Planejamento de ExperimentosAnalise de Varincia (ANOVA) com um FatorPlanejamento de Experimentos Muitas vezes necessrio obter informaes sobre produtos e processos empiricamente. Trabalho assemelha-se ao de pesquisadores ou cientistas que precisam projetar experimentos, coletar dados e analis-los.Planejamento de Experimentos Experimentos so empregados para: resolver problemas; decidir entre diferentes processos, conceitos, etc; entender a influncia de determinados fatores, etc.Planejamento de Experimentos Importncia: Intensa base tecnolgica dos produtos, Exigncias governamentais e de clientes, Necessidade de emprego de experimentos durante todas as etapas do ciclo de vida de produto.Planejamento de Experimentos Planejar (delinear) experimentos: Definir quais dados, em que quantidade e em que condies devem ser coletados durante um determinado experimento, buscando, satisfazer dois grandes objetivos: maiorpreciso estatstica possvel na resposta e o menor custo.ANOVA com um Fator Anlise para experimentos com umavarivel resposta e um fator. usada para testar a afirmao de quetrs ou mais mdias populacionais soiguais. uma extenso do teste t para duaspopulaes independentesANOVA com um Fator A varivel resposta aquela que estamoscomparando. O fator a varivel qualitativa usada paradefinir os grupos. Assumiremos k amostras (grupos) O termo com um fator devido a de cada valor possui apenas umaclassificao. Exemplos: comparaes por sexo, raa, etc.ANOVA com um Fator Condies e pressuposies Os dados so provenientes de amostrasaleatrias independentes. As varincias de cada amostra assumidamente igual. Essa propriedade conhecida como homoscedasticidade. Os resduos (ou erros) so normalmentedistribudos. Ou seja, cada uma das amostraspossui distribuio normal.ANOVA com um Fator A hiptese nula que todas as mdias soiguais A hiptese alternativa que ao menos umadas mdias diferentes das demais Pense sobre quatro jogos eletrnicos onde trsso para PlayStation 2, mas um no como osoutros, exclusivo para PlayStation 3. No necessrio que todos sejam diferentes, mas apenas um deles.0 1 2 3:kH = = = = LANOVA com um Fator Uma sala de aula de estatstica foi divididaem trs partes: frente (F), meio (M), e fundo(B). O professor notou que quanto mais longeos alunos sentavam, mais provvel queperdessem aulas ou usassem mensagensinstantneas durante as aulas. Ele desejasaber se os alunos que sentam maislonge foram pior nos exames.ANOVA com um FatorA ANOVA no testa que uma mdia menor queoutra, apenas se elas so todas iguais ou aomenos uma diferente.0 :F M BH = =ANOVA com um Fator Uma amostra aleatria de alunos de cadaparte da sala foi selecionada As notas para os alunos na segundaprova foram anotadas: Frente (F): 82, 83, 97, 93, 55, 67, 53 Meio (M): 83, 78, 68, 61, 77, 54, 69, 51, 63 Fundo (B): 38, 59, 55, 66, 45, 52, 52, 61ANOVA com um FatorAs medidas resumo para as partes da sala soapresentadas na tabela abaixo:Parte Frente (F) Meio (M) Fundo (B)n7 9 8Mdia 75,71 67,11 53,50Desv. Pad. 17,63 10,95 8,96Varincia 310,90 119,86 80,29One-Way ANOVA Variao Variao a soma de quadrados dos desviosentre um valor e a mdia dos valores. Soma de quadrados, ou SQ, seguida pelaidentificao da varivel a qual se refere entreparnteses como SQ(E) ou SQ(D). Soma de Quadrados um outro nome paravariao.ANOVA com um Fator Os valores so iguais? No, pois h alguma variao nos dados. Conhecida como variao total e denotadapor SQ(Total) a Soma de Quadrados(variao) Total.ANOVA com um Fator As mdias amostrais so iguais? No, pois existe alguma variao entre um grupo e outro, conhecida como variao entreos grupos. Algumas vezes chamada de variao devidaao fator e denotada por SQ(E) para Soma de Quadrados (variao) Entre os grupos.ANOVA com um Fator Os valores dentro de cada grupo soiguais? No, pois existe alguma variao dentro de cada um dos grupos, conhecida comovariao dentro dos grupos. Algumas vezes chamada de variaoresduo (erro) e denotada por SQ(D) paraSoma de Quadrados (variao) Dentro dos grupos.ANOVA com um Fator Existem duas fontes de variao: A variao entre os grupos, SQ(E), ou a variao devido ao fator; A variao dentro dos grupos, SQ(D), ou a variao que no pode ser explicada pelofator ento chamada de resduo, ou erro.ANOVA com um Fator Tabela base de uma ANOVA com um fatorFonte de variaoSQ gl QM F pEntreDentro -- --Total -- -- --ANOVA com um Fator Mdia geral A mdia aritmtica de todos os valores quando o fator ignorado. Ou ainda, a mdia ponderada das mdias amostraisde cada grupo pelo tamanho de cada amostra.1 1 2 21 2k kkn x n x n xxn n n+ + +=+ + +LL11ki iikiin xxn===ANOVA com um Fator Mdia geral para o nosso exemplo 65.08( ) ( ) ( )7 75.71 9 67.11 853.507 9 815622465.08xxx+ +=+ +==ANOVA com um Fator Variao Entre Grupos, SQ(E) A SQ(E) a variao entre cada mdiaamostral , de cada grupo, e a mdia geral. A variao de cada grupo ponderada pelotamanho amostral.( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2 k kSS B n x x n x x n x x = + + + L( ) ( )21ki iiSS B n x x== ANOVA com um FatorA Variao Entre Grupos para o nosso exemplo SQ(E)=1902( ) ( ) ( ) ( )2 2 2775.71 65.08 967.11 65.08 853.50 65.08 SS B= + + ( ) 1900.8376 1902 SS B = ANOVA com um Fator Variao Dentro dos Grupos, SQ(D) A SQ(D) o total das variaes individuaisponderadas. A ponderao realizada com os graus de liberdade Os gl da amostra decada grupo o tamanho amostral menos uma unidade.ANOVA com um FatorVariao Dentro dos Grupos, SQ(D)( )21ki iiSSW df s==( )2 2 21 1 2 2 k kSSW df s df s df s = + + + LANOVA com um Fator A variao dentro dos grupos para o nossoexemplo 3386( ) ( ) ( ) ( )6310.90 8 119.86 780.29 SSW= + +( )3386.31 3386 SSW= ANOVA com um Fator Aps preencher as SQ temos:Fonte de variaoSQ gl QM F pEntre 1902Dentro 3386 -- --Total 5288 -- -- --ANOVA com um Fator Graus de liberdade, gl Os gl so a quantidade de valores que podem variarantes que o restante dos valores sejampredeterminados. Por exemplo, se voc tem 6 nmeros que possuemuma mdia 40, voc saberia que o total deves ser240. Cinco dos seis nmeros poderiam serquaisquer, mas uma vez que os 5 primeiros soconhecidos, o ltimo fixado para que a soma seja240.Os gl seriam 6-1=5.ANOVA com um Fator Os gl entre os grupos o nmero de gruposmenos 1 Temos trs grupos, logo gl(E) = 2 Os gl dentro dos grupos a soma dos glindividuais de cada grupo Tamanho das amostras so 7, 9 e 8 gl(D) = 6 + 8 + 7 = 21 Os gl total o tamanho da amostra geral menos1 gl(Total) = 24 1 = 23ANOVA com um Fator Preenchendo os gl temos Fonte de variaoSQ gl QM F pEntre 1902 2Dentro 3386 21 -- --Total 5288 23 -- -- --ANOVA com um Fator Varincia As varincias so chamadas Quadrados Mdiosabreviadamente QM, acompanhadas da identificaoda varivel a que se refere QM(E) ou QM(D) So os quadrados mdios dos desvios das mdias, encontrados dividindo a variao (SQ) pelos seusrespectivos gl. QM = SQ / glVariationVariancedf=ANOVA com um Fator QM(E) = 1902 / 2 = 951,0 QM(D) = 3386 / 21 = 161,2 QM(T) = 5288 / 23 = 229,9 Noteque the QM(Total) no a soma dos QM(E) e QM(D). Isso vale para as Somas de Quadrados SS(Total) = SQ(E) + SQ(D), mas no para osquadrados mdios. O QM(Total) no costuma ser usado.ANOVA com um Fator Completando the QM temosFonte de variaoSQ gl QM F pEntre 1902 2 951,0Dentro 3386 21 161,2 -- --Total 5288 23 229,9 -- --ANOVA com um Fator Varincias especiais O QM(E) conhecido como o estimador da varicia uma vez que a mdia ponderada das varincias das amostras. Denotada por S2e. O QM(Total) o estimador da varincia da varivel resposta. No utilizado na tcnica da ANOVA, mas til paraavaliaes posteriores. O Coeficiente de Explicao R2=SQ(E)/SQ(Total), representa a proporo de variao explicadapela ANOVA considerando o fator e quanto maiormelhor.ANOVA com um Fator Estatstica F Uma estatstica teste F a razo de duasvarincias amostrais O QM(E)e QM(D) so as varinciasamostrais que divididas uma pela outrafornecem o valor de F. F = QM(E) / QM(D) Para nossos dados F = 951,0 / 161,2 = 5,9ANOVA com um Fator Adicionando Fa tabelaFonte de variaoSQ gl QM F pEntre 1902 2 951,0 5,9Dentro 3386 21 161,2 -- --Total 5288 23 229,9 -- --ANOVA com um Fator A estatstica F unicaudal a direita A estatstica F vem da distribuio F com gl(E) no numerador e gl(D) no denominador O valor-p a rea a direita do valor da estatstica F P(F2,21 > 5,9) = 0,009ANOVA com um Fator Completando a tabela com o valor-pFonte de variaoSQ gl QM F pEntre 1902 2 951,0 5,9 0,009Dentro 3386 21 161,2 -- --Total 5288 23 229,9 -- --ANOVA com um Fator O valor-p = 0,009 menor que o nvel de significncia de 0,05, ento rejeitamos a hiptese nula. Isto , rejeitamos que as mdias das trspartes da sala foram as mesmas. Ento ao menos uma das partes da salapossui mdia diferente.ANOVA com um Fator A ANOVA no diz qual mdia diferente. Voc precisa de verificaes post hoc para isso. Essas verificaes so conhecidos comoTestes de Comparaes MltiplasComparaes Mltiplas

Comparaes Mltiplas

Comparaes Diferenas GL t E LI LSF M 8,6 14 1,895 115,93 -107,33 124,53F B 22,21 13 1,943 357,42 -335,21 379,63M B 13,61 15 1,895 151,85 -138,24 165,46