Transformadas de Laplace

Matemática Aplicada

Carlos LuzRevisto em 2004/2005

Conteúdo

1 Introdução 2

2 Definição e exemplos 2

3 Existência e Unicidade 6

3.1 Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Propriedades da transformação de Laplace 8

4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Transformada de f(t− a), a ≥ 0 (deslocamento) . . . . . . . . 84.3 Transformada de uma função periódica . . . . . . . . . . . . . 94.4 Transformada de f(at), a > 0 (mudança de escala) . . . . . . . 104.5 Transformada da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.5.1 Transformada da derivada de ordem n . . . . . . . . . 114.6 Transformada do integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Propriedades da transformação inversa de Laplace 13

5.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Original de F (s+ a), a ∈ IR (deslocamento) . . . . . . . . . . 145.3 Original de F (as), a ∈ IR+ (mudança de escala) . . . . . . . . 145.4 Original de F (s)×G(s) (convolução) . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Resumo de algumas propriedades 18

1 1/Agosto/2005

1 Introdução

As transformadas de Laplace constituem uma das ferramentas do cálculooperacional (ou simbólico) de maior importância nas aplicações à física, àmecânica e à electrotecnia. Nomeadamente, podem ser aplicadas à resoluçãode edo’s lineares com coeficientes constantes, sendo a aprendizagem destatécnica um dos principais objectivos do estudo que aqui iniciaremos. As-sim, começaremos por definir a noção de transformação de Laplace e daralguns exemplos de transformadas de Laplace de funções de utilização prá-tica habitual. Referir-nos-emos seguidamente à existência e unicidade dastransformadas de Laplace e terminaremos com a apresentação das principaispropriedades da transformação de Laplace e da sua inversa.

2 Definição e exemplos

Definição 1 Seja f uma função real ou complexa definida em [0,+∞[ inte-grável em cada intervalo limitado. Chama-se transformação de Laplace

à aplicação

L : f �−→ F (s) =

∫ +∞

0

e−stf(t)dt

em que s é um número complexo. A função F (s) diz-se a transformada de

Laplace de f e representa-se por L[f(t)]. Escreve-se então:

L[f(t)] = F (s).

Exemplo 1 Função Unitária de Heaviside. Esta função define-se por:

H(t) =

{1, se t ≥ 00, se t < 0

.

Então,

L[H(t)] =

∫ +∞

0

e−st1dt = limT→+∞

∫ T

0

e−stdt

= limT→+∞

[−e−st

s

]T0

=1

s− lim

T→+∞e−sT

s

=1

s,

desde que Re s > 0. Com efeito, escrevendo o número complexo s na formas = a+ ib tem-se, atendendo à fórmula de Euler, eix = cosx+ i senx,

|e−sT | = |e−aT−ibT | = |e−aT |.|e−ibT | = e−aT .

2 1/Agosto/2005

Consequentemente,

limT→+∞

|e−sT | = limT→+∞

e−aT = 0

desde que Re s = a > 0. Portanto,

L[H(t)] = 1s, para Re s > 0.

Exemplo 2 Distribuição de Dirac. Supondo ε > 0, considere-se a famíliade funções

fε(t) =

{1ε, se t ∈ [0, ε]

0, se t /∈ [0, ε].

A distribuição de Dirac, representa-se por δ e pode ser identificada com olimite de fε quando ε → 0 1. Como

L[fε(t)] =∫ ε

0

e−st1

εdt =

1− e−sε

sε,

vem

L[δ(t)] = limε→0

L[fε(t)] = limε→0

1− e−sε

sε= 1.

Consequentemente,L[δ(t)] = 1.

Exemplo 3 Função exponencial. Considere-se para t ≥ 0 a funçãof(t) = e−at, em que a ∈ C. Então,

L[f(t)] =∫ +∞

0

e−ste−atdt = limT→+∞

[−e−(s+a)t

s+ a

]T0

= limT→+∞

1− e−(s+a)T

s+ a=

1

s+ a,

desde que Re(s+ a) > 0, pois neste caso tem-se,

limT→+∞

|e−(s+a)T | = limT→+∞

e−Re(s+a)T = 0.

Portanto,L[e−at] = 1

s+a, para Re(s+ a) > 0.

1Em Física a distribuição de Dirac representa uma acção que se exerce num intervalode tempo muito pequeno, sendo por isso conhecida por função impulso. Mas na realidade,não se trata de uma função no sentido habitual como se constata calculando o limε→0 fε.No entanto, sacrificando o rigor, age-se muitas vezes como se este limite fosse uma funçãoe escreve-se:

δ(t) =

{+∞, se t = 00, se t �= 0

.

De forma igualmente abusiva é também costume escrever∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1 dado que, para

todo o ε > 0, é válida a igualdade limε→0

∫ +∞

−∞fε(t)dt = 1.

3 1/Agosto/2005

Exemplo 4 Funções trigonométricas. Considerem-se, para t ≥ 0, asfunções cosωt e senωt em que ω ∈ IR+. Da fórmula de Euler sai que

eiωt + e−iωt = 2 cosωt

eeiωt − e−iωt = 2i senωt.

Então, atendendo à linearidade do integral e ao exemplo 3, tem-se paraRe s >0,

L[cosωt] = 1

2

(L[eiωt] + L[e−iωt])=

1

2

(1

s− iω+

1

s+ iω

)=

s

s2 + ω2

e

L[senωt] = 1

2i

(L[eiωt]−L[e−iωt])=

1

2i

(1

s− iω− 1

s+ iω

)=

ω

s2 + ω2.

Portanto, para Re s > 0 são válidas as igualdades:

L[cosωt] = ss2+ω2 ,

L[senωt] = ωs2+ω2 .

Exemplo 5 Funções hiperbólicas. Considerem-se, para t ≥ 0, as funçõeshiperbólicas

coshωt =eωt + e−ωt

2

senhωt =eωt − e−ωt

2

em que ω ∈ IR+. Então, atendendo à linearidade do integral e ao exemplo 3,tem-se para Re s > ω,

L[coshωt] = 1

2

(L[eωt] + L[e−ωt])=

1

2

(1

s− ω+

1

s+ ω

)=

s

s2 − ω2.

e

L[senhωt] = 1

2

(L[eωt]−L[e−ωt])=

1

2

(1

s− ω− 1

s+ ω

)=

ω

s2 − ω2.

Portanto, para Re s > ω são válidas as igualdades:

L[coshωt] = ss2−ω2 ,

L[senhωt] = ωs2−ω2 .

4 1/Agosto/2005

Exemplo 6 Função potência. Supondo t ≥ 0, considere-se para cadan ∈ IN a função f(t) = tn. Usando o método de integração por partesobtém-se,

L[f(t)] =∫ +∞

0

e−sttndt = limT→+∞

∫ T

0

e−sttndt

= limT→+∞

([e−sttn

−s

]T0

+n

s

∫ T

0

e−sttn−1dt

)

= limT→+∞

(−e−sTT n) +n

sL[tn−1].

Ora, limT→+∞(−e−sTT n) = 0 se Re s > 0. Portanto, para os valores de s quesatisfazem esta condição é válida a igualdade

L[tn] = n

sL[tn−1].

Por consequência,

L[t] = n

sL[1] = 1

sL[H(t)] =

1

s2,

L[t2] = 2

sL[t] = 2

s3

e, por indução, conclui-se que

L[tn] = n!sn+1 para Re s > 0.

Exercício 1 Usando a definição calcule a transformada de Laplace das se-guintes funções:

1. f(t) =

{5, se 0 ≤ t ≤ 30, caso contrário

.[R : 5(1−e−3s)

s, para qualquer s

].

2. H(t− a) =

{1, se t > a0, caso contrário

, a > 0.[R : e−as

s, para Re s > 0

].

3. g(t) = e−at cosωt, a, ω > 0.[R : s+a

(s+a)2+ω2,Re s > 0

].

4. h(t) = te−at, a > 0.[R : 1

(s+a)2,Re (s+ a) > 0

].

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3 Existência e Unicidade

3.1 Existência

A transformada de Laplace de uma função f só existe se o integral impróprio∫ +∞0

e−stf(t)dt for convergente2. Para tal é suficiente que f satisfaça ascondições seguintes:

1. f seja seccionalmente contínua3 em [0,+∞[;

2. f seja de ordem exponencial, isto é, existem constantes M > 0 eα ∈ IR tais que

|f(t)| ≤ Meαt, ∀t ≥ 0. (1)

Exemplo 7 A função sen t verifica | sen t| ≤ 1 = 1e0t para todo o t ≥ 0.Bastará assim considerar M = 1 e α = 0 para se concluir que sen t é deordem exponencial. Repare-se, a propósito, que toda a função limitada é deordem exponencial. Também todo o polinómio P (t) =

∑nk=0 akt

k (ak ∈ IR)é de ordem exponencial pois, para t ≥ 0,

|P (t)| ≤n∑

k=0

|ak|tk ≤ (n+ 1)max |ak|ent,

atendendo a que t ≤ et. Consequentemente, tomando α = n e M = (n +1)max |ak|, conclui-se que a desigualdade (1) é satisfeita.

Formaliza-se seguidamente uma condição suficiente de existência da trans-formada de Laplace.

Teorema 1 Seja f(t) uma função seccionalmente contínua em [0,+∞[ ede ordem exponencial tal que |f(t)| ≤ Meαt, para t ≥ 0. Então, o integralimpróprio

∫ +∞0

e−stf(t)dt é convergente para os valores de s ∈ C tais queRe s > α. Deste modo, para estes valores de s fica garantida a existência datransformada de Laplace F (s).

2Recorde-se que se g é uma função definida no intervalo [a,+∞[, o integral impróprio∫ +∞

ag(t)dt diz-se convergente se e só se existe e é finito o limT→+∞

∫T

ag(t)dt. Caso

contrário diz-se divergente.3Recorde-se que uma função real é seccionalmente contínua num intervalo I ⊆ IR se: i)

I pode ser subdividido num número finito de intervalos em cada um dos quais f é contínua;ii) existem os limites laterais de f nos pontos extremos daqueles subintervalos.

6 1/Agosto/2005

Dem. Note-se em primeiro lugar que

|e−stf(t)| ≤ e−tRe sMeαt = Me−(Re s−α)t. (2)

Então, Re s > α implica∫ +∞

0

Me−(Re s−α)tdt =M

Re s− α. (3)

Por outro lado, como f é seccionalmente contínua em [0,+∞[ tem-se que|e−stf(t)| é integrável em qualquer intervalo contido em [0,+∞[. Então pelocritério de comparação de integrais impróprios conclui-se de (2) e (3) queo integral

∫ +∞0

|e−stf(t)|dt é convergente. Resulta deste facto (atendendotambém a que e−stf(t) é integrável em qualquer intervalo contido em [0,+∞[pois f é aí seccionalmente contínua), que o integral

∫ +∞0

e−stf(t)dt é conver-gente, isto é, existe a transformada de Laplace de f(t).

3.2 Unicidade

Quando F (s) = L[f(t)] diz-se que f(t) é a transformada inversa de La-

place ou original de F (s) e escreve-se

f(t) = L−1[F (s)].

Exemplo 8 Visto que L[e−3t] = 1s+3

tem-se L−1[ 1s+3

] = e−3t.

Apresenta-se seguidamente sem demonstração um resultado que estabe-lece a unicidade da transformada inversa de Laplace e que se revela funda-mental nas aplicações.

Teorema 2 Sejam f(t) e g(t) são funções seccionalmente contínuas e deordem exponencial em [0,+∞[. Então,

L[f(t)] = L[g(t)] ⇒ f(t) = g(t),

isto é, a transformação de Laplace é injectiva quando restringida às funçõesseccionalmente contínuas e de ordem exponencial. Deste modo, os originaisdas transformadas de funções desta classe são únicos (a menos de um númerofinito de descontinuidades).

Exercício 2 Quais das seguintes funções são de ordem exponencial?

1. tn. [R : Sim].

7 1/Agosto/2005

2. tan t. [R : Não].

3. et3

. [R : Não] .

4. t2e3t. [R : Sim].

Exercício 3 Mostre que existe a transformada de Laplace da função f(t) =2tet

2

cos et2

embora f(t) não seja de ordem exponencial.

4 Propriedades da transformação de Laplace

Listam-se em seguida algumas propriedades da transformação de Laplaceque, como se verá, são de grande utilidade na resolução de equações diferen-ciais.

4.1 Linearidade

Da linearidade do integral resulta que se existem as transformadas de Laplacedas funções f(t) e g(t) então,

L[λf(t) + µg(t)] = λL[f(t)] + µL[g(t)] ,

em que λ, µ ∈ C.Dem. Exercício.

Exemplo 9 L[4t− 3 cos 2t] = 4L[t]− 3L[cos 2t] = 4 1s2− 3 2

s2+4= −2s2+16

s2(s2+4).

4.2 Transformada de f(t− a), a ≥ 0 (deslocamento)

Seja f(t) uma função seccionalmente contínua e de ordem exponencial em[0,+∞[. Se g(t) é um deslocamento de f(t), isto é,

g(t) =

{f(t− a) , se t ≥ a0 , se t < a

com a ≥ 0 tem-se,

L[g(t)] = e−asL[f(t)] .

8 1/Agosto/2005

Dem. Ora

L[g(t)] =∫ +∞

0

e−stg(t)dt

=

∫ a

0

e−stg(t)dt+

∫ +∞

a

e−stg(t)dt

= 0 + limT→∞

∫ T

a

e−stf(t− a)dt

= limT→+∞

∫ T−a

0

e−s(a+u)f(u)du = e−as limT→+∞

∫ T−a

0

e−suf(u)du

= e−as

∫ +∞

0

e−suf(u)du = e−asL[f(t)],

após a realização, na 4a igualdade, da mudança de variável t− a = u.

Exemplo 10 Sendo g(t) = (t−2)3 para t ≥ 2, comoL[t3] = 3!s4vemL[g(t)] =

3!s4e−2s.

4.3 Transformada de uma função periódica

Seja f(t) uma função periódica de período T , isto é, f(t+T ) = f(t). Se f(t)é seccionalmente contínua e de ordem exponencial, tem-se

L[f(t)] =∫ T0

e−stf(t)dt

1−e−sT .

Dem. Uma vez que f é periódica de período T em [0,+∞[ tem-se

L[f(t)] =∫ +∞

0

e−stf(t)dt =+∞∑k=0

∫ (k+1)T

kT

e−stf(t)dt

=+∞∑k=0

∫ T

0

e−s(u+kT )f(u+ kT )du =+∞∑k=0

e−ksT

∫ T

0

e−suf(u)du

=

∫ T

0

e−suf(u)du+∞∑k=0

e−ksT =

∫ T

0

e−suf(u)du1

1− e−sT

=

∫ T

0e−suf(u)du

1− e−sT

após a mudança de variável u = t−kT realizada na 3a igualdade e o cálculo dasoma da série geométrica de razão e−sT . Naturalmente exige-se que Re s > 0para que a série

∑+∞k=0 e

−ksT seja convergente.

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4.4 Transformada de f(at), a > 0 (mudança de escala)

Se L[f(t)] = F (s), então a transformada de Laplace da função f(at) (a > 0)que resulta de f(t) por uma mudança de escala, é dada por

L[f(at)] = 1aF ( s

a), a > 0.

Dem. Exercício.

Exemplo 11 Como L[sen t] = 1s2+1

vem L[sen 3t] = 13

1

( s3)

2+1

= 3s2+9

.

4.5 Transformada da derivada

Se f(t) é seccionalmente de classe C1 sendo f ′ de ordem exponencial, tem-se,

L[f ′(t)] = sL[f(t)]− f(0).

Dem. Integrando por partes obtém-se:

L[f ′(t)] =∫ +∞

0

e−stf ′(t)dt = limT→+∞

∫ T

0

e−stf ′(t)dt

= limT→+∞

[e−stf(t)

]T0− lim

T→+∞

∫ T

0

−se−stf(t)dt

= −f(0) + sL[f(t)].

Exemplo 12 Esta propriedade é fundamental para a aplicação da transfor-mação de Laplace à resolução de equações diferenciais. Suponha-se entãoque se pretende resolver o problema de valores iniciais:{

y′ + 4y = 2ty(0) = 0

. (4)

Aplicando a transformação de Laplace a ambos os membros da equação di-ferencial e utilizando a linearidade bem como a condição inicial, obtém-se:

L[y′ + 4y] = L[2t] ⇔ L[y′] + 4L[y] = 2L[t] ⇔ sL[y]− y(0) + 4L[y] = 21

s2

⇔ (s+ 4)L[y] = 21

s2⇔ L[y] = 2

s2(s+ 4).

10 1/Agosto/2005

Assim, atendendo à injectividade da transformação de Laplace, bastará de-terminar o original de 2

s2(s+4)para se conhecer a solução de (4). Como

2

s2(s+ 4)= −1

8

1

s+

1

2

1

s2+

1

8

1

s+ 4,

L[−1

8] = −1

8

1

s, L[1

2t] =

1

2

1

s2e L[1

8e−4t] =

1

8

1

s+ 4,

a unicidade e de novo a linearidade da transformação de Laplace permitemescrever a solução de (4):

y = L−1

[2

s2(s+ 4)

]= −1

8+

1

2t+

1

8e−4t (t ≥ 0).

4.5.1 Transformada da derivada de ordem n

A propriedade anterior generaliza-se do seguinte modo: se f (n) é seccional-mente contínua e de ordem exponencial, é válida a igualdade

L[f (n)(t)] = snL[f(t)]− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) .

Em particular, para n = 2 tem-se

L[f ′′(t)] = s2L[f(t)]− sf(0)− f ′(0) .

Dem. A prova, que se deixa ao cuidado do leitor, faz-se por indução apartir da transformada da derivada de primeira ordem (resultado anterior).

4.6 Transformada do integral indefinido

Se f ′(t) é seccionalmente contínua e de ordem exponencial em [0,+∞[ éválida a igualdade

L[∫ t

0f(u)du

]= L[f(t)]

s.

Dem. Designemos por φ(t) o integral indefinido∫ t

0f(u)du. Então,

φ′(t) = f(t) (porquê?). Como L[φ′] = sL[φ]− φ(0) e φ(0) = 0, tem-se

L[φ(t)] = L[φ′]s

⇔ L[∫ t

0

f(u)du

]=

L[f(t)]s

Exemplo 13 Tem-se L[∫ t

0sen 2udu

]= 2

s(s2+4)pois L[sen 2t] = 2

s2+4.

11 1/Agosto/2005

Exercício 4 Mostre que se f(t) =∑n

i=1 cifi(t), em que c1, . . . , cn são cons-tantes, então

L[f(t)] =n∑

i=1

ciL[fi(t)].

Utilize este resultado para obter L[4e5t + 6t3 − 3 sen 4t + 2 cos 2t] (R: 4s−5

+6.3!s4

− 12s2+16

+ 2ss2+4

).

Exercício 5 Prove a propriedade de mudança de escala (transformação di-recta) e utilize-a para obter L[cos t] sabendo que L[cos t] = s

s2+1.

Exercício 6 Utilize a igualdade L[f ′(t)] = sL[f(t)]− f(0) para obter

1. L[cos t] sabendo que L[sen t] = 1s2+1

;

2. L[sen t] sabendo que L[cos t] = ss2+1

.

Exercício 7 Represente graficamente as seguintes funções periódicas de períodoT e obtenha as respectivas transformadas de Laplace:

1. f(t) = t,∀t ∈ [0, T [.[R : 1

s2− Te−sT

1−e−sT

].

2. f(t) =

{1, se t ∈ [0, T

2

[−1, se t ∈ [T

2, T[ .[R : 1+e−sT−2e−sT/2

s(1−e−sT )

].

3. f(t) =

{2t, se t ∈ [0, T

2

[−2(t− T ), se t ∈ [T

2, T[ .[R : T (e−sT/2−e−sT )

s

].

Exercício 8 Encontre L[f(t)] sendo f(t)a função que se obtém estendendosucessivamente em períodos de 2π a função

f(t) =

{sen t, se 0 ≤ t ≤ π0, se π ≤ t ≤ 2π

.

[R : e−sπ−s

(s2+1)(1−e−2sπ)

].

Exercício 9 Usando as propriedades obtenha as transformadas de Laplacedas seguintes funções:

1. (t2 − 1)2.[R : 4!

s5− 2.2!

s3+ 1

s

].

2. sen 2t− 3 cos 2t.[R : 2

s2+4− 3s

s2+4

].

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3. e−t cos 3t.[R : s+1

(s+1)2+9

].

4. e−2t(t3 + 1).[R : 3!

(s+2)4+ 1

s+2

].

5. sen2 t.[R : 2

s(s2+4)

]..

5 Propriedades da transformação inversa de

Laplace

Vimos atrás a utilidade da transformada de Laplace na resolução de equaçõesdiferenciais. Com efeito, o processo de resolução consiste basicamente noseguinte:

1. Aplicar a transformação de Laplace a ambos os membros da equaçãodiferencial dada.

2. Resolver a equação algébrica obtida.

3. Obter a transformada inversa de Laplace da solução da equação algé-brica.

Em face deste procedimento importa pois estudar alguns processos deobtenção das transformadas inversas de Laplace. Existem várias técnicasque podem ser utilizados com o este fim. Entre elas, conta-se o recurso àspropriedades da transformação inversa de Laplace cujo conhecimento podefacilitar bastante a determinação das transformadas inversas. Listam-se aseguir algumas destas propriedades.

5.1 Linearidade

A inversa de uma aplicação linear é linear. Assim, sendo F (s) = L[f(t)] eG(s) = L[g(t)] tem-se,

L−1[λF (s) + µG(s)] = λL−1[F (s)] + µL−1[G(s)] ,

em que λ, µ ∈ C.Dem. Exercício.

Exemplo 14 L−1[1s3− 4

s+1

]= L−1

[1s3

]− 4L−1[

1s+1

]= 1

2t− 4e−t(t ≥ 0).

13 1/Agosto/2005

Observação 1 De um modo geral para se obter o original de uma funçãoracional F (s) = P (s)

Q(s)utiliza-se a técnica da decomposição destas funções

numa soma de fracções “mais simples”. Assim, por exemplo, sendo F (s) =2s−3

(s−1)(s−2), como

2s− 3

(s− 1)(s− 2)=

1

s− 1+

1

s− 2

obtém-se,

L−1[F (s)] = L−1

[1

s− 1+

1

s− 2

]

= L−1

[1

s− 1

]+ L−1

[1

s− 2

]= et + e2t (t ≥ 0).

5.2 Original de F (s+ a), a ∈ IR (deslocamento)

Se f(t) = L−1[F (s)] tem-se,

L−1[F (s+ a)] = e−atf(t) .

Dem. Basta provar que F (s+a) = L [e−atf(t)] o que se deixa ao cuidadodo leitor.

Exemplo 15 Desta propriedade resultam imediatamente duas igualdadesmuito úteis na resolução de exercícios práticos:

L−1

[s+ a

(s+ a)2 + ω2

]= e−at cosωt (t ≥ 0)

e

L−1

[ω

(s+ a)2 + ω2

]= e−at senωt (t ≥ 0).

5.3 Original de F (as), a ∈ IR+ (mudança de escala)

Se f(t) = L−1[F (s)] tem-se,

L−1[F (as)] = 1af( t

a) .

Dem. Exercício.

14 1/Agosto/2005

5.4 Original de F (s)×G(s) (convolução)

Se f(t) = L−1[F (s)] e g(t) = L−1[G(s)] tem-se,

L−1[F (s)×G(s)] = (f ∗ g)(t) = ∫ t

0f(u)g(t− u)du ,

em que (f ∗ g)(t) designa o produto de convolução de f por g que se definepor

(f ∗ g)(t) = ∫ t

0f(u)g(t− u)du .

Dem. Vamos provar que L[(f ∗ g)(t)] = F (s)×G(s). Ora

L[(f ∗ g)(t)] =∫ +∞

0

e−st

(∫ t

0

f(u)g(t− u)du

)dt

= limT→+∞

∫ T

0

e−st

(∫ t

0

f(u)g(t− u)du

)dt

= limT→+∞

∫∫D

e−stf(u)g(t− u)dudt, (5)

em queD =

{(u, t) ∈ IR2 : 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ u ≤ t

}.

Efectuando a mudança de variáveis{v = t− uw = u

,

a região D é transformada na região

D′ ={(v,w) ∈ IR2 : 0 ≤ v ≤ T − v, 0 ≤ w ≤ T

}.

Aplicando a fórmula de mudança de variáveis para integrais duplos ao integral(5) obtém-se

limT→+∞

∫∫D

e−stf(u)g(t− u)dudt = limT→+∞

∫∫D′

e−s(v+w)f(w)g(v)dvdw

= limT→+∞

∫ T

0

∫ T−v

0

e−s(v+w)f(w)g(v)dvdw

= limT→+∞

∫ T

0

(∫ T−v

0

e−svg(v)dv

)e−swg(w)dw

=

∫ +∞

0

(∫ +∞

0

e−svg(v)dv

)e−swg(w)dw

=

(∫ +∞

0

e−svg(v)dv

)(∫ +∞

0

e−swg(w)dw

)= L[f(t)]L[g(t)].

15 1/Agosto/2005

Tem-se portanto L[(f ∗ g)(t)] = F (s)×G(s).

Exercício 10 Encontre a transformada inversa de cada uma das seguintestransformadas de Laplace:

1. ss2+2

.[R : cos

√2t].

2. 1s2−3

.[R :

√33senh

√3t].

3. 62s−3

− 3+4s9s2−16

+ 8−6s16s2+9

.

[R :

2

3sin

3

4t− 3

8cos

3

4t+ 3e

3

2t − 7

72e−

4

3t − 25

72e

4

3t

].

4. 3s+7s2+2s−3

.[R : 1

2e−3t + 5

2et].

5. 2s2−4(s+1)(s−2)(s−3)

.[R : −e−t

6− 4

3e2t + 7

2e3t].

6. 3s+1(s−1)(s2+1)

. [R : 2et − 2 cos t+ sen t].

Exercício 11 Prove a propriedade do deslocamento (transformação inversa)e utilize-a para obter L[e4t sen t]sabendo que L[sen t] = 1

s2+1.

Exercício 12 Utilize a propriedade da convolução para calcular:

1. L−1[

1(s+2)(s−3)

].[R : e3t−e−2t

5

].

2. L−1[

1(s+2)2(s+2)2

].[R : t3e−2t

6)].

3. L−1[

1(s2+1)3

].[R : (3−t2) sen t−3t cos t

8

].

4. L−1[

s(s2+4)3

].[R : sen 2t−2t cos 2t

16

].

Exercício 13 Determine a solução de cada um dos problemas de valoresiniciais:

1. y′′ + 4y′ − 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0.[R : y = e−2t cosh 3t+

2

3e−2t senh 3t

].

16 1/Agosto/2005

2. y′′ + 4y′ = H(t), y(0) = y′(0) = 0.[R : y =

t

4− 1

16+

1

16e−4t

].

3. y′′′ + 6y′′ + 11y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = −1.[R : y = 8e−t − 9e−2t + 3e−3t

].

4. y′′ + 2y′ + 2y = et, y(0) = 1, y′(0) = 0.[R : y =

1

5et +

4

5e−t cos t+

3

5e−t sen t

].

5. y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = t, y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = 1.[R : y = − 3

20cos 2t− 3

40sen 2t− 1

4t− 1

4+

2

5et].

6. y′′ + 2y′ + 5y = e−t, y(0) = 0, y′(0) = 1.[R : y =

1

4e−t − 1

4e−t cos 2t+

1

2e−t sen 2t

].

Exercício 14 Resolva cada um dos seguintes sistemas de equações diferen-ciais:

1.

{y′ + z′ = ty′′ − z = e−t , y(0) = 3, y′(0) = −2, z(0) = 0.

[R :

{y = 1

2e−t + 1

2!t2 + 2 + 1

2cos t− 3

2sen t

z = 1− 12e−t − 1

2cos t+ 3

2sen t

].

2.

{y′ + y + 2z′ + 3z = e−t

3y′ − y + 4z′ + z = 0, y(0) = 1, z(0) = 0.

[R :

{y = 1

3e−t − 1

2e−t + 1

6e−2t

z = e−t − 25e−3t/2 − 2

15et − 1

6e−2t

].

17 1/Agosto/2005

6 Resumo de algumas propriedades

No quadro seguinte apresentam-se algumas das propriedades das transfor-madas de Laplace mencionadas acima.

PROPRIEDADE f(t) = L−1[F (s)] F (s) = L[f(t)]Linearidade λf + µg λF + µGDeslocamento f(t− a)H (t− a) , a ≥ 0 e−asF (s)

e−atf(t) F (s+ a)Mudança de escala f(at), a > 0 1

aF ( s

a)

1af( t

a) F (as)

Derivada f ′(t) sF (s)− f(0)

Integral∫ t

0f(u)du F (s)

s

Convolução (f ∗ g)(t) F (s)×G(s)

Apresentam-se seguidamente algumas das transformadas de Laplace maisutilizadas (supõe-se ω > 0).

f(t) F (s) = L[f(t)] Validadeδ 1 –

H(t) 1s

Re s > 0t 1

s2Re s > 0

tn n!sn+1 Re s > 0

e−at 1s+a

Re(s+ a) > 0

te−at 1(s+a)2

Re(s+ a) > 0

cosωt ss2+ω2 Re s > 0

senωt ωs2+ω2 Re s > 0

e−at cosωt s+a(s+a)2+ω2 Re(s+ a) > 0

e−at senωt ω(s+a)2+ω2 Re(s+ a) > 0

coshωt ss2−ω2 Re s > ω

senhωt ωs2−ω2 Re s > ω

18 1/Agosto/2005

Referências

[1] Apostol, T., Calculus, Vols. 1 e 2, Reverté, 1975.

[2] Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons,1997;

[3] Piskounov, N., Cálculo diferencial e integral, Vol. 2, Edições Lopes daSilva, 1998.

[4] Ray Wile, C. e Barret, L. C., Advanced Engineering Mathematics,McGraw-Hill, 1982.

[5] Spiegel, M. R., Transformadas de Laplace, Schaum, McGraw-Hill do Bra-sil, 1965.

19 1/Agosto/2005

Exercícios propostos

1. Indique, justificando, quais das seguintes funções são de ordem ex-ponêncial:

(a) tθ;

(b) t cot t;

(c) eet;

(d) cosh t;

(e) t5e2t.

2. Seja f uma função seccionalmente contínua e de ordem exponencialpara t ≥ 0, definida por

f (t) =

{t , 0 ≤ t ≤ 22 , t > 2

Calcule L [f (t)] utilizando a definição de transformada de Laplace.

3. Mostre que apesar de 1√tnão verificar o teorema que garante a existência

da transformada de Laplace, L(

1√t

)existe.

4. Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções

(a) 2t+ 6;

(b) a+ bt+ ct2;

(c) sinπt;

(d) cos2 bt;

(e) ea−bt;

(f) et cosh 3t;

(g) sin(bt+ d);

(h) sin 2t cos 2t.

5. Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções

(a) t2e−3t;

(b) e−at cos bt;

(c) 5e2t cos bt sinh 2t;

20 1/Agosto/2005

(d) 2e−t cos2 t2;

(e) sinh t cos t;

(f) (t+ 1)2 et.

6. Encontre a transformada de Laplace das funções periódicas que, aolongo de um periodo, são

(a) f(t) =

{1 se t ∈]0, a[

−1 se t ∈]a, 2a[ ;

(b) f(t) = t, t ∈]0, a[;(c) f(t) = sin t, t ∈ [0, π];

(d) f(t) =

{t se t ∈]0, a[0 se t ∈]a, 2a[ .

7. Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = n + 1, nk <t < (n+ 1) k, n = 0, 1, 2, ... k > 0. Sugestão: Considere f(t) como adiferença de t+k

ke da onda dente de serra definida em .

8. Encontre L (f(t)) das funções

(a) 2n, n < t < n+ 1, n = 0, 1, 2, ..., etc;

(b) (−2)n , n < t < n+ 1 n = 0, 1, 2, ..., etc.

9. Deduza, pela regra da derivada

(a) L(cos(bt));(b) L(sin2(t));

(c) L(t sin(bt)).

10. Seja f(t) = t2. Encontre L(f) sabendo que L(1) = 1s.

11. Seja f(t) a função definida por f(t) =

2 se t ∈]0, π[0 se t ∈]π, 2π[sin t se t > 2π

. Verifique

que L(f(t)) = 2s− 2e−πs

s+ e−2πs

s2+1.

12. Encontre o original de

(a) 1(s+1)2

;

(b) 3s2+6s+8

;

21 1/Agosto/2005

(c) s

(s+1

2)2+1;

(d) 2s2+s+ 1

2

.

13. Encontre os originais de

(a) 0.1s+0.9s2+3.24

;

(b) s−10s2−s−2

;

(c) s−4s2−4

;

(d) as4− b

s6;

(e) s4+6s−18s5−3s4

;

(f) 1(s+

√2)(s−√

3);

(g) 2s3

s4−1.

14. Mostre que:

(a) L−1(

1(s2+a2)(s2+b2)

)= 1

aba sin bt−b sin at

a2−b2;

(b) L−1(

s(s2+a2)(s2+b2)

)= cos bt−cos at

a2−b2;

(c) L−1(

s2

(s2+a2)(s2+b2)

)= b sin bt

b2−a2− a sin at

b2−a2;

(d) L−1(

s3

(s2+a2)(s2+b2)

)= b2 cos bt

b2−a2− a2 cos at

b2−a2.

15. Verifique que L−1(

1−e−s

s(e−e−s)

)= en+1, n < t < n+1, n = 0, 1, 2, ..., etc.

(Sugestão: Desenvolva o denominador em série de potências de e−s).

16. Recorra à propriedade do integral indefinido para obter

(a) L−1(

1s(s2+a2)

);

(b) L−1(

1s2((s2+a2)

).

17. Encontre, pela regra do integral indefinido, o original de

(a) 1s2+4s

;

(b) 4s3−2s2

;

(c) 1s(s2+a2)

;

22 1/Agosto/2005

(d) 1s2

(s−1s+1

).

18. Sabendo que 1(s2+a2)2

= L ( 12a3

(sin at− at cos at))mostre que

(a) L( 12at sin at) = s

(s2+a2)2

(b) L( 12a(sin at+ at cos at)) = s2

(s2+a2)2

19. Recorrendo à convolução, encontre o original de

(a) s2−a2

(s2+a2)2;

(b) 1(s2+1)2

;

(c) 1s2;

(d) 1s2(s−a)

;

(e) e−as

s(s−2);

(f) 1(s+3)(s−2)

.

20. Resolva os seguintes problemas de valor inicial

(a) y′′ − y = t cos t, y(0) = y′(0) = 0;

(b) y′′ + 4y′ + 8y = sinx, y (0) = y′ (0) = 0;

(c) y′′ + 6y′ + 8y = e−3t − e−5t, y (0) = y′ (0) = 0;

(d) y′′ + 4y′ + 13y = 13e−2t sin t, y (0) = 1, y′ (0) = −2;

(e) y′′ + 2y′ + 2y = f(t), y (0) = 1, y′ (0) = −5 com f(t) a função

definida por f(t) =

{10 sin 2t se t ∈ [0, π]

0 se t > π.

21. Resolva cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais:

(a)

{d2xdt2

+ x+ y = 0d2ydt2

+ x+ y = 0, x(0) = 0, dx

dt(0) = 1, y(0) = 1, dy

dt(0) = −1;

(b)

{d2xdt

= −x+ 2 (y − x)d2ydt2

= −2 (y − x), x(0) = 0, dx

dt(0) = 1, y(0) = 0, dy

dt(0) =

−1

23 1/Agosto/2005

1k

2k

1m

2m

x

y

1k

2k

1m

2m

x

y

Figura 1: Sistema mecânico.

22. Considere o seguinte sistema mecânico com as massas m1 e m2 e molasde rigidez k1e k2,modelado pelo seguinte sistema de equações diferen-ciais: {

m1d2xdt2

= −k1x+ k2 (y − x)

m2d2ydt2

= −k2 (y − x). (6)

(a) Resolva o seguinte problema de valores iniciais associado ao sis-tema (6): {

x (0) = 0, dxdt(0) = 1

y (0) = 0, dydt(0) = −1

. (7)

(b) Quais são as frequências vibratórias naturais do sistema? Seráque estas dependem das condições iniciais (7)? Justifique.

Soluções

1a) Sim; 1b) Não; 1c) Não; 1d) Sim; 1e) Sim; 2) 1s2

− e−2s

s2; 4a) 2

s2+ 6

s; 4b)

as+ b

s2+ 2c

s3; 4c) π

s2+π2 ; 4d)12t+ 1

2s

s2+(2b)2; 4e) ea 1

s+b; 4f) s−1

(s−1)2−9; 4g) cos d b

s2+b2+

sin d ss2+b2

; 4h) 2s2+42

; 5a) 2(s+3)3

; 5b) s+a(s+a)2+b2

; 5c) 52

[s−4

(s−4)2+b2− s

s2+b2

]; 5d)

1s+1

+ s+1(s+1)2+1

; 5e) 12

(s−1

(s−1)2+1− s+1

(s+1)2+1

); 5f) 2

(s−1)3+ 2

(s−1)2+ 1

(s−1); 6a)

1stanh a

2s; 6b) 1+as

s2− a

s(1−e−as); 6c) coth 2πs/3

1+s2; 6d) 1−(1+as)e−as

s2(1−e−2as); 7) 1

s(1−e−ks); 8a)

es−1s(es−2)

; 8b) es−1s(es+2)

; 9a) ss2+b2

; 9b) 2s(s2+4)

; 9c) 2bs(s2+b2)2

; 10) 2s3; 12a) te−t; 12b)

3e−3t sinh t; 12c) e−1

2t(cos t− 1

2sin t); 12d) 4e−

1

2t sin t

2; 13a) 0.1 cos

√3.24t+

0.9√3.24

sin√3.24t; 13b) e

1

2t(cosh 3

2t − 19

3sinh 3

2t; 13c) cosh 2t − 2 sinh 2t; 13d)

a6t3− b

120t5; 13e) e3t+t3; 13f) 1√

2+√3

(−e−

√2t + e

√3t); 13g) cosh t−cos t; 16a)

1a2(1− cos at); 16b) 1

a2

(t− sin at

a

); 17a) −1

4(e−4t − 1); 17b) −2t + e−t − 1;

24 1/Agosto/2005

17c) 1a2(1− cos at); 17d) −t− 2e−t +2; 19a) t cos at; 19b) −1

2t cos t+ 1

2sin t;

19c) t; 19d) 1a2(eat − at− 1); 19e) f (t− a) com f (t) = 1

2(e2t − 1); 19f) 1

5

(e2t − e−3t); 20a) 12(sin t− t cos t); 20b)

1

10

{e−2x cos 2x+

1

2e−2x sin 2x− cos 2x+

1

2sin 2x

};

20c) −e−3t − 13e−5t + 1

3e−2t + e−4t; 20d) e−2t cos 3t+ 1

54e−2t (sin 3t− 3t cos 3t);

20e)

{3e−t cos t− 2 cos 2t− sin(2t), se 0 ≤ t ≤ π)(3e−t + 2) cos t, se t > π

; 21a) x (t) = t+12cos t

√2−

12, y (t) = 1

2cos t

√2− t+ 1

2; 21b)

x (t) = L−1

s2(

s2 +√

5+√17

2

2)(

s2 +√

5−√17

2

2) ,

y (t) = −L−1

1(

s2 +√

5+√17

2

2)(

s2 +√

5−√17

2

2)

−L−1

s2(

s2 +√

5+√17

2

2)(

s2 +√

5−√17

2

2) .

22a)

x (t) = L−1

(s2

(s2 + ω21) (s

2 + ω22)

),

y (t) = −k−11 L

(1

(s2 + ω21) (s

2 + ω22)

)

−L−1

(s2

(s2 + ω21) (s

2 + ω22)

)com

ω1 =

√(k1 + 2k2)−

√k21 + 4k22

2,

ω2 =

√(k1 + 2k2) +

√k21 + 4k2

2

2.

25 1/Agosto/2005