15780708 Prof Me Silvia Maria Baptista Kalil Estruturas Isostaticas

Estruturas Isostáticas – DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil

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CAPÍTULO I REVISÃO DE MECÂNICA GERAL CONCEITOS BÁSICOS I . FORÇA A. Conceito: Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expressão da física:

onde: F = força m = massa do corpo a = aceleração provocada Sendo força um elemento vetorial se caracteriza por: direção sentido módulo ou intensidade ponto de aplicação Exemplo 1 :

efeito: movimento

Exemplo 2 : PESO DOS CORPOS

O peso é uma força oriunda da ação da aceleração da gravidade, tendo características definidas: direção - vertical sentido - de cima para baixo módulo - P = m.g (onde g representa a aceleração da gravidade) ponto de aplicação - centro de gravidade do corpo

F = m . a

P = m . g


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Na maioria das estruturas serão com cargas peso que trabalharemos. B. UNIDADES N - Newton kN - kiloNewton kgf - kilograma força 1 kgf = 10 N 1 kN = 103 N 1 kN = 102 kgf

C. PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO A toda a ação corresponde uma reação igual e contrária (3ª lei de Newton). Podemos observar que estas duas forças tem pontos de aplicação diferentes e portanto causam efeitos diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicação. D. CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS As forças são classificadas em forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e de ação à distância (ex: elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc...) Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo:

FORÇAS EXTERNAS: atuam externamente em uma estrutura e podem ser: ações : São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura . Correspondem às cargas as quais estaremos submetendo a estrutura, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc... reações : São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), sendo consequência das ações portanto não são independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as ações. FORÇAS INTERNAS : são aquelas que mantém unidos os pontos materiais que formam o corpo rígido (solicitações internas). Se o corpo rígido é estruturalmente composto de diversas partes, as forças que mantém estas partes unidas também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas).

1 kN = 103 N = 102 kgf


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E. DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções . Normalmente usamos como referência três direções ortogonais entre si, escolhidas de acordo com o problema.

Qualquer força em um plano pode ser decomposta segundo duas direções. Normalmente nos interessam duas direções perpendiculares entre si,também escolhidas de acordo com o problema. Vamos nos ater ao caso plano que é o mais usual Exemplo:

�F - força a ser decomposta

x,y - direções ortogonais escolhidas como referência α - ângulo formado por F em relação a x �Fx,

�Fy- componentes da força nas direções x e y

por trigonometria �Fx =

�F . cos α

�Fy =

�F . sen α

�Fy/

�Fx = tg α

A força

�F decomposta também pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suas componentes

�Fx e

�Fy . Observe que soma vetorial ou geométrica não correspode a soma algébrica.

II . MOMENTO DE UMA FORÇA A. DEFINIÇÕES: 1.MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação à um ponto) DEFINIÇÃO : Chama-se momento de uma força

�F em relação à um ponto "0", o produto vetorial do

vetor OA�

pela força �F ,sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da força

�F. Logo

também é um vetor, e para a sua caracterização precisamos determinar o seu módulo,direção e sentido.


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OA F = ∧��

oM

O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com determinado sentido em relação ao ponto considerado. O vetor momento apresenta as seguintes características: direção : perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor OA sentido : regra da mão direita módulo: produto do módulo da força

�F pela menor distancia do ponto "0" a reta suporte da força.

ponto de aplicação : ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento.

αsen..OAFoM��

= ou � �

Mo F==== . d

Regra da mão direita:

OBS 1 : posiciona-se os dedos da mão direita no sentido da rotação da força em torno do ponto O e o polegar indica o sentido do momento. OBS 2:. a distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço de alavanca. Ela é a menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qual se calcula o momento , isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto.


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OBS 3 : Podemos representar o sentido do momento no plano usando convenções simples

Podemos também convencionar sinais + ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossa escolha. Exemplo 1 : Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que ela permaneça em equilíbrio estático.

P1 = 30 kN a = 2 m b = 4 m P = ?

Exemplo 2 : Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permaneça em equilíbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede por meio de um pino O.

G = 5 kN L = 3 m α= 15º T = ?

B. MOMENTO AXIAL ( momento de uma força em relação a um eixo) DEFINIÇÃO: - É o valor algébrico da projeção ortogonal sobre o eixo do momento polar produzido pela força em relação a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por uma grandeza escalar quando se adota uma convenção para a orientação do eixo. - É o momento polar produzido pela projeção ortogonal da força sobre uma reta perpendicular ao plano do eixo, em relação a este eixo


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Exemplo 1: Força perpendicular ao plano do eixo

Mx = F . d

Exemplo 2 : Força inclinada em relação ao plano do eixo

Mx = Fz . d Fz = F . sen αααα

Exemplo 3 : Força no espaço (direção qualquer)

F = F 1 + F 2 + F 3 Mx = 0 F 1 My =.0 Mz = -4 . F 1 Mx = 0 F 2 M y = 0 Mz = - 1 . F 2 Mx = + 4 . F 3 F 3 My = - 1 . F 3 Mz = 0

OBSERVAÇÃO: O momento de uma força em relação à um eixo é nulo sempre que a força e o eixo forem coplanares (concorrentes ou paralelos).


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C. UNIDADE DE MOMENTO Sendo o momento produto de uma força por uma distancia,a unidade desta grandeza é o produto de uma unidade de força por uma unidade de distancia. Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc III . SISTEMA DE FORÇAS A. DEFINIÇÃO : É o conjunto de forças que atuam simultaneamente em um corpo rígido ou em um ponto material.

B. PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE OU FORÇAS EQUIVALENTES: Este princípio estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido permanecem inalteradas se uma força

�F, que atua em um dado ponto do corpo rígido é substituida por

uma força �F' de mesmo módulo, direção e sentido, mas que atua em um ponto diferente, desde que as

duas tenham a mesma linha de ação (mesma reta suporte). As forças citadas tem o mesmo efeito sobre o corpo e são chamadas de equivalentes. Exemplo:

C. RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES: A resultante de várias forças que concorrem em um ponto é a soma geométrica à partir do ponto de forças equipolentes as que constituem o sistema, formando um polígono. Obs: Forças equipolentes são aquelas que tem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. RESULTANTE: Origem no ponto escolhido como referência e extremidade com a última força.


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Lembrando que uma força pode ser decomposta segundo eixos de referência, podemos determinar a resultante de uma forma mais simples,obtendo-se cada componente pela soma algébrica das projeções de todas as forças sobre este eixo. Exemplo 1: Soma geométrica

�R 0≠≠≠≠

Exemplo 2 : �R = 0

OBSERVAÇÃO: Se o polígono formado pelas forças for fechado a resultante é nula. Exemplo 3 : Forças concorrentes em um ponto de um plano A resultante de forças concorrentes em um ponto de um plano pode ser calculada através da decomposição destas forças em relação à duas direções ortogonais escolhidas.

F1x = F1 . cos α F1y = F1 . sen α F2x = F2 . cos β F2y = F2 . sen β Fx = F1x + F2x Fy = F1y + F2y

R F Fx y==== ++++ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ( ) ( )2 2 PITÁGORAS


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IV . PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS " O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual a soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando isolada" A partir deste princípio podemos dizer que: - O momento polar resultante de um sistema de forças é a soma algébrica dos momentos polares, produzidos em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças atuando isolada. - O momento axial produzido por um sistema de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual a soma algébrica dos momentos axiais,produzidos em relação ao mesmo eixo, de cada uma das forças atuando isolada. V. BINÁRIO OU PAR DE FORÇAS A. CONCEITO Denomina-se binário a um sistema constituido por um par de forças paralelas de módulos iguais e sentidos opostos. A resultante em termo de forças é nula, entretanto há um momento polar resultante de módulo igual ao produto da força pela distância entre as duas direções paralelas.

Exemplo 1:

F = a = b = c = d = MA = MD = ME =

CONCLUSÃO: O binário é um vetor livre pois seu efeito independe do ponto de aplicação, sendo que para qualquer ponto do plano o binário tem o mesmo valor.


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B . SITUAÇÕES REPRESENTATIVAS

C. EQUIVALENCIA DE BINÁRIOS Dois binários são equivalentes quando tem o mesmo momento polar resultante Exemplo 1: convenção (sentido antihorário positivo)

M1 = 60 kN . 2m = 120 kN.m M2 = 30 kN . 4m = 120 kN.m

Superposição de efeitos: Se quizermos o efeito de dois binários atuando simultaneamente: M = M1 + M2 = 240 kN.m MA = MB = Obs: Veja que podemos transformar a soma vetorial de binários em uma soma algébrica a partir da adoção de uma convenção.


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Exemplo2: (adote convenção anterior) Supomos M1 = - 60 kN . 2m = - 120 kN.m M2 = + 30 kN . 4m = + 120 kN.m M = M1 + M2 = 0

CONCLUSÃO : Os dois binários não são equivalentes pois tem sentidos contrários . Observe-se que em qualquer ponto do plano a superposição dos binários deve ser nula. MA = 0 MB = 0 VI . TRANSLAÇÃO DE FORÇAS Transladar uma força (como artifício de cálculo) é transportá-la de sua direção para outra direção paralela. Isto implica no acréscimo de um momento devido à translação, cujo módulo é igual ao produto da força pela distância de translação.

VII . REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS À UM PONTO Qualquer sistema de forças pode ser reduzido à um sistema vetor-par , onde o vetor é a resultante das forças , localizada à partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o momento polar resultante do sistema em relação ao mesmo ponto.


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Exemplo 1: Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado.

Exemplo 2 : Reduzir o sistema acima ao ponto A. R: VII . EQUIVALÊNCIA DE UM SISTEMA DE FORÇAS Dois sistemas de forças são equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos polares em relação ao mesmo ponto também iguais. Exemplo:

F = Fx = Fy = a = α = b =

F - sistema inicial Fx , Fy - sistema equivalente MA (sistema inicial) = MA (sistema equivalente) = OBS: O uso de sistemas equivalentes é um artifício de cálculo muito útil


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VIII . EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo livre no espaço. Se tomarmos 3 eixos ortogonais como referencia de espaço, e isto se faz necessário por uma questão de classificação e organização de método, podemos dizer que um corpo no espaço tem 6 possibilidades de movimento: - translação segundo as tres direções de referência - rotação em torno das tres direcões de referência Dizemos que um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um sistema equivalente a zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto é nulo. R = 0 Mp = 0 Como costuma-se traballhar com as forças e momentos referenciadas a um sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as 6 equações abaixo são satisfeitas: �� Fx = 0 �� Mx = 0 �� Fy = 0 �� My = 0 �� Fz = 0 �� Mz = 0 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA ___________________________________________________________________________________


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EXERCÍCIOS: 1. Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme desenho, onde atuam as cargas F1 e F2. Calcule: a. Momentos desenvolvidos por F1 em relação aos pontos A , B e C. b. Momentos desenvolvidos por F2 em relação aos pontos A , B e C. c. Momentoda resultante do sistema em relação aos pontos A , B e C . d. Resultante do sistema na direção x e. Resultante do sistema na dieção y Convencione o giro no sentido horário positivo.

F1 = 20 kN F2 = 30 kN

R: a) M1A = 0 M1B = 69,28 kN.m M1C = 109,28 kN.m b) M2A = 120 kN.m M2B= 120 kN.m M2C = 0 c) MA = 120 kN.m MB = 189,28 kN.m MC = 109,28 kN.m d) Fx = + 17,32 kN e) Fy = - 20 kN 2. Suponha no espaço as forças F1 e F2. Calcule: a. Momentos da força F1 em relação aos eixos x,y,e,z,. b. Momento da força F2 em relação aos eixos x,y e z . c. Momento da resultante em relação aos eixos x , y, e z .

F1 = 10 kN F2 = 15 kN

R: a) Mx1 = 0 My1 = 0 Mz1 = 20 kN.m b) Mx2 = 31,5 kN.m My2 = 31,5 kN.m Mz2 = 21 kN.m


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3. Suponha as forças indicadas no desenho atuando perpendicularmente ao eixo x.O sistema 1 representa um binário e o sistema 2 representa outro. Convencione anti horário positivo. a. Quanto vale o binário 1 b. Quanto vale o binário 2 c. São equivalentes? Porque? d. Quanto vale o momento polar do sistema 1 em relação aos pontos A , C e E. e. uanto vale o momento polar do sistema 2 em relação aos pontos B , D e E. f. Quanto vale o momento polar resultante destes dois sistemas em relação aos pontos A,B,C D e E.

R: a) + 20 kn.m b) + 20 kN.m c)sim d) M1A = M1B=M1E = + 20 kN.m e) M2B=M2D=M2E = + 20 kN.m f) MA = MB = .....=ME = + 40 kN.m

4. Suponha forças como as do exercício 3 perpendiculares ao eixo formando 2 binários. Responda as perguntas do exercício 3 usando a mesma convenção.

R: a)- 60 kN.m b) + 60 kN.m c) não d) M1A=M1C=M1E = - 60 kN.m e) M2B=M2D=M2E = + 60 kN.m f) MA =MB = .....= ME = 0

5. Suponha as hastes do desenho em um plano e as cargas perpendculares à este plano. a. Translade a força de 10 kN para os pontos C ,B A.

R: ponto C ponto B ponto A Fy = 10 kN Fy = 10 kN Fy = 10 kN Mz = 20 kN.m Mz = 20 kN.m Mz = 50 kN.m Mx = 20 kN.m Mx = 20 kN.m


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b. Translade as forças indicadas para os pontos B e D. R: ponto B : Fy = 20 kN Mz = - 20 kN.m ponto D : Fy = 20 kN Mz = - 20 kN.m Mx = + 80 kN.m

6. Qual a força horizontal que atua nos parafusos 1 e 2 da ligação abaixo, considerando o momento provocado pelo peso na ponta da haste

R : P1 = 100 kgf P2 = 100 kgf 7. Suponha as estruturas planas representadas abaixo. Determine,se necessário usando sistemas equivalentes Σ Fx ,ΣFy, ΣMA, ΣMB e ΣMC a.

R: ΣFx = 25,98 kN ΣFy = 65 kN ΣMA = 138,04 kN.m ΣMB = 70 kN.m ΣMC = 330 kN.m


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b. R: ΣFx =16,64 kN ΣFy = -4,96kN ΣMA = -36 kN.m ΣMB = -84 kN.m ΣMC = -98,96 kN.m

8. Reduzir no ponto A o sistema de forças da figura:


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CAPÍTULO II MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS I . ESTRUTURAS RESISTENTES A. DEFINIÇÃO : É um conjunto de elementos ligados entre si que tem a finalidade de suportar cargas e transferi-las ao solo. Ex: Prédio de moradias, máquinas,etc... Os esforços externos ativos ou cargas que solicitam a estrutura despertam outros esforços internos e externos, devendo os elementos estruturais possuir vínculação tal que fique garantido o equilíbrio interior e o do conjunto. II . ESFORÇOS INTERNOS E DEFORMAÇÕES ASSOCIADAS A. INTRODUÇÃO Se um corpo rígido está submetido à um sistema de cargas ativas devendo o mesmo permanecer em equilíbrio estático, então em seus vínculos devem surgir reações capazes de satisfazer as equações fundamentais da estática. Este sistema de forças ativas e reativas constitui-se nas cargas externas atuantes. Quando um corpo recebe tal carregamento, as partículas internas que o constituem reorganizam-se, alterando sua configuração (deformando-o) até atingir o equilíbrio onde as deformações param de aumentar (são impedidas). Este movimento de partículas é devido aos esforços internos (solicitações internas) desenvolvidos, que são percebidos pelas deformações que provocam. Percebam que as solicitações estão associadas as deformações que provocam. Para simplificarmos o estudo destas solicitações, costuma-se decompô-las segundo um sistema de eixos ortogonais convenientes para a estrutura em estudo. B. ESFORÇOS INTERNOS E DEFORMAÇÕES ASSOCIADAS B.1. ESFORÇO NORMAL (N) É o esforço desenvolvido pelo corpo na direção do seu eixo longitudinal (eixo que passa pelo centro de gravidade de todas as seções tranversais). Quando submetido ao esforço normal o elemento estrutural sofre alongamentos ou encurtamentos. Observe-se que as fibras longitudinais originalmente paralelas entre si permanecem paralelas após a deformação.


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Tração axial (alongamento)

Compressão axial (encurtamento)

B.2. ESFORÇO DE CORTE (Q) É todo esforço que surge sobre o plano das seções transversais que constituem este corpo, ou seja, segundo eixos contidos por esta seção. Quando submetido ao esforço de corte o elemento estrutural sofre um deslizamento relativo de uma secção em relação a outra, também chamado de cisalhamento.

cisalhamento

B.3. MOMENTO FLETOR (M) Já sabemos que as forças podem provocar efeitos de giro,ou seja, momentos.Momento fletor é a tendência de giro da seção transversal em torno de um eixo baricentrico contido em seu plano. Como o momento pode ser substituido por um binário pode-se observar uma tendência de alongamento em uma das partes de seção e encurtamento em outra.


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M = F . d

B.4. MOMENTO TORSOR (Mt) Quando submetido a momento torsor as seções transversais do corpo sofrem uma rotação em torno de seu eixo longitudinal.

III. PARTES COMPONENTES DE UMA ESTRUTURA RESISTENTE A. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À GEOMETRIA E AO CARREGAMENTO A.l. ESTRUTURAS LINEARES OU DE BARRAS Estruturas lineares são aquelas em que uma das dimensões (comprimento) é muito maior do que as outras duas (medidas da seção transversal). A representação estrutural é feita pelo eixo longitudinal que é a linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais.


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1.a. Retas Uma estrutura linear é reta quando o seu eixo longitudinal é retilíneo.


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OBS: Nas peças comprimidas pode aparecer o fenômeno da flambagem que é uma instabilidade elasto-geométrica do sistema, que será estudada à parte (RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.b. Curvas São aquelas cujo eixo longitudinal é uma curva (esforços de corte,tração, compressão e flexão) Ex: arcos

1.c. Estruturas Compostas São aquelas formadas por elementos de barra


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1.d. Tipos de seção transversal As estruturas de barra (ou lineares) podem apresentar formas diversas para a sua seção transversal. Exemplo:

Perfilados (usados em materiais bastante resistentes ex: aço)

OBS : Os perfis metálicos são de dois tipos: perfis laminados e perfis de chapas dobradas. Os primeiros são padronizados e mais pesados e os segundos devem ter as suas dimensões estabelecidas pelo calculista.


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A.2.ESTRUTURAS LAMINARES , BIDIMENSIONAIS OU DE SUPERFÍCIE São aquelas em que duas dimensões (plano médio) são muito maiores do que a terceira (espessura).

a x b - plano médio e - espessura

A sua representação estrutural é feita pela superfície média.

2.a . Chapas São estrutura em que a superfície média forma um único plano , e as cargas atuam segundo este plano. Ex: paredes (compressão)


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2.b. Placas São estruturas em que a superfície média forma um único plano e as cargas atuam perpendiculares a este plano. Ex: laje de entrepiso (flexão)

2.c. Cascas São estruturas em que a superfície média não é formada por um único plano. Podem ser: POLIÉDRICAS : formada pela intersecção de vários planos ( esforços normais, flexão e corte)

CURVAS : Superfície média é uma curva ( esforço normal e flexão)


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2.d. Membranas São estruturas laminares em que a superfície média é curva e sua espessura muito reduzida em presença das demais dimensões. Seus esforços internos são distintos das cascas curvas. Devido à sua pequena espessura e grande flexibilidade suportam apenas esforços normais (não possuem resistencia à flexão). Ex: Reservarório de gás


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3. ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS OU DE VOLUME São estruturas em que as três dimensões tem a mesma ordem de grandeza. Ex: blocos de fundações, sapatas, etc.

A sua representação estrutural é feita pelos planos que a compõem podendo ou não serem desdobrados em vistas.


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CAPÍTULO III ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS - NOÇÕES INICIAIS I. GRAUS DE LIBERDADE (GL) DEFINIÇÃO: Graus de liberdade são o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que um corpo pode excecutar. A. Caso espacial Estruturas submetidas a forças em todas as direções do espaço. Estas forças podem ser reduzidas a três direções ortogonais entre si (x,,y,z), escolhidas como referência. Neste caso o corpo possui 6 graus de liberdade pois pode apresentar 3 translações (na direção dos 3 eixos) e 3 rotações (em torno dos 3 eixos). Exemplo:

B. CASO PLANO Estruturas submetidas a forças atuantes em um só plano, por exemplo x,y . Neste caso possuem 3 graus de liberdade pois podem apresentar 2 translações (na direção dos dois eixos) e 1 rotação(em torno do eixo perpendicular ao plano que contém as forças externas). Exemplo:


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II. VÍNCULOS A. DEFINIÇÃO: É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja finalidade é restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo. A fim de que um vínculo possa cumprir esta função, surgem, no mesmo, reações exclusivamente na direção do movimento impedido. OBS 1: Um vínculo não precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o fará será o conjunto de vínculos. OBS 2 : As reações desenvolvidas pelos vínculos formam o sistema de cargas externas reativas. OBS 3 : Somente haverá reação se houver ação , sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas, devendo ser calculadas. B. CLASSIFICAÇÃO Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e,portanto, se classificam em vínculos internos e externos. B.1. VÍNCULOS EXTERNOS: São vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificam quanto ao número de graus de liberdade restringidos.. B.1.a. Caso espacial: Podem restringir até 6 graus de liberdade (GL) e portanto podem ser classificados em 6 espécies. No quadro abaixo são apresentados alguns exemplos de vínculos externos para o carregamento espacial


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Exemplo de vínculos espaciais:


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B.1.b. Caso plano Nestes casos o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e portanto se classificam em 3 espécies.


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B.2. VÍNCULOS INTERNOS São aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. No caso plano podem ser de 2a e 3a espécie. Ex 1 : Vínculo de 3a espécie Sejam duas barras livres no espaço com carregamento plano:


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Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL. Unindo-as rígidamente ,por exemplo, atravéz de uma solda, o número de GL do conjunto passa a ser 3,portanto 3 GL restringidos.

Se chamarmos de RT o número de movimentos restringidos de um sistema teremos neste caso RT = 3 (vínculo de 3a espécie) Ex 2 : Vínculo de 2a espécie (PINOS OU RÓTULAS)

RÓTULAS : São vínculos que tem reações internas verticais e horizontais podendo transmitir forças nestas direções que se anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas. PARA QUE AS RÓTULAS DE UMA ESTRUTURA ESTEJAM EM EQUILÍBRIO É NECESSÁRIO QUE O MOMENTO POLAR DAS CARGAS EXTERNAS EM RELAÇÃO À ELAS SEJA NULO. EX: Sejam duas barras livres no espaço e submetidas a um carregamento plano. Cada barra possui 3 GL e portanto o conjunto apresenta 6 GL.

Representação Estrutural :


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Se forem unidas por exemplo por uma rótula, o número de graus de liberdade do conjunto passa a ser 4 . Neste caso RT = 2 (vínculo de 2a espécie) (vínculo de 2ª espécie)

III . CLASSIFICAÇÃO ESTRUTURAL De acordo com a sua estaticidade uma estrutura pode ser: A. HIPOSTÁTICAS: Quando o número de movimentos restringidos (RT) for menor do que o número de movimentos rígidos possíveis e independentes (GL) . Uma estrutura hipostática está em equilíbrio instável. B. ISOSTÁTICA: Quando o número de restrições (RT) for igual ao número de movimentos possíveis(GL). Uma estrutura isostática está em equilíbrio estável. A eficácia da vinculação deve ser examinada. C. HIPERESTÁTICA: Quando o número de restrições (RT) for maior do que o número de movimentos possíveis(GL). Uma estrutura hiperestática está em equilíbrio estável. IV . VERIFICAÇÃO DO EQUILÍBRIO A. ESTATICIDADE


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De acordo com a classificação já vista podemos dizer que uma estrutura será: hipostáticas: RT < GL isostáticas: . RT = GL hiperestáticas: . RT > GL B. GRAU DE CONEXÃO E RETENÇÃO TOTAL DE UMA ESTRUTURA (RT) Sejam duas barras livres no espaço com carregamento plano. O número de GL deste conjunto é 6. Se estas barras forem unidas rígidamente por um vínculo interno de 3a espécie o número de GL passa a ser 3. O número de movimentos restringidos foi 3 . RT = 3

Se possuirmos mais de duas barras podemos executar raciocínio idêntico ao anterior,ou seja, se tivermos 3 barras livres o número de GL do conjunto é 9. Ligando-as rígidamente (vínculo de 3a espécie) o número de GL passa a ser 3, portanto RT = 6.

ou


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Por outro lado, se tivermos ligado as barras por pinos ou rótulas ( vínculos de 2a espécie) , teremos: caso de 2 barras:

caso de 3 barras:

ou no caso de 4 barras

Podemos resumir e generalizar da seguinte maneira:


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n r r.(n-1) O número de movimentos impedidos em um vínculo de classe r onde concorrem n barras é:

n - número de barras que concorrem em um vínculo (n-1) - grau de conexão de um vínculo r - número de movimentos impedidos por este vínculo(classe do vínculo) Chamando: C1 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexão dos vínculos de primeira espécie. C2 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexão dos vínculos de segunda espécie. C3 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexão dos vínculos de terceira espécie Assim teremos: 1x C1 - número de movimentos impedidos pelos vínculos de primeira espécie 2x C2 - número de movimentos impedidos pelos vínculos de segunda espécie 3x C3 - número de movimentos impedidos pelos vínculos de terceira espécie Podemos então definir Retenção Total (RT) ou número de movimentos restringidos por todos os vínculos de uma estrutura como:

C. GRAU DE ESTATICIDADE OU GRAU DE HIPERESTATICIDADE ( gh) Podemos definir grau de estaticidade total de uma estrutura como a diferença entre a retenção total e o número de graus de liberdade que ela pode apresentar. gh = RT - GL

Barras concorrentes em um vínculo classe do vínculo RT 2 2 2 x 1 3 2 2 x 2 4 2 2 x 3 2 3 3 x 1 3 3 3 x 2 4 3 3 x 3

r.(n-1)

RT = 1 x C1 + 2 x C2 + 3 x C3


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No caso plano cada barra livre possui 3 GL logo, se tivermos m barras o número de GL do conjunto será 3 x m. Resulta: gh = RT - 3m ou

Então: gh < 0 Hipostática gh = 0 Isostática gh > 0 Hiperestática OBS: O exposto acima serve apenas para casos de carregamentos planos e a eficácia vincular deve ser também examinada. Por exemplo, a estrutura abaixo apresenta gh = 0 porém pode se movimentar na direção x.

D. ESTATICIDADE EXTERNA Quando quisermos verificar a estaticidade externa de uma estrutura, consideramos a estrutura como um conjunto monolítico, portanto com 3 GL e consideramos apenas as restrições dos vínculos externos, ou seja:

onde Rtext é a retenção total somente dos vínculos externos (soma da classe dos vínculos) E . ESTATICIDADE INTERNA A estaticidade interna é a diferença entre a estaticidade total e a estaticidade externa.

gh = ( C1 + 2.C2 + 3.C3) - 3.m

gext = RText - 3

gint = gh - gext


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EXEMPLOS: Determine o grau de estaticidade total , interno e externo das estruturas abaixo. 1.

R: gh = 0 (isostática) gext = 0 gint = 0

2.

R: gh = 0 (hipostática) ineficácia vincular gext = 0

gint = 0 3.

R: gh = -2 (hipostática) gext = 0 gint = -2

4.

R: gh = 0 (isostática) gext = 1 gint = -1

5.

R: gh = 0 (hipo- inef vincular) gext = 2 gint = -2

6.


41

R: gh = 1 (inef. vinc) gext = 5 gint = -4

7. R : gh = 4 (hiperestática) gext = 1 gint = 3

8. R: gh = 0(isostática) gext = 0 gint = 0

9.

R : gh = 3 (hiperestática) gext = 3 gint = 0


42

10. R: gh = 0 (isostática) gext = 1 gint = -1

45


CAPÍTULO IV ARMAÇÕES E MÁQUINAS CARGAS ATUANTES NAS ESTRUTURAS CLASSIFICAÇÃO E AVALIAÇÃO

46


I. ARMAÇÕES E MÁQUINAS As estruturas compostas de elementos ligados, nas quais qualquer um destes elementos suportem mais de duas forças estão na categoria de ARMAÇÕES E MÁQUINAS. ARMAÇÕES - São estruturas projetadas para suportar cargas aplicadas e estáticas e são, geralmente, fixas em uma posição. ex: Estrutura de um prédio. MÁQUINAS - São estruturas que contém partes móveis e são projetadas para transmitir forças ou conjugados de uma posição de entrada (ponto de aplicação) para uma posição de saída, Se a armação ou máquina por si só constitui um elemento rígido então a análise deve ser iniciada pela definição de todas as forças externas a ele. A estrutura é então desmembrada e considera-se o equilíbrio de cada uma das partes. As forças que atuam em cada um dos elementos de um sistema ligados são encontradas, isolando-se o elemento por meio de um DIAGRAMA DE CORPO LIVRE e aplicando-se as equações de equilíbrio estabelecidas. O princípio da ação e reação deve ser cuidadosamente observado, quando se representam as forças de interação nos diagramas de corpo livre isolados. Se a estrutura não for uma unidade rígida o cálculo das reações não pode ser finalizado enquanto não se separar todos os elementos da estrutura.

II. CARGAS ATUANTES A. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO MODO DE DISTRIBUIÇÃO A1. CARGAS CONCENTRADAS São aquelas que atuam em áreas muito reduzidas em relação às dimensões da estrutura. Neste caso ela é considerada concentrada no centro de gravidade da área de atuação. ex: apoio de uma viga em outra viga ( AV2 - ação da V2 sobre a V1)

A2. CARGAS MOMENTO OU CARGAS CONJUGADAS

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São momentos aplicados em determinados pontos de uma estrutura (fixos).Podem se originar de: l. Binários

2. Cargas excêntricas

3. Eixos de transmissão

A3. CARGAS DISTRIBUÍDAS São aquelas que atuam em uma área com dimensões na mesma ordem de grandeza da estrutura. l. Distribuidas sobre uma superfície São expressas por "q"e representam a quantidade de carga aplicada por unidade de área. Unidade : kN/m2 , kgf/cm2 , kN/cm2, etc.. "q" - taxa de distribuição da carga

Ex: peso próprio em uma lage de concreto

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γconcr= 25 kN/cm2

γreboco = 20 kN/cm2 peso próprio ladrillho = 0,85 kN/m2 No exemplo anterior a taxa de distribuição calculada é uniforme, mas nem sempre é assim: Ex:

vento empuxo de líquidos,solo,cereais,etc. qliq = γlíq. hlíq qsol = k. γsol . hsol k = coeficiente de empuxo 2. Cargas distribuídas sobre uma linha

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São cargas que se distribuem numa área em que uma das dimensões é muito maior que a outra. Neste caso considera-se que a carga esteja atuando na linha média da referida área.

41 Também são representadas por "q"e indicam a quantidade de carga desenvolvida por unidade de comprimento. •Unidade: kN/m, kgf/m, kN/cm, etc Supomos que a distribuição da carga ao longo do comprimento da peça é variável e segue a função

q = f(x)

A carga total equivalente à esta distribuição seria o somatório ao longo do eixo de q(x)

Q = q(x) . dx0

l

��

portanto a resultante desta carga distribuida é igual à área da figura limitada pela linha da função q(x) e pelo segmento de eixo correspondente, aplicada no centro de gravidade desta área. Podemos usar a conclusão acima para resolvermos com facilidade casos comuns.

50


51


52


B. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO TEMPO DE DURAÇÃO B1. PERMANENTES Atuam durante toda ou quase toda a vida útil de uma estrutura Ex: peso próprio, revestimentos, etc. B2. ACIDENTAIS OU SOBRECARGA Podem estar ou não atuando , sendo fornecidas por normas (NBR - 6.120/80) Ex : vento, mobiliário , etc. C . CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO PONTO DE APLICAÇÃO C1 . FIXAS Atuam em determinados pontos de uma estrutura, podendo variar em intensidade Ex: carga de parede, revestimentos,etc. C2. MÓVEIS Percorrem a estrutura, ou seja, podem atuar em vários de seus pontos. Ex: Caminhão atravessando uma ponte


52

CAPÍTULO V CÁLCULO DAS REAÇÕES EXTERNAS I . GENERALIDADES Reações externas ou vinculares são os esforços que os vínculos devem desenvolver para manter em equilíbrio estático uma estrutura. Os vínculos são classificados de acordo com o número de graus de liberdade restringidos e só podemos restringir 1 GL mediante a aplicação de um esfôrço (força ou momento) na direção deste movimento. A determinação das reações de apoio de uma estrutura isostática é feita por intermédio de um sistema de equações algébricas, que estabelece as condições de equilíbrio da estrutura, supondo-se rígidas todas as barras. No caso espacial (cargas em todas as direções) a estrutura possui 6 GL (translação na direção dos 3 eixos e rotação em torno dos 3 eixos) e portanto para que ela esteja em equilíbrio devemos satisfazer 6 equações: ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ My = 0 ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 No caso plano (cargas atuantes em 1 único plano, por exemplo x,y) a estrutura possui 3 GL ( translação nas direções x e y e rotação em torno do eixo z), portanto o número de equações a serem satisfeitas são 3: ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 Convém salientar que vamos nos ater ao caso mais comum (carregamento plano) onde os vínculos podem ser de 3 espécies:

1a espécie - restringe 1 translação -

2a espécie - restringe 2 translações -

3a espécie - restringe 2 translações e 1 rotação - Desta maneira, cada movimento restringido corresponde à 1 reação vincular (incógnita), que deve ser determinada. Assim, se a estrutura é isostática e estamos no caso plano as reações devem ser em número de 3 (a eficácia vincular deve ter sido préviamente analisada) e como dispomos de 3 equações a serem satisfeitas, a aplicação destas equações nos leva à determinação das reações (incógnitas) desejadas.


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Se a estrutura for hiperestática, conforme já vimos, há vínculos superabundantes, que impedem também deslocamentos oriundos das deformações das barras. Nestes casos a determinação dos esforços reativos não pode ser feita apenas com as equações fundamentais da estática, embora estas equações devam obrigatóriamente ser satisfeitas. Logo, a resolução de uma estrutura hiperestática é realizada utilizando-se um sistema formado por estas equações e por outras (em número igual ao grau de hiperestaticidade) obtidas do estudo da deformação da estrutura. II. CÁLCULO DAS REAÇÕES EXTERNAS A. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS SIMPLES Uma estrutura isostática é classificada como simples quando possui apenas um elemento, possuindo apenas vínculos externos. À fim de se determinar o valor das reações externas procede-se da seguinte forma: Transforma-se a estrutura dada num corpo livre , substituindo-se todos os vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentido para cada esforço. Para que o corpo mantenha-se em equilíbrio estático é necessário que as 3 equações da estática sejam satisfeitas. ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣMz = 0 OBS 1 : As cargas distribuidas devem ser substituidas por suas respectivas resultantes (este artifício é válido sómente para o cálculo das reações externas). OBS 2 : Como escolhemos direções de referência (x e y) as cargas que não estiverem nestas direções devem ser decompostas nestas direções, ou seja, substituidas por um sistema equivalente. OBS 3 : Resolvido o sistema de equações, as reações que resultarem negativas devem ter o seu sentido invertido. Exemplo 1 :

B. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS COMPOSTAS


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B.1. INTRODUÇÃO: São estrutras constituidas por elementos ligados entre si por rótulas que formam um conjunto estável. Rótulas são articulações internas que não absorvem momento portanto para que uma rótula esteja em equilíbrio a soma dos momentos em relação a ela deve ser nula. Então, além das equações fundamentais da estática surge uma nova condição que nos leva a equações auxiliares de equilíbrio: soma dos momentos à esquerda e à direita de uma rótula deve ser zero. ΣΣΣΣMr à esquerda = 0 ΣΣΣΣ Mr à direita = 0 B.2. VIGAS GERBER a. Conceito: A viga Gerber se constitui num caso particular de estruturas compostas. Consta de uma associação de vigas com estabilidade própria, com outras, sem estabilidade própria apoiadas sobre as primeiras, dando estabilidade ao conjunto. A interligação entre as partes se dá por intermédio das articulações(rótulas). Nesta associação, as vigas com estabilidade própria suprem as outras dos vínculos que lhes faltam, ficando o conjunto estável, portanto, as primeiras são acrescidas de cargas que lhes são transmitdas pelas rótulas. Ex:

O aparecimento das vigas Gerber deu-se para resolver problemas de ordem estrutural e construtiva. As vigas Gerber tem lugar de grande importância na engenharia estrutural e a tendência é de cada vez mais serem utilizadas, tendo em vista o desenvolvimento das técnicas de pré-fabricação e montagem de estruturas.


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Ex:

esquema estrutural:

b. Cálculo das reações de apoio. b.1. Método Algébrico. Constitui-se na aplicação pura das condições de estabilidade. Exemplo :

No exemplo acima temos 4 reações externas a determinar e 3 equações de estática. A rótula nos dá outra condição de equilíbrio pois o momento em relação à ela deve ser nulo. Σ Fx = 0 Σ Fy =0 Σ Mz =0 Σ Mr esq = 0 Σ Mr dir = 0 Podemos então, dispor de 5 equações algébricas com 4 incógnitas o que se constitui em um sistema algébricamente possível.


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Observações: 1. A escolha adequada das equações a serem utilizadas pode facilitar ou não a solução do problema. 2. Para vigas Gerber com maior número de apoios e rótulas este método pode não ser muito interessante pela dificudade algébrica da resolução. b.2. Método Direto. Como o nome já diz, no método direto é feita a decomposição da viga nas partes que à constituem. Esta decomposição é feita nas articulações, portanto nenhum momento é transmitido entre as partes. A ação de uma parte sobre a outra que lhe serve de apoio corresponde à reação igual e contrária desta sobre a primeira (princípio da ação e reação), portanto cada força de ligação deve ser indicada nas duas partes correspondentes com sentidos opostos. Quando são desfeitas estas ligações com o meio externo e nas articulações, a estrutura se transforma para fins de cálculo, num conjunto de corpos livres e em cada um são aplicáveis as 3 equações da estática. O cálculo deve seguir uma sequência lógica, sendo calculados primeiro os trechos sem estabilidade própria, para então, após a transmissão das cargas, calcularmos os com estabilidade própria. OBS : Numa viga Gerber pelo menos 1 dos apoios deve ser capaz de absorver forças horizontais ( 2a ou 3a espécie) que irão diretamente para ele atravéz das rótulas. Exemplo :


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B.3. PÓRTICOS TRI-ARTICULADOS Os pórticos tri-articulados são estruturas isostáticas com 2 apoios de 2a espécie e uma rótula intermediária. OBS: As três articulações não podem estar alinhadas pois neste caso a estrutura será hipostática (ineficácia vincular) Nestes casos não podemos cortar a estrutura na rótula pois de ambos os lados do corte não obteríamos uma estrutura com estabilidade própria. Para a determinação de suas reações de apoio dispomos das 3 equações da estática acrescidas da condição da rótula não trasmitir momento fletor. Ficamos então com um sistema algébrico de possível solução. A escolha da conveniência das equações deve ser estudada préviamente para simplificarmos o cálculo. Ex:


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59

CAPÍTULO VI SOLICITAÇÕES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA I. INTRODUÇÃO Vimos até aqui que quando existe um sistema de cargas ativas atuando em um corpo são desenvolvidas cargas externas reativas, capazes de manter o equilíbrio do corpo, que calculamos com a aplicação das equações fundamentais da estática. Se estivermos diante de uma estrutura com carregamento espacial : ΣΣΣΣFx = 0 ΣΣΣΣMx = 0 ΣΣΣΣFy = 0 ΣΣΣΣMy = 0 ΣΣΣΣFz = 0 ΣΣΣΣMz = 0 Se estivermos diante de uma estrutura com carregamento plano: ΣΣΣΣFx = 0 ΣΣΣΣFy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 De uma maneira geral podemos dizer que: 1. O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios. 2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio , onde as deformações param de aumentar(são impedidas internamente), gerando solicitações internas. 3. O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações). Pretendemos analisar quais os efeito que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. Para tanto, suponhamos o corpo em equilíbrio, sob efeito de um carregamento qualquer. Se cortarmos este corpo por um plano qualquer (π), rompemos o equilíbrio pois destruimos sua cadeia molecular, na seção "S" de interseção do plano com o corpo.


60

Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, deve-se aplicar , por exemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela ou seja, resultante de força (

�R ) e

resultante de momento (�

M ). O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas resultantes estão também representadas. �R - Resultante de forças da parte retirada �

M - Resultante de momentos da parte retirada

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. � �R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra.


61

Determinação dos esforços em uma seção: Quando queremos saber o que acontece em uma seção S de uma peça, devemos cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um ) e podemos dizer que no centro de gravidade esta seção devem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio. Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção de referência adotada será a seção transversal das peças em estudo. II. CLASSIFICAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES Os esforços estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com elas. Sabemos também que um vetor no espaço pode ser decomposto segundo 3 direções que escolhermos e adotaremos 3 direções perpendiculares entre si no espaço (x,y,z). Vamos decompor os vetores resultantes

� �R e M segundo estas tres direções escolhidas e teremos:

Observe que escolhemos 3 direções perpendiculares entre si com a seguinte característica: 2 direções contidas pela seção de corte e a terceira perpendicular à seção de corte. Denominamos as componentes da seguinte maneira: N - Esforço Normal Q - Esforço Cortante M - Momento Fletor Mt - Momento Torsor Cada solicitação conforme já vimos tem associada à si uma deformação:


62

Esforço Normal (N) : Podemos definir esforço normal em uma seção de corte como sendo a soma algébrica das componentes de todas as forças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal),ou seja, todas as forças de um dos lados isolado pelo corte na direção do eixo x.

.

Representando duas seções infinitamente próximas entre si, o efeito do esforço normal será de provocar uma variação da distancia que separa as seções, que permanecem planas e paralelas. As fibras longitudinais que constituem estas seções também permanecem paralelas entre si, porém com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos)

O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitdinal e negativo no caso de encurtamento. Esforço Cortante (Q) : Podemos definir esforço cortante em uma seção de referência como a soma vetorial das componentes do sistema de forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada. Não é usual entretanto, trabalharmos com a soma vetorial e sim com suas componentes segundo dois eixos de referência contidos pela seção, podendo resultar em 2 esforços (Qy e Qz) obtidos pela soma algébrica das componentes das forças do sistema nestas direções.

O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento no sentido do esforço de uma secão sobre a outra infinitamente próxima acarretando o corte ou cisalhamento da mesma.

N = ΣΣΣΣ Fx ext

Qz = ΣΣΣΣFzext Qy = ΣΣΣΣ Fyext


63

Os esforços cortantes (Qy,Qz) serão positivos, quando calculados pelo somatório das forças situadas à esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatório das forças à direita forem contrários aos eixos. Momento Fletor (M) : Podemos definir momento fletor em uma seção de referência como a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da referência em relação aos eixos contidos pela seção de referência (eixos y e z). Não é usual entretanto trabalharmos com a soma vetorial optando-se pelo cálculo separado dos momentos em relação aos eixos y e z, tranformando a soma em algébrica.

O efeito do momento fletor é provocar o giro a seção tranversal em torno de um eixo contido pela própria seção. As fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas permanecem planas).

O momento fletor Mz é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura e My é positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura. Momento Torsor : Podemos definir momento torsor em uma seção de referência como a soma algébrica das componentes dos momentos das forças externas de um dos lados da referência em relação ao eixo longitudinal da peça (eixo x).

O efeito do momento torsor é o de provocar o giro da seção em torno do eixo longitudinal da peça, torcendo-a ou deslocando-a angularmente em relação à seção visinha.

My = ΣΣΣΣmyext Mz = ΣΣΣΣ mzext

Mt = ΣΣΣΣ mxext


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A convenção de sinais adotadas para o momento torsor é análoga à do esforço normal, ou seja, o momento torsor é considerado positivo quando sua seta representativa está saindo da seção de referência (regra da mão direita). III. SOLICITAÇÕES EM ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL E PLANO. A. ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL (caso geral). Netes casos as cargas estão se desenvolvendo em todas as direções do espaço, e portanto temos componentes de força e momento em todas as direções também.

Esforços desenvolvidos:


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B. ESTRUTURA COM CARREGAMENTO PLANO Cargas contidas em um único plano, por ex: plano x , y (caso mais comum)

Esforços desenvolvidos:

IV. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS - MÉTODO DAS EQUAÇÕES A. CONVENÇÕES: Conforme já vimos, se cortarmos uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas). Vamos tratar de estruturas sujeitas à carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são o esforço normal N (ΣΣΣΣFx), o esforço cortante Qy (ΣΣΣΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de uniformizarmos a nossa representação vamos representar graficamene as convenções para o sentido positivo destas solicitações.


66

B. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO ARBITRÁRIA Se desejarmos calcular a solicitação desenvolvida em uma seção qualquer de uma peça carregada, usamos o método das seções: Cortamos a peça na seção desejada e isolamos um dos lados do corte (qualquer um). Na seção cortada devems ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio. Exemplo: Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo.

VA = VB = q l.2

Cortando e isolando um dos lados do corte:

Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: ΣFx = 0 ∴ N = 0

Σ Fy = 0 ∴ Q q l q l−−−− ++++ ====. .2 2

0 ∴ Q = 0

Σ MS = 0 ∴ M q l l q l l++++ ��

��

�� −−−− ��

��

��

�� ====

. . . .2 4 2 2

0

Ms = q l. 2

8


67

Supondo que quisessemos as solicitações desenvolvidas em diversas seções da viga, repetiriamos o procedimento acima exemplificado, em quantas seções quantas pretendidas. Ao efetuarmos esta sucessão de cortes, observamos que as equações de equilíbrio formadas são as mesmas, com mudança apenas na distancia da seção cortada a referência. Poderíamos generalizar este procedimento,criando uma variável, por exemplo "x", que representasse esta distancia de uma forma genérica.

onde 0 ≤ x ≤ l marcando os limites de validade da variável x.

Então: Σ Fx = 0 N = 0

Σ Fy = 0 Qq l q x−−−− ++++ ====. .2

0 ∴ Q q xq l==== −−−− ++++.

.2

Σ MS = 0 M q x x q l x++++ −−−−. . . .2 2

Mq l x q x x==== −−−−. . .2 2

2

Esta representação se contitui o que se chama de método das equações C. PONTOS DE TRANSIÇÃO Vamos iniciar com um exemplo, calculando as solicitações desenvolvidas nas seções S1 e S2 da viga abaixo:

VA = Pb/l VB = Pa/l


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S1: 0 ≤ x1 ≤ a

Σ Fx = 0 N = 0 Σ Fy = 0 Q-Pb/l = 0 Q = Pb/l Σ M = 0 M - Pb/l .x1 = 0 M = Pb/l . x1 S2 : a ≤ x2 ≤ l

Σ Fx = 0 N = 0 Σ Fy = 0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P Σ M = 0 M + P (x2 - a) - Pb/l . x2= 0 M = Pb/l . x2 - P(x2 - a)

Constatamos que x1e x2 nunca podem se sobrepor, pois dão origem a equações diferentes (na 2ª não entra a carga P) e então podemos chama-los genericamente de x e distinguir os trechos de validade dos mesmos. 1o trecho 2o trecho 0 ≤ x ≤ a a ≤ x ≤ l equações válidas para o primeiro trecho equações válidas para o segundo trecho Q(x) = Pb/l Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l M(x) = Pb/l.x M(x) = Pb/l.x - P(x-a) No exemplo acima intuitivamente nós identificamos um ponto de transição, que seria o ponto de aplicação da carga P, a partir do qual há a mudança na equação. Conforme foi visto há a necessidade de analizarmos um trecho antes e outro depois deste ponto de transição. Podemos generalizar o acima dizemos que sempre que houver um ponto de transição devemos proceder desta maneira. Podemos definir ponto de transição, de maneira análoga, como todo o ponto em que há alteração no carregamento:


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-Ponto de força aplicada

- Ponto de momento aplicado

- Ponto de troca da taxa de carregamento(descontínua)

De acôrdo com o que foi visto, podemos calcular as solicitações como funções da variável x, com trecho de validade pré-estabelecido, obtendo assim equações gerais para as mesmas, com validade nos diversos trechos vistos. Quando quisermos o valor da solicitação em uma seção em especial , de ordenada x conhecida, basta substituirmos nas equações o valor de x pela ordenada numérica desejada. Em geral nos interessa o valor das solicitações em toda a estrutura e não apenas em pontos específicos da mesma, e estas são representadas por suas equações. Este procedimento de cálculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples. Dado o esquema estrutural da peça (vínculos,cargas ativas e vãos): 1. Cálculo das reações externas 2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos 3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como posição genérica desta seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos. 4. Supomos em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser arbitradas com o sentido convencionado positivo. 5. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, obtendo-se então as equações desejadas. 6. Representação destas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção abaixo:


70

OBS: As cargas distribuidas não mais podem ser substituidas por suas resultantes totais, mas sim por resultantes parciais nos trechos considerados. EXEMPLOS: Determine o diagrama das Solicitações Internas das vigas abaixo,usando o método das equações: 1.

VA = 20 kN VB = 10 kN HA = 17,32 kN

2.

VA = 31 kN VB = 14 kN


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D. RELAÇÕES DIFERENCIAIS Suponhamos uma estrutura sujeita à um carregamento que varia com a função q(x) e consideremos duas seções infinitamente próximas (S1 e S2)

Cortamos a estrutura nestas seções e isolamos o trecho entre elas. Em cada uma das seções estarão representados os efeitos da parte da estrutura retirada. O cortante Q em S1 será a soma de todas as forças verticais até a seção, e na seção S2 será Q+dQ pois dQ representa o acréscimo de cargas verticais que atuam em dx. O mesmo se dará com as outras solicitações.

Q + dQ = Q - q(x).dx ou dQ = -q(x).dx ou ainda

Analogamente: M + dM = M- q(x).dx dx/2 + Q dx ou dM = Q.dx - q(x). dx2/2 q(x).dx2/2 é um infinitézimo de 2ª ordem e será despresado

-q(x) = dQdx


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Daí resulta: dM = Q.dx ou ainda

Percorrendo o caminho inverso:

OBS:Estas relações foram deduzidas para x variando da esquerda para a direita,portanto quando x variar da direita para esquerda as relações trocam de sinal. CONCLUSÕES: 1. À partir de q(x) podemos determinar Q(x) e M(x) 2. Ao efetuarmos as integrais não podemos esquecer as constantes de integração, que podem ser determinadas utilizando-se condições de contorno próprias da estrutura. 3. De acordo com o cálculo diferencial o máximo de uma função ocorre quando sua primeira derivada é nula portanto o momento máximo de uma estrutura ocorre quando seu cortante for nulo. Sempre que estivermos estudando uma estrutura com o fim de projetá-la vai nos interessar o ponto e o valor deste momento máximo pois representa a pior situação da mesma. 4. À partir do conhecimento das relações diferenciais e fazendo uma análise matemática dos casos podemos afirmar que os diagramas apresentam características próprias nos pontos de transição. a. Cargas verticais concentradas: 1. Descontinuidade no diagrama de cortante igual ao valor da carga 2. Ponto anguloso no diagrama de momento fletor b .Carga uniformemente distribuida 1. Diagrama de cortante é uma reta inclinada 2. Diagrama de fletor é uma parábola (segundo grau) com a concavidade voltada para a carga c. Carga com distribuição triangular 1. Diagrama de cortante é uma parábola de segundo grau com concavidade a ser analizada 2. Diagrama de momento é uma curva de terceiro grau com a concavidade voltada para a carga

Q = dMdx

Q(x) = −−−−�� q x dx( ).

M(x) = Q x dx q x dx( ). ( ).==== −−−−��


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d. Carga Momento 1. Descontinuidade no diagrama de momentos igual ao valor do momento aplicado e. Carga concentrada com componente na direção do eixo da peça 1. Descontinuidade no diagrama de esforço normal igual ao valor da componente no eixo 5. Nos pontos extremos das barras em estudo somente haverá solicitação se nestes pontos houverem cargas ou momentos aplicados: a. Se houver carga vertical aplicada, o diagrama de cortante inicia com o valor desta carga (sinal conforme convenção) b. Se houver momento aplicado o diagrama de momentos inicia com o valor deste momento c. Se houver carga aplicada na direção do eixo o diagrama de esforços normais começa com o valor desta carga. E. CÁLCULO DOS MOMENTOS MÁXIMOS O cálculo do momento máximo desenvolvido em uma estrutura ou em um trecho de uma estrutura tem grande importancia nos casos de projetos de peças pois normalmente representa a pior situação da peça devendo por isso ser analisada. Podemos exemplificar este procedimento em: 1. Trecho com carregamento uniforme (carga retangular) a. Com valores à esquerda do ponto:

Σ Fy = 0 Qn-1 - q.xo = 0

b. Com valores à direita do ponto:

Σ Fy = 0 Q

n-1 - q.xo = 0

2. Trecho com carga triangular:

xo = Q

qn -1

xo = Q

qn + 1


74

a. Com valores à esquerda do ponto Σ Fy = 0

Qn-1 - q xo.

2 = 0

como qol

qxo

=

então

q = qo xo

l.

substituindo "q" na expressão:

Qn-1 - qo xo

l..2

= 0 ou

b. Com valores à direita do ponto:

Σ Fy = 0

Qn-1 - q xo.

2 = 0

como qol

qxo

=

então q = qo xo

l.

logo:

Qn-1 - qo xo

l..2

= 0 ou

xo = 2 1. (n ). lQ

qo−−−−

xo = 21Q

qo(n ). l−−−−


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QUADRO RESUMIDO


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V. MÉTODO DIRETO NO TRAÇADO DOS DIAGRAMAS OU MÉTODO DOS PONTOS DE TRANSIÇÃO. A. ASPECTOS GERAIS Foi visto o método das equações onde as solicitações internas são expressas por funções relativas à posição genérica do ponto representada por x, tendo cada função validade em um trecho pré estabelecido. O método das equações nos permite calcular a solicitação desejada em qualquer ponto, bastando substituir a variável x pela ordenada do ponto desejado. O estudo matemático do método das equações nos permite também determinar características de forma e comportamento dos diagramas em presença do carregamento do trecho e do ponto de transição correspondente. Ex: - carga vertical concentrada: diagrama de esforços cortantes ........................ descontinuidade no diagrama no valor da carga diagrama de momentos fletores ........................ angulosidade no ponto da carga. Este conhecimento nos permite fazer o traçado da linha de fechamento dos diagramas mesmo não sendo conhecida a equação do trecho em questão, e então poderemos agilizar o traçado dos diagramas donde surge a idéia do método direto. B. PRINCÍPIOS TEÓRICOS Seja uma estrutura sujeita a um carregamento qualquer e em equilíbrio. Se isolarmos desta estrutura um elemento de comprimento "l" o mesmo deve permanecer em equilíbrio.

Supondo conhecidos os esforços em um ponto anterior (n-1), vejamos como calculávamos os esforços pelo método das equações e como calcularemos pelo método direto no ponto que nos interessa (n).


77

Método das Equações: Σ Fx = 0 ( )+ Nn - Nn-1 + H1 = 0 Nn = Nn-1 - H1 ΣΣΣΣFy = 0 ( ) + -Qn + Qn-1 - q.l - P1 = 0 Qn = Qn-1 - q.l - P1 ΣΣΣΣMn = 0 ( ) + Mn - Mn-1 - Qn-1.l + q.l2/2 + P1.l1 - M1 Mn = Mn-1 + Qn-1 .l - q.l2/2 - P1.l1 + M1

Método Direto: Nn = Nn-1 - H1 Nn = Nn-1 ±±±± ΣΣΣΣ Fxext Qn = Qn-1 - q.l - P1 Qn = Qn-1 ±±±± ΣΣΣΣ Fyext Mn = Mn-1 + Qn-1 . l - q.l2/2 - P1. l1 + M1 Mn = Mn-1 + Qn-1.l ±±±± ΣΣΣΣ Fyiext.li ±±±± ΣΣΣΣ Miext

Observa-se que no método direto calcula-se diretamente os valores dos esforços nos pontos de transição e, utilizando-se os conhecimentos adquiridos no método das equações traçamos o fechamento dos diagramas de esforços internos. Note-se que por estarmos calculando diretamente o valor dos esforços o sinal dos mesmos segue a convenção anteriormente estudada, ou seja, se as solicitações estiverem sendo calculadas com os valores à esquerda do ponto o sentido positivo é dado pelo lado esquerdo do elemento e se forem calculadas por valores à direita do ponto as convenções serão dadas pelo lado direito do elemento.

Conhecemos também as relações diferenciais: dM x

dx( )

= Q(x) M x Q x dx( ) ( ).==== ��

Como a integral representa um somatório de um ponto genérico (n-1) para o próximo ponto (n) , tem-se que M = Q x dx( ).�� é igual a área do diagrama de esforços cortantes no trecho considerado.


78

Podemos então generalizar:

Nn = Nn-1 ±±±± ΣΣΣΣ Fxext Qn = Qn-1 ±±±± ΣΣΣΣ Fyext Mn = Mn-1 + área do diagrama de cortante entre (n-1) e (n) Observações: 1. Quando somamos ao momento as áreas do cortante elas devem entrar com os sinais do diagrama 2. As linhas de fechamento dos diagramas devem seguir as conclusões matemáticas do método das equações 3. O acima deduzido foi feito ao percorrermos a estrura da esquerda para a direita. Se invertermos o caminho os sinais são trocados Qn = Qn-1 - ΣΣΣΣ forças verticais de n-1 à n Mn = Mn-1 - área do diagrama de cortante entre n-1 e n. 4. As convenções devem ser observadas com cuidado 5. O momento em um determinado ponto P só pode ser calculado se conhecermos a área do diagrama de esforços cortantes no trecho considerado. Isto não acontece quando o trecho contiver uma carga triangular, pois o diagrama de cortante é delimitado por uma parábola de 2º grau de área desconhecida. Neste caso ou se calcula neste trecho o momento pelo método das equações ou se utiliza a equação:

6. Os valores das solicitações à direita e à esquerda dos pontos de transição devem ser calculados pois dependendo do tipo de ponto de transição há descontinuidade nos diagramas. Se for uma carga vertical concentrada aparecerá descontinuidade no diagrama de esforços cortantes, de mesmo valor da carga,no seu ponto de aplicação; se for um momento concentrado aparecerá descontinuidade no diagrama de momentos fletores, de mesmo valor do momento, em seu ponto de aplicação. 7. Com a prática podemos agilizar o cálculo dispensando o estudo à direita e à esquerda do ponto de transição .

Mn = Mn-1 + Qn-1.l ±±±± ΣΣΣΣ Fyiext.li ±±±± ΣΣΣΣ Miext


79

8. As vigas gerber tanto podem ser calculadas pelo método das equações como pelo método direto. O cálculo das mesmas pode ser executado sobre toda a estrutura ou desmembrando-se a mesma em partes. Observe-se que a rótula é um ponto de transmissão de cargas verticais e horizontais não transmitindo momento, logo o momento nas rótulas deve ser nulo. Quando executamos os diagramas pelo método direto a rótula pode servir como uma referência para a confirmação da correção dos cálculo. Exemplos Determinar o diagrama das solicitações internas das vigas abaixo, usando o método direto. 1.

] VA = 10,64 kN VB = 8,86 kN HB = 2,61 kN

2.

VB = 50 kN VD = 23,3 kN HD = 20 kN VE = 16,67 kN


80

CAPÍTULO VII PÓRTICOS PLANOS I . ASPECTOS GERAIS Pórtico são estruturas formadas por barras, que formam quadros entre si. Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, que associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas compostas (GERBER), formam os chamados quadros compostos. São eles:

II. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES: O estudo de suas reações externas já foi realizado anteriormente, portanto, podemos passar ao estudo dos diagramas solicitantes. Em estruturas lineares horizontais (vigas) haviamos adotado uma convenção para as solicitações baseados nos conceitos de à esquerda e à direita da seção em estudo. No estudo dos pórticos, utiliza-se uma nova notação, visto a existência de barras verticais, horizontais e inclinadas, onde definimos os lados externos e internos das barras que constituem a estrutura.


81

Identifica-se os lados internos das barras com a parte inferior de uma estrutura linear horizontal, baseados no artifício de linearizar a estrutura, ficando desta forma possível utilizar-se as convenções já adotadas. Costuma-se tracejar o lado interno das barras, bem como a parte inferior das vigas, identificando-se fàcilmente as convenções.

Linearizar a estrutura é apenas um artifício usado para a adaptação das convenções já estabelecidas, porém não é válida para o cálculo das solicitações, pois estaria-se alterando, com a mudança de direção das barras, o funcionamento da estrutura. O cálculo das solicitações, assim como em vigas, pode ser realizado pelo método das equações ou pelo método direto. Deve-se ressaltar o fato de que o eixo longitudinal (x) de cada barra, continua sendo o eixo que passa pelo centro de gravidade das seções transversais, e os eixos y e z, perpendiculares à este e contidos pela seção de corte (eixos principais centrais de inércia).

O método das equações torna o estudo dos pórticos muito demorado, pois além de cortarmos a estrutura por uma seção antes e outra depois dos pontos de transição já definidos, quando há mudança de barra também deve ser interrompida a equação, pois uma carga que produz esforço normal em uma barra vertical, produz esforço cortante na barra horizontal perpendicular e ela, e vice-versa. Poderíamos encarar esta mudança de direção como um novo ponto de transição, examinando seções antes e depois deles.


82

No pórtico ao lado, teríamos por exemplo seis seções a serem analizadas. Vamos então estudar as solicitações em pórticos diretamente pelo método do pontos. Deve-se salientar o fato de que ao considerarmos a seção de uma barra qualquer de um pórtico, devem ser consideradas todas as cargas externas aplicadas à direita ou à esquerda da seção, inclusive as cargas que atuam em outras barras que não

a em estudo. EXERCÍCIOS: 1.

. VA = 70 kN VB = 0 HB = 10 kN (← )

DIAGRAMAS:


83

2.

VA = 25,13 kN VB = 46,87 kN HB = 6 kN (←)

DIAGRAMAS:


84

3.


85

4.


86

5.


87

6.


88


89

CAPÍTULO VIII TRELIÇAS ISOSTÁTICAS I. DEFINIÇÃO: Treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suas extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas. Exemplo:

Obs 1 : Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo:

Obs 2: As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para vencerem vãos maiores ou suportar cargas maiores. Obs 3: Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de treliças planas, que será o estudado em nosso curso. Obs 4 : Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua rotação relativa nos nós), conforme figura (a). Não é frequente, no entanto, a união destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós atravéz de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes (fig. b)


90

Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos nós, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras. Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria que vamos desenvolver, sendo ela válida do ponto de vista prático. II. TRELIÇAS PLANAS A. SOLICITAÇÕES INTERNAS Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas (rótulas não absorvem momento), desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras. Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça. Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo e perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós. A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos contrários.A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos.

Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida é um Esforço Normal constante ao longo da mesma. Como o esforço normal é constante ao longo da barra podemos calcular o seu valor em uma seção qualquer, da barra que se deseja.


91

B. CLASSIFICAÇÃO QUANTO A SUA ESTATICIDADE Sejam: b - número de barras n - número de nós ou rótulas r - número de reações externas As incognitas do problema serão em número de b + r ,ou seja, o número de reações e a solicitação de esforço normal em cada barra. O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio de um ponto material (Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ). Então, se r + b � 2 n treliça hipostática r + b = 2 n Sugere tratar- se de uma treliça isostática, o que não pode ser confirmado sem antes analisarmos os apoios externos e a lei de formação interna da treliça em questão. r + b > 2 n Sugere tratar- se de uma treliça hiperestática, sendo válidas as observações feitas no caso anterior. C. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO Quanto a formação as treliças podem ser : 1. Simples : A treliça será simples se puder ser obtida a partir de configurações indeformáveis pela adição de duas a duas barras partindo nós já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas barras).


92

Exemplo:

2. Composta A treliça é isostática e composta quando for formada por duas treliças simples ligadas por 3 barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um nó e uma barra sendo que esta barra não concorre no nó citado. A resolução de uma treliça composta pode recair no caso de duas treliças simples, mediante o cálculo prévio dos esforços nos elementos de ligação, o que permitirá isolá-las para fins de cálculo estático. Exemplo:

3. Complexa: Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nem composta. Observe que não podemos afirmar se ela é isostática pela simples análise de b + r = 2 n que é uma condição necessária mas não suficiente para garantir a isostaticidade. O reconhecimento de sua real classificação é feito pelo método de Henneberg. Exemplo:


93

D. MÉTODO DE RESOLUÇÃO DAS TRELIÇAS ISOSTÁTICAS SIMPLES O cálculo dos esforços normais nas barras de uma treliça isostáticasimples pode ser feito de tres maneiras: - Método dos nós - Método de Ritter ou das seções - Método de Cremona No curso vamos nos ater aos dois primeiros métodos , já que o método de Cremona, por ser um método gráfico está em desuso com a aplicação da mecanização dos cálculos (informática). 1. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NORMAIS NAS BARRAS PELO MÉTODO DOS NÓS. É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó isolado. Devemos INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à determinar (esforço normal de 2 barras).Aplicamos as equações de equilíbrio estático: ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem determinadas (2 incógnitas) 2 equações não bastam para a solução do sistema. ROTEIRO: 1 - Cálculo das reações externas (se necessário) 2 - Escolha do 1º nó à ser examinado 3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido 4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se ela tem apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas) OBS: Este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculos que por acaso forem cometidos. 2. CÁLCULO DOS ESFORÇOS NORMAIS USANDO O MÉTODO DE RITTER (MÉTODO DAS SEÇÕES) Vimos que pelo método dos nós, devemos seguir uma ordem de cálculo e calculamos os esforços em todas as barras de uma treliça. O método de Ritter permite que se calcule os esforços normais apenas em algumas barras que possam nos interessar.


94

ROTEIRO: 1 -Calculo das reações externas se necessário 2 - Cortar a treliça por seções de Ritter que devem: a. Atravessar toda a treliça dividindo-a em 2 partes b. Interceptar no máximo 3 barras que não sejam ao mesmo tempo paralelas ou concorrentes( Os esforços normais destas barras serão os calculados) c. Cortada a treliça em duas partes, substitui-se a parte retirada pelos esforços normais desenvolvidos pelas barras cortadas, que devem ser calculados, de maneira que as partes ficam em equilíbrio. d. Os esforços normais serão encontrados pelo equilíbrio das partes, podendo-se dispor além das equações fundamentais de equilíbrio estático, da condição de nó onde a soma dos momentos em qualquer nó da treliça deve ser zero, pois rótulas não absorvem momento. OBS: Este método acrescenta mais condições as já conhecidas e usamos as condições que nos parecerem mais convenientes, e podemos facilmente mesclarmos os dois métodos. Exemplos: 1.

VA = - 40 kN HA = 20 kN (← ) VB = 60 kN R:Esforços normais: NAB = 0 NAC = + 20 kN NAD = + 28,28 kN NBD = - 60 kN NCD = - 20 kN NCE = 0 NCF = + 28,28 KN NEF = - 20 kN NDF = - 40 kN

2.

Respostas: VA = 40 kN VB = 40 kN NAC = NCD = - 136,4 kN NAF = 132,3 kN NFD = + 47,6 kN NFG = + 89 kN NDG = 0 NCF = + 20 kN


95

3.

4.

Respostas: VA = 50 kN HA = 60 KN(←) VB = 50 Kn NAH = - 70,7 kN NAC = +110 kN NIJ = - 160 kN NID = - 10 kN NCD = +160 kN


96

CAPÍTULO IX GRELHAS ISOSTÁTICAS I . ASPECTOS GERAIS Já sabemos que um sistema de forças em equilíbrio no espaço obedece as seis equações fundamentais da estática: ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ My = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 Admitamos um caso particular de um sistema de forças no espaço paralelas entre si:

Sendo todas as forças paralelas ao eixo z, verificamos que as equações da estática : ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 se transformam em meras identidades, pois se todas as forças são paralelas à z elas não terão componentes na direção x , y e nem formarão momentos em torno do eixo z, por lhe serem paralelas.

Permanecerão válidas como equações de equilíbrio apenas as tres restantes, isto é: ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ My = 0 Podemos afirmar, então, que um sistema de forças paralelas no espaço é regido por tres equações da estática, sendo duas de momentos nulos em relação a dois eixos situados no plano perpendicular ao das cargas e a terceira de força nula em relação ao eixo paralelo as cargas. II . DEFINIÇÃO Definiremos como grelha a uma estrutura plana submetida a um carregamento perpendicular a seu plano, regida pelas equações: ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ My = 0 Observando o funcionamento de uma grelha podemos afirmar que suas barras, em uma seção genérica qualquer, podem estar sujeitas a tres esforços simples:


97

Esforço Cortante (Q), Momento Fletor (M) e Momento Torsor (Mt), que devem ser calculados e expressos sob a forma de um diagrama. convenção de sinais:

O Esforço Cortante é soma de todas as cargas que atuam perpendiculares a eixo da barra em estudo. O Momento Fletor é a soma de todos os momentos que provocam o giro da seção em torno de um eixo contido pela seção tranversal da barra em estudo. O Momento Torsor é o momento que provoca o giro da seção em torno do seu eixo longitudinal. A. REAÇÕES VINCULARES Uma grelha será isostática quando tivermos apenas tres incógnitas a serem determinadas, pois dispomos de tres equações de equilíbrio para esta determinação. Exemplos: 1.

Neste caso, temos uma grelha engastada e livre, cujas reações de engaste são VD , MD e MtD , obtidas pelas equações disponíveis: ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ My = 0 É conveninte nos casos de grelhas engastadas que se localize a referência junto ao engaste. 2.


98

Neste segundo caso, temos uma grelha triapoiada, cujas reações de apoio também podem ser determinadas pelas equações da estática que regem este tipo de estrutura. Podemos usar o artifício de deslocar os eixos x e y de referência fazendo-os coincidir com barras convenientes da grelha. Neste caso podemos iniciar fazendo a barra AB coincidir com o eixo x e dizer que: Σ MAB = 0 Com a aplicação desta equação de equilíbrio, determinamos VD. A seguir o eixo y será coincidente com a barras BD e aplicando a equação Σ MBD = 0 o que nos fornecerá VA . Finalmente por Σ Fz = 0 , calculamos VB. B. APLICAÇÕES Para se obter os diagramas solicitantes para a grelha, cujas barras formam em todos os nós angulos retos, devemos analizar, por exemplo, pelo método direto, cada barra, levando-se em consideração os seus pontos de transição e em cada nó fazermos a conversão das solicitações devido a mudança de direção. O momento fletor que atua em uma determinada barra, fará o efeito de torsor em uma barra perpendicular a citada e vice-versa. Exemplo 1:


99

Em uma grelha engastada e livre, não é necessário o cálculo prévio das reações vinculares, pois os diagramas solicitantes podem ser obtidos à partir da parte livre (Balanço) até o engaste. Fazemos sempre o estudo barra por barra, iniciando-se, no caso pela barra AB que funcionará como uma viga engastada em B e livre em A. Os demais passos serão como nos demais casos, percorrendo a estrutura toda, passando por todas as barras.

A partir dos esquemas vistos podemos obter facilmente os diagramas dos esforços solicitantes para a grelha.

Exemplo 2: Grelha triapoiada


100

Cálculo das reações de apoio: Σ MBC = 0 10 x 4 + 30 x 4 + 40 x 2 - 4 VE = 0 ∴ VE = 60 kN Σ MCE = 0 2 VB + 30 x 2 - 10 x 2 - 40 x 2 = 0 ∴ VB = 20 kN ΣFV = 0 VC + VB + VE - 40 - 10 - 30 = 0 VC = 80 - VB - VE ou VC = 0 Diagramas de Solicitações:

Material Elaborado pela Prof. Silvia Kalil – Edição Aluna de Graduação Gabriela Fagundes

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1

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS – DECivil – Faculdade de Engenharia - PUCRS LISTA DE EXERCÍCIOS - CÁLCULO DE REAÇÕES EXTERNAS 1.

R: VA = VB 27,5 KN HA = 25,98 KN

2.

R: VA = - 5 kN VB = 95 kN HA = 0

3.

R: VA = 0,59 kN VB = 51,05 kN HB = 14 kN (← )

4.

R: VA = 98,4 kN VB = 16,6 kN HA = 0


2

5. R: VA = - 8,75 kN VB = 8,75 kN HA = 0

6.

R: VA = 60 kN VB = 0 HA = 0

7.

R: VA = 27,5 kN VB = 62,5 kN HB = 0

8.

R : VA = 40 kM HA = 0 MA = 75 kN.M (anti horário)

9.

R: VA = 70 kN HA = 0 MA = 140 kN.m (anti hor)


3

10. R: VA = 73,4 kN HA = 25 kN (←) MA = 68,3 kN (anti hor)

11.

R: VA = 21,25 kN HA = 0 MA = 3,75 kN.m (anti) VB = 43,75 kN

12.

R: RA = 40,81 kN VB = 102,8 kN VC = 52,14 kN

13.

R: VA = - 3,5 kN HA = 14 kN (→) VB = 55,5 kN VC = 22 kN

14.

R : VA = 48,75 kN VB = 83,75 kN HB = 43,3 kN (→) VC = 42,5 kN


4

15. R: VA = 40 kN VB = 50 kN MB = 20 kN.m(hor) HB = 0

16.

R: VA = 30 kN VB = 110 kN VC = 110 kN VD = 130 kN VE = 10 kN

17.

R: VA = 2,5 kN VB = 5 kN VC = 180 kN VD = - 37,5 kN

18.

R: VA = 60 kN VB = 0 VC = 180 kN VD = 120 kN MD = 160 kN.m (hor)


5

19. R: VA = VB = 25 kN HA = 0

20.

R: VA = 9,6 kN HA = 19,22 kN RB = 32,58 kN

21.

R: VA = 27,5 kN HA = 10,67 kN ( ← ) MA = 69,51 kN.m (ANTI) HB = 4,33 (→ )


6

22. R: VA = 65,2 kN VB = - 25,2 kN HB = 30 kN (←) MB = 215,4 kN.m (anti hor)

23.

R: VA = 11,3 kN HA = 35,8 kN (←) VB = 28,65 kN HB = 5,9 kN (→)

24.

R: VA = 24,33 kN HA = 16,22 kN (→) VB = 25,67 kN HB = 6,22 kN (←)


7

25. R: VA = 48,96 kN VB = 40,94 kN HB = 29,9 kN (←)

26.

R: VA = 2 kN VB = 28 kN HA = 40 kN (←)

27.

R: VA = 60,98 kN VB = 19,04 kN HB = 44,92 kN (→)


8

28. R : VA = 43,33 kN VB = 1,67 kN HA = 60 kN (→)

29.

R: VA = 51,46 kN HA = 12,08 kN (→) VB = 38,54 kN HB = 42,08 kN (←)

30.

R: VA = 48,75 kN VB = 83,75 kN HB = 43,3 kN (→) VC = 42,5 kN


1

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS – Faculdade de Engenharia – DECivil - PUCRS TRAÇADO DO DIAGRAMA DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS 1. 2.

3. 4. .


2

5. 6.

7 8.

VA = 63,33 kN VB = 111,67 kN 9.

10.


3

11.

12.

13.

14.

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15780708 Prof Me Silvia Maria Baptista Kalil Estruturas Isostaticas