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Aplicação dos Números Complexos na Geometria Plana
Ana Isabel CunhaMestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e
no SecundárioDepartamento de Matemática
2019/2020
OrientadoraGabriela Chaves, Professora Auxiliar, Faculdade de Ciências da Universidade do
Porto
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Todas as correções determinadas
pelo júri, e só essas, foram efetuadas.
O Presidente do Júri,
Porto, ______/______/_________
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Resumo
O presente relatório de estágio tem como intuito, numa primeira parte, dar a conhecer a minha
evolução na prática letiva através de uma re�exão acerca de alguns momentos vivenciados ao
longo deste ano, que contribuíram para dar início à construção da minha identidade pro�ssional.
A segunda componente deste trabalho, de caráter didático, preconiza uma abordagem geométrica
aos números complexos. Dando seguimento a esta construção, serão provados alguns teoremas
de geometria plana fazendo uso da simplicidade de que se reveste a aritmética dos números
complexos, o que confere o título a este trabalho.
Palavras-chave:
Ensino, Aprendizagem, Matemática, Números Complexos, Geometria.
Abstract
At �rst, this internship report aims to show my evolution in teaching practice through a re�ection
on some moments experienced along this year, which contributed to start the construction of
my professional identity. The second part of this work, a chapter with didactic considerations,
includes a geometric approach to complex numbers. Proceeding from this construction, we
will prove some geometry theorems, making use of the simplicity of the arithmetic of complex
numbers, which gives the title to this work.
Keywords:
Teaching, Learning, Mathematics, Complex Numbers, Geometry.
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Conteúdo
Introdução 1
1 Análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da PES 2
2 Uma introdução geométrica aos números complexos 8
2.1 Uma reinterpretação dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 A unidade imaginária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 O conjunto dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Números complexos na forma algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Potências e raízes de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Números complexos na geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Alguns teoremas de geometria demonstrados usando números complexos 31
3.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Colinearidade e perpendicularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Conciclicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Triângulos semelhantes e triângulos equiláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Referências 50
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Introdução
O presente relatório de estágio encontra-se dividido em três secções.
Na primeira destas secções encontra-se a minha re�exão sobre as atividades desenvolvidas no
âmbito da PES e a sua repercussão na minha evolução na prática letiva.
A segunda secção constitui um texto de apoio sobre Números Complexos para alunos do 12º
ano. Neste texto, é realizada uma abordagem aos números complexos de cariz geométrico desde
início, contrastando com a introdução tradicional por via meramente algébrica, como a que se
encontra atualmente no Programa de Matemática A do 12º ano. Recorde-se a longa história de
aceitação dos números complexos, que foram digni�cados apenas quando interpretados geometri-
camente. Sendo os números reais representados por pontos numa reta � reta real � nesta secção,
fortemente inspirada pelo vídeo [5], começamos por procurar compreender geometricamente o
signi�cado das operações de adição e multiplicação entre estes números, espelhados sob a forma
de transformações na reta real. Seguindo esta linha de raciocínio, também os números complexos
surgirão como transformações geométricas, mas agora no plano � o plano complexo.
Tendo em conta a estreita relação entre transformações geométricas no plano e a aritmética
dos números complexos, na terceira e última secção deste trabalho, dá-se a conhecer ao leitor
a poderosa ferramenta que constituem estes números na resolução de alguns problemas de geo-
metria plana. Esta secção foi motivada por três obras de referência sobre este assunto, [1], [4] e
[11].
1
1 Análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da PES
No ano letivo 2019/2020 realizei o meu estágio na Escola Secundária, com 3º ciclo, Filipa
de Vilhena, sob a orientação da professora Cristina Cruchinho e com os meus colegas So�a
Ribeiro e Heitor Miranda. Muito além de uma experiência de ensino, este foi um ano de muita
aprendizagem, sobre a qual vou re�etir ao longo deste texto.
No início de setembro, a professora Cristina deu-nos a conhecer as turmas que teríamos �
9ºB, 12ºA e 12ºB � que eram suas pelo menos pelo terceiro ano consecutivo. Começamos desde
logo a plani�car o início do ano letivo, o que foi para mim muito estimulante, dado que ansiava
esta experiência há muito tempo.
Numa primeira fase, a nossa atividade em sala de aula centrava-se na intervenção pelos
lugares, que me permitiu uma primeira aproximação aos alunos, e na observação. Observava
com a máxima atenção a segura gestão de sala de aula da professora Cristina, mas sobretudo
observava os alunos e a forma como estes reagiam às suas intervenções, chamadas de atenção e
propostas de trabalho.
Apesar de termos estudado muita teoria sobre o ensino nas unidades curriculares de psicologia
e de didática e dos momentos enriquecedores de observação, apenas quando comecei a dar as
minhas aulas, em outubro, é que me apercebi da real complexidade do processo de ensino-
aprendizagem. Nas primeiras aulas, um dos maiores obstáculos que encontrei foi a gestão do
tempo, na medida em que foi difícil encontrar um ponto de equilíbrio entre respeitar o ritmo dos
alunos e cumprir os objetivos delineados para a aula. A gestão de sala de aula com cerca de
27 alunos é igualmente difícil, especialmente com os alunos mais novos, exigindo uma extrema
capacidade de atenção e de perceção de tudo o que se passa em cada momento. Recordo-me da
primeira aula que lecionei no 9º ano em que, a cinco minutos do �nal, fui esclarecer uma dúvida
a uma aluna sem me ter certi�cado de dar indicações claras à turma do trabalho a desenvolver
naquele momento, tendo esta negligência provocado alguma confusão na sala. Embora este erro
me tenha deixado muito aborrecida comigo mesma, foi importante para que a partir daí tivesse
sempre muita atenção na delegação das tarefas e na certi�cação de que os alunos se empenham na
sua realização. Compreendi também que a comunicação tem um papel fundamental e é bastante
mais difícil do que se possa pensar à partida. Exige ter sensibilidade para colocar questões que
orientem e desa�em o raciocínio de cada aluno, para encorajar e gerir as participações dos alunos,
processando-as e dando resposta em tempo real. Ao longo deste percurso, fui sempre exigente
comigo mesma no sentido de melhorar em todos estes domínios, o que considero ter sucedido,
servindo-me de várias estratégias para tal, entre elas a plani�cação.
Tendo em conta os objetivos delineados para cada aula, sempre procurei apresentar os conteú-
dos de uma forma estimulante, pois acredito que a assimilação das aprendizagens num primeiro
confronto está fortemente correlacionada com o signi�cado que lhes atribuem e as emoções que
lhes despertam. A título de exemplo, no 12º ano, aquando do estudo das propriedades algébri-
cas dos logaritmos, coloquei os alunos em contacto com as réguas logarítmicas, desa�ando-os
a descobrir as propriedades que estavam na base do funcionamento da régua para multiplicar
e dividir números facilmente. Além disso, procurava antever di�culdades que podiam surgir e
2
propor soluções para as combater, seja através de um exemplo ou contraexemplo para certo
argumento ou da colocação de determinado tipo de questões. Além disso, para muitas tarefas,
investigava também eu várias resoluções que poderiam surgir, permitindo-me estar mais apta
para perceber de forma e�caz os diversos raciocínios, caso estes surgissem, e assim intervir no
trabalho autónomo dos alunos de uma forma mais frutífera. Relativamente à comunicação em
momentos de grande grupo, ao longo do estágio, escrevi orientações detalhadas para a discussão
que tencionava promover em determinada aula que, apesar de não serem evidentemente seguidas
à risca, em muito me ajudavam a articular o que queria dizer e que linguagem utilizar. De facto,
um dos maiores desa�os que aqui encontrei foi precisamente na diferença entre explicar a 2 ou
3 alunos, que se resumia à experiência que eu tinha enquanto explicadora, e procurar chegar
e�cazmente a 27 alunos.
Entre a plani�cação e a concretização senti existir uma distância signi�cativa. Quando se
passa da teoria à prática, é necessário estar constantemente a observar e a avaliar em cada
momento para perceber o que está ou não a funcionar. Essencialmente, sinto que o sucesso
de uma aula e, portanto, da aprendizagem depende fortemente da sensatez e até coragem para
alterar os planos sempre que tal seja mais prudente. Esta adaptação às necessidades dos alunos
e a segurança para tomar estas decisões resultam da capacidade de ouvir e sentir os alunos,
pois só estando inteirada do trabalho que cada um está a desenvolver na sala de aula é que se
torna possível detetar as suas di�culdades, ajudá-los a pensar e saber se estão a acompanhar a
aula. Neste sentido, foram muitas as vezes que alterei a forma como ia abordar determinado
assunto e, inclusive, o que ia fazer numa certa aula de acordo com o feedback que tinha dos
alunos. Por exemplo, numa das aulas que lecionei sobre logaritmos, dois alunos, ainda que de
formas diferentes, aperceberam-se que ao aplicar as regras operatórias transformavam por vezes
equações noutras não equivalentes. Embora tivesse previsto abordar este assunto mais tarde, vi
ali a oportunidade perfeita para discuti-lo, uma vez que surgiu da necessidade dos alunos. Ao
nível do 9º ano, os planos de aula foram ainda mais adaptados, ora porque previa pouco tempo
para certa tarefa, ora devido à maior espontaneidade dos alunos, que levava a que facilmente
uma discussão se alongasse além do previsto e entrasse em campos que não tinha planeado.
Ao longo da prática, empenhei-me em construir um espaço de con�ança, onde todos pudessem
participar e questionar, esclarecendo todas as suas dúvidas e apontando sugestões, sendo ou
não as mais viáveis. Apesar das minhas inseguranças neste domínio no início do ano letivo,
acredito que de um modo geral consegui criar e desenvolver este ambiente construtivo de ensino-
aprendizagem, provavelmente facilitado pela relação de respeito e a cultura de sala de aula já
criada pela professora Cristina nos anos anteriores. No entanto, perante alunos tão diferentes,
entre si e de mim, seria uma autêntica ilusão se acreditasse ter chegado a todos. Apesar dos
esforços no sentido de construir uma relação interpessoal de qualidade com todos os alunos,
sinto que não consegui alcançar este objetivo com alguns, poucos felizmente. Apesar de me
sentir insatisfeita quanto a este facto, tenho consciência de que não é possível nem plausível que
consiga conectar-me com todos os alunos da mesma forma, pela diversidade que nos é inerente.
A heterogeneidade de conhecimentos e de atitudes dos alunos levou-me cada vez mais a
pensar sobre como é que os alunos aprendem, como é que apreendem e desenvolvem os conceitos
3
e como os articulam com os que já conhecem. Esta integração dos conceitos, muito própria
de cada aluno, vi re�etida numa diversidade enorme de estratégias e de processos de resolução,
por vezes muito criativos. Recordo-me de uma aula, no capítulo da combinatória, na qual duas
alunas para contar o número de números naturais múltiplos de 5 entre dois dados números
mobilizaram os seus conhecimentos sobre progressões aritméticas. Tal levou-me a pensar que as
alunas em questão apreenderam com signi�cado as progressões aritméticas no 11º ano e, embora
estivéssemos a lecionar combinatória, não tinham sentido a necessidade de recorrer ao que tinham
aprendido de novo. Essa necessidade foi sentida pelas alunas somente numa alínea posterior, em
que as condições impostas sobre os números levavam a que a contagem por essa via fosse bastante
complicada senão impossível.
Esta diversidade de alunos que temos na sala de aula levou-me também a aperceber da
importância de alternar entre diferentes modos de trabalho � trabalho individual, em grupos, em
grupo-turma � e propor vários tipos de tarefas � exercícios, problemas, tarefas de exploração �
com diferentes graus de di�culdade, para atingir o maior número de alunos possível.
Com efeito, é preciso equacionar o desenvolvimento dos conhecimentos e das capacidades de
todos, sem descurar dos mais fracos, mas também sem deixar de motivar os melhores, equilíbrio
que por vezes é difícil atingir e me deixa hesitante em certos momentos. Um deles prendeu-se
com a primeira aula de números complexos que lecionei na qual implementei, ainda que de uma
forma bastante ligeira, a sua introdução numa abordagem semelhante à que tinha idealizado na
parte didática do relatório de estágio. Aquela construção, notei ter sido entusiasmante apenas
para cerca de um quinto dos alunos, estando os restantes apenas a assistir.
Claro que esta hesitação, embora permanente, se torna mais fácil de gerir quanto melhor
conhecer os alunos. Através da observação do trabalho de aula, da comunicação direta com
os alunos e da correção dos seus trabalhos escritos, fui-me apercebendo das suas di�culdades e
potencialidades, que me permitiram tomar decisões com mais con�ança, nomeadamente sobre o
que pode e deve ser aprofundado, quando formalizar determinado conceito, quando deixar um
aluno lutar com uma certa di�culdade. Algo de que tenho consciência é que não posso esperar
que todos cheguem ao mesmo sítio e ao mesmo tempo. A aprendizagem resulta de um processo
que exige tempo e espaço, mais para alguns alunos que para outros, não sendo razoável pensar
que todos os alunos atinjam o mesmo nível de compreensão face aos vários conteúdos. Tendo isto
em mente, por exemplo, aquando do feedback oral e escrito que dei aos alunos, destaquei certos
pormenores no caso de alguns alunos e não de outros. No caso daqueles que sei terem bastantes
di�culdades, não me faz sentido apontar para todos os erros cometidos, mas focar num que seja
estruturante daquela questão, para que o aluno possa corrigi-lo. Realizada essa aprendizagem
e numa perspetiva de evolução, momentos futuros serão mais oportunos para chamar a atenção
para as restantes incorreções.
Todavia nem toda a experiência deste ano letivo foi passada na escola, que todos tínhamos
como tão certa e inquestionável. No dia 13 de março, as escolas de todo o país foram encerradas
devido à situação de pandemia e a Escola Secundária Filipa de Vilhena não foi exceção. A
preocupação com os alunos levou a que agilizássemos o início do ensino à distância, que veio a
começar no dia 17. Todos nós fomos surpreendidos pela capacidade de adaptação e de resiliência
4
dos alunos face a esta nova realidade e até pela nossa própria versatilidade.
Por um lado, não era exequível nem desejável uma replicação do trabalho presencial num
contexto de ensino à distância. Por outro lado, acreditamos que não podia ser um trabalho
totalmente afastado do habitual, pois tal constituiria mais uma novidade para os alunos, o que
foi por eles con�rmado num questionário sobre o ensino à distância que lhes propusemos. Assim,
promovendo a autonomia, continuamos a utilizar com frequência a metodologia de trabalho de
grupo, havendo lugar também para momentos de discussão coletiva e síntese de ideias, ainda que
mais curtos e incisivos, sob pena de perdermos a atenção dos alunos.
Ainda assim, foram imensas as situações adversas que necessitamos de gerir, quer ao nível de
problemas técnicos � relacionados com o microfone e a ligação fraca à internet � quer ao nível do
feedback dos alunos � a di�culdade em perceber se estão a acompanhar foi acrescida pelo facto
de não os vermos, além dos longos momentos de silêncio que por vezes se instauram quando ques-
tionados, em certas ocasiões causando mesmo alguma incerteza quanto à sua presença na aula.
Estes obstáculos levaram a que o ritmo e a intensidade das aulas neste regime fossem diminuídos
e, na minha opinião, nem sempre com benefícios. As exposições mais pausadas e marcadas pelo
constante esforço para estimular a participação dos alunos acabaram, frequentemente, por não
ter o efeito pretendido, tornando o momento mais cansativo e aborrecido para quem estava a
acompanhar a aula.
Tendo isto em conta, assisti e participei no contacto permanente da professora Cristina com
os alunos que sentíamos estar afastados das atividades. Sendo este registo muito pouco familiar
e seguro para nós, a avaliação tinha então um papel de regulação ainda mais importante. Esta
mudança radical na forma de ensinar mostrou a necessidade e a pertinência de avaliar e classi�car
indo muito além dos testes e questões-aula, embora esta não fosse uma novidade para nós nesta
fase do ano letivo, visto que a monitorização do trabalho de aula e das atitudes eram linhas
orientadoras na avaliação dos alunos desde o início do ano.
Com o intuito de monitorizar as aprendizagens, foram vários os momentos em que lançamos
tarefas a ser entregues pela plataforma que utilizávamos, o Teams. Contudo, o feedback por
esta via era muito mais difícil. Por exemplo, durante as minhas aulas de lugares geométricos
lecionadas no 9º ano dei feedback numa tarefa e, após ter conversado sobre o assunto em sala de
aula sem apresentar a solução do problema, dei oportunidade aos alunos para melhorarem o seu
trabalho. Infelizmente, apenas parte conseguiu melhorar a sua resolução, percebendo e corrigindo
os seus erros. Num tema como a geometria, o questionamento oral e a própria presença física fez
muita falta, o que me levou a contactar alguns alunos em tempo extra-aula, com consequências
positivas ao nível das suas aprendizagens neste tópico.
Durante o período de ensino à distância, sempre tivemos consciência de que não estávamos a
conseguir chegar a todos os alunos pelos mais variados motivos e o �nal do ano foi esclarecedor
quanto a esta situação. No 12º ano, quando regressamos às aulas presenciais, a 18 de maio, um
aluno confessou não ter aprendido nada à distância, apesar de ter estado presente. No que diz
respeito ao 9º ano, no �nal de maio já sentia um certo cansaço e saturação por parte dos alunos,
o que acho natural tendo em conta as condições em que estão há tantos meses.
Por todas estas especi�cidades de que tenho vindo a falar, considero que as aulas à distância
5
foram muito mais exigentes. No entanto, há sempre aspetos positivos a retirar deste contexto
negativo. Considero que o ensino neste formato permitiu um acompanhamento mais individua-
lizado e �exível, tendo em conta que vários alunos me contactaram fora dos horários das aulas
para esclarecer dúvidas e pelo feedback individual que dei em várias tarefas. A autonomia e
a responsabilidade dos alunos adquiriram centralidade e o ensino com e através da tecnologia
tornou-se mais real. A título de exemplo, na minha primeira aula de lugares geométricos os
alunos resolveram uma tarefa em pequenos grupos, partilhando o ecrã e construindo em con-
junto um �cheiro GeoGebra. Nas aulas seguintes, alguns alunos recorreram a este programa
para resolver alguns exercícios, reforçando a sua utilidade na construção e validação de certos
raciocínios geométricos.
O estágio foi essencialmente um tempo de partilha de opiniões e re�exões muito construtivas.
Além da re�exão pessoal que fui fazendo no decorrer do estágio, fundamental para aperfeiçoar
a minha prática, foram constantes os momentos de discussão coletiva com o núcleo de estágio e
com a professora Cristina. Extravasando o tempo destinado às reuniões da PES, eram imensos
os momentos em que nos reuníamos para re�etir sobre as aprendizagens que estavam ou não a
ser realizadas, sobre quem estava e não estava a acompanhar, além de procurarmos estratégias
para implementar nas aulas seguintes de acordo com essas observações.
Os próprios planos de aula de cada um eram preparados com antecedência para que pudésse-
mos discuti-los e propor sugestões de melhoria a nível pedagógico e metodológico. Da professora
Cristina senti sempre uma enorme liberdade para pôr em prática aquilo que planeava, deixando-
me apenas algumas ressalvas, sempre muito úteis, devido à sua longa experiência. Também a
professora Gabriela sempre se mostrou disponível para ler e comentar os nossos planos de aula,
fazendo observações muito pertinentes sobre algo que já tínhamos pensado durante tanto tempo.
A colaboração da So�a e do Heitor foi também, para mim, muito importante pois, cada um com
o seu estilo próprio, contribuíram com comentários e perspetivas que me permitiam melhorar
determinados aspetos nas minhas aulas. Sinto que a nossa paixão pelo ensino da matemática
nos uniu num ambiente extremamente colaborativo, que nos fez crescer juntos pessoal e pro�s-
sionalmente.
Em paralelo com a atividade letiva propriamente dita, envolvi-me nos restantes papéis de um
professor, em particular na participação nos conselhos de turma e em algumas reuniões de grupo
de recrutamento, que me mostraram a importância e a necessidade da tomada de decisões em
equipa, embora tal seja um processo exigente no qual as lideranças assumem um papel crucial.
Saliento também que tive algum contacto com os encarregados de educação e com a direção
de turma. Em particular, na reunião de entrega das informações intercalares do 1º período do
12ºA conversei com os encarregados de educação presentes. Esta reunião repercutiu-se num
maior empenho dos alunos desta turma, o que me faz crer que a comunicação entre todos os
intervenientes na sua educação é fundamental, apesar de nem sempre fácil.
Ao longo do ano foi também muito importante para mim a integração na escola e na comu-
nidade escolar, concretizada nos almoços na sala dos professores e na visita de estudo a Lisboa
com o 12º ano, que permitiu o convívio e a partilha de opiniões com alguns professores de vá-
rias áreas. Numa outra visita, organizada por API, acompanhei com a So�a Ribeiro o 12ºA a
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uma aula sobre �Aplicações da Matemática � Robótica� promovida pelo ISEP, tendo os alunos
programado e simulado um percurso de um robot, colocando em prática os seus conhecimentos
sobre velocidade, distância e rotações, além da programação. Ainda assim, alguns projetos não
foram concretizados devido ao encerramento das escolas a 13 de março, como é o caso de uma
atividade sobre geometria esférica que tencionávamos realizar com alguns alunos do 9ºano.
Teria muito mais a dizer sobre esta experiência, que considero ter sido um privilégio e pela
qual estou muito grata a todas as pessoas que nela participaram e que contribuíram para a sua
riqueza, como a So�a, o Heitor, a professora Cristina, a professora Gabriela e os próprios alunos.
Em suma, este foi um ano de muitos desa�os e de muito trabalho, mas também de conquistas.
A minha evolução, conquistada numa serenidade e con�ança muito maior que aquela que tinha
no início do ano letivo, é o progresso do qual tenho mais orgulho. Apesar disso, sinto que esta
evolução �cou pela metade. A interrupção das aulas presenciais a 13 de março veio, de certa
forma, quebrar esse progresso, embora a experiência de ensino à distância nos tenha capacitado
de novas ferramentas e competências que acredito que serão muito úteis no futuro.
Esta experiência impulsionou o início da construção da minha identidade como professora,
mas sinto que tenho ainda muito a aprender, a explorar e a experimentar. De facto, são ainda
muitas as incertezas que tenho face às metodologias e estratégias mais adequadas, pelo que a
minha atual identidade pro�ssional é ainda muito volúvel.
O futuro parece-me incerto, sobretudo devido aos tempos que vivemos, mas acredito que com
coragem e perseverança poderei fazer o que mais me preenche � ensinar e aprender.
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2 Uma introdução geométrica aos números complexos
A criação do conjunto dos números reais deu-se ao longo de séculos, atendendo às necessidades
da sociedade. Os números naturais foram criados para contar, os números racionais positivos
surgiram pela exigência das medições, tendo os números negativos surgido, mais tarde, para
expressar dívidas ou prejuízos.
Ainda os números negativos, e muito menos os irracionais, não tinham adquirido �dignidade
numérica� quando, em meados do século XVI, alguns matemáticos se defrontaram com a ne-
cessidade de considerar raízes quadradas de números negativos. Surgiu assim a necessidade de
extender o conjunto dos números reais, criando um conjunto onde estes números coexistissem �
o conjunto dos números complexos.
Neste texto, iremos construir este conjunto, partindo de uma compreensão visual e geométrica dos
números reais. Embora os números complexos tenham surgido de uma outra forma na história,
seria igualmente natural a sua construção deste modo, como verás.
2.1 Uma reinterpretação dos números reais
Tarefa 0 - Desvendar os números reais
Resolve as seguintes equações em R:
1. 5 + x = −2 2. x2 − 4 = 0 3. x2 + 1 = 0
Comecemos por dar um signi�cado geométrico às soluções das equações acima.
Consideremos uma reta real como a que se encontra abaixo. Como sabes, a reta real é uma
representação dos números reais tal que a cada ponto da reta corresponde um único número real
e, reciprocamente, a cada número real é associado um e um só ponto da reta.
Soma de números reais
Tendo em conta a associação entre os números reais e os pontos na reta real, vamos interpretar
os números reais de um modo geométrico.
Por exemplo, a adição com o número real 1 = 0+1 traduz-se na reta numérica pelo deslocamento
de 1 unidade para a direita. Analogamente, a soma com o número real 3 pode ser identi�cado
com a translação de 3 unidades para a direita. E se o número for negativo? Naturalmente,
representa um deslocamento para a esquerda. Por exemplo, a adição com o número −2 está
associada a um deslocamento na reta real de 2 unidades para a esquerda.
Seguindo esta linha de raciocínio, do ponto de vista aditivo, cada número real pode ser associado
à respetiva translação.
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Mais concretamente, cada número real x será identi�cado com a translação de |x| �unidades�(para a direita se x > 0 ou para a esquerda se x < 0), que representaremos por Tx.
De acordo com esta interpretação, que signi�cado geométrico fará sentido dar à soma de números
reais, por exemplo, 1 + 3?
Repara que o ponto de abcissa x da reta reta real é a imagem da origem, ponto de abcissa 0, por
Tx. Assim, o ponto de abcissa 1 + 3 = 0 + 1 + 3 é a imagem da origem pela aplicação sucessiva
das translações T1 e T3. Por outras palavras, 1 + 3 passará a ser identi�cado com T1 ◦ T3.
Direcionemos a nossa atenção para a primeira equação que resolveste: 5 + x = −2 .
Podemos interpretar o número real 5 = 0+5 como a translação de 5 unidades para a direita, T5,
e −2 como a translação de 2 unidades para a esquerda, T−2.
Portanto, o objetivo é encontrar uma translação Tx tal que T5 ◦ Tx = T−2. A translação que se
procura terá de corresponder ao deslocamento de 7 unidades para a esquerda, o que na nossa
notação é T−7.
Mais geralmente, a soma de dois números reais x e y pode, desta forma, ser identi�cada com
a composta das translações Tx (deslocamento de |x| unidades para a direita se x > 0 ou para a
esquerda se x < 0) e Ty (deslocamento de |y| unidades para a direita se y > 0 ou para a esquerda
se y < 0) , ou seja,
x+ y ↔ Tx ◦ Ty
Multiplicação de números reais
Acabamos de identi�car o número 5 com T5, motivados pelo facto de o ponto de abcissa 5 ser a
imagem do ponto de abcissa 0 pela translação de 5 unidades para a direita, o que é traduzido
algebricamente por 0 + 5. Mas podemos exprimir o número 5 com recurso a outras operações
conhecidas. Por exemplo, podemos a�rmar também que 5 = 1 × 5. Perante esta a�rmação,
parece-nos inevitável questionar que transformação geométrica pode, de alguma forma, ilustrar
este produto.
Repara que uma forma de nos deslocarmos na reta real de 1
para 5 é através da homotetia com centro na origem e
razão 5, aplicada a 1. Assim, podemos identi�car o número
5 com esta transformação geométrica, que representaremos por
H5.
9
Nota: Apesar de estarmos interessados em aplicar a homotetia de centro na origem e razão 5 a
um ponto da reta real, representaremos esta homotetia no plano para facilitar a sua visualização.
Procederemos do mesmo modo daqui em diante.
De um modo geral, como x = 1× x, o número real positivo x pode ser identi�cado, seguindo
esta linha de raciocínio, com a homotetia de centro na origem e razão x, uma vez que o
ponto de abcissa x é a imagem do ponto de abcissa 1 por esta homotetia. E se x for negativo?
Comecemos por ver a transformação geométrica que deverá estar associada a −1, do ponto de
vista da multiplicação. Ora, −1 é a imagem de 1 por uma rotação de meia volta em torno da
origem.
Representando por g uma rotação de um ângulo giro (uma volta completa), representaremos a
rotação de meia volta em torno da origem por R 12g.
Assim, estando a multiplicação por −1 associada à R 12g, a multiplicação por um número real
negativo −b = b × (−1), b > 0 deverá ser entendida, do ponto de vista geométrico, como a
aplicação de uma homotetia de razão b em torno da origem composta com uma rotação de meia
volta igualmente com centro da origem: Hb ◦R 12g.
A equação x2 − 4 = 0 ou equivalentemente 1×x×x = 4 traduz-se por procurar uma transforma-
ção x que aplicada duas vezes sucessivas a 1 o envie em 4. Uma das soluções é, na interpretação
que temos vindo a desenvolver, H2, associada ao número real 2. Outra solução é a composta
de H2 com R 12g, por sua vez associada ao número real 2 × (−1) = −2. Ambas as soluções se
encontram ilustradas de seguida.
Deste modo, passaremos a identi�car a multiplicação de dois números reais x e y com a
composta das transformações associadas a x e a y do ponto de vista multiplicativo, isto é,
x× y ↔ H|x| ◦Rα ◦H|y| ◦Rβ
onde α, β ∈{0, 12g
}dependendo do sinal de x e de y.
Relembra que, do ponto de vista da multiplicação, o número real x está associado à composta
da homotetia de razão |x| com a rotação de ângulo nulo (R0) ou meia volta(R 1
2g
), conforme x
seja positivo ou negativo, respetivamente. De modo análogo se identi�ca o número real y.
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2.2 A unidade imaginária
Voltemos à equação 3 da tarefa inicial: x2 + 1 = 0.
Pretendemos encontrar x de forma que 1 × x × x = −1. Seguindo a linha de pensamento das
secções anteriores, procuramos um número que se traduza numa transformação que aplicada
duas vezes sucessivas ao ponto de abcissa 1 o envie no ponto de abcissa −1.
Claro que x não pode ser um número real, pelo que do ponto de vista multiplicativo, a trans-
formação que procuramos não se trata de uma homotetia de razão positiva composta com uma
rotação (de ângulo nulo ou meia volta). Se não nos restringirmos à reta real, será que encontra-
mos uma transformação que, composta com ela mesma, envie o ponto de abcissa 1 no ponto de
abcissa −1?
Consideremos então um plano e, nesse plano, uma reta cujos pontos se identi�cam com os
números reais � reta real. Já vimos que uma transformação que envia 1 em −1 é a R 12g . Tendo
em conta esta interpretação, uma transformação que cumpre os requisitos é a rotação de um
quarto de volta (no sentido positivo) em torno da origem, que denotaremos por R 14g+ .
Tal como na interpretação que �zemos dos números reais, a esta transformação deverá estar
associado um ponto � a imagem do ponto de abcissa 1 pela transformação. Portanto, a R 14g+ e,
assim, a solução desta equação deverá estar associada ao ponto de coordenadas (0, 1).
Uma vez que o número representado por esta transformação não é um número real, vamos
designá-lo por unidade imaginária e denotá-lo pela letra i . O número i fará parte do conjunto
dos números complexos, que representaremos por C e que virá a ser de�nido com rigor mais
adiante.
Considerando a interpretação geométrica que �zemos dos números reais e o aparecimento do
número i enquanto a rotação de um quarto de volta (no sentido positivo) em torno da origem,
e admitindo que existe, efetivamente, um conjunto bem de�nido onde coexistem estes números,
vamos explorar que outros números o deverão integrar e como se darão as operações entre eles.
Algebricamente, sendo i solução da equação x2+1 = 0, temos que i2 = −1. Por outras palavras,i é uma raiz quadrada de −1. Existirá mais alguma solução desta equação?
Repara que a rotação de um quarto de volta no sentido negativo em torno da origem, R 14g− ,
também se apresenta como candidata legítima a solução da equação. De modo análogo, a imagem
de 1 pela R 14g− é o ponto de coordenadas (0,−1). E a que número fará sentido então associar
esta transformação?
11
Tendo em conta que R 14g−(1) = R 1
2g ◦ R 1
4g+(1) e estando
R 12g e R 1
4g+ associadas aos números −1 e i, R 1
4g− deverá
estar associada ao número −1× i = −i.
Notas:
1. No texto, 1 refere-se ao ponto da reta real de abcissa 1, isto é, o ponto de coordenadas
(1, 0). Expressar-nos-emos de modo análogo no caso dos restantes números reais.
2. As rotações e homotetias consideradas são sempre em torno da origem, pelo que passaremos
a omitir o centro da rotação e homotetia.
A equação x2 = −1 tem duas soluções � a rotação de um quarto de volta no sentido positivo,
R1/4 g+ , e a rotação de um quarto de volta no sentido negativo, R1/4 g− .
No sentido contrário do percurso que �zemos para os números reais, associamos agora a cada
uma destas transformações um número e um ponto do plano:
� A R 14g+ associamos o número i e o ponto de coordenadas (0, 1)
� A R 14g− associamos o número −i e o ponto de coordenadas (0,−1)
Exercícios:
1. De modo análogo ao que foi feito no texto, explora geometricamente a equação x2+9 = 0.
De acordo com a linha de raciocínio que temos vindo a desenvolver, que número/s deverá/ão
estar associado/s à/s solução/ões desta equação?
2. Associamos a multiplicação pelo número complexo i com R1/4 g+ . Seguindo a mesma linha
de raciocínio:
(a) Quais as transformações geométricas que deverão estar associadas à multiplicação por
i2, i3, i4, i5, i6 e i7?
(b) Estabelece uma regra para obter o valor de qualquer potência de i.
(c) Qual é a imagem de 1 por cada uma dessas transformações?
3. Calcula e interpreta geometricamente:
(a) 1× i45 (b) −1× i2046 (c) 3× i2347
12
2.3 O conjunto dos números complexos
O conjunto dos números complexos surge como uma extensão dos números reais onde equações
como x2 = −1 passam a ter solução.
Recorda que, no início deste texto, interpretamos cada número real sob dois pontos de vista,
aditivo e multiplicativo, traduzidos por uma translação e pela composta de uma homotetia com
uma rotação (de ângulo nulo ou meia volta), respetivamente. Vimos ainda que a representação de
tal número real na reta numérica é a imagem da origem pela translação referida e, em simultâneo,
é a imagem de 1 pela composta da homotetia com a rotação.
À semelhança da interpretação que �zemos dos números reais, vamos construir os números com-
plexos através de translações e compostas de homotetias com rotações do plano. Tal como
em R, também em C existirá uma correspondência entre cada translação do plano e uma certa
homotetia composta com uma rotação. Ao ponto do plano associado às transformações referidas,
e deste modo associado a um dado número complexo z, chamaremos a�xo de z.
Claro que, sendo C uma extensão de R, teremos o cuidado de de�nir as operações + e × no
conjunto dos números complexos de forma que, quando se trata de números reais, essas operações
se reduzam às operações habituais.
Propõe-se de seguida uma tarefa com o objetivo de explorar aquela que será a de�nição de
número complexo assim como as operações de adição e multiplicação em C.
Nota: Daqui em diante, vamos considerar um referencial ortonormado em que o eixo das abcissas
é a reta real.
Tarefa 1 - Rumo aos complexos
Na �gura, está representado, num referencial o.n. um
quadrado [ABCD].
Sabe-se que BC = 3√2 e que o ponto U tem coordenadas
(1, 0).
1. Determina as coordenadas dos vértices do quadrado [ABCD].
2. Completa a tabela com transformações geométricas � entre translações, rotações e homo-
tetias de razão positiva � que te pareçam adequadas e com os números complexos que
representam.
Transf. geométrica 1 Transf. geométrica 2 Número complexo associado
A = (O) A = (U) zA =
B = (O) B = (U) zB =
C = (O) C = (U) zC =
D = (O) D = (U) zD =
13
3. Tal como podemos adicionar e multiplicar números reais, temos também interesse em per-
ceber o que será a soma e produto de números complexos. Relembra como interpretamos,
no início do capítulo, a adição e a multiplicação de números reais.
(a) O que poderão ser as somas zA + zB, zA + zC , zA + zD, zB + zC , zB + zD e
zC + zD? Que transformação geométrica deverá estar associada a cada uma dessas
somas?
(b) O que poderão ser os produtos zA × zB, zA × zC , zA × zD, zB × zC , zB × zDe zC × zD? Que transformação geométrica deverá estar associada a cada um desses
produtos?
Como te apercebeste na tarefa 1, o ponto B de coordenadas (0, 3) é, por um lado, a imagem
de O pela translação segundo o vetor de coordenadas (0, 3) e, por outro lado, a imagem de U
pela composta de uma homotetia de razão 3 com uma rotação de um quarto de volta no
sentido positivo. Assim, estas duas transformações devem estar associadas ao número complexo
zB, que pode ser escrito como 3× i = 3i.
A visualização de cada número complexo sob estes dois pontos de vista motiva a de�nição das
operações de adição e multiplicação neste novo conjunto, como veremos de seguida.
Conjunto dos números complexos
Os números complexos são representados por dois tipos de transformações do plano, em corres-
pondência biunívoca � uma translação e a composta de uma homotetia de razão positiva com
uma rotação, ambas com centro na origem.
O ponto P , que é a imagem de O(0) pela translação e, em simultâneo, é a imagem de U(1) pela
composta da homotetia com a rotação referidas, é o a�xo do número complexo zP .
Nota: Ao plano onde representamos os a�xos dos números complexos chamamos plano com-
plexo.
Veremos de seguida as operações de adição e multiplicação de números complexos, generalizando
a interpretação geométrica que �zemos dos números reais.
Adição de números complexos
Consideremos dois pontos do plano P e Q e sejam zP e zQ os nú-
meros complexos dos quais são a�xos.
Como P é imagem de O pela translação segundo o vetor−−→OP e Q é
a imagem de O pela translação segundo o vetor−−→OQ, o número com-
plexo zP + zQ será identi�cado pela composta das duas translações
referidas.
Para simpli�car a escrita, TP denotará a translação segundo o vetor−−→OP e TQ a translação
segundo o vetor−−→OQ.
14
Assim, sendo P eQ os a�xos dos números complexos zP e zQ, respetivamente, zP+zQ corresponde
a TP ◦ TQ.
Multiplicação de números complexos
Consideremos novamente P um ponto do plano e zP o número complexo do qual P é a�xo.
Nos vários casos que se seguem, representaremos por P ′ a imagem de P pela transformação
geométrica associada à multiplicação de zP por um dado número complexo.
1. Multiplicação por um número real positivo
Seja a um número real positivo e seja A o a�xo de a. A multiplicação
de zP por a corresponderá a aplicar ao ponto P uma homotetia de
razão a.
2. Multiplicação por um número real negativo
Seja b um número real negativo e sejaB o a�xo de b. A multiplicação
de zP por b = (−b)× (−1) corresponderá a aplicar ao ponto P uma
homotetia de razão −b > 0 composta com uma rotação de meia
volta.
3. Multiplicação por ki, k ∈ R+
Seja I o a�xo do número complexo ki, k > 0. A multiplicação de
zP por k × i corresponderá a aplicar a P a homotetia de razão k
composta com a rotação de um quarto de volta no sentido positivo.
4. Multiplicação por um número complexo qualquer
Veremos agora a multiplicação por zQ, sendo este um número complexo qualquer.
Ora, Q é o transformado do ponto U = (1, 0) pela homotetia de razão ||−−→OQ|| composta com
a rotação segundo um ângulo generalizado de lado origem o semieixo real positivo e de lado
extremidade a semirreta OQ, que representaremos por (Ox, OQ).
Portanto, multiplicar zP por zQ corresponderá a aplicar esta transformação ao ponto P .
Mas, por sua vez, P resulta da aplicação a U da homotetia de razão ||−−→OP || composta com a
rotação em torno da origem segundo um ângulo (Ox, OP ).
15
Assim, o produto zP × zQ é de�nido pela composta da homotetia e rotação que diz respeito ao
ponto P com a homotetia e rotação que diz respeito ao ponto Q, que iremos representar por:
HP ◦RP ◦HQ ◦RQ
Nota que a composta de duas translações é uma translação. Também a composta de uma
homotetia composta com uma rotação com uma outra homotetia composta com uma outra
rotação (sempre com centro na origem) é ainda uma homotetia composta com uma rotação (de
centro na origem). Ou seja, a soma de dois números complexos é um número complexo e o
produto de dois números complexos é um número complexo.
Nas �guras abaixo exempli�ca-se o produto zP × zQ dos números complexos zP e zQ, associados
respetivamente aos pontos P (−0.5, 1) e Q(1, 0.6).
Para cada número complexo zP de a�xo P chamaremos:
� módulo de zP à razão da homotetia HP , isto é, à norma do vetor−−→OP
� argumento de zP (não nulo) à medida da amplitude, em radianos, de qualquer ângulo
generalizado (Ox, OP ).
Nota: O módulo de um número complexo z representa-se por |z| e arg(z) representa um seu
argumento.
Observações:
1. Se P coincidir com O, não �ca de�nido nenhum ângulo (Ox, OP ), pelo que não se de�ne
argumento do número complexo z = 0.
2. Se α é um argumento de z, α+2kπ é também um argumento de z, qualquer que seja k ∈ Z.
Tendo sido de�nidas as operações nos números complexos de forma a que, quando restritas aos
números reais, se reduzissem às operações habituais, é também natural questionarmo-nos se as
propriedades das operações de adição e multiplicação nos reais se veri�cam nos complexos.
Desde o ensino básico, sabes que 0 é o elemento neutro da adição em R, uma vez que qualquer
que seja x um número real x + 0 = 0 + x = x. De modo análogo, 1 é o elemento neutro da
multiplicação em R, pois x× 1 = 1× x = x.
Procuramos agora, se existir, o elemento neutro para as duas operações que de�nimos em C.Repara que o elemento neutro, visto como uma transformação do plano, envia cada ponto em
si mesmo. Chamamos a uma tal transformação de identidade e representamo-la por id. Assim,
16
resta-nos perceber o que é a identidade do ponto de vista aditivo e multiplicativo, mantendo em
mente que qualquer transformação composta com a identidade é essa mesma transformação.
No caso da adição, a identidade é a translação segundo o vetor nulo, T0, uma vez que, para
qualquer translação Tx tem-se que Tx ◦ T0 = Tx. Ou seja, o número complexo 0 é o elemento
neutro da adição.
No que diz respeito ao elemento neutro para a multiplicação, as únicas homotetia e rotação
que, quando compostas, originam uma transformação que envia cada ponto do plano no próprio
ponto são a homotetia de razão 1 e a rotação de ângulo nulo. Ou seja, o número complexo 1,
representado por H1 ◦R0, é o elemento neutro da multiplicação.
Repara que os elementos neutros para a adição e multiplicação em C são os mesmos que em R,como se pretendia.
Também propriedades como a comutatividade e a associatividade da adição e multiplicação
de números complexos se veri�cam, uma vez a composição de translações e a composição de
homotetias com rotações, ambas com centro na origem, gozam das propriedades comutativa e
associativa.
A tarefa seguinte pretende ilustrar estas duas propriedades em alguns casos particulares.
Tarefa 2 - As propriedades mantêm-se?
Identi�camos 9i com a transformação H9 ◦R 14g+ , por exemplo ao efetuar o produto de 3 por 3i.
Vamos veri�car se obtemos o mesmo resultado quando efetuamos, por exemplo, i+8i e 4.5× 2i,
para começarmos a explorar algumas propriedades destas operações.
Completa a tabela seguinte:
Números Transformação geométrica associada a Número complexo traduzido
complexos esse número do ponto de vista da + ou × pela transformação geométrica
3× 3i H3 ◦H3 ◦R 14g+ = H9 ◦R 1
4g+ 9i
i+ 8i
8i+ i
3i+ 3i+ 3i
3i× 3
4.5× 2i
Observação: Como sabes, a composição de funções é as-
sociativa. Uma vez que as transformações são funções, a
composição de transformações é associativa.
No entanto, nota que nem todos os pares de transforma-
ções do plano comutam, como é o caso de homotetias e
rotações com centros distintos. Podes observar um exem-
plo deste facto na �gura ao lado.
17
A propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição é também válida em C e será
ilustrada mais tarde.
Nas próximas subsecções, vamos encontrar algumas formas de escrever os números complexos,
tendo por base a forma como os apresentamos � através de uma correspondência biunívoca entre
translações, compostas de homotetias com rotações e pontos do plano � e tendo em conta as
operações de adição e multiplicação que de�nimos.
2.4 Números complexos na forma algébrica
Ao longo do texto, já contactaste com números da forma a e bi, a, b ∈ R. Estes números dizem-se
escritos na forma algébrica. Porém, como podes constatar facilmente, ao conjunto dos números
complexos não pertencem apenas esses dois tipos de números.
Tendo em conta a associação de cada número complexo com uma translação do plano, veremos
de seguida aquilo a que chamaremos forma algébrica de um número complexo.
Tarefa 3 - Dos pontos aos números
Na �gura está representado, num referencial o.n., o para-
lelogramo [OABC]. Sabe-se que os pontos A e C têm co-
ordenadas(52 , 2)e(−3
2 , 1), respetivamente. Sejam zA, zB
e zC os números complexos que têm os pontos A,B e C
como a�xos, respetivamente.
1. Determina as coordenadas do ponto B.
2. Sejam u e v dois vetores tais que Tu é uma translação horizontal do plano e Tv é uma
translação vertical do plano, de tal modo que o número complexo zB, do ponto de vista
aditivo, esteja associado a Tu ◦ Tv.
(a) Indica as coordenadas dos vetores u e v.
(b) Quais são os números complexos associados a Tu e Tv? Conclui sobre qual deve ser o
número complexo associado a zB.
3. Repete o exercício anterior para os números complexos zA e zC , interpretando geometrica-
mente a soma dos dois números complexos zA e zC .
Mais geralmente, considere-se P um ponto do plano de coor-
denadas (a, b). P é a imagem da origem (O) pela translação
segundo o vetor de coordenadas (a, b). Ora, esta translação é a
composta da translação segundo o vetor (a, 0) com a translação
segundo o vetor (0, b). A T(a,0) associamos o número real a e a
T(0,b) associamos o número complexo bi.
Tendo sido de�nida a soma de dois números complexos como a composta das translações que
os representam, a translação segundo o vetor (a, b) deverá estar associada ao número complexo
18
a+ bi. Por outras palavras, o ponto P (a, b) é o a�xo do número complexo a+ bi.
Seja P (a, b) um ponto do plano. O número complexo associado à translação segundo o vetor−−→OP
representa-se, na forma algébrica, por a+ bi.
De�nição: Dado um número complexo z = a+ bi com a, b ∈ R:
� a a dá-se o nome de parte real de z e representa-se por Re(z)
� a b dá-se o nome de parte imaginária de z e representa-se por Im(z)
Exemplo: Considerem-se P (2, 1) e Q(−3,√2), a�xos dos números complexos zP = 2 + i e zQ =
−3 +√2i, respetivamente.
A parte real de zP é 2 e a parte imaginária é 1. No que diz respeito a zQ, pode escrever-se
Re(zQ) = −3 e Im(zQ) =√2.
Nota: No plano complexo, ao eixo das abcissas (reta real) dá-se o nome de eixo real e ao eixo
das ordenadas chamamos eixo imaginário.
Repara que, no plano complexo, os a�xos dos números reais encontram-se no eixo das abcissas
� eixo real � sendo representados por pontos da forma (a, 0), a ∈ R. Por outras palavras, os
números reais são números complexos com parte imaginária igual a 0.
De modo análogo, aos números complexos que são representados por pontos que se encontram
sobre o eixo das ordenadas � eixo imaginário � chamamos números imaginários puros. Estes
números são representados por pontos da forma (0, b), b ∈ R \ {0}. Dito de outro modo, são os
números complexos não reais cuja parte real é 0. Ou seja, são números do tipo bi, b ∈ R \ {0}.
Soma de números complexos na forma algébrica
Sejam z e w dois números complexos na forma algébrica. Consideremos que z = a+bi e w = c+di
para certos a, b, c, d ∈ R. Como se representará na forma algébrica o número complexo z + w?
Usando as propriedades comutativa e associativa da adição tem-se
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
Do ponto de vista geométrico, note-se que z está associado a T(a,b)e w identi�ca-se com T(c,d).
Logo, a z + w corresponderá a composta das translações
T(a,b) ◦ T(c,d) = T(a+c,0) ◦ T(0,b+d)
Ou seja, (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i.
Tal como nos números reais, pode de�nir-se o simétrico de um número complexo.
19
De�nição: Dado um número complexo z designa-se por simétrico de z o número complexo
que adicionado com z é 0 e representa-se por −z.
Suponhamos que z = a+ bi com a, b ∈ R, isto é, z está associado a
T(a,b). A translação que composta com esta é a translação segundo
o vetor nulo (a que se associa o número 0) é a translação segundo o
vetor (−a,−b). Por outras palavras, o simétrico de a+ bi é −a− bi.
Note-se também que o a�xo de −z pode obter-se a partir do a�xo
de z por uma rotação de meia volta em torno da origem.
A expressão da multiplicação de números complexos ver-se-á com pormenor na próxima secção,
onde vamos procurar escrever estes números de uma outra forma.
2.5 Números complexos na forma trigonométrica
Anteriormente vimos como escrever um número complexo na forma algébrica, tendo em consi-
deração que cada ponto do plano é imagem da origem por uma translação. Veremos de seguida
uma outra forma de escrever os números complexos � forma trigonométrica � vendo cada ponto
do plano como a imagem de 1 pela composta de uma homotetia com uma rotação.
Tarefa 4 - Outra forma de escrever os números
Na �gura, está representado, num referencial o.n. um
hexágono regular [ABCDEF ] com centro em O.
Sabe-se que U tem coordenadas (1, 0) e OA = 3.
1. Considerando P um vértice do hexágono, completa cada linha da tabela com a norma do
vetor ||−−→OP ||, a amplitude de um ângulo orientado (Ox, OP ) e a transformação geométrica
que envia U no ponto P � entre homotetias de razão positiva, rotações e compostas das
anteriores.
P ||−−→OP || (Ox, OP ) Transformação geométrica tal que P é imagem de U
A
B 3 π3 Composta da homotetia de razão 3 com a rotação de ângulo π
3
C
D
E
F
2. Sejam zA e zB os números complexos dos quais os pontos A e B são a�xos. Qual é a
transformação geométrica associada a zA × zB?
3. Sejam zB e zD os números complexos dos quais os pontos B e D são a�xos. Qual é a
transformação geométrica associada a zB × zD?
20
Como recordaste na tarefa, P é a imagem de U = (1, 0) pela com-
posta da homotetia de razão ||−−→OP || com a rotação segundo um ân-
gulo (Ox, OP ).
Seja z o número complexo correspondente a P . Relembra que à
norma do vetor−−→OP chamamos módulo de z (e representamo-lo por
|z|) e a medida da amplitude de um ângulo generalizado (Ox, OP ),
digamos α, em radianos, é um dos argumentos de z.
De�nição: Seja z um número complexo não nulo de módulo |z| e argumento α. Nesse caso,
escreve-se z = |z| cis(α) e diz-se que z está escrito na forma trigonométrica.
Exemplo: Na �gura acima, P é imagem de U pela homotetia de razão 2 composta com a rotação
de ângulo 7π6 . Portanto, o número complexo do qual P é a�xo, zP , pode escrever-se na forma
trigonométrica como 2 cis(7π6 ).
Relembra que, sendo 7π6 um argumento de zP , 7π
6 + 2kπ, k ∈ Z é também um argumento de zP .
Por exemplo, 2 cis(19π6 ) e 2 cis(−5π6 ) são também modos de escrever zP na forma trigonométrica.
Nota: A habitual grelha quadriculada é útil na visualização geométrica de um número complexo
na forma algébrica. Por sua vez, nota que uma grelha como a acima representada, chamada
grelha polar, é bastante vantajosa para visualizar números complexos na forma trigonométrica.
Tendo em conta que já sabes escrever os números complexos na forma algébrica e na forma
trigonométrica, é essencial agora perceber a ligação entre estas duas formas de escrita do mesmo
número. A tarefa seguinte propõe a passagem da escrita de um número complexo na forma
algébrica para a sua escrita na forma trigonométrica.
Tarefa 5 - Da forma algébrica à forma trigonométrica
Considera os números complexos z1, z2 e z3 escritos na forma algébrica
z1 = 2 + 2i, z2 =√3− i e z3 = −
1
2−√3
2i
1. Representa, no plano complexo, os pontos P1, P2 e P3, a�xos dos números complexos z1, z2e z3, respetivamente.
2. Para cada um dos números complexos, determina o seu módulo e um seu argumento.
3. Escreve cada um dos números complexos na forma trigonométrica.
4. Seja z = a+ bi, a, b ∈ R \ {0}. Sejam |z| o módulo de z e α um argumento de z. Completa:
|z| = cos(α) = sin(α) = tan(α) =
5. Como se representam na forma trigonométrica os números reais e os números imaginários
puros?
21
Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica
Sejam z1 = |z1| cis(α1) e z2 = |z2| cis(α2) números complexos e sejam P1 e P2 os seus a�xos.
Quando de�nimos as operações nos números complexos, a�rmamos que a multiplicação de z1por z2 se traduz na composta das transformações associadas a cada um destes números do ponto
de vista multiplicativo: a homotetia de razão |z1| composta com a rotação em torno da origem
de um ângulo de amplitude α1, por sua vez composta com a homotetia de razão |z2| composta
com a rotação segundo um ângulo de amplitude α2. Portanto, o produto z1 × z2 é identi�cado
por HP1 ◦RP1 ◦HP2 ◦RP2 .
Como a composição destas transformações é comutativa
e associativa, a transformação acima é, na verdade, igual
a (HP1 ◦HP2) ◦ (RP1 ◦RP2). Além disso, a composta
das homotetias de razões |z1| e |z2| é uma homotetia de
razão |z1| · |z2| e a composta das rotações de amplitude α1
e α2 é uma rotação de amplitude α1+α2. Isto traduz-se em
z1 × z2 = |z1| · |z2| cis(α1 + α2)
Iremos de seguida ver como proceder à passagem para a forma algébrica de um número escrito
na forma trigonométrica.
Tarefa 6 - Da forma trigonométrica à forma algébrica
Sejam z1, z2 e z3 os números complexos
z1 = cis(π3
), z2 = 3 cis
(5π
6
)e z3 = 2 cis
(−π4
)1. Representa geometricamente P1, P2 e P3, a�xos dos números complexos z1, z2 e z3.
2. Determina as coordenadas dos pontos P1, P2 e P3.
3. Completa:
z1 = + i = 1( + i)
z2 = + i = 3( + i)
z3 = + i = 2( + i)
Como vimos na tarefa anterior,
cis(α) = cos(α) + i sin(α)
o que dá sentido à notação utilizada cis e, de um modo geral, para um número complexo qualquer
22
z com módulo |z| e argumento α
|z| · cis(α) = |z| [cos(α) + i · sin(α)] = |z| cos(α) + i · |z| sin(α)
Vejamos com mais pormenor a multiplicação de z1 = |z1|cis(α1) por z2 = |z2|cis(α2):
z1 × z2 = |z1| · |z2| cis(α1 + α2) = |z1| · |z2| [cos(α1 + α2) + i sin(α1 + α2)]
= |z1| · |z2| [(cos(α1) cos(α2)− sin(α1) sin(α2)) + i(sin(α1) cos(α2) + cos(α1) sin(α2))]
= [|z1| · |z2| cos(α1) cos(α2)− |z1| · |z2| sin(α1) sin(α2)] +
+ i [|z1| · |z2| cos(α1) sin(α2) + |z1| · |z2| sin(α1) cos(α2)]
Suponhamos que z1 = a + bi e z2 = c + di, escritos na
forma algébrica. Sabemos que a = |z1| cos(α1), b =
|z1| sin(α1), c = |z2| cos(α2) e d = |z2| sin(α2),
pelo que a igualdade acima reescreve-se como
z1 × z2 = (a+ bi)× (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
Repara que este é o resultado que obtemos quando usamos a propriedade distributiva para
multiplicar a+ bi por c+ di e tendo em conta que i2 = −1:
(a+ bi)× (c+ di) = ac+ i · ad+ i · bc+ i2 · bd = ac+ i(ad+ bc)− bd = (ac− bd) + (ad+ bc)i
Na �gura seguinte pretende-se ilustrar geometricamente a multiplicação de dois números com-
plexos, na forma trigonométrica e na forma algébrica, vendo a consistência das nossas de�nições.
Além disso, é ilustrada a distributividade da multiplicação relativamente à adição num caso
particular.
23
De�nição: Seja z = |z| cis(α). Designa-se por conjugado de
z o número complexo |z| cis(−α) e representa-se por z.
Nota que os a�xos de dois números complexos conjugados são
simétricos em relação ao eixo real.
Exercício: Seja w o número complexo escrito na forma algébrica como 1 + i.
1. Escreve w e w na forma trigonométrica.
2. Determina w na forma algébrica.
3. Qual é o conjugado de z = a+ bi para quaisquer a, b ∈ R?
4. Considera z = a+ bi, com a, b ∈ R. Determina zz. O que concluis?
Vamos de seguida explorar como poderá ser expresso o inverso de um número complexo não nulo
tendo em conta as operações que de�nimos em C.
Tarefa 7 - Inverso de um número complexo
Considera H e R as seguintes transformações no plano:
H : homotetia de razão 3, com centro na origem
R : rotação em torno da origem com amplitudeπ6
Recorda que a identidade no plano (id) é a aplicação que a cada ponto P do plano faz corres-
ponder o próprio ponto P .
1. Encontra transformações H ′ e R′ tais que H ◦H ′ = id e R ◦R′ = id.
2. Considera os números complexos z e z′ associados às transformações H ◦ R e H ′ ◦ R′,respetivamente.
(a) Determina a transformação R ◦H ◦R′ ◦H ′.
(b) Escreve z e z′ na forma trigonométrica.
(c) Determina z × z′.
De facto, o conceito de inverso de um número, para uma certa operação, não é uma ideia nova.
Desde o ensino básico, tens vindo a trabalhar com o inverso de um número real para a adição e
para a multiplicação.
No caso da adição nos números reais (e complexos), dado um número x sabes que −x é o número
que adicionado a x faz obter o resultado 0 � elemento neutro da adição. A soma x + (−x)traduz-se, geometricamente, por Tx ◦ T−x que sabemos ser a translação segundo o vetor nulo,
que é a identidade no plano. Como deves reparar, o inverso para a operação de adição � inverso
aditivo � é o que geralmente chamamos simétrico.
24
No caso da multiplicação de números reais, de�nimos inverso de um número x (não nulo) como
o número que multiplicado por x dá 1 - elemento neutro da multiplicação. Por exemplo, o
inverso multiplicativo de 3 é 13 pois 3× 1
3 = 1. Geometricamente, este produto traduz-se por
H3 ◦H 13= H1, que é a transformação identidade.
Analogamente, dado um número complexo z (não nulo), o seu inverso, z′, será tal que a multi-
plicação de z por z′ seja representada pela identidade, que se identi�ca com H1 ◦R0.
Seja z = |z| cis(α), com |z| > 0 e α ∈ R. Do ponto de
vista multiplicativo, o número complexo z está associado
a H|z| ◦Rα.O número complexo z′ deverá então estar associado a uma
homotetia de razão 1|z| composta com uma rotação de am-
plitude −α (a menos de um múltiplo de 2π), pois esta é a
única forma de obter a identidade com as transformações
�permitidas� para a multiplicação (homotetias e rotações
com centro na origem).
H|z| ◦Rα ◦H 1|z|◦R−α = H1 ◦R0 = id
Assim, podemos a�rmar que o inverso de z, z′, é único, z × z′ = 1 e z′ = 1|z|cis(−α)
De�nição: Seja z um número complexo não nulo. Designa-se por inverso de z (e representa-se
por 1z ) o único número complexo z′ tal que z × z′ = 1.
Vejamos agora como determinar, na forma algébrica, o inverso de um número complexo z.
Vamos admitir que z se escreve na forma algébrica e na forma trigonométrica como a + bi e
|z| cis(α), respetivamente.
Como |z| =√a2 + b2, a = |z| cos(α) e b = |z| sin(α)
1
z=
1
|z|cis(−α) = 1
|z|[cos(−α) + i sin(−α)] = 1
|z|[cos(α)− i sin(α)]
=1
|z|
[a
|z|− i b|z|
]=
1
|z|2[a− bi] = 1
|z|2z =
1
zzz
Na prática, repara que, para obtermos o inverso de z na forma algébrica, multiplicamos e divi-
dimos pelo seu conjugado, z.
Exemplos: Seja z = 2 cis(5π6
). O inverso de z é 1
z = 12 cis
(−5π
6
).
Seja w = 3 + i. O inverso de w é
1
w=
1
3 + i=
3− i(3 + i)(3− i)
=3− i
32 + 12=
3− i10
=3
10− 1
10i
25
Divisão de números complexos
Tal como sabemos adicionar, subtrair (adicionar o simétrico) e multiplicar números complexos,
vamos agora ver como dividir dois números complexos, de forma consistente com o que já foi
visto.
De�nição: Dados dois números complexos z1 e z2, z2 não nulo, designa-se por quociente de z1por z2 qualquer número complexo que multiplicado por z2 é igual a z1.
Chamemos q a um desses números. Por de�nição, z2 × q = z1. Ora, como z2 admite inverso
tem-se
z2 × q = z1 ⇔1
z2(z2 × q) =
1
z2× z1 ⇔
(1
z2× z2
)q = z1 ×
1
z2⇔ 1× q = z1 ×
1
z2⇔ q = z1 ×
1
z2
Por outras palavras, o quociente de z1 por z2,z1z2, existe e é único, sendo igual a z1 × 1
z2.
Assim, sendo z1 = |z1| cis(α1) e z2 = |z2| cis(α2) (|z2| > 0)
temos
z1z2
= z11
z2= |z1| cis(α1)
1
|z2|cis(−α2) =
|z1||z2|
cis(α1 − α2)
Exemplo: Consideremos z1 = 4 cis(π6
)e z2 = 3 cis
(5π6
). Então
z1z2
=4
3cis
(π
6− 5π
6
)=
3
4cis
(−2π
3
)
Exercício: Calcula, na forma algébrica, 3−2i1+i .
Igualdade de números complexos na forma trigonométrica
Cada número complexo z pode ser escrito de uma única forma na forma algébrica. Sendo (a, b)
as coordenadas do a�xo de z, z = a+ bi. Portanto, a+ bi = c+ di⇔ a = c ∧ b = d.
No entanto, na forma trigonométrica, um mesmo número complexo pode ser escrito de uma
in�nidade de maneiras diferentes. Vimos que se α é um argumento de z então α+ 2kπ sendo k
um número inteiro é também um argumento de z. Reciprocamente, quaisquer dois argumentos
de um mesmo número complexo diferem de um múltiplo inteiro de 2π. Assim,
|z1| cis(α1) = |z2| cis(α2)⇔
|z1| = |z2|∃k ∈ Z : α1 = α2 + 2kπ
26
2.6 Potências e raízes de um número complexo
Na secção anterior vimos que a multiplicação de dois números complexos se faz de forma bastante
rápida e intuitiva quando estes números estão escritos na forma trigonométrica. De seguida, ve-
remos como usar esta vantagem para calcular potências de expoente natural de qualquer número
complexo.Tarefa 8 - Potências de números complexos
Considera z = 1.1 cis(π6
)e w = 0.9 cis
(π4
).
1. Calcula, na forma trigonométrica, z2, z3, ..., z7 e representa no plano complexo os a�xos
destes números.
2. Repete a alínea anterior para o número complexo w.
3. Elabora uma conjetura acerca da n-ésima potência do número complexo z.
Da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica sabemos que o módulo do
produto de dois números complexos é o produto dos módulos e o argumento do produto de
dois números complexos é a soma dos argumentos. Pelo método de indução pode provar-se que,
efetuando o produto z × z × ...× z︸ ︷︷ ︸n fatores
= zn tem-se o seguinte resultado:
Fórmula de De Moivre: Seja z = |z| cis(α) um número complexo e n ∈ N,
zn = |z|n cis(nα)
A �gura seguinte ilustra a potenciação de um número complexo de módulo inferior a 1 e de
um número complexo de módulo superior a 1. Repara que unindo com segmentos as sucessivas
potências de um mesmo número complexo, estas parecem dispor-se sobre espirais.
Raízes de um número complexo
Recorda que o nosso estudo dos números complexos teve início na tentativa de resolver a equação
z2 = −1. Vimos que esta equação tem duas soluções no conjunto dos números complexos: i e
−i. Estes números são chamados raízes quadradas de −1.
Vamos, de seguida, resolver em C a equação z4 + 3 = 0 , isto é, procurar a(s), caso existam,
raízes índice 4 de −3.
27
Pretendemos encontrar z tal que z4 = −3. Escrevendo os números z e−3 na forma trigonométrica
temos z = |z| cis(α) e −3 = 3 cis(π), pelo que a equação se reescreve como:
z4 = −3⇔ (|z| cis(α))4 = 3 cis(π)⇔ |z|4 cis(4α) = 3 cis(π)
⇔ |z|4 = 3 ∧ 4α = π + 2kπ, k ∈ Z⇔ |z| = 4√3 ∧ α =
π
4+kπ
2, k ∈ Z
Vejamos quais são as soluções da equação, atribuindo a k valores inteiros:
Para k = 0, vem z0 =4√3 cis(π4 ).
Para k = 1, vem z1 =4√3 cis(3π4 ).
Para k = 2, vem z2 =4√3 cis(5π4 ).
Para k = 3, vem z3 =4√3 cis(7π4 ).
Para k = 4, vem z4 =4√3 cis(9π4 ) = z0.
Para k = 5, vem z5 =4√3 cis(11π4 ) = z1.
e assim sucessivamente.
Repara que se k ≥ 4, as soluções zk repetem-se, como é evidenciado pela sua representação
geométrica que se encontra na �gura abaixo. Logo, o número −3 tem quatro raízes índice 4:
4√3 cis
(π4
),
4√3 cis
(3π
4
),
4√3 cis
(5π
4
)e
4√3 cis
(7π
4
)
Representando geometricamente as quatro raízes índice 4 de −3percebemos que estas são os vértices de um quadrado, situados
sobre a circunferência de centro na origem e raio 4√3, e em que
um dos vértices é o número complexo z0 =4√3 cis(π4 ).
O que vimos para a equação z4 = −3 pode ser agora generalizado.
Considerando w = |w| cis(θ) e n um número natural n ≥ 2 vamos resolver a equação zn = w.
Ou seja, procuramos as raízes índice n de w. Escrevendo z, números complexos que procuramos,
também na forma trigonométrica, digamos z = |z| cis(α) vem
zn = w ⇔ (|z| cis(α))n = |w| cis(θ)⇔ |z|n cis(nα) = |w| cis(θ)
⇔ |z|n = |w| ∧ nα = θ + 2kπ, k ∈ Z⇔ |z| = n√|w| ∧ α =
θ
n+ k
2π
n, k ∈ Z
Nota que, à semelhança do que constatamos acima, as soluções repetem-se para k ≥ n.Dado um número complexo w = |w| cis(θ) não nulo e um número natural n ≥ 2, w tem n raízes
índice n que são dadas por:
zk =n√|w| cis
(θ
n+ k
2π
n
), k ∈ {0, 1, ..., n− 1}
No plano complexo, as n raízes são os vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa
circunferência centrada na origem e de raio n√|w|.
Repara que o número complexo 0 tem uma única raiz índice n, para qualquer n natural, que é
o próprio 0.
28
Observação: Repara que os cálculos que �zemos, com os números complexos escritos na forma
trigonométrica, expressam a procura de uma homotetia H|z| e de uma rotação Rα de tal modo
que H|z| ◦ ... ◦H|z|︸ ︷︷ ︸n−vezes
= H|w| e Rα ◦ ... ◦Rα︸ ︷︷ ︸n−vezes
= Rθ.
Exercício: Na �gura, está representado, num referencial
o.n. um polígono regular [ABCDEFGH] com centro em
O. Sabe-se que G tem coordenadas (0,−2).Determina as coordenadas dos pontos A e D.
Sugestão: Começa por escrever na forma trigonométrica
os números complexos dos quais A e D são a�xos.
2.7 Números complexos na geometria
Como viste, os números complexos estão intimamente ligados com a geometria e, particularmente,
com algumas transformações geométricas do plano. Em virtude da simplicidade do cálculo
algébrico em C, muitos problemas de natureza geométrica podem ser resolvidos mais facilmente
recorrendo aos números complexos. Veremos de seguida um exemplo.
O tesouro enterrado
Um velho pergaminho, que descrevia o local onde piratas enterraram um tesouro numa ilha
deserta, dava as seguintes instruções:
Na ilha só há duas árvores, A e B, e os restos de uma forca.
Comece na forca e conte os passos necessários para ir, em linha reta, até à árvore A. Quando
chegar à árvore, rode 90◦ para a direita e avance o mesmo número de passos. No ponto em que
parou, coloque um marco no chão.
Volte para a forca e vá em linha reta, contando os seus passos, até à árvore B. Quando chegar
à arvore, rode 90◦ para a esquerda e avance o mesmo número de passos, colocando outro marco
no chão, no ponto em que acabar.
Cave no ponto que �ca a meio do caminho entre os dois marcos e encontrá o tesouro.
Um jovem aventureiro que encontrou o pergaminho com estas instruções, fretou um navio e
viajou para a ilha. Não teve di�culdades em encontrar as duas árvores mas, para seu grande
desgosto, a forca tinha desaparecido e o tempo tinha apagado todos os vestígios que pudessem
indicar o lugar onde �cava.
em Trigonometria e Números Complexos, Ministério da Educação, 2000
Fazendo a construção geométrica descrita no
pergaminho num programa de geometria dinâ-
mica como o GeoGebra, veri�camos com sur-
presa que ao mudar o local onde se encontra a
forca, os marcos mudam de posição mas o te-
souro não.
29
A demonstração geométrica de tal facto não parece muito simples, mas se trabalharmos com
coordenadas de pontos e vetores sob a forma de números complexos e transformações geométricas
sob a forma de operações entre estes números, torna-se fácil mostrar a invariância do ponto
Tesouro quando fazemos variar o ponto Forca.
Designando por A,B, F,MA,MB e T os números complexos correspondentes aos pontos que
representam as árvores A e B, a forca, os marcos A e B e o tesouro, a construção geométrica
descrita traduz-se da seguinte forma:
� MA = A + i(F − A) (chega-se ao marco MA partindo do ponto A e descrevendo o vetor
que se obtém rodando de 90◦ o vetor−→AF )
� MB = B − i(F − B) (chega-se ao marco MB partindo do ponto B e descrevendo o vetor
que se obtém rodando de −90◦ o vetor−−→BF )
� T = MA+MB2 (o tesouro é o ponto médio do segmento de�nido pelos dois marcos)
Resulta então que
T =A+ i(F −A) +B − i(F −B)
2=A+ iF − iA+B − iF + iB
2=A+B
2+ i
B −A2
Portanto, �ca demonstrado que o número complexo T não depende do complexo F mas apenas
dos complexos A e B. Ou seja, o ponto onde está enterrado o tesouro não depende da posição
da forca mas apenas do local onde as árvores se encontram. Além disso, repara que a expressão
encontrada permite-nos saber exatamente a posição do tesouro.
Exercício:
Na �gura ao lado, está representada, num referencial or-
tonormado, uma semicircunferência com centro na ori-
gem e raio 1.
Sabe-se que os pontos A e B são tais que
UOA = AOB
Mostra que AU ×AV = BU .
Sugestão: Começa por notar que a distância entre dois
pontos Z e W do plano é igual a |z −w|, onde z e w são
os números complexos dos quais Z e W são a�xos.
30
3 Alguns teoremas de geometria demonstrados usando números
complexos
Tal como já foi indiciado na parte didática, muitos problemas de geometria podem ser resolvidos
de forma elegante usando números complexos. De facto, as operações de�nidas em C e as
propriedades algébricas dos números complexos permitem lidar com transformações geométricas,
como as translações, homotetias, rotações e compostas das anteriores, com bastante simplicidade.
Neste contexto, serão analisadas algumas propriedades geométricas expressas em termos de nú-
meros complexos com o objetivo de provar alguns famosos teoremas de geometria plana, entre
eles o Teorema de Ptolomeu-Euler e o Teorema de Morley.
3.1 Preliminares
Ao longo desta parte, será admitido o trabalho já realizado na secção anterior.
Em primeiro lugar, dar-se-á atenção a algumas propriedades dos números complexos às quais
ainda não nos tinhamos referido explicitamente e que serão utilizadas ao longo do texto. Além
disso, algumas noções geométricas elementares serão expressas em termos de números complexos,
nomeadamente, a distância entre dois pontos, a medida de um ângulo e rotações em torno de
qualquer ponto do plano complexo.
Propriedades elementares
Listam-se de seguida algumas propriedades elementares dos números complexos que não serão
aqui demonstradas dada a sua simplicidade.
Proposição 1. Sejam z e w dois números complexos. Tem-se as seguintes propriedades:
1. z = z se e só se z ∈ R
2. z + w = z + w
3. z · w = z · w
4.(zw
)= z
w , w 6= 0
5. Re(z) = z+z2
6. Im(z) = z−z2i
7. |z · w| = |z| · |w|
8.∣∣ zw
∣∣ = |z||w| , w 6= 0
Distância entre dois pontos
Ao longo do texto, salvo indicação em contrário, para cada ponto do plano, representado por
uma letra maiúscula, vamos denotar pela respetiva letra minúscula o número complexo do qual
é a�xo. Por exemplo, Z1 é o a�xo do número complexo z1 e Z2 é o a�xo de z2.
Considerem-se z1 e z2 dois números complexos. A distância entre Z1 e Z2 é de�nida pelo
comprimento do segmento de reta Z1Z2, que é igual a |z1 − z2|.Considere-se então a função d : C× C→ [0,+∞[ de�nida por
d(z1, z2) = |z1 − z2|
31
Como d de�ne a distância usual no plano, são válidas as seguintes propriedades para quaisquer
z1, z2, z3 ∈ C:
1. d(z1, z2) ≥ 0 e d(z1, z2) = 0 se e só se z1 = z2
2. d(z1, z2) = d(z2, z1)
3. d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z3, z2)
Observação 1. Em 3. a igualdade dá-se se e só se Z1, Z2, Z3 forem colineares.
Medida de um ângulo
Vamos de seguida ver como exprimir, em termos de números complexos, a medida de um ângulo
orientado.
Para tal, comecemos por convencionar que um triângulo, com uma certa ordenação dos vértices,
é positivamente orientado se os vértices assim ordenados se dispõem no sentido contrário ao
dos ponteiros do relógio e diz-se negativamente orientado se os seus vértices são ordenados no
sentido dos ponteiros do relógio. Por exemplo, tendo em conta a �gura 1, o triângulo Z1OZ2
é negativamente orientado, enquanto o triângulo OZ1Z2 é positivamente orientado e, portanto,
distinto do anterior.
Dados Z1, Z2, Z3 três pontos distintos, de�ne-se o ângulo diretamente orientado ∠Z1Z3Z2 como o
ângulo da rotação mínima, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, que transforma Z3Z1
em Z3Z2. Consequentemente, qualquer ângulo diretamente orientado tem amplitude compreen-
dida entre 0 e 2π, exclusive. Na �gura 2, estão identi�cados os ângulos diretamente orientados
∠Z1OZ2 e ∠Z2OZ1.
Figura 1 Figura 2
A menos que haja indicação em contrário, os triângulos considerados daqui em diante serão
triângulos com orientação e os ângulos tidos em conta serão diretamente orientados.
No sentido de obter a medida de qualquer ângulo orientado expresso em termos de números
complexos, comecemos por considerar ângulos com vértice na origem, ou seja, ângulos do tipo
∠Z1OZ2 com Z1, Z2 distintos entre si e da origem.
Nota: Ao longo do texto, arg z denotará o argumento positivo mínimo do número complexo não
nulo z, ou seja, arg z é o argumento de z pertencente ao intervalo [0, 2π[.
32
Proposição 2. A medida do ângulo orientado ∠Z1OZ2 é igual a arg z2z1.
Demonstração. Consideremos os seguintes dois casos, ilustrados nas �guras 1 e 2, respetivamente.
1. Se o triângulo Z1OZ2 é negativamente orientado, então a amplitude do ângulo diretamente
orientado
Z1OZ2 = xOZ2 − xOZ1 = arg z2 − arg z1 = argz2z1
2. Se o triângulo Z1OZ2 é positivamente orientado, então a amplitude do ângulo diretamente
orientado Z1OZ2 = 2π − Z2OZ1.
Como o triângulo Z2OZ1 é negativamente orientado, podemos aplicar 1 e vem que
Z1OZ2 = 2π − argz1z2
= 2π −(2π − arg
z2z1
)= arg
z2z1
Observação 2. O resultado continua a ser válido se os pontos O,Z1, Z2 forem colineares. Nesse
caso, Z1OZ2 é o argumento positivo mínimo de um número real, ou seja, 0 ou π.
Generalizando a proposição anterior, veremos de seguida a medida de um ângulo orientado
qualquer, com vértice não necessariamente a origem.
Proposição 3. Sejam Z1, Z2, Z3 três pontos distintos.
A medida do ângulo orientado ∠Z2Z1Z3 é igual a arg z3−z1z2−z1 .
Nota: Sejam z0 e z dois números complexos. Recordemos que z′ = z + z0 é a imagem de z pela
translação segundo o vetor associado a z0.
Por exemplo, dado z ∈ C, a transformação z → z + 2 − 3i é a translação do plano complexo
segundo o vetor de coordenadas (2,−3).
Demonstração. Tendo em conta que conhecemos a medida do ângulo orientado com centro na
origem em termos de números complexos, faremos uma translação que envie Z1 na origem, como
sugere a �gura 3.
Figura 3
Ora, em termos de números complexos é a translação z → z−z1. Esta translação envia os pontosZ1, Z2, Z3 nos pontos O,Z ′2, Z
′3, a�xos dos números complexos 0 = z1 − z1, z′2 = z2 − z1, z′3 =
z3 − z1, respetivamente.
33
As translações são isometrias que preservam as orientações dos ângulos pelo que, pela proposição
2,
Z2Z1Z3 = Z ′2OZ′3 = arg
z′3z′2
= argz3 − z1z2 − z1
De um modo análogo pode exprimir-se em termos de números complexos o ângulo entre duas
retas.
Proposição 4. Sejam Z1, Z2, Z3, Z4 quatro pontos distintos.
A medida do ângulo determinado pelas retas Z1Z3 e Z2Z4 é igual a arg z3−z1z4−z2 ou arg z4−z2
z3−z1 .
Rotações
Tal como foi visto na parte didática, as rotações em torno da origem estão intimamente ligadas
à multiplicação de números complexos.
Mais concretamente, dado o número complexo w = |w| cis(α), a multiplicação por w representa
geometricamente a composta de uma homotetia de razão |w| com uma rotação de ângulo α,
ambas com centro na origem, aplicada ao plano complexo.
Assim, aplicar uma rotação de ângulo α a um ponto Z do
plano complexo corresponde a multiplicar z pelo número
complexo ζ = 1 cis(α).
Note-se que |zζ| = |z| e arg(zζ) = arg z + α. Como ilus-
trado na �gura 4, Z ′, a�xo de zζ, é a imagem de Z pela
rotação em torno da origem de ângulo α.Figura 4
Até ao momento sabemos exprimir, em termos de números complexos, uma rotação em torno da
origem e a medida de um ângulo orientado qualquer. Estamos agora em condições de considerar
rotações em torno de qualquer ponto.
Proposição 5. Consideremos Z1, Z2, Z3 pontos do plano complexo tais que Z3 é a imagem de
Z2 pela rotação de centro em Z1 de ângulo α. Tem-se que
z3 = z1 + (z2 − z1)ζ onde ζ = cis α
Demonstração. Para reduzir esta situação a uma rotação em torno da origem, aplicar-se-á uma
translação que envie Z1 em O e, uma vez feita a rotação de ângulo α em torno da origem, faremos
a translação que envia de novo O em Z1. Recorde-se a �gura 3.
Aplicando a translação z → z−z1, os pontos Z1, Z2, Z3 são transformados nos pontos O,Z ′2, Z′3,
a�xos dos números complexos 0, z2 − z1, z3 − z1, respetivamente.
Note-se que o ponto Z ′3 é a imagem de Z ′2 pela rotação de ângulo α de centro na origem. Logo,
z3 − z1 = (z2 − z1)ζ pelo que z3 = z1 + (z2 − z1)ζ.
34
3.2 Colinearidade e perpendicularidade
De seguida, utilizar-se-ão as noções básicas vistas na secção anterior para provar algumas condi-
ções acerca da colinearidade de três pontos e perpendicularidade de duas retas. Tal será usado
para demonstrar o Teorema de Van Aubel.
Proposição 6. Sejam Z1, Z2, Z3 três pontos distintos do plano complexo.
Os pontos Z1, Z2, Z3 são colineares se e só se
z3 − z1z2 − z1
é um número real
Demonstração. Os pontos Z1, Z2, Z3 são colineares se e só se Z2Z1Z3 ∈ {0, π}. Por sua vez, istoé equivalente a a�rmar, pela proposição 3, que arg z3−z1
z2−z1 ∈ {0, π}, ou equivalentemente, z3−z1z2−z1 é
um número real (não nulo, uma vez que todos os pontos são distintos).
Observação 3. Repare-se que a ordem no quociente acima não é relevante, uma vez que os
pontos são permutáveis. Assim, ao longo do texto, irá considerar-se uma ordem diferente dos
pontos sempre que necessário, não sendo esta troca referida a cada momento.
O resultado anterior também é válido caso dois dos pontos coincidam. Se z1 = z2 ou z1 = z3, o
quociente acima (ou uma sua adaptação) é igual a 0 e caso z2 = z3, o quociente é igual a 1.
Observação 4. Note-se que se−−−→Z1Z3 e
−−−→Z1Z2 tiverem o mesmo (respetivamente, oposto) sentido
então z3−z1z2−z1 é um número real positivo (respetivamente, negativo).
Tendo em conta o caso em que O,Z1, Z2 são pontos colineares e−−→OZ1 e
−−→OZ2 têm o mesmo sentido,
pela observação anterior e tendo em conta a observação 1, tem-se a seguinte consequência:
Corolário 1. Sejam z1, z2 números complexos distintos, não ambos nulos.
|z1 + z2| = |z1|+ |z2| se e só se
(z1z2∈ R+
0 ouz2z1∈ R+
0
)Mais uma vez, tendo em conta que z1 e z2 são permutáveis, trocando a ordem se necessário,
vamos considerar que |z1 + z2| = |z1|+ |z2| se e só se z1z2∈ R+
0 .
Proposição 7. Sejam Z1, Z2, Z3, Z4 quatro pontos do plano complexo tais que Z1 6= Z2 e Z3 6=Z4.
As retas Z1Z2 e Z3Z4 são perpendiculares se e só se
z1 − z2z3 − z4
é um número imaginário puro (não nulo)
Demonstração. Supondo que as retas Z1Z2 e Z3Z4 são perpendiculares, a medida do ângulo por
elas determinado é igual a π2 ou 3π
2 . Pela proposição 4, isto é equivalente a arg z1−z2z3−z4 ∈
{π2 ,
3π2
},
o que por sua vez é equivalente a a�rmar que z1−z2z3−z4 é um imaginário puro (não nulo).
Vejamos uma aplicação deste simples resultado a um teorema de geometria, publicado em 1878
por Van Aubel (1830-1906), que passamos a enunciar.
35
Teorema 1. Teorema de Van Aubel
Seja ABCD um quadrilátero. Sobre cada um dos lados AB,BC,CD,DA, no exterior do qua-
drilátero, constroem-se quadrados de centros O1, O2, O3, O4, respetivamente. Tem-se
O1O3 ⊥ O2O4 e O1O3 = O2O4
Demonstração. Considerem-se ABMM ′, BCNN ′, CDPP ′ e DAQQ′ os quadrados construídos
sobre os lados do quadrilátero com centros O1, O2, O3 e O4, respetivamente.
Como M é a imagem de A pela rotação de π2 em torno de B,
pela proposição 5 temos
m = b+ (a− b)i
Analogamente,
n = c+ (b− c)i, p = d+ (c− d)i, q = a+ (d− a)i Figura 5
Como O1 é o ponto médio do segmento de reta [AM ], tem-se
o1 =a+m
2=a+ b+ (a− b)i
2
De modo análogo,
o2 =b+ c+ (b− c)i
2, o3 =
c+ d+ (c− d)i2
, o4 =d+ a+ (d− a)i
2
Assim,
o3 − o1o4 − o2
=c+ d+ (c− d)i− a− b− (a− b)id+ a+ (d− a)i− b− c− (b− c)i
=(c+ d− a− b) + i(c− d− a+ b)
−(c− d− a+ b) + i(c+ d− a− b)= −i a
que é um número imaginário puro. Pela proposição 7, O1O3 e O2O4 são perpendiculares.
Como∣∣∣o3−o1o4−o2
∣∣∣ = | − i| = 1 tem-se que |o3 − o1| = |o4 − o2|, ou seja, O1O3 = O2O4.
aDados x, y ∈ R, tem-se que x+iy−y+ix
= i(−ix+y)−(y−ix)
= −i
36
3.3 Conciclicidade
Anteriormente, vimos sob que condições três pontos do plano são colineares. Generalizando,
veremos agora como caracterizar a colinearidade e a conciclicidade de quatro pontos, aplicando
estes resultados para provar o Teorema de Ptolomeu-Euler e o Teorema dos Quatro Círculos.
Recorde-se que, pela proposição 6, Z1, Z2, Z3 são três pontos colineares se e só se z3−z1z2−z1 ∈ R.
Adicionando um outro ponto Z4, é fácil ver que Z1, Z2, Z3, Z4 são colineares se e só se Z1, Z3, Z4
são colineares e Z2, Z3, Z4 são colineares, o que se pode reescrever como
z1 − z3z1 − z4
∈ R ez2 − z3z2 − z4
∈ R
Vejamos agora em que condições é que os quatro pontos Z1, Z2, Z3, Z4 são concíclicos. Nas �guras
6 e 7 estão representadas duas das 3! = 6 posições possíveis dos quatro pontos num círculo.
Figura 6 Figura 7
É fácil veri�car que os quatro pontos Z1, Z2, Z3, Z4, dispostos por esta ordem (no sentido dos
ponteiros do relógio ou contrário ao dos ponteiros do relógio) são concíclicos se e só se Z4Z1Z2+
Z2Z3Z4 ∈ {π, 3π}. Veremos de que forma tal se pode exprimir numa condição em termos dos
números complexos dos quais Z1, Z2, Z3, Z4 são a�xos.
Teorema 2. Sejam Z1, Z2, Z3, Z4 quatro pontos do plano complexo. Os quatro pontos, dispostos
por essa ordem, são concíclicos (ou colineares) se e só se
|z1 − z3| · |z2 − z4| = |z1 − z2| · |z3 − z4|+ |z1 − z4| · |z2 − z3|
Demonstração. A condição sobre os ângulos orientados Z4Z1Z2 + Z2Z3Z4 ∈ {π, 3π} pode ser
reescrita como
argz2 − z1z4 − z1
+ argz4 − z3z2 − z3
∈ {π, 3π}
mas
argz2 − z1z4 − z1
+ argz4 − z3z2 − z3
∈ {π, 3π} ⇔ argz1 − z2z1 − z4
− argz3 − z2z3 − z4
∈ {−π, π}
⇔ arg
(z1 − z2z1 − z4
/z3 − z2z3 − z4
)= π ⇔ z1 − z2
z1 − z4
/z3 − z2z3 − z4
∈ R−
⇔(z1 − z2) · (z3 − z4)(z1 − z4) · (z2 − z3)
∈ R+
37
Pelo corolário 1, conclui-se que
|(z1 − z2) · (z3 − z4) + (z1 − z4) · (z2 − z3)| = |z1 − z2| · |z3 − z4|+ |z1 − z4| · |z2 − z3|
Ora, é fácil ver que
(z1 − z2) · (z3 − z4) + (z1 − z4) · (z2 − z3) = (z1 − z3) · (z2 − z4) (1)
Donde se conclui que os pontos Z1, Z2, Z3, Z4 são concíclicos se e só se
|z1 − z3| · |z2 − z4| = |z1 − z2| · |z3 − z4|+ |z1 − z4| · |z2 − z3|
Nota: Como se tem 1, pela desigualdade triangular vem que
|z1 − z3| · |z2 − z4| ≤ |z1 − z2| · |z3 − z4|+ |z1 − z4| · |z2 − z3|
O teorema e a nota anterior traduzem-se em termos geométricos no Teorema de Ptolomeu-Euler:
Teorema 3. Teorema de Ptolomeu-Euler.b Dados quaisquer pontos A,B,C,D do plano,
AC ·BD ≤ AB · CD +BC ·DA
e a igualdade dá-se se e só se os quatro pontos forem concíclicos (ou colineares), dispostos por
ordem alfabética no sentido dos ponteiros do relógio ou contrário ao dos ponteiros do relógio.
Note-se que a igualdade se traduz ainda em
Num quadrilátero inscrito numa circunferência, o produto dos
comprimentos das diagonais é igual a soma dos produtos dos
comprimentos dos lados opostos.
Figura 8
Como se fez notar, o quociente z1−z3z1−z4
/z2−z3z2−z4 contém informação importante relativamente a
quatro pontos Z1, Z2, Z3, Z4 do plano, o que motiva a de�nição apresentada de seguida.
De�nição 1. Sejam Z1, Z2, Z3, Z4 quatro pontos no plano complexo. Dá-se o nome de razão
cruzada dos quatro pontos à expressão
[z1, z2; z3, z4] =z1 − z3z1 − z4
/ z2 − z3z2 − z4
bO caso da igualdade foi apresentado por Ptolomeu (100-178 dC) no Almagesto, uma obra de referência daAstronomia grega que resultou essencialmente da compilação de resultados conhecidos na sua época.Euler (1707-1783) provou o caso geral mais de mil anos mais tarde.
38
Observação 5. No teorema 2, demonstramos que quatro pontos, Z1, Z2, Z3, Z4, dispostos por
esta ordem são concíclicos (ou colineares) se e só se (z1−z2)·(z3−z4)(z1−z4)·(z2−z3) ∈ R+. Esta caracterização, a
menos do sinal do quociente, não depende na verdade da ordem pela qual estamos a considerar
os pontos.
Assim, podemos agora a�rmar a colinearidade ou conciclicidade de quatro pontos de um modo
muito simples.
Corolário 2. Os pontos Z1, Z2, Z3, Z4 são concíclicos (ou colineares) se e só se
[z1, z2; z3, z4] ∈ R
Observação 6. A colinearidade é um caso degenerado da conciclicidade. Note-se que os pontos
Z1, Z2, Z3, Z4 são concíclicos (não colineares) se e só se
[z1, z2; z3, z4] ∈ R , masz1 − z3z1 − z4
6∈ R ez2 − z3z2 − z4
6∈ R
De seguida, veremos uma aplicação do resultado anterior ao Teorema dos Quatro Círculos.
Teorema 4. Considerem-se quatro circunferências
C1, C2, C3, C4 no plano. Considere-se ainda que C1 e C2
se intersetam em Z1 e W1, C2 e C3 se intersetam em Z2 e W2,
C3 e C4 se intersetam em Z3 e W3 e C4 e C1 se intersetam
em Z4 e W4. Então
Z1, Z2, Z3, Z4 são concíclicos se e só se W1,W2,W3,W4 são
concíclicos Figura 9
Demonstração. Por hipótese, os pontos Z1, Z2,W1,W2 são concíclicos (pertencem a C2) e o
mesmo sucede com os pontos Z2, Z3,W2,W3 e Z3, Z4,W3,W4 e Z1, Z4,W1,W4. Consequente-
mente, pelo corolário 2 as seguintes razões cruzadas são números reais:
[z1, w2; z2, w1] =z1 − z2w2 − z2
/ z1 − w1
w2 − w1
[z2, w3; z3, w2] =z2 − z3w3 − z3
/ z2 − w2
w3 − w2
[z3, w4; z4, w3] =z3 − z4w4 − z4
/ z3 − w3
w4 − w3
[z4, w1; z1, w4] =z4 − z1w1 − z1
/ z4 − w4
w1 − w4
Assim,
[z1, w2; z2, w1]
[z2, w3; z3, w2]· [z3, w4; z4, w3]
[z4, w1; z1, w4]=
(z1 − z2z3 − z2
/ z1 − z4z3 − z4
)·(w1 − w2
w3 − w2
/ w1 − w4
w3 − w4
)=[z1, z3; z2, z4] · [w1, w3;w2, w4]
é um número real. Portanto, [z1, z3; z2, z4] é real se e só se [w1, w3;w2, w4] é real. Por outras
palavras, Z1, Z2, Z3, Z4 são concíclicos se e só se W1,W2,W3,W4 são concíclicos.
39
Este resultado é a base de vários Teoremas de Cli�ord (1845-1879) sobre retas em posição geral,
dos quais apresentamos sucintamente um de seguida.
Teorema 5. Considere-se um pentágono no plano. Para
cada lado do pentágono, considere-se a circunferência que
passa pelos seus extremos e pelo ponto de intersecção das
retas suporte dos dois lados a ele adjacentes, conforme a
�gura 10. Os pontos de intersecção destas circunferências
(duas a duas), que não são os vértices do pentágono, são
concíclicos.Figura 10
3.4 Triângulos semelhantes e triângulos equiláteros
Nesta subsecção, começará por se explorar a semelhança de triângulos com orientação, traduzindo
o critério LAL em termos de números complexos. Tal permitir-nos-á encontrar uma condição
que caracteriza números complexos que são a�xos dos vértices de um triângulo equilátero, es-
sencial para provar dois famosos teoremas que a�rmam a existência de triângulos deste tipo em
determinadas circunstâncias - o Teorema de Napoleão e o Teorema de Morley.
Consideremos Z1, Z2, Z3,W1,W2,W3 seis pontos no plano complexo. Comecemos por de�nir o
que são triângulos semelhantes com orientação.
Diremos que os triângulos Z1Z2Z3 e W1W2W3 são semelhantes com a mesma orientação se e só
se o ângulo interno em Zk é igual ao ângulo interno em Wk, k ∈ {1, 2, 3} e os triângulos têm
a mesma orientação (ambos positivamente ou negativamente orientados). A título de exemplo,
os primeiros dois triângulos da �gura 11, Z1Z2Z3 e W1W2W3, são semelhantes com a mesma
orientação.
Caso o ângulo interno em Zk seja igual ao ân-
gulo interno em Wk e os triângulos tenham
orientação oposta, diremos que os triângulos
Z1Z2Z3 e W1W2W3 são semelhantes com orien-
tação oposta. Por exemplo, o primeiro e o último
triângulos da �gura 11, Z1Z2Z3 e W1W2W3, são
semelhantes com orientação oposta. Figura 11
Vejamos como podemos exprimir a semelhança de triângulos em termos de números complexos.
Proposição 8. Os triângulos Z1Z2Z3 e W1W2W3 são semelhantes com a mesma orientação se
e só sez2 − z1z3 − z1
=w2 − w1
w3 − w1
40
Demonstração. Pelo critério de semelhança LAL (lado-ângulo-lado), os triângulos são semelhan-
tes se e só seZ1Z2
W1W2
=Z1Z3
W1W3
e Z3Z1Z2 =W3W1W2
Nota que as condições acima podem ser reescritas como∣∣∣∣z2 − z1z3 − z1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣w2 − w1
w3 − w1
∣∣∣∣ e argz2 − z1z3 − z1
= argw2 − w1
w3 − w1
o que é equivalente a a�rmar que
z2 − z1z3 − z1
=w2 − w1
w3 − w1
De modo inteiramente análogo, podemos obter uma condição que caracterize triângulos seme-
lhantes com orientações opostas.
Proposição 9. Os triângulos Z1Z2Z3 e W1W2W3 são semelhantes com orientação oposta se e
só sez2 − z1z3 − z1
=w2 − w1
w3 − w1
Demonstração. Note-se que re�etindo o triângulo W1W2W3 segundo o eixo Ox obtém-se o tri-
ângulo W1 W2 W3, semelhante ao primeiro mas com orientação oposta, como sugere a �gura
12.
Observe-se que os triângulos W1 W2 W3 e Z1Z2Z3 são seme-
lhantes com a mesma orientação.
Pela proposição 8, conclui-se que
z2 − z1z3 − z1
=w2 − w1
w3 − w1
Figura 12
Vamos agora usar a condição que descobrimos para triângulos semelhantes para encontrar uma
caracterização que de�na univocamente os triângulos equiláteros.
Comecemos por dar atenção ao número complexo ω = cis(2π3
).
Ora, ω é uma raiz cúbica da unidade, isto é, ω3 = 1. Mas ω3 − 1 = (ω − 1)(ω2 + ω + 1) = 0.
Como ω 6= 1, tem-se que ω satisfaz
ω2 + ω + 1 = 0
Repare-se que o triângulo Z1Z2Z3 é equilátero se e só se Z1Z2Z3 é semelhante (com a mesma
orientação) a Z2Z3Z1, uma vez que tal é equivalente a Z1 = Z2 = Z3. Esta constatação irá
41
permitir-nos deduzir uma condição que caracterize triângulos equiláteros, positivamente e nega-
tivamente orientados.
Proposição 10. Dados z1, z2, z3 três números complexos distintos e ω = cis(2π3 ), tem-se as
seguintes a�rmações:
1. O triângulo Z1Z2Z3 é equilátero e positivamente orientado se e só se z1 + ωz2 + ω2z3 = 0.
2. O triângulo Z1Z2Z3 é equilátero e negativamente orientado se e só se z1+ω2z2+ωz3 = 0.
Demonstração.
O triângulo Z1Z2Z3 é equilátero se e só se Z1Z2Z3 é semelhante com a mesma orientação ao
triângulo Z2Z3Z1, o que, pela proposição 8, é equivalente a
z2 − z1z3 − z1
=z3 − z2z1 − z2
Ora,
z2 − z1z3 − z1
=z3 − z2z1 − z2
⇔ (z2 − z1)(z1 − z2)− (z3 − z1)(z3 − z2) = 0
⇔ z21 + z22 + z23 − z1z2 − z1z3 − z2z3 = 0
⇔ (z1 + ωz2 + ω2z3) · (z1 + ω2z2 + ωz3) = 0 (ω2 + ω + 1 = 0)
⇔ z1 + ωz2 + ω2z3 = 0 ou z1 + ω2z2 + ωz3 = 0
1. Consideremos Z1Z2Z3 um triângulo positivamente orientado e equilátero.
Isto é equivalente a a�rmar que Z3 é a imagem de Z2 pela
rotação de ângulo π3 em torno de Z1. Tal pode exprimir-se
como
z3 = z1 + (z2 − z1) cis(π3
)=(1− cis
(π3
))z1 + cis
(π3
)z2
Logo,Figura 13
z1 + ωz2 + ω2z3 = z1
(1 + cis
(4π
3
)− cis
(4π
3
)cis(π3
))+
+ z2
(cis
(2π
3
)+ cis
(4π
3
)cis(π3
))= z1
(1− 1
2−√3
2i−
(1
2−√3
2i
))+ z2
(−1
2+
√3
2i+
1
2−√3
2i
)= 0
Demonstramos desta forma que se Z1Z2Z3 é um triângulo equilátero e positivamente ori-
entado, então z1 + ωz2 + ω2z3 = 0. A implicação da direita para a esquerda merecerá a
nossa atenção na fase �nal da demonstração.
42
2. O triângulo Z1Z2Z3 é negativamente orientado se e só se o triângulo Z1Z3Z2 é positiva-
mente orientado. Por 1, o triângulo Z1Z3Z2 é equilátero se e só se
z1 + ωz3 + ω2z2 = 0 onde ω = cis
(2π
3
)Vamos provar a implicação da direita para a esquerda em 1. Suponhamos que z1 + ωz2 +
ω2z3 = 0. Pelo que foi visto no início da demonstração, tem-se que o triângulo Z1Z2Z3 é
equilátero � positivamente orientado ou negativamente orientado. Caso o triângulo fosse
negativamente orientado, por 2, ter-se-ia que z1 + ω2z2 + ωz3 = 0.
No entanto, as condições z1 + ωz2 + ω2z3 = 0 e z1 + ω2z2 + ωz3 = 0 não se veri�cam em
simultâneo, uma vez que z2, z3 são distintos. Por redução ao absurdo, �ca provado que o
triângulo é equilátero e positivamente orientado.
A demonstração da implicação da direita para a esquerda em 2 é inteiramente análoga.
Observação 7. Note-se que o triângulo Z1Z2Z3 é equilátero com a
mesma orientação que o triângulo cujos vértices são os a�xos de
� 1, ω, ω2 se e só se z1 + ωz2 + ω2z3 = 0
� 1, ω2, ω se e só se z1 + ω2z2 + ωz3 = 0 Figura 14
Vamos agora utilizar este resultado para demonstrar um belo teorema de geometria, atribuído
geralmente a Napoleão Bonaparte (1769-1821).
Teorema 6. Teorema de Napoleão
Considere-se um triângulo orientado qualquer ABC e construam-
se, no seu exterior e sobre cada um dos lados, triângulos equiláteros
orientados ACB′, BA′C e BAC ′ como na �gura 15. Os centros de
cada um destes triângulos são vértices de um triângulo equilátero.
Figura 15
Demonstração. Tendo em conta que os triângulos BA′C, ACB′ e BAC ′ são equiláteros e posi-
tivamente orientados, pela proposição 10 tem-se que
b+ a′ω + cω2 = 0 a+ cω + b′ω2 = 0 b+ aω + c′ω2 = 0
Chamando A′′, B′′, C ′′ aos centros dos triângulos BA′C, ACB′ e BAC ′, respetivamente, é fácil
ver que
a′′ =a′ + b+ c
3b′′ =
a+ b′ + c
3c′′ =
a+ b+ c′
3
43
Mostrar que C ′′A′′B′′ é um triângulo equilátero é equivalente a mostrar que c′′+ωa′′+ω2b′′ = 0.
Para simpli�car os cálculos, vamos mostrar que 3(c′′ + ωa′′ + ω2b′′) = 0:
(a+ b+ c′)+ω(a′+ b+ c)+ω2(a+ b′+ c) = (a+ cω+ b′ω2)+ (b+a′ω+ cω2)+ω2
ω2(bω+aω2+ c′)
Como ω3 = 1, vem que
3(c′′ + ωa′′ + ω2b′′) = (a+ cω + b′ω2) + (b+ a′ω + cω2) +1
ω2(b+ aω + c′ω2) = 0
Numa tentativa de generalização, surge naturalmente a questão acerca da possibilidade de sobre
os lados do triângulo inicial serem construídos polígonos regulares que não triângulos e obter
igualmente um triângulo equilátero, formado pelos vértices que são centro desses polígonos.
Veremos que tal generalização não é, de facto, possível.
Proposição 11. Considere-se um triângulo qualquer ABC e construam-se, no seu exterior e
sobre cada um dos lados, polígonos regulares com n lados. Os centros dos polígonos regulares
com n lados formam um triângulo equilátero se e só se n = 3.
Demonstração. Designemos por A0, B0, C0 os centros dos polígonos regulares com n lados cons-
truídos sobre cada um dos lados do triângulo, como sugere a �gura 16.
Ora, sabemos que BC0A = CA0B = AB0C = 2πn pelo
que, pela proposição 5 tem-se
a = c0+(b− c0)ξ, b = a0+(c−a0)ξ, c = b0+(a− b0)ξ
onde ξ = cis(2πn
)Ou de modo equivalente,
a0 =b− cξ1− ξ
, b0 =c− aξ1− ξ
, c0 =a− bξ1− ξ Figura 16
Tendo em conta a prova da proposição 10, o triângulo A0C0B0 é equilátero se e só se
a20 + b20 + c20 − a0b0 − a0c0 − b0c0 = 0
mas a20 + b20 + c20 − a0b0 − a0c0 − b0c0 = 0
⇔(b− cξ1− ξ
)2
+
(c− aξ1− ξ
)2
+
(a− bξ1− ξ
)2
=
(b− cξ1− ξ
)(c− aξ1− ξ
)+
(b− cξ1− ξ
)(a− bξ1− ξ
)+
+
(c− aξ1− ξ
)(a− bξ1− ξ
)
44
⇔ (b− cξ)(c− aξ) + (c− aξ)(a− bξ) + (a− bξ)(c− aξ) = 0
⇔ (1 + ξ + ξ2)[(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2] = 0
Como os pontos A,B,C são todos distintos segue que 1 + ξ + ξ2 = 0, pelo que 2πn = 2π
3 . Logo,
n = 3 é o único valor para o qual se veri�ca a propriedade.
Veremos de seguida a equação de uma reta que passa por dois pontos do círculo unitário em
termos de números complexos e a intersecção de duas retas deste tipo, reunindo deste modo
condições para que possamos enunciar e provar o Teorema de Morley.
Proposição 12. Sejam t1, t2 dois números complexos distintos tais que |t1| = |t2| = 1. Uma
equação da reta T1T2 é
z + t1t2z = t1 + t2
Demonstração. A reta T1T2 é o conjunto dos pontos Z tais que Z, T1, T2 são colineares. Ora,
pela proposição 6, os pontos Z, T1, T2 são colineares se e só se z−t1t2−t1 ∈ R. Mas
z − t1t2 − t1
∈ R⇔ z − t1t2 − t1
=
(z − t1t2 − t1
)⇔ z − t1
t2 − t1=
z − t1t2 − t1
⇔ z(t2 − t1)− z(t2 − t1) = t1t2 − t1t2
Como t1t1 = |t1|2 = 1 tem-se que t1 = t−11 e, analogamente, t2 = t−12 .
Assim, a igualdade pode ser reescrita como
z(t−12 − t−11 )− z(t2 − t1)t−12 − t
−11
=t1t−12 − t2t
−11
t−12 − t−11
que é equivalente a
z + t1t2z = t1 + t2
Proposição 13. Sejam T1, T2, T3, T4 quatro pontos no círculo unitário de tal modo que as retas
T1T2 e T3T4 são concorrentes. As retas T1T2 e T3T4 intersetam-se no ponto
z =t1 + t2 − t3 − t4t1 t2 − t3 t4
Demonstração. Pela proposição 12, as retas T1T2 e T3T4 podem ser de�nidas pelas equações
z + t1t2z = t1 + t2 e z + t3t4z = t3 + t4
Assim,
t1 + t2 − t1t2z = t3 + t4 − t3t4z ⇔ (t1t2 − t3t4)z = t1 + t2 − t3 − t4
⇔ z =t1 + t2 − t3 − t4t1 t2 − t3 t4
45
Estamos agora em condições de apresentar e provar um dos teoremas tidos como mais fascinantes
em Matemática - o Teorema de Morley. c
Teorema 7. Teorema de Morley
Dado um triângulo qualquer, considerem-se as trissetrizes de cada um dos seus ângulos internos.
Os pontos de intersecção de trissetrizes adjacentes são vértices de um triângulo equilátero.
Figura 17
Daqui em diante, para simpli�cação dos argumentos, os ângulos considerados não serão ne-
cessariamente diretamente orientados. Para representar os ângulos negativamente orientados,
afetar-se-á a sua amplitude do sinal �-�. Nesta perspetiva, o argumento de um número complexo
estará compreendido entre −2π e 2π.
Demonstração. Provar-se-á o teorema para triângulos inscritos no círculo unitário e em que um
dos vértices é o ponto de coordenadas (1, 0). Designemos por ABC um triângulo deste tipo e
seja A a unidade. De facto, qualquer triângulo pode ser transformado num triângulo ABC com
estas características, de tal modo que o triângulo cujos vértices são resultado da intersecção das
trissetrizes adjacentes de ABC é equilátero se e só se o triângulo obtido pela intersecção das
trissetrizes adjacentes do triângulo original é equilátero. d
Considere-se um triângulo ABC como sugere a �gura 18. Os ângulos cujas trissetrizes iremos
utilizar, ∠ACB,∠ABC,∠BAC, são ângulos inscritos na circunferência associados ao mesmo
arco que os ângulos ao centro ∠AOB,∠AOC,∠BOC, respetivamente. Tal leva-nos a considerar
os ângulos ao centro
AOB = 3γ AOC = 3β BOC = 3α
em que 0 < γ < 2π3 , −
2π3 < β < 0 e, consequentemente, α = 2π−3γ+3β
3 = 2π3 − γ + β > 0.
Nota: A �gura 18 ilustra o caso em que O se encontra no interior do triângulo ABC, mas os
argumentos que serão utilizados na prova são igualmente válidos caso esteja no exterior.
cNo livro IV dos Elementos, Euclides (300 aC) mostrou que, dado um triângulo qualquer, quaisquer duasbissetrizes dos ângulos internos se encontram num ponto, que é centro de uma circunferência inscrita no triângulo.A impossibilidade de trissecção do ângulo com régua e compasso, fez com resultados envolvendo trissetrizes deângulos fossem ignorados até ao século XX. Em 1900, Frank Morley (1860-1937) apresentou e provou o agoraconhecido como Teorema de Morley no seu artigo �On the Metric Geometry of the Plane n-line�. Este teoremaintrigou muitos matemáticos sendo por isso conhecido também por �O milagre de Morley�.
dDado um triângulo qualquer, sendo r o raio da circunferência que circunscreve o triângulo, aplicando umahomotetia de razão 1
r, obtém-se um triângulo inscrito numa circunferência de raio 1. Aplicando a translação e
uma rotação adequadas, obtém-se um triângulo ABC com centro na origem e em que A é o ponto de coordenadas(1, 0). Note-se que a aplicação destas transformações ao plano complexo transforma o triângulo original numtriângulo ABC semelhante com a mesma orientação.
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Figura 18 Figura 19
Designemos por A1, A2, B1, B2, C1, C2 os pontos de intersecção do círculo unitário com as trisse-
trizes de ∠BOC,∠AOC,∠AOB e, assim, de ∠BAC,∠ABC,∠ACB como sugere a �gura 19.
Procuramos agora encontrar de alguma forma os números complexos dos quais os pontos da �gura
são a�xos. Tal irá permitir-nos encontrar os pontos de intersecção das trissetrizes adjacentes �
os pontos D,E, F � fazendo uso da proposição 13. Apropriando-nos dos números complexos
associados a estes pontos e utilizando a proposição 10, provaremos que DEF é um triângulo
equilátero.
Sendo C1 o a�xo do número complexo c, uma vez que estamos no círculo unitário e OC1, OC2
são as trissetrizes de ∠AOB, C2 e B são a�xos dos números complexos c2 e c3, respetivamente.
Analogamente, sendo B1 o a�xo do número complexo b, B2 e C são os a�xos dos números
complexos b2 e b3, respetivamente.
Vejamos que os números complexos associados a A1 e A2 não são agora completamente desco-
nhecidos. Note-se que o argumento do número complexo do qual A1 é a�xo é
3γ + α = 3γ +2π
3+ β − γ = β + 2γ +
2π
3
Analogamente, o argumento do número complexo do qual A2 é a�xo é
3γ + 2α = 2β + γ +4π
3
Pertencendo estes pontos ao círculo unitário e tendo em conta as a�rmações anteriores, tem-se
que A1 é o a�xo do número complexo bc2ω e A2 é o a�xo do número complexo b2cω2, onde
ω = cis(2π3
).
Estamos agora em condições de determinar os números complexos dos quais D,E, F são a�xos.
Ora, D é a intersecção de CC2 com BB2 pelo que, pela proposição 13, tem-se
d =b2 + c3 − b3 − c2
b2 c3 − b3 c2
47
Como o conjugado de um número complexo no círculo unitário é igual ao seu inverso,
d =b3c3
b3c3· b−2 + c−3 − b−3 − c−2
b−2c−3 − b−3c−2=bc3 + b3 − c3 − b3c
b− c
=(b− c)(b2 + bc+ c2)− bc(b2 − c2)
b− c= (b2 + bc+ c2)− bc(b+ c)
Analogamente, E resulta da intersecção das retas CC1 e AA2, pelo que
e =1 + b2cω2 − b3 − c1 b2cω2 − b3 c
=b3c
b3c· 1 + b−2c−1ω−2 − b−3 − c−1
b−2c−1ω−2 − b−3c−1
Como ω−2 = ω e ω−1 = ω2, tem-se
e =b3c+ bω − c− b3
bω − 1=
1
ω· c(b
3 − 1)− b(b2 − ω)b− ω2
=ω2
[c · b
3 − (ω2)3
b− ω2− b · b
2 − (ω2)2
b− ω2
]= ω2[c(b2 + bω2 + ω)− b(b+ ω2)]
Por sua vez, F é o ponto de intersecção das retas AA1 e BB1:
f =bc3
bc3· 1 + b−1c−2ω−1 − b−1 − c−3
b−1c−2ω−1 − b−1c−3=b(c3 − 1)− c(c2 − ω2)
ω2(c− ω)= ω[b(c2 + cω + ω2)− c(c+ ω)]
Mostrar que o triângulo DEF é equilátero é equivalente a mostrar que d+ ωe+ ω2f = 0. Ora,
d+ωe+ω2f = (b2+bc+c2)−bc(b+c)+ω3[c(b2+bω2+ω)−b(b+ω2)]+ω3[b(c2+cω+ω2)−c(c+ω)]
Como w3 = 1 e ω2 + ω + 1 = 0, a expressão acima pode reescrever-se como
b2+bc+c2−b2c−bc2+b2c+bcω2+cω−b2−bω2+bc2+bcω+bω2−c2−cω = bc(ω2+ω+1) = 0
Uma generalização do Teorema de Morley pode ser obtida
considerando também as trissetrizes dos ângulos externos do
triângulo. Tomando certas intersecções entre as trissetrizes
dos ângulos externos e as trissetrizes dos ângulos internos,
podemos obter mais quatro triângulos equiláteros, entre eles
o triângulo V1V2V3 como se observa na �gura 20.
Em primeiro lugar, note-se que o ângulo cujos lados são
uma trissetriz de um ângulo interno e a trissetriz do ângulo
externo adjacente mede π3 , como está ilustrado na �gura 21.
Figura 20
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Considere-se CE1 a trissetriz representada na �gura 22. Sabe-se que C2CE1 = π3 , pelo que o
ângulo ao centro associado ao mesmo arco de circunferência ,C2OE1, tem de amplitude 2π3 . Logo,
o número complexo do qual E1 é a�xo é c2ω.
Analogamente, considerando a trissetriz BE2, sabemos que B2BE2 = −π3 pelo que B2OE2 =
−2π3 . Deste modo, o número complexo do qual E2 é a�xo é b2ω2.
Do mesmo modo, tendo agora em atenção a �gura 23, temos que C1OE3 = −2π3 e A2OE4 =
2π3
e, assim, E3 é o a�xo de cω2 e E4 é o a�xo de b2cω2ω = b2c.
Por sua vez, direcionando agora a atenção para a �gura 24, B1OE5 =2π3 e A1OE6 = −2π
3 , pelo
que E5 e E6 são a�xos dos números complexos bω e bc2, respetivamente.
Figura 21 Figura 22
Figura 23 Figura 24
Como V1 = CE1 ∩BE2, V2 = CE3 ∩AE4 e V3 = AE6 ∩BE5 e tendo em conta os números com-
plexos associados a cada um dos pontos, para provar que V1V2V3 é um triângulo equilátero temos
apenas de substituir na prova original b por bω e c por cω2, o que caracteriza uma transformação
do triângulo ABC. Assim, vem que v1 + ωv2 + ω2v3 = bωcω2(1 + ω + ω2) = 0.
Provamos assim que o triângulo V1V2V3 da �gura 20 é equilátero. De modo análogo, tendo em
conta os ângulos entre as trissetrizes dos ângulos internos e as trissetrizes dos ângulos externos do
triângulo original, pode provar-se que os restantes triângulos coloridos a vermelho são equiláteros.
O Teorema de Morley admite muitas generalizações que podem ser expressas através de trans-
formações do triângulo original ABC, como sucedeu acima, e podem ser encontradas em [4].
Espera-se, com este trabalho, ter sensibilizado o leitor para o facto de os números complexos
constituirem uma poderosa ferramenta na abordagem de certos problemas de geometria plana.
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Referências
[1] Andreescu, Titu; Andrica, Dorin. Complex Numbers from A to...Z. Birkhäuser Boston: 2006.
[2] Cockcroft, W. H. Complex numbers : a study in algebraic structure. Chapman and Hall: 1972.
[3] Direção-Geral da Educação. Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12º ano. Disponí-
vel em https://www.dge.mec.pt/sites/.../Aprendizagens_Essenciais/12_matematica_a.pdf.
Consultado em 05/01/2020.
[4] Hahn, Liang-shin. Complex Numbers and Geometry. The Mathematical Association of Ame-
rica: 1994.
[5] Leys, Jos. Dimensions Chapter 5. Disponível em https://www.youtube.com/...2kbM96Jr4nk.
Consultado em 05/01/2020.
[6] Loureiro, Cristina; Oliveira, Augusto Franco; Silva, Jorge Nuno; Bastos, Rita. Brochuras de
Matemática para o Secundário - Trigonometria e Números Complexos 12º ano. Ministério da
Educação: 2000.
[7] Ministério da Educação e Ciência. Programa e Metas Curriculares Ma-
temática A, Ensino Secundário, Cursos Cientí�co-Humanísticos de Ci-
ências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas. Disponível em
https://www.dge.mec.pt/.../programa_metas_curriculares_matematica_a_secundario.pdf.
Consultado em 05/01/2020.
[8] Oakley, Cletus; Baker, Justine. The Morley Trisector Theorem. Disponível em
https://personal.us.es/rbarroso/rbarroso/trianguloscabri/morley.pdf. Consultado em
01/04/2020.
[9] Veloso, Eduardo. Conexões da Geometria: a recta real. Associação de Professores de Mate-
mática: 2014.
[10] Veloso, Eduardo. Conexões da Geometria: o plano complexo. Associação de Professores de
Matemática: 2016.
[11] Yaglom, I.M. Complex Numbers in Geometry. Academic Press Inc: 1968
50
