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aplicações da função
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Universidade Estcio de S
2012-2
Atividade estruturada
Introduo ao calculo Equao do 2 grau ou Equao Quadrtica
Andr Luiz Rodrigues de Sousa
Introduo ao Calculo Diferencial Engenharia Eltrica 2012 2 Pgina - 01
Bibliografia
AABOE, Asger. Episdios da Historia Antiga da Matemtica. So Paulo: SBM.
1984.
BATSCHELET. Edward. Introduo Matemtica para Biocientistas. So Paulo:
EDUSO. 1978.
BAUMGART, John K. Tpicos de Histria da Matemtica para uso em sala de
aula. So Paulo: Atual. 1992.
BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. So Paulo: Edgard Blucher: EDUSP.
1974.
FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Cludio Xavier. Matemtica aula por aula. So
Paulo: FTD. 1998.
GIOVANNI, Jos Ruy; BONJORNO, Jos Roberto. Matemtica aula por aula. So
Paulo: FTD. 1998.
PAIVA, Manoel. Matemtica Volume nico. So Paulo: Moderna. 1999
TROTA, Fernando; JAKUBOVIC, Jos; IMENES, Luiz Mrcio Pereira. Matemtica
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www.arq.ufsc.br
www.aviculturaindustrial.com.br
www.semad.mg.gov.br
http://www.arq.ufsc.br/http://www.aviculturaindustrial.com.br/http://www.semad.mg.gov.br/
Introduo ao Calculo Diferencial Engenharia Eltrica 2012 2 Pgina - 02
ndice
Introduo Pagina 03
Definio Pagina 03
Resoluo Equao do 2 Grau - Por Trinmios Quadrados Perfeitos Pagina 04
Resoluo Equao do 2 Grau pela frmula de Bhskara Pagina 05
Deduo da frmula de Bhskara Pagina 06
Grfico da Equao 2 Grau Pagina 07
Pontos notveis do grfico de uma funo do 2 Grau Pagina 08
Aplicao da Funo do 2 Grau Definir rea Pagina 09
Aplicao da Funo do 2 Grau Ponte Pnsil Pagina 10
Aplicao da Funo do 2 Grau Definir Produto Pagina 11
Aplicao da Funo do 2 Grau Superfcies Parablicas Pagina 12
Aplicao da Funo do 2 Grau Curvas de Oferta e Demanda Pagina 13
Aplicao da Funo do 2 Grau Equilbrio de Mercado Pagina 14
Introduo ao Calculo Diferencial Engenharia Eltrica 2012 2 Pgina - 03
Introduo - Equao 2 Grau.
Ela diferencia-se da equao do primeiro grau pelo fato de a incgnita aparecer elevada ao quadrado, o que
introduz as operaes de potenciao e radiciao na resoluo dessas equaes. Tambm sendo chamada por
alguns autores de funo quadrtica. A equao do segundo grau ser muito importante na fsica, na geometria e
em diversos campos do conhecimento.
Definio - Equao 2 Grau.
Equao do Segundo Grau toda equao que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c so
os coeficientes e x a incgnita.
Esse nome existe porque o expoente mais alto existente na equao o 2. Equao do segundo grau toda
equao que pode ser escrita na forma, onde a, b e c so os coeficientes e x a incgnita que se quer
calcular.
Pra que uma funo seja considerada do 2 grau, ela ter que assumir certas caractersticas, como:
Toda funo do 2 grau deve ser dos reais para os reais, definida pela frmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que 'a' deve
pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que 'b' e 'c' deve pertencer ao conjunto dos reais.
Observe alguns exemplos dessas funes:
f(x) = x + 4x +6;
a = 1, b = 4, c = 6 (Completa)
f(x) = 6x 3x;
a = 6, b = - 3, c = 0 (Incompleta, do tipo 'c = 0').
f(x) = x - 9;
a = 1, b = 0, c = -9 (Incompleta, do tipo 'b = 0').
f(x) = - x;
a = -1, b = 0, b = 0 (Incompleta, do tipo 'b e c = 0').
Toda funo do 2 grau tambm ter domnio, imagem e contradomnio;
Os valores de x so o domnio e a imagem e o contradomnio so os valores de y. Ento, podemos dizer que o
domnio e o contradomnio so o conjunto dos reais.
Introduo ao Calculo Diferencial Engenharia Eltrica 2012 2 Pgina - 04
Resoluo Equao do 2 Grau - Por Trinmios Quadrados Perfeitos.
Peguemos, como exemplo, a equao x2 + 2x 8 = 0.
Em primeiro lugar, deve-se colocar o termo independente (no caso, -8) no segundo membro. Assim a equao
fica x2 + 2x = 8.
Agora concentre-se no primeiro membro (em x2 + 2x). Que nmeros poderiam colocar para que ele virasse um
trinmio quadrado perfeito?
Resposta: o nmero +1, pois x2 + 2x + 1 = (x + 1)2.
Nota-se que s esse nmero transforma o primeiro membro em um trinmio quadrado perfeito.
Transformando o primeiro membro em um trinmio quadrado perfeito da seguinte forma:
Se x2 + 2x = 8, ento x2 + 2x + 1 = 8 + 1.
Nota-se que, como uma equao, o que eu fizer no primeiro membro (lado esquerdo da igualdade) dever ser
feito no segundo membro (lado esquerdo da igualdade).
Se x2 + 2x + 1 = 8 + 1, ento (x + 1)2 = 9, e ento .
Como sabemos, a raiz de 9 pode ser +3 ou menos 3, de modo que teremos duas possibilidades para resolver a
equao:
Se x + 1 = 3, ento x = 3 1, o que nos leva a x1 = 2.
Se x + 1 = - 3, ento x = -3 1, o que nos leva a x2 = 4.
Portanto, para resolver qualquer equao desta forma, procedemos da seguinte maneira:
- Colocamos o termo independente no segundo membro.
- Completamos o primeiro membro com um nmero para descobrir um trinmio quadrado perfeito e usamos
a fatorao.
- Aplicamos a raiz quadrada aos dois membros e resolvemos como se fosse uma equao comum.
- Lembre-se que a raiz quadrada tem duas possibilidades de resposta, logo a equao ter duas solues.
- Se ao tirar a raiz quadrada dos dois membros, o segundo membro for um nmero negativo (no existe
raiz quadrada de nmero negativo), ento a equao no ter soluo.
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Resoluo Equao do 2 Grau pela frmula de Bhskara.
Outra forma para resolver a equao do 2 grau, atravs da frmula de Bhskara, que dada a seguir:
Se ax2 + bx + c = 0, ento:
e
Em muitos livros, os autores chamam de delta () a expresso que est dentro da raiz, isto , b2 4ac. Assim, a
frmula de Bhskara pode ser reescrita da seguinte forma:
e
Repare que:
Se > 0, a equao ter duas solues distintas ;
Exemplo:
Se = 0, a equao ter duas solues idnticas x1 = x2;
Se for negativo, a equao no ter solues reais;
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Deduo da frmula de Bhskara.
A frmula de Bhskara tambm pode ser deduzida descobrindo trinmios quadrados perfeitos.
Temos ax2 + bx + c = 0. Vamos dividir toda a equao por a:
Vamos jogar o termo independente no segundo membro, sempre tendo em mente a manuteno da igualdade na
equao:
Qual o nmero que falta para completar um trinmio quadrado perfeito? Voc descobrir que:
Tirando o mnimo no segundo membro, temos:
Assim,
Como uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e outra negativa, temos que:
e
Passando o termo para o segundo membro, finalmente obtemos a frmula de Bhskara!
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Grfico da Equao 2 Grau.
Sua representao no plano cartesiano uma parbola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui
concavidade voltada para cima ou para baixo. A funo do 2 grau assume trs possibilidades de resultados ou
razes, que so determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a funo numa equao
do 2 grau.
Coeficiente a > 0, parbola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parbola com a concavidade voltada para baixo
> 0 A equao do 2 grau possui duas solues distintas. A parbola intersecta o eixo das abscissas (x) em
dois pontos.
= 0 A equao do 2 grau possui uma nica soluo. A parbola ir intersectar o eixo das abscissas (x) em
apenas um ponto.
< 0 A equao do 2 grau no possui solues reais, portanto, a funo do 2 grau no intersectar o eixo
das abscissas (x).
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Pontos notveis do grfico de uma funo do 2 Grau.
O vrtice da parbola constitui um ponto importante do grfico, pois indica o ponto de valor mximo e o
ponto de valor mnimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos sero definidos, observe:
Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parbola possuir valor mximo.
Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parbola possuir valor mnimo.
Outra relao importante na funo do 2 grau o ponto onde a parbola corta o eixo y. Verifica-se que o
valor do coeficiente c na lei de formao da funo corresponde ao valor do eixo y onde a parbola o
intersecta.
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Aplicao da Funo do 2 Grau Definir rea.
Caso: Vamos supor que um avicultor pretende fazer um pequeno viveiro, de formato retangular, para alojar alguns pintinhos. Para esta tarefa ele comprou 6 metros de cerca. Pretende-se que a rea seja a mxima. Como proceder?
Queremos que o permetro seja de 6 metros. Ento, fica 2a + 2b = 6 - Se exprimirmos a em funo de b, teremos: 2a = 6 2b / a = 3 b. A rea da regio retangular dada pela formula: A = a.b, onde A a rea. Como a = 3 b, fica assim A = (3 b). b / A = 3b b Pretende-se saber quando a rea mxima. Determinemos ento o valor de b. Sabemos que 0 < b < 3. Vimos j que A = - b + 3b. Portanto utilizando a formula:
Desenhando o grfico desta funo obtemos:
O grfico sugere que a rea mxima no ponto em que a funo toma o maior valor, ou seja:
Ento, a rea mxima 2,25 para b = 1,5. Neste caso, a = 3 b a = 3 1,5 = 1,5. A rea mxima a = b = 1,5; isto quer dizer que uma superfcie quadrada.
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Aplicao da Funo do 2 Grau Ponte Pnsil.
Tambm chamada pendente, a ponte pnsil ou suspensa pode vencer distancias ainda maiores que as em arco ou viga, de at 2.100 m. Seu tabuleiro sustentado por cabos de ao. A ponte suspensa apropriada para grandes vos livres, pois ela permite mxima leveza e um peso morto mnimo. Um exemplo a Golden Gate Bridge, com um vo livre de 1.280 metros. Caso: Vamos considerar que os cabos de suspenso de uma ponte (como na figura abaixo) esto presos a duas torres que distam 480 metros e tem 60 metros de altura. Os cabos tocam a ponte no centro. Determine a equao da parbola que tem a forma dos cabos. Observando a figura podemos ver que os cabos da ponte formam uma parbola cujo vrtice foi escolhido para a origem no plano cartesiano. Nesse referencial o ponto de coordenadas (240, 60) pertence parbola. Como a parbola tem a vrtice na origem sabe-se que uma equao do tipo y = ax Vamos descobrir o valor de a atravs das coordenadas dadas. 60 = a. 240 a = 1 960 Portanto a equao da parbola y = 1 . X 960 Veja o grfico:
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Aplicao da Funo do 2 Grau Definir Produto.
O plstico derivado das resinas de petrleo. Pertencem ao grupo dos polmeros, com caractersticas especiais e variadas. So divididos em dois grupos de acordo com caractersticas de fuso: Termoplsticos e Termorrgidos. A reciclagem feita de 3 maneiras: Energtica, Qumica e Mecnica. Caso: empresa Plastilit planeja produzir um tipo de arquivo para pastas, a partir de um pedao retangular de plstico de 80 cm por 50 cm e, para isso, preciso fazer duas dobras no plstico ao longo do maior lado, formando o arquivo na forma de U. Que medida da altura x dever ter esse arquivo, para que seu volume interno seja mximo? A largura da pasta ser 80 2x, a altura vale x e a profundidade 50 cm.. O volume interno da pasta dado pelo produto das trs dimenses: V = 50 x (80 2x) = 4000x 100x O volume uma funo quadrtica em funo da altura x. n(t) = - 16t + 480t = -16 (t - 30) - 16 (t - 30 + 15 - 15) n(t) = - 16 (t - 30 + 15) + 3600 - 16 (t 15) + 3600 V(x) = - 100x + 4000x = - 100 (x - 40x) V(x) = - 100 (x - 40x + 20 - 20) = 100(x - 40x + 20) + 40000 - 100 (x 20) + 40000 A pasta dever ter 25 cm de altura na dobradura para um volume interno de 40.000 cm. Veja o grfico da funo:
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Aplicao da Funo do 2 Grau Superfcies Parablicas.
Faris de carros: Se colocarmos uma lmpada no foco de um espelho com a superfcie
parablica e esta lmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir
sobre o espelho parablico do farol, os raios refletidos sairo todos paralelamente ao eixo
que contem o "foco" e o vrtice da superfcie parablica.
Antenas parablicas: Se um satlite artificial colocado em uma rbita geoestacionria
emite um conjunto de ondas eletromagnticas, estas podero ser captadas pela sua
antena parablica, uma vez que o feixe de raios atingir a sua antena que tem formato
parablico e ocorrer a reflexo desses raios exatamente para um nico lugar,
denominada o foco da parbola, onde estar um aparelho de receptor que converter
as ondas eletromagnticas em um sinal que a sua TV poder transformar em ondas que
por sua vez significaro filmes, jornais e outros programas que voc assiste
normalmente.
Lanamentos de projteis: Ao lanar um objeto no espao (dardo, pedra,
tiro de canho) visando alcanar a maior distncia possvel tanto na
horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto
aproximadamente uma parbola, se considerarmos que a resistncia do ar
no existe ou pequena. Sob estas circunstncias o ngulo de maior alcance
horizontal de 45 graus.
Foges Solares: possvel utilizar a radiao solar para
fins domsticos. Para isto deve-se concentrar essa
radiao em pequenas regies, utilizando-se de lentes ou
espelhos. Os foges solares usam material refratrio
parablico para a concentrao de calor. Os raios solares
incidem na superfcie do espelho e ao se refletirem
passam pelo foco. O calor concentrado neste ponto
suficiente para cozinhar alimentos.
Luz Solar Angulo
Termmetro
Alimento
Material
Metlico
Vrtice
Material
Refratrio
http://2.bp.blogspot.com/_-rUCQmvlXSA/SB-seGgkDmI/AAAAAAAAABA/HYpeYUzZn5g/s1600-h/zfarol.pnghttp://3.bp.blogspot.com/_-rUCQmvlXSA/SB-t7WgkDoI/AAAAAAAAABQ/jNXaZlreo1s/s1600-h/zantena.png
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Aplicao da Funo do 2 Grau Curvas de Oferta e Demanda.
So discutidas neste exemplo varias aplicaes das funes quadrticas em Administrao e Economia. Estas
aplicaes incluem curvas de oferta e demanda e seus respectivos equilbrios de mercado.
Curvas de Oferta e Demanda.
Os segmentos pertencentes ao primeiro quadrante, de vrios tipos de parbola so frequentemente apropriados
para representar funes de oferta e demanda, como ilustrado nos grficos abaixo.
Observe que cada curva apenas uma dentre uma famlia de curvas apropriadas para representar as funes
discutidas. Por exemplo, o vrtice da parbola abaixo pode localizar-se em qualquer parte do segundo quadrante
ou sobre o semi-eixo positivo de y contando que a parbola tenha intersees x e y positivas.
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Aplicao da Funo do 2 Grau Equilbrio de Mercado.
O preo e a quantidade de equilibrio de mercado so aqueles representados pelas coordenadas do ponto de
interseo das curvas de oferta e demanda. Uma soluo aproximada para estas coordenadas pode ser obtida
geometricamente para qualquer curva de oferta e demanda. Entretanto, uma soluo algebrica simultanea, mesmo
para funes de oferta e demanda do segundo grau, pode envolver a resoluo de equaes do terceiro e quarto
grau. Uma vez que aqui no so discutidos a resoluo de grau superior a dois, o exemplo abaixo esta limitado a
resoluo da equao quadratica.
Caso: Ache o preo e a quantidade de equilibrio para as seguintes equaes de oferta e demanda (onde x
representa a quantidade e y, o preo.
Grfico do Caso acima.