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INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Prefaciais_Invariantes.indd 1Prefaciais_Invariantes.indd 1 26/01/2012 15:21:2426/01/2012 15:21:24

Vice-Reitor no exercício da Reitoria Julio Cezar Durigan

Chefe de Gabinete Carlos Antonio Gamero

Pró-Reitora de Graduação Sheila Zambello de Pinho

Pró-Reitora de Pós-Graduação Marilza Vieira Cunha Rudge

Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini

Pró-Reitora de Extensão Universitária Maria Amélia Máximo de Araújo

Pró-Reitor de Administração Ricardo Samih Georges Abi Rached

Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto

Universidade Estadual Paulista


INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Cul

tura

Aca

dêm

ica Alice Kimie Miwa Libardi

João Peres VieiraThiago de Melo

São Paulo2012


©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2012.

Ficha catalográfi ca elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp

L694i

Libardi, Alice Kimie Miwa Invariantes topológicos / Alice Kimie Miwa Libardi, João Peres Vieira, Thiago de Melo. – São Paulo : Cultura Acadêmica, 2012.

76 p.Programa de apoio à produção de material didático da Pró-Reitoria de Graduação da UNESP.

ISBN 978-85-7983-239-0

1. Topologia. 2. Espaços topológicos. 3. Matemática – Estudo e ensino (Superior). I. Vieira, João Peres. II. Melo, Thiago de. III. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Pró-Reitoria de Graduação.

CDD 514

Pró-reitora Sheila Zambello de Pinho Secretária Silvia Regina Carão Assessoria José Brás Barreto de Oliveira Klaus Schlünzen Junior (Coordenador Geral – NEaD) Laurence Duarte Colvara

Maria de Lourdes Spazziani

Técnica Bambina Maria Migliori Camila Gomes da Silva Cecília Specian Eduardo Luis Campos Lima Fúlvia Maria Pavan Anderlini Gisleide Alves Anhesim Portes Ivonette de Mattos Maria Emília Araújo Gonçalves Maria Selma Souza Santos Renata Sampaio Alves de Souza Sergio Henrique Carregari

Projeto gráfi co Andrea Yanaguita

Diagramação Estela Mletchol

equipe


PROGRAMA DE APOIO

À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO

Considerando a importância da produção de material didático-pedagó-gico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibi-lizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado sob demanda.

Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade aca-dêmica mais esta obra, “Invariantes Topológicos”, de autoria dos Professores: Dra. Alice Kimie Miwa Libardi, Dr. João Peres Vieira e Dr. Thiago de Melo, do Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, espe-rando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado.



SUMÁRIO

introdução 9

1 preliminares 11

2 conexão como invariante topológico 17

3 grupo fundamental 23

4 homologia simplicial 35

4.1. Cálculo de alguns grupos de homologia 49

4.2. O grupo de homologia como invariante topológico 55

5 característica de Euler 63

referências bibliográficas 73

índice remissivo 75



INTRODUÇÃO

Este texto é fruto de nossa experiência como professores do Departamento de Matemática do Instituto de Geociências e Ciências Exatas (IGCE) da Uni-versidade Estadual Paulista – UNESP, Câmpus de Rio Claro, onde ministramos as disciplinas Espaços Métricos, Espaços Topológicos e Tópicos de Topologia para o curso de graduação em Matemática e Tópicos de Topologia para o curso de pós-graduação Matemática Universi tária, mestrado profissional, cujo objetivo é a formação de um profissional para atuar no ensino superior.

Apresentamos neste texto alguns exemplos de invariantes topológicos no sentido de dar uma primeira visão aos alunos sobre classificação de espaços topológicos, a menos de homeomorfismos.

Um dos objetivos é dar uma motivação aos alunos para que prossigam no estudo de outros invariantes, conduzindo-os naturalmente para a Topologia Algébrica.

São apresentados os seguintes invariantes topológicos: a conexão, o grupo fundamental, os grupos de homologia simplicial e a característica de Euler. Como aplicações destes invariantes, apresentamos a classificação dos intervalos da reta, o teorema de invariância da dimensão e a classificação de super fícies fechadas (compactas e sem bordo), via característica de Euler.

Para a leitura deste texto, recomendamos que se tenha alguns conhecimentos básicos de Álgebra e de Topologia Geral.

Os autores agradecem aos alunos do curso de graduação em Matemática, pela leitura criteriosa e sugestões apresentadas ao texto, em especial a Karen Regina Panzarin que também corrigiu os erros de digitação. Agradecem também ao parecerista pelas sugestões que muito contribuíram para melhoria do texto.



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“versao-editora” — 2012/1/26 — 15:00 — page 11 — #1 ii

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1PRELIMINARES

A Topologia considera conjuntos que têm uma estrutura que permite a de-nição de continuidade. Essa estrutura foi originalmente determinada a partirde propriedades de conjuntos abertos de Espaços Euclidianos, que por sua vezoriginaram da noção de distância entre pontos.

Em Geometria Analítica, vê-se que a circunferência no R2 de centro O =(0, 0) e raio r > 0 é o conjunto:

C = (x , y) ∈ R2, d((x , y), (0, 0)) = r,

onde d((x , y), (a, b)) =√

(x − a)2 + (y − b)2.

Na realidade, d ∶ R2 × R2 Ð→ R é um exemplo de métrica, cuja deniçãodamos abaixo.

Definição 1.1. Sejam M um conjunto não vazio e d ∶ M × M Ð→ R umafunção, tal que ∀x , y, z ∈ M,

1. d(x , y) ≥ 0 e d(x , y) = 0⇐⇒ x = y;

2. d(x , y) = d(y, x);

3. d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y, z).

d é chamadamétrica e o par (M , d) é chamado de espaço métrico.

Há outras formas de se denir uma distância no R2. Uma delas, conhecidacomo a métrica dos quarteirões, é dada por:

d′((x , y), (a, b)) = max∣ x − a ∣, ∣ y − b ∣,

onde (x , y) e (a, b) pertencem a R2.

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12 INVARIANTES TOPOLÓGICOS

Em um espaço métrico (M , d) denimos uma bola aberta, de centro a eraio r, por:

B(a, r) = x ∈ M , d(x , a) < r.

Dizemos que um subconjunto A deM é um conjunto aberto se cada pontode A é centro de uma bola aberta inteiramente contida em A. As bolas aber-tas formam uma base para o espaço métrico, no sentido de que cada conjuntoaberto é uma reunião de bolas abertas.

As propriedades de conjuntos abertos levam-nos à denição de um espaçotopológico. Em geral, em um espaço topológico não há a noção de distância,são os conjuntos abertos que caracterizam o espaço.

Definição 1.2. Dado um conjunto X ≠ ∅, uma topologia para X é uma coleção

τ = Aλ ∶ Aλ ⊂ X

satisfazendo:

1. ∅ e X pertencem a τ;

2. A interseção de um número nito de elementos de τ está em τ;

3. A reunião qualquer de elementos de τ está em τ.

O par (X , τ) é chamado espaço topológico. Os elementos de τ são chama-dos de subconjuntos abertos de X e o complementar de um aberto de X é ditofechado em X.

A denição de espaçométrico foi introduzida porMaurice Frechet em 1906,porém foi com a publicação do livro de Felix Hausdor, em 1912, que houve umgrande desenvolvimento da Topologia Geral. Ressalte-se porém que as ideias jáeram conhecidas e usadas porHenri Poincaré (1854–1912) desde 1895, conformeconstam em seus diversos artigos (Analysis Situs).

Definição 1.3. Seja X um espaço topológico com uma topologia τ. Se Y ⊂X, a coleção τY = Y ∩U ∣ U ∈ τ é uma topologia em Y , chamada topologiainduzida de X em Y .

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Preliminares 13

Definição 1.4. Se X é um espaço topológico e A é um subconjunto de X, entãoo fecho de A em X, o qual denotaremos por AX , ou simplesmente, A, é a inter-secção de todos os fechados de X que contém A. Observemos que se B ⊂ A ⊂ X

então BA = BX ∩ A.

Definição 1.5. Se X é um espaço topológico e A é um subconjunto de X, entãodizemos que A é denso em X se AX = X.

Definição 1.6. Uma função f ∶ M → N entre espaços topológicos é contínua sea imagem inversa de qualquer aberto (fechado)U deN , denotada por f −1(U), éaberto (fechado) emM. Dizemos que f é um homeomorsmo se f é contínua,bijetora e sua inversa é contínua.

Definição 1.7. Um espaço topológico X é conexo por caminho se dados quais-quer dois pontos x e y de X existe um caminho em X ligando x a y. Por umcaminho em X entendemos uma função contínua do intervalo I = [0, 1] em X.

O lema seguinte será usado muitas vezes no texto.

Lema 1.8 (Lema da Colagem). SejamM e N espaços topológicos e A e B sub-conjuntos fechados de M tais que A ∪ B = M. Sejam f ∶ A → N e д ∶ B → N

funções contínuas satisfazendo a condição: f (x) = д(x) para todo x ∈ A ∩ B.Então a função h ∶ M → N denida por

h(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f (x), se x ∈ A,д(x), se x ∈ B,

é contínua.

Demonstração. Vamos provar que se F é um subconjunto fechado de N entãoh−1(F) é um subconjunto fechado deM.Seja F um subconjunto fechado de N . Como f e д são contínuas, então

f −1(F) é um fechado de A e д−1(F) é um fechado de B. Daí, uma vez que porhipótese A e B são fechados de M, segue que f −1(F) e д−1(F) são fechados deM. Agora é fácil ver que h−1(F) = f −1(F)∪ д−1(F) e portanto h−1(F) é fechadodeM, pois é reunião de dois fechados deM.

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Um problema fundamental em Topologia é determinar quando dois espa-ços são homeomorfos, ou seja, quando existe um homeomorsmo entre eles.

Alguns exemplos de espaços homeomorfos

Exemplo 1.9. Sejam

S1 = (x , y) ∈ R2 ∶ x2 + y2 = 1 e T = (x , y) ∈ R2 ∶ ∣x∣ + ∣y∣ = 1

o círculo unitário e o quadrado, respectivamente. As funções f ∶ S1 → T e a suainversa f ′ ∶ T → S1 apresentadas abaixo denem um homeomorsmo entre ocírculo e o quadrado.

f (x , y) = ( x

∣x∣ + ∣y∣ ,y

∣x∣ + ∣y∣) , f ′(x , y) =⎛⎝

x√x2 + y2

,y√

x2 + y2

⎞⎠.

Exemplo 1.10. Os espaços

X1 = (x , y) ∶ (x , y) ≠ (0, 0), X2 = (x , y, z) ∶ x2 + y2 = 1,X3 = (x , y, z) ∶ x2 + y2 − z2 = 1

são homeomorfos. Os homeomorsmos são dados por: h ∶ X1 → X2 é denidopor

h(x , y) =⎛⎝

x√x2 + y2

,y√

x2 + y2,12ln(x2 + y2)

⎞⎠,

cujo inverso h′ ∶ X2 → X1 é denido por

h′(x , y, z) = (xez , yez)

e k ∶ X2 → X3 é denido por

k(x , y, z) = (x√1 + z2, y

√1 + z2, z),

cujo inverso k′ ∶ X3 → X2 é denido por

k′(x , y, z) = ( x√1 + z2

,y√1 + z2

, z) .

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Preliminares 15

Exemplo 1.11. Sejam S2 = (x , y, z) ∈ R3 ∶ x2 + y2 + z2 = 1 a esfera unitária ep = (0, 0, 1) ∈ S2 o seu pólo norte. A projeção estereográca π ∶ S2 − p→ R2

estabelece um homeomorsmo entre a esfera menos o pólo norte e o plano. Tal

homeomorsmo é dado por π(x , y, z) = ( x

1 − z,

y

1 − z) cuja inversa φ ∶ R2 →

S2 − p é dada por

φ(x , y) = ( 2xx2 + y2 + 1 ,

2yx2 + y2 + 1 ,

x2 + y2 − 1x2 + y2 + 1) .

Duas das questões mais importantes em Topologia são de extensão e declassicação. Vamos abordar uma introdução ao problema de classicação, de-nindo a relação de equivalência entre espaços topológicos por:

X ≡ Y ⇐⇒ X e Y são homeomorfos.

Isto nos dá uma classicação de espaços topológicos através de invariantestopológicos. Um invariante topológico pode ser uma propriedade geométricado espaço, um número associado a um espaço ou um sistema algébrico comoum grupo, um anel ou ummódulo e tem a propriedade de que não se altera porhomeomorsmos.

Em geral é muito difícil dizer se dois espaços são homeomorfos. A Topo-logia Algébrica enfrenta o problema da seguinte maneira: associa ao espaço Xum objeto G(X) satisfazendo a propriedade: “se X é homeomorfo a Y , entãoG(X) e G(Y) são iguais na sua categoria”.Neste trabalho, apresentaremos os seguintes invariantes topológicos: co-

nexão, grupo fundamental, grupo de homologia simplicial e característica deEuler.

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2CONEXÃO COMO INVARIANTE TOPOLÓGICO

A conexão pode ser vista como um invariante topológico de duas formas:a partir de suas próprias propriedades ou através de grupos que são associadosao espaço topológico. Esses grupos dão informações sobre a conexidade e onúmero de componentes conexas (ou conexas por caminhos) desse espaço. Sedois espaços são conexos ou têm o mesmo número de componentes conexas,então esses grupos associados são isomorfos.

Para o entendimento deste capítulo o leitor necessitará de conhecimentosbásicos em Espaços Métricos (vide [5]).

Vamos relembrar aqui o Teorema do Valor Intermediário, que considera-mos um dos mais importantes do Cálculo Diferencial:

Teorema 2.1. Se f ∶ [a, b]→ R é uma função contínua e r é um número entref (a) e f (b), então existe um número real c entre a e b tal que f (c) = r.

Na realidade, o que o teorema diz é que a imagem de [a, b] por uma funçãocontínua é um intervalo. Esse teorema não depende só da continuidade de f ,mas de uma propriedade de [a, b] que é a conexão.A ideia de conexão generaliza a ideia intuitiva de algo que não pode ser

separado, embora nem sempre seja esse o caso. Um exemplo de espaço quepode ser separado é R∗ = R − 0. Esse espaço se decompõe em duas semi-retas que são conjuntos abertos e fechados em R∗.

Definição 2.2. Um espaço topológico X é conexo se os únicos subconjuntossimultaneamente abertos e fechados são o ∅ e o X; ou equivalentemente, X éconexo se A e B são abertos disjuntos tais que X = A∪B então A = ∅ ou B = ∅.Nesse caso dizemos que X só assume a cisão trivial.

Exemplo 2.3. O conjunto Y = [−1, 0) ∪ (0, 1] ⊂ R, com a topologia induzidada topologia usual de R, não é conexo.

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De fato, sendo [−1, 0) = (−2, 0) ∩ Y e (0, 1] = (0, 2) ∩ Y , segue que ambossão abertos em Y . Mas como Y − [−1, 0) = (0, 1] e Y − (0, 1] = [−1, 0), segueque ambos são também fechados em Y . Além disso, ambos são não vazios edisjuntos.

O exemplo mais importante de espaço conexo é dado pelo teorema abaixo:

Teorema 2.4. A reta real R é conexa.

Demonstração. Suponhamos que R não é conexo. Então R = A ∪ B, onde A eB são abertos, disjuntos e não vazios. Tomemos a ∈ A e b ∈ B e suponhamosa < b. Consideremos X = x ∈ A ∶ x < b. Observemos que X ≠ ∅ pois a ∈ X.Além disso X é limitado superiormente por b, logo existe c = supX. Como bé um limitante superior de X e o supremo é o menor dos limitantes superioresentão c ≤ b. Segue também da denição de supremo que ∀є > 0, ∃x ∈ X talque c − є < x ≤ c < c + є. Mas isso signica que c ∈ A, que por sua vez é opróprio A, pois A é fechado. Como A∩ B = ∅, então c ∉ B e sendo c ≤ b, segueque c < b. Logo existe s > 0 tal que b = c + s. Tomando-se s = s/2, tem-se quec + s < c + s = b.

Sendo A aberto e c ∈ A, existe r > 0 tal que (c − r, c + r) ⊂ A.

Seja є = mins, r. Então (c − є, c + є) ⊂ A e c + є < b. Logo existe є > 0 talque todo ponto de (c, c + є) pertence a X, implicando que c não é o supX.

O objetivo agora é mostrar que qualquer intervalo da reta é conexo. Paraisso, desenvolveremos vários resultados.

Proposição 2.5. Seja f ∶ X → Y uma função contínua entre espaços topológi-cos. Se X é conexo então f (X) é conexo.

Demonstração. Sem perda de generalidade podemos supor f (X) = Y . Supo-nhamos que Y não é conexo. Então existe B aberto e fechado em Y, B ≠ ∅ eB ≠ Y .

Como f é contínua, f −1(B) é aberto e fechado em X. Além disso f −1(B) ≠∅, pois B ≠ ∅ e f −1(B) ≠ X, pois como B ≠ Y , existe y ∈ Y − B. Logo, existex ∈ X − f −1(B). Contradição, pois X é conexo.

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Conexão como invariante topológico 19

Corolário 2.6. Se f ∶ X → Y é um homeomorsmo então X é conexo se, esomente se, Y é conexo.

Consequência. Todo intervalo aberto é conexo, pois é homeomorfo a R.

Proposição 2.7. O fecho de um conjunto conexo é conexo.

Demonstração. Seja X um subconjunto conexo de um espaço topológico M.Consideremos primeiramente o caso em que X = M. Sejam A e B abertos edisjuntos tais queM = A∪B. Então X = X∩M = X∩(A∪B) = (X∩A)∪(X∩B)onde X ∩ A e X ∩ B são abertos em X e (X ∩ A) ∩ (X ∩ B) = ∅.

Como X = M e M = A∪ B, temos que X ∩ A ≠ ∅ ou X ∩ B ≠ ∅. Por outrolado, sendo X conexo, tem-se que X ∩ A = ∅ ou X ∩ B = ∅. Logo se X ∩ A = ∅então X ∩ B ≠ ∅ o que implica que A = ∅. Analogamente, se X ∩ B = ∅ segueque B = ∅.

PortantoM só assume a cisão trivial, logo é conexo e, comoM = X, temosque X é conexo.

No caso geral, observemos que X é denso em XM , isto é, XXM= XM∩XM =

XM . Do primeiro caso, se X é conexo, então XXMé conexo. Segue portanto que

XM é conexo.

Consequência. Observemos que [a, b] = (a, b). Portanto, intervalos fechadossão conexos.

Proposição 2.8. Se X ⊂ Y ⊂ XM e X é conexo então Y é conexo.

Demonstração. Observemos que XY = XM ∩ Y = Y e da Proposição 2.7, Xconexo implica que XY conexo. Logo Y é conexo.

Consequência. Como (a, b) ⊂ (a, b] ⊂ [a, b], segue que (a, b] é conexo.

Conclusão. Todo intervalo da reta é conexo.

Usando a conexão como um invariante topológico, obtemos uma classi-cação, por homeomorsmos, dos intervalos da reta.

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Teorema 2.9. Os intervalos da reta dividem-se nas seguintes classes de equiva-lência dadas pela relação “≡”.

i) (a, b), (a,∞), (−∞, b) e R;

ii) [a, b), (a, b], [a,∞) e (−∞, b];

iii) [a, b].

Demonstração. Observemos de início que [a, b) é homeomorfo a [a,∞), pelohomeomorsmo ϕ ∶ [a, b)→ [a,∞) dado por ϕ(x) = tan( π

2 (x−ab−a

)) + a.

A restrição de ϕ ao intervalo (a, b) nos fornece um homeomorsmo entre(a, b) e (a,∞).Um homeomorsmo entre [a, b) e (a, b] é dado por д(x) = (a + b) − x.

Os demais homeomorsmos são imediatos.

Suponhamos que h ∶ [c, d) → (a, b) seja um homeomorsmo. Entãoh∣[c,d)−c ∶ (c, d) → (a, b) − h(c) é também um homeomorsmo, porém(c, d) é conexo e (a, b) − h(c) não o é. Logo, pela Proposição 2.5, (a, b) e[c, d) não são homeomorfos.Usando raciocínio análogo, pode-se provar que (a, b) e [c, d] não são ho-

meomorfos e também não o são [a, b) e [c, d].

Vamos terminar esse capítulo com um exemplo que dá uma introdução àstécnicas usadas em Topologia Algébrica.

Exemplo 2.10. Seja X um um espaço topológico. Consideremos o conjunto

H0(X) = f ∶ X → Z, tal que f é contínua

munido da operação soma usual de funções. Notemos que sendo f e д contí-nuas tem-se que f + д é contínua. Essa operação dá a H0(X) uma estrutura degrupo abeliano.

Se X é conexo então as únicas aplicações contínuas de X em Z são as cons-tantes, uma vez que os únicos conexos de Z são os conjuntos unitários e por-tanto H0(X) ≅ Z. Observemos que se X = ∅ então H0(X) = 0, o grupo trivial.

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Conexão como invariante topológico 21

Sejam X e Y espaços topológicos e f ∶ X → Y uma aplicação contínua.Denimos a aplicação f ∗ ∶ H0(Y)→ H0(X) induzida de f por f ∗(ϕ) = ϕ f .

Dados ϕ eψ emH0(Y), tem-se que: f ∗(ϕ+ψ) = (ϕ+ψ) f = ϕ f +ψ f =f ∗(ϕ) + f ∗(ψ), o que mostra que f ∗ é um homomorsmo de grupos.A aplicação Id∗ ∶ H0(X) → H0(X) induzida da aplicação identidade Id ∶

X → X é o homomorsmo identidade.

Se f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z são funções contínuas entre espaços topológicos,então (д f )∗ = f ∗ д∗. De fato, para todo ϕ ∈ H0(Z), tem-se (д f )∗(ϕ) =ϕ (д f ) = f ∗(ϕ д) = ( f ∗ д∗)(ϕ). Segue que se f ∶ X → Y é umhomeomorsmo então f ∗ é um isomorsmo. A recíproca não é verdadeira,como mostra o exemplo abaixo.

Sejam X = S1 e Y = R. Ambos são conexos, logo H0(S1) = H0(R) ≅ Z,porém S1 não é homeomorfo a R.

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3GRUPO FUNDAMENTAL

Dados um espaço topológico X e x0 ∈ X, associaremos um grupo, chamadode Grupo Fundamental, constituído por classes de equivalência de laços em X

com ponto base x0.

Este grupo é um invariante topológico, no sentido de que se dois espaçossão homeomorfos, então os respectivos grupos fundamentais são isomorfos.

Para maiores detalhes sobre o assunto, sugerimos a leitura dos livros [1, 6].

Definição 3.1. Sejam X um espaço topológico e x0 um ponto xado de X. Umlaço em x0 é uma função contínua λ ∶ I = [0, 1]→ X tal que λ(0) = λ(1) = x0.

Denotemos por Ω(X , x0) o conjunto λ ∶ I → X; λ é laço em x0.

Sejam λ, γ ∈ Ω(X , x0). O laço justaposto λ ∗ γ é denido por:

λ ∗ γ ∶ I → X

x →⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

λ(2x), x ∈ [0, 12] ,

γ(2x − 1), x ∈ [ 12 , 1] .

Em geral (Ω(X , x0), ∗) não tem estrutura de grupo, pois nem sempre valea propriedade associativa, visto que,

((λ ∗ γ) ∗ α)(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(λ ∗ γ)(2x), x ∈ [0, 12] ,

α(2x − 1), x ∈ [ 12 , 1] ,

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

λ(4x), x ∈ [0, 14] ,

γ(4x − 1), x ∈ [ 14 ,12] ,

α(2x − 1), x ∈ [ 12 , 1] ,

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enquanto

(λ ∗ (γ ∗ α))(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

λ(2x), x ∈ [0, 12] ,

(γ ∗ α)(2x − 1), x ∈ [ 12 , 1] ,

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

λ(2x), x ∈ [0, 12] ,

γ(4x − 2), x ∈ [ 12 ,34] ,

α(4x − 3), x ∈ [ 34 , 1] .

Definição 3.2. Dizemos que λ e γ em Ω(X , x0) são homotópicos e denotamospor λ ∼ γ se existe uma função H ∶ I × I → X contínua tal que

H(t, 0) = λ(t), ∀t ∈ I, H(0, s) = H(1, s) = x0, ∀s ∈ I,

H(t, 1) = γ(t), ∀t ∈ I.

O parâmetro s é dito nível da homotopia.

Proposição 3.3. A relação de homotopia é uma relação de equivalência.

Demonstração. Para todo λ ∈ Ω(X , x0), denindo-se

H ∶ I × I → X

(t, s) → λ(t)

tem-se que H é contínua e H(t, 0) = λ(t) = H(t, 1) e H(0, s) = x0 = H(1, s).Logo λ ∼ λ.

Sejam λ, γ ∈ Ω(X , x0) tais que λ ∼ γ por uma homotopia H. Denindo-se

G ∶ I × I → X

(t, s) → H(t, 1 − s)

tem-se que G é contínua e G(t, 0) = H(t, 1) = γ(t), G(t, 1) = H(t, 0) = λ(t) eG(0, s) = H(0, 1 − s) = H(1, 1 − s) = G(1, s) = x0. Segue que γ ∼ λ.

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Grupo fundamental 25

Sejam λ, γ, ϕ ∈ Ω(X , x0) tais que γ ∼ λ e λ ∼ ϕ, por homotopias H0, H1,respectivamente. Denindo-se

H ∶ I × I → X

(t, s) →⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

H0(t, 2s), s ∈ [0, 12] ,

H1(t, 2s − 1), s ∈ [ 12 , 1] ,

tem-se, pelo Lema da Colagem (1.8), que H é contínua, pois H0(t, 1) = λ(t) =H1(t, 0) eH0 eH1 são contínuas, ambas denidas em intervalos fechados. Alémdisso H(t, 0) = H0(t, 0) = γ(t), H(t, 1) = H1(t, 1) = ϕ(t),

H(0, s) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

H0(0, 2s) = x0, s ∈ [0, 12] ,

H1(0, 2s − 1) = x0, s ∈ [ 12 , 1] ,

e

H(1, s) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

H0(1, 2s) = x0, s ∈ [0, 12] ,

H1(1, 2s − 1) = x0, s ∈ [ 12 , 1] .

Segue que γ ∼ ϕ.

Denotamos por π1(X , x0) o conjunto quociente Ω(X , x0)/ ∼.

Primeiramente observemos que: para quaisquer α, β, α′, β′ ∈ Ω(X , x0) taisque α ∼ α′ e β ∼ β′, por homotopias H e G, respectivamente, podemos denirF ∶ I × I → X por

(t, s) →⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

H(2t, s), t ∈ [0, 12] ,

G(2t − 1, s), t ∈ [ 12 , 1] .

Como para t = 1/2, H(1, s) = x0 = G(0, s) e G ,H são funções contínuas,ambas denidas em intervalos fechados, o Lema da Colagem (1.8) nos garanteque F é contínua. Além disso,

F(t, 0) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

H(2t, 0), t ∈ [0, 12] ,

G(2t − 1, 0), t ∈ [ 12 , 1] ,F(t, 1) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

H(2t, 1), t ∈ [0, 12] ,

G(2t − 1, 1), t ∈ [ 12 , 1] ,

ii


ii

ii


=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

α(2t), t ∈ [0, 12] ,

β(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1] ,=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

α′(2t), t ∈ [0, 12] ,

β′(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1] ,

= (α ∗ β)(t), = (α′ ∗ β′)(t),

e também F(0, s) = H(0, s) = x0 = G(1, s) = F(1, s), mostrando assim queα ∗ β ∼ α′ ∗ β′.

Segue que temos bem denida a operação

⋅ ∶ π1(X , x0) × π1(X , x0) → π1(X , x0),

([α], [β]) → [α] ⋅ [β] = [α ∗ β].

Teorema 3.4. O par (π1(X , x0), ⋅) é um grupo, chamado grupo fundamentalde X com ponto base x0.

Demonstração. Para quaisquer [α], [β], [γ] em π1(X , x0), mostremos que

([α] ⋅ [β]) ⋅ [γ] = [α] ⋅ ([β] ⋅ [γ]),

isto é, vale a propriedade associativa. De fato,

((α ∗ β) ∗ γ)(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

α(4t), t ∈ [0, 14],

β(4t − 1), t ∈ [ 14 ,12],

γ(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1],

(α ∗ (β ∗ γ))(t) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

α(2t), t ∈ [0, 12],

β(4t − 2), t ∈ [ 12 ,34],

γ(4t − 3), t ∈ [ 34 , 1].

Ilustramos esses caminhos pelos seguintes diagramas, que podem ser usa-dos para obter as descrições algébricas dos caminhos em questão.

ii


ii

ii


α β γ

0 14

12

1

(α ∗ β) ∗ γ

α β γ

0 34

12

1

α ∗ (β ∗ γ)

Por exemplo, considere (α ∗ β) ∗ γ. Para 1/4 ≤ t ≤ 1/2 utilizamos β e acompomos com a função linear ϕ ∶ [1/4, 1/2]→ [0, 1] denida por ϕ(t) = 4t−1.

Para construir uma homotopia entre α∗(β∗γ) e (α∗β)∗γ consideremos agura a seguir, onde r em são os segmentos determinados pelas retas r ∶ t = s+1

4e m ∶ t = s+2

4 .

Figura 3.1: Homotopia entre (α ∗ β) ∗ γ e α ∗ (β ∗ γ)

t

s

14

12

12

34α β γ

α β γ

sr m

α β γ

0 1s+14

s+24

Para um dado valor de s, usamos α no intervalo [0, s+14 ], β no intervalo[ s+14 ,

s+24 ] e γ no intervalo [ s+24 , 1].

Denimos então a seguinte homotopia

H(t, s) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

α( 4ts+1), t ∈ [0, s+14 ] ,

β(4t − s − 1), t ∈ [ s+14 ,s+24 ] ,

γ( 4t−s−22−s ), t ∈ [ s+24 , 1] .

Temos que H é contínua,

H(t, 0) = ((α ∗ β) ∗ γ)(t), H(0, s) = α(0) = x0,

H(t, 1) = (α ∗ (β ∗ γ))(t), H(1, s) = γ(0) = x0,

o que mostra que (α ∗ β) ∗ γ ∼ α ∗ (β ∗ γ).

ii


ii

ii


Mostremos agora que ex0 = [cx0] é o elemento neutro de π1(X , x0), ondecx0 ∶ I → X é denida por cx0(t) = x0,∀t.Tomemos [α] ∈ π1(X , x0) qualquer. Então

(α ∗ cx0)(t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

α(2t), t ∈ [0, 12],

x0, t ∈ [ 12 , 1].

Para mostrar que [α ∗ cx0] = [α], basta tomar

H(t, s) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

α( 2ts+1), t ∈ [0, s+12 ],

x0, t ∈ [ s+12 , 1].

Então H é contínua e

rclH(t, 0) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

α(2t), t ∈ [0, 12] ,

x0, t ∈ [ 12 , 1],

= (α ∗ cx0)(t).

Além disso, H(t, 1) = α(t) e H(0, s) = x0 = H(1, s).Para mostrar que [cx0 ∗ α] = [α] basta tomar

G(t, s) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x0, t ∈ [0, 1−s2 ],

α( 2t−1+ss+1 ), t ∈ [ 1−s2 , 1].

Finalmente, dado α ∈ Ω(X , x0), se tomarmos α ∶ I → X o laço denido porα(t) = α(1 − t), então [α] ⋅ [α] = [cx0] e [α] ⋅ [α] = [cx0], bastando consideraras homotopias

H(t, s) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

α(2t), t ∈ [0, s2] ,

α(s), t ∈ [ s2 ,2−s2 ] ,

α(2t − 1), t ∈ [ 2−s2 , 1] ,

K(t, s) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

α(2t), t ∈ [0, s2] ,

α(s), t ∈ [ s2 ,2−s2 ] ,

α(2t − 1), t ∈ [ 2−s2 , 1] .

ii


ii

ii


Através do conceito de conexão por caminhos, estabeleceremos uma re-lação entre os Grupos Fundamentais de um determinado espaço topológico,considerados com diferentes pontos base.

Proposição 3.5. Seja X um espaço topológico conexo por caminhos e sejamx0, x1 ∈ X quaisquer. Então π1(X; x0) e π1(X; x1) são isomorfos.

Demonstração. Sendo X, por hipótese, conexo por caminhos e x0, x1 ∈ X, te-mos que existe um caminho γ ∶ I → X tal que γ(0) = x0 e γ(1) = x1.

Denimos γ# ∶ π1(X; x0)→ π1(X; x1) por γ#([β]) = [γ−1 ∗ β ∗ γ].Mostremos que a aplicação γ# está bem denida. Para isto, devemos mos-

trar que se [α] = [β] então γ#([α]) = γ#([β]), isto é, que [γ−1 ∗ α ∗ γ] =[γ−1 ∗ β ∗ γ], ou equivalentemente, que γ−1 ∗ α ∗ γ ∼ γ−1 ∗ β ∗ γ.

De fato, sejam [α], [β] ∈ π1(X; x0), tais que [α] = [β]. Então, α ∼ β, o queimplica que existe F ∶ I × I → X homotopia entre α e β, isto é, F contínua talque F(t, 0) = α(t), F(t, 1) = β(t),∀t ∈ I e F(0, s) = x0 = F(1, s),∀s ∈ I.Denimos G ∶ I × I → X por: G(t, s) = (γ−1 ∗ Fs ∗ γ)(t), onde Fs ∶ I → X,

é dado por Fs(t) = F(t, s). Assim, para todo s ∈ I, Fs é contínua, Fs(0) =F(0, s) = x0 e Fs(1) = F(1, s) = x0. Logo Fs é um laço em x0.

Também, a aplicação G é contínua, pelo Lema da Colagem (1.8), e

G(t, 0) = (γ−1 ∗ F0 ∗ γ)(t) = (γ−1 ∗ α ∗ γ)(t),

desde que F0(t) = F(t, 0) = α(t),∀t ∈ I e, portanto, F0 = α;

G(t, 1) = (γ−1 ∗ F1 ∗ γ)(t) = (γ−1 ∗ β ∗ γ)(t),

desde que F1(t) = F(t, 1) = β(t),∀t ∈ I e, portanto, F1 = β;

G(0, s) = (γ−1 ∗ Fs ∗ γ)(0) = γ−1(0) = x1,

G(1, s) = (γ−1 ∗ Fs ∗ γ)(1) = γ(1) = x1.

Assim, γ−1 ∗ α ∗ γ ∼ γ−1 ∗ β ∗ γ, o que implica que γ#([α]) = γ#([β]).Portanto, γ# está bem denida.

Mostremos agora, que γ# é um homomorsmo.

ii


ii

ii


Sejam [α], [β] ∈ π1(X; x0). Devemos mostrar que γ#([α] ⋅ [β]) = γ#([α]) ⋅γ#([β]).

Observemos que, se γ ∈ Ω(X; x0, x1), então γ ∗ γ−1 ∼ cx0 , onde cx0 ∶ I → X

é dado por cx0(t) = x0,∀t ∈ I. Denamos H ∶ I × I → X por

H(t, s) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

γ(2t), t ∈ [0, 1−s2 ],

γ−1(s), t ∈ [ 1−s2 ,1+s2 ],

γ−1(2t − 1), t ∈ [ 1+s2 , 1].

Então, H é uma homotopia entre γ ∗ γ−1 e cx0 , pois desde que, para t = 1−s2 ,γ(2t) = γ(1 − s) = γ−1(s) e, para t = 1+s2 , γ

−1(s) = γ−1(2t − 1). Além disso,

H(t, 0) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

γ(2t), t ∈ [0, 12],

γ−1(0), t = 12 ,

γ−1(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1],

H(t, 1) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

γ(2t), t = 0,

γ−1(1), t ∈ [0, 1],

γ−1(2t − 1), t = 1,

=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

γ(2t), t ∈ [0, 12],

γ−1(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1],=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

γ(0) = x0, t = 0,

γ−1(s) = x0, t ∈ [0, 1],

γ−1(1) = x0, t = 1,

= γ ∗ γ−1(t), ∀t ∈ I, = cx0(t), ∀t ∈ I,

e H(0, s) = γ(0) = x0 e H(1, s) = γ−1(1) = x0. Assim,

γ ∗ γ−1 ∼ cx0 ⇒ α ∗ γ ∗ γ−1 ∼ α ∗ cx0 ∼ α ⇒ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∼ α ∗ β ⇒α ∗ β ∼ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ⇒ γ−1 ∗ α ∗ β ∗ γ ∼ γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∗ γ.

Então,

γ#([α] ⋅ [β]) = γ#([α ∗ β]) = [γ−1 ∗ α ∗ β ∗ γ] == [γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∗ γ] = [γ−1 ∗ α ∗ γ][γ−1 ∗ β ∗ γ] =

= γ#([α]) ⋅ γ#([β]).

ii


ii

ii


Finalmente, mostremos que γ# é bijetor.

Injetividade: seja [α] ∈ π1(X; x0) tal que γ#([α]) = ex1 = [cx1]. Então:

[γ−1 ∗ α ∗ γ] = [cx1]⇒ γ−1 ∗ α ∗ γ ∼ cx1 ⇒γ ∗ γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒ cx0 ∗ α ∗ cx0 ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒

α ∼ γ ∗ cx1 ∗ γ−1 ⇒ α ∼ γ ∗ γ−1 ⇒ α ∼ cx0 ⇒ [α] = ex0 ,

desde que γ ∗ cx1 ∼ γ, pois K ∶ I × I → X dada por

K(t, s) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

γ( 2ts+1), t ∈ [0, s+12 ],

x1, t ∈ [ s+12 , 1],

é uma homotopia entre γ ∗ cx1 e γ, uma vez que K é contínua pelo Lema daColagem (1.8),

K(t, 0) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

γ(2t), t ∈ [0, 12],

x1, t ∈ [ 12 , 1],K(t, 1) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

γ(t), t ∈ [0, 1],

x1, t = 1,

= γ ∗ cx1(t), ∀t ∈ I; = γ(t), ∀t ∈ I;

e K(0, s) = γ(0) = x0 e K(1, s) = x1. Portanto γ# é injetor.

Sobrejetividade: dado [β] ∈ π1(X; x1), tome [γ ∗ β ∗ γ−1] ∈ π1(X; x0). Entãoγ#([γ ∗ β ∗ γ−1]) = [γ−1 ∗ γ ∗ β ∗ γ−1 ∗ γ] = [cx1 ∗ β ∗ cx1] = [β]. Assim, γ# ésobrejetor.

Portanto γ# é um isomorsmo e π1(X; x0) e π1(X; x1) são isomorfos.

Por este teorema, podemos ver que o grupo fundamental de um espaço to-pológico independe do ponto base considerado, se o espaço for conexo por ca-minhos. Neste caso, denotaremos π1(X; x0) simplesmente por π1(X).Seja f ∶ X → Y uma função contínua. Observemos que f α é um laço em

f (x0), poisf α ∶ [0, 1] → Y

t → ( f α)(t)

é contínua e ( f α)(0) = f (x0) = ( f α)(1).

ii


ii

ii


Sejam α e α′ dois laços em x0 tais que α ∼ α′, por uma homotopia G.

Denimos H ∶ I × I → Y por H(t, s) = ( f G)(t, s) e observamos que H écontínua, pois f e G o são. Além disso,

H(t, 0) = f G(t, 0) = ( f α)(t), H(0, s) = f G(0, s) = f (x0),

H(t, 1) = f G(t, 1) = ( f α′)(t), H(1, s) = f G(1, s) = f (x0).

Portanto f α ∼ f α′ e podemos dar a seguinte denição.

Definição 3.6. Seja f ∶ X → Y uma função contínua. Denimos f#, a induzidade f , por

f# ∶ π1(X , x0)→ π1(Y , f (x0))

[α]→ [ f α].

Proposição 3.7. Sejam f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z aplicações contínuas, onde X ,Ye Z são espaços topológicos com x0 ∈ X, y0 = f (x0) ∈ Y e z0 = д(y0) ∈ Z.Então:

1. f# ∶ π1(X , x0)→ π1(Y , y0) é um homomorsmo.

2. (д f )# = д# f#.

3. Id# é o homomorsmo identidade do π1(X , x0), onde Id ∶ X → X é aaplicação identidade.

Demonstração.

1. Primeiramente observamos que para quaisquer laços α e β, temos f (α∗β) =( f α) ∗ ( f β). De fato, para todo t ∈ I temos

( f (α ∗ β))(t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f (α(2t)), t ∈ [0, 12],

f (β(2t − 1)), t ∈ [ 12 , 1],

= (( f α) ∗ ( f β))(t).

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ii

ii


Sendo assim temos que

f#([α] ⋅ [β]) = f#([α ∗ β]) = [ f (α ∗ β)] == [( f α) ∗ ( f β)] = [ f α] ⋅ [ f β] = f#([α]) ⋅ f#([β])

e portanto f# é um homomorsmo.

2. Sejam f ∶ X → Y e д ∶ Y → Z funções contínuas. Consideremos as respecti-vas aplicações induzidas:

f# ∶ π1(X , x0)→ π1(Y , y0) д# ∶ π1(Y , y0)→ π1(Z , z0)

[α]→ f#([α]) = [ f α], [α]→ д#([α]) = [д α].

Então (д f )# é dada por

(д f )# ∶ π1(X , x0)→ π1(Z , z0)

[α]→ (д f )#([α]) = [(д f ) α]

e portanto,

(д f )#([α]) = [(д f ) α] = [д ( f α)] == д#([ f α]) = д#( f#([α])) = (д# f#)([α]).

3. É imediato.

Teorema 3.8. Se f ∶ X → Y é um homeomorsmo, então f# ∶ π1(X , x0) →π1(Y , f (x0)) é um isomorsmo.

Demonstração. Sendo f um homeomorsmo segue que f f −1 = Id = f −1 f ,onde f −1 denota a função inversa de f . Pelas propriedades acima temos

( f f −1)# = f# ( f −1)# = (Id)#, ( f −1 f )# = ( f −1)# f# = Id#,

o que implica que f# é um isomorsmo.

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ii

ii


Observamos que o Teorema 3.8 mostra que o grupo fundamental é um in-

variante topológico, pois se π1(X , x0) e π1(Y , f (x0)) não são isomorfos, entãoX e Y não são homeomorfos.

Por exemplo, como π1(S1) = Z e π1(R) = 0 (vide [2]) não são isomorfos,concluímos que S1 e R não são homeomorfos.

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ii

ii

4HOMOLOGIA SIMPLICIAL

O objetivo deste capítulo é associar um grupo a um dado espaço topoló-gico, chamado grupo de homologia simplicial, e usar sua estrutura para obterpropriedades topológicas e geométricas do espaço.

Há outros tipos de grupos de homologia que poderiam ser tratados comoinvariantes topológicos. Optamos pela homologia simplicial pela sua aborda-gem geométrica que a torna mais acessível aos alunos de graduação.

Para maiores detalhes, sugerimos a leitura dos livros [1, 7].

Definição 4.1. Um conjunto A = a0, a1, . . . , ak ⊂ Rn é geometricamenteindependente se, e somente se, nenhum hiperplano de dimensão (k − 1) con-tém A.

Assim, A é geometricamente independente se todos os pontos são distin-tos, nenhum 3 deles estão em uma reta, nenhum 4 deles estão em um plano enenhum p deles estão em um (p − 2)-hiperplano.

Definição 4.2. Seja A = a0, a1, . . . , ak um conjunto geometricamente inde-pendente. O simplexo geométrico k-dimensional ou k-simplexo gerado por A,denotado por σ k , é o conjunto dos pontos x ∈ Rn para os quais existemnúmerosreais não negativos λ0, . . . , λk tais que x = ∑k

i=0 λiai e∑ki=0 λi = 1.

Os números λ0, . . . , λk são chamados coordenadas baricêntricas e os pon-tos a0, . . . , ak são chamados vértices de σ k .

O k-simplexo geométrico aberto gerado por A é o conjunto de todos x ∈ σ k

tais que as coordenadas baricêntricas são positivas.

Um 0-simplexo é um ponto; um 1-simplexo é um segmento fechado e um1-simplexo aberto é um segmento sem os extremos; um 2-simplexo é um tri-ângulo (interior e fronteira) e um 2-simplexo aberto é o interior do triângulo;

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ii

ii


um 3-simplexo é um tetraedro (interior e fronteira) e um 3-simplexo aberto é ointerior do tetraedro.

Definição 4.3. Um simplexo σ k é uma face de um simplexo σn, k ≤ n, se cadavértice de σ k é um vértice de σn. As faces de σn distintas de σn são chamadasfaces próprias.

Se σn é o simplexo de vértices a0, . . . , an, escrevemos σn = ⟨a0 . . . an⟩. Comessa notação, as faces do 2-simplexo ⟨a0a1a2⟩ são:

⟨a0a1a2⟩, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩ e ⟨a2⟩.

Definição 4.4. Dois simplexos σm e σn são propriamente ligados se σm ∩ σn évazia ou se σm ∩ σn é uma face de σm e de σn.

(a) propriamente ligados (b) não propriamente ligados

Definição 4.5. Um complexo simplicial é uma família nita K de simplexosque são propriamente ligados e cada face de um elemento de K é também umelemento de K. A dimensão de K é o maior inteiro positivo r tal que K tem umr-simplexo. A reunião de todos os elementos de K com a topologia induzida deRr , denotada por ∣K∣, é chamada o poliedro associado a K.

Exemplo 4.6. O complexo simplicial K abaixo, onde não estamos conside-rando o 3-simplexo ⟨a0a1a2a3⟩ e o 2-simplexo ⟨a1a5a6⟩, é constituído por qua-tro 2-simplexos, dez 1-simplexos e sete 0-simplexos e tem dimensão 2.

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ii

ii

Homologia simplicial 37

a0

a1 a3a4a5

a6

a2

Definição 4.7. Seja X um espaço topológico. Se existe um complexo simplicialK cujo poliedro associado é homeomorfo a X, dizemos que X é triangulável eK é uma triangulação de X.

Exemplo 4.8. Consideremos a esfera S2. O complexo simplicial

K = ⟨a0a1a2⟩, ⟨a0a1a3⟩, ⟨a0a2a3⟩, ⟨a1a2a3⟩,⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a0a3⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a1a3⟩, ⟨a2a3⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩, ⟨a3⟩

tem poliedro associado homeomorfo a esfera S2.

a1 a2

a3

a0

Definição 4.9. O fecho de um k-simplexo σ k , denotado por σ k , é o complexosimplicial constituído de σ k e todas as suas faces.

Exemplo 4.10. Seja σ2 = ⟨a0a1a2⟩. Então o fecho de σ2 é dado por

σ2 = σ2, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩ .

Definição 4.11. Se K é um complexo simplicial de dimensão n e r ≤ n, então or-esqueleto deK é o complexo simplicialK(r) constituído de todos os simplexosde K de dimensão menor ou igual que r.

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ii

ii


Exemplo 4.12. Consideremos o complexo simplicial do Exemplo 4.8. Nestecaso, o 1-esqueleto de K é

K(1) = ⟨a0⟩, ⟨a1⟩, ⟨a2⟩, ⟨a3⟩, ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a0a3⟩, ⟨a1a2⟩, ⟨a1a3⟩, ⟨a2a3⟩ .

Observação. Note que, em uma triangulação, cada aresta interna é aresta deexatamente dois triângulos, pois se fosse só de um, pontos interiores a essaaresta possuiriam vizinhanças V ⊂ R2 que não são homeomorfas a bolas aber-tas e se pertencesse a mais de dois, contrariaria a dimensão da superfície (videdenição no capítulo 5).

VV

Definição 4.13. Dado um p-simplexo σ p, com p ≥ 1, podemos dar-lhe umaorientação simplesmente escolhendo uma ordem para seus vértices. A classede equivalência de permutações pares da ordem escolhida é constituída pelossimplexos positivamente ordenados, denotados por +σ p ou simplesmente σ p, ea classe de equivalência de permutações ímpares é constituída pelos simplexosnegativamente ordenados, denotados por −σ p. Um complexo simplicial orien-tado é um complexo simplicial com uma orientação coerente em cada um deseus simplexos. Um 0-simplexo ⟨a0⟩ é sempre orientado.

Exemplo 4.14. Seja σ 1 = ⟨a0a1⟩. Tomando-se a orientação a0 < a1, temos+σ 1 = ⟨a0a1⟩ e−σ 1 = ⟨a1a0⟩. Seja σ2 = ⟨a0a1a2⟩ com a orientação dada por a0 <a1 < a2. Usando as permutações associadas a σ2, obtemos três permutaçõespares:

⎛⎝0 1 22 0 1

⎞⎠= (0 2) (1 2) ,

⎛⎝0 1 21 2 0

⎞⎠= (0 2) (0 1) ,

⎛⎝0 1 20 1 2

⎞⎠= (0 1) (0 1) ;

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ii

ii


e três permutações ímpares:

⎛⎝0 1 20 2 1

⎞⎠= (1 2) ,

⎛⎝0 1 21 0 2

⎞⎠= (0 1) ,

⎛⎝0 1 22 1 0

⎞⎠= (0 2) .

Portanto +σ2 = ⟨a2a0a1⟩ = ⟨a1a2a0⟩ = ⟨a0a1a2⟩ e −σ2 = ⟨a0a2a1⟩ =⟨a1a0a2⟩ = ⟨a2a1a0⟩.

Definição 4.15. Seja K um complexo simplicial com uma orientação xada.A cada par (σ p+1, σ p) de simplexos de K associamos um número [σ p+1, σ p],chamado número de incidência, denido por:

i) se σ p não é uma face de σ p+1, então [σ p+1, σ p] = 0;

ii) se σ p é uma face de σ p+1, consideremos+σ p = ⟨a0 . . . ap⟩ e seja v o vérticede σ p+1 que não está em σ p. Se +σ p+1 = +⟨va0 . . . ap⟩, [σ p+1, σ p] = 1 e se+σ p+1 = −⟨va0 . . . ap⟩, [σ p+1, σ p] = −1.

Exemplo 4.16. Considere σ 1 = ⟨a0a1⟩ com a orientação a0 < a1. Então +σ 1 =⟨a0a1⟩ e −σ 1 = ⟨a1a0⟩. Assim [σ 1, ⟨a0⟩] = −1 e [σ 1, ⟨a1⟩] = 1. Considere σ2 =⟨a0a1a2⟩ com orientação a0 < a1 < a2. Então +σ2 = ⟨a0a1a2⟩. Sejam +σ 1 =⟨a0a1⟩ e +τ1 = ⟨a0a2⟩. Assim [σ2, σ 1] = 1, pois +σ2 = +⟨a2a0a1⟩ e [σ2, τ1] = −1,pois +σ2 = −⟨a1a0a2⟩.

Teorema 4.17. Sejam K um complexo orientado, σ p um p-simplexo orientadode K e σ p−2 uma (p − 2)-face de σ p. Então

∑σ p−1

∈K

[σ p , σ p−1][σ p−1, σ p−2] = 0.

Demonstração. Consideremos +σ p−2 = ⟨v0 . . . vp−2⟩ e sejam a e b os vérticesadicionais de σ p. Assumamos que +σ p = ⟨a b v0 . . . vp−2⟩.Os únicos (p − 1)-simplexos tais que [σ p , σ p−1] ≠ 0 e [σ p−1, σ p−2] ≠ 0 são

σp−11 = ⟨av0 . . . vp−2⟩ e σ

p−12 = ⟨bv0 . . . vp−2⟩,

ii


ii

ii


visto que são os únicos que são faces de σ p e têm σ p−2 como face. Analisemosos quatro casos determinados pelas orientações de σ

p−11 e σ

p−12 .

Podemos ter:

+σp−111 = +⟨av0 . . . vp−2⟩ ou +σ

p−112 = −⟨av0 . . . vp−2⟩,

+σp−121 = +⟨bv0 . . . vp−2⟩ ou +σ

p−122 = −⟨bv0 . . . vp−2⟩.

Temos então os seguintes números de incidência:

[σ p , σ p−111 ] = −1, [σ p , σ p−1

12 ] = +1, [σ p , σ p−121 ] = −1, [σ p , σ p−1

22 ] = +1,

[σ p−111 , σ

p−2] = +1, [σ p−112 , σ

p−2] = −1, [σ p−121 , σ

p−2] = +1, [σ p−122 , σ

p−2] = −1.

Portanto

[σ p , σ p−111 ] ⋅ [σ p−1

11 , σp−2] = (−1) ⋅ (+1) = −1,

[σ p , σ p−112 ] ⋅ [σ p−1

12 , σp−2] = (+1) ⋅ (−1) = −1,

[σ p , σ p−121 ] ⋅ [σ p−1

21 , σp−2] = (+1) ⋅ (+1) = +1,

[σ p , σ p−122 ] ⋅ [σ p−1

22 , σp−2] = (−1) ⋅ (−1) = +1,

donde segue que

∑σ p−1

∈K

[σ p , σ p−1] ⋅ [σ p−1, σ p−2] =2∑i , j=1

[σ p , σ p−1i j ] ⋅ [σ p−1

i j , σp−2] = 0,

o que conclui a demonstração.

Definição 4.18. SejamK um complexo simplicial orientado e σpi

αp

i=0 a famíliados p-simplexos de K, onde αp denota o número de p-simplexos.

Uma cadeia p-dimensional (ou uma p-cadeia) é uma função

cp ∶ σpi

αp

i=0 → Z

tal que cp(−σpi ) = −cp(+σ

pi ). Uma 0-cadeia é uma função

c0 ∶ 0-simplexos→ Z.

ii


ii

ii


O conjunto Cp(K) de todas as p-cadeias com a operação adição de funçõesé um grupo abeliano, chamado grupo das p-cadeias.

Uma p-cadeia é elementar quando existe um p-simplexo σ p ∈ K tal quecp(τp) = 0, para todo p-simplexo τp ∈ K, distinto de σ p. Neste caso denotamoscp por дσ p, onde д = cp(+σ p). Com essa notação, toda p-cadeia dp pode serescrita como uma soma formal nita de p-cadeias elementares

dp =αp

∑i=0

дiσpi , дi = c ip(+σ

pi ).

Definição 4.19. Se дσ p é uma p-cadeia elementar com p ≥ 1, o bordo de дσ p,denotado por ∂(дσ p), é denido por:

∂(дσ p) =αp−1

∑i=0

[σ p , σ p−1i ]дσ

p−1i .

O operador bordo

∂ ∶ Cp(K)→ Cp−1(K),

∂(cp) =αp

∑i=0

∂(дiσ pi ),

onde cp =αp

∑i=0

дiσpi , é obtido estendendo por linearidade a denição anterior.

O operador bordo de C0(K) é o homomorsmo identicamente nulo.

Teorema 4.20. Se K é um complexo orientado e p ≥ 2 então

⋯ // Cp(K) ∂ // Cp−1(K) ∂ // Cp−2(K) // ⋯

é uma sequência semi-exata, isto é, ∂2 = 0.

Demonstração. Seja cp ∈ Cp(K) qualquer. Então cp =αp

∑i=0

дiσpi , onde дiσ

pi são

p-cadeias elementares. Como ∂ é um homomorsmo, basta provarmos parap-cadeias do tipo дσ p.

ii


ii

ii


Temos que

∂2 (дσ p) = ∂ (αp−1

∑i=0

[σ p , σ p−1i ]дσ

p−1i )

=αp−1

∑i=0

∂ ([σ p , σ p−1i ]дσ

p−1i )

=αp−1

∑i=0

⎛⎝

αp−2

∑j=0

[σ p , σ p−1i ][σ p−1

i , σ p−2j ]дσ

p−2j

⎞⎠

=αp−2

∑j=0

(αp−1

∑i=0

[σ p , σ p−1i ][σ p−1

i , σ p−2j ]) дσ

p−2j .

Pelo Teorema 4.17, observamos que

αp−1

∑i=0

[σ p , σ p−1i ][σ p−1

i , σ p−2j ] = 0,

de onde segue o resultado.

Definição 4.21. Sejam K um complexo simplicial orientado e p ≥ 0. Um p-ciclo de K, é uma p-cadeia zp tal que ∂(zp) = 0. Dizemos que bp é um p-bordose existir uma (p + 1)-cadeia cp+1 tal que ∂(cp+1) = bp.

Denotemos por Zp(K) o conjunto de todos os p-ciclos de K. Observe-mos que Zp(K) é o núcleo do homomorsmo bordo ∂ ∶ Cp(K) → Cp−1(K) eC0(K) = Z0(K), pois ∂(C0(K)) = 0.

O conjunto dos p-bordos, denotado por Bp(K), é constituído pela imagemde ∂ ∶ Cp+1(K) → Cp(K). Se K tem dimensão n, não há cadeias de dimensãomaior que n. Logo Cp(K) = 0, para p > n, e portanto Bn(K) = 0.

Se K é um complexo orientado de dimensão n, então Bp(K) ⊂ Zp(K),0 ≤ p ≤ n. De fato, se bp ∈ Bp(K), existe cp+1 ∈ Cp+1(K) tal que ∂(cp+1) = bp.Então ∂(bp) = ∂2(cp+1) = 0 e portanto bp ∈ Zp(K).

Definição 4.22. Sejamwp e zp em Zp(K). Dizemos quewp e zp são homólogosse wp − zp ∈ Bp(K).

ii


ii

ii


Essa relação é de equivalência. A classe de equivalência de zp ∈ Zp(K),chamada classe de homologia de zp, é o conjunto

zp + Bp(K) = wp ∈ Zp(K);wp − zp = ∂(cp+1), cp+1 ∈ Cp+1(K) ,

também denotado por [zp].Denimos o grupo de homologia p-dimensional de K como o grupo

quociente

Hp(K) =Zp(K)Bp(K) .

Suponhamos que K tenha r p-simplexos. Então Cp(K) é isomorfo a

Z⊕⋯⊕Z´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

r-cópias

,

isto é, Cp(K) é um grupo abeliano livre com r geradores.

Como Zp(K) e Bp(K) são subgrupos deCp(K) então são livres e abelianos.

AssimHp(K) =Zp(K)Bp(K) é um grupo abeliano. EntãoHp(K) = L⊕T1⊕⋯⊕Tm,

onde L é abeliano livre e cada Ti é um subgrupo de torção.

Observemos que H0(K) é livre.

Exemplo 4.23. Seja K o fecho do 2-simplexo ⟨a0a1a2⟩, com orientação indu-zida por a0 < a1 < a2. Os 0-simplexos deK são ⟨a0⟩, ⟨a1⟩ e ⟨a2⟩ e os 1-simplexosorientados são ⟨a0a1⟩, ⟨a0a2⟩, ⟨a1a2⟩ e existe um único 2-simplexo ⟨a0a1a2⟩.

Dimensão zero: uma 0-cadeia c0 de K é da forma c0 = д0⟨a0⟩+ д1⟨a1⟩+ д2⟨a2⟩,onde дi ∈ Z, i = 0, 1, 2. Portanto, C0(K) ≅ Z⊕Z⊕Z.

Dimensão um: uma 1-cadeia c1 de K é da forma c1 = д0⟨a0a1⟩ + д1⟨a0a2⟩ +д2⟨a1a2⟩, onde дi ∈ Z, i = 0, 1, 2. Portanto C1(K) ≅ Z⊕Z⊕Z.

Dimensão dois : uma 2-cadeia c2 de K é da forma д⟨a0a1a2⟩, onde д ∈ Z. Por-tanto C2(K) ≅ Z.

Para que c0 = д0⟨a0⟩+д1⟨a1⟩+д2⟨a2⟩ seja um0-ciclo, devemos ter ∂(д0⟨a0⟩+д1⟨a1⟩ + д2⟨a2⟩) = 0, ou seja д0∂(⟨a0⟩) + д1∂(⟨a1⟩) + д2∂(⟨a2⟩) = 0. Como∂⟨a0⟩ = ∂⟨a1⟩ = ∂⟨a2⟩ = 0, segue que Z0(K) ≅ Z⊕Z⊕Z.

ii


ii

ii


Para que c1 seja um 1-ciclo, devemos ter ∂(д0⟨a0a1⟩+д1⟨a0a2⟩+д2⟨a1a2⟩)=0.Assim

д0∂(⟨a0a1⟩) + д1∂(⟨a0a2⟩) + д2∂(⟨a1a2⟩) = 0,

ou ainda

д0(−⟨a0⟩ + ⟨a1⟩) + д1(−⟨a0⟩ + ⟨a2⟩) + д2(−⟨a1⟩ + ⟨a2⟩) = 0.

Portanto −д0 − д1 = д0 − д2 = д1 + д2 = 0, donde segue que д0 = д2 = −д1 econsequentemente Z1(K) ≅ Z.

Para que c2 = д⟨a0a1a2⟩ seja um 2-ciclo, seu bordo deve ser nulo, ou seja,devemos ter

∂(д⟨a0a1a2⟩) = д(⟨a0a1⟩ − ⟨a0a2⟩ + ⟨a1a2⟩) = 0

e portanto д = 0 e Z2(K) ≅ 0.Dos cálculos acima obtemos que

Z0(K) ≅ Z⊕Z⊕Z, Z1(K) ≅ Z, Z2(K) ≅ 0.

Calculemos agora os conjuntos dos i-bordos, Bi(K), i = 0, 1, 2.Dada uma 1-cadeia c1 = д0⟨a0a1⟩ + д1⟨a0a2⟩ + д2⟨a1a2⟩ temos que

∂(c1) = (−д0 − д1)⟨a0⟩ + (д0 − д2)⟨a1⟩ + (д1 + д2)⟨a2⟩

é uma 0-cadeia b0 = r0⟨a0⟩ + r1⟨a1⟩ + r2⟨a2⟩ onde

r0 = −д0 − д1, r1 = д0 − д2, r2 = д1 + д2,

ou, equivalentemente, r0 = −r1 − r2. Portanto um 0-bordo é do tipo

b0 = (−r1 − r2)⟨a0⟩ + r1⟨a1⟩ + r2⟨a2⟩ = r1(⟨a1⟩ − ⟨a0⟩) + r2(⟨a2⟩ − ⟨a0⟩)

e assim B0(K) ≅ Z⊕Z.

Seja agora д⟨a0a1a2⟩ uma 2-cadeia. Como

∂(д⟨a0a1a2⟩) = д(⟨a0a1⟩ − ⟨a0a2⟩ + ⟨a1a2⟩),

então B1(K) ≅ Z.

ii


ii

ii


Observemos que B2(K) ≅ 0, pois não existem 3-cadeias em K.

Estamos agora em condições de determinar os grupos de homologia docomplexo simplicial orientado K.

Seja c0 = д0⟨a0⟩ + д1⟨a1⟩ + д2⟨a2⟩ uma 0-cadeia qualquer. Temos que

c0 = ∂(д1⟨a0a1⟩ + д2⟨a0a2⟩) + (д0 + д1 + д2)⟨a0⟩,

ou seja, c0 − (д0 + д1 + д2)⟨a0⟩ = ∂(д1⟨a0a1⟩+ д2⟨a0a2⟩). Portanto todo 0-cicloc0 é homólogo a um múltiplo de ⟨a0⟩. Segue que H0(K) ≅ Z.

Dos cálculos acima, temos que Z1(K) ≅ B1(K) e portanto H1(K) ≅ 0.Segue também que H2(K) ≅ 0, pois Z2(K) ≅ 0.

Definição 4.24. Dizemos que um espaço topológico de Hausdor é uma n-variedade se, para cada ponto, existe um aberto que o contém e que é homeo-morfo a uma bola aberta do Rn.

Definição 4.25. Por um Toro entendemos o espaço quociente T2 = I × I

∼ ondeI é o intervalo fechado [0, 1] e “∼” é a relação denida por (x , 0) ∼ (x , 1) e(0, y) ∼ (1, y).

Definição 4.26. Por uma Garrafa de Klein entendemos o espaço quociente

KB = I × I

∼ onde I é o intervalo fechado [0, 1] e “∼” é a relação denida por(x , 0) ∼ (x , 1) e (0, y) ∼ (1, 1 − y).

Definição 4.27. Por um Plano Projetivo entendemos o espaço quociente P2 =S2

x ∼ (−x) , onde S2 é a esfera unitária do R3.

Uma superfície é uma 2-variedade compacta e conexa. As superfícies maisconhecidas são a esfera S2, o toro T2, a garrafa de Klein KB, o plano projetivoreal P2, além daquelas obtidas dessas por somas conexas.

De fato, essas são todas as superfícies (ver Teorema 5.14 do capítulo 5).

Definição 4.28. Uma n-pseudovariedade é um complexo K com as seguintespropriedades:

ii


ii

ii


1. Cada simplexo de K é uma face de algum n-simplexo de K.

2. Cada (n − 1)-simplexo é face de exatamente dois n-simplexos de K.

3. Dado um par σn1 e σn

2 de n-simplexos de K, existe uma sequência de n-simplexos começando em σn

1 e terminando em σn2 tal que quaisquer dois

termos consecutivos dessa sequência tem uma (n − 1)-face comum.

Para n = 2, essa denição é equivalente à denição de uma triangulação deuma superfície (lembrando que no nosso contexto, as superfícies são variedadessem bordo).

Exemplo 4.29. A triangulação do toro dada abaixo é um exemplo de uma2-pseudovariedade.

a1a7 a8

a1

a0 a3 a4 a0

a2a5 a6

a2

a0 a3 a4 a0

Definição 4.30. Por uma faixa de Möebius entendemos o espaço quociente

FM = I × I

(0, y) ∼ (1, 1 − y) , onde I denota o intervalo fechado [0, 1].

Exemplo 4.31. A faixa de Möebius

d e f a

a b c d

não é uma 2-pseudovariedade, pois existem 1-simplexos, por exemplo ⟨e f ⟩, quesão faces de apenas um 2-simplexo, no caso ⟨b f e⟩. Portanto não satisfaz a con-dição (2) da Denição 4.28.

ii


ii

ii


Definição 4.32. Seja K uma n-pseudovariedade. Para cada (n − 1)-simplexoσn−1 de K, consideremos σn

1 e σn2 os dois n-simplexos dos quais σn−1 é face.

Uma orientação para K com a propriedade [σn1 , σ

n−1] = −[σn2 , σ

n−1] para cada(n − 1)-simplexo σn−1 de K é chamada uma orientação coerente de K. Uman-pseudovariedade é orientável se a ela pode ser associada uma orientaçãocoerente. Caso contrário, ela é não orientável.

Exemplo 4.33. Seja T o toro com orientação induzida por a < b < c < d < e <f < д < h < i.

a b c a

e

i h

e

d

f д

d

a b c a

Em todas as 1-faces temos coerência na orientação. Como exemplo consi-dere a 1-face ⟨h f ⟩ e observe que [⟨ih f ⟩, ⟨h f ⟩] = 1 e [⟨ f hд⟩, ⟨h f ⟩] = −1. Por-tanto o toro é orientável.

Exemplo 4.34. Se à faixa de Möebius acrescentarmos do lado direito os dois2-simplexos ⟨ade⟩ e ⟨abe⟩ e orientarmos conforme a gura abaixo

d e f a b

a b c d e

ii


ii

ii


então para a 1-face ⟨ad⟩ tem-se [⟨cad⟩, ⟨ad⟩] = 1 e [⟨ade⟩, ⟨ad⟩] = 1 e portantoa faixa de Möebius é não orientável.

Exemplo 4.35. Consideremos o plano projetivo P2 com orientação dada pelagura abaixo.

c

d e

a

af

fb

b

Observemos que a face ⟨a f ⟩ de ⟨a f d⟩ e ⟨ea f ⟩ é tal que [⟨a f d⟩, ⟨a f ⟩] = 1 e[⟨ea f ⟩, ⟨a f ⟩] = 1. Logo P2 é não orientável.

Proposição 4.36. Se K é uma n-pseudovariedade orientável entãoHn(K) ≅ Z.

Demonstração. Se K é orientável, associamos a K uma orientação coerente.

Seja z ∈ Cn(K), isto é, z =αn

∑i=0

дiσni e ∂(z) =

αn

∑i=0

αn−1

∑j=0

[σni , σ

n−1i j ]дiσn−1

i j . Esta

equação pode ser reescrita como

∂(z) =αn

∑i=0

i−1∑j=0

[σni , σ


i j +αn

∑i=0

αn−1

∑j=i+1

[σni , σ


i j +αn

∑i=0

[σni , σ

n−1ii ]дiσn−1

ii ,

ou equivalentemente,

∂(z) =αn

∑i=0

i−1∑j=0

[σni , σ


i j +αn

∑j=0

αn−1

∑i= j+1

[σnj , σ

n−1i j ]дjσn−1

i j +αn

∑i=0

[σni , σ

n−1ii ]дiσn−1

ii .

Como σn−1i j = σn−1

ji é face de exatamente dois n-simplexos (digamos σni e

σnj ) e [σn

i , σn−1i j ] = −[σn

j , σn−1i j ] então, obtemos

∂(z) =αn

∑i=0

i−1∑j=0

[σni , σ


i j −αn

∑j=0

αn−1

∑i= j+1

[σni , σ

n−1i j ]дjσn−1

i j ,

ii


ii

ii



∂(z) =αn

∑i=0∑j≠i

[σni , σ

n−1i j ](дi − дj)σn−1

i j .

Lembrando que [σni , σ

n−1i j ] = ±1, segue que z é um n-ciclo se, e somente se,

дi = дj = д se, e somente se, z = дαn

∑i=0

σni . Logo Zn(K) = Z.

Como n é a dimensão de K então não há (n + 1)-simplexos em K e assimBn(K) = 0. Concluímos portanto que Hn(K) ≅ Z.

4.1. CÁLCULOS DE ALGUNS GRUPOS DE HOMOLOGIA

Exemplo 4.37. Seja a faixa de Möebius (FM)

d e f a

a b c d

com orientação induzida por a < b < c < d < e < f . Como não há 3-simplexos,temos que B2(FM) = 0. Calculemos agora Z2(FM). Para isto, suponha que

w = д0⟨ade⟩ + д1⟨abe⟩ + д2⟨be f ⟩ + д3⟨bc f ⟩ + д4⟨ac f ⟩ + д5⟨acd⟩

seja um 2-ciclo. Então ∂(w) = 0. Mas

∂(w) = д0∂⟨ade⟩ + д1∂⟨abe⟩ + д2∂⟨be f ⟩ + д3∂⟨bc f ⟩+ д4∂⟨ac f ⟩ + д5∂⟨acd⟩

= д0(⟨ad⟩ + ⟨de⟩ − ⟨ae⟩) + д1(⟨ab⟩ + ⟨be⟩ − ⟨ae⟩)+ д2(⟨be⟩ + ⟨e f ⟩ − ⟨b f ⟩) + д3(⟨bc⟩ + ⟨c f ⟩ − ⟨b f ⟩)+ д4(⟨ac⟩ + ⟨c f ⟩ − ⟨a f ⟩) + д5(⟨ac⟩ + ⟨cd⟩ − ⟨ad⟩)

ii


ii

ii


= (д0 − д5)⟨ad⟩ + д0⟨de⟩ − (д0 + д1)⟨ae⟩ + д1⟨ab⟩+ (д1 + д2)⟨be⟩ + д2⟨e f ⟩ − (д2 + д3)⟨b f ⟩ + д3⟨bc⟩+ (д3 + д4)⟨c f ⟩ + (д4 + д5)⟨ac⟩ − д4⟨a f ⟩ + д5⟨cd⟩.

Assim ∂(w) = 0 se, e somente se, д0 = д1 = д2 = д3 = д4 = д5 = 0. Portantow = 0 e então Z2(FM) = 0. Logo H2(FM) = 0.

Além disso, considere as seguintes 1-cadeias:

z = ⟨ab⟩ + ⟨bc⟩ + ⟨cd⟩ − ⟨ad⟩, z′ = ⟨ad⟩ + ⟨de⟩ + ⟨e f ⟩ − ⟨a f ⟩.

Temos que ∂(z) = ⟨b⟩ − ⟨a⟩ + ⟨c⟩ − ⟨b⟩ + ⟨d⟩ − ⟨c⟩ − (⟨d⟩ − ⟨a⟩) = 0 eanalogamente ∂(z′) = 0. Portanto z e z′ são 1-ciclos.

Observe ainda que z−z′ = ∂(⟨abe⟩+⟨bc f ⟩+⟨acd⟩−⟨ac f ⟩−⟨be f ⟩−⟨ade⟩)e z é homólogo a z′. Pode-se provar de maneira análoga, que qualquer 1-ciclo éhomólogo a z. Então H1(FM) = [дz] ∶ д ∈ Z ≅ Z.

Armamos também que quaisquer duas 0-cadeias são homólogas a ⟨a⟩.

Por exemplo, ⟨a⟩ − ⟨e⟩ = ∂(−⟨ae⟩), donde ⟨e⟩ é homólogo a ⟨a⟩. Portanto

H0(FM) = [д⟨a⟩] ∶ д ∈ Z ≅ Z.

Exemplo 4.38. Consideremos a esfera unitária S2 de R3 com a triangulação Kda gura abaixo e com a orientação induzida dada por a < b < c < d.

c

a bd

CalculemosH2(K). Observemos primeiramente que B2(K) = 0, desde queK não possui 3-simplexos.

Encontremos agora Z2(K). Para isso tomemos uma 2-cadeia

c2 = д0⟨abc⟩ + д1⟨abd⟩ + д2⟨acd⟩ + д3⟨bcd⟩

ii


ii

ii


tal que ∂(c2) = 0. Então

∂(c2) = д0(⟨ab⟩ − ⟨ac⟩ + ⟨bc⟩) + д1(⟨ab⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨bd⟩)++ д2(⟨ac⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨cd⟩) + д3(⟨bc⟩ − ⟨bd⟩ + ⟨cd⟩) = 0,


(д0 + д1)⟨ab⟩ + (д2 − д0)⟨ac⟩ + (−д1 − д2)⟨ad⟩+ (д0 + д3)⟨bc⟩ + (д1 − д3)⟨bd⟩ + (д2 + д3)⟨cd⟩ = 0.

Assim д0 = −д1 = д2 = −д3 implica que

c2 = д0⟨abc⟩−д0⟨abd⟩+д0⟨acd⟩−д0⟨bcd⟩ = д0(⟨abc⟩−⟨abd⟩+⟨acd⟩−⟨bcd⟩)

e portanto Z2(K) ≅ Z. Concluímos assim que H2(K) ≅ Z.

Calculemos agora H1(K). Para isto, tomemos uma 1-cadeia

c1 = д0⟨ab⟩ + д1⟨ac⟩ + д2⟨ad⟩ + д3⟨bc⟩ + д4⟨bd⟩ + д5⟨cd⟩

tal que ∂(c1) = 0. Então

д0(⟨b⟩ − ⟨a⟩) + д1(⟨c⟩ − ⟨a⟩) + д2(⟨d⟩ − ⟨a⟩)+ д3(⟨c⟩ − ⟨b⟩) + д4(⟨d⟩ − ⟨b⟩) + д5(⟨d⟩ − ⟨c⟩) = 0,


(−д0− д1− д2)⟨a⟩+(д0− д3− д4)⟨b⟩+(д1+ д3− д5)⟨c⟩+(д2+ д4+ д5)⟨d⟩ = 0.

Assim д0 = д3 + д4, д1 = −д3 + д5 e д2 = −д4 − д5. Portanto,

c1 = (д3+ д4)⟨ab⟩+(−д3+ д5)⟨ac⟩+(−д4− д5)⟨ad⟩+ д3⟨bc⟩+ д4⟨bd⟩+ д5⟨cd⟩,


ii


ii

ii


c1 = д3(⟨ab⟩ − ⟨ac⟩ +⟨bc⟩) +д4(⟨ab⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨bd⟩) + д5(⟨ac⟩ − ⟨ad⟩ + ⟨cd⟩)= д3∂(⟨abc⟩) + д4∂(⟨abd⟩) + д5∂(⟨acd⟩)= ∂(д3⟨abc⟩ + д4⟨abd⟩ + д5⟨acd⟩).

Portanto todo 1-ciclo é um bordo. Logo H1(K) = 0.

Calculemos H0(K). Por denição, ∂(c0) = 0, para toda 0-cadeia c0. Destaforma c0 = α0⟨a⟩+ α1⟨b⟩+ α2⟨c⟩+ α3⟨d⟩ é um ciclo e portanto Z0(K) é geradopor ⟨a⟩, ⟨b⟩, ⟨c⟩, ⟨d⟩ de modo que é isomorfo a Z⊕Z⊕Z⊕Z.

Calculemos B0(K). Para isto tomemos

c1 = д0⟨ab⟩ + д1⟨ac⟩ + д2⟨ad⟩ + д3⟨bc⟩ + д4⟨bd⟩ + д5⟨cd⟩

tal que ∂(c1) = c0, para alguma 0-cadeia c0.

Desde que

∂(c1) = (−д0−д1−д2)⟨a⟩+(д0−д3−д4)⟨b⟩+(д1+д3−д5)⟨c⟩+(д2+д4+д5)⟨d⟩,

procuramos дi , i = 1, . . . , 5, tais que

−д0 − д1 − д2 = α0, д0 − д3 − д4 = α1, д1 + д3 − д5 = α2, д2 + д4 + д5 = α3.

Por escalonamento, obtemos que o sistema só terá solução se α0 + α1 + α2 +α3 = 0 e neste caso ∂(c1) = (−α1 − α2 − α3)⟨a⟩ + α1⟨b⟩ + α2⟨c⟩ + α3⟨d⟩. AssimB0(K) ≅ Z⊕Z⊕Z e é gerado por −⟨a⟩ + ⟨b⟩,−⟨a⟩ + ⟨c⟩,−⟨a⟩ + ⟨d⟩.

Mas Z0(K) é gerado por ⟨a⟩, ⟨b⟩, ⟨c⟩, ⟨d⟩, ou ainda, por

⟨a⟩,−⟨a⟩ + ⟨b⟩,−⟨a⟩ + ⟨c⟩,−⟨a⟩ + ⟨d⟩ .De fato,

α0⟨a⟩ + α1⟨b⟩ + α2⟨c⟩ + α3⟨d⟩ == γ0⟨a⟩ + γ1(−⟨a⟩ + ⟨b⟩) + γ2(−⟨a⟩ + ⟨c⟩) + γ3(−⟨a⟩ + ⟨d⟩)

se, e somente se, γ0 − γ1 − γ2 − γ3 = α0, γ1 = α1, γ2 = α2 e γ3 = α3. Portantoγ0 = α0 + α1 + α2 + α3, γ1 = α1, γ2 = α2 e γ3 = α3.

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ii

ii


Logo H0(K) = Z0(K)B0(K) = [⟨a⟩ + B0(K)] ≅ Z.

Exemplo 4.39. Seja P2 o plano projetivo, representado pelo diagrama:

c

d e

a

af

fb

b

com orientação induzida por a < b < c < d < e < f . Como não há 3-simplexos,temos novamente que B2(P2) = 0.Vamos calcular Z2(P2). Observe que cada 1-simplexo σ 1 é face de exata-

mente dois 2-simplexos σ21 e σ22 . Calculemos alguns números de incidência dos1-simplexos com os 2-simplexos dos quais são faces.

Quando σ 1 é ⟨de⟩, ⟨e f ⟩, ⟨d f ⟩, ⟨bc⟩, ⟨cd⟩, ⟨bd⟩ ou ⟨ab⟩ então:

- ⟨de⟩ é face de ⟨bde⟩ e ⟨cde⟩, [⟨bde⟩, ⟨de⟩] = 1 e [⟨cde⟩, ⟨de⟩] = 1,

- ⟨e f ⟩ é face de ⟨be f ⟩ e ⟨ae f ⟩, [⟨be f ⟩, ⟨e f ⟩] = 1 e [⟨ae f ⟩, ⟨e f ⟩] = 1,

- ⟨d f ⟩ é face de ⟨ad f ⟩ e ⟨cd f ⟩, [⟨ad f ⟩, ⟨d f ⟩] = 1 e [⟨cd f ⟩, ⟨d f ⟩] = 1,

- ⟨bc⟩ é face de ⟨bc f ⟩ e ⟨abc⟩, [⟨bc f ⟩, ⟨bc⟩] = 1 e [⟨abc⟩, ⟨bc⟩] = 1,

- ⟨cd⟩ é face de ⟨cd f ⟩ e ⟨cde⟩, [⟨cd f ⟩, ⟨cd⟩] = 1 e [⟨cde⟩, ⟨cd⟩] = 1,

- ⟨bd⟩ é face de ⟨abd⟩ e ⟨bde⟩, [⟨abd⟩, ⟨bd⟩] = 1 e [⟨bde⟩, ⟨bd⟩] = 1,

- ⟨ab⟩ é face de ⟨abc⟩ e ⟨abd⟩, [⟨abc⟩, ⟨ab⟩] = 1 e [⟨abd⟩, ⟨ab⟩] = 1.

Quando σ 1 é ⟨ac⟩, ⟨ad⟩, ⟨c f ⟩, ⟨ae⟩, ⟨ce⟩ ou ⟨be⟩ então:

- ⟨ac⟩ é face de ⟨ace⟩ e ⟨abc⟩, [⟨ace⟩, ⟨ac⟩] = 1 e [⟨abc⟩, ⟨ac⟩] = −1,

- ⟨ad⟩ é face de ⟨ad f ⟩ e ⟨abd⟩, [⟨ad f ⟩, ⟨ad⟩] = 1 e [⟨abd⟩, ⟨ad⟩] = −1,

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ii

ii


- ⟨c f ⟩ é face de ⟨cd f ⟩ e ⟨bc f ⟩, [⟨cd f ⟩, ⟨c f ⟩] = −1 e [⟨bc f ⟩, ⟨c f ⟩] = 1,

- ⟨ae⟩ é face de ⟨ace⟩ e ⟨ae f ⟩, [⟨ace⟩, ⟨ae⟩] = −1 e [⟨ae f ⟩, ⟨ae⟩] = 1,

- ⟨ce⟩ é face de ⟨ace⟩ e ⟨cde⟩, [⟨ace⟩, ⟨ce⟩] = 1 e [⟨cde⟩, ⟨ce⟩] = −1,

- ⟨be⟩ é face de ⟨be f ⟩ e ⟨bde⟩, [⟨be f ⟩, ⟨be⟩] = 1 e [⟨bde⟩, ⟨be⟩] = −1.

Quando σ 1 é ⟨a f ⟩ ou ⟨b f ⟩ então:

- ⟨a f ⟩ é face de ⟨ad f ⟩ e ⟨ae f ⟩, e [⟨ad f ⟩, ⟨a f ⟩] = −1 e [⟨ae f ⟩, ⟨a f ⟩] = −1,

- ⟨b f ⟩ é face de ⟨bc f ⟩ e ⟨be f ⟩, e [⟨bc f ⟩, ⟨b f ⟩] = −1 e [⟨be f ⟩, ⟨b f ⟩] = −1.

Podemos então dividir os 1-simplexos σ 1 em três tipos:

1. Quando σ 1 é ⟨de⟩, ⟨e f ⟩, ⟨d f ⟩, ⟨bc⟩, ⟨cd⟩, ⟨bd⟩ ou ⟨ab⟩.

2. Quando σ 1 é ⟨ac⟩, ⟨ad⟩, ⟨c f ⟩, ⟨ae⟩, ⟨ce⟩ ou ⟨be⟩.

3. Quando σ 1 é ⟨a f ⟩ ou ⟨b f ⟩.

Vamos obter condições para quew = ∑10i=1 дiσ2i seja um 2-ciclo. Convencio-namos:

σ21 = ⟨ad f ⟩, σ22 = ⟨cd f ⟩, σ23 = ⟨bc f ⟩, σ24 = ⟨abc⟩, σ25 = ⟨ace⟩,

σ26 = ⟨ae f ⟩, σ27 = ⟨be f ⟩, σ28 = ⟨bde⟩, σ29 = ⟨abd⟩, σ210 = ⟨cde⟩.

Então ∂(w) = 0, isto é,∑10i=1∑15j=1[σ2i , σ 1j]дiσ 1j = 0, o que implica

(д8 + д10)⟨de⟩ + (д6 + д7)⟨e f ⟩ + (д1 + д2)⟨d f ⟩ + (д3 + д4)⟨bc⟩+ (д2 + д10)⟨cd⟩ + (д8 + д9)⟨bd⟩ + (д4 + д9)⟨ab⟩ + (д5 − д4)⟨ac⟩+ (д1 − д9)⟨ad⟩ + (д3 − д2)⟨c f ⟩ + (д6 − д5)⟨ae⟩ + (д5 − д10)⟨ce⟩

+ (д7 − д8)⟨be⟩ + (−д1 − д6)⟨a f ⟩ + (−д3 − д7)⟨b f ⟩ = 0.

Assim д8 + д10 = д6 + д7 = д1 + д2 = д3 + д4 = д2 + д10 = д8 + д9 = д4 + д9 =д5− д4 = д1− д9 = д3− д2 = д6− д5 = д5− д10 = д7− д8 = −д1− д6 = −д3− д7 = 0,

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ou equivalentemente, дi = 0, i = 1, . . . , 10. Portanto w = 0 e Z2(P2) = 0 e daíH2(P2) = 0.Considere z = ⟨de⟩ + ⟨e f ⟩ + ⟨ f d⟩. Pode-se vericar que qualquer 1-ciclo é

homólogo a um múltiplo de z. Assim temos duas classes de 1-cadeias que são1-ciclos: a primeira classe tem como representante z ou ummúltiplo ímpar de z.

Por exemplo: w = ⟨bc⟩ + ⟨ce⟩ + ⟨eb⟩ é homólogo a (2д − 1)z, pois

w−(2д−1)z = ∂((д−1)⟨ad f ⟩+д⟨cd f ⟩+д⟨bc f ⟩+(1−д)⟨abc⟩+(1−д)⟨ace⟩+ (1 − д)⟨ae f ⟩ − д⟨be f ⟩ + (1 − д)⟨bde⟩ + (д − 1)⟨abd⟩ − д⟨cde⟩).

A outra classe é dada pelos 1-ciclos que são homólogos a um múltiplo parde z. Quando isso acontece, estes são bordos, isto é, representam o elementoneutro do quociente H1(P2). De fato,

2дz = ∂(−д⟨ad f ⟩− д⟨cd f ⟩+ д⟨ae f ⟩+ д⟨be f ⟩+ д⟨bde⟩+ д⟨cde⟩− д⟨abd⟩− д⟨bc f ⟩ + д⟨ace⟩ + д⟨abc⟩) = ∂(w).

Assim (2д + 1)z − z = 2дz = ∂(w), ou seja, (2д + 1)z é homólogo a z eportanto H1(P2) ≅ Z2.

Como exercício prove que H0(P2) ≅ Z.

4.2. O GRUPO DE HOMOLOGIA COMO INVARIANTE TOPOLÓGICO

Já denimos grupos de homologia simplicial de um dado complexo K, de-notado por H∗(K ,Z) ou simplesmente, H∗(K). Dada uma superfície S, é pos-sível dar uma triangulação para S e obter os grupos de homologia do complexoK a partir da triangulação de S. Calculamos os grupos de homologia de al-gumas superfícies. Agora vamos ver os grupos de homologia como invariantetopológico.

Dados dois complexos K e L e uma função contínua f ∶ K → L, associare-mos os respectivos i-ésimos grupos de homologia simplicial Hi(K) e Hi(L) eo homomorsmo induzido f∗ ∶ Hi(K)→ Hi(L).

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ii


O objetivo desse capítulo é provar que se f é um homeomorsmo então f∗

é um isomorsmo. Dessa forma, conclui-se que se f∗ não é um isomorsmoentão f não é um homeomorsmo.

Definição 4.40. Sejam K e L complexos e ϕp∞

p=0 uma sequência de homo-morsmos ϕp ∶ Cp(K)→ Cp(L), p ≥ 1 tal que o diagrama

Cp(K)

∂

ϕp // Cp(L)

∂

Cp−1(K)

ϕp−1// Cp−1(L)

comuta, isto é, ∂ϕp = ϕp−1∂. A sequência ϕp∞

p=0 é chamada uma aplicação decadeias.

Observação. Se p é maior que as dimensões de K e L, então ϕp é o homomor-smo nulo.

Teorema 4.41. Uma aplicação de cadeias ϕp∞

p=0 de um complexo K em umcomplexo L induz homomorsmos (ϕp)∗ ∶ Hp(K)→ Hp(L), para cada p ≥ 0.

Demonstração. Provemos primeiramente que ϕp(Bp(K)) ⊂ Bp(L). Para isso,tomamos bp = ∂(cp+1) ∈ Bp(K), qualquer.Então ϕp(bp) = ϕp(∂(cp+1)) = ∂ϕp+1(cp+1). Logo ϕp(bp) é o bordo de

uma (p + 1)-cadeia de Cp+1(L).Além disso, se p = 0, então a sequência semi-exata é da forma

⋯ // C1(K) ∂ // C0(K) ∂ // C−1(K) = 0.

Logo, por denição, qualquer z ∈ Z0(K) é tal que ∂z = 0. Assim Z0(K) =C0(K) e Z0(L) = C0(L), logo ϕ0(Z0(K)) ⊂ Z0(L).Se p ≥ 1, seja zp ∈ Zp(K) e como ∂ϕp(zp) = ϕp+1∂(zp) = ϕp+1(0) = 0,

segue que ϕp(zp) ∈ Zp(L). Dessa forma, concluímos que ϕp(Zp(K)) ⊂ Zp(L),∀p ≥ 0.Denimos assim (ϕp)∗ ∶ Hp(K) → Hp(L) por (ϕp)∗(zp + Bp(K)) =

ϕp(zp) + Bp(L).

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Definição 4.42. Uma aplicação simplicial de um complexoK emum complexoL é uma função ϕ, do conjunto dos vértices de K para o conjunto dos vérticesde L, satisfazendo a seguinte condição: se σ p = ⟨v0 . . . vp⟩ é um p-simplexode K, então os vértices ϕ(vi), 0 ≤ i ≤ p, são os vértices de um simplexo L

(observe que os vértices ϕ(vi) não precisam ser distintos). Se os vértices ϕ(vi),0 ≤ i ≤ p, forem todos distintos, então o p-simplexo ⟨ϕ(v0) . . . ϕ(vp)⟩ = ϕ(σ p)é chamado a imagem de σ p. Se ϕ(vi) = ϕ(v j), para algum i ≠ j, dizemos que ϕcolapsa σ p.

Definição 4.43. Sejam ϕ uma aplicação simplicial de K em L e p ≥ 0. Se дσ p éuma p-cadeia elementar, denimos

ϕp(дσ p) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0, se ϕ colapsa σ p,дϕ(σ p), se ϕ não colapsa σ p.

A função ϕp estende-se por linearidade a umhomomorsmo ϕp ∶ Cp(K)→Cp(L) denido por ϕp(∑ дiσ

pi ) = ∑ ϕp(дiσ p

i ).

Exemplo 4.44. Sejam K o 2-esqueleto de um 3-simplexo ⟨abcd⟩ e L o fechode um 2-simplexo ⟨e f h⟩ com orientações a < b < c < d e e < f < h, res-pectivamente.

c

a bd

h

e f

Seja ϕ ∶ K → L denida por ϕ(a) = ϕ(d) = e, ϕ(b) = f e ϕ(c) = h. Asaplicações de cadeias ϕp são dadas por

i) ϕ0(д0⟨a⟩ + д1⟨b⟩ + д2⟨c⟩ + д3⟨d⟩) = (д0 + д3)⟨e⟩ + д1⟨ f ⟩ + д2⟨h⟩.

ii) ϕ1(д0⟨ab⟩+д1⟨ac⟩+д2⟨ad⟩+д3⟨bc⟩+д4⟨bd⟩+д5⟨cd⟩) = д0⟨e f ⟩+д1⟨eh⟩+д3⟨ f h⟩ + д4⟨ f e⟩ + д5⟨he⟩ = (д0 − д4)⟨e f ⟩ + (д1 − д5)⟨eh⟩ + д3⟨ f h⟩.

iii) ϕ2(д0⟨abc⟩ + д1⟨abd⟩ + д2⟨bcd⟩ + д3⟨acd⟩) = д0⟨e f h⟩ + д2⟨ f he⟩ =(д0 + д2)⟨e f h⟩.

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Teorema 4.45. Se ϕ ∶ K → L é uma aplicação simplicial, então a sequênciaϕp

∞

p=0 é uma aplicação de cadeias.

Demonstração. Sejam дσ p uma p-cadeia elementar qualquer com p ≥ 1 e σ p =+⟨v0 . . . vp⟩. Se ϕ não colapsa σ p, então ϕ(σ p) = ⟨ϕ(v0) . . . ϕ(vp)⟩ é o p-simplexo denotado por ϕ(σ)p. Consideremos σ

pi a (p − 1)-face de σ p, obtida

eliminando-se o i-ésimo vértice vi , ou seja, σpi = ⟨v0 . . . vi−1vivi+1 . . . vp⟩ e seja

ϕ(σ)pi = ϕ(σpi ) = ⟨ϕ(v0) . . . ϕ(vi−1)ϕ(vi)ϕ(vi+1) . . . ϕ(vp)⟩

a (p − 1)-face de ϕ(σ)p, obtida eliminando-se o i-ésimo vértice ϕ(vi). Então

∂ϕp(дσ p) = ∂(дϕ(σ p)) = ∂(дϕ(σ)p) =p

∑i=0

(−1)i д(ϕ(σ)pi ) =

p

∑i=0

(−1)i дϕ(σpi ) = ϕp−1(

p

∑i=0

(−1)i дσpi ) = ϕp−1∂(дσ p).

Se ϕ colapsa σ p, por exemplo ϕ(v0) = ϕ(v1), então ϕp(дσ p) = 0. Assim∂ϕp(дσ p) = 0. Por outro lado, observemos que σ

p0 = ⟨v0v1 . . . vp⟩ e σ

p1 =

⟨v0v1v2 . . . vp⟩ e como ϕ(v0) = ϕ(v1) então ϕ(σp0 ) = ϕ(σ

p1 ). Além disso para

i ≥ 2, σpi contém v0 e v1 o que implica que ϕ colapsa σ

pi para i ≥ 2. Logo

∑pi=2(−1)i дϕ(σ

pi ) = 0. Assim

ϕp−1∂(дσ p) =p

∑i=0

(−1)i дϕ(σpi ) = дϕ(σ

p0 ) − дϕ(σ

p1 ) = д(ϕ(σ

p0 ) − ϕ(σ

p1 )) = 0,

e o teorema está provado.

Seja σn = ⟨v0 . . . vn⟩ um n-simplexo. O baricentro de σn é o ponto σn =1

n+1(v0 + v1 + ⋯ + vn). Assim o baricentro de um 0-simplexo ⟨v⟩ é v, o de 1-simplexo ⟨v0v1⟩ é seu ponto médio e o de um 2-simplexo ⟨v0v1v2⟩ é seu centrode massa.

A primeira subdivisão baricêntrica K′ de um complexo simplicial K é ocomplexo simplicial formado pelos vértices σ0, σ ∈ K e pelos simplexos σ q =⟨σ0σ1 . . . σq⟩ onde σ0 < σ1 < ⋯ < σq e σ0, σ1, . . . , σq são simplexos de K. Suces-sivamente, podemos denir a r-ésima subdivisão baricêntrica de K, para r ≥ 1.

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Observemos que se K′ é uma subdivisão baricêntrica de K então ∣K∣ ⊂ ∣K′∣.De fato, se x ∈ ∣K∣ então x ∈ σ , para algum σ ∈ K. Tomemos σ como sendo o demenor dimensão para o qual isto é verdadeiro. Assim, se σ = ⟨v0 . . . vp⟩ entãox = λ0v0 +⋯ + λpvp, onde as coordenadas baricêntricas são todas positivas.

Vamos assumir λ0 ≥ λ1 ≥ ⋯ ≥ λp e seja σi = ⟨v0 . . . vi⟩, i = 0, . . . , p. Entãox ∈ ⟨σ0σ1 . . . σp⟩, pois x = (λ0 − λ1)σ0 + 2(λ1 − λ2)σ1 +⋯ + p(λp−1 − λp)σp−1 +(p + 1)λp σp.

Definição 4.46. Sejam X ,Y dois espaços topológicos. Duas aplicações contí-nuas f , д ∶ X → Y dizem-se homotópicas quando existe uma aplicação contí-nua H ∶ X × I → Y , tal que H(x , 0) = f (x) e H(x , 1) = д(x), para todo x ∈ X.A aplicação H chama-se então uma homotopia entre f e д. Escreve-se, nestecaso, H ∶ f ≃ д, ou simplesmente f ≃ д.

Vale o seguinte resultado, cuja demonstração será omitida (veja o teoremade aproximação simplicial em [1]):

Teorema 4.47. Sejam ∣K∣ e ∣L∣ poliedros com triangulações K e L respectiva-mente e f ∶ ∣K∣ → ∣L∣ uma função contínua. Então existem um inteiro r e umaaplicação simplicial д ∶ Kr → L homotópica a f , onde Kr é a r-ésima subdivisãobaricêntrica de K.

Pelos Teoremas 4.41 e 4.45, a sequência дp∞

p=0 dada no Teorema 4.47 éuma aplicação de cadeias, que induz homomorsmos (дp)

∗∶ Hp(K)→ Hp(L)

em cada dimensão p. A sequência (дp)∗∞p=0 é chamada sequência de homo-

morsmos induzidos por f e será denotada por ( fp)∗.

Lema 4.48. Sejam f ∶ ∣K∣ → ∣L∣ e h ∶ ∣L∣ → ∣M∣ contínuas. Então [(h f )p]∗ =(hp)

∗ ( fp)

∗.

Demonstração. Tomemoswp+Bp(K) um elemento qualquer deHp(K). Então

[(h f )p]∗(wp + Bp(K)) = (h f )p(wp)+ Bp(M) = hp( fp(wp))+ Bp(M)= (hp)

∗( fp(wp) + Bp(L)) = (hp)

∗ ( fp)

∗(wp + Bp(K)).

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Lema 4.49. Seja id ∶ ∣K∣→ ∣K∣ a função identidade de ∣K∣. Então [(id∣K∣)p]∗ =idHp(K).

Demonstração. Tomemoswp+Bp(K) um elemento qualquer deHp(K). Então

[(id∣K∣)p]∗(wp + Bp(K)) = (id∣K∣)p(wp) + Bp(K) == wp + Bp(K) = idHp(K)(wp + Bp(K)).

O teorema abaixo nos permite observar que o grupo de homologia simpli-cial é um invariante topológico.

Teorema 4.50. Se ∣K∣ e ∣L∣ são homeomorfos, então Hp(K) e Hp(L) são iso-morfos, para cada p.

Demonstração. Sejam f ∶ ∣K∣ → ∣L∣ um homeomorsmo e f −1 ∶ ∣L∣ → ∣K∣ seuinverso. Assim f e f −1 são contínuas, f f −1 = id∣L∣ e f −1 f = id∣K∣. Observemosque ((id∣L∣)p)∗ = idHp(L) pois

((id∣L∣)p)∗(wp + Bp(L)) = (id∣L∣)p(wp) + Bp(L) = wp + Bp(L).

De modo análogo ((id∣K∣)p)∗ = idHp(K). Pelo Lema 4.48, temos

( fp)∗(( f −1)p)∗ = (( f f −1)p)∗ = ((id∣L∣)p)∗ = idHp(L),

(( f −1)p)∗( fp)∗= (( f −1 f )p)∗ = ((id∣K∣)p)∗ = idHp(K).

Portanto, ( fp)∗ ∶ Hp(K)→ Hp(L) é um isomorsmo.

Teorema 4.51 (Teorema da Invariância da Dimensão). Sejamm, n inteiros po-sitivos. Se m ≠ n, então:

a) Sm e Sn não são homeomorfos.

b) Rm e Rn não são homeomorfos.

Demonstração. (a) Suponha que Sm e Sn são homeomorfos. Então existe umhomeomorsmo f ∶ Sm → Sn, cuja induzida ( fp)∗ ∶ Hp(Sm) → Hp(Sn) é

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um isomorsmo, para todo p. Suponha que m > n. Pela Proposição 4.36,Hm(Sm) ≅ Z. Por outro lado Hm(Sn) ≅ 0 pois m > n. O caso m < n é análogo.

(b) Seja m ≠ n e suponha que Rm e Rn são homeomorfos. Então a com-pacticação por um ponto (vide [8, p. 183]) de Rm e Rn respectivamente sãohomeomorfos. Logo Sm e Sn são homeomorfos, com m ≠ n, o que é um ab-surdo pelo item (a).

Definição 4.52. Seja f ∶ Sn → Sn, n ≥ 1, uma aplicação contínua. Considere-mos uma triangulação orientável K de Sn e ϕ ∶ Hn(Sn) → Z um isomorsmo.Seja [Sn] a classe deHn(Sn) tal que ϕ([Sn]) = 1. Essa classe é chamada de classefundamental de Sn. O inteiro p tal que f∗([Sn]) = p[Sn] é chamado o grau def , denotado por deg( f ).

O próximo teorema usa técnicas avançadas na demonstração que não serãovistas neste texto. O leitor interessado poderá consultar [4, II.8.4].

Teorema 4.53 (Teorema de Classificação de Hopf). Duas aplicações f e д deSn em Sn são homotópicas se, e somente se, têm o mesmo grau.

Proposição 4.54. Se f , д ∶ Sn → Sn são funções contínuas e h ∶ Sn → Sn é umhomeomorsmo então:

a) deg( f д) = deg( f )deg(д).

b) deg(h) = ±1.

Demonstração. (a) Sejam K uma triangulação orientável de Sn e ϕ ∶ Hn(Sn)→Z um isomorsmo. Sejam ( fn)∗ ∶ Hn(Sn) → Hn(Sn) e (дn)∗ ∶ Hn(Sn) →Hn(Sn) os homomorsmos induzidos de f e д, respectivamente. Então existemp, q inteiros tais que ( fn)∗([Sn]) = p[Sn] e (дn)∗([Sn]) = q[Sn] onde p =deg( f ) e q = deg(д).Assim,

(( f д)n)∗([Sn]) = ( fn)∗ (дn)∗([Sn]) = ( fn)∗((дn)∗([Sn]))= ( fn)∗(q[Sn]) = q( fn)∗([Sn]) = qp[Sn].

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Portanto deg( f д) = pq = deg( f )deg(д).(b)Como h ∶ Sn → Sn é umhomeomorsmo, então hh−1 = idSn . Portanto

deg(h)deg(h−1) = deg(h h−1) = deg(idSn) = 1. Observando que o grau de hé um número inteiro, segue o resultado.

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5CARACTERÍSTICA DE EULER

O invariante topológico que apresentaremos a seguir, a característica de Eu-ler, destaca-se pelo fato de ser apenas um número com o qual obtemos o im-portante teorema de classicação de superfícies compactas.

Para maiores detalhes veja [3].

Definição 5.1. Seja P um poliedro associado a um complexo simplicial K dedimensão 3. Denotemos por v, o número de vértices; f o número de faces ee o número de arestas do poliedro. O número χ(P) = v − e + f é chamadocaracterística de Euler de P.

Em 1750, Euler enviou uma carta a Goldbach onde falava que χ = 2, paraqualquer poliedro. Em 1813, Lhuilier chamou atenção para poliedros do tipoabaixo. Na realidade, na demonstração de Euler ele trabalha apenas com polie-dros convexos.

Exemplo 5.2. O número de vértices, arestas, faces e a característica de Eulerdos seguintes poliedros

são, respectivamente,

v = 16, e = 24, f = 12, χ = 4,v = 20, e = 40, f = 20, χ = 0,v = 6, e = 12, f = 8, χ = 2.

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ii


O próximo passo é calcular a característica de Euler de superfícies. Comoa fórmula depende de vértices, arestas e faces, a maneira de efetuar tal cálculoé considerar uma triangulação da superfície e aplicar a fórmula.

Exemplo 5.3. A esfera S2 com a triangulação

possui χ(S2) = 4 − 6 + 4 = 2.

Exemplo 5.4. O toro T2 com a triangulação

possui χ(T2) = 9 − 27 + 18 = 0.

Exemplo 5.5. A garrafa de Klein KB com a triangulação

possui χ(KB) = 9 − 27 + 18 = 0.

Exemplo 5.6. O plano projetivo P2 possui χ(P2) = 6 − 15 + 10 = 1, com atriangulação abaixo:

a3

a3

a5

a4

a4

a5

a2

a1a0

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ii

Característica de Euler 65

A característica de Euler não depende da triangulação. Depende apenas dasuperfície. Este resultado pode ser provado usando a teoria de homologia.

Por enquanto, vamos dar alguns exemplos ilustrando o fato.

a

aa

a

b b

(a) Esfera (b) Toro (c) Plano projetivo

Exemplo 5.7. Tomemos a esfera S2 com triangulação K (gura (a)).

Suponhamos que a triangulação tenha n linhas verticais e m linhas hori-zontais. Então temos que v = 2 +mn.

Há 3 tipos de arestas: horizontais, verticais e oblíquas. Temos (n + 1)mhorizontais,mn verticais e (n−1)m oblíquas, totalizando ((n+1)+(n−1))m+mn = 3mn.

Em cada “fatia” há 2 + 2(n − 1) faces. Como existem m “fatias”, segue quef = (2 + 2(n − 1))m = 2mn e portanto χ(S2) = 2.

Exemplo 5.8. Consideremos o toro T2 com triangulação K (gura (b)).

Suponhamos que a triangulação tenha n linhas verticais e m linhas hori-zontais. Então temos que v = mn, e = 3mn e f = 2mn. Logo, χ(T2) = 0.

Exemplo 5.9. Seja P2 o plano projetivo com triangulação K (gura (c)).

Suponhamos que a triangulação tenha m círculos concêntricos no interiorde P2 e n diâmetros, de modo que v = 2mn − n + 1, e = 3n(2m − 1) e f =2n(2m − 1). Assim,

χ(P2) = 2mn − n + 1 − 3n(2m − 1) + 2n(2m − 1) = 2mn − n + 1 + n − 2mn = 1.

A partir das superfícies conhecidas, vamos efetuar uma operação, chamadasoma conexa, para obter novas superfícies.

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Intuitivamente, a soma conexa de duas superfícies S1 e S2 é a superfícieS1#S2 obtida retirando-se o interior de dois discos, um em cada superfície, eidenticando-os pelos bordos.

Formalmente temos:

Definição 5.10. Sejam S1 e S2 duas superfícies, compactas e sem bordo. Es-colhemos D1 ⊂ S1 e D2 ⊂ S2, subconjuntos homeomorfos ao disco D2 e sejamh1 ∶ D1 → D2 e h2 ∶ D2 → D2, os respectivos homeomorsmos.

Denimos a soma conexa de S1 e S2, e denotamos por S1#S2, sendo oconjunto

(S1 − intD1) ∪ (S2 − intD2)∼ ,

onde a relação x ∼ y é dada por:

a) se x , y estão no complementar de ∂D1 ∪ ∂D2 então x ∼ y⇔ x = y;

b) caso contrário, x ∼ y⇔ h1(x) = h2(y).

É possível mostrar que a soma conexa não depende da escolha dos subcon-juntos D1 e D2 e que a soma conexa é uma superfície.

Lembramos que consideramos em S1#S2 a topologia quociente.

Exemplo 5.11. Denotando S1 = S2 = T2 então S1#S2 = T2#T2 é dada pelagura (c) abaixo:

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Exemplo 5.12. P2#P2 = KB. Lembramos que P2 pode ser obtido de um discoD2 comos lados identicados, comona Figura 5.1(a). RetiramosD1 ⊂ D2 eD2 ⊂D2, subconjuntos homeomorfos ao disco D2, como na Figura 5.1(b), para obtera Figura 5.1(c). Identicando-se os lados sem seta da Figura 5.1(c) obtemos aFigura 5.1(d). Tomando a diagonal como na Figura 5.1(e) e separando as gurasao longo dessa diagonal obtemos a Figura 5.1(f). Dispondo a Figura 5.1(f) comona Figura 5.1(g) e identicando os lados com uma seta da Figura 5.1(g) obtemosa Figura 5.1(h) que pode ser representada como a Figura 5.1(i) que descreve agarrafa de Klein KB.

Figura 5.1: Garrafa de Klein como soma conexa de dois planos projetivos

(a) (b)

(c) (d) (e)

(f) (g) (h) (i)

Proposição 5.13. Sejam S1 e S2 duas superfícies fechadas (compactas e sembordo). Então χ(S1#S2) = χ(S1) + χ(S2) − 2.

Demonstração. Tomemos K1 e K2 triangulações de S1 e S2, respectivamente.Sejam χ(S1) = v1 − e1 + f1 e χ(S2) = v2 − e2 + f2. K′

1 = K1 − ⟨a0a1a2⟩ é umatriangulação de S1−intD2 eK′

2 = K2−⟨b0b1b2⟩ é uma triangulação de S2−intD2.

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Tomemos K = K′

1 ∪ K′

2∼ , onde ai ∼ bi , i = 0, 1, 2 e ⟨aia j⟩ ∼ ⟨bib j⟩, i , j =

0, 1, 2. Como K é uma triangulação para S1#S2, então

χ(S1#S2) = (v1 + v2 − 3) − (e1 + e2 − 3) + (f1 + f2 − 2) = χ(S1) + χ(S2) − 2.

Para calcularmos a característica de Euler de superfícies fechadas usaremoso seguinte resultado que classica as superfícies por homeomorsmos. Umaprova desse resultado pode ser encontrada em [6].

Teorema 5.14. Toda superfície fechada S é homeomorfa à esfera ou à somaconexa de toros ou à soma conexa de planos projetivos, sendo a esfera e a somaconexa de toros orientáveis e a soma conexa de planos projetivos não orientável.

Teorema 5.15. A característica de Euler da esfera é 2, da soma conexa de n-toros é 2 − 2n, da soma conexa de n-planos projetivos é 2 − n, da soma de umplano projetivo e n-toros é 1− 2n e, por m, da soma conexa de uma garrafa deKlein e n-toros é −2n.

Demonstração. Já vimos que χ(S2) = 2. Consideremos S = T2#⋯#T2 a somaconexa de n-toros, n ≥ 1. Se n = 1 então χ(S) = χ(T2) = 2 − 2(1) = 0. Supo-nhamos que a armação é válida para um certo n e seja S = T2#⋯#T2 a somaconexa de (n + 1)-toros, que pode ser vista como S = (T2#⋯#T2)#T2, a somaconexa de n-toros e um toro. Logo

χ(S) = χ((T2#⋯#T2)#T2) = χ(T2#⋯#T2) + χ(T2) − 2= 2 − 2n + 0 − 2 = −2n = 2 − 2(n + 1).

Portanto, por indução nita, a característica de Euler da soma conexa de n-toros é χ(T2#⋯#T2) = 2 − 2n,∀n ∈ N. Lembrando que χ(P2) = 1 e χ(KB) = 0e procedendo por indução nita, como zemos para a soma conexa de n-toros,obtemos os resultados desejados.

Nosso próximo passo é provar um Teorema de Classicação de superfíciesfechadas via característica de Euler.

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Teorema 5.16 (classificação de superfícies fechadas via característica de Eu-

ler). Sejam S1 e S2 duas superfícies fechadas. Então S1 é homeomorfa a S2 se, esomente se, χ(S1) = χ(S2) e ambas são orientáveis ou ambas são não orientá-veis.

Demonstração. Sejam S1 e S2 superfícies fechadas, ambas orientáveis, tais queχ(S1) = χ(S2). Desta forma, considere os casos: S1 = T2#⋯#T2 é a soma conexade n-toros ou S1 = S2 e S2 = T2#⋯#T2 é a soma conexa de n-toros ou S2 = S2.Se S1 ≠ S2 então

i) se uma delas é a esfera, por exemplo, S1 = S2 então S2 = T2#⋯#T2 é asoma conexa de n-toros. Mas χ(S1) = χ(S2). Logo 2 = 2 − 2n o queimplica n = 0. Absurdo.

ii) se uma delas é a soma conexa de n-toros, S1 = T2#⋯#T2 então S2 =T2#⋯#T2 é a soma conexa dem-toros, comm ≠ n. Ora, se χ(S1) = χ(S2)então 2 − 2n = 2 − 2m, o que implica m = n. Contradição.

Sejam S1 e S2 superfícies fechadas, ambas não orientáveis, tais que χ(S1) =χ(S2). O resultado segue analogamente observando apenas que, nesse caso, assuperfícies devem ser S1 = P2#⋯#P2 a soma conexa de n-planos projetivos eS2 = P2#⋯#P2 a soma conexa de n-planos projetivos.

Definição 5.17. Seja K um complexo orientado. Uma família z1p , . . . , zrp dep-ciclos é linearmente independente em relação à homologia, ou linearmenteindependente mod Bp(K), se sempre que∑r

i=1 дizip ∈ Bp(K) implicar д1 = ⋯ =

дr = 0. O p-ésimo número de Betti é o maior inteiro r para o qual existem r

p-ciclos linearmente independentes mod Bp(K).Notação: Rp(K) é o p-ésimo número de Betti de K.

Observação. Para o próximo teorema, consideraremos os grupos de homolo-gia com coecientes em Q. A razão disso é que os grupos de homologia comcoecientes emQ são espaços vetoriais sobreQ. É possível mostrar que Rp(K)não se altera com a mudança de coecientes. (veja [1, p. 26])

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Teorema 5.18 (de Euler–Poincaré). Seja K um complexo orientado de dimen-são n e para p = 0, . . . , n seja αp o número de p-simplexos de K. Então:

n

∑p=0

(−1)pαp =n

∑p=0

(−1)pRp(K).

Demonstração. Para simplicar a notação usaremos Bp = Bp(K), Cp = Cp(K)e Zp = Zp(K), que sãoQ-espaços vetoriais.

∗ Seja d ip um conjunto maximal de p-cadeias tais que nenhuma combi-

nação própria dos d ip’s é um ciclo.

Seja Dp o subespaço de Cp gerado por esses vetores. Então Dp ∩ Zp = 0.Além disso Dp + Zp = Cp, logo Cp = Dp ⊕ Zp. Assim vale a seguinte relação:αp = dimCp = dimDp + dim Zp, logo dim Zp = αp − dimDp, p = 1, . . . , n.Para p = 0, . . . , n − 1, seja bip = ∂(d i

p+1). Armamos que bip é uma base paraBp. Seja v ∈ Bp, ou seja, existe uma (p + 1)-cadeia cp+1 tal que ∂(cp+1) = v.Mas cp+1 ∈ Cp+1 e então notamos que cp+1 = zp+1 + dp+1. Assim v = ∂(cp+1) =∂(zp+1) + ∂(dp+1) = ∂(dp+1). Portanto, bip gera Bp.

Mostremos agora que bip é linearmente independente.Suponhamos ∑i αib

ip = 0. Como bip = ∂(d i

p+1) então ∑i αi∂(d ip+1) = 0, o

que implica ∂(∑i αidip+1) = 0. Logo∑i αid

ip+1 é um ciclo. Por (∗), ∑i αid

ip+1 é

uma combinação linear trivial, logo os αi ’s são nulos.

Seja z ip, i = 1, . . . , Rp um conjunto maximal de p-ciclos linearmenteindependentes mod Bp. Estes ciclos geram um subespaço Gp de Zp e Zp =Gp ⊕ Bp , p = 0, . . . , n − 1.Observemos que Bp ⊂ Zp. Os ciclos que não são bordos pertencem a Gp,

poisGp é gerado por z ip, que são p-ciclos linearmente independentesmod Bp.Umelemento v ∈ Gp é da forma v = ∑i дiz

ip. Logo se v ∈ Bp, então дi = 0 e v = 0.

Portanto segue o resultado. Assim, dim Zp = dimGp + dimBp = Rp + dimBp.Então Rp = dim Zp − dimBp = αp − dimDp − dimBp, 1 ≤ p ≤ n + 1.Observe que Bp é gerado pelos bordos das cadeias elementares ∂(1σ p+1

i ) =∑ ηi j(p)σ

p

j onde (ηi j(p)) = η(p) é a p-ésima matriz de incidência, isto é,ηi j(p) = [σ p+1

i , σ p

j ]. Então dimBp = posto η(p).

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Como o número de d ip+1 é omesmo que o de b

ip, então dimDp+1 = dimBp =

posto η(p), p = 0, . . . , n − 1. Então

Rp = αp − dimDp − dimBp = αp − posto η(p − 1) − posto η(p), 1 ≤ p ≤ n − 1.

Observe que R0 = dim Z0 − dimB0 = α0 − posto η(0) e Rn = dim Zn =αn − dimDn = αn − posto η(n − 1). Assim,

n

∑p=0

(−1)pRp(K) = R0(K) − R1(K) +⋯ + (−1)n−1Rn−1(K) + (−1)nRn(K) =

α0−posto η(0)−(α1−posto η(0)−posto η(1))+(α2−posto η(1)−posto η(2))

−⋯+(−1)n−1(αn−1−posto η(n−2)−posto η(n−1))+(−1)n(αn−posto η(n−1))

= α0 − α1 +⋯ + (−1)n−1αn−1 + (−1)nαn =n

∑p=0

(−1)pαp ,

o que naliza a prova do teorema.

Definição 5.19. Se K é um complexo de dimensão n, o número

χ(K) =n

∑p=0

(−1)pRp(K)

é chamado a característica de Euler de K.

Usando os grupos de homologia com coecientes emZ de algumas superfí-cies, apresentadas no capítulo anterior, e oTeoremadosCoecientesUniversais,que assumiremos conhecido (veja [3, p. 195]), vamos calcular as característicasde Euler usando o número de Betti.

1. A esfera S2 tem característica de Euler χ(S2) = 2, pois seus grupos de homo-logia são

H0(S2,Q) = Q, H1(S2,Q) = 0, H2(S2,Q) = Q.

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2. O toro T2 tem característica de Euler χ(T2) = 0, já que seus grupos dehomologia são

H0(T2,Q) = Q, H1(T2,Q) = Q⊕Q, H2(T2,Q) = Q.

3. Por m, para o plano projetivo P2 temos χ(P2) = 1, pois

H0(P2,Q) = Q, H1(P2,Q) = 0, H2(P2,Q) = 0.

Observação. No caso de uma superfície S, usando a denição acima, temosχ(S) = ∑2p=0(−1)pRp. Pelo Teorema de Euler–Poincaré (Teorema 5.18), temosque χ(S) = ∑2p=0(−1)pαp, onde αp é o número de p-simplexos, ou seja, α0 éo número de vértices, α1 é o número de arestas e α2 é o número de triângulos.Substituindo, temos que

χ(S) = (−1)0α0 + (−1)1α1 + (−1)2α2 = v − e + f .

Lembrando que se S1 e S2 são homeomorfas, então os grupos de homolo-gias Hi(S1) e Hi(S2) são isomorfos, para i = 0, 1, 2, segue que χ(S1) = χ(S2),demonstrando então que a característica de Euler é um invariante topológico.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] CROOM, F. H. Basic Concepts of Algebraic Topology. Undergraduate Textsin Mathematics, Springer Verlag, 1978.

[2] GIBLIN, P. J. Graphs, Surfaces and Homology. Chapman and Hall Ltd,London, 1981.

[3] HATCHER, A. Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge UniversityPress, 2001.

[4] HU, S-T. Homotopy theory. Academic Press Inc., NY, 1959.

[5] LIMA, E. L. Espaços Métricos. Projeto Euclides, IMPA, 2009.

[6] MASSEY, W. S. Algebraic Topology: An Introduction. Harcourt Brace &World, Inc., 1967.

[7] MUNKRES, J. R. Topology: A First Course. Prentice Hall, Inc., 1975.

[8] . Elements of Algebraic Topology.e Benjamin/Cummings PublishingCompany, Inc, 1984.

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ÍNDICE REMISSIVO

A

aplicaçãode cadeias, 50simplicial, 51

B

baricentro, 52bola aberta, 6bordo, 36

∂, 35

C

cadeia(s), 34aplicação de, 50elementar(es), 35

caminho, 7característica de Euler, 57, 62, 65ciclo(s), 36

homólogos, 36, 44circunferência, 5, 8cisão, 11classe fundamental, 55complexo simplicial, 30

esqueleto, 31orientado, 32

conexão, 11conjunto

aberto, 6

denso, 7fechado, 6fecho de um, 7, 13geom. independente, 29

continuidade, 7

E

esfera, 9, 31, 44, 58espaço

conexo, 11por caminhos, 7, 23

métrico, 5topológico, 6

esqueleto, 31

F

face, 30faixa de Möebius, 40, 41, 43fecho, 7, 13

de um simplexo, 31função contínua, 7

G

garrafa de Klein, 39, 58grau, 55grupo

de cadeias, 35de homologia, 37, 49

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simplicial, 49fundamental, 17, 20

H

homeomorsmo, 7homologia

grupo de, 37, 49simplicial, 29, 49

homomorsmoinduzido, 26, 49

homotopia, 18, 53

L

laço(s), 17homotópicos, 18

Lema da Colagem, 7

M

métrica, 5do máximo, 5

N

númerode Betti, 63de incidência, 33, 47

O

operador bordo ∂, 35orientação, 32

P

plano projetivo, 39, 42, 47, 58projeção estereográca, 9pseudovariedade, 39

orientável, 41

S

simplexo, 29soma conexa, 60subdivisão baricêntrica, 52superfície, 40

fechada, 61soma conexa, 60

T

Teoremada Invar. da Dimensão, 54de classicaçãode Hopf, 55de superfícies fechadas, 62

de Euler–Poincaré, 64do Valor Intermediário, 11

topologiainduzida, 6, 11quociente, 60

toro, 39, 41, 58triangulação, 31

V

variedade, 39

Documents

Invariantes Topológicos.pdf