Capítulo 5 Transformadas de Fourier - Técnico Lisboa · • Transformada de Fourier de sinais finitos – Considere um sinal discreto y(n) que é finito – Defina-se um sinal periódico

1Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto

Capítulo 5Transformadas de Fourier

5.1 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência

5.2 Transformadas de Fourier e propriedades







– A composição de sistemas permite-nos obter sistemas mais complexos

– Ao interligarmos SLITs, o sistema composto resultante também éum SLIT

– Conhecendo a resposta em frequência de cada SLIT podemos determinar a resposta em frequência do sistema composto

– Isto permite-nos construir sistemas complexos e interessantes através da interligação de blocos de componentes simples

– Esta composição aplica-se de modo idêntico a sistemas discretos e contínuos



• Ligação em série ou cascata

– Sistema S1

• Resposta impulsiva h1(t)• Resposta em frequência H1(ω)

– Sistema S2


– Sistema S resultante• Resposta impulsiva h(t)=h1(t)*h2(t)• Resposta em frequência H(ω)=H1(ω).H2(ω)



• Ligação em paralelo

– Sistema S1


– Sistema S2


– Sistema S resultante• Resposta impulsiva h(t)=h1(t)+h2(t)• Resposta em frequência H(ω)=H1(ω)+H2(ω)

x y

y1

y2

S1

S2

+

S



• Ligação com retroacção– Sistema S1


– Sistema S2


– Sistema S resultante• Não é possível calcular a resposta impulsiva de uma forma directa• Resposta em frequência

)()(1)()(

21

1

ωωωωHH

HH−

=



• Exemplo:– Considere um sistema discreto com

retroacção como na figura– Considere S1 definido como y(n)=0.9 x(n)– Considere S2 definido como y(n)=x(n-1)– H1(ω)=0.9 e H2(ω)=e-jω

– A resposta em frequência do sistema é dada por

ωω jeH −−

=9.019.0)(



• Exercício:– Determine a resposta em frequência do seguinte sistema

)()()(1)()()(1

)()(1

)(1)()(

)(

212

21

2

21

2

21

ωωωωωω

ωω

ωωω

ω

HHHHHH

HH

HHH

H

−−=

=

−−

−=







– As séries de Fourier descrevem um sinal periódico como uma soma de exponenciais complexas

– Se a entrada do SLIT é uma soma de exponenciais complexas, então a resposta em frequência do SLIT descreve a resposta a cada uma das componentes exponenciais

– Podemos calcular a resposta do sistema a qualquer sinal de entrada periódico combinando as respostas aos componentes individuais

– A resposta de um SLIT a qualquer sinal de entrada pode ser obtida como a convolução do sinal de entrada e a resposta impulsiva

– A resposta impulsiva e a resposta em frequência dão-nos a mesma informação acerca do sistema mas em formas diferentes

– Vamos ver agora que a resposta impulsiva e a resposta em frequência estão relacionadas através da Transformada de Fourier



– Vimos anteriormente que sendo a entrada dada por x(n)=ejωn

a saída tinha a forma y(n)=H(ω )ejωn

– Um SLIT com resposta impulsiva h(n) apresenta como saída y(n)correspondente ao sinal x(n)

– Se colocarmos na entrada deste sistema x(n)=ejωn obtemos

– Comparando as duas expressões obtemos

∑∞

−∞=−=∗=∈∀

mmnxmhnxnhnyInteirosn )()()()()(,

∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− ==∗=∈∀m

mjnj

m

mnj emheemhnxnhnyInteirosn ωωω )()()()()(, )(

∑∞

−∞=

−=∈∀m

mjemhHReais ωωω )()(,



• Transformada de Fourier Discreta

• A resposta em frequência H(ω) é a Transformada de Fourier da resposta impulsiva– A resposta em frequência pode ser descrita como a soma

ponderada de exponenciais complexas, cujos pesos são as amostrasda resposta impulsiva

∑∞

−∞=

−=∈∀n

njenhHReais ωωω )()(,



– Se h(n) é real então H(ω)=H*(- ω)

que é a propriedade da simetria conjugada– Isto implica que

|H(- ω)| = |H(ω)|que significa que para qualquer SLIT com uma resposta impulsiva real, uma exponencial complexa com frequência ω sofre a mesma alteração de amplitude que uma exponencial complexa com frequência -ω

– Note também que ∀ ω∈Reais, H(ω+2π)= H(ω)

ou seja que a Transformada de Fourier Discreta é periódica com período 2π



• Exemplo– Considere um sistema que provoca um atraso de M amostras– A resposta impulsiva deste sistema é dada por

∀ n∈ Inteiros, h(n)=δ(n-M)– Podemos obter a resposta em frequência calculando a TF

– Este resultado mostra-nos que |H(ω)|=1 , dado que um atraso não muda a amplitude apenas altera a fase do sinal de entrada

Mjm

mj

m

mj

e

eMm

emhHReais

ω

ω

ω

δ

ωω

−

∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

=

−=

=∈∀

∑

∑

)(

)()(,



– Vimos anteriormente que sendo a entrada dada por x(t)=ejωt

a saída tinha a forma y(t)=H(ω )ejωt

– Um SLIT com resposta impulsiva h(t) apresenta como saída y(t)correspondente ao sinal x(t)

– Se colocarmos na entrada deste sistema x(t)=ejωt obtemos

– Comparando as duas expressões obtemos

∫∞

∞−

−=∈∀ ττωω ωτdehHReais j)()(,

∫∞

∞−

−=∗=∈∀ τττ dtxhtxthtyReaist )()()()()(,

∫∫∞

∞−

−∞

∞−

− ==∗=∈∀ ττττ ωτωτω dehedehtxthtyReaist jtjtj )()()()()(, )(



• Transformada de Fourier Contínua

• A resposta em frequência é a Transformada de Fourier da resposta impulsiva

∫∞

∞−

−=∈∀ dtethHReais tjωωω )()(,



• Exemplo– Considere um sistema que provoca um atraso de T segundos– A resposta impulsiva deste sistema é dada por

∀ t∈ Reais, h(t)=δ(t-T)– Podemos obter a resposta em frequência calculando a TF

– Este resultado mostra-nos que |H(ω)|=1 , dado que um atraso não muda a amplitude apenas altera a fase do sinal de entrada

Tj

tj

tj

e

dteTt

dtethHReais

ω

ω

ω

δ

ωω

−

∞

∞−

−

∞

∞−

−

=

−=

=∈∀

∫

∫

)(

)()(,



• Exemplo– Considere o seguinte rectângulo discreto

– A Transformada de Fourier é dada por

4)0(11

)()(

4

3

0

=−−

=

=

=

−

−

=

−

∞

−∞=

−

∑

∑

Xee

e

emxX

j

jm

mj

m

mj

ω

ω

ω

ωω



• Exemplo– Considere o seguinte rectângulo contínuo

– A Transformada de Fourier é dada por

( )

1)0(2/

)2/sin(

1

)1(1

)()(

2/

2/2/2/

1

0

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−=

−−==

=

−

−−

−−

∞

∞−

−

∫

∫

X

e

eeejw

ej

dte

dtetxX

j

jjj

jtj

tj

ωω

ω

ω

ω

ωωω

ωω

ω



• Transformadas inversas– Inversa da Transformada de Fourier discreta

– Inversa da Transformada de Fourier contínua

∫∞

∞−

= ωωπ

ω deXtx tj)(21)(

∫=π

ω ωωπ

2

0)(

21)( deXnx nj



• Cálculo da transformada inversa– Através da definição– Divisão em fracções simples– Através da equivalência relativa a sinais básicos– Através das propriedades






- Tempo discreto- Frequência

Periódica

- Tempo contínuo- Frequência não

periódica

Não periódico no tempoFrequência contínua

Periódico no tempoFrequência discreta


∫∞

∞−

−= dtetxX tjωω )()(

∑∞

−∞=

−=n

njenxX ωω )()(

∑∞+

−∞==

k

tjkkeXtx 0)( ω

∑−

==

1

0

0)(p

k

njkkeXnx ω

∫ −=p

tjmm dtetx

pX

0

0)(1 ω

∑−

=

−=1

0

0)(1 p

m

jmkk emx

pX ω

∫∞

∞−

= ωωπ

ω deXtx tj)(21)(

∫=π

ω ωωπ

2

0)(

21)( deXnx nj




• Exercício:– Calcule a Transformada de Fourier de:

• x(t)=e-2tu(t)• x(n)=(1/2)nu(n)

– Calcule a Transformada de Fourier inversa de

•

•

ωω

ω

ω2

81

411

311

)(jj

j

ee

eX

−−

−

−−

−=

127)(1)( 2 ++

=ωω

ωjj

X



• Transformada de Fourier de sinais finitos– Considere um sinal discreto y(n) que é finito– Defina-se um sinal periódico x(n) como

onde

– O sinal x(n) é periódico e portanto pode ser representado através da série de Fourier

– O sinal y’(n) é um sinal discreto genérico e portanto tem transformada de Fourier

∑∞+

−∞=−=∈∀

mmpnynxInteirosn )(')(,

⎩⎨⎧ −∈

=∈∀casosoutros

pnsenynyInteirosn

0]1,0[)(

)(',



∑

∑−

=

−

∞

−∞=

−

=

=∈∀

1

0)(

)(')(',

p

n

nj

n

nj

eny

enyYReais

ω

ωωω

∑

∑−

=

−

−

=

−

=

=∈∀

1

0

1

0

0

0

)(1

)(1,

p

n

jnk

p

n

jnkk

enyp

enxp

XInteirosk

ω

ω

)('1, 0ωkYp

XInteirosk k =∈∀



• Transformada de Fourier para sinais de fala









• Transformada de Fourier de sinais periódicos– A transformada de Fourier vai ser baseada em funções delta– A série de Fourier permite-nos trabalhar numa representação no

domínio da frequência de um sinal periódico sem lidar com as funções delta de Dirac

– Suponha-se que um sinal x(t) tem transformada de Fourier∀ ω∈Reais, X(ω)= 2πδ(ω-ω0)

– Usando a Transformada de Fourier Inversa obtemos

– A série de Fourier para x(t) é

tjtj edetxReaist 0)(221)(, 0

ωω ωωωπδπ

=−=∈∀ ∫∞

∞−

⎩⎨⎧ =

=∈∀outrosm

XInteirosm m 011

,



– Supondo agora que x(t) tem múltiplos deltas de Dirac na sua transformada de Fourier, cada um com diferentes pesos

resulta através da Transformada de Fourier Inversa

– Esta equação relaciona para sinais periódicos a Transformada de Fourier e as Séries de Fourier

∑∞

−∞=−=∈∀

mm mXXReais )(2)(, 0ωωδπωω

∑∞+

−∞==∈∀

m

tjmmeXtxReaist 0)(, ω



• Exemplo– Considere o sinal x(t) dado por

– Por inspecção da Tabela verificamos que

– Existem apenas dois coeficientes da Série de Fourier não nulos

)cos()(, 0ttxReaist ω=∈∀

⎩⎨⎧ =

=∈∀outrosm

XInteirosm m 01||2/1

,

)()()(, 00 ωωπδωωπδωω −++=∈∀ XReais



• Exemplo– Considere a seguinte onda quadrada

– Os coeficientes da Série de Fourier são

⎪⎩

⎪⎨

⎧≠

==∈∀

ímparmjmmeparm

mXInteirosm m

)/(100

02/1,

π



• Exercício– Calcule a Transformada de Fourier do seguinte sinal

t

x(t)

1

2

1 2 30-1

......

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