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APLICAÇÃO DA GEOMETRIA ESPACIAL NA ARQUITETURA
Eliane Fátima Cadorin1
Eduardo Vicentini2
RESUMO
A geometria é a mais antiga das atividades matemáticas, muito importante devido a sua aplicação no cotidiano, sendo que as primeiras considerações feitas se originaram através de simples observações e comparações entre formas e tamanhos. O conhecimento geométrico constitui parte importante do Currículo Educacional na disciplina de Matemática. Juntamente com as demais ciências, desenvolve nos alunos um modo especial de pensamento, que lhes permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vivem. As atividades práticas explorando as formas geométricas relacionadas a situações vivenciadas no cotidiano dos alunos têm como objetivo motivar e despertar o interesse pelo conhecimento matemático e desenvolver suas habilidades. Neste trabalho, a metodologia proposta para o ensino-aprendizagem da Geometria Espacial no Ensino Médio foi a análise e contextualização das formas geométricas encontradas na arquitetura. As estratégias de ação incluíram as relações existentes entre as formas arquitetônicas e a geometria, consistiu na contextualização da geometria, utilizando para tanto materiais manipuláveis, recursos tecnológicos, visualização de imagens de obras arquitetônicas desde a pré-história até a atualidade, vídeos, imagens fotográficas da arquitetura local, atividades de classe e de laboratório. Após a conclusão das atividades com os alunos verificou-se que a construção do conhecimento aconteceu de forma significativa e gradativa e foi possível aos alunos relacionar o conhecimento adquirido no cotidiano com a matemática apreendida na sala de aula.
Palavras-chave: Geometria Plana; Geometria Espacial; Arquitetura; Formas Geométricas.
1 Introdução
1 Especialista em Fundamentos de Matemática, Graduada em Ciências/Matemática e docente da Secretaria Estadual de Educação do Estado do Paraná (SEED). [email protected] 2 Doutor em Ciências, área de concentração Física. Docente do Departamento de Física da Universidade Estadual do Centro-Oeste (UNICENTRO), Guarapuava, PR.
1
Olhando ao nosso redor observamos inúmeras formas geométricas
regulares e irregulares. A geometria aparece com grande frequência na arquitetura,
permitindo beleza e harmonia. É importante mostrar para o aluno que foi através da
Geometria Euclidiana que a humanidade construiu suas casas, suas cidades e seus
principais monumentos. E que nos dias atuais podemos notar grandes
transformações ocorridas na geometria dos objetos, das casas, das artes,
arquiteturas novas e arrojadas surgem desafiando todas as formas da geometria
clássica.
A Geometria leva o aluno a apreciar e valorizar as formas que existem ao
seu redor, relacionando-as com as formas geométricas. Assim, ao trabalharmos em
sala de aula, é importante despertar o interesse dos alunos de maneira natural e
espontânea, levando-os a perceber a beleza desafiadora da Geometria e a relação
com o meio em que ele vive. Com certeza o educando terá uma nova visão de tudo
aquilo que está ao seu redor, passando assim a explorar o mundo das formas,
relacionando as figuras planas com as espaciais, analisando, interpretando e
diferenciando as construídas pelo homem e as naturais.
A Geometria é muito importante na vida dos alunos, pois praticamente todas
as profissões usam seus princípios, e desta maneira é fundamental que saibam
articular o conhecimento teórico com o fazer prático, para que desempenhem melhor
suas capacidades. Muitas são as situações vivenciadas no ambiente onde vivem
que exigem um conhecimento mais aprofundado da geometria para que sejam
executadas, situações como pintar uma parede, construir um brinquedo ou montar
um equipamento, os quais podem se transformar em um problema e desmotivar o
aluno.
Conforme Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006, p.75,
volume 2) “o estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano”. No entanto, o conteúdo
de Geometria Espacial proposto em livros didáticos é apresentado de forma
descontextualizada, apenas trabalhando com os principais sólidos geométricos, suas
características e fórmulas de áreas e volume. Alguns livros didáticos apresentam,
como material de apoio, as planificações dos principais sólidos geométricos. Apesar
deste tipo de atividade ser motivadora, não desperta a criatividade do educando,
pois as mesmas já estão praticamente prontas, faltando apenas recortar e montar
2
esses sólidos, limitando a atividade a parte artística e histórica, não auxiliando para
a construção do conhecimento.
Percebendo as dificuldades apresentadas no ensino e aprendizagem da
Matemática, este trabalho apresenta uma proposta que tem como objetivo valorizar
e apoiar a prática pedagógica a partir da aplicação dos conceitos fundamentais da
geometria, favorecendo a apropriação dos conteúdos matemáticos e contribuindo
para a aprendizagem dos alunos, bem como, desafiar o educando na construção do
raciocínio lógico no ensino da geometria, para a resolução de problemas que
ocorrem em seu quotidiano. A principal finalidade do trabalho é indicar a presença
da geometria em nosso dia a dia, e assim ampliar o interesse dos alunos nesta área,
aperfeiçoando sua visão espacial e facilitando a distinção entre o plano e o
tridimensional.
A utilização de materiais manipuláveis é uma estratégia de ensinar a
matemática de forma contextualizada, para que nossos alunos passem, antes de
tudo, a gostar da matemática e aprendam a pensar de maneira criativa e
independente, aplicando na prática os conhecimentos adquiridos. Trabalhar com
imagens de obras arquitetônicas de forma contextualizada, fazendo um estudo sobre
os traços geométricos, a perfeição das formas, mostrando a ligação entre a
arquitetura e a geometria também é uma forma de contextualizar o conhecimento
matemático e despertar no educando o prazer pelo estudo.
O objetivo central é contribuir para a aprendizagem dos alunos a partir da
aplicação dos conceitos fundamentais da Geometria em situações vivenciadas em
seu quotidiano, motivando os alunos através de atividades práticas, despertando o
interesse pelo conhecimento, estimulando a curiosidade e a criatividade do aluno,
explorando e analisando as figuras geométricas no mundo em que vivem,
desenvolvendo suas habilidades matemáticas para solucionar problemas no
ambiente familiar ou de trabalho.
2 Fundamentação Teórica
3
Ao se trabalhar como professor na Educação Básica do Estado do Paraná e
com alunos do Ensino Médio, tem-se a possibilidade de transformar a atuação
docente e a discente em relação aos conteúdos matemáticos, com a aplicação de
novas metodologias no processo de ensino e aprendizagem. Verificar
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio atravessam por um
processo de grandes transformações, propondo um ensino preocupado com o
desenvolvimento de habilidade e competências para o exercício da cidadania e a
formação ética.
Os textos a seguir apresentam de forma concisa e contextualizada algumas
referencias teóricas a cerca do Conhecimento e o Ensino da Geometria, dando
ênfase a um breve histórico da evolução da geometria.
2.1 Contextualizando o Conhecimento e o Ensino da Geometria
Repensar o saber pedagógico requer considerar as concepções
epistemológicas que sustentam o comportamento e, desta maneira, é necessário
entender como o conhecimento é produzido nestas concepções teóricas.
Para o inatismo, o conhecimento é construído através da razão humana que
trabalhando com os princípios lógicos fundamentais pode atingir o conhecimento
verdadeiro. Esses princípios são considerados inatos, portanto, já estão na mente do
homem desde o seu nascimento e, desta maneira, a razão deve ser considerada
como fonte básica de conhecimento. Na concepção de Nogueira (2010, p.14) “as
possibilidades do conhecimento são determinadas pela bagagem hereditária pela
qual o sujeito submete-se ao processo maturacional”. Na prática pedagógica, esta
concepção representa a valorização dos dons quando afirmamos que os alunos
aprendem sozinhos, ao despertar para o conhecimento. Neste contexto, o professor
tem o papel de motivador, despertando as capacidades que já são inatas nos
alunos.
Já o empirismo acredita nas experiências sensoriais, assim todas as nossas
idéias são provenientes de nossas percepções sensoriais. Como disse o filósofo
John Locke “nada vem à mente sem ter passado pelos sentidos”. Os empiristas
4
afirmam que, ao nascermos, nossa mente é como um papel em branco, desprovida
de idéias, desta maneira o conhecimento é adquirido pela experiência que nos são
dadas através dos cinco sentidos. Na escola, apoiar-se na teoria empirista, segundo
Nogueira (2010, p.14), “é visualizar o aluno como ser que nada tem e o professor
como autoridade que o conduzirá à impressão em si do conhecimento externo, posto
no ambiente para ser copiado”. Portanto, ao adotarmos esta concepção, estamos
afirmando que os alunos não constroem conhecimentos fora do ambiente escolar e
que suas suposições não têm utilidades. Assim, a única maneira segura de aprender
é com o professor e sua metodologia. Metodologia essa que acredita no
conhecimento posto de fora para dentro, realidade essa que se comprova na
Geometria onde o conhecimento pode ser visto e manipulado através de materiais
concretos.
Por outro lado, para no construtivismo, o aluno constrói o seu próprio
conhecimento através de interações com o ambiente. Conforme Nogueira (2010,
p.15), o aluno “é um indivíduo que entra para a escola com hipóteses sobre o mundo
e suas representações”. Nesta teoria, partimos da ideia de que o indivíduo-aluno já é
detentor de um saber e, considerando as experiências por ele vividas, podemos
levá-lo a construção do conhecimento verdadeiro. Nesta perspectiva, o professor
deve organizar ações que levem os alunos a pensarem de forma crítica. No
construtivismo, alunos e professores estão em constante construção, pois nas
mediações entre o conhecimento dos alunos e o conhecimento científico, há grande
troca de experiências, levando a uma relação de ensino aprendizagem mútua.
Neste contexto educacional onde as concepções epistemológicas nos
explicam como o conhecimento é produzido, precisamos perceber que nossos
alunos não são modelos pedagógicos prontos. Eles perguntam sobre tudo, têm
acesso a muitas informações e, portanto, nós professores precisamos criar
situações que sejam desafiadoras e jamais apresentar os conteúdos escolares na
forma de questões ou problemas com respostas e soluções prontas, mas sim
contextualizá-los sempre, buscando a realidade do aluno.
O conhecimento geométrico constitui parte importante do Currículo de
Matemática, porque desenvolve nos alunos um modo especial de pensamento que
lhes permitem compreender, descrever e representar, de forma organizada o mundo
em que vive.
5
A geometria é importante para o homem, está inserida no seu quotidiano,
como na arquitetura das construções, no esporte, no artesanato, nas embalagens
dos produtos. Pode ser observada no espaço tridimensional, ou seja, na melhor
ocupação de espaços, na localização e na trajetória de objetos. O ensino da
geometria tem um amplo campo de aplicação prática, permitindo ao educando a
construção dos conhecimentos teóricos.
Os alunos devem perceber que a geometria esta presente no nosso universo
físico, fazendo parte da escola, pois as formas geométricas são encontradas na sua
arquitetura, nas portas e janelas, nas carteiras, no prédio, nas calçadas e no jardim.
Ao verificar e compreender os conceitos geométricos como perímetro, área, volume,
faces, arestas, vértices, o aluno estará conhecendo o espaço escolar e a
aprendizagem da geometria acontece de maneira agradável e fácil, ganhando
significado e importância.
Conforme Orientações Curriculares para o Ensino Médio,
“O estudo da geometria deve possibilitar aos alunos o
desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do
quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas,
estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades
de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de
medidas”. (Orientações Curriculares para o Ensino Médio, 2006,
p.75, volume 2)
A Geometria é considerada uma importante ferramenta no processo de
ensino-aprendizagem, pois desenvolvem o raciocínio, a compreensão, descrição e
inter-relação com o espaço em que vivemos. É a parte da matemática mais intuitiva,
concreta e ligada à realidade. Pires (2000, p.15) enfatiza que através da geometria
“a criança desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite
compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive
além de ser um campo fértil para se trabalhar com situações-problemas”.
Devido a sua importância, o ensino da geometria tem adquirido lugar de
destaque nas reformas educacionais nos últimos anos. Nos Parâmetros Curriculares
6
Nacionais (PCNs, 1998), o ensino da geometria é proposto como fator fundamental
para o desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas no ensino
fundamental e médio.
Desta maneira, é importante resgatar o ensino da Geometria como uma das
áreas fundamentais da matemática, devido a sua importância no desenvolvimento
do pensamento espacial e do raciocínio visual, indispensável para a compreensão
de mundo e participação na sociedade. Nos últimos anos este estudo tem avançado
bastante, mas não pode ser reduzido apenas a aplicações de fórmulas e
construções de sólidos geométricos, desligada da realidade dos alunos.
2.2 Geometrias: Um breve histórico e evolução3
Nada se pode afirmar sobre as verdadeiras origens da geometria. Foi
apenas a cerca de seis mil anos que o homem começou a usar a escrita e, somente
a partir daí, tiveram início os registros mais organizados, documentando e ilustrando
a vida e os costumes dos povos da antiguidade. As informações sobre épocas
anteriores à escrita são resgatadas de objetos e de vestígios que restaram daqueles
povos. Os antropólogos e arqueólogos se encarregam de estudá-los, não raro
apoiados em suposições sobre o significado de documentos e peças encontradas.
As primeiras considerações feitas sobre a geometria são muito antigas, se
originaram através de simples observações e comparações entre formas e
tamanhos. A noção de distância foi um dos primeiros conceitos geométricos, que
surgiu através da necessidade do homem demarcar suas terras e, através dessas
delimitações, surgiu à noção de figuras geométricas simples.
Os relatos localizados no antigo Egito demonstram que o vale do Rio Nilo foi
o local onde a geometria se transformou em ciência. De fato, a palavra “geometria”
significa “medida de terra” e esse termo está associado ao historiador grego
Heródoto (séc. V a.C.) que aponta sua origem na agrimensura ou medições de
terrenos. Esses conhecimentos surgiram de necessidades práticas nas atividades
ligadas a agricultura e engenharia.
3 Este texto está baseado nos livros de BOYER, Carl Benjamim e EVES, Howard Whitley.7
As demonstrações geométricas foram iniciadas pelos gregos, principalmente
com Tales de Mileto (séc. VI a.C.), que foi considerado um dos “sete sábios” da
antiguidade e o fundador da geometria demonstrativa, utilizando métodos dedutivos
na geometria. Mais tarde, Pitágoras (séc. V a.C.), continuou a sistematização da
geometria, fundando a escola pitagórica, uma irmandade unida por mistérios, ritos e
cerimônias, que se dedicava ao estudo de filosofia, matemática e ciências naturais.
Posteriormente, Platão (séc. IV a.C.), mostrou interesse pela geometria,
evidenciando a necessidade de demonstrações mais rigorosas e dedutivas e não
apenas verificação experimental. Discípulo da escola platônica, Euclides de
Alexandria (séc. III a.C.), reuniu a maior parte dos conhecimentos matemáticos da
época em uma obra memorável denominada Elementos, composta por 13 volumes,
organizada a partir de princípios e definições. O método axiomático, presente na
obra de Euclides, dominou a matemática por muitos séculos, inspirando a
humanidade em outros campos do saber.
Durante o período do “Renascimento”, Leonardo Fibonacci (1170 - 1240)
retomou o estudo da Geometria Espacial, em 1220 escreveu a obra “Practica
Geometriae” que aborda a Geometria e a Trigonometria. No século XVI, o
matemático René Descartes introduziu a ideia de Geometria Cartesiana ou
Geometria Analítica, ao misturar Álgebra e Geometria e, assim, ensinou a
transformar pontos, retas e circunferências em números, demonstrando como fazer
contas com as figuras geométricas. No século XVII, o físico Isaac Newton
desenvolveu o cálculo diferencial e integral, tornando possível calcular a área e o
volume de qualquer figura geométrica, independente de sua forma.
Ainda no período do renascimento, os artistas buscando mais realismo em
suas obras introduziram os conceitos de pontos de fuga e perspectivas com o
objetivo de retratar as sensações de profundidade nos objetos e pinturas.
Na França em 1822, Jean-Victor Poncelet, engenheiro e matemático, dá
início à verdadeira criação da geometria projetiva, que estabelece as bases
geométricas para a representação de uma imagem sobre uma superfície plana como
percebida pelo olho. Em 1963, Girard Desargues formulou esses conceitos
matematicamente, desenvolvendo a “Geometria Projetiva”.
No século XIX, com o desenvolvimento da geometria projetiva e os novos
cálculos, até então todos fundamentados na Geometria Euclidiana, passou-se por
8
uma grande reestruturação. Através das pesquisas de Gaspard Monge, Carl
Friedrich Gauss, Nicolai Ivanovich Lobachevski, Janos Bolyai e Geog Friedrich
Bernharo Riemann, a geometria foi reescrita sem a utilização do quinto postulado de
Euclides, surgindo assim a Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço.
Em 1885, o matemático Henri Poincaré cria a geometria topológica, a qual
derrubou a crença de que a geometria euclidiana seria a única possível a descrever
exatamente o espaço físico. Os estudos de Topologia abriram caminhos para a
moderna teoria dos Grafos, a qual é aplicada para planejar desde as redes de
serviços urbanos, como água e eletricidade, até as de computadores.
Em 1899, a geometria passou por uma grande transformação, onde o
alemão David Hilbert (1862-1943) fez uma análise de todos os acontecimentos
matemáticos dos séculos anteriores, com base neste estudo, novos conceitos de
tempo e espaço foram consolidados como a teoria da relatividade de Albert Einstein.
No século XX, muitos pesquisadores trabalham no aprimoramento da
disciplina da Teoria do Caos, da qual surge o estudo de figuras geométricas
espaciais com formas e dimensões fracionárias, pois existe uma infinidade de
fenômenos na natureza, como o contorno das montanhas, a superfície dos pulmões
humanos, que não podem ser descritos por figuras geométricas regulares, como
triângulos, círculos e quadrados. Esta nova área das ciências matemáticas é
denominada de Geometria dos Fractais de Benoit Mandelbrot, que descreve as
formas da natureza com suas irregularidades e fragmentações. A geometria dos
fractais tem uma enorme aplicação. Para os biólogos, ajuda a compreender o
crescimento das plantas. Para os físicos, possibilita o estudo de superfícies
intrincadas. Para os médicos, dá uma nova visão da anatomia interna do corpo.
Desta maneira, a história da geometria inicia-se nas primeiras manifestações
dos gregos, na forma de geometria demonstrativa, até chegar à atualidade, trilhando
o caminho das não-euclidianas e dos fractais. A geometria tem evoluído de maneira
considerável e contribuído para o avanço não só da Matemática, mas da ciência e
tecnologia.
3 Desenvolvimento do Projeto
9
O Material didático desenvolvido teve como finalidade o aperfeiçoamento
das metodologias utilizadas no processo de ensino aprendizagem dos educandos, a
partir da aplicação dos conceitos fundamentais da geometria, proporcionando uma
prática pedagógica dinâmica, utilizando a leitura de imagens e contextualização das
formas geométricas, presentes na arquitetura. Ampliando o interesse dos alunos e
fornecendo ferramentas e subsídios para aumentar sua motivação no estudo e
aplicação, facilitando a diferenciação entre figuras planas e tridimensionais.
O trabalho foi desenvolvido com os alunos da 2ª série do Ensino Médio, do
Colégio Estadual Professor Agostinho Pereira, pertencentes à Rede Pública de
Ensino do Paraná e consistiu na contextualização da geometria, utilizando para tanto
materiais manipuláveis, recursos tecnológicos e a arquitetura local.
A organização do trabalho pedagógico, por meio de etapas possibilita ao
professor, ampliar a percepção do aluno sobre o contexto histórico, e atingir os
objetivos propostos, principalmente nas relações e distinções entre espaço e plano.
Desta maneira o procedimento metodológico adotado na implementação do projeto
em sala de aula aconteceu em etapas citado no cronograma abaixo.
Para atingir os objetivos propostos, principalmente nas relações e distinções
entre espaço e plano e para ampliar a percepção do aluno sobre o contexto
histórico, o trabalho pedagógico foi desenvolvido por meio de etapas, conforme
cronograma da Figura 1.
Percebe-se que a maioria dos alunos tem dificuldades na compreensão dos
conceitos geométricos. Daí a importância de introduzir a Geometria Espacial através
de uma revisão da Geometria Plana, para que o aluno consiga perceber a ligação
entre as figuras planas e os sólidos geométricos. Na primeira etapa “Introdução a
Geometria Espacial” foi utilizado material multimídia com a apresentação das figuras
da geometria plana e, de forma instigadora, os alunos foram motivados através de
perguntas a demonstrar os conteúdos já conhecidos ao longo de seus estudos.
Durante esta etapa foi possível perceber que a maioria dos alunos reconhece a
forma geométrica de duas dimensões e consegue definir a relação com a área e o
perímetro.
A partir deste momento e ainda utilizando o material multimídia, foi
estabelecida a relação entre a figura plana e a construção da figura espacial, como
10
por exemplo, mostrando que a partir do quadrado construímos o cubo, do retângulo
o prisma e o cilindro, do triângulo a pirâmide e o cone, de um semicírculo a esfera.
Na sequência, trabalho-se com os sólidos geométricos de acrílico, para
facilitar a visualização, utilizando formas variadas como cubos, prismas, pirâmides,
cilindros e esferas. Neste momento, ao se fazer a transição da figura bidimensional
para a tridimensional, verificou-se que os alunos reconhecem os sólidos geométricos
e conseguem perceber a noção de profundidade, através do volume, mas têm
dificuldades em conceituá-los.
Figura 1: Cronograma com etapas do trabalho pedagógico desenvolvido
Para complementar e fixar os conceitos geométricos, passou-se para a
segunda etapa “Exibição de Vídeo”. Neste momento foi utilizado um vídeo que
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destaca a importância da Geometria no cotidiano, “Onde está a matemática que não
vejo?”4. Neste material encontram-se as formas geométricas presentes em nosso dia
a dia e em locais diversos. Após a apresentação do mesmo foi aberto um espaço
onde os alunos tiveram a oportunidade de fazer questionamentos, colocações e
argumentar com base em conhecimentos adquiridos no decorrer dos anos. Neste
momento, alguns alunos contribuíram com suas experiências, fizeram colocações
sobre as formas geométricas encontradas nas construções da cidade onde vivem,
relembraram as formas encontradas na natureza e nos jogos recreativos,
percebendo que a matemática esta presente em todas as atividades, tanto nas
formas geométrica, como também nas relações numéricas.
Através desta atividade foi possível perceber que a capacidade educativa
proporcionada pelo vídeo foi muito relevante, e apresentou uma forma dinâmica de
estabelecer relações entre o conteúdo abordado, as imagens e a realidade,
identificando o conhecimento que o aluno traz da sua vivência em relação às formas
geométricas de seu cotidiano.
Na terceira etapa “Leitura de Imagens e Contextualização”, aproveitando o
enfoque das aulas anteriores, novamente foi utilizado material multimídia, elaborado
através de uma pesquisa bibliográfica, buscando na antiguidade o surgimento das
primeiras obras arquitetônicas, possibilitando ao aluno, um breve histórico das
formas geométricas encontradas na arquitetura desde a pré-história até os dias
atuais. No decorrer da apresentação, relatou-se um pouco da história de cada
período, visualizando uma imagem arquitetônica da época.
A apresentação iniciou pela Pré-História, a qual foi um período muito
fascinante da história humana. O que se conhece desta época é através de
pesquisas de historiadores e antropólogos. O período Neolítico, é também chamado
de “Idade da pedra polida”, é o período em que o homem começa a ter domínio no
trabalho com as pedras, construindo estruturas megalíticas. A Arquitetura do período
Neolítico tem como principal monumento o Santuário de Stonehenge, construído no
Condato de Wiltshire na Inglaterra e considerado Patrimônio Mundial da UNESCO.
Na seqüência, trabalhou-se com a Antiguidade, destacando-se a Arquitetura
do Egito Antigo, onde os egípcios demonstravam uma profunda religiosidade em sua
arquitetura, pois eles acreditavam que a vida humana sofria interferência dos deuses
4 http://www.youtube.com/watch?v=XuJpwCFL1xA&featu re=related
12
e a vida após a morte era mais importante que a vida terrena. As obras mais
famosas desta época são as pirâmides do deserto de Gizé, mas a primeira e mais
importante foi a Pirâmide de DJoser, também conhecida como a pirâmide de
degraus construída em Sacará. A Arquitetura da Grécia Antiga tem características
marcantes na construção de templos religiosos, na utilização de colunas e simetrias,
estabelecendo proporções matemáticas precisas. O Parthenon, construído na
Acrópole de Atenas, é a construção mais conhecida e admirada por ter sido o templo
dedicado a Deusa Atena. A Arquitetura da Roma Antiga destaca-se pela solidez de
seus monumentos, arcos, abóbodas e tetos curvos, que permitiam criar espaços
internos mais amplos e livres do excesso de colunas, mas sempre preocupada em
expressar a realidade, buscando um ideal de beleza. Um dos monumentos mais
conhecidos é o Panteão de Agripa, construído em Roma durante o reinado do
Imperador Adriano.
A apresentação seguiu pela Idade Média, onde a arquitetura teve um grande
avanço com as novas tecnologias aplicadas. Nesta época destacam-se a Arquitetura
Paleocristã, onde as primeiras construções foram denominadas de catacumbas, que
são conhecidos como cemitérios subterrâneos e espaços utilizados para cultos
secretos e refúgios às perseguições, a mais famosa é a Catacumba de Flávia
Domitilla construída nas proximidades de Roma; a Arquitetura Visigótica destaca-se
na construção de pequenas igrejas devido à falta de materiais e técnicas
apropriadas, com traços marcantes nas coberturas de madeira ou pedras, a Igreja
de Santa Comba de Bande, construída na Espanha é a única deste período que esta
conservada em sua integridade; a Arquitetura Moçarabe se caracterizava pela
construção de igrejas em pedras ou tijolos, com decorações internas exaltando
motivos vegetalistas e geométricos, a construção mais importante foi a Igreja de
Santa Maria de Melque, construída na Espanha; a Arquitetura Bizantina destaca-se
na utilização da forma de cúpula e a planta de eixo central ou cruz grega a qual
possui braços de igual comprimento, o caráter majestoso deste período pode ser
observado na Basílica de Santa Sofia, construída em Constantinopla, que a partir
1953 tornou-se o Museu de Santa Sofia; a Arquitetura Românica tem como aspectos
mais significativos à utilização de abóbodas, pilares maciços, paredes espessas,
colunas terminadas em capitéis cúbicos, com aberturas estreitas usadas como
janelas, por serem grandes e sólidas eram conhecidas como “fortaleza de Deus”,
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uma das mais conhecidas é a Abadia de Mont Saint-Michel, construída na França; a
Arquitetura Gótica tem com principal característica a substituição das paredes
espessas por vitrais coloridos trabalhados em rosáceas, uma das construções mais
famosa é a catedral de Notre-Dame, construída em Paris.
Na sequência da aula, foi trabalhado com a Idade Moderna dando ênfase a
Arquitetura Renascentista na península itálica, com traços marcados pelo
movimento cultural europeu entre os séculos XIV e XVI, o qual buscou resgatar os
valores das civilizações gregas e romanas e exaltar a potencialidade realizadora do
homem. Uma obra importante desta época foi a Capela Pazzi, construída em
Florença, tendo como principal característica a estrutura geométrica. A Arquitetura
Barroca na península itálica predominou no século XVII e XVIII, tendo enfoque na
exuberância e requinte, deixando de lado os valores de simplicidade e racionalidade
e insistiram nos efeitos decorativos. Uma obra arquitetônica importante deste
período é a Igreja de São Lorenzo, construída em Turim, projetada pelo arquiteto
Guarino Guarini. Já no Brasil, a Arquitetura Barroca iniciou no século XVIII, onde
desenvolveu uma arquitetura de caráter religioso, utilizando em suas construções a
pedra de arenito e madeira. O interior das igrejas era ornamentado com pinturas e
esculturas de madeiras policromadas. Uma de suas principais construções é a Igreja
de São Miguel das Missões, construída no Rio Grande do Sul, a qual em 1940
passou a abrigar o Museu das Missões, projetado pelo arquiteto Lucio Costa.
A transição ocorrida entre os séculos XVIII e XIX determinou uma nova
tendência estética nas criações européias, o neoclassicismo. A Arquitetura
Neoclássica esta presente nas construções civis e religiosas, seguindo o modelo dos
templos greco-romanos, onde predominavam as colunas, as abóbodas e a cruz
grega, sendo uma das obras mais importantes da época a Igreja de Santa
Genoveva, construída em Paris, a qual em 1789 foi transformada em Panteão
Nacional, pois abriga os restos mortais de importantes personagens da história
francesa.
Continuando a aula, foi trabalhado com a Idade Contemporânea, onde a
arquitetura brasileira passa por grandes transformações entre os séculos XIX e XX,
seguindo duas tendências européias: o Ecletismo que utilizava estilos do passado
com finalidade decorativa, relevos de estuque pré-moldados, platibandas, grandes
vidraças e ferragens importadas da França e da Bélgica, tendo como obra
14
arquitetônica famosa desta época o Theatro Jose de Alencar, construído em
Fortaleza, no Ceará, e o Art Nouveau, que tinha como principal característica a
tendência decorativista, predominando as linhas geométricas e os motivos florais,
valorizando os objetos ornamentais de decoração como lampadários, castiçais e
vasos, sendo uma obra importante da época o Palacete da Vila Penteado,
construído em São Paulo, para servir de residência do Conde Álvares Penteado.
A aula seguiu trabalhando com a Arquitetura Moderna, onde apareceram as
primeiras construções com a utilização de estruturas metálicas, as quais
apresentaram formas inovadoras em relação ao passado, como às estruturas de
ferro e as pranchas de vidro na construção de edifícios, uma obra arquitetônica
muito importante é a Torre Eiffel, construída em Paris. A Moderna Arquitetura
Brasileira abandonou os excessos decorativos, adotando as linhas retas e também
as linhas curvas, muito utilizadas nos projetos inovadores do arquiteto brasileiro
Oscar Niemeyer, que mostrou sua capacidade criadora em várias obras espalhadas
pelo Brasil, como a Igreja de São Francisco, construída em Belo Horizonte e a
Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida, construída em Brasília.
Para encerrar esta etapa, foi trabalhado com a Arquitetura Contemporânea,
com tendências arquitetônicas modernas com novas concepções estéticas, com
espaços que apresentam formas belas e arrojadas, mas que facilitem o acesso e a
circulação das pessoas. Obras de diversos arquitetos contemporâneos encontram-
se espalhadas por todo o Brasil, como o Museu da Arte em São Paulo, o Fórum de
Teresina, a Ópera de Arame em Curitiba, a Estação das Docas em Belém do Pará, a
Ponte JK em Brasília, entre tantas outras obras.
Durante a apresentação foi dada a oportunidade para que os alunos
participassem analisando e contextualizando as imagens, estabelecendo
correlações entre as imagens e a realidade. A interação dos alunos aconteceu
espontaneamente em vários momentos ao longo da aula, pois a metodologia
utilizada deixou o assunto mais dinâmico e atraente e as imagens da arquitetura
apresentadas em cada um dos períodos eram novidades para a turma. A aula
transcorreu de maneira tranqüila e interessante, deixando os alunos motivados ao
longo da apresentação, assim os mesmos fizeram colocações e perguntas sobre as
imagens arquitetônicas. Como a maiorias das imagens estavam sendo vista pela
15
primeira vez, eles estavam eufóricos e ao mesmo tempo percebendo a beleza das
obras arquitetônicas apresentadas.
Na quarta etapa “Atividades de Classe” estabeleceu-se os conhecimentos
científicos e formais da geometria espacial. Para isso a turma foi dividida em grupos
de cinco alunos, onde cada grupo recebeu cinco folhas de papel com o desenho dos
principais sólidos planificados (pirâmide e prisma de base quadrangular, cilindro,
cone e cubo). No decorrer da atividade cada grupo era responsável por recortar e
montar os sólidos recebidos. Nesta aula, aproveitando o enfoque já trabalhado
anteriormente, quando foi estabelecida a relação entre a figura plana e a construção
da figura espacial através de material multimídia e da utilização dos sólidos em
acrílicos, os alunos estabeleceram as relações existentes entre as figuras planas e
os sólidos geométricos, através do manuseio das figuras planificadas. Observou-se
que, mesmo com o material concreto em mãos, os alunos encontraram dificuldades
para visualizar que aquelas figuras planas formariam após a construção uma figura
espacial ou tridimensional.
Após a construção dos sólidos pelos grupos, foi o momento de interpretá-los
e deduzir as fórmulas referentes às superfícies laterais, totais e volumes. No início,
os alunos apresentaram dificuldades para visualizar a relação existente entre as
figuras planas que estavam contidas no sólido e suas fórmulas, como por exemplo,
perceber que um cubo é formado por quadrados de mesmas dimensões e assim,
utilizando a fórmula da área do quadrado, se consegue calcular a superfície do
sólido. Aos poucos essa dificuldade foi desaparecendo e os alunos conseguiram
perceber quais as figuras planas que formavam os demais sólidos e quais as
fórmulas seriam necessárias para determinar as superfícies e o volume.
Nesta etapa foram proporcionadas aos alunos diferentes metodologias para
concretizar o processo de ensino aprendizagem, e a apartir deste momento foram
retomados todos os conceitos geométricos através da resolução de problemas
envolvendo a arquitetura e suas formas.
A atividade envolvendo a resolução de problemas foi desenvolvida em grupo
durante a aula. Neste momento alguns alunos apresentaram dificuldades em
identificar as fórmulas que deviam ser aplicadas para resolver os problemas, e só
conseguiram interpretar e definir as fórmulas a serem utilizadas juntamente com a
professora. Assim, foi de extrema importância fazer com que os alunos
16
participassem desta atividade e nos momentos que encontraram dificuldades
ocorreu à intervenção da professora.
Na quinta etapa “Atividades de Laboratório”, a atividade foi desenvolvida no
laboratório de informática. Inicialmente a turma foi dividida em equipes de
aproximadamente 10 alunos e, antes de desenvolvermos a atividade, os alunos
realizaram uma pesquisa com registros fotográficos de obras da arquitetura local. Na
sequência, após a coleta deste material fotográfico, as equipes trabalharam no
laboratório de informática, onde identificaram, nestas obras arquitetônicas, as formas
geométricas espaciais nelas contidas. Após uma análise criteriosa das imagens os
alunos confeccionaram material multimídia, dando ênfase às formas geométricas
espaciais encontradas nas imagens da nossa arquitetura.
Esta atividade foi realizada com muito empenho e participação dos alunos.
Porém, houve a necessidade de auxiliá-los durante o desenvolvimento deste
material. Todos os conceitos apreendidos anteriormente foram revistos. Após a
realização da atividade, cada equipe apresentou seu material confeccionado, onde
destacaram e fizeram colocações sobre as formas geométricas espaciais
encontradas nas imagens fotográficas da arquitetura local.
Ao final das apresentações, observou-se que as equipes conseguiram
realizar a atividade atingindo os objetivos propostos e, ao se depararem com uma
situação de experimentação, a qual não estavam acostumados, percebeu-se muita
criatividade na exploração das formas geométricas, momento esse onde ocorreu
uma maior percepção visual do espaço, levando cada aluno a perceber o que
mudou na forma de visualizar as imagens e informações do seu quotidiano.
Na sexta etapa “Resolução de Problemas”, a classe foi dividida novamente
em equipes formadas por três alunos, onde foram propostos problemas envolvendo
as formas geométricas encontradas em diferentes locais arquitetônicos. Os
problemas exigiram muita atenção dos alunos na interpretação, para que fossem
utilizadas as fórmulas corretas para solucioná-los. Alguns alunos apresentaram
dificuldades para compreender o enunciado do problema, e definir quais as fórmulas
que deveriam ser utilizadas nos cálculos. Novamente foi necessária a intervenção da
professora para auxiliar os alunos na interpretação dos problemas. A intervenção
aconteceu através de perguntas de interpretação e análise do tipo: qual a forma
geométrica encontrada no problema, quais as informações que temos no problema,
17
o que queremos saber, quais as fórmulas são necessárias aplicar para encontrar a
solução.
Durante o desenvolvimento da atividade, percebeu-se que, na sequência
dos problemas, os alunos tentavam buscar a solução utilizando a mesma linha de
raciocínio apresentada anteriormente, e após a resolução de alguns problemas, eles
interagiam com seus colegas de equipe, o que proporcionou um melhor
desempenho dos mesmos em solucionar os problemas restantes. Diante das
dificuldades apresentadas pelos alunos na interpretação de problemas, constatou-se
que a intervenção do professor no processo de interpretação e resolução do
problema é decisiva, pois a abstração acontece de forma gradativa na aprendizagem
do aluno.
A sétima etapa “Revisão” aconteceu durante uma aula onde foram revistos
todos os conteúdos apreendidos anteriormente com os alunos. Essa retomada
aconteceu de forma simples através de um debate com perguntas e respostas, entre
professor e alunos.
A oitava etapa “Avaliação” foi necessária para fundamentar o trabalho
pedagógico. Ela aconteceu de forma continua, em todas as etapas, durante as
atividades desenvolvidas em sala de aula e no laboratório de informática. Na
avaliação das atividades desenvolvidas pelos alunos, percebeu-se uma melhora
significativa na interpretação e solução dos problemas propostos, em comparação
com o observado na quarta etapa, onde os alunos apresentaram dificuldades em
interpretar os sólidos, deduzir, identificar e aplicar as fórmulas na resolução dos
problemas propostos. Lá as dificuldades foram superadas com a intervenção da
professora, mas essa ajuda ocorreu de maneira indutiva. Já na sexta etapa, que
envolveu a resolução de problemas, novamente os alunos apresentaram a mesma
dificuldade na interpretação dos enunciados e definição das fórmulas a serem
aplicadas. Para solucionar essa dificuldade a professora utilizou o método do
questionamento através de perguntas diretas. Após essa primeira intervenção,
percebeu-se que nos próximos problemas os alunos buscavam a solução seguindo
o mesmo raciocínio utilizado anteriormente.
Desta maneira foi possível perceber que a metodologia utilizada para
conduzir as atividades durante as aulas, por meio de recursos visuais, recursos
tecnológicos, materiais concretos e resolução de problemas contextualizados
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provocou uma mudança de atitudes dos alunos, com isso melhorou a participação e
motivação, conseqüentemente um envolvimento maior dos alunos em relação aos
conteúdos geométricos.
Todas as etapas e atividades citadas acima estão disponíveis no Portal do
PDE, na Produção Didático-Pedagógica5, que é uma unidade didática para os
alunos com referência na utilização da Geometria Espacial e suas aplicações na
arquitetura, esse material poderá ser útil a professores que tenham interessem e
queiram usá-los em suas práticas docentes.
3.1 Contribuições do “Grupo de Trabalho em Rede” – GTR
Os Grupos de Trabalho em Rede - GTR/2011 constituem uma das
atividades da Turma do PDE/2010 e caracteriza-se pela interação a distância entre o
Professor PDE e os demais professores da Rede Pública Estadual, cujo objetivo é a
socialização e discussão das produções e atividades desenvolvidas. O GTR
desenvolvido neste trabalho teve como objetivo contribuir para a aprendizagem dos
alunos a partir da aplicação dos conceitos fundamentais da Geometria em situações
vivenciadas em seu quotidiano e foi um espaço muito importante onde aconteceram
interações entre educadores de todo o Estado, e desta maneira ocorreram trocas de
experiências em atividades realizadas e vivenciadas pelos educadores em
realidades diferentes.
Nesse ambiente virtual GTR o trabalho desenvolvido foi exposto, onde os
professores PDE’s socializam o Projeto de Intervenção Pedagógica e o Material
Didático Implementado, proporcionando aos professores participantes expressarem
suas opiniões e sugestões a respeito do projeto, e oportunizam formação na
modalidade à distância, por meio do Ambiente Virtual de Aprendizagem, aos
professores da Rede Estadual de Educação do Estado do Paraná.
O GTR foi de fundamental importância, pois atingiu o objetivo proposto no
início do trabalho, que era a socialização e discussão das produções e atividades
desenvolvidas durante o PDE, o que aconteceu com sucesso, pois tantos nos fóruns
5 http:// www.diaadiaeducacao.pr.gov.br
19
quanto nas atividades propostas, ocorreu uma troca de experiências fantástica entre
os participantes. Muitas contribuições foram obtidas, tanto para o desenvolvimento e
implementação da produção didática, como outras atividades que complementaram
o material construído.
No ambiente virtual, os professores participantes expressaram suas opiniões
e sugestões a respeito do projeto e do material pedagógico. Um resumo dessas
colocações está descrita a seguir.
Os resultados obtidos apontaram para uma aprendizagem significativa e
prazerosa, ocorrendo uma sintonia entre alguns participantes na percepção de que o
projeto "Aplicação da Geometria Espacial na Arquitetura” trazia inovações no ensino
da geometria, e o quanto foi importante e valioso o processo da busca por imagens
arquitetônicas antigas e atuais, inclusive as da arquitetura local.
No tocante à Produção Pedagógica, os participantes perceberam que as
diferentes metodologias utilizadas foram fundamentais para a construção do
conhecimento. Ressaltando que a pesquisa histórica favoreceu a
interdisciplinaridade, fundamentando todo o trabalho e fazendo com que os alunos
visualizassem a arquitetura como construção humana ao longo da história. Outro
fator relevante foi a visualização dos locais indicados na retomada da história das
obras arquitetônicas desde a pré-história até os dias atuais, oportunizando aos
alunos uma viagem no tempo, permitindo maior interação entre todos os
participantes do processo.
O trabalho realizado com a arquitetura local foi muito significante, pois levou
o aluno a ter um novo olhar sobre a cidade, percebendo melhor os detalhes
arquitetônicos e valorizando mais os detalhes artístico das construções. A proposta
de ensinar a geometria utilizando obras arquitetônicas da antiguidade e locais
favorecem a interdisciplinaridade promovendo a integração entre os conteúdos
matemáticos e áreas afins do conhecimento tornando o processo de ensino
aprendizagem mais interessante e significativo.
4 Considerações Finais
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O projeto deixa claro que a utilização de metodologias diferenciadas durante
as atividades que propiciam a interação social, a motivação, a cooperação e a
contextualização em sala de aula, faz a diferença no aprendizado e no ambiente
escolar, pois o aluno participa ativamente no processo de construção do
conhecimento, através de interações com o ambiente. Conforme Nogueira (2010,
p.15) o aluno “é um indivíduo que entra para a escola com hipóteses sobre o mundo
e suas representações”. Nesta teoria parte-se da ideia de que o aluno já é detentor
de um saber e, considerando as experiências por ele vividas, é possível levá-lo à
construção do conhecimento verdadeiro.
Durante o desenvolvimento das etapas, foi necessária uma mudança no
papel do professor e consequentemente dos alunos, implicando em uma maior
dedicação, onde o professor que tradicionalmente é visto como um transmissor de
informações passou a ser o orientador, motivador e aliado dos alunos no processo
de ensino-aprendizagem, e os educando aprendizes atuantes no processo da
construção do conhecimento. Esta dinâmica é característica o construtivismo, onde
alunos e professores estão envolvidos num processo constante de construção do
conhecimento. Nas mediações entre o conhecimento dos alunos e o conhecimento
cientifico, há grande troca de experiências levando a uma relação de ensino
aprendizagem mútua.
Os alunos têm acesso a muitas informações, assim é importante criar
situações que sejam desafiadoras. Ao trabalhar com os conceitos geométricos de
forma contextualizada, a partir da realidade em que eles vivem, a aula passa a ser
mais interessante e significativa, sendo mais uma alternativa para o Ensino da
Geometria. A diversificação das metodologias durante as aulas foi muito importante
e a contextualização dos conteúdos através das imagens ajudou na estruturação do
pensamento, levando o aluno a compreender e interpretar melhor os conceitos
matemáticos.
Todas as etapas realizadas em sala de aula foram desenvolvidas em
grupos, o que de certa forma aproximou os alunos, proporcionando uma troca de
experiências e conhecimento, promovendo uma aprendizagem individual e coletiva,
construindo o conhecimento através da cooperação, pois nas dificuldades
encontradas os alunos se ajudavam mutuamente. A atividade extraclasse, onde
ocorreu à busca por imagens fotográficas da arquitetura local, foi mais uma forma
21
dos alunos associarem conhecimentos escolares aos do meio em que vivem,
passando a dar mais importância aos conteúdos abordados em sala de aula.
Após a conclusão das atividades com os alunos, utilizando a leitura de
imagens e a contextualização da geometria em obras arquitetônicas, verificou-se
que a construção do conhecimento aconteceu de forma significativa e gradativa no
tocante a interpretação e resoluções das situações problemas, pois os alunos
conseguiram relacionar o conhecimento adquirido no cotidiano com a matemática
apreendida na sala de aula.
Desta maneira acredita-se que a proposta aqui apresentada é executável
como uma nova metodologia de trabalho, desde que o professor organize ações que
levem os alunos a pensarem de forma crítica, contribuindo no processo de ensino
aprendizagem da matemática.
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