AP Ufrj Exercicios

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UFRJ/MATEMÁTICA Edson ([email protected]) VESTIBULAR 2008

PROJETO PRÉ-VESTIBULAR COMUNITÁRIO SÃO MARCELINO CHAMPAGNAT

UFRJ 2003 - 1ª faseQuestão 1De um retângulo de 18 cm de largura e 48 cm de comprimento foram retirados dois quadrados de lados iguais a 7 cm, como mostra a figura.

Qual o perímetro da figura resultante?

Questão 2Uma pedra de massa 25 kg tem a forma de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra pedra, do mesmo material, que tem a forma de um paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura e 3 cm de espessura?

Questão 3Maria faz hoje 44 anos e tem dado um duro danado para sustentar trêss filhas: Marina, de10 anos, Marisa, de 8 anos; e Mara, de 2 anos. Maria decidiu que fará uma viagem ao Nordeste para visitar seus pais, no dia do seu aniversário, quando sua idade for igual à soma das idades de suas três filhas. Com que idade Maria pretende fazer a viagem?

Questão 4Certo consumidor foi a um restaurante em que podia servir-se à vontade de comida, pagando o preço fixo de R$8,00; as bebidas, porém, servidas pelo garçom, eram cobradas à parte. Na hora de pagar a conta, constatou que lhe cobravam 10% de taxa de serviço sobre o total de sua despesa.Considerando que só as bebidas lhe foram servidas pelo garçom, pagou sua despesa incluindo a taxa de 10% somente sobre seu gasto com bebidas. Qual a diferença entre a importância que lhe cobraram e a efetivamente paga?

Questão 5Seu Jucá resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Jucá concorda, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 31 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00.

Questão 6Considere a brincadeira a seguir. Pense em um número. Some3. Multiplique o resuldo por 4. Subtraia 6. Divida o resultado por 2. Subtraia duas vezes o número que você pensou. Qual o resultado? Explique por que o resultado não depende do número em que você pensou.

Questão 7Numa pesquisa, feita com todos os moradores de um prédio, constatou-se que mais de 45% são homens e que mais de 60% pintam o cabelo. Explique por que se pode concluir que, nesse prédio, há homens que pintam o cabelo.

Questão 8Considere um retângulo, de altura y e base x, com x y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura abaixo.

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pêlos centros dos semicírculos.

Questão 9Seja a função real dada por

= ax2 + bx + c, com a > 0. Determine a, b e c sabendo que

as raízes da equação = 12 são -2, 1, 2 e 5. Questão 10A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1cm, é constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideramos os quadrados de menor lado ( l ) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado l /3. As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir:

Etapa l Etapa 2 Etapa 3

Calcule a área de F.

UFRJ 2003 - 2ª fase

Questão 1

Seja p: IR IR dada por p(x) = (x-1)(x-2)(x-3) . Para que valores de x se tem p(x) 0?

Questão 2Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz

A=

Questão 3Seja z o número complexo

Determine o valor de para que z seja um imaginário puro.

Questão 4Determine, em função de , o perímetro da figura ABD, obtida retirando- se do triângulo retânguloABC o setor circular BCD (de

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centro em C, raio l e ângulo ,).

Questão 5Na figura abaixo, os círculos C1 ,C2 e C3 estão inscritos nos quadrados ABCD, DEFG e GHIA, respectivamente. Sabendo-se que o ângulo AGD é reto e que a área de C1 é igual a l, calcule a soma das áreas de C2e de C3.

Questão 6Considere um tabuleiro quadrado, semelhante aos usados nos jogos de xadrez e de damas (na Figura l, vemos um tabuleiro de xadrez). Nosso tabuleiro, porém, tem 1000 x 1000 = casas, no lugar das 8 x 8 = 64 casas do tabuleiro de xadrez convencional.

Cada casa é designada por um par ordenado (m,n) de números naturais, ambos variando de 1 a 1000 (na Figura 2, está assinalada a casa (7, 6)). Uma peça pode se mover no tabuleiro, a cada jogada, para qualquer das casas adjacentes à que esteja ocupando (ver Figura 3). A distância entre duas casas é definida como o menor número de jogadas para que uma peça passe de uma casa até a outra.

Considere, em nosso tabuleiro, as casas A = (1, 1), B = (998,999) e C = (1, 1000). Qual das duas distâncias (segundo a definição

acima) é menor: a distância entre A e B ou a entre A e C ? Em outraspalavras: partindo de A, a qual, dentre as casas B e C, se pode chegar em menos jogadas? Porquê?

Figura3

Questão 7

Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D e uma de suas faces, F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r.

Questão 8

Uma reta divide o plano em 2 regiões; duas retas dividem-no em, no máximo, 4 regiões; três retas dividem-no em, no máximo, 7 regiões; e assim sucessivamente. Em quantas regiões, no máximo, 37 retas dividem o plano?

Questão 9Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42?

Questão 10Considere o triângulo T, de vértices A, B e C, tal que os ângulos Â esão agudos. Seja H a altura relativa ao lado AB. Para cada número natural n, seja Fn a figura formada pela união de n retângulos justapostos contidos em T (veja na figura o caso n = 4). Cada retângulo tem dois lados perpendiculares a AB medindo

e um lado ligando AC a BC (o

maior dos retângulos tem um lado contido em AB).

Sabendo que a área de T é a, calcule, em função de a e de n, a diferença entre a área de T e a área de Fn. Qual o limite da área de Fn, quando n tende a infinito?


QUESTÃO 1

Manuel e Joaquim resolveram disputar o seguinte jogo: uma bola será retirada ao acaso de uma urna que contém 999 bolas idênticas, numeradas de 1 a 999. Se o número sorteado for par, ganha Manuel; se for ímpar, Joaquim

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ganha. Isto foi resolvido após muita discussão, pois ambos queriam as pares.

Se todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas, identifique quem tem mais chances de ganhar o jogo. Justifique sua resposta.

QUESTÃO 2

Para lotaro estádio na final do campeonato planejou-se, inicialmente, distribuir os 23.000 ingressos em três grupos da seguinte forma: 30% seriam vendidos para a torcida organizada local; 10% seriam vendidos para a torcida organizada do time rival e os restantes seriam vendidos para espectadores não filiados às torcidas.

Posteriormente, por motivos de segurança, os organizadores resolveram que 3.000 destes ingressos não seriam mais postos àvenda, cancelando-se então 1.000 ingressos destinados a cada um dos três grupos.

Determine o percentual de ingressos destinados a torcedores não filiados às torcidas após o cancelamento dos 3.000 ingressos.

QUESTÃO 3

Uma esfera de vidro, de diâmetro interno 10cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente esféricas, de raio 1cm.

Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera, indique qual das opções a seguir éverdadeira:

Opção 1: Opção 2: n=125Opção 3: n

Justifique sua resposta.

QUESTÃO 4

n e m são números naturais, n = 1000! + 18 e m = 50! + 37.

a) Calcule o resto da divisão de n por 18;

b) m é um número primo? Justifique sua resposta.

QUESTÃO 5

A equação x2 - 2xcos + sen2

= 0 possui raízes reais iguais.

Determine , 0 .

QUESTÃO 6

Felipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha após a outra, como mostrado a seguir:

Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas:

a) determine quantos números naturais ele escreverá na 50a

linha;

b) determine a soma de todos os números escritos na 50a linha;

c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha é sempre o quadrado de um número ímpar.

QUESTÃO 7

Determine o comprimento do segmento cujas extremidades são os pontos de interseção da reta y = x + 1 com a parábola y = x2.

QUESTÃO 8

A figura a seguir representa a planta de um terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados 40m, 50m, 35m, 45m e 40m. Em toda a volta deste terreno foi construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: a distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao terreno é exatamente 2m).

Determine a área total da calçada.

QUESTÃO 9

z é um número complexo tal que

z7 = 1 , z Calcule:

1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6.

QUESTÃO 10

Uma piscina de borda retangulare paredes laterais verticais estácompletamente vazia. Para enchê-la será usada uma mangueira que despeja água a uma vazão constante. A piscina ficará cheia atéa borda 30 minutos após o início do processo. A figura a seguir mostra uma seção transversal da piscina por um plano vertical paralelo a um par de lados da borda.

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São idênticas todas as seções transversais do interior da piscina paralelas à seção mostrada na figura, onde também estão assinalados os ângulos retos.

a) Determine o tempo necessário para que o nível h de água na piscina atinja 1 metro de profundidade.

b) Se t representa o tempo contado a partir do momento em que se começa a encher a piscina, , expresse t como função da altura h da água na piscina.


QUESTÃO l

Um grande ato público em favor da Educação foi organizado em uma certa cidade. Uma avenida de 1,25km de extensão e 40m de largura foi totalmente tomada pelo público.Supondo que quatro pessoas ocupam 1 metro quadrado, calcule quantas pessoas foram ao evento.

QUESTÃO 2

Um vídeo-clube propõe a seus clientes três opções de pagamento:

Opção l: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado.

Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado.

Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.

Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.

Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta.

QUESTÃO 3

Uma barra de sabão ABCDEFGH, com a forma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na figura 1. O sólido ABCDFG obtido foi cortado, mais uma vez, pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e DF, como ilustrado na figura 2.

Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ resultante desse segundo corte (ilustrado na figura 3) e o volume da barra de sabão original.

QUESTÃO 4

Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informação numa revista:"conhece-se, há mais de um século, uma formula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura:

onde P é o peso, em quilos,a é a altura, em centímetros,k = 4 , para homens, e k =2 , para mulheres"

a) Cíntia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as contas com k = 2 e constatou que, segundo a fórmula, estava 3 quilos abaixo do seu peso ideal. Calcule a altura de Cíntia.b) Paulo e Paula têm a mesma altura e ficaram felizes em saber que estavam ambos exatamente com seu peso ideal, segundo a informação da revista.Sabendo que Paulo pesa 2 quilos a mais do que Paula,

determine o peso de cada um deles.

QUESTÃO 5

O senhor Xis Ypsilon resolveu verificar quanto deveria pagar de Imposto de Renda. Foi, então, informado que uma parte (P) de seus rendimentos estava isenta de tributação e que sobre a outra parte deveria pagar 15% de imposto de renda. Feitas as contas, observou que seus rendimentos somaram R$21.600,00 e que deveria pagar R$1.620,00 de imposto.

Determine o valor de P.

QUESTÃO 6

A sequência 1, 3, 5, 9, 13, 18, 22 é uma das possibilidades de formar uma sequência de sete números, começando em 1 e terminando em 22, de forma que cada número da sequência seja maior do que o anterior e que as representações de dois números consecutivosna sequência estejam conectadas no diagrama abaixo por um segmento.

a) Quantas sequências diferentes, com essas características, podemos formar?

b) Quantas dessas sequências incluem o número 13?

QUESTÃO 7

Um setor circular de ângulo 9 e raio 1 foi dividido em três setores de mesmo ângulo. Cada um desses setores foi dividido em duas regiões por um arco de círculo concêntrico com o setor e de raio r, como ilustrado na figura.

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Se A1 é a soma das áreas das regiões sombreadas A2 é a soma das áreas das regiões claras, determine o valor de r que torna verdadeira a igualdade A1= A2.

QUESTÃO 8

Para quantos números reais x, o número y, onde y = -x2 + 6x - 1, é um número pertencente ao conjunto IN= {1, 2, 3, 4,...}?

UFRJ 2005 – 1ª faseQUESTÃO 1

As taxas mensais de inflação nos meses de maio, junho, julho e agosto de 2004 estão representadas no gráfico a seguir:

a) Indique se a taxa de inflação de agosto foi inferior, igual ou superior à do mês de julho.

b) De julho para agosto, a variação da taxa foi de 24% da taxa de julho.

Determine a taxa de inflação de agosto. (Não arredonde a sua resposta.)

QUESTÃO 2

A altura média de um grupo de quinhentos e três recrutas é de 1,81 m. Sabe-se também que nem todos os recrutas do grupo têm a mesma altura.

Diga se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira, falsa ou se os dados são insuficientes para uma conclusão. Em cada caso, justifique sua resposta.

a) "Há, no grupo em questão, pelo menos um recruta que mede mais de 1,81m e pelo menos um que mede menos de 1,81m."

b) "Há, no grupo em questão, mais de um recruta que mede mais de 1,81 m e mais de um que mede menos de 1,81 m."

QUESTÃO 3

Numa caixa roxa há 365 bolinhas roxas e numa caixa amarela há412 bolinhas amarelas. Trezentas e onze (311) bolinhas são retiradas da caixa roxa e postas na caixa amarela, bem misturadas com as amarelas. Em seguida, sem olhar, 311 bolinhas são retiradas da caixa amarela (que agora contém bolinhas das duas cores) e colocadas na caixa roxa.

Ao final, sejam R o número de bolinhas roxas na caixa amarela e A o número de bolinhas amarelas na caixa roxa.

Indique se R < A, R = A, R > A ou se os dados são insuficientes para uma conclusão. Justifique sua resposta.

QUESTÃO 4

Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pêlos

números complexos z e w a seguir:

sendo um número real fixo, .

Determine a hora do jantar.

QUESTÃO 5

Considere

com

Determine

em função de a e b.

QUESTÃO 6A reta y = x + k , k fixo, intercepta a circunferência x2 + y2 = l em dois pontos distintos, P1 e P2 , como mostra a figura a seguir.

a) Determine os possíveis valores de k.

b) Determine o comprimento

do segmento em função de k.

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Questão 7

Uma ampola de vidro tem o formato de um cone cuja altura mede 5 cm. Quando a ampola éposta sobre uma superfície horizontal, a altura do líquido em seu interior é de 2 cm (Figura 1).

Determine a altura h do líquido quando a ampola évirada de cabeça para baixo (Figura 2).

Questão 8

N homens e N mulheres, N 1, serão dispostos ao acaso numa fila. Seja probabilidade de que a primeira mulher na fila ocupe a segunda posição.

Calcule e determine a partir de que valor de tem-se

.

UFRJ 2005 – 2ª fase

QUESTÃO 1

Maria deseja saber o significado da palavra ESCRUTAR. Abriu o dicionário e verificou que o primeiro verbete da página 558 éESCRUTÍNIO e o último éESCUTAR.

Indique qual das três alternativas a seguir é a correta.

I - A palavra procurada encontra-se na página 558.II -A palavra procurada encontra-

se em uma página anterior à558.

III -A palavra encontra-se em uma página posterior à 558.

QUESTÃO 2

O trecho a seguir foi retirado de matéria publicada na primeira página de um jornal de grande circulação:

"Levantamento feito (...) revela que 12 dos 50 vereadores eleitos no Rio - o equivalente a 22% -respondem a processos criminais e cíveis".

O percentual citado na matéria está correto?

QUESTÃO 3

Uma pizzaria vende pizzas grandes e pequenas no tradicional formato circular. As grandes têm 40 cm de diâmetro e custam R$ 18,00; as pequenas têm 20 cm de diâmetro e custam R$ 6,00. Todas têm a mesma espessura.

a) Lúcia e Raquel foram a essa pizzaria dispondo, cada uma, de R$ 10,00. Raquel propôs dividir uma pizza grande; Lúcia sugeriu que pedissem três pequenas.

Qual dessas opções permite que elas comam mais?

b) Manuel e Joaquim foram a essa pizzaria, com muita fome, e gastaram R$ 60,00 em 10 pizzas pequenas.

Determine de quantas outras formas eles poderiam, nessa pizzaria, gastar os mesmos RS 60,00 em pizzas.

QUESTÃO 4

Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.

QUESTÃO 5O número de bactérias em uma

certa cultura dobra a cada hora. A partir da amostra inicial, são necessárias 24 horas para que o número de bactérias atinja uma certa quantidade Q.

Calcule quantas horas são necessárias para que a quantidade de bactérias nessa cultura atinja a metade de Q.

QUESTÃO 6

O Sr. Feliciano contraiu, em um banco, um empréstimo de R$ 10.000,00, com juros de 3% ao mês; ou seja, o saldo devedor érecalculado, a cada mês, acrescentando-se 3% ao antigo. Começou a pagar a dívida exatamente um mês após tê-la contraído. Pagou, religiosamente, R$ 250,00 por mês, durante 10 anos.

a) Calcule o saldo devedor após o primeiro pagamento.

b) Indique, das opções a seguir, a que representa a situação do Sr. Feliciano decorridos os 10 anos.

I -A dívida foi quitada.

II - O Sr. Feliciano deve ao banco menos de R$10.000,00.

III - O Sr. Feliciano deve ao banco algo entre R$10.000,00 e R$16.000,00.

IV - O Sr. Feliciano deve ao banco mais de R$16.000,00.

V - O banco deve dinheiro ao Sr. Feliciano.

QUESTÃO 7

Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença.

Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos e, dos

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laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos.

a) Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo.

b) Sorteado um dos trezentos laudos, verificou-se que ele era positivo.

Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença.

UFRJ 2006 – 1ª fase

QUESTÃO 1

Dois estados produzem trigo e soja. Os gráficos abaixo representam a produção relativa de grãos de cada um desses estados.

a) A produção de trigo do estado A corresponde a que porcentagem da produção de grãos do estado?

b) É possível afirmar, a partir dos gráficos, que a produção total de trigo do estado A émaior do que a do estado B? Justifique sua resposta.

QUESTÃO 2

A Polícia Federal interceptou duas malas abarrotadas de dinheiro, contendo um total de R$ 3.000.000,00, somente em notas de 100 e de 50 reais. A quantidade de cédulas de 100 da mala preta era igual à quantidade de cédulas de 50 da mala marrom, e vice-versa.

a) Calcule o número total de cédulas encontradas.

b) Após a perícia, um policial encheu

a mala preta com notas de 100 reais e pôs as cédulas restantes na mala marrom, de tal modo que as duas malas ficaram com quantias iguais.

Quantas notas foram colocadas na mala marrom?

QUESTÃO 3

Uma caixa contém bombons de nozes e bombons de passas. O número de bombons de nozes ésuperior ao número de bombons de passas em duas unidades.

Se retirarmos, ao acaso, dois bombons dessa caixa, a probabilidade de que ambos sejam de nozes é .

a) Determine o número total de bombons.

b) Se retirarmos, ao acaso, dois bombons da caixa, determine a probabilidade de que sejam de sabores distintos.

Questão 4Em um tanque no formato de um cubo de aresta 25cm, contendo líquido, foi posta uma pirâmide Pr

de altura igual a 6cm, com a base apoiada no fundo do tanque.

Com isso, o nível de líquido passou de 18cm para 19cm.

a) Calcule o volume, em cm3, da pirâmide P1

b) A pirâmide P1 foi retirada do tanque e o nível de líquido voltou ao inicial. Uma pirâmide P de 30cm de altura, foi então posta no tanque, com a base apoiada no fundo, o que elevou em 2cm o nível de líquido.

Determine o volume da pirâmide P .

QUESTÃO 5

Ana e Bia participam de um site de relacionamentos. No dia 1° de abril de 2005, elas notaram que Ana tinha exatamente 128 vezes o número de amigos de Bia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no final de um dia, três no dia seguinte. Já Bia disse que, para cada amigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigos entravam para sua lista no dia seguinte. Suponha que nenhum amigo deixe as listas e que o número de amigos aumente, por dia, conforme elas informaram.

a) No dia 2 de abril de 2005, vinte novos amigos entraram para a lista de Bia.

Quantos amigos havia na lista de Ana em 1 ° de abril?

b) Determine a partir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser maior do que onúmero de amigos de Ana. Se precisar, use a desigualdade 1,584 < Iog23 < 1,585.


QUESTÃO 1

A numeração da avenida Mane Garrincha, a popular Alegria do Povo, é tal que, se por ela caminhamos no sentido crescente da numeração, temos os números pares à direita e os ímpares à esquerda.

Robinho desce do ônibus na avenida e avista, do outro lado da

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rua, o prédio de número 424.

a) Sabendo que o tráfego éde mão única, indique se o fluxo dos carros se dá no sentido crescente ou decrescente da numeração. Justifique sua resposta (faça um desenho, se preferir).

b) Robinho deseja ir ao prédio de número 352 e vai primeiro atravessar a avenida em frente ao número 424.

Indique para qual lado (àdireita ou à esquerda) deve andar depois de atravessar.Justifique sua resposta (faça um desenho, se preferir).

QUESTÃO 2

Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago.

No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50.

a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações locais.

b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A.

QUESTÃO 3

Determine a e b de forma que, para todo x real e tal que |x|≠1,

se tenha

Questão 4Os triângulos ABC e ABC da figura são equiláteros e têm o centro O em comum.

Sendo L o lado do triângulo maior, determine o lado l do triângulo menor de forma que a área da figura sombreada seja metade da área do triângulo ABC.

QUESTÃO 5

Afigura abaixo corresponde àplanificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a.

Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma.

QUESTÃO 6

Considere uma escada com infinitos degraus, de alturas a1 , a2

, a3 , ... definidas conforme a figura a seguir.

Calcule a altura da escada em função de a, b e c.

Questão 7São três irmãs: Ana, Beatriz e Clara; sabemos que uma sempre diz a verdade e que as outras duas sempre mentem. Cada uma delas sabe qual a que não mente e quais as que mentem.

Perguntamos a Ana: "Seperguntarmos a cada uma de suas irmãs se a outra mente ou fala a verdade, o que responderão?"

Indique qual (ou quais), dentre as opções abaixo, pode(m) ter sido a resposta de Ana:

I. Beatriz dirá que Clara mente e Clara dirá que Beatriz fala a verdade.

II. Beatriz dirá que Clara fala a verdade e Clara dirá que Beatriz mente.

III. Cada uma dirá que a outra fala a verdade.

IV. Cada uma dirá que a outra mente.

Justifique sua resposta.

Questão 8

Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta até dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha.

Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo.


Questão 1

Para comprar um computador, Zezinho pediu ajuda a seus familiares. O tio deu um quinto do dinheiro; a avó ajudou com dezoito por

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cento do preço do computador; uma tia contribuiu com 0,12 do total; os pais de Zezinho pagaram o resto.

Determine a porcentagem do valor do computador assumida pêlos pais de Zezinho.

Questão 2

Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto em sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A figura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças.

Determine a razão da área da figura A para a área da figura B.

Questão 3

Um grupo de cientistas parte em expedição do Pólo Norte e percorre 200 km emdireção ao sul, onde estabelece um primeiro acampamento para realizar experiências. Após algum tempo, o grupo percorre 200 km em direção ao leste, onde instala o segundo acampamento para experimentos. Após três dias, o grupo parte em viagem e percorre 200 km em direção ao norte, onde estabelece o terceiro acampamento.

Supondo que a superfície da Terra seja perfeitamente esférica, determine a distância

entre o terceiro acampamento e o Pólo Norte. Justifique sua resposta (faça um desenho, se preferir).

Questão 4Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de Ires para concorrer a uma gincana.

O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é menor do que 300?

Questão 5

Seja f : ]0, oo[ --> R dada por

f(x) = log3x

Sabendo que os pontos ( ,-β), (b,0), (c,2) e (d,β) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad.

UFRJ 2007 - 2ª faseQuestão 1

O professor escreveu no quadro-negro:

Resolva o desafio proposto pelo professor.

Questão 2

Seja n = 20!.

Determine o maior fator primo de n.

Questão 3

A região R é composta por quatro círculos de raio 1, de centros A, B, C e D. Sabe-se que AB = 2 e que ABCD é um quadrado de diagonais AC e BD.

Determine o comprimento da menor linha poligonal, inteiramente contida em R, ligando A a C.

QUESTÃO 4

Em um campeonato de futebol, o vencedor de cada partida ganha 3 pontos, o perdedor não ganha pontos e, em caso de empate, cada time ganha 1 ponto. Todas as equipes jogam o mesmo número de partidas e, se duas ou mais chegam ao final do campeonato com o mesmo número de pontos, classifica-se na frente a que tiver obtido maior número de vitórias.

José Eduardo, que tem umas ideias um tanto heterodoxas, propõe alterar este critério, classificando na frente a equipe com o maior número de derrotas.

No final do campeonato, as equipes X e Y alcançaram o mesmo número de pontos, mas X se classificou na frente de Y.A adoção do critério proposto por José Eduardo mudaria as posições de X e Y na tabelade classificação?

Questão 5Um sítio da internet gera uma senha de 6 caracteres para cada usuário, alternando letras e algarismos. A senha é gerada de acordo com as seguintes regras:

• não há repetição de caracteres;• começa-se sempre por uma letra;• o algarismo que segue uma

vogal corresponde a um número primo;

• o algarismo que segue uma consoante corresponde a

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um número par.

Quantas senhas podem ser geradas de forma que as três letras sejam A, M e R, em qualquer ordem?

Questão 6Sejam a um número real positivo e S a região do plano cartesiano dada por

Considere, como de costume, que o quadrado

tem área de medida 1.Determine o valor de a para que a medida da área da região S seja igual a 18

Questão 7Uma semi-esfera de vidro, de raio interno R, é posta sobre uma mesa plana, conforme a figura. Entre as duas, é colocada ainda uma bola de raio R/2.

2No espaço remanescente (entre a semi-esfera, a mesa e a bola), colocam-se bolas de raio r, de modo que r seja o maior possível.a) Calcule r.

b) É possível colocar 8 bolas de raio r no espaço entre a semi-esfera, a bola de raio R/2 e a mesa?

Questão 8Considere a equação x3 + 3x2 + 9x + 9 = 0.

a) Fazendo x = y - 1, obtenha uma equação equivalente tendo y como incógnita. Em seguida, faça y = z - 2/z e

obtenha uma nova equação em z.

b) Calcule todas as soluções para a equação em z obtida no item a.

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