Discretização de problemas semilineares dissipativos ... · 1.5 'Variedades Invariantes 26 1.6 Semi-continuidade superior 37 1.7 Teoremas de semi-continuidade inferior 38 2 Problema

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 07/07/2000

Assinatura: -blahÁ e;(, CLA.,n

Discretização de problemas semilineares dissipativos parabólicos e hiperbólicos em

domínios unidimensionais

Simone Mazzini Bruschi

Orientador: Prof. Dr. Alexandre No/asco de Carvalho

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do titulo de Doutor em Ciências — Área: Matemática.

USP — São Carlos Julho de 2000

À minha família e ao Caio

Agradecimentos 1

Agradeço ao Alexandre pela disponibilidade, pela segurança e paciência com que me

orientou neste trabalho.

À minha família e ao Caio pela compreensão, apoio e estímulo que recebi.

Aos meus amigos e às minhas irmãs que tornaram esse período mais agradável.

Aos professores do ICMC-USP que participaram de alguma forma desta etapa e à

todos os professores do Departamento de Matemática de Rio Claro - UNESP.

À Beth, à Laura e a NIarília pela atenção que nos atenderam durante este período.

À Elisa e à Ana que sempre ajudaram para resolver as questões burocráticas.

Aos funcionários do ICMC-USP e do IGCE-UNESP pela disposição que sempre nos

atenderam.

'Este trabalho teve suporte financeiro parcial da FAPESP e da CAPES

Resumo

Neste trabalho estudamos a redução do estudo da dinâmica assintótica de problemas de

evolução semilineares em espaços de dimensão infinita ao estudo da dinâmica assintótica de

problemas de evolução semilineares em espaços de dimensão finita. Mais especificamente,

estaremos lidando com os problemas da condução de calor e de ondas.

A forma escolhida para a redução da dimensão é a discretização. Neste sentido, estu-

damos:

1. A relação entre as dinâmicas assintóticas da equação do calor semilinear em

domínios unidimensionais e sua respectiva discretização. Mostramos que, para passos

suficientemente pequenos, os fluxos sobre os atratores são topologicamente equivalentes,

e

2. A relação entre as dinâmicas assintóticas da equação semilinear de ondas amor-

tecidas em domínios unidimensionais e sua respectiva discretização. Neste caso não foi

possível obter a equivalência topológica entre os fluxos nos atratores, mas ainda é possível

obter relações entre as dinâmicas assintóticas dadas pela semicontinuidade superior e

inferior dos atratores.

Abstract

In this work we study the reduction of the study of the asymptotic dynamics of se-

milinear evolution problems in infinite- dimensional spaces to the study of the asymptotic

dynamics of semilinear evolution problems in finite dimensional spaces. More specifically

we will dealing with the heat conduction and wave problems.

The tool choosen for the reduction of dimension is the discretization. In this way, we

study:

1. The relationship between the asymptotic dynamics of the semilinear heat equation

in one-dimensional domains and its discretization. We prove that for sufficiently small

step-size, the flows on the attractors are topologically equivalente, and

2. The relationship between the asymptotic dynamics of semilinear damped wave

equations in one-dimensional domains and its discretization. In this case it was not

possible to obtain the topological equivalence between the flows in the attractors, however

it is still possible to obtain a relationship between the asymptotic dynamics given by the

upper and lower semicontinuity of attractors.

índice

Introdução

1 Preliminares

1

9

1.1 Introdução 9

1.2 A equação do calor e sua discretização 11

1.3 Problemas de ondas fortemente amortecidas 17

1.3.1 Propriedades espectrais de Cin 18

1.3.2 Existência de solução local, global, regularidade e existência de atra-

tor em 19

1.4 Discretização do problema de ondas fortemente amortecidas 21

1.4.1 Propriedades espectrais de Qin - 22

1.4.2 Existência de atrator para a discretização do problema de ondas

fortemente amortecidas 24

1.5 'Variedades Invariantes 26

1.6 Semi-continuidade superior 37

1.7 Teoremas de semi-continuidade inferior 38

2 Problema Parabólico 57

2.1 Discretização 59

2.2 O Problema Contínuo 62

2.3 Convergência Espectral Uniforme 64

2.3.1 Convergência Uniforme dos Autovalores 65

2.3.2 Convergência Uniforme das Autofunções 66

2.4 Comparação dos Campos Vetoriais 66

3 Semi-continuidade superior e inferior de atratores em ri para o problema

continuo 69


3.1.1 Limitação. uniforme em g, dos atratores na norma Y° 72

3.1.2 Limitação. uniforme em q. dos atratores na norma de Y' 75

3.1.3 Semicontinuidade superior dos atratores .41 em ri = O 79

3.2 Semi-continuidade inferior dos atratores 81

4 Semi-continuidade superior e inferior em q para cada ri 89


4.1.1 Limitação uniforme em ri e em 77 dos atratores .471„ na norma de 11.7,° 91

4.1.2 Limitação uniforme em ri e em q dos atratores n na norma de V 95

4.1.3 Semi-continuidade superior dos atratores Au, em q = 0, para cada n. 98

4.2 Semi-continuidade inferior 100

5 Semi-continuidade superior de atratores dos problemas da onda com

atrito forte e sua respectiva equação discretizada 107

5.1 Comparação dos Semigrupos Lineares 110

5.2 Comparação dos semigrupos não lineares 118

5.3 Semi-continuidade superior dos atratores .41 ei(Á71 ) em H1 x L2 . . . 119

A Convergência em ri e q dos autovalores do problema linearizado 121

A.1 Algumas estimativas 121

A.2 Convergência de autovalores em ri 126

A.3 Convergência de autovalores em q e ri 131

Referências Bibliográficas 136

Introdução

Neste trabalho estudaremos dois problemas relacionados à discretização de equações

de evolução semilineares, um deles relacionado à equação do calor e o outro relacionado

à equação de onda amortecida, ambos em domínio unidimensional. Nos dois casos, nosso

estudo se refere à relação entre a dinâmica assintótica dos problemas continuo e -suà

respectiva discretizacão.

Assim, nosso trabalho tem por objetivo o estudo das seguintes conjecturas -

Conjectura 1. As dinâmicas assintáticas da equação do calor e sua respectiva discreti-

zação espacial são "equivalentes".

e

Conjectura 2. As dinâmicas assintóticas da equação da onda com amortecimento e sua

respectiva discretização espacial são "equivalentes".

O termo "equivalente" terá significado diferente em cada uma das conjecturas acima

e será tornado claro posteriormente.

No que segue passamos a descrever com mais precisão as conjecturas acima e quanto

de cada uma fomos capazes de solucionar.

Relativamente a primeira conjectura, consideramos o seguinte problema parabólico

escalar

ut = a un + f(u), 0 < x < 1, t > 0

ux(0) = ux (1) = 0, t > O, (0.1)

onde a>Oef :R —> Ft é uma função de classe C' satisfazendo a seguinte condição de

dissipatividade

lim sup f (u)lu < —6, (0.2) iuHoo

1

para algum õ > 0. Também, consideramos a discretização semi-implícita (0.1) com p passos igualmente espaçados

= —aa,pU + f(U) (0.3)

onde Ap é a matriz p x p dada por

1 —1 0 O 0 O

—1 2 —1 0 0 0 0 —1 2 0 0 O

Ap = p2 (0:4)

0 0 0 • • • 2 —1 0

0 0 0 • • • —1 2 —1

0 0 0 • • • 0 —1 1

f(U) = (f (ui), • • • f (up))T e U = (ui, ' • • up)T - As hipóteses sobre f garantem a existência de um atrator global A para (0.1) e um

atrator global Ap para (0.3).

Para (0.1) e (0.3), nosso objetivo é mostrar que, se p suficientemente grande, as

dinâmicas assintóticas são topologicamente equivalentes, isto é, para passos suficientemen-

te pequenos as dinâmicas assintóticas de (0.1) e (0.3) são topologicamente equivalentes.

Para ilustrar as diferenças que podem ocorrer entre as dinâmicas de (0.1) e (0.3)

quando os passos não são suficientemente pequenos, consideramos o caso p = 2 em (0.3);

se nós escrevemos, x1 = 1/4, x2 = 3/4 e denotamos por ui (t) = u(xi, t) e u2(t) =

então temos (já com as condições de fronteira incorporadas) que a equação (0.3) torna-se:

= —4a(u1 — u2) + f(u i ), fi z = 4a(u1 — uz) + f (u2)•

(0.5)

Se consideramos f (u) = u — u3, observamos que para qualquer valor de a a equação

(0.5) tem no máximo nove pontos de equilíbrio enquanto o problema (0.1), para valores

pequenos de a, pode ter um número arbitrariamente grande de pontos de equilíbrio (ver

2

[CID. Além disso, para 4a < 1/3 nós temos a existência de pontos de equilíbrio para (0.5)

os quais são estáveis e da forma que U = u2) onde u1 u2. Se a dinâmica de (0.5)

fosse equivalente a dinâmica de (0.1) os pontos de equilíbrio U corresponderiam a pontos

de equilíbrio estáveis e não constantes de (0.1); o que é um padrão. É bem conhecido

(ver [Oh, CHoll que padrões não existem para o problema (0.1). Mesmo para valores de

a não tão pequenos a dinâmica da equação discretizada pode diferir significativamente do

problema contínuo. Isto foi mostrado previamente em [Rol. É claro que um argumento

similar poderia ser desenvolvido para valores maiores de p. A vantagem de p = 2 é a

possibilidade de calcular todos os pontos de equilíbrio de (0.5) o qual dá um descrição

completa do atrator.

Para este problema nós provamos o seguinte resultado comparando as dinâmicas de

(0.1) e (0.3).

Teorema 0.1. Para p suficientemente grande, existe um homeomorfismo H: À -> Ap o

qual leva órbitas em órbitas preservando orientação.

A prova deste resultado requer a imersão do espaço de fase do problema discreto no

espaço de fase do problema contínuo. Desde que o problema contínuo é de dimensão

infinita, o primeiro passo é reduzi-lo a um problema num espaço de dimensão finita e isto

é feito utilizando o Teorema da Variedade Invariante. Infelizmente, se nós consideramos

o problema contínuo sobre uma variedade invariante de dimensão finita fixa n e conside-

ramos a discretização com tamanho de passo n-1, não somos capazes de provar que os

campos de vetores, do problema contínuo e do discreto, são C1 próximos (devido ao fato

que os autovalores de -at e os do operador Laplaciano 1-d com condição de Neumann

não são uniformemente próximos). Mantendo o problema contínuo sobre uma variedade

fixa, a proximidade dos campos de vetores proveniente de -a.p e da projeção do Laplacia-

no na Variedade Invariante ocorre quando o tamanho do passo é muito pequeno e assim

a dimensão do problema discreto excede a dimensão da variedade. Nós poderíamos agora

projetar o problema discreto sobre uma variedade invariante com a mesma dimensão da

variedade do problema contínuo. Fazendo isso, trataríamos da parte dos campos prove-

nientes das projeções dos operadores Laplaciano e de -a,p, mas isso nos traz complicações

pois teríamos que estudar. a convergência das não linearidades projetadas sobre as varie-

dades invariantes.

3

Para evitar esta complicação, permitimos que as dimensões de ambas as variedades

invariantes cresçam de tal forma que ambas sejam C' pequenas e portanto muito próximas

uma da outra na topologia CI. Então, desde que nós já sabemos que os atratores estão

contidos em subvariedades de dimensão fixa, nós temos que os campos de vetores são Cl

próximos nestas subvariedades. A equivalência topológica é consequência da estabilidade

estrutural para o problema contínuo.

Existem vários trabalhos na literatura onde esta equivalência topológica está enuncia-

da. Entre eles nós podemos citar [Hal, FR]. No entanto não existe na literatura nenhuma

prova rigorosa de tais resultados.

No que se refere a segunda conjectura, consideramos o seguinte problema escalar hi-

perbólico

utt + 2a ut = ux. f (u), O < x < 1, t > O (0.6)

u1(0) = u.(1) = O, t > O,

onde a>Oef :R R é uma função de classe C2, satisfazendo a condição de dissipati-

vidade (0.2).

Também consideramos a discretização semi-implícita de (0.6) com n passos igualmente

espaçados. Denotando U = (ui , • • • , un)T escrevemos a seguinte equação

+ 2a E.J = —A„U f(U) (0.7)

onde An é a matriz n x ri, dada por (0.4) com p = n e f(U) = (f (ui), • • • , (un))T •

As suposições sobre f garantem a existência de um atrator global, A para (0.6) e um

atrator global Av, para (0.7)

Como não há na literatura qualquer resultado garantindo que a propriedade Morse-

Smale vale genericamente para (0.6), isto, aliado ao fato de não podermos garantir a

existência de variedade invariante finito-dimensional faz com que não trabalhemos com

equivalência topológica como no caso parabólico. Nosso objetivo, neste caso, será mostrar

que as dinâmicas assintóticas são próximas num sentido a ser especificado posteriormente.

Observamos que a equação (0.6) pode ser reescrita como:

d2 v. du dt2

+ 2a = —Avvit + —2u f (u), (0.8)

4

onde A : D(A) C L2 -4 L2 dado por Au = + 1.u. Voltamos a denotar novamente

por f a função f (u) + u.

Reescrevemos a equação (0.6) como um problema abstrato da seguinte forma:

onde

c

d dt

0

—A

[u] =

/I

—2a

c

,

[u]

h(

+

v

[t]

h ( h )

0

(u)

(0.9)

(0.10)

e f e : Hl -4 L2 dada por fe(u)(x) = f (u(x)). Observamos que o operador —C : D(—C) C

H1 x -4 H1 X L2 não é um operador setorial, pois sobre a reta ReA = —a há um

número infinito de autovalores complexos de C e a parte imaginária desses autovalores

não fica limitada. Este fato dificulta a resolução do problema de forma direta pois os

resultados utilizados em geral necessitam que o semigrupo de operadores lineares apresente

algum tipo de regularização, isto também inviabiliza a utilização do teorema da variedade

invariante. Observamos que existem resultados em [MI que garantem a eyistência de

variedade invariante de dimensão finita quando o amortecimento, ou seja, o parâmetro a,

é suficientemente grande. Isso nos dá a possibilidade de que a técnica utilizada para o

caso parabólico seja empregada neste caso. Como nosso interesse é trabalhar com qualquer

valor positivo do parâmetro a e também é sabido que para amortecimento suficientemente

pequeno não há existência de variedade invariante de dimensão finita de classe C1 (ver

[MSM]), nós não abordamos o problema desta forma.

Assim, surgiu a necessidade de trabalharmos com duas outras equações auxiliares as

quais teriam boas propriedades. Estas equações auxiliares seriam a equação de onda com

amortecimento forte e sua "discretização", e o termo discretização utilizado aqui será

explicado oportunamente.

A equação da onda com amortecimento forte, para O < O < 1, é dada por

ó Utt ± 2(—A + —

2 )- ut + 2a v = —(—A + —2

)u + f (u), (0.11)

Reescrevendo o problema (0.11) na forma abstrata temos:

d u c + ( hl) dt

(0.12)

5

onde

=[o I

—A —2(A° + a) (0.13)

Por [CT1], temos que o operador C,7 ,9 gera um semigrupo analítico sobre Y° desde

que 6 > e se 6 =1 o resolvente de 6?77 ,0 não é compacto. Nossa escolha foi 6 = assim

temos que —6?,7 ,0 é setorial, tem resolvente compacto e além disso, por [CT2] temos que o

domínio de C,0 é Y1 = X1 x XI (para outros valores de 6 o domínio envolve uma certa

interação entre uev e não pode ser escrito como um produto cartesiano de potências

fracionárias de X).

Quanto a "discretização", optamos por adotar a discretização do operador A, 'ou seja,

An = An +14, e, desta forma, para AI', teremos a 2V, = (An + Assitn, a equação

da onda com amortecimento forte discretizada é dada por

+ (A,2)1 + 2aliJ = —AU + f(U). (0.14)

Reescrevendo o problema (0.14) como um sistema de equações de 1" ordem temos:

d

1 UThn

[U1

±

H( [Ui ) (0.15)

onde

11 V V

[0 I (0.16)

—An . —2(M + a)

e H ( {U1) = ° 1. V f(U)

As hipóteses sobre f asseguram a existência de um atrator global An para (0.12) e um

atrator global Ann para (0.15).

Com estas novas equações auxiliares temos os seguintes objetivos:

1. Mostrar a continuidade da família de atratores An em 77 = o, A.

2. Mostrar a continuidade da família de atratores em 77 = 0, .A.„ uniformemente em

n, para n suficientemente grande.

3. Mostrar a semi-continuidade superior da família de atratores Av, em 71 = CO para cada

q>0.

6

n—>o A AT ,

•

71-> 00 11-400, 71 fiX0

ATI

De acordo com o diagrama acima, com estes objetivos alcançados o que nós obteríamos

seria a semi-continuidade superior dos atratores AT, em n = oo, A.

Da mesma forma que o caso parabólico, precisamos considerar em Ir x Ir normas

equivalentes as normas de Y° e Y1. Estas normas são dadas de forma análoga ao caso

contínuo, através dos operadores An e A,1, assim, denotaremos por Yn° e Y,L1 o espaço

R" x Ir munido com as respectivas normas de Y° e Y1 "discretizadas". "'Observamos

que sempre estamos utilizando o produto interno L2 discretizado, induzido pelo produto

interno L2.

Com relação a semi-continuidade superior em 77 = o, tanto para o problema contínuo

quanto para o problema discreto, a técnica utilizada é mostrarmos estimativas de limitação

uniforme dos atratores nas normas Y1 e Y°, yd- respectivamente para os problemas

contínuo e discreto. E utilizando imersão compacta e o Teorema de Arzelà-Ascoli obtemos

a semi-continuidade superior.

Para a semi-continuidade inferior em 77 = o para os problemas contínuo e discreto

utilizamos resultados contidos em [Ha2].

Para a semi-continuidade superior de atratores em n para cada 77 > o fixado, o ra-

ciocínio é análogo à [ACR2]. Primeiramente fazemos a comparação dos semigrupos linea-

res, depois fazemos a comparação dos semigrupos não lineares e finalmente mostramos a

semi-continuidade superior dos atratores. Observamos que a limitações uniformes em 77 e n

obtidas para os atratores Ann são muito importantes para a comparação dos semigrupos.

Os objetivos 1 e 3 foram alcançados com sucesso. O objetivo 2 foi alcançado par-

cialmente, pois a semi-continuidade inferior foi obtida apenas para cada n fixado. Como

provamos, nos teoremas utilizados para obtermos a semi-continuidade inferior, todas as

hipóteses são obtidas de maneira uniforme no parâmetro n e, como observaremos de for-

ma mais profunda no decorrer do trabalho, temos um certo número na demonstração

da semi-continuidade inferior que não foi possível obter de maneira uniforme e isto faz

7

com que mesmo as hipóteses sendo uniformes não foi possível provar a semi-continuidade

inferior de maneira uniforme.

Neste ponto é importante ressaltar que embora não tenhamos mostrado a semi-conti-

nuidade superior de {A„, À} em Tb = oo, obtivemos a semi-continuidade superior da

família {Ann, À} em 77 = O e 71 = oo, o que fornece uma certa redução à dimensão finita

do problema (0.6).

8

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Introdução

Neste capitulo nós estudaremos alguns resultados básicos necessários ao desenvolvimento

do trabalho.

Primeiramente, mostraremos que os problemas semilineares envolvidos e suas res-

pectivas discretizações, geram semigrupos. Desde que estamos interessados em mostrar

resultados relativos ao comportamento assintótico destes semigrupos é essencial que estes

possuam atratores globais. Assim, o passo seguinte é mostrar que os semigrupos envol-

vidos possuem propriedades de regularidade e dissipação e consequentemente possuem

atratores globais. Algumas estimativas para os atratores dos problemas discretizados já

são obtidas aqui independentes do parâmetro n (número de passos)

Quanto ao problema parabólico e sua discretização nosso objetivo é mostrar a equi-

valência topológica dos problemas contínuo e discreto sobre os atratores e neste caso

fazemos uso da Teoria de Variedades Invariantes numa forma adaptada ao resultado que

pretendemos. Também utilizamos o fato que o problema parabólico estudado é Morse-

Smale, genericamente. As definições e os resultados envolvidos estão contidos nas seções

(1.2) e (1.5).

Quanto ao problema hiperbólico, às equações auxiliares e suas discretizações nosso

trabalho está relacionado com a semi-continuidade inferior e superior dos atratores. Neste

caso, discutimos os fatos necessários para a obtenção da semi-continuidade superior. Para

a semi-continuidade inferior, enunciamos e provamos resultados que asseguram a sua

9

obtenção.

Antes de passarmos a tratar especificamente problemas parabólicos e hiperbólicos se-

milineares relembraremos alguns conceitos e resultados gerais que serão empregados por

todo o texto.

Seja X um espaço de Banach.

Definição 1.1. Uma família de aplicações T(t) : X X, t > O, é um Cr-semigrupo,

r > O, se:

i) T (0) = 1;

ii) T (t + s) = T(t)T(s), t O, s > O;

iii) T(t)x é contínuo em (t, x), assim como suas derivadas de Fréchet em relação a x até

a ordem r para (t, x) E r+ x X.

Definição 1.2. Sejam A e B subconjuntos de X. Uma distância, 5(A, B), entre os sub-

conjuntos A e B, é dada por

5(A, B) = sup inf d(x, y). yEA xEB

Dizemos que um conjunto B c X atrai um conjunto C C X sob T(t) se

5(T (t)C , B) O, t co.

Definição 1.3. Um conjunto Scx é invariante se para qualquer x e 8 temos que

T(t)x E S para todo t.

Definição 1.4. Dizemos que um Cr-semigrupo, T(t) : X X,t >O er >0 é assinto-

ticamente suave se para cada conjunto B C X, não vazio, fechado e limitado para o qual

T(t)B C B, para todo t > O, existe um compacto J C B que atrai B.

Definição 1.5. Um Cr-semigrupo T(t) : X X t > O, r > 1 é um sistema gradiente

se satisfaz as seguintes condições:

i) Cada órbita positiva é relativamente compacta;

ii) Existe uma função de Lyapunov para T(t), t > O, ou seja, existe uma função contínua

V : X com as seguintes propriedades

10

1. V (x) é limitada inferiormente,

2. V(x) —+ co quando IX!

3. V (T(t))x é não crescente em t para cada x e X,

4 Se T(t)x está definido para todo t e e V (T (t)x) = (x) para t e I , então x é

um ponto de equilíbrio.

Definição 1.6. Um conjunto compacto invariante maximal para um Cr-semigrupo, T(t)

é chamado atrator global para T(t) se atrai cada subconjunto limitado de X.

Definição 1.7. Um Cr -semi grupo T(t) : X —+ X, t > 0, r > O é ponto dissipativo se

existe um conjunto B C X que atrai cada ponto de X sob T(t).

Teorema 1.1. Se um Cr-semigrupo T(t) : X —} X, t > O, r > O é asáintoticarnente

suave, ponto dissipativo e órbitas de conjuntos limitados são limitadas, então T(t), t > O

possui atrator global.

1.2 A equação do calor e sua discretização

Nesta seção mostraremos as propriedades necessárias para o desenvolvimento do trabalho

no que se refere à equação do calor e sua discretização.

. Primeiramente, sem perda de generalidade, vamos trabalhar com o parâmetro a = 1

na equação (0.1). Assim, consideremos a equação do calor

ut = u„ + f (u), O < x < 1, t > O (1.2)

ux(0) = ux (1) = O, t > 0,

onde f :11< —+ 11< e uma função de classe C2 satisfazendo a seguinte condição de dissipati-

vidade

lim sup f (u)/u < (1.3) luj—>co

para algum 6> O. Reescrevemos a equação (1.2) na forma abstrata dada por

Au + feu (1.4)

onde A: D(A) C X —+ X siado por Au = —un e D(A) = {u e H2(0, 1)u'(0) = u1(1) =

0}, f :xk —Y X° dada por fe(u)(x) = f (u(x)) e X 7= X° = L2(0,1) e id = H1 (0,1).

11

Vamos mostrar que o problema (1.4) gera um semigrupo e este possui atrator global.

Temos que fc é localmente lipschitziana sobre subconjuntos limitados de XI, além disso,

fe é de classe C' e —A é gerador infinitesimal de um C°-semigrupo em X°, logo dado uo E XI existe uma única solução fraca n(t, no) : (O, To) X4, tal que u(0, no) = ui) e (O, To) é o intervalo maximal de existência.

Agora mostraremos que o intervalo maximal de existência é (O, oo) para qualquer uo E XI.

Para isso, mostraremos que 11n(t, no)11x1 < oo para qualquer t E [O, tm).

Seja 1 1

V (0) f o —210' (x)I 2 — (0(x)) dx

onde -PA(u) = fon f (s)ds. Pela condição de dissipatividade, temos que existe c > O tal que

F(u) <4u12 + c, para todo ti E R. Assim

17() —2111012 + ( 110112 — 771110112w — C. (1.5)

Também, se 11011H1 < r então

1 V(rb) < + K(r). (1.6)

Por resultado de regularidade, temos que n(., no) E C1((0,r), X ji) e n(t, no) E D(A), para

t E (0,1-) e para todo no E X. Então,

—d

V (u(t uo)) = (Au(t),21(t)) — (7(u),111(t)) = (t)I12 < O dt

(1.7)

Logo: V(n(t, no)) < V(uo), para todo tio E Xk. Portanto. a solução é limitada em

qualquer intervalo [O, tm).

Assim, temos o seguinte resultado

Teorema 1.2. Definimos T(t): .X.k dado por T(t)(u0 )= u(t,u0 ). Então, {T(t),

t > O} é um C1-semigrupo, assintoticarnente suave e é um sistema gradiente. Adicio-

nalmente, o conjunto dos seus pontos de equilíbrio é limitado e portanto possui atrator

global.

Demonstração: T(t) define um C' semigrupo sobre .Kk pois f e é de classe C'. O

operador A é setorial e positivo e o resolvente de A é compacto. Assim, temos que o

semigrupo T(t) é compacto e portanto assintoticamente suave.

12

Mostraremos agora que o conjunto dos pontos de equilíbrio é limitado em X Seja 4) um

ponto de equilíbrio de T(t), então ck é solução de

0" + f (0) = O.

Assim, basta mostrar que E = {0; 0" + f(4) = 0} é limitado em IP. Multiplicando por qk

e integrando por partes, temos foi (4/)2dx = foi f (0)0dx. Pela suposição sobre a f temos

que para 5/2, existe M > O tal que [(ri.? < — para todo ti tal que lu' > M. Assim,

separamos o intervalo [0,1] em 1 = {x E [0,1]; I(x) 1 < M} e 12 = [0, ']\II. Como f é

contínua em IR então existe uma constante K tal que jf (y)I < K para iy¡ < M. e assim

temos:

1 (OT dx = f (0)0dx + f f (0)0dx — -(5

11011L211

2 (1.8)

Assim, IjObil < KM. E portanto, T(t) é ponto dissipativo.

Agora mostraremos que T(t) é sistema gradiente. Pela desigualdade (1.6) temos que

órbita positiva de conjunto limitado é limitada. Desde que 71- (0) é limitado, fechado

e positivamente invariante e, pelo fato que o semigrupo é assintoticamente suave então

existe um subconjunto C C 71- (0) C )d que atrai 7(0). Assim, 71- (0) é pré-compacto.

Pela desigualdade (1.5) temos que V é limitada inferiormente e 1V(0)1 oci quando

11011 co. Pela desigualdade (1.7) temos que V é não crescente ao longo de órbitas e

além disso, se V(T(t)0) = V(4)), então ut(t, ck) = O logo u(t, 0) = 0, ou seja, qk é ponto de

equilíbrio.

Consideremos agora

U = —ApU + f(U) (1.9)

a equação do calor discretizada com p passos igualmente espaçados, onde Ap é a matriz

13

p x p dada por

Ap=p2

1 —1

—1 2

0 —1

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 —1 O

—1 2 —1

O —1 1

(1.10)

e f(U) = (f(u1),..' ,f(up))T e U= (u1, —

Teorema 1.3. Os autovalores de AI, são dados por Aik: = 4p2sen2L7 e os autovetores 2p

associados são w = (cos kirx i ,• • • ,cos kirxp ) para k .= 0, • • ,p —1.

Além disso, 1imp,o0 A = Ak, onde Ak = (kir)2 é o (k +1)—ésimo autovetor do operador

—A com condição de fronteira homogênea de Neumann.

Para obtermos os autovalores e os autovetores de Ap procedemos da seguinte forma:

sabemos que as autofunções de —A com condição de fronteira de Neumann são dadas

por wk (x) = cos(k7rx), para k = 0, • • • , assim, consideramos os pontos médios xi dos

intervalos [i- •-p , para i = 1, • • • , p e discretizamos as p primeiras autofunções wk (x) nos

pontos xi, obtemos wPk . Considerando, na definição de autovalor e autovetor, o vetor

obtemos como autovalor correspondente APk = 4p2sen2 2p'

Para sermos capazes de comparar a dinâmica do problema discreto com a dinâmica

do problema contínuo nós devemos associar a IRP uma norma a qual é compatível com

a norma adotada para o problema contínuo. Isto nos conduz a definir em IRP o produto

interno: (X,Y)= xiyi, o qual é herdado do produto interno L2 e será referido como

o produto interno L2 discretizado. E a norma é dada por IIUM2 = (ApU, U) + (U, U), esta

norma é a correspondente a norma de Hl. A norma correspondente a de L2 é dada por (U,

Vamos mostrar que o problema (1.9) gera um semigrupo de classe C' e este possui

atrator global. Temos que f é de classe C2 e —Ap é gerador infinitesimal de um semigrupo

analítico em IRP; logo dado U0 E IRP existe uma única solução U(t, U0) : (0,7-0) IRP, tal que U(0, U0) = Uo e (0, To) é o intervalo maximal de existência.

14

Agora mostraremos que o intervalo maximal de existência é (O, oo) para qualquer Uo E R".

Para isso, mostraremos que 11U(t, Uo)ii < ao para qualquer te [O, tm).

Seja 1

V(U) = —2(ApU, U) — (1, F(U))

onde P(U) = (P(u).), F(u2), • • • , F(up)) e 1 = (1, 1, • • • , 1). Como no caso contínuo

temos,

1 V(U) _?•_. —2 (ApU, U) + —(5 (U, U) — c ?: — c.

2

Também, para 1lUil <r temos

1 V(U) —2

11//2 + K(r).

Temos que, para todo Uo,

U0 )) = (ApU(t),17 (t)) — (f(U),U'(t)) = O

(1.12)

(1.13)

Logo: V(U(t, U0)) < V(Uo), para todo U0 E 1W'. Portanto, a solução é limitada em

qualquer intervalo [O, tifi).


Teorema 1.4. Definimos T(t) : RP RP dado por Tp(t)(U0 ) = U(t,U0 ). Então,

{T,i (t),t > O} é um C2 -semigrupo, assintoticamente suave e é um sistema gradiente.

Adicionalmente, o conjunto dos pontos de seus equilíbrio é limitado e portanto possui

atrator global.

Demonstração: Tp (t) define um C2 semigrupo sobre IR. Desde que estamos trabalhando

com um espaço de dimensão finita, temos que o semigrupo T(t) é assintoticamente suave.

Mostraremos agora que o conjunto dos pontos de equilíbrio é limitado em IR". Seja U um

ponto de equilíbrio de Tp(t), então U'(t) = O e assim, U é solução de

—AU + f(U) = O.

Assim, basta mostrar que. E = {U; —AU + f(U) = O} é limitado em IR". Fazendo o

produto interno por U, temos (—AU, U) — (f(U), U) = O. Pela suposição sobre a f

15

temos que para 6/2, existe a > O tal que f (u)u < 412 + a para todo u. Assim,

(AU, U) = (f(U),U) < + a e portanto temos:

ilUiiHà <cm (1.14)

E portanto, T(t) é ponto dissipativo.

Agora mostraremos que Tp(t) é sistema gradiente. Pela desigualdade (1.12) temos que

órbita positiva é limitada. Desde que 7+ (U) é limitado, fechado e positivamente invariante

e, pelo fato que o semigrupo é assintoticamente suave então existe um subconjunto C c

7-E(U) que atrai 7+ (U) . Assim, 7+ (U) é pré-compacto. Pela desigualdade (1.11) temos --

que V é limitada inferiormente e V(U)I ao quando IIUI -4 ao. Pela desigualdade (1.13)

temos que V é não crescente ao longo de órbitas e além disso, se V (T (t)U0 ) =•

então ú(t, U0) = O e portanto U(t, U0 ) = U0 , ou seja, U0 é ponto de equilíbrio.

Para o trabalho realizado sobre o problema parabólico também é necessário a proprie-

dade Morse-Smale. Como referência temos [HMO].

Sejam X, Y e Z espaços de Banach.

Definição 1.8. Seja Cr(Y, Z), r > 1 o espaço das aplicações de Y em Z que são li-

mitadas e uniformemente contínuas juntamente com derivadas até ordem r. Para cada

f E Cr(Y, Z), seja T j(t) : X -4 X um semi grupo fortemente contínuo de transformações

de X. Para cada x E X, nós supomos que Tj(t)x está definido para t>0 e é de classe

Cr em x.

Seja

AU) , {x E X : Tj(t)x está definido e é limitado para t E }.

Temos que se o conjunto AU) é compacto e todas as órbitas tem fecho compacto então

AU) é um atrator global.

Para f, g E Cr(Y, Z) nós dizemos que f é equivalente a g, f --, g, se existe um

homeomorfismo h: A(f) A(g) tal que hT j = Tp h. Nós dizemos que f é A-estável se existe uma vizinhança V de f em Cr(Y. Z) tal que

f --, g para todo g E V nCr(Y, Z).

O conjunto dos pontos não errantes, S-2( f), de f em Cr(X, X) é o conjunto dos pontos z E AU) tais que, dada um vizinhança, U, de z em AU) e T> O existe um t = t(U, T) >

16

TeviEU tal que Tf (t)(w) E U

Agora estamos em condições de definir IVIorse-Smale.

Definição 1.9. Um sistema dinâmico {711(t),t > O} é Morse-Smale se

i. DTf é injetor sobre o espaço tangente de X nos pontos de AU);

S-2(f) é a união de um ,número finito de pontos de equilíbrio e órbitas periódicas, todos

hiperbólicos com variedades instáveis de dimensão finita;

iii. A variedade estável local e a variedade instável global de todos os pontos de equilíbrio

e das órbitas periódicas se interceptam transversalmente.

1.3 Problemas de ondas fortemente amortecidas

Considere a equação da onda com amortecimento forte

utt + 277 (—A + )1/2ut ± 2a ut = 'a= + f(u), O < x < 1, t >0 (1.15)

ux(0) = u(i) = 0, t > 0,

onde ti > O, a >Oef : R é uma função de classe C2, satisfazendo a seguinte

condição de dissipatividade (1.3).

Vamos reescrever o problema da seguinte forma:

uu + 277 ( — A + 1)1/2u1 2aut = —(—A P4)u±u+ f(u). (1.16)

Observamos que

lim sup f (u)/u + —8

<-6/2. 2

Voltaremos a denotar por f a não linearidade u + f(u) .

Reescrevendo o problema (1.16) na forma abstrata sobre o espaço 1' = y0 = x1/2 )‹ x0

g :1 = hvi ± h( Lvi

[111 t=0 (1.17)

17

onde -= —A + g-/ : D (A) cX—X,D (A) = {u E 1/2; 2(0 = 2(1) = 0}, X = L2 =

X°,

C,,= e h([1) =[ ° —A —2(7012 + a) v fe(u)

(1.18)

e D(C,i ) = x

Observamos que o operador A é positivo e auto-adjunto, portanto ill/2 também é.

Consideremos o operador B = 2nA112 +B1 onde B1 = 2a/. O operador B é auto-adjunto,

positivo e satisfaz

p1 Á < B <

De fato, é claro que B > 277,44 e também, B < (277 + 2a4)A4 onde AI é o primeiro

autovalor de A. Por [CT1], temos que o operador Cn gera um semigrupo analítico sobre

Y° e é de contrações dado que B é dissipativo. De forma mais geral, por [CT2], mesmo no

caso onde B1 não é tal que B seja comparável com At- mas D(AI) C D(B) para algum

• < então Cn é gerador de um semigrupo analítico, e para B1 dissipativo temos que

o semigrupo gerado é de contrações Também, por [CT1], 13 = — sup Re cr(C,,) >0, onde

a(C„) é o espectro de Cn , e ilecntli < Cfit.

1.3.1 Propriedades espectrais de Cn

Sejam vk = (kr)2 + k = 0,1, • • os autovalores de A então os autovalores, A±k , de Cr)

são soluções de

À2 (2rivi + 2a)À + vk = O.

e são dados por:

A±k = — (7)1111/2 ± a) ± 1,/(iv1/

2 a)2 vk

—Go + avk-1/21± 1[77 + aiik-1/212 — 1) vi1/2

Analisando o sinal de (7)ik1/2 + a)2 — vk obtemos que para cada 77 > o existe um

ko = kc(v) > O tal que A±k é um número real para k < ko e A±k é um número complexo para k > ko.

Outro fato é

lim ihn(A±IcH 1/1 112 k--)co ille(A±k)i

18

Assim,

fim fim „ n-g)k-H:o irtek. a k)i

Observamos também que limk_w, Re(A k) = —co

Os correspondentes autovetores são dados por:

Otk = A k ek

ek

(1.19)

onde ek = cos(k7rx) é o autovetor de A correspondente ao autovalor vk . Se Ajc é 111/1

autovalor duplo então Ikk =

é um autovetor generalizado associado a Se é

um autovalor complexo então consideraremos os seguintes vetores 1,b+k = Re(k) e ip_k =

Im(irkk), no autoespaço real associado a )k k. Então temos as seguintes propriedades:

1) a família (04.k)kk.9_0, (04.k )%iko é ortogonal sobre Y°;

2) a família (ø-k) °_o, (1P-k)r-k0 é ortogonal sobre Y°;

3) (0-1, 0+4Y0 = O, 1,b+i)Y0 = O, (0-1,1)b+.1)Y0 = O, (1,b-i, 0+4)-0 = O se i i•

1.3.2 Existência de solução local, global, regularidade e existên-

cia de atrator em Y°


Temos que h é localmente.lipschitziana sobre subconjuntos limitados de Y° e Co é gerador

infinitesimal de um C°-semigrupo em Y°, logo dado (u0,v0) E Y° existe uma única sola-

'9

[

U(t, no, Vol

V (t, no) vo) E

[u(t, uo, vo)1 [u(0, uo, vo)1 14- ção fraca : (0, ro) Y°, tal que e (O, ro) é o intervalo

v(t, uo, vo) v(0,uo,vo) vo maximal de existência.

Agora mostraremos que o intervalo maximal de existência é (O, oo) para qualquer (no, vo) E [tt(t, no, Vol

para isso, mostraremos que < oo para qualquer t E [O, t,n). v (t, no, vo)

Seja

IT(0,7,b) = (AO, + ?h —Io P(0(x))dx

onde Pri(u) = ro f (s)ds. Pela condição de dissipatividade, temos que existe c > 0 tal que

F(u) <_I1112 + c, para todo u E R. Assim

V(0,0) .? - (110111 2 + (.110112) + 1&10112 + 1110112 — c /n(110112E/1 +110112) c. (1.20)

Por um resultado de regularidade, temos que se (no, vo) E D(C), então

C1((O, r), D(C)). Então, para (20, vo) E D(C) temos

d (u(t , uo , vo ) , v (t , uo,uo)) = (Au(t), v(t)) + (vt, v) + (fe(u), v) dt = (Au, v) + (-277 Al v , — 2a(v, — (Au, + (fe(u),

— (f e (u) , v) = —27711A114 — O

Logo: V (u(t. uo, vo), v(t, uo, vo)) < V(uo, vo). Por densidade de D(C,l ) em Y° temos que

V(u(t, uo, vo). v(t, uo, vo)) < V(uo, vo), para todo (no, vo) E Y°.

Assim,

[ u(t, uo, uol % Triai 11 — c V(u(t, 220, u0), u(t, no, uo)) < V(uo, tio). v(t,uo, uo)

Portanto, a solução é limitada em qualquer intervalo [O, trn).


(1.24)

Teorema 1.5. Definimos Tyl (t) : Y° Y° dado por Tyl (t)(uo ,v0 ) = (u(t,(uo ,vo )), v(t, (no, vo))). Então, {T,l (t),t > O} é um C—semigrupo, assintoticamente suave e é um sistema gradiente. Adicionalmente, o conjunto dos seus pontos de equilíbrio é limitado e

portanto, possui atrator global.

20

Demonstração: T(t) define um C' semigrupo sobre Y°, pois h é de classe CI. Por

[CT1], o operador Cn é setorial e positivo e o resolvente de Cn é compacto. Assim, temos

que o semigrupo T,7 (t) é compacto e portanto assintoticamente suave.

Mostraremos agora que o conjunto dos pontos de equilíbrio é limitado em Y°. Seja (O, tp)

um ponto de equilíbrio de T ( t), então (0,1p) é solução de

(' = 0

Sb" + f (0) = o •

Como já foi mostrado para o problema parabólico, temos que E = { 0; 0" + f = 0} é

limitado em Hl. E assim está provado que os pontos de equilíbrio são limitados na norma

de Y°.

Agora mostraremos que T(t) é sistema gradiente. Pela desigualdade (1.24) temos que

órbita positiva é limitada. Desde que ty-F(0,1p) é limitado, fechado e positivamente inva-

riante e, pelo fato que o semigrupo é assintoticamente suave então existe um subconjunto

C c 7+ (0,1p) c Y° que atrai 7+ (O, tp). Assim, 7+ (O, •tp) é pré-compacto. Pela desigualda-

de (1.20) temos que V é limitada inferiormente e IV(0,1p)i —> oo quando 11(0,1p)ii —> 00.

Pela desigualdade (1.23) temos que V é não crescente ao longo de órbitas e além disso,

se V(T1(t)(0,0)) = V(,*), então v(t, tb)) = ut(t, (O, tb)) = 0, logo u(t, (&Ø)) = e = O e portanto Tn(t)(0, = (O, O), ou seja, (0,7p) é ponto de equilíbrio.

1.4 Discretização do problema de ondas fortemente

amortecidas

No intervalo [0,1] consideramos os pontos xi = L1, , • • • , ri e denotamos u3 (t) =

u(x3 , t). Nós temos, pelo processo de discretização semi-implícito de Euler, que o operador

Laplaciano com condição de Neumann ui = no, un+i = un é a matriz n x n, —An onde

An é dada por

21

—1 0 0 0

—1 2 —1 • • • 0 0 0

0 —1 0 0 0

= n2 (1.25)

O O 0 • • • 2 —1 0

O O 0 • • • —1 2 —1

0 O 0 • • • 0 —1 1

Denotando U = (ui ,• • • , up)T, consideramos a discretização da equação de onda for-

temente amortecida (1.16) dada por:

onde An é a matriz ri x ri

Novamente, colocando

onde

C = I

ti +

dada

em

o

An

dl

27)

um

d

[Uvl

por

V {1=

t=o

/CU

sistema

—2(7)412

An

=

+ 2a

= A

de

Cnv

vo

[Uo l

+

/2

+

1 a)

equações

11 +

= —AU

g./ e f(U)

e H(

H( [1 )

+

=

de 1a

U. V

f(U)

(f (ui), ordem,

) =

(1.26)

• • • , f (up))T• obtemos

(1.27)

(1.28) f(U)

1.4.1 Propriedades espectrais de C.

Os autovalores de An são dados por = 4n2 sin2 +5/2 e os autovetores associados

são ez = (cos kni, • • • ,cos Icirxn) for k = 0, • • • , ri — 1 Assim temos o seguinte teorema:

Teorema 1.6. Os autovalores, nk , de Cnn são soluções da equação À2 (27")(1/27,1)

2a)A + v = O e são dados por:

Alk = (77(4)1/2 -1-a)± N/(7)(1/:)1/2 R-a)2 ii —

Gr] + a(4) 1/2}± a(v1/212 1) (4)1/2

22

Os correspondentes autovetores são dados por:

[eri: çnk =

e kl (1.29)

onde 41 é o autovetor de A.„ correspondente ao autovalor vrk'. Se nk é um autovalor duplo [01

então 13 = é um autovetor generalizado associado a nk erk

Analisando o sinal de (n(vr)1/2 a)2 _ (141 ), obtemos que para cada n> O e n>0

existe um ko = ko(n, n) > O tal que Alk é um número real para k < ko e nk é um número

complexo para ko < k < n. Como nosso objetivo é comparar os atratores dos problemas (1.17) e (1.27) precisamos

associar a W x R' uma norma compatível com o espaço Y°. Assim, definimos em Ur x lr

o seguinte produto interno:

rui íwl (,

Z) = ( u, w + ( v, z) (1.30)

V

onde (U, 147 )R. = Ein=i w o qual é herdado do produto escalar L2 e será referido como

produto interno L2 discretizado. Denotaremos por 112 o espaço 1111 x R" com o produto

interno dado acima. Também associaremos a W x lr o produto interno compatível com

o produto interno de Y1, ou seja,

([(1,[41)=(Anu,Anw)R.± (AnV, Z)Fr (1.31) V Z

Denotaremos por yni o espaço lr x lr com o produto interno dado acima. A distinção

entre um produto interno e o outro será feita através do índice referente ao espaço.

Um cálculo simples mostra que

n-1 TI

(AU,W)R. = E n(ui-1-1 — ui)(wi-1-1 — wi) + 8/2 i=1 i=1

U ii _ k ,

, U U

A norma em lle x lle é definida por II )1/2 v 112n xRn — [1 v. [v..1 ) •

Observamos que chamaremos agibi = (AnU, U) de norma Hl discretizada e a , R1/„2

iirliiml :---- (AU, A.U)litli,,2 de norma H2 discretizada. Para evitar confusão denotaremos,

23

separadamente, por = (ATA U)1 a norma 1,2 discretizada da derivada discretiza-

da.

Se nic é um autovalor complexo então consideraremos os seguintes vetores On+k = Re( k)

e On = Ini(OTIk), no autoespaço real associado a À±k. Sobre os autovetores de C,r, temos

as seguintes propriedades:

1) a família (on+k )kko_o, (on+k )fi=ko é ortogonal sobre 12;

2) a família (0"k) o, (0"k)1Lico é ortogonal sobre 12;

3) (0%, ni)Y;), =0, ( j, = O, (On—i, 074i)Y,?. = o, (,Ç%4 =0 se i j•

1.4.2 Existência de atrator para a discretização do problema- de

ondas fortemente amortecidas


Temos que H é de classe C2 e portanto, localmente lipschitziana sobre subconjuntos li-

mitados de Rn x IR" e C,r, é gerador infinitesimal de um Cs-semigrupo em Er x Rn , logo

[

U(t, Uo, 1/4)1

V(t,Uo, Vo)

tal que [U(0, Uo, V0)1 [Uol

Vo e [0,7-0) é o intervalo maximal de existência. Além disso,

V(0, Uo, 113)

[U(t,

U0, V0)] é de classe C2 em t e (U0, Vo) E IR" x IR"

Seja 1

14,(U, V) = —1

(A„U, U) + —2 (V, V) —(I,F(U)) 2

onde 1 = (1,1, • • • ,1), F = (F (ui), fr (u2), • • • , fr (ui)) e È(u) = f to f (s)ds . Como an-

teriormente, pela condição de dissipatividade, temos que existe c > O tal que È(u) <

+ c, para todo ti E IR. Assim

1 1 2 2 Vn(U, V) (11(7112L,á --11(111 2L3) -2-11111L3 — m(I1U112xj +1111113) — c.

(1.32)

dado (U0 , V0) E Er x Rn existe uma única solução : [0,7-0) -4 IR" x IR",

V(t,U0, Vo) Agora mostraremos que o intervalo maximal de existência é [O, co) para qualquer (U0 , V0) E

Rn X Rn para isso, mostraremos que 11 [U(t, Uo, V0)1 < oc para qualquer t E [O, tm). V(t, Uo, Vo)

24

Se

Logo:

Assim,

[U(t,

=

m(I[

V(t,Uo,Vo)

—(F(U),V)

V„(U(t,

Uo,

(AU,V)

U0,

u(t,uo,v0)

1/0),

]

1V„(U(t,U0 ,Vo),V(t,U0 ,1/4 ))=

é solução

+ (-2qAV,V)

=-2q1lie,14413 —

de (1.27), então para (U0, l/) E R R"n x temos

(A„U(t),V(t))+ (½' V) + (F(U),V)

— 2a(V,V) — (AnU,V)+ (F(U),V)

241/112L3 O

V(t, Uo, 1/0)) < V,,(U0 , 1/0).

a — s vn(u(t,u0, Vo), V(t,Uo, Vo)) <Vn(Uo, V).

(1.33)

(1.34)

Portanto, a solução é limitada em qualquer intervalo [O, tro).


Teorema 1.7. Definimos T(t) : le X lir —> Rn x lir dado por Tnn(t)(Uo,V0 ) = (U(t,

(U0, 1/0)), V(t, (U0, 1/0))). Então, {Tnn(t),t > O} é um C2 -semigrupo, assintoticarnente

suave e é um sistema gradiente. Adicionalmente, o conjunto dos seus pontos de equilíbrio

é limitado, uniformemente em ri, e portanto possui atrator global.

Demonstração: T,7 (t) define um C2 semigrupo sobre Rn x R". Desde que o semigrupo

está definido sobre R' x le que é de dimensão finita, temos que o semigrupo T,7 (t) é

assintoticamente suave.

Mostraremos agora que o conjunto dos pontos de equilíbrio é limitado em lir X ir . Seja

(Uo, Vo) um ponto de equilíbrio de Tno(t), então (U0, Vo) é solução de

Vo = O

AnUo + f(U0) = O

Como, para a equação do calor discretizada, já foi mostrado que E = {U; AnU + f(U) = O}

é limitado em lir na norma In uniformemente em n, então o conjunto dos pontos de

equilíbrio é limitado em lir x R" uniformemente em n. E portanto, Tnn(t) é ponto

dissipativo.

Agora mostraremos que T,7 (t) é sistema gradiente. Pela desigualdade (1.34) temos

que órbita positiva é limitada e desde que o espaço é de dimensão finita, é pré-compacto.

Pela desigualdade (1.32) temos que 14, é limitada inferiormente e IV„(U. V)! —> oo quando

25

11(U, V)11 oo. Pela desigualdade (1.33) temos que 14 é não crescente ao longo de órbitas e além disso, se V(T(t)(U, V) = V„ (U, V), então V(t, (U, V)) = Ut(t, (U, V)) = O, logo U(t, (U, V)) =UeV=Oe portanto T,(t)(U,V) = (U, O), ou seja, (U, V) é ponto de

equilíbrio.

Temos também o seguinte teorema:

Teorema 1.8. O C2 -semigrupo {T,T „,t > 0) é possui atrator global o qual é limitado independentemente de n e de 77. Demonstração: Pelo teorema anterior, temos que o semigrupo Tm, possui atrator global

4, dado por

A„ = W u(Enn),

onde E,,,, é o conjunto dos pontos de equilíbrio de 7.1,1„. Dado c > O seja Are(E,m ). Pelo

observado no teorema anterior, se (U, V) E Ne(Enn ) então 11(U, V)11 < o- + e e 11Ullec <

N7.2(o- + c). E assim, se (U, V) E Ne(Enn ) então

1V„(U, V)1 5_ - 21 (ii (filin + + max{If (8)111U11L3; 1s1 N72-(o- + c)} =

Observamos que, se (U, V) E Anu = Wu(E,7 ,i ) então existem t1 > O e (Uo, Vo) E N6(E)

tal que (U, V) = T,m(t i )(U0 ,1/0 ). Logo, pelas desigualdades (1.32) e (1.33) temos que

11(U, li)112 5_ m-1(V„(U, V) + c) _5_ rn-1(V„,(Uo, Va) + c) 5_ m-1(K(N,(E)) + c).

Desde que as constantes envolvidas não dependem de 77 nem de n, o resultado está provado.

1.5 Variedades Invariantes

Nesta seção nós enunciamos e provamos um Teorema de Variedade Invariante (1.9)

e um lema de Gronwall Generalizado. O teorema é reproduzido do resultado clássico

de variedade invariante como em [He2]. A demonstração é adaptada dado que neste

teorema é permitido a mudança do espaço (inclusive da sua dimensão) com a mudança do

parâmetro e assim também, a dependência da variedade invariante sobre este parâmetro.

Sejam X e Y espaços de Banach, -A : D(A) c X -> X um operador setorial tal

que Reo-(-A) > O e B : D(B) c Y Y e gerador de um C'-grupo de operadores

26

lineares limitados {S(t), t > O} sobre Y. Seja {T(t)t > 0} o semigrupo analítico de

operadores lineares limitados gerado por A e denote por (—A)° a a potência fracionária

de A e X° = D((—A)°) com a norma do gráfico.

Definição 1.10. Sejam f : X° x Ya —* X, g : X° x Y° Y funções contínuas local-

mente Lipschitz. Um conjunto S c X° x Y° é variedade invariante para uma equação

diferencial X = Az + f (x, y)

= BY + 9(x, y), se existe a : Ya X' tal que S = {(x,y) E X° x = o-(y)} e, para qual-

quer (xo, yo) E S, existe uma solução (x(.), y(•)) da equação diferencial sobre R tal que

(x(t), y(t))ESVtER. Uma variedade invariante S é dita exponencialmente atratora

se existem constantes positivas 7 e K tais que

Ilx(t) a(Y(t))11x- _5_ Ke-79x(0) — cr(Y(0))1Ixa,

sempre que (x(t),y(t)) é uma solução da equação diferencial.

Teorema 1.9. Sejam X„,11, uma sequência de espaços de Banach, A : D(An) C Xn

Xn uma sequência de operadores setoriais e Bn : D(B) C Yn Y„ uma sequência de

geradores de C°—grupos de operadores lineares limitados. Suponha que h : Xn'xYna Xn

e gn :X x Yn são uma sequência de funções satisfazendo:

II fn(x, y) — fn(z,w)IIxn 5_ Lf(IIx — zlIxR + IIY — wIlyák),

fn(x, 5 Nf ,

para todo (x,y),(z,w) em X;..; x yr e

y) — 9n(z, w)ilyn 5 Lo nix — zxa +

119n(x,Y)IlYn Ars ,

para todo (x,y),(z,w) em x Yna. Assuma que

< > O

< Marae t iiwilx,,, t > O, t zliy = lienn (—t)zy1 < Mbe— P(n) t ilZilY t < O,

t zfjy < A4( —t)—ct e —p(n)tii II /74, t < O:

27

para qualquer ta E Xr? e z E Y:`, onde 13(n)— p(n) +co guando n —> ca. Considere o

sistema fracamente acoplado

{

± = —Anx + Mx,Y), = —Bny + gn(x,Y)•

(1.35)

Então, para n suficientemente grande, existe uma variedade invariante exponenciamente

atratora para (1.35)

S = {(x, y) : x = ctn(y), y E Ync}

onde un :Y,7 —> X: satisfaz

s(n) = suP {v EY, r} (Y)ii x;‘,

iia(y) — cfn(z)li,tg .1(n)ljy , — zily:,

com s(n), 1(n) —> O quando n co. Se f, g são suaves; então, an é suave e sua derivada

Da n satisfaz

SUP IIDCfn(Y)II „L(Y,7,Xg) 1(n). vEYn

No caso em que nós aplicaremos o teorema da variedade invariante contido no Teorema

1.9, o parâmetro é um número natural ri. Pois nós separamos o espaço de fase em um

espaço gerado pelas ri primeiras autofunções do problema e seu complemento ortogonal.

Depois projetamos a equação do calor sobre estes espaços e isto produz o par de equações

que aparece na afirmação do lema. (-Seoltrno

Observamos que o Teorema da Variedade Invariante é utilizado tanto para reduzir o

problema a um espaço de dimensão finita, bem como para mostrar a proximidade dos

campos vetoriais envolvidos.

Antes de começarmos a demonstração do Teorema 1.9 nós precisamos estabelecer uma

versão generalizada do lema de Gronwall. Isto requer que nós estudemos a convergência

das séries zffic

E5(2.) F(103 + ES(z) F((k + 1)/3) . k=0 k=0

Não é difícil ver que E5 e É0 são funções inteiras e seguindo [E] nós podemos obter que

existe uma constante c tal que

E0(z) cez.

zfik

28

e que dado d> 1 existe é > O tal que

Ép(z) 5_ de* .

Lema 1.1 (Lema de Gronwall Generalizado). Sejam t < r, : [t, r] -5. R+ uma

função contínua, a: [t, r] -4 R+ uma função integrável, b > 0 e O < fi < 1. Assuma que

q5(t) a(t) + b f r (s - 03-1 g5(s)ds, t < r. (1.36)

Então, 00

ql(t) _E(Bk a)(t) k=0

COM

Bica(t) = ir (brin(1:30)))k (s e la(s)ds.

Além disso, se a(t) a = const então nós temos que

ql(t) aEp((bln(f3))11fi(r - t))< a c e(br("1"-t),

se a(t) = co (s - t)_ceP(s-r )ds, p> 0, então nós temos que

(1.38)

(1.39)

0(t) ejlEo((br(0))l1fi fr — t)) - 1] < ej [c e(br("1"(' ) - 1] (1.40)

e finalmente, se 1/2 : [t,r] -5. R+ é uma função contínua e a(t) = cof r (3 — t)'ePstb(s)ds,

p> 0 então nós temos que

0(t) o ci cr(0)if (s__t)fi-lepsedWAY /SW4 )17 /,(s)ds.

Demonstração do Lema de Gronwall Generalizado.

Seja

(Bql)(t)= b (s - t)fi-l ql(s)ds.

Segue de (1.36) que

cfr(t) cZ a(t) + (B) (t) a(t) + (Ba)(t) + (B2 g5)(t) n-1

< E(Bka)(t) ± (BnO)(t) k=0

(1.41)

29

Suponha por indução que

r (br(P))n-1 , (Bn-1.75)(t) = ft F((n — (s 0 1)13-1 q5(s)ds 1)fi)

então

B(B'q5)(k.

=

b r (a ty3-1 f

bnr(fi)-1

r (bF(finn 1. ( o

— 1)fi) sY n-1)13-195(0)d01 ds

do

do

s F((n [f

0(6 )

r 0(0)

o [f (s — tY3 (o — s)n-nfl-' cis]

0--t

[f Ufil-1(0 — t — On-1) /3-1Tiul o

F( (n — 1)fi)

briF(fi)' 1 f F((n — 1)fi) t

Fazendo z = ot temos

(Bny5)iv,= rijn(I3)1701) ft r 0(0)(0 — t)S [f Z/3-1(0 — t (1 — Z)(71:1)Ó dZi do

bnr (Mn - 1 Ir 1

0(0)(0 — t) -'de f t' (1 — Z ) n-n° dZ F((n — 1)fi) t o

Lembrando que

fo zs-1(1 — z)( n-l)s-ldz = B(P, (n— 1)fi) = F(3)F((n — 1)fi) F(nfi)

então

q5 ) (t) r_ bnr,F(n030))n f t r 0(0)(8 — t)I3-1 dO

Vamos estudar a convergência da série cc n Z

F(nfi) n=0

Então, an = F(nfi)-1 e assim,

F(nfi) B (fi , n )3) 1 t' tm-1 (1 — tr 1 dt ti- F ((n + 1) fi) FP) F(3) o

Portanto, pelo Teorema da Convegência Dominada de Lebesgue, temos que

an±i _y a,

quando 72 CC.

Segue que Bnq5(t) O quando II, CO e 00

q5(t) 5_ E (Bk a)(t). k=0

an

(1.42)

30

Se a(t) m. a = const então

(Bn a)(t) = ir ônr (Mn F(nfi) (s t)as- 1 a ds

abnF(Mn (r. tys = abnF(fi)" (r t)n° = nfiF(nfi) F(nfi +1)

Segue que

q5(t) < aEs ((bF (13))1113 (r - t))

<

Se a(t) = f - tr0 eP(8-r )ds, com a = 1 - fi

(Bna)(t) - cobar

(n(00))n f

tr (s

t)"o_ [f (O 8 )- - eP(9—r) dO] ds

cob rnri n(fifir ir ePO—r) [ f 9 8 - t)3- Lit 1(0 - de] clO

= co b F(nfi) t nr(fl)n fr ep(0-,)[r uns-1(o -t- u)'du] clO

-t

Fazendo v = ot obtemos:

brir (fi)

t o ePe9-r) [f

1 v70-1(0 t ) 0-1( 9 t)l-ct (1 v)-i-hodv]do Bna(t) co

F(nfi) bni,;(fifir i r ep(o-r)(0 _ t)n+1 )0-1 dr9 B(fi,nfi) = bn (fi)'+1 tr r

—et:+r):

t)(714-1))3-1d0

= co rb(n(rn(+0)1) f 0-1

Co F((n +1)fi) o Assim,

00 00 r-t E(Bna)(t) _.5 s. co bnF(fir+1 f (n+1)0-1 ds

n=0 n=0 F((n+ 1)fi) o cx) = bnF(fi)n(r - t)( n+1 )13 jo

n=0 F((n + 1)fi + 1) r ..

b n=0 (51/13F(fi)1/13(r -

F((n +1)fi +1)

= —c° [ER (b1113 F(fi)1 I fi (r - t)) - 1] b '

então

31

Segue que

d.(t) < [E p(b1113 F(13)1 / fi (r - t)) - _b_co [ et» “P? Nr-t) _ 1]

Se a(t) = c(' fir(s — t)-ae(s) ds então

(Bna)(t) = co ft F(n/3) r 1/T(13)14

(s t)„°-' [ (O - s)' e° 0(0) dgis

] ds

= c,0 r biT( fir e 1: P

r(n)(3) e e i,b(0) [f (s - tr d5 -1 (O - s)- e r °is] de t r bnl' (13)n = co bnruir±i ePgr

- co

(0 0)(0 - t)(n+1)13 -1 B(13,nfl) de f t F(n)(3)

l'((n +1)/3)]

Assim,

t n= 0

7 rn (0'1,1+1 to

¢.(t) < (Bn a)(t) = cn- f b F((n + n=0 /1)13)ePel,b(0)(0 - tYn+1)S-1d0

cor(s) fr bnP(13)n(0 - tr3 l'((n + 1)$) eP° 1,b(0)(0 - t)13- de

t n=0

= c,01' (0) f frp((bF((3))10 (O - t))eP° 0(0)(0 - 03- 1 de

< C,odr(0) f ed(br("11'6(9—t)e°91,b(0)(0 - t)13-1d6,

Demonstração do Teorema 1.9. O primeiro passo é provar a existência da variedade

invariante. Dados D>OeA> O, seja a,. Y Ynn X: satisfazendo

:= suP iian(Y)11 xg < D, iia(y) — an(V)lixe 5- (1.43) yEY:

Seja y(t) = 77, cra ) a solução de

dy = -Boy + go(cfo(Y), Y), dt for t < Y(r) = (1.44)

e defina I r

G (cfn)(n) = e-Aner -s) n(Y fs)) Y(s))ds- (1.45)

32

Note que

11G(0-JOILve f Nf Moer — sreT-3 )ds. (1.46)

Seja no tal que, para n no, iiG(cfn)(ixe D. A seguir, suponha que an e o são

funções satisfazendo (1.43), n, n' E Y: e denote y(t) = '0(4 7", ri, an), Yi(t) = 0(t, 7 ,711 Gr2 • Então,

y _ y, (t) e-an

+ f Can (")9n(an(Y), Y)ds — Can (t—r)71i — f e-a" (")9n(Grni (V), Y i )ds•

IlYn(t) — Y(011y: mbeP(n)(7—') IIn —

< f r 34 (s traeP(71)(8—t) lign(Grn(N)) Yn) — 9n(Grin(Yin), ds

< MeP(n)(7 -1)11 —

+mbLsf (s tre-P(n)(t-s) (iian(Yn) Gr#,2(Yi)

ine, + — ds

< MbeP(n)(7-t) iin — dr:

+Mo.L9 f (s — treP(n)(8- ) (lian(Y Cl in) — in(Y)lin ± (1 ± A)11Yn Y frillY1) ds

< MbeP(n) fr Iln —

+mbL, f (s _ tre0 ((1 + à)iiYo + Man

< beP( n )(T -t) Iln — + Afb Lg(i+ A) f (s — tyae 0 bn ds f r

+mbLgIllan — o'n111&,0 (s — t)_e(n)(8-t)ds.

0(t) = eP(n)(t-r) II n Yni (t)iinr •

Então,

di(t) b[lin — ± L9 f (s — tra eP( n )( s- T ) —

+M6 L9 (1 ± f (s — t)-a 0(s)ds.

Pelo Lema de Gronwall Generalizado

ily(t) Vn(t)lincii [c1 — + c21110-y, — ouxele[pfro+cricr—t).

E

Seja

33

onde Cr = (MbL9(1 + a,)F(1 - a)) 1±a • Assim,

IIG(0-.)(77)—G(oin)(771 )11n 5_ Ma / - "r sre-S(n)(-s) if ln(an(Y),Y) - f0- ;((Y I ), YI)11xnds

S Mof

(r - s)'e-S( n )(T -s ) {Lf licrn(Y) - a(V)x + Lf y - ds oo

Ma - sre-s( n )(T -s )L f ((1 + a,)My - + IDn - uai) ds

< Ma f - sre-0(n)(T -s)L f (1 + c2 (1 + A)e[P(n)±cder-s)) - ain111 oo

p(,)_p(n)--crler -s)ds li n +ciMaLf(1 + 71111 • f (r - - Yi e-[

Seján1

.19(n) = MaLi ia — e—S(n)er—s) c2(1 + a,)er°(")+erler-s)) ds

e

4(n) = ci MaL f (1 ± (r -

É fácil ver que, dado O < 1, existe um no tal que, para n > no, Ia(n) <9 e 4(n) < a, e

1G(a)@i) - G(o- )(771 )11,cg 5_ 4(n)ljn- n'jjyyr + 4(n)illan - (1.47)

As desigualdades (1.46) e (1.47) implicam que G é uma contração da classe de funções que satáNz (1.43) nela mesma. Portanto, tem um único ponto fixo ans = G(o) nesta classe. \,1) jni,;(

Resta provar que S = {(y,o- Y)) : y E Y,n é uma variedade invariante para (1.35). Seja (xo, Yo) E S, xo = ant(y0 ). Denote por y(t) a solução do seguinte problema do valor inicial

dy dt = -Bn Y + On(°(Y),Y), Y(0) = Yo

Isto define uma curva (a(y(t)), y;i(t)) E S, t E R. Mas a única solução de

=

que permanece limitada quando t -> -oo é

X. (t) f coe— A" (t— s) ao.,*,(y,*,(s))y,ti (s))ds = o,*,(y:(t))

foo

34

Portanto, (a(y(t)), yns(t)) é uma solução de (1.35) através de (xo, yo) e a invariláncia está

provada.

De (1.46) é claro que s(n) O quando n op e de (1.47) que 1(n) —> 13 quando

n ao.

O próximo passo é provar que, para n suficientemente grande, a variedade invariante

S é exponencialmente atratora. Especificamente, se (xn(t), yn(t)) é uma solução de (1.35),

existem constantes positivas cy e K tais que

IIx (t) — tt(Yn(t))1ix?, Ke-lxn (to) — (to)) Ilx?, •

Sejam (t) = x ( t) — ct,s2 (y.b.(t)) e 14(s, t), s t solução de

ds = —Bny:t + gn(cf;;(g;),Y;.), s <t, y(t,t)= yn(t), S = t.

Então,

— yn(s)Ily: = B„ (s—t) y (,t t )

És e-B.(3-e) gn(cf:(y:(9,t)),y:(0,t))(10

_e-B„ 0-e)yn (t) _f 6-B )g (,(9),

< M f

(O — s)-ae(n)(9-s) lign(cf:,(Y:, (O, t)), Y(0, t)) — gn y.,,(9))11y„d0 Is

< MbL9 f (t9 — srt eP(n)(61-8) (110.;, (Y;', (O, t)) — 'n(0)11 x + Ily:t(0,t) — yn(0)1Ins)de st

< mbL9 f (e — sreP(n)(9-8) (11 Cin(Yn( t9 )) In ( 0 )11 ± (1 ± t) — Yn (0)11n, )dO se

< MbLg f (0 — sreP(n)(9-3) ((1 + A) (O, — y„(0)11y: + R(9)

Portanto,

e z(s) < Mal,9 (1 + A) f (O — s)-az(0)dO + Mbitg f (9 srle(nnie(0)11xed0,

onde z(s) = cP(n)5 IIy(s, t) — yn(t)ily:. Pelo Lema de Gronwall Generalizado,

II y;', (s, t) Yn(8)1IY: C3f (9 — S) —Qe[)± P(ncrile—s) g(61 )1IxR de, 8 <t.

35

t =

e e—An(t-8) [fn(Xn(S)? Yn(3)) fri(a(Y(8,t) Y(8 ,t))1ris

tpo

—f e-An( [ fn (a; (Y(s, y;,. (8, t )) — fn (a;', (Y; (s, to)

Seja s < to < t. No que segue, estimativas para ily;i(s,t) — Y7.,(8,to)ily: são obtidas.

— Y,;(8, to) i e—Bn (5—t°) [y;', (to, t) — (to)]

+11 5

e—B"(s-8)[gn(Cr;i(y;;(0, t)), t)) — gn(cr;,(y;,(0, to)), Ytti(0, ton]c/011 to

< csmbep(n)(to—s1 (9 tor e[p(n)+crlie —to) iie(0)11 xdO tb te

+ MbL 9(1 + A) f (O — sy aed9(n)("11Y;(9) Y;1(0, ti)) de,

e pelo Lema de Gronwall Generalizado

II Y(3, — y:(3, to) <e4 / — to) —°e[P(n»crlie—s) lie(e)lixg .ào?, to

A seguir, as estimativas acima são utilizadas para estimar 11C(t)lixe .

( n e(C t) —A"(t—t°)e(to) =xn(t) — a(Yn(t)) — e — A.t—to)(xn(to) — a:(y(to)))

fe= f

t e—An(t—s) f n(xn(s), Y.(8))ris — a(Yn(t)) + e—An(t—e°)Grn(Yn( t0 ))

—An(t—S)MX71(3), Yn(S))dS f e —An(t s) fn(aUg.t(s, Wt(s, inds to to

±e—An tt—to) f e—An(tir-s) fn(an(Y:(S) wi(s, to)) da

36

e

z(t)= Met) — e-An("")0o)iin

MaLff

e (t — 3)-a6 -15(n)(t-s) ülx(s) — + bn(s) — y;(s,t)iiY,?) ds

te to +MaL f (1 + A) f (t — s)'e—S(n )(t—s ) Ily:,(s, to) — y(8, t) y:ds

00

< MaL f f (t — e—S(n)(t—S) ile(S)114.6 tO

+c3MaLf (1 + A)f (t — 8)-c1e-fl(n)(t-s) (O - s)' e[p(n)+Cr](0-8)1K(0)1ixgdOdS is to to

+c4MaL f(1 + f (t — 8) —a 6 — )3( n )(t—s ) f (0 — to ) —a e [P( nRcrli e—s )U(0)11x2 dOds

< MaLf f (t — sye e— penxt—s)R(s)lindsot

to r o e— [0(n)-69(n)+cr)10 —s)dsáè +c5 f (t —ae-13(n)(t--8) ik(61 )lin (0 — s) —

e[r(n)+crilo —O ile0)!Ixt; it

es +r,6 f (0 — to) — (t — Srae-[)3(n)-[P(n)±crifit-s)dsd61

to e cc

< [MaL f + [13(n)cipr((n1 ) _aa)ri i_ai f (t Srae-fi(n)(t-s) to

IK(S)IlXgdS

c61"(1-a) aelp(n)-frcH(8-t) M(0) dO Doen) p(n) a f t (O - tOr to

Assim,

(t)114 5_ Mae-0(n)(t-to)Ile(t0)11xr, 1"(1 a)

- [MaLf c6 lerpo f — Bre-0(n)(t-s) 11C(S)11Xrc:dS to

ceF(1-a) [0(n)-p(n)--cril-cv f

_s_ o

(s - torae[P(n)-1-cd(s-t t

)11C(8)1144,5

e, se w(t) = sup{R(s)lixe , to < s < t}, então

/3(nXt-to)lic(enx,,,, )1I < Mal1(t0)11XR +7(n)60(n)(t-to)w(t)

onde

7(n) r

F(1 — a) Fm L.± c,ro. _ a) 1 ± c6P(1 — ce)K (n a [ a f [0(n) — P(n) —j iij [6(n) — P(n)

onde K = supn>0 (f ae[p(n)+crliu-7/)dU). Escolha no > O tal que 7(n) < para todo

n > no. Portanto °

ef3(n)(t-to) liceolixg <

efi(n)(t-t°) W t < \ 411(t0)1IX2 7(n)68(n)(t-to)v)(t)

37

e

iie(t)iixe 5- 2Maiie(to)iine-13(n)(t-t°) -

A suavidade de unt é provada da mesma forma que em [He2] e a estimativa para as

derivadas segue da estimativa para suas constantes de Lipschitz. Isto conclui a demons-

tração.

1.6 Semi-continuidade superior

Primeiramente relembraremos a definição de semi-continuidade superior.

Definição 1.11. Seja A um espaço métrico, X um espaço métrico completo e JA para A E

A uma família de subconjuntos de X então dizemos que Jx é semi-continuo éu. periormente

em À j E A se 8(4, JAo ) O quando onde õ é a distância definida em (1.1)

Existem teoremas que nos dão condições suficientes para que a semi-continuidade

superior dos atratores ocorra. Estes teoremas podem ser encontrados em [HR2] e [Ha2].

Em nosso estudo não fazemos uso destes teoremas.

Utilizamos uma condição suficiente através de convergência de soluções.

Seja

dw = BAin + fA(w)

(1.48)

uma família de equações, com A E A. A família de problemas gera uma família de

semigrupos TA (t) : X X os quais possuem atrator global AA. Nesta condições temos

Lema 1.2. Seja 4 uma sequência de números positivos tal que 4 -= e Seja

wk(t) uma sequência de soluções de (1.48) com .= 4 e tal que Wk(t) E AAk para todo

t > O. Se existe uma subsequência de tal que wk1(0) converge para i E k em X

então a família de atratores Á), é semi-contínua superiormente em A = Ã, Á.

Demonstração: De fato, suponha que a semi-continuidade superior dos atratores não se

verifique. Então existe uma constante co, uma sequência de números positivos 4 tal que

lilnk__.„0 4 = e uma correspondente sequência ?Sok E Ank tal que

õx (wok, AÃ) > €0 > O, Vk.

38

Considere 'a/ kW as soluções de (1.48) com A = Ak e tuk(0) = wok. Como wk(t) E AM

então isto contradiz a hipótese.

Portanto, pelo Lema 1.2, a abordagem utilizada para obter a semi-continuidade su-

perior dos atratores é obter convergência de soluções sobre os atratores. Para isso, pri-

meiramente mostramos estimativas de limitação uniforme dos atratores em um espaço

X, depois mostramos estimativas de limitação uniforme para os atratores em um espaço

Y, onde o espaço Y está imerso compactamente no espaço X. Com mais uma estimati-

va uniforme sobre a limitação da derivada em relação ao tempo, podemos fazer uso do

Teorema de Arzelà-Ascoli e mostrarmos a convergência de soluções sobre os atratores. A

função obtida através desse limite está definida em todo R e é limitada. Mostramos que

esta função é solução do problema limite e portanto está contida no atrator do problema

limite. Isto assegura a semi-continuidade superior.

1.7 Teoremas de semi-continuidade inferior

Antes de enunciarmos os teoremas de semi-continuidade inferior vamos relembrar a defi-

nição

Definição 1.12. Seja A um espaço métrico, X um espaço métrico completo e th para A E

A uma família de subconjuntos de X então dizemos que J), é semi-contínuo inferiormente

em Ao E A se .5(,/)0„ -+ O quando A —+ Ao, onde ã é a distância definida em (1.1).

Dizemos também que JA é contínua em Ao E A se j é semi-contínua superior e

inferiormente.

O teorema a seguir é devido a J. Hale e G. Ftaugel e apareceu pela primeira vez em

[HR2]. A demonstração deste teorema segue os argumentos de Rale [1-1a2].

Seja X um espaço de Banach e, para O < À< A. seja Tà(t). t > O uma família de

semigrupos sobre X.

Teorema 1.10. Suponhamos que sejam válidas as seguintes hipótese sobre o semi grupo

To(t) para t > O

To(t). t > O, é um Cl sistema gradiente e assintoticarnente suave e órbitas de

conjuntos limitados é limitada;

39

(H.2)0 O conjunto dos pontos de equilíbrio, Eo, de To(t) é limitado;

(H.3)0 Cada equilíbrio, Øj E E0 é hiperbólico

As hipóteses (H.1)0 e (H.2)0 nos garantem que existe um atrator global A0 e, por (H.3)0

temos que Eo = { Oh ... ,ØN} e

AO = Uw(øj), j=1

ondeg"(0i) é a variedade instável de

Suponhamos que sejam válidas as seguintes hipóteses relativas a continuidade de TA(t) com À —> O

(H.4),, T),(t) ; t > O, é um C' semi grupo, é assintoticamente suave e existe uma vizinhan-ça U0 de Ao independente de À tal que TA(t) tem um atrator local Á), que atrai U0 ;

(H.5) À Seja E), o conjunto dos pontos de equilíbrio deTAW. Existe uma vizinhança aberta

Wo de E0 tal que wo n EA = {01,A3 02,A) • • • I 034, OjA é hiperbólico e (Pj,A (Pj

quando À —> O,

Consideremos as variedades instáveis locais dos pontos de equilíbrio; 1/1700,(0i ,A ). E supo-nhamos que 3r > O tal que 147.(0„,) n B3,2(0,,,,) C WilLoc,A(0j,A). Suponhamos também que

(H.6)À bx(i17uoc,o(4L0), Wino0(0j,A)) —> O, quando À —> O;

(H.7) ), Dados ri > o, T > O e t; > O, existem um número real 8' = s(n,r, t;) > O e um > O tal que

I1T),(t)y ), — To (t)xjl x

para t'd <t<T, XE A, y), E ./4A, fiz — yax <? e À <

então temos (5x (A, .4A) —> O quando À —>

Demonstração: Consideramos a decomposição de Morse do atrator .40 para To(t). Seja E0 = {ou 02; • • ,.q5/v} o conjunto dos pontos de equilíbrio de To (t), e sejam ui > V2 > • • • > V AÍ os pontos distintos do conjunto {1- (931):1/(932)• • • • :1-(ON)}. Definimos

Eg = {x E Eo: 1-(X) =

40

A =U{Wn(x);x E .1=1,

Ut, = {x E X,V(x) < vk}.

Se Oj é um equilíbrio hiperbólico de To(t), então existe um r > O tal que N,.(0i) fl W"()

c Wi;e(04 e se

=wi-ocw n5N,(0,i), então

Wu(03)= noc(02) U(U To (t)P;)- t>0

Escolhemos r tal que N2,.(0i) N2,(0,) = 0 para j k. Desde que W7noc(0i) é de

dimensão finita então os conjuntos j = 1, • • N são compactos. Da, definição de

sistema gradiente, para qualquer inteiro k, 1 < k < M — 1 existe um tk > O tal que, para

qualquer Oik E Et,

V(To (t)prik) < vk+1 + —d2 , (1.49)

para t > tk , onde d= min{vi-1 — = 2, • • , M}.

Seja

to = max{tk, k =1,- • • M}.

Dado c > O, é claro que se para qualquer x E A0, temos

inf 11T0(t)x < c, t > O ye.41À

então, em particular, para t = 0. E assim o teorema está provado.

Logo, mostraremos que para qualquer x E Ao, temos

inf (t)x — < c, t > 0. yEftx

(1.50)

(1.51)

(1.52)

Para x E A0 temos duas possibilidades.

i) Se x E E0 então x = Oi para algum j. Por (H5)A , temos que 5 E para

c 5_ co e 0i,), E E ), C AA.

ii) Se x Ø E0 então x E W"(0j) para algum Oi E Eo. Desde que vvu(04 = winoo(O.AU

(Ut>0 To(t)D;) então existe si tal que x = T0 (si)0; onde 0; Oi e 05 E Wiu,„(0j)n Nr(0.7 )-

41

Assim, se si dado acima é tal que si > O,

ou seja, x Winoe(0.i) nx.(0.i) então

inf IlTo(t)çbt — YMx < e, t > O. 3 yEk,

implica

inf IlTo(t)x — yllx < E, t > O. yEs4À

Se si < O

( 1 . 5 3 )

(1.54)

u(Sb.i)

então x E In,c(çbi)n

Logo, por (H6)A, existe um número real Ai < Ao tal que, para O < A < Ai nós temos para 1 < j < N ,

63(0470c(0j)1 /4740c(ei,A)) (1.55)

42

e assim,

inf ,IT0 (t)x — yMx < E, O < t 5_ —si. (1.56) yEAx

e assim, basta mostrar

inf IT0(t)q5; — yilx < c, t > O. (1.57) YEA),

Portanto, em qualquer dos casos é suficiente provar que, para 1 < j < N e para qualquer

0; E P; temos:

inf IlT0(t)6/5*: Yiix < E, t > O. YEAA

(1.58)

Sem perda de generalidade, é suficiente fazer a demonstração de (1.58) somente para o

caso em que 4i = q5ii E El e q551 E D1. A demonstração é feita por indução e consiste de

no máximo M passos pois vamos identificar em qual dos M níveis de energia o conjunto

w-limite de q5;: i , (4)(0;1), estará.

Primeiramente vamos fazer algumas considerações.

Desde que Ao é compacto e V é continua então V é uniformemente continua sobre Ao,

ou seja, existe uma constante cd tal que, para quaisquer x1, x2 E Á0 com — x211 < ed temos

IV (x i ) — V (x2 )I

(1.59)

Defina Bk = {x E .40 ,V(X) < — e fixe uma constante to* > O. Construiremos duas

sequências de números reais:

eM-1> eM-2 > • • ' > CO (1.60) AM-1> AM-2 > " • ' > AO

da seguinte forma. Seja 6m-1 = min{5,!3L,} e escolha Am_i < Ao* tal que 11.75i — <

6 A,f_1 para 1 <j<NeA< 44_1.

Suponha k > 1 e assuma que 6)14 _1 > EM-2 > • • • > ek e Am-i > A4w-2 > " " " > Ak tenham

sido escolhidos. Como .4+1 é um atrator para To(t) restrito a Utt e Bi, C tit , então,

existe um rk tal que para t > rk temos que

To(t)Bk C Nek(del )

(1.61)

43

Da representação de .40k+1, nós deduzimos que, para qualquer çb E Bk, existe um t,/, E

Um j=k-1-1E2 tal que

6x(To(rk)45,Wu(0)) < Ek

Seja to o número definido pela fórmula (1.50). Desde que To(t) é um C°-semigrupo, existe

um ek _i > 0 tal que

ilToffix — To(t)xlix < Ek, para 0 < t < (tork) + 2t; (1.62)

para x, x' E A0 e Ix — x'ilx _< 24_1.

Por(H7)À, existem números reais positivos ek_i < min{4_1, ft} e 4_1 < Ak tal que, para

O < À < 4_1, temos:

IITÀ(t)YÀ — To(t)xlix < ek, para C < t < (to + rk ) + 2t; (1.63)

desde que x E Ao, YÀ E .4), e h), — xil < 2ek-1• Por (H6)À, nós podemos escolher O <À_1 < À 4 tal que, para O <À <

8x (Winot(0 J.) , W IMO ) < ck _i, para 1 < j < N (1.64)

Isto completa a construção das sequências ek e Ak.

Nós agora provaremos por indução que, para O < À< Ao e para qualquer çbi

05h1 E Fril temos 1.58, ou seja,

inf liTo(t)0*. Yiix < E ) t > O. yEftÀ

E El e

1° passo:

Por (1.49), temos T(t1)11;1 C BI e por (1.61) temos To (ti + tr,-, c N€1 (Á) para t >

Seja çi,-;1 E 1.471u0e(çbil) tal que To(to)0.#71 = çb;i• Então, por (1.64) temos que existe um

E 147tuck,À(S5ii,À) tal que

Vb;LÀ— 0;1115 À0

e por (1.63), para t'6' = to, temos

go (to + — TÀ(to + < El, para O < t < (t1 + TI) + t.

Como, T0(t0)0;1 = 1 e TÀ(ro + t)0;1,À E AÀ para todo O < t < (ti + + g então,

escrevendo si = t1 + TI, temos:

inf IlTo(t)i < ei, O < t < s + to yEftx

44

e To(si + s)q5;1 E Ne; (•42) para s > O.

k° passo:

Vamos assumir que existe um 8k...1 > O tal que

To (si + s)q5;1 E N„(,42 ), para s > O (1.65)

e

inf IlTo (t)q5*. — ylix < €k-1, para O < t < -k-1 + to yEAA 21

Por (1.66) para t = sk_i temos que existe um yx E Ax, tal que 117'0(5k-1)0;i — Yailx e por (1.63), temos que

(1.66)

< 2ek_i

11To(t + sk-1)95;1 — TAWYAllx Ç ck, para to < t < (to + Tk) + 2í0.

Logo,

inf liTo(t + sk--1)95;1 Yllx < 6k, para to < t < (to + Tk) + 2t0. yEA>, Portanto,

inf 11T0(t)0:1 < 61v, para to + sk-1 t Sk-1 + (to + Tk) + 2t0. yEA\

A assim, por (1.66) e por (1.67) temos

inf liT0(t)0;1 — Yiix 6k, para O < t < 5k-1 + (to + Tk) + 2t0 yE.4),

(1.67)

(1.68)

M v-14 is De (1.65) temos que para cada s > O existe um g% E U3.k Lei e Q3k E Wn(q5jk ) tal que

+ s)95;1 — 95.siki! 5_ fk-1

Vamos por primeiro s = O.

Se q9jk E W7( k) n{y E X; IlY < r} então temos

1171)(31v-1)0;1 — fk_.1+ r < —3r 2

(1.69)

(1.70)

e existe um número real ao > O tal que To(sk_i + sk5;ti E Ar2r(q5°k) para O < s <

oth Além disso, se para um s em (O, o-ol, o elemento q-5:h dado em (1.69), pertence a

W1:),(q5,h)nArr (q5.11v ) então q5i k = q5jk0 desde que N27(q5j) nN27(q5;) = O para j k. Com

esta propriedade temos somente duas possibilidades:

45

Ou a) k E W;:k(01:ik) n Nr (4§1 k ) para todo s > O , ou seja, se o ui-limite de 0.,/, w( 1 = 4,?k.

Então, por (1.64), temos que para t > sk-i

inf {To(t)0:1 - y} 5_ 2ck-1 yEAA

e a hipótese de indução (1.66) nos dá para t > O que

inf {T0(t)0;/ - y} < 26k-1.. (1.71) YEAA

011 1)) existe um primeiro tempo c > O tal que o elemento ;kik dado em (1.69) não pertence

a Wn(çkc;k) n Nr(o.?,)e se, a > O, -ç-bjs k E Winoc(A) n N,.(0k ) para.058<ceçijk E

wu(o?k) n F'().

Assim, para s > tk , V (To(sW7k ) < v k+1 + 1. De (1.69) temos

liTo(sk-1 + 8)0;1 - j4kil 5 ek-1

para s > O e assim, paras .= a e por (1.62) temos

ilTo(sk-i + o- + t)0;1 - To(t)4,11 < ek, para O < t < tk (1.72)

pois tk < (to + rk) + 2t0.

Como ek < Q então para t = t k temos por (1.59) temos

IV(1710(sk_i + o- + tk)0;i) - V(To(t)Ojk)! 5 -4c1

e assim, V(To(sk_1+cr+tk);1) < V(To(r)(4k)+1 < vk - 1. Logo, V(To(sk_i+a+tk)0;1) E

Bk e desde que V é não crescente ao longo de órbitas então V(To(sk....1 + a + t)0;1) E Bk

para t > tk . E portanto, por (1.61)

To(Sk +.9)0;1) E Nek (lel), Para s > O

onde sk = 8k_1 + cl + tk + rk- E assim, a hipótese de indução (1.65) está provada.

Resta provar que (1.66) com k - 1 trocado por k, ou seja,

inf liT0(t)0:1 -yIx< ck, para O < t < sk + ro (1.73) yEiL '

Primeiramente, observamos que se c < to então (1.73) é o mesmo que (1.68). Assim,

supomos que a > to. Por (1.64), para O < s <a, existe eliktA E Winokix(01;k,A) tal que

II(4 is 5 Ek.-1 (1.74)

46

Por (1.69) temos que 3.0ik E Witt„(0:4) tal que liTo(sk_i + .9)0;1. — 5_ ek-1 E por

(1.74), temos 11 - Sik,A — cIsikII logo

— To (sk—i + < 26k-1 < Ek• (1.75)

Como consequência de (1.63) e (1.75) temos para $ = a — to > O que

11 21(8k-1 + a — to + t)(b:h TA(0.7k,tA°11 < ele) para to < t < (to + rk) + 2t0 (1.76)

E assim, para O < t < 8k-1 + to temos pela (1.66), que infyE.,4, liT0(1. Yllx 5_ ek. Para

3k-1+ to < t < 3k-1 +c temos, por (1.75) que infyEA, 11T0(t).03*.1 — Yllx < ek e finalmente,

para 8k_1+ to < t Sk ± to, por (1.76) temos infyE.,4, liTo(t)051 — Ylix < ek. Logo, a

hipótese de indução (1.73) está provada.

M° Passo: Finalmente, argumentando como anteriormente M — 2 vezes no máximo,

mostra-se que:

ou existe um ko < M — 1 tal que w(çb;1) C Ek° e então (1.71) é assegurado para k = ko;

ou, pela hipótese de indução, existe 8m_1 > O tal que To(sm_i + s)0;1 E 1\7,,,,,_, (Em) para

s > O e (1.71) é assegurado. Mas Witoc (çb jm ) = çbjm onde çbjm E EM . Assim, por (1.64),

temos

inf (Sm-i s)gi YX11 2em-1 em nEA.x

para s > O.

OBSERVAÇÕES: Se no teorema tivermos dois parâmetros Àene desejarmos analisar

a semi-continuidade inferior relativamente a um parâmetro, À, mas uniforme no segundo

parâmetro, n, então a uniformidade das hipóteses do teorema relativamente ao segundo

parâmetro não é suficiente para garantir o resultado pois, como pode ser observado na

demonstração, a construção das sequências ek e Ak dependem também do to definido em

(1.50) e este está vinculado ao decrescimento do funcional o qual não está envolvido

nas hipóteses quando existe apenas um parâmetro.

Logo, para obtermos a semi-continuidade inferior uniforme em outro parâmetro, com

hipóteses já uniformes, é também necessário que o to seja escolhido independente deste

novo parâmetro.

47

O próximo teorema nos dá condições suficientes para que a hipótese (H6)À seja veri-

ficada. Como referência para este teorema temos [CH].

Fixamos um ponto de equilíbrio (0i,o) e transladamos todos os equilíbrios de forma

que o equilíbrio fixado seja a origem. Continuaremos a denotar o equilíbrio transladado

por 0j,À. Para cada A > O e .rbi,À sejam Sp e Up as variedades estável e instável de Op do

semigrupo linear (gerado pela linearização em 0.1,A), respectivamente. Sejam Pp e Qp as

projeções espectrais sobre Up e Sp respectivamente. E seja Wp a variedade instável de

çbiÀ do semigrupo não linear. Consideremos a vizinhança Np, de Op e um homeomorfismo

CriA :Up n NP n W. Como observado em [Cl-!], temos que a distância entre o

fluxo e a variedade instável é limitada superiormente pela distância do fluxo a variedade

instável na direção da variedade estável, isto é, iiQiATÀ(t)xo — a(PiATÀ(t)xo)11:

Com estas considerações temos o seguinte teorema:

Teorema 1.11. Suponhamos que TA(t) satisfaz as seguintes hipóteses

(31) Dado 77 > O, > O e t't; > O, existe um À0 > O ta/ que

IITAffix — To(t)xlIx

paratt<t< r,xE.AeA< À0,

(32) Cada .rbi,À é hiperbólico e 0i,À CAIA quando A —> O, ou seja, dado ri > O, existe um

AO tal que Ilebi,À — Oi,dx 97

(33) Existem números reais positivos p e q tais que IPAI < p e < q, para A <

(34) As constantes de Lipschitz de ap, .L.p, são independentes de A,

48

(35) Existe um 81 > O independente de tal que -1351 (0»,) C Np, para .À < A

(36) Existem um 82 e um M tais que para < A temos

11QiÀTÀ(t)xo — crix(PixTÀ(t)xo ll < Me-fit iRixxo — crix(Pixxo)li,

onde /3> O e pode depender de X

sejam 5 = min{ai, 62 } e r =- max{1,p} e definamos p = f.. Então as variedades VjÀ =

n j),) são semi-contínuas inferiormente em = O.

Demonstração: Desde que 4i0 está fixado então omitimos o índice j. Desde que Wo é

de dimensão finita e Vo = Wo 11-8p(4) então Vo é compacto. Se dado n>Oey E Vo existe um tal que y E N,;(16,) para < Ã. Então como Vo é compacto, escolhemos 4

independente de y E Vo, ou seja, escolhemos tal que Vo C N,i(VÀ) para <

Dado 77 >. O defina 'Tf = mintk, onde K =l+Mq+2MpL,+M. Escolhemos T > O

tal que To(-7-)Vo C Efi(00). Pela hipótese (J1) existe tal que IITÀ(t)x — To(t)xilx _< para O < t < rEAe< E pela hipótese (J2), existe um tal que 4À E Bri(00) para todo < Consideramos = 4). Para cada y E Vo, definamos x =

To(—r)y. Então:

d(y, VA) d(y, TÀ(7- )x) + d(TÀ(7- )x). VA). (1.77)

Mas,

d(TÀ(r)x), VÀ) < IIQ ÀTÀ(t)x — o- À(PÀTÀ(t)ro)i1) (1.78)

como observamos anteriormente.

Desde que x E /141(00) e 4,À E En(00 ) então x E Bp(OÀ ) e portanto 11/3xx — OÀ11 = IIPAr — PÀ0À11 pilx — OÀ11 5_ pp , ou seja. PAZ, E E5 (À).

Também, por (J1), IITÀ(T)x — < tsr. e To(r)x E ./3;+(q50) então TÀ(7- )x E B5. (6/00 ).

Logo IITÀ(7-)x — < + < 8, ou seja, TÀ(7- )x E R5(0À).

49

Portanto, por (J1), (J3), (J4), (J6) e (1.78) temos de (1.77) que

d(y, VÃ) < (7)x — TÀ (7)x + 11(2 ),T),(t)x — cr),(P),Tx (t)xo II

• I To (7)x — (7)x11 + Mi I Qixxo — aia (Pixxo II

< IX + Mi1C2Axii ± Mil ax (Pxx) — (PÀ0x)11 Aux (Px0x) II

• IX + Mqx + M Lif il(13,x)— (1305),)11+ MII(P),q5À)11

< + Mdx11+ MpLellx — q5),11 + MIxII

Na estimativa acima, estamos utilizando que cr ),(13,q5 ),) =

Por (32) e x E B,7 (00 ) então:

d(y, VÃ) < + Mqf7+2MpL — cril+Mfl < 77. (1.79)

OBSERVAÇÃO: Se no teorema anterior tivermos dois parâmetros A e ri e desejarmos

analisar a semi-continuidade inferior das variedades instáveis locais relativamente a um

parâmetro, A, mas uniforme no segundo parâmetro, ri, então a uniformidade das hipóteses

do teorema relativamente ao segundo parâmetro não é suficiente para garantir o resultado

pois, como pode ser observado na demonstração, a escolha de A1 e consequentemente de A,

depende de T. Se /- puder ser escolhido independente de ri, então o resultado é assegurado

uniformemente em ri.

O teorema a seguir nos dá condições suficientes para obtermos as hipóteses (J4), (J5)

e (J6), no caso da família de semigrupos ser gerada pela família de equações do tipo

±(t) = LAx + f ),(x) (1.80)

tal que f (0) = O e df (0) = 0 (estamos considerando o equilíbrio trival).

Teorema 1.12. Suponhamos que as seguintes hipóteses estão satisfeitas

(K1) Existe um N tal que a constante de Lipschitz de f ), em B11„(0) pode ser escolhida

independente de A;

(K2) Existem 7+ > O e 7 — < 0 tais que c f(L),) n[7— ,7+] = 0;

50

Yn(i, = Y), + Yll

niii+0 ) 111~ 11 , 2 11X ± vil >

Agora, definimos

e

{h(x, y), hii(x, Y) =

nl

Ilx+yll s

—P---)11x+ yll >

E as constantes de Lispchitz de gr, e hn são as constantes de Lipschitz de g e h na bola

de raio k e assim, L9,‘ e Lh„ convergem para O quando r2, op.

Nós denotaremos por M9 e Mhn o máximo de gr, e h„ respectivamente. Temos que

M9„ O e Mhn O quando ri O. Definamos a classe de funções:

CD,,5 = {Cf : U —> S : lila III : = sup 5. D e icr(y) — a(y')I 5 Iv — yEU

Vamos procurar um ponto fixo nesta classe Cógs•

Fixemos 7- E 1R, 77EUe a EC e definamos:

y(t) = 714.(t — 7-)y(r) + f :Tf.(t — s)hn(a(x(s)), y(s))ds (1.84)

Y = 77

para t < y(t) é solução de ft y = Ay + hn(a(x), y), y E U. Desde que U é de dimensão

finita e y(t) é limitada para todo t, então y(t) existe para todo t < O. Nós podemos definir

a aplicação G (a)(77 ) : U —> S como

G(a)(77)= f roo 71— (7 S)gn(e(Y(8)), Y(8))C18'

Observamos que P G (a)(77 ) = O e assim, G (a)(77 ) E S.

Primeiramente vemos que G(a)(n) é limitada em U, para isso usamos as estimativas

(1.12),

11G(a)(77)11 < j Ke_T M9ds K Mg. fi

Desde que M9 —> O quando ri co então escolha 7/1 suficientemente grande tal que

—2aKM < D para todo rt—> ri1 . Agora mostraremos que G(a)(n) é Lipschtiz em 77 eGé fi

52

(1(3) Existem K> 1, > O e p> O, independentes de A, tais que

i¡Tx(t)ril S K t O, x E U

e

IITÀ(t)xli K e-13114, t > O, x E S.

então, fixado j, para 4.1,À existe um 8 tal que para todo A, WA n B5() é hoineomorfo a

Uxn.Bs(q5A ) e, enquanto U(t) E B5 (q5 A ) temos:

liQÀxÀ(t) — crjA (PiA (WH < /Ide- (411(2.p,u0 — cri ), (Pp,u0)11, (1.81)

e as constantes de Lipschitz La dos hoineomorfisino podem ser escolhidas uniforinerm-

em À.

Demonstração:

Fixamos um valor do parâmetro e mostraremos o resultado para este valor fixado.

No final da demonstração fazemos as considerações necessárias para a uniformidade em

À. Nesta demonstração não utilizaremos o índice A. Para a demonstração do resultado,

consideramos a seguinte sequência de problemas

x(t) = T_(t — r)x(r) + T_(t — s)g„,(x(s), y(s))ds

y(t) = TF (t — r)y(r) + ETF (t — s)h.„(x(s), y(s))ds (1.

onde para cada n, as funções g, e h„ são globalmente Lipschitz e suas constantes de

Lipschitz convergem para O quando n co. Mostraremos que para n suficientemente

grande existe uma variedade instável global W ={q5 E X; liT (t)q5li existe e é limitado

para todo t < O}, onde W é invariante, globalmente homeomorfo a U e globalmente atrator.

Para obtermos a sequência acima da equação original, fazemos o seguinte processo.

Denotamos por g(x(s),y(s)) a projeção de f (x(s),y(s)) sobre a variedade instável do

problema linearizado, ou seja, g (x(s), y(s)) = P f (x(s), y(s)) e por h(x(s), y(s)) a projeção

Q f (x(s), y(s)). Então g(0, O) = O, h(0, O) = O, Dg(0, O) = O e Dh(0, O) = O e

x(t) = 2_(t — r)x(r) + f 7_(t — s)g(x(s) ; y(s))ds (1.83)

y(t) (t — r)y(r) + (t — s)h(x(s), y(s))ds

51

uma contração sobre C. Denotemos por yi(t), y(t) com a e 77 trocados por a' e 77'. então.

11Y1(t) - Y(t)II IIT+(t - 7- )11 - T+(t -

+ I1T+(t - 7 )(h.(a(Y(s)),Y(s)) - hn(cr i (Y1 (8 )), Y' (8 )))dsli

< K eP(t - 7- ) Iln — + K f t r eP(t-s) lihn(a (Y(8 )) (s)) -

< K eP - 7 )1177 - + K ft 7 eP(t-S)Lhn (11C(Y(S)) al(yt(S))11 11Y(8) Y i ( S )Ind8

< K eP - - + KL f r el9(t-8) (111°- — ± (1 + 5)110) — Y1(S)11)ds

11 < K eP (t - r) n,

lin - I KLh

lla a'111(1 eP(t--r) )

< KLhn f eP(t-s) (1 + S) I y (s) - (s)lids

Pela desigualdade do lema (1.3), temos

W(t) Y(t)11 K(1177 - n'll + KLhn III) e-(p- K Lhn o.+amt-T)

Vamos estimar 11G(a)(77) - G (a' ) (rii)11

liG(a)(77) - G(Gri)(011 = froo T_(r - s)(gn(a-' (il (s)), (s)) - gn(a (y(s)), y ( ANA'

5- K Lgn I lo c''''')(11c/(Y'(s)) - 0-(Y(s))11 + 11Y1(8) - Y(s)I1)ds

KL,„ fr er-') (111a' - + (1+ (5)ily'(s) - y(s)11)ds

- 7171

onde

e_fier_s)e-(p-K-Lhn o+5))(,--8) = feLgri (1 + (5) .11 ds • -00

K2 L9 (1+ 6) 0+ p- KLh „(1+6)

e

▪ K Lg„ f e-(3(T-s) (1 + KLgn (1 + (5) ( P-KLhn (1+5))( T-s) )ds -00

K2L2 = K e-'3(1.- s )ds + n(1 + 6) ▪ e---0(T-s)e-(p-KL(1+6))(7-s)ds f

- P -00 KL 5,„ 4n (1 + 6)

3 + P(13 + P - 14, (1 + Ó))

53

Desde que I.", Lhn vai para O quando n oo então escolhemos n2 suficientemente grande

tal que

11G(ci(il) — G (a)(n)II 5- 51In — n'll + ellla —

onde O < 1. Portanto, para ri > max{ni, n2} temos que G tem um ponto fixo em C.

Denotaremos este ponto fixo por cru e assim, crn(n) = G(an)(n). Este homeomorfismo nos

dá a variedade Wn = {(an(y), y) : y E U} resta provar que esta variedade é a variedade

instável, ou seja, que Wn é invariante e que as soluções em Wn são exatamente as soluções

que permanecem limitadas quando t —oo.

Seja q!) uma condição inicial em Wn. Então 4 = (an(Pq5), PO). Uma solução de (1.82)

através de 4 é

u(t) = 71,.(t)Pq5 + f T_(t — s)g,i (x(s), y(s))ds + f T+(t — s)h„(x(s), y(s))ds. o

Observamos que para t = O temos

o u(0) = fl + f (t — s)g(x(s), y (s))ds = + a(P) = q5,

Por (1.12) sobre U, temos que u(t) é limitada quando t —co. A componente de u(t)

em S é dada por:

x(t) = Q 1:0 71_(t — s)gn(x(s), y(s))ds

= f To o T_ (t — s)g(x(s), y(s))ds = G(u)(y(t)) = (y(t))

Logo, u(t) E Wn.

Agora vamos mostrar que a variedade instável é exponencialmente atratora, ou seja,

liQu(t) — cr(P(u(t))Il < — an ( Pu(0))11.

Assim, seja u(t) = (x(t), y(t)) uma solução de (1.82), para n > N . Desde que de-

sejamos estimar liQu(t) — cr(P(u(t))II, definimos e(t) = x(t) — rrn(y(t)) e vamos estimar

e(t).

Definimos

y*(s, t) = 71+ (s — t)y(t) + f 71±(s — 0)hn(an(y* (O. t)). (O. t))d0 e

54

Observamos que y(t,t) = y(t) e nós temos

IlY*(s, - y (5)11

1171+ (s — t)y(t) + f 5

71+(s — O)12,„ (a h (y* (O , t)), y* (O ,t))d0

— (s — t)y(t) —f (s — 9)hh(x (0), y(0))01 i s

K ei (8-9)1112,n(ah (y* (0 , t)), y* (O , t)) — h,i (x (0), y(0))11d0

< KL,, f 8 e(8-9) (11an(Y* (0, t)) — x(0)11 IlY*(0, — MINO e

< KL,, .15 eP(8-°) aia h(y* (0 , t)) — a o (y + th(y (0)) — x(0)11

( 9 t) — MIMO 5_ KL, (1 + (5) f y(9, t) — y(0) 11d0

+ KLh f eP(8-19) 11e(0)11d0

Assim, pela desigualdade do lema (1.3), temos

y (p—K Lhn(1+6))(0—s) lie(0)11 Il * (s, t) Y(8)11 h la n f c 0

Para s <t0 < t temos

(s ,t) — y(s,t0 )11 -= 1171+ ( s — t)y(t) + f t s (s — (9)hh(ah(y* (O ,t)), y*(6) ,t))d0

—T_h(s — to )y(t) — f T_E (s — 0)11„(a (y* (0 , to))), y* (O, to))d011 to

to • 11T+ (s — t)y(t) +f T_h (s — 0)hh (rx,.(y* (O , t)), y* (O , t))dt9 — T+(s

+f 11T+ (s 9 )hn(a n(Y* (6 I , t))) Y* (6 t)) — 11.(an(Y* (6 t o))) Y* (6 I, to))1Ide o

th < K eP(s-°)11T+(to — t)y(t) + f T+(to — 0)117e(c (Y" (O ,t)), Y* (6 t)) de — (to)II

+K f 5 eP(s-t°) iihnegn(Y* (6 t))) Y* (6 I, t)) — h„ (a h (y* (0 , to))), Y* (61, to)) Ildo

to 8

< K e °) IIY* (to, t) — (4)11 + K Lh„ (1 + 6) f eP( t°) ily* (6 — (O, to)lid0 to

Pela desigualdade do lema (1.3), temos:

IlY*(s, t) — y(s, to)II < K2Lhn f e—(P—KLso (i+ame—s) le(0)!IdO to

55

o ± K3 I, gn Ltin (1 ± 5)] t f e--5(t-T)e-„0.+8))(o-r) R(0)!Idrd0

to to C fio

+K3 L9„Lh„ (1 + 5)

Definimos z(t) := Me(t) - TÁt - to)e(toll

11x (t) an(Y (t)) — T—(t — to)(x (to) — an (Y(to))) II

— to)x(to) + f T_ (t — r)g(x(r), (7)) to

— an(Y (t)) — T— (t — to)x (to) + T_ (t — to) Ctrz(Y(t0))11

11 f T_ (t — 7-)g„(x (7), y(7))dr — f T_ (t — 7- )g(an(y* (7, t)), y* (7, t))ch-to

to + T_(t — to ) f .T_ (to — 7) go (an(ye (7, to )) , y*(r, to )) &ri!

— 7)(gn(x(7), y (7)) — to

+ fto .T_(t — 7)(gn(an(y* (7, t)), y* (7, t)) —

Por (1.12) temos

z(t) • KL9,2 f e-"-r)(lix(r) - (yI(T, + - y*(r, t)11)dr to

to +KL9„100 e-S(') (11ao(y*(7, t)) - ar, (y*(7, to)) + t) - y*(r, to) Indr

< KL9„ f e-fiCt-T) Ile(r)ildr + KL9 „ (1 + 5)] Cs(t-T) ily(r) - y* ( to

o to

+K L g„ (1 + 5) f 6—$(t—r ) (11y. (7, t) — y*(r, to)ildr

t) INT

t .---- KL9„ f CSCI-T)Ile(r)lidr

to t t

+KL9„ (1 + 5) f 8-13(t -71 )) K L h„ e—Cp—K Loo(14,5))0-7-)11e(8)11,0 dr J

Jrr to

+K L g „ (1 + 5) e —f3(t—r)K2Lhn f e--(p—KL,h"(14-5))(0-7-)U(8)110 dr to

< KLyn f C CI —S-7)11e(T ) RIT to

z (t)

56

e assim,

z(t) < KLg„ f e-°(`-')Ile(r)Ildr Jto

f e e-sa—r)e-(p-KLhn (1-14))(0 --,-) i,e(0)11dT da K3 Lgn L hn(1 + (5)

tio -00

KLg„ f e-13(t-111e(r)Ildr to

K3 L9 Lhn(1 6) pi e—fite—(p—KLhn(1-14))(9)11e(e)li ew+p—Kchno+s))(o)do

fi p — KLh„(1+ ô) to onde fi + p— KLh„(1 +6) > O para n suficientemente grande.

Assim, to

z (t) < K Lgit

„ K3 L gn h n (1 ± 6 ) t °) Ile(6) )11de 6-13(t—r) lie(r)lidr fi p Lh„(1 (5) J Lo

< k f C13(t-elle(9)11de to

onde

— (K3 — K2 ) L gn L hn (1 + (5) (/3— p)KLg„

fi + p — KLh„(1+ t5) Agora podemos estimar e(t)

Ile(t)jj K f e-5(t-6011e(0)lide + IIT_ (t — r)e(to)li to

E pela desigualdade do lema (1.3) temos:

110)11 < Ke(x-i3)(t-t0)11(t0)11

e assim escolhemos fiT tal que k <

Pela demonstração dada e pelo fato que hipóteses (K1), (K2) e (K3) são uniformes em

À então o resultado é obtido uniforme em À.

Lema 1.3. Sejam a e b funções contínuas a valores reais e suponha que

b(t) L f b(0)de + a(t), para O <t < T

Então

b(t) < L f a(0)eLQ9-i)de + a(t).

Além disso. se a(t) é urna função decrescente então

b(t) a(r)eL(r-t) — f (f/(0)eL(°—t)Ci9 < aeOeL(7—t)

57

58

Capítulo 2

Problema Parabólico

Neste capítulo vamos mostrar a equivalência topológica dos semigrupos sobre os atratores

dos problemas

ut = urx + f(u), O x < 1, t > O (2.1)

ux(0) = ux(l) =. 0, t> 0,

e

Ú = —ApU + f(U) (2.2)

onde f : é uma função de classe C2 satisfazendo a condição de dissipatividade

(1.3), Ap é a matriz apxp dada por (1.10) e U) = Mui); • , f (up)r-.

Os resultados do capítulo 1, nos garantem a existência de um atrator global A para

(2.1) e um atrator global para (2.2).

A equivalência topológica de A e .41, é obtida quando o tamanho do passo, p-1, utili-

zado na discretização do problema (2.1) é suficientemente pequeno, ou seja, p é suficien-

temente grande.

Como foi comentado na introdução, foi necessário definir em um produto interno

compatível com o produto interno L2.

Sejam À11 , À„, ... os autovalores e abh , " • 7 On; " •

—ti,xx com condição de fronteira de Neumann. E g,... , Ai:, os autovalores e 'Pi , ••• 3 49n

os respectivos autovetores de Ap Então, se (2.1) possui uma variedade invariante expo-

nencialmente atratora dada por cri : W = [Ou ... ,0„] —> Il' a equação (2.1) reduz-se

as respectivas autofunções de

59

Ai O O O

O A2 O •

O — 1 o

v + gn (v, an(v)) (2.3)

O O AT,

e após uma mudança de coordenadas (2.2) torna-se

2; O O O

O AS O O

= — v + F(v) (2.4)

O À_1 p-1 O

O O Ali,

Se n, = p os problemas acima possuem o mesmo espaço de fase. Como A71— Ai não pode ser

feito pequeno para todo i, então não podemos esperar obter que as dinâmicas assintóticas

são suficientemente próximas. Ao fazer p >> rt, temos que supic.cn À — A,1 se aproxima

de zero. Neste caso (2.3) e (2.4) não possuem mais o mesmo espaço de fase. Projetamos

(2.4) sobre uma variedade invariante exponencialmente atratora n dimensional dada pelo

gráfico de

147,, = [0713, 95Pn] —> (In )1 n.

e (2.4) fica reduzida a

AP O O O

O A,71 O O

É = — Z + È(Z,of,(Z)) (2.5)

O AP7,--1 O O O Az;,_

Agora estamos em condições de realizar a comparação dos campos. Se p >> rt, temos que

suPi<i<a — Ai! é pequeno e por outro lado. se p >> 71 >> 1 temos que a!,), e u„ são

próximas de zero e portanto negligenciáveis.

Este é o argumento que empregaremos para mostrar que as dinâmicas assintóticas de

(2.1) e (2.2) são equivalentes.

a

_

60

2.1 Discretização

Primeiramente nós discutimos a discretização espacial de (2.1). Consideramos os pon-

tos xj = 2j1, j = 1, • • • ,p e denotamos ui (t) = u(zi, t). Então, nós temos

= 732 (u2 - ui) + f(24 ),

= p2(u j_i — 2uj + uj+ ) + f (ui), j = 2, • • • , p — 1 (2.6)

142 = p2(up_i — up) + f (up)

Observamos que as condições de fronteira, pela discretização, se transformam em-u1 =

24, up+1 = up e já foram incorporadas nas equações (2.6).

Denotando U = (ui , • •• , up ) T e reescrevendo a equação acima na forma Matricial, nós

obtemos:

= —ApU + f(U) (2.7)

onde Ap é a matriz apxp dada por (1.10) e f(U) = (f (ui), • • , f (up))T.

Nós observamos que o sistema (2.7) é genericamente Morse-Smale (ver [FO]).

A condição de dissipatividade (1.3) implica que existe e > O tal que f (u)u < O para

uI > e. Esta última condição é suficiente para obter os resultados da seção 1.2. Por

conveniência, vamos manter a condição (1.3) Pelas condições impostas a f, o problema

acima tem um atrator global Ap que satisfaz

A c RP P e) (2.8)

onde R1 = {v E ; 'vil < e, 1 < i < p} e e satisfaz a condição dada acima, ver [CM:t].

Desde que nós estamos interessados em estudar as soluções do problema acima somente

no atrator, nós podemos cortar a não linearidade de tal forma que f é limitada e suas

derivadas até segunda ordem também são limitadas.

Sabemos, pelo teorema 1.3, que À = 4p2sen2 e, são os autovalores de Ap e os autove-

tores associados são v= (cos brzi, • • • , cos km-x,,), para k = 0, • • , p — 1.

Em P definimos um produto interno Ls compatível com o produto interno em X,

dado por (U, V) => Normalizando stek de acordo com este produto interno, nós

61

obtemos:

p (cos krrxi, • • • . cos kr x p ) ¡MU Er cos2 krx,

Se nós escrevemos

vik,(x) r_ ELI cos krrxi XL (x)

Vpi ET: 1 cos2 krrxi

onde nós denotamos por I o intervalo [ p , ;Lb nós obtemos que v(x) E L'(0, 1) e

Hz/(r) — .N/cos krrxho --> O quando p --> oo.

Consideramos a base de autovetores v, O < k < p —1, em R. Esta base é ortonormal

com respeito ao produto interno L. Nós consideramos a equação discretizada nestas

novas coordenadas, ou seja, se nós escrevemos: v1 = (U,14;'). • • vp = (U, v;_1 ) e v =

(vi, • • • ,

vi,) nós obtemos:

= + F(v) (2.9)

onde ã é a matriz p x p dada por ã = diag(g, • • • Y 1) e F(v) = (F1(v), • • , Fp(v))T

com cada Fj(v) dado por

Fi (V) = (f(U),) = f (vP + • • • + 7." v 3 -1 3 -1 k Ok (p-1)k P ) • k=1

(2.10)

onde v;k denota a k-ésima coordenada de vil. Nós denotamos a matriz de mudança de

base por Z; e é dada por zki = zi(j_ip, e a matriz z--1 é dada por (1/p)ZT.

Agora, nós consideramos uma discretização com p = n3 pontos e consideramos a

seguinte decomposição de IRna IRn e Rn3 ' onde IRn = span[vga.... , I) e Rna =

3 span[z4in3 vnna _ 1] . Com esta decomposição, nós obtemos o seguinte sistema fracamente

acoplado:

115n ÃnW n = in(Un 111n )

onde Ai é matriz diagonal n x n dada por „ = diag(AN3 • • • . Anna - i). _Lin é a matriz diagonal (n3 — n) x (n3 — n) dada por Ãn = diag(A 3 • = (FINT2.2 Wn), F,i(vn, wn))T e in(v„, w,i) = (F(n-I-1) (Vn, Wn),' Fna(Vn, )) -

Para o sistema fracamente acoplado (2.11) mostramos que existe uma variedade inva-

riante n-dimensional exponencialmente atratora; isto é, o seguinte resultado vale:

ÉnVn = :UR (V11: itn) (2.11)

62

Teorema 2.1. Seja f de classe C2, limitada com primeira e segunda derivadas limitadas;

então, o problema (2.11) para n suficientemente grande, possui uma variedade invariante

Mn = {(v, w) E Rn'iwn an(Vnill

a qual é exponencialmente atratora, onde à, é uma função suave, -án : Rn —> Rn3-n e o

fluxo sobre M„ é dado por u(t) = v(t) + Ern(v,(t)) onde v(t) é solução de

i)n ± Ê vn — pn(Vn, 6n(vn))

(2.12)

Além disso, s(n) = IIãdM = suPv„ER.{&,(v,)} e a constante de Lipschitz, 1(n), de 5-73 convergem para zero guando n —> oo.

Demonstração do Teorema 2.1: Fazendo a = O no teorema (1.9) nós temos: Yn x X7'2

onde Yn = Rn e Xn = R õn : Yn x Xn —> yn e in :Y x Xn —> X. Nós fazemos a

seguinte distinção relativamente as várias normas usadas aqui, quando o índice da norma

é Xn ou Y„ nós estamos usando a base de autovetores e desta forma a norma é dada por

• = (Ei 4)1)2, quando o índice da norma é Ric nós estamos utilizando a base canônica

e a norma é dada pela norma proveniente do produto interno L2 discretizado.

Primeiramente fazemos algumas estimativas necessárias sobre L. e ãn

rÉn(VnI Wn)11Y. = (E(Fi(Vn, Wn))2)1/2 i=1

n3 13 (fi(z(vin wny))2)1/2 5_ f(Z(vn, wn)THIRna = (V‘ n

3 n3 n ( f ([Z (v„, wn) (E ii))2)1/2 - (E ii ri

) i2co 1/2 lif ilco

n i=1

Similarmente, nós obtemos a estimativa

Ilin(vn,ton)11x. Ilf II.. (2.13)

63

Para as constantes de Lipschitz nós temos

ilán(vn, Wn) jn (Zn, Un)1lYn (F(vn , wn ) — ( zn, un ))2)]./2

Ilf(Z(v„, wn)T) — f(Z (z„„ un )T )I1E.3 n3

(E f ([z (vn, zon)T Ji) — f (zn, un )TJi ))2 )1 12 i=1 n3

< ( i=1

zn, wn _ un)i-ii)2)1/2 1 n3 f

= LAZ(0)n — zn), (w11 — un))Tilw,

\hicraiVn — Zn 11 yr, littn — Un

onde L1 é a constante de Lipschitz da função f. Da mesma forma nós obtemos a estimativa para a constante de Lipschitz de f„. Todas

as constantes são uniformes em n.

As constantes 0(n) e p(n) no teorema 1.9 são: fl(n) = A"„3 e p(n) = Ann3 1. O que nos

dá que fl(n) n2 e p(n) (n — 1)2 quando n cio, assim 8(n) — p(n) ec quando

n

Portanto, pelo teorema 1.9, temos que para tt suficientemente grande. existe uma

variedade invariante

/14, = {(v,w) E Rn3 kun = "án(v„)}.

a qual é exponencialmente atratora, onde à„ : Rn3-n e o fluxo sobre M„ é dado por

u(t) = v(t) + Etn(v,(t)) onde v(t) é solução de

V„ + /3,v„ -= j,(v„, &(v)) (2.14)

Também, pelo teorema 1.9, temos que s(n) e On) convergem para zero quando n cc.

Além disso, à, é suave e IlD5-,1 O quando tt oc.

2.2 O Problema Contínuo

Agora nós retornamos ao problema (2.1). Seja X = L2 (0) 1), nós definimos f : Hl (0,1) C

X X por fe(0)(x) = f (0(x)) e definimos:

1 2 -LiGZ(2)72 , Wn)Tij — [z(zn, _4 ,N2 )1/2

i=1

64

A: D(A) c L2 (0,1) —Y L2 (0,1)

D(A) = H7,1(0,1) = {0 E H2 (0,1) : 01(0) = 01 (1) = O}

AO = —0".

Assim, reescrevemos o problema (2.1) como:

u + Au = r(u), (2.15)

u(0) = tio

Pelas condições impostas a f, obtemos que feé contínua e Lipschitz em subconjuntos

limitados de IP (O, 1). Então, o problema acima tem um atrator global A que satisfaz

sup sup (2.16) uEA xE[0,1]

A limitação acima nos permite cortar a não linearidade f (sem alterar o atrator) de

tal forma que f se torne limitada e suas primeira e segunda derivadas sejam limitadas.

Também depois de cortar a não linearidade nós podemos colocar o problema em L2(0,1)

mantendo o mesmo atrator. Daqui para frente nós assumimos que f é limitada e tem

primeira e segunda derivadas limitadas. Nós também assumimos que o problema está

posto em L2 (0,1).

Seja Ào < Ài < À2 < • • • a sequência de autovalores de A, onde Àk = (k7r)2

e 0o, Oh 025 é a correspondente sequência de autofunções normalizadas, Ok (x) =

.Ncos(k7rx).

Agora considere a seguinte decomposição de X = W e H-1 onde

W = sPan[bo, Oh • • On-i] 1/171 = {q5 E X : (0, w) = O, Vw E 1,47}

onde (., -) é o produto interno de L2 (0,1).

Então, ti E L2(0,1) pode ser escrita como:

U = VidW 1)201 " "UnOn-1

onde

= f u(x)Oi _ i (x)dx, i = 1, • • . n o

w =ti — EUi0i-1

(2.17)

65

Seja ti uma solução de (2.15); então, para cada t, nós podemos escrever

u(t, x) = vi(t)&(x) + n2(t)01(x) + • + v(t)&_1(x) + w(t, x) (2.18)

21i = MU), n-1

Wt AnW = f (u) - Eu(u), i=0

onde An denota A i D(A)n14/1" Escrevendo v = v2, • • • ,v), u = (v, w) e B„ a matriz diagonal n x ri ; Bn =

diag(Ào, -13 " " " • An-1) nós obtemos o seguinte sistema:

1) + Bnv = gn(v, w)

int + Anw = fn(v, w)

onde gn e f n são dadas por: ga(v, w) (( f (v, w), (tio), • • , ( f (v, n-1

f(t),W) —E(f(V3 W), (bi)(bz• i=0

e

(2.19)

fn ( V, W) =

Teorema 2.2. Seja f E C2 (IR, IR) limitada com primeira e segunda derivadas limitadas;

então, para ri suficientemente grande existe uma variedade invariante suave e exponen-

cialrnente atratora, Sn para (2.I9). O fluxo sobre Sn é dado por: u(t. x) = (z:(t),an(v(t)))

onde v é solução de

+ Bnv = gn(v, , an(v)) (2.20)

Além disso, s(n) = = suPvew{110-n(n)11} e a constante de Lipschitz, 1(n), de an

convergem para zero quando n. —> co.

dt. Demonstração: SejacmLf, a constante de Lipschitz fe e Ne = 11f 11,e . As constantes

dadas no teorema 1.9, são Lf = L9 = LI,, Nf = 7V9 = Nfe, 0(n) = An, p(n) = e

observando que 13(n) — p(n) = (2n -7- 1). Portanto, o teorema segue do teorema 1.9.

2.3 Convergência Espectral Uniforme

66

Para comparar a dinâmica assintótica do problema discretizado com a dinâmica as-

sintótica do problema contínuo, nós projetamos o primeiro sobre a variedade invariante

a'n e o segundo sobre a variedade invariante an, somente depois disto somos capazes de

comparar suas dinâmicas assintóticas. Isto é realizado comparando os campos vetoriais

(agora com mesma dimensão finita). Para comparar os campos vetoriais nós precisamos

obter uma forma de comparar Én e B. Isto é alcançado se nós provamos a convergência

uniforme (com respeito a ri) dos autovalores e autovetores de Én para os autovalores e

autofunções Bn quando ri —> co.

Uma outra forma de comparar os campos vetoriais seria projetar ambos os problemas

sobre variedades invariantes fixas de mesma dimensão e então estudar a convergência dos

campos vetoriais. O que envolveria o estudo da convergência das variedades invariantes

e traria complicações técnicas desnecessárias. Esta abordagem tem claro a propriedade

que os autovalores e autofunções (um número fixo) converge uniformemente. Aqui nós

exploramos o fato que para valores grandes de ri as variedades invariantes tem norma Cl

muito pequena e portanto nós podemos simplesmente negligenciá-las; por outro lado pre-

cisamos ter cuidado para garantir a convergência uniforme dos autovalores e autofunções.

Esta é a razão porque nós fazemos o corte entre o ri—ésimo e o (ri + 1)—ésimo autovalor

com o problema discreto tendo n3 autovalores.

Se nós consideramos a matriz Ap com p = n3 nós temos n3 autovalores simples e

autofunções ortonormais para Ap. É claro que estes autovalores e autofunçõs não conver-

gem uniformemente para os n3 primeiros autovalores e autofunções do Laplaciano com

condição de Neumann quando ri —> co. É também claro que qualquer subconjunto finito

(fixo) de autovalores de An converge uniformemente para os correspondentes autovalores

do Laplaciano com condição de Neumann quando ri —> co e de fato, mais que isso é

verdade. Os primeiros ri autovalores e autofunções da matriz n3 X n3, An3 7 convergem

uniformemente para os primeiros ri autovalores e autofunções do Laplaciano com condição

de Neumann quando ri —> co. E isto nós provaremos nas subseções 2.3.1 e 2.3.2.

2.3.1 Convergência Uniforme dos Autovalores

Os ri primeiros autovalores dos operadores B„ e Bn são respectivamente A e Ak COM

67

k = 0,• • • . n — 1. Neste caso nós temos que:

sena 2 Ptrki3 — Aic I = (k7r)21( k )

ff

2n3

Usando a expansão em série de potência da função seno, obtemos:

Are - Ak I < (k7r)2 I kr7r13 )2 ± °((":--77:3 )3)1

O que nós dá para k, k = 0,• • • ,n — 1

l Arkt3 — Àk(M )I ã-21 (5-1rn2 )2 ± O((n*2 )3)1 = °(72,1)

logo1)413 — —> O para todo k = O, • • • ,n — 1 uniformemente, quando n,

2.3.2 Convergência Uniforme das Autofunções

Nós mostraremos que live(x)— -Vcos(k7rx)lico < e para ri suficientemente grande e para

todo k = O. • • • ,n — 1. Primeiramente, nós consideramos 1 cos(k7rx) — cos(k7rx5)1 para

x E [9,

Para x E [ 1, nós temos que

1 cos(k7rx) — cos(k7rx•)1 < k7r

2n3

Para todo k = O, ••• , n — 1 e para todo j = 1, • • • , n3 nós temos:

7r cos(k7rx) — cos(k7rxi)1 <

272.2

e assim, livit (x) — Nãcos(k7rx)j1oo < para alguma constante c.

2.4 Comparação dos Campos Vetoriais

Agora mostramos a proximidade dos campos vetoriais. Denotamos por e gni a

i-ésima função coordenada de §„ e gn respectivamente. Então. temos:

68

1g (7) , O) — (V, 0)1 n3 n

1 3 x-• 1 n

= 1 E ,vrè_nk f (2_, vi(13_,),vi) _ f f (E viN cos(1 — 1)7rx)cos0 — 1)7rxdx1 n

k=1 1=1 1=1 n3 k /1 n

< 1 V 4_, f -I n (1111j3-1)kf (E V1)kVi) - f (E vi l cos(1 — 1)R-x)12'cosU — 1)7rx)dx1

k k=1 ,-;13- 1=1 1=1

3 TI k n n

< lEikf: f(EV 1)0)

3 n (/-//" ( V(l_ok — 12- COSO — 1)71- X)dX1 k=1 ,-;13- 1=1 rt3 k

± I , f Cf (2 Va3-1)kVi) - f (E vi \/-' cos(1 — 1)/rx)h/-2'cos(j — 1)/rx)dxl. Y: k=1 TS" 1=1 1=1

ft3 k n

< E I f (E vr_ okvi)1 I (vnok — V-2'cos(j — 1)R-Aldx Ir-1

k=1 7,-"S" 1=1

nõ ± V I V .4_, 1,-, .- f (v(i3-1)kv() — f (E vil cos(1 — 1)7rx)1112-cos(0 — 1)trx) idx

Ic=1 Ta"-- 1=1 1=1

< f11 0. C

Il --E l'f E Ivil• n n 1,1

Portanto,

crn(v)) — -án(v, 5-n(v))11Yn lIgn(v, an(v)) — gn(v, 0)1In + lign(v, o) —

rÉn (V, - "án (V)) II yr,

Lflian(V)11 lifiran(V)11 (MfIlc, + Lfec4:

onde e é como em (2.8).

Desde que, pelo teorema 1.9, IIIoI —> 0 e O quando n co então

an (V)) - -án (V, Õn (V)) 0

quando n

Similarmente, usando o fato que f' é globalmente Lipschitz, Dal —> O e IlDárn ii —> O

quando n cc , nós mostramos que as funções gn(v, o-n(v)) e ...gn(v,ii-n(v)) são Cl próximas.

Assim, nós temos o seguinte teorema:

Teorema 2.3. Seja f E C2(R, R) uma função limitada com primeira e segunda deri-

vadas limitada. Assuma que o fluxo sobre A é estruturalmente estável. Então; para n

69.

suficientemente grande o fluxo de (2.20) sobre o atrator .4„ e o fluxo de (2.9) sobre .A-7,

são topologicamente equivalentes.

Demonstração: Nós primeiro observamos que, de [He2], nós temos que (0.1) é generi-

camente Morse-Smale e portanto, nossa suposição sobre a estabilidade estrutural não é

uma restrição tão forte para a classe de aplicações f em consideração. Assim, nós temos

que (0.1) é ..4-estruturalmente estável.

Nós também temos que o campo de vetores de (2.20) é uma perturbação Cl pequena

do (2.9) e o teorema está provado.

70

Capítulo 3

Semi-continuidade superior e inferior

de atratores dos problemas da onda

com atrito forte e sem atrito forte

Introdução

Nesta parte do trabalho vamos mostrar a semi-continuidade superior e inferior dos atra-

tores para os problemas

utt + 2(—A + ç;.)1/2ut + 2a ut = uri + f (u), 0< x <1, t > 0

ux(0) = ux (1) = O, t > O,

e

uti + 2a ut = uxx + f (u), 0 < x < 1, t > 0

u1(0) = ux(1) = 0, t > O,

onde t > O, a> O.

A continuidade dos atratores é estudada em relação ao parâmetro n, em n = O.

Como no capítulo 1, trabalharemos com as equações anteriores nas seguintes formas:

dzu du du + 27/./4—

dt + 2a—

dt = —Au + f e (u),

dt2 d2 u du dt2

+ 2a—dt = —An + f (u )

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

71

ou

1[1 =C,7 [1+ h([1) v v v

onde A = —A + : D(A) c X —> X, D(A) = {u E H2 ;2(0) = 2(1) = O}, X X°,

0 Cn = e h([1) =[ 1

—A —2(nA112 + a) v f (u)

e D(Cn ) = X1 x i > O

Pelos resultados do capítulo 1, sabemos que geram C'-semigrupos sobre Y° = Hl x L2,

são sistemas gradientes e assintoticamente suaves. Também temos a existência de um

atrator global Ai para (3.1) e um atrator global Á para (3.2). Sobre o espaço Y° temos

o produto interno ((u, v), (w, zflyo = (Au, w) + (v, z), sobre o espaço Y1 temos o produto

interno ((u, v), (w, z))yi = (Au, Aw) + (Av, z), onde (., .) é o produto interno de L2.

A demonstração da semi-continuidade superior é análoga a dada em [1-IR1]. Primeira-

mente fazemos a limitação, uniforme em v, dos atratores Á e Á nas normas H1 x L2 e

H2 x 111 , sendo para isso necessário um funcional energia diferente do funcional clássico.

A definição deste novo funcional envolve uma constante que depende apenas do parâmetro

a, como \tinos no próximo lema. A demonstração da semi-continuidade inferior é feita

utilizando um teorema de semi-continuidade inferior de [Ha2] e dois teoremas de semi-

continuidade inferior para as variedades instáveis locais de [CH]. estes teoremas são o

Teorema 1.10 e os Teoremas 1.11 e 1.12, respectivamente e estão contidos no capítulo 1.


Como comentado acima, vamos utilizar um funcional energia alternativo e para sua defi-

nição é necessário uma nova constante, b. Esta constante será dada através do lema 3.1.

Com esta nova constante definimos o funcional energia e somos capazes de mostrar que

os atratores Á e Á, são uniformemente limitados nas normas Y° e Y1, mais que isso,

os semigrupos gerados são limitado-dissipativos, uniformemente em 77 tanto no conjunto

limitado quanto no tempo necessário para a atração. Além da limitação dos atratores

(3.5)

(3.6)

72

também mostramos a limitação, uniforme em 77, da integral da norma L2 da derivada em

relação ao tempo. COM estas limitações utilizamos o Teorema de Arzelá-Ascoli e mostra-

mos convergência de soluções sobre os atratores. Finalmente utilizamos o Lema 1.2 para

obter a semi-continuidade superior dos atratores.

Esta seção contém três subseções. Na primeira subseção temos a limitação dos atra-

tores na norma Y° e a limitação da derivada; na segunda subseção temos a limitação dos

atratores na norma Y1 e na terceira subseção temos a prova da semi-continuidade superior

dos atratores.

Antes de passarmos à relação entre os atratores ,i1,) e A, vamos demonstrar algumas

desigualdades que serão úteis nas subseções que se seguem.

Denotaremos por A1 o primeiro auto-valor do operador A, ou seja, A

Lema 3.1. Se b é um número real não negativo satisfazendo

b < inf{ 1 A1 9aA1

8' 4 4 4(3A1 + 4a2) }

então

1 -§-1101112 + 2b(0, IP) + 71(11012 + MOVEI) 1 1 3 •00112L2 2b(0,0)+ '110112H1 T4 (ii0112r,2 + ikbii2g1)

e

(2a — 25) jitPII12 + 4a6(0, tP ) + 2611.:6112H1 inf{ , }(P)1112 + 11(6112H1) (3.9)

Demonstração: Para a demonstração de (3.7) e (3.8), basta observar que AINIII2 <

1[41. Portanto, faremos somente a demonstração de (3.9). Pelas Desigualdades de

Schwartz e de Young

(2a — 2b)110C,2 + 4(119(0, tp) + 2bik°11X1 > (2a — 2b)1101121,2 — 4a1911011L211011L2 + 21)110112w €11011/211011/2) + 2bil 6il2g, > (2a — 219)1j01112 4a19( 2 + 26 c

> (2a — 26)1101112 2ab("A112/11 + IIIP1112 ) + 2bikhã1

((2a — 25) — —2ab)1101112) + ( —2abe + 26)1(6112/p

Agora, fazemos a escolha de c tal que (3.9) é satisfeito. Fazendo E = -3,+: obtemos que F2Acibe 2b) = E assim, para b < ---1--4(3r1±A 4.2) temos 2(a — — 9) > 91§..

(3.7)

(3.8)

73

3.1.1 Limitação, uniforme em n, dos atratores na norma Y°

O teorema a seguir garante que existe um conjunto que absorve as órbitas de conjun-

tos limitados por {Tn(t), t > O}, que este conjunto bem como o tempo de entrada são

independentes de 77.

Teorema 3.1. Seja O < 77 < 770 então o sistema (3.1) é limitado dissipativo em Y°, ou

seja, existem constantes Co > O e para cada 7-0, 3t0 = t(ro) tal que

11To(t)(u,v)Ily0 Co, t

para todo (u,v) tal que ii(u,v)IlY0 < ro

Demonstração: Fixe b satisfazendo a hipótese do lema (3.1). Para qualquer 77 > O,

defina o seguinte funcional energia sobre 1"0,

1 1 = -110112 2 + -110112 + 2b(0, O) - f F(0(x))di, 2 L 2 H O

onde F(v) = f vo f (s)ds

Seja un(t, uo, vo) solução de (3.1), então

iltWun(t)1 du; (t)) 21 ddt ddutn ± (t)1121,1

d2u +2b( dt; (t), (0) - ( f (u

du 2 2b112(t)11L2

dun(t) dt (t))

Desde que (9(t) + Au, 9) = '4U(t)I,+ 11un(t)112ll1), e, pela equação (3.1),

obtemos

1 du du du du = (-27.7M wtn (t) - 2a .i' (t) + f(un(t)), —dt° (t)) + 2bU -71(t)112L2

- Au ( t) - 277A -} ficl--Lit° (t) - 2a di7±-1;) (t), un(t)) - ( f (un(t)), i du du du = -270111--2 (t)112v + (2b - 2a)11-2(t)1112 - 4ab(-2-) (t), un(t)) dt dt dt

-2b11un(t)111.1 + 2b(f(un(t)), un(t)) - 4b77(4-21 .idut° (t), un(t)) du du < -4ab( .it° (t), un(t)) + (2b - 2a)11 c7?(t)112E2 + 2b(f(un(t)). u ( t)) i du 1 1 du + 4bnijAz t ='(t)111,211..4À u(t) 11 L2 - 27711-4'' =7 (t)1112 (3.10) d dt

Como b < k, pela Desigualdade de Young e por interpolação. temos:

1 du i du 4b7711Ai i(t)117.21111 un(t)11L2 - 27711Ai ?t ,2 5- nKllun(t)lity

ãVb(un(t),t(t))

+2b(f (un(t))

-2b11un(t)lap

(3.11)

74

Então, por (3.11) e (3.9), temos de (3.10) que:

u Tit lib(u

5o(t), (t)) — —8ko(II

d 2 (t)ii2dt L2 + iittn(t)11W + 2b(f (un(t)),un(t))

para n < no e ko =

Agora, por (1.3), temos que existe um c6/4 > 0 tal que

f (v)v < — —4 v2 + v614

F(v) 5 2-4v2 + c.s/4

Assim, por (3.13), temos que:

2b(f(un(t)), un(t)) — H24)(01112 + C5/4

Portanto, por (3.15), temos de (3.12) que

du 5 du Vb(un(t), irtn (t)) 5_ — (t)I121,2 + Iluo(t)ii 2w) + c 4

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

Verificamos também que o funcional V, é limitado inferiormente. De fato, por (3.14)

e por (3.7), temos

du 1 du 14(uo(t), ±;(t)) -? 71(ii ±t ) (t)ii12 + iluo(t)er) — C514 (3.17)

Finalmente mostramos que dado 7-0 > O existe te = t(ro ) tal que para a(0)112

Hug (0)1121p) < ro então du

lib(uo(t), (t)) dt K o

para t > to.

De fato, seja f suficientemente grande tal que lkof 2 ± C6/4 = —1. Então, se ai (t)112L2+

ilun(t)ii 2lli) > r, temos que 1V6(un(t), (11- 2 (t)) < —1.

Seja M = max{V(u,v); fluI1 + 11412 < f} e Cm = {(u,v): Veu.v) < M}. Por (3.17),

temos que CAÍ é limitado. E, por definição, que Bf(0) C Cm.

Seja B, mostraremos que para cada (uo, vo) E ./3,.0 temos Tn(to)(uo,v0) E Cm para

algum to = t(uo,v0) e que sup{t(uo, vo); (uo,vo) E Bro } < cc. De fato, temos dois casos a

considerar.

i)Se (u0, vo) E Cm então V(uo,vo) < M.

75

ii) Se (uo,v0) Cm então (uo,vo) /MO) então 1Vb(u(t),v(t)) < —1 para todo t tal

que (u(t), v(t)) Bf.(0), logo Vb(u(t), v(t)) < Vb(uo, vo) — t.

Assim, Ii(uo,vo) > M então Vb(u(t),v(t)) < K — t, onde K = max{V(u,v); (u, v) E

Bro }. Logo considere to = I< — M > 0. Observamos que to foi escolhido uniforme em

B,.0 (0).

Verificamos que CA/ é positivamente invariante por Tu(t). De fato, suponha por ab-

surdo que existe um último tempo, r, tal que V(T,;(i)(uo,v0)) = M, 71,7 (t)(uo,v0 ) E CM

para to < t <E e 71,7 (t)(uo,v0) Cm para t < t, logo Tu(t)(uo, vo) B 0 (0). Assim,

V(Tu(t)(uo, vo)) < V (71,? (.0(uo, vo)) = M, absurdo.

Logo, para qualquer Er° existe tB tal que V(T0(uo, vo)) < M para todo t >- tB e

conseqüentemente, por (3.17)

du (H —cd(t)1112 + liun(t)H2B1) <C0

para t > tB .

Como corolário, temos

Corolário 3.1. Existe uma constante C1 > O tal que

110112111 + 1101112 c1,

para toda (0,u) E Àn e para todo n, 0< ij < 77.

Proposição 3.1. Para qualquer O < < no e ro > O existe uma constante C(ro ) tal

que, para qualquer solução u,7 (i) de (3.1), com + < ro, temos

r" du 2 (s)I1L2ds " Cl; (ro)

dt

Demonstração: Para qualquer 77 > 0. Considere o funcional de Lyapunov

1 1 V(0,0) = V0(0,0) = —2110112y + —21142w

— L

onde F(v) = fo" f (s)ds.

Seja un a solução de (3.1) com condição inicial (uo.vo). então. de (3.10) com b = 0.

obtemos que

du du —17(u (t). (t)) < —2all—n (t)M2 2 — 277HA duq

(t)H2 2 dt dt dt L dt L dt L

76

Logo,

du du V(2171(t), 1 (t)) — V(ao, vo) 5.-2a f1 I(t)I2ds dt J dt

ou seja,

du 1 du fo lli(t)111,2ds s —(v(tto, v0) — V(un(t), 2a dt

Como,

OV(0, c(11011/p ± 110111,2) — d;

ii)V(0, IP) 5. al(ro)(11011/n +110111,2); Logo,

it ddutn )1112 ds < 21a .uo ( v (vo ) — Vean(t), _ddutn (t)))

du < 1 —(V(uo, vo) — a(llan(t)112H1 +11-11(t)111,2) + < 1 —(V(uo' vo) + ct) — 2a dt — 2a

E assim,

fo4x1 11i

du t du11 3 ()11 2 d8 lim f 11(t)11 —2 2 ds < (V(tto , v o ) + ) t+. dt L --- 2a o

Por ii), temos

du o Mi' (t)11

121,2ds < —2a (V (no, vo) + ct) (ro)(1(14111/1 + 117)01112) + = fro)

Além disso, por (i) temos

du du (11-1W111,2 +11un(t)112w)

1 (17(2.1o(t),.i1- (t)) + d)

(V(uo, vo) + c') S -j(cifro)(Ilvoll12 + + d)

E assim, (lit-(t)1112 + ilun(t)113/1) (ro)•

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

3.1.2 Limitação, uniforme em n, dos atratores na norma de Y1

Nesta seção procuramos estimativas que permitem obter órbitas em A como limite de

órbitas em An. Estas estimativas devem então fornecer condições de compacidade que

permitem esta passagem ao limite.

77

Teorema 3.2. Seja 0 < 77< no então existe urna constante C2 > O e para cada ro e

r1 , constantes C(ro) > O e C(ri) > O, tal que para toda solução u(t) de (3.1), com

+ 5. ro e (11V0112Ni 4" 11U011jp) .5 ri, i = 0,1,

cl2 du liwun(t)11g + (t)111 ilun(t)ii2H2 5 C;(ro) + (r i )e—C2t

para todo t < O

Demonstração:

(1) Desde que f E C2 (R, R) então f e : Hi (O, 1) —) L2(0, 1) é uma aplicação Cl. Além

disso, se v E H2(0,1) n H1(0,1) então f'(v) é uma aplicação linear de L2 em L2 e

< (v)Iroa lkujj2L2. Desde que, para v E Hl

Ilv11. \/(11v111 21,2 + Ilv1112) s

então Ir (v)11,2,0 -4.01(f/ (v))1121,2 + lif(v)PL2). Temos também que:

niviim)511112;

iinv)iii,2 5- e"(Ivilf0)- E assim

f f (V) I r(L2 ,L2 ) C* H1)(1 + 11 7-112/11) • (3.22)

2)Agora assumimos que (Iivolik, +Iluoll2H2) ji < r1. Desde que Tn(t)(uo, vo) E C([0, 00), Ych nc((0,0.),)-1) então consideremos o seguinte problema:

vitt + 4AI/2-m + 2a tot + Aw =.- f(u)S2- 2 < x <1, t > dt: in1(0) = wr(1) = 0, t > 0, (3.23)

wa(0) = vo• t29/1 -(0) = — 2av0 — Auo — f(uo)

Como f'(un )titl E C([0, co), L2) e (w(0), t-(0)) E Y° então existe uma única solução

ton(t, x) de (3.23). Como t=nic(t) satisfaz (3.23). então pela unicidade então u-n(t, x) = dun rir

Voltando ao funcional, fixemos uma constante b satisfazendo a hipótese do lema (3.1)

e definimos

vb(o,o) = -1101121. 1

2 + 5110112ip + 2b(u. o).

78

Desde que (51-(t) + An, =(t)ii2L2 + illtn(t) 11 2w), e, por (3.23). obtemos

-j 171,(wn(t),t(t)) dw dw dw 2 = (-2707 cm; (t) - 2a---(t) + ft (un(t))wn, —dw

dtn (t)) + 26117-1; (t)11L2

+2b(Run(t))wn(t) - Awn(t) - 277 Ai dfr (t) - 2ad1 (t), wn(t)) dw dw

= -27711Az 1 (t)1121,2 + (2b - dw c± 2a)II - 4ab(7-itn (t), wn(t))

+ 26( f t (un(t)wn (t)), wn(t))

dw dw -4b77(Aà (t), wn(t)) + (f t (un(t)wn(t)), (t))

dt dt (3.24)

Por (3.9), Desigualdade de Young e interpolação, temos de (3.24), para 77 < no, que

dw 5k dw jiVb(wn(t), -(t)) (t)ii 2L2 + 77(t)111)

dw 2b

+Hf (un)w nii c±7 1.2 + -yy f (un)wnik2 iiwnil

5 ko dw linun)%1121,2 5_ c±l(t)1121,2 +11 10,9(0112w) + 2k0

ko dw 2b2 ko + (u,7)w + 2 dt k o 47 2

ko dw 1 262 --8 (1!='dt (t)1112 + iiwn(t)I12 1) + (-2ko + —ko)1 /41 )11.nun(tNn(t)1112 (3.25)

Pela equação (3.1), temos que

d232 du

du 7.7 n 2a Aun = f (un ) - dt2 "2 dt dt

Logo,

d2 u = Aunii 1.2 f (u

dun n) ---dt: 271A2 dt d2u 1 ,2777iiidu

Hf (22,1)11 L2 + II dt; II L2 +

du

du +

79

Assim,

172n11 2/1,2 s Ilf(un)I 4- 12 211f(uo)11L211d2u,

&no 2

dt211L2 dt2 11L2 du

+2(11277 -j:11w +112a2iI)(1If(un)IIL2 + Ild2dt1L2) +I1277itndu ii2Hi

+ 21I2nijdu 11w112azictint IIL2 + 112al-ctint 1112

(2 + 277+ 2a)11f(uo)1112+ (2 + 277+ 2a)11 c±:f271 1112

+(477+ 47)2 + 4an)Ilt1I2H1 + (4a + 4an + 4a2)II tlI2v

d(Ilf (un)11/2 itn 11 2L2 + Ikan 1112) + 471(1 + a + 77)11tun112Hi

calf(un)1112 + II d'ud);112/,2 +11%1121p) (3.26)

Como. pela Proposição (3.1), temos que (Il d 1112+ Ci(ro), Para + Ilvoil/2) < ro. então por (3.22), temos

ettn(t))1V n(t )112L2 C* (Il Unii )1I(1+ Ilun112H1)11w,(t)1112 < c2(r0)11w,(t)1112

Portanto, por (3.27), (3.8) e (3.7), obtemos de (3.25), que

k dw (-wVbeloo(t), (--edu) (t)) —8 dt 0 (t)11L2 liwo(t)1121p)

1 252 ko A1)11"(t)1112C2(ra)

ko 1 diu 1 <— t !(t) J2+ 2b(7-; (t), w, (t))+ lizt;n(t)51)

1 252 ±( 2k0 + koA1)11'wo(r)11 /2C2(ro)

ko div 6 ' —2) + C;(ro)11wiillO dt

(3.27)

(3.28)

Resolvendo a desigualdade diferencial, e utilizando a proposição (3.1) obtemos

du; du; 1 - (u•,;(t), (t)) e-k°16t1 r ewo(0), (0)) + C;(r o)fo ce iitto(s)ii 2L2d s

dtv,

< ck0169- (wo(0), --L(0)) + C;(ro)CO(ro) (3.29) dt

Assim, por (3.7) e (3.8), temos de (3.29) que

(Iitto(t)112H1 + II ddl? (r)11i,2) 3e-k°16t (Ilwn(0)112mi + II dt(0)113,2) + C(r0) (3.30)

80

Como visto anteriormente em (3.26), obtemos de (3.30) e da equação (3.1), que

dw (jjw,7(t)er + 11-7-un (t)1112 + iito(t)112) S (111/4)1112 + (1+ c) (11%(.01(2H1 + II itdw 2(t)II)

< (r0) ± (1 ± c)C; (ro) + (1 + o)e- t( liwo (0)112111 + II c1217 (0) II 2r#2 ) (131) dt

Lembrando queII allait (t)II L2 27111 U0 2allvoll L2 ± II U0 11H2 f (to)i I L2 obtemos, de

(3.31), que

(11wn(t)112HI + lIt(t)1112 + Ilun(t)112112) < C(r0) +

(3.32)

Portanto, seguem os corolários:

Corolário 3.2. Seja O < 77 < 770. O problema (3.1) é limitado dissipativo em Y1, uni-

formemente em 77, ou seja, existe um conjunto B c Y1, B limitado tal que para todo

subconjunto C c 171 , C limitado existe t i. = t(ro, ri) e tal que

Tii (t)(C) C B, para t <

Corolário 3.3. Seja O < 77 < 770. Então existem constantes C3 e C4 tais que:

i)para todo (0,0) E An temos

110112E12 +110112111

ii)para toda órbita (un(t), d÷"it -(t ) ) E .4,7 temos

d2 u (t)ii 2L2 C4

3.1.3 Semicontinuidade superior dos atratores An em 77 = o

Teorema 3.3. Os atratores globais, An, dos problemas (3.1) são semi contínuos superior-

mente em 77 = O, Ao := A; ou seja, VE > O, 3770 tal que 77 < go temos

6Y° (Aw A) 5- e

Demonstração: Pelo Lema 1.2, para provar este teorema. é suficiente provar que:

81

Afirmação 1. Seja ok uma sequência de números positivos tal que rik = O e seja

(ak (t), )) uma sequência de soluções de (3.1) com r = 1.), e tal que (uk(t). (t)) du k

E Ank para todo t > O. Então existe uma subsequência de 17k, tal que (uk, (0). Ï/-(0))

converge para (ii.)) E A em Yo .

Demonstração da afirmação (1). De fato: Sabemos, pelo corolário 3.3 que existe um

conjunto B limitado em 1"' tal que

(UA„)u,Ltc B. 7)

Assim, Ut Use -Uk(t) é uni conjunto relativamente compacto de 1-1' e a família de aplicações

uk(t) E C(R. Hl), é equicontinua de R em .

Seja Jrn . m > O. uma sequência de intervalos compactos de R tal que J,, C J71. m > O

e UniJn, = IR. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma subsequência uko de uk tal

que uko converge para 'r]. em C(Jo. Hl). Por indução, aplicando o teorema de Arzelà-

Ascoli à subsequência uk„, extraimos uma subsequência uk que converge para 12 em

C(Jm+i, H1). Considerando a sequência diagonal, existe uma subsequência de números

positivos de nk e a correspondente subsequência ui, de u k que são soluções de (3.1)

com Tj =ij» e tal que ui, Fi em C (J, ") para todo intervalo J compacto. Temos que

fi E C(R. H') e suptEa 5_ Kl. Também, 11.412 (t)IlL2 = (t) lli < R. para

todo t e para todo lb,. Portanto.

du s1lp(2/iik IL-1----h.(t)IIL2) -4 O tEIR dt

quando jk -4

Sabemos que . . . li duj. < K e II d2 —dtjk (t)iiL, < K. para todo t E IR e para todo dt du ), d27t,

ik assim. - jrt (t) E L' (J, H ) e --Lm, dt E L' (J, L2 ). Logo, (t) E 11:14)`(J. L2) mas.

1.2 ) C(J. 1,2 ) e a família d i+-(t) E C"(.1. .L2 ) e é limitada em k. ou seja.

:÷d li c„(J.L2, < K. para todo k. Assim. a família (4.-&it •- é equicontinua em C(J, L2 ) e

portanto (--)k é compacto em CU, L2 ). Logo. existe uma subsequência de `4-jiit&-, que

também será denotada por :+ri e tal que existe T. E C(J. L2 ) tal que du,/,' T. em

C(I. L'). para todo compacto J. Pelo fato que é um operador fechado e u» il. então

= e sup„R {II(t)111,2} < r.

Desde que é globalmente definida e globalmente limitada em Y°. resta apenas

82

mostrar que (ft, f) é solução fraca de (3.2). De fato, como (uk, vk) satisfaz a equação

integral:

(uk , vk ) = ect (uok , vok ) + ec(t-s )RO, f (uk(s))) + (0, —27/47i1 vk (s))1ds, (3.33) o

Desde que (uok, vok) 071(0), f)(0)) em 11' x L2 então

Ilect ((uok vok) — (ü(0), 3(0)))11Y0 5_ AI ell(uok, vok) — (ü(0), )(0))11y0

então lject((uok, vok) — (ü(0), V(0)))11yo --+ O quando k oc e uniformemente para t em

compactos. Também (0, f (uk(s))) (0, f (ii(s))) em H' x .L2 ) e uniformemente para

s em compactos. E como observado anteriormente,

(21lj, IIA (s)I1L2 )

quando jk oc, uniformemente para s em compactos.

E assim. ect(uok, vok) + ec(t-8) [(0, f (uk(8))) + (0. —27)..-1vk (s))1ds converge para

ect(fi(0). D(0)) ± f ec(t-s) RO, f (ii(s))) + (O, —277A ii(s))]ds quando k oc.

Mas ect(uok. vok) fot ent-s) [(0, f (uk(s))) + (0, — 27).dvk(8))]ds = (uk,vk) (ã, 'D). Por-

tanto,

= ect(ft(0), f)(0)) fot

c [(O, f (ft(s))) + (0. —27-7.4:4 f(s))Ids,

e é solução fraca de (3.2). Isto conclui a demonstração.

3.2 Semi-continuidade inferior dos atratores

Para mostrarmos a semi-continuidade inferior dos atratores utilizaremos os teoremas 1.10.

1.11 e 1.12. Como pode ser observado, uma das hipóteses do teorema 1.10 para a semi-

continuidade inferior dos atratores é a semi-continuidade inferior das variedades instáveis

locais dos pontos de equilíbrio. Assim, primeiramente mostraremos a semi-continuidade

inferior das variedades instáveis e para isso começamos verificando as hipóeses do teo-

rema 1.12. Verificadas estas hipóteses, passamos para a verificação das hipóteses do

teorema 1.11 e finalmente verificamos as hipóteses do teorema 1.10 o qual conclui a semi-

continuidade inferior dos atratores.

83

Primeiramente, mostraremos a semi-continuidade inferior das variedades instáveis lo-

cais nos pontos de equilíbrio.

Como já foi mostrado no capítulo 1, temos que os pontos de equilíbrio para os proble-

mas (3.1) e (3.2) são os mesmos para qualquer valor do parâmetro ri > O. Estes pontos

de equilíbrio são dados por: 1) = (ok, O) onde ok satisfaz

Consideremos os pontos de equilíbrio .1)i. Para cada ri > O e .1)i sejam Si,, e Ui,, as

variedades estáveis e instáveis respectivamente, para o problema (3.1), linearizado em

Sejam Pin e Qin as projeções espectrais sobre Uin e Sin respectivamente. E seja Win a

variedade instável de .1)i para o problema não linear. Existe uma vizinhança Na,, de .1)i e

um homeomorfismo, cj, Nin n ui, n Consideremos as equações linearizadas em .1)i, ou seja,

d dt

[u v

O 1

—A —2(7)A1/2 + a)

ti

v

O

f (oki)u (3.3,

Conforme Teorema 1.12 devemos mostrar que se

[ O 1 O 01 Cn(1)3) +

—A —2(7)/11/2 + a)] [r(oi ) O

então existem a_ < O e a+ > O tais que o espectro de A1,7 (1)3). a(A1,7 (1).7 )) satisfaz:

c(Cdn (1)i)) n[a_,c+ ] = 0

Vamos mostrar primeiro que os autovalores, link , de C,71 (1)i) que são complexos tem

parte real menor ou igual a —a, ou seja, Re(µnk) < —a. De fato, se À é autovalor de C (ø) com respectiva autofunção (u, v) E H' x H' então À e (n, v) devem satisfazer:

A2u(x) + 2aAu(x) + 20/11(x) + Au(r)+ no(x))u(x)= O. (3.35)

Se À E C então multiplicando (3.35) por ri e integrando de O a 1 e considerando ir normalizado em L2, obtemos:

1 A2 + 2aA + 27)A11.41/443,2 + 1142131 + f(ok)tu(x)12dx .= O,

o (3.36)

84

separando a parte imaginária obtemos:

2Re(A)Im(A) + 2aIm(A) + 20m(A)11,41/4412 = O.

Desde que assumimos que A E C então:

Re(A) = —7711ill/4412 — a —a

Portanto, para mostrarmos que existe uma separação no espectro para todo valor do

parâmetro g, basta nos preocuparmos apenas com os autovalores reais de C,;(0). Assim,

voltamos a (3.36), e consideramos apenas a parte real.

Re(A)2 — Im(A)2 + 2aRe(A) + 2rifte(A)11A1/4M112 + iluep + f1 (0)1u(x)12dx = O. Á

Desde que estamos considerando apenas A E IR então Im(A) = O e obtemos:

Re(A)2 + 2aRe(A) + 2rifte(A)101/44,2+ +i f' (0)1u(x)I2dx = O. o

Resolvendo como equação de 2° em Re(A) obtemos :

Re(A) = —a —7711A1/4412± (a +011114412)2 — (i f(0)1u(x)I2dx + o

e portanto, lAl= fRe( A)1 < K para algum K> O independente de q > O para q suficien-

temente pequeno.

Com estes fatos, basta mostramos que os autovalores de C(0) convergem para os

autovalores de C'(0) quando q —> O. Para isto, faremos a seguinte separação de C:7 (0).

C;7 (0) = C(0) +

onde /3 ,, = O

O

O

—2V11/2

I Observamos primeiramente que B,7 é C'(0)-relativamente

limitado. De fato,

ti 1lBn( )ix1xt2 [ = 2rillilinviiL2 -= 2qiiviim 2gliC(.75)( ul )1iNixi,2.

v

Como, para ), E p(C'(0)) e À tal que 11/3,,P, — < 1, temos A E p(Cni (0)) pois

= (/ — Bn(A — C' À —C. Então vamos mostrar que dado

85

> O, existe no tal que para 77 < no temos que ICE C p(Cni (0)), onde K, = BK\ Ui BE(Pi) e ui E a(C(0)). De fato,

1113,,(À — C(0)) -111 27711C(0)(À C(0))-111

2n1lÀ(À - C(0))-1 - 227(1 + 11À(À - C)-111) < 277(1 + MR(À, C(0))11) (3.37)

Para A E Ke temos R(À, C(0)11 < M e IÀ1_< K, e portanto

1lBo(À - C(0))-111 4(1 + KM) < 1, para, 77 < - 4(1 +

1 KM) (3.38)

Logo, A E p(C(0)) e assim a(C,11 (0))n BK C KE para 77 < Tio. Portanto a hipótese (1(2), do teorema (1.12) está satisfeita.

Lema 3.2. Seja .1) = (0,0) um ponto de equilíbrio de (3.1), para todo ri < O. A constante

[

de Lipschitz da aplicação g6 : IP x .1? H1 x L2 dada por ge( ¶1j

)(x)= g(x,

onde O O 01 - 0(x)

g(x, (r, s)) = OI —

f (r) f (0(x)) f' ((x)) O s

Então, a constante de Lipschitz de g na bola de raio em torno de 4) vai para zero

quando n oo.

Demonstração: Sejam (u, v) e (w, z) pontos de Hl x L2 em B1(), então, pelo Teorema do Valor Médio, temos:

11g6(u, v) — ge(w, = Ilf (u) — f (w) — [(o)(u — 21 )1112

= [f (u(x)) - f (w(x)) - .r(0)(u(x) - w(x))] 2dx o

=- [f I (u(x)- t x (u(x)- w(x)))- (f1 (0(x))12(u(x)- w(x))2dx o

< (u(x)- tx (u(x)- w(x)))- (d)(x))]2dxliu - wil 2H1 o

< Kalu - wl¡2ll inu - wil 2H1

onde K(lu - wil2H1) vai para zero quando I - whi vai para zero.

Portanto, a hipótese (1<1) do teorema (1.12) está satisfeita.

Também temos que

liTc4(4) )(t)(u, v)Ily K e-11(u, v)ily para t>0e(a, v) E Si,,,

86

11TG.(p)(t)(u, v)Ily K e7t I1(u, , para t < O e (u,v) E Uin,

para algum 7 > O. Logo, as hipóteses do teorema (1.12) estão satisfeitas e nós temos as

hipóteses (J4), (J5) e (J6) do teorema (1.11)

Vamos mostrar que as hipóteses (J1), (J2), e (J3) também estão satisfeitas.

Para a hipótese (J1), vamos fazer a seguinte separação do operador Cn(u, v)+ h(u, v).

O Cn [u] =c [ul + =A hl + g (H) + h(H) ,

v [-27 + f(u)1 v v v

onde g([11 ) — e h( u ) = . Pela fórmula da variação das constantes v —27-/A4v v f (u)

temos:

Tn(t)[11 — ect [ul + f ec(t—s )(g(Tn(s)([11)) + h(Tn(s)[1))ds v o

t

=__ ect f ec(t—s)mT (s)([1 ))ds. o

Assim, para O < t < r, temos:

1171n(t)( 1) — T(t)( 1)11y f lieC(t—s) (MTn(S)( )) hal(s)([1)))11ds V O V

+ f

i lec(t—s) g (Tn ( s )([11 ))1Ids (3.39) o v

Usaremos que ect é um semigrupo de contrações. Também temos que h : H' x L2 -->

H' x L2 Lipschitz em limitados. Para (u,v) E Atemos que li(u, v)ilyi < r1 e assim, pelo

u teorema (3.2), temos que liTn(s)( )iyi < K para todo s > O e (u,v) E A então, por [

v (3.39), temos

(t) ([j) — T (t)([1)111, f 1,11Tn(8)([121) — T (s)([1))11ds + 277.1t0( o

Por Gronwall, temos

li rui

[ 21Tn(t)(V

) — T(t)( )Mv < 277MKTE at < 27MKTEMLI V

(3.40)

e

T(t)

87

e assim, (31) está verificada.

Desde que já mostramos a convergência em n, dos autovalores dos problemas linea-

rizados então se os pontos de equilíbrio do problema (3.2) são hiperbólicos então os pontos

de equilíbrio dos problemas (3.1) para 77 < ti0 também são hiperbólicos. E assim, a hipótese

(32) também está verificada.

Resta apenas verificarmos a hipótese (33) para que tenhamos a semi-continuidade

inferior das variedades instáveis. Mas isto segue do fato que os autovalores convergem e

as projeções sobre as variedades instáveis lineares são sobre espaços de dimensão finita.

Vamos agora mostrar que os atratores globais, An, dos problemas (3.1) são semi-

contínuos inferiormente em 77 = o, Ao := A.

Teorema 3.4. Os atratores globais, A,» dos problemas (3.1) são semicontinuos infe

mente em 77 = O, Ao := A.

Demonstração: As hipóteses (H1)0 e (H2)0 já foram verificadas na seção (1.3.2) do

capítulo 1. Quanto a hipótese (H3)0 temos por [Hei] que os pontos de equilíbrio do

problema parabólico são genericamente hiperbólicos logo são um número finito e portanto

os pontos de equilíbrio do problema (3.2) também são genericamente hiperbólicos (com

argumento de perturbação da não linearidade f). A hipótese (H4),, já foi verificada na

seção (1.3.2) do capítulo 1. Como observado para a hipótese (J2). desde que (H3)0 é

assegurada e temos a convergência, em n, de autovalores do problema linearizado para

—> O então (H5),, é verificada. A hipótese (H6),) já foi verificadas anteriormente. Assim,

resta apenas verificarmos a hipótese (H7)„. De fato, mostraremos que dados e > O e r > O,

existem um número real 6* = (5(e, > O e um ti0 > O tal que

117'n (t)(u, v)n — T0 (t)(u, v) y

para O < t < T, (24 71) E Á, (u, v),, C AI 73) — v)1711)" (5* e 77 no. Pela hipótese (J1) e pelo fato liTn(t)((u, v)n ) — Tn(t)(( , v))11 eLli (u, — v)nik- temos

MT(t) v),) — T (t)(u, v)11 ),

< liTn(t)(u,v)n — Tn(t)(U , V) IIT 71 (t)('a V) — T (t)(v. v)ily

eLli(u,v)n — (u, v)Ily + 277.,11KreAlLr

Assim, considere 5* tal que eLr 11(u, v),) — (u, v)IIy < 5- e escolha 770 tal que .271_111C r e" Lr

-1 para 77 <

88

Assim, temos as hipóteses do teorema 1.10 e portanto temos a sem-continuidade infe-

rior dos atratorcs An em 77 = 0, .40 := A.

89

90

Capítulo 4

Semi-continuidade superior e inferior

em n para cada ri

Neste capítulo vamos estudar a semi-continuidade superior e inferior para os problemas

+ 277 + 2a U = — AU + f(U) (4.1)

e

+ 2a U = —AnU + f((J) (4.2)

onde An é a matriz n x n dada por A,, = as„ + e f(U) = (flui), • , f (un))T. A

continuidade é estudada em relação ao parâmetro g para cada n fixo.

Colocando na forma de um sistema de equações de 1° ordem. ternos

d [1, cn [ul 11( [(1 ) v n v

e

onde Cnn = O I„

—An —2(Th-1/2 + a)

1

[(11 = Ca

, Cn =

Fui

—An

+

O 1„

—2a

u

[I )

r: I

e H( o f(U)

Pelos resultados do capítulo 1, sabemos que geram C2-semigrupos sobre Ir x Rn, são

sistemas gradientes e assintoticamente suaves. Também temos a existência de um atrator

(4.3)

(4.4)

91

global para (4.3) e um atrator global itn, para (4.4). Sobre o espaço R" x R" defini-

mos os produtos internos ((U, V), (W, Z))Y2 = (AU, W) + (V, Z) e ((U, V), (14; Z))); = (A„U, AnTIV) + Z). Denotamos por Yn° o espaço R" x R" com o produto interno

(.,.)12, e por 1.7,1 o espaço Rn x R' com o produto interno .)yà onde (., .) é o produto

interno de L.

As demonstrações das semi-continuidades superior e inferior relativamente ao parâme-

tro 7.1 são similares às dadas para o caso contínuo. Neste caso, nossa principal preocu-

pação é a uniformidade em relação ao parâmetro n, pois nosso objetivo inicial era obter

a continuidade em 77 uniforme em 72. Apesar de todas as hipóteses necessárias nos teo-

remas utilizados serem uniformes em relação a n, na demonstração do teorema sobre

semi-continuidade inferior ainda há uma quantidade que não pudemos obter uniforme

em n. Apesar disso, muitas das estimativas apresentadas aqui são independentes de n e

conjecturamos que a semi-continuidade inferior possa ser obtida independente de n.


A demonstração da semi-continuidade superior é análoga a dada para o caso contínuo.

As estimativas de limitação são obtidas uniforme nos parâmetros 7.1 e n. Observamos que

estas estimativas serão necessárias para a semi-continuidade superior estudada entre os

problemas discreto e contínuo para 7.1 fixo.

Esta seção contém três subseções. Na primeira subseção temos a limitação dos atra-

tores na norma 12 e a limitação da derivada; na segunda subseção temos a limitação dos

atratores na norma 32 e na terceira subseção temos a prova da semi-continuidade superior

dos atratores.

Seja ,`‘ o primeiro auto-valor do operador A„, ou seja, ,`‘ = . Observamos que ,\ é

o mesmo do capítulo 3. Como no capítulo 3 temos um lema análogo para o caso discreto.

Lema 4.1. Se b é um número real não negativo satisfazendo

1 ,\1 NA; 9a ,\1 < inf{8' 4 4 4 (3)‘1 + 4a2)

}

92

então

1 1 1 / 1113 + 2b(U, V) + &RI 112ll > zi alUjj 21,3 + 0112114 )

1 1 3 -211/1113 2b(U, V ) + < :1(111113 + II 2H à )

e

(2a — 2b)i¡Vii2L3 + 4ab(U, V) + 2bIUII > inf{(4, 1.}(11V1113 + liU112Hj) (4.7)

4.1.1 Limitação uniforme em ri e em 77 dos atratores Ann na

norma de 11-7°

Mostraremos que os semigrupos Tnn(t) são limitados dissipativos e tanto o conjunto B que

atrai limitados sob T(t) quanto o tempo r(C) a partir do qual TTin (t)C C .13 C limitado,

podem ser escolhidos independentes dos parâmetros 71 e 77 para n suficientemente grande

e n suficientemente pequeno.

Teorema 4 1 Seja O < n < no e 71 > no então o sistema (4.3) é limitado dissipativo em

x Ir, ou seja, existem constantes Co > O e para cada 7.0, 3t0 = t(ro) tal que

iinin(t)(U, V)Ik2 < Co, t > to

para todo (U, V) tal que li(U,V)iinv < ro

Demonstração: Fixe b satisfazendo a hipótese do Lema 4.1. Para qualquer ti > O e

> no, defina o seguinte funcional energia sobre Ir x

1 1 V11 (U, V) = —2 (A nU , U) + 2b(U, V) + —2 (11, V) — (F (U). í)

onde 1 = (1,1, • , 1), F =-- (F(al ), (u2), ••• ; .F(u„)) e P(u) =-J f (s)ds. Desde que

{U(t, Uo , 14)] , para (U01 1-0) E Ir X Ir temos E C'. então

V(t, Uo ; Vo)

—dt14i(U(t,U0,Vo),V(t,U0, Vo)) = (A nU (t), V(t))

+2b111/"(t)1113 + 2b / (t), U (t)) + (1:'(t) .1: (t)) — (f(U(t)).

= (AnU + , V) + 25(Y, U) + (f(U). (4.8)

(4.5)

(4.6)

93

Pela equação (4.3). obtemos

dUn yi .1- dU n, (U n,„(t), dti (t)) =-- (-271M dt ri (t)

f(Un,n(t)), dnin (t)) ± 2bIldUdnin (t)112L3 _ 277A ,t. dUdt,b (n ,t. ___

1 dUn

) 2adpd-ntin (t), Un,n(t))

n n M 'n (t)fl + (26 — 2a)l1dU

dt

dt (t 112 °

— 261 Un,n(t)fl + 26(f(Un,n (t)), Un,n (0)

1 dUn +46771M dt (t) ML JA4 Unfii(t))ilyá (4.9)

Como b < k e pela Desigualdade de Young, temos:

dU„

467711,-1,1 &Th (t)iiLáligUihn(t)IlL3 — 277114 dif dt ilin (0112t,3

< 2b0M}Un,„(t)12Lá 5_ 2677(1 + ?(011Un,n(t)1121./ 77KIIUn,n(t)1121.4

Então, por (4.10) e (4.7). temos de (4.9) que para?? < 770

V„(U„,n(t) ; (t)) 5 dU n 4 on dUdnin l, t II13

± Ti,n(t)ii 2H j) + 2b (f(Uq,n(t)) ,U n,„(t))

(4.11)

—Vn dt dUn

2a dt

'n(t) +

(t)) — AnUn,n(t)

dU ihn (t)) = —2711

dt 11'11 (t), U, (t)) dt'

(4.10)

para ri .5 no e /Co = inf{5,

Agora, por (1.3), temos que existe um 05/4 > O tal que

f(v)v < — (571172 + cã/4

< — 752 + 05/4

Assim, por (4.12), temos que:

2b(f(Un,n(t)), Un,n(t)) —111U,„(t)1113 + c6/4

por (4.14). temos de (4.11) que

= dVd-rit'n (t)112/23 ± II Un'n (t)11211•11) c5/4 — §lcoll(U(t), difdr(t)2,2 +C5/4

1

Portanto,

d (U (t). (t)) dt r)' n dt

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Verificamos também que o funcional Vb é limitado inferiormente. De fato, por (4.13)

e por (4.5), temos

Ti-n(Un .n (t) • dUn

' n (t)) 1

(II dUn (t)ii/2 litin n(0112 1) — C614 dt 4 dt (4.16)

94

Mostraremos que existe Ko > O tal que para todo (U0, Vo) com II(Uo, Vo)liy,? < ro existe

to = gra) tal que

itn(u„,.(t),17,,(t)) Ko

para todo t > to e para todo n. A demonstração deste fato é análoga a dada para

o caso contínuo, observando que obtemos a uniformidade com relação ao parâmetro n.

De fato, seja i; suficientemente grande tal que --Pcoia + c614 = —1, observamos que f é

escolhido independente de n. Assim, se (11-/(1--ii"-(t)112,„ 2 + liU0,„(t)112 1) > ?,por (4.15) temos t que •1/,;(t j-wn et), dt/Ft.„ (t)) <

Seja Ma = max{V,i(U, V); IIU; -HHI2L3 < i;} e seja M = max{M„, n E N}. Observamos

que M < cc pois f independe de n. De fato, pois

i Vn(U; 111 S II v110 + 11F(u)110

< _11(u, + 2bIlUjIo VM0 + nulo, — 2

onde AI = max{ I f (s)1; ¡si 5_ UI! }

E seja CM = {(U,V);Vn(U; V) < M}. Por (4.16), temos que Cm é limitado indepen-

dente de n. E, por definição, que /32-.(0) c C.

Seja Bro , mostraremos que para cada (Uo, Vo) E Bro temos 7-0,22(to)(Uo, Vo) E Cm para

algum to =- t(ri0,V0) e que sup{t(U0, Vo); (Uo, Vo) E 13,0 } < oc independente de ri. De

fato, temos dois casos a considerar.

i)Se (U0, IO) E CM então nada há a provar.

ii) Se (Uo, 1-o) ÇÉ CM então (U0, 1/0 ) Br.(0) então tit V„(U(t). - (t)) < —1 para todo t tal

que (U(t), V(t)) Br.(0), logo V,i(U(t), V(t)) < Vn(Uo, Vo) — t.

Assim, IT(C-0. Vo) > M então V,i(U(t), V(t)) < K — t, onde K = max{I (U, V) E

Bro }. Logo consideramos to =K—M> O e obtemos V„(U(t), V(t)) < M. Observamos

que to foi escolhido uniforme em /37.0 (0) e que. como antes, K é limitado em n e portanto

to também é limitado com n.

Verificamos que CM é positivamente invariante sobre 7-0,,,(t). De fato, suponha por absur-

do que existe um último tempo, í, tal que V(T„,„(i)(U0 , V0)) .= AI. Tn.(t)(U0 .1b) E CM

para to < t < E e Tn,,i(t)(Uo, Vo) ÇÉ CM para F < t, logo Tg.0(t)(U0, ÇÉ .73,-(0). Assim.

(t) (U0 . 'o)) < I -(71 (f)(U0,1/0)) = M, absurdo.

Logo, para qualquer Bro existe tB tal que 1'(T7,.„(U0, V0)) < AI para todo t > ta e

95

conseqüentemente, por (4.16)

ai duclin(t)112,,,, s Co

para t > tB .

Corolário 4.1. Existe uma constante Ko > O, independente de ri e de /7 tal que

Ko

para todo (U, V) E .A„„ e0<n<no en>

Proposição 4 1 Para qualquer O <i < no e ro > O existe urna constante C(*)(ro) tal

que, para qualquer solução U„(t) de (4.1), com (11(f0lVi1 +11Voll 2L,j) ro, temos

ds Cr; (ro) f' dU o dnt' ( 8 )111,3

Demonstração: Para qualquer /7 > O. Considere o funcional de Lyapunov

V(U, V) = —1

111/1112 + —1

11UP/ti — (F(U),1), 2 d 2 d

onde P.' é dada como anteriormente.

Seja U,m, a solução de (4.1) com condição inicial ((Jo, Va),

obtemos que

d drín IdU dU„, 2 db." 12

dt 2 11A 4 —dtV (rio•o(t), (t)) S 24 (t)1L2 n dt dt ihn (t)ii 21, 3 5 . —24 dt Wh/2 .

Logo,

ft n V (Urhn (t)1

dUo,n t)) V(Uo, V dU

o) < 2a 11 dt

(s)112L3 ds o dt

ou seja,

fo t ,dU, <

1 dU„, (S)1113 CIS 2a (V(Uo, Vo) V(U0,0(t), dt n (t)))

Como,

i)V(U, 1 .? c(11UPHJ + V 1121,3 ) —

ii)V(U, V) .5 ci(ro)(iirfii2nà + MVII/3):

Logo,

,10dU„,

dtn (8)1121,2 d S < (V Vo) (U,i'n (t)

dt n (t)))

d 2a

F1

(Vglo, Vo) cairfn n(t)1121p dt W11213) ± el) S Fia

d d

(4.17)

(4.18)

então, de (4.9) com b = O,

96

E assim,

iidnt 1 jo.°c Il d d1/43 (s)H 2 2ds = Hm

" t d t-3 00 jo

dU (t)111

ti2 ds 5- —

2 a (1 -(Uo• 1/4) + c')

Por ii), temos

(4.19)

f: , dUdnt,, II (s)ill3ds —5— (tio,Vo) + c') (r o) ait + liVoi121,3) + = C;(ro)

(4.20)

Além disso, por (i) temos

(li d(ic»t' n (t)112Le2 Urhn(t)112Htii) < (1 vig,„( t ) , dbc»,.. (t)) + 1 s (17(uo, vo) + < -c-(cdroxiivoii21,5 + ituoil) +

E assim, (11 dUjit' n (t)II2 2i IlUn,n(t)11211 (r0)

4.1.2 Limitação uniforme em n e em ri dos atratores Au, na

norma de

Teorema 4.2. Sejam O < < no e n > no então existe urna constante 6?2 > O e para

cada ro e r1 . constantes C(r0 ) > O e C(r1 ) > 0, tal que para toda solução Un,n(t) de

(4.1). com ii(U0- 1-0)iiL? 5_ To e ii(U0, 1/4)2,2 < ri.

d2

dt2 tin.„(t)112Lj (t)112Htli 111:„.n (t)1121C1 C;(1.0) ± C;(ri)e—c2i,

para todo t > O

Demonstração: Agora consideramos o seguinte problema.

1. + 24hto + 2aTit; + AnIV7, = G(U11(t); 1 ;IU)) Wn,n(0) = (4.21)

= —2701';7 ,n,(0) — -,),„(0) — .4„Uom (0) + f(Uo.n(0))

onde G(U.I1 = (RUI)1 ,r(U2)V2, - ,f(L-J],i). Como G(Uotn (t).V„,„(t)) : [0,oc)

R" é de classe C' então para (I47 (0). 11(0)) existe urna única solução. Mas, por

unicidade. '15.11,"(t) = 1",),„(t) C2 ((0. Do), Rn ) e satisfaz (4.21) logo II-7,.„(t) =

97

Novamente. fixamos uma constante b> O tal que b satisfaz o lema (4.1) e consideramos

o seguinte funcional

1 1 17(U, V) = —2 (AU, U) + 21)(U, V) +-2 (V , V)

Assim, temos, para Wn,„ solução de (4.21):

—d V (W (t), (t)) = A,1 7,h (t)112L, dt

+(2b —2 a) 111/V n ,„(t)fl + (G (U (t), 141, (t))), Wn (t)) (4.22)

+4bgl!4iii-nm(t)IlL,2,11A;TWo,n (t)) live; — 4ab(Wn,„(t), W(t)) — 2blinn(t)1121 (4.23)

+21)(G (U (t) V„,„(t))), Wn in(t)) (4.24)

Como 1) < . pela Desigualdade de Young, temos:

(t)IlLá Wtlin (t) II 27111A4 14717,n (t)Ills 17KIII'Vo,n(t)en (4.25)

então, por (4.7):

( 11- (t) Tir (t)) —k0(I1Wv,n(t) lig + 11Wthn(i)Ili) + 71KIInn

±2b(Ggin f il (t) ,14,71 (i))) Wwi(t)) ± (G (II .r7 (t) , 1 ; i.„.(t))), Vir „,„ (t)) (4.26)

Logo, para g < go. por Schwarz e Young, temos

ko

—dt V (14 (t)) (ii141n' n(t)iig + ,n(tnii)

+ n + 2 ' d 2 k0 d

262 +—ko

11Wn „(t)II2H, + IIG(U(t).1-n,„(t))112L2 2 ' d d Alk0

k0 1 262 — (111G"(t)11g+liwn,n(t)11D+( c0 + )IIG(E;bn(t), Vn.n(t))112L5

Como (U,), (t) . 1 ),(t))1124, _< C* .• 0 )1111,,,i (t)PL 5 e por (4.6). temos

ko 1 —d V(11-(t), Ii'(t))

dt — 3 (-11T/irn•„(t)n,

1 1 462 +2b(II(t). „(t)) + .-1114(t)112/./1) + + Aiko )C(r0)11I7n.„(t)II2L5

--ko W(t). 14'(t))t)) + (— + 1 —462 V( )C(1.0)111 -n,„(t)ry 3 ko J7iCO

(4.27)

(4.28)

(4.29)

98

Resolvendo a desigualdade diferencial, temos 1 2b2

V(W(t), Tr(t)) 1/"(W (0), W(0)) + e"-&! (2k0 ± —

Âiko )C1 (ro) f t iiVn.n(s)112Lp/s

Portanto, pelas desigualdades (4.5) e (4.6), temos

< 4(e-

IIT/Vihn(t)112/, + 11147,7,(t)j12/ei < 4V(117(t), W(t))

t V(W (0), W(0)) + 1 2b2 n.n(sEl2Ljcis t(íico Wco )C*(r°)

'Lat 3 • < 4(e- 3 Ti Wqrn (t)11(.3 ± VTI.n (t) ejj

/IQ 1 2b2 t (ço 5Trço)C*(r0) 10 ill-n..(s)112c5c18

Pela Proposição 4.1, temos

IIWThr. +I Wq,n (t)1121/à 4V(IV(t): W (t))

k 1 2b2

3e-Jiat allit/Thr.(0)1113 ± 111/277bn (°)112iià + 4e-PL( co Alko )C*(r°)C*°(r°)

De forma análoga ao caso contínuo temos

igin,n1121/3 5_ + i1d14;thn e,j li 1 o..M2H4)

Com isto, obtemos de (4.30) e da equação (4.1), que

(4.30)

aiVi' rn,a(t)e) + (t)II1,3 + ilUn,n(t)en)

clif(Uo,,,A13 + (1+ c)(iiWn,n(t)ii 2rij + di-231 (t) 11 2L3)

< (ro) + (1 + c)q (ro) + (1+ c)3e-bs1 (11W,m, (0) 1!2Hj + II did171174 (0)112L3) (4.31)

Lembrando que ii dwit al @ALS 5, 27711(folirrà + 2aIVoI 2 + + iif(Uont3 obtemos, de (4.31), que

2 j t (MW„,n(t)Ii2rirl, + n (t)IiL3 + liUn,n(t)ii21/3) 5_ C( ro) +C . e-Ari (4.32) dt

Portanto, seguem os corolários:

Corolário 4.2. Seja O < n < no. O problema (4.1) é limitado dissipativo em unifor-

memente em 77 e em n. ou seja, existe um conjunto B E 1-» B limitado tal que para todo

subconjunto C e .12. C limitado existe t i = t(r o . r i ) e tal que

Tihr,(t)(C) C B. para t < t1 .

Observamos que a limitação de B e t(r o , r i ) independein de n.

99

Corolário 4.3. Sejam n e O < no . Então existem constantes C3 e C4 tais que:

i)para todo (U, V) E .4,,„ temos

IlUil2H3 1111211:1 C3)

ii)para toda órbita (1/4,„(t), dudr (t)) E temos

d2U n 2 dt7211

4.1.3 Semi-continuidade superior dos atratores 11.nr, em 77 = O,

para cada n.

Teorema 4.3. Para cada n > O, os atratores dos problemas (4.1) são semi-contínuos

superiorrnente em 77 = o, ou seja, para cada n e Ve > O, 3770 (n) tal quer; < no temos

Õyo (Ann, An) < E

Demonstração: Pelo Lema 1.2, provar este teorema. é suficiente provar que:

Afirmação 2. Para cada n, seja 7p, uma sequência de números positivos tal que Tm —> O

quando k oc e seja (Uk ,n (t),Uk ,„(t)) urna sequência de soluções de (4.1) com i = 77,, e

n e tal que (Uk ,,i (t), Lik,n(t)) E Áq n para todo t > O. Então existe urna subsequência de

Ni tal que (Uk.,i(0),6k,n(0)) converge para (a, v) E Á,, em ir x Rn

Demonstração da afirmação (2). Esta demonstração será feita para cada n fixo, logo

abandonaremos o índice n.

De fato: Sabemos por (4.1) que existe um conjunto B limitado em ir x ir tal que

(U An) u A c B.

Assim, Ut Uk U(t) é um conjunto relativamente compacto de Rn (com norma Hl discre-

tizada) e a família de aplicações Uk(t) E C(R,Rn), é equicontínua de R em Rn.

Seja J,,„ rn > O. uma sequência de intervalos compactos de R tal que J„, c J,„+l m > De

(t)11L3 C4

100

(Uk (t),V),(t)) o

Desde que (iok, Vrok) (ü(0), I "(0)) em A}, x L = Rn X R" e

= ecuk t (Uok , Vok) +f ecqk (1.-9)[(0, f(Uk (s))) + (O. - 2 r).4,; 1 "k (s))]ds. (4.33)

Um Jm = R. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma subsequência (Jko de Uk tal que Uko

converge para C em C(J0 , Ra). Por indução, aplicando o teorema de Arzelà-Ascoli à sub-

sequência Uk „, extraimos uma subsequência Ukm+1 que converge para C em CUrn+1, R").

Considerando a sequência diagonal, existe uma subsequência de números positivos rti, de

71k e a correspondente subsequência Ui, de Uk que são soluções de (4.1) com 77 = e tal

que Ui, -> C em C(J,118n) para todo intervalo J compacto. Temos que C E C(R, Rn ) e

SUPIER lit7(t)1114 < K1. Também, Iliddik(t)11L5 = 11(1,1,(t)11Hj < k, para todo t e para

todo Tb,. Portanto, 1 .

sup(277ik Uik 11r,f, ) teR quando jk cc.

Sabemos que, 11Uik (t)11Hj < K e 112:41s-(t)iltá < K, para todo t ERe para todo ik (t) é uma a família em G(J,IEI') e portanto ( )k é compacto em C(J, Ra).

dU Logo. existe uma subsequência de -dikdtf que também será denotada por ,±k e tal que

existe 1" E C(J.IIe) tal que -> 17 em C(J,118n), para todo compacto J. Pelo fato que

é um operador fechado e Ui, -> C, então f: = I/ e sup1EF,{1117(t)110} < k.

Desde que (C(t),17(t)) é globalmente definida e globalmente limitada em 12. resta apenas

mostrar que ((1(t), 17(t)) é solução de (4.2). De fato, como (Uk (t).1;k (t)) satisfaz a equação integral:

'((brok,Vok) - (t1(0 ),17 (0 )))1iY,f, ell(Uok,Vok) - U;(0). e(0))11):,o

então ilec"k t((vok, Vok) - (C(0), l'(0)))11)-à, -> O quando k e uniformemente para t em compactos. Também (O, f(Uk (s))) (O, f(C(s))) em C(R R" x R') e uniformemente

para s em compactos. E como observado anteriormente,

(277,7J1 Att (s) ) O

quando jk oc, uniformemente para todo s. E assim, ec'o,` (U0k. Vok) + 10' ec" (`-s) [( 0 , fRik (s))) + (O. -232.41"k(s))1ds converge para ecra t(U (0). t(0)) + fot eco, (t-k)[(0, f(U(s))) + (O. -277i0;17(s))]ds quando k oc mas

ecuk t (Uok, Vok) + f ecnk (t-s) [(O, f(Uk (s))) + (O, -277A,2, I -k (s))]ds = (Uk (t).1i(t)) o

101

e (Uk (t), irk(t)) (U(t), Int)). Portanto,

(U(t), (t)) = 1 _

nt(U(0), V(0)) + f eGn(t-8) [(0, f(U(s)))+ (0, —2nA,2,V(s))]ds, o

e é solução de (4.2). Isto conclui a demonstração.

4.2 Semi-continuidade inferior

A demonstração da semi-continuidade inferior, em ri para cada 77, fixo, é análoga ao caso

contínuo. Todas as hipóteses dos teoremas 1.10, 1.11 e 1.12 são obtidas uniformes em n.

Como já foi observado, na demonstração do teorema 1.10 é necessário a uniformidade em

n, do tempo necessário para um certo decaimento do funcional energia sobre a variedade

instável na vizinhança dos pontos de equilíbrio. Esta uniformidade são foi possível ser

obtida e assim, a semi-continuidade inferior é obtida para cada n, fixado.

Começamos com a verificação da semi-continuidade inferior das variedades instáveis

locais.

Os pontos de equilíbrio para os problemas (4.3) e (4.4) são os mesmos para qualquer

valor do parâmetro ri > o. Estes pontos de equilíbrio são dados por: X,= (Un, 0) onde Un

satisfaz AnUn +f(Un ) = 0. Consideremos um ponto de equilíbrio X,. Para cada ri > o e Yn

sejam Snn e LÇ as variedades estáveis e instáveis respectivamente, para o problema (4.3),

linearizado em Y„. Sejam P,771 e Q7771 as projeções espectrais sobre Uni' e S,7 respectivamente.

E seja In a variedade instável para o problema não linear. Existe uma vizinhança AT,In

de l'n e um homeomorfismo, ann min n ur) n

Conforme Teorema (1.12) devemos mostrar que se

OO 01 Cin,n(n)i) =

—2(nAV2 + a)] ífi(n)i) O

onde f(U) = diag(R(Un)i), • • fi((rin)n)) então existem o.. < O e a+ > O tais que o

espectro de Chn(Un). a(C(U.) satisfaz:

ar(un)n[o-_,,+] 0.

Observamos a_ e a+ independem de n. Vamos mostrar primeiro que os autovalores, grik;

de C( U) que são complexos tem parte real menor ou igual a —a, ou seja, Re(linnk) < —a.

102

De fato, se é autovalor de C(UTL ) com respectiva autofunção (u V) E R° x Rn então

A e (UI") devem satisfazer:

A2U + 2aAU + 2044U — AU + r (un )U = O. (4.34)

Se A E C então fazemos o produto interno de (4.34) por U e considerando U normalizado

em rd, obtemos:

À2 + 2aA + 2011,4„1/4U1113 + 11U112xj -1- (f(Un)i)11Uili2 = O, (4.35) J=1

separando a parte imaginária obtemos:

2Re(A)Im(A) + 2aIm(A) + 27]Im(A)1j4/4U111.5 = O.

Desde que assumimos que A E C então:

Re(A) = — a < —a.

Portanto, para mostrarmos que existe uma separação no espectro para todo valor dos

parâmetros /7 e n, basta nos preocuparmos com os autovalores reais de C(U„). Assim,

voltamos a (4.35), e consideramos apenas a parte real.

Re(A)2 — Im(A)2 + 2aRe(A) + 2nRe(A)MU4U1I2L3 + litn2H3 1 —n(fl = O.

Desde que estamos considerando apenas A E R então Im(A) = O e obtemos:

Re(A)2 + 2aRe(À) + 277Re(A)11,4„1/4U1113 + 11U112Hj ri = 0. til

Resolvendo como equação de 2° em Re(A) obtemos :

Re()) -+ —a — 7711-4,2114U1113± ((1 +7711.4;14u1113)2 — (É -1-(5(un))iu? + (.1

i=1

e portanto. 1A1 = Re(A)1 < K para algum K > O independente de n > O e de n.

No Apêndice mostramos a separação do espectro para n < no e para n, > no através da

convergência dos autovalores. E assim, a hipótese (K2), do teorema (1.12) está satisfeito.

103

Lema 4.2. Seja I; = (U,0) um ponto de equilíbrio de (4.1), para todo 77 > o e para

cada ri fixo. A constante de Lipschitz da aplicação G: R" x R" —> x Ir dada por

G( [1:1 1 )

S

= [0 -

f(R)

O 1

f(Un ) (U„) O

01[R— Uni

S

onde J(U) = diag(r (Un)1), f ((tin)n)). Então, a constante de Lipschitz de G na

bola de raio /-1 e centro Un em Itn° vai para zero quando k -4 oo.

Demonstração: Sejam (W1, Z1) e (W2, Z2) pontos de R" x R" em 13 k (Un ), então, pelo

Teorema do Valor Médio, temos:

IG(TV Z1 ) — G(14-2, Z2) lir!? = — F(W2) — F'(U)(14/1 — 1472 )1!2t,j

= É RF(wi))i — (F(Iv2))i — (11((un)2))(vv1 — w2)i12

-nin(vvi) — 4(14/1 — 1472)i) f (Ui)12 (Wi

i=1

< K — vv2112H3 ) 711 (Wi — W2)?

A-(11Wi — W211211)11Wi W2112Là

onde h" (1111-1 — W211 2H1) vai para zero quando 11W: — W2111/1 vai para zero.

Portanto, a hipótese (1<1) do teorema (1.12) está satisfeita.

Também temos que

IITc;.„(t)(U,V)Iir,? < Ke-711(U.V)111-,9, para t > O e (U, V) E Snn,

liTco ,n (t)(U,V)ilyr? < K ell(U,V) ily2, para t < O e (U, V) E Wh

para algum 7 > O Logo, as hipóteses do teorema (1.12) estão satisfeitas e portanto,nós

temos as hipóteses (J4), (J5) e (J6) do teorema (1.11) verificadas.

Vamos mostrar que as hipóteses (J1), (J2). e (J3) também estão satisfeitas.

Para a hipótese (J1), vamos fazer a seguinte separação do operador linear Cri.n ((U, V))

+H((U.I .)).

n ± H( ) = Cn U [l +

O 1

cri [Ul ±Gt/1)+Ht/

V V V —221,4,?, V + f(U) V V V

104

onde G(

V

[U1

—21MA V

I e H( [ U

V

I )

tantes ternos:

Pela fórmula da variação das cons-

e

T„,,i (t){ (11= ec"` [ui + f t ecn(') (G (T,7 ,n(s)([(1)) + H (T„„i(s)[(1))ds V V o V V

Tn(t)[(f l = ecnt Fui + f t ecn(')H(Ta(s)([(1))ds.

V V o V

Assim, para O < t < T, temos:

Fu iiTrbn (t)

v1 ) Ta(t)([

u1)livo

V "

< tio ilecn(L—.) (T,w,(s)(L).1)) — H(Ta(s)([u1)))1Icis V V

+ f i1ecn (') 8)([(jv ))1Ids (4.36)

Usaremos que ecnt é um semigrupo de contrações. Também temos que G : R" x R.

R" x R' Lipschitz em limitados. Para (U, V) E Au temos que II(U, V)ilyà < r1 e assim. _

U pelo teorema (4.2), temos que !IT,),„(s)( )11); < R" para todo s 0, para todo n e [

V (Li. 1T) EA então, por (4.36), temos

IlTo,n(t)([ul) To(t)([ (11)11Y2 V

5 I L,„(s)( ) — Tn (s)( + 20,1Kr I Ir V

Por Gronwall. temos

117-„,„(t)([1) — 27„(t)([1)1Iyo < 2nAl lirem` < 201A-remi' V ir ^

e assim, (J1) esta verificada, independente de n.

Pelo Apêndice, já mostramos a convergência em 77 e n. dos autovalores dos problemas

linearizados então se os pontos de equilíbrio do problema (3.2) são hiperbólicos então os

105

pontos de equilíbrio dos problemas (4.1) para 77 < rio e n > no, também são hiperbólicos.

E assim, a hipótese (J2) também está verificada.

Resta apenas verificarmos a hipótese (J3) para que tenhamos a semi-continuidade

inferior das variedades instáveis. Mas isto segue do fato que os autovalores e os autovetores

convergem, em 77 e 71, e as projeções sobre as variedades instáveis lineares são sobre espaços

de dimensão finita. E assim, também são uniformemente limitadas, em 77 e n, as projeções

sobre as variedades estáveis.

O teorema 1.11, nos dá a semi-continuidade inferior das variedades instáveis. Desde

que 7 na demonstração deste teorema pode ser escolhido independente de ri (ver obser-

vação no final da seção) e as outras hipóteses são uniformes em n então a semi-continuidade

inferior das variedades instáveis locais também é uniforme em n.

Vamos agora mostrar que os atratores globais, ATI , dos problemas (4.1) são semi-

contínuos inferiormente em ti = 0, An.

Teorema 4.4. Os atratores globais, Ann, dos problemas (4.1) são semi-contínuos infe-

riormente em 77 = o, An, para cada n.

Demonstração: As hipóteses (H1)0,,-, e (H2)0,„ já foram verificadas na seção 1.4.2 do

capítulo 1. Quanto a hipótese (H3)0,„ temos por [F0] que os pontos de equilíbrio do

problema parabólico são genericamente hiperbólicos logo são um número finito e portanto

os pontos de equilíbrio do problema (4.2) também são genericamente hiperbólicos (com

argumento de perturbação da não linearidade). A hipótese (H4)n,„ já foi verificada na

seção (1.4.2) do capítulo 1. Como observado para a hipótese (J2), desde que (H3)0„-, é

assegurada e temos a convergência, em 77 e em n, de autovalores do problema linearizado

para ri —> O e ri —> ao então (H5),),„ é verificada. E a hipótese (H6),) também já foi

verificada anteriormente. Assim, resta apenas verificarmos a hipótese (H7)77 ,„. De fato,

mostraremos que dados E > O e 7 > O, existem um número real 5* = (5(c, 7) > O e um

rio > O tal que

17)71.717-nugu,i,-)„iise

para O < t < 7, (U, 11, E itn, (U,V)n,„ E A„,„ ii(U,V)n — (U,V)77 11 32 < 8*, < rio e para todo ri. > no.

Pela hipótese (J1) e por liT71,„(t)((U, V)77,„)— Trim , < (U, V) — (U. 17 )71 ,„Ibtà)

106

temos

V),7,n) - Tn(t)((U,V),)Ily2

IIT,i ,„(t)((U.1*)n,n ) - Tn,n(t)((U,V),)jlyk + IlTn,n(t)((U,1 - )n ) - n(t)((u, v),)113,2

G eu 11 - (U,17 )„11yro, + lixe" I tr

Assim, considere 5* tal que eLTII(U, - (U,V),Jyre < % e escolha no tal que para 77 <

e para todo n > no temos 27l/V/KremLT < 5 .

Assim, as hipóteses do teorema 1.10 estão verificadas e temos a semi-continuidade

inferior dos atratores Ann em n = O para cada n fixado.

Mostraremos agora a indepêdencia em n de T do Teorema 1.11.

De fato, seja w(t) solução por wo E W() logo, w(t) = (x(t), y(t)) onde x(t) = o-(y(t)).

Seguindo a notação utilizada nos Teoremas 1.11 e teoremadeAlexandreeHines2, temos

w(t) = T„(t)(Prituo) + f Tri(t - s).9k(x(s), y(s))ds + f Tn(t - s)hk (x(s). y(s))ds, -00 o

para t < 0. Adotamos o índice k referente a bola de raio 1/k considerada. Assim, o .o

w(t)11 KpeJwo + KpL f k f e7slju(s + t)Ilds + KqLik e7(1 tu(s)lids. -00

Portanto, temos o o

ilw(t)11 K' + M' f drslju(s + t)lids + L' f e7“ -s )11w(s)lids.

Seja /3 = + Y1. Desde que /3 -> O pois I -> 0 quando k cc. onde L fk é a constante

de Lipschitz de f na bola de raio 1/k, então

Ilw(t)11 <(1 _ 0)-1K/e-yr-o-ter' L'ilti

e para k suficientemente grande temos que lw(t)11 -> O quando t -co. A convergência

acima é uniforme em ri pois as constantes K, 7, p e q são uniformemente limitadas em n.

A desigualdade utilizada acima pode ser encontrada em [Ha3), pp 110.

Assim, T pode ser escolhido independente de n no Teorema 1.11.

OBSERVAÇÃO: Todas as hipóteses do Teorema 1.10 são verificadas com uniformidade

em relação ao parâmetro n. Mas, pela observação no final da demonstração do Teorema

1.10, é necessário a independência em ri do decaimento de I"„ num certo conjunto e isto

não foi possível ser obtido. Assim, a semi-continuidade inferior está provada para cada ri

fixo.

107

108

Capítulo 5

Semi-continuidade superior de

atratores dos problemas da onda

com atrito forte e sua respectiva

equação discretizada

Introdução

Nesta parte do trabalho vamos mostrar a semi-continuidade superior dos atratores para

os problemas

utt + 277.41/2ut + 2a ui = —Au + f(u), 0 < x < 1, t >0 (5.1)

ur(0) = u1(1) = 0, t > 0,

e

Ü + 277 An1/2(J + 2a É/ -=- —Anti + f(U) (5.2)

onde n > O, a > 0, Au = —urx + u, A é a matriz n x n dada por _4„ = A + ci/ e An é

dada por (1.10), f(Ü) = (ui), • • • , f (unnT e ti = (u1.- • • • un)

Como no Capítulo 1, trabalharemos com as equações acima. respectivamente nas se-

guintes formas:

t [Ui =c7 hl ± h ( [ nl) (5.3)

109

e

d [— C H + H (H) dt1,- V V

onde

OO Cn — e h([1) =

—A —2(70112 + a) fe(u)

D(C n ) = x XI,

= O In

[—Ai, —2(70U2 + a) e H (H)

V =°

[nu)

Pelos resultados do Capítulo 1. temos a ex'stência de um atrator global „4„ para (5.1)

e um atrator global Ápi, para (5.2).

A demonstração da semi-continuidade superior requer a imersão do espaço de fase do

problema discreto no espaço de fase do problema contínuo. Observamos que a técnica

da redução através da variedade invariante utilizada no problema escalar parabólico não

pode ser utilizada pois neste caso não temos a existência de gap no espectro do operador

linear do problema, pois limk„Re(\t(k+i))—Re(\±k) -= n, onde Àk é o k-ésimo autovalor

de Cn. Para resolvermos este problema com 7? > O fixado, procedemos da seguinte forma:

primeiramente fazemos a comparação dos problemas lineares, ou seja. mostramos a proxi-

midade dos semigrupos lineares, e para isso separamos o problema em duas partes, onde

em uma parte utilizamos que Re(4k) —ao, quando k ao nos restando comparar

os semigrupos em um espaço de dimensão finita e nesta parte. utilizamos a convergência

dos autovalores e autovetores do problema discreto para o problema continuo. Além

disso, é necesário que façamos a comparação para condições iniciais dos tipos i(U0, Vo)

para (U0, Vo) E Al„ e também para (uo, vo) E 0'4' x C' pois depois fazemos a compa-

ração os semigrupos não lineares. Finalmente mostramos a semi-continuidade superior

dos atratores. Esta técnica é utilizada em [ACR2].

A fim de fazermos a imersão de RR x Ir em Y° definimos a seguinte aplicação inclusão:

Sejam (U, 11)T E R" x Ir ou seja. (ui, u2, • • • , un, vi, v2, • • vi1)7" definimos i(U, V) =

(u(x), v(r)) onde u(x) e v(x) são dadas por

(5.4)

(5.5)

110

n I

u(z) = ) (ui -I- (ui+i — ui )n(3; — Xj))X[ 2i2-.1.2r2-tn1 tinX[ 2ti-I

i=1

v(x) = Vi XI; t=

onde nós denotamos por I o intervalo TI/

Teorema 5.1. A aplicação inclusão, i : X H1 X L2 é contínua.

Demonstração: De fato:

lin(x)1121.21 ± U

2n 2n

=1 fr

2 f

i

ri+

j U2 (X)C/X 4- --a

U2

2 —1 2 2 U

Uj \ U2 1

< — = = 2 IV-'ILL

— 2n 2n 2n 2n

também,

n — 1

Ilu(x)112in = — )2 = II ull2Hri, j=1

n 1 e lk)(x)111.2 -= EJ,1 = V!! 2 . Assim,

IML"- 1') In = (11u(x)112H1 + G.11u(x)112z,2 + Ilv(x)1112) 11(ul Ti n xEn

Também para sermos capazes de comparar os semigrupos definimos uma projeção de

I' sobre IR" x IR" da seguinte forma. Consideramos a base de Y° é dada por, se os

autovalores A±k de Cy, são reais então 0±k é o autovetor correspondente; se os autovalores

A±k são complexos então consideramos os vetores V)-hk = Re(o=k) e ';b_k =

ek e ek é autovetor de A. Para cada ek definimos P(ek) = U E Ir onde 0±k =

À±kek dado por U = (u1 ,u2 , • • • ,u,2 ) onde cada ui é ek (x,). Esta definição pode ser dada

para qualquer função contínua. Portanto definimos P271(0±k) = (P.(ek). Àsk13,-,(ek )) e

P2,2("0-hk) = (13,i(ek),Re(À±k)h(ek)) e P2 (-k) = (Pn(ek)Am(À_k)P„(ek)) estendemos

por linearidade sobre Y°.

Teorema 5.2. A aplicação projeção, P2.,

independente de n.

é contínua, com constante de continuidade

111

Demonstração: De fato, como P„(cos(krz)) = U = (cos(km-xi),... , cos(krzi)) então

temos: n-1 n-1

Enetzi±i — = E n(cos(krzi+1) — cos(kni))2

n-1 E n(k7r)2sen2 (k7rt.i)— < (1c7r)2 < 211k7rsen(k7rx)1112 n2 —

TL 71 1E 2 U112 2 = — 2 = E -n cos2(kni) < 1 = 2ii cos(brAilL2 (5.6)

Logo,

11 132n(0±k)iiifei xt.3= ii(Pn(ek), AtxPn(ek))1Injxt.3

= (11Pn(ek)112iffj + 11Pn(ek)1121,3 +111À±x111Pn(ex)1115) 4

(211exIlw + 2ekML2 + Pktx1211ek1112) 4

=1- 110±kIlrfi,L2

Outro resultado que temos é

Teorema 5.3. i) Sejam A±k os autovalores de C„ e Arik os autovalores de Cm, então para

cada k fixado temos que nk A±k quando n —> cc.

ii) Sejam 0±k os autovetores de C77 e Vik os autovetores de Cno então para cada k fixado

temos que i(011k ) —> 0±k quando n —> oo.

5.1 Comparação dos Semigrupos Lineares

Sejam e t e ec„nt os semigrupos gerados por Cn e Cnn respectivamente. Mostraremos que

W > O, 2n0(c) tal que VT1 > no temos

ilectit(uo, vo ) — i(ec'77 tP2,i(uo, vo))11lli.L2 < 0t—all(u0, vo)iici--o t > O (5.7)

para todo (u0, Vo) E C1+° X C' e

ilecnti(uo, vo) i(e t (uo, Vo))11iffixt2 ct-all(U0,1 )11(H2,up)d,t > O

(5.8)

para todo (U0, V0) EU, Ag •

=

e

112

Demonstração: Faremos a demonstração para a primeira desigualdade e quando neces-

sário a distinção para o segundo caso.

Seja. e > O. Dividiremos a demonstração em duas partes.

i) Para O < t < c.

liec„t(llo, vo) _ i(ec„„tp2n f,„ch VO)/ kk < Ki

e-6/29 11H1xL2 1(“0 VO)111/1xL2

< Meit—c11(210 ) V0)11H1xL2 , a > > O.

ii) Para t > c. Seja fl E (O, 1) um número fixado. Desde que Alk À±k quando ri Do

e Re(A±k) -oo, quando k DO então existem K(c) e N (c) tal que eRe( n--k1`

para todo n > N (c) e k > (c), e eRe(Alk)t < ers para todo k >

Queremos estimar

11e C t f uo, Vo) — ik(e c nt suf._ ve vonlittlxv n k " r k

para t > e.

Neste caso faremos a decomposição dos espaços IP x L2 e r" x r da seguinte forma.

Em H1 x L2 escrevemos H1 x L2 = eEk onde Ek é o auto-espaço 2-dimensional real

associado aos autovalores A±k. Se A±k é real então Ek = 0-kh Se A±k é complexo,

consideraremos como base de Ek os vetores 0-f.k = Re4±k e t:_k = Imck±k•

Observamos que cos (?4'+k, 4'-k) <1— e, para algum e > O e para todo k pois

cos (e-rk• tib—k) - + (Re2(A±k) +lin2(A-kk))iiek112H1 + (Re(+k))2(Im(A+k))21

estamos considerando ilek ilL2 = 1 e lembrando que Re(A±k) -2711ek likp e Im(A±k) -

(1 - 272)•1' lick UI então,

(1+ r7(1 772))02 Em cos2 -< (0+k, 0-k ) < < 1 - e

k--yee - 2+77(1- 772)5 -

para algum e > O. Isto nos dá equivalência entre as normas da soma, do máximo e do

produto interno em cada subespaço Ek , com constante de equivalência independente de

k.

Assim. escrevemos (u, v) E Hl X L2 da seguinte forma

CG

(u. r) =

((u, v) -ok±k + (ti, v)k-ok_k)

(eLL, itt4k (U, L'_k) k=K+1

Ilek113p + Re(A+k)Im(A+k)

113

onde (u, v)k é a projeção de (u, v) no espaço Ek e il(u,v)11 = (V"' v)k112)1/2.

Analogamente, em Rn x lr escrevemos lr x Rn = GE é um subespaço 2 dimensional

associado aos autovalores nk. Se nk são autovalores reais então E = [ø-k, k], onde

é o autovetor normalizado associado a nk. Se Alk é complexo consideraremos a base

de Er como os vetores tek = Req5n+k e ek = Imq5n±k.

Assim. escrevemos (U, V) E R' x R" da seguinte forma

(U, V) = E 0, v)or+Lk (u, v)07ik) + E ((u, v)bizE k + (u, v):k)

k=1 k=K +1

onde (U,I)k é a projeção de (U, V) no espaço Erkl. e 11(U, V)II = (rk1=1 11(U, 1)kil2)1/2.

Agora voltamos a estimativa de liecnt(no, vo) — i(ecnntP2„(uo, vo)) x y para t > c.

Então,

ec„t(uo, vo) _ i(ec„„tp2n (...0, vo)iiifixL2

< -„k, „ II ecnt E(uo, vo)k — i(ecnn t E(P2.(ti0, VA) )ii Hl xL2 k=1 k=1

CO 71

ee'it E (u0, vo)kiiH1xL2 + iii(ecnnt E (P2n(uo, vo))k)I1H1 xL2 k=K +1 k=K +1

Pela continuidade, uniforme em n, das aplicações inclusão e projeção, temos:

Iii(eCnn t E (P2n(uo, vo))k)II xL2

kr-K +1 • MileCnnt E ( P2n (U0 VO ) k IR" x En

k=K +1

( E 11 eamt(p2n (72 _ ,„ uOnk 11110 x?.^

N1/2

k=K +1

< E (eRent D II 2n ( 102

VO))kiiR"x3.)2)1/2

k= K +1 71

• EU° ( E (P2, (uo, VO))k 111187, xR" )2)1/2

k=K +1

< et -41 11132n(U0s VO)ilanxEtn (5.9)

< lict-311(tto, v0)11Hix t2 (5.10)

Analogamente. temos

00

ecnt (uo, vo Ker°11(uo, vo)k E h Hl x L2 .L2

k=K +1

114

E

II A-mt (uo, vo)+k +

ecgt(uo,vo)k k=1

Vo)_k — U(') , V() ).4-k

.1(U°) VO)k xL2

Vo)-klittl x1,2

E

k=1

Consideramos um novo operador BT, o qual possui os autovalores de C,,„, e os respectivos

autovetores são os autovetores de C,I . Assim,temos:

(P2n(V07

E < ilec„

0, VO)k 0, Vo )k H1 x L,2

k=1 k=1 E

+11 Lt (uo, vo)k - i(ect171 (P2n(tto, Vonk)Illi1xL2 =1 k=1

Assim, se cada nk, para 1 < k < K, é real então

k=1

E

V' M/ (et tw - e +k ) “40, V0)÷k — e k x L2

= 012

kt

(e — k t ) (uo vo)+k + (e' ki — cAllk t)(uo, vo )_k 11H, xL2)1/2 k=1

E < (2 max{1e4k t — 1-1+k t111(uo, vo)÷k11. leA-k t - (tio. vo)-kil})2 )112

k=1 E

<2(

max{le?"-ki - enki1,16À-k t - 6)kt1} max{11(uo, II(uo, vo)-k11})2)1/2 =1

< 2Alt max 1<k<K

2"((a i%<xic{leA+kt 1, leÀ-k t - cAakil}.(

11(2.10, voh 12)1 /2

k=1

Á+k n-ki; Ári— &EU() VO)IlliixL2

< Et— fi 11(14 ; V0)11111 x L2

para n > ni > no, onde ,kilk está entre Á-k e Án k • Ãk está entre Á-frk e Áft-frk.

No caso Á±k complexo, se denotamos por (uo, vo)k a componente de (uo, vo) em E k então

(U0, VO)k = 2a(cosõ, -senõ) na base tp„,1P_k. Neste caso.

ec^` (ti o , vo)k = 2aekt (cos(0k t + cS)v.f.k - sen( 3kt + 5)..;-k)

e

eBnt (U0+ VO)k = 2ae0k' t (cos(0:t + (5)2.1;÷k - sen(3rilt + 5)u_k)

115

, onde ),±k = ak ± fik e = atki $T:, então

HeC"t (Uo: 1)0)k - Bnt(U0,110)kilif l x L2

5- PaectkI RCOS(fikt 45) — COS(/:t 5 ))0±k (sen(fikt + — sen(iTkit + õ))0—k111

+112a[cos(P:t + 6)0+k — sen(iTk't + cS)0_killica+kt _

< ea+k ttlfik — — 2asen(SL` + 6)4)+k — 2a cos($7:t + (5)4—kll

— (4. 111 2a cos(fitkit + 6)4+k — 2asen(fit + 8)4—k II

< L(e'r kttifik — + eã+kt ticek celi)ii(uo, vo)kll

Se (P2n(uo, vo))k = 694-0P7j-k + an_krk e (uo, vo)k = u4-k4)+k + a—o,b_k então

ileBnt ES, Voh i(eCnn t E(P2n (120 7 VO)) k)II ..111xL2

k=1 k=1

< H E el3nt vo) k E 6,30t (an+k,,+k til k)JiHIXL2

k=1 k=1

+II E eBnt (an±ko+ an_ko_k) E kti9 VOnkiiiii1XL2 k=1 k=1

e-at:t Eaa-bk atjEkilkib±kil la—k — an—k1110—k11) k=1

+11 E eBnt(an+, ±k an_ko_k) _ E i(ecr,„tan±kii+nk ,„ k=1 k=1

kIIINIXL2

+k

Assim precisamos estimar la±k — an k i e — an_k I. Como arkk — e a±k = onde c" -1-k

briEk = (P2„(uo, va),o+niiion_k112 — (P2n(uo, te), €.ffk)(ek, on+k),

c:k= 110±nk ii2li ckii2 op±nk. ely

e

= ((uoI VO))0+k)110-k112 (U0, 110): V-k)(7.1%-k: 0+k),

c+k = 1144k112110—k112 — (J-k. w—k) 2.

Assim,

Ic-Eklicr1k1 e basta estimarmos lb±k — bil±k i e !c±k — c±nk i. Neste caso faremos duas distinções:

I) (uo, vo) = Vo) e P2n(uo; vo) = (U01 V) para (Uo. I b) E Anu:

la_k — an_k 5. ' b+k IC-rk

116

II) (uo, vo) em Cl+a x C.

Como:

O litk+klIHIxt..2 = litnklirxan +0(t,),

(11)+1c: tb—k)H1 xL2 = (11)71-F-lo On—k)Rnxan ()

x:+1 i iii)(i(Pn(uo)). cos(krx))ni = Ei=-n-1 f n(u +i _ 1 xi ui)hrsen(krx)dx,

iv)(Pn(uo), Pn(cos(hrx))Hi = n(ui+j — ui)krsen(krti)dx.

Logo: n-1

i(i(Pn(ao)), cos(k7rx))ni — (Pn(vo), Pn(cos(krx)) /e, 5_ k2 74+1 —

Agora, relembrando que se (uo, vo) = i(Uo, Vo) para algum (Uo. Vo) E Ã,, então, como já

vimos no capitulo 4, Teorema 4.2, Uri Ánn é limitado em In x e portanto nlui+i <

Ird2 < 2K para 1 < i < ri — 1 e assim,

k27r2 i(i(Pn( ao)). cos(k7rx))Hi — (Pn(uo), Pn(cos(k7rx))1/31 + ri

Também:

v) (i(Pn(v0)). cos(krx))L2 = E77_, J711 vi cos(krx)dx,

iv)(Pn(vo). P„(cos(krx))L3 = fi v cos(krxi)dx.

Logo:

1(1(Pn(V0)), cos(k7rx))L2 — (Pn(vo), Pn(cos(krx))ic3< kr 7=1

Agora, relembrando que se (uo, vo) = i(Uo, V0) para algum (Uo, Vo) E Á n então, utilizan-

do novamente que 11, n é limitado em In x 111 e portanto lvi < It1711L5+11Ville, _< 2K

para 1 < < n e assim.

(i(Pn (ro)), cos(kzrx))L2 — (Pn(vo), P71(eos(k7rx))L3 i 5_ k2r2

+

Logo,

1(i(P2o(uo vo)) x L2 — < (P2n(vo,vo), stik) H di x)±n — ii(U0,Vo)11H2 x _ 77 d d

Se (uo. vo ) i(Uo. Vo), mas (uo, vo) E Cl±a X C° então nós temos I — uj <

12-1 iiuolici-0 Lj < jvM cn e assim

I (uo, cos(kr x)) — (Pn(uo ), Pn(cos(kw x)) 1,1,1

< 1(uo, cos(krx))Hi — (i(Pn(u0 )). cos(k.r.r))Hj I

+I (i(Pn(uo )), cos(k7rx))HI — (P(uO ).Pfl (cos(krr))H t.

1 Ti z

117

Mas, 1 ,,

- z(Pon(vo, vo))11H1 xt2 —no, evo, vo)iici+. xCe •

E portanto,

1((uO VO) 0±k) x L2 (.132n (U0,210) , k) H1 xL21 — 11( 2201 VO)IIC1±a %Ca • d d

Logo, para o caso I)

lb±k

para o caso II),

11.b - bn+k i Mn -'11( ±k uo ,v0 )11C l+a xca

e de forma análoga, para todo k tal que 1 < k < K temos

1c+k - c:zEk ! < Mn-1.

Analogamente, calculamos la_k - kl•

Voltando a estimativa 6'1' EkK=1(la+k - a-Fall/)+k la-k an-kliitk-ki!), temos, no

caso I)

e-ar t E( la±k - aZ*1110+1,11 + la_k - a'±k1110-k11) k=1

(U0 , Vo)Nxie, Enio±kii + k=1 Er 13 11(UOI VO)II x .111

e para o caso II)

-ant e E(ia+k a+k1110+kll ia-k - a-k1110-kil) k=1

allt if 11 TI - a 11(720, VO)11C1+' X C° (I0 ±kli ± 1kb-dl) k=1

Et- VOHIC1+a XCa

Agora vamos estimar

1f 1f II E eB„ t (an+k,o+k en_ k,o_k) E i(ecnntan±ko±nk an_ko_nk) „_. „„. xL2

k=1 k=1

118

Para isso. vamos considerar a inclusão complexa, como inclusão da parte real e inclusão

da parte imginária. Neste caso estaremos considerando as soluções complexas.

Como cin k t;_k +an_k0_k = ItiEk0+k+bn_k0—k e an k k + a-k - '/bn k — bn 0+0 +bn 0—kn + + +k -k

onde b+k = 1/2(an+k + an_k ) e b_k = 1/2(an±k — an k ) então

n13,11. nn A" tbn ,

11-11+k 'V+ k an_O e P-k) = - +k +k +k -I- - k

e

i( eC,int n an_ktek )) = i( e Al.ktbn n +kçb-Ek + eNiktbik çbn k)

= bki(enkton+k) eki(eatk ton k)

Logo:

iieBnt(an±op±k an op_k) i(ec„nt. n n (a + an-kOn-k))

ib+n klii A" t n

eAritktO-Ek (e ÷k 0+k)11±1bn—lcill eA: kt 0—k i( eA:kt On k)11

= 0+k - e t i(07±Ek)11 + I bn kitk Alkt 0-k e ti(OT±k)ii

k iear- k t li6b+k — i(Olikk) + iek iea:k t 110-k - k)11

IbT±I k lecitk t K Vg!.klea:kt K 1740 -kli

< ea74:k t IC Till(tio, < Et-311( 710,1)0)d

Portanto.

EeBnt (On_rkti-Ek an_00-k)

eCinitari±k;b+nk an-k0-naill1XL2 -< II( no, V0)11H1xL2 k=1 k=1

Finalmente, para o caso I),

IleBnt

uo. vo)k — ( c''"

(P2n(U0 2:0)) k)I1H1 x L2 Et °RU°, 210)11HI x L2 .

k=1

k=1

para o caso II)

E lieBn (UO• 1)0)k - i(eCnn (P2n(1.10,130))k)11 Hi x L2 < Et-811(U0, 130)11C1+a %Ca •

k=1 k=1

119

5.2 Comparação dos semigrupos não lineares

Sejam To(t) e Too(t) os semigrupos não lineares associados a (1.17) e (1.27), respecti-

vamente. Pela fórmula da variação das constantes e para ((Jo; Vo) E .,4n„ temos:

oo (t, (Uo, V0))= ec""t(Uo, 1") + f T ec„„(t—s )1-1(Tno(s,(U0 ,V0 )))ds (5.11) o

7:77(t, i(Uo, vá)) _ ec„t i (Uo, vo) f ec„(t-s) /17.77 i(Uo, V0 )))ds o

Então, para t E (O, 7)

(5.12)

11710(t,i(U0, V0 )) — i(Too(t,(Uo,Vo)))11Hixt2 < i(u0,1:0 ) i( eCont (u0 vo))n Ir i1H xL2

f+11

fo ec'1“-3)MT0 (3,i(Uo,170)))

i(ec"(t—s)P2oh(T,i(s.i(Uo,170))))cisiiHixy

i(eC,„(t-s)P2nh(Tn(s, i(uo, V0))))i(ec"(t-s)H(Too(s, (Uo, Vonndsilwxy o

ct-fill(Uo, Vo)lianxian

+f II ec” (t- s )h(T0(s, i(U0, 170))) i(eCnn(t-s)P2nh(Tn(8- i(UOI 170))))11HixL2 dS O

+ fiii(eCo„(t-s)P2nh(T77 (S, 002 Vo)))) i(ec"(t-s)H(T0„(s. (Uo, Vonn xL2ds

o

Como H(Too(8, (Uo, Vo))) = P2n(h(j(Ton(s, (Uo. Von))) então

et —fill(U0, Vo)lisrixRn r t

crin't-s )132NT,Cis.i(uo,v0))))11B-1xL2ds + Ilec" (t-s )h(To(8,i(uo,v0))) — o

+1 Iii(eC""(t-s)P2nhain(82 002 VA)) - (ecrinu-s )Haino(s. (u0,1/0)Mlifilxvds

Et- ( U0,170)11 H2 x FP E I. (t - 8)- fi Ilh(Tq (S. l(UO• VO)))1iCH-a xca CIS d d o

+ f iiec"(t—s) iiiiP2o(h(T0(s,i(Uo,Vo)))) — P2n(h(i(Too(s.(Uo,Vo)))))iiHjxLsds PD

Também temos que i(U0,YO) é limitado em x L2. logo (Tu(s,i(U0 ,V0 )))1 é limitada

em Cae portanto ilh(To(s,i(Uo, Vo)))lici+oxca é limitado para todo (U0,170) E Un An 7, •

120

eCrin (t— 8) IIIIP2n(h(Tn(8 (U0 V0)))) P2n (h(i(Tnn (8 (U0 1 -0)))))1H x L3d8 o

r' K0 < ft-51C0 + cr 1 —

+ f I1(T,7 (s , o V0))) — i(Tna (8, (Uo, Vo)))ii ,L2ds o

Assim,

crell(Uo, Vo)linpdij + (t — s) —qh(Tn (8 , i(Uo, I x ds o

Portanto, pela Desigualdade de Gronwall, temos que existe uma constante M(3, r, L) tal

que

117'n (t, Vo)) — i(Too (t, (Um 1O)))1 ir/1 xr,2 < MeKorei, (5.13)

para t E (O. r), (U0, Vo) E An y, e para ri < n(c)

5.3 Semi-continuidade superior dos atratores .An e

i(Ann) em Hl x L2

Como Un Ann é limitado em Ir X Ir e também nitri xL2 11(U, VAR. xp,. então

iii(Un .47n) „HIXL2 Un ATAR" xan < K.

O atrator À atrai limitados de IP x L2, ou seja, V8 > O, existe 7' = T(8) tal que

dist(Tn(r, i(0„)). A.n ) :5 8/2

para toda (Pri E Ann e para todo ri.

Os atratores An„ são invariantes, assim se un E it„„ então existe 615„ E Àqn tal que

;net-, On) = 'On •

Assim, escolhemos no(6) = n(€(6)) > O tal que

IlTn(r.i(On)) — i(Tnn(T,(4))11 mer-5110,11 6/2

para ri > no (6).

Assim,

d st(i(btt) An ) dist(i(21;ll),Tn( r ; 2(N)) + dist(T,I (T, i(4n)), Ai) 5. 6

para un E Anu, para todo n > n0(6).

121

Apêndice A

Convergência em ri e ij dos

autovalores do problema linearizado

Este apêndice esta subdivido em três seções. Na primeira delas obtemos algumas estima-

tivas que serão necessárias para o estudo da convergência dos autovalores e autovetores.

Na segunda seção estudamos a relação entre o espectro de um operador diferencial de

segunda ordem e o espectro da sua discretização. Na terceira seção, estudamos a con-

vergência em ri e 77 dos autovalores da discretização do problema de ondas linearizado

para os autovalores do problema contínuo.

A.1 Algumas estimativas

Nesta seção utilizaremos a notação do Capítulo 5, ou seja, as aplicações i : ile —> H1(0,1)

e Pn : H1 (0 1) —> R" são dadas por

nl

i(U) = u(x) = (ui + (ui+1 — ui)n(x — xi)) ,x( 2z2;,,,w) + unxvz ,11

i=1

e Pn(u(x)) = (u i , . , un) onde ui =v(x) para z = 2i-1 2n '

Para estudar a convergência de um número fixo de autovalores é necessário algumas

estimativas sobre certas expressões e seus correspondentes discretos, através da projeção.

De forma análoga, fazemos estimativas sobre certas expressões e seus correspondentes

contínuos através da inclusão. Desde que vamos comparar um número finito de autovalores

podemos fazer as seguintes considerações.

123

Consideraremos q5 E C2 (0,1) tais que IIlDo < M, ii0Iiicc 5_ M e li011oc < M e

W E R" tais que 1114711 0. < e WI5 < M'.

Teorema A.1. Sejam q5, 2P E Hl e U,V,W E ir então:

i(45 ,V)) (Pn(45 ), Pn(d) ))1 — >0 quando n, —> cc. Assim,

se (0,2P) = 0 então (Pn(0),Pn(lb)) ->0 quando ri —> co;

se 11011=1 então liPn(0)11 —> 1 quando n, co;

ii) > f(u)w? —5 i(f(U))i(W)2 dx1 —> 0 quando n, co;

501 (q5I)2 (x)dx — fol (i(P(0)1 )2 dx1 ->0 quando ri—> cc;

iv) j5 i(f(0)(i(Pnq5))2dx —5 i(f,',(u))02 (x)dxj —> 0;

v) I (U, V) — (i(U), i(V))1 ->0 quando n, —> cc. Assim,

se (ti, 1.') r- 0 então (i(U),i(V)) —> 0 quando rk, co;

se ilUil =1 então —> 1 quando rk, co;

vi) foi f(u)i(T4,-)2dx — fol i(A(v))i(W)2 (x)dx1 —> 0 quando rk, cc;

vii) I fol (u)i(P„q5)2 dx — 501 ft (u)q52 (x)dx1—> 0 quando n, oc .

Observamos que por vi) e vii), para 1.47 = Pnw temos que n 1

f t (ui )v) — f f t (u)w2dxi = 0(1). •••' n o Vi1

Demonstração:

i)

= E In, 0(x)2P(x)dx

Desde que q5(x) = q5(xi) + q5'(,i )(x — xi), 0(x) = 21)(xi ) + t.0)(x — xi ) para xi e Xi

entre x e xi então:

f -i 0(x)2P(x)dx = f {q5(xi )2P(xi ) 1

+[o(xi )Iii(Xi)+ 2/)(xi)q51(Xi)](x — xi )+V(Xi)q51(1; )](x — xi)2 }dx

Então n

I E 1 1 1

= 1È [q5(xi)2//(Xi)+ 2/)(xi)q51 (Xi)1(x — xi) + tii(±,)d(Xi)1(x — xi)2dx1 1=1 • 1--;?-

= 0 ( 74) i=1

124

.44s /-4 [nui) + n(fini+t) - nui)Xt - ri)]

.[2c? + 2mvi '

ipi)(X — xi) -1-• )72 (3' — —

ii) Como

1 i(MU))(i(11. ))2dx -=-

± E ni / [f' (t) + u(Rui+1) — Rui))(x — ri)]

+ - wi)(x - + n2 (x - xi)2(wi+1 _ wi) i dx 2 2n

Calculando:

[Rui) + n(Rui4.1) - nui))(x - xi)]

.[Ivi2 +2nwiewi+i - - + n2(x - xi)2 (wi+i - w)2 jc/x 1

= -1 f' (ui)v).? + fludiwi etv,±1 - + Rui )(iti+i - i) 3n 1 2 2 ,

+Fn (Rui-Ei) nuinwi + —3n(f (ui+i) - nuiffiti(wi+1 - wi) 1 ,

+-47.1(f - - wi)2 1 \ 2 , 1 si

(„,i)114+111

= —471, a4 F-2n J 1 , 1 „ , \ 2 1 1 ti/

\ 2 ±-12nJ„ lui+1 »Bi + n lui+1)102+1wi + —477 J lui+irwi+i

Como estamos assumindo que IWft, < K então temos: - wj < e assim.

= w + 0(1/fri,), ou tui = wi+1 + 0(1//}). Também. IUft, < e WI < K e

assim. 1, 1 ,

—6nf (ui)wi+iwi = —6n 0(H);

2 _3 —1 f

,(ui+i )wi+iwi = 1 f

,(ui+i )w,±1 + 0(n 2);

6n 6n 1 f ,(ui )w2. = —

1 Rui )v),2 + 0(n1): 12n ,-1-1 12n

1 3 2 2 nu,24.0wi = 12n —1

12n f' ( ti i+i )tvi+i + 0(n- ).

Portanto,

1 „ 2 1 \

= —2n ± 0 (TH )

125

Logo,

foi i(ti(U))(i(W))2dx = Enui)wi

1

n

+E Lin 11(24) ntri(Ui+1) — [(Ui)) (x Xi)]

21

2nWi(Wil-1 Wi)(X xi) n2(x — xi)2 (wi-Ei wi)2 ]dx +

É = ( lnfiudwn +001,F2,)

Assim,

11 n

I i ( fn (U))(i(W))2dX — E = 00/ \FIT o i=1

Jfj

1 zi-1-1 (i(Pn (0))1)2dX = L f 451(ei)2dx

onde para alguns ei; ei E (xi,

Assim,

fo ('(x))2dx — f (i(Pn(q5))1 )2 dxl

o 1

f (01 (X))2 dX -1- E Roi(x))2 — coicein2idr + f (oi(x))2dxZj 1

ri+1

o f 1 201(C0)0"(C0)Ixdx + L f 1201((i)eKi)11x - eildx

ri

1 71 1

I 1201(Çn+1)011(c1+1)1(1 x)dx < K2 + E 2K2 = 0(-;-2,)

ir, 2n i=1

iv)

r i I f i(Ei(u))(i(Pn(0)))2di — f i(f(u))02dx1

O O = f1 i(g(M)Ri(Po(0)))2 — 021dx1

o

IN(Po(0)))2 — 02 Idx 5 211nu)11.11(bli. f Ii(Pn(0)) - Oldx L

i=1

126

2K <— + 72

Logo,

fXj

Xj+1

Calculamos primeiramente f 1(i(Pn(0))) - Oldx foi

+ 2 10(xt) - n(0(x€4-1) - 0(xi))(x - xi) - 0(x)iclx x,L.,

I((())) - Oidx = 1 10(xi) - 0(x)iclx o

1+1 1'

+ f1 10(x„) - 0(x)idx < +

x. 1=

i(01 (G) - dRi))(x - xi)Idx

fo i(g(U))(i(Po(0)))2dx - f itf(U))02dx1= 6Kn 3 ilf(u)11.0

o v)

(11)i(Z)dx = f + o

fx:+1

+ n(wi±i - - xi )]

.[A + n(A+1 - zt)(x - x7)]dx + f wnzndx

Para cada i calcularemos

+ n(wi+1 - - xi)I[A + n(zi,1 - - zi)]cá

1 1 , 1, 1 ,

= - 2 n/Az; + 2—nwiçA+1 - A) + --zawi+1 - IA) + —ytti_i - wi )(zi+i - A)

n 3n

1 1 1 1 = —nwizi + 6n —tAzi-Ei+ —wi-izi + —3nwi-Fizz+1

3 6n

Analogamente a iii) temos = wizi + 0(1/Vi):

wizi+i = wi+izi+i + O(1//i).

E assim,

+ n(wi+1 - wi)(x - + n(zi+, - A)(x - xi)Idx

1 1 = —2n /vizi + —2n + 0(1/ ,‘Fi)

Portanto, Portanto,

1i (147 )i(Z)dx - = 0(1/). o 1=1 ri

127

1 1 i(f(U))i(W)2dx — f f' (u)i(W)2dx1 fo li(f(U)) — f' (u)Idx

o XI 1

s K2(f Inui) - ft (u) dx + f I nun ) - f' (u)Ddx

o

72

+ E I Rui) - n(nui-H.) nui))(x xi) nu)Idx) fzi+i

2K 2 1 k" < K2 ( ) 5 11Wil'd ri i=1

vi)

i=1 K2 ( 2K ±

7/ I (f"(U(Çi))121(çi) f"(U(Q))121(g))(X Xi)dX) i=1 ri

Assim, • 1 f) i(f(U))i(W)2dx —fo f l(u)i(W)2dx1= 0(7.1 )

I fo (u)i(P„0)2dx — nu)02dx1 5 Mun.tio Ri (Pn çb))2 — 021dx

vii)

1 zl

5 2iinu)licoliOli./ li(PnO) Odx 5- 21If (u)1100K( f kbi 0(x)Idx

+ E çb + n(Sbi-Ei — Shi)(x xi) — 0(x)Idx + f içbn — 0(x)Idx) TI

5 211nu)lionK(2KL + E f 1(01((i) — çb'(q))(x i=1 ri

s 211 f ' (u)1100K(2K-1 + 2K1) n n

Portanto.

I1 o nu)i(Pn0)2dx — f o nu)02dx1= 0( 7 -2, )

A.2 Convergência de autovalores em n

Agora, estamos em condições de mostrar a convergência dos /c primeiros autovalores do

problema

—LnW + r(Un)W = AW

para os k primeiros autovalores de

Ato + f'(u)w = Ato

o

128

onde A é o operador Laplaciano com condição de Neumann. quando n

Para isso, vamos estudar 3 problemas:

1) —.L,W + f(Un)W = AVV;

2) —4,14" + Pnf (u)1,17 = AW;

3) Aw + f'(u)w =

Primeiramente, mostraremos a convergência dos autovalores dos problemas 2) e 3).

Seja Ai o 1° autovalor do problema 3), então:

l ti = min{ f (0')2 + nu)02dx; E H1(0, 1)e f á2dx = 1}

o o o

e 301 E H1(0,1) tal que Ai = foi (0,1)2 + , roi J fi (u)Orix. Assim. consideremos Oril = P,101 E

R", pelo Teorema Ai i) temos que Hárilli = 1 + OW. Assim. pelo Teorema A.1 ii), iii),

vi) e vii) temos

07) +É i=1

1 1 = f (i(g)')2 dx + f i(f(u))i(07)2 + 0(1/Vil)

L o .1

= f (01 )2dx + f'(u)i(e2dx +00./Vh) o o

= f (011)2dx + f f(u)(grix + o(1/Nfri) = + 0(1/Vil) o o

Assim,

É À? = min{ (LW, W) + W E R ITI1IL3 = 1} n

(Al + o(1/Vii).(1 + O( 1/n)) 1

Seja AV o primeiro autovalor do problema 2), então

„ , = min{ (Lnw, + E 7:.;fileui)(14 );2.; IT" E R.IFTVIIL3 =1}

e existe TI'' tal que Atil = (4,PIT ,Wr) + Er_1 (ui)(Trin);2. Consideramos i(Win).

Observamos que JW) + inunioo e portanto limitado em n. Então por v) temos

1=1

1=1

129

1 —f(ui)(Wr)? +O(1/) = + 0(1/V7t) i Ti =1

que ili(W7) 2 — — 1 + 0(1/1/i). Pelo Teorema A.1 vi) e ii) temos: ri foi

(i(34.7)1 )2 dx (u)i(n)2 dx o

= (L„Wr ,Wr) + i(f".(uifli(n)2dx + 0(11 ) o

(Lnwr, wr) +

Assim,

= min 1

(02 ± f (u)çb2 dx; çb E H' (o, 1) e f ob 2 dx = 1} o o

5_ (A7 + 0(11 Vig.))(1 + O(1/n)) 1

Portanto, A1 < (À? + 0(1/1/i))(1 +O(1/n))' < Ai + 0(1/Vii). Logo, A—> A1 quando

Ti —> cc.

Queremos mostrar a convergência de i(Wr) para cki quando 7/ -) 00, e consequente-

mente IITIT —Pçbi —> 0.

Primeiramente, vamos mostrar que (i(Wr))„ é convergente. De fato, desde que 1 1 (i(W11 )1 )2dx + i(f(ui ))i(n)2 dx = .À11 + O(1/)

o

e A? —> A1 então foi (i(Wr)')2dx + fol i(f;,(ui))i(Wr)2dx < M para n > no. Mas 1 pI

i(f;ieui))i(wi)2di i(n)2dx = Ilft(u)11.(1+ 0(1/ 4h) CM' 13

para 7/ > no. Então foi (i(Wr)1 )2 dx é limitado e portanto (i(Wr)),, é uma sequência limitada em Hl. Desde que a inclusão de 1/1 em L2 é compacta então existe uma subsequência de (i(I4T))o, que ainda será denotada por (i(Wr)),„ que converge em L2 para algum wi. Mas foi (i(ITT)')2dx + fol i(f:.(ui))i(Wr)2dx = A7 + 0(1/i-n). i(f(U)) 1'1 (u) em L2 e i(Wr) u.:1 em L2 logo fol(i(Wr)')2d1 A1 — fol ft (u)uddx. Desde que iii(1I79111/1 é convergente e i(Wr) converge fracamente em IP então i(1/1t) é convergente em Hl. Para

ver que u.:1 é +02 basta observar que w1IL2 = 1 e foi (wi)2dr foi f(u)w?dx = A1 e que +01 são os únicos com esta propriedade.

Agora vamos mostrar a convergência do segundo autovalor. Seja A2 o segundo autovalor do problema 3), ou seja,

1 ri pl ri À2 = min{ (01)2 + 1.1 (u)02dx; E H1(0,1), dx = 1 e Mi da• = 0} . o o o 13

130

-fr,(vi)(Ora Ir .L'2OT2 7 I 072

)41 = min{(Ln W, W) + i=1

1 — :,(ui )(W); TV E IR, jT4jL2 = 1 e (W. MT) = O} ri

e 302 E H1(0.1) tal que )%2 = foi Whr21-1)92 fol f1(22)0721t e foi* .1)261dx = O. Assim. conside-

remos 0122 = P.,:b2 E Ra , pelo Teorema A.1 i) temos que 110'1111 = 1+ O (at ) e (0i, g) = o() e portanto (HT,) = (Win — 0711,0121) + (O?, 0721) —> O quando 77 —> OC. Como antes, pelo

Teorema A.1 ii), iii), vi) e vii) temos

= fo ( (gn2 dx + fo i(g(n))i(0721 )2 + 1

= fo (012)2ctr + fo f(u)i(0721 )2dx + ()(1/rn)

= f

1 1 o (012)2dx + fo r(u)Adx + 0(1/Vh) = )%2 + 0(1/)

Agora, consideremos 0,721 = 0121 — (MT, 0721)Wr, logo (MT, "i$T2L) = O. Assim, n

(Lnç-621. 3 + ity,(ui)CsÃW i=1 n

= (L„012t, 0;5 — 2(Ú 0'21, 11 2 MT) (0;1. , MT)

+(0r2L,n)2(Lnwit, W) + Ê-lf(tti)(Ora i=.1

1 Wni( 0721: +

1 -nEt(ui)(ITT):?((g,MT)2

i=1 i=1 < )%2 0(1/Vr2) »11 (6;1; wiT5 2

+211 61111j Wr)I + 21(072', wr)iinniociiicv2t3 IIHTilL3 < ),2 + h(n)

onde h(n) —> O quando ri -+ ::

Portanto.

()%2 h(17 )).(1 g(n) 1

onde g (n) —> O quando 72 —> oo pois jJJ = 1 + g (n).

Seja »21 o segundo autovalor do problema 2), então

min{(LnW, W) + 1,i„(u)(W): IV E IR, ITVJIL = 1 e (IV. MT) = O} t=1

131

e existe In tal que Uni = 1, (In, Wr) = O e ,v2i = (L„n, n)± (n)?. Consideramos i(n) então por v) temos que 11i(Win)112 = 1 + 0(1RF11), (i(14721), i(n))

0(1/rn) e (i(n), 01) = Mn), 01 — i(W11)) + Mn), i(in)) —> O quando n CO. Como antes, pelo Teorema A. 1 vi) e ii) temos:

(i(WM2dx + f f' (u)i(Wn2 dx o

= (1,„In ,WD+ f i(f2ui ))i(Wn2 dx + 00.1\F-0 o

= (Ln,T42)-1- E, (ui) (WM + O (1/ \Ft) = A'121 + O(1/) t=i

Agora, consideremos i(n) = i(n) — (i(n), 01)01, logo (OH i(n)) = O. Assim, 1 1 2 (i (W') )2dX (u)i(n) dx

o f

o (i(w2n),)2d,_ 21. i(n)Oiclx f i(n)10'idx

o o

+(f 1 . 1 1 , z(n)Oldx)2

ri(V1 )2dx + fo f i(u)i(n)2 dx

1 i 1 1 —2]o nu)45121(n)dx fo i(14T)Oidx + fo f i (u)(01)2dx(fo i(n)Oidif

i. 1 5. A'210(1[Vit)+ Ai(] i(147721)01dx) +21]; i(n)Oidx111451111/111i(n)111/1

+21i 1 i(147121)01dx111.N)1100110111L211i(WZ)11L2 = A1121 + h1 (n)

o

onde hl (n) O quando ti —> oo. Assim,

À2 = min fo + f (u)02dx; E H1(0, 1), f 02 dX = 1 e f 010dx = O} o o o

5. (AZ + .91(n))

onde gi (n) O quando n oo Portanto, À2 < (À721 (n)) < À2 g2(n). Logo. ÀT2i A2 quando ri

De forma análoga a anterior, mostra-se que i(n) Por indução, temos que os k primeiros autovalores e as E primeiras autofunções dos

problema 2) convergem para os E primeiros autovalores e as k primeiras autofunções dos problema 3) quando n

132

Observando que os pontos de equilíbrio (Un )i convergem para os equilíbrios ui, para

j = 1, • • • , N dado que os campos da equação do calor e sua discretização estão C1 sufi-

cientemente próximos para n suficientemente grande. Então, de forma análoga, obtemos

a convergência dos autovalores e autofunções, dos problemas 1) e 2).

A.3 Convergência de autovalores em 77 e ri

Como já foi mostrado no capítulo (1), temos que os pontos de equilíbrio para os problemas

(4.3) e (4.4) são os mesmos para qualquer valor do parâmetro 77 > o. Estes pontos de

equilíbrio são dados por: Yr, = (Un, 0) onde Un satisfaz 24„Un + f(U) = 0.

Fixemos um ponto de equilíbrio (Yn)2, assim não escreveremos mais o índice j. 'Conside-

ramos as equações linearizadas em Yn, ou seja,

d dt V

[Ul 0

—An —2(77.4V2 + a)

- U

V

0

f l (Un )U (A.1)

0 ./ O 01 Denotaremos por C:i(ln) =

—24,, —2aj fig/n) 0

0O 01 e 2111,1 ,n(Un ) =

— A„ —2(714112 a)1 [fi(./ri) O

Mostraremos que os autovalores de C,;(Un ) convergem para os autovalores de C,( U)

quando ri O e a convergência é uniforme em n sobre compactos. Para isto, faremos a

seguinte separação de C(Un).

Cni,n(Un )=

I onde B =

O O . Observamos primeiramente que Brbn é C(U)-relativamente

n [0 —27)AF limitado. De fato,

1113n,n(v

1)11 ,Rnx110 = 2711121W2 VIILS = 27711VIIHel 5_ 277IIC(Un)( )11R-xp,n• V

Como, para E p(Cri(/71 )) tal que 11Bn,n( — CI(Un)) < 1, temos E p(C(L41))

pois ()'J — C(Un ))-1 = (I — — C;i(./n))-1)-1( — C(U))'. É claro que dado

133

À E p(C:,(Un)) existe um no(A,n) tal que A E p(C,i' (U„)) para 77 < no pois:

II Bn,n (À — C„. (Un))-11, G 2n(1 + C(U4)II.

Queremos mostrar que dado E > O, existem no e no tal que para 77 < no e ri, > no temos

que KE c p(C,,1 (Un)), onde ./C, = BK\ Ui /Mai) e uj E a(C'(0)), onde ¢, é o limite de

Un.

Denotamos por A'() e A( U) os operadores 6.—f '() e --Ln — fi (Un), respectivamente.

Os autovalores de C'(0) são da forma

= —a ± 1/42 —

onde vi é o j-ésimo autovalor de —A'(0). De forma análoga, temos que os autovalores de

C(U) são da forma

/211± = —a ± V02 — vy,

onde vy é o j-ésimo autovalor de —A'n(Un).

Desde que os autovalores de A(U) convergem para os autovalores de A'(0), vi

uniforme para um número finito então i.zy± izi± quando ri co, uniformemente para

em BK.

Observamos que basta mostrar que IIR(À, C(Un))11 < /1,/, com M independente de 77

e de ri para 77G no en>no e AE/Ce.

Para cada n. seja 0? o autovetor de —A'n (Un ) associado a vy. Os autovetores 0'33

formam uma base ortogonal em IRTI . Os autovetores de Cn'(Un ) são da forma: tprii± =

(011, AO» Como estamos interessados no cálculo do operador resolvente então devemos

considerar o operador C (U) como um operador sobre C' x C" e iiiy± (0'1,prii±çhy)3±

é uma base para C' x C. Por trabalharmos com esta nova base, vamos considerar

uma nova norma a qual é equivalente a norma original e com constantes de equivalência

independentes de ri. Seja À» 1 então definimos a seguinte norma

11(14; Z)II = (((—A'(U„) + ))W, W) +

Esta norma é proveniente do produto interno

((14-i, Z1). (1472, Z2)) = ((-111(Un) + À)1471, II-2) + Z2),

134

observamos que a notação (, ) denota o produto interno (U, V) = .ui•T/z, ou seja, o

produto interno L2 discretizado sobre Cn. Também temos que para j /,

= ((v7 + À) O?, Sb?) + (/4±0Y, Pq1±07) = o.

Ou seja, temos que os auto-espaços dois dimensional, associados aos autovalores ±, são ortogonais entre si. Além disso, o 'ângulo' formado entre os vetores da base de cada espaço dois dimensional

não vai para zero quando j oo De fato, calculemos primeiramente

eq+, = ((i4 + Ahb?, çbp + (i4+0?, /4-0?)

= (vr; + À + /4+TA )1i0T)P2

liVir1+112 = (v+ ± 14+/-q+)ilçqii2

ii2 = (z<7 ± À ± /44-Lir-)1kbri‘112

Como, py+ = pg_ então = a2 - (vy - a2) -2ayv; - a2i logo (v1 + A+ piy+psy_) =

(2a2 + À) - 2a/v; - a2i. Também, Ip7+12 = = vy. logo, (vil + À + py_py+)4(vy

+ = 2v7 + A. Então:

fiL) (2a2 + À) - 2aVv; - a2i

1107+11112Prj-ii 211+

Logo, quando oo temos que

(2141+,21)7L) -4 0+ Oi. 11,P;+11112Py_ II

Agora, vamos calcular R(e, Cu' (U,i ))2Pi± para e E Ife.

(Cl — (u4)2KI± = (e —

Logo, - qi(Un))2P;1±ii = > €112Pi±li e portanto IIR(e,-41(Un))ii <

Calcularemos IIR(C,C(U4)(W, Z)11 para qualquer (TV, Z) E Cn x Cn e e E K. Para

isso escrevemos (W, Z) na base de C' x Cn, ou seja, (W, Z) = E;Li(Ci+24+ +Ci_t/P114,

135

observamos que a soma em j é ortogonal. Assim,

MR(e, Z)M 2 = Cin(in))/PTI± Cin(Un)07_)112

=1 TI

liCj+ - PT/±)-1.07j1+ + C. (e 117-)-1.çb. 112

(lici±ce — P7±)-1.0;±1i + — p?_)-Loy_ii)2 TI

< K2 max — alci-Elb.7+11 + esb;_I1)2

< K2KI2

e + ICj_ (.0; = K2K121. 11(W, Z)li

n

3

Portanto, MR(e.C(Un))11 < M para e E K, e para todo n > no. Logo. 271(1 +

11.1:t(e,C(Lin)11) < 1, para Tb > rio e t 1o• no.

Observamos que acima foi utilizado que as normas do produto interno e da soma são

equivalentes com constantes de equivalência independentes de j e de Tb. Agora faremos a

demonstração deste fato.

Teorema A.2. As normas da soma e do produto interno são equivalentes independentes

de j e de Tb. Ou seja, existem K e K' positivos tais que se (IV, Z) =crtt7+ + ,N7,_ então

KI alaibí+11 +11/3'sq_11) 11(1.4r, K(11a0r1+11 + 11 /311/1_11)-

Demonstração: A desigualdade do lado direito é trivial pois

11(W Z)II = HaWj14-112 2Re((aWl-E, 8071-))

liaVil+112 21(Cr7+2 /Mil +113.0Y-112

liCrçbrit+112 211 C ±iiiifiV1-11

(ilaV11-11+ 113157/-11)2

Antes de fazer a demonstração da desigualdade do lado esquerdo, faremos algumas con-

siderações. Consideraremos Vi± normalizados. Seja r = + fi'skr- II = mima1+101,.1 H2 +2Re((athy±,Mbn) +1,312 então r > ro > O onde ro independe de j e de

< K j=1

136

ri. De fato, como

2Re(aO) ( )) 1 012 012

2Re(a0) 2a2 + lar 2v7 +

2Re((crik7+, 1 012 + 1012

21m (o) 1012 ± 1012 Sv.7-f)

2Im(a0) 2a1Jv7 — a2 1012 1012 2:1+ A -+0

Portanto, para j e ri suficientemente grandes temos que

2Re((aOrfE,STI--)) > —1+r0. 1 012 ± 012 —

E assim, lal2 + 2Re((crill+, + 1012 .? ro(1012 + 1012) > f0)

Agora mostraremos que B( .,.) (r) C Bs (1) onde B( .,. ) (r) denota a bola de raio r na norma

do produto interno e Bs(1) denota a bola de raio 1 na norma da soma. De fato, suponha,

por absurdo que existe (1, tal que 11.11!(.,.) = r e tal que ¡Mis > 1 então considere iJI =

assim, IIlls = 1 e = < r absurdo pois r = min{Pik,.); ¡Mis = 1}. Logo,

= 1 implica que 11.111(.,.) > r e portanto riglis = r < 11(1,11 (.,.). e r > 7.0 > O com ro

independente de j e de ri.

137

138

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21)(f (11 /4(t)),un(t)) 26(-11jun(t)1112 + c5/4).

Página 78, linha 3, retirar i = 0,1.

Página 78, linha -5, trocar "então pela unicidade então" por "então pela unicidade

temos".

Página 84, linha -9, trocar AV(ki), cr(A:")) por C4(.:D1), a(C:ai)).

[ Página 87, linha 6, trocar A por C v

[ui

v

u

Página 89, linha 1 trocar "sem-continuidade" por "semi-continuidade".

Página 94, linha 18, trocar

26(f(U„,„(t)),U,I,„(t)) S --5411U,n(t)1121,3 + e6/4

ERRATA

Página 4, última linha trocar Au xx por Au.


{ C — Q0

—A —2(A° + a)]

por

C — [

—A —2(nA° + a) Página 30, linha -5, trocar convegência por convergência.

Página 40, linha 12, trocar 03,À por ON,A.

Página 51, linhas 2 e 4, trocar TA por 71,.

Página 63, linha 7, trocar s(n) = III&III = suPv„Ean {an(vn)} por s(n) = lilanill = sup„nER-filan(vn)ii}•


26(f(u„(t)),ug(t)) —111/1/4(t)1112 + C6I4

por

por

26(f(U,,,n(t)), U,1,„(t)) S 26( —111U,,,n(t) + C6/4).

Página lia, unha 9, trocar efte(Alk )t < et-0 por efte(À±k )t < era. j • J.

Página 116, linha 1, trocar A±_k = ak ± fik e Ailk = c4 ± /3 porpor A±k = k ±ifik e

= a i

Página 119, linha 4, trocar b+k = 1/2(a74.k + an_k) e b_k = 1/2(a11.k — an_t) por b+k =

1/2(a114 — ia:1k) e b_k = 1/2(4k +

Página 132, linhas -2 e -3, trocar K por k.

Página 133, linha 13, trocar En (U.) por

Página 134, linha -3, trocar 1/1/ e 2 por W e Z.

Página 136, linha 6, trocar < K21(12 E;(iici+/fry++Iici_m_)2 = K2K/2!-11(w,z)II por s K2 iça E;=1 lici+07+ + (07_)I12 = z)112.

Página 136, linha -7, trocar 11(W, Z)11 por 11(W, Z)112.

OBS: Elaborada posteriormente a defesa

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Discretização de problemas semilineares dissipativos ... · 1.5 'Variedades Invariantes 26 1.6 Semi-continuidade superior 37 1.7 Teoremas de semi-continuidade inferior 38 2 Problema