Utilização das Transformadas na obtenção da solução analítica para a Equação de Convecção-Difusão Bidimensional: Um estudo visando o

desempenho de métodos baseados em Diferenças Finitas

Paulo Gustavo S.B., Barbosa M.N., Nélio Henderson Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico

28630-050, Nova Friburgo, RJ E-mails: nélio@iprj.uerj.br / nmbarbosa@iprj.uerj.br

Palavras-chave: Equação Convecção-Difusão, Métodos TVD’s, Diferenças Finitas. Resumo: No presente trabalho, apresenta a solução de Leu e Dane (1990) na obtenção da solução analítica da equação de convecção-difusão com a utilização das Transformadas de Laplace e Fourier. Tal solução é analisada numericamente de forma comparativa, utilizando uma família de esquemas de diferenças finitas com limitadores de fluxo, incluindo os métodos TVD de segunda ordem, em um problema teste bidimensional dominado pelo transporte. Foi realizado observações referentes à difusão numérica e às oscilações espúrias decorrentes da injeção de um traçador em um meio bidimensional após sessenta dias. Logo os limitadores de fluxo SUPERBEE e MUSCL apresentaram melhor desempenho para a resolução do problema em questão.

1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem como objetivo estudar o desempenho de métodos de diferenças finitas com limitadores de fluxo na resolução do problema que descreve o escoamento miscível em meios porosos, dominado pelo transporte convectivo. Em particular, incluímos a análise e o emprego de métodos TVD’s de segunda ordem, como aqueles usados previamente por Blunt e Rubin (1992) na simulação do escoamento imiscível.

Com o objetivo de visar uma comparação numérica-analítica, neste trabalho segue a proposta de Leu e Dane (1990), a qual utiliza a transformada de Laplace na variável temporal e a transformada de Fourier em uma das variáveis espaciais, obtendo assim uma solução analítica para o nosso problema teste, a qual será utilizada como referência no estudo comparativo do desempenho numérico dos métodos considerados aqui.

2. DESENVOLVIMENTO DA SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A EQUAÇÃO DE CONVECÇÃO-DIFUSÃO

Neste item foi obtida uma solução analítica para a equação de convecção-difusão. Trata-se

de um caso particular da solução analítica desenvolvida por Leu e Dane (1990) para um problema de valor inicial e de contorno, com convecção em uma única direção e difusão multidimensional. A equação de convecção-difusão pode ser escrito da forma:

2

2

2

2

ycD

xcD

xcv

tc

TL

(1)

onde LD e TD são matrizes denominadas de Tensor de difusão. As condições iniciais e de contorno utilizadas são, respectivamente, da seguinte forma:

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yxyfyxc 0,0,0,, (2)

yx

yc

xc

yx,,0limlim (3)

0,0

0,021

0,0

,,0

tyc

tycc

tyc

ygtyc

R

RL

L

(4)

Tomando a Transformada de Laplace da Eq(1), obtemos:

2

2

2

2

££££ycD

xcD

xcv

tc

TL (5)

Utilizando as propriedades da Transformada de Laplace e as condições iniciais e de contorno, a Eq. (5) é escrita da forma

sygsyC

syxCy

syxCx

syxCy

DsyxCx

vsyxCx

DyfsyxsC

yx

TL

,,0

0,,lim,,lim

,,,,,,,, 2

2

2

2

(6)

Em seguida, tomamos a Transformada de Fourier da Eq. (6), inclusive a condição inicial e

de contorno. De acordo com as propriedades da Transformada de Fourier tem-se:

saxCaDsaxCdxdvsaxC

dxdDaFsaxCs TL ,,ˆ,,ˆ,,ˆˆ,,ˆ 2

2

2

(7)

A Eq. (7) é uma equação diferencial ordinária não-homogênea, sendo assim, ela pode ser simplificado da seguinte maneira

0ˆˆˆˆ 222

2

sDvDFCsDCdxdvC

dxdD TLTL (8)

cuja as raízes são

2/1

22

22

LL

T

LL Ds

DD

Dv

Dv (9)

Utilizando álgebra, a Eq.(7) sujeita a condição inicial e de contorno tem a seguinte equação:

506

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sD

FesD

FsGsxC

T

x

T

22

ˆˆˆ,,ˆ 1

(10)

Para obter a solução tyxc ,, da Eq.(1), sujeita as condições de contorno, deve-se

aplicar a Transformada Inversa de Laplace e utilizando o Teorema da Convolução temos a seguinte expressão

tDF

tDvtxerfc

Dvx

DvtxerfctDFdD

Dvx

DGtxC

TLL

LT

t

TL

L

22/1

2/12

0

22

2/3

2/1

expˆ4

exp

4exp

2

ˆexp

4exp

4

ˆ,,ˆ

(11)

O último passo do processo de solução trata da aplicação da Transformada de Fourier na

Eq.(11). Fazendo a substituição de variável para a massa específica 2/14

TDy

, temos a

solução analítica procurada, como mostra a Eq.(12).

iLLL

i

L

t

L

R

L

L

L

ctDvtxerfc

Dvx

tDvtxerfcc

dD

vtxD

yerfccD

yerfcc

Dxtyxc

2/12/1

2/10

2/12/12/3

2/1

4exp

42

4exp

4242

4,,

(12)

Neste trabalho estamos interessados em um caso particular estudado por Leu e Dane (1990),

resultante do fato de tomarmos a função 0yf , ou seja, 0ic e

a

ayse

aysecyg

00 .

Para concluir a formulação do problema teste, resta-nos atribuir valores aos parâmetros geométricos e físicos referidos acima. Aqui, consideramos: 100xL m , 40yL m , 12ay m ,

28by m , 310l m , 410t m e 5 210mold m d .

3. METODOLOGIA

3.1 Método TVD’s com Limitadore de fluxo

Para a utilização do método do tipo TVD será usado o método de diferenças finitas com

limitadores de fluxo, veja Blunt e Rubin (1992). Tais métodos foram desenvolvidos com o objetivo de evitar as oscilações espúrias tipicamente encontradas nas soluções numéricas

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fornecidas pelos os esquemas clássicos, como aqueles encontrados, por exemplo, nos textos de Aziz e Settari (1979) e Peaceman (1977). Adiante vemos uma família de limitadores de fluxo mais utilizado em problemas dominado pelo o transporte.

Tabela 1. Alguns limitadores de fluxo mais utilizados

Função ( )r Denominação

( ) max 0,min(1, )r r MINMOD

( ) max 0,min(2, )r r OSHER

( ) max 0,min(2 , ( 1) 2,2)r r r MUSCL

( ) max 0,min(1, 2 ), min(2, )r r r SUPERBEE

4. RESULTADOS

Neste trabalho serão apresentados os resultados de algumas simulações do escoamento

miscível, referentes ao nosso problema teste. Para permitir uma inspeção visual dos efeitos da difusão numérica, mostramos aqui as superfícies e as curvas de nível da concentração do solvente no instante 60t d , para as soluções numéricas obtidas com os limitadores de fluxo do tipo TVD considerados no presente trabalho. Para comparações iniciais, consideramos a superfície da solução analítica mostrada na Fig. 1.

Figura 1. Superfície da solução analítica (à direita) e Solução utilizando UWPO (à esquerda).

Figura 2. Superfície obtida com o MUSCL (à direita) e superfície utilizando o SUPERBEE (à esquerda).

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Observando a Fig. 1, notamos uma visível discrepância. Essa discrepância entre a solução

analítica e a numérica, obtida com o emprego do limitador de fluxo UWPO, torna-se nítida exatamente na região onde a solução analítica apresenta uma variação abrupta no valor de concentração do solvente. Essa variação é conhecida como difusão numérica. Entretanto o limitador SUPERBBE teve uma pequena difusão, Fig.2. Já o limitador DC mostrou-se inviável para o problema em questão, sendo o mesmo oriundo de oscilações espúrias, Fig.(3).

Figura 3. Superfície solução obtida com o DC (à direita) e Perfis de concentrações para

diferentes tipos de limitadores (à esquerda).

5. CONCLUSÃO

Foi feita observações referentes à difusão numérica, e o mesmo mostram que, o limitador UWPO apresenta solução numérica com um perfil um pouco mais difusivo que o MUSCL, o que excluiu o limitador de UWPO das nossas considerações. Por outro lado, notamos que o limitador SUPERBEE apresentou a menor difusão numérica, gerando uma solução com perfil muito próximo da solução analítica, apesar de ser o esquema que consumiu o maior tempo de computação.Todos os limitadores de fluxo do tipo não TVD, com exceção do UWPO, que apresentou forte difusão numérica, apresentaram oscilações espúrias inaceitáveis, como foi visto na Fig.3. Referências [1] Blunt, M. and Ruin, B., Implicit Flux Limiting Schemes for Petroleum Reservoir Simulation, Journal of Computational Physics, 102, 194, (1992).

[2] Leu, F. J., and Dane, J. H., Analytical solutions of the one-dimensional advection equation and two- or three-dimensional dispersion equation, Water Resources Research, 26, 1475, (1990).

[3] Leveque, R. J., Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press, (2002).

[4] Peaceman, D. W., Improved treatment of dispersion in numerical calculation of multidimensional miscible displacement, Soc. Pet. Eng. J., 213, (1966). [5] Tardy, P. M. J. and Pearson, J. R. A., A 1-D-averaged model for stable and unstable miscible flows in porous media with varying Péclet number and aspect rations, Transport in Porous Media, 62, 205, (2006). [6] Thomas, J. W., Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic equations, Texts in Applied Mathematics 33, Springer, New York, (1999).

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