FUNÇÃO QUADRÁTICACurso de Informática Educativa I

Projeto ExecuçãoCursista: Maurício Campos

Definição: Uma função f de R em R é chamada quadrática ou do 2 grau se, a cada x ⁰ R, associa ∈o elemento (ax2 + bx + c) R, com ∈a R∈ *, b R e c R.∈ ∈

f(x) = ax2 + bx + c

Como exemplos, temos:

a) f(x) = 2x2 - x + 4, sendo a = 2, b = -1 e c = 4

b) f(x) = -x2 + 3x + 8, sendo a = -1, b = 3 e c = 8

Os gráficos da Função Quadrática

Os tipos de gráficos de uma função quadrática: ∆ > 0 e a > 0;∆ > 0 e a < 0;∆ < 0 e a > 0;∆ < 0 e a < 0;∆ = 0 e a > 0;∆ = 0 e a < 0;

Primeira Aula: o professor irá ministrar uma aula sobre função quadrática, destacando os pontos necessários para esboçar o gráfico da função. O professor apresenta a definição , cita exemplos e destaca os pontos principais para esboçar a função quadrática.

Definição: Uma função f de R em R é chamada quadrática ou do 2 ⁰grau se, a cada x R, associa o elemento (ax∈ 2 + bx + c) R, com ∈a R∈ *, b R e c R.∈ ∈

f(x) = ax2 + bx + c

Como exemplos, temos:

a) f(x) = 2x2 - x + 4, sendo a = 2, b = -1 e c = 4

b) f(x) = -x2 + 3x + 8, sendo a = -1, b = 3 e c = 8

Os pontos necessários para esboçar o gráfico da função quadrática são:

As raízes da função ou interseção com o eixo x; O vértice da função que representa o ponto de máximo ou

mínimo; A interseção com o eixo y.

Vejamos um exemplo :

f(x) = x2 -5 x + 6 → Raízes: x2 -5 x + 6 = 0

Resolvendo pela fórmula de bháskara temos:

x1 = 2 e x2 = 3

Vértice:

xv = -b/2a = 5/2 e yv = - ∆/ 4a = -1/4

V = (5/2, -1/4)

Como a > 0 , o vértice é ponto de mínimo

Interseção com o eixo y:

f(0) = c → f(0) = 6

Segunda Aula: o professor irá propor Exercícios de Fixação relacionados ao conteúdo e dará como tarefa exercícios propostos que pode ser realizado pelos alunos em grupos e em casa.

 Exercícios de Fixação

1) Esboce os gráficos das seguintes funções :

a) f(x) = x2 + x + 1 d) f(x) = -x2 +4 x – 4

b) f(x) = 2x2 -4 x + 2 e) f(x) = -x2 -2 x + 3

c) f(x) = x2 -5 x + 6 f) f(x) = -2x2 +3 x -3

Terceira Aula: apresentação do software geogebra e as funções necessárias deste software para a construção de uma função quadrática.

 Roteiro de instruções para a construção da parábola no software geogebra:1. Ao abrir o software geogebra, digite na entrada o coeficiente a

e clique enter . Proceda da mesma forma para os coeficientes b e c. Os coeficientes irão aparecer na janela da álgebra.

2. Na lateral esquerda clique em cada coeficiente para que este apareça na janela de visualização.

3. Citaremos um exemplo que serve como instrução para esboçar o gráfico de outras funções. Digite na entrada y = 1*x^2+2*x+5 e clique enter. Este exemplo é para a = 1. b = 2 e c = 5.

Após a terceira instrução o gráfico da função quadrática estará visível no software geogebra.

Exercícios Propostos

1) Esboce os gráficos da segunda aula no geogebra:

a) f(x) = x2 + x + 1 d) f(x) = -x2 +4 x – 4

b) f(x) = 2x2 -4 x + 2 e) f(x) = -x2 -2 x + 3

c) f(x) = x2 -5 x + 6 f) f(x) = -2x2 +3x -3

Quarta Aula: Os alunos irão trazer de suas casas e apresentar as pesquisas realizadas sobre o tema. Realização de aula no laboratório, para a prática e domínio do software. Nesta aula os alunos irão esboçar todos os tipos de gráficos das funções quadráticas com auxílio do software dinâmico geogebra. O esboço será feito de acordo com as orientações abaixo:

Quando a > 0 (concavidade voltada para cima) e a < 0 (concavidade voltada para baixo); Quando ∆ > 0 ( duas raízes reais e distintas, ∆ < 0 (sem raiz real) e ∆ = 0

( com uma raiz real e dupla);

 

Os alunos exercitarão a construção de gráficos de todos os tipos de parábolas da função quadrática distinguindo a diferença entre eles. Os exercícios estão descritos abaixo.

Exercícios de FixaçãoEsboce o gráfico das seguintes funções quadráticas:

a) f(x) = x2 + 2x + 2 d) f(x) = -2x2 +8 x – 8

b) f(x) = x2 e) f(x) = -x2 -2 x

c) f(x) = x2 - x - 6 f) f(x) = -x2 +2x -3

lelkfle

Exercícios que podem ser colocados para a discussão em grupo:

1) Os lados de um terreno retangular medem x e y (em metros). Sabendo que o perímetro deste retângulo é de 20m:

Determine a sua área em função de um dos lados;

a)Construa o gráfico desta função;

b) Verifique as dimensões para que o terreno tenha área máxima.

2) João quer construir uma quadra de futebol de salão retangular. Para cercá-la, ele dispõe de 60m de alambrado pré-fabricado e, por uma questão de economia, João vai aproveitar o muro do quintal. Quais devem ser as dimensões dessa quadra para que sua área seja máxima?

Quinta Aula : : O professor irá propor para os alunos a construção de uma função quadrática para ∆ < 0 nos dois casos ( a > 0 e a < 0). Com esta construção o aluno vai distinguir a diferença entre funções com raízes reais e funções sem raízes reais. Com isso o aluno vai ver claramente que quando o ∆ < 0 a função não possui raiz e a parábola não corta o eixo das abcissas. Esta construção será feita no software geogebra.

Segue abaixo as funções que pode ser construídas com auxílio do geogebra:a) f(x) = x2 + 2x + 2 b) f(x) = -x2 + 2x - 6

Sexta Aula: Proposta de exercícios para serem resolvidos através dos conhecimentos adquiridos pelos alunos.

 

Exercícios de Fixação

1) Represente graficamente as seguintes funções:

a) f(x) = x2 + 5x + 4 d) f(x) = -x2 +3x – 4

b) f(x) = -x2 + 2x e) f(x) = -x2

c) f(x) = x2 +1 f) f(x) = -3x2 +2x

2) Dada a função real f(x) = -x2 +2x + 3:

d) Construa o gráfico cartesiano;

e) Localize no gráfico as raízes da função, o vértice e o eixo de simetria.

Sétima Aula: Proposta de exercícios para serem resolvidos através dos conhecimentos adquiridos pelos alunos no computador com o auxílio do software geogebra.

Exercícios Propostos

1) Represente graficamente e calcule o valor máximo ou mínimo de cada uma das funções em R:

a) f(x) = -3x2 +x + 2 d) f(x) = -2x2 +5x – 4

b) e) f(x) = 2x2 e) f(x) = x2 -2x +1

c) f(x) = x2 -2x + 4 f) f(x) = x2 +1

Oitava Aula:

Avaliação dos conhecimentos adquiridos e participação dos alunos neste processo de ensino aprendizagem.