4.3  Máximos  e  Mínimos  

Material  online:  h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html                    

Máximos  e  Mínimos  

Máximos  e  Mínimos  

Máximos  e  Mínimos  

Máximos  e  Mínimos  

Máximos  e  Mínimos  

+b2

4a2− b2

4a2

2 2

Máximos  e  Mínimos  

2 2≥ p

�− b

2a

�

x0 = − b

2aé mínimo global, pois p

�− b

2a

�≤ p(x),∀x

. Logo,  

Máximos  e  Mínimos  

Note que  

p

�− b

2a

�= a

�− b

2a

�2

+ b

�− b

2a

�+ c

=�

b2

4a

�−

�b2

2a

�+ c

=�

b2 − 2b2 + 4ac

4a

�

=�−b2 + 4ac

4a

�=

∆4a

Máximos  e  Mínimos  

Máximos  e  Mínimos  

Exercício:  

y = 2− xp(x) = x(2− x)p(x) = −x2 + 2x

x0 = − b

2a= − 2

−2= 1

y = 2− x0 = 2− 1 = 1

p�(x) = −2x + 2−2x + 2 = 0 � x = 1

Máximos  e  Mínimos  

Máximos  e  Mínimos  

Exercício:  

f �(x) = 1− cos(x)

f �(x) = 0 � 1− cos(x) = 0

cos(x) = 1x = {. . . ,−4π,−2π, 0, 2π, 4π, . . . }

Máximos  e  Mínimos  

f(x)− f(x0) ≥ 0Note que  

x− x0 > 0

x− x0 < 0

pois  

Máximos  e  Mínimos  

f �(x0) = limx→x+

0

f(x)− f(x0)x− x0

≤ 0

f �(x0) = limx→x−0

f(x)− f(x0)x− x0

≥ 0

f �(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= 0

Máximos  e  Mínimos  

f �(x) = 3x2

f �(x) = 0 � 3x2 = 0 � x = 0

Máximos  e  Mínimos  

Onde podem estar os pontos de mínimo e máximo globais?  

Pontos críticos:   f �(x) = 0 Extremos do intervalo:  f(a), f(b)

Máximos  e  Mínimos  

Vamos restringir o domínio da função ao intervalo [-1, 3]  

f �(x) = 0 � 3x2 − 3 = 0 � x2 = 1 � x = ±1

Calculando a derivada de f:  Calculando os pontos críticos:  

Calculando o valor da função nos extremos do intervalo:  

Calculando o valor da função nos pontos críticos:  f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 4 = 6 f(1) = (1)3 − 3(1) + 4 = 2

f(3) = (3)3 − 3(3) + 4 = 22Máximo: 22, atingido em x=3   Mínimo: 2, atingido em x=1  

Obs.: Faça  f(x) = x(x2 − 3) + 4