Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
Cálculo Diferencial e Integral III
Suzana M. F. de Oliveira
2
Índice
● Revisão● Máximos e mínimos ● Resumo● Bibliografia
Revisão
4
Revisão
● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer
direção
Inclinação =
5
Revisão
● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer
direção● Gradiente
– Inclinação máxima
Inclinação =
6
Revisão
● Derivadas direcionais– Inclinação em qualquer
direção● Gradiente
– Inclinação máxima– É o vetor
normalàs curvade nível
Inclinação =
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
8
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Motivação
– Cadeia de montanhas
9
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Motivação
– Cadeia de montanhas
10
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos
– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...
● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f
● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f
Não seespecifica
o raio
11
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos
– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...
● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f
● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f
Não seespecifica
o raio
12
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definições: Máximos e mínimos
– Uma função f de duas variáveis tem em um ponto (x0, y0)...
● um máximo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um máximo absoluto se f(x0, y0) ≥ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) do domínio de f
● um mínimo relativo se houver um círculo centrado em (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquer pontos (x, y) dentro do círculo
● um mínimo absoluto se f(x0, y0) ≤ f(x, y) em quaisquerpontos (x, y) do domínio de f
Não seespecifica
o raio
Extremorelativo
Extremoabsoluto
Extremoabsoluto
Extremorelativo
13
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Conjuntos limitados
– Para funções de uma variável● Distinção entre domínio finito e infinito na reta x
– Para funções de duas variáveis● Limitado: o conjunto inteiro couber dentro de algum
retângulo● Ilimitado: não há retângulo que contenha todos os
pontos do conjunto
14
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Conjuntos limitados
– Para funções de uma variável● Distinção entre domínio finito e infinito na reta x
– Para funções de três variáveis● Limitado: o conjunto inteiro couber dentro de alguma
caixa● Ilimitado: não há caixa que contenha todos os pontos
do conjunto
15
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Definição: Teorema do valor extremo
– Se f(x, y) for contínua em um conjunto fechadoe limitado R, então f terá máximo e mínimo absolutos em R
16
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: A região quadrada R cujos pontos
satisfazem as desigualdades
é um conjunto fechado e limitado no plano xy
17
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: A região quadrada R cujos pontos
satisfazem as desigualdades
é um conjunto fechado e limitado no plano xy– O teorema anterior
garante a existência de extremos absolutos em R
– Ocorrem nos pontos A e D
18
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Observações:
– Uma função descontínua em um conjunto fechado e limitado não precisa ter extremos absolutos
– Uma função contínua em um conjunto que não é fechado ou que não é limitado tampouco precisa ter algum extremo absoluto
19
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Função de uma variável● Se uma função g tiver um extremo relativo em um
ponto x0 onde g é diferenciável, então g’(x0) = 0
20
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Função de uma variável● Se uma função g tiver um extremo relativo em um
ponto x0 onde g é diferenciável, então g’(x0) = 0
Vai seranálogo para
duas variáveis
21
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Função de uma variável
Pontoestacionárioé o que tem
derivadazero
O sinalda derivadanão mudaem pontosde inflexão
O sinalda derivada
segundaindica
mínimo oumáximo
22
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Teorema: Se f tiver um extremo relativo em um ponto (x0, y0) e se as derivadas parciais de primeira ordem de f existirem nesse ponto, então
Máximorelativo
23
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se
● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não
existirem em (x0, y0)
24
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se
● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não
existirem em (x0, y0)
os extremos relativosocorrem nos pontos críticos
25
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Definição: Um ponto (x0, y0) no domínio de uma função f(x, y) é denominado ponto crítico da função se
● fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou ● uma ou ambas as derivadas parciais não
existirem em (x0, y0)
– Pontos de mínimo e máximonão precisam ocorrer em todosos pontos críticos
● Pontos de sela
Mínimo relativo em um planoe máximo em outro
26
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Exemplo: Pontos críticos no (0,0)verificado
algebricamente e visto
geometricamente
27
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos relativos
– Exemplo: Pontos críticos no (0,0)
Mínimo relativoe absoluto Mínimo relativo
e absoluto
Máximo relativoe absoluto
A função écontínua, porém
não tem derivadasparciais na origem
28
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Teorema: Teste da derivada segunda
– Seja f uma função de duas variáveis com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em algum círculo centrado em um ponto crítico (x0, y0) e seja
● Se D > 0 e fxx(x0, y0) > 0, então f terá um mínimo relativo em (x0, y0).
● Se D > 0 e fxx(x0, y0) < 0, então f terá um máximo relativo em (x0, y0).
● Se D < 0, então f terá um ponto de sela em (x0, y0).● Se D = 0, então nenhuma conclusão pode ser
tirada.
Vem da matrizHessiana
29
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
Processo: achar pontos críticos
e calcular D
30
(2, 6) é o únicoponto crítico
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos e
pontos de sela:
– Pontos críticos● Derivadas parciais
● Cálculo do ponto crítico
– Cálculo de D● Derivadas parciais de segunda ordem
● AnáliseMínimorelativo
31
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exemplo: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Gráfico
Mínimo relativono ponto (2,6)
32
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
Processo: achar pontos críticos
e calcular D
33
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Pontos críticos● Derivadas parciais
● Cálculo do ponto crítico
– Cálculo de D● Derivadas parciais de segunda ordem
34
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Análise
Pontode sela
Máximosrelativos
35
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Análise
36
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Exercício: Localize todos os extremos relativos
e pontos de sela:
– Análise
O padrão “número oito” étípico de um mapa de contornos
em um ponto de sela
37
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Teorema: Se uma função f de duas variáveis
tiver um extremo absoluto em um ponto interior de seu domínio, então esse extremo ocorrerá em um ponto crítico
É preciso verificarqual o ponto relativo de
menor/maior valor
38
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitadosPodem ocorrer ou nafronteira de R ou no
interior de R
Se forno interior,é em um
ponto crítico
39
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitadosPasso 1:
Encontre os pontos críticos de f que estão situados no interior de R.
Passo 2: Encontre todos os pontos de fronteira nos quais os extremos podem ocorrer.
Passo 3: Calcule f(x, y) nos pontos obtidos nos passos precedentes. O maior desses valores é o máximo absoluto eo menor é o mínimo absoluto
40
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
Pontos críticos
Pontos de fronteira
análise
41
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Pontos críticos
(1, 2) é o únicoponto crítico
Está nointerior de R
42
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 0) e (3, 0)
Não tem pontocrítico, assim osvalores extremos
ocorrem nosextremos de u:(0, 0) e (3, 0)
43
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 0) e (3, 0)
– Seguimento de reta entre (0, 0) e (0, 5)
Não tem pontocrítico, assim osvalores extremos
ocorrem nosextremos de u:(0, 0) e (3, 0)
Pontos de extremo(0, 0) e (0, 5)
44
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Pontos de fronteira– Seguimento de reta entre (0, 5) e (3, 0)
● Substituindo em f
y− y0=y1− y0x1−x0
(x−x0)
Ponto crítico (7/5, 8/3),pontos de extremo (0, 5) e (3, 0)
45
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos na região triangular fechada R de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5)
● Análise
Máximo Mínimo
46
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
Minimizara área dasuperfícieda caixa
47
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● x = comprimento da caixa (em cm)● y = largura da caixa (em cm)● z = altura da caixa (em cm)● S = área da superfície da caixa (em cm2)
● Restrição de volume
48
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● x = comprimento da caixa (em cm)● y = largura da caixa (em cm)● z = altura da caixa (em cm)● S = área da superfície da caixa (em cm2)
● Restrição de volumeS é uma função
de duas variáveis
49
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y
devem serpositivos
50
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y
devem serpositivos
O problemase resume a
achar o mínimode S no primeiro
quadrante
51
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)x e y
devem serpositivos
O problemase resume a
achar o mínimode S no primeiro
quadrante
A região não élimitada nem fechada,
não dando garantiaque exista um mínimo
absoluto
Se existir,é em um ponto
crítico de S
52
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Reescrevendo S (como função de duas variáveis)
● Pontos críticos
Ponto críticoaceito (4, 4)
53
Máximos e mínimos defunções de duas variáveis● Encontrando extremos absolutos em conjuntos
fechados e limitados– Exemplo: Determine as dimensões de uma caixa
retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material
● Verificando se é um ponto de mínimo
∂2S
∂ x2=128x3
=12843
=2 ,∂2S
∂ y2=128y3
=12843
=2,∂2S
∂ xy=1
D=∂2S
∂ x2∂2S
∂ y2−( ∂
2S∂ xy )
2
=2.2−12=3
Como Sxx
e D sãopositivos, o ponto
é de mínimo!
Resumo
55
Resumo
● Máximos e mínimos relativos e absolutos
56
Resumo
● Máximos e mínimos relativos e absolutos
● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo
57
Resumo
● Máximos e mínimos relativos e absolutos
● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo
● Pontos críticos– fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou – uma ou ambas as derivadas parciais
não existirem em (x0, y0)
58
Resumo
● Máximos e mínimos relativos e absolutos
● Conjuntos limitadose ilimitados– Pontos de extremo
● Pontos críticos– fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0; ou – uma ou ambas as derivadas parciais
não existirem em (x0, y0)
● Derivada segunda
59
Resumo
● Exercícios de fixação:– Seção 13.8
● Exercícios de compreensão 13.8● 9-20
60
Resumo
● Próxima aula:– Multiplicadores de Lagrange
● Encontrar extremos de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições.
● Graficamente– A linha a vermelho indica
a restrição g(x,y)=c– As linhas azuis são os
contornos de f(x,y).– A solução ocorre no
ponto em que aslinhas vermelha eazul se tocamtangencialmente
Bibliografia
62
Bibliografia
● Bibliografia básica:– ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen.
Cálculo, v. 2. 10a ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
● Seção 13.8