Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - derivação numérica: -aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas -diferenças finitas de

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas

- derivação numérica:-aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas-diferenças finitas de primeira ordem-diferenças finitas de segunda ordem-formulas com precisão elevada-derivação com pontos não igualmente espaçados

- integração numérica:-Integração Newton-Cotes:

-regra de trapézios-regra de Simpson 1/3-regra de Simpson 3/8-integração com pontos não equidistantes

-Integração de funções:-método de Romberg-quadratura Gaussiana

Derivação e integração numéricas

Pontos mais importantes:

1


A função a ser diferenciada ou integrada pode ser tipicamente:-uma função contínua simples e.g. polinómio, exponencial ou trigonométrica- uma função contínua complicada, difícil ou frequentemente impossível de ser derivada ou integrada directamente- conjunto dos pontos

Nos últimos dois casos a derivada ou integral é determinada numericamente usando métodos aproximados!

Engenharia: - estudo de variação de quantidades físicas com o espaço

e/ou tempo -------> derivação

- as leis de natureza são dadas por equações diferenciais

(mecânica dos fluidos, transferência do calor e massa, cinética, etc.),

solução ------------> integração

2


Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas)

Derivação numérica de primeira ordem:

(i) diferença dividida finita progressiva:-a expansão de Taylor pode ser usada para aproximar as derivadas de uma

função contínua:

f x f x f x x xf x

x xf x

nx x Ri i i i i

ii i

ni

i in

n( ) ( ) ( )( )( )

!( ) ...

( )

!( )( )

( ) ( )

11

1

2

12

12

-truncatura após o segundo termo, e rearrangando o resultado para a derivada dá:

f xf x f x

hh

f

hhi

i i i( )( ) ( )

( ) ( )1 0 0

-h=xi+1-xi (passo)-o erro é proporcional a h-o operador representa as diferença finitas progressivas

eq. *

3

truncatura


- Exemplo

1 0 0,54

2 0,25 0,49

3 0,5 0,32

4 0,75 0,01

x f(x)h

fii

2,025,0

54,049,0

h

)x(f)x(f

h

f

dx

df 121

0x

68,025,0

49,032,0

h

)x(f)x(f

h

f

dx

df 232

25,0x

24,125,0

32,001,0

h

)x(f)x(f

h

f

dx

df 343

5,0x

4

-0,2

-0,68

-1,24

-



(ii) diferença dividida finita regressiva:

-duma maneira semelhante a expansão de Taylor pode ser escrita para um

ponto anterior:

f x f x f x hf x

h Ri i ii

n( ) ( ) ( )( )( )

!...( )

( )

11

22

2eq. **

- eq. ** pode ser rearrangada para a derivada:

f xf x f x

hh

f

hhi

i i i( )( ) ( )

( ) ( )1 0 0

-o erro é proporcional a h-o operador representa as diferença finitas regressivas

5

truncatura



(iii) diferença dividida finita central:

-subtracção de eq.** na eq. * resulta:

f x f x f x hf x

hi i i( ) ( ) ( )( )( )

....( )( )

1 11

332

3

- rearrangando para a derivada temos:

f xf x f x

hh

f

hh

fhi

i i i( )( ) ( )

( ) ( )( )

....( )

1 1 2 23

2

20

20

3

6


7

- Exemplo

1 0 0,54

2 0,25 0,49

3 0,5 0,32

4 0,75 0,01

x f(x)i

2,025,0

54,049,0

h

)x(f)x(f

h

f

dx

df 122

25,0x

68,025,0

49,032,0

h

)x(f)x(f

h

f

dx

df 233

5,0x

24,125,0

32,001,0

h

)x(f)x(f

h

f

dx

df 344

75,0x

44,05,0

54,032,0

h2

)x(f)x(f

h2

f

dx

df 132

25,0x

96,05,0

49,001,0

h2

)x(f)x(f

h2

f

dx

df 243

5,0x

h

fih

fih2

fi

-0,2 - -

-0,68 -0,2 -0,44

-1,24 -0,68 -0,96

- -1,24 -



Derivação numérica de segunda ordem:

(i) diferença dividida finita progressiva:

-a expansão de Taylor pode para aproximar o valor de função no ponto x+2h:

f x f x f x hf x

hi i ii( ) ( ) ( )( )

( )

!( ) ...( )

( )

21

222

22

-multiplicação de eq.* por 2, e subtracção na eq. ***, após rearranjo resulta na formula seguinte para a segunda derivada:

eq. ***

f xf x f x f x

hh

f

hhi

i i i i( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2 12

2

2

20 0

8


(ii) diferença dividida finita regressiva:


f xf x f x f x

hh

f

hhi

i i i i( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2

0 01 22

2

2

(iii) diferença dividida finita central:

f xf x f x f x

hh

f

hhi

i i i i( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 12

22

222

0 0

9


- Exemplo

1 0 0,54

2 0,25 0,49

3 0,5 0,32

4 0,75 0,01

x f(x)i

10

92,10625,0

54,049,0232,0

h

)x(f)x(f2)x(f

h

f

dx

fd2

1232

22

25,0x

2

2

92,10625,0

54,049,0232,0

h

)x(f)x(f2)x(f

h

f

dx

fd2

1232

12

0x

2

2

24,20625,0

49,032,0201,0

h

)x(f)x(f2)x(f

h

f

dx

fd2

2342

22

25,0x

2

2

92,10625,0

54,049,0232,0

h

)x(f)x(f2)x(f

h

f

dx

fd2

1232

32

5,0x

2

2

24,20625,0

49,032,0201,0

h

)x(f)x(f2)x(f

h

f

dx

fd2

2342

42

75,0x

2

2

24,20625,0

49,032,0*201,0

h

)x(f)x(f2)x(f

h

f

dx

fd2

2342

32

5,0x

2

2

2i

2

h

f2

i2

h

f2

i2

h

f

-1,92 - -

-2,24 - -1,92

- -1,92 -2,24

- -2,24 -



Formulas com precisão elevada:

-o nível de precisão da aproximação pode ser elevada considerando mais alguns termos da expansão de Taylor:

f x f x f x x xf x

x xi i i i ii

i i( ) ( ) ( )( )( )

!( ) ...( )

( )

11

1

2

12

2 truncatura

-rearranjando a expressão anterior para a primeira derivada dá:

f xf x f x

h

f xh h

f x f x

h

f x f x f x

hh h

f x f x f x

hh

ii i i i i i i i

i i i

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2 12

2

2 1 2

20

2

20

4 3

20 =



Diferenciação numérica

Derivação com pontos não igualmente espaçados:

-às vezes dados (experimentais) disponíveis não são igualmente espaçados ---->

os métodos anteriores não podem ser usados

-solução: aplicação de um polinómio de Lagrange de grau 2 para cada conjunto

de 3 pontos, e derivação analítica do aproximador:

f x

x x x

x x x xf x

x x x

x x x xf x

x x x

x x x xf xi i

i i i ii

i i

i i i ii

i i

i i i ii( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2 2 21

1 11

1 1

1 1

1

1 1 11

-vantagem: x pode ter qualquer valor-desvantagem: a expressão é mais complicada do que dif. div. fin.

13


Diferenciação numérica

- a diferenciação numérica geralmente tende a amplificar os erros que afectam os

dados ------> a primeira aproximação com regressão seguida de derivação

- também a diferenciação baseada num polinómio interpolador é um processo

essencialmente instável -------> pode conduzir a erros importantes

14


Integração numérica, formulas de Newton-Cotes

-substituir uma função muito complicada ou conhecida apenas sob forma

discreta por uma função de aproximação facilmente integrável:

sendo fn(x) um polinómio de grau n (bom aproximador e facilmente

integrável)

-formulas fechadas: os valores de função são conhecidas nos limites

(interpolação)

-formulas abertas: os limites de integração são fora do intervalo dos

dados disponíveis (extrapolação)-usado mais para a solução de

equações diferenciais ordinárias

I f x dx f x dxa

b

n

a

b

( ) ( )

15



Regra dos trapézios:

-o polinómio aproximador de função é uma recta (grau 1)

-a área de baixo do aproximador é a área de um trapézio calculado:

A=[(b+B)/2]hb- base menorB-base maiorh-altura

-aplicando a esta regra para o aproximador:

I f x dxf a f b

b aa

b

( )( ) ( )

( )2

16

Erro

In



-um polinómio de grau um pode ser escrito:

f x f af b f a

b ax a( ) ( )

( ) ( )( )

-integrando esta função entre a e b temos que:

2

ab

ab

)a(f)b(f)b(af)a(bf

2

x

ab

)a(f)b(fx

ab

a)b(fb)a(f

2

x

ab

)a(f)b(fx

ab

)a(af)b(afx

ab

a)a(fb)a(f

axab

)a(f)b(f

2

x

ab

)a(f)b(fx)a(fdx)ax(

ab

)a(f)b(f)a(fI

22b

a

2

b

a

2

b

a

b

a

2

17



I bf a af bf b f a

b a

b abf a af b

f b f a

b a

b a b a

bf a af bbf b bf a af b af a bf a af b bf b af a

b f a f b a f b f a f a f b

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(

2 2

2 2

2 2

2 2b a )

-erro da regra dos trapézios:

-a segunda derivada de uma função linear é zero ------> exacto

E f b at 1

123( )( )

18



Aplicação múltipla da regra dos trapézios:

c- ponto médio do intervalo de interesseh=(b-a)/2

2

h

2

baf)a(fdx)x(fI

ha

a

1

2

h

2

baf)b(fdx)x(fI

b

ha

2

I I I f x dxh

f a fa b

f ba

b

1 2 2

22

( ) ( ) ( )

19

In

Erro



-quando temos n+1 pontos igualmente espaçados (x0,x1,...,xn):

I f x dx f x dx f x dx f x dx

f x f xh

f x f xh

f x f xh

x

x

x

x

x

x

x

x

n n

n

n

n

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

0 0

1

1

2

1

0 1 1 2 12 2 2

onde h=(b-a)/n

I f x f x f xh b a

nf x f x f xi

n

n i

n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )02

1

02

1

22 2

2

-erro de integração: -o erro para cada intervalo pode ser somado

En

b a f En

b a fti

nf

f

n

ii

n

1

12

1

1233

12

31

( ) ( ) ( )

( )

20


0 0 0.54

1 0.25 0.49

2 0.5 0.32

3 0.75 0.01

4 1 0.3

5 1.25 0.5

x f(x)i

13.05.0)3.001.032.049.0(254.052

025.1)x(f)x(f2)x(f

n2

abI n

1n

2i0

21

- Exemplo



Regras de Simpson:

-uma maneira para melhorar a aproximação é aumentar o grau da função

aproximadora (mais pontos necessários)

-regra de Simpson 1/3: pol. de grau 2 ----> 3 pontos

-regra de Simpson 3/8: pol. de grau 3 ----> 4 pontos

Regra de Simpson 1/3:

-na expressão anterior f2(x) é um polinómio de Lagrange, por isso:

I f x dx f x dxa

b

a

b

( ) ( )2

Ix x

x x

x x

x xf x

x x

x x

x x

x xf x

x x

x x

x x

x xf x dx

x

x

1

0 1

2

0 20

0

1 0

2

1 21

0

2 0

1

2 12

0

2

( ) ( ) ( )

22



-a solução do integral do polinómio é dado por a eq. seguinte (após algumas manipulações):

Ih

f x f x f x 3

40 1 2( ) ( ) ( )

onde: x0=a ; x2=b ; x1=(b+a)/2 ; h=(b-a)/2

-erro:

-curioso que o resultado é correcto até ao terceiro grau (exacto para uma função cúbica) usando uma parábola

E f b at 1

28804 5( ) ( )( )

23


Aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3:

-para n (h=(b-a)/n) intervalos igualmente espaçados:



hf x f x f x

hf x f x f x

hf x f x f x

x

x

x

x

x

x

x

x

n n n

n

n

n

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

0 0

2

2

4

2

34

34

340 1 2 2 3 4 2 1

ou

Ib a

nf x f x f x f xi

i

n

ii

n

n

34 20

1 3 5

1

2 4 6

2

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,

-o erro é dado pelo soma dos erros de cada intervalo:

-obrigatório o número de intervalos ser par

En

f b at 1

180 44 5( ) ( )

24


0 0 0.54

1 0.25 0.49

2 0.5 0.32

3 0.75 0.01

4 1 0.3

5 1.25 0.5

6 1.5 0.8

x f(x)i

- Exemplo

548.08.0)3.032.0(2)5.001.049.0(454.063

05.1

)x(f)x(f2)x(f4)x(fn3

abI n

2n

,6,4,2ii

1n

,5,3,1ii0

25



Regra de Simpson 3/8:

-na expressão anterior f3(x) é um polinómio de Lagrange, por isso

precisamos 4 pontos

I f x dx f x dxa

b

a

b

( ) ( )3

-o resultado de integração é dado por:

Ih

f x f x f x f x 3

83 30 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )

onde: x0=a ; x3=b ; h=(b-a)/3

-mesmo que usemos um aproximador de grau superior do que na regra de Simpson 1/3, o erro de integração têm a mesma grandeza:

E f b at 1

64804 5( ) ( )( )

26


0 0 0.54

1 0.25 0.49

2 0.5 0.32

3 0.75 0.01

4 1 0.3

5 1.25 0.5

x f(x)i

- Exemplo

164.05.03.0301.0332.08

25.03

)x(f)x(f3)x(f3)x(f8

h3I 3210

27



Pontos desigualmente espaçados:

-temos que avaliar o integral para cada intervalo individualmente (par de

pontos), depois somar o resultado------->regra de trapézios:


f x f xh

f x f xh

f x f xh

x

x

x

x

x

x

x

x

n nn

n

n

n

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

0 0

1

1

2

1

0 11

1 22

12 2 2

-se alguns segmentos têm amplitudes iguais, agrupamento é possível-----> regra de Simpson

28


Integração numérica, integração de equações

- os métodos discutidos até este ponto (formulas de Newton-Cotes) são

particularmente úteis quando os dados estão disponíveis como um

conjunto dos valores

- o erro cometido com a aproximação diminui com o aumento do número

de intervalos/pontos (n)

- mas para um número de intervalos muito elevado, os erros de

arredondamento tornam-se dominantes ------> pouca precisão

- quando a função é conhecida existem outros métodos mais eficientes

29



Quadratura Gaussiana:

-anteriormente, o integral de uma função foi determinado usando (várias)

funções de aproximação e intervalos fixos, e.g.:

-agora, suponha-se que escolhemos outros dois pontos na curva (xo e x1),

por forma a que os erros de aproximação negativos e positivos se

anulem:

If a f b

b a

( ) ( )

( )2

x

f(x)

a b

f(a)

f(b)

x0 x130


-a expressão da regra de trapézios pode ser escrita:

I c f a c f b 0 1( ) ( )

-as constantes c0 e c1 podem ser determinadas baseadas no facto de que o resultado deve ser exacto para uma constante e uma recta, e.g.:

c f a c f b dx b a c f a c f b xdxb a

b a

b a

b a

0 12

2

0 12

2

1 0( ) ( ) ( ) ( )( )/

( )/

( )/

( )/

e

onde

c cb a

0 1 2

-agora, suponha que os pontos da função também são desconhecidos:

I c f x c f x 0 0 1 1( ) ( )


31



-4 incógnitas ------> precisamos 4 condições-agora suponha-se que a fórmula anterior é exacta para uma constante (y=1), uma recta (y=x), uma parábola (y=x2) e uma cúbica (y=x3):

c f a c f b dx

c f a c f b xdx

c f a c f b x dx

c f a c f b x dx

0 11

1

0 11

1

0 12

1

1

0 13

1

1

1 2

0

2

3

0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

c0=c1=1

x

x

0

1

1

30577350629

1

30577350629

. ...

. ...

I f f

( ) ( )1

3

1

3fórmula de Gauss-Legrende com dois pontos

32



-a expressão anterior só funciona, se os limites de integração são -1 a 1 (generalidade)-qualquer limite pode ser transformado usando uma mudança de variável:

x=a0+a1xd

x=a ---> xd=-1x=b ---> xd=1

a=a0-a1

b=a0+a1

a0=(a+b)/2a1=(b-a)/2

xa b b a x b a

dxdd

( ) ( )

2 2 dx

Formulas com mais pontos:

I c f x c f x c f xn n 0 0 1 1 1 1( ) ( ) ... ( )

-2n incógnitas ------> 2n equações

33

-os valores de ci em função de número de pontos encontram-se em livros!


n Peso (ci) Valor de xi

2 c1 = 1.000000000

c2 = 1.000000000

x1 = -0.577350269

x2 = 0.577350269

3 c1 = 0.555555556

c2 = 0.888888889

c3 = 0.555555556

x1 = -0.774596669

x2 = 0.000000000

x3 = 0.774596669

4 c1 = 0.347854845

c2 = 0.652145155

c3 = 0.652145155

c4 = 0.347854845

x1 = -0.861136312

x2 = -0.339981044

x3 = 0.339981044

x4 = 0.8611363125 c1 = 0.236926885

c2 = 0.478628670

c3 = 0.568888889

c4 = 0.478628670

c5 = 0.236926885

x1 = -0.906179846

x2 = -0.538469310

x3 = 0.000000000

x4 = 0.538469310

x5 = 0.906179846

6 c1 = 0.171324492

c2 = 0.360761573

c3 = 0.467913935

c4 = 0.467913935

c5 = 0.360761573

c6 = 0.171324492

x1 = -0.932469514

x2 = -0.661209386

x3 = -0.2386191860

x4 = 0.2386191860

x5 = 0.661209386

x6 = 0.932469514



Erro da quadratura Gaussiana:

En

n nf

nn

2 1

2 3 2 2

2 3 4

32 2!

( ) ( )!( )( )

n -número de pontos menos um (nº de segmentos)

11,

f n( ) ( )2 2 -derivada de ordem (2n+2) da função após mudança de variáveis

35

n=2 )(f1094,4)(f

)!6()9(

!32E )6(5)6(

3

47

3

t )ab)((f12

1E



- Exemplo

H=5 m

3 m

x0= 1 m

Agua

0

gIApdxxxx2)xhH(gApF 0

x

0

20f0

0

hf= 1 m

202)( iiifi xxxxhHf

36


- ExemplogI2Apdxxxx)xhH(g2ApF 0

x

0

20f0

0

ddddd dx5.0dx

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0,33998 0,78291 0,65214

0,86113 0,39011 0,34785

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0

1

2

3

I=1,3827

N1,1056693827,181,91024

10gI2ApF 350

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Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - derivação numérica: -aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas -diferenças finitas de