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APONTAMENTOS DE AULA – TOPOGRAFIA

AULAS 09 e 10: CÁLCULO DA POLIGONAL

Extraído da apostila “fundamentos da topografia, de Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion

A avaliação de áreas é uma atividade comum na Topografia. Por exemplo, na compra e venda de imóveis rurais e urbanos esta informação se reveste de grande importância. Basicamente os processos para determinação de áreas podem ser definidos como analíticos, gráficos, computacionais e mecânicos. PROCESSO GRÁFICO Neste processo a área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas, como triângulos, quadrados ou outras figuras, e a área final será determinada pela somatória de todas as áreas das figuras geométricas. A figura 1 ilustra a aplicação do método gráfico, através do processo de divisão da área em quadrículas e em figuras geométricas

equivalentes.

PROCESSO COMPUTACIONAL Atualmente é uma forma bastante prática para o cálculo de áreas. Baseado no emprego de algum programa gráfico, como por exemplo, o AutoCAD, no qual são desenhados os pontos que definem a área levantada e o programa calcula esta área, por métodos analíticos.

PROCESSO MECÂNICO Utiliza-se um equipamento denominado de planímetro (figura 2). Este consiste em dois braços articulados, com um ponto fixo denominado de pólo e um cursor na extremidade dos braços, o qual deve percorrer o perímetro do polígono que se deseja calcular a área. Também apresenta um tambor giratório. De acordo com CINTRA (1996), "pode-se demonstrar que o giro do tambor e, portanto, a diferença de leituras, é proporcional à área envolvida pelo

contorno percorrido".

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A área será dada por: Área = k. (Lf - Li) onde: k é a constante do aparelho para um dado comprimento do braço graduado; Lf é a leitura final; Li é a leitura inicial. O valor de K pode ser determinado planimetrando-se uma área conhecida (S) diversas vezes (n).

k = (n . S)/ (Lf - Li) De acordo com CINTRA(1996) o pólo deve ser posicionado fora da área que esta sendo avaliada, caso contrário, deve-se adicionar à área o chamado "círculo zero", fornecido pelo fabricante.

PROCESSOS ANALÍTICOS Neste método a área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a partir das coordenadas dos pontos que definem a feição, realizarem os cálculos desejados. O cálculo da área de poligonais, por exemplo, pode ser realizado a partir do cálculo da área de trapézios formados pelos vértices da poligonal (fórmula de Gauss). Através da figura 3 é possível perceber que a área da poligonal definida pelos pontos 1, 2, 3 e 4 pode ser determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2.

A área 1 pode ser calculada a partir das áreas dos trapézios formados pelos pontos 2', 2, 1, 1´ e 1', 1, 4, 4'. Na figura 4

é apresentada a fórmula de cálculo da área de um trapézio qualquer.

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Para facilitar a compreensão, será calculada a área do trapézio formado pelos pontos 2', 2, 1, 1' (figura 5).

Conforme pode ser visto na figura 5, a área do trapézio será dada por:

Desta forma a área 1 (figura 3) será calculada por:

Da mesma forma, a área 2 será calculada por:

A área da poligonal (Ap) será dada por:

Desenvolvendo tem-se:

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Reescrevendo a equação acima, eliminando-se o sinal negativo obtém-se:

Genericamente a equação acima pode ser reescrita por:

Sendo n igual ao número de pontos da poligonal. Deve-se observar que quando i = n, o valor de i+1 deve ser considerado como sendo 1, ou seja, o primeiro ponto novamente. Outra fórmula pode ser obtida a partir da resolução da equação acima.

Simplificando os termos semelhantes e reescrevendo a equação obtém-se:

A equação acima pode ser representada genericamente por:

ou também de outra forma, conforme equação abaixo cuja dedução fica para o leitor:

EXERCÍCIO 1- Dadas as coordenadas dos pontos de uma poligonal, calcular a área da mesma.

Efetuando-se os cálculos utilizando-se a equação

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Conferindo, empregando-se a equação

Outro processo de cálculo da área da poligonal utilizando-se a Equação conhecida por COORDENADAS TOTAIS:

O cálculo da área utilizando-se a equação acima pode ser realizado facilmente montando-se uma tabela com as coordenadas dos pontos, com o cuidado de repetir a coordenada do primeiro ponto no final da tabela, e multiplicando-se de acordo com o ilustrado pela figura 6.

EXERCÍCIO 2 - A partir dos dados fornecidos no exercício 1, calcular a área da poligonal empregando-se a equação de COORDENADAS TOTAIS:

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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:

Para o cálculo de área de uma poligonal utilizando-se o processo de COORDENADAS TOTAIS o ponto com as coordenadas consideradas X0 e Y0 deve ser o ponto mais a oeste da poligonal. No exercício acima o ponto mais a oeste foi o ponto 01, por isso a tabela iniciou-se por ele e na última linha repetiu-se suas coordenadas para fechar a poligonal.