Embed Size (px)
Citation preview
Aula 9
“Diagrama de Bode”
Hendrik Wade Bode(americano ,1905-1982)
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar sinais no domínio da frequência.
Função de Transferência
s = 0 + jω = jωobtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de Laplace,
Os sinais são representados no domínio da frequência por funções de s:
X(s), Y(s), etc.
ou por funções de jω
X(jω), Y(jω), etc.
como já vimos no capítulo 8 (Transformadas de Fourier).
F { x(t) } = X(jω) e F { y(t) } = Y(jω)
Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier são representações que estão muito relacionadas uma com a outra.
Em muitos casos, se substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se ‘s’ ser um número complexo com parte real nula e parte imaginária ‘ω’,
como já vimos no capítulo 6 (Transformadas de Laplace)
L { x(t) } = X(s) e L { y(t) } = Y(s)
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc.
Se x(t) é a entrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas aplicações podem ser mais interessante representar no diagrama de blocos estes sinais
X(s), X(jω), Y(s) e Y(jω)
no domínio da frequência, em vez de no domínio do tempo. onde G(s) e G(jω)são a reposta impulsional do sistema conforme visto nas secções 5.10 (no capítulo 5, Transformada de Laplace) e 8.5 (no capítulo 8, Transformada de Fourier) respectivamente.
Note que lá a reposta impulsional do sistema era, de forma geral, H(s) e H(jω)
enquanto que aqui, de forma geral, será G(s) e G(jω).
Diagrama de blocos com os sinais de entrada e saídarepresentados no domínio da frequência.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
No capítulo 4, sobre Sistemas e no capítulo 8 sobre Transformadas de Fourier nós vimos alguns resultados clássicos sobre SLIT (sistemas lineares e invariantes no tempo).
Ou seja, a saída y(t) é a convolução entre a resposta impulsional g(t) e a entradax(t). Isso que implica que
.d)(g)t(x)t(g)t(x
d)(x)t(g)t(x)t(g)t(y
τ⋅τ⋅τ−=∗=
τ⋅τ⋅τ−=∗=
∞+
∞−
+∞
∞−
).j(G)j(X
)j(X)j(G)j(Y
ω⋅ω=ω⋅ω=ω
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Sabendo-se a resposta impulsional g(t) de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) podemos saber a saída y(t) para qualquer entrada x(t).
Por exemplo, no caso particular da entrada x(t) = impulso unitário,
x(t) = uo(t)
então a saída y(t) = g(t ) = a “resposta impulsional do sistema”.
onde
X(jω) = F { x(t) } X(jω) = Transformada de Fourier de x(t),
Y(jω) = F { y(t) } Y(jω) = Transformada de Fourier de y(t), e
G(jω) = F { g(t) } G(jω) = Transformada de Fourier de g(t)
Este resultado se deve ao facto que:
a transformada da convolução é produto das transformadas.
a propriedade da Convolução.
)j(X
)j(Y)j(G
ωω=ω
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Portanto a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) representada no domínio da frequência:
G(s) ou G(jω),
)s(p
)s(q)s(G =
onde q(s) e p(s) são polinómios em ‘s’ do tipo
an sn + an-1 sn-1 + ... + a1 s + ao
ou, alternativamente,
)j(p
)j(q)j(G
ωω=ω
onde p(jω) e q(jω) são polinómio em ‘s = jω’ do tipo
an (jω)n + an-1 (jω)n-1 + ... + a1 (jω) + ao
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
muito comummente são fracções racionais, ou seja, fracções cujo numerador e odenominador são polinómios em ‘s’:
Polos e zeros da Função de Transferência
)s(p
)s(q)s(G =
Considere agora a função de transferência G(s) de um sistema depois de reduzida para forma de fracção racional
e suponha que todos as eventuais raízes comuns de q(s) e p(s) tenham sido cancela-das e portanto esta expressão acima está na forma irredutível.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Equação Característica:
O polinómio p(s) é chamado de polinómio característico de G(s), ou o polinómio característico do sistema. A equação
p(s) = 0
é chamada de a “equação característica” do sistema.
Polos:
As raízes do polinómio característico p(s) = 0 são chamadas de polos de G(s) ou polos do sistema. Ou seja, os polos são as soluções da equação característica.
Zeros:
As raízes do numerador de G(s), q(s) são chamadas de zeros de G(s) ou zeros do
sistema. Ou seja, os zeros são as soluções da equação q(s) = 0.
Exemplo 9.1: Considere a função de transferência G(s) dada por
2)+2s+(s2)+(ss
)30s(2)s(G
2
+⋅=
É fácil de se verificar que G(s) tem um zero
s = –30
e quatro polos:
s = 0, s = –2, e s = –1 ± j
sendo que 2 são reais e 2 são complexos.
s4s6s4s
2)+s2+(s2)+(ss)s(p
234
2
+++=
==
O polinómio característico deste sistema é:
Como s = 0 é um pólo de G(s), costuma-se dizer que este sistema tem um “pólo
na origem”.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9.2: Considere agora a função de transferência G1(s) dada por
Nitidamente G1(s) tem um “zero na origem”:
s = 0
)10+s10+(s10)+(s
s10)s(G
422
5
1 =
350j50s ⋅±−=
5323
4221
10s1011s110s
)10+s10+(s10)+(s)s(p
+×++=
==
e três polos:e
sendo que 1 deles é real e 2 são complexos.
O polinómio característico deste sistema é:
10s −=
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9.3:
G(s) tem um “zero duplo na origem” (s = 0) e quatro polos:
,c)-(s)b+(sa)+(s
s10)s(G
22
2
=
s = –a (duplo), s = –b2 e s = c.
Considere agora a função de transferência G(s) dada por
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Os FATORES BÁSICOS EM ‘s’ para a construção de um diagrama de Bode
s
1)s(G =
2s
1)s(G =
3s
1)s(G =
L
3. Fatores derivativos [zeros na origem]: sn , n = 1, 2, ...
G(s) = s , G(s) = s2 , G(s) = s3,
2. Fatores integrativos [polos na origem]: (1/s)n , n = 1, 2, ...
G(s) = KB
1. O ganho de Bode ( KB )
...
...
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Fatores de 1ª ordem do tipo “polos reais”: 1/(Ts + 1)n, n = 1, 2, ...
( )1Ts
1)s(G
+= ( )2
1Ts
1)s(G
+=
( )31Ts
1)s(G
+=
5. Fatores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (Ts+ 1)n , n = 1, 2, ...
( )1Ts)s(G += ( )21Ts)s(G += ( )3
1Ts)s(G +=
...
...
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Fatores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “polos complexos”:
1/[1+2ζ(s/ωn)+(s/ωn)2]n, n = 1, 2, ...
ω+
ωζ+
=
2
n
2
n
ss
21
1)s(G
2
2
n
2
n
ss
21
1)s(G
ω+
ωζ+
=
3
2
n
2
n
ss
21
1)s(G
ω+
ωζ+
=
...
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Fatores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”:
[1+2ζ(s/ωn)+(s/ωn)2]n, n = 1, 2, ...
2
n
2
n
ss
21)s(G
ω+
ωζ+=
2
2
n
2
n
ss
21)s(G
ω+
ωζ+=
3
2
n
2
n
ss
21)s(G
ω+
ωζ+=
...
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Desmembramento de funções G(s) em Fatores básicos
)2s2s()2s(s
)30s(2)s(G
2 ++++=
)2s2s()2s(s
130
s302
)s(G2 +++
+⋅=
++⋅
+⋅⋅⋅
+⋅=
1s2
s1
2
ss22
130
s302
)s(G2
Qualquer função transferência G(s) pode facilmente ser reescrita somente com os fatores básicos.
Exemplo 9.4: Considere agora a função G(s) vista no exemplo 9.1 que é dada por
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Finalmente, juntando as constantes (do numerador e do denominador):
obtemos a expressão abaixo:
1522
302 =×⋅×
++⋅
+⋅
+⋅=
1s2
s1
2
ss
130
s15
)s(G2
que está inteiramente escrita em termos de fatores básicos na forma:
( )( )
+
ωζ+
ω⋅+⋅
+⋅=1s
2s1Tss
1s'TK)s(G
n
2
n
2
B
KB = 15
T = ½
T’ = 1/30
2n =ω
707,02
2
2
1 ===ζ
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( )
ω+
ω−⋅
ω⋅+⋅ω
ω⋅+⋅=
=
+ω+ω⋅
+ω⋅ω
+ω⋅=ω
j2
12
j1j
30j115
1j2
j1
2
jj
130
j15
)j(G
2
2
Fazendo isso, obtém-se:
pois esta é a única diferença entre as duas formas G(s) e G(jω).
s = jωou seja,
s = 0 + jω,
Exemplo 9.5: Para escrever a função de transferência G(s) do exemplo anterior na
forma de fatores básicos em jω e então obtermos G(jω) basta substituir no resultado
obtido para G(s),
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Diagramas de Bode dos Fatores básicos
Os diagramas de Bode são construídos para funções de transferência G(jω) e são dois:
diagramas de Bode de móduloe
diagramas de Bode de fase.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Sabendo-se os diagramas de Bode dos fatores básicos é possível utiliza-los na cons-trução dos diagramas de Bode de qualquer outra função de transferência G(jω) que desmembrarmos em termos dos fatores básicos.
enquanto que os diagramas de Bode de fase são gráficos de
∠G(jω) em graus
×ω (com escala logarítmica)
Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de
| G(jω) | em dB ( |G(jω) |dB )
×ω (com escala logarítmica)
1. O ganho de Bode ( KB )
Como G(jω) = KB é uma constante (não varia com ω), temos que |KB| em dB é dado por:
B10dBB Klog20K ⋅=
enquanto que ∠ KB é 0º ou –180º, ∀ω, isto é:
∠ KB = 0º se KB é uma constante positiva,
ou
∠ KB = – 180º se KB é uma constante negativa.
Uma vez familiarizados com os gráficos dos diagramas de Bode dos fatores básicos que apresentamos aqui, a construção dos diagramas de Bode das demais funções de transferência fica facilitada, como veremos nos exemplos.
Portanto, agora vamos mostrar os diagramas de Bode (módulo e fase) para cada um dos fatores básicos.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
<−
>=∠=ω∠
0Kse,º180
0Kse,º0
K)j(G
B
B
B
É claro que o ângulo de fase para KB negativo, –180º é o mesmo que +180º que é na verdade é π.
Logo, como já dito acima na definição de diagramas de Bode da fase, o normal é representar a fase de KB (i.e., o ângulo ∠ KB) em graus(em vez de radianos).
Isso se deve ao facto de que, como G(jω) tem um número de polos
superior (ou no máximo igual) ao número de zeros, então o ∠G(jω) irá sempre tender para a parte negativa (para a parte de baixo, abaixo de 0º).
No entanto, para efeito de diagrama de Bode tem-se a tendência de adoptar ∠ KB = –180º nestas situações.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode (módulo e fase) de
G(jω) = KB
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Se KB>1, então 0)j(GdB
>ω
Se KB=1, então 0)j(GdB
=ω
Se 0<KB<1, então 0)j(GdB
<ω
Isto é, aumentando-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de módulo “subir” enquanto que diminuindo-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de módulo “descer”.
O efeito que uma variação do ganho KB em um diagramas de Bode com vários fatores básicos é que ele faz deslocar a curva de módulo para cima
(se KB > 0) ou para baixo (se KB < 0) e não afecta a curva do ângulo de fase.
Por outro lado o diagrama de Bode de fase fica inalterado às variações de KB se KB > 0 , ou fica deslocado para baixo de 180º, no caso de KB < 0.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Factor Integral (jω)-1
Para G(jω) = (jω)-1, temos que |G(jω)| em dB é dado por:
[ ]dBlog20
j
1log20)j(G
10
10dB
ω⋅−=
ω⋅=ω
que é na verdade a equação de uma reta com declive –20 dB/década pois ω está representado na escala logarítmica.
Para se ver isto, primeiramente note que
|G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1,
um detalhe que facilita para fazermos o seu esboço.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
para ω = 0,01 G(jω) = 40 dB
para ω = 0,1 G(jω) = 20 dB
para ω = 1 G(jω) = 0 dB
para ω = 10 G(jω) = – 20 dB
para ω = 100 G(jω) = – 40 dB
o que permite se ver claramente que trata-se de uma reta com declive de –20 dB/década
Na verdade temos que, olhando-se para algumas décadas consecutivas,
temos que, no diagrama de Bode de módulo de G(jω) ( |G(jω)|dB ):
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
para ω = 0,5 G(jω) = 6 dB
para ω = 1 G(jω) = 20 dB
para ω = 2 G(jω) = –6 dB
para ω = 4 G(jω) = – 12 dB
Também é costume se olhar para algumas oitavas consecutivas (em vez de décadas) do diagrama de Bode de módulo de G(jω) ( |G(jω)|dB ).
que é uma forma alternativa de olhar para esta reta pois o declive de –20 dB/década é equivalente a – 6 dB/oitava.
Isto é: uma oitava corresponde à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda / aumentando-se / ou diminuindo-se).
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode (módulo e fase) de
G(jω) = (jω)-1
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Outros fatores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n
Para a fase ∠ G(jω), temos que:
Observe que, como ω está representado numa escala logarítmica, então ω é sempre positivo (ω > 0) e portanto ∠ jω = 90º, e logo –∠ jω = – 90º.
Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a – 90º.
O efeito do factor básico G(jω) = 1/jω em um diagrama de Bode de fasecom vários fatores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para
baixo de 90º.
∠ G(jω) = ∠ (1/ jω) =
= – ∠ jω =
= – 90º , ∀ω
Para G(jω) = (jω)-n, temos uma situação bastante semelhante aos fatores (jω)-1 que vimos acima.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode (módulo e fase) de
G(jω) = (jω)-n
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Fatores derivativos
jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1
Para G(jω) = 1/ (1 + jωT), temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:
( )
( )2
10
10dB
T1log20
Tj1
1log20)j(G
⋅ω+⋅⋅−=
ω+⋅=ω
que vamos dividir em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas.
( ) ≅⋅ω+<<⋅ω 1T11T2
( )
( ) dB01log20
T1log20)j(G
10
2
10dB
=⋅⋅−≅
⋅ω+⋅⋅−=ω
No intervalo, ω << 1/T (frequências baixas), observamos que:
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e portanto:
( )
>>ω⋅ω⋅−
<<ω=ω
T
1,Tlog20
T
1,0
)j(G
10
dB
Ponto onde as duas retas assíntotas se interceptam
0 dB para ω = 1/T
T
1c =ω T
1c =ω
A frequênciaé chamada de frequência de “canto” (“corner” frequency).
Logo, temos 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)|dB,
ambas retas, às quais chamamos de
“retas assíntotas”
para frequências altas e baixas.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Diagrama de Bode de módulo. Fatores polos simples G(jω) = 1/ (1 + jωT)
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
A curva real de G(jω)|dB só coincide com as assíntotas quando ω << ωc ou quando ω >> ωc, que na prática corresponde a
( )T10
1
⋅<ω para frequências baixas
T
10<ω para frequências altas
Ou seja, as assíntotas são válidas para uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assíntota para frequências baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assíntota para frequências altas).
Na verdade mostra-se facilmente que tanto para ω = 1/10T (uma década abaixo de ωc), como também para ω = 10T (uma década acima de ωc), a
curva de módulo G(jω)|dB apresenta erro desprezível, praticamente nulo:
G(jω)|dB = – 0,04 db ≅ 0 dB
para ω = 1/(10T) ou para ω = 10T.
e
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Nas proximidades da frequência de canto ωc as assíntotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB.
( ) T
1para,
2
1log20
j1
1log20)j(G c1010dB
=ω=ω−=⋅⋅−=+
⋅=ω dB3
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que:
∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT) =
= – ∠ (1 + jωT) =
= – arctg (ωT)
Aqui também pode-se pensar nos intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas.
O erro máximo é de 3 dB e ocorre exactamente na frequência de cantoωc = 1/T, o ponto onde as duas assíntotas se encontram, pois para este
valor de ω,
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que:
( ) º01)j(G1T11T ≅∠=ω∠≅⋅ω+<<⋅ω
enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que:
( ) ( ) ( ) º90Tj)j(GTjTj11>>T −≅ω⋅∠−=ω∠ω⋅≅ω⋅+⋅ω
resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.9) com ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois
>>ω−
<ω<ω−
<<ω
=ω∠
T
1,º90
T100100
T,)T(arctg
T
1,0
)j(G
e portanto:
arctg (0) = 0º e – arctg(∞) = – 90º
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º, logo, na frequência de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos:
Diagrama de Bode de fase. Fatores polos simples G(jω) = 1/ (1 + jωT)
a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º em ω = 1/T,
isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º; um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ou seja diagrama de Bode de fase ∠G(jω) tende assintoticamente para
cc 10até
10de ω⋅
ω
isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T
(assíntota para frequências baixas) até
uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T(assíntota para frequências altas).
0º (à esquerda) e para – 90º (à direita).
Na prática consideramos que ∠G(jω) varia de 0º a – 90º enquanto a
frequência ω varia
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Fatores polos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n
Diagrama de Bode de módulo. Fatores polos múltiplos G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, …
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Diagrama de Bode de fase. Fatores polos múltiplos G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, …
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
são em tudo análogo aos fatores polos primeira ordem simples emúltiplos que vimos acima.
As principais diferenças são que as assintotas nas curvas de módulo
para frequências altas sobem com um declive de +20n dB/dec em vez de descerem com um declive de –20n dB/dec e as curvas de fase vão de 0º a +90ºn em vez de 0º a –90ºn.
Ou seja, curva de módulo e fase para os fatores zeros primeira ordempodem ser obtidas invertendo-se o sinal das curvas de módulo e fasedos fatores polos primeira ordem
5. Fatores zeros primeira ordem simples e múltiplos
(1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ..., (1 + jωT)n
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Diagrama de Bode de módulo. Fatores zeros simples e múltiplos G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, 3, …
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Diagrama de Bode de fase. Fatores zeros simples e múltiplos G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, 3, …
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Fatores básicos com sinais negativos
No caso de fatores básicos com sinais negativos do tipo
( )1Ts
1)s(G
−= ( )2
1Ts
1)s(G
−=
( )31Ts
1)s(G
−=
...
ou
( )1Ts)s(G −= ( )21Ts)s(G −= ( )3
1Ts)s(G −= ...
entretanto para a construção do
diagrama de Bode de fase é necessário um cuidado maior na análise.
é fácil mostrar que o
diagrama de Bode de módulo é idêntico ao factor básico correspondente com sinal “+” ,
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
+
+=
++=ω
1100
s
)1s(100
1
)100s(
)1s()j(G
Exemplo 9.6
1
1s100
1e)1s(
−
+⋅+
)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω+∠=ω
Além disso, a fase de G(jω) é dada por
Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB e G(jω) tem ainda outros dois fatores básicos:
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
+
−=
+−=ω
1100
s
)1s(100
1
)100s(
)1s()j(G
Exemplo 9.7
1
1s100
1e)1s(
−
+⋅−
)100/j1()j1(º180
)100/j1()j1()j(G
ω+∠−ω−∠+=
=ω+∠−ω+−∠=ω
Além disso, a fase de G(jω) é dada por
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo anterior (Exemplos 9.6).
Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda outros dois fatores básicos:
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
−
+=
−+=ω
1100
s
)1s(100
1
)100s(
)1s()j(G
Exemplo 9.8
1
1s100
1e)1s(
−
−⋅+
)100/j1(º180)j1(
)100/j1()j1()j(G
ω−∠−+ω+∠=
=ω+−∠−ω+∠=ω
Além disso, a fase de G(jω) é dada por
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 2 exemplos anteriores (Exemplos 9.6 e 9.7).
Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda outros dois fatores básicos:
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
−
−=
−−=ω
1100
s
)1s(100
1
)100s(
)1s()j(G
Exemplo 9.9
Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda outros dois fatores básicos:
1
1s100
1e)1s(
−
−⋅−
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 3 exemplos anteriores (Exemplos 9.6, 9.7 e 9.8).
)100/j1()j1(
)100/j1(º180)j1(º180
)100/j1()j1()j(G
ω−∠−ω−∠=
ω−∠−−ω−∠+=
=ω+−∠−ω+−∠=ωAlém disso, a fase de G(jω) é dada por
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9.10
( )
++
=++
=ω1
100
s1s
1
)100s()1s(
100)j(G
Note que neste caso KB = 1 = 0 dB e G(jω) tem ainda outros dois fatores básicos:
1
1 1s100
1)1s(
−−
+⋅+ e
)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω+∠−=ωAlém disso, a fase de G(jω) é dada por
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( )
−+
=−+
=ω1
100
s1s
1
)100s()1s(
100)j(G
Exemplo 9.11
1
1 1s100
1e)1s(
−−
−⋅+
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo anterior (Exemplo 9.10).
)100/j1(º180)j1(
)100/j1()j1()j(G
ω−∠−+ω+∠−=
=ω+−∠−ω+∠−=ω
Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois fatores básicos:
Além disso, a fase de G(jω) é dada por
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( )
+−
=+−
=ω1
100
s1s
1
)100s()1s(
100)j(G
Exemplo 9.12
1
1 1s100
1e)1s(
−−
+⋅−
)100/j1()j1(º180
)100/j1()j1()j(G
ω+∠−ω−∠−=
=ω+∠−ω+−∠−=ω
Além disso, a fase de G(jω) é dada por
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 2 exemplos anteriores (Exemplos 9.10 e 9.11).
Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois fatores básicos:
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( )
−−
=−−
=ω1
100
s1s
1
)100s()1s(
100)j(G
Exemplo 9.13
Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois fatores básicos:
1
1 1s100
1e)1s(
−−
−⋅−
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 3 exemplos anteriores (Exemplos 9.10, 9.11 e 9.12).
)100/j1()j1(
)100/j1(º180)j1(º180
)100/j1()j1()j(G
ω−∠−ω−∠−=
ω−∠−−ω−∠−=
=ω+−∠−ω+−∠−=ωAlém disso, a fase de G(jω) é dada por
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Fatores básicos quadráticos(fatores polos e zeros quadráticos)
7. Fatores zeros quadráticos
6. Fatores polos quadráticos
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Fatores polos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1, 2, …,
Note que a função de transferência G(jω)
ωω−
ωω⋅ζ+
=
ωω+
ωω⋅ζ+=ω
−
2
nn
12
nn j21
1jj21)j(G
tem um par de polos que serão:
a). polos complexos se 0 ≤ ζ < 1b). polos duplos se ζ =1 c). polos reais e distintos se ζ > 1
0 ≤ ζ ≤ 1
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Os fatores quadráticos que tratamos nesta seção fazem parte dos casos (a) e (b) acima, isto é 0 ≤ ζ ≤ 1, pois o caso (c), polos reais e distintos (ζ > 1), já estão cobertos nos fatores básicos anteriores.
que corresponde a polos duplos e iguais a jω/ω, um caso que também já está abrangido nos fatores básicos anteriores.
2
n
2
nn
j1
1
j21
1)j(G
ωω+
=
ωω−
ωω⋅+
=ω
Na verdade, mesmo no caso (b), quando temos a situação limite de , então
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Portanto as técnicas que serão apresentadas nesta seção para 0 ≤ ζ ≤ 1, vão
coincidir com outras já apresentadas anteriormente no caso particular de ζ = 1
( )
ω>>ω⋅ω⋅⋅−
ω⋅<ω<ω⋅
ωωζ+
ωω−⋅⋅⋅−
ω<<ω
=ω
n10
nn
2
n
2
n
10
n
dB
,Tlogn40
101,0,j
21logn20
,0
)j(G
Para G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1,2, …,
temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10
nω
ζ = 1, n = 1G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)
2]-n, n = 1,2, …
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Note que, assim como nas seções anteriores tinha ωc, aqui também tem-se uma frequência ωn que é chamada de
ωn = frequência natural do sistema,
que separa as frequências “altas” e “baixas” e
a reta assíntota para frequências altas
um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
A medida que o valor de ζ diminui, ζ ≤ 1, as curvas de vão ficando mais altase vão criando picos em |G(jω)|dB , se tornando cada vez mais altos (a partir
de ζ < �
�= 0,707) se tornando ainda mais altos a medida que ζ → 0.
Estes picos ocorrem nas frequências ωr chamadas
ωr = frequência de ressonância
que assume valores
2
20para,21 2
nr ≤ζ≤ζ−⋅ω=ω
Nas proximidades da frequência natural ωn as assíntotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 6×n dB que
ocorre exactamente na frequência de canto ωn , o ponto onde as duas assíntotas se encontram.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-1
O diagrama de Bode demódulo de G(jω)
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
A medida que ζ aumenta a frequência de ressonância ωr diminui ligeiramente até que, quando
707,02
2 ==ζ
então a frequência de ressonância ωr = ωn/2.
Note que para ζ = 0, ωr = ωn.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Por outro lado, estes picos atingem valores Mr
Mr = pico de ressonânciaque tem os valores
2
20para,
12
1M
2r ≤ζ≤
ζ−⋅ζ=
A medida que ζ diminui, o pico de ressonância Mr aumenta. Por exemplo,
Note que para 0,707 < ζ < 1, não há pico de ressonância.
Se ζ = 0,5 Mr = 1,155 ≅ 1,25 dB
Se ζ = 0,25 Mr = 2,133 ≅ 6,6 dB
Se ζ = 0,1 Mr = 5,025 ≅ 14 dB
Se ζ = 0,05 Mr = 10,01 ≅ 20 dB
Em particular, se ζ = 0,707, então
Mr = 1 = 0 dB (também não há pico de ressonância).
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que:
ωω−
ωω⋅ζ
⋅−=
ωω+
ωω⋅ζ−∠=ω∠
−
2
n
n
n2
nn1
2
arctgnjj
21)j(G
Portanto:
∞→ω⋅−
ω=ω⋅−
→ω
=ω∠
,nº180
,nº90
0,º0
)j(G n
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 180º × n
enquanto a frequência ω varia
até uma década depois da frequência de natural ωn(assíntota para frequências altas).
isto é,
desde uma década antes da frequência de natural ωn(assíntota para frequências baixas)
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
de ��
��até 10 · ω�
O diagrama de Bode de fase de G(jω) se torna mais íngreme (com declive mais acentuado) a medida que ζ → 0.
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Fatores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]n, n = 1, 2, …,
são em tudo análogo aos fatores polos quadráticos que vimos acima.
As principais diferenças são que os picos de ressonância são para baixo em vez de para cima e as curvas de fase vão de 0º
a 180ºn em vez de 0º a –180ºn.
0 ≤ ζ ≤ 1
Ou seja, curva de módulo e fase para os fatores zeros quadráticos podem ser obtidas invertendo-se o sinal das curvas de módulo e fasedos fatores polos quadráticos
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
+⋅+
+⋅
+⋅=
=+++
+=ω
1s400
5
400
s1s
100
1s
1s4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G
2
2
Exemplo 9.14
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
+⋅−
+⋅
+⋅=
=+−+
+=ω
1s400
5
400
s1s
100
1s
1s4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G
2
2
Exemplo 9.15
O diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo anterior (Exemplo 9.14).
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9.16
+⋅+
−⋅
+⋅=
=++−
+=ω
1s400
5
400
s1s
100
1s
1s4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G
2
2
O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos 2 exemplos anteriores (Exemplos 9.14 e 9.15).
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9.17
+⋅+
+⋅
−⋅=
=+++
−=ω
1s400
5
400
s1s
100
1s
1s4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G
2
2
O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos 3 exemplos anteriores (Exemplos 9.14, 9.15 e 9.16).
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9.18
O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos 4 exemplos anteriores (Exemplos 9.14, 9.15, 9.16 e 9.17).
+⋅+
−⋅
−⋅=
=++−
−=ω
1s400
5
400
s1s
100
1s
1s4
11,0
)400s5s()100s(s
)4s(1000)j(G
2
2
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( )
+⋅+
+⋅
+⋅=
=+++
+=ω
1s10
1
10
s1s
10
1s
1s10
)10s10s()10s(s
)1,0s(10)j(G
24
2
422
6
Exemplo 9.19
dB01KB == 100n =ω 5,0=ζ
71,7021 2
nr =ζ−⋅ω=ω dB897,0155,11
1M
2r ==
ζ−=
)dazero(10T1 F.T.=)ol(
10
1T2 F.T.daop=
Note que
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9.20
( )( ) ( )1ss1s1,0s
1s101,0
)1ss()10s(s
)1,0s(10)j(G
2
2
+++⋅+⋅=
=+++
+=ω
dB201,0KB −== 1n =ω 5,0=ζ
707,021 2
nr =ζ−⋅ω=ω dB897,0155,11
1M
2r ==
ζ−=
)dazero(10T1 F.T.=)ol(
10
1T2 F.T.daop=
Note que
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9.21
Note que
dB01KB == 414,12n ==ω 354,0=ζ
224,121 2
nr =ζ−⋅ω=ω dB58,0069,11
1M
2r ==
ζ−=
)dazero(2T1 F.T.=)ol(
20
1T2 F.T.daop=
( )
++
+
+⋅=
=+++
+=ω
12
s
2
s1
20
ss
1s2
)2ss()20s(s
2
1s80
)j(G
2
2
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
O diagrama de Bode de móduloe fase
Diagrama de Bode______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
