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APLICAÇÃO DA LÓGICA DO PROBLEMA INVERSO EM
TOMADAS DE DECISÃO COM A LÓGICA PARACONSISTENTE
ANOTADA: UMA INVERSÃO DO MÉTODO PARACONSISTENTE
DE DECISÃO (MPD)
Felipe Expósito Ferreira
Projeto de Graduação Submetido ao Corpo
Docente do Curso de Engenharia de Produção
da Escola Politécnica da Universidade Federal
do Rio de Janeiro como parte integrante dos
requisitos necessários para a obtenção do título
de Engenheiro de Produção.
Orientador: Prof. Renato Flórido Cameira, D.Sc.
Rio de Janeiro, RJ – Brasil
Dezembro, 2017
iii
Expósito, Felipe Ferreira
Aplicação da Lógica do Problema Inverso em Tomadas
de Decisão com a Lógica Paraconsistente Anotada: Uma
Inversão do Método Paraconsistente de Decisão (MPD)/
Felipe Expósito Ferreira – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola
Politécnica, 2017.
XVIII, 54 p.: il.; 29,7cm.
Orientador: Renato Flórido Cameira
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia de Produção, 2017.
Referências Bibliográficas: p. 51-52.
1.Inversão do Método Paraconsistente de Decisão.
2.Método Paraconsistente de Decisão. 3.Problema Inverso.
4.Lógica Paraconsistente Anotada. I. Flórido Cameira, Renato
& Alberto Cosenza, Carlos. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia de
Produção. III. Aplicação da Lógica do Problema Inverso em
Tomadas de Decisão com a Lógica Paraconsistente Anotada:
Uma Inversão do Método Paraconsistente de Decisão (MPD).
iv
Dedicatória
Dedico este trabalho a minha Mãe por me ensinar e educar ao longo de toda minha vida,
conseguindo fazer em 25 anos o que uns levam toda vida. Dedico ao meu Irmão (André)
por me ensinar através do exemplo o que é Paciencia. Por fim, dedico ao falecido Prof.
Meirelles que com suas palavras de apoio se tornou um turning point em minha vida.
v
Agradecimentos
Agradeço a minha família e aos meus professores pelo apoio dado para que esta
etapa da minha vida fosse concluída.
vi
“As a lightning clears the air of unpalatable vapors, so
an incisive paradox frees the human intelligence from
the lethargic influence of talento and unsuspected
assumptions. Paradox is the slayer of Prejudice.”
J. J. Sylvester.
“I predict a time when there will be mathematical
investigations of calculi containing contradictions,
and people will actually be proud of having
emancipated themselves from contradictions.”
L. Wittgenstein.
vii
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro de Produção.
APLICAÇÃO DA LÓGICA DO PROBLEMA INVERSO EM TOMADAS DE DECISÃO
COM A LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA: UMA INVERSÃO DO MÉTODO
PARACONSISTENTE DE DECISÃO (MPD)
Felipe Expósito Ferreira
Dezembro/ 2017
Orientador: Prof. Renato Flórido Cameira, D.Sc.
Curso: Engenharia de Produção
O estudo tem como objetivo elaborar uma nova ferramenta, através da
combinação de alguns algoritmos já estabelecidos. Inicialmnte será apresentado a
lógica paraconsistente, uma vez tendo sido apresentada será, então, explicada a sua
ferramenta de tomada de decisão advinda da lógica paraconsistente anotada (MPD –
Método Paraconsistente de Decisão). Também será introduzido o conceito de Problema
Inverso e suas aplicações, como não foi encontrado aplicações diretas na Engenharia
de Produção serão apontadas possíveis aplicações para tal. Ao combinar MPD com
Problema Inverso se tem uma nova forma de se tomar decisão, e do ponto de vista
matemático esse novo algoritmo é resolvido através de conceitos básicos de Pesquisa
Operacional. Tendo essa nova ferramenta será explicado os seus resultados.
Palavras-chave: Lógica Paraconsistente, Problema Inverso, Lógica Paraconsistente
Anotada, Quadrado Unitário do Plano Cartesiano.
viii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/ UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Industrial Engineer.
APPLICATION OF INVERSE PROBLEM LOGIC ON DECISION MAKING BASED
UPON ANNOTED PARACONSISTENT LOGIC: AN INVERSION OF THE
PARACONSISTENT DECISION METHOD
Felipe Expósito Ferreira
December/ 2017
Advisor: Renato Flórido Cameira, D.Sc.
Course: Industrial Engineering
The objective of this study is to elaborate a new decision making tool, through the
combination of two well estabilished algorithms. Firstly it will be presented paraconsistent
logic, once this is done, it will be explained a decision making tool based on annoted
paraconsistent logic (MPD - Paraconsistent Decision Making Method). Additionally, it will
be introduced the concept of Inverse Problem and how its commonly used. Since it was
not found a direct application on Industrial Engineering, suggestions were appointed.
With the combination of Paraconsistent Decision Making Method and Inverse Problem a
new tool of decision making is created and by a mathematical perspective this new
algorithm is solved by concepts learned from Operational Research.
Keywords: Paraconsistent Logic, Inverse Problem, Annoted Paraconsistent Logic,
Square Unit of the Cartesian Plane.
ix
Sumário
Sumário ........................................................................................................................ ix
Lista de Figuras ............................................................................................................ xi
Lista de Quadros ......................................................................................................... xii
Lista de Siglas ............................................................................................................ xiii
Capítulo 1 ..................................................................................................................... 1
1.1. Introdução....................................................................................................... 1
1.2. Descrição dos Capítulos ................................................................................. 2
1.3. Motivação e Objetivos .................................................................................... 3
1.3.1. Motivação para estudar a Lógica Paraconsistente ................................... 3
1.3.2. Motivação para estudar o Problema Inverso............................................. 5
1.3.3. O porquê de se estudar a Lógica Paraconsistente na Engenharia de
Produção ............................................................................................................ 6
1.3.4. O porquê de se estudar o Problema Inverso na Engenharia de Produção 7
Capítulo 2 ................................................................................................................... 10
Fundamentos da Lógica ............................................................................................. 10
2.1. Conceitos ...................................................................................................... 10
2.2. Lógicas Ortodoxas ........................................................................................ 14
2.3. Lógicas Heterodoxas .................................................................................... 15
2.3. Lógicas Paraconsistentes ............................................................................. 16
Capítulo 3 ................................................................................................................... 18
Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial 𝐄𝝉 ........................................................... 18
3.1. Lógica Paraconsistente Anotada (LPA) ......................................................... 18
3.2. Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial 𝐄𝝉 ............................................. 19
3.3 Quadrado Unitário do Plano Cartesiano (QUPC) ........................................ 20
3.4 Nível de Exigência ...................................................................................... 24
3.5 Operadores da Lógica 𝐄𝝉 (Mín e Máx) ....................................................... 26
3.5 Operadores da Lógica 𝐄𝝉 (NOT, OR e AND) .............................................. 27
Capítulo 4 ................................................................................................................... 30
Método Paraconsistente de Decisão ........................................................................... 30
4.1. Aspectos Gerais ............................................................................................... 30
4.2 Etapas do MPD ................................................................................................. 30
4.2.1. Fixação do nível de exigência .................................................................... 30
4.2.2. Escolha dos fatores ................................................................................... 31
4.2.3. Determinação das seções .......................................................................... 32
x
4.2.4. Construção a base de dados ..................................................................... 33
4.2.5. Pesquisa de campo ................................................................................... 34
4.2.6. Cálculo das anotações resultantes............................................................. 35
4.2.7. Determinação do Baricentro e a Tomada de decisão ................................. 36
Capítulo 5 ................................................................................................................... 38
Problema Inverso ........................................................................................................ 38
5.1. Aspectos Gerais ............................................................................................... 38
5.2. Formalização .................................................................................................... 39
5.2.1. Classificação dos Problemas Inversos ....................................................... 40
5.2.3. Problema Bem–Posto ................................................................................ 41
5.2.3. Classificação do Problema Inverso obtido pelo MPD ................................. 42
Capítulo 6 ................................................................................................................... 44
Aplicando o Problema Inverso no MPD....................................................................... 44
6.1. Restrições ........................................................................................................ 44
6.2. Modelando o problema para aplicação do Simplex .......................................... 46
6.3. Solução do Simplex .......................................................................................... 47
Capítulo 7 ................................................................................................................... 49
Conclusão ................................................................................................................... 49
7.1. Observações .................................................................................................... 49
7.2. Estudos Futuros ............................................................................................... 50
Referências Bibliográficas........................................................................................... 51
Apêndice I ................................................................................................................... 53
Cadeia de Suprimento aplicado ao Fluxo de conhecimento .................................... 53
xi
Lista de Figuras
Figura 1 - Conceito de supply chain aplicado ao conhecimento. ................................... 3
Figura 2 – Reticulado com as possíveis classificações das proposições. ................... 18
Figura 3 – Quadrado unitário do plano cartesiano (QUPC). . ...................................... 19
Figura 4 – QUPC com as classificações das proposições. . ........................................ 20
Figura 5 – Linha perfeitamente definida (LPD).. .......................................................... 21
Figura 6 – Representação gráfica do grau de incerteza (G). . ..................................... 22
Figura 7 – Linha perfeitamente indefinida (LPI).. ......................................................... 22
Figura 8 – Representação gráfica do grau de certeza (H). . ........................................ 24
Figura 9 – Retas paralelas traçadas com NE = H = G, uma vez NE sendo definido.... 25
Figura 10 – Regiões das classificações das proposições com a defnição do NE. ....... 25
Figura 11 – Representação gráfica dos operadores Máx e Mín. ................................. 27
Figura 12 - Representação gráfica do operador Not. .................................................. 28
Figura 13 - Representação gráfica do operador OR.. .................................................. 28
Figura 14 - Representação gráfica do operador AND.. ............................................... 29
Figura 15 – Fluxo da primeira metade do processo do MPD. ..................................... 30
Figura 16 - Fluxo da segunda metade do processo do MPD. ...................................... 30
Figura 17 - Exemplo de aplicação dos operadores no MPD. . ..................................... 36
Figura 18 - Representação gráfica do baricentro.. ...................................................... 37
Figura 19 - Representação do problema direto.. ......................................................... 40
Figura 20 - Exemplo de fluxo de materias no estudo da logística de cadeia de
suprimentos.. .............................................................................................................. 53
Figura 21 - Fluxo de conhecimento aplicado nas áreas de interesse da Engenharia de
Produção .................................................................................................................... 54
xii
Lista de Quadros
Quadro 1 – Disciplinas cursadas e suas respectivas notas. .......................................... 8
Quadro 2 - Tabela dos pesos associados aos seus respectivos fatores. .................... 32
Quadro 3 - Seções associadas aos respectivos fatores com seus pesos. .................. 33
Quadro 4 - Anotações m associada às Seções S e dadas por cada especialista E. .. 34
Quadro 5 - Situação real tendo definido as Seções. ................................................... 34
Quadro 6 - Anotações que serão dados de entrada para aplicação dos operadores. . 35
Quadro 7 - Resultado final tendo aplicado os operadores. .......................................... 36
Quadro 8 - Classificações do problema inverso. ......................................................... 41
Quadro 9 - Dados de entrada do MPD. ....................................................................... 42
Quadro 10 - Definição dos graus de liberdade. ........................................................... 44
Quadro 11 - Definição dos graus de liberdade para um caso geral. ............................ 46
xiii
Lista de Siglas
FMEA: Failure Mode Effects Analysis
MPD: Método Paraconsistente de Decisão
LPA: Lógica Paraconsistente Anotada
LPD: Linha Perfeitamente Definida
LPI: Linha Perfeitamente Indefinida
SLP: Systematic Layout Planning
VSMFD: Versão Simplificada do Método Fuzzy de Decisão
1
Capítulo 1
1.1. Introdução
Ao longo da formação de Engenharia de Produção a maioria dos algoritmos e
ferramentas de gestão seguem uma lógica direta (dados de entrada geram dados de
saída). Por conta disso, sofrem com as limitações de tal abordagem que é usar o
passado para inferir sobre o futuro. Tal abordagem é limitada quando há uma
necessidade de alterar o cenário onde se está aplicando a ferramenta de gestão.
O que acarreta no questionamento se tal limitação pode ser remediada com a
utilização de alguma outra ferramenta ou combinação com alguma outra. Esse é o
escopo geral desse trabalho, tentar resolver tal problema. Para tal foi pesquisado sobre
o Problema Inverso e suas aplicações. Para que nesse trabalho seja feita uma inversão
do Método Paraconsistente de Decisão.
O Método Paraconsistente de Decisão é uma ferramenta oriunda da Lógica
Paraconsistente Anotada. Ao aplicar o Problema Inverso neste método será analisado
o resultado, e o que se pode concluir.
Este estudo é feito tendo três hipóteses como embasamento para elaboração de
tal estudo:
i. É possível inverter o Método Paraconsistente de Decisão.
ii. A lógica do Problema Inverso pode trazer uma abordagem nova e benéfica
para ferramentas de gestão, já estabelecidas.
iii. Essa nova abordagem permitirá que se faça planejamento de forma
disruptiva do passado.
Na elaboração deste estudo foi realizado uma pesquisa bibliográfica já que os
conceitos utilizados neste estudo não fazem parte da formação de um Engenheiro de
Produção e tendo como principais assuntos: Lógica Paraconsistente e Problema
Inverso.
É apresentada uma pesquisa experimental em que consiste manipular
matematicamente o Método Paraconsistente de Decisão para invertê-la utilizando o
material estudado na pesquisa bibliográfica acerca do Problema Inverso como base.
Caso as hipóteses sejam comprovadas o estudo do Problema Inverso permitirá
que as lógicas por trás das ferramentas de gestão sejam revistas. Além disso, o fato do
2
estudo ser sobre a Lógica Paraconsistente permitirá que novos problemas sejam
modelados sob essa ótica. Por fim, devido a natureza da lógica paraconsistente garantir
a consistência mesmo tendo contradição, sua aplicação em análises já existentes
permitirá ferramentas de gestão mais sensíveis.
É preciso salientar que por ser um trabalho de conclusão de curso algumas
restrições foram necessárias para que seja viável tanto em tempo quanto em escopo. E
tal limitação foi feita no Método Paraconsistente de Decisão, tal método é uma
ferramenta Qualitativo – Quantitativo. A primeira etapa é qualitativa e consiste na
(enumeração, quantificação, classificação, restrição). Uma vez passado por esta etapa
é feita uma analisa quantitativa dos seus dados, onde é calculado o baricentro.
Este estudo aplicará o Problema Inverso sob o ponto de vista matemático, ou seja,
assumindo que a etapa qualitativa já foi obtida. Em seguida serão analisados os
benefícios que tal abordagem pode trazer. Novamente, será salientado que por conta
de ser um trabalho de conclusão de curso haverá uma redução de escopo onde esse
algoritmo invertido não será aplicado em situações reais.
1.2. Descrição dos Capítulos
Este trabalho foi estruturado com o intuito de estabelecer uma sequência evolutiva
lógica e concisa:
• Capítulo 2 – Fundamentos da Lógica: contém os fundamentos básicos
referentes à Lógica. Com o objetivo de prepara o leitor para entender com
foi originada a lógica paraconsistente.
• Capítulo 3 – Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial: conceitos
referentes à um desdobramento da lógica paraconsistente que culminará
na explicação do Método Paraconsistente de Decisão.
• Capítulo 4 – Método Paraconsistente de Decisão (MPD): explica o
processo de aplicação do MPD.
• Capítulo 5 – Problema Inverso: Apresentação dos conceitos referentes ao
Problema Inverso com o objetivo de preparar para sua aplicação no objeto
de estudo.
• Capítulo 6 – Aplicação do Problema Inverso no Método Paraconsistente de
Decisão. Com sua modelagem e resolução.
• Capítulo 7 – Apresentação das conclusões deste estudo e recomendações
para estudo futuros, tanto no sentido de expandir o que foi feito neste
3
estudo quanto para disseminar os assuntos aqui abordados (Lógica
Paraconsistente e Problema Inverso)
• Apêndice I – Contém explicação de como foi criada a figura, que foi
elaborada pelo autor, utilizada no tópico motivação e objetivos
1.3. Motivação e Objetivos
Nesta seção serão estudados as razões que explicam a necessidade de se estudar
tais temas, ao invés de outros.
1.3.1. Motivação para estudar a Lógica Paraconsistente
O que se quer nesse estudo é estudar um assunto que esteja no estado da arte
para tanto foi necessário encontrar um assunto de interesse na área de Gerência da
Produção.
Para encontrar o assunto, foi utilizado um conceito de supply chain para facilitar
na procura do mesmo. Assim como no supply chain há um delay entre o início da cadeia
e a ponta da mesma. O mesmo se espera no que tange ao fluxo de informação entre as
áreas do conhecimento. Como fica evidenciado na Figura 1 que é explicada no apêndice
I.
Figura 1 - Conceito de supply chain aplicado ao conhecimento.
Em posse dessa informação foi elaborada no Aris Express um sequenciamento
lógico do conhecimento de áreas relevantes para a Engenharia de Produção. Tal
4
elaboração foi feita usando como base o fluxograma de matérias do curso de graduação
da Engenharia de Produção e foram excluídas as áreas referentes a Economia e de
desinteresse do autor.
Tendo esse fluxo sido elaborado, ele foi dividido em 5 instâncias determinada pela
interação com outras áreas e foi traçada uma reta (função tempo). Essa reta serve para
poder relacionar os estados da arte de cada área.
Dado um tempo t0 em que todas as áreas estarão estudando a fronteira dos seus
conhecimentos, mas não necessariamente uma área estará utilizando o estado da arte
de outra área para produzir seu conhecimento.
Com isso, tal qual o supply chain quanto mais afastado da origem mais tempo se
levará para o conhecimento do estado da arte da primeira instancia começar a ser
estudada por outra.
Tendo feito isso, foi constatado que a Lógica é a área mais afastada da Engenharia
de Produção, logo as discussões mais recentes dela são mais prováveis de não terem
sido estudadas na Engenharia de Produção.
Analisando a Figura 1 percebe-se que tanto a Lógica Paraconsistente quanto o
Problema Inverso são temas de áreas anteriores a Engenharia. Isso poderia explicar
não serem tão abordadas na Engenharia de Produção.
No Instituto de Matemática não há um especialista em lógica e no Departamento
de Engenharia Industrial há o Labfuzzy que faz estudos e aplicações da lógica fuzzy.
Evidenciando a aplicabilidade de lógicas não-clássicas na Engenharia de Produção.
Com isso foi pesquisado sobre lógicas não clássicas e em especial a Lógica
Paraconsistente que foi elaborada pelo matemático e filósofo Newton da Costa.
Uma vez tendo sido definido o escopo geral, (EXPOSITO, CAMEIRA, 2014)
realizaram uma revisão bibliográfica. Nesse estudo foi pesquisado no periódico CAPES
o termo “paraconsistente logic” e percorrido os 801 resultados. Um ano depois a mesma
pesquisa foi feita e novos artigos levantados para serem analisados.
Com essas pesquisas feitas alguns pólos de estudo da lógica paraconsistente
foram descobertas na UFRGS, USP e UNICAMP. Por conta disso foram pesquisadas
em seu banco de dados aplicações da lógica paraconsistente na Engenharia de
Produção em especial as dissertações de mestrado e teses de doutorado.
5
1.3.2. Motivação para estudar o Problema Inverso
Uma vez que foi decidido estudar o tema tomada de decisão utilizando a lógica
paraconsistente, foi necessário tentar descobrir como levar essa discussão para um
outro caminho.
É sabido que a maioria dos algoritmos de decisão e ferramentas estudadas no
curso de graduação são da ordem direta. Além disso, muitos usam variáveis aleatórias
para sua aplicação utilizando conceitos da Estatística para suas inferências.
Ao utilizar os conceitos da Estatística, o que se faz é utilizar o passado para
conseguir inferir sobre o futuro. Isso é fácil de se ver quando se estuda sobre gestão da
manutenção ou quando se estuda gestão de risco operacional.
Entretanto, isso traz problema quando se estuda Planejamento Estratégico, ao se
utilizar o passado o futuro é projetado e por conta disso haverá limitações quanto a
alterações em relação ao passado.
Sua principal aplicação é na Engenharia Mecanica, Física e Medicina como
apontado nos estudos (BAUMEISTER, LEITÃO,2005, CAMPOS VELHO, 2001, NETO,
NETO, 2005).
Pouco se estuda na Engenharia de Produção esse tipo de abordagem do
problema, mesmo parecendo possuir uma aplicação ampla. Sua aplicação permite que
o futuro seja prospectado ao invés de projetado. Possuindo uma maior gama de
cenários.
O Problema Inverso permite que a estratégia corporativa esteja alinhada com a
ação estratégica evitando a dissonância estratégica. Ao mesmo tempo permite que seja
estudado de forma mais coerente o ponto de inflexão estratégico (Burgelman,
Christensen, Wheelwright, 2009).
Isso ocorre porque o estudo do problema inverso tenta responder: “O que preciso
fazer/ alterar para se ter tal resultado?
Analisando a Figura 1, é visto que enquanto a Lógica Paraconsistente vem da área
lógica que está mais afastado da Engenharia de Produção, o Problema Inverso advém
da Matemática e isso explicaria não ser tão estudada na Engenharia de Produção.
6
1.3.3. O porquê de se estudar a Lógica Paraconsistente
na Engenharia de Produção
A primeira vista uma boa resposta seria compará-la com a lógica fuzzy que é
amplamente estudada na UFRJ. Entretanto, essa não seria uma forma digna de abordar
nem a lógica paraconsistente e nem a lógica fuzzy.
Ao invés disso, será avaliado de maneira geral como as ferramentas de tomadas
de decisão são ensinadas no curso de graduação. Todas as ferramentas passam por
um estágio de avaliação das variáveis, depois disso elas são classificadas.
Tendo feito isso é possível determinar as ferramentas matemáticas que podem ser
aplicadas a cada situação. Determinando se a variável é determinística ou probabilística,
a análise será qualitativa ou quantitativa ou se será quantitativa, porém subjetiva.
Entretanto, isso não é suficiente uma vez que é importante analisar o contexto em
que se encontram. Pois isso pode afetar na lógica que deva ser utilizada.
E é nesse ponto que as peculiaridades começam a aparecer ao longo de todo
curso de graduação da UFRJ a lógica estudada é a clássica. Logo será apontado de
maneira genérica a diferença da fuzzy para a paraconsistente no que tange as suas
variáveis:
• Lógica Clássica: cada variável é classificada de forma booleana,
classificada como ou 1 (true) ou 0 (false).
• Lógica Fuzzy: cada variável possui um grau de pertencimento a uma da
característica que compreende de [0,1].
• Lógica Paraconsistente: cada variável será associado a dois valores: “a”
sendo o grau de evidencias favoráveis e “b” sendo o grau de evidencias
contrárias.
Tendo noção disto se faz necessário saber em qual situação que tipo de lógica
deva ser empregada. Quebrando com isso a idéia de que uma é melhor que a outra
como se fosse tão direto e fácil compará-las.
Como é dito por (Carvalho, Abe, 2011) ao comparar os dois métodos MPD (Método
Paraconsistente de Decisão) e VSMFD (Solução pela Versão Simplificada do Método
Fuzzy) ambas análises estão cercadas de subjetividades na hora de determinar os
valores para cada característica.
7
É preciso salientar que há uma região de fronteira entre as lógicas e com isso
situações onde mais de uma lógica possa ser aplicada. Por isso, que é importante que
o engenheiro em questão domine mais de uma lógica para que não tente enquadrar a
realidade no modelo teórico que ele domina, e sim, que ele aplique o melhor modelo a
realidade que ele estuda.
A principal característica da lógica é justamente possuir dois tipos de grau para
cada variável. E isso faz com que se aproxime da realidade do dia-a-dia na gestão. Uma
vez que não há uma forma determinística para se chegar a uma proposta. E toda a etapa
é carregada de evidências que são contrárias ou favoráveis.
E isso torna a ferramenta de decisão mais sensível quando comparada por
exemplo com a lógica clássica. Isto foi apresentado por (ALBUQUERQUE, KLIEWER,
CAMPOS, et al, 2009) onde a ferramenta FMEA (Failure Mode Effects Analysis) _lógica
clássica_ foi adaptada para a lógica paraconsistente. A conclusão do artigo foi que para
uma mesma situação a FMEA paraconsistente não aceitou o que a FMEA clássica
aceitou justamente por ser mais sensível.
Além disso no instante que a lógica paraconsistente suporta evidências favoráveis
e contrárias, ela permite que o objeto de estudo seja mais próximo do real. A lógica
paraconsistente foi aplicada por (BISPO, CAZIRINI, 2006, CARVALHO, 2006,
CARVALHO, BRUNSTEIN, ABE, 2003, DA SILVA FILHO, ABE, TORRES, 2006,
KRAUSE, 2004) seja na robótica, computação ou como ferramenta de gestão. Enquanto
nos estudos (CARVALHO, D’OTTAVIANO, 2011, COSTA, BUENO, KRAUSE, 2004).
1.3.4. O porquê de se estudar o Problema Inverso na
Engenharia de Produção
A importância do Problema Inverso aparece pois permite novos tipos de análise.
E a melhor forma é apresentar alguns exemplos.
Suponha que um aluno precise ter média aritmética das médias das 8 disciplinas
que ele estuda no ensino médio para manter a bolsa. Além disso, as médias em cada
disciplina não podem ser menor que 1,0.
Imagina que esse aluno de tecnológica quer fazer o menor esforço possível para
manter essa bolsa. As disciplinas são: Geografia, História, Portugues, Biologia,
Educação Física, Matemática, Física e Química. O cálculo das médias com mínimo de
esforço seria o equivalente a ter média global 7,0. Acima disso não altera a bolsa.
8
(∑ 𝑛𝑖81 ) : 8 = 7
∑ 𝑛𝑖81 = 56
O aluno sabe que se comparecer a todas as aulas de física ele tem média 10, com
a idéia de que tem que fazer o mínimo de esforço possível suas médias ficam da
seguinte forma:
Quadro 1 – Disciplinas cursadas e suas respectivas notas.
Matérias Nota
Geografia 6,0
História 6,0
Biologia 6,0
Portugues 6,0
Matemática 𝑥1
Física 𝑥2
Química 𝑥3
Ed. Física 10
Analisando a Quadro 1 para que o aluno mantenha a bolsa com o mínimo de
esforço possível, nas matérias que não gosta, ele deverá ter a seguinte média:
(∑ 𝑥𝑖31 ) + (6 + 6 + 6 + 6 +10) = 56
∑ 𝑥𝑖31 = 22
A partir desta última equação ele consegue perceber que basta ter média 7,5 nas
tecnológicas e não faltar as aulas de Educação Física que ele cumprirá os requisitos.
Ao longo das disciplinas da graduação em Engenharia de Produção o aluno se
depara com uma série de ferramentas de gestão que são divididas em etapas
sequenciais para dar um sequenciamento lógico.
Entretanto ao estudar a aplicação de tais ferramentas, é percebido que há
superposição entre as etapas e não apenas isso mas ao longo de ambas as etapas é
necessário um fluxo constante de informação tanto no sentido direto quanto indireto.
Tal fato é percebido no estudo de Planejamento das Instalações ao estudar o
Sistema SLP (Systematic Layout Planning):
No capítulo 1 há a seguinte passagem:
9
“Em muitos casos, o trabalho da Fase I envolverá um
estudo de localização ou análise de um novo local. Nesses
casos o responsável pelo planejamento das fases II e III poderá
ou não estar envolvido diretamente na Fase I” (MUTHER, 1978,
p. 4).
Já no capítulo 7 há a seguinte passagem:
“Obviamente este procedimento não é rígido, já que,
mesmo na fase I localização precisaremos ter a área total
necessária. […]
Na prática, durante a Fase I, será necessário entrar
constantemente nos domínios da Fase II: muitas vezes teremos
que nos aprofundar em considerações detalhadas sobre
máquinas, equipamentos, serviços etc. a fim de determinar os
requisitos gerais de espaços necessários para a resolução do
arranjo físico geral.” (MUTHER, 1978, p. 53).
Esses dois trechos evidenciam que é comum na Engenharia de Produção a
resolução de problemas na forma direta e inversa mesmo que o último não seja
devidamente abordado.
Caso o Problema Inverso fosse estudado/ avaliado no sistema SLP essas regiões
de sobreposições poderiam ser melhor explicitadas e organizadas de forma a tornar
mais fácil lidar com quais características devem ser antecipadas.
Apesar de ser feito nesse estudo um estudo do problema inverso voltado para a
Gerencia da Produção é preciso salientar que foram encontrados aplicações para
aplicações em finanças.
10
Capítulo 2
Fundamentos da Lógica
2.1. Conceitos
A principal fonte bibliográfica no estudo da lógica foi o matemático Newton da
Costa que é o principal nome da literatura no que tange a Paraconsistência. Devido a
complexidade e a sensibilidade nas definições dos conceitos da lógica, tais conceitos
serão apresentados através de citações.
Através da revisão bibliográfica foram levantadas algumas definições sobre a
lógica. De tal forma que será utilizado os conceitos da lógica segundo (COSTA, 1994).
Existem duas formas distintas de se abordar a lógica: a posição dogmática que é
uma posição mais rígida e bem definida, em contraponto com a posição dialética que é
mais maleável estruturalmente.
A definição da posição dogmática segundo da Costa é:
“1. O lógico e o racional, em certo sentido, coincidem. Os
princípios formais basilares da razão (ou do contexto racional)
constituem, na realidade, as leis da lógica (matemática)
tradicional. Não se pode derrogar os princípios fundamentais da
lógica sem se destruir o discurso ou, pelo menos, sem o
complicar desnecessariamente; 2. As leis da lógica (e da
matemática) praticamente independem da experiência. Esta
pode auxiliar na descoberta ou estruturação das leis lógicas,
mas não contribui para as legitimar; 3. Embora os argumentos
que são evocados pelos dogmáticos variem, indo desde
posições metafísicas (certas formas de platonismo) até posições
positivistas (Carnap) ou pragmáticas (Quine, cuja concepção se
denomina logicismo pragmático), o certo é que há uma
determinada univocidade nas suas interpretações da lógica:
existe essencialmente uma única lógica, que pode variar em
suas sistematizações possíveis apenas em questões de
detalhe. (COSTA, 1994, p.17)”.
A definição da posição dialética segundo da Costa é:
11
“A concepção dialética, por sua vez, contrasta com a
dogmática especialmente porque: 1. Para ela, o lógico e o
racional nunca se identificam. O exercício da razão pode se dar
através de sistemas lógico-matemáticos distintos, sistemas
esses suscetíveis de diferir entre si pela incorporação ou não de
alguns princípios centrais da cltamada lógica tradicional; 2. A
razão não é auto-suficiente: o sistema lógico que espelha seu
exercício depende da experiência, variando de conformidade
com os tipos de objetos aos quais se aplica. Mais precisamente,
parte da lógica é alicerçada nas interconexões entre a razão e a
experiência. Isto significa, noutras palavras, que a experiência
contribui para legitimar as normas racionais; 3. Não há uma
única lógica. Em princípio, existem várias, todas lícitas do ponto
de vista racional. A escolha dentre elas, no contexto da ciência
ou de um corpo de doutrina patticular, faz-se mais ou menos
como o físico escolhe a geometria que melhor se adapta às suas
pesquisas, dentre as diversas geometrias matematicamente
possíveis. (COSTA, 1994, p.17-18)”.
A principal diferença entre as duas posturas é que enquanto a dogmática trata a
lógica como se possuísse regras imutáveis, onde o experimento não é imprescindível
para a prova, como se existisse uma única lógica e tudo que advém da lógica devesse
cumprir certos requisitos. Já a posição dialética permite que diferentes sistemas sejam
formulados contendo todas as regras ou excluindo algumas, além disso, a razão não é
suficiente para legitimar, a experiência é igualmente importante.
A partir da revisão bibliográfica se chegou a seguinte conclusão: “A lógica é
definida como a ciência que estuda as interferências válidas ao mesmo tempo em que
a separa da matemática uma vez que há métodos aplicadas nesta que não se aplica
àquela. Dando como exemplo a geometria e a lógica onde apesar daquela se valer desta
possuem finalidades distintas (COSTA, 1994)” (EXPOSITO, CAMEIRA, 2014).
Já se definiu as formas de se abordar a lógica e uma definição da lógica em
contraponto da Matemática. Onde o objetivo é separar uma da outra, e constatar que a
matemática como se conhece hoje foi originada da lógica.
O processo em que a Matemática se aproximou na sua forma de se expressar da
lógica foi o processo de axiomatização: “O método fundamental de codificação e de
sistematização das disciplinas dedutivas (isto é, lógico-matemáticas) é o método
axiomático.” (COSTA, 1994, p. 21).
12
E existe duas formas de axiomatização a primária e a secundária, a primeira ocorre
quando não se pressupõe nenhuma outra disciplina no processo, enquanto a secundária
se faz necessário pressupor outra disciplina. Definindo da seguinte forma:
“Existem dois níveis de axiomatização: o primário e o
secundário. A sistematização de uma disciplina A faz-se, em
nível secundário, que é o mais comum, assim: escolhem-se
determinadas noções de A, aceitas sem definição, as noções
(ou símbolos) primitivos, e certas proposições que relacionam
essas noções primitivas de A (e, em alguns casos, também
noções de outras ciências imprescindíveis para a
fundamentação axiomática de A), aceitas sem demonstração. A
reduz-se, então, ao conjunto das conseqüências que, através
das leis da lógica, podem ser derivadas das proposições
primitivas aceitas (permite-se a introdução de novos símbolos
em A, por definição, com a finalidade principal de dar ênfase a
idéias importantes ou par. 1 simplificar a exposição).
Evidentemente, se a axiomatização de A depender de outras
disciplinas, por exemplo de A1, A2, ..., An nada impede que se
sistematize simultaneamente A1, A2, ..., An, de modo que o
essencial, na axiomatização secundária, reside na circunstância
de se pressupor uma única ciência de base: a lógica subjacente”
(COSTA, 1994, p.18).
Uma vez que a lógica não pressupõe outra disciplina conclui-se que ela é primária
enquanto a matemática é secundária.
Após a axiomatização de uma disciplina se faz necessário a sua sitematização,
que é definida da seguinte forma:
“[...]escolhem-se símbolos convenientes, e as regras de
formação, que explicitam as combinações simbólicas de S
dotadas de sentido, bem como as regras de inferência, que nos
permitem obter novos arranjos simbólicos a partir de
outrosdados, são enunciadas de modo preciso. Então S
converte-se numa espécie de jogo grafomecânico, realizado
com símbolos fixos e mediante regras bem definidas…”
(COSTA, 1994, p.18).
Com a axiomatização e a sistematização da disciplina, ela se torna mais coesa e
concisa e com isso facilita o seu estudo tanto na sua fronteira quanto na sua revisão. No
instante em que passa a ser estudada a disciplina não só progredirá, mas como também
ela será revista/ alterada. E o mesmo ocorre com a lógica, por consequência a ciência
13
também, uma vez que ela não é a mesma em relação ao tempo. Tal característica da
lógica é apresentada por da Costa:
“A razão vai evoluindo à medida que a ciência progride. Em grande parte, isto
decorre de sua própria autocrítica e das dificuldades com que se defrontam as teorias
cientificas para descrever e explocar a realidade.” (COSTA, 1994, p.18).
Se a razão vai evoluindo à medida que a ciência progride pode-se dizer que a
razão se altera ao longo do tempo. E isso possibilita e estimula que conceitos balizados
sejam revistos ou confrontados.
Outro fator crucial para a alteração da razão ao longo do tempo é sua correlação
com o contexto de exposição científica definida por da Costa como: conjunto das
produções científicas de diferentes disciplinas na forma que elas se comunicam. Tais
contextos estão em conformidade com os conhecimentos da mesma época. Isso
garante uma relação de uma com outra de tal forma que com o passar do tempo a
ciência progride o conhecimento avança, alterando os contextos de exposição científica
e, por fim, altera as leis razão. (COSTA, 1994).
Da Costa evidencia a relação da lógica com o tempo da seguinte forma:
“O sistema total das ciências, em determinado momento
histórico t, 𝐶𝑡, não é sempre o mesmo, dependendo de t. […] Já
assinalamos um dos traços marcantes de 𝐶𝑡, que é o de 𝐶𝑡 ser
função do tempo.” (COSTA, 1994).
Tendo demonstrado a relação da ciência com o tempo e evidenciando fatores que
a alteram. Surge então a possibilidade de regras ou conceitos balizados serem revistos
e alterados. Isso é uma aplicação do conceito que foi apresentado anteriormente que foi
a postura dialética em relação à lógica.
Esse processo que a ciência passa de forma natural ao longo do tempo é a
dialetização sendo definida de modo formal por da Costa da seguinte forma:
“[...] dialetizar determinada concepção significa apenas
questioná-la, reformulá-la, negá-Ia mesmo, demonstrando que
os pressupostos a ele subjacentes são por demais ingênuos,
devendo ser, ou já tendo sido substituídos por outros novos,
mais finos e melhor adaptados aos fatos[...]” (COSTA, 1994,
p.18).
Com isso neste estudo os conceitos necessários para começar a discutir a lógica
como aplicação para a Engenharia foi apresentado. Sendo necessário definir uma das
14
consequências do processo de dialetização na lógica, que foi a criação de lógicas não-
clássicas ou ortodoxa, à qual a lógica paraconsistente pertence.
2.2. Lógicas Ortodoxas
A lógicas clássica possui 6 conceitos importantes segundo (Carvalho, Abe, 2011):
• Regra de Modus Ponens
• Demonstração ou Prova
• Teorema
• Dedução
• Consequência Sintática
• Tautologia
• Teorema da Dedução
Para explicar os conceitos citados acima se faz necessário apresentar os símbolos
da lógica:
• ¬: Negação
• ∧: Conjunção
• ∨: Disjunção
• →: Implicação
• ↔: Bi-Implicação
Os 6 conceitos importantes da lógica serão apresentados utilizando como base
(CARVALHO, ABE, 2011):
• Regra de Modus Ponens: se refere a inferência, 𝐴,𝐴 → 𝐵
𝐵, que quer dizer:
se A for verdadeiro e A implicar B, então B também será verdadeira
• Demonstração: sequencia finita de fórmulas tal que ou é um axioma ou foi
obtido pela regra modus ponens
• Teorema: A será chamada de teorema se A = 𝐴𝑛. Onde a sequencia de
fórmulas (𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛) chama-se demonstração
15
• Dedução: seja T um conjunto de fórmulas _T = (𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛)_. Uma
dedução a partir de T é qualquer sequencia finita de fórmulas sendo: ou
um axioma, ou pertencente a T, ou foi obtido pela regra de modus ponens
• Consequencia Sintática: ocorre quando existir uma dedução a partir de
um conjunto de fórmulas T. Tal que essa dedução seja igual a uma fórmula.
• Tautologia: é quando numa fórmula para quaisquer valores da sua tabela
verdade esta fórmula será sempre verdade. Sendo sempre falsa se
denomina contradição
• Teorema da Dedução: sendo T um conjunto de fórmulas, A e B duas
fórmulas. Se de T e A se deduz B, então de T se deduz A implica B
2.3. Lógicas Heterodoxas
As lógicas heterodoxas são uma consequência da postura dialética, e sua criação
passa pelo processo de dialetização. De uma forma geral uma lógica não-clássica (ou
heterodoxa) surge quando se dialetiza alguma regra da lógica clássica (ortodoxa).
Historicamente falando o que inspirou o surgimento de lógica não-clássicas foi o
surgimento de geometrias não-euclidianas. Existia a geometria euclidiana, mas com a
necessidade dos artistas em fazer obras cada vez mais realistas (proporcionais com a
realidade) foi desenvolvido geometrias não-euclidianas. Exemplo prático disso é
encontrado quando se estuda paralelismo na geometria euclidiana em que se afirma:
duas retas paralelas nunca se cruzam. Entretanto, ao estudar geometria não-euclidiana
(um exemplo é quando se estuda proporcionalidade de uma figura em perspectiva) se
constata que duas retas paralelas se cruzam no infinito e tal ponto é chamado de ponto
de fuga.
E com a dialetização do paralelismo foi permitido a abordagem e desenvolvimento
das fronteiras do conhecimento. Tal fato serviu como base para a dialetização de regras
clássicas e suas aplicações variadas.
Segundo (Carvalho, Fábio; Abe, Jair; 2011) há dois grupos de lógicas
heterodoxas:
• Complementa a Revista Clássica
• Rivaliza a Lógica Clássica
Exemplos de Lógicas Heterodoxas que complementam a clássica:
16
• Lógicas Imperativas: são lógicas que tratam de sentenças definidas em
modo imperativo, afetando, com isso, nas regras de inferência.
• Lógicas Infinitárias: são lógicas que tratam de argumentos infinitamente
longas, tal fato, força uma abrangência nas classificações da lógica como,
compacto e completo.
• Lógica Temporais: são lógicas que tratam de sentenças expressas em
função do tempo.
Exemplos de Lógicas Heterodoxas que rivalizam com a clássica:
• Lógicas Não-Reflexivas: lógicas que dialetizam o princípio da identidade,
restringindo-a. Tal princípio afirma que se A = B e B = C logo A = C.
• Lógicas Paracompletas: lógicas que dialetizam o princípio do terceiro
excluído. Tal princípio afirma que da uma sentença B ou B é verdadeira
ou ¬B (não B) é verdadeira.
• Lógica Fuzzy: lógica que rejeita a o princípio do terceiro excluído citado
acima. Isso ocorre no instante em que a lógica fuzzy lida com suas
verdades não como se fosse uma característica mas sim pertencimento.
Dessa forma ao invés de dizer A = B se diz que A = C, onde C denota um
valor entre [0,1] e representa o grau de pertencimento a característica C.
2.3. Lógicas Paraconsistentes
A lógica paraconsistente é uma lógica que dialetiza o princípio da não-
contradição que afirma que ambas afirmações C e sua negação ¬C não podem ser
verdadeiras simultaneamente, ou seja, ou C ou ¬C será verdadeira.
Antes de continuar será analisado esse princípio e seu papel na definição do
conceito de trivial (será definido mais adiante). Uma consequência lógica do princípio da
não-contradição é que se C e ¬C fossem verdadeiros qualquer afirmação (B) será
verdadeira. Isso será apresentado da seguinte forma:
I. C e ¬C são verdadeiros
II. C ou B é verdadeiro
III. Como ¬C é verdadeiro para que “II” seja,verdadeiro, B tem que ser
verdadeiro.
17
Uma teoria T é inconsistente se tanto o teorema A quanto ¬A forem teoremas de
T. Caso contrário ela é chamada de consistente. Sendo T um subconjunto de F se todas
as fórmulas de F são teoremas de T, T é trivial se, e somente se, T = F. Caso contrário,
T é não-trivial (Carvalho, Fábio; Abe, Jair; 2011).
Para que uma teoria seja paraconsistente é necessário que seja inconsistente e
não trivial. Isso se opõe a lógica clássica justamente por sua consequência no princípio
da contradição uma vez que dada duas afirmações C e ¬C, nem toda afirmação B será
verdadeira.
Antes de começar a adentrar no principal tema desse estudo (Lógica
Paraconsistente Anotada Evidencial). Uma lógica C chama-se paracompleta quando ela
contradiz o princípio do terceiro excluído no instante em que tanto A e ¬A são falsas.
Por fim, uma lógica C não alética tem que ser paraconsistente e paracompleta (Carvalho,
Abe, Jair; 2011).
18
Capítulo 3
Lógica Paraconsistente Anotada
Evidencial 𝐄𝝉
3.1. Lógica Paraconsistente Anotada (LPA)
Os principais nomes que estudam a lógica paraconsistente anotada são Da
Casto, Vago, Subrahmanian, Abe e Akama (Carvalho, Abe, 2011). No estudo da lógica
paraconsistente anotada foi expandido por sua aplicação em linguagem de programação
(Paralog), circuitos elétricos e robótica, com o robô Emmy (DA SILVA FILHO, ABE,
TORRES, 2006).
No estudo da LPA foi criado um reticulado que é uma forma de classificar cada
proposição feita:
Figura 2 – Reticulado com as possíveis classificações das proposições.
A lógica paraconsistente tem como objetivo definir bem suas proposições. A
partir da Figura 2 são definidas as seguintes classificações :
• V: é verdade
• F: é falsidade
• T: é inconsistência
• ⊥: é paracompleteza
19
Toda afirmação na LPA é do tipo 𝑝𝜇, onde 𝑝 é a afirmação e 𝜇 é uma constante
de anotação (Carvalho, Abe, 2011).
3.2. Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial 𝐄𝝉
Na LPA Evidencial E𝜏 toda proposição estará associada a uma constante de
anotação só que ao invés de ser da forma apresentada anteriormente (𝑝𝜇) será da forma
(𝑝(𝑎,𝑏)). A primeira diferença é que a constante de anotação deixou de ser 𝜇 e passou a
ser (a,b).
Tanto o valor de (a) quanto o valor de (b) podem assumit valores entre [0,1]. Seus
valores associados a uma proposição 𝑝 formam a constante de anotação. O significado
é:
• a = grau de evidencia favorável
• b = grau de evidencia contrária
Com isso se tem a representação geométrica para o que foi apresentado:
Figura 3 – Quadrado unitário do plano cartesiano (QUPC). Adaptado de CARVALHO (2006).
A partir da Figura 3 é possível constatar o paralelo com o plano cartesiano on o
grau de evidencia contrária (b) assumirá os valores do eixo das ordenadas (y), enquanto
o grau de evidencia favorável (a) assumirá os valores do eixo das absissas (x). Como a
e b pertencem ao intervalo fechado [0,1], se conclui que o par (a,b) serão pontos
contidos no quadrado ABCD.
20
A partir da análise geométrica é de se esperar que os vértices possuam
propriedades diferentes dos outros ou que representem algo mais características, uma
vez que são formados apenas por valores de fronteira. Segue a definição para os pares
(a,b):
• (1,0): representa a verdade
• (0,1): representa a falsidade
• (1,1): representa a inconsistência
• (0,0): representa a paracompleteza
Com isso se tem a seguinte representação:
Figura 4 – QUPC com as classificações das proposições. Adaptado de CARVALHO (2006).
A partir da Figura 4 é possível concluir que 𝑝(𝑎,𝑏) significa que uma proposição p
possui um grau de evidencia favorável a e um grau de evidencia contrária b. Por fim,
vale definir que o par (0,5) define para uma proposição, a indefinição.
3.3 Quadrado Unitário do Plano Cartesiano (QUPC)
Uma vez tendo delimitado as fronteiras dos possíveis valores de a e b, se analisará
as regiões internas desse quadrado unitário quanto a propriedades e determinação de
alguns parâmetros de avaliação.
Primeiro será observado a linha originida do pontos C e D observada na Figura 5.
21
Figura 5 – Linha perfeitamente definida (LPD). Adaptado de CARVALHO (2006).
O segmento CD é chamado de linha perfeitamente definida (LPD). Isso porque
são pontos que estão equidistantes do ponto de inconsistência (B) e de ponto de
paracompleteza (A). Imagine agora que fossem traçadas retas paralelas à linha CD.
Seria visualizado que quanto mais próximo ou de A ou de B estas retas forem, as
incertezas estarão aumentando.
Com isso foi definido o seguinte parâmetro Grau de incerteza da constante de
anotação (a;b) como:
G = a + b - 1
Perceba que LPD, algebricamente falando, é definida quando G = 0. Por saber de
antemão que a e b variam entre [0,1], conclue-se que o valor máximo de G é 1 (a = 1; b
= 1) e o valor mínimo de G é -1 (a = 0; b = 0). Já foi feito o paralelo entre “a e b” no
quadrado unitário com o “x e y” no plano cartesiano. Dito isso a equação de G será
reescrita para facilitar o entendimento tanto conceitual quanto matemático.
G = a + b – 1
0 = a + b – (1 + G)
b = -(a) + (1 + G)
Sabe-se que a equação b = -(a) + (1 + G), possui a mesma forma que a equação:
y = -(x) + (1 + G)
(1 + G) é definido como coeficiente linear da reta, e que alterar apenas o valor do
coeficiente linear geometricamente falando o que ocorre é simplesmente na
determinação de retas pararelas a reta original. Assumindo que o valor de referencia é
G = 0 (LPD). Alterar o valor de G entre [-1,1] significa, portanto, em traçar retas paralelas
a reta CD na região interna do quadrado unitário.
22
E quanto maior for o valor G mais próximo esta reta estará de B e quanto menor
for o valor de G mais próximo de A esta reta será. Tal afirmativa é observada
graficamente na Figura 6.
Figura 6 – Representação gráfica do grau de incerteza (G). Adaptado de CARVALHO (2006).
Analogamente, será observado a linha entre os pontos A e B na figura Figura 7.
Figura 7 – Linha perfeitamente indefinida (LPI). Adaptado de CARVALHO (2006).
O segmento AB é chamado de linha perfeitamente indefinida (LPI). Isso porque
são pontos que estão equidistantes do ponto de falsidade (D) e de ponto de verdade
23
(C). Novamente, imagine que fossem traçados retas paralelas a linha AB seria
visualizado, então, retas que quanto mais próximo ou de D ou de C estas retas forem,
as incertezas estarão diminuindo.
Com isso foi definido o seguinte parâmetro Grau de certeza da constante de
anotação (a;b) como:
H = a - b
Novamente, perceba que LPI, algebricamente falando, é definida quando H = 0.
Por saber de antemão que a e b variam entre [0,1], conclue-se que o valor máximo de
H é 1 (a = 1; b = 0) e o valor mínimo de H é -1 (a = 0; b = 1). A equação de H será
reescrita para facilitar o entendimento tanto conceitual quanto matemático.
H = a - b
0 = a - b - H
b = a - H
Sabe-se que a equação b = a - H, possui a mesma forma que a equação:
y = x - H
(- H) é definido como coeficiente linear da reta, e que alterar apenas o valor do
coeficiente linear, geometricamente falando, gerará retas pararelas a reta original.
Assumindo que o valor de referencia é H = 0 (LPI), ao alterar o valor de H entre [-1,1]
significa, portanto, em traçar retas paralelas a reta AB na região interna do quadrado
unitário.
E quanto maior for o valor H mais próximo esta reta estará de C e quanto menor
for o valor de H mais próximo de D esta reta estará. A interpretação gráfica de H é
observada na Figura 8.
24
Figura 8 – Representação gráfica do grau de certeza (H). Adaptado de CARVALHO (2006).
3.4 Nível de Exigência
Nível de exigência é o parâmetro da regra de decisão da ferramenta lógica
paraconsistente anotada, será estudada mais a frente quando for analisado o método
paraconsistente de decisão (MPD).
O que será definido são as regiões formadas quando se define o nível de
exigência. Os parâmetros usados são H e G, portanto sabe-se a priori que as regiões
formadas serão limitadas por retas paralelas a LPI e LPD e que quanto maior o valor do
módulo de seus valores mais próximas, do vértice, as retas estarão.
Ou seja, quanto maior o nível de exigência for fixada, maior é a necessidade de
precisão do resultado. O quadrado unitário passa a ter a configuração da Figura 9
quando se traça as retas paralelas.
25
Figura 9 – Retas paralelas traçadas com NE = H = G, uma vez NE sendo definido. Adaptado de CARVALHO (2006).
É observado que o nível de exigência (NE) é definido da seguinte forma:
NE = | H | = | G |
Sendo necessário, agora, a definição das regiões triangulares formadas pelas
retas paralelas e os vértices do quadrado, destacadas na figura Figura 10.
Figura 10 – Regiões das classificações das proposições com a defnição do NE. Adaptado de CARVALHO (2006).
A partir da figura as regiões são definidas como:
26
• DTU = Região de Falsidade
• CPQ = Região de Verdade
• AMN = Região de Paracompleteza
• BRS = Região de Inconsistencia
• MNTUSRQP = Região de Baixa Definição
Além disso as retas (PQ, RS, TU, MN) que separam as regiões bem definidas das
regiões de baixa definição, também recebem uma classificação:
• PQ = linha limite de verdade
• RS = linha limite de inconsistência
• TU = linha limite de falsidade
• MN = linha limite de paracompleteza
3.5 Operadores da Lógica 𝐄𝝉 (Mín e Máx)
Na lógica E𝜏 cada proposição p é associada a uma constante de anotação (a,b).
Na aplicação do método paraconsistente de decisão uma mesma categoria possuirá
diversas n anotações 𝑝(𝑎,𝑏).
Como o cálculo para tomada de decisão é através do baricentro e que é preciso
escolher para uma mesma categoria e das n anotações qual será a anotação 𝑝(𝑎,𝑏)
utilizada no cálculo do baricentro.
Para resolver esse problema foram elaborados dois operadores: Máximo e o
Mínimo. A forma como se aplica e o porquê de serem empregados no Método
Paraconsistente de Decisão serão explicados no próximo capítulo.
O operador MÁX tem como objetivo maximizar o grau de certeza, escolhendo o
melhor valor para o grau de evidência favorável (a) e o menor valor para o grau de
evidência contrária (b).
Ou seja, dada uma proposição p e associada a ela se tenha várias anotações
formando um conjunto:
A = {(𝑎1; 𝑏1); (𝑎2; 𝑏2); (𝑎3; 𝑏3)}
Ao aplicar o operador MÁX em A, tem como resultado:
MÁX (A) = (𝑎𝑚á𝑥; 𝑏𝑚í𝑛)
27
Já o operador MÍN tem como objetivo minimizar o grau de certeza, escolhendo o
menor valor para o grau de evidência favorável (a) e o menor valor para o grau de
evidência contrária (b).
Ou seja, dada uma proposição p e associada a ela se tenha várias anotações
formando um conjunto:
B = {(𝑎1, 𝑏1); (𝑎2, 𝑏2); (𝑎3, 𝑏3)}
Ao aplicar o operador MÍN em B, tem como resultado:
MÍN (B) = (𝑎𝑚í𝑛, 𝑏𝑚á𝑥)
Dado duas anotações 𝜇1 e 𝜇1 ao aplicar os operadores MÍN e MÁX se tem a
representação gráfica da Figura 11.
Figura 11 – Representação gráfica dos operadores Máx e Mín. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
3.5 Operadores da Lógica 𝐄𝝉 (NOT, OR e AND)
O operador NOT, aplicado na constante de anotação, é definido na lógica E𝜏 da
seguinte forma:
NOT (a;b) = (b;a)
Tendo como interpretação geométrica representada na Figura 12:
28
Figura 12 - Representação gráfica do operador Not. Adaptado de CARVALHO (2006).
O operador OR aplicado a um conjunto de anotações de uma proposição é definido
da seguinte forma:
Dado um conjunto de anotações
C = {(𝑎1; 𝑏1); (𝑎2; 𝑏2); (𝑎3; 𝑏3)}
Ao aplicar o operador OR em C, tem como resultado:
OR (A) = (𝑎𝑚á𝑥; 𝑏𝑚á𝑥)
O operador OR é também chamado de regra de maximização. Tendo como
interpretação geométrica representada na Figura 13:
Figura 13 - Representação gráfica do operador OR. Adaptado de CARVALHO (2006).
29
O operador AND aplicado a um conjunto de anotações de uma proposição é
definido da seguinte forma:
Dado um conjunto de anotações
D = {(𝑎1; 𝑏1); (𝑎2; 𝑏2); (𝑎3; 𝑏3)}
Ao aplicar o operador AND em D, tem como resultado:
AND (D) = (𝑎𝑚í𝑛; 𝑏𝑚í𝑛)
O operador AND é também chamado de regra de minimização. Tendo como
interpretação geométrica representada na Figura 14:
Figura 14 - Representação gráfica do operador AND. Adaptado de CARVALHO (2006).
É preciso entender que no MPD diferentes especialistas serão consultados, onde
cada um deles dará uma anotação. No instante que se for fazer os cálculos será
necessário tratar tais anotações. Os operadores são que uma forma lógica de se tratar
as anotações, com o objetivo de se ter como resultado uma única anotação.
30
Capítulo 4
Método Paraconsistente de Decisão
4.1. Aspectos Gerais
Uma vez apresentado o ferramentário da lógica paraconsistente anotada
evidencial, cumpre-se o requisito necessário para se entender o processo de decisão
baseada na lógica paraconsistente.
Basicamente, o processo é composto de 8 etapas (Carvalho, Fábio; Abe, Jair;
2011) sendo elas representadas na Figura 15 e Figura 16.
Figura 15 – Fluxo da primeira metade do processo do MPD.
Figura 16 - Fluxo da segunda metade do processo do MPD.
4.2 Etapas do MPD
Nesta seção cada etapa será abordada com o intuito de permitir que o leitor
entenda o MPD como um todo.
4.2.1. Fixação do nível de exigência
O método começa com a fixação do nível de exigência (NE), no instante que isso
feita as regiões do quadrado unitário são definidos da seguinte forma:
31
NE = 0,6
Com isso se define as regras de decisão do método:
i. H ≥ 0,6: decisão favorável
ii. - 0,6 < H < 0,6: análise não conclusiva
iii. H ≤ - 0,6
E ao definir a decisão favorável através do nível de exigência, fica definido a região
de verdade a partir de (i). Com isso, as linhas limites das regiões bem definidas do
quadrado unitário são determinadas da seguinte forma:
| H | = | G | = 0,6
Concluindo essa etapa com a elaboração do quadrado unitário com suas regiões
determinadas.
4.2.2. Escolha dos fatores
A escolha dos fatores nada mais são que a determinação das proposições que
serão classificadas por uma constante de anotação em outras palavras, sendo 𝑝(𝑎,𝑏):
• 𝑝 : fator
• (𝑎, 𝑏) : classificação do fator
Como a regra de decisão é feita através da análise do baricentro dos pontos, é
preciso se atentar para o fato de que os n-fatores não terão a mesma influência. Com
isso, é bastante razoável que se tenha pesos associados a cada um dos fatores.
Tais pesos são determinados com auxílio de especialistas, alguns exemplos:
• Não há uma relevância relativa entre os fatores, logo P = 1
• Há diferença de importância entre os fatores, para cada fator os
especialistas atribuirão um valor para o peso. O peso adotado será a
média aritmética dos valores atribuídos a um mesmo peso.
• Há diferença de importância tanto entre fatores quanto na opinião dos
especialistas. Nesse caso a priori são definidos pesos para a opinião de
cada especialista. Depois os especialistas atribuem os valores dos pesos
para cada um dos fatores. E o peso de cada fator será determinado
através da média ponderada através dos valores atribuídos pelos
especialistas e o peso de suas opiniões.
32
Com isso os dados são organizados, conforme a Quadro 2:
Quadro 2 - Quadro dos pesos associados aos seus respectivos fatores. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
Fatores Pesos
𝐹1 𝑃1
𝐹2 𝑃2
𝐹3 𝑃3
𝐹4 𝑃4
4.2.3. Determinação das seções
Uma vez tendo definido os fatores e seus respectivos pesos se faz necessário
dividir cada fator em subespaços para que fique mais fácil a análise por parte dos
especialistas na hora de determinar as constantes associadas para cada fator.
As seções são geralmente subdivididas em 3 regiões, mas as vezes são feitas
divisões em 5 regiões, será dado um exemplo de subdivisão em 3 regiões:
Sendo 𝐹𝑖 dividido em 3 regiões 𝑆𝑖,𝑗, (𝑆𝑖,1; 𝑆𝑖,2; 𝑆𝑖,3), onde i significa o fator a qual a
qual aquela seção se refere, e sendo 𝐿𝑘 os valores assumidos pelos fatores e que
servem como limitantes às regiões (𝑆𝑖,1; 𝑆𝑖,2; 𝑆𝑖,3). Onde 𝐿1 separa as regiões 𝑆𝑖,1 e 𝑆𝑖,2,
e 𝐿2 que separa as regiões 𝑆𝑖,2 e 𝑆𝑖,3. As regiões são determinadas matematicamente
da seguinte forma para os 𝐹𝑖 fatores:
• 𝑆𝑖,1 : para valores 𝐹𝑖 < 𝐿1
• 𝑆𝑖,2 : para valores 𝐿1 < 𝐹𝑖 < 𝐿3
• 𝑆𝑖,3 : para valores 𝐹𝑖 > 𝐿3
Tais divisões de cada fator devem ser realizadas com auxílio de um grupo de
especialistas. Não é necessário que todos os fatores tenham um mesmo número de
seções uma vez que isso não alterará a matriz final que expressará a realidade e com
isso não afetará no cálculo do baricentro.
Além disso, as seções devem ser divididas com o pensamento de classifica-las,
exemplo para três seções:
• Uma seção será classificada como favorável
• Uma seção será classificada como indiferente
33
• Uma seção será classificada como desfavorável
No caso de 5 seções seriam adicionadas mais 2 seções e suas classificações
seriam muito favorável e muito desfavorável.
Com isso os dados são organizados como apresentado na Quadro 3:
Quadro 3 - Seções associadas aos respectivos fatores com seus pesos. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
Fatores Pesos Seções
𝐹1 𝑃1
𝑆1,1
𝑆1,2
𝑆1,3
𝐹2 𝑃2
𝑆2,1
𝑆2,2
𝑆2,3
𝐹3 𝑃3
𝑆3,1
𝑆3,2
𝑆3,3
𝐹4 𝑃4
𝑆4,1
𝑆4,2
𝑆4,3
4.2.4. Construção a base de dados
Tendo definido o (peso) para o cálculo do baricentro e (fatores, seções) para a
definição do 𝑝 de 𝑝(𝑎,𝑏), resta agora definir (𝑎, 𝑏) que é a constante de anotação. Para
tal, a fim de facilitar na interpretação e finalização da tabela de dado será feita a seguinte
igualdade:
Cada constante de anotação (𝑎, 𝑏) associado a uma seção de um fator, será
representada na tabela da seguinte forma 𝑚𝑖,𝑗,𝑒. Representando o par (𝑎, 𝑏) do fator i,
da seção j, classificada pelo especialista e.
Tal classifição das seções de cada fator será dada por cada especialista, através
de entrevista. Tendo feito isso a Quadro 3 será completada e assumirá a forma da
Quadro 4.
34
Quadro 4 - Anotações m associada às Seções S e dadas por cada especialista E. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
Fatores Pesos Seções 𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝑬𝟑 𝑬𝟒
𝐹1 𝑃1
𝑆1,1 𝑚1,1,1 𝑚1,1,2 𝑚1,1,3 𝑚1,1,4
𝑆1,2 𝑚1,2,1 𝑚1,2,2 𝑚1,2,3 𝑚1,2,4
𝑆1,3 𝑚1,3,1 𝑚1,3,2 𝑚1,3,3 𝑚1,3,4
𝐹2 𝑃2
𝑆2,1 𝑚2,1,1 𝑚2,1,2 𝑚2,1,3 𝑚2,1,4
𝑆2,2 𝑚2,2,1 𝑚2,2,2 𝑚2,2,3 𝑚2,2,4
𝑆2,3 𝑚2,3,1 𝑚2,3,2 𝑚2,3,3 𝑚2,3,4
𝐹3 𝑃3
𝑆3,1 𝑚3,1,1 𝑚3,1,2 𝑚3,1,3 𝑚3,1,4
𝑆3,2 𝑚3,2,1 𝑚3,2,2 𝑚3,2,3 𝑚3,2,4
𝑆3,3 𝑚3,3,1 𝑚3,3,2 𝑚3,3,3 𝑚3,3,4
𝐹4 𝑃4
𝑆4,1 𝑚4,1,1 𝑚4,1,2 𝑚4,1,3 𝑚4,1,4
𝑆4,2 𝑚4,2,1 𝑚4,2,2 𝑚4,2,3 𝑚4,2,4
𝑆4,3 𝑚4,3,1 𝑚4,3,2 𝑚4,3,3 𝑚4,3,4
4.2.5. Pesquisa de campo
Uma vez tendo determinado todos valores dos fatores e seções com suas
respectivas constantes de anotação. Deve ser feita uma análise real do que se está
estudando, seguindo os passos:
i. Para cada fator será determinado em que seção se encontra
ii. Utilizando a tabela anterior como base são anotados os valores 𝑚𝑖,𝑗,𝑒
associada a seção na qual o fator se encontra
Com isso a tabela situação real terá a forma da Quadro 5:
Quadro 5 - Situação real tendo definido as Seções. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
Fatores Pesos Seções 𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝑬𝟑 𝑬𝟒
𝐹1 𝑃1 𝑆1,𝑗 𝑚1,𝑗,1 𝑚1,𝑗,2 𝑚1,𝑗,3 𝑚1,𝑗,4
𝐹2 𝑃2 𝑆2,𝑗 𝑚2,𝑗,1 𝑚2,𝑗,2 𝑚2,𝑗,3 𝑚2,𝑗,4
𝐹3 𝑃3 𝑆3,𝑗 𝑚3,𝑗,1 𝑚3,𝑗,2 𝑚3,𝑗,3 𝑚3,𝑗,4
𝐹4 𝑃4 𝑆4,𝑗 𝑚4,𝑗,1 𝑚4,𝑗,2 𝑚4,𝑗,3 𝑚4,𝑗,4
35
4.2.6. Cálculo das anotações resultantes
Uma vez tendo definido as situações reais do contexto de estudo, deve ser
determinado qual será o valor final associado aos (Fatores e Seções). Uma vez que será
utilizado para o cálculo do baricentro apenas 1 valor associado aos (Fatores e Seções).
Com isso será necessário trabalhar em cima dos valores destacados da Quadro
6.
Quadro 6 - Anotações que serão dados de entrada para aplicação dos operadores. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
Fatores Pesos Seções 𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝑬𝟑 𝑬𝟒
𝐹1 𝑃1 𝑆1,𝑗 𝑚1,𝑗,1 𝑚1,𝑗,2 𝑚1,𝑗,3 𝑚1,𝑗,4
𝐹2 𝑃2 𝑆2,𝑗 𝑚2,𝑗,1 𝑚2,𝑗,2 𝑚2,𝑗,3 𝑚2,𝑗,4
𝐹3 𝑃3 𝑆3,𝑗 𝑚3,𝑗,1 𝑚3,𝑗,2 𝑚3,𝑗,3 𝑚3,𝑗,4
𝐹4 𝑃4 𝑆4,𝑗 𝑚4,𝑗,1 𝑚4,𝑗,2 𝑚4,𝑗,3 𝑚4,𝑗,4
Para se determinar os valores é necessário fazer algumas observações. As
opiniões dos especialistas não são igualmente relevantes, uns terão uma relevância
maior que outros e igual a uns outros especialistas. Com isso pode vir a ser necessário
dividir os especialistas quanto a relevância de sua opinião.
Para trabalhar os valores serão utilizados os operadores lógicos (NOT, MÍN, MÁX,
OR, AND) só que neste capítulo será apontado em que situações utilizar cada um dos
operadores para resolver o presente problema. No final desta seção serão apresentados
alguns exemplos de fluxograma na aplicação dos operadores.
Apesar de serem diferentes os aplicadores (MÍN, AND) são aplicados quando dois
ou mais itens são todos determinantes sendo indispensável que todos apresentem
condições favoráveis para que se possa considerar o resultado da análise satisfatório.
Enquanto os aplicadores (MÁX, OR) são aplicados quando dois ou mais itens não
são todos determinantes todos determinantes bastando apenas que apenas um deles
tenha condição favorável para se considerar satisfatório.
Na Figura 17 se tem um exemplo de como as opiniões dos especialistas são
organizadas. Para que sejam definidos quais operadores aplicar, ao fim do roteiro o
resultado será uma única anotação para cada fator. Permitindo que seja calculado o
baricentro e tomado a decisão.
36
Figura 17 - Exemplo de aplicação dos operadores no MPD. Adaptado de CARVALHO (2006).
4.2.7. Determinação do Baricentro e a Tomada de decisão
Uma vez determinado todos os parâmetros necessários para o cálculo do
baricentro, será obtido a Quadro 7, onde (𝑎𝑖,𝑅; 𝑏𝑖,𝑅) significa o resultado da aplicação
dos operadores em relação ao fator i:
Quadro 7 - Resultado final tendo aplicado os operadores. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
Fatores Pesos Seções Anotação
𝐹1 𝑃1 𝑆1,𝑗 (𝑎1,𝑅; 𝑏1,𝑅)
𝐹2 𝑃2 𝑆2,𝑗 (𝑎2,𝑅; 𝑏2,𝑅)
𝐹3 𝑃3 𝑆3,𝑗 (𝑎3,𝑅; 𝑏3,𝑅)
𝐹4 𝑃4 𝑆4,𝑗 (𝑎4,𝑅; 𝑏4,𝑅)
Utilizando a coluna dos Pesos e das Anotações é possível calcular o Baricentro
(𝑎𝑤; 𝑏𝑤) da seguinte forma:
𝑎𝑤 = ∑ (𝑃𝑖)4
1 .(𝑎𝑖,𝑅)
∑ 𝑃𝑖41
𝑏𝑤 = ∑ (𝑃𝑖)4
1 .(𝑏𝑖,𝑅)
∑ 𝑃𝑖41
37
Tal resultado é observado na Figura 18, onde o baricentro está sendo
representado com seu valor H = a – b, o seguinte resultado:
Figura 18 - Representação gráfica do baricentro. Adaptado de CARVALHO (2006).
Uma vez tendo os valores de (𝑎𝑤; 𝑏𝑤), resta apenas calcular:
𝐻𝑤 = 𝑎𝑤 - 𝑏𝑤
Onde 𝐻𝑤 é o grau de certeza do baricentro calculado. Restando, agora, apenas a
comparação com o nível de exigência (NE) seguindo as regras já citadas:
i. 𝐻𝑤 ≥ NE: decisão favorável
ii. - NE < 𝐻𝑤 < NE: análise não conclusiva
iii. H ≤ - NE
38
Capítulo 5
Problema Inverso
5.1. Aspectos Gerais
Para falar sobre problema inverso será feita uma analogia: a média do rendimento
de um aluno é calculado a partir da média aritmética, ou seja, (A + B) / 2 = M. A partir
daqui, há duas formas de abordar essa modelagem:
• Direta: tendo A e B como informações de entrada e o M como saída. Qual
a minha média?
• Inversa: tendo M como informações de entrada e A e B como saída. Quais
tem que ser minhas notas para ser ter a média M?
É preciso salientar que essa separação entre direto e inverso não é algo trivial e
nem essencial.
“[...] não há razão matemática que justifique a distinção
entre problemas inversos e diretos. De fato, como observou J.
Keller [24], o conceito adequado é dizer que dois problemas são
inversos entre si se a formulação de cada um deles envolve
parte ou toda a solução do outro. Normalmente, o que surgiu
primeiro é chamado de problema direto, enquanto o outro é
chamado de problema inverso.” (Neto, Neto, 2005).
O que pode gerar uma dúvida em relação a relevância neste tipo de abordagem,
e uma ótima forma de exemplificar a aplicação dessa abordagem foi na descoberta do
planeta Netuno como explicado por Neil Degrasse Tyson no podcast Joe Rogan
Experience:
“[…] na Caltech, eles encontraram esses objetos no
Kuiper Belt de corpos geladosem que Plutão era um membro,
foi feita um controle do movimento e você diz: Ok, se eu
adicionar toda a gravidade que afeta eles, deveria fazer com que
eles se movessem dessa forma. Mas eles não fazem isso, eles
se movem em outra direção, de outra forma. Então ou as Leis
Newton aplicadas à gravidade estão falando nos confins do
39
Sistema Solar ou existe um objeto que sua gravidade de estar
de acordo com o movimento destes objetos. Então eles dizem:
Vamos assumir que Newton está certo, que objeto deve ser
colocado lá?, a que distância? E qual tamanho? para influenciar
no movimento desses objetos no Kuiper Belt para a forma que
observamos. […] Então, agora nós temos programas avançados
com modelagem de alta precisão, e eles dizem que deve haver
um planeta em algum lugar neste arco do céu, vamos procurar
por isto. Porque nós achamos que está afetando a órbita desses
outros objetos. E essa é uma forma completamente nobre de se
descobrir um planeta, foi assim que Netuno foi descoberto […]”
(ROGAN, 2017, 33:44).
Nesse trecho se percebe a aplicação da lógica do problema inverso onde o
objetivo foi encontrar qual o dado de entrada (distância e tamanho) para que se tenha o
resultado esperado.
Mas qual o benefício de se estudar/ aplicar a lógica do problema reverso na
Engenharia de Produção? As principais ferramentas matemáticas ensinadas são fruto
da Otimização ou Estatística. E essas ferramentas são ótimas para se utilizar do
passado para decidir o futuro.
Inclusive, o fato de usar dados estatísticos como base para tomada de decisão
acaba se tornando um entrave quando se estuda em Planejamento Estratégico ponto
de inflexão.
Isso permite que ao utilizar as ferramentas de gestão a pergunta: “O que precisa
ser feito para que o resultado seja melhorado?”. Posso ser feito, e não apenas isso, uma
vez algoritmizado permite que essa resposta possa ser otimizada.
Oferecendo aos Engenheiros de Produção, não apenas ferramentas relacionadas
ao passado mas, também, ferramentas que permitem planejamento e mudanças
relacionadas ao futuro.
5.2. Formalização
Problema inverso será abordado de uma forma mais formal, matematicamente
falando. Uma representação gráfica é vista na Figura 19:
40
Figura 19 - Representação do problema direto. Adaptado de BAUMEISTER, LEITÃO (2005).
Há os dados de entrada, os parâmetros da transformação que os dados de entrada
passarão, resultando nos dados de saída. Com isso se tem a primeira formalização
(artigo do impa – simpósio):
A(p).x = y
Sendo,
X = espaço dos dados de entrada
Y = espaço dos dados de saída
P = espaço do sistema de parâmetros
5.2.1. Classificação dos Problemas Inversos
A partir disso é possível formular 3 tipos de problemas:
i. Tendo (x ∈ X) e (p ∈ P), calcule y. Através da equação A(p).x = y
ii. Tendo (y ∈ Y) e (p ∈ P), calcule x ∈ X, para que exista a relação A(p).x = y
iii. Tendo (y ∈ Y) e (x ∈ X), calcule p ∈ P, para que exista a relação A(p).x = y
O problema (i) é chamado de problema direto em que dado os dados de entrada
e o sistema de parâmetros os dados de saída são calculados. Já os problemas (ii) e (iii)
são chamados de Problema Inverso. O problema Inverso se classifica em dois tipos:
• Problemas de reconstrução: dado o sistema de parâmetros e os dados de
saída, são encontrados os dados de entrada que produziriam os dados de
saída
41
• Problemas de identificação: dado os dados entradas e os dados de saída,
deve ser encontrado o sistema de parâmetro que relaciona um com o outro
Além disso há outras formas de se classificar um problema inverso quanto:
• Natureza matemática do método: Explícito, Implícito
• Natureza estatística do método: Determinista, Estocástico
• Natureza da propriedade estimada: condição inicial, condição de contorno,
termo de fonte, propriedades do sistema
• Natureza da Solução: estimação de parâmetros, estimação de função
Há também a classificação dada por (Neto, Neto, 2005) onde um problema inverso
pode ser classificado em três tipos:
I. Estimação de um número finito de parâmetros em um modelo de dimensão
finita
II. Estimação de um número finito de parâmetros em um modelo de dimensão
infinita
III. Estimação de um número infinito de parâmetros ou de uma função em um
modelo de dimensão infinita
Tais classificações podem ser resumidas na forma da Quadro 8.
Quadro 8 - Classificações do problema inverso. Adaptado de NETO, NETO, (2005).
Estimação de Quantidade
Finita Infinita
Dimensão do Modelo
Finita Tipo I Não se aplica
Infinita Tipo II Tipo III
5.2.3. Problema Bem–Posto
O conceito de problema bem-posto foi definido por Jacques Hadamard onde para
que seja bem posto, deve cumprir três condições:
I. Existência: o problema possui solução
II. Unicidade: o problema possui uma única solução
III. Estabilidade: a solução depende suavemente dos dados
42
É preciso reparar que Hadamard fez essa definição não para a resolução de
problemas inversos, mas sim para o estudo de equações diferenciais. Entretanto, devido
a sua utilidade foi expandido para outros tipos de problemas.
Em sua maioria os problemas inversos são mal postos:
Se há problemas diretos que não possuem solução é de se esperar que existam
problemas inversos que não tenham solução (não cumpre I).
Para discutir os problemas que não cumprem o quesito da unicidade (não cumpre
II), será utilizado um exemplo:
Dado o problema direto 2x + 4 = 0, x = 2, é possível obter o seguinte problema
inverso: ax + b = 0, sendo x = 2. Conclui-se que há infinitas soluções, uma vez que há
uma equação (a.2 + b = 0) para duas variáveis.
Por fim, quanto a estabilidade um ótimo exemplo de um problema que não cumpra
é a equação do segundo grau:
𝑎𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0
Onde para a = 1, 𝑥1 = 𝑥2 = 1. Adicionando um valor de 1% em a, se conclue que
as raízes serão complexas. O que faz com que não cumpra o quesito de estabilidade.
5.2.3. Classificação do Problema Inverso obtido pelo MPD
A partir do que foi apresentado se constata que, matematicamente falando, o MPD
é aplicado utilizando como dados de entrada a Quadro 9.
Quadro 9 - Dados de entrada do MPD.
Fatores Pesos Seções Anotação
𝐹1 𝑃1 𝑆1,𝑗 (𝑎1,𝑅; 𝑏1,𝑅)
𝐹2 𝑃2 𝑆2,𝑗 (𝑎2,𝑅; 𝑏2,𝑅)
𝐹3 𝑃3 𝑆3,𝑗 (𝑎3,𝑅; 𝑏3,𝑅)
𝐹4 𝑃4 𝑆4,𝑗 (𝑎4,𝑅; 𝑏4,𝑅)
Dado um conjunto de dados é calculado o baricentro utilizando as colunas (Pesos)
e (Anotação). Tentar inverter o MPD é procurar Anotações que gerem o baricentro
desejado.
Com isso, se constata que o problema inverso [A(p).x = y] é do tipo de
reconstrução, porque:
43
y é o baricentro; A(p) é o sistema de parâmetros (coluna pesos e parte
determinada da coluna anotação). O que se quer determinar são algumas anotações da
coluna anotação.
O problema inverso é explícito, uma vez que as fórmulas para o cálculo do
baricentro são invertíveis (utilizando matemática elementar – tal fato será provado no
próximo capítulo). E não há restrição em relação ao domínio uma vez que não é possível
ter somatório dos pesos serem iguais a zero, já que se 𝑃𝑖 = 0 o fator 𝐹𝑖 será
desconsiderado.
Além disso, o problema é determinístico uma vez que tanto x e y são restritos as
são anotações do tipo (a;b) onde a e b pertencem ao intervalo [0,1]. E esse problema
inverso possue condições de contorno uma vez que não se quer determinar toda a
coluna anotação que gera o baricentro conhecido. Mas, sim, determinar parte da coluna
anotação, a outra parte se comportorá como condição de contorno.
44
Capítulo 6
Aplicando o Problema Inverso no MPD
6.1. Restrições
É preciso notar que o Problema Inverso aplicado ao MPD será acompanhado de
algumas restrições. Primeiro, que o Problema Inverso será aplicado ao MPD no instante
em que já foi obtido a tabela com os dados necessários para se calcular o baricentro.
Ou seja, depois de terem sido aplicados os operadores (MÍN, MÁX, OR, AND).
Com isso os dados estarão no formato da Quadro 10:
Quadro 10 - Definição dos graus de liberdade. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
Fatores Pesos Seções Anotação
𝐹1 𝑃1 𝑆1,𝑗 (𝑎1,𝑅; 𝑏1,𝑅)
𝐹2 𝑃2 𝑆2,𝑗 (𝑎2,𝑅; 𝑏2,𝑅)
𝐹3 𝑃3 𝑆3,𝑗 (𝑎3,𝑅; 𝑏3,𝑅)
𝐹4 𝑃4 𝑆4,𝑗 (𝑎4,𝑅; 𝑏4,𝑅)
𝐹5 𝑃5 𝑆5,𝑗 (𝑎5,𝑅; 𝑏5,𝑅)
𝐹6 𝑃6 𝑆6,𝑗 (𝑎6,𝑅; 𝑏6,𝑅)
𝐹7 𝑃7 𝑆7,𝑗 (𝑎7,𝑅; 𝑏7,𝑅)
𝐹8 𝑃8 𝑆8,𝑗 (𝑎8,𝑅; 𝑏8,𝑅)
𝐹9 𝑃9 𝑆9,𝑗 (𝑎9,𝑅; 𝑏9,𝑅)
𝐹10 𝑃10 𝑆10,𝑗 (𝑎10,𝑅; 𝑏10,𝑅)
𝐹11 𝑃11 𝑆11,𝑗 (𝑎11,𝑅; 𝑏11,𝑅)
𝐹12 𝑃12 𝑆12,𝑗 (𝑎12,𝑅; 𝑏12,𝑅)
Os dados destacados em vermelho são os dados que se quer obter ao final da
resolução. Já os dados azuis são as condições de contorno, são condições conhecidas
e medidas. Os dados em vermelho representam os dados que se deseja otimizar a fim
de que regra de decisão venha a aceitar a hipótese.
45
A fim de que não fique muito complexo a análise foi adicionada a restrição de que
os dados que serão otimizados tem que ser menor que 40% do total de dados no cálculo
do baricentro:
I. 4
12 = 0,3 = 30%; como, 30% < 40%
II. 4
(4) + (8) = 0,3 = 30%; como, 30% < 40%
No (I) foi calculado utilizando o total de dados que se deseja obter, dividido pelo
total de dados. Enquanto no (II) substituiu o total de dados pela soma de dados que se
obter com o total de dados de contorno.
Como o problema inverso é aplicado depois da aplicação dos operadores lógicos,
as informações referentes à F (Fatores), P (Pesos) e S (Seções) são conhecidos. Dito
isso, as equações serão preparadas para a inversão.
𝑎𝑤 = ∑ (𝑃𝑖)𝑛
1 .(𝑎𝑖,𝑅)
∑ 𝑃𝑖𝑛1
𝑏𝑤 = ∑ (𝑃𝑖)𝑛
1 .(𝑏𝑖,𝑅)
∑ 𝑃𝑖𝑛1
Sabe-se que as equações acima são para o cálculo das coordenadas do
baricentro, reescrevendo-as com os valores da tabela:
(𝑎𝑤).( ∑ 𝑃𝑖121 ) = [∑ (𝑃𝑖)
81 . (𝑎𝑖,𝑅) + ∑ (𝑃𝑖)
129 . (𝑎𝑖,𝑅)]
∑ (𝑃𝑖)129 . (𝑎𝑖,𝑅) = (𝑎𝑤).( ∑ 𝑃𝑖
121 ) - ∑ (𝑃𝑖)8
1 . (𝑎𝑖,𝑅)
Fazendo o mesmo 𝑏𝑤:
(𝑏𝑤).( ∑ 𝑃𝑖121 ) = [∑ (𝑃𝑖)
81 . (𝑏𝑖,𝑅) + ∑ (𝑃𝑖)
129 . (𝑏𝑖,𝑅)]
∑ (𝑃𝑖)129 . (𝑏𝑖,𝑅) = (𝑏𝑤).( ∑ 𝑃𝑖
121 ) - ∑ (𝑃𝑖)8
1 . (𝑏𝑖,𝑅)
Uma vez tendo feito isso é necessário generalizar essa inversão sob a forma da
tabela Quadro 11.
46
Quadro 11 - Definição dos graus de liberdade para um caso geral. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011).
Fatores Pesos Seções Anotação
𝐹1 𝑃1 𝑆1,𝑗 (𝑎1,𝑅; 𝑏1,𝑅)
𝐹2 𝑃2 𝑆2,𝑗 (𝑎2,𝑅; 𝑏2,𝑅)
𝐹3 𝑃3 𝑆3,𝑗 (𝑎3,𝑅; 𝑏3,𝑅)
𝐹4 𝑃4 𝑆4,𝑗 (𝑎4,𝑅; 𝑏4,𝑅)
𝐹5 𝑃5 𝑆5,𝑗 (𝑎5,𝑅; 𝑏5,𝑅)
𝐹6 𝑃6 𝑆6,𝑗 (𝑎6,𝑅; 𝑏6,𝑅)
… … … …
𝐹𝑁 𝑃𝑁 𝑆𝑁,𝑗 (𝑎𝑁,𝑅; 𝑏𝑁,𝑅)
𝐹𝑁+1 𝑃𝑁+1 𝑆𝑁+1,𝑗 (𝑎𝑁+1,𝑅; 𝑏𝑁+1,𝑅)
𝐹𝑁+2 𝑃𝑁+2 𝑆𝑁+2,𝑗 (𝑎𝑁+2,𝑅; 𝑏𝑁+2,𝑅)
… … … …
𝐹𝑛 𝑃𝑛 𝑆𝑛,𝑗 (𝑎𝑛,𝑅; 𝑏𝑛,𝑅)
Com isso as fórmulas da inversão de 𝑎𝑤 e 𝑏𝑤:
∑ (𝑃𝑖)𝑛𝑁+1 . (𝑎𝑖,𝑅) = (𝑎𝑤).( ∑ 𝑃𝑖
𝑛1 ) - ∑ (𝑃𝑖)
𝑁1 . (𝑎𝑖,𝑅)
∑ (𝑃𝑖)𝑛𝑁+1 . (𝑏𝑖,𝑅) = (𝑏𝑤).( ∑ 𝑃𝑖
𝑛1 ) - ∑ (𝑃𝑖)
𝑁1 . (𝑏𝑖,𝑅)
Uma vez tendo generalizado o cálculo do baricentro isso responde a pergunta
dado um baricentro conhecido e algumas anotações conhecidas qual deve ser o valor
das anotações desconhecidas. Entretanto, o MPD tem como regra de decisão H ≥ NE
(onde Nível de Exigência é um valor conhecido).
Por consequência, a inversão do MPD passa por responder qual deve ser o valor
das anotações desconhecidas para que o valor de H = (𝑎𝑤 - 𝑏𝑤) ≥ NE. E resolver tais
problemas significa resolver um problema de Pesquisa Operacional utilizando o Simplex.
6.2. Modelando o problema para aplicação do Simplex
Função que se quer maximizar é:
H = 𝑎𝑤 - 𝑏𝑤
Para que MPD tome uma decisão favorável é necessário que H ≥ NE (constante
determinada a priori), logo se obtém a primeira restrição:
I. 𝑎𝑤 - 𝑏𝑤 ≥ NE
47
Agora serão definidas as constantes do problema:
𝑃𝑖, para qualquer i ∈ [1, n] é uma constante.
𝑎𝑖, 𝑏𝑖, para qualquer i ∈ [1, N] é uma constante.
NE é uma constante.
A segunda restrição e terceira se baseiam no fato de toda anotação está restrita
ao quadrado unitário.
A segunda restrição (na verdade é uma família de restrições por conta do índice i)
é:
II. 0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 1, para qualquer i ∈ [N + 1, n]
A terceira restrição (na verdade é uma família de restrições por conta do índice i)
é:
III. 0 ≤ 𝑏𝑖 ≤ 1, para qualquer i ∈ [N +1, n]
Com isso o problema simplex está formulado. No apêndice II estará explicado
melhor a solução simplex. Uma vez que quando há variável negativa na função objetivo
(H = 𝑎𝑤 - 𝑏𝑤), é necessária uma alteração nas restrições trocando ≤ por = e adicionar
uma variável de folga 𝑥𝑖, e quando for ≥ substituir por = e subtrair uma variável de folga
𝑥𝑖+1.
6.3. Solução do Simplex
No caso geral o Simplex possui 3 tipos de soluções:
• Uma única solução
• Infinitas soluções
• Não há soluçõa
Pelo fato do problema inverso aplicado no MPD ser mal-posto, critério da
unicidade não ser satisfeito, não há uma única solução. Restando, apenas, os dois
últimos casos.
Afirmar que “não há solução” é uma solução logicamente forte, e mais fácil de
trabalhar. Isso quer dizer que para aquelas condições de contorno não há valor que suas
variáveis possam assumir e que cumpra as restrições impostas. Do ponto de vista de
gestão tal solução força o gestor a analisar as condições de contorno o que pode
48
estimular a uma mudança de realidade. Uma vez que as condições de contorno foram
definidas como constantes justamente por serem mais difíceis de serem alteradas.
Já a afirmação de que “há infinitas soluções” encontra uma dessas soluções. Não
é o método mais refinado pois não entrega o melhor desses resultados. Entretanto,
funciona como parâmetro de norteamento para saber o quanto se precisa alterar em
relação ao seu valor inicial para que a decisão do MPD seja favorável.
49
Capítulo 7
Conclusão
7.1. Observações
A solução obtida permite que se expanda a análise do método paraconsistente de
decisão. Uma vez que a análise não irá parar na decisão de ser, ou não, favorável, mas
sim, que medidas poderão ser tomadas para que a decisão seja favorável.
Fazendo com que o MPD não seja, apenas, uma ferramenta pontual/ discreta mas
sim contínua. Já que há um fluxo fechado no instante que se há uma análise inversa do
MPD.
Além disso, na aplicação do MPD há um conhecimento prévio dos fatores, seções
dos fatores, especialistas, suas anotações, natureza do empreendimento e contexto em
que se aplica. Tal fato, permite que novas restrições sejam adicionadas ao simplex, onde
dão uma relação de proporcionalidade entre as anotações.
A análise do resultado da inversão do MPD permite que alguns raciocínios sejam
aplicadas. O fato de a inversão poder não ter um resultado é facilmente verificado, uma
vez que se quer H = a – b > NE. Basta assumir que as variáveis possuem anotação
(1;0), ou seja, H de cada anotação é máximo.
Se mesmo assim H < NE então quer dizer que é impossível daqueles sistema ser
resolvido. O que leva a um tipo de atitude: uma vez que a idéia da inversão, é ser
aplicada a uma análise que não tenha dado certo.
A primeira atitude a se tomar é aumentar o número de graus de liberdade (fazendo
com que o sistema tenha mais incógnitas), com isso há a possibilidade da contribuição
máxima das novas variáveis fazerem com H > NE. Garantindo que o sistema tenha ao
menos uma solução. É preciso salientar que em casos reais pode não ser possível
aumentar graus liberdade pois não são todas as variáveis ou parâmetros que afetam o
resultado são controlados pelo engenheiro.
Caso mesmo aumentando o número de graus liberdade para o limite máximo
(permitido pela realidade do contexto) a proposta seja recusada (H < NE) pode ser
50
afirmada que aquele contexto está fadado ao fracasso. Isso só pode ser dito pois a
rejeição da proposta é um resultado mais forte, logicamente falando.
Fazendo uma análise do resultado onde as anotações máximas são soluções,
busca-se agora qual os valores mínimos das variáveis que façam H > NE. É preciso
saber que como o problema é mal posto há (menos equações que variáveis) infinitas
soluções. Logo, o resultado servirá como um guia sobre possíveis mudanças para que
se cumpra o requisito H > NE. Entretanto, há a possibilidade de se ter uma solução
matemática e na esfera real aquele resultado não poder ser atingido. Um exemplo é não
ter como fazer alterações para que o empreendimento assuma os valores calculados.
Por fim, o estudo conclue que as três hipóteses apresentadas são verdadeiras.
i. É possível inverter o Método Paraconsistente de Decisão.
ii. A lógica do Problema Inverso traz uma abordagem nova e benéfica para
ferramentas de gestão, já estabelecidas.
iii. Esse novo algoritmo permitirá que se faça planejamento de forma
disruptiva do passado.
A hipótese i foi demonstradas e teve seus resultados analisados. Quanto a
hipótese ii: o Problema Inverso, aplicado ao MPD, permite que se analise um
empreendimento e consiga separar os empreendimentos, entre os que podem vir a ser
aceitos e os que em hipótese alguma conseguirão ser aceitos.
No instante que se faz uma análise de qual valor o meu contexto atual precisa
assumir para que a proposta seja aceita (H > NE). Esse contexto calculado e novo pode,
ao ser confrontado com o contexto atual, tão diferente que exiga mudanças disruptivas
para que o empreendimento (um exemplo) seja bem sucedido.
7.2. Estudos Futuros
Para estudos futuros é sugerido uma análise da literatura com o intuito de avaliar
se há um algoritmo melhor ou mais refinado para resolver o problema invertido. Além
disso, há também a possibilidade de se melhorar o algoritmo empregado adicionando
restrições obtidas de uma abordagem diferente do problema.
51
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53
Apêndice I
Cadeia de Suprimento aplicado ao Fluxo de
conhecimento
No estudo de logística há o conceito de cadeia de suprimento onde são avaliados
o fluxo de materiais e fluxo de informação como na Figura 20.
Figura 20 - Exemplo de fluxo de materias no estudo da logística de cadeia de suprimentos. Adaptado de FERNANDES, DUARTE, GONCALVES (2017).
A idéia consiste em fazer um paralelo do fluxo de matéria prima com o fluxo de
conhecimento (no estado da arte) das diferentes ciências. Organizando de uma maneira
lógica qual ciência afeta majoritariamente a outra, nos conhecimentos relacionados à
Engenharia de Produção em especial (Gerência da Produção).
Além disso, a última coluna são as áreas de conhecimento que mais interessam o
autor, na hora de decidir tema desta monografia. Então, a lógica de tal figura é: Um
conhecimento (do estado da arte) produzido em uma área irá afetar uma outra área do
conhecimento. E as interligações mais prováveis até chegarem na Engenharia de
Produção é esquematizadada de acordo com a figura Figura 21.
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Figura 21 - Fluxo de conhecimento aplicado nas áreas de interesse da Engenharia de Produção
Por fim, é adicionado um eixo do tempo para evidenciar que um conhecimento
produzido por uma área levará um intervalo de tempo até começar a ser estudado por
uma área adiante. E essas interações fazem com que quanto mais distante uma área
do conhecimento for afastada da outra, mais tempo esta área levará para começar a
estudar o conhecimento (do estado da arte) da outra.
Uma vez com essa representação, uma forma de se conseguir abordar temas que
estariam no estado da arte para Engenharia de Produção, seria estudar temas recentes/
inéditos de áreas afastadas da Engenharia de Produção que esteja no sentido contrário
do eixo do tempo. Ou seja, uma forma de abordar temas inéditos para a Engenharia de
Produção é estudar/ abordar temas recentes da lógica.
Isso porque há uma grande chance de não ter passado tempo suficiente desde o
estudo na Lógica, para alcançar a área da Engenharia de Produção. Logo, fazendo
comunicação direta com as diferentes áreas do conhecimento, facilita na descoberta e
abordagem de temas que estejam na fronteira da Engenharia de Produção.
