Aplicações da Curva S e do Método do Caminho Crítico no ...repositorio.unicamp.br/jspui/bitstream/REPOSIP/325523/1/Costa_Am… · PERT (Análise de redes). 5. Análise de redes

UNIVERSIDADE ESTADUAL DECAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica

AMAURÍ HARVEY DA COSTA

Aplicações da Curva S e do Método doCaminho Crítico no Planejamento de Obras

Campinas2017

Amaurí Harvey da Costa

Aplicações da Curva S e do Método do Caminho Críticono Planejamento de Obras

Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científicada Universidade Estadual de Campinas comoparte dos requisitos exigidos para a obtençãodo título de Mestre em Matemática Aplicadae Computacional.

Orientador: Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto

Este exemplar corresponde à versãofinal da Dissertação defendida peloaluno Amaurí Harvey da Costa e ori-entada pelo Prof. Dr. Francisco deAssis Magalhães Gomes Neto.

Campinas2017

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaAna Regina Machado - CRB 8/5467

Costa, Amaurí Harvey da, 1954- C823a CosAplicações da curva S e do método do caminho crítico no planejamento de

obras / Amaurí Harvey da Costa. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

CosOrientador: Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto. CosDissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual de Campinas,

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Cos1. Curva S. 2. Métodos de caminho crítico. 3. Administração de projetos. 4.

PERT (Análise de redes). 5. Análise de redes (Planejamento). I. Gomes Neto,Francisco de Assis Magalhães,1964-. II. Universidade Estadual de Campinas.Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: The S-curve applications and critical path method in planning ofengineering worksPalavras-chave em inglês:S-curveCritical path analysisProject managementPERT (Network analysis)Network analysis (Planning)Área de concentração: Matemática Aplicada e ComputacionalTitulação: Mestre em Matemática Aplicada e ComputacionalBanca examinadora:Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto [Orientador]Aurelio Ribeiro Leite de OliveiraEdmundo Inacio JuniorData de defesa: 03-07-2017Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada e Computacional

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Dissertação de Mestrado Profissional defendida em 03 de julho de 2017 e aprovada pelabanca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof. Dr. FRANCISCO DE ASSIS MAGALHÃES GOMES NETO

Prof. Dr. AURELIO RIBEIRO LEITE DE OLIVEIRA

Prof. Dr. EDMUNDO INACIO JUNIOR

As respectivas assinaturas dos membros encontram-se na Ata de defesa.

Dedico aos meus filhos Thiago, Paulinha, Felipe, Felìcia e Raphael. Minhas inspiraçõesnesta vida.

Agradecimentos

Aos meus pais pela luta incansável na formação moral e intelectual de seus filhose pelo incentivo particular em me oferecer condições para o caminho das ciências. À AMAN,escola pioneira na minha formação profissional, precursora na orientação pela escolha daEngenharia Militar e posteriormente ao Magistério Militar onde tive oportunidade deintegrar o Corpo Docente desta destacada Escola Militar, responsabilidade honrada e quemuito incentivou na realização deste Mestrado. Ao amigo Coronel Engenheiro MilitarOsvaldo Mendes pela oferta do presente tema, desafiador e gratificante no seu desenvol-vimento. Ao amigo professor e mestre Major Armando Staib pelo apoio incondicionale ajuda na formatação dos presentes textos. Ao Prof Dr Francisco Gomes, do Institutode Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade de Campinas, meuorientador, sem o qual não seria possível a realização deste trabalho. Sou eternamente gratoa essa distinta pessoa, sempre disposta e paciente para comigo na orientação da redação ecorreção dos textos. Muito obrigado ao Prof Chico, forma carinhosa como o tratamos. Aonosso Pai Celestial, pela oportunidade desta vida e pelas bênçãos alcançadas.

“Viemos a esse mundo para os outros”Dom Bosco

ResumoEste trabalho tem como proposta apresentar o estudo de um mecanismo prático e de fáciluso para todos aqueles interessados em acompanhar de forma técnica o progresso de umprojeto e seu respectivo investimento financeiro.O tema exigiu que desenvolvêssemos de forma didática e organizada todas as atividadesenvolvidas.Demos ênfase ao planejamento das etapas com o auxílio do caminho crítico obtido atravésdo PERT-CPM, bem como da criação de um cronograma, mostrado pelo Gráfico de Gantt.Tendo em vista que as etapas físicas e os gastos financeiros do projeto estão associados poruma curva em forma de S, estudamos pormenorizadamente como definir uma representaçãoalgébrica aproximada para essa curva, para permitir que o executor da obra acompanhe econtrole o desenvolvimento do projeto.Com as ferramentas aqui apresentadas, o gerenciamento da obra pode ser realizado deforma integral, permitindo que sejam satisfeitos parâmetros de prazo, custo, qualidade erisco previamente estabelecidos.

Palavras-chave: Curva S, Planejamento de Obras.

AbstractThis dissertation aimed at presenting the study of an easy-to-use mechanism to all thoseinterested in technically following the progressive stages a project and its respectivefinancial investiments.The theme demanded us to develop all the activities in a didactical and organized way.Emphasis was given to the planning stages with the aid of the critical path obtained bythe PERT-CPM, as well as to the design of a cronogram, showed by the Graphic of Gantt.Considering that the physical stages and the financial expenses of the project are associatedby an S-Shaped Curve, we studied in details how to define an approximate algebricrepresentation of this curve, in order to allow that the manager of the work can followand control the development of the project.The tools here presented allow the management of the work in an integral way, that term,costs, quality and risk parameters previously established are fulfilled.

Keywords: S-curve, Planning of engineering works.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Representação gráfica de realimentação de “feed back” do sistema. . . . 17Figura 2 – Representação gráfica das fases do controle. . . . . . . . . . . . . . . . 17Figura 3 – Uma atividade no PERT/CPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 4 – Atividades Paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 5 – Atividade Fantasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 6 – Caminho crítico de uma atividade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 7 – Visualização das folgas de uma atividade. . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 8 – Figura de progressão e regressão na rede PERT/CPM. . . . . . . . . . 28Figura 9 – Cronograma de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Figura 10 – Interpretações de um cronograma de barras. . . . . . . . . . . . . . . . 31Figura 11 – Evolução da Produtividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Figura 12 – Distribuição dos Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Figura 13 – Rede de Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 14 – Datas e Folgas dos Nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 15 – Cronograma de Barras e Distribuição de Recursos . . . . . . . . . . . . 34Figura 16 – Distribuição de Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 17 – Nivelamento de Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 18 – Rede com Datas Mais Tarde dos Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 19 – Distribuição do Recurso Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 20 – Nova Rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 21 – Gráfico de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 22 – Gráfico de Gantt de um Cronograma Físico-Financeiro . . . . . . . . . 39Figura 23 – Histograma Tempo x Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Figura 24 – Curva S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 25 – Curva S (Tempo x Recurso Acumulado) . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 26 – Curva S (Tempo x Crescimento Populacional) . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 27 – Funçõa Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Figura 28 – Função Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 29 – Método da Bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 30 – Caso ”a” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 31 – Caso ”b” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 32 – Método da Bissecção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 33 – Curva S para o Ponto de Inflexão p0, 7; 0, 6q . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 34 – Curva S para Ponto de Inflexão p0, 3; 0, 4q . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 35 – As três primeiras iterações do método de Newton. . . . . . . . . . . . . 51Figura 36 – Curva S para Ponto de Inflexão p0, 6; 0, 5q . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 37 – Curva S para Ponto de Inflexão p0, 5; 0, 4q . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 38 – Curva S para Ponto de Inflexão p0, 5; 0, 5q . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 39 – Curva S para Diferentes Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 40 – Caminho Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 41 – Gráfico de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 42 – Gráfico de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 43 – Histograma Período x Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 44 – Curva Tempo x Desembolso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 45 – Curva S de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 PLANEJAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 SISTEMAS DE CONTROLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1 Conceito Básico de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Características dos Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1 Permitir a aferição das anormalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Permitir interferir no sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Escolha do Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Situações que ocorrem no sistemas de controle (princípio de feed-

back) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Padrões de Referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Controle da Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 PLANEJAMENTO DO TEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Cronograma em Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1 Redes de Atividades em Setas (AES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Elaboração de Redes de Planejamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Cálculo da Rede PERT/CPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.1 Cronograma de Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Alocação e Nivelamento de Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 CURVAS S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1 Método da Bisseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 EXEMPLO ILUSTRATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

13

Introdução

Nos dias atuais, mesmo com o avanço de novos recursos técnicos, muitas obrascontinuam sendo realizadas de forma artesanal, ou seja, com um planejamento informalsem garantia do cumprimento do prazo estabelecido e, muito menos, do orçamento.Já os empreendimentos de maior porte não podem ser levados a um bom termo semum planejamento formal. Para tal, os projetos devem ser executados obedecendo umasequenciação:

• estudo de viabilidade técnica e econômica;

• desenvolvimento do projeto de engenharia básico;

• suprimento dos insumos necessários à materialização do projeto;

• construção.

Convém notar, no entanto, que esta sequenciação não é absoluta, isto é, não se aguarda ofim de uma etapa para se iniciar a próxima, mas sim que, atingido certo desenvolvimentode uma etapa, dela se extraem dados para se iniciar a seguinte, ganhando-se com isso noprazo total de execução do empreendimento. Este trabalho é realizado com a integraçãode todos os participantes do projeto através de um sistema de informações gerenciais.

O que se tem observado, tanto na execução quanto no gerenciamento da maiorparte das obras habitacionais, é a predominância de um sistema informal. Não há, entre asvárias equipes participantes do processo, a integração mínima e necessária para racionalizaros procedimentos de implementação do projeto.

Assim, o arquiteto desenvolve o projeto de arquitetura, após e com base nesteo engenheiro de estrutura lança e calcula a estrutura e em seguida entram os engenheirosde instalações (elétrica, hidráulica, telecomunicações, etc.), que elaboram o projeto de suaespecialidade. Cada um realiza o trabalho segundo sua percepção, sem trocar informaçõescom os demais integrantes do processo de criação, pois essa troca demanda tempo e tempoé dinheiro. Surgem daí as incompatibilidades de projeto, que só virão à tona na horaou durante a execução da obra. Numa época em que se prioriza muito a qualidade e aprodutividade, é preciso que o gerenciamento de um projeto ou empreendimento sejafeito como um todo, concatenando-se recursos humanos, materiais, e também políticos,de forma a obter-se o produto desejado que é a obra concluída dentro dos parâmetros deprazo, custo, qualidade e risco previamente estabelecidos.

Para tanto, é necessário planejar e controlar o projeto, visto que planejar econtrolar são atividades interdependentes, ou seja, uma não existe sem a outra.

Introdução 14

Muito se comenta sobre planejamento, controle e execução de obras, mas háuma carência de documentação orientadora para trabalhos de pequeno vulto, tais comoresidências, prédios, galpões, ou seja, edificações abaixo de 2000m2, em nível de graduação.Sendo assim, pude concentrar meus estudos e apresentar um produto de fácil acesso ecompreensão, com objetivo de promover o planejamento e controle na execução de projetosde engenharia.

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1 Planejamento

Pode-se definir planejamento como um processo por meio do qual se estabelecemobjetivos, discutem-se expectativas de ocorrências de situações previstas, veiculam-seinformações e comunicam-se resultados pretendidos entre pessoas, entre unidades detrabalho, entre departamentos de uma empresa e, ao mesmo, entre empresas. SegundoACKOFF (1970), “Planejar é algo que fazemos antes de agir, isto é, a tomada antecipadade decisões. É um processo que se destina a produzir um ou mais estados futuros desejadose que não deverão ocorrer a não ser que alguma coisa seja feita, e fazer esta coisa éjustamente a função do gerenciamento.”

Importante, e inicialmente, é preciso planejar a duração do projeto em todassuas fases. Para isso, deve-se conhecer em detalhe cada componente do produto. Definiros tipos de insumos a serem empregados e, cruzando-os com os componentes do projeto,estabelecer um plano de contas. Estabelecer, também, a estrutura organizacional que iráimplementar o projeto, definindo logo um responsável para cada componente do produto.Determinar, ainda, as atividades requeridas para a materialização de cada componente.Depois, é preciso quantificar os recursos necessários à execução e saber como distribuí-losao longo das atividades que compôem o projeto. Em seguida, orçar os custos, diretos eindiretos, de tais recursos e distribuí-los ao longo do tempo, obtendo-se o cronogramafísico-financeiro. A partir dos custos orçados e do cronograma físico-financeiro, estabelecero multiplicador de custos (Bônus de Despesas Indiretas-BDI) para chegar-se ao preço davenda. Em paralelo com tudo isso é preciso coletar dados durante a execução do projeto,transformá-los em informações e com elas alimentar o Sistema de Controle do Projeto.

Ainda é preciso comparar o que foi planejado com os resultados obtidos e, senecessário, corrigir os desvios por meio de ordens de alteração às partes envolvidas. Taiscorreções de desvios são feitas nos cronogramas, como também nos orçamentos planejados,tantas vezes quantas forem necessárias para manter o projeto no rumo desejado. Esse éum processo contínuo, que se desenvolve ao longo de todo o projeto, usando-se técnicas deplanejamento do cronograma (PERT, CPM, Precedência, Linha de Balanço) VILLAÇA(1985) e do orçamento, além de técnicas de controle .

O planejamento permite:

• definir a organização para executar a obra;

• tomar decisões;

• alocar recursos;

Capítulo 1. Planejamento 16

• integrar e coordenar esforços de todos os envolvidos;

• assegurar boa comunicação entre os envolvidos na obra;

• suscitar a conscientização dos envolvidos para prazos, qualidade e custos;

• caracterizar a autoridade do gerente;

• estabelecer um referencial para controle;

• definir uma diretriz para o empreendimento.

Na aplicação das técnicas de planejamento é preciso levar em consideraçãofatores humanos envolvidos, permitindo-lhes, por meio do aprendizado e da transmissãode ordens em linguagem clara, maior autonomia e compreensão das atividades a executar.

Os fracassos mais comuns do planejamento se atribuem a:

• ausência de planos formais;

• abandono prematuro do plano elaborado;

• falta de confiança no plano;

• plano elaborado para “atender cliente”;

• visão de curto prazo do gerente;

• visão limitada do gerente.

A maioria das pessoas evita o planejamento por ser mais fácil dirigir rotinas doque pensar o futuro. Outras não querem expor suas idéias por medo do ridículo ou mesmopor falta das mesmas. Há ainda aqueles que não querem ser controladas ou submetidas auma análise pós-realização.

Conclui-se, portanto, que um planejamento eficaz requer a participação detodos os envolvidos no projeto. Todos os envolvidos têm que planejar e é função do gerentede planejamento atuar com elemento integrador e catalisador dos demais.

17

2 Sistemas de Controle

2.1 Conceito Básico de ControleO controle é a conclusão lógica do ciclo administrativo Figura 1, acompanhando

a execução do programa, verificando a manutenção dos padrões pré-fixados e procurandoremover obstáculos ou anomalias prejudiciais ao funcionamento regular do sistema.

Figura 1 – Representação gráfica de realimentação de “feed back” do sistema.

O termo clássico controle era normalmente usado para uma verificação, “aposteriori” da regularidade da execução e uma casual operação ou eliminação de resultadosnegativos.

Atualmente o controle tem acompanhado a execução, avaliando os resulta-dos obtidos, comparando-os com o que foi previsto e planejado para então apontar asdiscrepâncias aos responsáveis pelas decisões corretivas, Figura 2.

Figura 2 – Representação gráfica das fases do controle.

O controle deve ser executado no seu tríplice aspecto: Técnico-Econômico-Financeiro (VILLAÇA, 1985).

Capítulo 2. Sistemas de Controle 18

2.2 Características dos Sistemas de Controle

2.2.1 Permitir a aferição das anormalidades

Um controle eficaz, calcado sobre um planejamento completo, analisa o empre-endimento sob todos seus aspectos técnicos, administrativos e financeiros, e é exercidosimultaneamente com a execução da obra, de maneira a permitir a correção em tempohábil de eventuais falhas e omissões do planejamento ou da execução, seguindo uma rotinade informação-análise-correção, em dinâmica de feed back.

2.2.2 Permitir interferir no sistema

Outra característica do controle é, depois de aferir as anormalidades, interferirno sistema, corrigindo em tempo hábil as falhas e omissões. Muitas vezes, no meio daexecução, há necessidade de mudança de planejamento com relação à parte ainda nãoexecutada, introduzindo-se ou suprimindo-se eventos ou atividades ou, ainda, alterando-seos tempos de duração.

As modificações introduzidas durante a execução conduzem a uma atualizaçãodinâmica, alterando e ajustando o planejamento inicial.

2.3 Escolha do Sistema de ControleO controle deve ser escolhido com perfeita adequação às necessidades do

empreendimento e o seu custo não deve ser maior do que o benefício por ele trazido.

Os diversos sistemas de controle podem ser aplicados em diferentes modalidadesde complexidade e perfeição, desde que atendam às necessidades do empreendimento. Éevidente que uma construção de grande vulto requer um controle com grau de complexidadee eficiência que atenda às mais efetivas necessidades.

É comum encontrar-se controles desnecessários ou realizados a um custo superioràs vantagens que proporcionam.

2.4 Situações que ocorrem no sistemas de controle (princípio defeed-back)

O mecanismo de informações é estabelecido de tal forma que o administrador sótoma conhecimento de variações quando estas realmente ocorrem (se a execução caminhanormalmente, ele não é informado). É a aplicação do princípio de execução.


O mecanismo é estabelecido para propiciar ao administrador informaçõessistemáticas de modo que ele seja informado constantemente dos resultados obtidos,independentemente do andamento das operações.

2.5 Padrões de ReferênciaPela necessidade do emprego de um sistema de medidas bastante sensível para

se efetivar o controle rapidamente, com precisão e exame analítico, torna-se o padrão dereferência um conceito básico de controle (BIANCHI, 1959).

O padrão de referência deve ser o guia na ação e deve fornecer os elementosnecessários a execução do trabalho.

Determinam-se os padrões com base em um dos seguintes critérios:

• Experiência Passada

É um processo bastante difundido, porém deixa muito a desejar. Leva em contaexecução passada, passível de ser mal individualizada, para efetuar a avaliação do valor daexecução futura.

• Previsão Futura

É um processo que integra a experiência passada com a previsão das condiçõesfuturas em que a obra deverá se realizar. Este critério ressente-se da falta de uma referênciaprecisa de análise preliminar do processo ao qual o padrão será aplicado.

• Definição de Padrões de Processamento

É o critério mais racional, por basear-se no estudo do processo e da descriçãode cada uma das fases da obra.

Passos para controle por padrões de processamento:

• definição de melhor método para execução de trabalho;

• definição de valor do padrão de rendimentos;

• treinamento do pessoal para execução do método estabelecido;

• controle da execução para apuração dos resultados e comparação.


2.6 Controle da ObraEm uma empresa os controles abrangem os aspectos econômicos e operativos

ao mesmo tempo. Para cada atividade orgânica é necessário examinar um ou ambos osaspectos.

No campo de execução de obra, são realizados controles (BIANCHI, 1959) comrespeito a:

• desenvolvimento da obra;

• quantidade executante;

• custos unitários;

• qualidade técnica;

• produtividade.

O controle rigoroso é necessário no sentido de determinar a extensão, a eficiênciae o rendimento com que os programas, os objetivos, as ordens e instruções foram realizados,além de evitar desvios e desperdícios, tanto de mão-de-obra e de material, como de tempo,fornecendo elementos e dados que permitam uma comparação sistemática e contínua dosresultados obtidos com o planejamento previsto. Permite-se, assim, que sejam tomadas atempo as medidas que se fizerem necessárias para o reajustamento e aperfeiçoamento dosplanos e programas elaborados.

21

3 Planejamento do Tempo

3.1 IntroduçãoO tempo de duração de um projeto constitui um dos elementos fundamentais

do seu planejamento. Sua determinação é feita a partir da duração de cada uma dasatividades que compõem o projeto e do respectivo inter-relacionamento, resultante dametodologia de execução definida.

A duração de cada atividade é determinada em função do tipo e da quantidadede serviço que a compõe, bem como em função da produtividade da mão-de-obra quea executa, admitindo-se, inicialmente, estarem disponíveis a mão-de-obra, os tipos equantidades de materiais, equipamentos e outros recursos necessários à sua execução.

Assim, uma determinada atividade Ai tem sua duração ti dada por:

ti “Qi

Pi

onde Qi é a quantidade de serviço a ser executado na atividade e Pi a produtividade damão-de-obra que a executa.

A duração de cada atividade também pode ser determinada a partir de estima-tivas feitas por profissionais experimentados, que se baseiam na sua prática com obrassemelhantes. Mas é preciso lembrar que “cada projeto é único”, no sentido de que cadaum apresenta suas particularidades, além da variabilidade de seu ambiente de execução.

O tempo total estimado para a duração do projeto pode ser representado devárias formas, como a tabular e a gráfica, constituindo tais representações um cronograma.

No planejamento e no controle de projetos são usados dois tipos de cronogramas:o cronograma em redes e o cronograma em barras (VILLAÇA, 1985).

3.2 Cronograma em RedesOs cronogramas em redes, ou, simplesmente, redes de planejamento, são grafos

degenerados. As redes podem ser representadas de duas maneiras:

• com as atividades em setas (AES);

• com as atividades representadas por meio de nós (AEN), também conhecida comoMétodo Francês, em que os tempos de duração de suas atividades são determinadosde forma probabilística, como no PERT, ou de forma determinística, como no CPM.

Capítulo 3. Planejamento do Tempo 22

Será descrito apenas a Rede AES.

3.2.1 Redes de Atividades em Setas (AES)

Definida em um sistema cartesiano de duas dimensões, cada seta da rede requercinco variáveis: duas para a extremidade de início da seta, duas para a extremidade de fime uma para caracterizar o seu sentido.

Para a elaboração de uma rede AES são utilizadas duas técnicas de origemdiversa: a PERT e a CPM (PRADO, 1984).

A técnica PERT (Program Evaluation and Review Technique - Técnica deAvaliação e Revisão de Programas) foi desenvolvida em 1958 para o uso do Departamento deDefesa dos Estados Unidos na execução do míssil Polaris, que seria lançado de um submarino(ÁVILA, 2012). Tal projeto envolveu 250 empreiteiros, cerca de 9000 subempreiteiros e afabricação de 70000 componentes, muitos dos quais nunca antes produzidos em série. Oprazo inicialmente previsto de cinco anos, por razões políticas, foi reduzido para três anos.Como não havia experiência com relação aos prazos de fabricação de cada componente,perguntou-se aos fabricantes que prazos máximo, normal e mínimo seriam necessários paraa produção de cada peça, pois, se forem estimados o prazo mínimo a, o prazo máximob e o prazo normal m, pode-se, através de tratamento estatístico, determinar o tempoesperado (te) como sendo:

te “pa` 4m` bq

6 , desvio padrão “ σ “pb´ aq

6 e a variância “ σ2.

Em função desse tratamento estatístico, a técnica PERT é chamada probabilís-tica.

A técnica CPM (Critical Path Method -Método do Caminho Crítico) foidesenvolvida também em 1958 pela empresa Dupont, fabricante de produtos químicos,que no intuito de expandir seu parque fabril, resolveu planejar suas obras por meio datécnica de redes, considerando para as atividades durações obtidas em projetos muitosemelhantes executados por ela em trabalhos anteriores (ÁVILA, 2012). A empresa, atravésde registros em seus arquivos, se valia dos prazos e condições que determinada atividadefora executada, possibilitando a elaboração da rede com uma única determinação do prazopara cada atividade. Como para cada atividade é feita uma única determinação de prazode duração, baseada em experiência anterior, o CPM é chamado de determinístico.

Com o tempo, as duas técnicas foram sendo combinadas, passando-se a usar adenominação PERT/CPM para este tipo de rede onde as atividades são representadas porsetas.

A seta que representa a atividade caracteriza-se por um nó inicial i, denominadoevento inicial, e por um nó final j, chamado evento final. Ela é orientada de i para j e


leva em cima a designação da atividade e embaixo a sua duração, conforme mostrado naFigura 3.

Figura 3 – Uma atividade no PERT/CPM.

Duas ou mais atividades podem ser sucessivas ou paralelas, sendo que estaspodem ter as mesmas datas (eventos) de início, ou as mesmas datas de fim, ou as mesmasdatas de início e de fim.

Em atividades paralelas, quando representadas graficamente, as respectivas setasse superpõem, tornando-se difícil distingui-las. Para diferenciá-las usa-se uma atividadefantasma (AF), ou atividade de conveniência, como mostram as Figuras 4 e 5.

Figura 4 – Atividades Paralelas.

Figura 5 – Atividade Fantasma.

Em contraposição à atividade fantasma, tem-se a atividade de espera, cujacaracterística é apenas consumir o tempo e nenhum outro recurso. É o caso, por exemplo,do tempo gasto na cura do concreto após o seu lançamento e adensamento.


3.3 Elaboração de Redes de PlanejamentoPara elaborar uma rede de planejamento procede-se da seguinte forma(PRADO,

1984):

• listar todas as atividades do projeto;

• estabelecer a ordem de execução das atividades;

• determinar a duração de cada atividade;

• determinar os eventos inicial e final da rede;

• determinar as atividades que podem ser executadas em paralelo;

• calcular as datas dos eventos inicial e final de cada atividade.

3.4 Cálculo da Rede PERT/CPMSegundo PRADO (1984), para se calcular a rede PERT/CPM é preciso definir

alguns conceitos básicos a ela relativos, quais sejam:

• Primeira Data de Início (PDI) ou Cedo Início (CI) de uma atividade, que é adata na qual ela poderá ser iniciada, cumpridas todas as atividades que lhe sejamantecessoras;

• Primeira Data de Término (PDT) ou Cedo Fim (CF) de uma atividade, que é adata de término de uma atividade iniciada na PDI (ou CI) e cuja duração previstatenha sido obedecida;

• Última Data de Término (UDT) ou Tarde de Fim (TF) de uma atividade, que éa data-limite na qual ela deverá ser terminada afim de não atrasar o início dasatividades que a sucedem;

• Última Data de Início (UDI) ou Tarde de Início (TI) de uma atividade, que é adata-limite na qual uma atividade tem que ser iniciada para poder terminar na suaUDT ou TF;

• Tempo Disponível (TD) para a realização de uma atividade, que é a diferença entrea PDI e a UDT dessa atividade;

• Folga de um Evento, que é a diferença entre as datas de início e fim de um eventode uma rede;


• Folga Livre (FL) de uma atividade, que é o tempo de que se dispõe para realizá-lade modo a não afetar a PDI ou CI das atividades que lhe sejam imediatamentesucessoras;

• Folga Total (FT) de uma atividade, que é a soma de sua Folga Livre(FL), com amenor entre as folgas livres das atividades que lhe sejam imediatamente sucessoras.A FT é, também, a diferença entre o TD e a duração da atividade, ou a diferençaentre a UDT e a PDT ( ou entre o TF e o TI) ou, ainda, entre a UDI e a PDI (ouentre o CF e o CI);

• Atividade Crítica, que é a atividade cujos eventos inicial e final apresentem asmenores folgas entre as demais folgas de uma rede de atividades;

• Caminho Crítico (CC), que é a sequência de atividades críticas compreendidas entreo início e o fim da rede. As atividades críticas apresentam as menores FT e FL.

Dessas definições pode-se inferir que:

• se as durações das atividades antecessoras de uma atividade forem diminuídas, estapoderá ter a sua PDI antecipada;

• se a duração de qualquer atividade antecessora de uma atividade ultrapassar a UDIdesta, a duração da atividade considerada deverá ser diminuída a fim de cumprircom a sua UDT, caso contrário, as atividades que lhe serão sucessoras serão afetadas;

• em uma rede pode haver mais de um caminho crítico.

A visualização do conceito das folgas torna-se mais fácil com o auxílio do diagramamostrado Figura 6. Seja uma atividade qualquer M , cujo evento de início seja i e cujoevento de término seja j. A duração D da atividade é de 4 unidades de tempo (UT), sendoela precedida de duas atividades e sucedida por outras duas. Ao calcular a rede à qualpertence esta atividade, encontrou-se que sua PDI é 10, sua UDI é 14, sua PDT é 20 e suaUDT é 25. Isso por causa de outras atividades da rede que chegam ou partem dos eventosi e j . Colocando-se essas datas em uma escala linear, resulta o diagrama da Figura 7.

O tempo disponível TD para folga total FT é igual ao TF menos o CI daatividade, ou seja:

TDF T “ 25´ 10 “ 15UT (unidade e tempo).

A folga total FT, por sua vez, é igual a esse tempo menos a duração D daatividade, daí resulta:


Figura 6 – Caminho crítico de uma atividade.

Figura 7 – Visualização das folgas de uma atividade.

FT “ TDF T ´D “ 15´ 4 “ 11UT.

O tempo disponível para a folga livre TDF L é igual à diferença entre o CF daatividade, o qual é também o cedo inicial CI das atividades que a sucedem e o qual nãose quer afetar, e o seu cedo inicial, ou seja:


TDF L “ CF ´ CI “ 20´ 10 “ 10UT.

A folga livre FL é o tempo disponível para folga livre TDF L menos a duraçãoD da atividade:

FL “ TDF L ´D “ 10´ 4 “ 6UT.

Além dessas duas folgas, existem outras duas, raramente usadas, que são afolga dependente FD e a folga independente FI. A FD é igual ao tempo disponível parafolga dependente TDF D, que é o intervalo entre o TF e o TI da atividade em causa, menosa duração D da atividade:

FD “ TDF D ´D “ TF ´ TI ´D “ 25´ 14´ 4 “ 7UT.

Analogamente, a folga independente FI tem por expressão :

FI “ TDF I ´D “ CF ´ CI ´D “ 20´ 14´ 4 “ 2UT.

No diagrama da página anterior vê-se que:

x` y ` z “ D ` FT , x` y “ D ` FL, y ` z “ D ` FD e y “ D ` FI.

Para os eventos da rede mostrada na Figura 8, as primeiras datas de início etérmino são inicialmente calculadas por progressão, isto é, do início para o fim, adotando-separa cada evento a maior data entre as calculadas. Atingido o evento de término do projeto,parte-se deste e, por meio de uma regressão, do fim para o início da rede, calculam-se asdatas de cada evento, adotando-se a menor entre as calculadas, obtendo-se então as últimasdatas de início e término dos eventos. Conhecida as datas de cada evento, calculam-se asfolgas de cada atividade. Assim, na progressão do evento da rede em estudo, partindo-sedo evento 1, que ocorre no instante 0 (início do projeto), o evento 2 só poderá ocorrer apósconcluída a atividade A, com 3 Unidades de Tempo (UT) de duração, ou seja, no instante0` 3 “ 3UT . Esse valor é mostrado entre parênteses, ao lado do vértice 2 da rede.

O evento 4 depende da conclusão da atividade B, ocorrendo no instante 3`4 “7UT . Já o evento 3 só poderá ocorrer após concluídas as atividades D e E , ou seja,caminhando-se do evento 2 para o 3 teremos os instantes 3 + 4 = 7UT e caminhando-sedo evento 4 para o 3 o instante 7` 6 “ 13UT .

Escolhe-se, no caso, a maior data, uma vez que esta representa o temponecessário para a conclusão de todas as atividades antecessoras ao evento 3. Como aoevento 5 chegam as três atividades C,F e G , este evento apresentará três datas :

0` 6 “ 6UT ...(do evento 1 para o 5)


Figura 8 – Figura de progressão e regressão na rede PERT/CPM.

13` 4 “ 17UT ...(do evento 3 para o 5)

7` 14 “ 21UT ....(do evento 4 para o 5)

adotando-se, pela razão já explicada, a maior das três, ou seja, 21UT .

O evento 6 terá como datas:

7` 10 “ 17UT ...(de 4 para 6)

21` 5 “ 26UT ...(de 5 para 6)

adotando-se a maior, 26UT , que caracteriza, também, a duração total do projeto.

Na regressão parte-se da data calculada para o último evento, no caso 26UT , esegue-se o caminho contrário ao da orientação das setas, obtendo-se os valores indicadosna tabela abaixo:

Evento Data em UT6 265 26-5=21 de (6 para 5)4 21-14=7 de (5 para 4)3 21-4=17 de (5 para 3)4 26-10=16 de (6 para 4)4 17-6=11 de (3 para 4)2 7-4=3 de (4 para 2)2 7-4=3 de (3 para 2)1 21-6=15 de (5 para 1)1 3-3=0 de (2 para 1)

Para o evento 4 adota-se a menor data calculada na regressão, pois estaestabelece a maior diferença entre os eventos sucessores e o evento em questão, no caso, adata de 7UT . O mesmo vale para os eventos 2 e 1, cujas datas menores são, respectivamente,


3UT e 0UT . Esses valores são apresentados entre colchetes na Figura 8. A diferença entreas datas de cada evento constitui a folga do evento, calculada a seguir:

Evento Folga1 0-0=02 3-3=03 17-13=44 7-7=05 21-21=06 26-26=0

Os eventos que têm folga nula caracterizam um caminho crítico, aquele noqual o projeto como um todo atrasará se todas as atividades nele compreendidas nãoforem executadas nos prazos previstos. O caminho crítico do exemplo é composto pelasatividades A,B, F e I.

A atividade C não é crítica, pois entre os eventos 1 e 5 existe uma disponibilidadede tempo igual a 21´ 0 “ 21UT e a atividade só consome 6UT .

O mesmo raciocínio é válido para as atividades D,G,E e H. Com isto, podemser calculadas as folgas das atividades:

Atividades Tempo disponível Folga livre Folga totalA 3-0=3 3-3=0 3-3=0B 7-3=4 4-4=0 4-4=0C 21-0=0 21-6=15 21-6=15D 17-3=14 10-4=6 14-4=10E 17-7=10 6-6=0 10-6=4F 21-7=14 14-14=0 14-14=0G 21-13=8 8-4=4 8-4=4H 26-7=19 19-10=9 19-10=9I 26-21=5 5-5=0 5-5=0

3.4.1 Cronograma de Barras

Além dos cronogramas em redes, há outra forma de se planejar atividades aolongo do tempo, que é o cronograma de barras, também denominado gráfico de Gantt(BIANCHI, 1959).

O cronograma de barras (Figura 9) é construído listando-se as atividades de umprojeto em uma coluna e as respectivas durações, representadas por barras horizontais, emcolunas adjacentes, com extensão de acordo com a unidade de tempo adotada no projeto.

O cronograma de barras tem, entretanto, a desvantagem de não mostrar comclareza a interdependência das atividades. Às vezes, indica-se essa interdependência por


meio de setas pontilhadas, constituídas por linhas retas ou curvas, o que acaba tornandoextremamente complexa uma figura que se pretende simples. Outra desvantagem é queas datas de início e de fim de uma atividade, assim como as folgas, devem ser definidasantes de se desenhar o cronograma, pois qualquer mudança na programação implicará seuretraçado, o que lhe confere certa rigidez.

Figura 9 – Cronograma de barras.

Por outro lado, a facilidade de aplicação e de entendimento do cronograma debarras, além da possibilidade de seu emprego como complemento de outras técnicas deprogramação, fazem com que seja por demais conhecido e utilizado. Ele é perfeitamenteaplicável quando se lida com um número não muito grande de atividades, com duraçõesrelativamente curtas, como é o caso do detalhamento de pacotes de trabalho.

É comum utilizar-se um cronograma de barras para evidenciar certos aspectosde uma rede de atividades, como, por exemplo, mostrar graficamente as folgas(PRADO,1984).


Figura 10 – Interpretações de um cronograma de barras.

Os cronogramas de barras são amplamente empregados na representação decronogramas de demanda de mão-de-obra, de materiais e de equipamentos, sendo defundamental importância no uso da técnica de alocação e nivelamento de recursos.

3.5 Alocação e Nivelamento de RecursosUma vez determinada a duração total do projeto através de suas atividades, é

preciso verificar se todos os recursos considerados na estimativa do tempo, e necessários àexecução de cada atividade, estarão disponíveis nas quantidades previstas (AZEVEDO,1985).

Além do aspecto da disponibilidade, é conveniente analisar se os recursos estãosendo demandados de maneira racional. Toda atividade consome recursos de mão-de-obra,de materiais e de equipamentos, em maior ou menor quantidade. O consumo de mão-de-obra, por exemplo, deve ser crescente no início da atividade, estabilizando-se uma vezultrapassado o período de aprendizado das tarefas em execução e declinando à medidaque a atividade se aproxima do fim, conforme mostra a Figura 11.

Um recurso é normalmente distribuído segundo uma curva de distribuição dotipo beta, com desvio à esquerda, uma vez que o ritmo de trabalho cresce na etapa inicialaté atingir um patamar estável, para decair na etapa final. De forma simplificada, pode-se


Figura 11 – Evolução da Produtividade

considerá-lo como distribuído trapezoidalmente ou, ainda, uniformemente ao longo dotempo (veja Figura 12):

Figura 12 – Distribuição dos Recursos

Existem recursos, como os materiais, que têm que estar disponíveis no início daatividade ou mesmo algum tempo antes. Para se construir um cronograma de compras demateriais, por exemplo, é necessário considerar a quantidade de material e a antecedênciacom que este deverá estar disponível. Nesse caso, o material será alocado no cronogramacomo um evento representado por uma seta.

A alocação de recursos serve, pois, para se saber em que quantidade e quandoum determinado tipo de insumo será necessário durante a obra.

Na alocação é sempre desejável evitar a sucessão de picos e vales na distribui-ção de recursos ao longo da obra (como exemplo: admissão e demissão de pessoal comfrequência), razão pela qual se costuma nivelar o recurso alocado.

Na alocação de recursos, podem ocorrer duas situações distintas:


• a duração total prevista inicialmente para o projeto é mantida, nivelando-se o recursocom a utilização das folgas das atividades não-críticas;

• a quantidade do recurso é limitada a um nível inferior ao consumo inicialmenteprevisto e, mesmo com a utilização das folgas das atividades não-críticas, o limiteestabelecido é ultrapassado; neste caso, é forçoso aumentar a duração total do projeto.

O exemplo a seguir ilustra a duas situações para um projeto cujas atividadessão mostradas na Figura 13.

Figura 13 – Rede de Atividades

Para a rede da Figura 12 calculam-se as datas e as folgas nos nós (ver Figura14):

Figura 14 – Datas e Folgas dos Nós

Com isso, pode-se traçar o gráfico de barras correspondente à rede (mostradona Figura 15), alocando-se a cada atividade o recurso, distribuído, no caso, de maneirauniforme, cujo somatório período a período fornece a distribuição do recurso para o projeto:

A primeira hipótese é a de se manter o prazo de duração igual ao calculadopara a rede e buscar a melhor distribuição possível ao longo desse prazo. Com isso, as 93


Figura 15 – Cronograma de Barras e Distribuição de Recursos

UR (unidades de recurso) terão de ser distribuídas ao longo de 13 períodos, o que resultanuma distribuição uniforme de aproximadamente 7 UR por período, obtendo-se , com autilização das folgas disponíveis e em primeira aproximação, a distribuição mostrada naFigura 16:

Figura 16 – Distribuição de Recursos


Esta distribuição apresenta um vale indesejável no oitavo período, podendo sermelhorado (Figura 17) se o início da atividade B for deslocado para o terceiro período deexecução do projeto e o seu término para o oitavo período.

Evita-se, assim, o vale neste período e inicia-se o projeto com um efetivo menor,de 6 UR, nos dois primeiros períodos, o que condiz mais com a realidade, uma vez que noinício de uma atividade a produtividade é sempre menor que a normal.

Na segunda hipótese, há uma limitação do recurso disponível por período,ou seja, existem apenas 6 UR disponíveis por UT. Logo, a duração do projeto deve serestendida de 13 UT para 93 : 6 = 15,5UT .

Como só foram considerados valores inteiros de UT, arredondou-se este valorpara 16 UT e fez-se novo cálculo de regressão da rede (ver Figura 17), tomando-se estenovo valor como a data de conclusão do evento final.

Figura 17 – Nivelamento de Recursos

Utilizando as novas folgas criadas com a dilatação do prazo de duração doprojeto, procede-se a uma nova distribuição do recurso, conforme mostra a Figura 18:

A distribuição de recursos varia conforme a adoção no planejamento de execuçãoda obra, da data mais cedo ou da data mais tarde para início das atividades, o que émostrado nas Figuras 19 , 20 e 21.


Figura 18 – Rede com Datas Mais Tarde dos Eventos

Figura 19 – Distribuição do Recurso Limitado


Figura 20 – Nova Rede

Figura 21 – Gráfico de barras.


3.6 HistogramasUma vez encontrado o gráfico de Gantt (cronograma físico) para determinado

projeto, encerra-se o caminho crítico para sua execução.

A representação gráfica da correlação entre variáveis é um dos recursos am-plamente usados no planejamento, pela sua facilidade de visualização e de entendimento(FILHO; ANDRÉ; VILLAÇA, 1996).

Sempre que for possível representar algo por meio de gráfico, deve-se preferiresta alternativa a um texto descritivo e de entendimento mais difícil.

A curva beta de distribuição contínua, mostrada na Figura 22, também podeser representada sob a forma de valores discretizados por intervalo de duração da atividade,ou seja, sob a forma de Histogramas.

Os histogramas são mais fáceis de desenhar do que as curvas contínuas, queexigem para o seu traçado a locação de um número razoavelmente grande de pontos.Para se traçar um histograma referenciado a um par de eixos cartesianos, marca-se asclasses do intervalo de tempo no eixo das abscissas e desenha-se na vertical uma barrade comprimento igual à média dos valores correspondentes ao início e ao fim da classeconsiderada .

Nas Figuras 22 e 23 estão apresentados um gráfico de Gantt, com os valores decada atividade, e o Histograma correspondente.

O histograma mostra, de forma acessível, a distribuição de um recurso ao longodo tempo de sua utilização. O método manual de se obter o valor da ordenada média decada classe ou período de tempo consiste em atribuir a cada barra que representa umaatividade no gráfico de Gantt a quantidade de recurso consumido naquele período desua duração e, após atribuído o recurso a todas as atividades do projeto nas quais ele énecessário, somá-lo, de modo a se obter o seu total período a período.


Figura 22 – Gráfico de Gantt de um Cronograma Físico-Financeiro

Figura 23 – Histograma Tempo x Recursos

40

4 Curvas S

Os valores acumulados período a período podem, igualmente, ser representadosno plano cartesiano lançando-se na abcissa o período e na ordenada os valores acumulados.O resultado será uma curva denominada Curva S por lembrar a configuração dessa letra.

Figura 24 – Curva S

A Curva S é também conhecida por Curva Logística e encontra aplicação emvários campos, sendo alguns, a Biologia, a Biomatemática, a Economia, a Química, asCiências Políticas e a Estatística (ÁVILA, 2007).

A Curva S mostra como se comporta a distribuição de um recurso/população deforma cumulativa, sendo amplamente utilizada no planejamento, programação e controlede projetos.

A curva representa o projeto como um todo, em termos de homens-hora ou derecursos financeiros necessários à sua execução, e também permite visualizar o ritmo deandamento previsto para sua implementação.

Em geral, a Curva S é uma ferramenta importante para verificar o desembolsodo recurso destinado as atividades previstas no cronograma físico.

Apresentamos abaixo dois exemplos de emprego da curva S.

1. Um projeto deve ser executado em período de 15 meses, com recursosacumulados em cada período correspondentes aos valores apresentados na Tabela abaixo.

x “período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15y “ acu 4 6 10 16 24 34 46 58 69 79 86 91 94 97 98 99

Capítulo 4. Curvas S 41

A Figura 25 mostra a curva S associada a esse projeto.

Figura 25 – Curva S (Tempo x Recurso Acumulado)

2. A tabela abaixo mostra o resultado de um estudo feito pelas Nações Unidas(New York Times, 17 Nov 1995) sobre o crescimento da população mundial com projeçãoaté o ano de 2071. Nesse caso, a curva que fornece a população ao longo do tempo é aquelamostrada na Figura 26.

Figura 26 – Curva S (Tempo x Crescimento Populacional)

Dentre as possíveis curvas que representam a curva S, foi adotada a expressãode ALEKSEEV (2000).

rptq “ k À

1` b.ećt(4.1)

em que k, A, b e c são constantes reais.


A expressão anterior define a forma básica da função logística representada nográfico da Figura 27.

Figura 27 – Funçõa Logística

No nosso estudo, procuramos encontrar uma Curva S para relacionar o percen-tual gasto dos recursos de uma obra ao percentual do tempo de execução da mesma.

Assim, definindo t como a fração já cumprida do tempo de execução da obra, afração desembolsada dos recursos é dado por r.

Como, em nosso caso, o gráfico de rptq deve obrigatoriamente passar pelaorigem, temos:

rp0q “ 0

rp0q “ k À

1` b.eć“ k `

A

p1` bq “ 0

k “ Á

p1` bq .


Substituindo esse valor de k na equação 4.1, temos:

rptq “A

1` b.ećt´

A

p1` bq (4.2)

Nesse caso, o gráfico de rptq passa a ter a representação mostrada na Figura 28.

Figura 28 – Função Logística

Observa-se, no gráfico da Figura 28, a presença da assíntota horizontal r “ r8,tal que

r8 “ limtÑ8

rptq

e o ponto de inflexão pt̄, r̄q, onde a curva muda de concavidade.

Segundo ALEKSEEV (2000), os parâmetros A, b e c que definem rptq estãorelacionados a r8, t̄, r̄ por:

A “ 2pr8 ´ r̄q,

b “r8

r8 ´ 2r̄ ,


c “lnpbq

t̄.

Além disso, dado que k “ ´ A

1` b , temos:

k “ Á

1` b “ ´2.pr8 ´ r̄q1` r8

r8´2r̄

“ 2r̄ ´ r8,

ećt“ e

´ ln bp̄tq

.t“ eln b

´ tp̄tq“ b

´ tp̄tq .

Usando essas informações e a equação 4.2, chegamos a

rptq “2.pr8 ´ r̄q

1`´

r8r8´2r̄

¯1´ tt̄

` 2r̄ ´ r8 (4.3)

Para ajustar uma curva S para o cronograma de desembolso de uma obra épreciso, em primeiro lugar, definir o ponto de inflexão pt̄, r̄q.

Uma vez definido esse ponto, é possível determinar r8 usando a “condição” deque o dinheiro seja integralmente gasto no final do período da obra, ou seja, que

rp1q “ 1. Assim,

rp1q “ 2.pr8 ´ r̄q

1`´

r8r8´2r̄

¯1´ 1t̄

` 2r̄ ´ r8 “ 1,

em que t̄ e r̄ são valores conhecidos.

Finalmente, para se obter rptq, é preciso encontrar r8 que resolve essa equação,o que não é trivial, ou seja, não há uma formula explícita para r8. Dessa forma, é precisousar algum método numérico para achar o parâmetro.

Uma alternativa é aplicar o Método da Bissecção à resolução de fpr8q “ 0, emque

fpr8q “2.pr8 ´ r̄q

1`´

r8r8´2r̄

¯1´ 1t̄

` 2r̄ ´ r8 ´ 1.

4.1 Método da BisseçãoSegundo SATUF (2009), dados uma função e três números a, b e ε, comfpaq.fpbq ă

0, o método da bisseção consiste em encontrar c, tal que |fpcq| ă ε.


Figura 29 – Método da Bissecção

Algoritmo da Bisseção

Dados a, b, ε1. x1 “ a, y1 “ fpaq

2. x2 “ b, y2 “ fpbq

3. x3 “ px1 ` x2q{2, y3 “ fpx3q

4. Enquanto |y3| ě ε

4.1. Se y2.y3 ă 0, então4.1.1. x1 “ x3, y1 “ y3

4.2. Senão4.2.1. x2 “ x3, y2 “ y3

4.3. x3 “ px1 ` x2q{2, y3 “ fpx3q

Observamos que, inicialmente, x3 é o ponto médio do intervalo ra, bs. No passoseguinte, uma das metades do segmento ra, bs é desprezada e a outra é, então, divididaao meio, obtendo-se um novo ponto x3. O processo segue de forma iterativa até que|fpx3q ă ε|.

Se uma função real f definida num intervalo ra, bs é contínua, então qualquervalor ”k” tal que fpaq ď k ď fpbq ou fpaq ě k ě fpbq é da forma k “ fpcq para algumponto ”c” do intervalo ra, bs. (Teorema do Valor Intermediário). Sendo assim, seja f uma


função contínua considerando dois pontos ”a” e ”b” e fpaq.fpbq ă 0, então existe pelomenos um ponto ”c” Psa, br: fpcq “ 0 . (Teorema de Bolzano)(SATUF, 2009).

O método da bisseção gera duas sequências tanu e tbnu, assim:

a “ a1 ď a2 ď ... ď an ď an`1 ď ... ď b

b “ b1 ě b2 ě ... ě bn ě bn`1 ě ... ě a

fpanq.fpbnq ă 0, @ P ℵ

Como o comprimento do intervalo é sempre a metade do anterior, conclui-seque

bn ´ an “b´ a

2n´1 @n P ℵ.

Retornando ao algoritmo, observamos que x3 é, em cada passo, dado por an ` bn

2 .

Daí, temos que o método da bisseção define uma sequência pcnq dada por cn “an ` bn

2que converge para a raiz c, ou seja,

|cn ´ c| ăb´ a

2n´1

.

Voltando ao problema que consiste em encontrar r8 tal que fpr8q “ 0, doiscasos serão considerados para o gráfico da função fpr8q.

Caso a) r̄ ą 12 e t̄ ě r̄

Nesse caso, ilustrado na Figura 30, temos

fp2r̄q “ 2.p2.r̄ ´ r̄q1`

`2r̄´2r̄2r̄

˘1t̄´1` 2r̄ ´ 2r̄ ´ 1.

Observe, então, que fp2r̄q “ 2r̄ ´ 1 ą 0 e limr8Ñ8fpr̄q ă 0, de modo que paravalores admissíveis de t̄ e r̄, podemos escolher b tal que fpbq ă 0 , ou, seja, tomandoa “ 2r̄ e um b adequado, temos fpaq ą 0 e fpbq ă 0 de modo que há uma raiz entre a e bpermitindo o uso do método da bissecção.

Caso b ) r̄ ă 12 e t̄ ď r̄

Nesse caso, tomando a “ 2r̄ e b suficientemente grande, temos fpaq ă 0 efpbq ą 0, de modo que também é possível aplicar o método da bissecção.


Figura 30 – Caso ”a”

Apresentamos abaixo um exemplo para cada caso, usando o Método da Bissec-ção.

l. Encontrar a Curva S cujo ponto de inflexão é pt̄, r̄q “ p0, 7; 0, 6q.

Nesse caso r̄ ą 12 e t̄ ě r̄. O intervalo inicial ra, bs usado pelo método da bisseção

pode ser definido por a “ 2r̄ “ 1, 2 e b “ 1, 6, pois fpaq “ 0, 2 ą 0 e fpbq “ ´0, 111377 ă 0.

Iteração x1 fpx1q x2 fpx1q x3 fpx3q

1 1,2 0,2 1,6 -0,111377 1,4 -0,0844922 1,2 0,2 1,4 -0,084492 1,3 -0,0498293 1,2 0,2 1,3 -0,049829 1,25 -0,01141234 1,2 0,2 1,25 -0,0114123 1,225 0,0266235 1,225 0,026623 1,25 -0,0114123 1,2375 0,00462276 1,2375 0,0046227 1,25 -0,0114123 1,24375 -0,00394357 1,23758 0,0046227 1,4375 -0,0039435 1,24076 0,00021847

A Tabela, acima, mostra a aplicação do método de bisseção a esse problema.Com base na tabela chegamos ao valor estimado r8 “ 1, 24076

Assim, para pt̄, r̄q “ p0, 7; 0, 6q, a função rptq que define a curva S é:


Figura 31 – Caso ”b”

Figura 32 – Método da Bissecção.

rptq “1, 28152

1` 0, 03285081,42857t´1 ´ 0, 04076.


A Figura 33 mostra a curva S procurada, obtida através do programa Matlab.

Figura 33 – Curva S para o Ponto de Inflexão p0, 7; 0, 6q

2. Encontrar a Curva S para o ponto de inflexão pt̄, r̄q “ p0, 3; 0, 4q

r̄ ă12 e t̄ ď r̄

Seguindo o roteiro descrito acima e adotando como limites iniciais a “ 0, 8 eb “ 1, 6, o método da bisseção fornece os pontos descritos na Tabela abaixo.

Iteração x1 fpx1q x2 fpx1q x3 fpx3q

1 0,8 -0,2 1,6 0,202628 1,2 0,085552 0,8 -0,2 1,2 0,08555 1,0 -0,0274283 1,0 -0,0274 1,2 0,08555 1,1 0,0355774 1,0 -0,0274 1,1 0,035577 1,05 0,0058735 1,0 -0,0274 1,05 0,005873 1,025 0,0130776 1,025 -0,01308 1,05 0,005873 1,0375 -0,0021027 1,0375 -0,0021 1,05 0,005873 1,04375 0,0019438 1,0375 -0,0021 1,04375 0,001943 1,040625 -0,00008665


Portanto, a curva S desse problema é

rptq “1, 28125

1` 0, 2313300983,3333t´1 ´ 0, 24076004

cujo gráfico, obtido com o auxilio do Matlab, é mostrado na Figura 34.

Figura 34 – Curva S para Ponto de Inflexão p0, 3; 0, 4q

Para valores de pt̄, r̄q que diferem dos casos apresentados acima, temos quedefinir a priori um dos parâmetros da curva S, (por exemplo fixar o parâmetro A), alémde resolver um sistema não linear para encontrar os outros dois parâmetros b e c. Oproblema é que não há extensão do Método da Bissecção para o caso em que temos duasequações não lineares. Assim, somos obrigados a utilizar outro método de abordagem nãotão simples, o Método de Newton.

4.2 Método de NewtonEm análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson)

(MACLEOD, 1984), tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-seum ponto qualquer do domínio da função, calcula-se a equação da tangente (derivada)da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abcissas a fim deencontrar um novo ponto do domínio da função e repete-se o processo que deve tender auma das raízes da função rapidamente, caso o ponto inicial seja definido de forma adequada.Em notação matemática o método é representado pela seguinte fórmula iterativa.

xn`1 “ xn ´fpxnq

f 1pxnq


Figura 35 – As três primeiras iterações do método de Newton.

onde n indica a iteração do algoritmo e f 1pxnq é a derivada da função f em xn. Para quese obtenha sucesso na iteração, deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim deescolher um valor estimado inicial adequado para que a convergência de txnu ocorra. Paratanto, existem quatro condições a serem satisfeitas: o intervalo delimitado deve conter araiz de f; a função f deve ser diferenciável em todo o intervalo; a primeira derivada nointervalo não deve trocar de sinal; a segunda derivada no intervalo não deve trocar desinal.

Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigências, escolhe-se para ovalor inicial o ponto mais à esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada fornegativo, ou escolhe-se o ponto mais à direita se ocorrer o contrário, ou seja, se o produtofor positivo.

Este é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar su-cessivas melhores aproximações de raizes (ou zeros) de uma determinada função real. Aconvergência frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial está suficiente-mente próxima da raiz da função. O método é atribuido a Sir Isaac Newton (1643-1727) eJoseph Raphson (1648-1715).

Vejamos, agora, como usar o método de Newton para encontrar a curva S quepassa por pr1, t1q.


Nesse caso, dada a função

rptq “A

1` b.ećt´

A

p1` bq ,

temos três parâmetros por determinar, A, b e c, e apenas duas equações, rp1q “ 1 erpt1q “ r1, que indicam que a curva deve passa pelos pontos p1, 1q e pt1, r1q.

Assim, é necessário definir algum valor a priori, como o parâmetro A, porexemplo. Vale lembrar, no entanto, que o formato da Curva S dependerá diretamente dovalor escolhido, pois A “ 2pr8 ´ r̄q , ou seja , A é o dobro da diferença entre a assíntotahorizontal do gráfico de rptq e a coordenada vertical, r̄ , do ponto de inflexão. Logo,uma alteração em A fará com que r8 e r̄ também sejam alterados. Uma vez escolhido oparâmetro A, restará resolver o sistema não linear acima.

Para tanto, podemos utilizar o Método de Newton que é dado pelo seguintealgoritmo:

O. Definir ε “ 10´6 (parâmetro de parada do algoritmo)

1. Escolher valores iniciais para os parâmetros A, b e c

2. Calcular

fpb, cq “

«

rp1q ´ 1rpt1q ´ r1

ff

“

»

—

–

A

1` beć´

A

1` b ´ 1A

1` bećt1´

A

1` b ´ r1

fi

ffi

fl

3. Enquanto }f}2 ě ε

3.1 Calcular a matriz

M “

»

—

–

Brp1qBb

Brp1qBc

Brpt1q

Bb

Brpt1q

Bc

fi

ffi

fl

“

»

—

—

–

A

ˆ

1p1` bq2 ´

eć

p1` bećq2

˙

Abeć

p1` bećq2

A

ˆ

1p1` bq2 ´

ećt1

p1` bećt1q2

˙

Abećt1

p1` bećt1q2

fi

ffi

ffi

fl

3.2. Resolver o sistema M.s “ ´f , em que s “«

Sb

Sc

ff

3.3. Atualizar b e c , fazendo:

$

&

%

b “ b` sb

c “ c` sc

3.4. Recalcular f usando os novos valores de b e c.

Esse algoritmo funciona bem se escolhermos bons valores iniciais de b e c, alémde um bom valor fixo para A, considerando, naturalmente, que A ą 1, b ą 0 e c ą 0.


Apresentamos a seguir dois exemplos da aplicação do Método de Newton paraa obtenção da curva S.

Exemplo 1. Encontrar a curva S dado o ponto pt̄, r̄q “ p0, 6; 0, 5q

1. Escolhemos inicialmente A “ 1, 2, b “ 15 e c “ 5.

2. Calculando fpA, b, c, r1, t1q

fp1, 2; 15; 5; 0, 5; 0, 6q “«

0, 0148500, 111968

ff

Como }f}2 “ 0, 112949 ą 10´6, continuamos

3. Calculamos MpA, b, c, tq

Mp1, 2; 15; 5; 0, 6q “«

´0, 0019818 0, 100039´0, 0148923 0, 176218

ff

4. Resolvendo o sistema M.s “ ´f , obtemos sb “ 7, 5263 e sc “ 0, 0006577.

5. Assim, passamos a ter b “ 15 ` 7, 5263 “ 22, 5263 e c “ 5 ` 0, 0006577 “5, 00066

Repetindo esse procedimento, encontramos finalmente b “ 27, 5095 e c “ 5, 2015,de modo que

rptq “1, 2

1` 27, 5095.e´5,2015t´ 0, 0420913.

A Figura 36 mostra o gráfico de rptq, obtido com o auxílio do Matlab.

Exemplo 2. Encontrar a curva S que passa pelo ponto pt̄, r̄q “ p0, 5; 0, 4q

1. Escolhemos inicialmente A “ 1, 2, b “ 15 e c “ 5.


fp1, 2; 15; 5; 0, 5; 0, 6q “«

0, 0148500, 062809

ff

Como }f}2 “ 0, 064541 ą 10´6, continuamos

3. Calculamos

Mp1, 2; 15; 5; 0, 6q “«

´0, 0019818 0, 10004´0, 015098 0, 14839

ff

4. Resolvendo o sistema M.s “ ´f , obtemos sb “ 3, 3542 e sc “ ´0, 081993



5. Assim, passamos a ter novos b “ 15`3, 3542 “ 18, 3542 e c “ 5´0, 081993 “4, 918007.

Continuando com a aplicação do Método de Newton até que }f} ă 10´6, ob “ 19, 562231 e c “ 4, 98478309, de modo que

rptq “1, 2

1` 19, 562231.e´4,98478309t´ 0, 058359426.

Usando o Matlab, obtemos o gráfico mostrado na Figura 37.

Exemplo 3. Encontrar a curva S que passa pelo ponto pt̄, r̄q “ p0, 5; 0, 4q

1. Escolhemos inicialmente A “ 1, 2, b “ 15 e c “ 5


fp1, 2; 15; 5; 0, 4; 0, 5q “«

1, 4850ˆ 10´2

´3, 7191ˆ 10´2

ff

Como ||f ||2 “ 4, 0046ˆ 10´2ą 10´6, continuamos

3. Calculamos MpA, b, c, t1q



Mp1, 2; 15; 5; 0, 5q “«

´1, 9818ˆ 10´3 0, 10004´1, 5098ˆ 10´2 0, 14839

ff

4. 4. Resolvendo o sistema M.s “ ´f , em que obtemos sb “ ´4, 8706 e sc “ ´0, 24493.

Repetindo esse procedimento, encontramos finalmente b “ 11 e c “ 4, 795785 demodo que

rptq “1, 2

p1` 11.e´4,795785tq´ 0, 1.

A Figura 5.15 mostra o gráfico de rptq, obtido com o auxílio do Matlab.

Vimos, de forma geral, que o identificador do caminho construtivo dos gráficosda curva S nada mais é que o ponto de inflexão da curva, por meio do qual identificamoso método mais eficaz para sua elaboração.

Voltando ao nosso problema inicial, motivo desse trabalho, e com respeitoao tempo de projeto x desembolso financeiro, o ideal seria uma relação linear entre asvariáveis, ou seja, a fração do tempo previsto do projeto acontecendo na mesma fração dodesembolso total.



Mas, sabe-se que a parte mais cara da obra são as atividades finais, nas quaissão empregados os materiais mais caros e consequentemente mão-de-obra também maiscara. Seria portanto aconselhável não desembolsar muita quantia na primeira metade daobra e sim liberá-la só na segunda metade, onde a demanda será maior.

Evidentemente, é na etapa de planejamento que se determina a relação pr1, t1q

da meta prevista para o projeto e nessa etapa as partes envolvidas deverão negociar.É lógico que a contratada irá optar por um ponto em que r1 ą t1, enquanto a partecontratante preferirá uma relação em que r1 ă t1.

No entanto, na prática, usualmente adotamos uma das seguintes opções para oacompanhamento das obras:

• 40% do projeto previsto ser completado em 50% do tempo;




• 50% do projeto previsto ser completado em 60% do tempo.

Casos há, porém, em que se determina a priori qual deverá ser a duração deum projeto e, conforme esse prazo, impõem-se uma curva S, sendo comum utilizar-se umadas cinco situações mostradas acima. Em função da curva escolhida faz-se a distribuiçãodos recursos necessários à execução do projeto.

A Figura 39 mostra os gráficos das cinco curvas S mais usuais.


Figura 39 – Curva S para Diferentes Pontos de Inflexão

Existem tabelas de Curvas S estabelecidas para determinados tipos de projetosque são utilizados em planejamento. Cumpre, entretanto, ressaltar que a curva S écaracterística da individualidade de cada projeto. Pode-se utilizar uma curva S de umprojeto semelhante anteriormente executado, porém as condições e a ambiência de execuçãodo novo projeto certamente serão diferentes, o que recomenda cautela no seu uso.

58

5 Exemplo Ilustrativo

Nesse capítulo, vamos efetuar a estimativa de desembolso de recursos para umprojeto de edificação civil definido pelas suas atividades, bem como montar a curva S dedesempenho (ÁVILA, 2007).

As atividades desenvolvidas, incluindo planejamento, fundações, estrutura,alvenaria, instalações, telhado, etc., serão definidas pelas letras A,B,C,....

Os dados do problema são apresentados na tabela a seguir.

Atividade Dependência Duração (meses) Custo (R$103)A —- 1 7B A 4 4C A 3 12D A 2 6E A 2 10F C 2 4G D 3 18H F.G 1 9I H.E 3 12J B 2 16

Soma 98

Capítulo 5. Exemplo Ilustrativo 59

Usando as técnicas expostas no Cap 3, Redes de Atividades, obtivemos ocaminho crítico mostrado na Figura 40, no qual otimizamos todas as Atividades do Projetoquanto aos aspectos Dependência e Tempo de Execução.

Figura 40 – Caminho Crítico

Além dos cronogramas de rede, há outra forma de planejar as atividades aolongo do tempo, que é o cronograma de barras, também denominado Gráfico de Gantt.

Figura 41 – Gráfico de Gantt

Com vistas a promover um desembolso mais homogêneo nos meses de obrae valendo-nos das folgas verificadas das atividades B,E e J , reequilibramos os recursosobedecendo o novo cronograma físico/financeiro apresentado na Figura 42.

Observa-se que, no novo gráfico de Gantt, os recursos a serem repassados emcada período estão melhor distribuídos sem contudo alterar o caminho crítico da obra.


Figura 42 – Gráfico de Gantt

Figura 43 – Histograma Período x Recursos

Em um novo gráfico, também relativo ao projeto, podemos representar a relaçãopercentagem do tempo gasto na obra e seu respectivo percentual de desembolso financeiro.A forma do gráfico é mostrada na Figura 44.

A curva mostrada na Figura 44 representa a percentagem do tempo destinadoao projeto e o respectivo desembolso dos recursos alocados para tal empreendimento.Sabemos, no entanto, que se trata de um caminho ideal, que sofre várias interferências de


Figura 44 – Curva Tempo x Desembolso

ordem material, pessoal, política, atmosférica, dentre outras. Portanto, para um controledentro de uma tolerância, estimada adota-se um acompanhamento baseado em uma oumais das cinco curvas como mostra a Figura 39.

Apenas como exemplo, desenhamos esse gráfico juntamente com as cinco curvasrecomendadas, conforme mostra a Figura 45.

O pretendido do nosso exemplo seria seguir o caminho da curva vermelha, cujoo ponto de inflexão é p0, 5; 0, 5q, ou seja, ficar no interior das demais. Se dermos umatolerância, o recomendado é exigir que a curva em estudo se posicione entre as curvascom ponto de inflexão p0, 5; 0, 6q e p0, 5; 0, 4q, representadas pela cor azul. Caso se queiraaumentar a tolerância, pode-se optar pelas curvas que passam pelos pontos p0, 4; 0, 5q ep0, 6; 0, 5q, representadas pela cor preta.


Figura 45 – Curva S de Desempenho

63

6 Conclusão

A curva S, ou curva Logística, não é assunto novo. Muitas publicações comentama sua utilização em vários ramos da ciência. Não trata de ser repetitivo nesse assunto.O propósito de termos adotado esse tema, particularmente na área da engenharia deconstrução, é a falta de informações em nível de graduação, que a meu ver não contempla nagrade curricular algo importante a ser considerado nos projetos de rotina dos engenheirosde construção e que é de suma importância na relação entre agentes contratantes econtratados.

Para se chegar ao objetivo do trabalho, A curva S no Planejamento de Obras,foi necessário apresentarmos vários estudos.

Iniciamos com o estudo estratégico, em que contemplamos variáveis importantesde razões técnicas e econômicas. Em seguida, o Planejamento, em que produzimos fatosrelativos a uma obra, com o fim principal de antever situações que deverão ser prontamentegerenciadas tão logo surgirem. Um capítulo todo foi dedicado ao Planejamento. Parale-lamente ao desenvolvimento do projeto, se faz necessário a prática de mecanismos quecontrolem todas as atividades que estarão sendo desenvolvidas, fornecendo um feed-backsobre o andamento das operações.

Redes de Planejamento, como o PERT-CPM, são mecanismos importantes nabusca da otimização do tempo entre todas as atividades da rede, de modo que tambémdedicamos grande parte deste trabalho na apresentação desses conceitos. Tudo isso éfeito com o propósito de se chegar ao gráfico de Gantt, e dali estabelecer o cronogramafísico-financeiro da obra ou do projeto em questão.

Estudos durante a execução do projeto mostram que a relação entre o percentualedificado e o percentual financeiro desembolsado segue uma curva, chamada de CurvaLogística, que tem sua forma parecida com a letra S , razão pela qual é também conhecidacomo Curva S.

A questão que se apresenta é saber se uma expressão algébrica da curva poderepresentar a relação descrita no parágrafo acima. A resposta seria dizer que uma expressãoalgébrica da curva S pode sim servir como representação da relação entre a percentagemda execução da obra e a percentagem do valor até este momento. Para estabelecer estarelação foi preciso, primeiramente, promover um estudo detalhado da expressão que dáorigem à curva S e suas características peculiares.

Durante o desenvolvimento da equação, bem detalhada no capítulo da curva S,traçamos as mais variadas curvas diferindo uma de outra pelo valor atribuído ao seu ponto

Capítulo 6. Conclusão 64

de inflexão. O ponto de inflexão da curva exibe a relação percentagem da obra prontae seu desembolso financeiro naquele exato momento, estabelecendo uma relação justaentre os interesses dos envolvidos no projeto, o contratado e o contratante. No entanto,contratempos de toda ordem durante o desenvolvimento do projeto fazem com que ocaminho percorrido se distancie momentaneamente da curva planejada. Para isso, sugere-seuma tolerância, obtida criando-se dois pontos críticos afastados do ponto crítico ideal.Assim sendo, outras duas novas curvas são criadas, estabelecendo-se assim região internaformada pelas novas curvas, que deverá abrigar em determinado momento do projeto opercentual de obra realizado e o percentual que foi pago.

Durante o decorrer do projeto, acompanhamos o andamento físico da obra equanto estamos pagando, em valores percentuais. Em cada instante, verificamos se ospercentuais estão localizados no interior da região formada pelas duas curvas, ou seja,se a relação contratada estará sendo obedecida. Caso o ponto se localize fora da regiãoabrangida pelas duas curvas, a discrepância deverá ser prontamente identificada peloControle da Obra e considerações novas deverão ser discutidas, até mesmo a mudança doplanejamento.

Desta forma, um determinado projeto poderá ter seu controle perfeitamenteacompanhado não só por quem contratou como também por quem foi contratado.

O esforço principal do presente trabalho incidiu exatamente no estudo docomportamento da Curva S, algo que exigiu aprofundamento na expressão matemática eestudo de suas peculiaridades. O estudo da equação não linear e o emprego do método dabissecção e do método de Newton contribuíram decisivamente na busca da curva.

65

Referências

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