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09/12/2015
1
108/12/2015
CIRCUITOS EM CORRENTE
ALTERNADA – PARTE 1
208/12/2015
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS
2. DOMÍNIO DO TEMPO
3. FASORES
4. POTÊNCIA ATIVA
5. POTÊNCIA REATIVA
6. POTÊNCIA APARENTE
7. RESISTÊNCIA
8. CAPACITÂNCIA
9. INDUTÂNCIA
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
FUNÇÕES PERIÓDICAS
308/12/2015
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
• CC: Tensão e Correntes não periódicos
– Regime estacionário: Os valores instantâneos são
constantes.
– Regime transitório: Os valores instantâneos são variáveis.
• CA: Tensão e Corrente periódicos (senoidais)
– Valor Instantâneo (função de t).
– Valor médio e de pico (constantes).
Regimes
408/12/2015
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
• Também chamada de onda.
• Toda função periódica pode ser dividida em ângulos.
• Uma volta ou ciclo: 360
• 360 = 2 radianos.
• = 3,14159265359 (adimensional)
• 1 radiano = 360/(2)
• 1 radiano = 57,2957795131
Função periódica
508/12/2015
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
608/12/2015
ECG
https://brugada.files.wordpress.com/2009/05/ecg.gif
09/12/2015
2
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
708/12/2015
Principais funções periódicas
Seno ou
Cosseno
Quadrada
Dente-de-serra
Triangular
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
808/12/2015
Principais funções periódicas sem off-set
• O valor médio é zero.
• SC+: Semi-ciclo positivo
• SC–: Semi-ciclo negativo
• T = tSC+ + tSC–
• tSC+ = tSC–
SC+ SC-
t
t
t
t
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
t
908/12/2015
Principais funções periódicas com off-set
• O off-set não altera a
definição de tSC+ e de tSC–.
SC+ SC-
t
t
t
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
• Freqüência linear (f): Quantas voltas ou ciclos
a função faz por unidade de tempo. [s-1],[Hz].
• Unidade: Hertz [Hz] em homenagem ao físico
alemão Heinrich Rudolf Hertz (1857 – 1894).
• Freqüência angular (): Quantos radianos o
fasor gira por unidade de tempo. [rads-1].
: Freqüência angular – ângulo/tempo
f: Freqüência linear – ciclos/tempo
1008/12/2015
Função periódica
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
2
2
22
TT
ff
• Ciclo: 2 [ rad ]
• Frequência Linear: [ ciclos/s ]
• Tempo para um ciclo: Período (T) [ s ]
• = 2/T [ rad/s ]
• = 2f [ rad/s ]
1108/12/2015
Função periódicaUsando radianos
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
• Ciclo: 360 []
• Frequência Linear: [ ciclos/s ]
• Tempo para um ciclo: Período (T) [ s ]
• = 360/T [/s ]
• = 360f [/s ]
• Não usaremos graus para .
1208/12/2015
Função periódicaUsando graus
09/12/2015
3
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Frequência angular
1308/12/2015
t
dt
d
0
0
tt
dt
dt
cte
Ou velocidade angular
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
1408/12/2015
Tensão em onda quadrada
• VL: Low voltage – Tensão de nível baixo.
• VH: High voltage – Tensão de nível alto.
• tL: Low time – Tempo em nível baixo.
• tH: High time – Tempo em nível alto.
• tR: Rise time – Tempo de subida.
• tF: Fall time – Tempo de descida.
t
• VAV: Average voltage – Tensão média (VM).
• Consequência dos itens anteriores.
• O mesmo vale para corrente elétrica.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
1508/12/2015
Onda quadrada
t
tL
tH
tF tR
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
1608/12/2015
Onda quadrada
360
%100%
lDesprezíve :
HL
H
HL
H
HL
H
HL
HHLLM
HL
FR
FRHL
tt
tDC
tt
tDC
tt
tDC
tt
tVtVV
ttT
tt
ttttT
Dutty-cycle
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
1708/12/2015
Exemplo 1
• Onda quadrada.
• VH = 3V
• VL = 2V
• tH = 320s
• tL = 240s
• tR = tF = 0s
• Determine:
• VM
• DC%
• DC
• f
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
1808/12/2015
Exemplo 1
VV
ss
sVsVV
tt
tVtVV
M
M
HL
HHLLM
43,2
240320
24033202
%14,57%
%100320240
320%
%100%
DC
ss
sDC
tt
tDC
HL
H
7,205
360320240
320
360
DC
ss
sDC
tt
tDC
HL
H
kHzf
ssf
ttf
HL
79,1
240320
1
1
09/12/2015
4
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
1908/12/2015
t [s]
f(t)
Seno e cosseno
• A função seno é chamada de “sin” nas calculadoras.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
2008/12/2015
Seno e cossenoSin Cos
00
30
45
60
90
2
2
2
3
2
1
2
0
2
4
2
0
2
2
2
4
2
1
2
3
• Esses valores não
aceitam interpolação.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal unitária
2108/12/2015
constante:
t
radt
st
srad
tf
f
t
:
:
:
cos
cos
tf 2
• : Ângulo instantâneo.
• Função alternada ou periódica: e f constantes.
• Se e f variam no tempo, não se trata de unção alternada.
• A alternância ocorre entre o semi-ciclo positivo e o negativo.
• Semi-ciclo positivo: Concavidade para baixo.
• Semi-ciclo negativo: Concavidade para cima.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
cosf
Função cossenoidal unitária
2208/12/2015
• Valor instantâneo mínimo: –1
• Valor instantâneo máximo: +1
• Valor médio: 0
144cos 44
043cos 43
142cos 42
041cos 41
140cos 40
rad
rad
rad
rad
rad
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal unitária
2308/12/2015
Semiciclo
negativo
1
-1
[rad]/2
3/2
-/2
f()
Semiciclo
positivo
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal unitária
2408/12/2015
Semiciclo
negativo
Semiciclo
positivo
1
-1
t [rad]/2
3/2
-/2
f(t)
t
09/12/2015
5
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal unitária
2508/12/2015
radTt
radTt
radTt
radTt
radt
2
4343
22
44
00
Semiciclo
negativo
1
-1
t [s]T/4 T/2
3T/4
-T/4
f(t)
Semiciclo
positivo
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
tctef
cteT
T
t
f
t
t
cos
2
2
2
T
tf
tff
tf
cte
tf
f
ff
t
t
t
t
t
t
t
2cos
2cos
cos
cos
cos
2608/12/2015
Função cossenoidal unitária
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal
08/12/2015
tAf t cos
• Valor instantâneo mínimo: –1
• Valor instantâneo máximo: +1
• Valor médio: 0
• A: Valor de pico ou módulo.
• A = |f(t)|
• “A” possui a unidade da grandeza em questão.
• cos(t) é adimensional.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal
2808/12/2015
Semiciclo
negativo
A
-A
t [s]T/4 T/2
3T/4
-T/4
f(t)
Semiciclo
positivo
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
tf t cos
Função cossenoidal com defasagem
2908/12/2015
Semiciclo
negativo
1
-1
t [s]/2
3/2-/2
Semiciclo
positivo
f(t)
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
tBf t cos
Função cossenoidal unitária com off-set B
3008/12/2015
• Uma função periódica sem off-set possui valor
médio zero.
• O valor médio é dado pelo próprio off-set.
• O valor médio deve ser tomado para intervalos
formados por múltiplos inteiros do período.
09/12/2015
6
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
t [s]
B
B+1
B–1
tBf t cos
Função cossenoidal unitária com off-set B
3108/12/2015
• Valor instantâneo mínimo: B–1
• Valor instantâneo máximo: B+1
• Valor médio: B
/2 3/2-/2
f(t)
Semiciclo
positivo
Semiciclo
negativo
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
Semiciclo positivo
Semiciclo negativo
B
B+A
B–A
PICOt
t
ffA
tABf
cos
Função cossenoidal com off-set B
3208/12/2015
• Valor instantâneo mínimo: B–A
• Valor instantâneo máximo: B+A
• Valor médio: B
/2 3/2-/2
f(t)
t [s]
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
B: Off-Set
f(t): Função temporal senoidal
|f|: Módulo ou valor de pico de f(t)
: Ângulo instantâneo
: Ângulo de defasagem
Semiciclo negativo
Semiciclo positivo
t
tfBf t cos
:lcossenoida Função
Função cossenoidal com defasagem e off-set
3308/12/2015
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
0 2
Off-set
T
fP
fP
fPP
t [s]
Pff
3408/12/2015
Função cossenoidal geral
f(t)
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
>0
<03508/12/2015
Função cossenoidal defasada
t [s]
t [s]
f(t)
f(t)
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
3608/12/2015
Off-set > 0
Off-set < 0
Função cossenoidal com off-set
t [s]
f(t)
t [s]
f(t)
09/12/2015
7
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Função cossenoidal
tff Pt cos
sinsincoscoscos ttt
tt
ttt
ttt
cos0cos
0sin1cos0cos
0sinsin0coscos0cos
0
3708/12/2015
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
tt
ttt
ttt
sin90cos
1sin0cos90cos
90sinsin90coscos90cos
90
3808/12/2015
tt
ttt
ttt
sin90cos
1sin0cos90cos
90sinsin90coscos90cos
90
Função senoidal
t [s]
f(t)
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
t [s]36
V [V]
3908/12/2015
Exemplo 2
• Determine a frequência.
• Determine a frequência angular.
• Determine a função temporal.
1
-1
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4008/12/2015
Exemplo 2
kHzf
sTf
sT
sT
8,20
48
11
48
364
3
tkV
tVVV
srad
PM
131cos
cos
skrad
kHz
f
/131
8,202
2
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4108/12/2015
Exemplo 3
• Determine a frequência.
• Determine a frequência angular.
• Determine a defasagem.
• Determine a função temporal.
t [s]36-4
V [V]
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4208/12/2015
Exemplo 3
0,27
4
3603,53
s
s
kHzf
sTf
sT
ssT
75,18
3,53
11
3,53
4364
3
0,27118cos
cos
tkV
tVVV
srad
PM
skrad
kHz
f
/118
75,182
2
09/12/2015
8
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4308/12/2015
Exemplo 4
• Determine a frequência.
• Determine a defasagem.
t [s]30
4
V [V]
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4408/12/2015
Exemplo 4
8,13
4
360104
s
s
kHzf
sTf
sT
ssT
62,9
104
11
104
4304
skrad
kHz
f
/4,60
62,92
2
8,134,60cos
cos
tkV
tVVV
srad
PM
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4508/12/2015
Exemplo 5
• Determine a defasagem.
• Determine a frequência.
t [s]36
1
-1
0,9
V [V]
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
t [s]36
1
-1
0,9
V [V]
4608/12/2015
Exemplo 5
8,25
9,0cos
270
25,8
sT
T
s
1,53
360
362,244
244,2
kHzf
sTf
8,18
1,53
11
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4708/12/2015
Exemplo 6
• Determine VMÍN.
• Determine a frequência.
t [s]
16
3
80
V [V]
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4808/12/2015
Exemplo 6
VV
VVV
VVV
VV
VVV
VVV
MÍN
MÍN
PMMÍN
P
P
MMÁXP
10
133
13
316
t [s]
13
0
80
V [V] Translação vertical
-13
-3
3,103
23,0cos
cos133
cos
VV
VV P
t
T 360
Hzf
sTf
59,3
279
11
sT
s
T
279
3,10380
360
09/12/2015
9
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
4908/12/2015
Exemplo 7
• Determine a frequência.
t [s]
8
-13
V [V]
32
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
2,5
5008/12/2015
Exemplo 7
VV
VVV
VVV
VV
VVV
VVV
P
P
MMÁXP
M
M
MÍNMÁXM
5,10
5,28
5,2
2
138
2
t [s]
10,5
032
V [V] Translação vertical
-10,5
2,76
24,0cos
cos5,105,2
cos
VV
VV P
tA
8,103
2,76180
AB
tB
8,283
8,103180
msT
ms
T
6,40
8,28332
360
Hzf
msTf
6,24
6,40
11
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5108/12/2015
Exemplo 8
• f = 60Hz.
• Determine VMÍN.
• Determine os instantes tA e tB.
t [s]
5
1
tA tB
V [V]
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5208/12/2015
Exemplo 8
VV
VVV
VVV
VV
VVV
VVV
MÍN
MÍN
PMMÍN
P
P
MMÁXP
3
41
4
15
t [s]
4
0
V [V] Translação vertical
-4
-1
5,104
25,0cos
cos41
cos
A
A
A
P
VV
VV
tC
5,75
5,104180
AC
msT
HzfT
7,16
60
11
5,255
5,75180
B
B
mst
t
ms
A
A
84,4
5,104
3607,16
mst
t
ms
B
B
9,11
5,255
3607,16
tA tB
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5308/12/2015
Exemplo 9
• Determine a frequência.
• Determine a defasagem.
• Determine o instante tA.
• Determine a função temporal.
t [s]
32
6
2 tA
V [V]
5
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5408/12/2015
Exemplo 9
VV
VVV
VVV
P
P
MMÁXP
26
632
3,103
cos266
cos
'
2
'
2
VV
VV P
t [ms]
26
0
2 tA
V [V] Translação vertical
-26
-65
103,3270
t0
2705
3,1032
0
0
tms
tms
09/12/2015
10
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5508/12/2015
Exemplo 9
ss
t
tms
ttmsms
tmstms
tmstms
tmstms
tmstms
tms
tms
14061,1
230
61,123,0
61,2523,5
561,223,5
5261,2
523,103
270
53,1032270
2705
3,1032
0
0
00
00
00
00
00
0
0
msT
T
sms
tms
48,6
360
2701405
2705 0
Hzf
msTf
154
48,6
11
76,7
36048,6
140
0
ms
s
t
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5608/12/2015
Exemplo 9
mst
msst
st
ms
tt
T
A
A
A
A
76,4
62,4140
1407,256
48,6360
7,256
360
0
t [ms]
26
0
2 tA
V [V] Translação vertical
-26
-65
7,76
103,3270
90
13,3
13,3
256,7
7,2563,13270
3,13903,103
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5708/12/2015
Exemplo 9
76,76,969cos266
cos
:completa Função
tVVV
tVVV
srad
PM
srad
Hz
f
/6,969
1542
2
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5808/12/2015
Exemplo 9
VV
VVV
VVV
VVV
VVV
radVVV
msVVV
mst
srad
6
06
0266
270cos266
76,78,277cos266
8,277
85,4
3602
76,785,4cos266
76,75968cos266
5
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
5908/12/2015
Exemplo 9
VV
VVV
VVV
VVV
VVV
rad
rad
radVVV
msVVV
mst
srad
0
66
231,0266
3,103cos266
76,71,111cos266
1,111
94,1
3602
76,794,1cos266
76,72968cos266
2
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
6008/12/2015
Exemplo 9
VV
VVV
VVV
VVV
VVV
rad
rad
radVVV
msVVV
mstt
srad
A
0
66
23,0266
257cos266
76,7264cos266
264
62,4
3602
76,762,4cos266
76,776,4968cos266
76,4
09/12/2015
11
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
• O valor médio é dado pela área da figura.
• Área no eixo vertical negativo é negativa.
• Valor médio é usado em potência ativa.
• Em eletricidade, o valor quadrático médio é
mais interessante que o instantâneo e o médio.
• O valor quadrático médio é chamado de RMS
(Root Mean Square, Raíz Quadrada Média).
• Valor RMS não é usado em potência.
6108/12/2015
Valores médio e RMS
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
6208/12/2015
• O valor médio é dado pela altura do
retângulo de área igual à do gráfico dentro
do período, rebatido nos quadrantes
positivos do eixo vertical.
• Se um sinal tem amplitude constante no
tempo, os seus valores de pico, pico a pico,
médio e RMS são constantes no tempo, ou
seja, são valores contínuos.
• Um número complexo na forma polar possui,
como módulo, o valor de pico do sinal.
Valores médio e RMS
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
6308/12/2015
• Apesar dos números complexos informarem valores de
pico, muitos livros apresentam valores RMS na forma polar.
• Isto está errado, pois o valor RMS é contínuo e, como tal,
não pode ser representado na forma polar.
• A transformação de uma função temporal periódica em
número complexo polar deve usar o valor de pico como
módulo, e não o valor RMS.
Valores médio e RMS
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
6408/12/2015
• Tensão RMS: Tensão contínua que, num resistor,
produz a mesma potência da tensão alternada.
• Corrente RMS: Corrente contínua que, num resistor,
produz a mesma potência da corrente alternada.
Valor RMS para onda senoidal sem off-set
RMS
Máximo (Pico)
t
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
2
2
PRMS
PRMS
II
VV
707,0
707,0
PRMS
PRMS
II
VV
PPP
PPP
II
VV
2
2
354,0
354,0
PPRMS
PPRMS
II
VV
22
22
PPRMS
PPRMS
II
VV
Pff
Valor RMS para onda senoidal sem off-set
6508/12/2015
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
Tnt
ttM
Tnt
ttM
dtIT
I
dtVT
V
1
1
6608/12/2015
Valor médio – Fórmula geral
• Esta fórmula vale, apenas, para função periódica.
• A quantidade de períodos é um número inteiro.
• Vide livros sobre cálculo integral.
09/12/2015
12
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
T
tM
T
tM
dtIT
I
dtVT
V
0
0
1
1
dasimplifica Fórmula
6708/12/2015
Valor médio – Fórmula geral
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
Tt
tt
Tt
tt
t
t
dtIT
I
dtVT
V
II
VV
2média
quadrática
2média
quadrática
2
quadrático
2
quadrático
1
1
6808/12/2015
Valor quadrático médio – Fórmula
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
Tt
ttRMS
Tt
ttRMS
dtIT
I
dtVT
V
2
2
1
1
6908/12/2015
• Esta fórmula será demonstrada mais adiante.
• Ao realizar a radiciação, considerar, apenas, valores
positivos.
• A fórmula para o valor eficaz não pode ser aplicada
à potência por não se tratar de uma grandeza linear.
Raiz quadrática média – RMS – Fórmula
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
Fórmulas integrais
0cos
0sin
Tt
t
Tt
t
dt
dt
70
setoffB
ffA PICOt
0cos
0sin
Tt
t
Tt
t
dtt
dtt
02cos
02sin
Tt
t
Tt
t
dt
dt
022cos
022sin
Tt
t
Tt
t
dtt
dtt
Tdt
tTtdt
dt
Tt
t
Tt
t
Tt
t
Tt
t
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
22 Ax
Ax
t
t
2
2
2
2
2
1
1
Ax
TT
Ax
dtT
Ax
dtAT
x
dtxT
x
RMS
RMS
Tt
tRMS
Tt
tRMS
Tt
ttRMS
Ax
Ax
RMS
M
71
Exemplo 10: Função contínua
setoffB
ffA PICOt
TT
Ax
dtT
Ax
dtAT
x
dtxT
x
M
Tt
tM
Tt
ttM
Tt
ttM
1
1
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
22cos12
1
22cos12
1cos
2cos12
1cos
cos
cos
22
2
2
222
tAx
tt
tAx
tAx
t
t
t
Exemplo 11: Onda senoidal sem off-set
72
setoffB
ffA PICOt
A
-A
09/12/2015
13
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
0
cos
cos1
1
T
Ax
dttT
Ax
dttAT
x
dtxT
x
M
Tt
tM
Tt
tM
Tt
ttM
0Mx
73
setoffB
ffA PICOt
Exemplo 11: Onda senoidal sem off-set
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
T
TAx
T
TAx
TT
Ax
RMS
RMS
RMS
2
2
2
Exemplo 11: Onda senoidal sem off-set
TT
Ax
TT
Ax
dttdtT
Ax
dttT
Ax
dttT
Ax
dttA
Tx
dtxT
x
RMS
RMS
Tt
t
Tt
tRMS
Tt
tRMS
Tt
tRMS
Tt
tRMS
Tt
ttRMS
2
02
22cos2
22cos12
22cos12
22cos12
1
1
2
2
2
2
AxRMS
74
setoffB
ffA PICOt
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
22cos12
cos2
22cos12
1cos
2cos12
1cos
coscos2
cos
222
2
2
2222
tA
tABBx
tt
tAtABBx
tABx
t
t
t
Exemplo 12: Onda senoidal com off-set
75
setoffB
ffA PICOt
t
A+B
0
B
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
Exemplo 12: Onda senoidal com off-set
0
cos
cos11
cos1
1
T
AT
T
Bx
dttT
Adt
T
Bx
dttAT
dtBT
x
dttABT
x
dtxT
x
M
Tt
t
Tt
tM
Tt
t
Tt
tM
Tt
tM
Tt
ttM
BxM
76
setoffB
ffA PICOt
• O valor médio é o off-set.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
Exemplo 12: Onda senoidal com off-set
20
2
22cos2
22cos12
22cos12
1
22
2
2
2
AT
T
A
dttdtT
A
dttT
A
dttA
T
Tt
t
Tt
t
Tt
t
Tt
t
77
setoffB
ffA PICOt
Tt
t
Tt
t
Tt
tRMS
Tt
tRMS
dttA
TdttAB
TdtB
Tx
dttA
tABBT
x
22cos12
1cos2
11
22cos12
cos21
22
22
002
cos2
cos21
T
AB
dttT
AB
dttABT
Tt
t
Tt
t
22
2
21
BTT
B
dtT
B
dtBT
Tt
t
Tt
t
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015
Exemplo 12: Onda senoidal com off-set
78
setoffB
ffA PICOt
20
22cos12
1cos2
11
22
22
ABx
dttA
TdttAB
TdtB
Tx
RMS
Tt
t
Tt
t
Tt
tRMS
22
2B
AxRMS
2
2
2B
AxRMS
09/12/2015
14
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
08/12/2015 79
setoffB
ffA PICOt
• B: Componente DC ou valor médio ou off-set.
• A/2: Valor RMS da componente AC (RMS AC).
• DC: Direct Current.
• AC: Alternating Current.
22
_ DCRMSACRMS xxx
RMS_AC
DC
2
2
_
Ax ACRMS 2
2
2B
AxRMS
Exemplo 11
Exemplos 11 e 12
FUNÇÕES PERIÓDICAS1x(t)
t
A
-A
T/2 T
Exemplo 13Onda quadrada sem off-set e com dutty-cycle de 50%.
AxTxT
AxTx
dtxT
x
t
t
Tt
ttM
2
20
1
T
Tt
T
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
2
2
00
2
1 0
8008/12/2015
22
202
2
2
0
2
2
0
22
2
0
2
0
22
22
2
0
2
0
2
0
2
0
TAdtxTAdtx
TTAdtxTAdtx
tAdtxtAdtx
dtAdtx
dtAdtx
dtAdtx
dtAdtx
T
Tt
T
t
T
Tt
T
t
T
T
T
Tt
TT
t
T
T
T
Tt
T
T
T
Tt
TT
t
TT
t
0
22
0
0
T
t
T
t
dtx
TATAdtx
0Mx
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 13
Onda quadrada sem off-set e com dutty-cycle de 50%.
AxTxT
AxTx
dtxT
x
t
t
T
tRMS
2
20
1
0
2
T
Tt
T
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
2
22
0
2
0
2
2
1 0
8108/12/2015
22
202
2
2
222
0
2
2
2
222
0
2
2
2
2
22
0
22
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
22
0
2
2
0
22
0
2
TAdtxTAdtx
TTAdtxTAdtx
tAdtxtAdtx
dtAdtx
dtAdtx
dtAdtx
dtAdtx
T
Tt
T
t
T
Tt
T
t
T
T
T
Tt
TT
t
T
T
T
Tt
T
T
T
Tt
TT
t
TT
t
2
2
2
0
2
22
0
2
1
22
Ax
TAT
x
TAdtx
TATAdtx
RMS
RMS
T
t
T
t
AxRMS
x(t)
t
A
-A
T/2 T
PICORMS ffx
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 13
Onda quadrada sem off-set e com dutty-cycle de 50%.
8208/12/2015
• Pela definição de RMS, a potência no resistor
deve ser a mesma da onda original.
• Para o resistor, o sentido da corrente não interfere
n potência, por isso, o semi-ciclo negativo pode
ser considerado positivo, formando, assim, um
sinal contínuo, igual ao do exemplo 10.
x(t)
t
A
-A
T/2 T
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 14
022
20022
02
0
0
2
2
2
22
0
2
2
22
0
2
22
22
0
2
0
2
22
2
22
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
T
Tt
T
t
T
Tt
T
t
T
T
T
Tt
TT
t
T
T
T
Tt
T
T
T
Tt
TT
t
TT
t
dtxTAdtx
TTdtxTAdtx
tdtxtAdtx
dtdtx
dtdtx
dtAdtx
dtAdtx
221
22
022
0
0
TAT
x
TAdtx
TAdtx
M
T
t
T
t
Onda quadrada, off-set = A, DC = 50%.
02
220
1
0
t
t
T
tM
xTxT
AxTx
dtxT
x
T
nTt
nT
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
00
2
1 0
8308/12/2015
x(t)
t
2A
0T/2 T
A
AxM
• O valor médio é o off-set.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
84
Exemplo 14
022
20022
02
0
0
2
2
2
222
0
2
2
222
0
2
2
2
2
22
0
22
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
22
0
2
2
0
22
0
2
T
Tt
T
t
T
Tt
T
t
T
T
T
Tt
TT
t
T
T
T
Tt
T
T
T
Tt
TT
t
TT
t
dtxTAdtx
TTdtxTAdtx
tdtxtAdtx
dtdtx
dtdtx
dtAdtx
dtAdtx
2
2
22
1
22
022
2
2
2
0
2
2
0
2
Ax
TA
Tx
TAdtx
TAdtx
RMS
RMS
T
t
T
t
02
220
1
0
2
t
t
T
tRMS
xTxT
AxTx
dtxT
x
T
nTt
nT
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
2
0
2
0
2
2
1 0
08/12/2015
x(t)
t
2A
0T/2 T
A
2
2 AxRMS
Onda quadrada, off-set = A, DC = 50%.
09/12/2015
15
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplos 13 e 14
8508/12/2015
Ax
Ax
RMS
M
2Ax
x
RMS
M
0
Exemplo 14Exemplo 13
x(t)
t
2A
0T/2 T
A
x(t)
t
+A
-AT/2 T
0
• Valor RMS sem off-set.
• Valor RMS AC.
• Valor RMS com off-set.
• Valor RMS AC/DC.
• Valor de pico: A
• Off-set: 0
• Valor de pico: A
• Off-set: A
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
8608/12/2015
A2
A2
AA
2
2214
13
_
22
_
14
RMS
RMS
E
RMS
DC
E
RMSRMSAC
DCRMSAC
E
RMS
x
x
x
Ax
Axx
xxx
Exemplos 13 e 14
RMS_AC
DC
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 15
T
nTt
nT
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
00
2
1 0
Onda quadrada com DC ≠ 50%.
AxTxnT
AxnTx
dtxT
x
t
t
T
tM
0
1
0
8708/12/2015
nTAdtx
nTTAdtxnTAdtx
tAdtx
dtAdtx
tAdtx
dtAdtx
dtAdtxdtAdtx
nT
t
T
nTt
nT
t
T
nT
T
nTt
T
nT
T
nTt
nTnT
t
nTnT
t
T
nT
T
nTt
nTnT
t
0
0
00
00
00
0
TnTAT
dtxT
TnTAdtx
nTTnTAdtx
nTTAnTAdtx
T
t
T
t
T
t
T
t
211
2
0
0
0
0
x(t)
t
A
-A
T/n T
12 nAxM
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 15
Onda quadrada com DC ≠ 50%.
8808/12/2015
12
:ponderada média Usando
nAx
nAAnAx
T
nTATAnTAx
T
nTTAnTAx
M
M
M
M
AAxn
AAxn
Axn
AAxn
AAxn
M
M
M
M
M
12
3/1323
01222
3/15,125,1
1121
x(t)
t
A
-A
T/n T
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 15
T
nTt
nT
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
2
0
2
0
2
2
1 0
Onda quadrada sem off-set e DC ≠ 50%.
AxTxnT
AxnTx
dtxT
x
t
t
T
tRMS
0
1
0
2
8908/12/2015
nTAdtx
nTTAdtxnTAdtx
tAdtx
dtAdtx
tAdtx
dtAdtx
dtAdtxdtAdtx
nT
t
T
nTt
nT
t
T
nT
T
nTt
T
nT
T
nTt
nTnT
t
nTnT
t
T
nT
T
nTt
nTnT
t
2
0
2
222
0
2
22
22
0
2
0
2
0
2
0
2
22
0
2
0
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
22
0
2
1
Ax
TAT
x
TAdtx
nTTnTAdtx
nTTAnTAdtx
RMS
RMS
T
t
T
t
T
t
AxRMS
x(t)
t
A
-A
T/n T
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 15
Onda quadrada sem off-set e DC ≠ 50%.
9008/12/2015
• No exemplo anterior, foi visto que, para o
resistor, o semi-ciclo negativo pode ser tratado
como positivo, formando um sinal contínuo.
• Isto quer dizer que o dutty-cycle é irrelevante
para o valor RMS.
x(t)
t
A
-A
T/n T
09/12/2015
16
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 16
n
AxM
2
0
20
1
0
t
t
T
tM
xTxnT
AxnTx
dtxT
x
T
nTt
nT
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
00
2
1 0
02
002
02
0
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
00
2
2
2
00
2
00
2
T
nTt
nT
t
T
nTt
nT
t
T
nT
T
nTt
nTnT
t
T
nT
T
nTt
T
nT
T
nTt
nTnT
t
nTnT
t
dtxnTAdtx
nTTdtxnTAdtx
tdtxtAdtx
dtdtx
dtdtx
dtAdtx
dtAdtx
9108/12/2015
Onda quadrada, off-set = A, DC ≠ 50%.
x(t)
t0T/n T
2A
A
n
TA
Tx
nTAdtx
nTAdtx
M
T
t
T
t
21
2
02
0
0
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 16
n
AxRMS
2
0
20
1
0
2
t
t
T
tRMS
xTxnT
AxnTx
dtxT
x
T
nTt
nT
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
2
0
2
0
2
2
1 0
02
002
02
0
0
2
2
22
0
2
22
0
2
22
0
2
0
2
22
22
0
2
0
2
0
2
0
2
T
nTt
nT
t
T
nTt
nT
t
T
nT
T
nTt
nTnT
t
T
nT
T
nTt
T
nT
T
nTt
nTnT
t
nTnT
t
dtxnTAdtx
nTTdtxnTAdtx
tdtxtAdtx
dtdtx
dtdtx
dtAdtx
dtAdtx
9208/12/2015
Onda quadrada, off-set = A, DC ≠ 50%.
x(t)
t0T/n T
2A
A
n
Ax
n
TA
Tx
nTAdtx
nTAdtx
RMS
RMS
T
t
T
t
2
2
2
0
2
2
0
2
2
21
2
02
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplos 10, 14 e 16
9308/12/2015
n
Ax
n
Ax
RMS
M
2
2
Exemplo 16x(t)
t0T/n T
2A
A
x(t)
t
2A
0T/2 T
A
Exemplo 14
2
2 Ax
Ax
RMS
M
n=2
x(t)
t
2A
0T
A
Exemplo 10
Ax
Ax
RMS
M
2
2
n=1
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 17
BAxTxT
BAxTx
dtxT
x
t
t
T
tM
2
20
1
0
T
Tt
T
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
2
2
00
2
1 0
BxM
x(t)
t
A
-A
T/2 T
A+B
-A+B
B
0
9408/12/2015
22
202
2
22
0
2
2
22
0
2
22
22
0
2
0
2
22
2
22
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
TBAdtxTBAdtx
TTBAdtxTBAdtx
tBAdtxtBAdtx
dtBAdtx
dtBAdtx
dtBAdtx
dtBAdtx
T
Tt
T
t
T
Tt
T
t
T
T
T
Tt
TT
t
T
T
T
Tt
T
T
T
Tt
TT
t
TT
t
Onda quadrada, off-set ≠ A/2, DC = 50%.
TBT
x
TBdtx
TBdtx
TBABAdtx
TBATBAdtx
M
T
t
T
t
T
t
T
t
1
22
2
22
0
0
0
0
• O valor médio é o off-set.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 17
222
2222
2222
0
2
2222
0
2
TBBAABBAAdtx
TBBAATBBAAdtx
T
t
T
t
BAxTxT
BAxTx
dtxT
x
t
t
T
tRMS
2
20
1
0
2
x(t)
t
A
-A
T/2 T
A+B
-A+B
B
0
9508/12/2015
2222
22
202
222
2
2222
0
2
2
2
222
0
2
2
2
222
0
2
2
2
2
22
0
22
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
22
0
2
2
0
22
0
2
TBBAAdtxTBBAAdtx
TBAdtxTBAdtx
TTBAdtxTBAdtx
tBAdtxtBAdtx
dtBAdtx
dtBAdtx
dtBAdtx
dtBAdtx
T
Tt
T
t
T
Tt
T
t
T
Tt
T
t
T
T
T
Tt
TT
t
T
T
T
Tt
T
T
T
Tt
TT
t
TT
t
T
Tt
T
t
T
t dtxdtxdtx
Tt
st
2
22
0
2
0
2
2
1 0
22 BAxRMS
TBAT
x
TBAdtx
TBAdtx
RMS
T
t
T
t
22
22
0
2
22
0
2
1
222
Onda quadrada, off-set ≠ A/2, DC = 50%.
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 17
9608/12/2015
• Esta propriedade vale para
qualquer forma de onda.
• Off-set = valor médio.
• Off-set = componente DC.
22
_
22
_
BA
RMS
DC
RMSAC
DCRMSACRMS
x
Bx
Ax
xxx
RMS_AC
DC
Onda quadrada, off-set ≠ A/2, DC = 50%.
09/12/2015
17
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
2
LHM
xxx
9708/12/2015
Exemplo 18
x(t)
xH
xL
T/2
T/2
• xL: Valor baixo
• xH: Valor alto
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
LH
LLHHM
tt
txtxx
9808/12/2015
Exemplo 19
x(t)
xH
xL
tH
tL
• xL: Valor baixo
• xH: Valor alto
• tL: Tempo baixo
• tH: Tempo alto
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
9908/12/2015
Exemplo 20
AtT
AxTx
dtxT
x
t
T
tM
20
1
0
Tt
st
2
1 0
Onda dente de serra sem off-set
AtT
Ax
TAaATaA
Atax
AbbaA
btax
AxTt
Axt
t
t
t
t
t
2
2
0
0
0
00
22
2
2
2
0
0
2
0
22
0
00
2
0
000
000
00
T
t
T
t
T
t
T
t
TTT
t
TTT
t
TTT
t
TT
t
dtx
TATAdtx
TATT
Adtx
ATAT
AT
T
Adtx
tAt
T
Adtx
dtAdttT
Adtx
dtAdttT
Adtx
dtAtT
Adtx
0Mx
• O valor médio é o off-set.
x(t)
t
A
T 2T-A
0
0
01
TxM
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
10008/12/2015
Exemplo 20
AtT
AxTx
dtxT
x
t
T
tRMS
20
1
0
2
Tt
st
2
1 0
Onda dente de serra sem off-set
2
22
2
22
2
2
44
2
2
AtT
At
T
Ax
AtT
Ax
AtT
Ax
t
t
t
TAT
AT
Adtx
TAT
T
AT
T
Adtx
tAt
T
At
T
Adtx
dtAdttT
Adtt
T
Adtx
dtAdttT
Adtt
T
Adtx
dtAtT
At
T
Adtx
T
t
T
t
TTTT
t
TTTT
t
TTTT
t
TT
t
222
0
2
2223
2
2
0
2
0
2
0
22
0
3
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
22
2
2
2
0
2
24
34
24
34
24
34
44
44
44
x(t)
t
A
T 2T-A
0
0
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
10108/12/2015
Exemplo 20Onda dente de serra sem off-set
x(t)
t
A
T 2T-A
0
0
3
1
12
4
3
41
2
4
3
41
2
0
2
2
0
2
222
0
2
Adtx
T
AdtxT
AAA
dtxT
T
t
T
t
T
t
3
1
2
0
2
Ax
dtxT
x
RMS
T
tRMS
3
AxRMS
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
10208/12/2015
Exemplo 21
tT
AxTx
dtxT
x
t
T
tM
20
1
0
Tt
st
2
1 0
TAdtx
T
T
Adtx
T
T
Adtx
t
T
Adtx
dttT
Adtx
dttT
Adtx
T
t
T
t
T
t
TT
t
TT
t
TT
t
0
2
0
22
0
0
2
0
00
00
22
2
0
22
22
2
2
AxM
Onda dente de serra com off-set
tT
Ax
TAaTaA
tax
bba
btax
AxTt
xt
t
t
t
t
t
2
22
000
2
00
x(t)
t
2A
T 2T
A
0
TAT
xM 1
• O valor médio é o off-set.
09/12/2015
18
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
10308/12/2015
Exemplo 21
tT
AxTx
dtxT
x
t
T
tRMS
20
1
0
2
Tt
st
2
1 0
3
4
34
3
0
34
34
4
4
2
0
2
3
2
2
0
2
33
2
2
0
2
0
3
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
TAdtx
T
T
Adtx
T
T
Adtx
t
T
Adtx
dttT
Adtx
dttT
Adtx
T
t
T
t
T
t
TT
t
TT
t
TT
t
2
2
22 4
2
tT
Ax
tT
Ax
t
t
Onda dente de serra com off-set
x(t)
t
2A
T 2T
A
0
3
4
3
41
2
2
Ax
TA
Tx
RMS
RMS
3
2 AxRMS
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
10408/12/2015
Exemplos 20 e 21
3
2 Ax
Ax
RMS
M
Exemplo 21Exemplo 20
3
0
Ax
x
RMS
M
x(t)
t
2A
T 2T
A
0
x(t)
t
A
T 2T-A
0
0
• Valor de pico: A
• Off-set: 0
• Valor de pico: A
• Off-set: A
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
10508/12/2015
3
2
3
4
3
3
3
3
3
21
221
2221
2
2
21
20
2221
Ax
Ax
AAx
AA
x
Ax
Axx
xxx
E
RMS
E
RMS
E
RMS
E
RMS
DC
E
RMSAC_RMS
DCAC_RMS
E
RMS
RMS_AC
DC
Exemplos 20 e 21
FUNÇÕES PERIÓDICAS1Exemplo 22
x(t)
t
4
-4
1 2 3 4 5 6
10608/12/2015
txx
xx
txx
t
t
t
4832
021
410
T
tRMS
T
tM
dtxT
x
dtxT
x
0
2
0
1
1
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
2
8161824
42289238
22283238
28
2
48
48
3
2
3
2
3
2
223
2
3
2
23
2
3
2
23
2
3
2
3
2
dtx
dtx
dtx
dtx
ttdtx
ttdtx
dttdtx
t
t
t
t
t
t
t
2
012
2
24
4
4
1
0
221
0
1
0
21
0
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
1
0
dtx
dtx
tdtx
tdtx
dttdtx
dttdtx
t
t
t
t
t
t
10708/12/2015
Exem
plo
22
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
dtx
dtdtx
dtdtx
dtdtx
t
t
t
t
202
3
2
2
1
1
0
3
0
Tt
tt
ttt
Tt
tt
t
Tt
tt
dtx
dtxdtxdtxdtx
dtxdtx
0Mx
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
3
16
3
128128128144288192
3
128128128144288192
3
128
2
256128
3
432
2
576192
3
816
2
464264
3
2716
2
964364
3
216
2
264264
3
316
2
364364
3
16
2
6464
3
16
2
6464
3
16
2
6464
166464
48
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
32323
2
2
32323
2
2
3
2
323
2
2
3
2
23
2
2
3
2
23
2
2
dtx
dtx
dtx
dtx
dtx
dtx
ttt
tttdtx
tttdtx
dtttdtx
dttdtx
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
3
16
013
16
3
16
316
16
4
1
0
2
331
0
2
1
0
31
0
2
1
0
31
0
2
1
0
21
0
2
1
0
21
0
2
dtx
dtx
tdtx
tdtx
dttdtx
dttdtx
t
t
t
t
t
t
10808/12/2015
Exem
plo
22
0
0
0
0
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
22
1
2
dtx
dtdtx
dtdtx
dtdtx
t
t
t
t
09/12/2015
19
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
3
32
3
160
3
16
2
2
3
2
22
1
21
0
22
Tt
tt
Tt
tt
ttt
Tt
tt
dtx
dtx
dtxdtxdtxdtx
89,1
3
24
9
32
3
32
3
1
1 2
RMS
RMS
RMS
RMS
Tt
ttRMS
x
x
x
x
dtxT
x
10908/12/2015
3
2
22
1
21
0
22
3
0
22
dtxdtxdtxdtx
dtxdtx
ttt
Tt
tt
t
Tt
tt
Exemplo 22
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
R
VVP
RVRVP
R
V
R
VP
R
V
R
VP
PPP
LHM
LHM
LBAIXOL
HALTOH
LHM
22
22
22
22
2
1
2
2
Tensão elétrica e potência elétrica.
11008/12/2015
Exemplo 23V(t)
VH
VL
T/2
T/2
IS
R
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
11108/12/2015
Exemplo 24V(t)
t
VH
T/2 T0
Tensão elétrica e potência elétrica.
R
VP
RVP
R
VP
R
V
R
VP
PPP
HM
HM
BAIXOL
HALTOH
LHM
2
2
2
22
2
1
2
0
0
2
IS
R
FUNÇÕES PERIÓDICAS1
11208/12/2015
Exemplo 24
• A tensão RMS equivale à tensão contínua que
dissipa a mesma potência elétrica.
• Usando valores RMS, as fórmulas são as
mesmas usadas em circuitos DC.
• O mesmo cálculo pode ser feito para corrente.
R
VP
RV
P
RV
P
VV
R
VP
HM
HM
HM
HRMS
RMSM
2
2
2
2
2
1
2
2
2
V(t)
t
VH
T/2 T0
VRMS
Tensão elétrica e potência elétrica.
DOMÍNIO DO TEMPO2
DOMÍNIO DO TEMPO
11308/12/2015
DOMÍNIO DO TEMPO2Suposição de linearidade
R: Resistência []
X: Reatância []
Z: Impedância []
G: Condutância [S]
B: Susceptância [S]
Y: Admitância [S]
C: Capacitância [F]
L: Indutância [H]
Os valores são constantes em qualquer ponto de operação (V/I)
11408/12/2015
09/12/2015
20
DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais
R: Resistência []
X: Reatância []
Z: Impedância []
G: Condutância [S]
B: Susceptância [S]
Y: Admitância [S]
C: Capacitância [F]
L: Indutância [H]
f: Frequência linear [Hz]
T: Período [s]
: Frequência angular [rad/s]11508/12/2015
Os valores são os mesmos em qualquer instante
DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais
Y
Y
B
B
G
G
Z
Z
X
X
R
R
dV
dIY
dV
dIB
dV
dIG
dI
dL
dI
dVZ
dI
dVX
dI
dVR
dV
dqC
11608/12/2015
• A variação temporal da carga elétrica é igual à
da corrente elétrica.
• A variação temporal do fluxo magnético é igual à
da tensão elétrica.
• A frequência e o período precisam ser constantes.
Os valores são os mesmos em qualquer instante
DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais
11708/12/2015
Os valores são os mesmos em qualquer instante
• Resistência: O quanto o componente resiste à
passagem de corrente elétrica.
• Reatância: O quanto o componente reativo reage à
passagem de corrente elétrica alternada.
• Impedância: O quanto o componente impede a
passagem de corrente elétrica alternada.
• Condutância: O quanto o componente conduz de
corrente elétrica.
• Susceptância: O quanto o componente reativo é
susceptível à passagem de corrente elétrica alternada.
• Admitância: O quanto o componente admite de
passagem de corrente elétrica AC.
DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais
• Capacitância: A capacidade de armazenamento de
carga elétrica quando submetido a uma tensão elétrica.
• Indutância: A capacidade de induzir um campo
magnético quando submetido a uma corrente elétrica.
• Permeância: Vide teoria de circuitos magnéticos.
• Relutância: Vide teoria de circuitos magnéticos.
11808/12/2015
Os valores são os mesmos em qualquer instante
DOMÍNIO DO TEMPO2
• Componentes Resistivos: Sofrem apenas
ação da fonte de tensão ou fonte de corrente.
• Componentes Reativos: Além de
sofrerem ação da fonte de tensão ou fonte de
corrente, também aplicam uma reação.
11908/12/2015
Tipos de componentes
DOMÍNIO DO TEMPO2
• Componente Resistivo: Resistor
• Componentes Reativos: Capacitor, Indutor
• Componentes Mistos: Ativo + Reativo
• Componente Resistivo: Resistência R []
• Componentes Reativos: Reatância X []
• Componentes Mistos: Impedância Z []
• Componentes Resistivo: Condutância G [S]
• Componentes Reativos: Susceptância B [S]
• Componentes Mistos: Admitância Y [S]
12008/12/2015
Tipos de componentes
09/12/2015
21
DOMÍNIO DO TEMPO2Funções atemporais
VP: Tensão de pico [V]
IP: Corrente de pico [A]
VPP: Tensão de pico a pico [V]
IPP: Corrente de pico a pico [A]
VRMS: Tensão eficaz [V]
IRMS: Corrente eficaz [A]
VM: Tensão média [V]
IM: Corrente média [A]
FP: Fator de potência
12108/12/2015
Os valores são os mesmos em qualquer instante
DOMÍNIO DO TEMPO2
• Em se tratando de funções periódicas
senoidais, tanto faz falar em
adiantamento como em atrasamento.
• Esta equivalência, porém, é, apenas,
matemática, pois o fenômeno físico
envolvido é o de atraso.
• Um adiantamento temporal
corresponderia a uma previsão do
que iria acontecer depois.
12208/12/2015
Funções temporais
DOMÍNIO DO TEMPO2Carga elétrica e fluxo magnético
q(t): Carga elétrica [C]
(t): Fluxo magnético[Wb]
V(t): Tensão elétrica [V]
I(t): Corrente elétrica [I] dt
dV
dt
dqI
12308/12/2015
DOMÍNIO DO TEMPO2
• Se a carga elétrica não muda com o
tempo, não há corrente.
• Se o fluxo magnético não muda com o
tempo, não há tensão.
• Se a variação temporal da carga elétrica é
constante, a corrente é contínua.
• Se a variação temporal do fluxo magnético
é constante, a tensão é contínua.
• Se a variação temporal da carga elétrica é
alternada, a corrente é alternada.
• Se a variação temporal do fluxo magnético
é alternada, a tensão é alternada. 12408/12/2015
Carga elétrica e fluxo magnético
DOMÍNIO DO TEMPO2
90cos
sin
cos
cos
cos
tI
q
tI
q
dttIq
cteI
dttIq
tII
dtIq
dt
dqI
P
P
P
P
P
P
90cos
sin
cos
cos
cos
tV
tV
dttV
cteV
dttV
tVV
dtI
dt
dV
P
P
P
P
P
P
12508/12/2015
Carga elétrica e fluxo magnético
DOMÍNIO DO TEMPO2
12608/12/2015
• A carga elétrica está atrasada
90 em relação à corrente elétrica.
• O fluxo magnético está atrasado
90 em relação à tensão elétrica.
Carga elétrica e fluxo magnético
09/12/2015
22
DOMÍNIO DO TEMPO2
90cos
sin
cos
cos
cos
1
tC
IV
tC
IV
dttC
IV
cteC
I
tC
IV
tII
dtIC
V
dt
dVCI
P
CC
P
CC
P
CC
P
C
P
CC
P
CC
CC
CC
12708/12/2015
90cos
sin
cos
cos
cos
1
tL
VI
tL
VI
dttL
VI
cteL
V
tL
VI
tVV
dtVL
I
dt
dILV
P
LL
P
LL
P
LL
P
L
P
LL
P
LL
LL
LL
Tensão e corrente elétricas
DOMÍNIO DO TEMPO2
12808/12/2015
• A tensão capacitiva está atrasada
90 em relação à corrente capacitiva.
• A corrente indutiva está atrasada
90 em relação à tensão capacitiva.
Tensão e corrente elétricas
DOMÍNIO DO TEMPO2
12908/12/2015
Defasagem entre duas ondas
1 2 3 4 5
V,I
t
• V(t) e I(t) defasados em 90.
• Sistemas mecânicos dinâmicos
harmônicos também apresentam
defasagem de 90 entre suas grandezas.
DOMÍNIO DO TEMPO2
13008/12/2015
Defasagem entre duas ondas
t = 0s t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T
t
x
xMAX xMIN
MAX
MIN
0
DOMÍNIO DO TEMPO2
13108/12/2015
Defasagem entre duas ondas
t = 0s t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T
t
v [m/s]
x [m]
-xMAX xMAX0
v=0 m/s
DOMÍNIO DO TEMPO2
• Tem-se um divisor de tensão.
• As correntes são todas iguais.
• As tensões são diferentes.
• Fazendo I=0, os cálculos são mais fáceis.
13208/12/2015
Referência de fase na correnteLigação série
09/12/2015
23
DOMÍNIO DO TEMPO2
• Tem-se um divisor de corrente.
• As tensões são todas iguais.
• As correntes são diferentes.
• Fazendo V=0, os cálculos são mais fáceis.
13308/12/2015
Referência de fase na tensãoLigação paralelo
DOMÍNIO DO TEMPO2
tVV
tII
Pt
Pt
cos
cos
Na corrente – série
tII
tVV
Pt
Pt
cos
cos
Na tensão – paralelo
13408/12/2015
Referência de fase
1 2 3 4 5
V,I
t
DOMÍNIO DO TEMPO2Referência de fase na corrente
90cos
90cos
cos
tVV
tVV
tII
L
P
L
t
C
P
C
t
Pt
L
L
P
L
t
C
C
P
C
t
Pt
tVV
tVV
tII
cos
cos
cos
13508/12/2015
Ligação série
0cos tII Pt
DOMÍNIO DO TEMPO2Referência de fase na tensão
90cos
90cos
cos
tII
tII
tVV
L
P
L
t
C
P
C
t
Pt
L
L
P
L
t
C
C
P
C
t
Pt
tII
tII
tVV
cos
cos
cos
13608/12/2015
Ligação paralelo
0cos tVV Pt
DOMÍNIO DO TEMPO2
Referência de fase na corrente
Capacitor (Série)
90cos
cos
tVV
tII
C
P
C
t
C
P
C
t
Referência de fase na corrente
Indutor (Série)
90cos
cos
tVV
tII
L
P
L
t
L
P
L
t
Referência de fase na tensão
Capacitor (Paralelo)
90cos
cos
tII
tVV
C
P
C
t
C
P
C
t
Referência de fase na tensão
Indutor (Paralelo)
90cos
cos
tII
tVV
L
P
L
t
L
P
L
t
13708/12/2015
Situações
FASORES3
FASORES
13808/12/2015
09/12/2015
24
FASORES3
• Fasor: vetor girante
• Sentido: anti-horário
• Versor real: i (implícito)
• Versor imaginário: j
• Eixo real: horizontal
• Versor imaginário: vertical
• O fasor é definido por um número complexo.
• Todo fasor é função temporal.
• Vetor fixo não é fasor, mas, se for bidimensional,
também é definido por número completo.
13908/12/2015
Definição
FASORES3
jj
jj
ii
ii
111
111
2
2
i
j
14008/12/2015
Definição
FASORES3
jj
1
1
1
1
1
1
1
1
11
14108/12/2015
Definição
FASORES3
14208/12/2015
Representação fasorial retangular
Imaginária Parte:sin
Real Parte:cos
sincos
:retangular Forma
fj
fi
fjff
i
j
real
|f|cos()
imag
inári
o
|f|
sin
()
FASORES3
i
j
14308/12/2015
Ângulo:
Módulo:
:polar Forma
f
ff
Representação fasorial polar
FASORES3
i
j
14408/12/2015
t
f
eff j
Ângulo:
Módulo:
:lexponencia Forma
Representação fasorial exponencial
• Nesta representação,
precisa ser representado
em radianos.
09/12/2015
25
FASORES3
14508/12/2015
xe
Representação fasorial exponencial
• x real, x < 0: Amortecido, realim. neg..
• x real, x > 0: Amplificado, realim. pos..
• x imaginário: Oscilatório constante.
• x complexo, parte real < 0: Oscilatório amortecido.
• x complexo, parte real > 0: Oscilatório amplificado.
http://musicaeadoracao.com.br/recursos/imagens/tecn
icos/matematica/matematica_musica/cap3_004.jpg
http://imagem.casadasciencias.org/online/icon/37751091.png
FASORES3
i
j
|f|cos()
|f|sin()
14608/12/2015
Representação fasorial
A
B
C
D
E
F
G
H f(t)
t
A B C D E F G H A B C
FASORES3
IMAGREAL
:retangular Forma
jf
REAL
IMAGarctanANG
IMAGREALMOD
ANGsinMODIMAG
ANGcosMODREAL
22
Conversão
ANGMOD
:polar Forma
f
14708/12/2015
Podem ser feitas diretamente na calculadora
FASORES3Operações com fasores
333
213
213
213
222
111
IMAGREAL
IMAGIMAGIMAG
REALREALREAL
IMAGREAL
IMAGREAL
:Adição
jf
fff
jf
jf
333
213
213
213
222
111
IMAGREAL
IMAGIMAGIMAG
REALREALREAL
IMAGREAL
IMAGREAL
:Subtração
jf
fff
jf
jf
14808/12/2015
Podem ser feitas diretamente na calculadora
FASORES3
333
213
213
213
222
111
ANGMOD
ANGANGANG
MODMODMOD
ANGMOD
ANGMOD
:çãoMultiplica
f
fff
f
f
333
213
213
213
222
111
ANGMOD
ANGANGANG
MODMODMOD
ANGMOD
ANGMOD
:Divisão
f
fff
f
f
14908/12/2015
Operações com fasoresPodem ser feitas diretamente na calculadora
FASORES3
12
2
12
2
12
111
ANG2ANG
MODMOD
ANGMOD
:oPotenciaçã
ff
f
2ANGANG
MODMOD
ANGMOD
:Radiciação
12
12
12
111
ff
f
15008/12/2015
Operações com fasoresPodem ser feitas diretamente na calculadora
09/12/2015
26
FASORES3
i
j
|f|cos()
|f|
sin
()
cte
t
t
t
tfjtff
fjff
fff
t
t
t
sincos
sincos
imaginárioreal
15108/12/2015
Relações Temporais
FASORES3Funções Atemporais Puramente Reais
• Não possuem parcela imaginária.
• Não são definidos no plano complexo.
• Não são fasores. 15208/12/2015
VP: Tensão de pico [V]
IP: Corrente de pico [A]
VPP: Tensão de pico a pico [V]
IPP: Corrente de pico a pico [A]
VRMS: Tensão eficaz [V]
IRMS: Corrente eficaz [A]
VM: Tensão média [V]
IM: Corrente média [A]
FP: Fator de potência
FASORES3Funções Atemporais Complexas
GiG
RiR
• Possuem, apenas, uma parcela.
• São definidos no plano complexo.
• Não são fasores.
• =0 rad/s
BjB
XjX
Real Imaginário
15308/12/2015
FASORES3
SY
Z1
SG
R1
SB
X1
Funções Atemporais Complexas
BjGiY
XjRiZ
BGY
XRZ
BjGY
XjRZ
GiG
RiR
BjB
XjX
• Z e Y podem possuir parcela real e imaginária.
• Não são fasores.
15408/12/2015
FASORES3
Y
Z
YY
ZZ
BG
XR
YYY
ZZZ
Funções Atemporais Complexas
15508/12/2015
SY
Z1
SG
R1
SB
X1
BjBBY
XjXXZ
GiGGY
RiRRZ
B
X
G
R
90
90
0
0
FASORES3
• Funções temporais: V,I
• Funções atemporais: Z,Y,R,G,X,B
• Definição: R = G = 0
imgre
imgre
IjII
VjVV
I
V
II
VV
Y
Z
YY
ZZ
BjGY
XjRZ
imgre
imgre
VII
VVV
BGY
XRZ
imgimg
rere
IjI
II
15608/12/2015
Funções Temporais Complexas
imgimg
rere
VjV
VV
09/12/2015
27
FASORES3
• R e G são sempre puramente reais.
• X e B são sempre puramente imaginários.
• Z,Y,R,G,X,B, por serem atemporais, são fixos.
i
|j|
X []
R []
Z []
i
|j|
B [S]
G [S]
Y [S]
15708/12/2015
Vetores de impedâncias e de admitâncias
FASORES3
V [V]
I [A] Corrente adiantada.
Tensão atrasada.
I [A]
V [V] Corrente atrasada.
Tensão adiantada.
15808/12/2015
Defasagem entre tensão e corrente
• O ângulo pode variar de -90º a +90º.
FASORES3
V [V]
I [A]
Capacitor
I [A]
V [V]
Indutor
• No resistor, tensão e corrente estão em fase.
• No capacit.,a tensão está atrasada 90 em relação à corrente.
• No indutor, a corrente está atrasada 90 em relação à tensão.
15908/12/2015
Defasagem
FASORES3Referência de fase
16008/12/2015
• Na análise nodal, um dos nós do circuito precisa receber a
atribuição de terra, sendo este nó a referência de tensão nula,
a partir da qual todas as outras tensões nodais são definidas.
• Igualmente, um circuito AC pode possuir diversas grandezas
em diversos elementos com ângulos de defasagem diferentes,
sendo, então, necessária, a escolha de um referencial para
este ângulo de defasagem ().
• Em ligação série com fonte de corrente, os cálculos são mais
simples se esta corrente possui =0.
• Em ligação paralelo com fonte de tensão, os cálculos são mais
simples se esta tensão possui =0.
FASORES3
0I
XjRZ
i
|j|
X []
R []
Z []
Referência de fase na corrente – série
90 e 0 entre
90
0
0
Z
X
R
I
16108/12/2015
FASORES3
XR VVV
i
|j|
VX [V]
VR [V]
VZ [V]
XRZ
IXRV
IXIRV
IXV
IRV
VVV
IZV
X
R
XR
ZRZ
XX
VjVV
VjV
XjRZ
XjX
16208/12/2015
90 e 0 entre
90
0
90 e 0 entre
90
0
0
VZ
VX
VR
X
R
Z
X
R
I
IXV
IRV
Referência de fase na corrente – série
09/12/2015
28
FASORES3
• A corrente contém, apenas, parcela real.
• R é sempre puramente real.
• VR é sempre puramente real.
• X é sempre puramente imaginário.
• VX é sempre puramente imaginário.
• Z contém parcela real e imaginária.
• VZ contém parcela real e imaginária.
16308/12/2015
Referência de fase na corrente – série
FASORES3Referência de fase na tensão – paralelo
0V
BjGY
i
|j|
B [S]
G [S]
Y [S]
90 e 0 entre
90
0
0
Y
B
G
V
16408/12/2015
FASORES3
BG III
i
|j|
IB [A]
IG [A]
IY [A]
BGY
VBGO
VBVGI
VBI
VGI
III
VYI
B
G
BG
BGY
BB
IjII
IjI
BjGY
BjB
16508/12/2015
90 e 0 entre
90
0
90 e 0 entre
90
0
0
IY
IB
IG
B
G
Y
B
G
V
VBV
VGV
Referência de fase na tensão – paralelo
FASORES3
16608/12/2015
• A tensão contém, apenas, parcela real.
• G é sempre puramente real.
• IG é sempre puramente real.
• B é sempre puramente imaginário.
• IB é sempre puramente imaginário.
• Y contém parcela real e imaginária.
• IY contém parcela real e imaginária.
Referência de fase na tensão – paralelo
FASORES3
x1
x2
222
111
cos
cos
txx
txx
t
t
• Avanço de x1 sobre x2: 1 – 2
• Avanço de x2 sobre x1: 2 – 1
16708/12/2015
Avanço
FASORES3
tj
tj
tj
tj
ti
ti
sin
sin
90cos
90cos
0cos
cos
fasorial
fasorial
fasorial
fasorial
fasorial
fasorial
16808/12/2015
Conversão de fasores para o domínio do tempo
i
+j
-j
f(t)
t
-j+ji
09/12/2015
29
FASORES3
90cos
sin
cos
cos
cos
1
tC
IV
tC
IV
dttC
IV
cteC
I
tC
IV
tII
dtIC
V
dt
dVCI
P
CC
P
CC
P
CC
P
C
P
CC
P
CC
CC
CC
16908/12/2015
Primeira lei de ohm
90cos
sin
cos
cos
cos
1
tL
VI
tL
VI
dttL
VI
cteL
V
tL
VI
tVV
dtVL
I
dt
dILV
P
LL
P
LL
P
LL
P
L
P
LL
P
LL
LL
LL
FASORES3
CjX
IXV
Cj
IV
C
IjV
jt
tC
IV
C
P
CC
P
C
P
CP
C
P
CP
C
fasorial
P
CC
1
90cos
90cos
17008/12/2015
LjB
VXI
Lj
VI
L
VjI
jt
tL
VI
L
P
LC
P
L
P
LP
L
P
LP
L
fasorial
P
LL
1
90cos
90cos
Primeira lei de ohm
FASORES3
CfjX
CjX
C
C
2
1
1
17108/12/2015
LfjB
LjB
L
L
2
1
1
Primeira lei de ohm
CfjB
CjB
C
C
2 LfjX
LjX
L
L
2
CfX
CX
C
C
2
1
1
CfB
CB
C
C
2
LfB
LB
L
L
2
1
1
LfX
LX
L
L
2
CC
CC
XjB
XjX
LL
LL
XjX
BjB
POTÊNCIA ATIVA4
POTÊNCIA ATIVA
17208/12/2015
POTÊNCIA ATIVA4
• Gerador: Potência fornecida.
• Receptor: Potência consumida.
• Potências fornecida e consumida têm sinais contrários.
+
–
VI
GeradorPotência fornecida
+
–
VI
ReceptorPotência consumida
17308/12/2015
Fornecimento e consumo
POTÊNCIA ATIVA4
• Componentes Ativos: Potência Ativa P[W]
• Componentes Reativos: Potência Reativa Q[VAr]
• Componentes Mistos: Potência Aparente S[VA]
• CC: Potência constante no tempo.
• CA: Potência alternada.
• Componentes Ativos: Resistor
• Componentes Reativos: Capacitor e Indutor
Componentes
17408/12/2015
09/12/2015
30
POTÊNCIA ATIVA4
• V,I contrários: Receptor Potência consumida.
• V,I favoráveis: Gerador Potência fornecida.
• Potência fornecida por um gerador: Ativa.
• Potência consumida por um receptor resistivo: Ativa.
• Potência fornecida por um receptor reativo: Reativa.
• Potência consumida por um receptor reativo: Reativa.
Sentido da Energia
17508/12/2015
POTÊNCIA ATIVA4
RECEPTOR
RESISTIVOGERADOR
Calor
RECEPTOR
REATIVOCAPACITIVOCarga do
Capacitor
Descarga do
Capacitor
RECEPTOR
REATIVOINDUTIVO
Carga do
Indutor
Descarga
do Indutor
Descarga
do Indutor
Carga do
Capacitor
Descarga do
Capacitor
Carga do
Indutor
Fluxo de Energia
17608/12/2015
POTÊNCIA ATIVA4Sistemas de primeira ordem
17708/12/2015
RECEPTOR
RESISTIVOGERADOR
Calor
RECEPTOR
REATIVO
CAPACITIVOCarga do
Capacitor
Descarga do
Capacitor
RECEPTOR
RESISTIVOGERADOR
Calor
RECEPTOR
REATIVO
INDUTIVO
Carga do
Indutor
Descarga do
Indutor
POTÊNCIA ATIVA4Trabalho (W) e potência ativa (P)
• Potência ativa realiza trabalho.
• É a potência que interessa.
17808/12/2015
sP
Wt
WS
J
t
WP
JtPW
,
WS
J
dt
dWP
JdtPW
,
W[J]
t[s]
POTÊNCIA ATIVA4Multiplicação escalar de vetores
A
B
900
01
01
:complexo domínio No
ji
jj
ii
17908/12/2015
• Produto escalar resulta em escalar.
BABA
BA
BABA
180
090
0
cos
cos
BABA
BABA
BB
AA
BA
BA
B
A vetorialproduto
escalar produto
BA
BA
POTÊNCIA ATIVA4
BABA
BA
BABA
BABA
BB
AA
BA
BA
BA
BA
B
A
180
090
0
cos
18008/12/2015
vFvF
vF
vFvF
vFvF
vv
FF
vF
vF
vF
vF
v
F
180
090
0
cos
Velocidade
Força
IVIV
IV
IVIV
IVIV
II
VV
IV
IV
IV
IV
I
V
180
090
0
cos
elétrica Corrente
elétrica Tensão
Multiplicação escalar de vetores
09/12/2015
31
POTÊNCIA ATIVA4Multiplicação escalar de vetores
18108/12/2015
vFP
P
vFP
vFP
vv
FF
vFP
v
F
P
vF
vF
vF
vF
v
F
180
090
0
cos
Velocidade:
mecânica Força:
escalar mecânica Potência:
IVP
P
IVP
IVP
IVP
IVP
III
VVV
IVP
IVP
I
V
P
MIV
MIV
MIV
IVRMSRMSM
IVPPM
IVM
IPI
VPV
PPM
RMSRMSM
M
21
21
21
21
21
180
090
0
cos
cos
cos
elétrica Corrente:
elétrica Tensão:
média elétrica Potência:
POTÊNCIA ATIVA4Multiplicação escalar de vetores
18208/12/2015
reativa Potência090
resistiva Potência
ativa Potência021
WP
IVP
MIV
M
IV
IV
POTÊNCIA ATIVA4
WIVP
BABA
M
BA
BA
0
a)obrigatóri (condição
:Resistor
21
18308/12/2015
WP
BA
M
BA
0
090
:indutorou Capacitor
A
B
Multiplicação escalar de vetores
PPM
:ios)(oscilatór
harmônicos sistemas Para
M
P
P
PP
II
VV
POTÊNCIA ATIVA4
IMGIMGREIMGIMGRERERE
IMGIMGREIMGIMGRERERE
IMGREIMGRE
IMGRE
IMGRE
BAjjBAjiBAjiBAiiBA
BjAjBiAjBjAiBiAiBA
BjBiAjAiBA
BjBiB
AjAiA
A
B
IMGIMGRERE BABABA
IMGIMGRERE IVIVIV 18408/12/2015
Multiplicação fasorialDomínio da frequência – Forma retangular
900
01
01
ji
jj
ii
POTÊNCIA ATIVA4
• A tensão RMS equivale à tensão
contínua que dissipa a mesma potência.
• A corrente RMS equivale à corrente
contínua que dissipa a mesma potência.
• No cálculo de potência, usa-se o valor
RMS de tensão e corrente.
IVRMSRMSM IVP cos
18508/12/2015
vFP
WP
vFP
vFP
vF
vF
vF
vF
180
090
0
cos
IVP
WP
IVP
IVP
MIV
MIV
MIV
IVM
21
21
21
180
090
0
cos
Multiplicação escalar de vetores
PPM
POTÊNCIA ATIVA4
IVRMSRMSM IVP cos
18608/12/2015
RMSRMSMBA IVP 0
:Resistor
WPMBA 090
:indutorou Capacitor
IVPPM IVP cos21
PPMBA IVP 210
:Resistor
WPMBA 090
:indutorou Capacitor
• A potência ativa resistiva é positiva.
• A potência ativa capacitiva ou indutiva é nula.
Multiplicação escalar de vetores
M
P
P
PP
II
VV
09/12/2015
32
POTÊNCIA ATIVA4
WP
WP
WP
AVP
IVP
AI
VV
M
M
M
M
IVRMSRMSM
25
5548,045
3,56cos45
03,56cos2
5
2
18
cos
05
3,5618
Exemplo 1
i
-56,3
I = 5Aj
WP
AVAV
P
AAI
AA
I
VV
V
VV
V
IVIVP
IVP
M
M
IMG
RE
IMG
RE
IMGIMGREREM
M
25
02
15
2
5
2
10
0)0sin(0
2
5)0cos(
2
5
2
15)3,56sin(
2
18
2
10)3,56cos(
2
18
:forma Outra
18708/12/2015
POTÊNCIA ATIVA4Exemplo 2
I = 1,66A
V = 6V56,3
WP
AV
AVP
VA
I
AA
I
VV
V
VV
V
IVIVP
IVP
M
M
IMG
RE
IMG
RE
IMGIMGREREM
M
77,2
2
39,10
2
92,0
2
6
2
39,1)3,56sin(
2
66,1
2
92,0)3,56cos(
2
66,1
0)0sin(2
6
2
6)0cos(
2
6
:forma Outra
18808/12/2015
WP
WP
WP
AVP
IVP
AI
VV
M
M
M
M
IVRMSRMSM
77,2
5548,05
3,56cos5
3,560cos2
66,1
2
6
cos
3,5666,1
06
i
j
POTÊNCIA ATIVA4Exemplo 3
I = 2A
V = 10V
50
-20
WP
AVAVP
AA
I
AA
I
VV
V
VV
V
IVIVP
IVP
M
M
IMG
RE
IMG
RE
IMGIMGREREM
M
42,3
2
5321,1
2
4202,3
2
2856,1
2
3969,9
2
5321,1)50sin(
2
2
2
2856,1)50cos(
2
2
2
4202,3)20sin(
2
10
2
3969,9)20cos(
2
10
:forma Outra
WP
WP
WP
AVP
IVP
AI
VV
M
M
M
M
IVRMSRMSM
42,3
342,010
70cos10
5020cos2
2
2
10
cos
502
2010
18908/12/2015
i
j
POTÊNCIA ATIVA4Fórmulas escalares
2
2
tt
tt
ttt
VGP
IRP
IVP
PM PP 21
22
2122
22
2122
21
2
2
2
RMSMPMRMSPPP
RMSMPMRMSPPP
RMSRMSMPPMRMSRMSPPPP
VGPVGPVGPVGP
IRPIRPIRPIRP
IVPIVPIVPIVP
19008/12/2015
M
P
P
PP
II
VV
POTÊNCIA ATIVA4
19108/12/2015
Fórmulas fasoriais
221
2
21
21
VG
IR
IV
VGP
IRP
IVP
Domínio da frequência – Forma polar
VG
IR
IV
VGP
IRP
IVP
2
2
2
21
2
21
21
0
0
G
R
IV
• P é um fasor.
• PM é um número real.
POTÊNCIA ATIVA4
19208/12/2015
Fórmulas fasoriais
2
2
2
2
21
2
21
21
P
P
PP
VGP
IRP
IVP
GG
RR
G
R
P
P
II
VV
221
2
21
21
P
P
PP
VGP
IRP
IVP
09/12/2015
33
POTÊNCIA ATIVA4Resistência e condutância
R
t
R
t
R
RMS
R
RMS
R
PP
R
PP
R
P
R
P
I
V
I
V
I
V
I
VR
19308/12/2015
G
t
G
t
G
RMS
G
RMS
G
PP
G
PP
G
P
G
P
V
I
V
I
V
I
V
IG
• Nas fórmulas temporais, não considerar
os pontos onde V(t)=0V ou I(t)=0A.
POTÊNCIA ATIVA4
M
P
imgre
imgre
PP
PP
PjPP
PPP
19408/12/2015
Formas retangular e polar
POTÊNCIA ATIVA4Potência média
Tt
tt dtP
TP
1M
19508/12/2015
• Para efeito de cálculos, a potência ativa média é
mais útil do que a de pico.
• Como a álgebra fasorial emprega os valores de pico,
não é recomendado o uso dos valores eficazes.
PM PP 21
POTÊNCIA ATIVA4
19608/12/2015
• Resistor: É um receptor em todo o ciclo.
• Tensão e corrente têm sempre o mesmo sinal.
Potê
ncia
ativa tem
pora
l
V(t)
I(t)
t
t
POTÊNCIA ATIVA4
08/12/2015 197
R
P
R
PP IVP
V(t)
t
2
2
2
22
2
2
PM
MRMSRMS
PRMSRMS
PPP
PPRMSRMS
PPRMSRMS
PRMS
PRMS
PP
PIV
PIV
PIV
IVIV
IVIV
II
VV
Potência ativa temporal
I(t)
t
P(t)
t
R
RMS
R
RMSM IVP
POTÊNCIA ATIVA4
08/12/2015 198
V(t)
t
I(t)
t
P(t)
t
V = 0
I = 0
P = 0
DefasagemCaso onde =0
V(s) = (s)
I(s) = (s)
P (s) = (s)
(s): Defasagem temporal
(em segundos)
IVP
PIV
TT
TT
,21
, 2
IVP
PIV
ff
ff
,
21
,
2
P = 2I
P = 2V
09/12/2015
34
POTÊNCIA ATIVA4
19908/12/2015
V(t)
t
I(t)
t
P(t)
t
(s)
(s)
(s)
DefasagemCaso onde ≠0
V(s) = (s)
I(s) = (s)
P (s) = (s)
IVP
PIV
TT
TT
,21
, 2
IVP
PIV
ff
ff
,
21
,
2
POTÊNCIA ATIVA4
(s): Defasagem temporal (em segundos)
(): Defasagem angular (em graus)
Ts
360
T
s
360
IV
s
P
IV
s
IV
T
T
,21
,
,
360
360
IVP ,2
20008/12/2015
DefasagemCaso onde ≠0
POTÊNCIA ATIVA4
P
IV
IV
PP
II
VV
,
,
IVP
IVIVP
,
,,
2
IVP ,2 20108/12/2015
DefasagemCaso onde ≠0
M
P
P
PP
II
VV
IV
POTÊNCIA ATIVA4
i
|j|
I [A]
V [V]
P [W]
2i
|j|
I [A]
V [V]
P [W]2
20208/12/2015
Fasores
Caso onde ≠0
Caso onde =0
IV
POTÊNCIA ATIVA4
2cos
coscos
cos
cos
tIVP
tItVP
IVP
tII
tVV
PPt
PPt
ttt
Pt
Pt
20308/12/2015
Domínio do tempo
22cos12
1cos
2tt
Parcela DC
off-setParcela AC
Parcela alternada
IV
POTÊNCIA ATIVA4
MPP
PPt
PIV
tIV
P
2
22cos12
20408/12/2015
22cos1 tPP Mt
22cos tPPP MMt
Parcela DC
off-set
Parcela AC
Parcela alternada
Domínio do tempo IV
09/12/2015
35
POTÊNCIA ATIVA4
22cos
cos
cos
tPPP
tII
tVV
MMt
Pt
Pt
20508/12/2015
2PP
II
VV
2M
P
P
PP
II
VV
Domínio do tempo
Fasores (domínio da frequência
IV
M
P
P
PP
II
VV
POTÊNCIA REATIVA5
POTÊNCIA REATIVA
20608/12/2015
POTÊNCIA REATIVA5Elementos reativos
• Capacitor e indutor em regime AC não apresentam
potência média.
• Capacitor e indutor em regime AC não realizam trabalho.
• Para representar a ação de elementos reativos no
cálculo da potência total, define-se potência reativa.
20708/12/2015
POTÊNCIA REATIVA5Trabalho
• Não realiza trabalho.
• Não pode ser medida em watt.
• Esta potência não interessa.
• Sobrecarrega os condutores.
20808/12/2015
POTÊNCIA REATIVA5Fórmulas escalares
20908/12/2015
2
2
tt
tt
ttt
VBQ
IXQ
IVQ
22
21
22
21
21
RMSPPP
RMSPPP
RMSRMSPPPP
VBQVBQ
IXQIXQ
IVQIVQ
0MQ
POTÊNCIA REATIVA5
21008/12/2015
Fórmulas fasoriais
221
2
21
21
VB
IX
IV
VBQ
IXQ
IVQ
Domínio da frequência – Forma polar
VB
IX
IV
VBQ
IXQ
IVQ
2
2
2
21
2
21
21
90
90
90
B
X
IV
• Q é um fasor.
• QP é um número real.
09/12/2015
36
POTÊNCIA REATIVA5
21108/12/2015
Fórmulas fasoriais
VP
IP
IVPP
VBQ
IXQ
IVQ
290
290
2
21
2
21
21
BjBB
XjXX
B
X
90
90
P
P
II
VV
221
2
21
21
90
90
VP
IP
IPVP
VBQ
IXQ
IVQ
POTÊNCIA REATIVA5Reatância e susceptância
X
t
X
t
X
RMS
X
RMS
X
PP
X
PP
X
P
X
P
I
V
I
V
I
V
I
VX
21208/12/2015
B
t
B
t
B
RMS
B
RMS
B
PP
B
PP
B
P
B
P
V
I
V
I
V
I
V
IB
• Nas fórmulas temporais, não considerar
os pontos onde V(t)=0V ou I(t)=0A.
POTÊNCIA REATIVA5
P
Q
imgre
imgre
QjQQ
QQQ
21308/12/2015
Formas retangular e polar
POTÊNCIA REATIVA5
• A potência reativa fornecida por um receptor reativo
durante a sua descarga é igual à potência reativa
consumida durante a sua carga.
• A potência reativa média é nula (para um tempo
dado por uma quantidade inteira de períodos).
• A potência reativa é a soma do módulo da potência
reativa na carga e na descarga do receptor reativo.
21408/12/2015
Carga e descarga
POTÊNCIA REATIVA5
• V,I contrários: Gerador; Potência fornecida; Descarga.
• V,I favoráveis: Receptor;Potência consumida; Carga.
• Carga: Ação; Comportamento resistivo.
• Descarga: Reação; Comportamento de fonte.
• Carga/Descarga: Potência Reativa.
Q[VAr]
21508/12/2015
Carga e descarga
POTÊNCIA REATIVA5
1 2 3 4
Dois ciclos de carga/descarga por período
t
21608/12/2015
Carga e descargaCARGA CARGA
DESCARGA DESCARGA
09/12/2015
37
POTÊNCIA REATIVA5
• VI>0 VAr: Carga
• VI<0 VAr: Descarga
Q = 2I
Q = 2V
21708/12/2015
Potência temporal
1
-1
0
0 /2 3/2 20 90 180 270 360
135
0,7
-0,7
0,5
-0,5
45 225 315
Q()
V();I()
POTÊNCIA REATIVA5
QP = 0,5 VArVP =1V
IP =1A21808/12/2015
QM = 0 VAr
VArQ
QIV
QIV
IVIV
IVIV
II
VV
M
PRMSRMS
PPP
PPRMSRMS
PPRMSRMS
PRMS
PRMS
0
2
2
22
2
2
Potência reativa temporal
1
-1
0
0,5
-0,5
t
Q(t)
V(t);I(t)
POTÊNCIA ATIVA4
21908/12/2015
t
Carga e descarga
Q(t)
CARGA DESCARGA
POTÊNCIA ATIVA4
22008/12/2015
Carga e descarga
t
• Em um componente reativo, a potência consumida em um
período é igual à potência fornecida.
• A potência ativa média de um componente reativo é nula.
• A potência reativa média de um componente reativo é nula.
• A potência reativa não realiza trabalho.
• A potência reativa não apresenta off-set.
Q(t)
CONSUMIDO FORNECIDO
POTÊNCIA ATIVA4
22108/12/2015
90
:indutorou Capacitor
IV
A
B
90
Representação fasorial
P
P
P
II
VV
POTÊNCIA REATIVA5
90coscos
90coscos
90cos
cos
ttIVQ
tItVQ
IVQ
tII
tVV
PPt
PPt
ttt
Pt
Pt
22208/12/2015
Domínio do tempo
tt
tt
sin90cos
sin90cos
ttIVQ PPt sincos
09/12/2015
38
POTÊNCIA REATIVA5
2
22sinsincos
ttt
22308/12/2015
Domínio do tempo
22sin
22sin2
tQQ
tIV
Q
Pt
PPt
POTÊNCIA REATIVA5
Q = 2I
Q = 2V
2
2sin tQQ Pt
90cos
cos
tII
tVV
Pt
Pt
Referência de fase na tensão
Indutor (Paralelo)
90cos
cos
tVV
tII
Pt
Pt
Referência de fase na corrente
Capacitor (Série)
22408/12/2015
1
-1
0
0,5
-0,5
t
Q(t)
V(t);I(t) Capacitor e indutor
POTÊNCIA REATIVA5
Q = 2I
Q = 2V
2
2sin tQQ Pt
Referência de fase na corrente
Indutor (Série)
90cos
cos
tVV
tII
Pt
Pt
Referência de fase na tensão
Capacitor (Paralelo)
90cos
cos
tII
tVV
Pt
Pt
22508/12/2015
1
-1
0
0,5
-0,5
t
Q(t)
V(t);I(t) Capacitor e indutor
POTÊNCIA REATIVA5
Referência de fase na corrente (série)
Referência de fase na tensão (paralelo)
Indutivo
tQQ
tVV
tII
Pt
Pt
Pt
2sin
90cos
cos
Indutivo
tQQ
tII
tVV
Pt
Pt
Pt
2sin
90cos
cos
tQQ
tII
tVV
Pt
Pt
Pt
2sin
90cos
cos
Capacitivo
tQQ
tVV
tII
Pt
Pt
Pt
2sin
90cos
cos
Capacitivo
22608/12/2015
Capacitor e indutor
POTÊNCIA REATIVA5
t
Q(t)
t
V(t) ou I(t)
t
I(t) ou V(t)
22708/12/2015
Potê
ncia
reativa tem
opra
l
POTÊNCIA REATIVA5
V = 0
I = 90
P = ?
VL(s) = 0
IL(s) = -TI/4
QL(s)= -TI/8
IL
QL
Fase de referência:Tensão
22808/12/2015
Potê
ncia
reativa indutiva
t
QL(t)
t
VL(t)
t
IL(t)
Ligação paralelo
09/12/2015
39
POTÊNCIA REATIVA5
V = 0
I = 90
P = ?
IC(s) = 0
VC(s)= -TV/4
QC(s) = -TV/8
VC
Fase de referência:Corrente
22908/12/2015
QC
Potê
ncia
reativa c
apacitiv
a
t
QC(t)
t
IC(t)
t
VC(t)
Ligação série
POTÊNCIA REATIVA5
QC
V = 0
I = 90
P = ?
VC(s) = 0
IC(s) = +TI/4
QC(s) = +TI/8IC
Fase de referência:Tensão
23008/12/2015
Potê
ncia
reativa c
apacitiv
a
t
QC(t)
t
VC(t)
t
IC(t)
Ligação paralelo
POTÊNCIA REATIVA5
V = 0
I = 90
P = ?
IL(s) = 0
VL(s) = +TI/4
QL(s)= +TI/8
Fase de referência:Corrente
23108/12/2015
IL
QL
Potê
ncia
retiva indutiva
t
QL(t)
t
IL(t)
t
VL(t)
Ligação série
POTÊNCIA REATIVA5
T
s
360
QLQLs
QLVL
VLQLs
VLVLs
T
TT
T
T
2
2
81
81
41
90
90
0
QL
VL
IL
QLQLs T41
90
90
0
LL
LL
LL
VV
II
ILVLQL
23208/12/2015
Potência reativa indutiva
90
90
0
P
LL
P
LL
P
LL
VV
II
• Corrente atrasada, efeito indutivo.
• Referência de fase na corrente; ligação série.
Ligação série
POTÊNCIA REATIVA5
T
s
360
QLQLs
QLIL
ILQLs
ILILs
T
TT
T
T
2
2
81
81
41
90
90
0
QL
IL
VL
QLQLs T41
90
90
0
LL
LL
LL
II
VV
ILVLQL
23308/12/2015
Potência reativa indutiva
90
90
0
P
LL
P
LL
P
LL
II
VV
• Corrente atrasada, efeito indutivo.
• Referência de fase na tensão; ligação paralelo.
Ligação paralelo
POTÊNCIA REATIVA5
T
s
360
QCQCs
QCVC
VCQCs
VCVCs
T
TT
T
T
2
2
81
81
41
90
90
0
QC
VC
IC
QCQCs T41
90
90
0
CC
CC
CC
VV
II
ICVCQC
23408/12/2015
Potência reativa capacitiva
90
90
0
P
CC
P
CC
P
CC
VV
II
• Tensão atrasada, efeito capacitivo.
• Referência de fase na corrente; ligação série.
Ligação série
09/12/2015
40
POTÊNCIA REATIVA5
T
s
360
QCQCs
QCIC
ICQCs
ICICs
T
TT
T
T
2
2
81
81
41
90
90
0
IC
IC
VC
QCQCs T41
90
90
0
CC
CC
CC
II
VV
ICVCQC
23508/12/2015
Potência reativa capacitiva
90
90
0
P
CC
P
CC
P
CC
II
VV
• Tensão atrasada, efeito capacitivo.
• Referência de fase na tensão; ligação paralelo.
Ligação paralelo
POTÊNCIA REATIVA5
L
Q
V
I
X
90
90
0
C
Q
I
V
B
90
90
0
C
Q
V
I
X
90
90
0
L
Q
I
V
B
90
90
0
23608/12/2015
Os quatro casos
POTÊNCIA APARENTE6
POTÊNCIA APARENTE
23708/12/2015
POTÊNCIA APARENTE6Domínio da frequência
P
S
imgre
imgre
SS
SS
SjSS
SSS
P
V
imgre
imgre
VV
VV
VjVV
VVV
P
I
imgre
imgre
II
II
IjII
III
XZ
RZ
ZZ
ZjZZ
ZZZ
img
re
Z
imgre
imgre
BY
GY
YY
YjYY
YYY
img
re
Y
imgre
imgre
M
P
imgre
imgre
PP
PP
PjPP
PPP
P
Q
imgre
imgre
QjQQ
QQQ
23808/12/2015
POTÊNCIA APARENTE6
23908/12/2015
Domínio do tempo
222
222
tttttt
tttttt
ttttttttt
VYSVBQVGP
IZSIXQIRP
IVSIVQIVP
POTÊNCIA APARENTE6
24008/12/2015
P
imgre
imgre
PP
PjPP
PPP
Q
imgre
imgre
QjQQ
QQQ
S
imgre
imgre
SS
SjSS
SSS
Fórmulas fasoriais
09/12/2015
41
POTÊNCIA APARENTE6
24108/12/2015
Fórmulas fasoriais
VYPVPY
IZPIPZ
IVPPIPVP
VYSVYS
IZSIZS
IVSIVS
2
22
212
21
2
212
21
21
21
VPVP
IPIP
IVPPIPVP
VGQVBQ
IXQIXQ
IVQIVQ
29090
290902
212
21
2
212
21
21
21
2
2
2
2
212
21
2
212
21
21
21
PP
PP
PPPP
VGPVGP
IRPIRP
IVPIVP
POTÊNCIA APARENTE6
imgimgrere
imgreimgre
QjPjQPS
QQPPS
QPS
24208/12/2015
Fórmulas
POTÊNCIA APARENTE6
P
Q
s
24308/12/2015
P[W]
S[VA]
Q[VAr]
ativo
reativo
aparente
22
212
22
212
21
RMSPPPtt
RMSPPPtt
RMSRMSPPPPttt
VBQVBQVBQ
IXQIXQIXQ
IVQIVQIVQ
22
212
22
212
21
RMSPPPtt
RMSPPPtt
RMSRMSPPPPttt
VYSVYSVYS
IZSIZSIZS
IVSIVSIVS
22
212
22
212
21
RMSMPMtt
RMSMPMtt
RMSRMSMPPMttt
VGPVGPVGP
IRPIRPIRP
IVPIVPIVP
Comparação entre as três potências
POTÊNCIA APARENTE6
24408/12/2015
Multiplicação escalar de vetores
P
P
M
P
P
SS
PP
II
VV
22
22
PMP QPS
QPS
QPS
POTÊNCIA APARENTE6
i
|j|
Q [VAr]
P [W]
2
S [VA]
24508/12/2015
Fasores
POTÊNCIA APARENTE6
i
QP
SP
PM
|j|
• Cos : Fator Ativo (Fator de Potência)
• Sen : Fator Reativo
P
P
P
M
S
Q
S
P
sin
cos
24608/12/2015
Fatores ativo e reativo
09/12/2015
42
POTÊNCIA APARENTE6
S
P
I
I
Y
GFP
S
P
V
V
Z
RFP
GB
G
PAR
RX
R
SER
24708/12/2015
Fator de potência
P
M
P
GB
P
GPAR
P
M
P
RX
P
RSER
S
P
I
I
Y
GFP
S
P
V
V
Z
RFP
POTÊNCIA APARENTE6Fatores ativo e reativo
IVPPP
IVPPM
IVQ
IVP
sin
cos
21
21
IVRMSRMSP
IVRMSRMSM
IVQ
IVP
sin
cos
reativofator :sin
ativofator :cos
IV
IV
24808/12/2015
POTÊNCIA APARENTE6
i
Q
S
P
|j|
S(t)
t
Q(t)
P(t)
t
t
24908/12/2015
Potência aparente temporal
POTÊNCIA APARENTE6
25008/12/2015
P
P
Q
Q
S S
t
tt
t
Potência aparente temporal
V,I
POTÊNCIA APARENTE6
t
Potência Consumida
Potência Fornecida
25108/12/2015
Consumo e fornecimento
S(t)
POTÊNCIA APARENTE6
25208/12/2015
• Potência Consumida > Potência Fornecida
• Potência Consumida: Componente Resistivo e Componente Reativo
• Potência Consumida: Ativa e Reativa
• Potência Fornecida: Somente Reativa
• Potência Fornecida Reativa = Potência Consumida Reativa
Consumo e fornecimento
09/12/2015
43
POTÊNCIA APARENTE6
IVPPIVPPt
IVIVPPt
IVIVPPt
IVPPt
IPVPt
IPt
VPt
ttt
tIVIVS
tIVS
ttttIVS
ttIVS
tItVS
tII
tVV
IVS
2coscos
2coscos
coscos
coscos
coscos
coscoscoscos
cos
cos
21
21
21
21
212121
21
Fórmula geral para a potência aparente
25308/12/2015
POTÊNCIA APARENTE6
IVPPIVPPt tIVIVS 2coscos21
21
25408/12/2015
IVPP
AC
t
IVPP
DC
t
Msetoff
DC
t
AC
t
DC
tt
tIVS
IVS
SSS
SSS
2cos
cos
atemporal :
21
21
Fórmula geral para a potência aparente
POTÊNCIA APARENTE6
IVRMSRMSM
IVPPM
IVS
IVS
cos
cos
:médioou valor set -offou (DC) constante Parcela
21
25508/12/2015
IVRMSRMSt
IVPPt
tIVS
tIVS
2cos
2cos
:(AC) temporalParcela
21
Fórmula geral para a potência aparente
POTÊNCIA APARENTE6
25608/12/2015
VAdttT
IV
dttT
IVdt
T
IVS
dttT
IVS
dttIVIVT
S
dtST
S
tIVIVS
T
IVPP
T
IVPP
T
IVPP
M
T
IVIVPP
M
T
IVPPIVPPM
T
tM
IVPPIVPPt
02cos
2coscos
2coscos
2coscos1
1
2coscos
0
21
0
21
0
21
0
21
0 21
21
0
21
21
Demonstração da fórmula de S médio
POTÊNCIA APARENTE6
25708/12/2015
TT
IVS
tT
IVS
dtT
IVS
dtT
IVS
IVPP
M
T
IVPP
M
T
IVPP
M
T
IVPP
M
cos
cos
cos
cos
21
0
21
0
21
0
21
Demonstração da fórmula de S médio
IVPPM IVS cos21
POTÊNCIA APARENTE6
Tt
tAC
Tt
tDCM
Tt
tACDCM
Tt
ttM
IVPPAC
IVPPDC
ACDCt
IVPPIVPPt
dtST
dtST
S
dtSST
S
dtST
S
tIVS
IVS
SSS
tIVIVS
11
1
1
2cos
cos
2coscos
21
21
21
21
01
02
1
2cos2
1
2
2cos2
1
2cos11
0
0
2
00
00
0 21
0
T
AC
PPT
AC
IVPP
T
AC
T
IVPP
T
AC
T
IVPP
T
AC
dtST
T
IVdtS
T
dT
IVdtS
T
radT
ddt
t
dttT
IVdtS
T
dttIVT
dtST
25808/12/2015 DC
Tt
tDC
DCTt
tDC
TDCTt
tDC
TDC
Tt
tDC
SdtST
TT
SdtS
T
tT
SdtS
T
dtT
SdtS
T
1
1
1
1
0
0
Demonstração da fórmula de S médio
DCM SS
09/12/2015
44
POTÊNCIA APARENTE6
VIRMSRMSM
IVRMSRMSM
VIPPM
IVPPM
VIIV
ttt
ttt
VIS
IVS
VIS
IVS
VIS
IVS
cos
cos
cos
cos
coscos
21
21
25908/12/2015
Potência aparente média
POTÊNCIA APARENTE6
IVPPAC
IVPPDC
IVPPIVPPt
tIVS
IVS
tIVIVS
2cos
cos
2coscos
21
21
21
21
Potência aparente para resistor
26008/12/2015
22cos
22cos
22cos0cos
2coscos
:Resistor
21
21
21
21
21
21
21
21
tIVS
IVS
tIVIVS
tIVIVS
tIVIVS
PPAC
PPDC
PPPPt
PPPPt
PPPPt
IV
PPM
M
PP
P
P
IVP
PP
IVP
IVP
II
VV
21
21
2
POTÊNCIA APARENTE6Potência aparente para resistor
26108/12/2015
• A parte temporal tem o dobro da frequência
da tensão e da corrente.
• A defasagem da potência é o dobro da
defasagem da tensão e da corrente.
POTÊNCIA APARENTE6
26208/12/2015
PP
mínima
temporal
PP
máxima
temporal
PPAC
PPDC
IVS
IVS
tIVS
IVS
21
21
21
21
018
0
22cos
PP
máxima
t
PPPP
máxima
t
máxima
temporalDC
máxima
t
IVS
IVIVS
SSS
21
21
VAS
IVIVS
SSS
mínima
t
PPPP
mínima
t
máxima
temporalDC
mínima
t
0
21
21
PP
média
t
PP
média
t
mínima
temporalDC
média
t
IVS
IVS
SSS
21
21 0
máxima
t
pico
t
PP
pico
t
PP
pico
t
média
t
pico
t
SS
IVS
IVS
SS
212
2
Potência aparente para resistor
POTÊNCIA APARENTE6
S(t)t
SP
SM
Soff-set
Stemporal
t
t
PPsetoff IVS 21
22cos21 tIVS PPAC
26308/12/2015
Potência aparente para resistor
POTÊNCIA APARENTE6
26408/12/2015
9022cos
902cos
0
0
90cos
90cos
90:2 opção
90:1 opção
21
21
21
21
21
tIVS
tIVS
VAS
IVS
IVS
IVS
PPAC
PPAC
DC
PPDC
PPDC
PPDC
I
V
I
V
PPP
P
PP
P
P
IVQ
PQ
IVQ
IVQ
II
VV
902
90
90
Potência aparente para elemento reativo
IVPPAC
IVPPDC
IVPPIVPPt
tIVS
IVS
tIVIVS
2cos
cos
2coscos
21
21
21
21
09/12/2015
45
POTÊNCIA APARENTE6
9022cos
0
21 tIVS
VAS
PPAC
DC
PP
pico
t
PP
mínima
t
média
t
PP
máxima
t
IVS
IVS
VAS
IVS
21
21
21
0
• A potência temporal reativa está defasada de
90 em relação à potência temporal resistiva.
26508/12/2015
Potência aparente para elemento reativo
POTÊNCIA APARENTE6
XIS
BVS
PP
PP
2
21
2
21
XIS
BVS
RMSP
RMSP
2
2
RMSRMSP
PPP
IVS
IVS
21
26608/12/2015
Potência aparente para elemento reativo
POTÊNCIA APARENTE6
26708/12/2015
Os três casos da potência aparente
• V = I; VI = 0: S = P resistivo
• V = I:90; VI = 90: S = Q reativo
• V I; |VI| < 90: S misto
• As potências ativa e reativa são um
caso particular da potência aparente.
• As fórmulas da potência aparente são
válidas para as potências ativa e reativa.
POTÊNCIA APARENTE6
PPM
PPM
PPM
PPM
IV
IVPPM
IVP
IVP
IVP
IVP
IVS
21
21
21
21
21
1
0cos
cos
:Resistivo
cos
VArQ
IVQ
IVQ
IVQ
IVS
M
PPM
PPM
PPM
I
V
IVPPM
0
0
90cos
90cos
90
:Indutivo
cos
21
21
21
21
26808/12/2015
Potência aparente média
POTÊNCIA APARENTE6Potência resistiva média
2
21
2
21
21
PM
PM
PP
PP
PPM
VGP
IRP
VGI
IRV
IVP
2
2
RMSM
RMSM
RMSRMS
RMSRMS
RMSRMSM
VGP
IRP
VGI
IRV
IVP
2
2
2
2
2
2
2
2
2
RMSM
RMSM
RMSP
RMSP
RMSRMSPP
RMSP
RMSP
VGP
IRP
II
VV
IVIV
II
VV
26908/12/2015
POTÊNCIA APARENTE6
27008/12/2015
Valor eficaz – dedução da fórmula
Tt
ttRMS
Tt
ttRMS
Tt
ttRMS
Tt
ttM
Tt
ttM
tt
RMSM
dtIT
I
dtIT
I
dtIRT
IR
dtIRT
P
dtPT
P
IRP
IRP
2
22
22
2
2
2
1
1
1
1
1
Tt
ttRMS
Tt
ttRMS
Tt
ttRMS
Tt
ttM
Tt
ttM
tt
RMSM
dtVT
V
dtVT
V
dtVGT
VG
dtVGT
P
dtPT
P
VGP
VGP
2
22
22
2
2
2
1
1
1
1
1
09/12/2015
46
7 RESISTÊNCIA
RESISTÊNCIA
27108/12/2015
7 RESISTÊNCIA
27208/12/2015
• Converte energia elétrica em energia térmica (efeito joule).
• Dissipa energia elétrica.
• Consome potência ativa.
• R[] = V[V] / I[A]
• R[] é uma função atemporal.
Definição
7 RESISTÊNCIA
t [s]
Vmáx
Vmin
V [V]
I [A]
V [V]
I [A]
Vmáx
Vmin
Imáx
Imin
27308/12/2015
Definição
Lissajous
7 RESISTÊNCIA
0
0
0
RR
II
VV
0
0
0
0
P
P
P
P
I
VG
I
VR
Referência de fase
27408/12/2015
Referência de fase em V ou em I:
0RR
II
VV
P
P
P
P
I
VG
I
VR
Outra referência de fase:
P
P
P
P
I
VG
I
VR
PP
P
PP
PP
I
VG
I
VR
RMS
RMS
RMS
RMS
I
VG
I
VR
7 RESISTÊNCIA
t
t
t
t
V
IG
I
VR
*
*
Função temporal
27508/12/2015
* exceto quando (V,I)=(0,0)
I[A]
V[V]
V[V]
I[A]
tII
tVV
Pt
Pt
cos
cos
:asparamétric Equações
7 RESISTÊNCIA
27608/12/2015
Sentido
• A potência resistiva é sempre consumida.
• O resistor apresenta potência consumida
em todo o ciclo de oscilação.
–
+
VI
Semi-ciclo negativo
+
–
VI
Semi-ciclo positivo
+
–
09/12/2015
47
7 RESISTÊNCIA
27708/12/2015
222
222
RMSMPPtt
RMSMPPtt
RMSRMSMPPPttt
VGPVGPVGP
IRPIRPIRP
IVPIVPIVP
2
PM
PP
FórmulasPotência resistiva = Potência ativa
7 RESISTÊNCIA
27808/12/2015
2
2cos
2
2
2cos
2
2
2cos1
2
2cos1cos
cos
coscos
cos
cos
2
2
tPP
PP
tPPP
tPP
tt
PIV
tIVP
tItVP
IVP
tII
tVV
Ptemporal
Pmédia
PPt
Pt
PPP
PPt
PPt
ttt
Pt
Pt
tPP Mt 2cos1
Pt PP 0
Fórmulas
7 RESISTÊNCIA
V,I
P1
-1
0,5
t
P = 2I
P = 2V
27908/12/2015
tII
tVV
Pt
Pt
cos
cos
Pt
PtP
PtP
PP
III
VVV
0
Funções temporaisReferência de fase em V ou em I:
7 RESISTÊNCIA
P
PM
PP
t
2
2cos1 tPP Pt
tPP Mt 2cos1
Mt
Pt
PP
PP
20
0
28008/12/2015
Funções temporais
8 CAPACITÂNCIA
CAPACITÂNCIA
28108/12/2015
8 CAPACITÂNCIA
28208/12/2015
• Carga: Converte energia elétrica em campo elétrico.
• Descarga: Converte campo elétrico em energia elétrica.
• Armazena energia elétrica na forma de tensão.
• Consome potência reativa.
• cos(C) = 0
Definição
09/12/2015
48
8 CAPACITÂNCIA
28308/12/2015
• Se, diante de uma variação de tensão, a variação
de carga for nula, a capacitância é nula.
• Se, diante de uma variação de tensão, a variação
de carga for pequena, a capacitância é pequena.
• Se, diante de uma variação de tensão, a variação
de carga for grande, a capacitância é grande.
• Pode-se variar a tensão e medir a carga.
• Pode-se variar a carga e medir a tensão.
Definição
8 CAPACITÂNCIA
90cos
sin
cos
cos
cos
1
tC
IV
tC
IV
dttC
IV
cteC
I
tC
IV
tII
dtIC
V
dt
dVCI
P
CC
P
CC
P
CC
P
C
P
CC
P
CC
CC
CC
28408/12/2015
Impedância e admitância capacitivas
P
C
P
CC
P
C
P
CC
P
C
P
CC
P
CC
P
CC
P
C
t
C
P
Ct
C
CCC
I
VjX
I
VX
I
VX
II
VV
tII
tC
IV
IXV
90
0
90
0
90
cos
90cos
8 CAPACITÂNCIA
CjX C
1CjBC
CXC
1CBC
28508/12/2015
Impedância e admitância capacitivas
CC XjX CC XjB
8 CAPACITÂNCIA
•Aumento de R: RC se aproxima de 0
•Aumento de XC: RC se aproxima de –90
•Aumento de R: S se aproxima de P
•Aumento de XC: S se aproxima de QC
•Aumento de R: A potência se torna mais ativa
•Aumento de XC: A potência se torna mais reativa
•Aumento de R: Cos(RC) se aproxima de 1
•Aumento de XC: Cos(RC) se aproxima de 0
28608/12/2015
Impedância e admitância
8 CAPACITÂNCIA
•Aumento de G: GC se aproxima de 0
•Aumento de BC: GC se aproxima de +90
•Aumento de G: S se aproxima de P
•Aumento de BC: S se aproxima de QC
•Aumento de G: A potência se torna mais ativa
•Aumento de BC: A potência se torna mais reativa
•Aumento de G: Cos(GC) se aproxima de 1
•Aumento de BC: Cos(GC) se aproxima de 0
28708/12/2015
Impedância e admitância
8 CAPACITÂNCIA
C
C
dVCdq
dV
dqC
dtIdq
dt
dqI
C
C
dtIdVC CC dtI
CV CC
1Referência de fase na corrente
dt
dVCI C
C
Referência de fase na tensão
28808/12/2015
Funções temporais
09/12/2015
49
9 INDUTÂNCIA
INDUTÂNCIA
28908/12/2015
9 INDUTÂNCIA
29008/12/2015
• Carga: Converte energia elétrica em campo magnético.
• Descarga: Converte campo magnético em energia elétrica.
• Armazena energia elétrica na forma de corrente.
• Consome potência reativa.
• cos(L) = 0
Definição
9 INDUTÂNCIA
29108/12/2015
• Se, diante de uma variação de corrente, a variação
de fluxo for nula, a indutância é nula.
• Se, diante de uma variação de corrente, a variação
de fluxo for pequena, a indutância é pequena.
• Se, diante de uma variação de corrente, a variação
de fluxo for grande, a indutância é pequena.
• Pode-se variar a corrente e medir o fluxo.
• Pode-se variar o fluxo e medir a corrente.
Definição
9 INDUTÂNCIA
90cos
sin
cos
cos
cos
1
tL
VI
tL
VI
dttL
VI
cteL
V
tL
VI
tVV
dtVL
I
dt
dILV
P
LL
P
LL
P
LL
P
L
P
LL
P
LL
LL
LL
29208/12/2015
Impedância e admitância indutivas
P
L
P
LL
P
L
P
LL
P
L
P
LL
P
LL
P
LL
P
L
t
L
P
Lt
L
LLL
V
IjB
V
IB
V
IB
VV
II
tVV
tL
VI
VBI
90
0
90
0
90
cos
90cos
9 INDUTÂNCIA
LBL
1LX L
LjBL
1LjXL
29308/12/2015
Impedância e admitância indutivas
LL BjB LL BjB
9 INDUTÂNCIA
•Aumento de R: RL se aproxima de 0
•Aumento de XL: RL se aproxima de +90
•Aumento de R: S se aproxima de P
•Aumento de XL: S se aproxima de QL
•Aumento de R: A potência se torna mais ativa
•Aumento de XL: A potência se torna mais reativa
•Aumento de R: Cos(RL) se aproxima de 1
•Aumento de XL: Cos(RL) se aproxima de 0
29408/12/2015
Impedância e admitância
09/12/2015
50
9 INDUTÂNCIA
•Aumento de G: GL se aproxima de 0
•Aumento de BL: GL se aproxima de –90
•Aumento de G: S se aproxima de P
•Aumento de BL: S se aproxima de QL
•Aumento de G: A potência se torna mais ativa
•Aumento de BL: A potência se torna mais reativa
•Aumento de G: Cos(GL) se aproxima de 1
•Aumento de BL: Cos(GL) se aproxima de 0
29508/12/2015
Impedância e admitância
9 INDUTÂNCIA
L
L
dILd
dI
dL
dtVd
dt
dV
L
L
dtVdIL LL dt
dILV L
L
Referência de fase na corrente
dtVL
I LL
1Referência de fase na tensão
29608/12/2015
Funções temporais
10 EXEMPLOS
EXEMPLOS
29708/12/2015
10 EXEMPLOS
29808/12/2015
Exemplo 1
R C
VS
+ –
?
50
60
95,0
500
120
1
2
1
1
FP
Hzf
Hzf
FP
R
VV RMS
S
10 EXEMPLOS
29908/12/2015
Exemplo 1
2
2
2
2
22
2
1
2
1
2
1
CfR
RFP
CfRZ
CfX
XRZ
Z
R
Z
Z
Z
ZFP
C
C
RREAL
radFC
C
C
C
C
C
C
mS
C
7
13
225
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
105
12010085,6
12010702,3
120
127008
120
1250000277008
120
1500526
120
1500
19,1
120
1500
50095,0
9303,0
537
500
288891
500
38891250000
500
197500
500
197500
500
105100
1500
500
105100
1500
500
100
1500
500
2
2
2
2
222
222
2
7
2
2
2
7
2
2
2
2
2
FP
FP
FP
FP
FP
FP
radF
FP
radF
FP
C
FP
10 EXEMPLOS
30008/12/2015
Exemplo 2
30008/12/2015
VS
+ –
R L C
?
90,0
20
100
100
30200
f
FP
mHL
FC
R
VVS
09/12/2015
51
10 EXEMPLOS
30108/12/2015
Exemplo 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
12
2
12
22
2
12
2
12
2
1
2
CfLfR
RFP
CfLfjR
RFP
Cf
jLfjR
RFP
CfjLfjR
RFP
CfjLfjRZ
CfjX
LfjX
XXRZ
Z
R
Z
Z
Z
ZFP
C
L
CL
RREAL
FfmHf
FfmHf
FfmHf
FfmHf
FfmHf
FfjmHfj
mS
FfmHf
1002
12024,48
1002
12022345
1002
12021000012345
1002
1202100111
1002
1202100111
1002
1202100
19
1002
1202100
10090,0
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
10 EXEMPLOS
30208/12/2015
Exemplo 2
4
22
4
32
4
442
5
5222
2
2
5
225
252
1058,1
1052,31004,3
1058,1
1024,11004,3
1058,1
1016,31026,91004,3
1090,72
11090,741004,31004,3
2
4
1
1004,3
1090,7
011004,31090,7
11090,71004,3
1100220210024,48
1002
12024,48
f
f
f
f
A
CABBf
C
B
A
ff
ff
FfmHfFf
FfmHf
Hzf
f
f
Hzf
f
f
416
1058,1
1057,6
1058,1
1052,31004,3
5,30
1058,1
1081,4
1058,1
1052,31004,3
2
4
2
2
4
22
2
1
4
3
1
4
22
1
Hzf 416
:negativa resposta a oDescartand
10 EXEMPLOS
30308/12/2015
Exemplo 2
83,3
1004162
1
2
1
3,52
204162
2
86615127,415
:oVerificaçã
jX
FHzjX
CfjX
jX
mHHzjX
LfjX
Hzf
C
C
C
L
L
L
90,0
111
100
111
4,48100
4,48
83,33,52
22
22
FP
FP
Z
RFP
Z
Z
XRZ
jX
jjX
XXX CL
10 EXEMPLOS
30408/12/2015
Exemplo 3
V [V]
t [ms]
5
-5
1
t1
10 EXEMPLOS
30508/12/2015
Exemplo 3Análise do envelope
Env
t [ms]
5
1
5105
5
1051
5
01
50
13
13
tsEnv
b
sms
a
btaEnv
Envmst
Envmst
• O envelope é adimensional.
10 EXEMPLOS
30608/12/2015
Exemplo 3Análise da componente AC
t [ms]
1
-1
15,225,122
25,1800
11
80015
4
skradkHzf
kHzmsT
f
msmsT
srad
srad
VV
VV
M
P
0
1
09/12/2015
52
10 EXEMPLOS
30708/12/2015
Exemplo 3Análise da componente AC
90
atrasado 90
200
360800
20015
1
ms
ms
msmss
905,2cos1
cos
1 tskradVV
tVV
AC
t
P
AC
t
10 EXEMPLOS
30808/12/2015
Exemplo 3
905,2cos15105 113 tsradkVtsV
VEnvV
t
AC
tt
VV
VV
VV
radVV
radVV
sskradVssV
smst
t
t
t
t
t
t
2
180cos12
90270cos12
905,1cos12
906,05,2cos156,05
906005,2cos15600105
60015
3
:Testando
113
1
10 EXEMPLOS
30908/12/2015
Exemplo 4
2
15
10
cos1030
2
1
jX
R
R
tVVV
C
tS
VS
+
–
R1
R2
C
10 EXEMPLOS
31008/12/2015
Exemplo 4
VVV
VVRR
RVV
VVRR
RVV
AV
RR
V
Z
VI
III
III
AI
VV
CCRCCC
setoffCCR
setoffCCR
setoffsetoff
CC
CCCCRCCR
CCCCCRCCR
CCC
setoff
18
1825
1530
1225
1030
2,125
30
0
30
2
21
22
21
11
21
21
21
ochaveament o após tempomuito
Análise da componente CC
Voff
-set
+–
R1
R2
C
10 EXEMPLOS
31108/12/2015
Exemplo 4Análise da componente AC
VjV
VV
tVV
S
S
ACS
010
010
cos10
41,82982,1
2//15
//
2
2
22
Z
jZ
CRZ
84,10571,9
41,82982,110
10010
1
1
21
11
VV
VV
ZR
RVV
ACR
ACR
ACSACR
57,71897,1
4,8298,110
4,8298,1010
2
2
21
22
VV
VV
ZR
ZVV
ACR
ACR
ACSACR
10 EXEMPLOS
31208/12/2015
Exemplo 4Análise da componente AC fasorial
84,1045,10
2//1510
//21
Z
jZ
XRRZ C
84,101,957
84,1045,10
010
1
1
1
mAI
VI
Z
VI
ACR
ACR
SACR
57,715,126
21151
15184,101,957
2
2
2
212
mAI
jmAI
BG
GII
ACR
ACR
C
RACR
43,187,948
21151
2184,101,957
2
1
mAI
j
jmAI
BG
BII
ACC
ACC
C
CRACC
09/12/2015
53
10 EXEMPLOS
31308/12/2015
Exemplo 4Análise da componente AC fasorial
mAI
I
jj
jjV
I
I
jV
I
I
XRR
RRRV
I
I
M
M
M
M
M
M
C
S
M
M
4,18949
8,10957
215015
015035/
0
10
21515
152510/
0
10
/0
2
1
2
1
2
1
22
221
2
1
4,18949
8,109571
2
11
mAI
mAI
II
II
C
R
MC
MR
10 EXEMPLOS
31408/12/2015
Exemplo 4Análise temporal
57,71cos897,1
57,71cos897,1
84,10cos571,9
2
1
tVV
tVV
tVV
t
ACC
t
ACR
t
ACR
57,71cos897,118
57,71cos897,118
84,10cos571,912
2
1
tVVV
tVVV
tVVV
t
C
t
R
t
R
43,18cos7,948
57,71cos5,126
84,10cos1,957
2
1
tmAI
tmAI
tmAI
t
ACC
t
ACR
t
ACR
43,18cos7,9480
57,71cos5,1262,1
84,10cos1,9572,1
2
1
tmAAI
tmAAI
tmAAI
t
C
t
R
t
R
9043,1857,71
10 EXEMPLOS
31508/12/2015
Exemplo 4Potências
8,10cos160,98,10cos97,224,14
84,10cos1,9572,184,10cos571,912
2
1
1
111
tWtWWP
tmAAtVVP
IVP
t
R
t
R
t
R
t
R
t
R
8,10cos160,98,10cos97,224,14
1084,10cos571,912
2
1
2
1
1
2
11
tWtWWP
tVVP
RVP
t
R
t
R
t
R
t
R
8,10cos160,98,10cos97,224,14
1084,10cos1,9572,1
2
1
2
1
111
tWtWWP
tmAAP
RIP
t
R
t
R
t
R
t
R
10 EXEMPLOS
31608/12/2015
Exemplo 4Potências
6,71cos0,2406,71cos554,46,21
57,71cos5,1262,157,71cos897,118
2
2
2
222
tmWtWWP
tmAAtVVP
IVP
t
R
t
R
t
R
t
R
t
R
6,71cos0,2406,71cos554,46,21
1557,71cos897,118
2
2
2
2
2
2
22
tmWtWWP
tVVP
RVP
t
R
t
R
t
R
t
R
6,71cos0,2406,71cos554,46,21
1557,71cos5,1262,1
2
2
2
2
222
tmWtWWP
tmAAP
RIP
t
R
t
R
t
R
t
R
10 EXEMPLOS
31708/12/2015
Exemplo 4Potências
13,532cos90043,18cos08,17
9087,362cos90043,18cos08,17
87,362sin90043,18cos08,17
43,1822sin8,143,18cos08,17
43,18cos43,18sin8,143,18cos08,17
43,18cos9043,18cos8,143,18cos08,17
9043,1857,71
43,18cos57,71cos8,143,18cos08,17
43,18cos7,948057,71cos897,118
21
21
21
21
tmVArtVArQ
tmVArtVArQ
tmVArtVArQ
tVArtVArQ
ttVArtVArQ
ttVArtVArQ
ttVArtVArQ
tmAAtVVQ
IVQ
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
10 EXEMPLOS
31808/12/2015
Exemplo 4Valores de pico e RMS AC
VV
VV
AC
RMS
R
P
R
768,6
571,9
1
1
VV
VV
AC
RMS
R
P
R
342,1
897,1
2
2
VV
VV
AC
RMS
C
P
C
342,1
897,1
mAI
mAI
AC
RMS
R
P
R
44,89
5,126
2
2
mAI
mAI
AC
RMS
C
P
C
8,670
7,948
mAI
mAI
AC
RMS
R
P
R
8,676
1,957
1
1
09/12/2015
54
10 EXEMPLOS
31909/12/2015
Exemplo 4Valores RMS
VV
VVV
VVV
RMS
R
RMS
R
AC
RMS
RCCR
RMS
R
78,13
768,612
1
22
1
2
1
2
11
VV
VVV
VVV
RMS
R
RMS
R
AC
RMS
RCCR
RMS
R
05,18
342,118
2
22
2
2
2
2
22
VV
VVV
VVV
RMS
C
RMS
C
AC
RMS
CCCC
RMS
C
05,18
342,11822
22
AI
mAAI
III
RMS
R
RMS
R
AC
RMS
RCCR
RMS
R
375,1
8,6762,1
1
22
1
2
1
2
11
AI
mAAI
III
RMS
R
RMS
R
AC
RMS
RCCR
RMS
R
203,1
44,892,1
2
22
2
2
2
2
22
mAI
mAAI
III
RMS
R
RMS
R
AC
RMS
CCCC
RMS
C
8,670
8,6700
2
22
2
22
10 EXEMPLOS
32009/12/2015
Exemplo 4Análise da componente AC
WP
AVP
IVP
M
R
M
R
RMS
R
RMS
R
M
R
94,18
375,178,13
1
1
111
WP
AVP
IVP
M
R
M
R
RMS
R
RMS
R
M
R
72,21
203,105,18
2
2
222
VArQ
mAVQ
IVQ
P
C
P
C
RMS
C
RMS
C
P
C
22,12
8,67005,18
10 EXEMPLOS
32109/12/2015
Exemplo 5
10 EXEMPLOS
32209/12/2015
Exemplo 6
10 EXEMPLOS
32309/12/2015
Exemplo 7
10 EXEMPLOS
32409/12/2015
Exemplo 8