AplicaodeDerivadaparaDeterminaodeMximoseMnimosKleber Kilhian
13.3.10 Aplicaes, Clculo 20 ComentriosSegue abaixo alguns exemplos
de otimizao fazendo uso de derivadas. Vejamque para encontrarmos os
valores de mximo ou mnimo, primeiramentedevemos encontrar a funo
que nos leva soluo do problema, calcular suaderivada, obtendo uma
funo dependendo somente de uma varivel. Emseguida, igualamos a
zero, obtendo uma equao. Agora s calcular seu valore obteremos o
valor de mximo ou de mnimo.Exemplo 1: Dado um cone de geratriz
igual a 5cm, determinar suas dimensesde modo que se tenha o maio
volume possvel.Primeiramente, vamos esboar umcone genrico,
destacando o tringuloretngulo:[Figura 1-1]Lembremos que o volume de
um cone dado por:[Veja a demonstrao aqui]Dos dados fornecidos no
enunciado do problema, temos que:Substitumos o valor de r da (1.2)
na frmula do volume de cone:Agora, vamos calcular a deriva da funo
V(h):Buscar:RedesSociaisComo Determinar o Nmerode Diagonais de um
PolgonoConvexo de LadosIntegrao por FraesParciais (Parte 1)
FatoresLinearesAplicao de Derivada paraDeterminao de Mximos
eMnimosComo Determinar O nguloInterno De Um PolgonoRegularSoma dos
ngulos Internos eExternos de um PolgonoConvexoIntegrao por
SubstituioTrigonomtricaTecnologia do Blogger.INCIO LATEX PARCEIROS
UBM ARQUIVO MAIS Aplicao de Derivada para Determinao de Mximos e
Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53O cone que possui geratriz igual a 5cm e que
possui o maior volume o demedidas:Exemplo 2: Deseja-se confeccionar
uma trave para um campo de futebol comuma viga de 18m de
comprimento. Encontre as dimenses para que a rea dogol seja
mxima.Vamos esboar um desenho de uma trave genrica:[Figura
2-1]Pelos dados fornecidos pelo enunciado do problema, temos
que:2012 (68)2011 (104)2010 (105)Dezembro (7)Novembro (9)Outubro
(9)Setembro (12)Agosto (10)Julho (10)Junho (6)Maio (10)Abril
(8)Maro (10)Planificao de PoliedrosRegra dos Trapzios
RepetidaPolinmio Interpolador de LagrangeExpanso em Srie de
TaylorFerramentas para auxlio no LatexUma Demonstrao para a rea
doPentgonoAplicao de Derivada paraDeterminao de Mximos...A Srie de
Maclaurin e o Binmio deNewtonPotncia de PotnciaTerremoto no Chile
deslocou o eixoda Terra e encu...Fevereiro (7)Janeiro (7)2009
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...
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de 14 06/07/2015 11:53A rea do gol dada pela frmula da rea do
retngulo formado:Substitumos a (2.1) na (2.2), obtendo:Calculamos,
agora, a derivada da funo A(x):Igualandoazero,
obtermosumaequaolinear quenoslevaaoclculodemximo:Encontramos a
altura x da trave. Para encontrarmos sua altura, substitumos ovalor
de x na (2.1):Portanto, a trave dever ter altura de 4,5m e largura
de 9m para que a rea degol seja a maior possvel.Observao: As
dimenses oficiais de uma trave de futebol 7,32m de larguraentre os
postes e 2,44m de altura.Exemplo3:
Umfabricantedecaixasdepapelopretendefazer caixassemtampas a partir
de folhas quadradas de cartocomrea igual a
576cm2,cortandoquadradosiguaisnosquatrocantosedobrandoosladosparacima.Determinar
o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixacom
o maior volume possvel.Interpretando o enunciado, podemos
esboar:[Figura 3-1]Como a rea total de 576cm2, o lado da folha
:SeguidoresGoogle Friend ConnectMembros (791)Mais MtodosdeIntegrao
O Clculo integral Integrao por partes Integrao por substituio
Integrao por fraes parciais - Parte 1 Integrao por fraes parciais -
Parte 2 Integrao por substituio trigonomtrica Frmula de reduo para
alguns casos deintegrais Resoluo de integrais
literaisComentriosRecentesKleber Kilhian commented:Ol Henrique. De
uma olhada neste...Henrique commented:Ol Kleber, onde posso achar
ademonstraao de que um heptagono impossvel de ser feito com
regua...Kleber Kilhian commented:Ol Edigley! Realmente
fascinante!Este um exemplo simples, semconsiderar sinal
para...Edigley Alexandre commented:Ol, Kleber! Que tima aplicao
heim!E ainda tem gente que dir que s umexemplo particular....Fanor
Snow commented:O post est muito bom, parabns. Stem que consertar as
partes em que asequaes esto com = 0...Aplicao de Derivada para
Determinao de Mximos e Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53O volume da caixa ser dado por:Calculamos
agora a derivada da funo V(x):Igualamos a zero, obtendo a equao
quadrtica:Dividimos a equao por 12, obtemos:Encontramos dois
valores para x mas vejamque somente x2 satisfaz oproblema, j que se
temos o lado da folha igual a l = 24 2x, se substituirmosx1,
obtermos um lado nulo.Ento a caixa dever ter as dimenses
de:Lado:Altura:Exemplo 4: Dividindo um arame de comprimento L em
duas partes, faz-se comuma das partes uma circunferncia e com a
outra um quadrado. Determinar oponto em que se deve cortar o arame
para que a soma das reas geradas peloquadrado e circunferncia seja
mnima.Vamos fazer uma figura representativa:Aplicao de Derivada
para Determinao de Mximos e Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53[Figura 4-1]Vamos adotar que a parte do arame
de comprimento x ser a da circunferncia Ce que a parte do arame de
comprimento L xser do permetro P do quadrado.Ento temos:O
comprimento da circunferncia dado por:A rea do crculo dada
por:Substituindo (4.2) na (4.1), obtemos:Do quadrado, temos:A rea
do quadrado dada por:Substituindo (4.4) na (4.5), obtemos:Queremos
que a soma das reas do crculo e do quadrado seja mnima, entosomamos
as duas reas, dadas pelas (4.3) e (4.6):Calculamos agora, a
derivada da funo AT (x). Vejam que a funo est emtermos de x e L2
uma constante:Aplicao de Derivada para Determinao de Mximos e
Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53Igualamos a zero e obtemos a equao:Portanto,
o arame dever ser cortado no ponto:Exemplo 5: Dentre todos os
retngulos de permetro 64cm, encontre asmedidas de um em que sua
reas seja mxima.Temos o retngulo:[Figura 5-1]O permetro dado por:Da
(5.1) obtermos:A rea do retngulo dada por:Substituindo (5.2) na
(5.3), obtemos:Calculamos agora a derivada da (5.4):Igualamos a
zero obtendo a equao:Aplicao de Derivada para Determinao de Mximos
e Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53Agora que j encontramos o valor de um dos
lados do retngulo, substitumos ovalor encontrado na (5.2):Comeste
resultado, conclumos que, para que a rea seja mxima, oquadriltero
pedido um quadrado de lado 16cm.Exemplo 6: Dada a figura abaixo,
encontre as dimenses do retngulodestacado para que sua rea seja
mxima.[Figura 6-1]Temosqueencontraremaequaoemtermosdexey. Por
semelhanadetringulo temos:[Figura6-2]A rea do retngulo dada
por:Substitumos o valor de x na (6.2):Calculamos sua
derivada:Agora, igualamos a zero:Aplicao de Derivada para
Determinao de Mximos e Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53Substitumos o valor de y na (6.1):Portanto,
para que o retngulo tenha rea mxima, seus lados devem medir 3 e 4e
sua rea ser de 12 unidades de rea.Exemplo 7: Observando a figura
abaixo, encontre o valor de x para que a reasombreada seja
mxima.[Figura 7-1]A rea sombreada ser dada pela diferena das
reas:Vamos encontrar a rea AI :Agora vamos encontrar a rea AII
:Substitumos as (7.2) e (7.3) na (7.1), encontrando a funo
quadrtica:Calculamos sua derivada:Igualamos a zero:Agora j podemos
encontrar os valores dos lados dos dois tringulos I e II, masainda
falta encontrar o valor da hipotenusa:Aplicao de Derivada para
Determinao de Mximos e Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53[Figura 7-2]Do tringulo I temos:Do tringulo
II temos:Logo os tringulos possuem as medidas de:[Figura
7-3]Exemplo 8: Determine a medida do raio e da altura de um cone
que contmuma esfera de raio 8 unidades e com volume mnimo.[Figura
8-1]Analisandoafigura,
podemosdestacardoistringulosretnguloseverificarsuas
semelhanas:Aplicao de Derivada para Determinao de Mximos e Mnimos ~
...
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de 14 06/07/2015 11:53[Figura 8-2](8.1)Por semelhana de tringulos,
temos:Elevando ambos os membros ao quadrado, eliminamos a raiz:O
volume de um cone dado por:Substitumos a altura h = y + 8 e a (8.3)
na (8.4), obtendo:Notemque temos uma funo quociente do volume
emfuno de y.Calculemos sua derivada (veja demonstrao aqui):Agora,
podemos igualar azero, mas observemqueovalor dey deve serdiferente
de 8 e de
0:Vejamquea(8.6)nosdumaequaocompostaporumarazoentreduasequaes, onde
nos leva a uma igualdade a zero. Mas como o denominador nodeve ser
igual a zero, nos resta que a equao do numerador seja igual a
zero.Aplicao de Derivada para Determinao de Mximos e Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53 FacebookTwitterGoogle+StumbleDigg Postagem
mais recente Postagem mais antiga Neste caso, tambm descartamos 64,
pois uma constante. Assim, obtemosuma equao quadrtica:Vejam que y2
no nos interessa, portanto, tomamos 24 como valor de y.Para
determinarmos as medidas do cone, tomamos a altura do cone, dada
por:Agora vamos determinar o raio da base do cone, utilizando a
(8.2):As medidas do raio da base do cone e de sua altura so:Veja
mais:Demonstrao da Derivada da Funo QuocienteDemonstrao da Derivada
da Funo ProdutoCaixa sem Tampa de Volume Mximo no blog Fatos
MatemticosCaixa com Tampa de Volume Mximo no blog Fatos
MatemticosPgina inicial20comentrios:13/03/10 13:26 Prof. Paulo
SrgioMuito bom o post e obrigado pelas citaes.Responder19/08/10
23:28AnnimoExcelente.
Comofascinanteoraciociniomatemticoquandoateoria flui de forma to
clara como a apresentada.ResponderKleber KilhianAplicao de Derivada
para Determinao de Mximos e Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53RespostasResponderRespostasResponder20/08/10
08:21 Obrigado amigo pelo comentrio e pelo reconheciemntodo meu
trabalho.Um abrao!Responder29/09/13 23:06 romario santosEste
comentrio foi removido pelo autor.30/09/13 07:23Kleber KilhianOl
Romrio, veja este exemplo, s muda os
valores:http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110704171725AA4BPUjAbraos.30/09/13
23:05 romario santosObrigado!14/06/12 00:27 AnnimoNo seu primeiro
exemplo voc errou quando achou o valor do raio,pois erapara ter
dado5vezes raizquadrada de 2sobreRAIZQUADRADA de 3, que
racionalizando teremos 5 vezes raizquadrada de 6 sobre 3.Att,
Gustavo.Responder14/06/12 07:51 Kleber KilhianVerdade Gustavo.
Corrigido. Obrigado por avisar. Umabrao!23/05/13 08:33Luiz
AnaProfessor, antes de mais nada, muito obrigado por seu altrusmo
dedividir conhecimento. Almde bastante claro, umprimor
dedidtica.Caro professor, estou com uma dvida. No exemplo 4,
nodesenvolvimento (4.3), no seria A = (x2) / 4pi? No estaria
faltandoa letra grega no denominador?Desculpa se estou confundindo
as coisas e fazendo perder seutempo.AbraoMauroResponder25/05/13
09:01Kleber KilhianOl Mauro, obrigado por seu comentrio. Sua dvida
procede, poisrealmentefaltouonodenominador. Deveter
sidoumerrodedigitao, j que mais abaixo o volta... vou arrumar esta
passagem.Um abrao!Aplicao de Derivada para Determinao de Mximos e
Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53RespostasResponderRespostasResponder01/06/13
22:29UnknownKLEBER, QUE BOAS ORIENTAES
AMIGO......VOUTENTARFAZERAPROVADOPROFMATPELATERCEIRAVEZ.....OQUE
FAOPARAPASSARMEUAMIGO... SOUPROFESSOR DE MATEMTICA NO ENSINO
MDIO......AQUINA BAHIA......COLEGIO ESTADUAL......MAIS MINHAGRADUAO
FOI A CONTINUADA APENAS 3
ANOS...LOGOTENHODIFICULDADESEMDESAFIOSMATEMTICOS...ETAMBM TRABALHO
COM MATEMTICA EFSICA...........UM GRANDE ABRAOResponder15/08/13
20:22 MrKlausschereiberNoexemplo6,
comoficariaseumdosladosdoretngulofossesobre a
hipotenusa?Responder19/10/13 18:37thiago dias carvalhoexelente
postResponder25/11/13 00:41 AnnimoMuito
Bom..Parabns!!!Responder01/12/13 14:29Matheus VazEu queria que, se
possvel, voc me ajudasse nessa questo Kleber:Deve-se fazer uma
caixa retangular com base quadrada e sem tampa.Achar o volume da
mxima caixa que pode ser feita com 1200 psquadrados de
material.Obrigado! (:Responder02/12/13 22:59Kleber KilhianMatheus,
veja a resoluo na imagem neste
link:http://img51.imageshack.us/img51/7263/dv5d.jpgPara o volume,
multiplicar rea da base pela altura, achoque ficou faltando na
resoluo...Abraos.23/01/14 13:42Flvio HenriqueMuito bom o post.
Gostaria de saber o porqu de igualar a derivada zero e a relao com
aquela frmula do Yvrtice para calcular omximo da
rea.Responder25/01/14 13:44 Kleber KilhianFlvio, Veja este
comentrio feito pelo Prof. Paulo SrgioC. Lino:Aplicao de Derivada
para Determinao de Mximos e Mnimos ~ ...
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de 14 06/07/2015 11:53ResponderComentar como:PublicarPor favor,
leiam antes de comentar:1) Escreva um comentrio apenas referente ao
tema;2) Para demais, utilize o formulrio de contato;3) Comentrios
ofensivos ou spans no sero publicados;4) Desde o dia 23/07/2013,
todos os comentrios passaram a ser moderados. Paramaiores detalhes,
veja a nota de moderao aqui;5) possvel escrever frmulas em nos
comentrios deste blog graas a umscript da Mathjax. Para frmulas
inline ou alinhadas esquerda, escreva a frmulaentre os smbolos de;
Para frmulas centralizadas, utilize o smbolo duplo.Por exemplo, a^2
+ b^2 = c^2 entre os smbolos de, gera:Para visualizar as frmulas em
antes de public-las, acessem este link.Seu comentrio o meu
Salrio!Primeiramente temque ficar claro que nemtodos osproblemas
deotimizao envolvemfunes quadrticas epor isso, o conceito de
derivada adequado.Antesdetudo, temosquedefinir oqueumpontodemximo
local e um ponto de mnimo local. Dizemos queum sobre um grfico de
um funo umponto de mximo local se para todoprximo ou numa vizinhana
de. A definio de pontodemnimolocalanloga.
Eoqueissotemhavercomderivadas? A surge o teorema de Fermat, que
afirma quenos pontos de mximos e mnimos locais de uma
funo,aderivadanula. Porisso,
queanulamosaderivadadafunoparaencontrartaispontos. Almdisso,
ospontosqueanulamaderivadasochamadosdepontoscrticos.Nem todo ponto
crtico um ponto de mximo ou mnimolocal, pois eles podem ser pontos
de inflexo.21/11/14 12:43AnnimoO valor do raio est errado, ao invs
de 2 raiz de 2, 8 raiz de 2.Responder05/06/15 11:39 AnnimoPoderia
me ajudar noesboododesenhopara desenvolver esteexerccio...
"Obtenhaasdimensesdamaior caixafechadacombase quadrada que pode ser
construda com 12m depapelo."...acredito que seja parecido com a
questo 3.ResponderAplicao de Derivada para Determinao de Mximos e
Mnimos ~ ...
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/03/aplicacao-de-deriv...14
de 14 06/07/2015 11:53
