Relatório de Flambagem

FACULDADE REDENTOR

CURSOS: ENGENHARIA CIVIL E MECNICA

FLAMBAGEM DE COLUNAS

por

Ana Paula

Juvenil Jnior

Jlia Esquerdo

Mrcia Nogueira

Matheus de Campos

Itaperuna

2008

FACULDADE REDENTOR

ENGENHARIA MECNICA


FACULDADE REDENTOR

CURSOS: ENGENHARIA CIVIL E MECNICA


por

Ana Paula

Juvenil Jnior

Jlia Esquerdo

Mrcia Nogueira

Matheus de Campos

Relatrio apresentado disciplina de

Resistncia dos Materiais II, como

avaliao.

Prof.: Amanda Camerini Lima

Itaperuna

2008

NDICE

LISTA DE FIGURAS ................................................................................... ii

LISTA DE TABELAS ................................................................................... iii

LISTA DE SMBOLOS ................................................................................ iv

1. INTRODUO ...................................................................................... 1

1.1. Configurao flambada........................................................... 2

1.2. Estabilidade das estruturas.................................................... 2

2. DETERMINAO DA CARGA CRTICA .......................................... 3

2.1. Comprimento efetivo das colunas............................................ 8

2.2. Flambagem elstica e inelstica ............................................. 9

3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL................................................. 11

3.1. Consideraes iniciais .......................................................... 11

3.2. Materiais ............................................................................... 12

4. RESULTADOS........................................................................................ 13

4.1. Resultados da coluna bi-articulada ........................................ 13

4.1.1. Carga crtica (PCR) ...................................................... 13

4.1.2. Tenso crtica (CR) .................................................... 14

4.1.3. ndice de esbeltez ........................................................ 15

4.1.4. Distncia flambada ()................................................ 15

4.2. Resultados da coluna articulada e engastada ....................... 16

4.2.1. Carga crtica (PCR) ...................................................... 16

4.2.2. Tenso crtica (CR) .................................................... 16

4.2.3. ndice de esbeltez ......................................................... 17

4.2.4. Distncia flambada () ............................................... 17

4.3. Comparao entre os resultados obtidos .............................. 18

5. CONCLUSO ......................................................................................... 19

6. REFERNCIA BIBLIOGRFICAS .................................................... 19

LISTA DE FIGURAS

Fig.01 Tipos de colunas ........................................................................... 1

Fig.02 Equilbrio estvel e instvel ......................................................... 2

Fig.03 Situaes de equilbrio ................................................................. 3

Fig.04 Barra comprimida em uma nova posio de equilbrio................ 4

Fig.05 Barra flambada com PCR para n = 1 ............................................ 6

Fig.06 Barra flambada com PCR para n = 2 ............................................ 6

Fig.07 Comprimentos efetivos das respectivas colunas .......................... 9

Fig.08 Grfico da tenso de flambagem em funo do ndice de

esbeltez para E=200GPa............................................................................ 10

Fig.09 Grfico da tenso de flambagem em funo do ndice de

esbeltez mostrando a validade da Equao de Eler.................................. 10

Fig.10 Foto do experimento ..................................................................... 11

Fig.11 Dimenses da base ....................................................................... 12

Fig.12 Suporte onde sero colocadas as massas ..................................... 13

Fig.13 Distncia flambada () da coluna bi-articulada com carga

mxima ........................................................................................................

15

Fig. 14 Distncia flambada () da coluna articulada e engastada com

carga mxima ..............................................................................................

18

ii

LISTA DE TABELAS

TABELAS

Tabela 01 Propriedades mecnicas do ao CA-50 ................................ 12

Tabela 02 Dimenses das colunas ........................................................... 12

Tabela 03 Momento de inrcia do crculo cheio ..................................... 13

Tabela 04 Comparao dos valores obtidos em cada tipo de coluna ..... 18

Tabela 05 Comparao dos valores obtidos na distncia de flambagem 18

iii

LISTA DE SMBOLOS

Infinito

A rea

E Modulo de elasticidade

I Momento de inrcia

L Comprimento da coluna

Le Comprimento efetivo

PCR Carga crtica

Distncia flambada

Fator de comprimento efetivo

ndice de esbeltez

Dimetro

CR Tenso de crtica

e Tenso de escoamento

iv

(a) (b)

1. INTRODUO

As estruturas e os sistemas mecnicos em geral quando esto submetidos a carregamentos,

podem falhar de vrias formas, o que vai depender do tipo de material usado, do tipo de estrutura,

das condies de apoio, entre outras consideraes. Ao projetar um elemento, necessrio que ele

satisfaa requisitos especficos de tenso, deflexo e estabilidade.

Pesos so adicionados at que seja atingida uma carga, Pcrtico, no elemento sob

compresso, e o elemento subitamente deflete lateralmente sob a carga compressiva axial.

Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma fora axial de compresso so chamados de

colunas e a deflexo lateral que sofrem chamada de flambagem. Em geral a flambagem leva a

uma falha repentina e dramtica da estrutura.

Falhas por flambagem so freqentemente sbitas e catastrficas, o que faz com que seja

ainda mais importante preveni-la.

Neste relatrio iremos tratar apenas de dois tipos apoios para colunas:

Bi-articulada (a);

Engastada e articulada (b).

Figura 01 Tipos de colunas

1

1.1. CONFIGURAO FLAMBADA

Se P < PCR A coluna permanecer reta e ter seu comprimento reduzido sob uma

tenso axial uniforme (compressiva);

= (equilbrio estvel)

Se P = PCR Configuraes vizinha tambm satisfazem o equilbrio (equilbrio

neutro).

Para determinar da carga crtica, PCR, e a forma da coluna flambada, determina-se o valor

da carga P tal que a forma ligeiramente fletida da coluna esteja em uma condio de equilbrio.

1.2. ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS

De forma bastante comum ocorre confuso entre o que so equilbrio e estabilidade. Uma

estrutura pode ser instvel estando em equilbrio. Tome, por exemplo, um lpis apontado e tente

coloc-lo apoiado em um plano horizontal apoiado pela ponta. Nesta situao, embora ele esteja em

equilbrio, este muito instvel. Quando se apia o lpis pela base, o equilbrio estvel. Isto pode

ser observado na figura 1.

Figura 02 Equilbrio estvel e instvel

2

Em geral, o equilbrio de uma estrutura pode ser classificado como: estvel; instvel ou

indiferente. Um modo bastante simples de observar este fato analisar as trs situaes de

equilbrio apresentadas na figura 2.

Figura 03 Situaes de equilbrio

Nas trs situaes, a bola est em equilbrio, ou seja, Fx = 0, Fy = 0 e M = 0. Na

primeira figura, a bola encontra-se em equilbrio estvel porque se ela for ligeiramente deslocada

para um dos lados e, ento for solta, ela voltar para a posio de equilbrio no fundo do vale.

Na terceira figura, apesar da bola estar na posio de equilbrio, qualquer deslocamento

aplicado mesma far com que a bola se afaste cada vez mais da posio de equilbrio inicial

caracterizando um equilbrio instvel. Finalmente, se a bola estiver sobre uma superfcie

perfeitamente plana, ela est em uma configurao de equilbrio neutro. Se ela for deslocada

ligeiramente para qualquer um dos lados, ela no tem tendncia de se mover, seja para mais longe,

seja na posio original. Pois ela, da mesma forma que na posio original, ela est em equilbrio na

posio deslocada.

2. DETERMINAO DA CARGA CRTICA

Na figura abaixo, se observa a ocorrncia de flechas nas sees da barra. Torna-se

possvel, ento escrever a equao da linha elstica para a barra.

3

Figura 04 - Barra comprimida em uma nova posio de equilbrio

Para uma seo qualquer, com distncia igual a x, a partir do apoio A o momento fletor

vale M = P x v que, substitudo na expresso (1), resulta:

A expresso (2) uma diferencial de segunda ordem cuja soluo :

(3)

Onde C1 e C2 so constantes que devem ser determinadas de maneira a satisfazer as

condies de deslocamento das extremidades apoiadas; ou seja:

Para x = 0 v = 0;

Para x = L v = 0, com x = 0, se tem:

0 = C1 cos(0) + C2 sem (0) 0 = C1 x 1 + C2 x 0 C1 = 0

Com este resultado a expresso (3) se resume a:

(4)

Com x = L, tem-se:

(5)

(1)

(2)

4

Para satisfazer a equao independentemente do valor de C2, a funo seno deve ser igual a

zero. Esta funo nula quando o ngulo for igual a n, ou seja:

(6)

Onde:

n: 0, 1, 2, 3...

Assim, tem-se:

(7)

Note-se que n um nmero inteiro, positivo, qualquer entre 1 e . Para cada valor de n

existe um valor de P que muda o estado de equilbrio.

Cada um destes valores indicado por PCR. . Desta forma com:

Para n = 1:

(8)

Para n = 2:

(9)

Importante se torna observar que estas cargas crticas so as cargas que mudam o estado de

equilbrio. Assim, a carga crtica encontrada para n=1 muda o estado de equilbrio de uma barra reta

para uma barra que tem a forma da figura 5. Nesta situao se diz que ocorreu a flambagem da barra

por compresso.

5

Figura 05 Barra flambada com PCR para n = 1

A carga crtica encontrada para n=2 muda o estado de equilbrio de uma barra que tem a

forma da figura 4 para uma que tem a forma da figura 6.

Figura 06 Barra flambada com PCR para n = 2

Para as estruturas, em geral, se interessa descobrir a carga crtica para n=1. No presente

captulo far-se- est considerao.

6

Um fato importante de ser lembrado que a soluo da expresso (3) foi encontrada

atravs das condies de apoio da barra.

A carga crtica para uma coluna ideal conhecida como a carga de flambagem de Euler,

devido ao famoso matemtico suo Leonhard Euler (1707-1783), que foi o primeiro a estabelecer

uma teoria de flambagem para colunas.

O modo de flambagem tambm pode ser chamado de modo de flambagem fundamental(ou

primeiro modo). Embora a coluna possa teoricamente flambar no segundo modo de flambagem,

figura 5, se uma carga , fosse aplicada, isso s poderia ocorrer se existisse

algum suporte lateral em (travamento) para prevenir a coluna de flambar no primeiro modo,

na carga de Euler bem menor de

A expresso da carga de Euler pode ser escrita em termos da tenso crtica de (de

flambagem).

(10)

Onde:

= Tenso crtica (da flambagem elstica);

E = Mdulo de elasticidade do material;

r = = raio de girao;

L = comprimento do elemento entre suportes.

Na expresso (10), o quociente chamado de ndice de esbeltez da barra e indicado

pela letra .

(11)

7

O ndice de esbeltez uma medida relativa entre o comprimento da barra e sua seo

transversal. Uma barra esbelta quando seu comprimento grande perante sua seo transversal.

Assim, a expresso (10) fica:

(12)

2.1. COMPRIMENTO EFETIVO DAS COLUNAS

A carga de flambagem de Euler, equao (7) foi desenvolvida para uma coluna bi-

articulada. Posteriormente, com as modificaes nas condies de contorno, obteve-se a carga de

flambagem para uma coluna engastada e rotulada que difere da primeira apenas n valor da constante

multiplicativa.

Desta forma, a equao de Euler pode ser estendida pra dar a carga de flambagem elsticas

de colunas com condies de contorno arbitrrias sendo reescrita como, , onde Le

o comprimento efetivo da coluna.

Fisicamente, o comprimento efetivo de uma coluna a distncia entre pontos de momento

nulo, quando a coluna fletida em seus modos fundamentais de flambagem elstica.

A figura a seguir ilustra os comprimento efetivos de colunas:

(a) bi-articulada e (b) articulada e engastada.

Algumas normas de projeto de estruturas empregam um coeficiente adimensional k,

chamado de fator de comprimento efetivo, onde:

(13)

Desta forma, a carga de flambagem elstica passa a ser dada por,

(14)

8

Figura 07 Comprimentos efetivos das respectivas colunas

Onde os valores de k esto indicados na figura anterior. E a equao para a tenso elstica

de flambagem pode ser reescrita como,

(15)

Onde o ndice de esbeltez multiplicado pelo fator do comprimento efetivo.

2.2. FLAMBAGEM ELSTICA E INELSTICA

A expresso (12) mostra que a tenso de flambagem funo do ndice de esbeltez da

barra. Com ela, possvel traar o grfico da figura 8.

(a) Coluna com

extremidades fixas por

articulaes, k=1

(b) Coluna com uma

extremidade engastada e

outra engastada, k=0,7

9

Figura 08 - Grfico da tenso de flambagem em funo do ndice de esbeltez para

E=200GPa

Pela figura 8 possvel observar que barras com esbeltez muito pequena necessitam de

uma tenso muito grande para que ocorra a flambagem. Deve-se levar em conta tambm que, as

expresses at aqui obtidas possuem como premissa a validade da lei de Hooke. Esta lei tem

validade desde que a tenso no ultrapasse a tenso limite de proporcionalidade do material ( ).

Assim, a equao de Eler possui validade para tenses abaixo de .

Figura 09 - Grfico da tenso de flambagem em funo do ndice de esbeltez mostrando a

validade da Equao de Eler.

10

Na figura 9 est indicado o valor para onde a tenso necessria para a flambagem . A

este valor, se d o nome de ndice de esbeltez limite e se indica por lim.

A primeira vista, se pode imaginar que barras com esbeltez menor que o limite no

apresentam o fenmeno da flambagem. Isto no verdade, estas barras tambm podem apresentar

flambagem.

Para barras com ndice de esbeltez muito pequeno, a falha por compresso pode ocorrer

antes da mudana de estado de equilbrio.

3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

3.1. CONSIDERAES INICIAIS

Os experimentos realizados neste trabalho foram executados no Laboratrio de Fsica da

Faculdade Redentor. Com a realizao dos experimentos obteve-se um conjunto de dados que

permitiram fazer uma anlise dos efeitos de flambagem em colunas bi-articuladas e colunas

articulada e engastada.

Figura 10 Foto do experimento

11

3.2. MATERIAIS

O material utilizado nas colunas do experimento foi o Ao CA-50A, onde:

CA indica ser o ao para concreto armado;

A ou B: a classe que o ao pertence;

25, 50 ou 60: o valore da resistncia caracterstica da tenso de escoamento real.

Ou convencional em kgf/mm.

AO CA-50A Mdulo de Elasticidade (E) Tenso de Escoamento ( )

210 Gpa 500 Mpa

Tabela 01 Propriedades mecnicas do ao CA-50A

Faz-se necessrio ainda a apresentao das dimenses das colunas:

AO CA-50A Comprimento ( L ) Dimetro ()

Bi-articulada 0,791 m 5,1 mm

Articulada e engastada 0,841 m 5,1 mm

Tabela 02 Dimenses das colunas

As dimenses da base madeira so apresentadas na figura abaixo:

Figura 11 Dimenses da base

12

As dimenses do suporte so mostradas abaixo, a sua massa considerada desprezvel para

os clculos. A funo desse suporte transmitir o deslocamento provocado pela massa que ser

colocada em cima do mesmo para a coluna.

Figura 12 Suporte onde sero colocadas as massas

4. RESULTADOS

4.1. RESULTADOS DA COLUNA BI-ARTICULADA

Atravs da frmula (13) e da figura (7), obtm-se o valor do comprimento efetivo de

flambagem da coluna bi-articulada:

, onde k = 1

Momento de Inrcia (I):

Seo Aspecto I

Circular cheia

ou

Tabela 03 Momento de Inrcia do crculo cheio

4.1.1. Carga Crtica (PCR)

13

Apenas aplicando valores a frmula (8), obtemos a carga crtica da coluna bi-articulada:

Atravs desse resultado, pode-se estimar a massa necessria para a coluna chegar a carga

crtica. Adotando a acelerao da gravidade como 9,81 m/s2.

Com a massa de 11,21kg, a coluna ir atingir sua carga crtica, sendo ultrapassada esta

massa, a microestrutura do material da coluna ser afetada.

4.1.2. Tenso crtica (CR)

A tenso crtica a tenso gerada pela carga crtica que foi aplicada na coluna.

Para o clculo da tenso crtica, necessrio antes, calcular o raio de girao da coluna,

que dado pela expresso:

Sendo a tenso crtica calculada atravs da expresso (10), temos que:

14

4.1.3. ndice de esbeltez

Substituindo os valores na expresso (11), , sendo que o fator do

comprimento efetivo k, na coluna bi-articulada, tem o valor de 1. O comprimento da coluna

informado na tabela 2, e o raio de girao calculado anteriormente tem o valor de 0,001275m.

4.1.4. Distncia flambada ()

a distncia que a coluna afastou-se de seu posicionamento original. De acordo com nosso

experimento obtemos que a coluna bi-articulada comea a flambar com uma massa de 1,500 kg,

isso gera uma distncia mnima flambada que igual a 0,15cm, e mximo obtido foi uma massa

igual 7,400 kg, o que causou uma distncia de 13cm. O resultado da carga mxima no foi igual ao

calculado devido ao suporte ser pequeno, abaixo temos a foto da coluna bi-articulada com sua carga

mxima obtido no experimento (no com a carga terica):

Figura 13 Distncia flambada () da coluna bi-articulada com carga mxima

15

4.2. RESULTADOS DA COLUNA ARTICULADA E ENGASTADA

Atravs da frmula (13) e da figura (7), obtm-se o valor do comprimento efetivo de

flambagem da coluna articulada e engastada:

, onde k = 0,7

O momento de inrcia (I) ter o mesmo valor que o da coluna bi-articulada, pois

ambas possuem mesmo dimetro.

4.2.1. Carga Crtica (PCR)

Apenas aplicando valores a frmula (8), obtemos a carga crtica da coluna articulada e

engastada:

Atravs desse resultado, pode-se estimar a massa necessria para a coluna chegar a carga

crtica. Adotando a acelerao da gravidade como 9,81 m/s2.

Com a massa de 20,24kg, a coluna ir atingir sua carga crtica, sendo ultrapassada esta

massa, a microestrutura do material da coluna ser afetada.

4.2.2. Tenso crtica (CR)

A tenso crtica a tenso gerada pela carga crtica que foi aplicada na coluna.

16

O raio de girao desta coluna ser o mesmo que a da coluna bi-articulada, pois possuem o

dimetro, logo o momento de inrcia e rea, sero os mesmos.

Sendo a tenso crtica calculada atravs da expresso (10), temos que:

4.2.3. ndice de esbeltez

Substituindo os valores na expresso (11), , sendo que o fator do

comprimento efetivo k, na coluna articulada e engastada, tem o valor de 0,7. O comprimento da

coluna informado na tabela 2, e o raio de girao calculado anteriormente tem o valor de

0,001275m.

4.2.4. Distncia flambada ()

a distncia que a coluna afastou-se de seu posicionamento original. De acordo com nosso

experimento obtemos que a coluna articulada e engastada comea a flambar com uma massa de

2,400 kg, isso gera uma distncia mnima flambada que igual a 0,10cm, e mximo obtido foi uma

massa igual 10,700 kg, o que causou uma distncia de 10cm. O resultado da carga mxima no foi

igual ao calculado devido ao suporte ser pequeno, abaixo temos a foto da coluna articulada e

engastada, com sua carga mxima obtido no experimento (no com a carga terica):

17

Figura 14 Distncia flambada () da coluna articulada e engastada com carga mxima

4.3. COMPARAES ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS

Coluna Bi-articulada

Coluna Articulada e

Engastada

Carga crtica 110 N 198,6 N

Tenso crtica 5,385 MPa 9,72 MPa

ndice de esbeltez 620,4 461,72

Tabela 04 - Comparao dos valores obtidos em cada tipo de coluna

Distncia flambada () Massa (kg) Distncia

(cm)

Massa (kg) Distncia

(cm)

Coluna Bi-articulada 1,5 0,15 2,4 0,1

Coluna Articulada e Engastada 7,4 13 10,7 10

Tabela 05 Comparao dos valores obtidos na distncia flambada

18

5. CONCLUSO

Atravs do que foi apresentado pode-se concluir que os ensaios de flambagem so de

grande importncia para a engenharia, quando se necessita conhecer ou verificar, o comportamento

de colunas quando submetidas a cargas.

Observaram-se as caractersticas do ensaio de flambagem. Um dos objetivos principais a

comparao dos valores obtidos experimentalmente no ensaio com os valores tericos encontrados.

Todos os valores encontrados no puderam ser comparados efetivamente devido ao suporte do

experimento ser curto, o que no possibilita a colocao da carga crtica para maiores comparaes.

Por fim, a realizao do relatrio foi importante de modo a acrescentar em nossa carreira

acadmica, pois trouxe a prova consultas de normas e conhecimentos prticos ao grupo, bem como

toda teoria dos ensaios de flambagem. Cumprindo assim seus objetivos.

6. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

BEER, Ferdinand P. e E. Russell Johnston Jr., Resistncia dos Materiais, Editora Makron

Books, 3 edio, So Paulo SP Brasil.

VAN VLACK, Lawrence Hall, Princpio da Cincia e Tecnologia dos Materiais, Editora

Elsevier, 4 edio, Rio de Janeiro RJ Brasil, 1984.

http://www.zfr.com.br/br/catalogo_zfr.pdf

http://inf.unisinos.br/~karla/resistencia/flamba/index.htm

http://www.semeatofundicao.com.br/br/especificacao.php

http://openlink.br.inter.net/lucianolima/cap1_2.pdf

19

Documents

Relatório de Flambagem