Aula 02 “Sinais” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/analise_sinais_ppt02p.pdf · Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes

Aula 02

“Sinais”

2.1 – Introdução aos Sinais

A noção intuitiva de sinais e surge de uma variedade enorme de contextos.

qualquer apontamento que se faça: em números por exemplo, qualquer registo que se faça

o do desempenho de uma máquinao da performance de um motor o dos consumos de um veículo ao longo de uma viagem

qualquer medição que se faça: com o uso de algum aparelho ou instrumento de medida; ou

qualquer gravação que se faça, de um som, ou de uma imagem (foto) ou mesmo de um vídeo, pode facilmente se tornar em um sinal.

Existe uma linguagem própria usada para descrever sinais, assim como existe também um conjunto bastante poderoso de ferramentas para analisá-los.

Neste capítulo trataremos da linguagem que descreve os sinais. Em outros capítulos mais adiante trataremos das ferramentas de análise.

Análise de Sinais ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2 – Exemplos de Sinais

Os sinais são usados para descrever uma grande variedade de fenómenos físicos e podem ser descritos de muitas maneiras: através de números, ou de gráficos, ou de uma sequência de dígitos (bits) para serem introduzidos no computador, etc.

Circuito RCO sinal da tensão vs(t) na fonte ou o sinal

da tensão vc(t) no condensador, assim como o sinal da corrente i(t) que atravessa a única malha do circuito podem ser medidos por aparelhos

(voltímetro / amperímetro)


Carro Os carros andam quando são acelerados.

a força é igual a massa x aceleração[ f(t) = m⋅a(t) ] ,

onde m = massa do carro.


Mas isso equivale a imprimir uma força f(t)que vai puxar o carro pois, pela Segunda Lei de Newton,

Sinais da força f(t), do deslocamento x(t)e da velocidade v(t) do carro.

Voz / fala humanaO mecanismo vocal humano produz fala criando flutuações na pressão acústica.

O sinal de voz é obtido através do uso de um microfone que capta as variações da pressão acústica e converte em sinais elétricos.


O ar é expelido dos pulmões pelo diafragma e no seu caminho produz vibrações.

Estas vibrações são modificadas, ou moldadas, ao passar pelas cordas vocais, assim como pela boca, lábios e a língua para se produzir os sons que se deseja.

Estes sinais podem servir para uma gravação do som da voz ou para serem transmitidos (telefone ou telemóvel por exemplo).

Transmissões de rádio (AM & FM)

Uma transmissão de rádio é também composta de sinais elétricos que transportam o som (voz, música, etc.)

A portadora (sinal de frequência mais alta) transporta o sinal modulado (som) seja ele modulado em amplitude (AM) ou em frequência (FM).

sinal da portadorasinal modulador

sinal modulado em amplitude (AM) sinal modulado em frequência (FM)


A música gravada em um CD ou armazenada no computador (em formato wav, wma ou mp3, por exemplo) é feita através de uma série de números, uma sequência digital de “zeros” e “uns”, que representam as tensões elétricas (em Volts) do sinal de áudio ao longo do tempo.

Portanto, o sinal analógico de áudio convertido em um sinal digital, ou seja, dados binários, a uma taxa que é medida em “bps” (bits per second).

Claro que quanto maior o número de bits por segundo melhor será a qualidade de reprodução do som.

Alguns valores usuais desta taxa em gravação de música são:

96 mil bits por segundo [96kbps], ou 128 mil bits por segundo [128 kbps], ou 192 mil bits por segundo [192 kbps], ou 256 mil bits por segundo [256 kbps].

Existem dispositivos eletrónicos que transformam um sinal analógico em digital (conversores A/D) assim como dispositivos eletrónicos que transformam um sinal digital em analógico (conversores D/A).

Música digital (mp3 e outras)

Electrocardiograma (ECG)

O eletrocardiógrafo é um dispositivo que mede sinais elétricos do coração para produzir um eletrocardiograma (ECG).

A Eletrocardiografia estuda a atividade elétrica do coração a partir de elétrodos colocados em determinados pontos do corpo humano.

Sinal típico de ECG


O registo do eletrocardiograma (ECG) é prática comum na medicina dos nossos dias, uma vez que é de reconhecido valor para a identificação e prognóstico de doenças cardiovasculares como o enfarte do miocárdio, arritmia, entre outras condições patológicas.

Electroencefalograma (EEG)

O eletroencefalógrafo é uma máquina que regista o gráfico dos sinais elétricos cerebrais desenvolvidos no encéfalo produzindo o eletroencefalograma (EEG).

Portanto coloca-se os elétrodos em posições predefinidas sobre o couro cabeludo do paciente e um amplificador aumenta a intensidade dos potenciais elétricos para então ser construído um gráfico (EEG) analógico ou digital (dependendo do equipamento).


Isto é realizado através de elétrodos que são aplicados no couro cabeludo, na superfície encefálica, ou até mesmo (em alguns casos) dentro da substância encefálica.

Esses sinais cerebrais observados são muito fracos.

Imagem monocromática (preto-branco)

Uma imagem monocromática (preto-branco) é constituída por um padrão de variações no brilho através dela.

Uma foto monocromática (preto-branco)o sinal de intensidade de brilho.


Ou seja, o sinal da imagem é uma função da intensidade de brilho em todos os pontos da imagem (bidimensional).

Portanto, o sinal de uma foto monocromática, é uma função f(x,y), ou seja,

terá que ter informação de intensidade (x) e brilho (y) em cada ponto da superfície da foto.

Imagens coloridas

Se a imagem for colorida, obviamente o sinal torna-se mais complexo.

Às vezes a imagem é decomposta em 3 cores básicas, que comummente são

“vermelho”, “verde” e “azul”

que é chamado de código de cores RGB.

Mas outras vezes também é usado outros códigos de cores, como o “magenta”, o “ciano” (cyan) e o “amarelo”(yellow), que é comum em impressoras coloridas e em sistemas informáticos em geral.


o tonalidade,o saturação eo luminosidade.

Alternativamente, pode-se representar uma cor fornecendo os 3 elementos abaixo:


Portanto, cada ponto da superfície da foto de uma foto a cores, terá que ter informação de 3 cores ou 3 elementos (e não apenas um como na foto monocromática).

Esta cor, por exemplo, é representada por:

(255, 128,64) na forma RGB, ou por

(13, 240,150) na forma de tonalidade, saturação e luminosidade.

Já esta outra cor (verde), por exemplo, é representada por:

(0, 128,0) na forma RGB ou por

(83, 240,60) na forma de tonalidade, saturação e luminosidade.

A transmissão de imagens (“broadcast”) como na televisão por exemplo, requer sinaismais sofisticados ainda.

Transmissões de TV

Enquanto que uma fotografia é um sinal “estático”, fixo no tempo, as transmissões de imagens via TV são sinais dinâmicos pois vão variando com o tempo.

Desde que a TV à coressurgiu, muitos sistemas de transmissão já foram criados, como por exemplo: o sistema PAL(europeu), o sistema NTSC(americano), ou mais recentemente o HDTV.

Exemplo de um sinal RGB

(red, green e blue) de uma transmissão de TV.


Além disso, na transmissão de TV (TV broadcast) a informação do som também tem que seguir junto com a imagem.

Índices económicos e demográficos

Os índices (ou indicadores) económicos (que normalmente só saem uma vez por mês) como:

inflação (mensal); taxa de desemprego (mensal);

dão origem a sinais discretos (i.e., sinal não contínuos).

O índice da bolsa de valores é também um exemplo de um sinal discreto, embora este não seja mensal mas sim diário.

Há muitos outros exemplos de índices ou indicadores económicoscomo as taxas de câmbio ou as taxas de crescimento do Produto Interno Bruto (PIB), etc.


Quaisquer destes índices, se forem tomados ao longo de um período grande de tempoe os pontos forem ligados, fica-se com a impressão que o sinal é contínuo.

As taxas de câmbio de uma moeda corrente em relação à outra são exemplos de sinais discretos embora possam ser tomados diariamente, de hora em hora ou até de minuto a minuto, se desejar.

Isso é semelhante ao caso da música, ou das imagens, ou dos vídeos digitalizados em CDs ou em nosso computador (sistemas digitais de áudio ou de vídeo) ou da transmissão digital de imagens, casos já mencionados em exemplos anteriores.

Outros casos de sinais discretos:

o taxas de natalidade de uma nação (ano a ano, ao longo de um período);

o consumo de uma veículo [ l /100 km ] (medido a cada vez que é abastecido);

o lucro de um estabelecimento comercial (mês a mês, ao longo dos anos);

etc.


Por exemplo da taxa de câmbio do Euro (€) em relação ao dólar americano (US $) ao longo de vários anos.

2.3 – Sinais contínuos e discretos

Para distinguir os sinais contínuos e discretos no tempo nós usaremos

“t” para denotar o tempo como variável independente contínua e

“n” para denotar o tempo como variável independente discreta.

Além disso, nos sinais contínuos usaremos parêntesis normais ( ),

x(t), y(t), v(t), etc.

enquanto que nos sinais discretos usaremos parêntesis recto [ ], x[n], y[n], v[n], etc.

Esta é uma notação comummente adotada na literatura de Análise de Sinais.

Um sinal discreto pode ser a representação de um fenómeno (sistema) inerentemente discreto, como por exemplo o caso de índices demográficos ou os índices da bolsa de valores.Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragem de sinais contínuos.

os sistemas digitais de áudio ou de vídeo,

já mencionados acima, ou, para mencionar um outro exemplo:

o piloto automático digital;

Estes sistemas requerem o uso de sequências discretas no tempo que são representações (discretizações) de sinais contínuos no tempo.


Assim, sinais que são naturalmente contínuos no tempo são tornados sinais discretos (por amostragem) para este propósito, como por exemplo:

a voz;

a música;

o som em geral;

as fotografias que aparecem nos jornais e livros;

as imagens de um vídeo/filme gravado;

etc.

a posição da aeronave;

a velocidade da aeronave;

a direção da aeronave;

piloto automático digital

sistemas digitais de imagem

sistemas digitais de áudio

Observe que esta digitalização é feita com uma quantidade muito grande de pontos. No caso da música digital, como já vimos, pode ter mais de 250 mil pontos em cada segundo [256 kbps]


2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos


Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes.

Em vários sinais o tempo ‘t’ é a variável independente (ou uma das variáveis independentes), por exemplo, no caso de:

sistemas físicos dinâmicos.Entretanto há sinais em que o ‘tempo’ não aparece como variável independente. Estes sinais são chamados de

sinais estáticos, ou sinais não dinâmicos,pois não evoluem no tempo, e portanto representam

sistemas físicos estáticos.

circuito RCcarroemissões de rádio

sinais dinâmicos,

Logo, estes sinais são do tipo x(t), y(t), f(t) ou f(x,t), etc. e são chamados de

pois variam com o tempo (ou evoluem no tempo, ou propagam no tempo, etc.), e portanto representam

voz/fala humanatransmissões de rádiomúsicas em CDs

bolsa de valores

transmissões de TVECGEEG

Alguns sinais que são estáticos: a imagem monocromáticaa imagem colorida

os sinais meteorológicosos sinais geofísicos


2.5 – Energia e Potência de Sinais

Em muitas aplicações, embora não em todas, os sinais são diretamente relacionados com quantidades físicas que captam ou absorvem energia e potência no sistema físico.

Por exemplo, no caso do circuito RC a potência instantânea na resistência R é:

)t(vR

1)t(i)t(v)t(p 2=⋅=

onde:

v(t) = tensão na resistência R;

i(t) = corrente na resistência R.

e a energia total despendida no intervalo de tempo é21 t tt ≤≤

== 2

1

2

1

t

t

2t

tTotal dt)t(v

R

1dt)t(pE

e a potência média neste intervalo [t1, t2] é:

( ) ( ) ⋅=⋅=−−

2

1

2

1

t

t

2t

tmédia dt)t(v

R

11dt)t(p

1P

1212 tttt


De forma semelhante no caso do exemplo acima do carro, a potência dissipada pela fricção é:

)t(v)t(p 2⋅ρ=onde ρ = coeficiente de atrito da superfície.

E neste caso a energia total e potência média no intervalo [t1, t2] são respetivamente:

⋅ρ== 2

1

2

1

t

t

2t

tTotal dt)t(vdt)t(pE

( ) ( ) ⋅ρ⋅=⋅=−−

2

1

2

1

t

t

2t

tmédia dt)t(v

1dt)t(p

1P

1212 tttt

Motivados por exemplos como estes acima definem-se potência e energia para qualquer sinal contínuo x(t) e qualquer sinal discreto x[n] da seguinte forma:

A potência instantânea de um sinal contínuo x(t) ou de um sinal discreto x[n]:

2)t(x)t(p = ou

2]n[x]n[p =

Nota: x(t) ou x[t] pode ser real ou complexo; e | x(t) | ou | x[t] | é o módulo do

número x(t) ou x[t], conforme já vimos no capítulo 1.

eq. (2.1)

A potência média neste intervalo [t1 , t2] é definida como:

( ) ⋅⋅=−

2

1

t

t

2dt)t(x

1P

12 tt

A energia total no intervalo


21 tt t ≤≤ de um sinal contínuo x(t) é definida como:

⋅=⋅= 2

1

2

1

t

t

2t

tdt)t(xdt)t(pE

A energia total no intervalo do sinal discreto x[n] é definida como: 21 tt t ≤≤

[ ]==

==2

1

2

1

n

nn

2n

nn

nx]n[pE

( ) [ ]=

⋅=+−

2

1

n

nn

2

12

nx1

P1nn

eq. (2.2)

eq. (2.3)

eq. (2.4)

eq. (2.5)

A potência média no intervalo do sinal discreto x[n] é definida como: 21 tt t ≤≤


Para o caso de um intervalo de tempo infinito:

–∞ < t < ∞ ou –∞ < n < ∞as definições de energia total e potência média, no caso de um sinal contínuo no tempo, ficam:

∞

∞−−∞→⋅=⋅=∞ dt)t(xdt)t(xlimE

2T

T

2

T

−→∞⋅⋅=∞

T

T

2

Tdt)t(x

T2

1limP

e, para um sinal discreto no tempo, ficam:

[ ] [ ] −=

∞

−∞=∞→==∞

N

Nn n

22

NnxnxlimE

( ) [ ]−=∞→

⋅=+∞

N

Nn

2

NnxlimP

1N2

1

eq. (2.6)

eq. (2.7)

eq. (2.8)

eq. (2.9)


Note que para alguns sinais E∞ e/ou P∞ podem não convergir.

Se um sinal tem energia E∞ < ∞ (energia total finita), então:

P∞ = 0

Isto porque

0T2

ElimPT

== ∞∞∞ →no caso contínuo

( ) 0E

limP1N2N

==+∞

∞∞ →no caso discreto

Por outro lado, pela mesma razão, isto é, usando se eq. (2.10) e eq. (2.11),concluímos que: se um sinal tem potência finita ≠ 0 (0 < P∞ < ∞), então:

E∞ = ∞.

Finalmente, existem sinais que possuem ambas: E∞ = ∞ e P∞ = ∞.

eq. (2.10)

eq. (2.11)

Por exemplo, se x(t) ou x[n] = constante ≠ 0 para todo t, então este sinal tem energia

infinita (E∞ = ∞).


Exemplo 2.1:

Considere o sinal x(t)

[ ]

∉<<

=2,0tse0

2t0se1)t(x

2

020

dt0dt1dt0

dt)t(xE

2

22

0

20 2

2

=++=

⋅+⋅+⋅=

⋅=

∞

∞−

∞

∞−∞

P∞ = 0

logo,


Exemplo 2.2:

Considere o sinal n,2]n[x ∀=

( ) [ ]

( )

( )4

4)1N2(lim

)4444(lim

nxlimP

1N2

1

1N2

1

1N2

1

N

N

N

Nn

2

N

=

=⋅+⋅=

=+++++⋅=

=⋅=

+

+

+

∞→

∞→

−=∞→∞

⋯⋯E∞ = ∞.

e,


Exemplo 2.3:

Considere o sinal ,2,1,0,1,2n,2]n[x −−== ,2,1,0,1,2n,0]n[x −−≠∀=e

−−≠−−=

=2,1,0,1,2nse0

2,1,0,1,2nse2]n[x

Para este sinal x[n]:P∞ = 0.[ ] 202nxlimE

N

Nn

2

2n

22

N===

−= −=∞→∞

Exemplo 2.4

Considere o sinal x(t) = 0,25 t, ∀t Facilmente observa-se que para este sinal x(t) ambos E∞ e P∞ são infinito.

E∞ = ∞,

P∞ = ∞.


2.6 – Transformações da variável independente

Translação no tempo (“time shifting”):

A translação no tempo, “time shifting” ou simplesmente “shift” é, o deslizamento lateral, para direita ou para a esquerda, do sinal x[n] (no caso discreto) ou x(t) (no caso contínuo).

Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’ ou ‘t’:

n → n ± no

t → t ± to.

ou


sinal contínuo: x(t) x(t – to), to > 0.

Shift para direita (retardo):

sinal discreto: x[n] x[n – no], no > 0.

sinal contínuo : x(t) x(t + to), to > 0.


Shift para esquerda (avanço):

sinal discreto: x[n] x[n + no] , no > 0.


Reversão do tempo / sinal reflectido (“time reversal”) em torno de t = 0:

sinal discreto: x[n] x[–n]

sinal contínuo: x(t) x(–t)


Escalonamento no tempo (“time scaling”):

O escalonamento no tempo é na verdade uma mudança da escala do tempo‘n’ (no caso discreto) ou ‘t’ (no caso contínuo).

n → a n ou t → a t.

Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’ ou ‘t’:

para uma constante a > 0.

Compressão ou encolhimento

sinal discreto: x[n] x[an] , a > 1.

sinal contínuo: x(t) x(at), a > 1.

Expansão ou esticamento

sinal discreto: x[n] x[an] , 0 < a < 1.

sinal contínuo: x(t) x(at), 0 < a < 1.


time scaling

Compressão

Expansão


Caso geral:

sinal discreto: x[n] x[αn + β]

sinal contínuo: x(t) x(αt + β)

Se | α | < 1 → sinal é esticado ( ← → );

Se | α | > 1 → sinal é comprimido ( → ← );

Se α < 0 → sinal é invertido;

Se β < 0 → translação (shift) para direita ( → );

Se β > 0 → translação (shift) para esquerda ( ← ).


Exemplo 2.5: Considere o sinal x(t) dado pela expressão:

∉≤<≤≤

=]2,0[t0

2t15,0

1t01

)t(x

translação (shift) para esquerda de uma unidade de tempo

sinal x(t) refletido

reversão no tempo (“time reversal”)


escalonamento no tempo (“time scaling”)

escalonamento no tempo (“time scaling”)

ampliação escala em 1,5 (ou seja, a = 1/(3/2))

compressão da escala de 0,666 (ou seja, 2/3)

Exemplo 2.5 (continuação):


Primeiramente uma translação para esquerda de uma unidade, e depois uma compressão da escala de 0,666.

primeiramente uma compressão da escala de 0,666, e depois uma translação para esquerda de uma unidade.

primeiramente uma translação para direita de 0,5, e depois uma compressão

da escala de 0,5 (ou seja, ½).


2.7 – Sinais periódicos

Um sinal contínuo x(t) é periódico se ∃ T > 0 tal que

x(t) = x(t + T) , ∀ t eq. (2.12)

T é chamado de ‘período’ de x(t).

Ou seja, um sinal periódico x(t) fica imutável se fizermos uma translação (shift) de T (período).

Se um sinal x(t) é periódico de período T então x(t) também é periódico de período2T, 3T, 4T, …

O período fundamental To de x(t), é o menor valor positivo de T para o qual a eq. (2.12) acima é válida.

Esta definição tem uma exceção que é o caso de

x(t) = C (constante) , ∀ t


que também é periódico pois qualquer valor T > 0 é um período deste sinal, mas entretanto não há um período fundamental To para este sinal.

Exemplo 2.6:

É fácil de verificar que To = (2π/a) é o ‘período fundamental’ do sinal periódico:

x1(t) = b ⋅ cos (at + c)

e que To = (π/a) é ‘período fundamental’ do sinal periódico:

x2(t) = b ⋅ | cos (at) |

Um sinal não periódico é chamado de “aperiódico”.


x1(t) = b ⋅ cos (at + c)

x2(t) = b ⋅ | cos (at) |


Exemplo 2.7:

Um sinal discreto com período fundamental No = 3.

Analogamente, um sinal discreto x[n] é periódico se ∃ N tal que

x[n] = x[n + N] , ∀ n eq. (2.13)

N é chamado de período de x[n].

O período fundamental de x[n], No, é o menor valor de N para o qual eq. (2.13) é válida.


2.8 – Sinais pares e ímpares

Um sinal contínuo x(t) é par se: x(–t) = x(t)

Um sinal discreto x[n] é par se: x[–n] = x[n]

Um sinal contínuo x(t) é ímpar se: x(–t) = –x(t)

Um sinal discreto x[n] é ímpar se: x[–n] = –x[n]

Exemplo 2.8:

x(t) = sen (t) é um sinal ímpar; e

x(t) = cos (t) é um sinal par.


Exemplo 2.9:

um sinal ímpar

um sinal par

Note que para um sinal ímpar x(t) (contínuo), ou x[n] (discreto), satisfaz respetivamente:

x(0) = 0, ou

x[0] = 0.


Qualquer sinal pode ser decomposto na soma de 2 sinais sendo um par e um ímpar.

No caso de um sinal contínuo:

{ } { })t(xOdx(t)Evx(t) +=onde:

{ } ( ))t(x)t(x2

1x(t)Ev −+=

{ } ( ))t(x)t(x2

1x(t)Od −−=

No caso de um sinal discreto:

[ ] [ ]{ } [ ]{ }nxOdnxEvnx +=onde:

[ ]{ } [ ] [ ]( )nxnx2

1nxEv −+=

[ ]{ } [ ] [ ]( )nxnx2

1nxOd −−=

(sinal par)

(sinal par)

(sinal ímpar)

(sinal ímpar)


Exemplo 2.10:

O sinal x[n] abaixo é chamado de degrau unitário.

Este sinal pode facilmente ser decomposto nos dois sinais

xev[n] = Ev{x[n]} e xod[n] = Od{[n]}

[ ] [ ]{ }

>

=

<

==

0nse,2

1

0nse,1

0nse,2

1

nxEvnxev [ ] [ ]{ }

>

=

<−

==

0nse,2

1

0nse,0

0nse,2

1

nxOdnxod

dados abaixo:


Sinal xev[n], a componente par de x[n].

Sinal xod[n], a componente ímpar de x[n].


2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais

O sinal sinusoidal contínuo:

o

o

2 T

ωπ=


Este sinal descreve as características de muitos processos físicos, em particular: sistemas no qual a energia é conservada, como os circuitos LC; o movimento harmónico simples (MHS); a variação da pressão acústica que corresponde ao tom de uma nota musical; etc.

O sinal acima x(t) = A cos(ωot + φ), ωo ≠ 0 é periódico com

o

o

2 T

ωπ=

ωo é chamada de frequência fundamental.

período fundamental

A equação acima mostra que frequência fundamental e o período fundamental são inversamente proporcionais.


Se tivermos 3 sinais:

xo(t) = A cos(ωot + φ),

x1(t) = A cos(ω1t + φ), e

x2(t) = A cos(ω2t + φ),

com ω2 < ωo <ω1 (o que equivale a T1 < To < T2), então x1(t) oscila mais que xo(t)e por outro lado x2(t) oscila menos que xo(t)

Ou seja, para o sinal xo(t) = A cos(ωot + φ), quanto maior a frequência ωo, maisele oscila, e quanto menor frequência ωo, menos ele oscila.

Observe as unidades de T, To, T1, T2 [segundos]

e de ω, ωo, ω1, ω2 [radianos / segundo]


Três sinais periódicos do tipo x(t) = cos ωt com frequências diferentes.


)tcos(A x(t) o φ+ω=As unidades de t [segundos]

φ [radianos]

ωo [radianos / segundo]

Às vezes a frequência natural ωo é escrita como ωo = 2πfo onde fo é a frequência

fo [Hertz]

Note também (os casos particulares), para )t(cosA)t(x o φ+ω⋅=

Se φ = 0 , ou φ = ±2π, ±4π, … x(t) = A cos (ωot)

se , ou x(t) = − A sen (ωot)⋯,4

2,2

2π±ππ±π=φ

2

π=φ

se , ou x(t) = A sen (ωot)2

π−=φ ⋯,42

,22

π±π−π±π−=φ

se , ou x(t) = − A cos (ωot)π=φ ⋯,7,5,3, π±π±π±π−=φ

do sinal x(t) = A cos(2πfot + φ) e tem como unidade


Além disso: se ωo = 0 ==> x(t) = C (constante)

O sinal x(t) = C (constante), ∀t é também um sinal periódico, e com período T para qualquer T > 0.

Entretanto este sinal x(t) = C (constante) não tem um período fundamental To.


Outro detalhe: o sinal x(t) escrito na forma combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot e sem desfasagem, isto é,

)t(senA

)t(cos)t(sen)t(x

o

oo

φ+ω⋅=ω⋅β+ω⋅α=

onde:φ⋅=α cosA φ⋅=β senA

22A β+α=

e

e

αβ=φ arctg

eq. (2.14)

eq. (2.15)


Por outro lado, o sinal x(t) que vimos mais acima, expresso na forma de um co-seno

de frequência ωot e desfasagem φ, isto é,

)t(cosA)t(xo

φ+ω⋅=

pode ser escrito na forma de combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot (e vice-versa) da seguinte forma:

)t(sen)t(cos

)t(cosA)t(x

oo

o

ω⋅β−ω⋅α=φ+ω⋅=

onde α, β, A e φ são novamente os dados nas eq. (2.14) e eq. (2.15), repetidas aqui abaixo:

φ⋅=α cosA φ⋅=β senA

22A β+α=

e

e

αβ=φ arctg

eq. (2.14)

eq. (2.15)

O sinal exponencial contínuo:


atC)t(x e=Caso 1: C ∈ R e a ∈ R

R = conjunto dos números reais.

Neste caso x(t) é chamado de um sinal exponencial real e pode ser

crescente (se a > 0)

decrescente (se a < 0).

crescente decrescente


A exponencial crescente é usada na descrição de muitos fenómenos físicos como a reação em cadeia em explosões atómicas e certas reações químicas complexas.

A exponencial decrescente também aparece na descrição de muitos processos físicos como por exemplo: o decaimento radioativo, a resposta vc(t) do circuito

RC e sistemas mecânicos amortecidos.

Obviamente se a = 0, então novamente

x(t) = C eat = C = constante


Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro

O sinal exponencial contínuo: atC)t(x e=

a = j⋅ωo (imaginário puro) tj o)t(x ω= e

Neste caso x(t) é um sinal exponencial complexo para cada t.


Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro


a = j⋅ωo (imaginário puro) tj o)t(x ω= e

Neste caso x(t) é um sinal exponencial complexo para cada t.


θ∀=θ ,1jeObserve que como | x(t) | = 1 , ∀t então:

Podemos interpretar este sinal x(t) como um ponto que se desloca na circunferência de raio 1 no plano complexo com velocidade angular | ωo | rad/s.

Note que este sinal tj o)t(x ω= e

é sempre periódico pois:

)t(x

)Tt(x Tjtj)Tt(j ooo

====+ ωω+ω

eee

para muitos valores de T (período) para os quais 1Toj =ωe

De facto, se

...,2,1k,k2

To

±±=ω

π=

1Tj o =ωe

então

e T é um período de x(t).


No caso particular de

0,2

T o

o

o ≠ωω

π=

To é o período fundamental de x(t) e

ωo é chamada de frequência fundamental de x(t).

então

A família de sinais exponenciais complexos

...,2,1,0k,)t( tkjk

o ±±=ω=φ e

é conhecida como sinais ‘harmonicamente relacionados’.

),t(kφ k ≠ 0, é

ook k ω⋅=ω

e o período fundamental é

k

T

k

2T o

o

ok =ω⋅π=

Estes sinais são periódicos e a frequência fundamental de cada


No caso de k = 0, então )t(o

φ = constante

e não há uma frequência fundamental nem um período fundamental.

O termo “harmónico” advém da música e se refere aos tons resultantes de variações da pressão acústica em frequências que são múltiplas da frequência fundamental.

Por exemplo, o padrão de vibração de uma corda de um instrumento musical (como o violino) pode ser descrito como a sobreposição (ou a média ponderada) de sinais exponenciais periódicos harmonicamente relacionados.


Exemplo 2.11:

( )t5,1jt5,1jt5,3j

t5jt2j)t(x

⋅⋅−⋅

⋅⋅

+=

+=

eee

ee

agora, usando a Equação de Euler,

)t5,1cos(e2)t(xt5,3j ⋅= ⋅

e, como 1j =θe ∀θ, temos que )t5,1cos(2)t(x ⋅=

que é o sinal sinusoidal de onda completa retificado


Caso 3: C ∈ C e a ∈ C


C = conjunto dos números complexos.

Se C = |C| e j θ

a = σ + j ωo

(‘C’ está escrito na forma polar)

(‘a’ está escrito na forma cartesiana)

então o sinal exponencial contínuo

Logo:

Re{ x(t) } e Im{ x(t) }

Sinais sinusoidais σ = 0

σ > 0

σ < 0

Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes

Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes

)t(senCj)tcos(C

C

C

C)t(x

oo

j(

)j(j

at

tt

)tt

t

o

o

θ+ω⋅⋅+θ+ω⋅=

=⋅=

=⋅=

=

σσ

ωσ

ω+σθ

θ+

ee

ee

ee

e


Re{x(t)} = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ > 0 Re{x(t)} = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ < 0

Dois sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais.

Exemplos de sistemas físicos onde aparecem estes sinais são: Circuitos RLC; sistemas mecânicos com amortecimento e forças restauradoras (massa-mola, suspensão de automóveis, etc.).

Estes sistemas têm mecanismos que dissipam energia (como resistências, forças amortecedoras e atritos) com oscilações que decaem no tempo.

com σ > 0, logo o sinal cresce; com σ < 0, logo o sinal decai, ou fica amortecido.


O sinal sinusoidal discreto:

x[n] = A cos (ωon + φ)

onde as unidades de x[n] são:

n [sem dimensão]

ωo [radianos]

φ [radianos]

fo = ωo / 2π [radianos]

x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π ≅ 0,628.

o período fundamental

é No = 10


x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π ≅ 0,944

o período fundamental

é No = 20

x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1

Este sinal não é periódico conforme veremos mais adiante.


Usando as equações de Euler, um sinal sinusoidal discreto x[n] pode ser escrito como:

njjnjj oo

o

2

A

2

A

) n( cosA x[n]

ωφωφ −− ⋅⋅+⋅⋅=

=φ+ω=

eeee

12j =φ

e

e, como e

12

o nj =ωe

para este sinal temos que a energia total E∞e a potência total P∞ são:

E∞ = ∞, e P∞ = 1.


O sinal exponencial discreto :

[ ]n

n

C

Cnx

β=

α=

eonde β=α e

que é uma forma análoga ao sinal exponencial contínuo.

Caso 1: C ∈ R e α∈ R :

R = conjunto dos números reais.

Neste caso x[n] pode ser um sinal crescente (se α > 1) ou

um sinal decrescente (se 0 < α < 1).



Obviamente, se α = 0, então

[ ] nCnx α= é o sinal

De forma semelhante, se α = ±1, então [ ] nCnx α= é um dos sinais

se α = 1 e C > 0, então

se α = –1 e C < 0, então

se α = –1 e C > 0, então

se α = 1 e C < 0, então

se α = 0, então [ ] 0 =Cnx nα=

[ ] , | C | =Cnx nα=

[ ] , | C | =Cnx nα=

[ ] , | C | =Cnx -nα=

[ ] , | C | =Cnx -nα=


Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro(| α | = 1)

[ ] nn CCnxβ=α= e

O sinal exponencial discreto :

O sinal exponencial complexo [ ] nn CCnx α== βe ( )β=α e

para C = 1 e β = j ωo (imaginário puro), temos que |α| = 1, e x[n] fica:

[ ] nj onx ω= e

Usando a equação de Euler temos que:

[ ] nsenjncosnx oonj o ω⋅+ω== ω

e

Observe que, como

,n,12

nj o ∀=ωe

então para este sinal temos novamente que

E∞ = ∞, e P∞ = 1.


Note que o sinal exponencial

[ ] nojnx

ω= e

satisfaz a seguinte propriedade:

[ ]...,2,1,0m,

nx

n)mo(j

n)2o(jnoj

±±==

===π±ω

π+ωω

e

ee

ou seja, o sinal x[n] é o mesmo para frequência ωo e (ωo + 2π).

Na verdade é o mesmo para qualquer frequência (ωo ± mπ), m = 0, ±1, ±2, …

Isto é, ele se repete a cada 2π a medida que a frequência ωo varia.

Esta situação é diferente do seu sinal análogo contínuo x(t), onde para cada ωo, x(t) era um sinal diferente.

O sinal contínuo x(t) nunca se repetia para valores diferentes de ωo.

Na verdade, quanto maior era a frequência ωo, maior era a taxa de oscilação de x(t).


No caso discreto que analisamos aqui

[ ] nojnx

ω= e

o que ocorre é que conforme ωo aumenta de 0 até π, obtemos sinais x[n] que oscilam cada vez mais rápido.

Depois, continuando a aumentar ωo de π até 2π, os sinais x[n] vão oscilando cada vez mais lentamente até voltar a ser o mesmo que era em ωo = 0 para ωo = 2π.

Para termos uma ideia de como isto ocorre, a evolução da parte real de x[n], ou seja { } { } ,)ncos(Re]n[xRe]n[ o

j no ω===σ ωe

desde 0 (nenhuma oscilação) até π (número máximo de oscilações) e depois continuando até 2π (nenhuma oscilação novamente).

0o =ωσ[n] = cos (ωon),


8oπ=ωσ[n] = cos (ωon),


σ[n] = cos (ωon),

4oπ=ω


2oπ=ωσ[n] = cos (ωon),


π=ωoσ[n] = cos (ωon),


23

oπ=ωσ[n] = cos (ωon),


47

oπ=ωσ[n] = cos (ωon),


σ[n] = cos (ωon),

815

oπ=ω


π=ω 2o

σ[n] = cos (ωon),

Se ωo = π, ou ωo = ±nπ para um valor de n ímpar, a oscilação é máxima pois

[ ].)1()(

,nx

nn

nnoj

j

jímparnpara

−==

==π

πω

e

ee

ou seja, o sinal x[n] salta de +1 para –1 a cada ponto n no tempo.

Por outro lado se ωo = 0, ou ωo = ±nπ para m par, não há oscilação pois

[ ] n,10noj j

nx ∀=⋅== ⋅ω⋅

ee

ou seja, o sinal x[n] é constante para todos os valores n no tempo.


Portanto, as oscilações baixas (ou variações lentas) do sinal x[n] tem valores ωo

próximo a 0, 2π, etc. (múltiplos pares de π), enquanto que as oscilações altas(ou variações rápidas) do sinal x[n] estão localizadas próximas a ±π e múltiplos ímpares de π.

Outra propriedade importante é a “periodicidade”.

Note que a equação

[ ] [ ]nxNnxnojNojNn(o nj)j

o ==ωω+ω ⋅==+ ω

eeee

só é válida quando

1Noj =ω

e

ou seja, se

...,2,1,0m,m2No ±±=π=ω eq. (2.16)

Enquanto que o sinal x(t) é sempre periódico, para o sinal x[n] isto não ocorre sempre.

Esta situação aqui em x[n] também é diferente que no seu análogo contínuo x(t).


Logo, o sinal discreto

[ ] nojnx

ω= e

só é periódico quando ωo /2π é um número racional.

Em outras palavras x[n] será periódico se ωo é múltiplo de π por um número racional.

o que equivale a dizer

πω2

o ∈ Q = conjunto dos números racionais eq. (2.17)

ωo = α·π, α∈Q


x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π ,

x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π ,

eq. (2.18)

eq. (2.19)

Estes dois sinais, x1[n] da eq. (2.18) e x2[n] da eq. (2.19), são periódicos pois têm frequências

múltiplas de π por um número racional.

Retornando aos sinais sinusoidais discretos:


x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1. eq. (2.20) Estes sinal, x3[n] da eq. (2.20) não é periódico pois a sua frequência não

é múltipla de π por um número racional.

Nota-se que em x1[n] e em x2[n] que os pontos voltam a ter o mesmo valor de x[n]periodicamente.

Já com o sinal x3[n] isso não acontece pois ωo = 1 não é múltiplo de π por um número racional e portanto ele não é um sinal periódico.

Observe que x2[n] e x3[n] são sinais muito próximos pois

x2[n] = A cos (3π n) = A cos (0.9425 n) e x3[n] = A cos (1 n).

Entretanto, para o sinal x3[n] os pontos nunca voltam a ter um mesmo valor, pois não é periódico.


x3[–2] = –0.4161 x3[–1] = 0.5403 x3[0] = 1,0 x3[1] = 0,5403 x3[2] = –0,4161 x3[3] = –0,9899 x3[4] = –0,6536 x3[5] = 0,2837 x3[6] = 0,9602 x3[7] = 0,7539 x3[8] = –0,1455 x3[9] = –0,9111 x3[10] = –0,8391 x3[11] = 0,0044 x3[12] = 0,8439 x3[13] = 0,9074 x3[14] = 0,1367 x3[15] = –0,7597 x3[16] = –0,9577 x3[17] = –0,2752 x3[18] = 0,6603 x3[19] = 0,9887

x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1.

Ou seja, x3[n] oscila infinitamente mas as sequências de valores nunca tornam a se repetir.

Por exemplo,

x3[0] = 1, pois o cos(0) = 1,

no entanto este valor 1 nunca torna a acontecer para nenhum outro x3[n], ∀n ≠ 0.

Logo, este sinal x3[n], não é periódico pois a sua frequência

não é múltipla de π por um número racional.


Podemos escrever a condição das eq. (2.16) e eq. (2.17), i.e., (ωo/2π) ∈ Q, de uma outra forma equivalente:

Se (ωo/2π) ∈ Q, então qualquer N que satisfaz

...,2,1,0m,2

mNo

±±=

ωπ⋅= eq. (2.21)

é um período de x[n].

Na verdade, se ωo ≠ 0, e se N e m forem primos entre si (não têm fatores comuns), sendo N > 0, então o período fundamental é

No = N ,

ou seja,

ωπ⋅=o

o

2mN


tj o)t(x ω= e [ ] nj onx ω= e

x(t) ≠ para valores de ωo ≠

x(t) é periódico ∀ ωo

π=ωN

m2o

frequência fundamental de x(t)ωo

período fundamental de x(t)

x[n] se repete para

ωo, (ωo + 2π), (ωo + 4π), etc

x[n] só é periódico se

π=ωN

m2o

para algum inteiro N > 0 e m inteiro.

(m e N primos entre si)

frequência fundamental de x[n]

(m e N primos entre si)

se ωo = 0 não existe!

se ωo ≠ 0 o

o

2T

ωπ=

período fundamental de x[n]

se ωo = 0 não existe!

se ωo ≠ 0

ωπ⋅=o

o

2mN

Resumindo o Caso 2 para os sinais contínuos e discretos:


C = conjunto dos números complexos

Se

Caso 3: C ∈ C e α∈ C :

C = |C| e j θ (C escrito na forma polar)

α = |α| e j ωo (α escrito na forma polar)

então o sinal exponencial contínuo

[ ])nsin(Cj)ncos(C

C nx

oo

nn

n

θ+ω⋅α⋅⋅+θ+ω⋅α⋅=

α=

Logo,

Re{ x[n] } e Im{ x[n] }

| α | = 1

| α | > 1

| α | < 1

Sinais sinusoidais discretos

Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes

Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes


[ ] [ ]{ }1

)ncos(nxRen o

n

>α

θ+ω⋅α==σ

[ ] [ ]{ }1

)ncos(nxRen o

n

<α

θ+ω⋅α==σ

Obrigado!Felippe de Souza

[email protected]

Departamento de Engenharia Eletromecânica

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Aula 02 “Sinais” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/analise_sinais_ppt02p.pdf · Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes