Apostila 1 - Funções

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIDADE 1

Funções Reais de Uma Variável

Objetivos

� Reconhecer os conjuntos numéricos.

� Operar com intervalos numéricos.

� Reconhecer a representação gráfica de uma função.

� Manipular funções algébricas, exponenciais, logarítmicas, hiperbólicas e

trigonométricas: determinação de domínio, estudo do sinal, cálculo de zero(s),

composição e inversão.

� Analisar o crescimento e decrescimento de funções exponenciais.

� Modelar problemas envolvendo funções.

Cálculo Diferencial e Integral Unidade 1 - Funções de uma Variável

2

UNIDADE 1 - FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 1.1 Conjuntos Numéricos O sistema de números reais contém diversos conjuntos de números: i) Conjunto de números naturais (IN): IN={0, 1, 2, 3, ...} ii) Conjunto dos números inteiros (Z): Z={..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... } iii) Conjunto dos números racionais (Q)

É constituído pelos números que podem ser expressos como quociente de dois números inteiros b

a,

0≠b . Por exemplo, 2

13,

5

8,

3

2− e

4

1

100

2525,0 == .

Quando expressos sob forma decimal, os racionais são finitos ou são dízimas periódicas. Por exemplo:

10

550 =, ,

100

5050 =, , 625,0

8

5= , ...33333,0

3

1= e ...181818,1

11

13= .

É importante salientar que todo número inteiro é racional, pois pode ser expresso como ele mesmo

dividido por 1. Por exemplo,1

55 = ,

1

875875 = ,

1

2525 −=− .

iv) Conjunto dos números irracionais

É formado pelos números que não podem ser expressos como quociente de dois inteiros. Por exemplo,

dízimas não periódicas, π,57,3,2 + . A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais dá origem ao conjunto dos números reais. v) Conjunto dos números reais (IR) Esse conjunto é constituído pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais. 1.2 Intervalos Numéricos O conjunto dos números reais que pode ser representado na reta real por um segmento de reta denominado intervalo. As desigualdades podem ser utilizadas para escrevê-los. Por exemplo, o intervalo

bxa ≤≤ consiste em todos os números reais x que estão entre a e b , incluindo a e b . Os números a e b são conhecidos como extremos do intervalo. Se os extremos estão incluídos o intervalo é chamado de fechado, caso contrário, é aberto. Observe a tabela 1. Operações com intervalos numéricos União

A união de dois conjuntos A e B, que se indica por A∪∪∪∪B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B, ou seja, A∪B = {x / x ∈A ou x ∈B} Exemplo: Seja os conjuntos A= [−1, 5[ e B= ]2, 6], o conjunto A∪B é representado por: A∪∪∪∪B = [−1, 6]

Interseção A interseção de dois conjuntos A e B, que se indica por A∩∩∩∩B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, ou seja, A∩B = { x / x ∈A e x ∈B}. Exemplo: Seja os conjuntos A= [−1, 5[ e B= ]2, 6], o conjunto A∩B é representado por: A∩∩∩∩B = ]2, 5[


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Tabela 1: Representação de intervalos numéricos

Representação por compreensão Representação geométrica Representação por intervalo

{ }bxa|IRx ≤≤∈

Intervalo fechado

[ ]b,a

{ }bxa|IRx <<∈

Intervalo aberto

( ) ] [b,a,b,a

{ }bxa|IRx ≤<∈

Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita

] ] ( ]b,a,b,a

{ }bxa|IRx <≤∈

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita

[ [ [ )b,a,b,a

{ }ax|IRx <∈

Intervalo Infinito e aberto à direita ( ) ] [a,,a, ∞−∞−

{ }ax|IRx ≤∈

Intervalo Infinito e fechado à direita

( ] ] ]a,,a, ∞−∞−

{ }ax|IRx >∈

Intervalo Infinito e aberto à esquerda ( ) ] [∞∞ ,a,,a

{ }ax|IRx ≥∈

Intervalo infinito e fechado à esquerda [ ) [ [∞∞ ,a,,a

E1. Para os intervalos numéricos A e B definidos a seguir represente-os por compreensão e geometricamente, a seguir determine a interseção e união.

a) A= (-2; 4] e B= [-1; 5) b) A= (-3; 5] e B= [-1; -1] c) A= (0; 3] e B= (4; +∞)

Respostas

Compreensão Geometricamente A∪B A∩B a) • { }| 2 4x IR x∈ − < ≤

• { }| 1 5x IR x∈ − ≤ <

(-2 ; 5) [-1; 4]

b) • { }| 3 5x IR x∈ − < ≤

• { }| 1x IR x∈ = −

(-3; 5] [-1,-1]

c) • { }| 0 3x IR x∈ < ≤

• { }| 4x IR x∈ >

(0; 3] ∪ (4; +∞) ∅

1.3 Plano Cartesiano

Assim como os números reais são utilizados como coordenadas para pontos de uma reta, pares de números reais podem ser utilizados como coordenadas para pontos de um plano. Com este propósito se estabelece um sistema de coordenadas retangulares no plano chamado de plano cartesiano.

Desenhamos duas retas perpendiculares no plano, uma horizontal e outra vertical. Estas retas são chamadas de eixo x e eixo y, respectivamente, e seu ponto de intersecção chama-se origem. As coordenadas são assinaladas com a origem como ponto zero em ambos os eixos e a mesma distância unitária em ambos os eixos. O semi-eixo positivo dos x está à direita da origem, semi-eixo negativo dos x está à esquerda; semi-eixo positivo dos y está acima da origem e o semi-eixo negativo dos y está abaixo.


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Consideremos um ponto P qualquer do plano. Desenhamos uma reta por P paralela ao eixo dos y, e

seja x a coordenada do ponto em que a curva corta o eixo dos x. Analogamente, desenhamos uma reta por P paralela ao eixo dos x, e seja y a coordenada do ponto em que essa reta corta o eixo dos y. Os números x e y assim determinados chamam-se coordenada x (abscissa do ponto) e coordenada y (ordenada do ponto) de P. As coordenadas de P são escritas como um par ordenado (x, y). 1.4 Definição de Função Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. Por exemplo, a demanda do consumidor por combustível (c) pode depender de seu preço de mercado atual (p); a quantidade de poluição atmosférica numa determinada área metropolitana (q) pode depender do número de carros na rua (n); o preço da garrafa de vinho (p) pode depender de sua idade (i); o rendimento anual de suas economias (r) depende da taxa de juros oferecida pelo banco (i). Tais relações podem ser frequentemente representadas matematicamente por funções. Em cada caso, o valor de uma variável depende da outra. Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto um único elemento de outro conjunto é chamada de função. Os conjuntos podem ser de qualquer tipo e não precisam ser iguais.

Designamos como x a variável independente, porque ela é livre para assumir qualquer valor do domínio. O conjunto A que contém x é o domínio da função. Designamos y como a variável dependente porque seu valor numérico depende do valor de x . O conjunto B que contém y é o contradomínio da função. A imagem da função está contida no contradomínio e é o conjunto de todos os valores de y que correspondem a algum valor de x .

Definição: Seja A um dado conjunto de números reais. Uma função f definida do conjunto A para o conjunto B é uma regra, ou lei de correspondência, que atribui um único número real y de B a cada x de A.

)(xfy = lê-se y é igual a f de x.


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1.4.1 Domínio

O domínio de uma função representa um conjunto de valores que a variável independente pode assumir a fim de que a função tenha valores sobre o conjunto dos números reais. 1.4.2 Imagem A imagem de uma função é o conjunto de valores que a variável dependente recebe quando a variável independente varia sobre o domínio da função.

1.4.3 Cálculo da Função para um Determinado Valor de x

Frequentemente a função é abreviada pela letra y e muitas vezes é conveniente falar da “função

( )xfy = ”. Por exemplo, a função 12 2 += xy refere-se à função ( )xf para qual ( ) 12 2 += xxf . Procurar o valor da função para um determinado valor de x é simplesmente substituir o valor x na expressão e obter o valor da ( )xf . Em um gráfico será determinar o valor correspondente de y para o x considerado.

Observação: A necessidade de que uma função associe um e somente um valor de y para cada valor de x em seu domínio corresponde à condição geométrica de que dois pontos distintos do gráfico não podem possuir a mesma abscissa. Ou seja, o gráfico de uma função não pode passar acima ou abaixo de si mesmo. Exemplo 1. Considere a equação descrita por 2 2 1y x= − e que tem gráfico dado pela figura abaixo. Esta equação pode ser tomada como uma relação funcional?

Solução: Como pode ser visto no gráfico fica claro que para um mesmo ponto x podem existir 2 valores y a ele associado, portanto, não pode ser considerada uma função a equação acima.

Exemplo 2. Considere o gráfico dado pela figura abaixo. Este gráfico representa uma relação funcional, isto é, o gráfico de uma função?

Solução: Como pode ser visto no gráfico fica claro que para um mesmo ponto x não existem mais do que 1 valor y a ele associado, portanto, o gráfico em questão é de uma função. Poderia ser dito que existem 2 valores x para um mesmo valor y , contudo isso é aceitável, pois a restrição na definição de função é não se ter mais de 1 valor y associado a cada valor x .


6

Exemplo 3. Observe o gráfico de )(xf e responda:

a) Qual é o domínio de )(xf ?

b) Qual é a imagem de )(xf ?

c) O valor de ( )0f é positivo ou negativo?

d) O valor de ( )5f é positivo ou negativo?

e) Qual é o valor de ( )4f ?

f) Para quais valores de x , )(xf é nula?

g) Para quais valores de x , )(xf é positiva?

h) Para quais valores de x , )(xf é negativa? Solução: a) IRD = b) { }6≤∈= y|IRyIm

c) ( ) 40 =f , portanto, é positivo.

d) ( )5f é negativo, está abaixo do eixo x.

e) ( ) 04 =f , o ponto (4,0) é onde a curva intercepta o eixo x, esse ponto é também chamado de raiz da função.

f) )(xf é nula em 1−=x e 4=x .

g) )(xf é positiva para os valores de x que estão no intervalo 1− e 4, isto é, { }41 <<−∈ x|IRx .

h) )(xf é negativa para os valores de x que são menores que 1− ou maiores que 4, isto é,

{ }41 >−<∈ x,x|IRx .

Exemplo 4. Suponha que o custo total em u.m. (unidades monetárias) de unidades produzidas de um certo bem

seja dado pela função ( ) 20050030 23 ++−= qqqqC . Determine: a) o custo para produzir 10 unidades do bem; b) o custo para produzir a décima unidade desse bem. Solução: a) Para encontrar o custo para produzir 10 unidades do bem, substituímos q por 10 na função ( )qC , isto é,

( ) ( ) ( ) .m.uC 320020010500103001 10 23 =++−= b) Para encontrar o custo para produzir a décima unidade desse bem, calculamos a diferença entre o custo de

produção de nove e o custo de produção de 10 unidades, isto é, ( ) ( ) .m.uCC 20129993200910 =−=−

Exemplo 5. Considere a função definida por

>≤<+

≤≤−−

−<

=

3,

31,1

12 ,1

2,2

)(2

xx

xx

xx

x

xf , determine:

a) ( )4−f R: 2

b) ( )2−f R: 3

c) ( )0f R: 1

d) ( )2f R: 5

e) ( )4f R: 2

E2. Com base na definição de funções, considere a seguinte situação e responda:

Numa pesquisa para detectar os canais de TV de maior audiência, os pesquisadores associam cada televisor ligado ao canal no qual está sintonizado. a) Essa situação caracteriza uma função? b) Se associássemos cada canal aos televisores ligados, isto seria uma função?


7

E3. Calcule os valores indicados das funções dadas:

a) 1

)(2 +

=x

xxh )1(),0(),1( hhh −

b) ( )42 )( 2 ++= xxxf )2(),0(),4( fff −

c) xxg += 4 )( )2(),0(),2( ggg −

d)

>≤≤−+

−<

=

5,55 ,1

5,3

)(

xx

xx

x

xg )16(),0(),5(),6( gggg −−

E4. Dada a função f: R →R definida por ( ) 13 += xxf , calcule: a) f(−2) b) f (0) c) f (1/3) d) f (x) = 4 e) f (x) = 0 E5. Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma certa fábrica indica que um trabalhador médio que

chega ao trabalho às 8h terá montado ( ) xxxxf 156 23 ++−= rádios x horas mais tarde. Responda: a) Quantos rádios terá montado um trabalhador às 10h? b) Quantos rádios terá montado um trabalhador entre 9 e 10h? E6. Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (em metros) após t segundos é dada pela função

25616 )( 2 +−= ttH . Responda: a) Que altura estava a bola 2 segundos após o lançamento? b) Qual distância viajará a bola durante o terceiro segundo? c) Que altura tem o prédio? d) Quando a boa atingirá o solo?

E7. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir de agora, o preço de um

certo modelo seja de 1

3040)(

++=

xxP unidades monetárias.

a) Qual será o preço daqui a 5 meses? b) Em relação ao quarto mês, quanto cairá o preço no quinto mês? c) Quando o preço será de $43? d) O que acontecerá com o preço a longo prazo? E8. Um estudo ambiental de uma certa comunidade urbana sugere que o nível médio diário de monóxido de carbono no ar será de ( ) 140 += p,pc ppm quando a população for de p mil. Estima-se que, t anos a partir de

agora, a população da comunidade será de ( ) 2208 t,tp += mil. a) Expresse o nível de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo. b) Qual será o nível de monóxido de carbono daqui a dois anos? c) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 6,2ppm? E9. Estima-se que t anos a partir de agora, a população de uma certa comunidade urbana será de

1

6 20)(

+−=

ttP mil. Responda:

a) Qual será a população da comunidade daqui a 9 anos? b) Quanto a população crescerá durante o nono ano? c) O que acontece com )(tP à medida que t cresce mais e mais?


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E10. Observe o gráfico de ( ) ( )( )( )421 −−−= xxxxf e responda atentamente às seguintes perguntas. a) Qual é o domínio de )(xf ?

b) Qual é a imagem de )(xf ?

c) Qual é o valor de ( )1−f ?

d) Qual é o valor de ( )4f ?

e) Para quais valores de x , )(xf é positiva?

f) Para quais valores de x , )(xf é negativa?

g) A função )(xf é contínua?

E11. Responda às perguntas abaixo utilizando a função xyxf +== 1)( : a) Para quais valores de x, y=4? b) Para quais valores de x, y=0? c) Qual é a função de x que descrita por )1( +xf ?

E12. Determine o domínio das funções: a) ( )3

1x

xf −= b) ( ) xxxf += 2

Respostas

E2. Situação 1 a) sim b) não Situação 2 a) sim b) não E3. a) 2/1)1( −=−h , 0)0( =h , 2/1)1( =h c) 10)3( =f , 2)1( =f , 4)0( =f , 8)2( =−f

b) ( ) 324 =−f , 2)0( =f , ( ) 322 =f d) 3)6( =−g , 4)5( −=−g , 1)0( =g , 4)16( =g

E4. a) −5 b) 1 c) 2 d) 1=x e) 3/1−=x E5. a) 46)2( =f b) 26)1()2( =− ff

E6. a) 192)2( =H b) 80)2()3( =− HH c) 256)0( =H d) 4=t E7. a)$45 b) Diminuirá $1 c) 9 meses d) $40

E8. a) 208,02,4)( ttc += b) ppmc 52,4)2( = c) 5=t

E9. a) milP 4,19)9( = b) 400)8()9( =− PP c) 20 mil

E10. a) IR b) IR c) −30 d) 0 e) { }421 ><<∈ x,x|IRx f) { }421 <<<∈ x,x|IRx g) Sim

E11. a) 9=x b) não há c) ( ) 111 ++=+ xxf E12. a) ID = IR b) ID = IR 1.5 Alguns Tipos de Funções 1.5.1 Função Crescente Uma função )(xf é dita crescente se para todos os pontos 1x e 2x ,

tais que 21 xx < , )()( 21 xfxf < .


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1.5.2 Função Decrescente Uma função )(xf é dita decrescente se para todos os pontos 1x e

2x , tais que 21 xx < , )()( 21 xfxf > . 1.5.3 Função Contínua

Toda função cujo gráfico é constituído por uma única curva contínua. As funções polinomiais são contínuas.

1.5.4 Função Descontínua

As funções descontínuas são aquelas que não são contínuas. As funções algébricas possuem pontos de descontinuidade nos valores da variável x que estão fora de seu domínio.

1.5.5 Função Par Uma função )(xf é par se, para todo x no domínio de )(xf ,

x− pertence também ao domínio de )(xf e )()( xfxf =− . Pode-se dizer que elementos opostos têm imagens iguais. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo vertical. Exemplo 6. Verifique se as seguintes funções são pares:

a) 4)( xxf = b) ( )xxg cos)( = 1.5.6 Função Ímpar Uma função )(xf é ímpar se, para todo x no domínio de )(xf , x−

pertence também ao domínio de )(xf e )()( xfxf −=− . Pode-se dizer que elementos opostos têm imagens opostas. O gráfico de uma função par é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplo 7. Verifique se as seguintes funções são ímpares:

a) 5)( xxf = b) ( )xsenxg =)(


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Observação: Simetria

1.5.7 Função Algébrica Uma função algébrica é qualquer função cuja regra é um polinômio ou que pode ser obtida a partir de um polinômio, por adição, subtração, multiplicação, divisão ou potência inteira ou racional. As funções algébricas incluem:

A) as funções polinomiais: Forma geral: nn xaxaxaxaaxp +++++= ...)( 3

32

210 Ex.: 42)( 3 +−= xxxf .

B) as funções racionais: Forma geral: )(

)()(

xq

xpxf = , onde )(xp e )(xq são funções polinomiais tal que

0)( ≠xq . Ex.: 1

2)(

2

2

−

+=

x

xxxg .

C) as funções envolvendo valor absoluto: 4)( 2 −= xxh ;

D) funções envolvendo potências fracionárias: xxk =)( , 3)( xxm = , 32

5)(

+=

xxn e 24)( xxv −= .

1.5.8 Função Transcendente

Toda função que não é algébrica é chamada de transcendente. São funções transcendentes as funções trigonométricas, as hiperbólicas, a exponencial e a logarítmica. Por exemplo, )1()( += xsenxf ,

)4log()( 2 += xxg , xxh 2)( = e )()( xsenhxm = . 1.6 Função Polinomial As funções polinomiais mais simples são as potências de x com expoentes inteiros não-negativos

nxxxx ,...,,,,1 32 . Se uma quantidade finita delas é multiplicada por constantes e os resultados são somados,

obtemos um polinômio da forma: nn xaxaxaxaaxp +++++= ...)( 3

32

210 .

O grau de um polinômio corresponde ao maior expoente de x que aparece nele; se 0≠na , o grau de

)(xp é n. Por exemplo, 32 5246)( xxxxf −+−= é uma função polinomial de grau 3 com coeficientes

5,2,4,6 3210 −==−== aaaa . Outros exemplos de funções polinomiais são: a) f(x) = 2 b) g (x) = 2 x – 4 c) h (x) = x 3 + 2x 2 – x – 2 d) m(x) = x 2 – 6x + 9


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1.6.1 Função Polinomial do primeiro grau

Sendo dados dois números reais a e b, com a ≠ 0, chama-se função polinomial do 1º grau a função ( ) baxxf += , definida para todo x real. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular e b, de coeficiente

linear.

• Um função IRIRf →: , onde ( ) baxxf += , com IRba ∈, e a ≠ 0, é denominada função afim.

• No caso de a ≠ 0 e b = 0, a função do 1º grau recebe o nome particular de função linear. • No caso de a = 1 e b = 0, a função do 1º grau recebe o nome particular de função identidade. • No caso de a = 0 e IRb ∈ , a função do 1º grau recebe o nome de função constante.

O domínio e a imagem da função linear correspondem ao conjunto dos números reais (IR). Raiz de uma função do 1° grau

É o valor de modo que ( ) 0=xf , ou seja, é o ponto em que a reta corta o eixo x. Sinal de uma função do 1° grau

0>a reta ascendente 0<a reta descendente

Esboço do gráfico Para esboçar o gráfico de uma função do primeiro grau, basta encontrar dois pontos da reta. Como sugestão faça 0=y e 0=x na expressão da função. Exemplo 8. Dada a equação da função linear: 63 −= xy , determine: a) seu domínio; b) sua imagem; c) sua raiz; d) os intervalos onde é positiva e onde é negativa. Esboce seu gráfico. Solução: a) IRID = b) IR=Im c) A raiz é encontrada igualando a função a zero 063 =−x , logo 2=x . d) O intervalo onde a função é positiva é obtido através da resolução da inequação 063 >−x , assim 2>x . O intervalo onde a função é negativa é obtido através da resolução da inequação 063 <−x , assim 2<x . Podemos escrever: ( ) 0>xf para { }2| >∈ xIRx e ( ) 0<xf para { }2| <∈ xIRx .


12

Exemplo 9. Uma agência de aluguel de carros cobra como taxa fixa $25, mais $0,60 por quilômetro percorrido. Uma segunda agência cobra como taxa fixa $30 mais, $0,50 por quilômetro rodado. Qual é a agência que oferece melhor negócio? Solução:

Agência Custo Fixo ($) Custo por Km ($) Equação A 25 0,6 x,C A 6025 +=

B 30 0,5 x,CB 5030 += Para encontrarmos a extensão do percurso em que as duas agências cobram o mesmo valor, igualamos os valores dos custos AC e BC , isto é, x,x, 50306025 +=+ e encontramos o valor de x, que é Kmx 50= . Analisando as funções, temos:

x Agência A Agência B 30 ( ) ( ) 4330602530 =+= ,C A ( ) ( ) 4530503030 =+= ,CB

100 ( ) ( ) 851006025100 =+= ,C A ( ) ( ) 801005030100 =+= ,CB

Para um percurso de 50Km as duas agências cobram o mesmo valor. Para um percurso inferior a 50Km, a agência A cobra menos. Para um percurso superior a 50Km, a agência B cobra menos. Graficamente, Inequações

São sentenças abertas que usam algum símbolo de desigualdade, tais como: <, >, ≤, ≥, ≠, para

relacionar a expressão algébrica do 10 membro com a do 20 membro. Resolver uma inequação significa encontrar todos os valores da variável (ou variáveis) que tornam a

sentença aberta verdadeira. Esse conjunto de valores é denominado conjunto-solução da sentença aberta. As principais regras utilizadas no trabalho com desigualdades são:

i) Se 0>a e cb < , então acab < . ii) Se 0<a e cb < , então acab > . iii) Se ba < , então cbca +<+ para qualquer número c . Exemplo 10. Resolva a inequação, 6(x –1) > 8x considerando como conjunto universo o conjunto dos números reais. Solução: Resolvendo a inequação 6(x –1) > 8x 6(x –1) > 8x 6x – 6 > 8x (aplicação da propriedade distributiva) 6x – 6 + 6 > 8x + 6 (somou-se 6 a ambos os membros) 6x > 8 x +6 6x – 8x > 8 x + 6 – 8x (subtraiu-se 8x de cada membro) – 2x > +6


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(–1) – 2x < +6 (–1) (multiplicou-se por (−1) ambos os membros e INVERTEU-SE o sinal da desigualdade) 2x < – 6

2

6

2

2 −<

x (dividiu-se por 2 cada membro)

x < – 3 Conjunto solução: S = { x ∈IR/ x < – 3} E13. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares.

a. 123)( 24 +−= xxxf b. xxxf 25)( 3 −= c. 22)( 2 ++= xxxf

d. 1

)(2

3

+

−=

y

yyyf e.

1

1)(

+

−=

x

xxf f. ( )xx aaxf −+=

2

1)(

E14. Para cada uma das funções lineares dadas abaixo:

a) Determine sua raiz. b) Obtenha a intersecção com o eixo y. c) Explicite seu domínio e sua imagem. d) Estude seu sinal. e) Esboce seu gráfico.

i) xy 5−= ii) 84 −= xy iii) 2=y E15. Uma das dimensões de um piso retangular é 4m e sua área é menor que 132m2, sendo x a outra dimensão do piso. a) Escreva a inequação que x deve satisfazer. b) Resolva a inequação obtida em (a). E16. Encontre o conjunto-solução de cada uma das seguintes inequações no conjunto dos números reais:

a) ( )

2

1

6

13

3

2<

−−

yy b) 1

3

12 ≤+− t c) ( ) 153123 −<−+ xxx

d) ( ) ( ) ( )72323223 −−≥++− xxxx e) x3

2

2

5

4

9+<

Respostas

E13. a. par b. ímpar c. nem par, nem ímpar d. ímpar e. nem par nem ímpar f. par E14.

Função Raízes 0=x D Im Sinal xy 5−= x = 0 0 IR IR 0)( >xf : {x∈IR| x < 0}

0)( <xf {x∈ IR | x > 0}

84 −= xy x = 2 −8 IR IR 0)( >xf : {x∈ IR | x > 2}

0)( <xf {x∈ IR | x < 2}

2=y Não há 2 IR y = 2 0)(, >∈∀ xfIRx

E15. a) 1324 <x b) 33<x

E16. a) { }0| <∈ yIRy b)

−≥∈3

1| tIRt c) { }2| >∈ xIRx

d)

≥∈3

7| xIRx e)

−>∈8

3| xIRx


14

1.6.2 Função Quadrática: a Parábola Definição Uma equação da forma cbxaxy ++= 2 , onde 0≠a , é chamada de função quadrática em x. Dependendo do valor de a, a parábola poderá ter uma das formas mostradas abaixo:

Em ambos os casos a parábola é simétrica em torno de uma reta vertical paralela ao eixo y. Essa reta de simetria corta a parábola em um ponto chamado de vértice (V). Se 0>a , o vértice é o ponto mais baixo da curva. (a parábola é voltada para cima) Se 0<a , o vértice é o ponto mais alto da curva. (a parábola é voltada para baixo) Raízes de uma função quadrática

As raízes de uma função quadrática, para 0≠a , são calculadas através de 0)( =xf .

As raízes de uma função quadrática, para 0≠a , isto é, 02 =++ cbxax e são dadas por

a

acbbx

2

42

1

−+−= e

a

acbbx

2

42

2

−−−= . Em geral, utilizamos acb 42 −=∆ .

Observação: Conforme o valor de ∆, três casos podem ocorrer: Se ∆ > 0, então a função possui duas raízes reais e distintas. Se ∆ = 0, então a função possui duas raízes reais e iguais. Se ∆ < 0, então a função não possui raízes reais. Exemplo 11. Determine as raízes das seguintes funções:

a) ( ) 222 −−= xxxf b) ( ) 162 −= xxg c) ( ) 032 =−= xxxh d) ( ) 522 −+−= xxxm Resolução:

a) 0222 =−− xx ( 221 −=−== c,b,a ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 2

122

12

21422 2±

=−−−±−−

=x , então 31 ±=x .

b) 0162 =−x Nesse caso, a equação pode ser resolvida diretamente: 416162 ±=→±=→= xxx

c) 032 =− xx Nesse caso, a equação pode ser resolvida diretamente:

( )( )

=→=−

=→=−→=−

303

003032

xx

xxxxx

d) 0522 =−+− xx ( 521 −==−= c,b,a ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 2

162

12

51422 2

−

−±=

−

−−−±−=x Não possui raízes reais.

eixo


15

Observação: Relações de Girard : A soma das raízes da equação do segundo grau é a

bxx −=+ 21 e o produto

é a

cxx =⋅ 21 .

Intersecção com o eixo y

A intersecção com o eixo y é calculada avaliando-se o valor da função em 0=x , isto é, corresponde ao ponto ( )( )xfx, .

Fatoração da função quadrática

Um polinômio do tipo cbxaxxf ++= 2)( , onde 0≠a , é escrita como ( ) ( )( )21 xxxxaxf −−= ,

onde 1x e 2x são as raízes de )(xf .

O vértice de uma parábola

O ponto que representa o vértice da parábola é dado por:

∆−−=

aa

bV

4,

2.

Observação: Se a > 0, então V é um ponto de mínimo da função. Se a < 0, então V é um ponto de máximo da função. Domínio e Imagem da Função Quadrática

O domínio da função quadrática corresponde ao conjunto dos números reais (IR). O conjunto imagem dependerá do coeficiente a:

Se a > 0, então }4

|{}Im{a

yIRyf∆

−≥∈= .

Se a < 0, então }4

|{}Im{a

yIRyf∆

−≤∈= .

O gráfico de uma função quadrática

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e podemos ter os seguintes casos:

0>∆ 0=∆ 0<∆ 0>a

0<a

Com as coordenadas do vértice e as raízes da parábola, podemos esboçar o gráfico da função quadrática. Se necessário, ainda podemos escolher mais um ponto para que o gráfico fique mais preciso. O sinal da função quadrática

Estudamos o sinal da função quadrática, analisando a variação dos valores da função diretamente no gráfico.


16

Valor de ∆∆∆∆=b2−−−−4ac Conclusão Figura

∆ > 0

a >

0 Positivo no Exterior das Raizes

a < 0 Positivo no Interior das Raizes

a > 0 a < 0

∆ = 0

a >

0 0 no Vertice e Positivo nos demais x

a < 0 0 no Vertice e Negativo nos demais x

a > 0 a < 0

∆ < 0 a >

0 Sempre Positivo

a < 0 Sempre Negativo

a > 0 a < 0

Exemplo 12: Para as funções quadráticas 22)( 2 −−= xxxf e 52)( 2 −+−= xxxg , determine: i) o domínio; ii) suas raízes, se houver; iii) seu vértice; iv) sua imagem; v) os intervalos onde são positivas e os intervalos onde são negativas; vi) sua forma fatorada; vii) seu gráfico. Solução:

222 −−= xx)x(f 52)( 2 −+−= xxxg

Domínio RD = RD = Raízes ( ( ) 0=xf ) 0222 =−− xx

( 221 −=−== c,b,a )

( ) ( ) ( )( )( ) 2

122

12

21422 2±

=−−−±−−

=x

31 ±=x

0522 =−+− xx ( 521 −==−= c,b,a )

( ) ( ) ( )( )( ) 2

162

12

51422 2

−

−±=

−

−−−±−=x

Não possui raízes reais.

Vértice

∆−−=

aa

bV

4,

2

( )314

12

2

2−=

−

−−= ,,V

( ) ( )( )41

14

16

12

2−=

−

−−

−−= ,,V

Imagem }y|IRy{}fIm{ 3−≥∈= }y|IRy{}gIm{ 4−≤∈=

Intervalos 0>a , ou seja, a parábola está voltada para cima.

( ) { }( ) { }31310

31310

+<<−∈<

+>−<∈>

x|Rx:xf

x,x|Rx:xf

0<a , ou seja, a parábola está voltada para baixo.

( )( ) R:xf

hánão:xf

0

0

<

>

Forma fatorada ( ) ( )[ ] ([ 131222 +−−−=−−= xxxxxf

Não há

Gráfico


17

Exemplo 13: Um campo retangular deve ser cercado com 500m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como quarto lado. Seja x o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. a) Expresse y em termos de x. b) Expresse a área A do campo em termos de x. c) Qual é a maior área que pode ser cercada? Solução: a) Para cercar os lados há 500m de cerca, assim 500=++ xyx .

Isolando y, escrevemos y em termos de x: xy 2500 −= . b) A área do retângulo é alturabaseárea ×= , a base do retângulo é xy 2500 −= e a altura é x , portanto,

( ) 225002500 xxxxA −=−= . c) A maior área cercada corresponde à ordenada do vértice da parábola que descreve a área.

( )( )( )

22

312508

250000

24

024500

4m

aáreaMaior =

−

−=

−⋅

−−−=

∆−= .

Inequação do Segundo Grau Exemplo 14. Resolva a inequação x 2 – x – 6 ≤ 0, considerando como conjunto universo o conjunto dos números reais. Solução: Resolvendo a inequação x 2 – x – 6 ≤ 0 Podemos encontrar as raízes de x 2 – x – 6 = 0. Entre duas raízes consecutivas, o polinômio é inteiramente positivo ou negativo. Isto significa que quando as raízes reais de um polinômio são colocadas em ordem, elas dividem a reta real em intervalos em que o polinômio não tem mudança de sinal. A equação x 2 – x – 6 tem raízes x = –2 e x = 3. Estas raízes dividem a reta em três intervalos: (–∞,–2), (–2,3) e (3, ∞). Teste de Sinais: Intervalo VALOR NO

INTERVALO Valor do

Polinômio Conclusão

(–∞,– 2) x = – 3 6 Positivo (– 2,3) x = 0 –6 Negativo (3, ∞) x = 4 6 Positivo

Resposta: {x ∈R / –2 ≤ x ≤ 3}. Também podemos resolver utilizando o esboço do gráfico na figura ao lado. Pelo gráfico, vemos que o polinômio é negativo entre as raízes. Logo, S = { x ∈ IR / –2 ≤ x ≤ 3}. E17. Dadas as funções quadráticas:

1) 2)( 2 += xxf 2) 32)( 2 −+= xxxg 3) xxxh +−= 2)( 4) ( )22)( −= xxm a) Determine suas raízes (se houver) e seu vértice. d) Estude seu sinal. b) Obtenha a intersecção com o eixo y. e) Esboce seu gráfico. c) Explicite seu domínio e sua imagem.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-6

-4

-2

0

2

4

6

+ +

−


18

E18. Considere a função real 65)( 2 +−= xpxxf . Determine o valor de p para que o valor 3 seja raiz da função.

E19. Determine o valor de m para que a função 822)( 2 −−−= mxxxg tenha duas raízes reais iguais.

E20. Seja a função cbxaxxf ++= 2)( , onde a, b e c são constantes e a≠0, encontre os valores dos coeficientes

a, b e c se 3)0( =f , 2)1( =f e 9)2( =f .

E21. Um terreno retangular deve ser cercado com dois tipos de cerca. Dois lados opostos terão cercas mais grossas, custando $3,00 por metro, enquanto que os outros dois terão cerca comum que custa $2,00 por metro. Está disponível para as cercas $600,00. Seja x o comprimento de cada lado a receber a cerca grossa e y cada lado a receber a cerca comum. a) Expresse y em termos de x. b) Encontre uma expressão para a área A do terreno em termos de x. c) Qual é a maior área que pode ser cercada? E22. Resolva as inequações, considerando como conjunto universo o conjunto dos números reais:

a) 221 xx ≤− b) 02142 >−+ xx c) 962 −> xx E23. Qual é a função do segundo grau cuja única raiz é 3− e cujo gráfico passa pelo ponto )5,2(−=A ?

a) ( ) 45305 2 ++= xxxf b) ( )2

15

4

5

4

5 2 +−−−= xxxf c) ( ) 15205 2 −−−= xxxf

d) ( ) 21102 ++= xxxf e) ( ) 92 +−= xxf E24. Um fazendeiro tem 100m de cerca para construir um galinheiro retangular. Se x é o comprimento de um lado do galinheiro, mostre que a área cercada é A(x)=50x−x2. E25. Uma pessoa quer plantar um jardim retangular ao longo de um dos lados da casa, e construir uma cerca nos outros três lados do jardim. Expresse a área do jardim em função de um de seus lados sabendo que serão utilizados 20 m de cerca.

Respostas

E17. Função Raízes Vértice 0=x D Im Sinal

2)( 2 += xxf Não há (0, 2) 2)0( =f IR {y∈IR| y≥2} 0)(, >∈∀ xfIRx

32)( 2 −+= xxxg x=−3, x=1 (−1, −4) 3)0( −=g IR {y∈IR| y≥−4} 0)( >xg : {x∈IR| x <−3, x>1}

0)( <xg : {x∈IR| −3<x<1}

xxxh +−= 2)( x=0, x=1 ),(41

21 0)0( =h IR {y∈IR| y≤

41 } 0)( >xh : {x∈IR|0< x <1}

0)( <xh : {x∈IR|x<0, x>1 }

( )22)( −= xxm x=2 (2, 0) 4)0( =m IR {y∈IR| y≥0} 0)( >xm : {x∈IR| x≠2} 0)( <xm : { }

E18. p = 1 E19. m= 4± E20. 3,5,4 =−== cba

E21. a) 2

3300 xy −= b) ( )2

3300 xxA −= 0 ≤ x ≤ 100 c) 3750m2

E22. a) { }21,1| ≥−≤∈ xxIRx b) { }3,7| >−<∈ xxIRx c){ }3| ≠∈ xIRx

E23. a E25. A(x)=20x− 2x2 { }100| <<∈= xIRxD

jardim

casa

x

y


19

1.6.3 Função de grau maior que 2 Equação biquadrada

Equações biquadradas são aquelas que contêm somente expoentes pares. Por exemplo,

0153 24 =−− xx e 0237 24 =++ xx são equações biquadradas.

A resolução baseia-se na substituição de 2x por r e 4x por 2r , transformando a equação de grau 4

em uma equação de grau 2 na variável r : 00 224 =++→=++ cbrarcbxax . Encontram-se as raízes da

equação em r ( 1r e 2r ) e acham-se os valores de x , calculando as raízes de 12 rx = e 2

2 rx = . Exemplo 15: Resolva equação 034 24 =+− xx . Resolução:

Substitui-se 2x por r e 4x por 2r , obtendo ( ) ( ) ( )( )

( )12

31444034

22 −−±−−

=→=+− rrr , ou seja,

=−

=

=+

=→

±=

12

44

32

44

2

44

2

1

r

rr . Para encontrar os valores de x , leva-se em conta que 32 =x ou

12 =x , assim 3±=x ou 1±=x . Portanto as soluções são { }3,1,1,3 −− . Equações polinomiais de grau n Raízes racionais de uma equação polinomial Teorema: Todo equação de grau n, com n ≥≥≥≥1, possui exatamente n raízes complexas. Se uma função polinomial 01

22

33

11 ...)( axaxaxaxaxaxf n

nn

n +++++++= −− , 0≠na , de

coeficientes inteiros, admite uma raiz racional q

p, em que p∈Z e q∈Z+, e ainda p e q são primos entre si, então

p é divisor de 0a e q é divisor de na . Este teorema pode ser utilizado para encontrar as raízes de funções polinomiais. Na prática, podemos usá-lo para achar uma das raízes e as outras são raízes da equação fatorada são obtidas pelo algoritmo de Briot-Ruffini. Decomposição de uma função polinomial Todo polinômio de grau n, com n≥1, 01

22

33

11 ...)( axaxaxaxaxaxf n

nn

n ++++++= −− , pode

ser decomposto em fatores lineares da forma ( )( ) ( )nn xxxxxxaxf −−−= ....)( 21 onde nn xxxx ,,...,, 121 − são as

raízes de )(xf . Exemplo 16: Escreva a forma fatorada das seguintes funções:

a) 22)( 2 −−= xxxp b) 16)( 2 −= xxq c) 14112)( 2 +−= xxxm Resolução:

a) As raízes de 22)( 2 −−= xxxp são 31 ±=x , então sua forma fatorada será

( )[ ] ( )[ ]3131)( −−+−= xxxp .


20

b) As raízes de 16)( 2 −= xxq são 4±=x , então sua forma fatorada será ( )( )44)( +−= xxxq .

c) As raízes de 14112)( 2 +−= xxxm são

2

7,2 , então sua forma fatorada será ( )

−−=

2

722)( xxxm .

Algoritmo de Briot-Ruffini O algoritmo de Briot-Ruffini consiste de um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio )(xp por um binômio ax − .

Considere 012

23

31

1 ...)( axaxaxaxaxaxp nn

nn ++++++= −

− , pode-se descrever esse

dispositivo pelos seguintes passos: 1. Dispõem-se todos os coeficientes de )(xp na chave:

na 1−na ... 1a 0a

2. Coloca-se à esquerda a raiz de ax − .

a na 1−na ... 1a 0a

3. Baixa-se o primeiro coeficiente na .

a na 1−na ... 1a 0a

↓ na

4. Multiplica-se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo coeficiente de )(xp , que é 1−na :

a na 1−na ... 1a 0a

× naa ×

na naa × + 1−na ...

5. Repetimos a última seqüência para os coeficientes restantes. Exemplo 17: Determine as raízes das seguintes funções:

a) ( ) xxxxf 145 23 −+= b) ( ) 83 += xxg c) ( ) 215133 23 ++−= xxxxh Solução:

a) A variável x pode ser colocada em evidência: ( ) 01452 =−+ xxx , assim resolve-se

=−+

=

0145

02 xx

x.

As raízes da equação 01452 =−+ xx são calculadas por ( )( )

2

1414255 −−±−=x ,

2

7

2

95

2

815

=

−=⟨

±−=

±−=

x

xx . Logo as raízes de 0145 23 =−+ xxx são { }2,0,7− .

b) A fim de calcular as raízes de 083 =+x , seguem-se os seguintes passos:

Passo 1: Encontrar pelo menos uma raiz para equação 083 =+x .


21

2 8

8 083

33

−=−=

−==+

xx

xx

Passo 2: Escrever a expressão 83 +x em sua forma de polinômio completo: x3 + 8 = x3 + 0 x2 + 0x + 8 Passo 3: Colocar os coeficientes do polinômio completo e a raiz encontrada no passo 1 numa tabela.

1 0 0 8

−2

Passo 4: Repetir o primeiro coeficiente na terceira linha de sua respectiva coluna.

1 0 0 8 −2

1 Passo 5: Multiplicar o primeiro coeficiente da terceira linha pela raiz, colocar o resultado na segunda linha,

somar este valor com o segundo coeficiente da primeira linha, colocando o resultado final na terceira linha.

1 0 0 8

−2 −2 1 −2

Passo 6: Repetir o passo 5 com os demais coeficientes da primeira linha até encontrar zero na terceira linha.

1 0 0 8 1 0 0 8 −2 −2 4 −2 −2 4 −8

1 −2 4 1 −2 4 0 Passo 7: Escrever a expressão inicial em sua forma fatorada utilizando a sua raiz e o polinômio com os

coeficientes da terceira linha. x3 + 8 = (x + 2)⋅(x2 − 2x + 4)

Passo 8: Por definição, f (x) = 0 ∴ x3 + 8 = (x + 2) ⋅ (x2 − 2x + 4) = 0 (I) x + 2 = 0 ou (II) x2 − 2x + 4 = 0

A expressão (I) resulta x = −2 e a expressão (II) resulta em duas raízes complexas. Ou seja, x = −2 é a única raiz real.

c) Com o intuito de obter as raízes de 0215133 23 =++− xxx , seguem-se os seguintes passos:

Passo 1: Determinar uma raiz de 0215133 23 =++− xxx

Pode-se usar o algoritmo de Briot Ruffini: divide-se 215133 23 ++− xxx por 1+x , se o resultado for nulo, 1− é raiz do polinômio dado.

3 −13 5 21 −1 −3 16 −21

3 −16 21 0 Como o resultado foi nulo, 1− é raiz de 0215133 23 =++− xxx . Passo 2: Escrever a expressão inicial em sua forma fatorada utilizando a sua raiz e o polinômio com os

coeficientes da terceira linha: ( )( )211631215133 223 +−+=++− xxxxxx .

Passo 3: Resolve-se 021163 2 =+− xx .


22

( )( )

3

7

6

216

36

216

6

216

6

416

32

213425616

=−

=

=+

=

⟨±

=±

=⋅

−±=

x

x

x

Logo, as raízes de 0215133 23 =++− xxx são

− 3,3

7,1 .

Observações: - Ao aplicar o método de B.R. o polinômio resultado será de um grau inferior ao polinômio inicial; - É possível utilizar o método de B.R. para fatorar qualquer polinômio, basta conhecer pelo menos uma raiz

do polinômio a ser fatorado. E26. Resolva as equações, no conjunto dos números reais:

a) 12

7

3

2

43

1−=+−

xx b)

3

12

3

1

3

2 −=

++

− xxx c) 0,

32

3

22

2 ≠−

=+ xx

x

E27. Para quais valores de k , a equação 03273 2 =+−− kxx admite raízes reais e idênticas?

E28. Determine, se houver, as outras raízes reais da equação 0462 234 =−+−− xxxx , sabendo que duas raízes são 2− e 1.

E29. Uma das raízes da equação 09)9()1( 23 =+++++ xmxmx é −1. Determine m para que as outras raízes sejam iguais.

E30. Qual é o número de raízes reais da equação ( )( ) 011 22 =−− xx ?

E31. Determine as raízes reais das equações: a) 04423 =+−− xxx b) 0152162 234 =++−− xxxx

E32. Divida 44)( 23 +−−= xxxxp por 2)( −= xxd . E33. Fatore, utilizando o método de Briot Ruffini: a) x3 – 7x2 + 15x – 9 b) x3 + x2 – 2x E34. Marque com um X a alternativa correta:

I. O valor de m para que a equação 02

372 =

−+−

mxx tenha uma raiz nula é:

a) 7 b) 6 c) 0 d) −6 e) nenhuma das alternativas anteriores

II. A diferença entre a maior e a menor raiz da equação 03613 24 =+− xx é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) nenhuma das alternativas anteriores

III. Sendo 223 23 −+−= xxxA e 1−= xB dois polinômios, temos que a) A é divisível por B . d) O resto da divisão de A por B é igual a 1+x . b) A não é divisível por B . e) nenhuma das alternativas anteriores c) O resto da divisão de A por B é igual a 1−x .

Respostas

E26. a)

5

3 b) IR c) { } E27.

24

13− E28. não há E29. { }6±

E30. São 4 raízes, { }1,1,1,1 −− . E31. a) { }2,1,2− b) { }5,1,1,3 −− E32. ( )( )21 +− xx

E33. a) ( )( )( )331 −−− xxx b) ( )( )21 +− xxx E34. I. b II. d III. a


23

1.7 Funções Definidas por Intervalos

Em algumas situações mais de uma fórmula é necessária para definir uma função. Por exemplo, em uma empresa de fotografias o custo das cópias digitais é definido pela tabela abaixo.

Número de cópias Preço (R$) Função ( )xP

Até 10 0,70 ( ) xxP 7,0=

De 11 a 100 0,60 ( ) xxP 6,0=

De 101 a 200 0,50 ( ) xxP 5,0=

Acima de 200 0,48 ( ) xxP 48,0=

Nesse caso, a situação pode ser descrita por uma função definida por 4 intervalos que pode ser escrita

como ( )

>

≤≤

≤≤

≤<

=

200,48,0

200101,5,0

10011,6,0

100,7,0

xx

xx

xx

xx

xP .

Outro exemplo de função definida por intervalos é a função modular.

1.7.1 Função Modular

A função modular é definida por ( ) xxf = e também é

chamada de módulo. Pode ser escrita como ( )

≥

<−==

0,

0,

xx

xxxxf .

O seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o intervalo [ )∞,0 . O gráfico da função está ao representado na figura ao lado. Exemplo 18: Esboce o gráfico das seguintes funções

a) ( ) 3−= xxf b) ( ) 42 −= xxf

Solução: a) b)


24

E35. Resolva os itens abaixo:

1. Considere a função ( ) 562 ++= xxxf .

a) Determine seu domínio. b) Escreva a função definida por partes. c) Calcule )1(f . d) Esboce seu gráfico.

2. Responda às perguntas abaixo utilizando a função xyxf +== 1)( :

a) Qual é a função de x que descrita por )( 2xf ? b) Qual é a função de x que descrita por )1

(2x

f ?

Respostas

1. a) D=IR b) ( )

−<<−−−−

−≥−≤++=++=

15,56

1,5,5656

2

22

xxx

xxxxxxxf c) 12)1( =f

d) 2. d) ( ) xxxf +=+= 11 22 e) xxx

f1

11

11

22+=+=

1.8 Funções Racionais Resolução de Inequações Produto e Quociente

Inequações produto (ou quociente) são sentenças abertas que relacionam produto(s) (ou um quociente) no 10 membro e o valor zero (0) no 20 membro. Ou seja, dada duas (ou mais) funções denominamos inequação produto as desigualdades do tipo:

0)(...)()( 21 >⋅⋅⋅ xfxfxf n 0)(...)()( 21 <⋅⋅⋅ xfxfxf n 0)(...)()( 21 ≥⋅⋅⋅ xfxfxf n 0)(...)()( 21 ≤⋅⋅⋅ xfxfxf n

Dadas duas funções, f(x) e g(x), inequações quociente são as desigualdades do tipo:

0)(

)(>

xg

xf 0)(

)(<

xg

xf

0)(

)(≥

xg

xf 0)(

)(≤

xg

xf

Para resolvermos uma inequação produto (ou quociente) devemos fazer o estudo de sinais de cada

função do 1º membro separadamente, transportar os resultados para um quadro, efetuar o produto (e/ou quociente) dos sinais e, a seguir, determinar o(s) conjunto(s) que satisfaz(em) a desigualdade dada.


25

Exemplo 19: Resolva as seguintes inequações, considerando como conjunto universo o conjunto dos números reais:

a) (x – 1) (2 x + 1) (2 – x) < 0 b) 01

62

≥+

−−

x

xx c)

2

1

1

2

2

2−≥

−+

+

x

x d) 0

)4)(13(≤

+−−

x

xx

Solução: a) Resolvendo a inequação (x – 1) (2 x + 1) (2 – x) < 0

Observe que cada fator representa uma função do 1º grau, assim devemos resolvê-los determinando

sua raiz e posteriormente fazendo a análise de sinais, para transportarmos os resultados para o quadro de sinais.

f1(x) = x − 1 raiz: x = 1 a = 1: função crescente f2(x) = 2x + 1 raiz: x = -½

a = 2: função crescente

f3(x) = 2 − x raiz: x = 2 a = -1: função decrescente

Lembre que as raízes devem ser colocadas em ordem crescente e como queremos valores menores que

(<) zero, teremos intervalos abertos. Assim obteremos o seguinte quadro:

x – 1 – – + +

2x + 1 – + + +

2 – x + + + –

Produto + – + –

Solução: ( )+∞∪

− ,, 21

2

1 ou

><<−∈ 212

1xoux/Rx

b) Resolvendo a inequação 01

62

≥+

−−

x

xx

Nesta inequação quociente o numerador representa uma função do 2º grau, que para resolvê-la

faremos o estudo de sinais, através do esboço gráfico. Já o numerador representa uma função do 1º grau, então teremos: f (x) = x2 − x − 6 raízes: x = -2 e x = 3 a = 1: concavidade para cima g(x) = x + 1 raiz: x = -1 a = 1: função crescente

Como queremos valores maiores que ou iguais a (≥) zero, teremos intervalos fechados para o

numerador, mas aberto para o denominador, uma vez que não há divisão por zero! Assim teremos o quadro:

1 2 -∝ +∝ - 1

2


26

x 2 – x – 6 + – – +

x + 1 – – + +

Quociente – + – +

Solução: [ ) [ )+∞∪−− ,, 312 ou { }312 ≥−<≤−∈ xoux/Rx

c) Resolvendo a inequação 2

1

1

2

2

2−≥

−+

+

x

x

Para resolvermos esse tipo de inequação devemos determinar uma inequação quociente (e/ou produto)

equivalente, cujo 2º membro seja zero (0). Para isso, colocamos todas as frações no 1º membro da desigualdade, calculamos o m.m.c. dos denominadores e efetuamos as operações necessárias, obteremos a seguinte inequação:

022

12

022

1422

012

112212

02

1

1

2

2

22

1

1

2

2

2

2

2

≥−

++

≥−

−++−+−

≥−

−++−+

≥+−

++

−≥−

++

x

xx

x

xxxx

)x(

)x.(.)x)(x(x

xx

x

Como queremos valores maiores que ou iguais a (≥) zero, teremos para o numerador um intervalo

fechado, mas aberto para o denominador, uma vez que não há divisão por zero! Assim teremos o quadro:

x2 + 2x +1 + + +

2x − 2 – – +

Quociente – – +

d) Resolvendo a inequação 0)4)(13(

≤+−−

x

xx

Nessa inequação aparece as duas operações conjuntas − o produto e o quociente. Para resolvê-la iremos, como nos exemplos anteriores, analisar o sinal dos termos separadamente e, posteriormente, construir o quadro de sinais. f1(x) = 3x − 1 raiz: x = 1/3 a = -1: função decrescente

f2(x) = − x+4 raiz: x = 4

a = 3: função crescente

-∝ +∝ -2 - 1 3

-∝ +∝ -1 1

Solução: { } [ )+∞∪− ,11

ou { }11/ −=>∈ xouxIRx

Observe que obtemos uma desigualdade semelhante a do item anterior. f (x) = x2 + 2x +1 raízes: x = -1 a = 1: concavidade para cima g(x) = 2x − 2 raiz: x = 1 a = 2: função crescente


27

f3(x) = x raiz: x = 0 a = 1: função crescente

Como queremos valores menores que ou iguais a (≤) zero, teremos para o numerador intervalos

fechados, mas aberto para o denominador, uma vez que não há divisão por zero! Assim teremos o seguinte quadro:

3x − 1 – – + +

− x+4 + + + –

x – + + +

(–).(+):(–)

+

(–).(+):(+)

–

(+).(+):(+)

+

(+).(–):(+)

–

Solução: [ )+∞∪

,, 4

3

10 ou { }430/ ≥≤<∈ xouxIRx

Funções Racionais

A função )(xf definida por )(

)()(

xq

xpxf = , onde )(xp e )(xq são funções polinomiais e )(xq não

é uma função constante nula, é denominada uma função racional.

A função racional geral é o quociente de polinômios: m

m

nn

xbxbxbxbb

xaxaxaxaaxf

+++++

+++++=

...

...)(

33

2210

33

2210 .

Por exemplo,

1)(

2 +=

x

xxf

2

2)(

−

+=

x

xxg

xxxh

1)( +=

12

64)(

2

23

++

++−=

xx

xxxxl

são funções racionais.

O domínio de uma função racional definida por )(

)()(

xq

xpxf = consiste de todos os valores de x para

os quais 0)( ≠xq . Ou seja, o domínio das funções racionais é o conjunto dos números reais exceto aquele(s) valor(es) que anula(m) o denominador, pois não existe divisão por zero! Pode-se observar que se )(xf e )(xg são funções racionais, então as funções )()( xgxfS += ,

)()( xgxfP ⋅= , )()( xgxfD −= e )(

)(

xg

xfQ = também serão. Isto é, a soma, o produto, a diferença e o

quociente de funções racionais são ainda funções racionais.

Exemplo 20: Determine o domínio de32

5)(

+

−=

x

xxf .

Solução: 2x + 3 ≠ 0 ∴ x ≠ −3

2 Dom f = x R x∈ ≠ −

/3

2

Exemplo 21: Para a função 9

9)(

2 +=

xxf , determine:

a) seu domínio; c) sua intersecção com o eixo y; b) suas raízes; d) os intervalos em que a função é positiva e os intervalos onde ela é negativa.

-∝ +∝ 0 1/3 4


28

Solução:

a) ∃/=−±≠∴−≠∴≠+ 9909 22 xxx , logo não há problema de existência, então Dom f = IR

b) 09)9(0909

9 22

=∴+⋅=∴=+

xx

(impossível!), logo não há raiz real.

c) 19

9

90

9)0(

2==

+=f

d) positiva: 09

92

>+x

. Como ( ) 91 =xf e ( ) 922 += xxf são positivas, então

9

9)(

2 +=

xxf será positiva

para todo x ∈ IR. . Não há intervalo onde a função seja negativa. 1.9 Funções Algébricas com Potências Racionais

O domínio das funções algébricas que apresentam expoente fracionário pode ser analisado conforme a tabela abaixo:

Numerador Exemplo Denominador Exemplo Raiz de índice par

Radicando tem que ser maior ou igual a zero. Ou seja, deve-se resolver uma inequação.

2)( += xxf

x + 2 ≥ 0 x ≥ -2

Dom f = [−2, +∞)

Radicando tem que ser maior que zero. Ou seja, deve-se resolver uma inequação.

2)(

+=

x

xxf

x + 2 > 0 x > -2 Dom f = (−2, +∞)

Raiz de índice ímpar

Radicando pode assumir qualquer valor do conjunto dos reais.

3 2)( += xxf Dom f = IR

Radicando não pode ser igual a zero

3 2)(

+=

x

xxf

x + 2 ≠ 0 x ≠ -2 Dom f = IR − {−2}

Exemplo 22: Determine o domínio de )2)(5(

6)(

+−

−=

xxxf

Solução:

Determinar o domínio desta função significa estabelecer condições de existência para esta raiz

quadrada. Isto é, o radicando deve ser maior ou igual a zero, portanto: 0)2)(5(

6≥

+−

−

xx.

Observe que temos 3 funções e as duas operações conjuntas − o produto e o quociente. Para resolvê-la iremos analisar o sinal das funções separadamente e, posteriormente, construir o quadro de sinais. f1(x) = − 6 raiz: não tem f2(x) = 5 − x raiz: x = 5

f. constante a = −1: função decrescente f3(x) = x + 2 raiz: x = -2 a = 1: função crescente

Como queremos valores maiores que ou iguais a (≥) zero, poderíamos ter para o numerador intervalos fechados, contudo a função não tem raiz, assim todos intervalos serão abertos. A seguir temos o quadro de sinais:

− −

-2 − +

5 − +


29

− 6 – – –

5 − x + + –

x + 2 – + +

Prod. e Quoc. (–):(+)⋅ (–)

+

(–):(+)⋅(+)

–

(–):(–)⋅ (+)

+


2)(

2 +−=

x

xxg , determine:

a) seu domínio; b) suas raízes; c) sua intersecção com o eixo y; d) os intervalos em que a função é positiva e os intervalos onde ela é negativa. Solução: a) x2 + 4 > 0. Note que a função é sempre positiva, logo não apresenta problema de inexistência. Dg = IR..

b) ( ) 0024.0204

2 2

2=∴=−∴+=−∴=

+− xxxx

x

x (raiz)

c) 02

0

40

0.2)0(

2==

+−=g (corte em y)

d) positiva: 04

2)(

2>

+−=

x

xxg : Note que f1(x) = −2x é positiva, quando x < 0 e f2(x) = 42 +x é

sempre positiva (como vimos no item a). Logo o quociente será positivo para : }0|{ <∈ xIRx

negativa: 04

2)(

2<

+−=

x

xxg : Note que f1(x) = −2x é negativa, quando x > 0 e f2(x) = 42 +x é

sempre positiva (como vimos no item a). Logo o quociente será negativo para : }0|{ >∈ xIRx E36. Determine o domínio das funções abaixo no conjunto dos números reais:

a) ( )123

12 +−

+=

xx

xxf b) ( )

2

3

4

2

x

xxxf

−

−+= c) ( )

2

3

4

2

x

xxxf

−

−+=

d) ( )2

3

4

2

x

xxxf

−

−+= e) ( )

9

232

3

−

+−=

x

xxxf f) ( )

2

2

4 x

xxxf

−

+=

g) ( ) x

x

xxf

3 22

1

++

−= h) ( )

2

12 +

−=

x

x xf i) )72)(4()( −−−−= xxxf

E37. Encontre o conjunto-solução de cada uma das seguintes inequações:

a) 0)3)(12)(14( >+−−+ xxx b) ( ) 012 ≥−xx c) 042

5>

−

+−

x

x d) 0

42≤

−x

x

e) 042

>+x

x f) 1

1

3≤

− x g)

1

2

2

2

1

1

−−≥

−

+−

−

+

xx

x

x

x h) 0

)5)(12(

)147)(12(<

−+

−+

xx

xx

-∝ +∝ -2 5

Solução: ( ) ( )+∞∪−∞− ,, 52 ou { }52 >−<∈ xoux/Rx


30

E38. Seja a função definida pela equação x

y1

1 += . Responda:

a) Qual é o seu domínio?

b) Os pontos A= )2,1( −− , B= )1,2( , C= )2,1( , D= )2

5,2( −− e E= )

2

7,3( pertencem ao gráfico da função?

E39. Para cada uma das funções abaixo, determine:

i) 16

7)(

2 −

+=

x

xxf ii)

3

4)(

2

2

+=

x

xxg iii)

xxxh

1)( −= iv)

xxxk

1212)(

2−= v)

xxxm

+=

2

1)(

a) seu domínio; b) suas raízes; c) sua intersecção com o eixo y; d) os intervalos em que a função é positiva e os intervalos onde ela é negativa. E40. Dadas as seguintes funções algébricas:

i) 63)( += xxf ii) ( )2−

=x

xxg iii) ( )224)( +−= xxh iv)

xxk

−=

5

1)( v)

x

xxm

−

+=

1

1)(

Determine: a) seu domínio; b) suas raízes; c) sua interseção com o eixo y; d) os intervalos em que a função é positiva e os intervalos onde ela é negativa.

Respostas

E36. a) { }1| −≥∈= xIRxID b) { }22| <<−∈= xIRxID

c) { }21| <≤∈= xIRxID d) { }212| <≤∨−<∈= xxIRxID e) ID = IR – {-3, 3}

f) }2,2{−−= IRID g) (−∞,−2)∪ (−2, 2) h) IR i) (−∞,−4]∪ [−7/2, +∞)

E37. a) { x∈ IR | x < −3, −1/2 < x < −1/4} d) {x∈ IR | x < −2, 0 ≤ x < 2} g) {x∈ IR | 1 < x < 2} b) {x∈ IR | x ≥ 1} e) {x∈ IR | x > 0} h) {x∈ IR | −12 < x < −1/2, 2 < x <5} c) {x∈ IR | 2 < x < 5} f) {x∈ IR | x ≤ −2, x > 1} E38. a) D={x∈ IR | x≠0} b) Apenas o ponto C pertence ao gráfico da função. E39. Função Domínio Raízes Intersecção

c/y Intervalo positivo Intervalo negativo

( )xf IR −{−4, 4} (−7,0)

−

16

7,0 { }4,47| >−<<−∈ xxIRx

{ }44,7| <<−−<∈ xxIRx

( )xg IR (0,0) (0,0) IR - { 0 } Não há

( )xh IR − {0} (−1,0), (1,0) Não há { }1,01| ><<−∈ xxIRx { }10,1| <<−<∈ xxIRx

( )xk IR − {0} (1,0) Não há { }0,1| ≠<∈ xxIRx }1|{ >∈ xIRx

( )xm IR −{0,−1} Não há Não há }0,1|{ >−<∈ xxIRx }01|{ <<−∈ xIRx


31

E40. Função Domínio Raízes Intersecção c/y Int. positivo Int. negativo

( )xf { 2| −≥∈ xIRx } (−2,0) ( )6,0 }2|{ −>∈ xIRx Não há

( )xg { 2,0| >≤∈ xxIRx } (0,0) (0,0) { 2,0| ><∈ xxIRx } Não há

( )xh { 04| ≤≤−∈ xIRx }

(0,0) (−4,0),

(0,0) { 04| <<−∈ xIRx } Não há

( )xk { }5| <∈ xIRx Não há

5

5,0 todo domínio Não há

( )xm { 11| <≤−∈ xIRx } (−1,0) (0,1) { 11| <<−∈ xIRx } Não há

1.10 Funções Transcendentes Observação: Revisão de Potenciação

Considerando 0, >ba , então para todos os reais x e y :

a) yxyx aaa +=⋅

b) yxy

x

aa

a −=

c) ( ) pxxp aa =

d) ( ) xxx baba ⋅=⋅

e) x

xx

b

a

b

a=

f) y xy

x

aa = 1.10.1 Função Exponencial Definição. Uma função exponencial é qualquer função na qual a regra especifica a variável independente como

um expoente. Uma função exponencial básica tem a forma xaxf =)( , onde 1,0 ≠> aa . Exemplos: x

xg

=

2

1)( , xxh −= 4)( e

2

2)( xxm −= .

O domínio de uma função exponencial básica é o conjunto de todos os números reais. E41. Resolva os seguintes problemas:

1) Se o número de bactérias em uma cultura é dada pela fórmula 43250)(t

tQ ⋅= , sabendo que t é medido em dias, estime: a) a população inicial; R: 250 b) a população após 4 dias; R: 750 c) a população após 12 dias. R: 6.750 2) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e

B variava em função do tempo t , em anos, de acordo com as seguintes funções ( )ttA 6,1102)( 5⋅= e

( )ttB 4,0104)( 5⋅= . Considere as estimativas corretas e que 0=t refere-se ao 10 de janeiro de 2009.

a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 10 de janeiro de 2009. R: 55 104;102 ⋅⋅ b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. R: 6 meses 3) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função

tqtq 1,00 2)( −= , onde 0q é a quantidade inicial de água no reservatório e )(tq é a quantidade de água no

reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água se reduzirá á metade do que era no início? R: 10 meses


32

Propriedades da Função Exponencial xaxf =)( Caso 1: Supondo 1>a .

A função xaxf =)( , se 1>a , é chamada de função de crescimento exponencial.

É crescente: se 21 xx < , então 21 xx aa < . Assume valores positivos, ou seja: 0)( >xf sempre.

Se 0=x , 1)0( =f . Comportamento de )(xf quando +∞→x :

+∞→)(xf . Comportamento de )(xf quando −∞→x :

+→ 0)(xf .

Caso 2: Supondo 10 << a .

A função xaxf =)( , se 10 << a , é chamada de função de decrescimento exponencial.

É decrescente: se 21 xx < , então 21 xx aa > . Assume valores positivos, ou seja: 0)( >xf sempre.

Se 0=x , 1)0( =f . Comportamento de )(xf quando +∞→x :

+→ 0)(xf . Comportamento de )(xf quando −∞→x :

+∞→)(xf

E42. Para cada função dada, complete as tabelas abaixo e esboce seus gráficos: a) xxf 2)( = b) xxg −= 2)(

Função xxf 2)( = x xxf 2)( =

Domínio

−2

Imagem

−1

Comportamento quando +∞→x

0

Comportamento quando −∞→x

1

2

Função xxg −= 2)( x xxg −= 2)(

Domínio

−2

Imagem

−1


0


1

2


33

Respostas E42. a)

Função xxf 2)( =

Domínio IR

Imagem IR*


+∞


0+

b)

Função xxg −= 2)(

Domínio IR

Imagem IR*


0+


+∞

Exemplo 24: Considere a função xaxf )62()( −= , determine os valores de a para os quais: a) ( )xf seja uma função crescente. b) ( )xf seja uma função decrescente. Resolução: a) A fim de que ( )xf seja uma função crescente )62( −a deve ser maior que 1, então resolve-se a inequação

2

772162 >→>→>− aaa .

b) A fim de que ( )xf seja uma função decrescente )62( −a deve pertencer ao intervalo (0,1), então resolve-se

a inequação 2

737261620 <<→<<→<−< aaa .

Observação: O Número e

O número e é chamado de base exponencial natural. É irracional e tem valor aproximado de

...590457182818284,2 , que foi obtido através de n

n n

+

∞→

11lim .


34

n 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 n

n

+

11

2 2,59374246 2,70481383 2,71692393 2,71814593 2,71826824 2,71828047

À medida que ∞→n , a quantidade n

n

+

11 não cresce para além de quaisquer valores, mas parece

se aproximar de um valor específico.

Exemplo 25: Considere a função xx xeexxf 3)( 2 −= , determine: a) seu domínio; b) suas raízes, se houver; c) o valor de ( )0f . Resolução: a) O domínio de ( )xf é IR. b) As raízes de ( )xf correspondem aos valores de x tais que ( ) 0=xf , então resolve-se a equação

032 =− xx xeex . Coloca-se o termo xxe em evidência: 0)3( =−xxe x . Logo, as raízes são {0, 3}. c) O valor de ( )0f é encontrado substituindo x por 0 na expressão de ( )xf , isto é,

0030)0( 002 =⋅⋅−⋅= eef .

E43. Simplifique a expressão: ( ) ( )

( )2

22

xx

xxxx

ee

eeee−

−−

+

−−+.

E44. Encontre os zeros da função xx xeexxf −− +−= 2)( 2 . E45. Os registros de saúde pública indicam que t semanas após o início de uma gripe virótica, conhecida pelo

nome de influenza, aproximadamente te

tQ2,1191

20)(

−+= mil pessoas terão contraído a doença.

a) Quantas pessoas tinham a doença quando ela começou a se espalhar? b) Quantas pessoas tinham contraído a doença após o fim da segunda semana? c) Se a tendência continuasse, aproximadamente quantas pessoas ao todo teriam contraído a doença?

Respostas

E43. ( )2

4xx ee −+

E44. 0=x ou 2=x

E45. a) 1.000 indivíduos b) 7.343 indivíduos c) 20.000 indivíduos 1.10.2 Funções Hiperbólicas

Certas combinações de funções exponenciais que estão relacionadas com uma hipérbole aproximadamente da mesma forma com que as funções trigonométricas estão relacionadas com o círculo provaram ser importantes em Matemática Aplicada. Essas funções são chamadas funções hiperbólicas e suas semelhanças com as funções trigonométricas são enfatizadas chamando-as de seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica, e assim por diante e são definidas por:


35

2)(

xx eexsenh

−−=

2)cosh(

xx eex

−+=

)cosh(

)()(

x

xsenhxtgh = .

Essas funções descrevem o movimento de ondas em sólidos elásticos

e a forma de fios suspensos na rede elétrica. A curva representada pelo fio da figura ao lado aparenta a forma de uma parábola. No entanto, é possível mostrar

que a equação correspondente é

=

a

xxf cosh)( para Ra ∈ . Essa curva recebe o nome de catenária.


)()(xx ee

xsenhxf−−

== , determine:

a) seu domínio; b) suas raízes; c) o intervalo onde é positiva e onde é negativa; d) o comportamento para ±∞→x . Observe o quadro abaixo:

Propriedades )()( xsenhxf = )cosh()( xxf = )()( xtghxf =

Domínio IR IR IR Raízes 0=x Não há 0=x Intervalo onde 0)( >xf ),0( +∞ IR ),0( +∞

Intervalo onde 0)( <xf )0,(−∞ Não há )0,(−∞

Comportamento para +∞→x

+∞ +∞ 1=y

Comportamento para −∞→x

−∞ +∞ 1−=y

Gráfico

E46. Utilizando o fato que 2

)(xx ee

xsenh−−

= e 2

)cosh(xx ee

x−+

= , demonstre as seguintes identidades:

a) 1)()(cosh 22 =− xsenhx

b) )cosh()(2)2( xxsenhxsenh =

c) )()(cosh)2cosh( 22 xsenhxx +=

d) )cosh()( xxsenhe x += Observações: 1. Logaritmos

O logaritmo de um número real e positivo N, na base b, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve elevar b para se obter N. Por exemplo, o número que se deve elevar 2 para se obter 32 é 5; portanto, 5 é o logaritmo de 32 na base 2.


36

Forma Logarítmica Forma Exponencial xNb =log ⇔⇔⇔⇔ Nb x =

b = base do logaritmo N = logaritmando x = logaritmo

b = base da potência N = potência x = expoente

� O sistema de logaritmos decimais, ou de base 10, indica-se por N10log ou Nlog .

� O sistema de logaritmos naturais, ou de base e, indica-se por loge N ou ln N.

2. Conseqüências da Definição

PNPNlNb

mbb

bN

mbbb

b =⇔=•=•

=•=•=•

logog

log 1log 01log

blog

3. Propriedade Operacionais dos Logaritmos

PNNP loglog)log( += O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos de seus fatores.

PNP

Nlogloglog −=

O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

NpN p loglog ⋅= O logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

Np

Np log1

log ⋅= O logaritmo de uma raiz de radicando positivo é igual ao logaritmo do radicando dividido pelo índice do radical.

E47. Reescreva as expressões: a) ( )( )bxax −−3log3 b) 43

2

logzy

xx

E48. Escreva cada uma das seguintes expressões como um logaritmo:

a) )ln(4)ln(8)ln(2 zyx +− b) h

xhx )ln()ln( −+ c) )1ln()1()ln( −−− xxxx

Respostas

E47. a) ( ) ( )bxax −+−+ 33 loglog1 b) zy xx log4log32 −−

E48. a)

8

42

lny

zx b)

h

x

h1

1ln

+ c)

( )

− −11ln

x

x

x

x

1.10.3 Função Logarítmica

Denomina-se função logarítmica de base b, a função f de IR*+ em IR dada por ( ) xxf blog= (com

1≠b , 0>b e 0>x ) • Quando 1>b , temos uma função logarítmica crescente. • Quando 10 << b , temos uma função logarítmica decrescente.

Domínio de Funções Logarítmicas: O domínio das funções logarítmicas da forma ( ) )(log xgxf b= é a

solução da inequação g(x) > 0.

Condição de Existência b ≠ 1 b> 0 N > 0


37

Imagem de Funções Logarítmicas: A imagem de uma função logarítmica dada por ( ) xxf blog= , (com 1≠b ,

0>b e 0>x ) é sempre o conjunto dos números reais.

Gráfico da Função Logarítmica ( ) ( )xxf blog=

Caso 1: Supondo 1>b . Domínio: { }0>∈= x|IRxD

A função ( ) ( )xxf blog= , se 1>b , é uma função

crescente. 0)( >xf : { }1>∈ x|IRx 0<)x(f : { }10 <<∈ x|IRx

Se 1=x , ( ) 01 =f . Comportamento de )(xf quando +∞→x :

+∞→)(xf .

Comportamento de )(xf quando +→ 0x : −∞→)(xf .

Caso 2: Supondo 10 << b . Domínio: { }0>∈= x|IRxD

A função ( ) ( )xxf blog= , se 10 << b , é uma

função decrescente. 0)( >xf : { }10 <<∈ x|IRx 0<)x(f : { }1>∈ x|IRx

Se 1=x , ( ) 01 =f . Comportamento de )(xf quando +∞→x :

−∞→)(xf .

Comportamento de )(xf quando +→ 0x : +∞→)(xf

Exemplo 27: Considere as seguintes funções

2

10

5log

)(−

+

−

=x

x

x

xf , ( ) 24log)( 5 −= −xxg , ( )22 log)( xxxxh ++= e ( )12log)( 7−= xxm

a) Determine o domínio de )(xf ;

b) Encontre as raízes de )(xg ;

c) Obtenha o valor de ( )10−h ;

d) Os valores de x para os quais )(xm é uma função crescente. Solução: a) O domínio corresponde ao conjuntos dos valores que a variável x pode assumir. Como não pode haver

divisão por zero:

−≠→≠+

≠→≠−

10010

202

xx

xx. O logaritmando deve ser positivo, logo, resolve-se a inequação

010

5>

+

−

x

x. Logo, { }2,510| ≠<<−∈= xxIRxD .


38

b) As raízes de )(xg são encontradas resolvendo-se a equação ( ) 024log0)( 5 =−→= −xxg , ou seja,

( ) ( )

=

=→−=→=− 7

35424log 2

5 x

xxx . A única raiz será { }7 , pois 3=x não está no domínio de )(xg .

c) O valor de ( )10−h é encontrado, substituindo-se x por 10− na expressão da função

( ) ( ) 2)10(21010)10(10log1010)10( 22 =−→++−=−→−+−+−=− hhh . d) A função )(xm será crescente se sua base for maior que 1. Assim, resolve-se a inequação 17 >−x , ou seja,

8>x . A função )(xm será crescente se 8>x .

E49. Calcule o valor de K sabendo que ( ) ( ) ( )1,0log5log2

164log3 1054 +−=K .

E50. Sabendo que 0>a e 1≠a , qual é o valor da expressão ( ) ( ) ( )aa aaa log41loglog3 5 −+ ?

E51. Sendo 253 =x e 272 =y , calcule o módulo de 3

4

2

3

yx ⋅ . E52. Resolva as seguintes equações:

a) 1035 =−xe h) ( ) 543log 2 =−x

b) 33 205 −+ = xx i) ( ) ( ) 24log2log 33 =−+− xx

c) 6262 =⋅− −xx j) 3)1ln()ln(2 =+− xx

d) ( ) 813 =xx k) 1

1

33 =

−

+

x

xlog

e) ( )8

12

4=

−xx l) 06323 =−− xlogxlog

f) 13 1272

=+− xx m) ( )[ ] 0121 =++ xloglog

g) 21

164

1 +−

=

xx

n) ( )( )

42

3=

−

+

xlog

xlog

E53. Resolva 16 - 0,5 + 81 - 0,25. E54. Calcule A = x + y em que x e y são respectivamente, as soluções das equações exponenciais:

yyx 279 e 1282 3 == − . E55. Dado log , , log , ,b b2 0 693 3 1 099 7 1 946≈ ≈ ≈ e logb , utilize as propriedades dos logaritmos para obter um

valor aproximado para as seguintes expressões: a) logb 6 b) logb7

27

E56. Resolva as seguintes equações logarítmicas: a) log(z – 3) = 2 b) log(x + 4) – log(x) = log(x + 2) c) 3 log2 5x = 10 d) log (x2)= 6 e) ln (x + 5) = ln (x – 1) – ln (x + 1)

f) ( ) ( ) ( )xxx 8log8loglog 32

33 =−+

g) ( ) ( ) 36log8log 22 =+−− xx

h) 1log)1log( +=+ xx i) log (x+1) +2 = log (4x2 - 500) j) 2log(x) = log(4) + log(3x)

E57. Considere as funções ( )xxf x −= − 7log)( 3 , ( )44log)( 2

5

1 +−= xxxg e ( )xbxh 83)( −=

a) Determine o domínio de )(xf ;


39

b) Encontre as raízes de )(xg ;

c) Calcule os valores de b para que )(xh seja uma função crescente.

Respostas

E49. 431 / E50. 13 E51. 45 E52.

a) ( )

+

5

310ln

b) ( ) ( )( ) ( )

−

+

520

20353

lnln

lnln

c) ( )

( )

+

2

153

ln

ln

d) { }22,−

e) { }31,

f) { }43,

g) { }1− h) 12=x

i) 103 +=x

j) 2

4 363 eeex

++=

k) { }3

l) { }27,9/1

m) { }0

n) { }10

E53. a) 7/12 E54. 43 E55. a) 1,792 b) 351,1−

E56. a) {103} b)

+−

2

171 c)

5

23 10

d) {103} e) { }

f) {4} g) { } h) {1/9} i) {30} j) {12}

E57. a) ( ) ( )7,44,3 ∪ , b) { }3,1 c) { }3| >∈ bRb 1.10.4 Funções Trigonométricas Observações: Trigonometria 1. Círculo Orientado

Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles é escolhido e denominado positivo, dizemos que o círculo está orientado. Tradicionalmente, escolhemos o sentido anti-horário e fixamos no círculo unitário orientado um ponto A, chamado origem dos arcos.

Definimos medida algébrica de um arco AB deste círculo como o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo em caso contrário. Neste segundo momento, estenderemos as razões trigonométricas abordadas nos itens anteriores para o círculo trigonométrico, cujo raio mede 1u.c. (uma unidade de comprimento) Analogamente, cos Â = AB.

Como AB

BC

ac

ocÂ ==

..

..tan e ∆ABC ∆ABC ~ ∆AED (por AAA)

Então AE

ED

AB

BC= . Portanto, tan Â = ED , pois AE = 1 u.c. (raio)

Sendo assim, podemos identificar as razões trigonométricas como projeções do ângulo sobre os eixos.

Sabendo-se que, AC

BC

hip

ocÂ ==

.

..sen

E como AC = 1 u.c. (raio)

Então podemos afirmar que sen Â = BC,

desconsiderando a unidade de comprimento, pois estamos trabalhando com razões entre grandezas de mesma unidade.


40

2. Quadrantes e Sinais das Razões Trigonométricas

3. Redução ao primeiro quadrante Reduzir um arco dado ao primeiro quadrante é determinar um arco do primeiro quadrante cujas funções trigonométricas sejam iguais em valor absoluto às do arco dado.

Quadrante I Quadrante II Quadrante III Quadrante IV

θθ =R θπθ −=R πθθ −=R θπθ −= 2R

Exemplo 28: Calcule: a) ( )°120sen b) ( )°225cos c) ( )°300tan Solução: a) 120° é um ângulo no segundo quadrante, para reduzi-lo ao primeiro, fazemos 180° − 120° = 60° e

( )2

160 =°sen , como no segundo quadrante, a função seno também é positiva, ( )

2

1120 =°sen .

b) 225° é um ângulo no terceiro quadrante, para reduzi-lo ao primeiro, fazemos 225° − 180° = 45° e

( )2

245cos =° , como no terceiro quadrante, a função cosseno também é negativa, ( )

2

2225cos −=° .

c) 300° é um ângulo no quarto quadrante, para reduzi-lo ao primeiro, fazemos 360° − 300° = 60° e

( ) 360tan =° , como no quarto quadrante, a função tangente também é negativa, ( ) 3300tan −=° . 4. Relações Trigonométricas

Três versões equivalentes da equação 122 =+ yx :

1. 1θθcos 22 =+ sen

2. 1θθsec 22 += tg

3. 1θθ22 += gcoteccos

Efeito da substituição de θ por −θ; 4. ( ) ( )θsenθsen −=− 5. ( ) ( )θθ coscos =− 6. ( ) ( )θtgθtg −=−

sen

cos 180º

270º

90º

360º 0º

tan

I II

III IV

I II III IV sen (x) + + - - cos (x) + - - + tg (x) + - + - cotg (x) + - + - sec (x) + - - + cosec (x) + + - -


41

Fórmulas de adição e subtração 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )φφφ senθθsenθsen coscos ±=± 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )φφφ senθsenθθ mcoscoscos =±

9. ( ) ( ) ( )( ) ( )φ

φφ

tgθtg

tgθtgθtg

m1

±=±

Fórmulas do ângulo duplo 10. ( ) ( ) ( )θθsensen cos22 =θ

11. ( ) ( ) ( )θsenθ22cos2cos −=θ

12. ( ) ( )( )θtg

θtg2θtg

21

2

−=

Fórmulas do ângulo metade

13. ( ) ( )2

2cos1cos2 θ+

=θ

14. ( ) ( )2

2cos12 θ−=θsen

Exemplo 29: Calcule o seno de 105°.

Solução:

sen (105°) = sen (60° + 45°) = sen (60°) ⋅ cos (45°) + sen (45°) ⋅ cos (60°) = 3

2.

2

2 +

2

2.1

2 =

6 2

4

+.

E58. Os arcos a e b do primeiro quadrante são tais que sen(a) = 3

5 e sen(b) =

12

13. Calcular cos (a + b).

E59. Se sen a = 4

5 e cos b =

3

5, sendo a do segundo quadrante e b do primeiro quadrante, calcular sen (a − b).

E60. Se ( )3

1=asen , calcular )2( asen e )2cos( a , sabendo que a pertence ao primeiro quadrante.

E61. Calcule: a) sen (15°) ⋅ cos (15°) b) 3 sen (15°)+ cos (15°) c) ( )( )o

o

tg

tg

151

151

−

+

Respostas

E58. −16/65 E59. 24/25 E60. 9

24)2( =asen ,

9

7)2cos( =a E61. a) ¼ b) 2 c) 3−

AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Os fenômenos que se repetem periodicamente, como temperatura, parte do dia com luz, ordenação das folhas de uma planta, etc., podem ser modelados por funções trigonométricas. Os gráficos das funções trigonométricas básicas descrevem esses comportamentos e podem ser gerados a partir de um círculo de raio unitário. Funções Seno e Cosseno

Note que sen(x + 2π) = sen(x) e cos(x + 2π) = cos(x). Diz-se neste caso que as funções seno e cosseno são periódicas, com período de 360o ou 2π rad.


42

Gráficos das Funções Seno e Cosseno Seno ( )xseny = Cosseno ( )xcosy =

Domínio IR IR Imagem [−1,1] [−1,1] Período π2 π2 Simetria ímpar par Gráfico

Modelo Senoidal

Conhecendo os elementos principais de um fenômeno cíclico podemos construir um modelo matemático correspondente, desde que o gráfico seja, aproximadamente, senoidal. O modelo senoidal mais geral é dado por:

( ) MXxP

senAy +

−⋅= 0

2π, onde A (amplitude) é a metade da

distância entre os valores máximos e mínimos, ou seja,

2

yyA mínmáx −

= ; P (período) é o tempo necessário para a oscilação evoluir um ciclo completo; X0 corresponde

ao início da onda padrão; M (nível médio) é obtido pela média aritmética dos valores máximo e mínimo da

função, ou seja, 2

yyM mínmáx +

= .

O mesmo pode ser feito com a função y = cos(x) obtendo-se ( ) MXxP

Ay +

−⋅= 0

2cos

π.

Mas observe que as funções seno e cosseno apenas diferem pelo ângulo de fase (o valor de x onde se tem início a “onda senóide padrão”, ou seja, cos x = sen (x + π/2)). Exemplo 30: Encontre uma possível equação para o gráfico ao lado. Solução: Vê-se que a curva está próxima de um seno.

Sua amplitude 32

6

2

28

2

yyA mínmáx ==

−=

−= .

O nível médio 52

10

2

28

2

yyM mínmáx ==

+=

+= .

O período P = 2π. O início da onda padrão dá-se quando X0 = 0.

Assim temos ( ) ( ) 53502

2.3

2. 0 +=+

−=+

−= senxxsenMXx

PsenAy

πππ .

2.5π −2π −1.5π −1π −0.5π 0 0.5π 1π 1.5π 2π0

2

4

6

8

y

x


43

Exemplo 31: Utilizando cosseno, encontre a expressão analítica do gráfico representado abaixo:

Solução: Pensando em seno, tomamos x0 = −−−− π

16. Então f (x) = 3 sen (8x +π/2)+1.

Exemplo 32: Esboce o gráfico de: a) ( )24 xseny = b) ( )32 π−+= xcosy .

Solução: a) ( )24 xseny = ( )32 π−+= xcosy

Domínio IR IR A 4 1 K 21 / 1

0x 0 3/π

C 0 2 Período ( ) ππ 4212 =// π2

Imagem [−4,4] [−3,3] Gráfico

Características da tangente e cotangente Tangente Cotangente Domínio

}2

)12(|{π

+≠∈ kxIRx }|{ πkxIRx ≠∈

Imagem IR IR Período π π Simetria Ímpar ímpar Gráfico

A = 3 P = π/4 x0 = 0 M = 1

Logo f (x) = 3. cos 2

4

0π

π( )x −

+ 1

f (x) = 3 cos (8x) + 1

−1π −0.5π 0 0.5π 1π

-4

-2

0

2

4

y

x


44

Características da secante e cossecante Secante Cossecante Domínio

}2

)12(|{π

+≠∈ kxIRx }|{ πkxIRx ≠∈

Imagem }1,1|{ ≥−≤∈ yyIRy }1,1|{ ≥−≤∈ yyIRy

Período 2π 2π Simetria Par ímpar Gráfico

E62. Um observador vê um prédio, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 60°. Afastando-se mais 30 metros, passa a ver o prédio sob um ângulo de 45°. Qual é a altura do prédio? E63. Dois prédios estão a 50 metros de distância um do outro. Do telhado do prédio mais baixo que está a 40 metros do chão, o ângulo de elevação ao telhado do prédio mais alto é de 45°. Qual é a altura do prédio mais alto? E64. Um avião levanta vôo em um ponto B, e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar exatamente sobre uma igreja situada a 2km do ponto de partida. E65. Um foguete é lançado a 200 m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60o Determinar a altura do foguete após 4s, supondo uma trajetória retilínea e velocidade constante.

E66. Encontre o domínio das funções: a) )12cos( 2 −= xy b) )]1[log( 2 −= xseny E67. Encontre a expressão analítica da função correspondente a cada gráfico, utilizando o modelo

( ) MXxP

senAy +

−⋅= 0

2π ou ( ) MXxP

Ay +

−⋅= 0

2cos

π . A seguir, determine o domínio, imagem,

período e amplitude. a) b)

−1.5π −1π −0.5π 0 0.5π0.5π0.5π0.5π 1π1π1π1π 1.5π1.5π1.5π1.5π

-4

-2

0

2

y

x

3

-3

−2.5π−2.5π−2.5π−2.5π −2π−2π−2π−2π −1.5π−1.5π−1.5π−1.5π −1π−1π−1π−1π −0.5π−0.5π−0.5π−0.5π 0.5π0.5π0.5π0.5π 1π1π1π1π 1.5π1.5π1.5π1.5π 2π2π2π2π 2.5π2.5π2.5π2.5π x

-3

-2

-1

0

y


45

c) d) E68. Encontre o gráfico da função correspondente a cada expressão analítica abaixo. A seguir, determine o domínio, imagem, período e amplitude.

a) 2)(2)( += xsenxf b) 1)4cos(3)( −= xxg c) )2

2()(π

+= xsenxh d) )cos(3)( xxm +=

Respostas

E62. 13

330

− E63. 90m E64. 536 m e 2077m E65. 3400

E66.a) IR b) { }1,1| >−<∈ xxIRx

E67. a) ( )xsen 23 b) 2)( −xsen c) 35

2+

xsen d)

x

20

1cos10

E68. a)

b)

c)

d)

−5π−5π−5π−5π −2.5π−2.5π−2.5π−2.5π 0 2.5π2.5π2.5π2.5π 5π5π5π5π

-1

0

1

2

3

4y

x

−60−60−60−60ππππ

−40π−40π−40π−40π −20π−20π−20π−20π 20π20π20π20π 40π40π40π40π 60π60π60π60π

-10

-5

0

5

10 y

x

5 5 10

1

2

3

4

5 5 10

4

3

2

1

1

2

5 5 10

1.0

0.5

0.5

1.0

5 5 10

2.5

3.0

3.5

4.0


46

1.11 Álgebra de Funções 1.11.1 Adição, Subtração, Produto e Divisão de Funções Combinações algébricas de funções podem ser obtidas de diversas maneiras. Dadas duas funções f e g , as operações soma, diferença, produto e quociente podem ser definidas como:

Operação Definição Domínio

Soma

)()())(( xgxfxgf +=+ O conjunto de todos os valores de x que pertencem aos domínios de f e g . (intersecção dos domínios)

Diferença

)()())(( xgxfxgf −=− )()())(( xfxgxfg −=−

O conjunto de todos os valores de x que pertencem aos domínios de f e g . (intersecção dos domínios)

Produto

)()())(( xgxfxgf ⋅=⋅

O conjunto de todos os valores de x que pertencem aos domínios de f e g . (intersecção dos domínios)

Quociente

)(

)())((

xg

xfx

g

f=

O conjunto de todos os valores de x que pertencem aos domínios de f e g , com 0)( ≠xg .

Quociente

)(

)())((

xf

xgx

f

g=

O conjunto de todos os valores de x que pertencem aos domínios de f e f , com 0)( ≠xf .

Exemplo 33: Dadas as funções ( )9

12 −

+=

x

xxf e ( ) xxg += 3 , encontre:

a) ))(( xgf + b) ))(( xgf − c) ))(( xgf ⋅ d) ))(( xg

f

Encontre o domínio de cada uma das funções obtidas. Solução:

a) ( )( ) ( )( )9

2683

9

9313

9

12

23

2

2

2 −

−−+=

−

−+++=++

−

+=+

x

xxx

x

xxxx

x

xxgf { }3| ±≠∈= xRxD

b) ( )( ) ( ) ( )( )9

28103

9

9313

9

12

23

2

2

2 −

++−−=

−

−+−+=+−

−

+=−

x

xxx

x

xxxx

x


c) ( )( ) ( ) ( )( )9

34

9

313

9

12

2

22 −

++=

−

++=+⋅

−

+=⋅

x

xx

x

xxx

x


d) ( )( ) ( )( )xx

x

xx

x

xx

x

xg

f

+−

+=

+

⋅

−

+=

+

−

+

=

39

1

3

1

9

1

39

1

22

2

{ }3| ±≠∈= xRxD


47

1.11.2 Composição de Funções A função composta gf o de duas funções )(xf e )(xg é definida por: ( )( ) ( )( )xgfxgf =o . O

domínio da função composta ( )( )xgf o corresponde ao conjunto de todos os valores de x no domínio de )(xg

que pertencem ao domínio de )(xf . A imagem de ( )( )xgf o é o conjunto de todos os números da forma

( )( )xgf construída à medida que x percorre o domínio de gf o .

Exemplo 34: Dadas as funções 13)( −= xxf , 21)( xxg −= e 3)( xxh = . Encontre: a) ( )( )xgf o

b) ( )( )xfg o

c) ( )( )2gf o

d) ( )( )2fg o

e) ( )( )xff o

f) ( )( )( )xhgf +o

g) ( )( )xhfgf oo +

Solução: a) ( )( ) ( )( ) ( ) 23213 xxgfxgf −=−−== 2x1o

b) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2336916911 222 +−=+−=+−−=−−== xxxxxxxfgxfg 13xo

c) ( )( ) ( )( ) ( ) 1023222 2 −=−== gfgf o

d) ( )( ) ( )( ) ( ) 24262922 2 −=⋅+−== fgfg o

e) ( )( ) ( )( ) ( ) 4913 −=−−== xxffxff 13xo

f) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 32 33213 xxxhgfxhgf +−=−+−=+=+ 32 xx1o

g) ( )( ) ( )( ) ( ) 1331332)( 2332 +−=−+−=+=+ xxxxxhfxgfxhfgf oooo

Exemplo 35: Sejam as funções f e g definidas por f(x) = x + 2 e g(x) = 3x – 2. Expresse cada as funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre f e/ou g. a) h(x) = 3x + 4 b) i(x) = 3x c) j(x) = x + 4 Solução: a) ( )( ) ( )( ) 432632)(3 +=−+=−+== xxxfgxfg 2xo

b) ( )( ) ( )( ) xxgfxgf 32 =+−== 23xo

c) ( )( ) ( )( ) 42 +=++== xxffxff 2xo Observações: 1. A composição de duas funções não é comutativa: ( )( ) ( )( )xfgxgf oo ≠ .

2. A propriedade distributiva não se aplica à composição de funções: ( ) hfgfhgf ooo +≠+ .

1.11.3 Função Inversa Tipos fundamentais de funções Função Injetora

Uma função f definida de A em B é injetora se cada elemento de B é imagem de um único elemento de A.

Função Sobrejetora Uma função f definida de A em B é sobrejetora se todos elementos de B são imagem.


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Função Bijetora Uma função f definida de A em B é bijetora quando ao mesmo tempo for injetora e sobrejetora.

Função Inversa Seja f uma função bijetora definida de A em B, com x∈A e y∈B, sendo (x, y) ∈ f. Chamaremos de função inversa de f, e indicaremos por f -1, o conjunto dos pares ordenados (y, x) ∈ f -1 com y∈B e x∈A.

Observação 1: Só pode existir uma inversa de f. Observação 2: Como para cada valor de y no domínio de uma função injetora f existe exatamente um x, tal que

)(xfy = , uma reta horizontal cy = pode cruzar o gráfico de uma função injetora no máximo uma vez. Logo se uma reta horizontal cruzar um gráfico mais de uma vez, o gráfico não representa uma função injetora. Definição de função inversa Como cada ponto de uma função injetora vem apenas de um ponto de seu domínio, uma função injetora pode ser invertida de modo que mande de volta cada valor assumido ao ponto do qual ele veio. A função definida pela inversa de uma função injetora )(xf é a inversa de )(xf . O símbolo para a função inversa

de )(xf é )(1 xf − .

Duas funções )(xf e )(xg são inversas uma da outra se e somente se ( )( ) xxgf = e ( )( ) xxfg = .

Exemplo 36: Mostre que as funções xxf 3)( = e 3

)(x

xg = são inversas.

Solução:

Como xxgf =

⋅=

3x

3))(( e xxfg ==3

))((3x

, então as funções são inversas.

Processo algébrico para o cálculo da função inversa

Exemplo 37: Determine a função inversa da função

≠

−

+=

2

3 com

32

5x

x

xy

Solução:

Passo 1: trocar x por y: 32

5

−

+=

y

yx

Passo 2: isolar y:

( )

( ) inversa função a é 2

1 com

12

53 5312

532 532 532 32

5

≠

−

+=∴+=−⋅

+=−∴+=−∴+=−⋅∴−

+=

xx

xyxxy

xyxyyxxyyyxy

yx

E69. Sejam definidas as funções 3)( −= xxf e 4)( 2 += xxg . Determine:

a) )4)(( gf o b) )2)(( gf o c) )4)(( fg o d) )2)(( fg o

E70. Sejam as funções f, g e h definidas por xxf 4)( = , 3)( −= xxg e xxh =)( . Expresse cada uma das funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre f, g e h.

a) xxF 4)( = b) 3)( −= xxG c) 124)( −= xxH d) 6)( −= xxJ e) xxK 4)( =


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E71. Sendo ( ) 102 −= xxf e ( ) 1002 −= xxg , calcule x para que tenha g(f(x)) = 0. E72. Deterrmine, se existir, a função inversa das funções seguintes, de IR em IR, definidas por:

a) 2

32 += xy b)

3

2+=

xy c) 1)( 2 += xxf , 0≥x

d) ( )22

1≠

−= x

xy e) ( )0

2

1≠

−= x

x

xy f) 3xy =

g) 14 −= xy h) 92 −= xy i) ( )234 ++= xy

Respostas

E69. a) 17 b) 5 c) 5 d) 5 E70. a) ))(( xhf o b) ))(( xgh o c) ))(( xgf o d) ))(( xgg o e) ))(( xfh o E71. 0, 10

E72. a) 4

32 −=

xy b) 23 −= xy c) 1,1 ≥−= xxy d) 0,

21≠

+= x

x

xy

e) 2

1,

12

1≠

−= x

xy f) 3 xy = g)

4

1)(1 +

=− xxf h) 9,9)(1 −≥+=− xxxf

i) 4,43 ≥−−−= xxy

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Apostila 1 - Funções