Aula 05 “Transformadas de Laplace” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/analise_sinais_ppt05p.pdf · Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula ’tem uma Tabela da Transformada

Aula 05

“Transformadas de

Laplace”

Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Pierre Simon Laplace (1749-1827)

As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em

função de uma variável “s” que é um número complexo,

s = σ + jω


Transformadas de Laplace – definição

L { x(t) } ou X(s)

x(t) = 0 para t < 0

Transformada de Laplace

unilateral (para t ≥ 0)

[ ] dt)t(x)s(X)t(x0

st ⋅== ∫∞

-eL


Transformadas de Laplace de alguns sinais conhecidos


função exponencial

[ ])as(

1at

+=-

eL

[ ] =⋅⋅== ∫∞

dt)s(X)t(x0

atst --eeL

)as(

1

)as(dt

0

a)t(s

0

a)t(s

+=

+−=⋅=

∞+∞ +∫-

- ee

a < 0 a = 0a > 0

x(t) = e–at ⋅u1(t)


x(t) = uo(t)

Usando Propriedade da Convolução

eq. (3.13), pág 14, Cap.3 ‘Notas de Aula’

β<<α=−⋅∫β

αa),a(xdt)at(u)t(x o

eq. (3.13), pág 14, Cap.3

‘Notas de Aula’Propriedade da Convolução

[ ] 1)t(uo =L

[ ] dt)t(u)s(X)t(x0

o

st

∫∞

⋅⋅== -eL

[ ] 00s)t(x ee- == ⋅

L

impulso unitário


x(t) = u1(t) [ ]s

1)t(u1 =L

degrau unitário

[ ]s

1

sdt)t(u)s(X)t(x

0

st

01

st =−=⋅⋅==∞

∞

∫-

- eeL


[ ]22

s

1)t(u =L

[ ]2

0

2

st

02

st

s

1

sdt)t(u)s(X)t(x =−=⋅⋅==

∞∞

∫-

- eeL

x(t) = u2(t)rampa unitária


Os demais sinais singulares

x(t) = u3(t) [ ]33

s

1)t(u =L

[ ]nn

s

1)t(u =L

semi-parábola


[ ]22s

tsenω+

ω=ωLx(t) = sen ωt ⋅ u1(t)

seno


x(t) = cos ωt ⋅ u1(t) [ ]22s

stcos

ω+=ωL

co-seno


Propriedades da Transformada de Laplace

Homogeneidade:

Aditividade:

Linearidade:

[ ])t(x)s(X L=

(que resume as 2 propriedades anteriores: ‘Homogeneidade’ e ‘Aditividade’)


(continuação)

Propriedades da Transformada de Laplace [ ])t(x)s(X L=

Sinal transladado (“time shifting”):

Sinal multiplicado por exponencial e–at


Derivadas:

(continuação)

•••



caso particular

(continuação)


Derivadas:

condições iniciais nulas

x(0) = 0

x’(0) = 0etc.


caso particular

Integral:

(continuação)


condições iniciais nulas

x(0) = 0


Mudança de escala do tempo (“time scaling”)

Sinal multiplicado por t

Sinal multiplicado por 1/t

(continuação)



Convolução:

a convolução entre dois sinais x1(t) e x2(t)

[ ] )s(X)s(X)t(x*)t(x 2121 ⋅=L

=τ⋅τ⋅τ−= ∫∞

d)(x)t(x)t(x*)t(x0

2121

τ⋅τ−⋅τ= ∫∞

d)t(x)(x0

21

(continuação)

Propriedades da Transformada de Laplace { })t(x)s(X L=

integral de convolução


Teorema do Valor Inicial (TVI)

Teorema do Valor Final (TVF)

)s(Xslim)t(xlim)0(xs0t

⋅=∆∞→→

++

)s(Xslim)t(xlim)(x0st

⋅=∆∞→∞→


Teorema do Valor Inicial (TVI)

Teorema do Valor Final (TVF)

)s(Xslim)0(xs

⋅=∞→

+

)s(Xslim)(x0s

⋅=∞→


Alguns exemplos de Transformadas de Laplace

x(t) = 2 uo(t – a)

X(s) = 2 e–as

)at(u3

2)t(x 1 −−=

s3

2)s(X

as−−= e

Exemplo 1

Exemplo 2


)3t(u)1t(u)t(u)t(x 122 −−−−=

sss

1)s(X

s3

2

s

2

−−

−−= ee

)2t(ua)t(x 1 +⋅=

Não tem Transformada de Laplace unilateral, conforme definimos.

Exemplo 3

Exemplo 4


)t2(ua)t(x 1 −⋅=

Não tem Transformada de Laplace unilateral, conforme definimos.

Exemplo 5


Usando a propriedade da mudança de escala (“time scaling”) também

podemos obter X2(s) a partir de X1(s).

Estes sinais são de certa forma o mesmo sinal escritos em escalas de tempo diferentes.


usando apenas as propriedades da Transformada de Laplace, em especial a da derivada, podemos mostrar que:

[ ]22s

stcos

ω+=ωL

[ ]22s

tsenω+

ω=ωL

Já vimos que a Transformada de Laplace do seno é:

que é a Transformada de Laplace do co-seno, conforme também já vimos anteriormente.


Propriedades da Transformada de Laplace (continuação)

aplicando-se a propriedade da multiplicação por exponencial

para os sinais singulares un(t)

divididos por n!

aplicando-se recursivamente a propriedade do sinal multiplicado

por t para o sinal exponencial.

ou

Estas propriedades podem ser obtidas:


Aplicando-se a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêm-se

22)as()s(X

ω++ω=

)t(utsen)t(x 1

at ⋅ω⋅= −e

o seno multiplicado por exponencial


e, novamente aplicando a propriedade do sinal multiplicado por exponencial, obtemos:

Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula’ tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.

22)as(

)as()s(X

ω+++=

)t(utcos)t(x 1

at ⋅ω⋅= −e

o co-seno multiplicado por exponencial


Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula’tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinaisque precisaremos.






Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula’tem uma Tabela da Transformada de Laplacede todos os sinais que precisaremos.


As Transformadas Inversa de Laplace

As Transformadas de Laplace dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fração racional

� polos reais e distintos,

� polos complexos e

� polos múltiplos.

[ ] )t(x)s(X1 =−-L

)s(q

)s(p

Os três casos que veremos são:


Caso 1 – Polos reais e distintos

)s(q

)s(p

e o cálculo das transformadas inversas:


Caso 2 – Polos complexos conjugados

)s(q

)s(p


(continuação)


Caso 2 – Polos complexos conjugados

)t(utcoseA)s(

As1

t

22

1 ⋅ω⋅⋅=

ω+α+α−−-

L

)t(utseneB

)s(

/B1

t

22

1 ⋅ω⋅⋅ω

=

ω+α+ω α−−-

L

)s(q

)s(p


Caso 3 – Polos múltiplos

)s(q

)s(p



A + B = 1

2A + B = 3

A = 2

B = – 1

Exemplo 6

fazemos:


e portanto:

Exemplo 6 (continuação)

logo,


Exemplo 7

já foi calculado no exemplo anterior


Exemplo 8

A + B = 0

A + C = 1

A = 1

A = 1

B = – 1

C = 0


e portanto:


logo,


e usando a tabela das Transformadas de Laplace facilmente encontramos:



Exemplo 9

A + B + C = 3

B + 2C = 2

C = 1

A = 2

B = 0

C = 1


e portanto:

cuja transformada inversa é



Solução de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando Transformada Laplace

Normalmente, a entrada x(t) é conhecida assim como as condições iniciais

da saída y(t), isto é,

y(0), y’(0), y’’(0), etc.

e deseja-se calcular a saída y(t), a solução da EDO.


Exemplo 10

y’’ + 3y(t) = 2 x(t)

y(0) = 0 e y’(0) = 0

x(t) = u1(t) = degrau unitário

Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2), obtém-se:

ou seja,

(1)

(2)

(3)


e portanto,

e, pela eq. (3), x(t) = u1(t) = degrau unitário, temos que X(s) = 1/s,

logo:



Este é um caso de um polo real

Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada

inversa de Laplace de Y(s).

[ ])s(Y)t(y 1−= -L

e um par de polos complexos conjugados, raízes de

s = 0



Exemplo 11

y’’ + 5y’ + 9y(t) = x(t) = 0

y(0) = 0 e y’(0) = 4;

x(t) = 0

ou seja,

(EDO homogénea) (1)

(2)

(3)

Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2),

e como pela eq. (3), x(t) = 0, obtém-se:


Este é um caso de um par de polos complexos conjugados, raízes de

Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a

transformada inversa de Laplace de Y(s).

[ ])s(Y)t(y 1−= -L

(continuação)Exemplo 11

que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é:

e portanto,


Exemplo 12

y’’ + y’ + y(t) = x(t)

y(0) = 0 e y’(0) = 1;

x(t) = u1(t) = degrau unitário

e portanto,

logo, como pela eq. (3), X(s) = 1/s, temos que:

(1)

(2)

(3)

Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2), obtém-se:

)s/1()s(Y)s(sY1)t(ys2 =++−


que já foi calculada no Exemplo 8, ou seja,

Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a

transformada inversa de Laplace de Y(s).

[ ])s(Y)t(y 1−= -L

(continuação)Exemplo 12

que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é:

Este é um caso de um polo real e um par de polos complexos conjugados, raízes de

)1ss(s 2 ++


A resposta impulsional h(t) e H(s)


Um resultado clássico da Teoria de Sistemas, que já vimos na seção 4.3, é

que a saída y(t) de um sistema é a convolução entre h(t) e x(t), ou seja

)t(x*)t(h)t(y =

isto é, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma da integral de convolução,

τ⋅τ−⋅τ=τ⋅τ⋅τ−= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−d)t(x)(hd)(x)t(h)t(y

Usando a propriedade da convolução para a Transformada de Laplace, ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas, temos então que:

)s(X)s(H)s(Y ⋅=


na forma

o que permite redesenhar o diagrama


Como a Transformada de Laplace do impulso unitário uo(t) é igual a 1, ou seja:

então quando a entrada x(t) é um impulso unitário uo(t), i.e.,

teremos que X(s) = 1 e portanto, Y(s) = H(s) × 1, isto é,

o que implica

isto é, a saída y(t) se torna a resposta impulsional, como seria de se esperar.

y(t) = h(t),

Y(s) = H(s),

x(t) = uo(t)

L {uo(t)} = 1

Obrigado!

Felippe de [email protected]

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