Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto Prof. José Maurício Neto [email protected] 1

Sistemas Lineares e Invariantes:Tempo Contínuo e Tempo Discreto

Prof. José Maurício [email protected]

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Definição de Sistemas

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• Um sistema pode ser definido como um processo que realiza a transformação de sinais (Entrada/Saída) por uma Função de TransformaçãoFunção de Transformação T{.}T{.}

x(t) y(t)

x[n] y[n]

Sistema no Tempo Contínuo

Sistema no Tempo Discreto

Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo

Contínuo

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Sistemas Lineares de Tempo Contínuo• Um sistema Linear satisfaz o Princípio da SuperposiçãoPrincípio da Superposição, ou

seja, satisfaz as propriedades de:

Aditividade

Homogeneidade.

• O princípio de superposição é a base para o estudo aproximado de sistemas em diversas áreas da engenharia: Sistemas de Controle, Sistemas Preditores, Modelagem, etc.

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Propriedade da Aditividade

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1 1

1 2 1 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y t T x ty t y t y t T x t x t

y t T x t

Propriedade da Homogeneidade

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( ) ( ) ( ) ( )y t T x t ay t T ax t

Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo

Deslocamento na saída

Deslocamentona entrada

• Um sistema é invariante no tempo invariante no tempo se para um deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um deslocamento no tempo na sinal de saída

0 0

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( ) { ( )}y t T x t

0 0( ) { ( )}y t t T x t t

Representação de Sistemas Lineares e Invariantes

• Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo são descritos utilizando equações diferenciais com coeficientes constantes.

• Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância no tempo em cada operação.

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0 0

( ) ( )k kN M

k kk kk k

d y t d x ta bdt dt

Exemplo – Sistema Mecânico

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2

2 ( )y ym b k u tt t

Equação Diferencial

0

1

tempo (s)0

tempo (s)

0

1

tempo (s)0

tempo (s)

x(t-t0)

x(t)

y(t-t0)

y(t)

É um sistema Invariante no tempoÉ um sistema Invariante no tempo

O sistema mecânico é Linear?

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2

2 ( )y ym b k u tt t

Aditividade

21 1

12

22 2

22

( )

( )

y ym b k x tt ty ym b k x tt t

21 2 1 2

1 22

( ) ( ) 2 ( ) ( )y y y ym b k x t x tt t

Homogeneidade

2

2

2

2

( )

( ) ( ) ( )

y ya m b k ax tt t

ay aym b ak ax tt t

2

2

( ) ( ) ( )ay aym b ak ax tt t

É um sistema Não LinearÉ um sistema Não Linear

Linear Invariante no Tempo

Não Linear Não Linear Variante no Tempo

Exemplo - Circuito Elétrico

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( )2 3 ( ) ( )di t i t v tdt

2( )2 3 ( ) ( )di t i t v tdt

( )2 3 ( ) 4 ( )di t i t v tdt

( )2 3 ( ) ( )di t t i t v t

dt

Características de Sistemas Lineares e Invariantes

• A aplicação da superposiçãosuperposição em sistemas lineares constitui a base para a análise de sistemas, tais como:

A representação de um sinal arbitrário x(t) como uma soma ponderada de impulsos, é a base para o método de convolução.

A representação de um sinal x(t) como uma combinação linear de sinais harmônicos é a base para as séries de Fourier.

A representação de um sinal x(t) como uma série ponderada de exponenciais complexas é a base para as transformadas de Fourier e de Laplace.

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• Os sistemas lineares e invariantes no tempo contínuo podem ser analisados através de equações diferenciais.

• Para sistemas LIT é possível realizar o cálculo das respostas usando superposição mesmo tendo condições iniciais diferentes de zero.

• A desvantagem é que a medida que se incrementa a ordem do sistema, a formulação das equações diferenciais e a avaliação das condições iniciais torna-se muito complexa.

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• A representação de um sinal x[n] como uma soma ponderada de impulsos deslocados, é a base para o método de convolução discreta.

• A representação de um sinal x[n] como uma combinação linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a transformada z.

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Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Discreto

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Sistemas Lineares de Tempo Discreto• Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e

implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e que a equação do sistema envolva apenas operadores lineares.

• Pode–se utilizar a superposiçãosuperposição para um sistema com condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear. – Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo

entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas adicionais.

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Sistemas Lineares de Tempo Discreto• Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida

a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero (devido apenas à entrada).

• Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas lineares na presença de condições iniciais distintas de zero. Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero obedecem à superposição.

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Sistemas Invariante de Tempo Discreto• Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da

resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada x[n] e não do instante de tempo que é aplicada.

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

-0.5

0

0.5

1

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

-0.5

0

0.5

1

n

[ ] sin( . [ ])y n a x n

Deslocamento na saída duas unidades de tempo

Deslocamento na entrada duas unidades de tempo

Causalidade de um Sistema LIT

• A saída de um sistema causal somente depende dos valores atuais e passados da entrada .

• Para que um sistema LIT seja causal, y[n] não deve depender de x[k], para k>n:

então, os coeficientes h[n-k] que multiplicam a x[k] para k>n devem ser zero, portanto h[n]=0 para n<0

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[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

Causalidade de um Sistema LIT

• Para um sistema LIT discreto causal, como h[n]=0, para n<0:

• Ou de forma equivalente:

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[ ] [ ] [ ]n

k

y n x k h n k

0

[ ] [ ] [ ]k

y n h k x n k


• Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo discreto, deve-se considerar que: Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída

trazem como consequência a não linearidade do sistema.

Um termo constante também torna não linear o sistema.

Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções explícitas de “n” tornam o sistema variante no tempo.

As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar, por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no tempo.

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• Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos de uma somatória de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo.


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x[n]= …+ 7[n+2] + 5[n+1] + 3[n] + 5[n1] +...

x[n]= …+x[2][n+2] + x[1][n+1] + x[0][n] + x[1][n1] +...

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n k

• A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a um impulso localizado no instante k

• Sendo o sistema invariante no tempo:


T { }[n-k] hk[n]

knTnhk

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knhknTnhk


T { }x[n] y[n]

Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos

kknkxnx

kknkxTny

kknTkxny

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kknhkxny

k k

y n x k h n k h k x n k

Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução.

Somatoria da Convolução

[ ]* [ ]y n x n h n h n x n

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