Diferenças Finitas em Problemas de Flambagem

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E

URBANISMO

Departamento de Estruturas

Diferenças Finitas em Problemas de Flambagem

Prof. Dr. Nilson T. Mascia

Campinas, 1996

Eng. MSc. Ramon Vilela

Revisão 2021

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo Unicamp

2

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 3

2 ESTUDOS DA FUNÇÃO APROXIMADORA .......................................... 4

2.1 Parábola de segundo grau ..................................................................... 4

2.2 Parábola de quarto grau ......................................................................... 6

3 ESTIMATIVA DO ERRO ........................................................................... 8

4 APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ............... 11

4.1 Exemplo 1 ........................................................................................... 11

4.2 Exemplo 2 ........................................................................................... 20

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 24

Nota dos autores:

Esta apostila tem por objetivo dar ao aluno que frequenta a disciplina Complementos

de Resistência dos Materiais um material complementar, que o auxilie no

acompanhamento das aulas regulares. Não tem por objetivo substituir livros de

Mecânica dos Sólidos nem quaisquer outros materiais didáticos.


3

1 INTRODUÇÃO

Sempre que um problema técnico conduz a uma equação diferencial cuja

solução exata é trabalhosa, os métodos numéricos são uma boa alternativa para sua

solução, dentre os quais se destaca o método das diferenças finitas.

O método consiste em se aproximar as derivadas da função regente de um

problema diferencial por derivadas de funções conhecidas (denominadas de funções

aproximadas) em um certo número de pontos, onde estas funções se interceptam.

O método das diferenças finitas foi aplicado pela primeira vez por C. Runge

(1908), na solução de problemas de torção. Reduziu-se o problema à resolução de

sistemas de equações lineares. Progresso posterior foi feito por L. F. Richardson

(1910), que utilizou na resolução de equações diferenciais um certo processo de

iteração, obtendo valores aproximados dos esforços existentes em barragens devido

à força da gravidade e de pressão da água. O método de diferenças finitas teve grande

sucesso na teoria das cascas, através de H. Marcus (1919) e H. Hencky (1922). A

partir de 1946, com o advento do computador, a solução de problemas diferenciais

pelo MDF ficou finalmente simplificado e suas possibilidades de aplicação tiveram

grande avanço.

Neste estudo procurou-se não entrar no aspecto computacional para a solução

dos exemplos, pois não houve necessidade de sua utilização visto que as equações

diferenciais não são de difícil solução.


4

2 ESTUDOS DA FUNÇÃO APROXIMADORA

Escolheu-se para este trabalho a parábola como função aproximadora. Para

tanto subdividiu-se a estrutura em “n” pontos com espaçamentos iguais. Isto

possibilitou aproximarem-se as derivadas da função regente às derivadas da função

aproximadora, a parábola, denominada de parábola de interpolação.

2.1 Parábola de segundo grau

Adotando-se a função aproximadora 𝑃(𝑥) = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶, obtêm-se os

seguintes resultados:

Figura 1 – Função aproximadora de segundo grau.

a) Primeira derivada

(𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥)𝑥𝑖

≅ (𝑑𝑃(𝑥)

𝑑𝑥)𝑥𝑖

= limΔ𝑥→0

𝑃(𝑥𝑖 + Δ𝑥) − 𝑃(𝑥𝑖)

Δ𝑥≅𝑦𝑑 − 𝑦𝑒2ℎ

b)

(1)

Notar que:


5

𝑦𝑖 = 𝑃(𝑥𝑖) = 𝐴𝑥𝑖2 + 𝐵𝑥𝑖 + 𝐶 (2)

𝑦𝑑 = 𝑃(𝑥𝑖 + ℎ)

= 𝐴(𝑥𝑖 + ℎ)2 + 𝐵(𝑥𝑖 + ℎ) + 𝐶

= 𝐴𝑥𝑖2 + (2𝐴ℎ + 𝐵)𝑥𝑖 + (𝐴ℎ

2 + 𝐵ℎ + 𝐶)

(3)

𝑦𝑒 = 𝑃(𝑥𝑖 − ℎ) = 𝐴(𝑥𝑖 − ℎ)2 + 𝐵(𝑥𝑖 − ℎ) + 𝐶

= 𝐴𝑥𝑖2 + (−2𝐴ℎ + 𝐵)𝑥𝑖 + (𝐴ℎ

2 − 𝐵ℎ + 𝐶)

(4)

𝑦𝑑 − 𝑦𝑒 = 4𝐴ℎ𝑥𝑖 + 2𝐵ℎ (5)

∴ 𝑦𝑑 − 𝑦𝑒2ℎ

= 2𝐴𝑥 + 𝐵 (6)

Ou:

(𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥)𝑥𝑖

= y′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵 (7)

Em forma de operador:

𝑦′ =1

2ℎ[(−1) − (0) − (1)] (8)

c) Segunda derivada

(𝑑2𝑦(𝑥)

𝑑𝑥2)𝑥𝑖

= (𝑑2𝑃(𝑥)

𝑑𝑥2)𝑥𝑖

=

[𝑑

𝑑𝑥(𝑑𝑃(𝑥)

𝑑𝑥)]𝑥𝑖

= lim∆𝑥→0

(𝑑𝑃(𝑥)+Δ𝑥

𝑑𝑥)𝑥𝑖− (

𝑑𝑃(𝑥)

𝑑𝑥)𝑥𝑖

Δ𝑥

(9)

Ou:


6

𝑦𝑑 −𝑦𝑖

2(ℎ

2)−𝑦𝑖 −𝑦𝑒

2(ℎ

2)

ℎ=𝑦𝑑 − 2𝑦𝑖 − 𝑦𝑖

ℎ2

(10)

Portanto, a derivada segunda no ponto “i” é aproximada por:

𝑦𝑖´′′ =

1

ℎ2(𝑦𝑑 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑒) (11)

Ou ainda, em forma de operador:

𝑦𝑖′′ =

1

ℎ2[(1) − (2) − (1)] (12)

Notar que:

1

ℎ2[𝑦𝑑 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑒]

=1

ℎ2[𝑥𝑖2(𝐴 − 2𝐴 − 𝐴) + 𝑥𝑖(−2𝐴ℎ + 𝐵 − 2𝐵 + 2𝐴ℎ + 𝑏)

+ (𝐴ℎ2 − 𝐵ℎ + 𝐶 − 2𝐶 + 𝐴ℎ2 + 𝐵ℎ + 𝐶)]

=1

ℎ2[2𝐴ℎ2]

= 2𝐴

(13)

Ou:

(𝑑2𝑃(𝑥)

𝑑𝑥)𝑥𝑖

= 2𝐴 (14)

2.2 Parábola de quarto grau

Adotando-se a parábola de quarto grau, obtém-se de forma análoga à anterior

as expressões para a terceira e quarta derivadas:

𝑃(𝑥) = 𝐴𝑥4 + 𝐵𝑥3 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸 (15)


7

Figura 2 – Função aproximadora de quarto grau.

a) Terceira derivada

A Terceira derivada, no ponto de subdivisão “i”, é aproximada por:

𝑦𝑖′′′ =

1

2ℎ3[−𝑦𝑒𝑒 + 2𝑦𝑒 − 2𝑦𝑑 + 𝑦𝑑𝑑] (16)


𝑦𝑖′′′ =

1

2ℎ3[−(1) − (2) − (0) − (−2) − (1)] (17)

b) Quarta derivada

A quarta derivada, no ponto de subdivisão “i”, é aproximada por:

𝑦𝑖𝐼𝑉 =

1

ℎ4[𝑦𝑒𝑒 − 4𝑦𝑒 + 6𝑦𝑖 − 4𝑦𝑑 + 𝑦𝑑𝑑] (18)


𝑦𝑖𝐼𝑉 =

1

ℎ4[(1) − (−4) − (6) − (−4) − (1)] (19)


8

3 ESTIMATIVA DO ERRO

É evidente que nas expressões obtidas anteriormente para aplicação das

diferenças finitas existe um erro que diminui à medida que o espaçamento “h” se

torna menor.

Nota-se que os espaçamentos h são iguais para se ter uma melhor noção do

erro.

Para se encontrar a expressão do erro, que depende de h, utiliza-se a série de

Taylor, ou seja:

(𝑥 + ℎ) = 𝑦(𝑥) + ℎ𝑦′(𝑥) +ℎ2

2!𝑦′′(𝑥) +

ℎ3

3!𝑦′′′(𝑥)… = ∑

ℎ𝑛

𝑛!𝑦(𝑛)(𝑥)

∞

𝑛=0

(20)

Fazendo,

𝑦𝑑 = 𝑦(𝑥 + ℎ) (21)

𝑦𝑒 = 𝑦(𝑥 − ℎ) (22)

𝑦(𝑥) = 𝑦𝑖 (23)

tem-se:

𝑦𝑑 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑦𝑖′ +

ℎ2

2!𝑦𝑖′′ +⋯+

ℎ𝑛

𝑛!𝑦𝑖(𝑛) +⋯ (24)

𝑦𝑒 = 𝑦𝑖 − ℎ𝑦𝑖′ +

ℎ2

2!𝑦𝑖′′ +⋯+ (−1)′′

ℎ𝑛

𝑛!𝑦𝑖(𝑛) +⋯

(25)

a) Erro na primeira derivada

Fazendo 𝑦𝑖′ =

𝑦𝑑−𝑦𝑒

2ℎ, obtém-se:

𝑦𝑑 − 𝑦𝑒2ℎ

= 𝑦𝑖′ +

ℎ2

3!𝑦𝑖′′ +⋯+

ℎ𝑛−1

𝑛!𝑦𝑖(𝑛) +⋯ , para 𝑛 ímpar.

(26)

Como 𝑦𝑖′ =

𝑦𝑑−𝑦𝑒

2ℎ, o erro é dado por:


9

𝐸𝑅𝑅𝑂 =ℎ2

3!𝑦𝑖′′ +

ℎ4

5!𝑦𝑖(5) +⋯+

ℎ𝑛−1

𝑛!𝑦𝑖(𝑛) +⋯ , para 𝑛 ímpar.

(27)

O erro cometido tende a zero tão rapidamente quanto ℎ2, ou seja, é da ordem

de ℎ2.

b) Erro na segunda derivada

De forma análoga à anterior, obtém-se:

𝐸𝑅𝑅𝑂 =2ℎ2

4!𝑦𝑖(4) +

2ℎ4

6!𝑦𝑖(6) +⋯+

ℎ𝑛−2

𝑛!𝑦𝑖(𝑛) +⋯ , para 𝑛 par.

(28)

c) Erro na terceira derivada

Desenvolvendo-se em série de Taylor os seguintes binômios:

𝑦𝑒𝑒 = 𝑦(𝑥 − 2ℎ) (29)

𝑦𝑒 = 𝑦(𝑥 − ℎ) (30)

𝑦𝑖 = 𝑦(𝑥) (31)

𝑦𝑑 = 𝑦(𝑥 + ℎ) (32)

𝑦𝑑𝑑 = (𝑥 + 2ℎ) (33)

que resultam após operações algébricas, obtém-se para terceira derivada um erro,

também da ordem de ℎ2:


5!𝑦𝑖(5) +

ℎ4

7!𝑦𝑖(7) +⋯+

(2𝑛−1 − 4)ℎ𝑛−3

2𝑛!𝑦𝑖(𝑛) +⋯ ,

para 𝑛 ímpar.

(34)

d) Erro na quarta derivada

De forma análoga à anterior, obtém-se para a quarta derivada um erro da ordem

de ℎ2, dado por:


10


6!𝑦𝑖(6) +

ℎ4

8!𝑦𝑖(8) +⋯+

(2𝑛−1 − 8)ℎ𝑛−4

𝑛!𝑦𝑖(𝑛) +⋯ ,

para 𝑛 par.

(35)


11

4 APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Para determinação da carga crítica de Euler em problemas de flambagem,

obtém-se pelo cálculo variacional a chamada equação diferencial da flambagem.

Visando a simplificar a solução desta equação diferencial aplica-se o Método das

Diferenças Finitas.

4.1 Exemplo 1

Seja uma barra biarticulada sujeita a uma carga normal de compressão P.

Dados E, módulo de elasticidade, I, momento de inércia e S, área da seção

transversal.

Figura 3 – Barra biarticulada.

Pelo cálculo variacional tem-se o seguinte funcional:

𝜋[𝑢, 𝑣] = ∫𝐸𝑆

2(𝑢′)2𝑑𝑥

ℓ

0

+ 𝑃𝑢(ℓ) + ∫𝐸𝐼

2(𝑣)2𝑑𝑥

ℓ

0

− 𝑃𝐴 (36)

que é montado também da seguinte maneira:

π[𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥)] = 𝑈 + 𝑇𝑒 (37)

a) Cálculo de 𝑼𝒖


12

𝑈𝑢 = ∫1

2𝜎𝑥𝜀𝑥𝑑𝑉

𝑉

= ∫1

2𝐸(𝜀𝑥)

2𝑑𝑉𝑉

(38)

𝜀𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥= 𝑢′; 𝑑𝑉 = 𝑆𝑑𝑥 (39)

Portanto:

𝑈𝑢 = ∫𝐸𝑆

2(𝑢′)2𝑑𝑥

ℓ

0 (40)

b) Cálculo de 𝑼𝒗

Figura 4 – Referências geométricas de um segmento de barra deslocado.

𝜀𝑥 =𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ − 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅=(𝑑𝑥 − 𝜃𝑦 + 𝜃𝑦 + 𝑦

𝑑𝜃

𝑑𝑥− 𝑑𝑥)

𝑑𝑥= 𝑦

𝑑𝜃

𝑑𝑥 (41)


13

𝜀𝑥 = 𝑦𝑑𝜃

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥= 𝑦

𝑑𝜃

𝑑𝑥 (42)

Pequenas deformações:

𝜃 = −𝑑𝑣

𝑑𝑥∴𝑑𝜃

𝑑𝑥= −

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 (43)

𝜀𝑥 = −𝑦𝑑2𝑣

𝑑𝑥2= −𝑣 ′′𝑦 (44)

𝑈𝑣 = ∫1

2𝜎𝑥𝜀𝑥𝑑𝑉

𝑉

= ∫1

2(𝐸𝜀𝑥)𝜀𝑥𝑑𝑉

𝑉

+∫1

2𝐸(𝜀𝑥)

2𝑑𝑉𝑉

(45)

𝑈𝑣 = ∫1

2𝐸(−𝑣′′𝑦)2𝑑𝑆𝑑𝑥

𝑥

= ∫1

2𝐸 [∫𝑦2𝑑𝑆] (−𝑣′′)2𝑑𝑥

𝑥

= ∫1

2𝐸𝐼(−𝑣′′)2𝑑𝑥

𝑥

(46)

onde:

𝐼 = ∫𝑦2𝑑𝑆 (47)

𝑈𝑣 = ∫1

2𝐸𝐼(−𝑣′′)2𝑑𝑥

ℓ

0

(48)

c) Reunindo-se a) e b), tem-se:

𝑈 = 𝑈𝑢 + 𝑈𝑣 (49)

𝑈 = ∫𝐸𝑆

2(𝑢′)2𝑑𝑥

ℓ

0

+∫𝐸𝐼

2(−𝑣′′)2𝑑𝑥

ℓ

0

(50)

que corresponde à energia potencial.


14

d) Cálculo do trabalho externo (𝑻𝒆)

Sendo Δ o deslocamento do ponto 𝑥 = ℓ devido à existência da função 𝑣, para

pequenos deslocamentos, pode ser calculado pela seguinte maneira:

Figura 5 – Deslocamento vertical Δ devido ao deslocamento horizontal 𝑣.

𝑑Δ = 𝑑𝑥(𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝜑) = 2𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝜑

2≈ 2𝑑𝑥𝑡𝑔2

𝜑

2≈𝑣′2

2𝑑𝑥 (51)

Então:

∆= ∫1

2(𝑣′)2𝑑𝑥

ℓ

0

(51)

Portanto 𝑇𝑒 para 𝑣 será igual a:

𝑇𝑒𝑣 = 𝑃. Δ = 𝑃∫1

2(𝑣′)2𝑑𝑥

ℓ

0

(53)

Devido ao encurtamento da barra em 𝑢𝑥 = ℓ tem-se também o trabalho para u:


15

𝑇𝑒𝑢 = −𝑃. 𝑢(ℓ) (54)

O trabalho externo total será:

𝑇𝑒 = 𝑇𝑒𝑢 + 𝑇𝑒𝑣 = −𝑃. 𝑢(ℓ) + 𝑃∫1

2(𝑣′)2𝑑𝑥

ℓ

0

(55)

Ficando assim demonstrado o funcional utilizado na solução do problema em

questão.

e) Do funcional são obtidas as equações diferenciais de Euller, quando são

dadas 𝜹𝒖 e 𝜹𝒗 às funções 𝒖 e 𝒗

𝐸𝑆𝑢" = 0 ⇒ 𝑢 = 𝐴1 + 𝐴2𝑥 (56)

𝐸𝐼𝑣𝑖𝑣 + 𝑃𝑣" = 0 ⇒ 𝑣 = 𝐵1 + 𝐵2𝑥 + 𝐵3𝑐𝑜𝑠𝐾 + 𝐵4𝑠𝑒𝑛𝑘 = 0 (57)

com 𝐾2 =𝑃

𝐸𝐼.

Chega-se a duas equações diferenciais, sendo a primeira de fácil solução.

Na segunda equação, aplicam-se as condições de contorno para baixar a ordem

da derivada, a fim de se simplificar a equação.


16

Figura 6 – Barra biarticulada.

𝐸𝐼𝑣𝑖𝑣 + 𝑃𝑣" = 0 (58)

Ou:

𝑣𝑖𝑣 + 𝐾2𝑣" = 0 (59)

Daí:

𝑣′′′ + 𝐾2𝑣′ + 𝐶1 = 0 (60)

E:

𝑣′′ + 𝐾2𝑣 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = 0 (61)

Condições de contorno para o problema na forma indeformada:

𝑥 = 0 ⇒ 𝑣 = 0 𝑒 𝑣′′ = 0 ⇒ 𝐶2 = 0

𝑥 = ℓ ⇒ 𝑣′ = 0 𝑒 𝑣′′′ = 0 ⇒ 𝐶1 = 0

Portanto:


17

𝑣′′ + 𝐾2𝑣 = 0 (62)

Aplicando-se diferenças finitas, ter-se-á:

𝑦𝑖´′′ =

1

ℎ2(𝑦𝑖−1 − 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1) (52)

Então:

𝑣𝑖´′′ =

1

ℎ2(𝑣𝑖−1 − 2𝑣𝑖 + 𝑣𝑖+1) (64)

Adotando-se ℎ = ℓ2⁄ , considerando-se que os pontos 2 e 4 estão localizados

nos apoios da barra.

Figura 7 – Seis segmentos de barra com ℎ = ℓ/2.

Ponto 2:

(𝑣3 − 2𝑣2 + 𝑣1)

(ℓ

2)2 + 𝐾2𝑣2 = 0 (65)

Ponto 3:

(𝑣4−2𝑣3+𝑣2)

(ℓ

2)2 + 𝐾2𝑣3 = 0 (66)


18

Ponto 4:

(𝑣5 − 2𝑣4 + 𝑣3)

(ℓ

2)2 + 𝐾2𝑣4 = 0 (67)

Condições de contorno: 𝑣2 = 𝑣4 = 0. Daí:

{

𝑣3 + 𝑣1 = 0

−2𝑣3

(ℓ

2)2 + 𝐾

2𝑣3 = 0

𝑣5 + 𝑣3 = 0

(68)

De (68)

𝑣3 (−2

(ℓ

2)2 + 𝐾

2) = 0 (69)

com a elástica em 𝑣 estável e solução não trivial:

⟹ 𝑣3 ≠ 0 ∴ 𝐾2 =

2

(ℓ

2)2 (70)

Daí:

𝐾2 =𝑃

𝐸𝐼=

8

(ℓ)2 (71)

Portanto:

𝑃 =8𝐸𝐼

(ℓ)2 (72)

Sabe-se que a carga crítica teórica vale 𝑃 =𝜋2

ℓ2𝐸𝐼, portanto o erro é de 19%.

Nesse sentido, toma-se um intervalo (h) menor visando a se diminuir o erro.

Para ℎ =ℓ

4 e considerando-se que os pontos 2 e 6 estão localizados nos apoios

da barra.


19


Ponto 3:

𝑣4 − 2𝑣3 + 𝑣2

(ℓ

4)2 + 𝐾2𝑣3 = 0 (73)

Ponto 4:

𝑣5 − 2𝑣4 + 𝑣3

(ℓ

4)2 + 𝐾2𝑣4 = 0 (74)

Ponto 5:

𝑣6 − 2𝑣5 + 𝑣4

(ℓ

4)2 + 𝐾2𝑣5 = 0 (75)

Condições de contorno: 𝑣2 = 𝑣6 = 0. Daí de (73) e (75) tem-se:

{

𝑣4 − 2𝑣3

(ℓ

4)2 + 𝐾2𝑣3 = 0 ⇒ 𝑣3 =

−𝑣4

(ℓ2

16𝐾2 − 2)

−2𝑣5 + 𝑣4

(ℓ

4)2 + 𝐾2𝑣5 = 0 ⇒ 𝑣5 =

−𝑣4

(ℓ2

16𝐾2 − 2)

(76)


20

Substituindo-se (76) em (74), função de 𝑣4, tem-se para a solução trivial:

𝑣4 ≠ 0 ⇒ 𝐾2 =9,375

(ℓ)2 (77)

Ou:

𝐾2 =𝑃

𝐸𝐼=9,375

(ℓ)2 (78)

E:

𝑃 =9,375𝐸𝐼

(ℓ)2 (79)

Desse modo o erro é 5,03%.

4.2 Exemplo 2

Seja uma barra engastada, sujeita à carga normal de compressão P.

Figura 9 – Barra engastada-livre.

Pelo cálculo variacional tem-se o seguinte funcional:


21

𝜋[𝑢, 𝑣] = ∫𝐸𝑆

2

ℓ

0

(𝑢′)2𝑑𝑥 + 𝑃𝑢(ℓ) +∫𝐸𝐼

2

ℓ

0

(𝑣′′)2𝑑𝑥 − 𝑃∫ (𝑣′)2𝑑𝑥ℓ

0

(80)

Resultando a seguinte equação diferencial:

𝐸𝐼𝑣𝑖𝑣 + 𝑃𝑣′′ = 0 (81)

Ou:

𝑣𝑖𝑣 + 𝐾2𝑣′′ = 0 (82)

com 𝐾2 =𝑃

𝐸𝐼 .

Analogamente ao exemplo 1 tem-se:

Daí:

𝑣′′′ + 𝐾2𝑣′ + 𝐶1 = 0 (83)

E:

𝑣′′ + 𝐾2𝑣 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = 0 (84)

Com as condições de contorno para o problema na forma indeformada em (83)

e (84) tem-se:

𝑥 = 0 ⇒ 𝑣′ = 0 ; 𝑣′′′ = 0 ⇒ 𝐶1 = 0

𝑥 = 0 ⇒ 𝑣 = 0 𝑒 𝑣′′ = 0 ⇒ 𝐶2 = 0

Portanto (84) reduz a:

𝑣′′ + 𝐾2𝑣 = 0 (85)


22

Aplicando-se diferenças finitas com ℎ = ℓ 2⁄ e as seguintes condições de

contorno e considerando-se que os pontos 2 e 4 estão localizados nos apoios da

barra:

𝑥 = 0 ⇒ 𝑣2 = 0

𝑥 = ℓ ⇒ 𝑣4′ = 0 ⇒

(𝑣5 − 𝑣3)

2 (ℓ

2)

= 0 ⇒ 𝑣5 − 𝑣3 = 0 ∴ 𝑣5 = 𝑣3


No ponto 3:

(𝑣2 − 2𝑣3 + 𝑣4)

(ℓ

2)2 + 𝐾2𝑣3 = 0 (86)

No ponto 4:

(𝑣5 − 2𝑣4 + 𝑣3)

(ℓ

2)2 + 𝐾2𝑣4 = 0 (87)

Assim:


23

{

𝑣2 − 2𝑣3 + 𝑣4 +

𝐾2ℓ2

4𝑣3 = 0

𝑣5 − 2𝑣4 + 𝑣3 +𝐾2ℓ2

4𝑣4 = 0

𝑣5 = 𝑣3 ; 𝑣2 = 0

(88)

tem-se:

{

−2𝑣3 + 𝑣4 +

𝐾2ℓ2

4𝑣3 = 0 ⇒ 𝑣4 = 2𝑣3 −

𝐾2ℓ2

4𝑣3

2𝑣3 − 2𝑣4 +𝐾2ℓ2

4𝑣4 = 0

(89)

Sendo 𝐾2ℓ2

4= 𝑎 segunda equação de (89) fica:

2𝑣3 − (2𝑣3 − 𝑎𝑣3)(𝑎 − 2)=0

𝑣3(𝑎2 − 4𝑎 + 2)=0

(90)

E para a solução não trivial:

𝑣3 ≠ 0 ∴ (𝑎2 − 4𝑎 + 2)=0

(91)

Daí as raízes da equação são: a=0,585 ou a=3,312. Para a primeira tem-se:

𝐾2ℓ2

4= 𝑎 = 0,585 ⇒ 𝑃 =

2,34 𝐸𝐼

ℓ2

(92)

Sabe-se pela solução exata que 𝑃 =𝜋2

4ℓ2𝐸𝐼. Logo o erro é de cerca de 5%.


24

BIBLIOGRAFIA

CARNAHAM, B.; LUTHER, H. A.; WILKES, James O. Applied Numerical

Methods. New York: John Wiley & Sons, 1969. 604p.

DEMIDIVICH, B. P.; MARON, I. A. Cálculo Numérico Fundamental. Traduzido

por Miguel M. Calvo. Madri: Paraninfo, 1977. 746 p.

KELLY, L. G. Handbook of Numerical Methods and Applications. Reading,

Massachussetts, Addison – Wesley, 1967. 354 p.

MATHEMATICS FOUNDATION COURSE TEAM. Finite Differences. Walton

Hall, Bletchley, The Open University, 1970. 63 p.

TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Theory of elasticity. 3. ed. New York:

McGraw Hill; Tokyo: Kogakusha, 1970. 567 p. (International Student Edition).

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