CAP 1 - EQUAÇÕES A DIFERENÇAS FINITAS ( “MAPAS” )

texto-base: D.Kaplan, L.Glass (1995) Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y).

1.1. Exemplo para motivação: Contagem em um ecossistema

*população de moscas de um ecossistema*amostra coletada sempre no mesmo dia do ano*duração do levantamento: 25 anos [fig. 1.1]

série temporal como ajustar um modelo matemático?

variáveis: * t tempo, dado pelo ANO da contagem (variável DISCRETA)* N t número de moscas no ano t ( “ESTADO” do sistema, variável CONTÍNUA)

primeira simplificação contagem num dado ano: depende apenas da contagem no ano anterior

N t +1 = f ( N t )( equação a diferenças finitas, ou “mapa” )

“DINÂMICA” do sistema: evolução temporal do estado do sistema

1.2. Tipos de comportamento dinâmico num mapa linear

suposição mais simples para o exemplo das moscas :N t +1 = R N t (mapa linear)

significado de R:relacionado ao número médio de ovos bem-sucedidos postos por mosca

“solução” do mapa obter N t para qualquer t

* sendo conhecidos: R (PARÂMETRO) e N 0 (CONDIÇÃO INICIAL)

determinar N 1 , N 2 , N 3 , etc (SÉRIE TEMPORAL)

caso linear admite resolução analítica (expressão literal, genérica)

N 1 = R N 0

N 2 = R N1 = R (R N 0 ) = R2 N 0

N 3 = . . . = R3 N 0

. . .N t = Rt N 0

(válido para quaisquer valores de R e N 0 )

influência do valor de R na série temporal : * no exemplo das moscas: só fazem sentido valores de R positivos

0 < R < 1 decaimento [fig 1.2 ]R > 1 crescimento [fig. 1.3 ]

R = 1 estado estacionário [fig. 1.4 ]

* outros exemplos: R<0 pode ter uma interpretação relevante

-1 < R < 0 decaimento alternado [fig. 1.5 ]R < -1 crescimento alternado [fig. 1.6 ]

R = -1 ciclo periódico [fig. 1.7 ]

1.3. Métodos de iteração para mapas

casos não-lineares: solução analítica pouco viável série temporal: obtida graficamente ou numericamente

*sendo conhecida a equação a diferenças finitas

para cada:valor numérico do parâmetrovalor numérico da condição inicialobter:uma solução particular do mapa

a) método gráfico da “teia de aranha” ( cobweb method )

eixos no plano: N t +1 versus N t

traça-se a função N t +1 = f ( N t )traça-se a BISSETRIZ do plano N t +1 = N t [fig. 1.8 ]

*passos do procedimento:reta vertical de N 0 até a funçãoreta horizontal da função até a bissetriz

(está acima de N 1 )

reta vertical a bissetriz até a funçãoreta horizontal da função até a bissetriz

(está acima de N 2 )

e assim recursivamente

b) método de iteração numérica

apropriado para programar em computador ou calculadora* série temporal obtida recursivamente

exemplo: N t +1 = R N t com R = 0.9 e N 0 = 100N 0 = 100N 1 = 0.9 x 100 = 90N 2 = 0.9 x 90 = 81N 3 = 0.9 x 81 = 72.9. . .

vantagem do método da “teia de aranha”:fácil visualização e compreensão da dinâmica

vantagem do método de iteração numérica:a precisão não é limitada por recursos gráficos

1.4. Tipos de dinâmica num mapa não-linear

* voltando às medidas no exemplo das moscas: não se ajustam a nenhum comportamento de mapa linear

a equação linear só vale para valores pequenos de N t

* taxa de crescimento: deve diminuir com o aumento de N t (regida por um novo parâmetro b)

* o novo modelo estará levando em conta: competição por alimento perda de fertilidade por subnutrição aumento da taxa de predação, etc

N t +1 = (R – b N t ) N t

ouN t +1 = R N t – b N t

2

(mapa não-linear)

modelo normalizado pela mudança de variáveis x t = ( b N t / R )

resultax t + 1 = R x t ( 1 – x t )

(“mapa quadrático” ou “mapa logístico”)

intervalo de variação de x: 0.0 < x < 1.0intervalo de variação de R: 0.0 < R < 4.0

* investigação dos tipos de comportamento: fixa um valor para R arbitra um valor para x0 aplica o método da “teia de aranha” esquematiza a série temporal N = N (t)

a) R= 1.5x t + 1 = 1.5 x t ( 1 – x t )

traça a curva com os eixos x t+1 e x t

traça a bissetriz do plano x t+1 = x t

[fig. 1.9 ]arbitra x 0 = 0.1constrói as iterações (teia de aranha)resultado depois de algumas iterações: estado do sistema: aproxima-se cada vez mais de x t = 0.33

[fig. 1.10] tipo de comportamento final para R = 1.5:

estado estacionário (aproximação monotônica)

obs: o estado final independe da escolha de x0 (para este mapa)

b) R = 2.9x t + 1 = 2.9 x t ( 1 – x t )

repetindo o mesmo procedimento(com x 0 = 0.1) estado do sistema: aproxima-se cada vez mais de x t = 0.65

[fig. 1.11]

tipo de comportamento final para R = 2.9:estado estacionário (aproximação alternada)

c) R = 3.3x t + 1 = 3.3 x t ( 1 – x t )

teia de aranha com x 0 = 0.2:[fig. 1.12 ]

estado do sistema:tende a se alternar em 2 valores (0.48 ; 0.82)

[fig. 1.13 ] tipo de comportamento final para R = 3.3:

ciclo periódico (duração de 2 iterações)

d) R = 3.52x t + 1 = 3.52 x t ( 1 – x t )

teia de aranha com x 0 = 0.2: estado do sistema:tende a se alternar em 4 valores (0.51; 0.88; 0.37; 0.82)

[fig. 1.14 ] tipo de comportamento final para R = 3.52:

ciclo periódico (duração de 4 iterações)

e) R = 4.0x t + 1 = 4.0 x t ( 1 – x t )

teia de aranha com x 0 = 0.2:[fig. 1.16]

estado do sistema:tende a visitar valores de forma irregular

[fig. 1.15 ] tipo de comportamento final para R = 4.0:

caos (nunca se repete, é aperiódico)

1.5. Estados Estacionários: Estabilidade

* propriedade de um estado estacionário: x t +1 = x t

caracterização matemática: para a equação a diferenças x t +1 = f (x t ) propriedade de um ponto fixo x* : x*t = f ( x*t )

questões relevantes para um dado mapa:

existe algum ponto fixo x* ? dado um estado próximo de x*, as iterações seguintes se aproximam de x* ?

( nesse caso, x* é dito localmente estável ) dado um estado qualquer, as iterações se aproximam de x* ?

( nesse caso, x* é dito globalmente estável )

COMO ENCONTRAR PONTOS FIXOS?

num mapa linear: x*t = R x*t

solução única (para R 1): x*t = 0 ( zero moscas num ano, zero no ano seguinte! )

num mapa não-linear: x*t = f ( x*t ) podem coexistir vários pontos fixos algebricamente: raízes da equação x*t = f ( x*t )

ex: mapa logístico x t = 0 ; x t = (R – 1)/R

graficamente: interseções da curva do mapa com a bissetrizexs: mapa logístico com R = 2.9 e R = 3.52

[fig. 1.17] e [fig. 1.18](nível auto-sustentável da população de moscas)

ESTABILIDADE LOCAL DE UM PONTO FIXO

num mapa linear: x*t = R x*t

critério de estabilidade local: valor da inclinação R da reta x t +1 = R x t

* iterações de um estado próximo de x*t = 0:para R < 1 aproximam-se de x*t

para R > 1 afastam-se de x*t

num mapa não-linear: x*t = f ( x*t ) critério de estabilidade local:valor m da derivada de x t +1 = f ( x t ) em x*

mdx

df

xt

*

análise local:por mudança de variável y t = x t – x*

no gráfico y t +1 versus y t : o ponto fixo x* aparece na origem traça a bissetriz e constrói a teia de aranha

casos possíveis:

a) m > 1 (ex: m = 1.9) [fig. 1.19 ]tipo de comportamento local:

crescimento monotônico

b) 0 < m < 1 (ex: m = 0.5) [ fig 1.20 ]tipo de comportamento local:

decaimento monotônico

c) - 1 < m < 0 (ex: m = -0.5) [ fig 1.21 ]tipo de comportamento local:

decaimento alternado

d) m < - 1 (ex: m = -1.9) [ fig 1.22 ]tipo de comportamento local:

crescimento alternado

resumo:

* encontra os pontos fixos do mapa;* para cada ponto fixo: calcula a derivada do mapa no ponto interpreta a inclinação m da derivada

m > 0 m < 0 m > 1 I NSTÁVEL

crescimento monotônicoI NSTÁVEL

crescimento oscilatório m < 1 ESTÁVEL

decaimento monotônicoESTÁVEL

decaimento oscilatório

OBS: estabilidade local: x x* para t

(a aproximação para o ponto fixo é assintótica)

x* : dinâmica ASSINTÓTICAx0 , x1 , x2 ,... : dinâmica TRANSIENTE

ex: [fig 1.10]série temporal p/ x 0 = 0.1 (transiente):x10=0.33128; x11=0.33230; x12=0.33282; etcestado assintótico:

x* = 1/3 = 0.33333...

ESTABILIDADE GLOBAL

(o estado inicial pode não ser próximo de x*)

num mapa linear: x*t = R x*t

ponto fixo único: x* = 0 se x*=0 for localmente estável: será também globalmente estável num mapa não-linear: x*t = f ( x*t ) se houver mais de um ponto fixo* nenhum deles poderá ser globalmente estável* se mais de um deles for localmente estável: sistema dinâmico MULTIESTÁVEL

* para cada ponto fixo localmente estável:conjunto de condições iniciais que levam a ele BACIA DE ATRAÇÃO do ponto fixo

1.6. Ciclos Periódicos: Estabilidade

ciclo = padrão repetitivo de estados

condição: x t +n = x t

se x t+j x t para j < n : n é o PERÍODO do ciclo

CORRESPONDÊNCIA ENTRECICLOS PERIÓDICOS E PONTOS FIXOS

ex: mapa logístico com R = 3.3; ciclo com n = 2x t +2 = f ( x t +1 ) = f ( f ( x t ) )

( polinômio do quarto grau 4 raízes )[fig. 1.24 ]

a curva x t +2 = f (x t ) intercepta a bissetriz pontos fixos do mapa de segundo retorno : 2 pontos fixos do mapa de primeiro retorno : 2

estabilidade de um ciclo de período n:*pontos fixos do mapa de n-ésimo retorno (mesmo m para todos) se m < 1: ciclo localmente estável se m > 1: ciclo localmente instável

ex: mapa logístico com R = 4

x t +1 = f ( xt ) só tem pontos fixos instáveis [ fig. 1.16 ]x t +2 = f ( xt ) só tem pontos fixos instáveis [ fig. 1.27 ]x t +3 = f ( xt ) só tem pontos fixos instáveis [ fig. 1.28 ]x t +4 = f ( xt ) só tem pontos fixos instáveis [ fig. 1.29 ]conclusão: não existem ciclos periódicos estáveis

como fica então o comportamento dinâmico?

1.7. Caos

conceito : “dinâmica limitada e aperiódica em um sistema determinístico,com dependência sensível às condições iniciais”

ex mapa logístico com R = 4 [fig. 1.30 ]

duas inicializações ligeiramente diferentes:x0= 0.523423 (pontos); x’0= 0.523424 (círculos)

“APERIÓDICO” os estados do sistema nunca se repetem

“LIMITADO” a dinâmica nunca tende a infinito

“DETERMINÍSTICO” cada estado é absolutamente determinado pelo anterior

“SENSIBILIDADE ÀS CONDIÇÕES INICIAIS” obstrução da previsibilidade a longo prazo

TRANSIÇÃO PARA O CAOS POR DUPLICAÇÕES DE PERÍODO( “rota de Feigenbaum” )

conceito de “bifurcação”: mudança qualitativa no comportamento

causada por variação de um parâmetro

num mapa linear: x t +1 = R x t * ocorre bifurcação para R = 1 (decaimento crescimento)

num mapa não-linear:* ocorrem diversos tipos de bifurcação duplicação de período num valor R:* um ciclo de período n perde estabilidade* um ciclo de período 2n ganha estabilidade cascata de duplicações de período:* seqüência de valores de R* a dinâmica tende a um “ciclo infinito” (caos)

ex: mapa logístico x t +1 = R x t ( 1 – x t )

variação de R estado assintótico

0.0 < R < 3.0 ponto fixo3.0 < R < 3.450 ciclo estável de período 2

3.450 < R < 3.544 ciclo estável de período 43.544 < R < 3.564 ciclo estável de período 8

3.564 < R < 3.569 ciclo estável de período 16R 3.570 o período tende a 2

3.570 < R < 4.0 caos (e “janelas periódicas”)

diagrama de bifurcações: [fig. 1.31] panorama dinâmico: [fig. 1.32]

http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/Chaos_Course/Demonstrations.html

UNIVERSALIDADE

valores de bifurcação na tabela: lei universal

...6692.4lim24

2

nn

nn

n RR

RR

1.8. Comportamento Quase-Periódico

características:

* aperiódico, limitado, determinístico* sem a sensibilidade às condições iniciais* sem estados estacionários, ciclos, ou caos

* exemplos:(no mapa logístico, não ocorre para nenhum R)

* 4.6692... (número de Feigenbaum): vale não só para o mapa logístico qualquer mapa com uma única “corcova”

exemplos de aplicação em sistemas reais:* fluxo de Couette-Taylor em fluidos* circuitos com efeitos resistivos não-lineares* formação de padrões geométricos em vegetaishttp://www.cpm.informatics.bangor.ac.uk/rpamaths/rpampages/sunflower.html

( “série de Fibonacci” )* interação entre marca-passos em cardiologia, etc

x0 = 0.200; x1 = 0.518; x2 = 0.837; x3 = 0.154… [fig. 1.34 ]

* para qualquer irracional no lugar de (1/) : a dinâmica também é quase-periódica

)1(mod1

1 tt xx

em outro mapa unidimensional:

terminologia associada a essa dinâmica:( para ocasião de um estudo mais minucioso )

travamento de freqüências ( mode-locking )número de rotação ( winding number )toros irracionaisbifurcação de Hopfrota para o caos de Ruelle-Takens-Newhouselínguas de Arnoldescada do diaboatrator estranho não-caótico, etc