Anotacoes sobre aplicacoes de matematica.

Rodrigo Carlos Silva de Lima

rodrigo.uff.math@gmail.com

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Sumario

1 Anotacoes sobre aplicacoes de matematica. 3

1.1 Aplicacoes de equacao do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Maximizar areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Achar o tempo que partculas alcancam certa posicao . . . . . . . 4

1.2 Aplicacoes de mdc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Minimizar e maximizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

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Captulo 1

Anotacoes sobre aplicacoes de

matematica.

1.1 Aplicacoes de equacao do segundo grau

1.1.1 Maximizar areas

Z Exemplo 1. Dentre todos retangulos de permetro P ( constante), determine aquelecom area maxima.

Sejam x e y as medidas dos lados do retangulo, entao vale P = 2x+ 2y, alem disso a

area e dada por A(x) = x.y = x(p

2x) = p

2xx2, como funcao quadratica com coeficiente

de x2 negativo a funcao assume maximo em x =p

4, logo y =

p

4e o maximo e (

p

4)2. Logo

o retangulo de area maxima e um quadrado.

Tal aplicacao tambem modela o problema de achar os numeros x e y com soma P , tal

que seu produto seja maximo.

Z Exemplo 2. Um jardineiro deseja construir uma cerca em formato retangularencostada em ummuro, sendo que a cerca pode ter cmetros. Quais devem ser as dimensoes

da cerca para que ela possua area maxima?

Temos 2x + y = c, sendo x o comprimento de dois lados opostos de cerca e y o lado

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CAPITULO 1. ANOTACOES SOBRE APLICACOES DE MATEMATICA. 4

oposto ao muro. A area e dada por A(x) = x.y = x(c 2x) = cx 2x2 que assume

maximo em x =c2

=c

2, y =

c2

8.

1.1.2 Achar o tempo que partculas alcancam certa posicao

Suponha que uma partcula possui aceleracao constante a, se movendo num movimento

unidimensional uniformemente variado . Ela possui equacao horaria da forma

s(t) = s0 + v0t+at2

2,

se desejamos saber o tempo no qual ela assume certa posicao s podemos resolver a equacao

em t

s = s0 + v0t+at2

2 s0 s+ v0t+

at2

2= 0.

Entao camos no problema de achar a solucao de uma equacao de segundo grau, para

achar o tempo em que um movel passaria por uma certa posicao . Vejamos um exemplo.

Z Exemplo 3.

1.2 Aplicacoes de mdc

Z Exemplo 4. Dois rolos de barbante, m de 210 metros e outro de 330 metros, devemser cortados em pedacos de mesmo comprimento. De que modo isso deve ser feito se cada

pedaco deve possuir o maior comprimento possvel?

Para isso devemos calcular o mdc.

mdc(210, 330) = mdc(210, 330210) = mdc(210, 120) = mdc(7.3.10, 10.6.2) = 10.3mdc(7, 6) = 30.

Entao cada pedaco deve ter 30 metros.

Z Exemplo 5. Um terreno retangular de 105m 165m sera cercado com aramefarpado fixado em estacas igualmente espacacadas. Se existe uma estaca em cada vertice,

qual e o mnimo de estacas a serem utilizadas?

CAPITULO 1. ANOTACOES SOBRE APLICACOES DE MATEMATICA. 5

Para minimizar o numero de estacas devemos maximizar a distancia entre cada estaca,

por isso calculamos o mdc

mdc(105, 165) = mdc(21.5, 33.5) = 5mdc(7.3, 3.11) = 5.3mdc(7, 11) = 15.

Com isso conseguimos tambem calcular o numero mnimo de estacas.

1.2.1 Minimizar e maximizar

Z Exemplo 6. Qual deve ser o raio de um cilindro de volume fixo v de maneira quesua area seja mnima? .

O volume do cilindro e dado por area da base r2 vezes altura h. Valendo entao

r2.h = v h = vr2

A area e dada por 2r(r + h).

Entao a funcao que devemos achar o mnimo possui expressao

f(r) = 2r(r + h) = 2r(r +v

r2).

Derivando temos,

f (r) = 4r +2vr2

,

igualando a zero para achar possveis pontos crticos, temos

4r +2vr2

= 0 r3 = v2

.

Analisamos a segunda derivada para mostrar que temos ponto de mnimo,

f (r) = 4 +4v

r3,

substituindo no ponto r3 =v

2o valor e positivo, entao temos mnimo local.