Estruturas Isostaticas - Exercicios Propostos - Prof Maria Cascao -Poli-ufrj-2008

CURSO DE ELEMENTOS DE MECÂNICA DAS

ESTRUTURAS

Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida

2008

Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas

1

CURSO DE ELEMENTOS DE MECÂNICA DAS

ESTRUTURAS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

E GABARITOS

Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida

2


3

AE1-LE1A 1

ANÁLISE ESTRUTURAL I

LISTA DE EXERCÍCIOS 1A

1) Classifique as estruturas abaixo quanto à estaticidade e à estabilidade: a) b) c) d) e) f) g)

h) i) j)

2) Determine as reações de apoio:

a) b)

c)

1m 1m 1m 1m

4 kN 4 kN 30º 30º 30º 30º

8m

2,5m

2,5m

2,5m

50kN

2,7m

2,7m

2,7m

9kN

9kN

3) Determine as reações de apoio das vigas biapoiadas abaixo. Comparando

os resultados obtidos em cada série, o que você pode concluir em (a) e em

(b)? (comprimentos em m).

4

a)

b)

c) Determine os diagramas dos esforços internos em (a) e (b).

4) Determine os esforços internos nas seções indicadas:

a) b)

c) d)

5) Para as vigas do exercício 4 trace os diagramas dos esforços internos e

forneça para a viga 4(b), as funções que expressam tais esforços.

100kNm

1,5 5,0

100kNm

1,5 5,0

100kNm

1,5 1,5 3,5

100kNm

1,5 2,5 2,5

4

20kN 20kN

1 3 2 2

20kN

3 1

20kN

4

20kN

2m 2m 1m

9kN 7kNm

A B

40kN

40kN 1 2 1 1 3

A B

C

1,5m 1,5m 3,0m

6 tf

A B C

20kNm 20kNm

4m

B C D A

5

ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 1B

1) Classificar as estruturas abaixo quanto a estaticidade e a estabilidade:

2) Calcular as reações de apoio das estruturas a seguir:

6

c) d)

3) Determinar os valores dos esforços internos nas seções indicadas:

a) b)

2 tf

3 tf

2 tf 1 tf

1m 2m 2m 1m

2m

2m

5m

2kN/m

8 tf S1 S2

S4 10 tf 60ª

1,5m 1,5m 2m 1m 3m 2m S3

6 tfm 2 tfm

4m 2m 2m S1 S2

7


LISTA DE EXERCÍCIOS 1C 1) Calcular os momentos em torno dos eixos X, Y e Z. 2) Reduzir ao ponto O o sistema de forças representado abaixo. 3) Classificar as estruturas abaixo quanto à sua estaticidade e à sua

estabilidade. Ao verificar a estabilidade, justifique sua resposta. a) b) c) d) e) f) g)

(4,6,0) Y

(0,6,0)

X

(4,0,4)

Z

45º

2 kN 4 kN

8 kN 5 kN

2 m 9 m 2 m 3 m

O

8

4) Calcular as reações de apoio das estruturas abaixo:

a) b) c) d)

40 kNm

8 m 8 m

2,5 m

8 m 4 m

5 kN

5 kN

5 m

5 m 5 m

15 kN

5 kN

5 kN

7 m 6 m 4 m

45º

9

5) a) Determinar as reações de apoio. b) Calcular os valores dos esforços simples na seção S da estrutura

abaixo. c) Para determinar os ESI em S é necessária a determinação das reações

de apoio? Justifique a sua resposta.

6) Calcular os esforços internos nas seções indicadas nas estruturas abaixo. a) b) c)

5 m 5 m

4 m

S 5 m

10 kNm

2 kN

5 kN

6 kNm

S B A

3 kN

3 m 3 m 2 m

5 kN 5 kN

B

2

A

S2 S1

2 2 1 (em m)

10 kNm 2 kN

S2 S1 3 kN

2 1 2 2 (em m)

10

d) e) f) g) h)

3 m 1 m 2 m 4 m

B A

8 kN S 3 kN/m

3 m 2 m 2 m 2 m 2 m

6 kN/mS1

S2

2 m 4 m 3 m

3 kN

3 kN/m 6 kN/m

S

S

2 kN/m

2 m 2 m 2 m

20 kN

S B A

2,5 m 2,5 m2 m 2 m

10 kN 10 kN

11

2 m 2 m 1 m 2 m 1 m

2 kN/m

2 kNm3 kN

S B A

i) j) k)

3 m 2 m

A B

D C

2 m

2 m

23 kN

3 kN/m

S1

S2

4 m

A

15 kN

5 kN/m

B C

D 1,5 m

1 m

1 m

S1

S2

12

3 m 4 m 2 m

2 m

2 m

S2

S1

12 kN/m

l) m) n)

2 m

A

2 m 3 m

B

3 m

2

m

3 kN

/m

D 3 kN

C

S1

2 m5 m2 m 1 m

D

2 kN/m

C S1 2 m

B S2

10 kN

A

13

2 m 4 m

B

3 m

1 m

2 m

2 kN/m

D S

A

C 1 kN/m

o) p) q)

2 m

2 m

4 m 4 m

1,5

kN/m

B

1,5

kN/m

E

S2

A

S1

C

D

15 kN

2 m

3 kN/m

S

C

A

3 m 3 m 3 m

3 m

3 m

D

B

14

r) s) t) Traçar os diagramas dos esforços internos para as vigas bi-apoiadas

dos itens (a), (b), (e) e (f).

S

B

4 m 4 m

A

3 kN/m

4 m

A

3 m 3 m

2 m

2 m

2 m

B

10 kN

D

S C

5 kN

15



1) Classifique as estruturas abaixo como externamente isostáticas,

hiperestáticas ou hipostáticas, indicando se são estáveis ou instáveis.

a) b) c)

d) e) f)

2) Determine as reações de apoio da viga simplesmente apoiada dotada de

balanço à direita. Escreva as funções que expressam os esforços internos e

trace os diagramas.

3) Determine as reações de apoio e os esforços internos na seção S. Escreva

as funções que expressam os esforços internos e trace os diagramas.

A 25 tf

10 tf 5 tf/m

3m 3m 1,5m B C

3m 2m

200N/m 500N

60º

S

16

4) Determine os esforços solicitantes internos nas seções S1 e S2.

5) Determine os esforços solicitantes internos na seção S, as funções que

expressam os esforços internos ao longo da viga e trace as linhas de estado.

6) Determine as reações de apoio e os esforços internos nas seções indicadas.

No item b, que observações se pode fazer levando em conta aspectos de simetria e anti- simetria dos carregamentos em estruturas simétricas?

a) b)

4m

12m 4m

3m 6m

S1 S2

20kN/m

150kN 90kNm

30kN 45º

2m

3m 3m 3m

S

2m 1m 3m

2m

2m

1 tf 1 tf

S1

S2 S3

3 tf 1 tf/m

50kN 50kN

S1 S2 S3 1,5 1,5 2,0 2,0 1,5 1,5

1,5 1,5 2,0 2,0 1,5 1,5

50kN

50kN

S3 S1 S2

(m)

17

7) Obtenha as funções que expressam os esforços internos e trace os seus

diagramas. Forneça também os coeficientes angulares das tangentes ao

diagrama dos esforços cortantes nas seções A, B e C.

8) Dado o diagrama de esforços cortantes abaixo, determine os carregamentos

aplicados e os diagramas de momentos fletores, sabendo-se que as vigas

estão submetidas somente a cargas ( concentradas e/ou distribuídas )

transversais.

a) b)

9) Determine as reações de apoio e os esforços internos na seção S do pórtico plano da figura.

3m 3m 3m

+ _

70

10

50

10

D.Q. (kN)

2m 4m 1,5m

3m

3m

8 tf

10 tf/m 4 tf

2,5m

3,5m

5 tf/m

S

2m 1m

20

80 D.Q. (kN)

+

3m 2m

3 tf/m A B

C

18

10) Diga como se denomina a estrutura abaixo e classifique-a quanto à

estaticidade e à estabilidade. Determine as funções que expressam os

esforços internos e trace seus diagramas.

1m 3m 2m

48kN/m

60kNm

50kN 3

4

19



1) Trace as linhas de estado das estruturas abaixo, fazendo todas as

observações importantes:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

a b

L

q

L

M

L

P

L

a b

P

P

L

q

L

q

L

q

P

q

P

L

a b

P P

a b a

L

P P

b a a

L

L=2a

q

a b a

L

a b

L

q

20

m) n) o)

p) q) r)

s) t) u)

v) w) x)

y) z)

L/2 L/2

q

q

L

4xa

qP=2qa

q

L Lb

q

L Lb

q

L Lb L Lb

q

P

M

L Lb L Lb

M

a b Lb

L

M

q

a b

L

q

4xa

a b

L

M

L a

M

L/2 L/2

q

q

21

2) a) Trace os diagramas dos esforços internos da estrutura abaixo.

b) Diga como se denomina a estrutura.

c) Considerando a estrutura abaixo como uma associação de vigas

isostáticas, identifique-as e especifique quais têm estabilidade própria e

quais não têm estabilidade própria.

3) Dada a viga abaixo, determine:

a) as distâncias a e b para que se obtenha a estrutura mais econômica em

termos de consumo de material.

b) trace os diagramas dos esforços internos.

4) a) Trace os diagramas dos esforços internos da viga bi-apoiada dotada de

balanço nas três situações abaixo.

b) Tire conclusões sobre a influência do balanço.

q

b L a L-2a a L b

1 2 3 4 5 6 7 8

KL L

K<1

I)

KL L

K=1

II)

KL L

K>1

III)

3

4

75 kN

10 kN/m 10 kN/m

6m 2m 4m 2m 2m 8m

22

5) Determine as funções que expressam os esforços internos para o item b e

trace os diagramas para os itens a.

a) b)

6) Trace os diagramas dos esforços internos e comparando-os, tire conclusões

sobre a influência da simetria e ante-simetria dos carregamentos em

estruturas simétricas.

a) b)

c) d)

5m

3m 10 kN/m

30ª

1m 3m

3m

2 tf/m

0,5 tf/m 1 tf

23


LISTA DE EXERCÍCIOS 3B 1) Fazer os esboços dos diagramas de esforços internos das estruturas abaixo,

evidenciando com clareza todas as observações importantes. a) e) b) f) c) g) d) h)

2) Conferir os valores das reações de apoio e traçar as linhas de estado das estruturas

abaixo. a)

VA = 11,2 kN VB = 11,8 kN b) VA = 32 kN VB = 8 kN c) VA = 38 kN VB = 25 kN d) VA = 46,5 kN VB = - 4,5 kN

P2 P1 MP

P

qP

P M P2 P1

2 m 3 m 2 m

BA

3 m

5 kN8 kN 10 kN

q

q

10 kN/m

6 m 4 m

BC A

27 kN

A B

12 2 22

18 kNm12 kN/m

BA 30 kN

3 m3 m6 m

12 kN/m

24

e) VA = 16,5 kN

VB = 10,5 kN f) VA = VB = 40,5 kN Para estrutura e carregamento simétricos o que se pode observar quanto ao DMF e

ao DEQ? g)

VA = 25,25 kN VB = 52,25 kN h) H = 3 kN V = 20 kN M = 30 kNm i) M = 213,33 kNm j) H = 34,6 kN V = 45 kN M = 292,5 kNm k) VA = 105 kN VB = 45 kN

4 m 3 m3 m

B

10 kN/m

A

15 kN/m

2 m 2 m 3 m

10 kN

5 kNm 10 kN/m3 kN

52 12

5 kN/m 30º

40 kN

BA

7 m 2 m3 m

10 kN/m20 kN/m

A B

3 m 3 m6 m

30 kN12 kN/m

4,5 m 4,5 m

BA

18 kN/m

20 kN/m

20 kN/m

4 m4 m

25

l) VA = VB = 10 kN m)

VA = 24 kN HA = 15 kN VB = 16 kN n) o) VA = 7,5 kN VB = 112,5 kN VE = 49 kN VF = 11 kN VC = 4,7 kN p) VA = 12,4 kN

HA = 7,1 kN MA = 40 kNm 3) Traçar os diagramas de esforços internos das estruturas abaixo e indicar seus nomes:

a) b)

2 m 2 m6 m

BA

10 kN/m 40 kN40 kN

3 m3 m 4 m 2 m

BA 15 kN

10 kN8 kNm 9 kN/m

4 m 3 m3 m

BA

20 kNm20 kNm

3 m2 m3 m3 m 2 m 3 m

10 kN10 kNm

20 kNm

3 m 5 m 4 m

10 kN20 kNm

FEDC BA

2 m2 m2 m2 m 4 m4 m

8 kN15 kN/m

4 m 4 m 2 m

45ºCB A

10 kN10 kN

26

4) Fornecer o diagrama do carregamento sabendo que a estrutura está submetida

apenas a cargas transversais. Traçar o DMF.

DEC

(kN)

5) Qual deve ser o valor de d para que o momento fletor máximo, em valor absoluto,

seja o menor possível?

6) Para as estruturas abaixo, dar seus nomes e traçar os diagramas dos ESI. a)

HA = 80 kN VA = 67,5 kN VB = 92,5 kN

4,0

m

8,0 m

20 kN/m

60 kNm

B

A

4 m4 m 2 m

_ +

5,03,0

4,0

d = ?

q

LL

CBA

27

b) HA = 0

VA = 400 kN MA = 2000 kNm

28



1) a) Como se denomina a estrutura abaixo?

b) Determine as funções que expressam os esforços internos.

c) Trace os seus diagramas.

2) Uma viga metálica de comprimento L e peso próprio por unidade de

comprimento q deverá ser içada para transporte. Dois olhais de içamento

deverão ser previstos. Escolha suas posições e justifique.

3) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos

esforços internos.

a)

b)

( comprimentos em m )

5 KN 16 m 4 m 10 m

2 KN/m 5 KNm

BA

10 KN 10 KN 10 KN 5 KN 5 KN

5 5 5 5 3 3 2

2 tf/m

7,5 7,5 5, 0 5,0 10,0 15,0

5 tf 15 tfm

29

4) a) Determine as funções que expressam os esforços internos.

b) Trace os seus diagramas.

c) Forneça os esforços internos nas seções C e D.

Construa as linhas de estado das seguintes estruturas e diga como se

denominam: (comprimentos em m)

5) 6)

7) 8) 9) Esboçar os diagramas dos esforços internos das estruturas abaixo:

20 KN/m

10 m 4 m 4 m

6 m

50 KN 30 KN/m

D

C

A

B

2 tf/m

2 4

3 1,6 tf/m

2,0

3,0

2,5

15 KN

40 KN/m

4 tf/m

1,6 tf/m

8 8

5

3 20 KN

12 KN/m

6

4

30

a) b)

c) d)

e)

M

q

P

M

P P

31


LISTA DE EXERCÍCIOS 4B

1) a) Diga como se denomina a estrutura associada da figura. b) Quais os métodos de resolução que você conhece? c) Resolva-a.

2) Forneça para a estrutura abaixo:

a) As reações de apoio. b) Os momentos fletores no nó 8. c) Sabendo-se que para o sistema de eixos locais x e y, com origem no nó

9 e indicado na figura, a equação do arco é dada por y = 20 x (16 - x), determine os esforços internos em S (x=4).

162

21 kNm 5 kN/m

50 kN

1 52 3 4

10 kN/m

3

4

2,4 2,4 (em m) 4,81,6 1,6 2,4

4 3

2

4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m

2 1

3 5

9

4 6

6 10 8 8 7 7

0,5 tf/m

0,5 tf/m 0,5 tf/m 1 tf 1 tf

x

y 10 11 11 S

0,5 tf/m

0,5

tf/m

5m

3m

4m

4 tf

9

1

5

32

8

3) Trace os diagramas dos esforços internos: 4) Para a estrutura abaixo, responda:

a) Como se denomina? b) Como se classifica quanto ao seu reticulado (simples, composta ou

complexa)? c) O que se entende por treliça ideal? Esta estrutura é uma treliça ideal? d) O que se verifica em relação às simetrias: da estrutura, do carregamento

e dos esforços internos? e) Os esforços normais nas barras , , , , e .

4 m

4 m

4,5 m 4,5 m

1 tf/m

2 tf/m

A

B C

E F G

D

6 9 11 7 10 13

5 m 5 m 5 m 5 m

5 m

5 m

200 kN

100 kN 100 kN

3 1 2 4

5 9 8 7 6

10

11

12

13

1 5 4 3 2

7 6

33

5) Determine o valor de P para que o máximo momento fletor seja o menor possível.

6) Sabendo-se que somente atuam cargas transversais ao eixo da viga,

obtenha, a partir do diagrama de esforços cortantes (DEC), os diagramas do carregamento (DC) e dos momentos fletores (DMF).

7) Marcar as barras inativas da ponte em treliça da figura e determinar os

esforços normais nas barras indicadas (a, b, c, d e e).

P

a b a

B

P q

A

3 m

6 m 6 m 6 m 6 m

e

c b d a

2 tf 2 tf 4 tf

C AD

5 tf

4 tf

3 tf

B

1 m 2 m 2 m

+

-

34

8) Resolver as seguintes estruturas. a) Todas as barras têm comprimento L.

b)

q = 20 kN/m

8 m

2 m

100 kN 150 kN 200 kN

4 x 6 m = 24 m

50 kN

35



1) Trace as linhas de estado das seguintes estruturas e informe como se

denominam.

a) b)

c) d)

2) Forneça as funções que expressam os esforços internos e trace seus

diagramas:

3m 3m 3m

100kN

3m 25kN/m

4 3

3m 4m

3m

3m 100kN

200kN

6m

45kN

90kN

30kN/m

3m

3m

4m 4m 10m

6m

30kN/m 100kN

1 2

3 4

6m 2,5m 2,5m

2,5m

2,5m

30 tf

1 1

6 tf/m

36

3) Identifique as estruturas associadas abaixo e trace os diagramas dos

esforços internos:

a)

b)

c)

5m 1m 1m 2m 3m

7 tf

23 tf

4,5 tf/m

2,5m

1m

2m

2m

1m

3m

2m 3m 3m 2m 1m 2m

1 tf/m

3 tf 2 tf

3 tf 2 tf

1 tf

1 tf

1 tf/m

1,5m 3,0m 4,5m

4m

4m 20kN/m

20kN/m

40kN/m

37

4) a) Como se denomina a estrutura abaixo?

b) Inicialmente, através de simples observação do seu funcionamento,

tente prever que barras estão tracionadas e que barras estão

comprimidas. Justifique a sua previsão.

c) Resolva estrutura abaixo e verifique se os resultados obtidos confirmam

a previsão feita no item b.

5) Resolva as estruturas abaixo:

a) b)

c) d)

0,8 tf/m

5 tf

6 tf

3m 3m

2m

3m

5m

5 tf

3 x 3

3m 8kN

6kN10 tf

10 tf

10 tf 10 tf

3 x 4 m

30º

4m

2m

1m

2m

2 tf/m

3 tf

0,4 tf0,3 tf

0,2 tf 0,5 tf

3 x 6

6m

38

6) Na treliça de telhado da figura, as cargas inclinadas são geradas pela

pressão do vento. Ache o esforço normal na barra 11. Raciocine e resolva

este problema da forma mais inteligente. Lembre-se: os métodos de

resolução podem ser alternados.

7) a) Como se denomina a estrutura como um todo e cada uma das partes associadas?

b) Determine as reações de apoio.

c) Determine os esforços internos nas barras a, b, c, d, e, f.

9m

24 m

5 x 600 kgf

400kgf

800kgf

800kgf

400kgf

(11)

8 tf 6 tf 2 tf 2 tf 1 tf 2 tf 1 tf 2 tf 2 tf 6 tf 8 tf

1 tf/m 1 tf/m

1 tf 1 tf

d

e f

a

b

c

16 x 3 m

3m

1 tf/m

39


LISTA DE EXERCÍCIOS 5B 1) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos

esforços internos. a) b)

c) O que se pode observar quanto aos ESI devido às simetrias da estrutura e do carregamento?

d)

4,0 m

1,5

m2,

0m

15 kN

5 kN/m

5 m

2m

2m

23 kN

3 kN/m

4 m 4 m

4m

20 kN/m 2

m2

m

10 kN

3 m 7 m

2 kN/m

40

e)

f)

g)

8 m

3

2

3m

1

8 m

5m

0,8

kN/m

2 kN/m

20 kN/m

8 m 8 m

50 kN

5

4

3

2

1

5m

3m

10kN

/m

4

3 2

1

5 m

20kN

/m

6m

4

41

120 kN

2) Determine os ESI conforme solicitados:

a) Em todas as barras. b) Nas barras , , , e .

5

5 m 5 m 5 m

7 6

5m

10 kN

4

3

2

1

3 4

6

1

5 2

7

9 8

10 11

2 4 7 12 11

120 kN

5 3 1

6

150 kN

4

10m

8 m 8 m 8 m 8 m

2

7 8

1

11 6 9 8 7 5

4 2 3

13 12

10

42

c) Nas barras , , e .

d) Normais nas barras e .

10 kN

10 kN

10 kN

10 kN

30º

6

5

4 3 2

1

4 m 4 m 4 m

1

9 4

8

7 6 5

3 2

1 5 7 9

2 m 2 m 2 m 2 m

400 kgf

800 kgf

800 kgf

400 kgf

2 m 2 m

600 kgf 600 kgf 600 kgf 600 kgf 600 kgf

11 3 12

10

9

8

7

6

5

4

2

1

3m

3

12 11

15

16

17 19 20

21 18 14 10

13

6 2

1 5 7

8

9 4

11 19

43

3) Trace os diagramas dos esforços internos na estrutura abaixo e diga como se denomina.

4) Para a viga abaixo determine:

a) Linha de influência de cortante em B; b) Linha de influência de momento em B; c) Linha de influência de reação em A; d) Para o seguinte trem-tipo:

forneça: d.1) A máxima reação para cima em A; d.2) Os máximos momentos positivo e negativo em B; d.3) O cortante máximo em B.

Y

1 m

3 m 2 m

2 m

2 tf/m

8 tf

4 tf

2 tf

X

Z

0,5 tf/m

5 tf

3 m 8 m 2 m

4 m

A B

44


LISTA DE EXERCÍCIOS 5C 1) Resolver as treliças abaixo utilizando o Método dos Nós. Nas barras indicadas,

utilizar o Método de Ritter. a) Ritter: CE, DE e DF

b) Ritter: CE, CD e BD

c) Ritter: DG, FG e HI

6 kN

6 kN

3 m3 m 3 m

3 m

A C E

F

G

D B

E

A B

C D

F

5 m

5 m

5 m

10 kN

10 kN

I

B

G H

F

20 kN

2 m 2 m 2 m 2 m

30 kN

15 kN15 kN 2 m

2 m

2 m

2 mA C

D E

45

d) Ritter: GH, GE, CE e AC

e) Ritter: GH, GC e BC

f) Ritter: BD, CD e CE

g) Ritter: AB, BE e EF

E

H

B

20 kN 20 kN

2 m

2 m

6 m 6 m

A C

D

F G

EDCB

G H I J

4 kN 4 kN8 kN8 kN

2 m

3 m3 m 3 m 3 m

A

F

A

C

5 kN

5 m

12 kN

4 m3 m3 m

B

ED

9 kN

F

10 kN

10 kN

E

4 m

10 kN

4 m 10 kN

4 m

D

10 kN

30ºC BA

10 kN

46

h) Ritter: GH, BE e BC

i) Ritter: BD, DE e CE

j) Ritter: BD, DE e CE

4 m 4 m

3 m

3 kN 2 kN 4 kN

ED

C

B A

G HI

C

E

B

D

10 kN10 kN

3 m

3 m

4 m 4 m 4 m4 m

20 kN

A

F

15 kN

2 m2 m 2 m

4 m

B D F G

E C

A

47


LISTA DE EXERCÍCIOS 5D 1) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos esforços internos: a)

b)

A B

C D E

F

3 0 kN /m

2 5 kN 2 m

3 m

2 m 2 m4 m

A

BC D

1 0 kN /m

3 0 kN

5 m

3 m 4 m

48

c)

d)

A B

CD E

2 0 kN /m

4 m 4 m

4 m

8 m 8 m

3 m

5 m

2 kN /m

A B

ED

C

0,8

kN

/m

49

e)

f)

7 m

1 ,5 m

2 ,5 m

2 8 kN

A B

2 0 kN /m

A

B C

D2 0 kN

1 0 kN /m

3 m

2 m

4 m

50

g)

h)

2 0 kN

A

B

2 m

2 m

2 0 kN /m

3 m 5 m

8 m

5 0 kN

A B

2 ,5 m

2 ,5 m

2 ,5 m

51

i)

j)

4 m 4 m

2 m

2 m

5 0 kN /m2 0 kN /m

4 0 kN m

A

B

8 m 8 m

3 m

5 m

5 0 kN

10

kN

/m

A B

2 0 kN /m

52

k)

l)

5 m 5 m

5 m

2 m

A B 2 1 ,7 kN2

0 k

N/m

A B

C

5 m

6 m

20

kN

/m

53

2) Nas estruturas a seguir, compare os diagramas dos ESI que se obtêm: I- (a) para a estrutura abaixo;

(b) para a estrutura do item anterior quando introduz-se uma articulação em C e um tirante ou escora ligando A e B. (c) quando para a estrutura em (a) introduz-se uma articulação em C e se substitui o vínculo em B por um apoio de 2º gênero.

II- (a) para a estrutura abaixo;

(b) para a estrutura do item anterior quando introduz-se uma articulação em F e uma escora ou tirante ligando C e D.

2 0 kN /m

3 m 3 m

A B

C4 m

4 m

5 0 kN

3 m

3 m

A B

C D

E F

54

3) Calcular as reações e representar os diagramas dos esforços internos:

4) Decompor os quadros abaixo nos quadros isostáticos simples que os constituem: a)

b)

55

c)

d)

e)

56

f)

5) Em cada uma das estruturas a seguir, calcular as reações de apoio e representar os diagramas dos esforços simples: a)

1 0 kN /m

2 m

2 m

3 m 4 m

2 0 kNA

B

57

b)

c)

A

B

3 m

3 m 2 m

2 0 kN /m

2 m

4 0 kN m

40 kNm

2 0 kN /m

10

kN

/m

5 m 3 m

4 m

3 mA B

58



1) Classifique as estruturas abaixo quanto à estabilidade e à estaticidade

interna e externa:

a) b) c)

d) e)

f) g)

2) Resolva a estrutura.

4 x 2 m

4 x 2 m

10 tf 15 tf

5 tf

59

3) a) Como se denomina a estrutura?

b) Trace os diagramas dos esforços internos da estrutura abaixo.

c) Localize a seção de momento máximo na barra 1.

d) Qual o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes

no nó 5.

4) Trace as linhas de estado e diga como se denomina a estrutura.

5) a) Como se denomina a estrutura?

b) Determine os esforços internos em seus elementos.

c) Sendo a estrutura e o carregamento simétricos, o que se pode afirmar

sobre os esforços?

d) Se dobrarmos os valores das cargas o que ocorre com as reações de

apoio e com os esforços em seus elementos? Justifique.

3m 2m 2m 2m

2m

2m 2 tf/m

1 tf/m

2 tf

Z

Y

X

1 tfm

(1)

1

2 (2) 3

(3) 4 (4)

5 (5)

6

2 tf/m

1 tfm

8 tf

4 tf 2 tf

18 tfm

8 tf

2 tf

3m

1m

2m

2m

Y

X

Z

60

6) a) Como se denomina esta estrutura?

b) Antes de resolver a estrutura, diga que barras não estão submetidas à

torção e justifique sua resposta.

c) Trace os diagramas dos esforços internos.

d) Dê o coeficiente angular da tangente ao DEC na seção C.

e) Que características importantes apresentam: o DMF na seção A e o DMT

na seção C.

2m 5,5m 5,5m 2m

4,62m

4,325m

0,20 tf/m

6 tf

4 tf 4 tf 45º

60º

30º

3m 3m 2m 1m

3m

1m

8 tf 2 tf/m

4 tf/m

4 tfm

A B

C

1 (1) 2 (2)

3

(3)

4

61

7) Identifique as estruturas associadas abaixo, denomine-as, classifique-as

como CEP ou SEP e numere-as conforme a ordem de resolução.

a) b)

c) d)

e) f)

1 tf/m

4 tfm

1 tf/m 1 tf

2 tf

2 tf/m

10 kN/m

2kN

5kNm 10kN

10kN/m

62


LISTA DE EXERCÍCIOS 6B

1) Traçar as linhas de influência pedidas. a) LIVA, LIMA, LIQS1, LIMS1, LIMS2

b) LIVA, LIQS1, LIMS1, LIMS2, LIQS2, LIQS3, LIMS3 c) LIVB, LIMS1, LIQS1, LIMS2, LIQS2

d) LIVA, LIVB, LIMS, LIQS

e) LIVC, LIMS1, LIQB, LIMS2

f) LIMA, LIQB, LIMS, LIVC, LIQS

2 m 3 m 2 m

A

3 m 3 m 2 m

BA

2 m

2 m1 m3 m3 m 1 m

A B

3 m3 m 2 m

A B

B C D

2 m2 m2 m3 m 2 m

A

3 m 2 m 3 m 3 m

CB A

63

2) Seja o trem-tipo indicado abaixo. Calcular os valores máximos dos esforços nas

estruturas representadas nos itens (d) e (f) a partir das LI obtidas. OBS.: O trem-tipo pode trafegar nos dois sentidos. P1 = 2 kN; P2 = 1 kN q = 0,5 kN/m; a = 1 m

3) Calcular os valores máximos de MFA e de QAdir para a viga e o trem-tipo abaixo:

4) Calcular MFmax

+ e MFmax- causados pela passagem do trem-tipo ao lado em uma

viga bi-apoiada de 8 m de vão. 5) Pedem-se as envoltórias finais de MF e de Q de uma viga bi-apoiada de 18 m de

vão, sujeita a uma carga permanente de 40 kN/m e à passagem do trem-tipo abaixo. Considerar seções espaçadas de 3 m entre si.

P1 = 160 kN P2 = 120 kN q = 30 kN/m 6) Uma das vigas longitudinais que suportam um pontilhão é bi-apoiada com 8 m de

vão, sujeita a uma carga permanente de 20 kN/m, e qualquer seção é capaz de resistir a um momento fletor de 1000 kNm. Verificar se é segura a passagem neste pontilhão de um veículo que corresponde, para esta viga, a um trem-tipo de duas cargas concentradas de 400 kN, distantes 4 m entre si.

a

q

C DB A

4 m 16 m 4 m 1,5 m 3,0 m 1,5 m

20 40 80

20

1,5 m 3,0 m

30 30 20

1,5 m 3,0 m 1,5 m

qq

64



1) Trace as linhas de influência para os seguintes efeitos, escrevendo suas funções:

a) Cortante à esquerda de 2 (LIQ2e).

b) Cortante à direita de 2 (LIQ2 d).

c) Momento em 2 (LIM2).

d) Momento em 3 (LIM3).

2) Trace as linhas de influência dos seguintes efeitos:

a) Reação vertical em 1.

b) Reação vertical em 5.

c) Cortante em 2.

d) Cortante em 3.

e) Momento fletor em 1 (não é momento reativo).

f) Momento fletor em 2.

g) Momento fletor em 4.

h) Momento fletor em 5.

65

3) Uma força pode se deslocar entre os pontos 1 e 3, sempre transversalmente aos eixos dos elementos. Determine as funções que expressam o momento fletor reativo em 1 e trace a variação deste momento para uma força unitária, perpendicular aos eixos dos elementos e deslocando-se entre os nós 1 e 3. Como se denomina o diagrama obtido?

4) Determine, para as LI dos exercícios 1 e 2, os máximos efeitos positivos e

negativos, para os seguintes trens-tipo:

66

5) Determine as envoltórias de esforços cortantes e momentos fletores da

estrutura abaixo:

sabendo-se:

a) Peso Próprio: g = 3tf/m;

b) Trem-tipo:

6 x 3 m

1 2 3 4 5 6 7

67



1) Para as estruturas abaixo:

a) Dê o nome.

b) Determine as reações de apoio.

c) Trace os diagramas.

d) Determine as funções que expressam os esforços solicitantes internos nas barras indicadas com (*).

I)

II )

III)

68

IV )

V )

2) Num projeto de um arco de ginásio você pensa nas duas possíveis

soluções estruturais indicadas abaixo. Após resolvê-las, traçando seus

diagramas e verificando os valores máximos dos esforços solicitantes

internos que ocorrem nas duas soluções, você escolherá uma delas e

justificará sua escolha.

69

GABARITOS

DOS


70

RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 1A

1) a) Estrutura hiperestática; estrutura estável.

b) Estrutura hiperestática; estrutura estável.

c) Estrutura hipostática; estrutura instável.

d) Estrutura hipostática; estrutura instável.

e) Estrutura hipostática; estrutura instável.

f) Estrutura isostática; estrutura estável.

g) Estrutura hipostática; estrutura instável.

h) Estrutura hiperestática; estrutura estável.

i) Estrutura isostática; estrutura estável.

j) Estrutura hiperestática; estrutura estável.

2) a) HA = 0; VA = 4 kN; VB = 4kN.

b) HB = 18 kN; VA = 27 kN; VB = -27 kN.

c) HA = -50 kN; VA = -15,625 kN; VB = 15,625kN.

3) a) a.1) HA = 0; VA = 20 kN; VB = -20 kN.

a.2) idem a.1.

a.3) idem a.1.

a.4) idem a.1.

Conclusão: As reações de apoio devidas a um momento aplicado na viga

independem da posição do momento concentrado aplicado. Elas têm que

formar um binário capaz de equilibrar o momento aplicado M e, sendo a

distância entre os apoios L, as forças deste binário equilibrante têm

intensidades iguais a M/L.

b) b.1) HB = 0; VB = 0; VA = 20 kN;

b.2) HB = 0; VA = 15 kN; VB = 5 kN;

b.3) HB = 0; VA = 10 kN; VB = 10 kN;

b.4) HB = 0; VA = 5 kN; VB = 15 kN;

b.5) HB = 0; VA = 0; VB = 20 kN.

71

Conclusão: As reações nos apoios devidas a uma força concentrada

transversal dependem da posição da força na viga. A reação é tão maior

quanto mais próxima do apoio se encontra a força, e tão menor quanto

mais distante. A intensidade da reação de apoio varia de P (quando P

está aplicada sobre o apoio) à zero (quando P está aplicada sobre o

outro apoio da viga).

Resolvendo literalmente uma viga biapoiada com uma carga

concentrada P, temos as seguintes reações de apoio:

HB = 0; VA = Pb/L; VB = Pa/L.

c) DEN - nulos;

a.1) x=0: Q=0; M= -100kNm;

x=1,5: Q=20kN; M= -100kNm;

x=6,5: Q=20kN; M=0.

a.2) x=0: Q=0; M=0;

x=1,5: Q=20kN; M= -100kNm;

x= 6,5: Q=20kN; M=0.

a.3) x=0: Q=0; M=0;

x=1,5: Q=20kN; M=0;

x=3,0: Q=20kN; Me=30kNm; Md= -70kNm;

x= 6,5: Q=20kN; M=0.

a.4) x=0: Q=0; M=0;

x=1,5: Q=20kN; M=0;

x= 4,0: Q=20kN; Me= 50kNm; Md= -50kNm;

x= 6,5: Q=20kN; M=0.

b.1) DEQ - nulo; DMF - nulo;

b.2) x=0: Q=15kN; M=0;

x=1,0: Qe=15kN; Qd= -5kN; M= 15kNm;

x= 4,0: Q= -5kN; M=0.

b.3) x= 0: Q=10kN; M=0;

x=2,0: Qe= 10kN; Qd= -10kN; M=20kNm;

x=4,0: Q= -10kN; M=0.

72

b.4) x=0: Q=5kN; M=0;

x=3: Qe=5kN; Qd= -15kN; M=15kNm;

x=4,0: Q= -15kN; M=0.

b.5) DEQ - nulo; DMF - nulo.

Observar: - As descontinuidades no DEQ são sempre iguais ao valor de P, no nosso

caso 20kN.

- Os momentos fletores máximos ocorrem na seção onde P é aplicada. Nas

seções onde os momentos máximos ocorrem o cortante se anula.

- Para os momentos fletores a posição mais desfavorável, ou seja aquela

que provoca o máximo momento fletor possível, é no meio do vão. No

nosso caso 20kNm.

- Onde a força transversal concentrada é aplicada o DMF faz um bico, ou seja há uma

mudança brusca na tangência, a qual corresponde à descontinuidade de cortantes.

4 e 5) a) Reações de apoio: HC=0; VC=9kN; MC=29kNm;

Seção A : N=0; Q=9kN; Me= -11kNm; Md= -18kNm;

Seção B: N=0; Qe=9kN; Qd=0; M=0;

Seção C: N=0; Q=9kN; M= -29kNm;

Seção D: N=0; Q=0;M=0.

b) Reações de apoio: HF=0; VE=10kN; VF= -10kN;

Seção A: N=0; Q=10kN; M=10kNm;

Seção B: N=0; Qe=10kN; Qd= -30kN; M=30kNm;

Seção C: N=0; Q= -30kN; M=0.

Funções dos esforços internos:

Trecho I: Trecho II: Trecho III:

N(x)= 0; N(x)= 0; N(x)= 0;

Q(x)= 10; Q(x)= -30; Q(x)= 10;

M(x)= 10x; M(x)= -30x+120; M(x)= 10x-10L.

73

c) Reações de apoio: HB=0; VD= -2 tf; VE= 8 tf.

Seção A: N=0; Q= -6 tf; M=0;

Seção B: N=0; QE= -6 tf; QD= 2 tf; M= -9 tfm.

Seção C: N=0; Q= 2 tf; M= -6 tfm.

d) Reações de apoio: HE=0; VE=O; VA=O;

Seção A: N=0; Q=0; M=20kNm;

Seção B: N=0; Q=0; M=20kNm;

Seção C e D: idem seção B.

74

RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 1B

1) a) Isostática, estável e) Hipostática, instável

b) Hipostática, instável f) Isostática, estável

c) Hiperestática, estável g) Hipostática, instável

d) Isostática, estável h) Isostática, estável

2) a) Reações de apoio: HA=3,46 tf; VA=5,2 tf; VB=2,8 tf

b) Reações de apoio: HB=0; VA=4,75 tf; VB=3,25 tf

c) Reações de apoio: HA=1 tf; VA=0,17 tf; VB=2,83 tf

d) Reações de apoio: HA=0; VA=5KN; VB=5KN

3) a) Reações de apoio: HB=5 tf; VA=9,75 tf; VB=6,91 tf

Esforços em S1 : N=0; Q=9,75 tf; M=14,625 tfm

Esforços em S2 : N=0; Q=1,75 tf; M=32,75 tfm

Esforços em S4 : N=5 tf; Q= -6,91 tf; M=13,82 tfm

b) Reações de apoio: HB=0; VA=0,5 tf; VB= -0,5 tf

Esforços em S1 : N=0; Q=0,5 tf; ME= -4 tfm; MD= -2 tfm

Esforços em S2 : N=0; Q=0,5 tf; M= -1,0 tfm

c) Reações de apoio: HB=-2 tf; VA=1,33 tf; VB=2,67 tf

Esforços em S1 : N= -2 tf; QE=1,33 tf; QD= -2,67 tf; M=0

Esforços em S2 : N= -2,67 tf; Q=2 tf; M= -4 tfm

d) Reações de apoio: HA=5 tf; VA=15,75 tf; VB= -3,75 tf

Esforços em S1E

: N=0; Q= -4 tf; M= -8 tfm

Esforços em S1I: N= -15,75 tf; Q= -5 tf; M= -15 tfm

Esforços em S1S : N= -11,75 tf; Q= -5 tf; M= -23 tfm

Esforços em S4: N= -5 tf; Q=3,75 tf; M= -22,5 tfm

Esforços em S5 : N=3,75 tf; QS=5 tf; QI=0; M=0

75

LISTA DE EXERCÍCIOS 1C/GABARITOS 1)

Para F: MX = 24; MY = 0; MZ = -24 Para F’: MX = -24; MY = 16; MZ = 24 2) ΣMo = -55,34 kNm 3) a) Isostática estável; b) Isostática estável; c) Isostática estável; d) Isostática estável; e) Isostática estável f) Hiperestática estável; g) Isostática estável; 4) a) HA = 3,54 kN ← ; VB = 3,44 kN ↑ ; VA = -4,9 kN ↓ b) HA = 0; VB = 2,5 kN ↓; VA = 2,5 kN ↑ c) HA = 0; HB = 5 kN → ; VA = 3,33 kN ↑ ; VB = 1,67 kN ↑ d) HA = 0; VA = 7,5 kN ↑ ; VB = 7,5 kN ↑ 5) Y X (eixos globais) Z a) RX = 2 kN →; RY = 5 kN ↑; RZ = 0; MX = 20 kNm ; MY = 8 kNm ; MZ = 50 kNm b) N = +2 kN; Qy = -5 kN; Qz = 0; T = +20 kNm; Mz = -15 kNm; My = 8 kNm

Z

(0 ,6 ,0 )(4 ,0 ,4 ) Y

(4 ,6 ,0 )

F

F '

X

76

6) a) QS1 = - 2 kN; NS1 = 0; MS1 = 0 QS2 = - 2 kN; NS2 = 0; MS2 = - 4 kNm

b) QS = - 1,875 kN; NS = 0; MS = 3,75 kNm c) QS1 = - 2 kN; NS1 = - 3 kN; MS1 = - 2 kNm

QS2 = - 2 kN; NS2 = - 3 kN; MS2 = 0

d) QS = 0; NS = 0; MS = - 20 kNm e) QS = - 8,667 kN; NS = 0; MS = 21,334 kNm f) QS = 1,85 kN; NS = 0; MS = 20,9 kNm g) QS1 = 12 kN; NS1 = 0; MS1 = - 56 kNm

QS2 = 9 kN; NS2 = 0; MS2 = - 10 kNm

h) QS = 23,571 kN; NS = 0; MS = - 55,429 kNm i) QS = 0,4 kN; NS = 0; MS = 2,2 kNm j) QS1 = - 23 kN; NS1 = - 16,7 kN; MS1 = - 46 kNm

QS2 = 7,7 kN; NS2 = - 23 kN; MS2 = - 55,4 kNm

k) QS1 = - 15 kN; NS1 = - 20 kN; MS1 = - 40 kNm QS2 = 15 kN; NS2 = 0; MS2 = - 15 kNm

l) QS1 = - 2 kN; NS1 = 0; MS1 = - 1 kNm QS2 = 1,143 kN; NS2 = - 10 kN; MS2 = 1,714 kNm

m) QS1 = 0; NS1 = - 5,625 kN; MS1 = 0 n) QS1 = - 30 kN; NS1 = 0; MS1 = - 48 kNm

QS2 = 0; NS2 = - 54 kN; MS2 = - 216 kNm

o) QS1 = - QS2 = - 3 kN; NS1 = NS2 = - 7,5 kN; MS1 = MS2 = - 3 kNm p) QS = 0; NS = - 4,556 kN; MS = 0 q) QS = - 4,5 kN; NS = 0; MS = - 13,5 kNm r) QS = 0; NS = - 6 kN; MS = 0 s) QS = - 0,999 kN; NS = 0,333 kN; MS = 3,159 kNm

77


1) a) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável;

b) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável;

c) Estrutura externamente hiperestática; estrutura instável;

d) Estrutura externamente isostática; estrutura estável;

e) Estrutura externamente hiperestática; estrutura estável;

f) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável.

2) a)HA=0; VA=1,56 tf; VB=55,94 tf


Trecho I: 0<x<3

M(x)=1,56x - x=0, M=0

x=3, M=4,68

Q(x)=1,56; N(x)=0.

Trecho II: 3<x<6

M(x)= -2,5x2+6,56x+7,5 - x=3, M=4,68

x=6, M= -43,13

Q(x)= -5x+6,56 - x=3, Q= -8,44

x=6, Q= -23,44

N(x)=0.

Trecho III: 6<x<7,5

M(x)= -2,5x2+62,5x-328,13 - x=6, M= -43,13

x=7.5, M=0

Q(x)= -5x+62,5 - x=6, Q=32,5

x=7.5, Q=25

N(x)=0

3) Reações de apoio: HA=250N; VA=1433N; MA=4665Nm

Esforços internos em S: N= -250N; Q=833N; M= -1266Nm


M(x)= -100x2+1433x-4665 - x=0, M= -4665Nm

x=5, M=0

Q(x)= -200x+1433 - x=0, Q=1433N

78

x=5, Q=433N

N(x)= -250N

4) Seção S1: N=80kN; Q= -10kN; M= -60kNm;

Seção S2: N=-; Q= -10kN; M=30kNm.

5) ESI na seção S: N=0; Q= -40kN; M=80kNm

Reações de apoio: HA= 21,21kN; VA=110kN; VD=61,21kN


Trecho I: 0<x<3 Trecho II: 3<x<6

M(x)=110x; x=0, M=0 M(x)= -40x+450; x=3, M=330 kNm

x=3, M=330 kNm x=6, M=210

Q(x)=110 kN; N(x)= -21,21 kN Q(x)= -40 kN; N(x)= -21,21 kN

Trecho III: 6<x<9

M(x)= -40x+360; x=6, M=120 kNm

x=9, M=0

Q(x)= -40 kN; N(x)= -21,21 kN

6) a) Esforços internos:

Seção S1: N= -1tf; Q=1 tf; M= -1 tfm

Seção S2: N=0; Q=3 tf; M= -4,5 tfm

Seção S3e: N=0; Q= -3 tf; M= -6 tfm

Seção S3d: N=0; Q=4 tf; M= -8 tfm

Seção S3inferior: N= -7 tf; Q=0; M= -2 tfm

b) b.1) Reações de apoio: HB=0; VA=50kN; VB=50kN

Esforços internos:

Seção S1: N=0; Q=50kN; M=75kNm;

Seção S2: N=0; Q=0; M=150kNm;

Seção S3: N=0; Q= -50kN; M=75kNm

Observa-se que para estrutura e carregamento simétricos:

DQ é anti-simétrico e DMF é simétrico

b.2) Reações de apoio: HB=0; VA=20kN; VB=20kN ( )

Esforços internos:

Seção S1: N=0; Q=20kN; M=30kNm;

79

Seção S2: N=0; Q= -30kN; M=0;

Seção S3: N=0; Q=20kN; M= -30kNm

Observa-se que para estrutura simétrica e carregamento anti-simétrico:

DQ é simétrico e DMF é anti-simétrico

7) Reações de apoio: HB=0; VA=3,9 tf; VB=6,6 tf

Esforços internos: Para 0≤x<3

M(x)= -x3/6+3,90x; x=0, M=0

x=3, M=7,2 tfm

Q(x)= -x2/2+3,90; x=0, Q=3,9 tf

x=3, Q=-0,6 tf

Mmáx: -x2/2+3,90=0; Mmáx=7,26 tfm

Para 3≤x0≤5

M(x)= -1,5x2+8,4x-4,5; x=3, M=7,2 tfm

x=5, M=0

Q(x)= -3x+8,4; x=3, Q= -0,6 tf

x=5, Q= -6,6 tf

Coeficientes angulares são os valores de -q(x).:

Em x=0: dQ(x)/dx=0

Em x=3: dQ(x)/dx= -3

9) Reações de apoio: HB= 4 tf; VA= 17 tf; VB= 21 tf

Esforços internos: Seção S: N=4 tf; Q= 7 tf; M= 34 tfm

10) Viga biapoiada, isostática/estável

Reações de apoio: HB=40kN; VA=51kN; VB=51kN

Esforços internos:

Para 0≤x≤1: N(x)=0; M(x)=51x; Q(x)=51

x=0:; Q=51kN; M=0

x=1: Q=51kN; M=51kNm

Para 1≤x≤4: N(x)= -40; Q(x)= -8x2+16x+13; M(x)=-8/3x3+8x2+13x+98/3

x=1: N= -40kN; Q=21kN; M=51kNm

x=4: N= -40kN; Q= -51kN; Me=42kNm

80

Mmáx: -8x2+16x+13=0; Mmáx=73,683kNm

Para 4<x<6: N(x)= -40; Q(x)= -51; M(x)= -51x+306

x=4: N= -40kN; Q= -51kN; Md=102kNm

x=6: N= -40kN; Q= -51kN; M=0

81


2) Viga Gerber

Vigas sem estabilidade própria ( SEP ): 1ª → x=0 até x=6m;

2ª → x=6m até x=14m

Viga com estabilidade própria ( CEP ): x= 14m até x=24m

Valores dos esforços internos:

x=0: M=0; Q=30kN; N=0;

x=8: M= -80kNm; Qe= -50kN; Qd=28,33kN; N=0;

x=12: M=33,34kNm; Qd=-16,67kN; N= -60kN;

x=16: M= -33,34kNm; Qd=44,17kN; N= -60kN;

x=24: M=0; Q= -35,83kN; N= -60kN.

3) Trata-se de uma viga Gerber e devido à simetria basta analisar uma das vigas

biapoiadas dotadas de balanço (CEP). Como procuramos a viga mais econômica, os

momentos negativos em A e em B devem ser iguais, ou seja XA=XB.

Portanto: VA=qb+qL/2; VB=ql/2+qa=q(L-2a)/2=qL

A viga mais econômica exige também que o máximo momento positivo no vão L seja

igual, em módulo, aos momentos negativos em A e B, ou seja: /MMAX/=/XA/=/XB/.

MMAX=qL2/8-qb2/2 e ocorre no meio do vão L. Igualando /XB/ à MMAX temos:

a=0,1464L; b=0,3536L.

5) a) VA=16,61kN; VB=33,29kN; HA=28,9kN.

Valores dos esforços internos ( eixo local da barra ):

x=0: M=0; Q=28,9kN; N=16,70kN;

x=5,77: M=0; Q= -28,9kN; N=16,7kN

b) Reações de apoio: VA=4,25 tf; VB=3,85 tf; HA=4,2 tf


Para 0 ≤ x ≤ 1,25:

N(x): -4,2+0,72x; Q(x):4,25-1,46x; M(x)=4,25x-1,46x2/2

Para 1,25 ≤ x ≤ 5:

N(x)= -4,2+0,72x+0,6; Q(x)=4,25-1,46x-0,8; M(x)= -0,73x2+3,45x+1

Valores dos esforços internos ( eixo local da barra):

x=0: N= -4,2 tf; Q=4,25 tf; M=0;

x=1,25: Ne= -3,3 tf; Nd= -2,7 tf; Qe=2,43 tf; Qd=1,63 tf; M= 4,17 tfm;

x=5: N=0; Q= -3,85 tf; M=0.

6) Estruturas simétricas submetidas a carregamentos:

• Simétricos → DEC - anti-simétrico; DMF - simétrico

82

• Anti-simétricos → DEC - simétricos; DMF - anti-simétricos

83

LISTA DE EXERCÍCIOS 3B/GABARITOS 2)a) VA = 11,2 kN ↑; VB = 11,8 kN ↑ b) VA = 32 kN ↑; VB = 8 kN ↑ c) VA = 38 kN ↑; VB = 25 kN ↑ d) VA = 46,5 kN ↑; VB = -4,5 kN ↓ e) VA = 16,5 kN ↑; VB = 10,5 kN ↓ f) VA = VB = 40,5 kN ↑ g) VA = 25,25 kN ↑; VB = 52,25 kN ↑ h) H = 3 kN ←; V = 20 kN ↑; M = 30 kNm i) M = 213,33 kNm j) H = 34,6 kN →; V = 45 kN ↑; M = 292,5 kN k) VA= 105 kN ↑; VB = 45 kN ↑ l) VA = VB = 10 kN ↓ m) VA = 24 kN ↑; VB = 16 kN ↓; HA = 15 kN → n) VA= VB = 0 o) VA = 7,5 kN ↑; VB = 112,5 kN ↑; VE = 49 kN ↑; VF = 11 kN ↓ p) VC = 4,7 kN ↑; VA = 12,4 kN ↑; HA = 7,1 kN →; MA = 40 kNm 3)Vigas Gerber a) HA = 0; VA = 12 kN ↓; VB = 22 kN ↑; MA = 56 kNm b) HA= 0; VA = 12,22 kN ↓; VB = 30,55 kN ↑; VC = 33,33 kN ↓; VD = 25 kN ↑ 4)

5) d = 0,828L

1 kN /m0 ,5 kN /m

3 kN

4 kN 5 kN

D M F (kN m )

28

16

1

2 m 4 m 4 m

84

6) a) Viga inclinada bi-apoiada

HA = 80 kN ←; VA = 67,5 kN ↑; VB = 92,5 kN ↑ b) Viga inclinada engastada e livre

HA = 0; VA = 400 kN ↑; MA =2000 kN

85


1) Viga biapoiada com balanço

Reações de apoio: VA= 10,9 kN; VB= 31,1 kN; HA= -5 kN.

Funções: 0 ≤ x ≤ 4

M(x)= 10,9x; Q(x)= 10,9; N(x)= 5.

x=0: M=0; Q=10,9kN; N(x)=5kN.

x=4: M=43,5kNm; Q=10,9kN; N=5kN.

4 ≤ x ≤ 20:

M(x)= -x2+18,9x-16; Q(x)= -2x+18,9; N(x)=5.

x=4: M=43,5kNm; Q=10,9kN; N=5kN.

x=20: M= -38kNm; Qe= -21,1kN; N=5kN.

20 ≤ x ≤ 30:

M(x)= -5-(30-x)3/30; Q(x)=(30-x)2/10; N(x)=5.

x=20: M= -38,3kNm; Qd=10kN; N=5kN.

x=30: M= -5kNm; Q=0; N=5kN.

2) Trabalhando com uma viga biapoiada com balanço e fazendo /X/=/M/, temos:

b=L-2a, a=0,207L; b=0,586L

3) a) Viga Gerber

Reações de apoio: HB= -5kN; VA=5kN; VB=5kN; VC=21,67kN; VD=3,33kN.


x=5: M=25kNm; Qe=5kN; N=0.

x=10: M=0; Q= -5kN; N=5kN.

x=20: M= -50kNm; Qe= -10kN; N=5kN.

x=23: M= -15kNm; Qe=1,67kN; N=5kN.

x=28: M=0; Q=5kN; N=0.

b) Viga Gerber

Reações de apoio: HC=0; VA=2,5 tf; VB=4,33 tf; VC=28,17 tf; MC=197,6 tfm.


x=7,5: M=187,5 tfm; Qe=2,5 tf.

x=20: M= -12,50 tfm; Qe= -2,5 tf;

x=25: ME= -3,35 tfm; Md= -18,35 tfm; Q=1,83 tf;

x=50: M= -197,6 tfm; Q= -28,17 tf.

DEN - nulo.

4) Reações de apoio: VA= 277,8kN; VB= 272,2kN.


0 ≤ x ≤ 5 ( eixo local da barra AD )

86

M(x)= -8x2+222,2x; Q(x)= -16x+222,2; N(x)=12x-166,6

x=0: M=0; Q=222,2kN; N= -166,6kN;

x=5: M=911,2kNm; Qe=142,2kN; Ne= -106,7kN.

5 ≤ x ≤ 10:

M(x)= -8x2+182,2x+200; Q(x)= -16x+182,2; N(x)=12x-136,6.

x=5: M=911,2kNm; Qd=102,2kN; Nd= -76,6kN.

x=10: M=1222,4kNm; Q=22,2kN; N= -16,6kN.

5) Quadro ou pórtico biapoiado

Reações de apoio: HA=2,4kN; VA=6,4kN; VB=5,6kN.

Esforços internos nas seções chaves:

Seção A: N= -6,7 tf; Q=1,55 tf; M=0;

Seção C: Ne= -3,4 tf; Nd= -2,4 tf; Qe= -0,67 tf; Qd=2,4 tf; M=1,6 tfm;

Seção D: Ne= -2,4 tf; Nd= -5,6 tf; Qe= -5,6 tf; Qd=2,4 tf; M=4,8 tfm;

Seção B: N= -5,6 tf; Q=0; M=0.

6) Quadro ou pórtico engastado

Reações de apoio: HA=15kN; VA=100kN; MA=80kN.


Seção A: M= -80kNm; Q= -15kN; N= -100kN;

Seção B: M= -165kNm; para barra AB: Q= -15kN; N=-100kN

para barra BC: Q= 100kN; N= -15kN;

Seção C: M= -30kNm; para barra BC: Q=0; N= -15kN

para barra CD: Q= 15kN; N=0.

7) Quadro ou pórtico biapoiado dotado de rótula e tirante

Reações de apoio: H2=8 tf; V1=30,75 tf; V2=33,25 tf; N=24,67 tf.


Barra 1: Seção 1: M=0; Q=0; N= -30,75kN;

Seção 3: M= -20kNm; Q= -8kN; N= -30,75kN;

Barra 2: Seção 2: M=0; Q=8 tf; N= -33,25 tf;

Seção 4: M= -40 tfm; Q=8 tf; N= -33,25 tf;

No eixo local da barra 4:

M(x)=17,32x-3,51x2/2-20; Q(x)= -3,51x+17,32;

Fazendo Q(x)=0 → x=4,94m → Mmax=22,77 tfm;

Seção 3: Q=17,32 tf; N= -41,38 tf;

Seção 5: Q= -12,64 tf; N= -30,14 tf.

No eixo local da barra 5:

M(x)=10,30x-3,51x2/2; Q(x)= -3,51x+10,30

Fazendo Q(x)=0 → x=2,94m → Mmax=15,13 tfm

87

Seção 5: Q=10,30 tf; N= -31,02 tf

Seção 4: Q=-19,66 tf; N=-42,26 tf

8) Quadro triarticulado

Reações de apoio: V1=22,67kN; V2=49,33kN; H1= -20kN; H2=0


Barra 1: Seção 1: M=0; Q=20kN; N= -22,67kN;

Seção 3: M=80kNm; Q=20kN; N= -22,67kN;

Barra 2: M(x)= -6x2+22,67x+80; Q(x)= -12x+22,67;

Fazendo Q(x)=0 → x=1,89m → Mmax=101,4kNm

Seção 3: M=80kNm; Q=22,67kN; N=0

Seção 4: M=0; Q= -49,33kN; N=0;

Barra 3: Seção 4: M=0; Q=o; N= -49,33kN;

Seção 2: M=0; Q=0; N= -49,33kN.

88

LISTA DE EXERCÍCIOS 4B/GABARITOS 1) a) Viga Gerber

b) 1º) Como simples associação de vigas isostáticas simples, com ou sem estabilidades próprias → resolvem-se inicialmente as V.I.S. sem estabilidade própria.

2º) Resolvendo a viga associada através da resolução de um sistema de equações formado pelas equações do equilíbrio estático (3 equações) mais as equações de condição (nº necessário ≡ nº de nós rotulados da estrutura associada) obtidas impondo-se Mrot = 0.

2) a) V1 = 16,4 tf ; V2 = 13,6 tf ; H2 = 6 tf b) M8

5 = 8 tfm; M87 = - 20 tfm; M8

8 = -12 tfm

c) NS = -6,81 tf; QS = 0; MS = -3,22 tfm

3) VA = 10,5 tf; VB = 7,5 tf; HB = 0

4) a) Treliça isostática b) Simples

c) Treliça ideal é uma treliça submetida somente a forças nodais. Esta treliça é uma treliça ideal.

d) Se a estrutura e o carregamento são simétricos, o DEC é anti-simétrico e o DMF é simétrico.

5) P = q(b2/8 – a2)/2

6) VA = 4 tf ; VB = 5 tf

7) OBS.: Barras inativas

Na = -13,00 tf; Nb = 1,41 tf; Nc = 12,00 tf; Nd = - 4 tf; Ne = - 5 tf

89

8) a)

V1 = 50L ↑; V6 = 50L ↑; H6 = 0 N1-2 = 23/L N2-3 = 57,5/L N3-4 = 69/L N4-5 = 57,5/L N5-6 = 23/L N1-7 = -46/L N2-7 = 46/L N2-8 = -23/L N3-8 = 23/L N3-9 = 0 N4-9 = 0 N4-10 = 23L N5-10 = -23/L N5-11 = 46/L N6-11 = -46/L N7-8 = -23/L N8-9 = -46/L N9-10 = -46/L N10-11 = -23/L

1 2 3 4 5 6

7 8 9 1 0 1 1

q = 2 0 kN /m

90

b)

V1 = 287,5 kN ↑; H1 = 0, V5 = 212,5 kN ↑ N1-2 = 215,6 kN N2-3 = 215,6 kN N3-4 = 159,4 kN N4-5 = 159,4 kN N1-6 = -359,4 kN N2-6 = 200 kN N3-6 = -35,80 kN N3-7 = 130,86 kN N3-8 = 58,30 kN N4-8 = 100 kN N5-8 = -265,6 kN N6-7 = -204,33 kN N7-8 = -204,6 kN

5 0 kN

2 0 0 kN 1 5 0 kN 1 0 0 kN

2 m

8 m

6 m 6 m 6 m 6 m

1 2 3 4 5

6

7

8

91


1) a) Pórtico ou quadro bi-apoiado

Reações de apoio: HA=20kN; VA=101,7kN; RC=91,7kN


Barra 1: Seção A: M=0; Q=98kN; N= -57,8kN

Seção B: M=140kNm; Q= -20kN; N= -57,8kN

Barra 2: Seção B: M=140kNm; Q=26,7kN; N= -55kN

Seção C: M=0; Q= -73,3kN; N= -55kN

b) Pórtico ou quadro bi-apoiado

Reações de apoio: VA=43,72 tf; VB=24,35 tf; HB=21,21 tf


Barra 1: Seção A: M=0; Q=33,6 tf; N= -28 tf

Seção C: M=121,8 tfm; Q= -2,4 tf; N=2 tf

Barra 2: Seção C: M=121,8 tfm; Q= -2,2 tf; N= -2,2 tf

Seção B: M=0; Q= -32,2 tf; N= -2,2 tf

c) Pórtico ou quadro triarticulado

Reações de apoio: HA=50kN; VA=157,14kN; HB=50kN; VB=42,86kN

Valores dos esforços internos :

Barra 1: Seção A: M=0; Q=25,6kN; N= -162,9kN

Seção C: M=171,4kNm; Q=25,6kN; N= -162,9kN

Barra 2: Seção C: M=171,4kNm; Q= -42,9kN; N= -50kN

Seção D: M=0; Q= -42,9kN; N= -50kN

Barra 3: Seção D: M=0; Q=50kN; N= -42,9kN

Ponto de carga concentrada de 100kN: M=150kNm; Qe=50kN;

Seção B: M=0; Q= -50kN; N= -42,9kN

d) Pórtico plano composto

Reações de apoio: VA=135kN; VB=45kN; HB=45kN; MB=270kNm


Barra 1: Seção A: M=0; Q=0; N= -135kN

Ponto de carga concentrada de 90kN: M= -270kNm; Q= -90kN;

Seção C: M= -270kNm; Q= -90kN; N= -135kN

Barra 2: Seção C: M= -270kNm; Q=135kN; N= -90kN

Seção D: M=0; Q= -45kN; N= -90kN →Para a barra 2: Mmax=33,8kNm

Barra 3: Seção D: M=0; Q=45kN; N= -45kN

Seção B: M=270kNm; Q=45kN; N= -45kN

2) Reações de apoio: H1=0; V1=161,1kN; V4=238,9kN

92

Funções: Trecho 1-2:M(x)=128,9x; Q(x)=128,9; N(x)= -96,7

Seção 1: Q=128,9kN; M=0; N= -96,7kN

Seção 2: Qe=128,9kN; Ne= -96,7kN; M=644,4kNm

Trecho 2-3: M(x)=48,9x+400; Q(x)=48,9; N(x)= -36,7

Seção 2: Qd=48,9kN; Nd= -36,7kN;

Seção 3: Qe=48,9kN; Ne= -36,7kN; M=888,9kNm

Trecho 3-4: M(x)= -15x2+61,1x+888,9; Q(x)= -30x+61,1; N(x)=0

Seção 3: Qd=61,1kN; Nd=0

Seção 4: Q= -238,9kN; N=0; M=0

→Q=0 → x=2,037m - Mmax=951,1kNm

3) a) Reações de apoio: V1=43,3 tf; H1=13,84 tf; M1=160,3 tfm; V6=9,2 tf; H6=13,84 tf


Seção 1: M= -160,3 tfm; Q=43,3 tf; N=13,84 tf

Seção 2: M=0; Qe=20,8 tf; Qd=2,19 tf; NE=13,84 tf; Nd=24,88kN

Seção 4: M=0; Qe= -2,19 tf; Ne=19,42 tf

Seção 5: M=27,6 tfm; Qe=13,8 tf; N=13,84 tf

Seção 6: M=0; Q= -9,2 tf; N=13,84 tf

b) Reações de apoio: V1=4,3 tf; H1=5,03 tf; V6=4,7 tf; H6=3,97 tf; M6= -5,9 tfm


Seção 1: M=0; Q=4,3 tf; N= -5,03 tf

Barra 1-2 - ponto da carga concentrada de 3 tf:

M=6,6 tfm; Qe=2,3 tf; Qd= -0,7 tf; N=- 5,03 tf

Seção 2: M=0; Qe= -3,7 tf; Qd=0,94 tf; Nd= -6,17 tf

Seção 3: M=0; Qe= -0,47 tf; Ne= -4,76 tf

Seção 4( para barra 3-4): M=6,1 tfm; Q=0,03 tf; N= -3,7 tf

( para barra 4-5): M= -7,5 tfm; Q=4 tf; N=0

( para barra 4-6): M= -13,6 tfm; Q= -3,7 tf; N=3,97 tf

Seção 5: M=0; Q=1 tf; N=0

Seção 6: M= -5,9 tfm; Q= -4,7 tf; N=3,97 tf

c) Pórtico triarticulado

Trecho 1-2: M(x)=0,7407x3-20x2+120x-202,4; Q(x)=2,22x2-40x+120

→Q=0 - x=3,80m - Mmax=5,4kNm


Barra 3: Seção 4: M=0; Q= -50,6kN; N= -120kN

Seção 1: M= -202,4kNm; Q= -120kN; N=56,6kN

Barra 1: Seção 1: M= -202,4kNm; Q=120kN; N= -50,6kN

Seção 2: M=0; N= -50,6kN

93

Barra 2: Seção 3: M= -202,4kNm; Q=60kN; N= -50,6kN

Barra 4: Seção 3: M= -202,4kNm; Q=50,6kN; N= -60kN

Seção 6: M=0; Q=50,6kN; N= -60kN

Barra 5: Seção 4: M=0; Q= -120kN; N=56,6kN

Seção 5: M= -540kNm; Q= -120kN; N=56,6kN

Barra 6: Seção 5: M=221kNm; Q= -64,3kN; N=56,6kN

Seção 6: M=0; Q= -154,3kN; N=56,6kN

Barra 7: Seção 5: M=721kNm; Q=86,5kN; N= -76,9kN

Seção 7: M=0; Q=146,5kN; N= -130,2kN

5) a) Valores dos esforços normais ( em kN ):

N1= -30; N2= -16; N3= -8; N4=19,8; N5= -14; N6=11,32; N7= -8; N8=11,32;

N9=16; N10=8.

b) Valores dos esforços normais ( em tf ):

N1=8,5; N2=17; N3=17; N4= -13; N5=5; N6= -10; N7=0; N8= -20; N9= -10.

c) Reações de apoio: H1=3 tf; V1=1,75 tf; V2=6,25 tf; N=2 tf ( tração - tirante )

Valores dos esforços:

Barra 1: Seção 1: M=0; Q=3 tf; N= -1,75 tf

Seção 3: M=6 tfm; Q=3 tf

Barra 2: Seção 2: M=0; Q=0; N= -6,25 tf

Seção 4: M=0; Q=0; N= -6,25 tf

Barra 4: Seção 3: Q=1 tf

Seção 5: M=7 tfm; Q=1 tf

Barra 5: Seção 4: M=0; Q=2 tf; N= -6,25 tf

Seção 6: M=

d) Reações de apoio: H4=0,3 tf; V4=0,4 tf; V2=0,7 tf

Valores dos esforços normais ( em tf ):

N1= -0,10; N2=0,05; N3= -0,10; N4=0,22; N5= -0,22; N6= -0,56; N7=0,11; N8=0,45;

N9= -0,45; N10= -0,10; N11= -0,40

6) N11=2800Kgf

7) Trata-se de uma treliça composta com funcionamento de Viga Gerber.

Tratando com um todo → Viga Gerber

Tratando em partes → Treliças Simples

Reações de apoio: V1=12 tf; V2=24 tf; V5=24 tf; V6=12 tf

Utilizando Método das Seções para Na ,Nb e Nc :

Na=6 tf; Nb=11,31 tf; Nc= -14 tf

94

LISTA DE EXERCÍCIOS 5B/GABARITOS 2) a) Pórtico bi-apoiado

VA = 16,7 kN ; HA = 23,0 kN ; VB = 1,7 kN b) Pórtico engastado e livre

V = 20,0 kN ; H = 15,0 kN ; M = 17,5 kNm c) Pórtico tri-articulado

VA = VB = 80 kN ; HA = HB = 40 kN Podemos observar que quando a estrutura é simétrica e o carregamento é simétrico, o DMF e o DEN são simétricos e o DEC é anti-simétrico.

d) Pórtico bi-apoiado VA = 17,14 kN ; VB = 2,86 kN ; HB = 10,00 kN

e) Pórtico bi-apoiado com articulação e tirante (tração) V1 = 15,38 kN ; V5 = 16,63 kN ; H5 = 0

f) Pórtico bi-apoiado V1 = 103,4 kN ; V5 = 56,6 kN ; H5 = 0

g) Pórtico tri-articulado V1 = 72 kN ; H1 = 120 kN ; V4 = 72 kN ; H4 = 0

3) a) N1 = N2 = N3 = 31,62 kN

N4 = N5 = N6 = N7 = N8 = 0 N9 = N10 = N11 = -30 kN

b) N2 = 204,00 kN; N4 = 108,00 kN; N7 = 19,21 kN; N11 = -172,90 kN; N12 = -216,00 kN

c) N1 = 8,5 kN; N5 = 5,0 kN; N7 = 0; N9 = -10,0 kN d) N11 = 2694,4 kgf; N19 = 600,0 kgf

4) Pórtico espacial 4) d.1) RA máx. = 9,375 tf

d.2) M máx.B = 7,0 tfm

M mín.B = -4,56 tfm

d.3) Q máx.B = -3,28 tf

95

LISTA DE EXERCÍCIOS 5C/GABARITOS 5) a) NAC = - 30 kN; NBC = 19,8 kN; NCE = - NBD = - 16 kN; NDE = NFG = 11,3 kN;

NEG = NEF = - NDF = - 8 kN; b) NAC = NBD = NCD = NEF = 10 kN; NBC = NDE = - 14,14 kN; NCE = NDF = 0 c) NAD = NCE = - 25 kN; NBD = NBE = - 10,60 kN; NDF = NEF = -14,14 kN;

NDG = NEH = - 15 kN; NFG = NFH = 0; NGI = NHI = - 21,21 kN d) NAC = NAD = NBC = NCD = NCE = NDF = NDG = NEG = NFG = NGH = 0;

NAF = NBE = NEH = - 20 kN e) NAB = NCD = NGH = NIJ = 0; NAF = - 8 kN; NBC = - NDE = - NFG = NHI = 6 kN;

NBF = - NCG = - NDH = NEI = 7,21 kN; NBG = - NCH = - NDI = - NEJ = 4 kN f) N DE = -23,74 kN

N CE = 26,67 kN N CD = 11,84 kN N BD = -31,44 kN N BC = -9,15 kN N AC = 42 kN

g) N AE = -26,32 kN N AB = 17,11 kN N EF = -19,75 kN N BE = 19,88 kN N BF = -19,76 kN N BC = 34,22 kN N CF = 10 kN N CD = 34,22 kN N DF = -39,51 kN

h) N BC = 6,66 kN

N BE = 16,67 kN N GH = -20 kN N AD = -8,33 kN N AF = -15 kN N DG = -10 kN N FG = -20 kN N HI = -20 kN N EH = -10 kN N AB = 6,66 kN N BD = 16,67 kN N CE = -8,33 kN N CI = -15 kN N DF = 25 kN N EI = 25 kN

i) N DE = 5,34 kN N BE = -6,67 kN N AB = -8,34 kN N BD = -8,25 kN N CD = -3 kN

96

N AC = 0 N AD = 10,43 kN

j) N FG = 22,64 kN

N EG = -27,3 kN N EF = 0 N DF = 22,64 kN N CE = -27,3 kN N DE = -54,6 kN N BD = 22,66 kN N CD = 0 N AC = -27,3 kN N BC = 0

97

LISTA DE EXERCÍCIOS 5D / GABARITOS

1) a) Pórtico bi-apoiado VA = 17,5 kN ↑ ; VB = 162,5 kN ↑; HB = 25,0 kN ← b) Pórtico engastado e livre VA = 70 kN ↑; HA = 30 kN →; MA = 115 kNm c) Pórtico tri-articulado

VA = VB = 80 kN ↑; HA = 40 kN →; HB = 40 kN ← d) Pórtico bi-apoiado com articulação e tirante (tração) HB = 4,0 kN ←; VA = 15,375 kN ↑; VB = 16,625 kN ↑; Tirante: N = 12,333 kN e) Pórtico bi-apoiado VA = 80 kN ↑; VB = 60 kN ↑; HA = 28 kN → f) Pórtico engastado e livre VA = 40 kN ↑; HA = 20 kN →; MA = 40 kNm g) Pórtico bi-apoiado VA = 120 kN ↑; VB = 40 kN ↑; HB = 20 kN → h) Pórtico bi-apoiado

HA = 50 kN ←; VA = 15,625 kN ↓; VB = 15,625 kN ↑ i) Pórtico bi-apoiado HA = 0; VA = 125 kN ↑; VB = 85 kN ↑ j) Pórtico bi-apoiado VA = 103,4 kN ↑; VB = 56,6 kN ↑; HB = 60 kN ← k) Pórtico bi-apoiado HA = 78,3 kN ←; VA = 25 kN ↓; VB = 25 kN ↑ l) Pórtico tri-articulado VA = 72 kN ↓; VB = 72 kN ↑; HA = 120 kN ←; HB = 0 m) Pórtico tri-articulado VA = VB = 100 kN ↑; HA = 12,5 kN →; HB =12,5 kN ← n) Pórtico tri-articulado VA=72,2 kN↑; VB = 87,8 kN ↑; HA = 122,2 kN ←; HB = 87,8 kN ← 3) VA = 25 kN ↑; VB = 83 kN ↑; VC = 42 kN ↑; HB = 20 kN →; HC = 10 kN →; MB = 80 kNm 5) a) VA = 50 kN ↑; HA = 10 kN →; MA = 105 kNm

b) VB = 100 kN ↑; MB = 10 kNm c)VA = VB = 50 kN ↑; HA = 17,5 kN →; HB = 57,5 kN ←; MB = 80 kNm d) VA = 360 kN ↑; VB = 120 kN ↑; HA = 960 kN →; HB = 960 kN ←; MA = 2880 kNm

98


1) a) isostática, estável

b) hipostática, instável

c) hipostática, instável

d) isostática, estável

e)

f) isostática, estável

g) hipostática, instável

2) Valores dos esforços normais (em tf ):

N1=2,5√2; N2= -10√2; N3= -7,5√2; N4=10√2; N5= -20; N6=12,5√2; N7=17,5√2;

N8= -15; N9=17,5√2; N10=12,5√2; N11= -2,5√2; N12= -2,5√2.

3) Grelha triapoiada

Reações de apoio: V1=1,92 tf; V3=5,76 tf; V6=1,55 tf


Barra 1: Seção 1: M=0; Q=1,92 tf; T=0

Seção 2: M=1,28 tfm; Q= -3,08 tf; T=0

Barra 2: Seção 2: M=0,77 tfm; Q= -3,08 tf; T= -0,03 tfm

Seção 3: M= -5,38 tfm; Q= -3,08 tf; T= -0,03 tfm

Barra 3: Seção 3: M= -5,38 tfm; Q= 2,68 tf; T= -0,03 tfm

Seção 4: M= -0,01 tfm; Q= 2,68 tf; T= -0,03 tfm

Barra 4: Seção 4: M= -0,03 tfm;T=0

Seção 5: Q=0,45 tf; T=0

Barra 5: Seção 5: Q= -1,55 tf; T=0

Seção 6: M=0; Q= -1,55 tf; T=0

Na barra 1: M(x)= -x3/15+1,92x; Q(x)= -x2/5+1,92

Fazendo Q(x)=0 → x=3,10 → MMAX=3,98 tfm

Coeficiente angular da tangente ao diagrama de cortante no nó 5:

-dQ/dx=q=1

5) Treliça composta com cargas fora dos nós

Reações de apoio: V1=8,5 tf; H4=4,04 tf; N( barra 1 ): 4,04 tf

Valores dos esforços normais ( em tf ):

N2= -1,51 tf; N3= -8,08 tf; N4=0,76 tf; N5= -0,76 tf; N6= -4,79 tf

Esforços internos na barra 5:

Seção 2: M=0; Q=0,65 tf; N= -1,13 tf

Seção 4: M=0; Q= -0,65tf; N= -0,38 tf

99

Sendo a estrutura e o carregamento simétricos, os esforços normais também

serão simétricos (iguais).

Se dobrarmos os valores das cargas, os esforços ficam multiplicados por 2,

uma vez que a estrutura é elástica linear (Princípio da Superposição dos Efeitos).

6) Grelha triapoiada

Reações de apoio: V1=8,23 tf; V3=8,12 tf; V4=3,15 tf


Barra 1: Seção 1: M=0; Q=8,23 tf; T=0;

Seção A: M=24,7 tfm; QE=8,23 tf; QD=0,23 tf; T=0

Seção 2: M=25,4 tfm; Q=0,23 tf; T=0

Barra 2: Seção 2: M=20,4 tfm; Q= -4,12 tf; T=0

Seção 3: M=0; Q= -8,12 tf; T=0

Barra 3: Seção 2: M= -3 tfm; Q= -4,35 tf; T=4 tfm

Seção 4: M=0; Q=3,15 tf; T=0

Coeficiente angular da tangente ao DEC na seção C: -dQ/dx=q=4

A característica importante que o DMF apresenta na seção A é uma mudança

brusca na tangente ao DMF devido à força concentrada.

100


1) a) LIQ2E - η=1 - 0 ≤ x ≤ 3

η=0 - 3 ≤ x ≤ 15

b) LIQ2D

- 0 ≤ x ≤ 3 - η=3/9-x/9

3 ≤ x ≤ 12 - η=12/9-x/9

12 ≤ x ≤ 15 - η=12/9-x/9

c) LIM2 - 0 ≤ x ≤ 3 - η=x-3

3< x ≤ 15 - η=0

d) LIM3 - 0 ≤ x ≤ 3 - η=2/3(x-3)

3< x ≤ 6 - η=2/3(x-3)

6< x ≤ 12 - η=12/3-x/3

12< x ≤15 - η= -x/3+12/3

2) a) LIR1 - x=0; η=1 b) LIR5 - x=0; η=0 c) LIQ2 - x=0; η=0

x=1,2; η=1 x=1,2; η=0 x=1,2; η=1

x=3,0; η=1 x=3; η=0 x=3; η=1

x=6,0 η=0 x=6,0; η=1 x=6,0 η=0

x=8,0 η= -2/3 x=8,0; η=5/3 x=8,0 η= -2/3

d) LIQ3 - x=0; η=0 e) LIM1 - x=0; η=0 f) LIM2 - x=0; η=0

x=1,2; η=0 x=3,0; η= -3 x=1,2; η=0

x=3,0; η=1 x=6,0; η=0 x=3,0; η= -1,8

x=6,0; η=0 x=8,0; η=2 x=6,0; η=0

x=8,0; η= -2/3 x=8,0; η=1,2

g) LIM4 -x=0; η=0 h) LIM5 -x=0; η=0

x=1,2; η=0 x=1,2; η=0

x=3,0; η=0 x=3; η=0

x=4,5; η=0,75 x=4,5; η=0

x=6,0; η=0 x=6,0; η=0

x=8,0; η= -1 x=8,0; η= -2

3) LIM1 reativo - Barra 1-2: Seção 1: η=0

Seção 2: η=5

Barra 2-3: Seção 2: η=0

Seção 3: η=3

O diagrama denomina-se Linha de Influência do momento reativo em 1.

101

4) I) Para o primeiro trem-tipo:

1) a) LIQ2E → Q2 E- MAX − = -11,5KN; Q2

E MAX + =0

b) LIQ2D → Q2

D - MAX − = -3,58KN; Q2D MAX + =12,5KN

c) LIM2 → M2MAX −= -32,25KNm; M2

MAX +=0

d) LIM3 → M3MAX − = -22,25KNm; M3

MAX + =24,5KNm

2) a) LIR1 → R1MAX − = -7KN; R1

MAX + =12,25KN

b) LIR5 → R5MAX − =0; R5

MAX + =18,75KN

c) LIQ2 → Q2MAX − = -7KN; Q2

MAX + =11,65KN

d) LIQ3 → Q3MAX − = -7KN; Q3

MAX + =10,75KN

e) LIM1 → M1MAX − = -34,5KNm; M1

MAX + =21KNm

f) LIM2 → M2MAX − = -20,16KNm; M2

MAX + =12,6KNm

g) LIM4 → M4MAX − = -10,5KNm; M4

MAX + =8,0625KNm

h) LIM5 → M5MAX − = -21KNm; M5

MAX + =0.

II) Para o segundo trem-tipo:

1) a) LIQ2E → Q2

E MAX − = -17 tf; Q2E MAX + =0;

b) LIQ2D → Q2

D M AX − = -3,83 tf; Q2D MAX + =20,89 tf

c) LIM2 → M2MAX − = -38,5 tfm; M2

MAX + =0

d) LIM3 →M3MAX − = -24,5 tfm; M3

MAX + =37,7 tfm

2) a) LIR1 → R1MAX − = -7,33 tf; R1

MAX + =21,83 tf

b) LIR5 → R5MAX − =0; R5

MAX + =26,5 tf

c) LIQ2 → Q2MAX − = -7,33 tf; Q2

MAX + =18,37 tf

d) LIQ3 → Q3MAX − = -7,33 tf; Q3MAX + =11,5 tf

e) LIM1 → M1MAX − = -43 tfm; M1

MAX + =22 tfm

f) LIM2 → M2MAX − = -22,32 tfm; M2

MAX + =13,2 tfm

g) LIM4 → M4MAX − = -11 tfm; M4

MAX + =8,625 tfm

h) LIM5 → M5MAX − = -22 tfm; M5

MAX + =0.

5)

102


1) (I)

H3= 8kN

V1= 20kN

V2= 20kN

(II)

H1= 6kN

V5 = 8kN

V3 = 23kN

V1= 5kN

(III)

H1= 90kN

V1= 178,57kN

V4= 81,43kN

(IV)

H1= 4,5kN

V1= 52,82kN

H5= -67,5kN

V5= 67,18kN

(V)

H2= 1tf

V2= 14,8tf

V1= 12,2tf

N (barra 3) = -o,67tf

2) (a)

H1=0

V1= 1800kN

V2= 1800kN

103

(b)

H1= 900kN

V1= 1800kN

H2= 900kN

V2= 1800kN

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Estruturas Isostaticas - Exercicios Propostos - Prof Maria Cascao -Poli-ufrj-2008