para os pequenos valores de largura

efetiva achados experimentalmente.

O coeficiente de flambagem k de uma placa com um bordo livre pode variar

de 0,425, quando o outro bordo é simplesmente apoiado, até 1,277, se o outro bordo

é engastado. KALYANARAMAN[31] adotou um valor de k igual a 0,5 e, com esse

valor, ele rescreveu a equação 2.22:

13,0

119,1

≤

−==

pp

e

b

b

λλρ (2.23)

Posteriormente, baseando-se em resultados experimentais e num estudo analítico

do comportamento pós-crítico, KALYANARAMAN [31] propôs a seguinte fórmula de

largura efetiva:

1298,0

119,1

≤

−==

pp

e

b

b

λλρ (2.24)

Esta nova equação, mais conservativa, difere da equação 2.23 apenas quanto a

troca do coeficiente 0,3 por 0,298. Uma representação gráfica da equação 2.24 e da

equação de WINTER, 2.21, é dada na figura 2.11 .

28

Figura 2.11 – Comparação de curvas de largura efetiva.

Em seus ensaios experimentais, KALYANARAMAN [31] constatou que o

deslocamento transversal (fora do plano da placa) da extremidade livre das abas

mais esbeltas (b/t ≅ 58) não excede 2,5 vezes a sua espessura na ruína. Em vista

desta moderada distorção, ele admite o dimensionamento à ruína por meio da

equação 2.24, sem levar em conta a recomendação, quanto a distorção, para o

estado de serviço.

2.2.3. CARREGAMENTO DE COMPRESSÃO UNIFORMEMENTE VA RIÁVEL

Até aqui, tratou-se do caso de placas submetidas a um diagrama de tensões

uniforme e constante. Entretanto, para uma abordagem mais realista, será

necessário um estudo de placas submetidas a cargas variáveis linearmente ao longo

dos bordos carregados.

RHODES, HARVEY e FOK [56] fizeram o estudo analítico de placas

inicialmente imperfeitas e submetidas a uma carga excêntrica. Para uma placa

enrijecida com a carga excêntrica apoiada por meio de barras rígidas, como mostra

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

λ p

ρ

Von Karman eq.(2.19)

Kalyanaraman eq.(2.24)

Winter eq.(2.21)

29

a figura 2.12, eles obtiveram a seguinte fórmula para o cálculo da carga teórica de

ruína Pr,th:

+

+=

85,36

4,11,

b

ek

k

btf

P

py

y

y

thr (2.25)

onde:

ky = fy b2 t/ π2 D

D = E t2/ 12(1- ν2) - rigidez da placa na flexão.

ep – excentricidade da carga – ver figura 2.12.

A equação 2.25 é válida se:

ky > 8

+

2

13

b

ep (2.26)

indeslocável

Figura 2.12 – Placa enrijecida submetida a uma compressão excêntrica constante.

Se a condição 2.26 não for satisfeita, a placa não flamba e atinge a ruína por

escoamento plástico. A equação 2.25 é estabelecida considerando-se que a ruína se

produz quando a tensão máxima no bordo não carregado (σemax) atinge o limite

elástico fy. Foi comprovado que esta fórmula está em excelente acordo com os

resultados experimentais. Porém, esses autores não desenvolveram uma

aproximação de largura efetiva de modo a representar seus resultados analíticos.

RHODES e HARVEY [56] também fizeram um estudo sobre os efeitos do modo de

aplicação da excentricidade da carga. Na figura 2.12 foi representada uma placa

P P

eb

p

30

submetida a uma carga de compressão excêntrica constante. Os mesmos autores

estudaram os efeitos sobre uma placa submetida a carga com excentricidade

constante, como na figura 2.13, e chegaram às seguintes conclusões: na prática,

espera-se que a condição de carregamento seja algo entre as duas condições

teóricas apresentadas e, além disso, o comportamento das placas submetidas à

carga excêntrica é extremamente sensível ao método de aplicação.

Figura 2.13 – Placa enrijecida submetida a uma carga com excentricidade

constante.

THOMASSON[66] fez uma proposição semi-empírica para o cálculo das

larguras efetivas, para uma placa enrijecida e submetida a uma carga excêntrica. A

notação utilizada e a distribuição das larguras efetivas são ilustradas na figura 2.14,

onde σ1 é sempre uma tensão de compressão. Sua formulação é baseada nas

seguintes hipóteses:

a) A teoria clássica da resistência dos materiais é suposta válida;

b) As larguras efetivas são determinadas unicamente a partir das tensões nos

bordos, σ1 e σ2, e;

c) A ruína ocorre quando a tensão no bordo mais solicitado à compressão atinge fy.

As fórmulas propostas por THOMASSON [66] para o cálculo e distribuição das

larguras efetivas são dadas na tabela 2.1. Nota-se que a fórmula para o cálculo de

be/b tem a mesma forma da expressão de VON KARMAN [71] dada a seguir,

partindo da equação 2.19:

1

9,1σE

b

t

b

be = (2.27)

P P

eb

p

livre para deslocar

31

com k=4 e ν=0,3. A única diferença está no coeficiente de 1,52 (THOMASSON) e

1,9 (VON KARMAN).

sendo:

b0 - largura tracionada da placa.

Figura 2.14 – Notação e distribuição das larguras efetivas.

THOMASSON [66] comparou os resultados da carga de ruína obtidos com a

sua proposição de larguras efetivas com os resultados obtidos pela equação 2.25.

Ele constatou que seus resultados eram sempre conservativos. E mais, ele também

notou que as cargas de ruína obtidas com a sua proposição são mais conservativas

quanto maior a excentricidade da carga e maior a esbeltez da placa (>b/t). Com

essas constatações, THOMASSON [66] decidiu modificar sua proposição original e

substituiu por 1,52 o coeficiente de 1,9 na fórmula de be/b (ver tabela 2.1), isto é,

utilizou a expressão 2.27 de VON KARMAN [71]. Esta nova proposição está em

melhor acordo com a equação 2.25.

Com o mesmo objetivo, USAMI[68] utilizou uma aproximação analítica da

resolução do problema das equações não-lineares de VON KARMAN [71], com

objetivo de deduzir as fórmulas de cálculo e de distribuição das larguras efetivas

para a placa enrijecida e submetida a uma carga excêntrica. Sua proposição é dada

na tabela 2.1 com as notações da figura 2.14.

Uma comparação gráfica das distribuições da largura efetiva de acordo com

THOMASSON [66] e USAMI [68] está ilustrada na figura 2.15.

b b

b

b b

b

b

e1 e2 e1 e2

o

1 1

2

2

2

112

σσ

σ

σ

σ

σσ / σ> 0

> 0 2

1σ

σ

> 0

< 0

ψ =

32

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1ψ

bei / be

be2 / be

Thomasson

Usami

Thomasson e Usami be1/be

Figura 2.15 – Distribuição das larguras efetivas

Thomasson [42] Usami [43]

Cálculo e distribuição das

larguras efetivas

ψ = σ2/σ1 1

52,1

σE

b

t

b

be =

−=

pp

e

b

b

λλ22,0

11

, k=4

e

e

b

b 1 2

1

2

1

0 < ψ < 1

be

be2 2

1(1,5 – 0,5ψ)

2

1(1,44-0,44ψ)

e

e

b

b 1 2

1

2

1

ψ ≤ 0

be

be2 2

1 1,5

2

1 1,44

Tabela 2.1 – Cálculo e distribuição das larguras efetivas para a placa enrijecida e

submetida a uma carga excêntrica.

33

DEWOLF e GLADDING[18] realizaram uma pesquisa experimental para achar

uma fórmula de largura efetiva das almas dos perfis dobrados a frio submetidos a

uma solicitação de flexão pura. Obtiveram a distribuição de tensões mostrada na

figura 2.16, onde se vê que a hipótese clássica de BERNOULLI, das seções planas

após a deformação, não é mais válida. A largura efetiva be da parte comprimida da

alma na ruína é dada pela seguinte fórmula:

pyc

e

b

b

λ7,0

= (2.28)

onde bc é a parte comprimida da alma calculada segundo o eixo neutro da seção

total e pyλ é calculada com um coeficiente de flambagem que leva em conta o

gradiente de tensões.

Figura 2.16 – Largura efetiva da alma da seção submetida à flexão pura, de acordo

com DEWOLF e GLADDING[18].

Apesar das limitações do trabalho de DEWOLF e GLADDING [18] no contexto

desta tese, eles contribuíram para a evolução do cálculo da largura efetiva de placas

submetidas a uma carga excêntrica. A largura efetiva be é calculada em relação à

largura comprimida bc da placa quando ψ<0 e, além disso, a tensão crítica de

flambagem é calculada com um coeficiente k que leva em conta o gradiente de

tensões. Contrariamente, THOMASSON [66] e USAMI [68] utilizaram sempre um

coeficiente de flambagem k igual a 4 e a largura efetiva foi calculada em relação à

largura total b da placa (ver tabela 2.1 e equação 2.27).

fy

bebc

σ

linha neutra da seção total

34

Por último, no caso das placas não enrijecidas, a análise do problema é mais

complexa, e existem poucos resultados na literatura. É necessário nos atermos as

proposições semi-empíricas dadas nas normas atuais que serão apresentadas.

2.3. PLACAS NO ESTADO DE SERVIÇO

A fórmula de WINTER 2.21 dá geralmente boas previsões teóricas da carga

de ruína de colunas curtas e de colunas de perfis dobrados a frio, quando σemax = fy.

Entretanto, apesar de WINTER [74] ter utilizado os dados de larguras efetivas

medidas no estado de serviço, por ocasião de seus ensaios, para deduzir sua

fórmula semi-empírica, os pesquisadores mais recentes mostraram que sua fórmula

subestima muito a rigidez da placa no estado de serviço (σemax < fy). Pesquisadores

como DEWOLF, PEKOZ e WINTER[17], THOMASSON[66], MULLIGAN[43] e,

MULLIGAN e PEKOZ[41,42], simularam a interação entre a flambagem local e a

flambagem global com a ajuda do método das larguras efetivas e seus resultados

confirmaram a inadequação da fórmula de WINTER na previsão teórica do

comportamento de colunas curtas e de colunas no estado de serviço.

DAWSON e WALKER[14] abordaram este problema em detalhes e a

discussão a seguir é tirada de seu artigo. A fórmula de WINTER não deve ser

utilizada para níveis de tensão σe menores que fy. Na realidade, a tensão σe varia ao

longo dos bordos não carregados (ver figura 2.9) e, assim, a rigidez longitudinal da

placa, que é função do encurtamento da placa na direção da carga, é obtida pela

integral ao longo do comprimento da placa e deve, portanto, depender da tensão

média σem dos bordos não carregados (ver equação 2.14). Por outro lado, a ruína é

atingida quando a tensão máxima σemax nos bordos não carregados (ver figura 2.9)

atinge o limite elástico fy (ver equação 2.12), que é um fenômeno local. Parece que

toda diferença entre o conceito de largura efetiva de deformações (equação 2.14) e

o conceito de largura efetiva de tensões (equação 2.12) foi ignorada nos trabalhos

de WINTER[74].

35

2.3.1. APROXIMAÇÃO DE THOMASSON

Para resolver o problema anteriormente exposto, THOMASSON[66] fez uma

nova proposição de curvas de largura efetiva, conforme a figura 2.17, com um

gráfico do tipo S em relação a 2pλ , onde:

S = σm/σcr (2.29)

2pλ = εe/εcr (2.30)

Nesta figura, a curva ‘a’ é a solução teórica de uma placa perfeita e constitui um

limite superior da resposta da placa; a curva pontilhada é a solução exata de

YAMAKI[76] para uma placa com uma imperfeição inicial wo igual a 0,1t; a curva ‘b’ é

uma aproximação da curva pontilhada de YAMAKI [76], e a curva ‘c’ é uma

aproximação da fórmula de WINTER [74]. A idéia é tomar a solução de YAMAKI [76]

para o comportamento pós-crítico inicial da placa e, ao mesmo tempo, definir a ruína

da placa pela fórmula de WINTER [74], unindo-se esses dois pontos por uma curva

de transição ‘d’.

Figura 2.17 – Proposição de THOMASSON [66] para o comportamento de uma

placa no estado de serviço pós-crítico.

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12

ab

cd

Solução teórica de Yamaki [76]

para uma placa imperfeita com

λεεp

e

cr p

2 =,

λpy2 10 24= ,λp1

2λpo2

S = σm/σcr

Wo / t =0,1.

36

As larguras efetivas associadas são dadas pela figura 2.18 e suas fórmulas são as

seguintes:

Curva b: 1827,0)662,0(≤==

−p

e

b

bλρ pλ > 0,75 (2.31)

Curva c: 178,0)864,0(≤==

−p

e

b

bλρ pλ > 0,75 (2.32)

Curva d: ( ) 11

1

11 ≤−

−

−+== pp

ppy

ye

b

bλλ

λλ

ρρρρ pypp λλλ <<1 (2.33)

onde o par ( 1pλ ,ρ1) é o ponto de interseção entre a curva ‘b’ e a curva de transição

‘d’. A abcissa 1pλ é dada por:

pyp λλ 6,03,01 += (2.34)

THOMASSON [66] fez uma comparação da sua proposição para o cálculo de largura

efetiva com os resultados experimentais de KÖNIG[34] e pode-se constatar uma boa

relação entre eles.

Figura 2.18 – Proposição de THOMASSON [66] para o cálculo da largura efetiva.

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

λ

d

a

b

ρ

p

λpo = 0,75

λλ py

p1

λpy = 3,2

c

37

Apesar das boas previsões teóricas dadas por essa proposição, há duas notas a

serem feitas:

a) A curva Sx2pλ (figura 2.17) apresenta dois pontos de descontinuidade da

derivada de S em relação a 2pλ ( ∂S/∂(

2pλ )), localizados nas abcissas

2pλ =

2poλ e

2pλ =

21pλ que são os pontos de passagem do estado de pré-flambagem ao

estado pós-flambagem e a transição da curva ‘b’ para a curva ‘d’.

b) A curva ‘d’, que faz a transição da curva ‘b’ para a ruína da placa, apresenta seu

vértice antes da interseção com a curva ‘c’ e este fato é tão mais marcante

quanto mais esbelta é a placa (maior pyλ ). Nota-se, também, que a proposição

de THOMASSON [66] prescreve que a ruína da placa se produz em regime

elástico (σe<fy), porém sabe-se que a ruína das placas é atingida quando σe = fy.

2.3.2. APROXIMAÇÃO DE MULLIGAN [43]

Numa pesquisa mais recente, MULLIGAN[43] e MULLIGAN e PEKOZ[41]

fizeram uma revisão da proposição de THOMASSON [66] e deduziram uma nova

proposição para o cálculo da largura efetiva da placa no estado de serviço no regime

pós-crítico, para eliminar as falhas apresentadas na proposição de THOMASSON

[66], citadas no subitem anterior.

A proposição se encontra ilustrada na figura 2.19 no gráfico do tipo S x pλ . Fazem-

se necessários alguns esclarecimentos quanto ao gráfico citado. O trecho da curva

entre pλ = 0 e poλ = 0,673 está relacionado às esbeltezes de placas pré-flambadas

(ρ = b

be = 1) e, com a ajuda da equação 2.12, tem-se:

pcr

me

b

b

,σσ

ρ ==max

,

e

pcr

σ

σ

Utilizando as equações 2.15 e 2.29:

S = ρ 2pλ (2.35)

Assim, para placas pré-flambadas, tem-se:

S = 2pλ (2.36)

38

Figura 2.19 – Proposição MULLIGAN e PEKOZ [41] para o comportamento de

uma placa no estado de serviço.

A equação de WINTER 2.21 sob a forma da equação 2.35 toma a seguinte forma:

SW = pλ - 0,22 (2.37)

Essa aproximação caracteriza-se por fazer passar uma curva que vai da passagem

do estado de pré-flambagem ao estado de flambagem da placa ( poλ > 0,673), com o

vértice da ruína dado pela fórmula de WINTER [74]. Essa curva será um polinômio

cúbico da seguinte forma:

SMW=AW1+AW2 pλ +AW32pλ +AW4

3pλ 0,673< pλ < pyλ (2.38)

e impondo-se as seguintes condições aos limites em poλ e pyλ :

SMW( poλ ) = 2poλ (2.39a)

S’MW( poλ ) = 2 poλ (2.39b)

SMW( pyλ ) = SW( pyλ ) (2.39c)

S’MW( pyλ ) = 0 (2.39d)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4λ

S = σm / σcr,p

Winter

Mulligan

fy = 200

fy = 300

fy = 400

b / t = 150 k = 4

λ

λ λ λpy py py

po

fy (N/mm²)

S = λ2p

p = ( ε e / ε cr,p ) ½

S W = λp

- 0,22

S MW

39

Com os quais acham-se os coeficientes da equação 2.38:

AW4 = ( )[ ]( )3

22,012

pypo

pypo

λλ

λλ

−

−− (2.40a)

AW3 = ( )popyWpypo

poA λλ

λλλ

+−−

45,1 (2.40b)

AW2 = ( )pyWWpy AA λλ 43 32 +− (2.40c)

AW1 =

−−− 43

221 WpoW

po

Wpo AA

Aλ

λλ (2.40d)

Finalmente, combinando-se as equações 2.35 e 2.38, tem-se a seguinte expressão

para o cálculo da largura efetiva:

1432

21 ≤+++== pWW

p

W

p

WeMW AA

AA

b

bλ

λλρ 0,673< pλ < pyλ (2.41)

Por simplificação da linguagem, chama-se daqui por diante a equação 2.41 de

combinação Mulligan+Winter.

Apresenta-se, a seguir, na figura 2.20 uma representação gráfica e uma comparação

com a fórmula de WINTER [74].

Figura 2.20 – Proposição de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o cálculo da largura

efetiva.

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

l

ρ

Winter

Mulligan

fy = 200

fy = 300

fy = 400

b / t = 150 k = 4

fy (N/mm²)

p

40

Do mesmo modo, aplicou-se esta nova aproximação para a fórmula 2.24 de

KALYANARAMAN [31] para as placas não enrijecidas. Neste caso, da equação 2.24

combinada com 2.35, tem-se:

SK = 1,19 ( pλ - 0,298) (2.42)

Similarmente ao caso precedente, SMK toma a seguinte fórmula:

SMK = AK1 + AK2 pλ + AK3 2pλ + AK4

3pλ 0,673< pλ < pyλ (2.43)

com as condições nos limites:

SMK( poλ ) = 2poλ (2.44a)

S’MK( poλ ) = 2 poλ (2.44b)

SMK( pyλ ) = SK( pyλ ) (2.44c)

S’MK( pyλ ) = 0 (2.44d)

Assim, tem-se, para os coeficientes da equação 2.43:

AK4 = ( )[ ]

( )33546,019,12

pypo

pypo

λλ

λλ

−

−− (2.45a)

AK3 = ( )popyKpypo

poA λλ

λλλ

+−−

45,1 (2.45b)

AK2 = ( )pyKKpy AA λλ 43 32 +− (2.45c)

AK1 =

−−− 43

221 KpoK

po

Kpo AA

Aλ

λλ (2.45d)

e a largura efetiva é dada pela seguinte expressão:

1432

21 ≤+++== pKK

p

K

p

KeMK AA

AA

b

bλ

λλρ 0,673< pλ < pyλ (2.46)

Por simplificação da linguagem, chama-se, daqui por diante, a equação 2.46 de

combinação Mulligan+Kalyanaraman.

41

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

s

ρPlaca não enrijecida

fy = 355 N/mm²

Kalyanaraman

Mulligan + Kalyanaraman

Parábola

b / t = 50 k = 0,43

e / fyσ

Figura 2.21 – Largura efetiva da placa não enrijecida com b/t = 50.

Na figura 2.21, acha-se uma comparação entre as curvas de Kalyanaraman,

equação 2.24, e a combinação Mulligan + Kalyanaraman, equação 2.46. A

existência de uma terceira curva na figura, chamada ‘parábola’, explica-se no

próximo subitem.

Infelizmente, a combinação Mulligan+Kalyanaraman apresenta um comportamento

indesejável quando a placa é pouco esbelta, como mostra a figura 2.22, com uma

relação b/t igual a 15. Utilizar esta aproximação adaptada, para a modelagem do

comportamento das placas não-enrijecidas, leva, na verdade, a um patamar ρ = 1,

de placa não flambada, muito maior do que o previsto pela esbeltez limite poλ .

42

Figura 2.22 – Largura efetiva da placa não enrijecida com b/t = 15.

Este fato é mais marcante quando a esbeltez reduzida da placa na ruína pyλ se

aproxima de poλ e provém da escolha de uma interpolação cúbica para representar

S em função de pλ impondo uma derivada nula na ruína, como mostra a figura 2.23.

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

s

fy = 355 N/mm² b / t = 15 k = 0,43

ρ

Kalyanaraman

Placa não enrijecida Parábola

e


/ fyσ

43

Figura 2.23 – Diagrama tensão x deformação da placa não enrijecida com

b/t=15.

2.3.3. APROXIMAÇÃO UTILIZADA

Para contornar o problema relativo a aproximação de Mulligan+Kalyanaraman

(equação 2.41), para o cálculo e distribuição da largura efetiva de placas não-

enrijecidas, propõe-se fazer passar uma curva do segundo grau (uma parábola) para

representar ρ = be/b em função de pλ , quando a placa é pouco esbelta. Vê-se a

seguir que esta parábola deve passar pelo ponto ( 1, =ρλ po ), final do patamar de

pré-flambagem, e pelo ponto ( kypy ρλ , ), ruína; onde k

yρ é o valor obtido a partir da

equação 2.24 de Kalyanaraman, substituindo-se pλ por pyλ .

A parábola é construída de maneira que seu lado convexo esteja voltado para cima

e portanto o vértice seja o ponto ( 1, =ρλ po ), impondo que ela tenha a seguinte

forma:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

λp = ( ε e / ε cr,p)½

S =σm / σcr,p

S = λ p

2


Kalyanaraman

Parábola

Placa não enrijecida

fy = 355 N/mm² b / t = 15 k = 0,43

44

( ) ( )21 popp C λλρ −=− (2.47)

Com a condição de passagem pelo segundo ponto ( kypy ρλ , ), acha-se o valor da

constante C da equação 2.47, que toma finalmente a forma:

( )( ) 1

1 2

2+−

−

−= pop

popy

ky

p λλλλ

ρρ (2.48)

e sua representação gráfica está ilustrada nas figuras 2.21, 2.22 e 2.23.

Como não há qualquer semelhança matemática entre a combinação de

Mulligan+Kalyanaraman, equação 2.46, e a parábola, equação 2.48, será impossível

determinar o valor da esbeltez reduzida na ruína pyλ onde as duas curvas

coincidem, para saber se deve-se utilizar uma ou outra formulação. De qualquer

modo, vê-se, nas figuras 2.21 e 2.22, que, calculando-se a largura efetiva pelas duas

formulações e tomando-se o menor valor, utiliza-se sempre a melhor curva.

No caso em que as curvas das duas formulações são suficientemente próximas para

se cruzarem, como mostra a figura 2.24 para uma placa com b/t=26, o fato de tomar

o menor valor, faz passar de uma curva para outra, o que parece não prejudicar a

qualidade dos resultados.

No caso de uma placa enrijecida, a combinação Mulligan+Winter, (equação

2.41) produz o mesmo problema quando a placa é pouco esbelta e, neste caso, a

metodologia aplicada fica similar a acima apresentada.

45

Figura 2.24 – Largura efetiva da placa enrijecida com b/t = 26.

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

σe / fy

ρ

fy = 355 N/mm² b / t = 26 k = 0,43

Placa não enrijecida

Kalyanaraman


Parábola

46

2.4. LARGURA EFETIVA SEGUNDO AS NORMAS: AMERICANA E

EUROCODE

2.4.1. INTRODUÇÃO

Apresenta-se aqui um resumo do cálculo da largura efetiva e sua distribuição

segundo as normas: a americana, AISI-90[1], e a européia, EUROCODE[21]. Um

estudo elaborado dessas normas pode ser visto na tese de ESTRELLA[20]. No

entanto, no presente trabalho, utilizam-se os resultados das normas, bem como

alguns resultados experimentais, somente para a aferição do procedimento de

cálculo da largura efetiva da seção pelo método da banda finita desenvolvido, o qual,

leva em conta a total interação entre as placas.

O cálculo dos perfis de paredes finas, com o AISI-90[1] é de difícil aplicação

em elementos finitos, devido a algumas descontinuidades e outros impedimentos

que apresenta-se a seguir.

2.4.2. PLACAS ENRIJECIDAS

Para o cálculo das larguras efetivas das placas biapoiadas no sentido

transversal à carga, há uma pequena diferença quanto à largura plana da placa bp a

considerar, nos cálculos utilizando o Eurocode ou o AISI-90. Essa diferença está

relacionada aos arredondamentos dos cantos dos perfis, conforme figura 2.25.

Figura 2.25 – Largura plana bp consideradas pelas normas.

r r

t

bp bp

AISI - 90

'Adotado'Eurocode 3

47

A fim de uniformizar e de simplificar a programação, escolheu-se calcular bp

conforme o AISI-90 [1].

Quanto ao cálculo da largura efetiva, as duas normas desprezam o efeito da

interação da flambagem entre as placas da seção, as quais são consideradas como

placas isoladas com os bordos simplesmente apoiados. Felizmente, o efeito do

gradiente de tensões, da carga agindo sobre a placa, é levado em conta. A figura

2.26 mostra a notação utilizada na tabela 2.2 para o cálculo da largura efetiva.

Figura 2.26 – Notação e representação gráfica da distribuição da largura efetiva

be1 be2

=bp bc

bp

1

+

+

+

bb pc

=bp bc

be1 be2

be2be1

b bc t

2

2

1

1 2

σσ

σσ

σ

σ

ψ = +1

0 ψ < 1

1 − ψ=

ψ < 0

=σ /σ2 1ψ

48

EUROCODE 3 AISI-90

Coeficiente de Flambagem

−=→−≤

+−=→≤<−

+=→≤<

2)1(98,51

278,929,681,701

05,1

2,810

ψψ

ψψψ

ψψ

k

k

k

)1(23)1(24 ψψψ −+−+=→∀ k

Cálculo da Largura Efetiva

Ekt

pbp

11052,1

σλ =

E

yf

kt

pbpy

1052,1=λ

E

yf

t

pbe 328,0256,0 +=λ

Um dos bordos apoiados sobre enrijecedor

≤

−

−+−=→>

=→≤

16,0

18,0122,0

1673,0

1673,0

py

ppy

ppp

p

λ

λλ

λλρλ

ρλ

−=→>

=→≤

ppp

p

λλρλ

ρλ

122,01673,0

1673,0

be = ρ bc ρ ≤ 1 be = ρ bp, be ≤ bc

Distribuição da Largura Efetiva

cee bbb ≤+ 21

Tabela 2.2 – Cálculo e distribuição das larguras efetivas de placas enrijecidas.

( )

−=→−>

=→−≤

−=

12236,0

2/2236,0

3/1

ebebeb

ebeb

ebeb

ψ

ψ

ψ

==→≤

−=−

=→≤<

eeee

eeee

e

bbbb

bbbb

b

6,0,4,00

,5

210

21

121

ψψ

ψ

−+=→≥

−=→<<

=→≤

pp

yf

ep

ppep

p

λλσρλλ

λλρλλ

ρλ

122,0

1

59,041,0

1461,0358,1673,0

1673,0

Os dois bordos apoiados nas abas

49

Como apresentado na tabela 2.2, o gradiente de tensões é considerado

somente no EUROCODE [21], fazendo o coeficiente de flambagem k variar segundo

a relação ψ = σ2/σ1.

Baseadas em pesquisa anterior [20], as figuras 2.27, 2.28 e 2.29 mostram

uma comparação gráfica entre as duas normas para três valores diferentes de k, 4, 5

e 6,998, respectivamente. A figura 2.27 mostra que a curva do AISI-90 apresenta um

ponto anguloso em ep λλ = (ver tabela 2.2). A figura 2.28 ilustra a descontinuidade

da curva do AISI-90 [1] para um valor de k diferente de 4, k=5. A figura 2.29 mostra

que a curva do AISI-90 [1] é inadequada quando epy λλ = .

Figura 2.27 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo da largura efetiva para

uma placa enrijecida, com k=4.

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

λ

Winter

Eurocode 3

AISI-90

Mulligan + Winter

ρ

p

Placa Enrijecida

fy = 355 N/mm²

bp / t = 90 k = 4

50

Figura 2.28 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo de largura efetiva para

uma placa enrijecida, com k = 5.

Figura 2.29 – Comparação gráfica das fórmulas de cálculo de largura efetiva para a

placa enrijecida, com k = 6,998.

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

λ

fy = 355 N/mm²

Placa Enrijecida

Mulligan + Winter

p

ρ

Winter

Eurocode 3

AISI-90bp / t = 90 k = 5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

λ

Placa Enrijecida

fy = 355 N/mm²Winter

Eurocode 3

AISI-90

Mulligan + Winter

p

ρ

bp / t = 90 k = 6,998

51

Nos gráficos, acham-se, também, as curvas de WINTER [74], equação 2.21, e a

combinação Mulligan+Winter, equação 2.41. Comparando-se as curvas do Eurocode

com a de Mulligan+Winter e a do AISI-90, nota-se que o patamar de pré-flambagem

do Eurocode é sensivelmente maior que poλ = 0,673.

Quanto ao cálculo da largura efetiva be, pode-se ver na tabela 2.2 que, para o

Eurocode, ela é calculada em relação à bc (be = ρ bc), enquanto que, para o AISI-90,

ela é calculada em relação à bp (be = ρ bp). Na realidade, as duas aproximações só

diferem se ψ < 0, (bc ≠ bp).

A comparação gráfica entre as duas normas para as distribuições da largura

efetiva em relação a be, be1/be e be2/be, fazendo be = ρ bc para ambas as normas, é

dada na figura 2.30. Novamente, constata-se que há uma descontinuidade na curva

be2/be do AISI-90 [1] na abcissa ψ = -0,236. Para contornar esse problema,

ESTRELLA [20] propôs ajustar um polinômio cúbico entre os pontos de abcissa ψ = -

0,5 e ψ = 0, de maneira a respeitar os valores de be2/be e de suas derivadas em

relação a ψ, tal como apresentada pela curva pontilhada da figura 2.30.

52

Figura 2.30 – Distribuição da largura efetiva para o Eurocode 3 e o AISI-90.

A utilização do AISI-90 [1] para o cálculo da largura efetiva com o elemento

finito apresentou dificuldades intransponíveis para a convergência da solução não-

linear devido à descontinuidade apresentada na curva de ρ x pλ e na curva be2/be x

ψ. Foi proposta a utilização de um AISI modificado que consiste na utilização da

combinação de Mulligan+Winter (equação 2.41) e a parábola no cálculo da largura

efetiva de placas enrijecidas e a utilização da curva cúbica da figura 2.30 para a

distribuição da largura efetiva. Por simplificação de linguagem, toda referência à

norma Americana será chamada AISI-90, com as modificações supracitadas.

2.4.3. PLACAS NÃO-ENRIJECIDAS

A tabela 2.3 mostra uma comparação numérica das fórmulas de cálculo de

largura efetiva para a placa com um bordo livre, entre o Eurocode 3 [21] e o AISI-90

[1]. Constata-se que o AISI-90 [1] não faz nenhuma distinção quanto ao gradiente de

tensões para o cálculo do coeficiente de flambagem k, que é sempre igual a 0,43.

A figura 2.31 mostra, graficamente, uma comparação do cálculo de k em função de

ψ, para as duas normas.

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ψ = σ2 / σ1

bei/be

Eurocode 3

AISI - 90

Placa Enrijecida (be = ρ.bc)

be2/be

be1/be

53

Figura 2.31 – Comparação do coeficiente de flambagem k para a placa

não-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1].

Quanto ao cálculo da largura efetiva, nota-se que o AISI-90[1] utiliza a fórmula

de WINTER [74], enquanto que o Eurocode 3 [21] parece ser mais realista em

relação ao comportamento de serviço das placas. Na figura 2.32, acha-se uma

comparação gráfica das duas normas para formas diferentes de gradientes de

tensão.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

ψ = 1ψ = 0 ψ = 0

k

Placa Não-enrijecida

Eurocode 3

AISI - 90

54

EUROCODE 3 AISI-90

Coeficiente de Flambagem – Compressão Positiva ψ = σ2 /σ1

+−=

≤<207,021,057,0

10

ψψ

ψ

k k=0,43

+−=

≤≤−207,021,057,0

01

ψψ

ψ

k k=0,43

+=

≤≤

34,0

578,0

10

ψ

ψ

k k=0,43

+−=

<≤−21,1757,1

01

ψψ

ψ

k k=0,43

Cálculo da Largura Efetiva

E

f

t

b

k

yppy

1052,1=λ

Et

b

k

pp

11052,1

σλ =

−

−+

−=→>

=→≤

6,018,0

122,01673,0

1673,0

py

ppy

pp

p

p

λλλ

λλρλ

ρλ

−=→>

=→≤

pp

p

p

λλρλ

ρλ

122,01673,0

1673,0

be = ρ bc ρ ≤ 1 be = ρ bc

Tabela 2.3 – Cálculo das larguras efetivas para a placa não-enrijecida.

b

b

b

=bp bc

=bp bc

bp

bc bt

σ1

σ1

σ1

σ2

σ2

σ2

+

+

+

e

e

e

σ1

σ2

be

bcbt

bp

+

55

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

σ1/fy

ρ


AISI - 90

Eurocode 3

ψ = 0ψ = 1

(Winter)

fy = 355 N/mm² bp/ t = 50

Figura 2.32 – Comparação das aproximações do cálculo de largura efetiva para

a placa não-enrijecida, entre o Eurocode 3 [21] e o AISI-90 [1].

Finalmente, a título de comparação, a figura 2.33 ilustra graficamente as

aproximações do cálculo de largura efetiva para a placa não-enrijecida pelo AISI-90

[1], o Eurocode 3 [1], KALYANARAMAN [31] e a combinação

Mulligan+Kalyanaraman (equação 2.46).

56

Figura 2.33 – Comparação entre várias aproximações de cálculo da largura efetiva

para a placa não-enrijecida.

2.4.4. ENRIJECEDOR DO PERFIL C

Na figura a seguir, apresenta-se a nomenclatura utilizada para a seção tipo C.

Figura 2.34 – Nomenclatura do perfil tipo C.

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

λp



Kalyanaraman

Eurocode 3

AISI - 90

(Winter)

ρ

λpy = 3,3

z

y

b2

b1

b3

C.G.

t

RI

57

Conforme será apresentado detalhadamente no item 3.5, o tamanho do

enrijecedor de bordo do perfil C ( placa b3) afeta o comportamento da flambagem

local. O estudo teórico da instabilidade do perfil C mostra que a eficácia do

enrijecedor é penalizada quando b3/b1< 0,1 ou b3/b1>0,3, BATISTA[3]. Porém, outro

fator a ser levado em conta é a relação b1/t que, para valores relativamente

pequenos, permite que o perfil comprimido possa ser considerado totalmente efetivo

sem enrijecedores.

As normas AISI-90 [1] e Eurocode 3 [21] estabelecem os cálculos da largura efetiva

do conjunto aba-enrijecedor, de maneiras diferentes.

Do estudo feito por ESTRELLA[20], podemos tirar as seguintes conclusões relativas

ao método utilizado pelo AISI-90 [1]:

- despreza o efeito da interação da flambagem;

- introduz uma inércia adequada para o enrijecedor, Ia. O não cumprimento das

desigualdades estabelecidas leva a valores de k menores que 4;

- não leva em conta o gradiente de tensões nas abas e;

- apresenta descontinuidades em coeficientes que comprometem a utilização do

elemento finito (figuras 2.28 e 2.30).

Apresenta-se, no capítulo 5 desta tese, resultados obtidos por ESTRELLA[20]

com a utilização deste procedimento de penalização da eficácia do enrijecedor, com

o nome de AISI-90*, embora tal procedimento não esteja desenvolvido para o caso

da banda finita.

Quanto ao Eurocode 3 [21], conclui-se que:

- é um método muito mais trabalhoso que o apresentado pelo AISI-90 [1];

- nota-se maior coerência, e de certa forma, leva em conta o efeito de interação

entre as paredes;

- limita o ângulo entre a aba e o enrijecedor, e o comprimento do enrijecedor. Se

as condições não forem satisfeitas a aba será considerada como uma placa com

um bordo livre;

58

- sua proposição baseia-se na hipótese de que o conjunto aba-enrijecedor forma

uma viga-coluna sobre base elástica e;

- utiliza uma espessura efetiva, para poder trabalhar com o limite elástico fy.

2.5. A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA DE ELEMENTOS FIN ITOS

Nos parágrafos seguintes, apresenta-se um resumo das proposições do

Eurocode 3 [21] e do AISI-90 [1], para o cálculo das larguras efetivas.

2.5.1. EUROCODE 3 [21]

As larguras efetivas são calculadas segundo as tabelas 2.2 e 2.3 para placas

enrijecidas e não-enrijecidas, respectivamente. Para melhor esclarecimento, tem-se

as notas a seguir:

a) Os coeficientes de flambagem das placas do perfil são recalculados a cada

iteração do passo não-linear para levar em conta a mudança no gradiente de

tensões da seção, devido a não-linearidade geométrica;

b) As placas são consideradas isoladas e, portanto, nenhum efeito de interação da

flambagem entre as placas do perfil é levado em conta;

c) Esta proposição serviu de comparação nas análises de perfis C. Os resultados

numéricos, obtidos por ESTRELLA[20], são apresentados no capítulo 5.

2.5.2. AISI-90 [1]

As larguras efetivas são calculadas segundo as tabelas 2.2 e 2.3 para as

placas enrijecidas e não-enrijecidas, respectivamente. Para melhor esclarecimento,

tem-se as notas a seguir:

59

a) Devido ao fato desta proposição desprezar o gradiente de tensões no caso de

placas não-enrijecidas (ver tabela 2.3), ela só deve ser aplicada para perfil C,

onde a variação da largura efetiva do enrijecedor não tem um papel muito

importante na convergência do elemento finito;

b) A eficácia do enrijecedor não é levada em conta;

c) As notas a e b do parágrafo do Eurocode 3 [21] são também válidas aqui;

d) Para a alma do perfil C utiliza-se a curva de flambagem da combinação

Mulligan+Winter (equação 2.41) com a parábola, como exposto no sub-item

2.4.2, enquanto que para a aba utiliza-se a curva de WINTER[9] como

especificado na tabela 2.2;

e) Quanto à distribuição da largura efetiva da placas enrijecidas, o cálculo da

largura be2 é feito segundo a adaptação apresentada na figura 2.30 pela curva

pontilhada, a fim de eliminar a descontinuidade da curva original de be2.

2.5.3. AISI-90*

As notas feitas no parágrafo 2.5.2, para o AISI-90 [1], são válidas aqui, com

exceção da nota b. Para a hipótese do AISI-90*, as larguras efetivas da aba e do

enrijecedor do perfil C são calculadas segundo as adaptações feitas em ESTRELLA

[6], para levar em conta a eficácia do enrijecedor.

2.5.4. BANDA FINITA

A descrição do cálculo da largura efetiva no programa FINLOC se encontra

detalhada no item 3.6 desta tese.

60

CAPÍTULO 3

LARGURA EFETIVA PELO MÉTODO DA BANDA FINITA

3.1- INTRODUÇÃO:

Neste capítulo faz-se a introdução do método utilizado para o cálculo da

instabilidade da seção do perfil de paredes finas. Sabe-se que o comportamento de

colunas e vigas de chapas dobradas pode ser estudado por métodos analíticos que,

para problemas de complexidade moderada, apresentam grande dificuldade de

resolução. Como exemplos de métodos analíticos, podem ser citados os métodos

que permitem resolver equações diferenciais de forma exata. Por simplificação,

devem ser usados métodos numéricos, ou aproximados. Desses, os métodos

energéticos foram amplamente usados (Timoshenko e Gere [1961]).

Os métodos numéricos também são convenientes em situações práticas, onde, por

exemplo, existe necessidade de introduzir enrijecedores intermediários.

Mais recentemente, o Método dos Elementos Finitos tem se mostrado uma

poderosa ferramenta tanto na análise da instabilidade como, também, em outras

áreas da mecânica estrutural (Gallagher[1975]). Porém, em alguns casos, essa

solução requer muito gasto em tempo profissional para a realização de grandes

programas, preparação de dados e grande esforço computacional. Portanto, é

vantajosa a busca de métodos que reduzam esse esforço e, ao mesmo tempo,

conserve as vantagens básicas do Método dos Elementos Finitos. Um método que

satisfaz essas necessidades, tratado aqui, é o Método da Banda Finita.

Neste método, os elementos são faixas longitudinais que são unidas umas às

outras ao longo de uma linha nodal, que corresponde ao comprimento da peça

estudada (ver figuras 3.2 e 3.3). A análise desenvolvida aqui tem como objetivo a

avaliação dos níveis de tensão em qualquer ponto da estrutura de paredes finas e a

checagem das mesmas de acordo com as exigências das normas práticas.

Entretanto, o Método da Banda Finita também é usado na avaliação das tensões de

61

flambagem. Visto que a versatilidade do método permite prever o comportamento

das estruturas sob flambagens simultâneas - local e global - será possível, também,

o estudo da perda acentuada da tensão crítica quando este fenômeno ocorre.

3.2 – DIFERENÇAS ENTRE OS MÉTODOS

Com relação ao Método dos Elementos Finitos, sabe-se que o Método da

Banda Finita é um caso especial do primeiro. Faz-se aqui uma pequena comparação

quanto à discretização bidimensional de ambos.

No Método dos Elementos Finitos, o campo dos deslocamentos u é discretizado

como o produto de funções conhecidas H e parâmetros nodais selecionados ∆ ,

que são, em geral, desconhecidos,

∆= .Hu (3.1)

As funções de forma H são dependentes de ambas as variáveis independentes, x e

y.

A discretização do campo dos deslocamentos u utilizando o Método da

Banda Finita também é feita como um produto de funções de forma e parâmetros

nodais,

∑ ∆=m mm Hyu .. (3.2)

Da equação anterior, tem-se que as funções de forma são, agora, derivadas de um

polinômio na direção x e uma série continuamente diferenciável em y.

Procedendo assim, o problema originalmente 2D passa a ser constituído de m

problemas 1D, separadamente.

Desta discretização, tem-se a explicação da vantagem exposta anteriormente,

isto é, a formulação resulta num pequeno número de equações com uma largura de

banda pequena, o que é importante principalmente na análise de instabilidade que

requer um grande esforço computacional. Soma-se a isto a considerável redução de

entradas e saídas na programação.

Porém, pode-se citar como desvantagem do Método da Banda Finita a sua limitação

às estruturas com propriedades do material e geométrica constantes numa direção.

62

Sabe-se também que, ao diminuir uma dimensão do problema, é necessário

satisfazer as condições de contorno. Entretanto, em estruturas, como os perfis de

paredes finas satisfazem todas essas condições, o Método da Banda Finita é uma

poderosa ferramenta analítica.

3.3 – DESENVOLVIMENTO

A figura 3.1 representa um perfil discretizado em bandas finitas e submetido a

um gradiente de tensões.

Figura 3.1 - Perfil C discretizado em bandas finitas.

Transversalmente, a placa se comporta como um elemento finito de viga. No

sentido longitudinal, os nós se relacionam aos bordos 1 e 2 (ver figura 3.2) e o

cálculo dos deslocamentos e rotações é feito segundo uma função analítica

adequada.

63

Tem-se:

u, v - deslocamentos membranares no plano da banda,

w1, w2 - deslocamentos fora do plano da placa,

θy1, θy2 - rotações.

Figura 3.2 - a - Banda finita submetida a um gradiente de tensões.

b - Deslocamentos e rotações- elemento finito de viga.

Uma formulação de deslocamentos é adotada, na qual, o campo variável u

está relacionado ao grau de liberdade local (deslocamentos nodais) ∆ , na forma:

∆=

= .H

w

v

u

u (3.3)

Quatro graus de liberdade são empregados ao longo de cada lado da banda, como

se mostra na figura 3.3:

64

Figura 3.3 - Placa reduzida a um elemento finito de viga.

No sentido transversal da placa, as funções interpoladoras Hm (m=1,6) são

calculadas pelo Polinômio de Lagrange para o caso das deformações axiais e pelo

Polinômio de Hermite para as deformações fora do plano e rotações.

Para a variação longitudinal, as funções interpoladoras são funções analíticas

(h7 e h8).

Tem-se as seguintes expressões:

h1 = 1 - ξ (3.4)

h2 = ξ (3.5)

h3 = 1 - 3 ξ2 + 2 ξ3 (3.6)

h4 = -bξ (1 -2ξ + ξ2) (3.7)

h5 = 3 ξ2 - 2 ξ3 (3.8)

h6 = -b ξ (ξ2 - ξ) (3.9)

h7= sen (αm)y (3.10)

h8 = cos (αm) y (3.11)

sendo:

ξ = x/b (3.12)

αm = mπ/L (3.13)

onde m é o no de semi-ondas longitudinais, conforme capítulo 2.

Deste modo, obtêm-se as expressões relativas aos deslocamentos:

u(x,y) = h1 h7 u1 + h2 h7 u2 (3.14)

65

v(x,y) = h1 h8 v1 + h2 h8 v2 (3.15)

w(x,y) = h3 h7 w1 + h4 h7 θ1 + h5 h7 w2 + h6 h7 θ2 (3.16)

Matricialmente, tem-se:

=

76757473

8281

7271

0000

000000

000000

hhhhhhhh

hhhh

hhhh

w

v

u

2

2

1

1

2

2

1

1

θ

θw

w

v

u

v

u

(3.17)

Separando-se as matrizes referentes aos deslocamentos planares (p) dos

deslocamentos referentes à flexão da placa (b):

∆

∆

=

b

p

b

p

H

H

w

v

u

0

0 (3.18)

As relações infinitesimais deformação-deslocamento são introduzidas como:

p0ε =

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

=

x

v

y

u

y

v

x

u

xy

yy

xx

εεε

2

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

2

2

1

1

2

2

1

1

,82,72,81,71

,82,81

,72,71

0000

000000

000000

θ

θw

w

v

u

v

u

hhhhhhhh

hhhh

hhhh

xyxy

yy

xx

∆

para a tensão linear plana e (3.19)

pB0

0B

66

b0ε =

=

∂∂∂

∂

∂−

∂

∂−

2

2

1

1

2

2

1

1

,76,75,74,73

,76,75,74,73

,76,75,74,73

2

2

2

2

2

)()()()(0000

)()()()(0000

)()()()(0000

θ

θw

w

v

u

v

u

hhhhhhhh

hhhhhhhh

hhhhhhhh

yx

w

y

w

x

w

xyyxxyxy

yyyyyyyy

xxxxxxxx

(3.20)

para a flexão onde as deformações são definidas como curvaturas de placa.

Combinando as relações deformação-deslocamento com as contribuições não-

lineares, tem-se o vetor deformação total ε :

ε =

b

p

ε

ε =

b

p

0

0

ε

ε +

0

pLε

(3.21)

Um termo típico da deformação não-linear pLε leva em conta a associação das ações

no plano e fora dele e é dado pela parcela não-linear do Tensor de Green:

pLε =

j

k

i

k

x

u

x

u

∂

∂

∂

∂

2

1 =

∂∂∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

j

j

j

iii

x

wx

vx

u

x

w

x

v

x

u

2

1 (3.22)

Vê-se que todos os termos da deformação de Green são conservados, onde os

termos em w modelam os modos de flambagem local e os termos em u e v modelam

os modos globais ( Graves Smith e Sridharan [1978]). De acordo com a Teoria Não-

Linear, temos a discretização da parcela não-linear do Tensor de Green:

bB0

0B

∆

67

pLε = p

ijε =

∂

∂

∂

∂

j

k

i

k

X

u

X

u.

2

1 (3.23)

onde: i,j,k = x,y,z

p

xxLε =

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

222

2

1

x

w

x

v

x

u (3.24)

p

xyLε =

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u...

2

1 (3.25)

pyyLε =

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

222

2

1

y

w

y

v

y

u (3.26)

pLε =

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

y

wy

vy

ux

wx

vx

u

x

w

x

v

x

x

y

w

y

v

y

uy

w

y

v

y

ux

w

x

v

x

u

000

000

2

1 (3.27)

θ =

y

x

θθ

(3.28)

+= pp0εε

2

1A.θ (3.29)

A

θ

68

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

1

1

2

2

1

1

,76,75,74,73

,82,81

,72,71

,76,75,74,73

,82,81

,72,71

0000

000000

000000

0000

000000

000000

θ

θw

w

v

u

v

u

hhhhhhhh

hhhh

hhhh

hhhhhhhh

hhhh

hhhh

y

w

y

v

y

u

x

w

x

v

x

u

yyyy

yy

yy

xxxx

xx

xx

(3.30)

onde G é a matriz derivada das funções de interpolação.

Da expressão acima, tem-se que:

θ = G. ∆ (3.31)

Assim, aplicando a equação (3.31) em (3.29):

+= pp0εε

2

1A.G.∆ (3.32)

∆= .opo Bε (3.33)

Substituindo-se a equação (3.33) em (3.32):

∆

+= ...2

10 GABpε (3.34)

Fazendo GABL .= e dividindo essa matriz em duas sub-matrizes PLB (planar) e b

LB

(flexão), tem-se:

G

θ

∆

69

[ ]

∆

∆+∆=

b

pbL

pL

p BBB2

1.0ε (3.35)

∂∂∂

∂

∂−

∂

∂−=

=

yx

w

y

w

x

w

pxy

pyy

pxx

b

p

2

2

2

2

2

2

2ε

ε

ε

εε

ε =

∆

∆

+

∆

∆

b

pbL

pL

b

p

b

p BB

B

B

002

1

0

0

0

0 (3.36)

A seguir, as tensões σ, definidas abaixo,

[ ]T

Txyyxxyyx

bpMMM

== σσσσσσ (3.37)

são associadas às deformações pela seguinte lei constitutiva elástica isotrópica:

=

b

p

b

p

DC

DC

εε

σ0

0 (3.38)

onde:

( )21 ν−=

EC p (3.39)

( )2

3

1.12

.

ν−=

tEC b (3.40)

( )

−=

2

100

01

01

νν

ν

D (3.41)

Parcela linear

Parcela não-linear

70

sendo:



t – espessura da banda finita

Da expressão 3.39, tira-se:

ppp DC εσ ..= (3.42)

bbb DC εσ ..= (3.43)

=

=

yxy

yxy

yxy

xyx

xyx

xyx

yxy

xyx

II

IIZ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

0000

0000

0000

0000

0000

0000

33

33 (3.44)

3I - matriz identidade 3x3

Sendo, para a banda finita, σx = σxy = 0 (ver figura 3.3), e

( ) ( )xhxh yyy 2.21.1 σσσ += (3.45)

( )b

xxh −= 11 (3.46)

( )b

xxh =2 (3.47)

Com as equações acima, é, agora, possível discretizar a energia potencial π :

∆++= ∫∫

A

bb

V

pp PdAdVTT

.....2

1εσεσπ (3.48)

Energia de deformação

Energia das cargas externas

71

Fazendo as variações em relação aos parâmetros nodais, tem-se a condição de

equilíbrio indiferente (análise linear):

( ) ( ) ( ) 0.......... 22 =++= ∫∫∫ dVdADCdVDCV

pp

A

bbb

V

ppp TTT

εδσδεδεδεδεπδ (3.49)

A estacionaridade da energia potencial total, definida por 0=πδ , onde δ é o

símbolo de variação, poderá conduzir ao equilíbrio necessário ao problema. Esse

critério não é, entretanto, suficiente para definir instabilidade, apenas serve para

definir um ponto estacionário de π , o qual pode representar equilíbrio estável,

neutro ou instável (Gallagher [1975]). A fim de estabelecer o tipo de equilíbrio, a

segunda variação da função deve ser empregada. Entretanto, a instabilidade é

definida pelo carregamento para o qual πδ 2 se anula para que seja positiva-definida

(Dym [1974]), ou para o equilíbrio neutro.

Substituindo em (3.49) os valores das variáveis, anteriormente deduzidos, aplicando-

se as variações em relação aos parâmetros nodais e eliminando os termos de ordem

superior, temos:

∆∆+∆∆= δδδδπδ σ .... 02 KK TT = 0 (3.50)

Chega-se à seguinte condição de instabilidade linearizada:

[ ] 0..0 =∆+∆ δδ σKKT (3.51)

onde:

0K é a matriz dos pequenos deslocamentos, geralmente simétrica.

σK é a matriz tensão inicial, simétrica, que expõe os efeitos de forças membranares.

∫=V

T dVBDBK ... 000 (3.52)

∫=V

T dVGZGK ...σ (3.53)

72

Neste desenvolvimento, considera-se que σK tem distribuição espacial constante

durante a flambagem e é gerada por uma distribuição genérica de tensões para a

qual se deseja conhecer o seu λ (multiplicador crítico), que leva a flambagem da

seção. Rescreve-se a equação (3.51) como:

[ ] 0..0 =∆+ δλ σKK (3.54)

Desta forma, a equação (3.54) é apresentada como um típico problema de autovalor

onde o autovalor se relaciona a carga de flambagem e o autovetor, ao modo de

flambagem.

onde:

λ é o autovalor,

δ∆ é o autovetor, que dá a forma da flambagem da seção.

Na equação 3.13, sabe-se que m é o número de semi-ondas longitudinais de

flambagem. Para a obtenção do menor multiplicador crítico, basta analisar o primeiro

modo de flambagem. Por isto, nas equações que seguem, utilizou-se m=1.

73

a) MATRIZ DE RIGIDEZ DE TENSÃO PLANA LINEAR DA BANDA FINITA

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

−=

4,4

4,33,3

4,23,22,2

4,13,12,11,1

)1(2 20

k

kk

kkk

kkkk

ELtK p

ν (3.55)

k(1,1) = (1/b + (1-ν) bπ2 / 6L2)

k(1,2) = - k(3,4) = (3ν -1) π / 4L

k(1,3) = ( -1/b + (1-ν) bπ2 / 12L2)

k(1,4) = - k(2,3) = (ν + 1) π / 4L

k(2,2) = k(4,4) = (b π2 / 3L2 + (1-ν) / 2b)

k(2,4) = (bπ2 / 6L2 + (1-ν) / 2b)

onde:


L – comprimento da banda finita



b – largura da banda finita

b) MATRIZ DE RIGIDEZ DE FLEXÃO DA PLACA

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

−=

4,4

4,33,3

4,23,22,2

4,13,12,11,1

112 2

3

0

k

kk

kkk

kkkk

ELtK b

ν (3.56)

k(1,1) = k(3,3) = (6 / b3 + 6π2 / 5bL2 + 13 bπ4 / 70L4)

k(1,2) = -k(3,4) = - (3 / b2 + (ν / 2 + 1/10) π2 / L2 + 11 b2π4 / 420 L4)

k(1,3) = (-6 / b3 - 6π2 / 5bL2 + 9bπ4 / 140 L4)

k(1,4) = -k(2,3) = -(3 / b2 + π2 / 10L2 – 13 b2π4 / 840 L4)

k(2,2) = k(4,4) = (2 / b + 2bπ2 / 15L2 + b3π4 / 210 L4)

k(2,4) = (1 / b - bπ2 / 30L2 - b3π4 / 280 L4)

simétrica

simétrica

74

c) MATRIZ DE RIGIDEZ TENSÕES INICIAIS DA BANDA FINITA PARA

CARREGAMENTO MEMBRANAR LONGITUDINAL (ver figura 3.3)

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

=

8,8

8,77,7

8,67,66,6

8,57,56,55,5

00004,4

000003,3

00004,202,2

000003,101,1

1680

. 2

k

kk

kkk

kkkk

k

k

kk

kk

L

tbK

πσ (3.57)

k(1,1) = k(2,2) = 70( 3σy1 + σy2) k(6,6) = b2( 5σy1 + 3σy2)

k(1,3) = k(2,4) = 70(σy1 + σy2) k(6,7) = -2b (6σy1 + 7σy2)

k(3,3) = k(4,4) = 70(σy1 + 3σy2) k(6,8) = -3b2 (σy1 + σy2)

k(5,5) = 8 (30 σy1 + 9σy2) k(7,7) = 24 (3σy1 + 10σy2)

k(5,6) = -2b( 15σy1 + 7σy2) k(7,8) = 2b (7σy1 + 15σy2)

k(5,7) = 54 (σy1 + σy2) k(8,8) = b2 (3σy1 + 5σy2)

k(5,8) = 2b (7σy1 + 6σy2)

As equações que regem a instabilidade de uma estrutura inteira são obtidas

pelo somatório das contribuições de rigidez das várias bandas finitas. Abaixo,

escreve-se, simbolicamente:

∑=n

nKK (3.58)

sendo n o número de bandas finitas.

3.4 – DISCRETIZAÇÃO

A discretização do perfil tipo C foi feita conforme a figura 3.4, onde cada placa

do perfil foi dividida em duas bandas finitas e os cantos são discretizados, cada um,

por uma banda finita.

simétrica

75

Figura 3.4 – Discretização do perfil tipo C, em bandas finitas.

A eficácia desta discretização foi comprovada com a convergência dos

resultados obtidos frente aos resultados teóricos obtidos por outros autores [6,7,8]. A

seguir apresenta-se, para dois perfis C representados nas figuras 3.5a e 3.6a, a

variação do multiplicador crítico para uma compressão uniforme de tensão unitária

na seção em relação ao número de bandas finitas utilizado por placa da seção

(NBP).

O multiplicador crítico, λcr, apresentado nos gráficos, figuras 3.5b e 3.6b, equivale ao

menor entre os mínimos primário e secundário conforme explicado no parágrafo 3.5.

Após várias verificações conforme nos gráficos λcr x NBP (figuras 3.5 e 3.6),

observa-se que, a partir de NBP=2, o valor do multiplicador crítico praticamente não

se altera. Concluindo, foram adotadas duas bandas finitas por placa no restante do

trabalho.

yu

zu

1

2

3

45

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

456

5

7

8

9

8

3

10 12

13

14

11

76

(b)

Figura 3.5 – Perfil CLC/3 – 120 x 60 – estudo da variação do número de bandas

finitas por placa.

Variação de λλλλcr segundo o NBP

30

32

34

36

38

40

1 2 3 4 5

Número de bandas/placa

λλλλcr

y

z

r

Gfy = 220,3 Mpa

Comprimento (L) = 2999,74

r = 2,76

Espessura (t) = 1,156

17,04

81,08

156,97

(a)

77

(b)

Figura 3.6 – Perfil CLC/2.2 – 120 x 60 – estudo da variação do número de bandas

finitas por placa.

Variação da λλλλcr segundo NBP

37

38

39

40

41

1 2 3 4 5

No de bandas / placa

λλλλcr

y

z

r

G

80,82

156,36

18,49

(a)

fy = 219,4 Mpa

Comprimento (L) =1847,09

r = 2,99

Espessura (t) = 1,229

78

3.5 – ANÁLISE DA INSTABILIDADE LOCAL

Uma seção em ‘C’ é obtida a partir de uma seção em ‘U’ adicionando-se, nas

extremidades das abas, uma placa suplementar de largura b3, ver figura 3.7a. O

objetivo desta terceira placa é de aumentar a rigidez da aba. Este aumento de

rigidez na placa 2 é tão mais eficaz quanto a placa 3, enrijecedor, é suficiente para

manter seus bordos comuns retos durante a flambagem da seção. As figuras 3.7b,

3.7c e 3.7d mostram os diferentes modos de flambagem de uma seção C segundo a

relação da largura da placa 3 e a largura da placa 1, b3/b1.

Vê-se, intuitivamente, que se a placa 3 não é suficientemente rígida para impedir

todo deslocamento no bordo comum às placas 2 e 3, o conjunto torce ao redor do

bordo comum às placas 1 e 2, o que é uma característica do modo local distorcional

mostrado na figura 3.7b.

Se, ao contrário, a placa 3 é suficientemente rígida, o bordo comum às placas 2 e 3

não se desloca, caracterizando o modo local, ilustrado na figura 3.7c.

Quando a placa 3 é muito grande, a flambagem da seção é atribuída à flambagem

prematura da placa 3, figura 3.7d.

A fim de poder estudar o modo local distorcional por meio do método das

bandas finitas, é necessário desprezar a hipótese de PRZEMIENIECKI, onde os

bordos comuns permanecem retos durante a flambagem e, por conseqüência, as

deformações no plano devem ser inclusas na formulação da banda finita.

79

Figura 3.7 – A geometria e os modos locais de flambagem de uma seção C,

BATISTA[3].

A figura 3.8 mostra a influência da relação b3/b1 sobre o coeficiente da aba k2,

com o comprimento L de semi-onda de flambagem. Nota-se que as curvas possuem

dois mínimos locais identificados pelos pontos A e B, chamados de mínimo primário

e mínimo secundário, respectivamente. Os modos de flambagem correspondentes

ao mínimo são o modo local, para o ponto A, e o modo local distorcional, para o

ponto B. O modo de instabilidade que governa a flambagem da seção é sempre

b

b

b

1

2

3

b / b3 1

b / b3 1

b / b3 1

> 0,3

< 0,3

< 0,1

0,1 <

Geometria

Modo local distorcional

Modo local

Modo localFlambagem prematura da placa 3

R a

z ã

o

b3 /

b1

c r

e s

c e

(d)

(c)

(b)

(a)

80

aquele que corresponde ao menor dos dois mínimos e, no caso desta figura, a

seção sofre instabilidade pelo modo local de flambagem. Para as relações

geométricas utilizadas, nota-se que o fato de dobrar a largura, b3, do enrijecedor,

não muda em nada quanto ao mínimo primário.

Figura 3.8– Influência do enrijecedor na flambagem da aba de uma seção C

uniformemente comprimida, [43].

Na figura 3.9 mostra-se a influência da relação b2/b1 em relação a uc kk 11 / com

uma variação de b3/b1, onde ck1 e uk1 são os coeficientes de flambagem da placa 1

da seção C e da seção U correspondente (sem o enrijecedor da aba),

respectivamente. Observa-se que o papel do enrijecedor é tão mais importante

quanto maior a relação b2/b1. Para melhor compreender a contribuição desta figura,

apresentam-se os seguintes comentários, tirados da referência [16]. Para as

relações b3/b1 que vão até 0,1, aproximadamente, o enrijecedor não tem rigidez à

flexão suficiente para apoiar a extremidade da aba e o modo de flambagem local

distorcional é o que governa. Para as relações b3/b1 que vão de 0,1 a 0,3,

2

k

0

2

4

26

8

10

0 4 8 12 16 20L / b

1b

b2b3

b2

/ t = 60

b / b1 2

= 2

Modo Local Modo Local-Distorcional

Mínimo Primário

Mínimo Secundário

A

B

B

b3

/ b1

b3

/ b1

= 0,213

= 0,1065

81

aproximadamente, o enrijecedor possui uma rigidez à flexão suficiente para impedir

todo deslocamento lateral da extremidade da aba e o modo de flambagem local é o

que governa. Para relações b3/b1 maiores que 0,3, a instabilidade da seção é

atribuída à flambagem prematura do enrijecedor

Figura 3.9 – Influência do enrijecedor na flambagem da alma para seções C

uniformemente comprimidas, [36].

O comprimento de flambagem, L, tem grande influência sobre o valor da

tensão crítica, σcr. Para cada valor de L, a tensão crítica, σcr, é calculada pela

resolução do problema de autovalor (3.54). A seguir apresenta-se esta variação

para um perfil submetido a carga centrada de seção transversal C.

b / b3 1

b1

/ t =100

b / b2 1

b / b2 1

b / b2 1

b / b2 1

b / b2 1

k1c

/ k1u

1

2

3

4

5 = 1,0

= 0,8

= 0,6

= 0,5

= 0,3

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

82

Figura 3.10 – Variação da tensão crítica de flambagem da seção e flambagem global

de uma coluna de seção C, sob compressão uniforme, com o

comprimento de semi-onda correspondente, L, obtida por meio do

método das bandas finitas, segundo HANCOCK [27].

As dimensões da seção são dadas no mesmo gráfico. Os resultados são

obtidos segundo um cálculo de instabilidade linear com o método numérico das

bandas finitas, em que os bordos comuns das placas que constituem o perfil são

livres para se deslocarem transversalmente ao eixo da coluna.

Tem-se, neste caso, uma representação de quatro modos diferentes de instabilidade

identificados pelas regiões numeradas de I a IV. Os pontos A e B correspondem aos

mínimos primário e secundário dos modos de flambagem de uma coluna curta, ou

seja, o modo local (região I) e o modo local-distorcional (região II), respectivamente.

0 50 100 500 1000 5000

σcr (MPa)

0

100

200

300

400

500

600

III

80

30 10

10

AB C

D

III IV

Espessura = 1,5 mm

Comprimento da semi-onda, L(mm)

I - Flambagem localII - Flambagem local distorcionalIII - Flambagem por flexo-torcaoIV - Flambagem por flexão

83

O comportamento de instabilidade por flambagem de coluna se produz a partir dos

grandes comprimentos correspondentes ao ramo descendente da curva à direita.

Sobre este ramo, podem-se distinguir dois tipos de modos de flambagem: de flexo-

torção (região III) para os comprimentos de até 1800 mm, aproximadamente, ponto

D da curva, e o de flexão (região IV) para comprimentos maiores que 1800 mm. Os

valores obtidos para a tensão crítica de flambagem global são muito próximos dos

fornecidos por TIMOSHENKO [67].

Embora esta figura represente as tensões críticas da estrutura perfeita, ela pode

servir para uma introdução do conceito da interação entre a flambagem local da

seção e a flambagem global da coluna. Se o mínimo primário, ponto A, é o menor,

será o modo de instabilidade por flambagem local que governará a flambagem da

seção no caso particular desta figura. O ponto C, situado sobre o ramo descendente

da curva, representa o comprimento para o qual a tensão crítica de flambagem por

flexo-torção da coluna é igual à tensão crítica de flambagem local da seção.

Portanto, o comprimento correspondente ao ponto C deve caracterizar, de uma certa

forma, o centro de uma região onde existe uma forte interação entre a flambagem

local da seção e a flambagem global da coluna.

Esta interação leva a uma diminuição da resistência da coluna com relação à sua

flambagem na ausência da flambagem local da seção. Para os comprimentos de

colunas muito menores que aqueles correspondentes ao ponto C, a tensão crítica de

flambagem local é muito menor que a tensão de flambagem global da coluna, a

flambagem local precederá ao fenômeno da instabilidade global, enquanto que, para

os comprimentos de coluna maiores que aquele correspondente ao ponto C, a

flambagem local da seção ocorreria posteriormente à flambagem global. Ainda

assim, neste último caso, a flambagem local pode preceder à flambagem global para

comprimentos L um pouco maiores que o correspondente ao ponto C, conforme

explicado a seguir.

84

As imperfeições geométricas (globais e locais) e estruturais (tensões residuais e

dispersão do limite elástico) levam ao começo prematuro da flambagem local em

relação ao valor teórico, ponto A. De uma parte, a imperfeição geométrica do eixo

da coluna conduz a uma amplificação considerável da tensão de compressão das

placas do perfil situadas no lado côncavo da deformada da coluna; de outra parte, as

imperfeições geométricas locais e as tensões residuais são responsáveis pela

flambagem local prematura da seção em relação à tensão crítica ideal de

flambagem.

A possibilidade de ocorrer flambagem local, com ou sem distorção, dependerá

das características geométricas da seção do perfil e suas relações, bem como do

gradiente de tensões aplicado ao perfil.

Na figura 3.9, apresentou-se um gráfico UC kk 11 / x b3/b1 [61], para diversos valores de

b2/b1 (relação alma x aba), no caso particular de compressão uniforme.

Complementando o estudo desenvolvido por esses pesquisadores[61],

apresentamos, nas figuras 3.12 a 3.15, gráficos λC/λU x b3/b1, para diversos valores

de b2/b1, em diferentes situações de carregamento. Onde λC é o multiplicador da

tensão crítica σcr equivalente ao menor entre os mínimos primário e secundário,

ponto A ou ponto B de um gráfico conforme a figura 3.10, para uma seção tipo C.

Sendo λU o valor correspondente à mesma seção transversal, analisada

anteriormente, sem os enrijecedores de bordo, seção tipo U. Os gráficos acima

mencionados, figuras 3.12 a 3.15, são obtidos com auxílio do programa BANFIN,

desenvolvido nesta tese.

O programa BANFIN é um programa de instabilidade de elementos de banda finita

para obtenção do multiplicador crítico de flambagem da seção, λ. A partir do

multiplicador crítico, obtém-se a seção efetiva com auxílio das formulações de

larguras efetivas, ver item 3.6.

85

Nos gráficos a seguir encontra-se traçada uma linha divisória para as relações

geométricas, para o perfil dado, que levam a flambagem local ou local com

distorção.

Nos gráficos λc x log(L), mostrados nas figuras 3.12 a 3.15, escolheu-se uma relação

b2/b1=0,3 e duas relações b3/b1 (0,05 e 0,2) que levem, se possível, a diferentes

modos de flambagem.

Plotado sobre cada mínimo das curvas, λc x log(L), encontra-se o perfil C e seu

estado deformado, quando pode-se verificar ou não a distorção sofrida. Ressalta-se,

novamente, que, para curvas com dois mínimos, o menor deles governará o modo

de flambagem.

Na figura 3.11, além da nomenclatura utilizada na geometria do perfil C,

representam-se os esquemas dos gradientes de tensões aplicados à seção, tem-se

que a matriz tensão inicial, σK , é formada pelas tensões apresentadas aqui.

86

Figura 3.11 – (a) Nomenclatura utilizada na geometria do perfil C.

(b) Seção submetida à compressão uniforme.

(c) Seção submetida a uma gradiente de tensão +y.

(d) Seção submetida a uma gradiente de tensão -y.

(e) Seção submetida a uma gradiente de tensão +z.

z

y

b2

b1

b3

C.G.

t

RI

z

yC.G.

-1 MPa-+

z

yC.G.

-1 MPa

-

+

zz

yyC.G.C.G.

-1 MPa-1 MPa --

++

z

yC.G.-1 MPa

-1 MPa

-1 MPa

-1 MPa

-1 MPa

(a)

(b) (c)

(d) (e)

87

Na análise das figuras 3.12 a 3.15, podem-se tirar algumas conclusões

importantes. Com relação à figura 3.12, perfil submetido à compressão uniforme,

observa-se que o ganho de eficiência da seção C em relação à seção U, λC/λU,

aumenta consideravelmente com o aumento da relação b2/b1. Porém, para relações

b2/b1 maiores que 0,8, o limite mínimo recomendado de b3/b1 > 0,1, BATISTA[3], já

não seria suficiente para garantir deformação livre de distorção.

Quando aplicado um gradiente de tensão +y ao perfil, encontra-se um gráfico λC/λU x

b3/b1 com uma aparência bem diversa do anterior. Ainda temos um ganho de

eficiência da seção C em relação à seção U, conforme o aumento da relação b2/b1,

porém, o patamar entre 0,1 < b3/b1 < 0,3, existente no gráfico de tensão uniforme,

não é mais observado para o gradiente +y, e o intervalo 0,1 < b3/b1 < 0,3 já não

garante uma flambagem local sem distorção.

No caso do perfil submetido a uma compressão com gradiente de tensão -y, ao

contrário dos gráficos anteriores, o ganho de eficiência da seção C em relação à

seção U, λC/λU, diminui com o aumento da relação b2/b1. Observa-se uma perda

acentuada de eficiência de b2/b1=0,3 para b2/b1=0,5. Tem-se também, como

característica peculiar deste tipo de gradiente de tensão, flambagem local sem

distorção, o que se comprova nos gráficos λc x log(L) correspondentes.

Novamente, para o gradiente de tensão +z, tem-se um ganho de eficiência da seção

C em relação à seção U, λC/λU, com o aumento da relação b2/b1. E, neste caso,

observa-se um ganho acentuado de eficiência de b2/b1=0,5 para b2/b1=0,3. Pode-se

verificar ser necessária a observação do gráfico específico do gradiente de tensão

+z, para uma orientação correta quanto à melhor relação b3/b1. O limite mínimo para

b3/b1 seria cerca de 0,15 e o limite máximo, de 0,30, para b2/b1< 0,5, não leva a um

ganho prático de eficiência.

88

Figura 3.12 – Modos de instabilidade do perfil C, sob compressão uniforme, com

diferentes tamanhos de enrijecedores.

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

b2/b1 = 0.3

b2/b1 = 0.5

b2/b1 = 0.6

b2/b1 = 0.8

b2/b1 = 1.0 b1/t = 100Tensão Uniforme

u

c

λ

λ

b3 / b1

LocalDistorcional

b3/b1 > 0.02

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

log(L)

λλλλc b1/t=100

b2 / b1 = 0,3

b3 / b1 = 0,05

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

log(L)

λλλλcb1/t=100

b2 / b1 = 0,3

b3 / b1 = 0,2

89

Figura 3.13 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão +y, com


0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

u

c

λ

λ

b2/b1 = 0,3

b2/b1 = 0,5

b2/b1 = 0,6

b2/b1 = 0,8

b2/b1 = 1,0

b1/t = 100

b3 / b1

Gradiente de tensão +y

Local

Distorcional

b3/b1 > 0.02

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

log(L)

λλλλc b1/t=100

b2 / b1 = 0,3

b3 / b1 = 0,05

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

log(L)

λλλλc b1/t=100

b2 / b1 = 0,3

b3 / b1 = 0,2

90

Figura 3.14 – Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão y-, com


0.98

0.99

1.00

1.01

1.02

1.03

1.04

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

u

c

λ

λ

b2/b1 = 0,3

b2/b1 = 0,5

b2/b1 = 0,6

b2/b1 = 0,8

b2/b1 = 1,0

b1/t = 100

b3 / b1

Gradiente de tensão -y

b3/b1 > 0.02

Todos com flambagem local

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

log(L)

b1/t=100

b2 / b1 = 0,3

b3 / b1 = 0,05

λλλλc

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

log(L)

λλλλc b1/t=100

b2 / b1 = 0,3

b3 / b1 = 0,2

91

Figura 3.15 - Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tensão z+, com


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

log(L)

λλλλcb1/t=100

b2 / b1 = 0,3

b3 / b1 = 0,05

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

log(L)

λλλλc b1/t=100

b2 / b1 = 0,3

b3 / b1 = 0,2

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

u

c

λ

λ

b2/b1 = 0,3

b2/b1 = 0,5

b2/b1 = 0,6

b2/b1 = 0,8

b2/b1 = 1,0

b1/t = 100

b3 / b1

Gradiente de tensão +z

LocalDistorcional

b3/b1 > 0.02

92

Aplicando o estudo dos modos de instabilidade a duas séries de perfil C

comerciais, utilizando o Método das Bandas Finitas para compressão uniforme, tem-

se os gráficos σcr x log(L) apresentados nas figuras 3.15 e 3.16.

Abaixo dos gráficos se encontra a geometria do perfil correspondente, variando

somente a espessura das placas. Deste modo, tem-se no gráfico a curva de

flambagem para cada espessura existente na série do perfil.

Para a série C 75, mostrada na figura 3.15, tem-se, a partir da 3a alma, flambagem

com distorção, representadas nas curvas em vermelho.

Na análise da série C 127, mostrada na figura 3.16, tem-se somente a última alma, a

mais espessa, governada pela flambagem local distorcional.

93

(a)

(b)

Figura 3.16 – (a) Modos de instabilidade da série 75 tipo comercial, de perfil C,


(b) Características geométricas da seção.

z

y

40

15

C.G.

t

RI

75

RI = t

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

LOG(L)

TE

NS

ÃO

1

2

3

4

5

CURVA t b1/t

1 1,52 49,34

2 1,90 39,47

3 2,28 32,89

4 2,66 28,20

5 3,04 24,67

94

(a)

(b)

Figura 3.17 – (a) Modos de instabilidade da série 127 tipo comercial, de perfil C,


(b) Características geométricas da seção.

z

y

50

127

17

C.G.

t

RI

RI = t

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 1.5 2 2.5 3

LOG(L)

TE

NS

ÃO

12

3 4

5

CURVA t b1/t

1 1,52 83,55

2 1,90 66,84

3 2,28 55,70

4 2,66 47,74

5 3,04 41,78

6 3,42 37,13

95

3.6 – A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA FINLOC

O cálculo das larguras efetivas considerando-se o perfil formado por placas

isoladas leva a diferentes valores de tensão crítica para cada placa, como se as

placas não interagissem entre si na resistência ao carregamento aplicado, conforme

pôde ser observado no item 2.4 no caso das larguras efetivas calculadas segundo a

norma americana, AISI-90 [1], e a norma européia, EUROCODE [21].

Buscando o aprimoramento do cálculo das larguras efetivas, este trabalho

apresenta o cálculo das mesmas levando-se em conta a influência que cada placa

do perfil exerce sobre a outra (engastamento parcial). Utiliza-se, para isso, o Método

das Bandas Finitas, que fornece o multiplicador de carga λ (equação (3.54)) para a

distribuição de tensões na seção transversal dada pelo elemento finito não-linear de

viga espacial a cada iteração do passo não-linear.

O multiplicador de carga usado, λ, corresponde ao menor dos dois mínimos, primário

e secundário, conforme item 3.5.

Utiliza-se do programa FINLOC, desenvolvido originalmente por

ESTRELLA[20]. A técnica numérica disponível no FINLOC permite seguir a evolução

não-linear da estrutura sob aumento de carga externa até o colapso ou instabilidade.

No presente trabalho, o programa FINLOC foi acrescentado de uma subrotina, o

programa BANFIN (ver item 3.5), que, com auxílio do Método das Bandas Finitas,

leva em conta a influência que cada parede da seção do perfil exerce sobre a

vizinha.

A seguir, mostra-se, esquematicamente, o processo para a obtenção das

larguras efetivas considerando-se as placas associadas do perfil.

96

Figura 3.18 – Cálculo das larguras efetivas, considerando as placas associadas.

Seqüência de cálculo das larguras efetivas, considerando a interação entre as

placas que compõe o perfil:

a) Com auxílio do Método das Bandas Finitas, descrito no início deste capítulo,

obtém-se o valor do multiplicador crítico λcr da distribuição de tensões no

elemento finito. Cada placa da seção tem, para tensão crítica, σcr = λcr. σ1, onde

σ1 é a maior tensão de compressão da placa em questão.

b) A seguir tira-se o valor da esbeltez reduzida da placa em serviço, pλ ,

sendo cr

pσ

σλ 1

= = crλ

1. (3.59)

Conclui-se, portanto, que todas as placas possuem o mesmo pλ .

c) Cada placa tem o seu pyλ (esbeltez reduzida da placa na ruína).

1.σλσ

λcr

y

cr

y

py

ff== (3.60)

placacr

yplacapy

f

σλ=λ

crcr

placap

1

λ=

placacrσλ

placacrσλ

λσ

placaσ

=λ

σ2 σ1

σ1

σcr

único

=

=

97

d) Sabendo-se que b

be=ρ (equação 2.11), calcula-se ρ (coeficiente de redução da

largura efetiva) conforme a curva de flambagem escolhida. No algoritmo

desenvolvido neste trabalho, pode-se optar por um dos três caso a seguir:

1) BF-E – obtenção de ρ utilizando-se as curvas do EUROCODE [21]. Ver

tabela 2.2 para placas enrijecidas e tabela 2.3 para as placas não-enrijecidas.

2) BF-M – cálculo de ρ com auxílio da equação 2.41, chamada de curva de

MULLIGAN + WINTER, para placas enrijecidas, ou a curva MULLIGAN +

KALYANARAMAN, equação 2.46 (curva PARÁBOLA + KALYANARAMAN,

equação 2.48) para placas não-enrijecidas.

3) BF-W – cálculo de ρ pela equação 2.21 de WINTER [9], para placas

enrijecidas e placas não –enrijecidas.

e) Com o valor de ρ, tem-se a largura efetiva be. A distribuição das larguras efetivas

be1 e be2, para placas enrijecidas, é feita segundo o EUROCODE [21] (tabela

2.2).

98

CAPÍTULO 4

A INTERAÇÃO ENTRE AS FLAMBAGENS LOCAL E GLOBAL

4.1 – INTRODUÇÃO:

Apresenta-se neste capítulo uma descrição do fenômeno da interação entre

os modos de flambagem local e global de um perfil de paredes finas, visto que um

perfil longo de paredes finas pode sofrer flambagem local de suas paredes e os

modos globais de flambagem, flexão, torção e flexo-torção, dependendo da

geometria e do gradiente de tensão suportado. Caso as cargas críticas dos

diferentes modos de flambagem sejam próximas, tem-se o que se chama de

interação não-linear dos modos de instabilidade. Pretende-se mostrar que, devido a

flambagem local das placas que compõem o perfil, a resistência do perfil à

flambagem global será menor que a mesma resistência sem a presença dos efeitos

locais.

4.2 – DESCRIÇÃO DA INTERAÇÃO ENTRE OS MODOS DE FLAM BAGEM

Neste trabalho, apresenta-se o estudo da interação entre os modos de

flambagem local e global para perfis C submetidos à compressão uniforme ou

compressão excêntrica. A reserva pós-crítica é também considerada, bem como a

deformada inicial. Para ilustrar melhor os efeitos da interação dos modos de

flambagem, apresenta-se a figura 4.1 das curvas de flambagens européias, em

particular, a curva b.

99

Figura 4.1 – Visualização da interação entre a flambagem local e a flambagem global

com auxílio das curvas de flambagem européias [21].

Com relação à figura 4.1, tem-se a seguinte notação:

A – área da seção plena.

Ae – àrea da seção efetiva para uma compressão uniforme igual a fy.

Pruína – carga de ruína da coluna.

Py – carga de ruína plástica (=A.fy).

Pcr – carga crítica de flambagem global da coluna.

χ = y

ruína

P

P - coeficiente de redução à flambagem.

cr

yc P

P=λ - esbeltez reduzida da coluna.

ared – redução da carga de ruína da coluna imperfeita desprezando-se a flambagem

local em relação a uma coluna perfeita.

bred - redução da carga de ruína da coluna imperfeita levando em conta a flambagem

local em relação ao caso da coluna imperfeita desprezando a flambagem local.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Peça longaPeça curta

Euler

Curva b - sem flambagem local

Curva b - com flambagem local

0,2 cr

yc P

P=λ

λ2c

1

=A

A e

y

ruína

P

P=χ

abred

red

100

O gráfico da figura 4.1 apresenta as curvas b, com e sem flambagem local. Para o

caso da curva b com flambagem local escolhe-se, arbitrariamente, a relação de área

efetiva com área plena igual a 0,7. No mesmo gráfico, encontra-se a curva de Euler,

que representa o caso de colunas perfeitas.

Na análise deste gráfico nota-se que, quando se consideram as imperfeições iniciais

da coluna real, a curva “sem flambagem local” apresenta uma diminuição ared maior

em 1=cλ . Conforme o aumento da esbeltez ( maior cλ ) menor a diminuição ared.

Por outro lado, considerando-se a flambagem local da seção do perfil, nota-se que o

patamar das colunas curtas é redefinido para levar em conta a flambagem local das

paredes. A diminuição da carga de ruína devido à interação entre a flambagem local

e a flambagem global é representada por bred que, novamente, é menor quanto

maior é cλ . Este fato pode ser explicado pelo fato da tensão crítica de flambagem

global ser menor conforme o aumento do comprimento da coluna e, desse modo, a

flambagem global da coluna é atingida antes da flambagem local.

Quando há uma coincidência de pelo menos dois modos críticos de

instabilidade, seja em decorrência de variação do comprimento da coluna, de suas

relações geométricas ou da excentricidade da carga, a estrutura chega à ruína por

instabilidade simultânea de seus modos de instabilidade devido às imperfeições

inerentes às estruturas reais. Utiliza-se aqui o conceito geral de “redução”, que é a

perda de resistência da estrutura imperfeita em relação à estrutura perfeita devido às

suas imperfeições. Na referência [26], GIONCU faz tem-se uma completa descrição

do fenômeno e classifica as instabilidades simultâneas segundo a linearidade ou a

não-linearidade da coincidência dos modos de instabilidade, como a seguir:

a) Simultaneidade linear: esse tipo de simultaneidade se produz quando dois modos

estão juntos desde a origem, independentemente da presença das imperfeições.

Como exemplo, tem-se o caso da interação da flambagem por flexão em torno do

eixo forte com a flambagem por torção ao redor do centro de torção (flambagem

por flexo-torção).

b) Simultaneidade não-linear: esse tipo de simultaneidade só se produz para

determinadas proporções geométricas da estrutura e a presença das

imperfeições é indispensável para a simultaneidade. Para estruturas perfeitas,

101

esse tipo de simultaneidade não existe. Tem-se como exemplo deste tipo de

simultaneidade a flambagem por flexão coincidente com a flambagem local das

paredes da seção.

A seguir, apresenta-se a figura 4.2, que traz dois exemplos da redução sofrida

por uma coluna quando esta sofre flambagens simultâneas.

Pft1 – carga crítica de flambagem por flexo-torção.

Pf,y – carga crítica de flambagem por flexão.

Pcr – carga crítica de flambagem global da coluna.

Pcr,s - carga crítica de flambagem local da seção.

Figura 4.2 – Redução da capacidade de resistência do perfil C, devido a flambagens

Simultâneas [26].

Analisando-se a figura 4.2a, verifica-se a redução sofrida pela coluna

imperfeita no ponto que caracteriza a passagem da flambagem por flexo-torção para

a flambagem por flexão, devido à variação dos parâmetros geométricos da coluna.

Observa-se que esta redução é maior na vizinhança do ponto de coincidência entre

os dois modos de flambagem.

PP

(a) (b)

Redução

Pft1f,yP

Pruína

Redução

P

P

Pruína

cr

cr,s

Peça curta Peça longa

parâmetros geométricos parâmetros geométricos

102

A figura 4.2b mostra a redução da resistência da coluna quando o modo de

flambagem local da seção coincide com o modo de flambagem global de coluna, o

que é o objetivo deste capítulo. Novamente, a maior redução se encontra no ponto

coincidente entre as flambagens, e é importante ressaltar que a região onde Pcr,s é

menor que Pruína se deve à resistência pós-crítica de flambagem local da seção. De

fato, a interseção da curva Pcr,s com a curva Pruína marca a mudança de

comportamento de uma coluna curta para uma coluna longa.

Segundo o “princípio do dimensionamento à flambagem simultânea”

defendido por BLEICH-SHANLEY [12], o dimensionamento ótimo de uma estrutura é

atingido quando sua geometria é tal que leva à simultaneidade de, pelo menos, dois

modos de instabilidade. Porém, atualmente, com a teoria geral da instabilidade

simultânea, sabe-se que a coincidência entre dois modos de instabilidade leva a

uma sensibilidade muito grande das imperfeições iniciais da estrutura.

4.3 – O ELEMENTO FINITO

O elemento finito utilizado foi tema do trabalho de DE VILLE [15] (1988), um

estudo muito abrangente que aborda diversos tipos de elementos finitos, até a

adoção do elemento finito de viga espacial tipo MARGUERRE com as principais

características descritas adiante.

Em 1993, ESTRELLA [20], fez uso deste elemento finito criando o programa FINLOC

de análise de diversos perfis dobrados de paredes finas.

Neste estudo [20] foi introduzido no elemento finito de DE VILLE[15] a seção

transversal variável, que se faz necessária para levar em conta a flambagem local

das paredes do perfil por meio do método das larguras efetivas, isto é, a variação da

largura efetiva, que é a atualização da mesma para cada passo do cálculo não-

linear.

103

No presente trabalho, o elemento finito de DE VILLE[15], adaptado por

ESTRELLA[20], é somente uma ferramenta utilizada. Para maiores detalhes do

desenvolvimento do elemento mencionado, as referências [15] e [20] podem

esclarecer quaisquer dúvidas.

A seguir, outras características deste elemento finito de viga espacial do tipo

deslocamento são descritas:

a) A seção transversal do elemento finito é constituída por paredes finas;

b) A seção pode ser assimétrica de maneira que, o centro de gravidade e o centro

de torção podem ser dois pontos distintos;

c) O empenamento da seção é levado em conta por um sétimo grau de liberdade,

que permite simular corretamente a flambagem por flexo-torção de perfis de

seções abertas;

d) Este elemento finito tem a característica de eliminar os fenômenos de “membrane

locking” e de “bending locking”, que são próprios dos elementos finitos de casca

e viga.

Segundo DE VILLE [15], são seis as hipóteses básicas para o desenvolvimento

de seu elemento finito de viga espacial:

1) Na flexão pura, a seção transversal permanece plana e perpendicular ao eixo

deformado da viga. Esta hipótese de BERNOULLI despreza a energia de

deformação por cisalhamento.

2) Na torção simples, a seção transversal é submetida a um empenamento

proporcional ao aumento do ângulo de torção. Esta hipótese de VLASSOV [70]

despreza a energia de deformação induzida pelo cisalhamento de empenamento

da seção.

104

3) As deformações são pequenas e as rotações são moderadas. O tensor das

deformações de VON KARMAN [71] é adotado.

4) A seção é transversalmente indeformada.

5) A viga é prismática. Os tipos de seções utilizadas são as seções abertas ou

fechadas de paredes finas.

6) As seções podem ser assimétricas, de maneira que o centro de gravidade e o

centro de torção podem ser dois pontos distintos (ver figura 4.3).

Figura 4.3 – Característica da seção assimétrica.

C

G

w(x)

v(x)

z

y

x, u(x)

G - centro de gravidade

C - centro de torção

ψ(x)

105

CAPÍTULO 5

RESULTADOS

5.1 – INTRODUÇÃO

Neste capítulo, é feita uma comparação dos resultados experimentais

realizados por MULLIGAN[43] de vigas-colunas de paredes finas submetidas à

compressão centrada e excêntrica, seção transversal do tipo C, com os resultados

numéricos achados com o elemento de viga espacial de seção variável levando

em conta as flambagem de suas paredes por meio do método das larguras

efetivas, programa FINLOC, com a introdução do método das bandas finitas para

o cálculo da tensão crítica da seção, isto é, de maneira a considerar a interação

entre as paredes do perfil. Apresenta-se, também, uma ilustração da visualização

em 3-D das deformadas de um perfil estudado, com auxílio do pós-processador

gráfico POS-3D, desenvolvido na PUC-Rio. Por fim, empreendeu-se um estudo

sobre a influência da deformada inicial na carga de ruína.

Considera-se como critério para a carga de ruína os seguintes casos: ruína

no regime elástico, isto é, instabilidade sem que ocorra a plastificação ou quando

a ruína é atingida pelo início da plastificação da parte mais comprimida da seção.

Adota-se, portanto, para o aço, uma lei elasto-plástica perfeita.

Nos ensaios numéricos, foram consideradas as seguintes condições de

apoio nas extremidades dos perfis: na flexão, as extremidades são consideradas

rotuladas e na torção, as extremidades são consideradas engastadas, isto é,

empenamento impedido nas extremidades.

Nas tabelas e gráficos apresentados neste capítulo, as dimensões são

dadas em milímetros (mm) e as cargas críticas e de ruína em quiloNewtons (kN).

106

MULLIGAN[43] estudou a estabilidade de diversas colunas de seção C e

outras seções transversais e, com essa finalidade, foram medidas as

características geométricas como as dimensões das seções, o comprimento das

peças e as deformadas iniciais globais, desvios na retidão da coluna, e as

deformadas iniciais locais, desvios no plano de placas que compõem o perfil, isto

é, irregularidades da geometria da seção transversal. A figura 5.1a mostra as

notações das características geométricas da seção transversal e seus respectivos

valores são dados na tabela 5.1. Nas tabelas, a notação para identificação das

colunas é a seguinte:

Colunas Longas –

CLC/2-120x60 = Column Lipped Channel (coluna em perfil C) – bp1/t x bp2/t

CLC/2 – 120x60 = carga centrada

CLC/2.1 – 120x60 = carga excêntrica

MULLIGAN[43] utilizou as recomendações da Structural Stability Research Council

(SSRC) para caracterizar as colunas como curtas ou longas. O comprimento, L, de

uma coluna para que seja longa é L > 20 rmin, onde rmin é o raio de giração mínimo

da seção transversal.

Os valores das tensões de escoamento dadas na tabela 5.1 são a média dos

ensaios de tração realizados em amostras retiradas da chapa antes da dobragem

do perfil. Portanto, a tensão de escoamento utilizada nos cálculos numéricos é a

tensão de escoamento do material de base.

A figura 5.1a representa as características geométricas dos perfis do tipo C

mencionados neste capítulo, onde tem-se também:

G – centro de gravidade da seção plena (antes do início da flambagem local);

P – ponto de aplicação da carga;

yp – excentricidade da carga aplicada.

Os perfis submetidos à carga excêntrica têm seu ponto de aplicação da carga

situado sobre o eixo de simetria y com zp=0 e yp≠0, ver figura 5.1a.

107

MULLIGAN[43] dimensionou os enrijecedores de bordo da aba da seção C para

satisfazerem as condições de DESMOND[16] , que se baseia na adoção de uma

“inércia adequada” para o enrijecedor. Porém, de acordo com o apresentado no

parágrafo 3.5, a eficácia do enrijecedor é máxima quando a razão b3/b1 se situa

entre 0,1 e 0,3, aproximadamente. A tabela 5.1 mostra que esta relação é menor

que 0,1 para muitos perfis. Para evitar a flambagem local-distorcional e verificar

sua influência na carga de ruína, algumas colunas receberam contraventamento

como se mostra na figura 5.1b. A peça de contraventamento consiste de uma

cantoneira ½” x ½” x t, perpendicular ao eixo longitudinal e soldada nas duas

extremidades de borda. Os perfis contraventados estão em negrito nas tabelas.

Na figura 5.2a é apresentada a discretização do perfil em quatro elementos finitos.

De acordo com ESTRELLA[20], cada elemento finito possui 3 pontos de

integração no sentido longitudinal e as larguras efetivas são calculadas com as

tensões da seção de integração situada no meio do elemento finito. A figura 5.2b

mostra o sistema de eixos com as direções das deformadas iniciais.

Na análise não-linear é importante a deformada inicial para a obtenção da curva

carga x deslocamentos. Sendo y o eixo de simetria da seção, as deformadas dz,

positivas e negativas, são indiferentes ao cálculo do perfil. Porém, para a

deformada dy , a direção positiva ou negativa, requer um estudo da carga de ruína

do perfil para se conhecer a direção desfavorável de dy, o que se pretende

mostrar adiante.

108

Figura 5.1 – As características geométricas do perfil C e do contraventamento [43].

Características geométricas;

Contraventamento das extremidades abertas da coluna.

z

y

W b

b

t

r

PG1 p1

p

3bp3

p2

2

(a)

(b)Solda

L 1/2" x 1/2" x t

p1

1b

W3b

2W

b

L - Comprimento

Espaçados de b mm

109

PERFIL bp1/t x bp2/t

W1

W2

W3

t

r

b3/b1

L

yp

fy

CLC/1.1-120X30 154,79 41,66 9,19 1,224 2,10 0,06 456,18 5,16 226,1

CLC/1-120X60

156,57 81,10 18,11 1,135 2,78 0,11 1524,0 0,00 223,4

CLC/2-120X60 155,98 81,08 17,04 1,143 2,72 0,11 1829,3 0,00 220,3

CLC/2.1-120X60 156,77 80,54 18,03 1,204 3,06 0,11 1828,8 13,61 219,4

CLC/2.2-120X60 156,36 80,82 18,49 1,229 2,99 0,12 1847,1 13,56 219,4

CLC/2.3-120X60 156,16 80,85 18,08 1,209 3,01 0,11 1845,6 -24,94 219,4

CLC/2.4-120X60 155,96 81,05 18,14 1,209 2,96 0,11 1828,8 5,39 223,9

CLC/3-120X60 156,97 81,08 17,04 1,156 2,76 0,11 2999,7 0,00 220,3

CLC/4-120X60 155,37 81,20 17,63 1,153 2,81 0,11 2997,2 0,00 220,3

CLC/5-120X60 156,57 80,49 18,29 1,219 2,95 0,11 1828,8 0,00 223,9

CLC/1-180X60 231,57 81,25 17,27 1,143 2,72 0,07 1752,9 0,00 224,7

CLC/2-180X60 231,98 81,13 17,48 1,138 2,82 0,07 2339,9 0,00 223,4

CLC/2.1-180X60 232,77 80,70 17,96 1,214 2,75 0,07 2338,1 10,77 241,2

CLC/2.2-180X60 231,19 80,95 18,82 1,222 2,74 0,08 2339,1 10,08 236,8

CLC/3-180X60 232,18 81,13 17,37 1,123 2,69 0,07 2921,0 0,00 223,4

CLC/4-180X60 230,58 81,25 18,44 1,229 2,94 0,08 2337,6 0,00 227,9 CLC/1-90X90 114,71 113,79 19,76 1,229 2,99 0,17 2442,5 0,00 236,8

CLC/1-180X90 222,05 114,20 19,94 1,214 2,90 0,09 1830,6 0,00 219,4

CLC/2-180X90 222,83 113,69 19,46 1,212 3,00 0,09 2440,2 0,00 244,2

CLC/2.1-180X90 221,46 113,89 19,46 1,207 2,65 0,09 2439,2 13,23 227,9

CLC/2.2-180X90 222,25 114,10 19,63 1,224 2,94 0,09 2443,2 13,08 236,8

CLC/3-180X90 222,66 114,00 19,13 1,222 2,99 0,08 2442,5 0,00 233,4

Notas: - Em negrito – extremidade contraventada (figura 5.1b). - CLC/2 – Carga concentrada. - CLC/2.1 – Carga excêntrica. - Unidades em mm. - L – comprimento da coluna. - yp – excentricidade do ponto de aplicação da carga. - fy – tensão de escoamento em MPa (N/mm2).

Tabela 5.1 – Características geométricas e mecânicas das colunas.

110

5.2 – ANÁLISE DOS RESULTADOS

Conforme apresentado na introdução deste capítulo, faz-se aqui uma

comparação dos resultados numéricos encontrados com a utilização do método

das bandas finitas para perfis tipo C, com resultados numéricos obtidos por

ESTRELLA[20] e os resultados experimentais de MULLIGAN[43]. MULLIGAN[43]

ensaiou 24 perfis do tipo C, conforme listados nas tabelas 5.3 e 5.4, porém

somente 12 perfis tiveram suas flechas máximas medidas, ver tabela 5.2. A partir

das flechas máximas obtidas na referência [8], calculam-se, numericamente, as

deformadas iniciais de cada perfil utilizando uma função tipo senóide.

Na tabela 5.2, além dos valores das flechas máximas obtidos por

MULLIGAN[43], nos eixos y e z, estão representados os resultados de carga de

ruína experimental dos ensaios de MULLIGAN[43] para esta série de perfis com

imperfeições iniciais medidas. A importância das deformadas iniciais na carga de

ruína dos perfis de chapa dobrada será abordada no item 5.3.

Além disso, na tabela 5.2 encontra-se a carga de ruína numérica, PR, utilizando

BF-M, resultado do estudo do presente trabalho, pelo programa FINLOC com o

auxílio do método das bandas finitas e da equação de MULLIGAN + WINTER ou

MULLIGAN + KALYANARAMAN para o cálculo do coeficiente de redução da

largura efetiva ρ ( ver item 3.6).

Nesta tabela (5.2), encontram-se dois valores de carga de ruína numérica

desprezados nas estatísticas, valores com o símbolo #, pela razão exposta a

seguir. Verificando-se as propriedades geométricas dos perfis CLC/2.1-120x60 e

CLC/2.2-120x60, tabela 5.1, pode-se considerá-los praticamente idênticos, porém

111

CLC/2.1-120x60 é um perfil contraventado. A análise dos valores de carga de

ruína experimental (Pexp) e numérica (PR) para esses dois perfis leva às seguintes

conclusões:

- o perfil sofreu distorção, uma vez que o valor de Pexp é bem menor para o perfil

sem contraventamento.

- é necessário desprezar o valor de PR para o perfil não contraventado, isto

porque o programa FINLOC com o método das bandas finitas não leva em conta a

distorção do conjunto aba/enrijecedor de bordo, ver item 2.4.4, obtendo um valor

de PR maior que o Pexp para o perfil não contraventado, embora ele tenha sofrido

distorção, como provam os resultados experimentais.

O mesmo raciocínio acima exposto pode ser feito para o caso dos perfis CLC/2.1-

180x90 e CLC/2.2-180x90, quando desprezou-se o valor de carga de ruína

numérico do perfil CLC/2.2-180x90.

Analisando-se os resultados comparativos desta tabela Pexp/PR chega-se a valores

levemente conservativos, mostrando uma boa relação entre eles.

Na tabela 5.3 tem-se a relação dos 24 perfis de seção tipo C ensaiados por

MULLIGAN[8]. Como nessa tabela incluíram-se os perfis que não tiveram suas

flechas máximas medidas, optou-se por adotar uma flecha máxima padrão para

todos os perfis, L/1000, onde L é o comprimento do perfil, sendo aqui adotado um

sinal (+ ou -) da flecha inicial mais desfavorável à frente do resultado numérico.

Conforme a tabela anterior, apresentam-se os resultados experimentais dos

ensaios de MULLIGAN[8] e a carga de ruína numérica (BF-M), e também

incluem-se os resultados numéricos BF-E e BF-W (ver item 3.6).

Os perfis com valores de PR desprezados nas estatísticas, com o símbolo # à

frente do número, são os mesmos apresentados na tabela anterior e, pelas

mesmas razões, CLC/2.2-120x60 e CLC/2.2-180x90. Porém, encontra-se, nessa

tabela, um outro perfil (CLC/1-90x90) que teve seu resultado descartado, o

símbolo * está à frente do número. Todos os perfis foram considerados com

empenamento impedido, mas o perfil CLC/1-90x90 é um perfil quadrado e suas

112

características geométricas favorecem uma flambagem por flexo-torção. Como a

condição de apoio em torção é importante, isto é, empenamento impedido ou

empenamento livre nas extremidades, apesar do platô da máquina de ensaio ser

rígido, a flambagem local nas extremidades do perfil pode deteriorar a condição de

apoio de empenamento impedido e a real condição de apoio pode ser

intermediária entre empenamento livre e impedido.

Na comparação dos resultados obtidos, tem-se valores conservativos, porém, de

bom acordo com os resultados experimentais, e observa-se também que os

resultados com o método das bandas finitas com MULLIGAN (BF-M) dão os

melhores resultados, menos conservativo que os outros, mas ainda conservativo.

Na tabela 5.4, faz-se uma comparação dos resultados experimentais de

MULLIGAN[43], os resultados com o método das bandas finitas (BF-M) e os

resultados obtidos por ESTRELLA[20], Eurocode, AISI-90 e AISI 90*. Os

resultados de ESTRELLA[20] foram obtidos com o programa FINLOC sem o

emprego do método das bandas finitas e aqui encontram-se seus resultados

baseados no EUROCODE (EURO) e no AISI-90, ambos sem levar em conta a

eficácia do enrijecedor. ESTRELLA[20] introduziu a eficácia do enrijecedor

preconizada pelo AISI-90, com seus resultados aqui denominados AISI-90*.

Nessa tabela, adotaram-se as flechas máximas iguais a L/1000 e o sinal à frente

dos resultados significa o sentido desfavorável das mesmas. Os valores

desprezados nesta tabela são para os mesmos perfis da tabela 5.3 e pelos

mesmos motivos.

Nesta tabela, pode-se notar, novamente, resultados conservadores e bem

próximos entre si. O AISI-90* leva a melhores resultados quando há distorção,

mas, na média, não apresenta diferença apreciável.

114

Flechas Máximas (mm) PERFIL bp1/t x bp2/t

dyL dzL

Pexp

(kN)

BF-M

PR (kN) Pexp/PR

CLC/2.1-120X60 1,0662 0,5084 45,8 40,5 1,13 CLC/2.2-120X60 0,3048 0,4322 38,9 40,9 0,95# CLC/2.3-120X60 0,9652 0,5850 30,0 25,9 1,16 CLC/2.4-120X60 1,1430 0,5340 55,2 46,7 1,18 CLC/4-120X60 1,6005 0,2787 37,4 34,9 1,07 CLC/5-120X60 1,1430 0,1518 52,5 44,6 1,18 CLC/2-180X60 0,9664 0,4071 38,9 33,9 1,15 CLC/2.1-180X60 1,7278 0,5331 46,3 40,2 1,15 CLC/2.2-180X60 0,8631 0,1778 44,5 40,8 1,09 CLC/4-180X60 1,9051 0,5844 48,0 38,3 1,25 CLC/2.1-180X90 1,8050 0,7366 55,6 47,0 1,18 CLC/2.2-180X90 0,3567 0,4325 38,9 49,4 0,79#

Média 1,15 Desvio Padrão 0,05

Coef. de Variação (%) 4,38 Notas: - Em negrito – extremidade contraventada. - CLC/2 – Carga concentrada. - CLC/2.1 – Carga excêntrica. - Ruína limitada pelo começo da plastificação ou em regime elástico. - # - Resultado desprezado – o MBF não leva em conta a distorção do conjunto aba/enrijecedor

Tabela 5.2 – Resultado das colunas com deformações iniciais medidas.

115

Pr (kN) Pexp/Pr PERFIL bp1/t x bp2/t

Pexp

(kN) BF-E BF-M BF-W BF-E BF-M BF-W CLC/1.1-120X30 35,6 30,2+ 30,8- 28,9+ 1,18 1,16 1,24 CLC/1-120X60

43,6 38,9+ 39,1+ 39,2+ 1,12 1,12 1,08 CLC/2-120X60 46,3 38,1+ 38,4+ 38,3+ 1,22 1,21 1,16 CLC/2.1-120X60 45,8 36,1- 37,2- 35,6- 1,24 1,23 1,20 CLC/2.2-120X60 38,9 37,6- 38,8- 36,4- 1,03# 1,00# 1,07# CLC/2.3-120X60 30,0 25,4+ 25,7+ 25,7+ 1,18 1,17 1,16 CLC/2.4-120X60 55,2 43,6- 45,5- 41,3- 1,27 1,22 1,29 CLC/3-120X60 36,5 32,9+ 33,3+ 32,5+ 1,11 1,10 1,05 CLC/4-120X60 37,4 33,2+ 33,3+ 32,9+ 1,13 1,12 1,12 CLC/5-120X60 52,5 43,7+ 43,5+ 43,5+ 1,20 1,21 1,17 CLC/1-180X60 42,7 34,3+ 34,5+ 34,7+ 1,24 1,24 1,18 CLC/2-180X60 38,9 32,1+ 32,2+ 31,9+ 1,21 1,21 1,15 CLC/2.1-180X60 46,3 37,9- 39,5- 35,2- 1,22 1,17 1,30 CLC/2.2-180X60 44,5 38,1- 40,3- 36,5- 1,17 1,10 1,20 CLC/3-180X60 33,8 28,3+ 28,8+ 28,3+ 1,19 1,17 1,15 CLC/4-180X60 48,0 37,7+ 37,9+ 37,6+ 1,27 1,27 1,25

CLC/1-90X90 48,9 54,7- 56,7+ 53,5- 0,89* 0,86* 0,91* CLC/1-180X90 54,7 45,2+ 45,3+ 45,2+ 1.21 1,21 1,18 CLC/2-180X90 53,8 46,7+ 46,7+ 46,8+ 1,15 1,15 1,12 CLC/2.1-180X90 55,6 44,7- 46,3- 42,9- 1,24 1,20 1,31 CLC/2.2-180X90 38,9 46,7- 48,8- 44,2- 0,83# 0,80# 0,88# CLC/3-180X90 52,5 45,9+ 46,0+ 45,9+ 1,14 1,14 1,14

Média 1,20 1,18 1,21 Desvio Padrão 0,05 0,05 0,07

Coef. de Variação (%) 4,11 4,07 5.43 Notas: - Em negrito – extremidade contraventada. - CLC/2 – Carga concentrada. - CLC/2.1 – Carga excêntrica. - Ruína limitada pelo começo da plastificação ou em regime elástico. - (xx,x+) – Deformada inicial desfavorável no sentido positivo de y (coord. local). - (xx,x -) – Deformada inicial desfavorável no sentido negativo de y (coord. local). - Deformada inicial igual a L/1000 no sentido desfavorável de y e z. - # - Resultado desprezado – o MBF não leva em conta a distorção do conjunto aba/enrijecedor - * - Perfil quadrado – condição de apoio quanto à torção é duvidosa.

Tabela 5.3 – Resultado comparativo entre os métodos utilizados.

116

Pr (kN) Pexp / Pr PERFIL

bp1/t x bp2/t

Pexp

(kN) EURO AISI-90 AISI-90* BF-M EURO AISI-90 AISI-90* BF-M

CLC/1.1-120X30 35,6 39,2- 37,8- 29,4- 30,8- #0,91 #0,94 1,21 1,16

CLC/1-120X60

43,6 39,8+ 39,0+ 38,9+ 39,5+ 1,10 1,12 1,12 1,12

CLC/2-120X60 46,3 37,9+ 37,4+ 37,4+ 38,4+ 1,22 1,24 1,24 1,21

CLC/2.1-120X60 45,8 40,6- 39,2- 31,4- 37,2- 1,13 1,17 $1,46 1,23

CLC/2.2-120X60 38,9 41,8- 41,9- 34,0- 38,8- #0,93 #0,93 1,15 1,00#

CLC/2.3-120X60 30,0 26,9+ 26,7+ 26,7+ 25,7+ 1,12 1,12 1,12 1,17

CLC/2.4-120X60 55,2 48,7+ 47,8+ 42,4- 45,5+ 1,13 1,15 $1,30 1,21

CLC/3-120X60 36,5 32,1+ 31,6+ 31,6+ 33,3+ 1,14 1,15 1,15 1,10

CLC/4-120X60 37,4 32,1+ 31,4+ 31,4+ 33,3+ 1,16 1,19 1,19 1,12

CLC/5-120X60 52,5 43,8+ 42,6+ 42,6+ 43,5+ 1,20 1,23 1,23 1,21

CLC/1-180X60 42,7 36,2+ 35,5+ 35,5+ 34,5+ 1,18 1,20 1,20 1,24

CLC/2-180X60 38,9 33,5+ 32,7+ 32,7+ 32,2+ 1,16 1,19 1,19 1,21

CLC/2.1-180X60 46,3 51,3+ 48,3- 37,2- 39,5- 0,90 0,84 $1,24 1,17

CLC/2.2-180X60 44,5 50,4+ 48,2+ 44,7- 40,3- #0,80 #0,80 0,99 1,10

CLC/3-180X60 33,8 28,9+ 28,7+ 28,7+ 28,8+ 1,17 1,18 1,18 1,17

CLC/4-180X60 48,0 38,8+ 38,5+ 38,5+ 37,9+ 1,24 1,25 1,25 1,27

CLC/1-90X90 48,9 46,8+ 47,4+ 44,3- 56,7+ 1,03 1,03 1,10 0,86*

CLC/1-180X90 54,7 46,8+ 44,7+ 44,7+ 45,3+ 1,17 1,22 1,22 1,21

CLC/2-180X90 53,8 46,7+ 44,8+ 44,7+ 46,7+ 1,15 1,20 1,20 1,15

CLC/2.1-180X90 55,6 55,6- 51,8- 38,9- 46,3- 1,00 1,07 $1,43 1,20

CLC/2.2-180X90 38,9 60,1- 55,1- 39,2- 48,8- #0,65 #0,71 0,99 0,80#

CLC/3-180X90 52,5 46,4+ 44,2 44,2+ 46,0+ 1,13 1,19 1,19 1,14

Média 1,13 1,15 1,16 1,18

Desvio Padrão 0,08 0,10 0,07 0,05

Coef. de Variação (%) 7,14 8,32 6,36 4,06

Notas: - Em negrito – extremidade contraventada. - CLC/2 – Carga concentrada. - CLC/2.1 – Carga excêntrica. - Ruína limitada pelo começo da plastificação ou em regime elástico. - (xx,x+) – Deformada inicial desfavorável no sentido positivo de y (coord. local). - (xx,x -) – Deformada inicial desfavorável no sentido negativo de y (coord. local). - Deformada inicial igual a L/1000 no sentido desfavorável de y e z. - # - Resultado desprezado – o MBF não leva em conta a distorção do conjunto aba/enrijecedor - * - Perfil quadrado – condição de apoio quanto à torção é duvidosa.

Tabela 5.4 – Resultados das colunas longas.

117

A seguir, apresentam-se alguns gráficos do tipo carga x deslocamento lateral

do nó 3 no sentido do eixo y, figuras 5.3 a 5.9.

Na figura 5.3 tem-se o gráfico do perfil CLC/1 – 120x60, que é um perfil submetido a

um carregamento centrado, sem contraventamento. Nesse gráfico representou-se o

resultado experimental obtido por MULLIGAN[43], os resultados referentes a esta

tese com auxílio do método das bandas finitas com as equações do EUROCODE[21]

(BF-E), MULLIGAN[43] (BF-M) e WINTER[74]. Os resultados referentes a BF-E e

BF-M apresentam um perfil mais rígido no início do carregamento, em relação a BF-

W. Porém, a carga de ruína do perfil pelos três métodos são muito próximas.

Embora o comportamento no gráfico carga x deslocamento apresente diferenças,

esse perfil tem uma boa concordância quanto às cargas de ruína teórica e

experimental, sua relação Pexp/Pr não ultrapassa 1,12, conforme tabela 5.3.

A figura 5.4 é uma representação do perfil CLC-2.1-120x60, com carga

excêntrica e contraventado. Nesse gráfico, encontra-se, além da representação do

resultado experimental[43] e dos resultados desta tese pelo método da banda finita,

alguns resultados obtidos por ESTRELLA[20], que utilizou o programa FINLOC sem

o método das bandas finitas, isto é, considerando o perfil como um conjunto de

placas isoladas. Tem-se a representação dos resultados de ESTRELLA[20]

considerando as formulações de largura efetiva do EUROCODE[21] e do AISI-90[1].

Observam-se, nesse gráfico, que a partir de um certo nível de carregamento, os

resultados desta tese, BF-E, BF-M, BF-W, estão entre os resultados obtidos por

ESTRELLA[20], EUROCODE[21] e AISI-90*[1]. Tem-se, para esse perfil um

comportamento, até um certo nível de carregamento, muito próximo entre o

resultado experimental e os resultados com o método das bandas finitas. Embora o

resultado da carga de ruína numérico seja mais conservador que o exemplo anterior,

Pexp/Pr = 1,24 (para BF-E).

O perfil CLC/2.2-120x60 tem seu comportamento representado na figura 5.5,

é um perfil com carregamento excêntrico, com características geométricas

semelhantes ao perfil CLC/2.1-120x60, entretanto, sem contraventamento. Ambos

os perfis CLC/2.1–120x60 e CLC/2.2 –120 x 60 têm excentricidades positivas,

yp=13,61 e yp=13,56, respectivamente (ver tabela 5.1). Nesse gráfico encontra-se

representado o resultado experimental[43], os resultados com o método das bandas

118

finitas e os resultados de ESTRELLA[20]. Tem-se, para esse perfil, um bom acordo

entre os resultados numéricos e experimentais no início do carregamento, porém,

para cargas maiores, eles começam a divergir, obtendo-se resultados não

conservativos. Os resultados com o método das bandas finitas foram desprezados

nas estatísticas, tabela 5.3, visto que a comparação entre os resultados

experimentais dos perfis CLC/2.1-120x60 e CLC/2.2-120x60 comprova uma

distorção no caso sem contraventamento e as análises numéricas representadas na

figura 5.5 não levaram em conta a distorção aba/enrijecedor, isto é, não foi

penalizado o enrijecedor de bordo do perfil C, com exceção do resultado numérico

com o AISI-90*, ESTRELLA[20], representado na figura 5.5 por uma linha tracejada.

O perfil CLC/2.3 –120 x 60, que tem a representação do seu comportamento

carga x deslocamento na figura 5.6, é um perfil contraventado e carregado

excentricamente. Esse perfil tem características geométricas similares aos perfis

CLC/2.1 –120 x 60 e CLC/2.2 –120 x 60, entretanto, sua excentricidade é negativa,

yp=-24,94mm, conforme tabela 5.1. Nesse gráfico pode-se observar o resultado

experimental[43], os resultados com o método da banda finita e os resultados de

ESTRELLA[20] com o EUROCODE[21] e o AISI-90[1]. Os comportamentos das

diversas curvas de análise numérica têm um bom acordo com a curva da análise

experimental, afastando-se desta somente a um nível de carregamento bem próximo

à ruína. Apesar disto, a carga de ruína numérica fica em torno de 15% (BF-E) menor

que seu valor experimental.

Na figura 5.7, tem-se o gráfico carga x deslocamento transversal relativo ao

perfil CLC/4-120 x60, que é um perfil sem contraventamento e com carga centrada.

A carga aplicada, inicialmente, no seu centro de gravidade, é a principal diferença

entre esse perfil e os perfis (120x60) apresentados anteriormente. Apresenta-se aqui

o comportamento experimental[73], os resultados numéricos com o método das

bandas finitas e os resultados de ESTRELLA[20]. Observa-se que os resultados

devidos a ESTRELLA[20] são mais conservativos e os resultados de carga de ruína

com bandas finitas ficam em torno de 12% menores que a carga de ruína

experimental.

119

O perfil CLC/5 – 120x60 tem seu gráfico carga x deslocamento representado

na figura 5.8, é contraventado e tem carregamento centrado. Esse perfil difere do

anterior, CLC/4 – 120x60, por seu comprimento maior, conforme a tabela 5.1. Nesse

gráfico, apresenta-se o resultado experimental[43], os resultados desta tese com

auxílio do método das bandas finitas e resultados de ESTRELLA[20]. Observa-se

que somente o ensaio experimental apresenta uma inversão no sentido do

deslocamento transversal. Inicialmente, tem-se deslocamentos negativos no eixo y

para, em seguida, apresentarem-se deslocamentos no sentido positivo do eixo y.

Os resultados com o método da banda finita com as formulações de largura efetiva

do EUROCODE[21] e MULLIGAN[43], BF-E e BF-M, se confundem para o perfil

estudado.

A figura 5.9 se refere ao último gráfico carga x deslocamento estudado,

representa o perfil CLC/2-180x60, perfil com carga centrada e sem

contraventamento. Esse perfil tem dimensões bem diferentes dos anteriormente

estudados, ver tabela 5.1. Novamente, apresenta-se, aqui, o resultado

experimental[8] e os resultados numéricos desta tese e de ESTRELLA[20]. Dois

resultados com o método das bandas finitas, BF-E e BF-M, têm resultados muito

próximos e se confundem neste gráfico. Uma característica dos resultados desta

tese é que, no início do carregamento, o perfil se comportou com maior rigidez,

diferente dos resultados de ESTRELLA[20], que considera o perfil composto por

placas isoladas.

120

CLC/1 - 120 x 60

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Desloc. Transv. (mm)

P (

kN)

BF-EEXPERIMENTAL

BF-M

BF-W

Carga centrada

Sem contraventamento

Figura 5.3 – Curvas de carga x deslocamento.

Figura 5.4 - Curvas de carga x deslocamento.

C L C - 2.1 - 120 x 60

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0Desloc. Transv. (mm)

P (

kN)

BF-E

BF-M=BF-W

EUROCODE , ESTRELLA[6]

EXPERIMENTAL

Contraventado

Carga excêntrica

AISI-90,ESTRELLA[6]

AISI-90*,ESTRELLA[6]

121



C L C / 2.3 - 120 x 60

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10


P (

kN)

BF-E EUROCODEESTRELLA[6]

AISI-90,ESTRELLA[6]

BF-M

BF-W

EXPERIMENTAL

Carga excêntrica

Contraventado

C L C / 2.2 - 120 x 60

0

10

20

30

40

50

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0


P (

kN)

EXPERIMENTAL

BF-E = BF-W

AISI-90*,ESTRELLA[6]

EUROCODE,ESTRELLA[6]

BF-M

Carga excêntrica


122



C L C / 4 - 120 x 60

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12


P (

kN)

BF-E

EUROCODE,ESTRELLA[6]AISI-90,

ESTRELLA[6]

EXPERIMENTAL

BF-W

BF-M

Carga centrada


CLC / 5 - 120 x 60

0

10

20

30

40

50

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5


P (

kN)


AISI-90,ESTRELLA[6]

BF-E = BF-M

BF-W

EXPERIMENTAL

Carga centrada

Contraventado

123


A seguir, apresenta-se uma visualização do perfil CLC/1 - 90 x 90 na ruína

(figura 5.10), com larguras efetivas calculadas usando o método das bandas finitas e

deformada inicial de +L/1000. Esta ilustração em 3-D é feita com auxílio do pós-

processador gráfico POS-3D, desenvolvido pelo Grupo de Computação Gráfica Tec

Graf, na PUC-Rio e de propriedade da Petrobrás.

Observa-se, na figura deformada do perfil, regiões vazias (em branco) que

correspondem às partes flambadas das placas do perfil, isto devido ao método de

cálculo empregado, o método das larguras efetivas, descrito no capítulo 2 desta

tese. Neste método, considera-se que as partes flambadas da placa não contribuem

mais para sua rigidez, considerando-se somente as duas faixas extremas não

flambadas, be, a largura efetiva. As cores que aparecem no perfil representam o

nível de tensão em cada banda finita, variando da mais carregada, na cor azul, à

menos carregada, na cor vermelha. Tem-se, para este perfil CLC/1-90x90, devido a

sua geometria próxima do quadrado, uma flambagem por flexo-torção, a ser

observada na figura.

CLC / 2 - 180 x 60

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


P (

kN)


AISI-90,ESTRELLA[6]

EXPERIMENTALBF-W

BF-E = BF-M

Carga centrada


124

Figura 5.10 – Deformada do perfil CLC/1 – 90 x 90 na ruína para uma deformada

inicial de +L/1000, usando BF-M. Tensões em MPa.

-80.25

-97.64

-115.0

-132.4

-149.8

-167.2

-184.6

-202.0

-219.4

-236.8

125

Para uma melhor compressão da figura 5.10 é aconselhável o entendimento

da figura 5.2c (perfil C discretizado em 3D).

5.3 – A INFLUÊNCIA DA DEFORMADA INICIAL E DA EXCENT RICIDADE DA

CARGA, NO PERFIL DE CHAPA DOBRADA

No dimensionamento de seções de paredes finas, quando se utiliza o método

das larguras efetivas, o centro de gravidade da seções varia após a ocorrência da

flambagem local das paredes. Estuda-se, neste item, a influência da deformada

inicial, dy, na carga de ruína dos perfis de chapa dobrada levando-se em conta a

posição do ponto de aplicação da carga e o centro de gravidade efetivo da seção.

Na figura 5.11a representa-se um perfil C antes da flambagem local de suas placas,

seção plena, e após a ocorrência da flambagem, quando o centro de gravidade se

desloca porque somente partes desta seção são consideradas resistentes ao

carregamento. A figura 5.11b mostra um perfil discretizado em quatro elementos

finitos de viga espacial, onde o nó 3 sofre a flecha máxima e apresenta, neste caso,

uma deformada inicial no sentido negativo do eixo y.

126

(b)

Figura 5.11 – (a) Deslocamento do centro de gravidade da seção efetiva após a

flambagem local.

(b) Perfil com deformada inicial negativa.

Flecha máxima no nó 3.

Seção plena Seção efetiva

C - centro de torção

G - centro de gravidade

Ge - centro de gravidadeda seção efetiva

C CG G G

z z

y yeP

P - ponto de aplicação p - carga de compressão

P

da carga

1

2

3

4

5

p

X

Y

d 3

(a)

127

Segundo o EUROCODE[21], deve-se considerar, para efeito de

dimensionamento de uma seção, seu centro de gravidade efetivo, para uma

compressão uniforme igual a fy.

Tem-se também uma orientação prática que considera como a direção

desfavorável da flecha inicial aquela que coincide com a direção de ype, sendo ype o

vetor ePG , onde Ge é o centro de gravidade efetivo para uma tensão uniforme igual

à tensão de escoamento fy e P, o ponto de aplicação da carga.

A fim de melhor compreender e ilustrar a orientação do EUROCODE [21]

quanto à direção desfavorável da deformada inicial, fez-se um estudo dos perfis

CLC/3-120x60 e CLC/2-180x60, variando-se os pontos de aplicação da carga e

estudando os resultados obtidos. Inicialmente, com ajuda do programa BANFIN

desenvolvido nesta tese, acha-se o centro de gravidade efetivo, Ge, para uma tensão

uniforme igual à tensão de escoamento, fy ,e faz-se variar yp, coordenada do ponto

de aplicação da carga em relação ao centro de gravidade da seção plena, G. No

programa BANFIN, optou-se por utilizar as fórmulas de WINTER (equação 2.22),

apropriada à ruína, e o multiplicador crítico λcr da distribuição de tensões está

relacionado ao conjunto das placas associadas do perfil, isto é, λcr é calculado com

auxílio do método das bandas finitas.

Em seguida, calcula-se, com ajuda do programa FINLOC, a tensão de ruína do perfil

para deformadas iniciais dy, positivas e negativas, com diferentes pontos de

aplicação da carga. A seguir é apresentado, detalhadamente, este estudo e seus

resultados.

ESTUDO DAS DEFORMADAS INICIAIS PARA O PERFIL CLC/3- 120X60

yG = 26,2164 mm (coordenada em y do centro de gravidade da seção plena),

yGe = 30,2899 mm (coordenada em y do centro de gravidade da seção efetiva, para

uma tensão constante igual a fy),

L = 2999,74 mm (comprimento do perfil).

128

Figura 5.12 – Posição de Ge para uma tensão constante igual a fy para o perfil

CLC/3-120x60.

yp ype( ePG≡ ) dy (L/1000) P r (kN)

+ 30,35 -2 +6,0735 - 38,21

+ 34,08 +1 +3,0735

- 34,98

+ 36,48 +2 +2,0735

- 35,00

+ 36,17 +3 +1,0735

- 34,95

+ 35,11 +6 -1,9265

- 32,62

Tabela 5.5 – Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da

orientação do EUROCODE[21].

Na análise da tabela 5.5, observa-se que os pontos de aplicação da carga yp = +1,

+2 e +3 se situam entre o centro de gravidade da seção plena e o centro de

gravidade da seção efetiva, para uma tensão uniforme igual a fy. Para estes três

casos, somente para yp= +1 e yp= -2 a orientação prática prevalece, isto é, a direção

G G

z

ye

4,07

yy pp (+)(-)

129

desfavorável da flecha inicial é a que coincide com a direção ype. Para yp = +2 e +3,

quando ype e dy têm o mesmo sentido, não se observa a pior tensão de ruína como

esperado. Sabe-se, porém, que esta orientação é apenas um parâmetro prático a

guiar os cálculos. O EUROCODE[21] considera, com razão, que adotar, para seções

de paredes finas, o centro de gravidade efetivo, leva a melhores resultados que a

consideração dos cálculos relacionados ao centro de gravidade pleno da seção sem

flambagem local. Porém, o programa FINLOC nos dá novos resultados com a seção

transversal variável no elemento finito, podendo-se obter o centro de gravidade

efetivo da seção no momento da ruína, isto é, não mais sob um carregamento

constante igual a fy e sim conforme o critério de ruína adotado, o perfil atinge a ruína

quando o ponto mais comprimido da seção está submetido a uma tensão igual a fy.

Baseando-se nestes critérios, apresenta-se uma nova tabela para o perfil CLC/3-

120x60 com o centro de gravidade efetivo variando com a direção da deformada

inicial e do ponto de aplicação da carga (excentricidade).

yp eGG ype( ePG ) dy(L/1000) PR(kN)

BF-M

+8,8697 +10,8697 +

30,35 -2

+2,9362 +4,9362 -

38,21

+2,7377 +1,7377 +

34,08 +1

-0,7147 -1,7147 -

34,98

+1,6496 -0,3504 +

36,48 +2

-0,8680 -2,8680 -

35,00

-0,1582 -0,1582 +

36,17 +3

-1,3696 -1,3696 -

34,95

-0,9782 -3,9782 +

35,11 +6

-2,2424 -5,2424 -

32,62

Tabela 5.6 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da posição

de Ge na ruína.

130

A análise da tabela 5.6 mostra que, quando a deformada inicial tem o mesmo

sentido de yp, tem-se as menores cargas de ruína, representadas em negrito. Os

estudos obtidos com a utilização do FINLOC leva a bons resultados, embora

somente para yp=+1 não seja conclusivo, e vê-se que, quanto maior a excentricidade

efetiva ype, em módulo, menor é a carga de ruína.

A fim de confirmar estes resultados, empreenderam-se os mesmos estudos para o

perfil CLC/2-180x60.

ESTUDO DAS DEFORMADAS INICIAIS PARA O PERFIL CLC/2- 180X60

yG = 21,75 mm (coordenada em y do centro de gravidade da seção plena),

yGe = 27,84 mm (coordenada em y do centro de gravidade da seção efetiva, para

uma tensão constante igual a fy),

L = 2339,85 mm (comprimento do perfil).

Figura 5.13 – Posição de Ge para uma tensão constante igual a fy para o perfil

CLC/2-180x60.

G G

z

ye

6,09

yy pp (+)(-)

131

yp ype( ePG≡ ) dy (L/1000)

Pr (kN) BF-M

+ 29,42 -3 +9,0889

- 32,97

+ 35,83 +3 +3,0889

- 32,55

+ 32,47 +9 -2,9111

- 31,29

Tabela 5.7 – Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da

orientação do EUROCODE[21].

Novamente, encontrou-se um ponto de aplicação da carga entre os centros de

gravidade que não obedece a orientação prática da direção desfavorável da flecha

inicial, para ype= +3,0889 a menor carga de ruína deveria ser o caso da deformada

inicial também positiva, o que não se verifica na tabela 5.7. Apresenta-se a seguir o

estudo do mesmo perfil, CLC/2-180x60, com o centro de gravidade efetivo no

momento da ruína obtido pelo programa FINLOC.

132

yp eGG ype( ePG ) dy(L/1000)

PR(kN)

BF-M

-1,6748 +1,3252 + 29,42 -3

-2,6969 +0,3031 - 32,97

-3,4942 -6,4942 + 35,83 +3

-5,5303 -8,5303 - 32,55

-5,9363 -14,9363 + 32,47 +9

-6,4030 -15,9363 - 31,29

Tabela 5.8 - Pesquisa da deformada inicial desfavorável, com a utilização da posição

de Ge na ruína.

Na tabela 5.8 comprova-se uma total concordância da orientação prática quando se

utiliza o centro de gravidade efetivo na ruína, com o carregamento variável real de

cálculo, e com sua posição variando conforme a deformada inicial.

Os estudos da influência da deformada inicial na carga de ruína de colunas de

paredes finas comprovam que o sentido desfavorável da flecha inicial pode ser tanto

o sentido negativo quanto o positivo, dependendo da excentricidade da carga em

relação ao centro de gravidade da seção efetiva a fy. Porém, desprezando-se a

flambagem local, sabe-se que o sentido desfavorável da flecha inicial de uma

coluna de seção aberta é sempre o sentido negativo, isto é, com o lado aberto da

seção mais comprimido.

Na figura 5.14, apresenta-se um estudo da carga de ruína (Pr) em função do

ponto de aplicação da carga (yp) para o perfil CLC/3 – 120x60, com deformadas

iniciais nulas. De acordo com as orientações do EUROCODE[21], a maior carga de

ruína fica próxima ao centro de gravidade efetivo da seção, submetido a um

carregamento uniforme igual a fy e observa-se que o gráfico da figura 5.14 está em

bom acordo com esta aproximação.

133

Sabe-se, porém, que a maior carga de ruína será aquela que atuará sobre o seu

próprio centro de gravidade efetivo no instante do colapso, o que pode ser

pesquisado, por tentativas, com ajuda do programa FINLOC.

Figura 5.14 – Gráfico da carga de ruína x ponto de aplicação da carga, para o perfil

CLC/3-120x60.

Na figura 5.15a apresenta-se um gráfico de carga x deslocamento lateral do

nó 3 na direção do eixo y, utilizando-se o BF-M. Para o perfil dado na figura 5.15b,

fez-se variar o ponto de aplicação da carga yp e o sentido da deformada inicial (dy =

± L/1000), ambos sobre o eixo y. Observam-se então, os diferentes comportamentos

que o perfil pode experimentar com o mesmo yp, mas com deformadas iniciais

positivas ou negativas.

Por exemplo, na figura 5.15a, para o caso de uma carga aplicada no centro de

gravidade da seção plena, linhas vermelhas, quando a deformada inicial é positiva –

linha contínua – tem-se um deslocamento do nó 3 na direção positiva do eixo y,

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

yp(mm)

Pr(

KN

)

CGe = 4,0735

134

porém, quando a deformada inicial é negativa – linha tracejada – o mesmo perfil,

deforma-se transversalmente na direção do sentido negativo do eixo y.

0

5

10

15

20

25

30

35

-6 -4 -2 0 2 4 6

desloc. em y (mm)

P (

KN

)

yp = - 1

yp = 0

yp = +1yp = +1,5

deformada inicial positiva

deformada inicial negativa

yp = - 1yp = 0

yp = +1,5

yp = +1

(a)

(b)

Figura 5.15 – Influência da deformada inicial no comportamento do perfil.

(a) Gráfico carga x deformação.

(b) Características geométricas do perfil.

z

y

45

100

30

C.G.

t

RI

RI = t = 1

135

CAPÍTULO 6

CONCLUSÃO

Como o objetivo desta tese é contribuir para o aprimoramento do cálculo das

estruturas de paredes finas, acredita-se tê-lo alcançado de maneira satisfatória e

original. O desenvolvimento e a introdução do método das bandas finitas, através do

programa BANFIN, no programa FINLOC, para uma representação mais próxima do

comportamento das placas que compõem a seção do perfil, foi um avanço nas

pesquisas que procuram retratar a interação entre os modos de instabilidade dos

perfis de chapas dobradas sujeitos à compressão.

O programa BANFIN permite uma análise abrangente do perfil de paredes finas,

levando em conta, além da interação entre as placas, também, a influência da

deformada inicial (devido aos processos de fabricação), bem como a excentricidade

do carregamento aplicado. Com essas variáveis, pode-se concluir o quanto o módulo

e a direção das deformadas iniciais podem ser importantes para o valor da carga de

ruína do perfil.

Sabe-se que, considerando apenas a instabilidade global do perfil, a deformada

inicial mais desfavorável será a que submete à maior compressão o lado aberto da

seção. Porém, fazendo essa análise simultaneamente com as possíveis

excentricidades de carga, a direção da deformada inicial mais desfavorável pode ser

positiva ou negativa, no eixo y.

Verificam-se que, as menores cargas de ruína ocorrem quando o vetor eGG. tem a

mesma direção do vetor eGP. , conforme as tabelas 5.6 e 5.8.

Com o programa desenvolvido, é possível conhecer o centro de gravidade

efetivo na ruína e, com isso, refinar as análises de deformada inicial x

excentricidade.

136

No estudo da melhor discretização da seção em bandas finitas fez-se uma

análise da variação do valor do multiplicador crítico da seção, λcr, em relação ao

número de bandas finitas por placa da seção transversal do perfil, com auxílio do

programa BANFIN. Utilizando-se os perfis ensaiados por MULLIGAN [43], e a

variação citada anteriormente, concluem-se que, a partir de duas bandas finitas por

placa, os valores de λcr não tem uma alteração significativa.

Foram apresentadas tabelas comparativas entre os métodos e as curvas

carga x deformação para diversos perfis.

Ao utilizar-se, no programa desenvolvido, as curvas de flambagem do

EUROCODE[21], BF-E, a curva de MULLIGAN + WINTER (equação 2.46 ), BF-M,

ou a equação de WINTER ( 2.21 ), BF-W, conclui-se que a equação 2.46 leva a

melhores resultados, conforme a tabela 5.3.

Nas curvas de carga x deslocamento, figuras 5.3 a 5.9, verificam-se uma

rigidez maior do início do carregamento, quando se utilizam o método das bandas

finitas, concluindo-se que a introdução da eficácia do enrijecedor de bordo no

programa desenvolvido poderá levar a melhores resultados.

As figuras 5.5 e 5.7 mostram as curvas carga x deslocamento de perfis que não

levaram contraventamento por ocasião dos ensaios, o que permite uma comparação

entre o Eurocode, segundo ESTRELLA [20], e o BF-M, uma vez que ambos não

levam em conta a eficácia do enrijecedor.

Desta observação, concluem-se que, não só para BF-M como para BF-E e BF-W,

tem-se um melhor comportamento com a utilização da banda finita, do que o caso do

Eurocode segundo [20] que não leva em conta a interação entre as paredes da

seção, tudo isso em relação a curva de carga x deslocamento experimental [43].

Os gráficos das figuras 3.12 a 3.15 reproduzem o comportamento de um perfil

com a variação dos parâmetros geométricos e as variações dos multiplicadores de

carga λC, para um perfil C em relação a esse mesmo perfil sem os enrijecedores de

bordo, ou seja para um perfil U, λU. Neste estudo, construíram-se gráficos para os

possíveis gradientes de tensão.

137

Na figura 3.12, caso do gradiente de tensão uniforme, tem-se que a partir de b3/b1

igual a aproximadamente 0,13 a seção é governada pela flambagem local sem

distorção. Além disso, para que não ocorra distorção, conforme a relação b2/b1

aumenta a largura b3 também deve aumentar.

Para o caso do gradiente de tensões +y, figura 3.13, não se observa o patamar do

gráfico anterior. E concluem-se que, as seções submetidas a esse gradiente de

tensões necessitam de uma largura maior da placa b3, para que não haja distorção.

Como exemplo, tem-se um perfil com b1=100mm, t=1mm, b2/b1 =1,0. Para que não

sofra distorção o perfil sob um gradiente de tensões constante precisa de b3 ≥

13mm, no entanto quando o perfil está submetido a um gradiente de tensão +y esse

mesmo perfil deve ter b3 ≥ 28mm.

Porém, como observado na figura 3.12, para que não ocorra distorção no gráfico da

figura 3.13, aumentando-se a relação b2/b1 também deve ser aumentada a largura

da placa b3.

A figura 3.14 mostra uma configuração diferente das anteriores. Neste caso

do perfil submetido a um gradiente de tensões –y tem-se que para qualquer relação

da geometria da seção, esse gradiente não sofre flambagem com distorção.

Da observação da figura 3.15 concluem-se que, essa seção submetida a um

gradiente de tensão +z, tem um comportamento diferente quanto a relação b2/b1, isto

é, para relações b2/b1 ≥ 0,6, quanto maior essa relação menor será a largura b3

exigida para que não haja distorção.

Como exemplo, tem-se um perfil com b1=100mm, t=1mm, b2/b1 =1,0. Para que não

sofra distorção o perfil sob um gradiente de tensões +z precisa de b3 ≥ 12mm, porém

para b2/b1 =0,3 esse mesmo perfil deverá ter b3 ≥ 15mm.

Nas figuras 3.16 e 3.17, fez-se um estudo de duas séries comerciais de perfis

dobrados, das quais retirou-se as seguintes conclusões:

- quanto maior a relação b1/t, nos dois gráficos, maior a tendência da flambagem

local sem distorção;

138

- para a série 75, figura 3.16, para 1a alma (t=1,52mm) e a 2a alma (t=1,90mm) a

flambagem local que governa é sem distorção;

- para a série 127, figura 3.17, somente na última alma (t=3,42mm) prevalece a

flambagem local com distorção.

Apresentam-se aqui algumas sugestões para futuros trabalhos de pesquisa nesta

área:

- a introdução da eficácia do enrijecedor de bordo no programa que leva em conta

a interação entre as paredes dos perfis;

- estender o trabalho para perfis com enrijecedores intermediários de placa;

- novos estudos de perfis com outras seções transversais;

- pesquisas experimentais para outros tipos de perfil;

- novos estudos no método das larguras efetivas visto que, o programa

desenvolvido permite testar outras formulações de larguras efetivas.

139

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. AISI-91 – LRFD Cold-Formed Steel Design Manual. American Iron and Steel

Institute , 1991.

2. ALMEIDA, S. B. – Instabilidade de Estruturas Metálicas Planas Compostas

de Perfis de Chapa Dobrada. Orientador: Ronaldo C. Batista. Rio de Janeiro

– UFRJ, 1989. 97 p. Tese (Mestrado em Ciências em Engenharia Civil).

3. BATISTA, E. M. – Etude de la Stabilité des Profils à Parois Minces et Section

Ouverte de Types U e C. Thèse de Doutorat, Faculté des Sciences

Appliquées, Département MSM, Université de Liege, 1988.

4. BATISTA, E. M.; BATISTA, R. C. e ALMEIDA, S. B. – A Numerical Solution

for Nonlinear Analysis of C-Shapped Cold-Formed Columns. Stability of

Metal Structures, Proceedings of Fourth International Colloquium on

Strutural Stability, Asian Session, Beijing, China, October 10-12, 1989.

5. BLEICH, F. – Buckling Strength of Metal Strutures. New-York, McGraw-Hill,

1952.

6. BORGES, M. S. de S. – Flexo-Torção em Hastes de Paredes de Seção

Aberta com Abordagem por Diferenças Finitas. Orientador: Luiz F. T. Garcia

e Sergio F. Villaça. Rio de Janeiro – UFRJ, 1994. 152 p. Tese (Mestrado em

Ciências em Engenharia Civil).

7. BULSON, P. S. – The Stability of Flat Plates. London, Chatto and Windus,

1970.

140

8. CHENG, J.J.R. – Cold-Formed Steel Strutures – 3rd Colloquium on Steel

Strutures at PUC/RJ – Rio de Janeiro, Brasil, 1988.

9. CHEUNG, YAU-KAI – Folded Plate Strutures by Finite Strip Method - Journal

of the Strutural Division, Proceedings of the American Society of Civil

Engineers, 1969.

10. CHILVER, A. H. – A Generalized Approach to the Local Instability of Certain

Thin-Walled Struts. The Aeronautical Quarterly, Vol. 4, August, 1953.

11. CHILVER, A. H. – The Stability and Strength of Thin Walled Steel Struts. The

Engineer, Vol. 7, August, 1953, pp. 180-183.

12. CONCI, A. – Análise de Estruturas Reticuladas de Aço com Consideração

de Empenamento e Não-Linearidades Geométricas e Material. Orientador:

Marcelo Gattass. Rio de Janeiro – PUC, 1988. Tese de doutorado.

13. COSTA FERREIRA, C. M. e RONDAL, J. – Flambement des Cornières à

Parois Minces. Annales des Travaux Publics de Belgique, No 2, 1986.

14. DAWSON, R. G. e WALKER, A. C. – Post-Buckling of Geometrically

Imperfect Plates. ASCE, Journal of the Strutural Division, Vol. 98, No ST1,

January, 1972.

15. de VILLE de GOYET, V.- L’Análise Statique Non Linéaire par la Méthode

des Elements Finis de Strutures Spatiales Formées de Poutres à Section

Non Symétrique. Thèse de Doutorat, Département MSM, Université de

Liège, Belgique, 1988.

141

16. DESMOND, T. P.; PEKOZ, T. e WINTER, G. – Edge Stiffeners for Thin-

Walled Members. ASCE, Journal of the Strutural Division, Vol. 107, No ST2,

February, 1981.

17. DEWOLF, F. T.; PEKOZ, T. e WINTER, G. – Local and Overall Buckling of

Cold-Formed Members. ASCE, Journal of the Strutural Division, Vol. 100, No

ST10, October, 1974.

18. DEWOLF, J. T. e GLADDING – Post-Buckling Behaviour of Beam Webs in

Flexure. ASCE, Journal of the Strutural Division, Vol. 104, No ST7,

July,1978.

19. ELHELBAWEY, M. I., CHUNG, C. F. – Effective Torsional Constant for

Restrained Open Section - Journal of Strutural Engineering. Nov 1998.

20. ESTRELLA, L. F. – Simulation de LÍnteraction Entre le Voilement Local et

les Modes Globaux DÍnstabilite des Profils a Froid par une Combinaison de

la Methode des Largeurs Effetives et de LÉlement Fini Non-Lineaire de

Poutre Spatiale – Thèse de Docteur en Sciences Appliquées. Universite de

Liege, 1993.

21. EUROCODE – Design of Steel Strutures, Part 1.3: Cold-Formed Thin Gange

Members and Sheeting, 1992.

22. FAULKNER, D. – Compression Tests on Welded Eccentrically Stiffened

Plate Panels. Steel Plated Strutures, Crosby Lockwood Staples, London

1977, pp. 581-617.

23. FREITAS, C. A. T. de – Sistema Especialista para o Projeto e

Dimensionamento de Estruturas de Aço de Perfis Leves de Chapa Dobrada.

142

Orientadores: Sebastião Arthur Lopes de Andrade e Bruno Feijó. Rio de

Janeiro – PUC, 1993. Tese de mestrado.

24. GERARD, G. – Failure of Plates and Composite Elements. NACA, Technical

Note 3784, August, 1957.

25. GIANNINNI, L. D. – Modelo de Elementos Finitos para Estabilidade de Perfis

de Paredes Finas. Orientador: Raul Rosas e Silva. Rio de Janeiro – PUC,

1990. Tese de mestrado.

26. GIONCU, V.- General Theory of Coupled Instabilities. General Report, First

International Specialty Conference on Coupled Instabilities in Metal

Strutures, CIMS 92, October 12-14, 1992, Timisoara, Romania.

27. HANCOCK, G. J. – Distorsional Buckling of Steel Storage Rack Columns.

ASCE, Journal of Strutural Engineering, Vol. 111, No 12, December, 1985.

28. JACQUES, T., MAQUOI R., FONDER G. – Buckling of Unstiffened

Compression - Journal of Constructional Steel Research,1983.

29. JOMBOCK, J. R., CLARK J. W. – Postbuckling Behavior of Flat Plates -

Journal of the Strutural Division, Proceedings of the American Society of

Civil Engineers, 1961.

30. JONSSON, J. – Recursive Finite Elements for Buckling of Thin-Walled

Beams. Department of Strutural Engineering, Technical University of

Denmark, Serie R, No 263, 1990.

31. KALYANARAMAN, V. – Local Buckling of Cold-Formed Steel Members.

ASCE, Journal of the Strutural Division, Vol. 105, No ST5, May, 1979.

143

32. KALYANARAMAN, V., PEKOZ, T., WINTER, G. – Unstiffened Compression

Elements – Journal of the Structural Division – September 1977.

33. KLOPPEL, K. e SCHUBERT, J – The Calculation of the Carrying Capacity in

the Post-Buckling Range of Thin-Walled Box Columns Loaded by Concentric

and Excentric Compressive Force. Publications of the Institute for Statics

and Steel Construction, Darmstadt, 1971.

34. KÖNIG, J. – Transversal Loaded Thin-Walled C-Shapped Panels with

Intermetiate Stiffeners. Ph. D. Thesis, Div. Of Steel Construction, Royal

Institute of Technology, Stockholm, 1978.

35. LAU, S. C. e HANCOCK, G. J. – Ditorcional Buckling Formulas for Channel

Columns. ASCE, Journal of Strutural Engineering, Vol. 113, No 5, May, 1987.

36. LUONGO, A. e PIGNATARO, M. – Buckling and Post-Buckling Analysis of

Stiffened Channels Under Uniform Compression. Construction Métallique, No

4, 1986.

37. MARSH, C. – Design Method for Buckling Failure of Plate Elements - Journal

of Strutural Engineering. Jul 1998.

38. MARSH, C. – Influence of Bend Radii on Local Buckling in Cold Formed

Shapes – Journal of Strutural Engineering. Dec 1997.

39. MAYERS, J. e BUDIANSKY, B. – Analysis of Behavior of Simply Supported

Flat Plates Compressed Beyond the Buckling Load into the Plastic Range.

NACA, Technical Note 3368, 1955.

40. MOEN L. A., HOPPERSTAD, O. S. – Elastoplastic Buckling of Anisotropic

Aluminum Plate Elements - Journal of Strutural Engineering. Jun 1998.

144

41. MULLIGAN, G. e PEKOZ, T. – Local Buckled Thin-Walled Columns. ASCE,

Journal of the Strutural Division, Vol. 110, No 11, Noverber, 1984.

42. MULLIGAN, G. e PEKOZ, T. – Local Buckling Interaction in Cold-Formed

Columns. ASCE, Journal of the Strutural Division, Vol. 113, No 3, March,

1987.

43. MULLIGAN, G. P. – The Influence of Local Buckling on the Strutural

Behavior of Singly-Symmetric Cold-Formed Steel Columns – Cornell

University, Report No. 83-1 – 1983. 354p.

44. MURRAY, N. W. – Introduction to the Theory of Thin-Walled Strutures –

Oxford Science Publications, 1986. 447p.

45. MURRAY, N. W., KHOO, P. S. – Some Basic Plastic Mechanisms in the

Local Buckling of Thin-Walled Steel Strutures – Department of Civil

Engineering, Monash University, Clayton, Victoria, Auatrália, 1981.

46. NARAYANAN, R., CHOW F. Y. – Effective Widths of Loaded Uniaxially –

Thin-Walled Strutures 1983.

47. NETO, C. A. M. – Resistência Nominal de Perfis Estruturais Leves:

Procedimento para Cálculo Automático. Orientador: Eduardo de M. Batista.

Rio de Janeiro – UFRJ, 1995. 144 p. Tese (Mestrado em Ciências em

Engenharia Civil).

48. PEKÖZ,T.,WINTER,G.- Cold-Formed Steel Construction, IABSE

PERIODICA, Switzerland,S-12/80, p.1-20.

145

49. PFEIL, M. S. – Interação Local-Global na Flambagem de Colunas de Seção

U Enrijecidas. Orientador: Ronaldo C. Batista. Rio de Janeiro – UFRJ, 1985.

161 p. Tese (Mestrado em Ciências em Engenharia Civil).

50. PI, Y., PUT, B. M., TRAHAIR, N. S. – Lateral Buckling Strengths of Cold-

Formed Channel Section Beams - Journal of Strutural Engineering. Oct

1998.

51. PRZEMIENIECKI, J. S. – Finite Element Strutural Analysis of Local

Instability. AIAA Journal, Vol. 11, No 1, January, 1973.

52. REN, W., ZENG Q. – Interactive Buckling Behavior and Ultimate Load of I-

Section Steel Columns - Journal of Strutural Engineering. Sep 1997.

53. RHODES, J e HARVEY, J. M. – Plain Channel Section Struts in

Compression and Bending Beyond the Local Buckling Load. International

Journal of Mechanical Sciences, Vol. 8, 1976, pp. 511-519.

54. RHODES, J., HARVEY, J. M. – Effects of Eccentricity of Load or

Compression on the Buckling and Post-Buckling Behaviour of Flat Plates -

Department of Mechanics of Materials, University of Strathelyde, Glasgow,

Scotland, 1971.

55. RHODES, J., HARVEY, J. M. – Examination of Plate Post-Buckling Behavior

– Journal of The Engineering Mechanics Division- June, 1977.

56. RHODES, J., HARVEY, J. M., FOK, W. C. – The Load-Carrying of Initially

Imperfect Eccentrically Loaded Plates – Department of Mechanics of

Materials, University of Strathelyde, Glasgow, Scotland, 1974.

146

57. RODRIGUES, F. C. – Estudo Teórico-Experimental de Perfis de Chapa

Dobrada Submetidos à Compressão. Orientador: Eduardo de M. Batista. Rio

de Janeiro – UFRJ, 1993. 364 p. Tese (Doutorado em Ciências em

Engenharia Civil).

58. RONDAL, J. – Thin-Walled Strutures, VIII Thin Walled Strutures General

Report – Tihany, Hungary, 1986.

59. RONDAL, J., MAQUOI, R. – Stub-Column Strength of Thin-Walled Square

and Rectangular Hollow Sections – Liége, Bélgica, 1985.

60. SARMANHO, A. M. C. – Estudo do Comportamento Pós-Crítico de Paredes

Esbeltas de Perfis Metálicos. Orientador: Eduardo de M. Batista. Rio de

Janeiro – UFRJ, 1991. 114 p. Tese (Mestrado em Ciências em Engenharia

Civil).

61. SCHAFER, B. W., PEKÖZ, T. – Cold-Formed Steel Members with Multiple

Longitudinal Intermediate Stiffeners - Journal of Strutural Engineering. Oct

1998.

62. SERRETE, R. e PEKOZ, T. – Strength of Laterally Unsupported

Compression Flanges and Panels. Fourth International Colloquium on

Strutural Stability, Mediterranean Session, Istambu, September 16-20, 1991.

63. SHERBOURNE, A. N., KOROL, R. M. – Post-Buckling of Axially

Compressed Plates – Journal of the Strutural Division, Proceedings of the

American Society of Civil Engineers, 1972.

64. SKALOUD, M. e NAPRSTEK, J. – Limit State of Thin-Wallet Steel Columns.

Rospravy Ceskoslovenske Akademie VED, ISSN0069-2301, 1977.

147

65. STOWEEL, E. Z. – Compressive Strength of Plates. NACA, Technical Note

2020, 1950.

66. THOMASSON, P. O. – Thin-Walled C-Shapped Panels in Axial

Compression. Swedish Council for Building Research, Document D1:1978,

Stockholm.

67. TIMOSHENKO, S. P. e GERE, J. M. – Theory of Elastic Stability. McGraw-

Hill, 1961.

68. USAMI, T. – Post-Buckling of Plates in Compression and Bending. ASCE,

Journal of the Strutural division, Vol. 108, No ST3, March,1982.

69. VILNAY, O., ROCKEY, K. C. – A Generalised Effective Width Method for

Plates Loaded in Compression – Journal of Constructional Steel Research,

May 1981.

70. VLASSOV, B. Z.- Pièces Longues en Voiles Minces. Editions Eyrolles,

1962.

71. VON KARMAN, T.; SECHLER, E. E. e DONNELL, L. H. – The Strength of

Thin Plates in Compression. Transactions ASME, Applied Mechanics, APM-

54-5, 1932, pp. 53-57.

72. WEI-WEN YU.– Cold-Formed Steel Design, New York, Wiley-Interscience,

1985.

73. WILKINSON, T., HANCOCK, G. J. – Tests to Examine Compact Web

Slenderness of Cold-Formed RHS. Oct 1998.

74. WINTER, G. – Thin-Walled Steel for Modern Strutures.

148

75. XAVIER, S. R. – Influência da Interação Modal na Instabilidade de Placas.

Orientador: Paulo Batista Gonçalves. Rio de Janeiro – PUC, 1999. Tese de

mestrado.

76. YAMAKI, N. – Post-Buckling Behaviour of Retangular Plates with Small Initial

Curvature Loaded in Edge Compression. Trnsactions of the ASME, Journal

of Applied Mechanics, September 1959, pp. 407-4140 and June 1960, pp.

335-342.

77. YOUNG, B., RASMUSSEN J. R. – Design of Lipped Channel Columns -

Journal of Strutural Engineering. Feb 1998.

Documents

ANÁLISE NUMÉRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA DE … · 2007-10-09 · viii k2 – coeficiente de flambagem da aba L – comprimento da banda finita m – semi-ondas de flambagem