PERT (Program Evaluation and Review Technique)

CPM (Critical Path Method)

De acordo com Stanger (1967) "PERT é um método de planejamento, replanejamento e avaliação de progresso, com a finalidade de melhor controlar a execução de um programa". Inicialmente esta técnica surgiu com a finalidade de facilitar o planejamento e acompanhamento de grandes projetos na área militar. Ainda hoje, o PERT é uma poderosa ferramenta para gerenciamento de projetos e, por isso, apresenta certas dificuldades e restrições no uso de projetos de pequena dimensão, mas não deixa de ser uma ferramenta interessante e de elevado potencial de uso nesses casos.

Nas linhas de produção pode ser utilizado como instrumento de controle visual para a produção, principalmente associado com técnicas gráficas, como os gráficos de Gantt.

Para que seja possível utilizar o método PERT é necessário elaborar um grafo que mostre as várias atividades a serem executadas e como elas estão interrelacionadas no conjunto do projeto. Os grafos mostram as atividades (que consomem recursos e têm duração) e os nós (que são pontos que indicam estágios do projeto, ou seja, o início ou a conclusão de uma atividade). Assim, iniciar e concluir a construção de uma ponte são eventos, enquanto que todas as tarefas realizadas para que a ponte fique pronta constituem-se em atividades.

Para ilustrar observe a figura 1 que ilustra um grafo hipotético.

1 6

5 2

7

9

10

8

3

4

A C

L K

D

B

J

M

F

E G

H

I

N

Figura 1: Grafo representando uma rede de atividades qualquer.

Os pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 são os nós, enquanto os arcos A, B, C, D, E, F, G, H, I , J , K, L, M e N são atividades.

Agora procure responder as seguintes questões:

01) Qual dos dois eventos ocorrerá em primeiro lugar, o evento 7 ou 9?O nono, pois o sete é sucessor dele. Para que o sete possa ser concluído é necessário que o nove seja concluído.

02) Para a rede acima, quais as atividades devem ser executadas para que o evento 8 seja atingido?As atividades concluídas pelos nós 2,3,5 e 6.

Afigura 2 mostra uma rede de atividades composta de 11 nós, iniciando-se no nó 1 e finalizando-se no nó 11. Determine:

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4

2

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3

6 2

5

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8

4

7 6

10

8

12

9

6

3

9

10

3

3

Figura 2: Rede de atividades do exercício.

01) O cedo de cada evento. Ele é definido como o tempo necessário para que este evento seja atingido, se não ocorrerem atrasos imprevistos nas atividades que lhe antecedem. É representado

por e calculado como:

02) O caminho crítico, ou seja, aquele em que a redução ou alongamento da duração de qualquer atividade representa redução ou alongamento da duração do projeto.R. O caminho crítico é aquele que determina a duração do projeto. Para encontrá-lo basta percorrer a rede de trás para a frente, identificando o arco de maior duração. Logo, o arco que determinou a duração total liga os nós 8 e 11, o arco que determinada a duração de 8 liga ele ao nó 7, o arco que determina a duração de 7 liga ele ao nó 5, o que determina a duração de 5 liga ele ao nó 9, o arco que determina a duração de 9 liga ele ao nó 4 e o arco que determina a duração de 4 liga ele ao nó 1.O caminho crítico é composto das atividades que ligam os nós 1, 4, 9, 5, 7,8 e 11.

03) O tarde de cada evento. É definido como a data limite de realização do evento , além do

qual o tempo total de execução do conjunto de operações é alterado.

04) Folga de cada evento. É a diferença entre o tarde e o cedo de um evento .

05) Folga Total de cada evento. É o atraso máximo que uma operação pode suportar sem perturbar o prazo máximo para o seu término . .

06) Folga Livre de cada evento. É o atraso máximo que uma operação pode suportar sem perturbar a data fixada para . .

07) Folga Dependente de cada evento. É a margem de tempo de que se dispõe, a partir do tarde de , para que a atividade seja executada e concluída, no máximo, até o tarde

de . .

08) Folga Independente de cada evento. É margem de tempo de que se dispõe para se iniciar a atividade no tarde de e se terminar no cedo de . .

CÁLCULO DE PROBABILIDADES EM REDES PERT.

No caso acima a duração das atividades representa um valor específico. Entretanto, nas situações reais de projeto as atividades não apresentam duração definida, mas expectativas de duração: otimista, mais provável e pessimista. Deve-se recorrer, portanto, ao uso de modelos probabilísticos. Em geral considera-se que a distribuição de probabilidades é a que melhorar se adapta ao estudo de duração de atividades em projetos. Para este caso particular, a duração de cada atividade é obtida pela equação 1.

A variância é calculada pela equação 2.

A figura 2 também pode ser representada por uma tabela, conforme tabela 1. Observe que a diferença entre a figura 2 e a tabela 1 refere-se ao fato de que a tabela 1 apresenta os tempos otimista ( ), mais provável ( ) e pessimista ( ) de cada atividade. Com eles são calculados os tempos de rede com a equação 1 e a variância com a equação 2.

Tabela 1. Cálculos dos tempos de rede e variância.

1 3 2 2 0,112 7 4 4 0,693 10 8 8 1,363 8 5 5 0,692 5 3 3 0,250,5 2 1 1 0,065 9 7 7 0,443 15 10 10 4,001 5 3 3 0,4410 14 12 12 0,442 10 6 6 1,786 13 9 9 1,361 6 3 3 0,695 12 9 9 1,363 8 6 6 0,6911 18 15 15 1,3612 20 17 17 1,78

01) Monte a rede de evento e atividadesVer figura 2.

02) Calcule os tempos Ver página com os cálculos.

03) Calcule a variância Ver tabela 1.

04) A duração provável de conclusão do evento55 dias, conforme cálculos apresentados.

05) A probabilidade de o projeto ser concluído em 57 dias (considere que t é medido em dias).A probabilidade de um projeto é calculada usando-se a expressão da curva normal reduzida, conforme equação 3.

Onde: é a duração para a qual se deseja saber a probabilidade de ocorrência.

é média (duração do projeto, ou seja, a duração do caminho crítico). é o desvio padrão do caminho crítico. Havendo mais de um caminho crítico encontrar o

valor de K para todos os caminhos. O de menor probabilidade deve ser escolhido.

Para simplicidade é fornecida a tabela 2. Após calcular o valor de K, procure o valor mais próximo dele. Multiplique o valor que está à frente por 100 e esta será a probabilidade de ocorrência em porcentagem. Exemplo: para k=1,7, tem-se o valor 0,9554 que multiplicado por 100, torna-se 95,54%.

Tabela 2. Valores de uma função distribuição normal.

06) A probabilidade de o projeto ser concluído em 50 dias.

O primeiro cálculo a ser feito é o que determina o valor da variância do caminho crítico, pois como visto em estatística, a variância de uma rede de eventos independentes em seqüência é a soma da variância dos eventos que a compõe. Logo:

Usando a tabela 2 chega-se à conclusão de que a probabilidade de o projeto ser concluído em 50 dias é 5,48%.

07) O custo mínimo do projetoA otimização de custo é feito alongando-se o máximo possível todas as atividades do projeto. Dada de custo das atividades em função do tempo (ver figura 3), percebe-se que o alongamento das mesmas torna-as mais baratas. Assim, fazendo-se todos os alongamentos possíveis (há folga livre e há possibilidade de elevar o tempo de rede até o tempo pessimista) obtém-se o projeto de menor custo sem que a sua duração seja alterada.

Figura 3. Curva característica de custo de uma atividade

Os cálculos necessários são apresentados na tabela 3.

ijd ijDijt

ijc

ijC

ijp

PERT CUSTO

Tabela 3. Projeto ao custo mínimo.

A B C DE

F= G H I=F*H

Rel.Tpo. ($) ($/dia) Economia

1 3 2 2 2-0-2=0 6.000,00 100

2 7 4 4 4-0-4=0 10.000,00 750

3 10 8 8 8-0-8=0 2.000,00 250

3 8 5 5 9-2-5=2 27.000,00 1000 2000,00

2 5 3 3 30-4-3=23 3.000,00 150 300,00

0,5 2 1 1 9-8-1=0 30.000,00 400 0

5 9 7 7 15-8-7=0 10.000,00 500 0

3 15 10 10 40-30-10=0 5.000,00 100 0

1 5 3 3 15-9-3=3 1.500,00 100 200,00

10 14 12 12 21-9-12=0 15.000,00 2000 0

2 10 6 6 46-40-6=0 12.000,00 1000 0

6 13 9 9 55-46-9=0 10.000,00 1100 0

1 6 3 3 21-15-3=3 7.000,00 1300 3900,00

5 12 9 9 55-15-9=31 8.000,00 1000 3000,00

3 8 6 6 46-15-6=25 12.000,00 2000 4000,00

11 18 15 15 30-15-15=0 6.500,00 700 0

12 20 17 17 55-21-17=17 18.000,00 2500 7500,00

Custo atual=> 183.000,00 Redução Custo> 20900,00Custo Final 162.100,00

08) A maior aceleração possível do caminho crítico com o menor custo possível para execução do projeto.

ACELERAÇÃO DE PROJETOS

A aceleração de projetos é feita considerando a aceleração possível ( - ), o menor custo e as limitações impostas pelo surgimento de um novo caminho crítico. Caso surja um novo caminho crítico, compara-se o custo de acelerar os dois caminhos com a aceleração da próxima atividade mais em conta. É importante ressaltar que o custo adicional de acelerar o novo caminho crítico refere-se apenas a diferença de tempo que há entre a aceleração que resta para que os dois caminhos se tornem críticos.

Para que este objetivo seja alcançado aceleram-se as atividades que pertencem ao caminho crítico obedecendo-se a lógica de que as primeiras atividades a serem aceleradas devem ser as de menor custo unitário ( ). A regra consiste em primeiro determinar as máximas acelerações possíveis para cada atividade, conforme tabela 4.

Tabela 4. Aceleração possível e indicação de prioridade de aceleração

($) ($/dia)Aceleração Possível

-

Prioridade de aceleração

1 3 2 2 6.000,00 100 1

2 7 4 4 10.000,00 750 2

3 10 8 8 2.000,00 250 5 2

3 8 5 5 27.000,00 1000 2

2 5 3 3 3.000,00 150 1

0,5 2 1 1 30.000,00 400 0,5

5 9 7 7 10.000,00 500 2 3

3 15 10 10 5.000,00 100 7 1

1 5 3 3 1.500,00 100 2

10 14 12 12 15.000,00 2000 2

2 10 6 6 12.000,00 1000 4 5

6 13 9 9 10.000,00 1100 3 6

1 6 3 3 7.000,00 1300 2

5 12 9 9 8.000,00 1000 4

3 8 6 6 12.000,00 2000 3

11 18 15 15 6.500,00 700 4 4

12 20 17 17 18.000,00 2500 5

Caminho Crítico

Tomando-se a atividade de prioridade 1 será feito um dispêndio de $ 100,00 por unidade de tempo em que o projeto for acelerado. Como existe a possibilidade de acelerar 7 unidades de tempo, basta verificar se a aceleração não implicará no surgimento de um novo caminho crítico, conforme figura 4.

Figura 4. Rede com aceleração do arco 5,7.

A aceleração da atividade que está no arco 5,7 implica em mudanças nos nós que estão à sua frente, ou seja, os nós 7, 8 e 11, pois demais mantêm os mesmos valores para os tempos cedo.

Observe que o projeto ganhou integralmente as 7 unidades de tempos sem o surgimento de um novo caminho crítico. Conclui-se, então, que é possível acelerar o projeto em 7 unidades de tempo ao custo total de $ 700,00. Comparado ao custo total do projeto $ 183.000,00, sem otimização, trata-se de acréscimo insignificante.

Em seguida faz-se a aceleração de prioridade 2, cujo custo unitário de aceleração é $ 250,00. Neste caso é possível acelerar 5 unidades de tempo. Refaz-se os cálculos na rede considerando-se os nós que serão afetados por esta aceleração, conforme figura 5.

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Figura 5. Rede com o arco 1,4 acelerado.

Aparece um novo caminho crítico, pois o ramo da rede 1-2-6-9 passará a determinar a ter duração de 10 unidades igual à do ramo 1-4-9. Antes da aceleração somente o ramo 1-4-9 determinava o caminho crítico. Como o caminho crítico original envolvia os nós 1,4,9 e o nó 6 chega até 9, é importante observar se mesmo com o surgimento de um novo caminho crítico há a possibilidade de se ganhar as cinco unidades. Os ramos “1-2-6” e “1-4-6” pertencem à sub-rede que envolve os ramos “1-2-6-9”, “1-4-6-9” e “1-4-9”, na qual a redução de tempo de 5 unidades é desejável. Os cálculos da rede são apresentados a seguir.

Nota-se que apesar do surgimento de um novo caminho crítico, o mesmo não limita a aceleração desejada de 5 unidades de tempo. Como o projeto foi acelerado em 7 e 5 unidades de tempo, a aceleração total é de 12 unidades tempo, confirmada pela duração calculada após a aceleração de 43 unidades de tempo (55-12=43).

Em seguida passa-se a próxima prioridade de aceleração, no caso a atividade do arco 4-9 e custo unitário de $ 500,00. A aceleração máxima possível é de 2 unidades de tempo. A figura 6 apresenta a nova rede com a atividade 4-9 acelerada em duas unidades de tempo.

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Figura 6: Rede

A atividade 4-9 pertence ao ramo 1-4-9 que tem duração de 10 unidades de tempo, igual à duração do ramo 1-2-6-9. Para que o projeto seja acelerado em 2 unidades de tempo é necessário que o outro ramo 1-2-6-9 seja acelerado também em duas unidades. O custo total deve ser comparado com a próxima atividade a ser acelerada, a de prioridade 4 e com custo unitário de $ 700,00. Observando-se a tabela 4 os arcos 1-2 e 6-9 têm custo unitário de aceleração de $ 100,00. Caso seja possível ganhar duas unidades de tempo nestes arcos, o custo final de aceleração será de 2x500,00 + 2x100,00, ou seja, $ 1.200,00, cuja média unitária é inferior a $ 700,00, sendo viável fazer a aceleração. Enquanto o arco 1-2 permite a aceleração de apenas 1 unidade de tempo, o arco 6-9 permite a de duas. A aceleração do arco 6-9 interfere somente nos nós que vêm após o nó 9,conforme mostra a figura 7.

Figura 7: Aceleração do segundo caminho crítico (ramo 1-2-6-9).

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Com as mudanças anteriormente descritas a aceleração reduziu em duas unidades de tempo a duração total do projeto a um custo de $ 1.200,00, sendo este valor inferior ao que seria gasto acelerando-se a atividade com prioridade 4, cujo custo unitário é $ 700,00, resultando em custo de $ 1.400,00 para acerá-la de duas unidades de tempo.

A atividade de prioridade 4 deve ser acelerada agora, pois a atividade de prioridade 3 já foi acelerada. Atividade de prioridade 4 é o arco 9-5 e dispõe de 4 unidades de tempo para ser acelerada. Ao ser acelerada, a rede passa a ter a configuração da figura 8.

Figura 8. Rede após aceleração da atividade de prioridade 4, arco 9-5.

A aceleração do arco 9-5 repercute sobre todos os nós a partir dele e, ao mesmo tempo, exige que seja analisado o comportamento dos ramos “9-10-11”, “9-11”, “9-6-8-11” e “9-5-7-8-11”.

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Refazendo os cálculos na rede é possível observar que a aceleração do arco 9-5 é possível de ser feita e ela não implica no aparecimento de um novo caminho crítico.

Concluída esta etapa, passa-se à aceleração da atividade de prioridade 5, a qual tem custo unitário de $ 1.000,00 e dispõe de 4 unidades de tempo para aceleração.

A figura 9 mostra a rede após a aceleração desta atividade, ou seja, arco 7-8.

Figura 9. Rede após a aceleração da atividade de prioridade 5, arco 7-8.

A aceleração do arco 7-8 atua somente a duração dos nós 8 e 11, conforme mostram os cálculos apresentados a seguir.

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Como pode ser visto, surge um novo caminho crítico, composto do ramo “1-2-6-10-11”. A aceleração ao custo unitário de $ 1.000,00 só é possível para 1 unidade de tempo. Logo, deve-se verificar se é possível acelerar mais três unidades de tempo (diferença entre 36 e 33) de tal forma que o custo total de aceleração fique menor do que o custo da atividade da prioridade seguinte.

Analisando-se a tabela 4 novamente, observa-se que é possível acelerar 1 unidade no arco 1-2 ao custo unitário de $ 100,00 e 2 unidades no arco 2-6 ao custo unitário de $ 1.000,00, totalizando um custo adicional de $ 2.100,00 para acelerar 3 unidades de tempo, além dos $ 3.000,00 gastos para acelerar o arco 7-8. O custo total de acelerar as três unidades de tempo adicionais totaliza $ 5.100,00 e é superior ao valor necessário para acelerar três unidades de tempo da atividade de prioridade 6, cujo custo unitário é $ 1.100,00. Deve ser ressaltado que é possível acelerar mais uma unidade ao custo de $ 1.100,00, caso o arco 7-8 seja acelerado de somente duas unidades de tempo e o arco 1-2 de uma. Após estas mudanças a rede passaria a ter a configuração mostrada na figura 10.

Figura 10. Aceleração do arco 7-8 de 2 unidades tempo e do arco 1-2 de uma.

Finalmente pode-se fazer a aceleração da atividade de prioridade 6, o arco 8-11 ao custo unitário de $ 1.100,00 e com três unidades de tempo possíveis de serem aceleradas. É sabido que há dois caminhos críticos e eles serão afetados por esta mudança de formas diferentes. Fica a

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critério do gestor, segundo a disponibilidade financeira e urgência de concluir o projeto, imprimir esta aceleração ou não. Optando-se por ficar como está, a duração final do projeto é de 35 unidades de tempo e o custo total de acelerar o projeto é:

Atividade de prioridade 1: 7x100,00 = 700,00Atividade de prioridade 2: 5X250,00 = 1.250,00Atividade de prioridade 3: 2X500,00 + 2X100,00 = 1.200,00Atividade de prioridade 4: 4X700,00 = 2.800,00Atividade de prioridade 5: 2X1.000,00 + 1X100,00 = 2.100,00Atividade de prioridade 6: 00 = 0.000,00Total 8.050,00

Ao todo o projeto foi acelerado em 20 unidades de tempo, ou seja, redução de 36,3% em relação ao tempo original de 55 unidades de tempo. O acréscimo de custo, porém, é de 4,39%.