Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 –Transformadas de Fourier

Carlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html

Sinais e Transformadas de Fourier

SinaisContínuos->CTFT (Transformada de Fourier para tempo contínuo a definir)

SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)

SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> DTFT (tranformada de Fourier para tempo discreto a definir)

SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)

CTFT

( )

1, ( ) ( )

2

, ( ) ( )

jwt

jwt

x SinaisContínuos tempo C

CTFT x X SinaisContínuos frequência C

t tempo x t X w e dw

w frequências X w x t e dt

O domínio do sinal x(t) é o tempo que se mede em segundos

O domíno da CTFT é a frequência que se mede em rad/s

Sinais periódicos

0

0

2( ) ( ),

( )jkw t

k

x t p x t wp

x t X e

Já conhecíamos este resultado do desenvolvimento

em série de Fourier

Se o período tender para infinito

0

0

2, 0

( ) ( )jkw t jwt

k

p wp

x t X e X w e dw

-2p -p 0 p 2p

-2w0 -w0 0w0 2w0

Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a CTFT

-2p -p 0 p 2p

-2w0 -w0 0w0 2w0

-p 0 p

-4w0 -3w0 -2w0 -w0 0 w0 -2w0 -3w0 -4w0

0

0

2, 0, ( ) ( )

jkw t jwt

kp w x t X e X w e dwp

Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a CTFT

Na CTFT todas as frequências estão representadas.

Os sinais normais terão um espectro da frequência.

Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o espectro terá amplitude máxima na frequência da sinusoide.

Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai.

Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa frequência.

De um modo geral, o área definida pela CTFT entre duas frequências está relacionada com a quantidade de energia do sinal nessa gama de frequências.

Exemplo: CTFT de uma exponencial

0

0

0

, ( )

1( ) ( )

2

( ) 2 ( )

jw t

jw tjwt

t tempo x t e

x t X w e dw e

X w w w

w0

Exemplo: CTFT de um coseno

0 0

0

0

0 0

, ( ) cos( )

1( ) ( ) cos( )

2 2

( ) ( ) ( )

jw t jw tjwt

t tempo x t w t

e ex t X w e dw w t

X w w w w w

w0-w0

Exemplo: CTFT de um seno

0 0

0

0

0 0

, ( ) sin( )

1( ) ( ) sin( )

2 2

( ) ( ) ( )

jw t jw tjwt

t tempo x t w t

e ex t X w e dw w t

j

X w w w w wj

w0-w0

/ j)

/j)

CTFT de sinais reais

Se o sinal é real :

*

*

* *

* *

*

*

*

( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )

2 2

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

jwt jwt

jwt j t

j t

jwt jwt

x t x t

x t X w e dw X w e dw w

X w e dw X e d

X e d w

X w e dw X w e dw

X w X w Já era um resultado conhecido

das séries de Fourier

Mudança de escala

2

2

2

2

2

( ) (2 )

1 1( ) ( ) 2

2 2

1

2 2

1

2 2

1( )

2 2

jwt jw t

j t

jwt

y t x t

Y w e dw X w e dw w

X e d w

wX e dw

wY W X

Linearidade

1 2

1 2( ) ( ) ( )

y ax bx

Y w aX w bX w

Reverse …

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

jwt jwt

jwt jut jut

y t x t

y t x t X w e dw Y w e dw

u w

Y w e dw X u e du X u e du

Y w X w

Delta no domínio do tempo

0

0( ) ( ) ( )

e se ( ) ( )?

( ) ( ) 1

jw t

jwt

x t e X w w w

x t t

X w x t e dt

O delta de Dirac tem todas as frequências. Se

pegarmos em todas as sinusoides do mundo (ejwt)

e as somarmos, obtemos um delta de Dirac.

Delta de Dirac como entrada

Como o delta de Dirac representa todas as frequências, quando se excita um sistema com um delta de Dirac obtem-se toda a informação sobre o sistema uma vez que o excitámos com todas as frequências.

Sinais Periódicos

Relação entre a transformada de Fourier e a Série de Fourier

0

0

0

( ) ( ) 2 ( )

( ) 2

jkw t

k k

k k

k

x t X e X w X w kw

X kw X

pt

w0w

2w0 3w00-w0

Exemplo

(1 )

0 0

(1 )

0

0 0( )

1 0

( ) ( )

( ) ( )

1 1

(1 ) 1

t

t jwt t jwt jw t

jw t

tu t

t

y t e u t

Y w e u t e dt e e dt e dt

ejw jw

Exemplo

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

1

tz t y t e u t

Z w Y wjw

Se fizermos “reverse”, não é necessário recalcular a

Transformada, basta aplicarmos a regra y(t)=x(-t), Y(w)=X(-w)

Soma das duas …

'

'

2

( ) ( ) ( )

1 1 (1 ) (1 )( ) ( ) ( )

1 1 (1 )(1 )

2

1

tz t e y t y t

jw jwZ w Y w Y w

jw jw jw jw

w

Resposta Impulsiva e Resposta em Frequência

( ) ( ) ?

( ) ( * )( ) ( ) ( )

( )

( )

jwt

jwt

h t H w

y t h x t h s x t s ds

x t e

H w e ( )( ) jw t sh s e ds

A Resposta em Frequência é a Tranformada de Fourier da Resposta Impulsiva.

Exemplo

Calcular a resposta impulsiva de

( ) ( ) ( )

sabendo que a resposta em frequência é

1( )

1

Resposta:

1Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de ( )

1

é ( ) ( )t

y t y t x t

H wjw

H wjw

h t e u t

Exemplo

Calcular a resposta impulsiva de

( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )y t y t y t x t

Calculando a RF

2

Resposta:

( ) ?

( )( ) jwt

H w

H w jw e 3 ( ) jwtH w jw e 2 ( ) jwtH w e jwte

2

1 1( )

( ) 3 2 (2 )(1 )H w

jw jw jw jw

Factorizando …

(um polinómio do 2º grau pode sempre ser factorizado

em dois termos (ver apêndice B)).

1( )

2 1 (2 )(1 )

(1 ) (2 ) 1 2 1

2 1 0 1; 1

1 1( )

1 2

A BH w

jw jw jw jw

A jw B jw A Ajw B Bjw

A B A B A B B A

H wjw jw

TF inversa …

2

Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de

1 1( )

1 2

é

( ) ( )t t

H wjw jw

h t e e u t

Nota

Quando se resolvem equações diferenciais sabemos que somos conduzidos a uma resposta livre, a uma resposta forçada, etc.

Este método permite resolver qualquer equação diferencial desde que se saibam factorizar polinómios, decompor em fracções parciais e fazer a convolução

Mais simetria

1( ) ( ) 2 ( ) ( )

2

Mudanças de variável:

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 ( )

jwt jwt

jsu jsw

jwt

x t X w e dw x t X w e dw

x u X s e ds x w X s e ds

x w X t e dt

x t X w X t x w

Exemplos

-a a

/ax(t)

X(w)=?

Exemplo

( ) ( ) ( )

1 1 2 2sin( )

2

a a

jwt jwt jwt

a a

a

jwa jwaa

jwt jwa jwa

a

X w x t e dt x t e dt e dta

e ee e e aw

a jw a jw aw j aw

Exemplo

sin( )( ) 2

awX w

aw

2

waw=

w= /a

aw= 2

w= 2 /a

aw= -

w= - /a

aw= -2

w= 2 /aw= 0

Exemplo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

0

2

4

6

8

>> a=10;

>> w=-pi:pi/1000:pi;

>> X=2*pi/a./w.*(sin(a*w));

Warning: Divide by zero.

>> plot (w,X)

sin( )( ) 2 2 sinc

sin( )Nota: sinc( )

aw aX w w

aw

xx

x

Função sinc

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

0

2

4

6

8

>> %% a função sinc(x) retorna

(sin(pi*x))/pi*x pelo que o mesmo gráfico

pode ser obtido por:

>>>> plot (w,2*pi*sinc(a/pi*w))

sin( )( ) 2 2 sinc

sin( )Nota: sinc( )

aw aX w w

aw

xx

x

Analogamente

-a a

/ax(t)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

0

2

4

6

8

X(w)

Se considerarmos que um sistema tem como resposta

impulsiva X(t) então a sua resposta em frequência seria

x(w) (a menos uma simetria e um factor 2pi), pelo que

um filtro passa-baixo ideal é não causal (em tempo real

É impossível realizar um filtro passa-baixo ideal (sobre os dados

de um ficheiro já seria possível)

Aproximação usando Delay

-a a

/ax(w) X(w)

Se considerarmos atrasarmos o sinal em 3pi/4, e truncarmos o valor da

resposta impulsiva para t

Exemplo

1 3( )

1 1 2

jwH w

jw jw

Qual a amplitude e fase ?

Amplitude e fase

2

2 2

1 3( )

1 1 2

1 9( )

1 1 4

( ) (3 ) ( ) (2 )

jwH w

jw jw

wH w

w w

H w arctg w arctg w arctg w

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1.5

-1

-0.5

0

Qual a equação diferencial que descreve o sistema ?

2

1 3 1 3( )

1 1 2 1 3 2

2 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( )

jw jwH w

jw jw jw w

y t y t y t x t x t

E a resposta impulsiva ?

2

1 3( )

1 1 2 1 1 2

1 2 1 1 3

2 1 3

1 1

2 3 2 1 3 2; 1

1( )

1( ) 2 ( )

2

t

t

jw A BH w

jw jw jw jw

A jw B jw jw

A B A B jw jw

A B B A

A B A A A B

wcomo x at X

a a

h t e e u t

E a resposta a um degrau ?

2

0

1 0( )

0 0

1( ) 2 ( )

2

( ) ( ) ( ) ( )

t

t

t

tx t

t

h t e e u t

y t h s x t s ds h s ds

Como era de esperar uma vez que o degrau

corresponde ao integral de um impulso. Aplicando o

integral da entrada obtemos o integral da saída, uma

vez que o sistema é linear.

Exemplo simetria

Cálculo de integrais que não se saberia calcular

( ) ( )

1( )

1

1( )

1

( ) 2 ( )

12 ( )

1

t

w

jwt w

x t e u t

X wjw

se

x tjt

X w e u w

e dt e u wjt

Mais exemplos de simetria

Produto de sinais

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( )

x y t X w Y w

x t y t X Y w

DTFT

2

2

2

0

: SinaisDiscretos SinaisContínuosPeriódicos

: SinaisContínuosPeriódicos SinaisDiscretos

( ) ( )

R, ( ) ( )

1, ( ) ( )

2

jwn

jwn

DTFT

InvDTFT

n x n w X w

w X w x n e

t N x n X w e dw

Exemplo

43

0

1( ) ( )

1

jwjwn jwn

jwn n

eX w x n e e

e

0

1

x(n)

Módulo

81( )

1

jw

jw

eX w

e0

1x(n)

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

4

6

w

|X(w

)|

A DTFT tem periodicidade 2pi

DTFT e Série de Fourier

0

0

( 2 )

( ) ( )

( 2 ) ( ) ( )

A DTFT é portanto periódica. Se é periódica

pode ser representada por uma série de Fourier:

( )

( )

jwn

n

j w n

n

jkw t

k

k

jkw w jkw

k k

k k

X w x n e

X w x n e X w

x t X e

X w e e

( )

Por isso, se calcularmos os coeficientes da série

de Fourier da DTFT e recuperarmos esse sinal

pela serie de Fourier obtemos o sinal que deu origem

à DTFT a menos de uma inversão no tempo.

k x k

DFT

0

0

2

2

1'

0

1'

0

: SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretosPeriódicos

: SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretos

, ( )

1, ( )

pjnw k

n

k

pjkw n

k

k

DFT

InvDFT

n X x k e

n x n X ep

Exemplo

43

0

1( ) ( )

1

jwjwn jwn

jwn n

eX w x n e e

e

0

1x(n) periódico8

p