Cálculo II- Lista sobre Vetor Gradiente, Máximos e mínimosMaria José Pacifico

Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro

Máximos e mínimosExercício 1. Para uma função f : R2 → R, define o gradiente de f sendo o vetor

∇f(x, y) =

(∂f

∂x,∂f

∂y

).

Assim, o gradiente de f no ponto p = (x0, y0) é:

∇f(x0, y0) =

(∂f

∂x

∣∣(x0,y0) ,

∂f

∂y

∣∣(x0,y0)

).

Nos seguintes exercícios, calcular o gradiente no ponto p = (x0, y0) indicado:(a) f(x, y) = x3y − 3xy + x4 no ponto p = (1, 2).(b) f(x, y) = xysen(xy) no ponto p = (π, π).(c) f(x, y) =

√x2y no ponto p = (3, 1).

Exercício 2. Seja S a superfície dada pela equação F (x, y, z) = 0 onde F é uma funçãodiferenciável. Assuma que a curva dada por γ(t) = (2t, t2, cos(πt/2)), t ∈ R, intersecta perpen-dicularmente a superfície S no ponto (2, 1, 0). Calcule o plano tangente a S no ponto (2, 1, 0).

Exercício 3. Seja f(x, y) uma função derivável em R2. Suponha que o plano tangente ao gráficode f quando (x, y) = (2,−1)é

x− y + 2z = 6.

Encontrar ∂f∂x e ∂f

∂x no ponto (2,−1).

Exercício 4. Dada a superfície S definida pela equação:

S : x2 + z2 = e−2y.

(a) Determine todos os planos tangentes a S que passam pela origem (0, 0, 0).(b) Determine todos os pontos em S cujos planos tangentes contém o eixo x e dê as equações

desses planos.DICA: Suponha que z = f(x, y) e derive implicitamente.

Exercício 5. Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos sela das seguintesfunções:

(a) f(x, y) = x2 − 2xy + 2y2 − 2x+ 2y + 1.(b) f(x, y) = 3y2 − 2y3 − 3x2 + 6xy.(c) f(x, y) = 1

x2+y2−1.

(d) f(x, y) = ysen(x).(e) f(x, y) = 1

x + xy + 1y .

(f) f(x, y) = e2x cos(y).

1

Exercício 6. Considere a função f(x, y) = ax2 + 3xy + y2 com a ̸= 9/4.(a) Determine pontos críticos de f .(b) Determine, se possível, os valores de a de modo que o ponto crítico encontrado em (a)

seja ponto de máximo local.(c) Determine, se possível, os valores de a de modo que o ponto crítico encontrado em (a)

seja ponto de mínimo local.(d) Determine, se possível, os valores de a de modo que o ponto crítico encontrado em (a)

seja ponto de sela.(e) Se a = 9/4, que pode-se dizer do ponto crítico?.

Exercício 7. Considere a função f(x, y) = x2 + axy + y2:(a) Mostre que (0, 0) é um ponto crítico para f , para qualquer valor de a.(b) Para que valores de a, a função f tem um máximo em (0, 0).(c) Para que valores de a, a função f tem um mínimo em (0, 0).(d) Para que valores de a, a função f tem um ponto sela em (0, 0).

Exercício 8. Entre todos os pontos do gráfico de f(x, y) = 10 − x2 − y2 que estão acima doplano x+ 2y − z = 0, encontre o ponto mais afastado do plano.

Exercício 9. Encontre o ponto no gráfico de f(x, y) = x2 + y2 + 10 mais próximo do planox+ 2y − z = 0.

Exercício 10. Encontre o máximo valor de f(x, y) = 49− x2 − y2 sobre a reta x+ 3y = 10.

Exercício 11. Encontre as dimensões da lata cilíndricas, circular, reta e fechada de menor áreacujo volume é 16πcm3.

Soluções. 1. (a) (4,−2) (b) (π sin(π2) + π3 cos(π2), π sin(π2) + π3 cos(π2)) (c) (1, 3/2).2. π : 2x+ 2y − π

2 z − 6 = 0.3. fx(2,−1) = −1

2 , fy(2,−1) = 12 .

4. (a) Pontos da forma (a,−1, c). (b) Pontos da forma (0,−1, c) e os planos tem equaçãoπ : 2e2(y + 1) + 2c(z − c) = 0.5. (a) (1, 0) ponto de mínimo. (b) (0, 0) ponto de sela e (2, 2) inconclusivo.(c) (0, 0) ponto de mínimo. (d) Todos os pontos (kπ, 0) são pontos de sela.(e) (1, 1) ponto de máximo. (f) Não tem pontos críticos.6. (a) (0, 0). (b) Não tem máximo (c) a > 9/4(d) a<9/4 (e) mínimo.7. (b) −2 < a < 2. (c) Nunca. (d) a < −2 ou a > 2.8. (−1/2,−1, 35/4).9. (1/2, 1, 45/4).10. 39.11. Raio 2 e altura 4.

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