Capítulo 3 SLITs Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo · Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto 1 Capítulo 3 SLITs Sistemas Lineares e Invariantes

1Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto

Capítulo 3SLITs

Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo3.1 Introdução3.2 Representação em modelo de estado3.3 Sistemas SISO3.4 Sistemas MIMO multi-dimensionais3.5 Modelo de espaço de estados contínuos3.6 Resposta impulsiva e convolução


3.1 Introdução

– O estado de um sistema representa o sumário do seu passado– Os sistemas anteriores apresentavam um número finito de estados– Muitos dos sistemas que nos rodeiam apresentam um número

infinito de estados– Vamos passar a considerar sistemas com um número infinito de

estados• O espaço de estados, os alfabetos de entrada e de saída, são conjuntos

numéricos (i.e. reais)• É necessário que a função de actualização seja linear

– Apesar destas restrições obtemos um conjunto muito rico de métodos analíticos para estudar e analisar os sistemas

– Regressamos à noção de tempo


3.1 Introdução

– Vamos estudar máquinas de estado nas quais• Estados = ReaisN

• Entradas = ReaisM

• Saídas = ReaisK

– Sistemas MIMO (Multiple-input, multiple-output)– Sistemas SISO (Single-input, single-output)– N é a dimensão do sistema– Exemplo: Um sistema de áudio estéreo, sistema de cinema em casa


3.2 Representação em modelo de estado

• Definição– Uma máquina de estados determinística é um 5-tuplo

• M = (Estados, Entradas, Saídas, Actualização, EstadoInicial)• A função de Actualização tem a forma

Actualização: ReaisN x ReaisM → ReaisN x ReaisK

• Vamos analisar esta função em duas partesActualização = (EstadoSeguinte,Saída)

EstadoSeguinte:ReaisN x ReaisM → ReaisN

Saída:ReaisN x ReaisM → ReaisK

tal que∀ s ∈ ReaisN, ∀ x ∈ ReaisM,

Actualização(s,x)=(EstadoSeguinte(s,x),Saída(s,x))

• Estas duas equações mostram-nos como obter o estado seguinte e a saída actual como uma função do estado e da entrada actuais



– Dada uma sequência de entrada x(0),x(1),... de M-tuplos em ReaisM,

o sistema recursivamente gera a resposta dos estados s(0),s(1),... de N-tuplos em ReaisN

e a resposta de saída y(0),y(1),... de K-tuplos em ReaisK

s(0)=EstadoInicial∀ n ∈ Inteiros, n≥0, s(n+1) = EstadoSeguinte(s(n),x(n))

Equação de Actualização do Estado∀ n ∈ Inteiros, n≥0, y(n) = Saída(s(n),x(n))

Equação de saída– As equações anteriores são denominadas de Modelo de Espaço de

Estados do sistema



– Este sistema é designado como um sistema linear se o estado inicial é um N-tuple de zeros e se as funções EstadoSeguinte e Saída são funções lineares

– Este sistema é designado invariante no tempo se as funções EstadoSeguinte e Saída não mudam com o tempo

– Se as condições se verificarem estamos perante um sistema linear e invariante no tempo (SLIT)



– A função EstadoSeguinte é representada por uma matriz Nx(N+M)– A função Saída é representada por uma matriz Kx(N+M)

EstadoSeguinte(s(n),x(n))=As(n)+Bx(n)A é uma matriz NxNB é uma matriz NxM

Saída(s(n),x(n))=Cs(n)+Dx(n)C é uma matriz KxND é uma matriz KxM

– Representação do modelo em espaço de estados ou representação A,B,C,D

s(n+1)=As(n)+Bx(n)y(n)=Cs(n)+Dx(n)


– Conclui-se que N=3, M=1 e K=1 (trata-se de um sistema SISO tridimensional)

s1(n+1) = s1(n) + s2(n)s2(n+1) = s2(n) + s3(n)s3(n+1) = s3(n) + x(n)

y(n) = s1(n) + x(n)

• Exemplo– Considere as seguintes matrizes:


[ ] [ ]1,001,100

,100110011

==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= DeCBA



• Exemplo– O efeito de eco pode ser obtido para sinais áudio através de

y(n) = x(n) + α y(n-N)onde 0 ≤ α ≤ 1 é uma constante real

– As constantes α e N determinam a duração do eco e a forma como soa– Tem que se definir o estado

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

)(...

)2()1(

)(

Nny

nyny

ns [ ] [ ]1,0...0,

0...01

,

01...00...............00...1000...01

0...00

==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= DeCBA α

α



• Resposta impulsiva– A representação em modelo de estado dá-nos uma descrição

completa de um SLIT• Dado qualquer sinal de entrada conseguimos calcular o sinal de saída

– A resposta impulsiva é outra descrição completa de um SLIT• Para os sistemas inicialmente em repouso a resposta impulsiva

permite-nos calcular o sinal de saída conhecido o sinal de entrada • Esse cálculo é realizado através da convolução• A resposta impulsiva é a definição da saída do sistema quando na

entrada temos um impulso δ(n), conhecida como função delta de Kronecker

⎩⎨⎧

≠=

=∈∀0001

)(,nsense

nInteirosn δ

n

δ(n)1



– Problema: Determine a resposta impulsiva do sistema considerando a situação inicial de repouso, i.e. s(0)=0

s(n+1)=As(n)+Bx(n)y(n)=Cs(n)+Dx(n)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥=<

=∈∀− 1

000

)(,1 nseBCA

nseDnse

nhInteirosnn


3.3 Sistemas SISO

– Neste caso N=M=K=1 e a representação [A,B,C,D] transforma-se simplesmente em [a,b,c,d] que são constantes escalares

s(n+1) = a s(n) + b x(n)y(n) = c s(n) + d x(n)

– O EstadoInicial = s(0)– Neste caso o estado do sistema é um número real, assim como a

entrada e a saída


3.3 Sistemas SISO

– Exemplo:• Consideremos o exemplo da média móvel

∀ n ∈ Inteiros, n≥0, y(n) = (x(n)+x(n-1))/2 • Não é uma representação em modelo de espaço de estados pois a saída

vem expressa em termos da entrada actual e passada, e não do estado• Precisamos de definir o que é o estado

– O estado é um sumário do passado– Podemos neste caso definir o estado como

∀ n ∈ Inteiros, n≥0, s(n) = x(n-1) • Assumimos que o sistema está em repouso inicial, s(0)=0• Representação em modelo de espaço de estados

a=0, b=1, c=1/2, d=1/2s(n+1) = x(n)

y(n) = 1/2 s(n) + 1/2 x(n)


3.3 Sistemas SISO

– Exemplo:• Considere um sistema SISO

s(n+1) = a s(n) + b x(n)y(n) = c s(n) + d x(n)

• Substituindo a 1ª eq. na 2ª obtemosy(n) = c (a s(n-1) + b x(n-1)) + d x(n)

• Comoy(n-1) = c s(n-1) + d x(n-1)

obtemosy(n) - a y(n-1) = d x(n) + (cb-ad) x(n-1)

• Podemos generalizar para outras dimensões


– Pretendemos obter uma expressão genérica para s(n)e y(n) para n≥0

– Se o sistema está inicialmente em repouso, s(0)=0, ficamos apenas com o segundo termo que é denominado resposta do estado zero

– Se a sequência de entrada é zero, x(0)=x(1)=x(2)=...=0, ficamos apenas com o primeiro termo denominado de resposta de entrada zero

• Obtemos uma sequência exponencial, em que para s(0)≠0 obtemos s(n)→0 à medida que n→∞, sse |a|<1, situação em que o sistema é estável

3.3 Sistemas SISO

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= ∑−

=

−−1

0

1 )()0()(n

m

mnn mbxasans

)()()0()(1

0

1 ndxmbxcasacnyn

m

mnn +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= ∑−

=

−−


3.3 Sistemas SISO

• Sistemas SISO mas com N>1

– Na representação em modelo de estado genérica temos:• A (NxN), B (NxM), C (KxN), D (KxM)

– Nestes sistemas passamos a ter:• A (NxN), B (Nx1), C (1xN), D (1x1)• Vamos usar B=b, C=cT e D=d onde b e c são vectores coluna N-

dimensionais e d é um escalar

s(n+1) = A s(n) + b x(n)y(n) = cT s(n) + d x(n)


3.3 Sistemas SISO

– Resposta de estado

– Resposta impulsiva

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= ∑−

=

−−1

0

1 )()0()(n

m

mnn mbxAsAns

)()()0()(1

0

1 ndxmbxAcsAcnyn

m

mnTnT +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= ∑−

=

−−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥=<

=− 1

000

)(1 nsebAc

nsednse

nhnT


)(__

)2()1(

____

)1()(

)1( nxnxnx

nxnx

ns ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=+

3.3 Sistemas SISO

– Exemplo: Média móvel• A forma genérica da média móvel é dada por

• Se fizermos M=3 obtemos

• Escolhendo

• Obtemos

∑−

=−=∈∀

1

0)(1)(,

M

kknx

MnyInteirosn

( ))2()1()(31)(, −+−+=∈∀ nxnxnxnyInteirosn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=)2()1(

)(nxnx

ns

)(01

)2()1(

0100

)1()(

)1( nxnxnx

nxnx

ns ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=+

[ ] )(_)2()1(

__)( nxnxnx

ny +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

= )(31

)2()1(

31

31)( nx

nxnx

ny +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=


3.3 Sistemas SISO

• Nem sempre é fácil calcular An-1

• Podemos calcular a resposta impulsiva através da aplicação de δ(n) na entrada

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥=<

=− 1

000

)(1 nsebAc

nsednse

nhnT ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≥

<≤

<

=

30

3031

00

nse

nse

nse

∑−

=−=∈∀

1

0)(1)(,

M

kkn

MnhInteirosn δ

( ))2()1()(31

−+−+= nnn δδδ

• Cálculo da resposta impulsiva

∑=

−=2

0)(

31

kknδ Para M=3


3.4 Sistemas MIMO multi-dimensionais

– A representação do modelo em espaço de estados é dada pors(n+1)=As(n)+Bx(n)y(n)=Cs(n)+Dx(n)

onde A (NxN), B (NxM), C (KxN), D (KxM)– A resposta de estado passa a ser dada para n≥0 por

e a sequência de saída por

– Neste caso não podemos falar em resposta impulsiva, porque a entrada não pode ser o impulso

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= ∑−

=

−−1

0

1 )()0()(n

m

mnn mBxAsAns

)()()0()(1

0

1 nDxmBxCAsACnyn

m

mnn +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= ∑−

=

−−


3.5 Modelo de espaço de estados contínuos

– A representação em modelo de espaço de estados de um SLIT SISO contínuo tem a forma

∀ t∈ Reais+, ż(t) = A z(t) + b v(t)w(t) = cT z(t) + d v(t)

onde• z:Reais+→ReaisN representa a resposta de estado• ż(t) é a derivada de z em relação a t avaliada em t∈ Reais+

• v:Reais+→Reais é o sinal de entrada• w:Reais+→Reais é o sinal de saída

– Os sistemas contínuos já não são máquinas de estados– No entanto partilham muitas propriedades com os sistemas

discretos


3.6 Resposta impulsiva e convolução

• Resposta impulsiva– A resposta impulsiva definida para sistemas SISO é dada por

– Combinando esta definição com

obtemos

que pode ser generalizada para

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥=<

=∈∀− 1

000

)(,1 nsebca

nsednse

nhInteirosnn

)()()(1

0

1 ndxmbxcanyn

m

mn +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∑−

=

−−

∑=

−=≥∀n

mmxmnhnyn

0)()()(,0

∑∞

−∞=−=∈∀

mmxmnhnyInteirosn )()()(,



• Convolução– A resposta impulsiva de um SLIT é a saída do sistema quando a

entrada é o impulso– Se o sistema estiver inicialmente em repouso, a saída é dada pela

convolução da entrada e da resposta impulsiva– Definição de convolução

∑∞

−∞=−=∗=∈∀

mmxmnhnxnhnyInteirosn )()()()()(,

∫∞

∞−

−=∗=∈∀ τττ dxthtxthtyReaist )()()()()(,



• Propriedades da convolução

– O operador de convolução é comutativo

– Demonstrar

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−=−=∗=∈∀

mmmnxmhmxmnhnxnhnyInteirosn )()()()()()()(,

∫∫∞

∞−

∞

∞−

−=−=∗=∈∀ ττττττ dtxhdxthtxthtyReaist )()()()()()()(,



– O operador de convolução é linear• Se x, h1 e h2 forem três sinais e a1 e a2 constantes reais então

• Demonstração

))()(())()(())()(()()( 22112211 nhnxanhnxanhanhanxny ∗+∗=+∗=

))()(())()(())()(()()( 22112211 thtxathtxathathatxty ∗+∗=+∗=

))()(())()((

)()()()(

))()(()(

))()(()()(

2211

2211

2211

2211

nhnxanhnxa

mhmnxamhmnxa

mhamhamnx

nhanhanxny

mm

m

∗+∗=

=−+−=

=+−=

=+∗=

∑∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=



– Invariância temporal

)(

)())((

)())((

)()(

)()()(

0

0

0

0

01

nny

kxknnh

kxnknh

nmxmnh

nnxnhny

k

k

m

−=

=−−=

=+−=

=−−=

=−∗=

∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

)()()( 00 nnxnhnny −∗=−

∑∞

−∞=−=∗=

mmxmnhnxnhny )()()()()(



– Exemplo da convolução• Considere um sinal h(n) definido

⎩⎨⎧ ∈

=∈∀casosoutros

nsenhInteirosn

0}2,1,0{3/1

)(,

3/))2()1()((

)()3/1(

)()(

)()()(

2

0

−+−+=

=−=

=−=

=∗=

∑

∑

=

∞

−∞=

nxnxnx

mnx

mnxmh

nxnhny

m

m



• Impulsos– Função delta de Kronecker

– Função delta de Dirac

⎩⎨⎧

≠=

=∈∀0001

)(,nsense

nInteirosn δ

n

δ(n)1

0)(,0 =≠∈∀ ttondeeReaisn δ

t

δ(t)1

∫−

=>ε

ε

δε 1)(,0 dttqualquerparae



• Função escalão unitário

⎩⎨⎧

<≥

=∈∀0001

)(,nsense

nuInteirosn

n

u(n) 1

... ...

t

u(t)1

⎩⎨⎧

<≥

=∈∀0001

)(,tsetse

tuReaist



• Sinais como a soma pesada de funções delta– Qualquer sinal discreto x:Inteiros→Reais pode ser expresso como

uma soma pesada de funções delta:

– Qualquer sinal contínuo x:Reais→Reais pode ser expresso como um integral de funções delta pesadas:

∑∞

−∞=−=∈∀

kknkxnxInteirosn )()()(, δ

∫∞

∞−

−=∈∀ ττδτ dtxtxReaist )()()(,



• Exemplos– Discreto

– Contínuo

⎩⎨⎧ ∈

=∈∀casosoutros

nsenhInteirosn

0}2,1,0{3/1

)(,

t

h(t)1/3

0 3

∫∫ −=−=∈∀∞

∞−

3

0)()3/1()()()(, ττδττδτ dtdththReaist



• Estabilidade– Sistema estável se para uma entrada limitada obtemos uma saída

limitada – Definição de estabilidade a partir da resposta impulsiva

• Se h(n) é absolutamente somável• Se h(n) é absolutamente integrável

• Causalidade– Sistema causal se a saída num dado instante depende apenas da

entrada naquele instante ou em instantes anteriores– Definição de causalidade a partir da resposta impulsiva

• Se h(n)=0 para n<0 então o sistema é causal



– Sistema IIR (Infinite Impulse Response)• Se a resposta impulsiva é de duração infinita

– Sistema FIR (Finite Impulse Response)• Se a resposta impulsiva é de duração finita



– Exemplos:

• Considere um SLIT discreto representado pela resposta impulsiva h(n)=u(n)-u(n-3). Determine o sinal de saída y(n) quando a entrada for x(n)=δ(n+2)-2δ(n-1). Resolva graficamente e analiticamente.

• Considere um SLIT contínuo representado pela resposta impulsiva h(t)=2e-tu(t). Determine o sinal de saída y(t) quando a entrada for x(t)=u(t)+u(t-2)-2u(t-3).

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