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apostila de somatório e produtório
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1
Universidade Federal do Piauí
Campus Universitário “Profa. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI
Profa. Gisele
ESTATÍSTICA
II - SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO
As operações de somatório e produtório são de grande importância para a Estatística por
facilitar a indicação e formulação de medidas, bem como algumas operações algébricas.
1. SOMATÓRIO
1.1 Índices ou notação por índices
O símbolo Xi (lê-se X índice i) representa qualquer um dos n valores, X1, X2,....,Xn, assumidos
pela variável X, na amostra ou no conjunto de dados.
Exemplo: Seja X a variável peso de 10 coelhos abatidos com 90 dias:
1.2 Notação de somatório
Para designar o somatório utiliza-se a letra grega sigma maiúsculo ( Σ ), que deve ser lido
SOMATÓRIO ou SOMA DE.
O símbolo ∑=
n
1i
iX é usado para representar a soma de todos os valores Xi desde i = 1 até i = n, ou
seja, por definição:
∑=
n
1i
iX = X1 + X2 + .......+ Xn
Lê-se da seguinte maneira: “somatório de Xi, com i variando de 1 a n”.
X1 X2 X3 ......... ......... ......... ......... ......... ........ X10
2,47 2,49 2,56 2,56 2,59 2,61 2,62 2,62 2,62 2,70
2
Ex.: 10987654321
10
1i X XXXXXXX X XX +++++++++=∑
=i
70,262,262,262,261,259,256,256,249,247,X10
1i +++++++++=∑
=
2i
84,5X10
1i 2=∑
=i
1.3 Número de termos do somatório (NT)
Corresponde ao número de termos que farão parte da soma.
Tem-se duas formas de calcular o NT:
NT = Ls – Li + 1 (sem restrição)
NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição)
Em que,
Ls = limite superior do somatório
Li = limite inferior do somatório
r = número de restrições no somatório (ou seja, número de termos que não farão parte da soma)
Ex.:
SEM RESTRIÇÃO:
84,5X XXXXXXX X XX 10987654321
10
1i 2=+++++++++=∑
=i
NT = 10 – 1 + 1 = 10
COM DUAS RESTRIÇÕES (r = 2):
81,0X XXXXXX X X 109876542
10
3,11
i 2=+++++++=∑≠=
ii
NT = 10 – 1 + 1 - 2 = 8
1.4 Propriedades
1ª) KNTKn
I
.1
=∑=
, sendo K uma constante e NT = número de termos.
Ex.: 202.102).1110(210
1
==+−=∑=i
3
2ª) ∑∑==
=n
i
i
n
i
i XKXK11
..
Ex.: 68,184,25.2)70,2...49,247,.()X ....... X X.(2.2.2 10211
10
1
522 ==+++=+++== ∑∑==
n
i
i
i
i XX
3ª) ∑∑∑===
±=±n
I
i
n
I
ii
n
i
i YXYX111
)(
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que:
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9
291712)953()642()()()( 321321
3
1
3
1
3
1
=+=+++++=+++++=+=+ ∑∑∑===
YYYXXXYXYXI
i
I
ii
I
i
4ª) KNTXKXKXn
I
i
n
I
n
I
i
n
I
i .)(1111
±=±=± ∑∑∑∑====
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se:
84,52.1084,252.2)2(10
1
10
1
10
1
10
1
4=+=+=+=+ ∑∑∑∑====
NTXXXI
i
II
i
i
i
5ª) ∑∑∑===
≠n
i
i
n
i
ii
n
i
i YXYX111
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que:
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9
8054209.65.43.3322111
=++=++=++=∑=
62YXYXYXYX i
n
i
i
0417.2)).(( 32132111
21 ==++++=∑∑==
YYYXXXYXn
i
i
n
i
i
Logo, 80 ≠ 204
⇒⇒⇒⇒ Ao i
n
i
iYX∑=1
dá-se o nome de SOMA DE PRODUTOS e ao ∑∑==
n
i
i
n
i
i YX11
dá-se o nome de
PRODUTO DA SOMA.
6ª) ∑∑==
≠n
i
i
n
i
i XX1
2
1
2 )(
4
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se:
81,6670,2...49,247,X ... X X 222210
22
21
1
2=+++=+++=∑
=
2n
i
iX
71,667)84,5()( 2
1
2==∑
=
2n
i
iX
Logo, 66,81 ≠ 667,71
⇒⇒⇒⇒ Ao∑=
n
i
iX1
2 dá-se o nome de SOMA DE QUADRADOS e ao ∑=
n
i
iX1
2)( dá-se o nome de
QUADRADO DA SOMA.
7ª) ∑∑ =
=
≠n
i i
n
i
i
XX 1
1
11
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se:
0387,070,262,262,262,261,259,256,256,249,247,
11
1
=+++++++++
=
∑=
2n
i
iX
87,370,2
1
62,2
1
62,2
1
62,2
1
61,2
1
59,2
1
56,2
1
56,2
1
49,2
1
47,2
11
1
=+++++++++=∑=
n
i iX
Logo, 0,0387 ≠ 3,87
1.5 Somatório duplo - Soma de variáveis arranjadas com dupla entrada
É um procedimento comum em que os dados de um experimento ou uma amostra são
representados em uma tabela de dupla entrada. Desta forma tem se a variável X com dois índices
(Xij). O índice i representa as linhas e o índice j representa as colunas.
Dois tipos de notação de somatório podem ser utilizadas, a notação por índice e por ponto.
5
Exemplo.
Tabela 1 - Produtividade em t/ha de uma forrageira sob o efeito de 4 doses de fósforo em
combinação com 3 doses de nitrogênio.
Teor de nitrogênio (j)
Teor de fósforo (i) 1 2 3
TOTAL
1 4,6 5,0 5,5 15,1 2 5,0 5,5 6,1 16,6 3 5,2 5,8 6,4 17,4 4 6,0 6,2 6,8 19,0
TOTAL 20,8 22,5 24,8 68,1 Na Tabela 1 observa-se que dois fatores determinam a produtividade, portanto dois índices são
utilizados para representá-los. Assim dois símbolos de somatórios podem ser utilizados.
A partir de dados organizados em tabela de dupla entrada obtêm-se os seguintes somatórios:
a) Somar cada uma das combinações ij, ou seja, toda a produtividade da Tabela 1
NOTAÇÃO POR ÍNDICE:
∑∑= =
4
1i
3
1j
ijX = X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 + X31 + X32 + X33 + X41 + X42 + X43
∑∑= =
4
1i
3
1j
ijX = 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 + 6,1 + 5,2 + 5,8 + 6,4 + 6,0 + 6,2 + 6,8 = 68,1
NOTAÇÃO POR PONTO:
..X = X11 + X12 + X13 + X14 + X21 + ...+ X43 = 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 +......+ 6,8 = 68,1
b) Somar cada uma das linhas i, ou seja, o total de cada dose de fósforo.
NOTAÇÃO POR ÍNDICE:
∑=
4
1i
ijX = X1j + X 2j + X3j + X 4j ∀ j = 1, 2, 3
∑=
4
1i
ijX = (X11 + X12 + X13) + (X21 + X22 + X23) + (X31 + X32 + X33) + (X41 + X42 + X43) = 16,1
+ 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1
6
NOTAÇÃO POR PONTO:
∑=
4
1i
ijX = X1. + X 2. + X3. + X 4. ∀ j = 1, 2, 3
∑=
4
1i
ijX = 16,1 + 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1
Ou ainda, para fósforo dose 2 (i = 2), a produtividade total é:
=∑=
3
12
j
jX X21 + X22 + X23 = 5,0 + 5,5 + 6,1 = 16,6
c) Somar cada uma das colunas j, ou seja, o total de cada dose de nitrogênio.
NOTAÇÃO POR ÍNDICE:
∑=
3
1j
ijX = Xi1 + Xi2 + Xi3 ∀ i = 1, 2, 3, 4
∑=
3
1j
ijX = (X11 + X21 + X31 + X41) + (X21 + X22 + X32 + X34) + (X13 + X23 + X33 + X43)
∑=
3
1j
ijX = 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1
NOTAÇÃO POR PONTO:
∑=
3
1j
ijX = X.1 + X.2 + X.3 ∀ i = 1, 2, 3, 4
∑=
3
1j
ijX = X.1 + X.2 + X.3 = 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1
Ou ainda, para nitrogênio dose 3 (j =3), a produtividade total é:
=∑=
4
13
i
iX X13 + X23 + X33 + X43 = 5,5 + 6,1 + 6,4 + 6,8 = 24,8
Portanto, neste exemplo de Somatório duplo as seguintes notações por índice e por
ponto se equivalem:
∑∑= =
4
1i
3
1j
ijX = X..
7
∑=
4
1i
ijX = ∑=
4
1.
i
iX
∑=
3
1j
ijX = ∑=
3
1.
j
jX
E o mesmo vale para Somatórios duplos com outros números de linha i e coluna j.
OBS.: Por somatório duplo entende-se também:
∑∑∑∑=== =
=m
j
j
n
i
ij
n
i
m
j
i YXYX111 1
.
Ex.: Dados:
Xi Yj
X1 = 2 Y1 = 1
X2 = 4 Y2 = 3
X3 = 6 Y3 = 5
X4 = 8 Y4 = 7
X5 = 10 -
301
=∑=
n
i
iX 161
=∑=
n
i
iY
48016.30.4
1
5
1
5
1
4
1
=== ∑∑∑∑=== = j
j
i
ij
i j
i YXYX
)7.10()5.10()3.10()1.10(...)7.4()5.4()3.4()1.4()7.2()5.2()3.2()1.2(5
1
4
1
++++++++++++=∑∑= =
j
i j
iYX
4805
1
4
1
=∑∑= =
j
i j
iYX
2. PRODUTÓRIO
2.1 Notação de produtório
Para designar o produtório utiliza-se a letra grega pi maiúsculo ( Π ), que deve ser lido
PRODUTÓRIO ou PRODUTO DE.
O símbolo ∏=
n
i
iX1
é usado para representar a multiplicação de todos os valores Xi desde i = 1 até
i = n, ou seja, por definição:
ni
n
i
XXXX .... 211
=∏=
8
Lê-se da seguinte maneira: “produtório de Xi, com i variando de 1 a n”.
2. 2 Número de termos (NT) do produtório
NT = Ls – Li + 1 (sem restrição)
NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição)
2.3 Propriedades
1ª) !.....3.2.11
nnin
i
==∏=
Ex.: 24!44.3.2.11
===∏=
in
i
2ª) NTn
i
KK =∏=1
Ex.: 622.2.2.22 44
1
1===∏=i
3ª) ))...().(()( 211
KXKXKXKX ni
n
i
±±±=±∏=
Ex.: )2).(2).(2()2( 321
3
1
+++=+∏=
XXXX i
i
Considerando a variável X, em que:
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6
Tem-se que:
1928.6.4)26).(24).(22()2(3
1
==+++=+∏=
i
i
X
4ª) i
n
i
n
i
n
i
XKKX ∏∏==
=11
.
Considerando a variável X, em que:
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6
Ex.: 384)6.4.2.(2.2.222. 332.1
3
1
===∏=
XXXX i
i
9
5ª) a
i
n
i
na
i
n
i
XKKX ∏∏==
=11
.
Ex.: Considerando a variável X, em que:
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6
E a = 3 e K = 5, tem-se que:
5.. 33
11i
i
a
i
n
i
XKX ∏∏==
=
13824000110592.125)6.4.2.(5.55.6.5.4.5.5..5.55. 33333
1
3333333
32
31
33
1
====== ∏∏== i
ii
i
XXXXX 2
6ª) i
n
i
i
n
i
ii
n
i
YXYX ∏∏∏===
=111
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que:
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9
6480)9.5.3).(6.4.2()9.6.5.4.3.2()).((.. 321321332211
3
1
=====∏=
YYYXXXYXYXYXYX ii
i
7ª) ∑∏==
=+++==n
i
inni
n
i
XXXXXXXX1
2121
1
log)log(...)log()log().....log()log(
Ex.: Considerando a variável X, em que:
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6
∑∏==
=++==3
1321321
3
1
log)log()log()log()..log()log(i
ii
i
XXXXXXXX
68,178,60,030,0)6log()4log()2log()log(3
1
=++=++=∏=
i
i
X
10
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Campus Universitário “Profa. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI Lista de exercícios: Somatório e produtório.
1 – Considerando os seguintes valores: X1 = 2 X2 = 6 X3 = 7 X4 = 9 Y1 = 1 Y2 = 4 Y3 = 5 Y4 = 11 Calcular:
a) ∑∑==
+4
2
3
1
)2(j
i
i
X b) ∑∑==
−3
2
4
2
)(3j
ji
i
YX c) ∑=
−3
1
2)2(t
tY d) ∑=
−4
1
)4(i
ii YX
2 – Efetuar
a) ∑−=
+3
1
2 )1
(i j
i b) ∑∑==
−+
2
0
6
31
)3().(
j i
iji
3 – Calcule X1 e X3, dado que:
∑=
=6
1
42i
iX ∑=
=6
1
2 364i
iX ∑≠=
=6
3,11
34
ii
iX ∑≠=
=6
3,11
2 324
ii
iX
4 – Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores: X = {5,2,3,0,1,2,6,9,4,8} n = 10 Calcule:
a) ∑=
10
1i
iX b) ∑=
10
1
2
i
iX c) ∑=
10
1
2)(i
iX d) 110
10
)(10
1
10
1
2
2
−
−∑∑
=
=
i
i
i
i
X
X
e) ∑=
−10
1
)4(i
iX f) 210
1
)4(∑=
−i
iX g) 110
)4(10
1
2
−
−∑=i
iX
h) 10
10
1∑
=i
iX
5 – Sabendo-se que 65
1
−=∑=i
iX e 125
1
2=∑
=i
iX , Calcule:
a) ∑=
+5
1
)54(i
iX b) ∑=
−5
1
)2(i
ii XX c) 25
1
)3(∑=
−i
iX
6 – Desenvolver e calcular:
a) ∑∑= =
+3
1
6
2
).(i j
jbi b) ∑∑= =
−2
1
5
2
)(j i
ji c) 22
1
2
1
)3(∑∑= =
−i j
ji
d) ∑∑= =
7
1
8
0i j
cb e) ∑∑= =
4
1
5
1
2
i j
i
11
7 – Utilizando os dados da tabela abaixo, calcule:
j i
1 2 3 4 1 8 7 5 9 2 4 0 10 2
a) ∑=
2
11
i
iX b) ∑=
4
11
j
jX c) ∑∑= =
2
1
4
1i j
ijX d) ∑∑≠= =
4
31
2
1jj i
ijX
e) ∑=
3
22
j
jX f) ∑≠=
4
21 2
1
jj jX
g) ∏≠=
4
31
16
jj
jX h) ∏≠=
4
21
2
jj
jX
8 – Escreva usando notação de somatório ou produtório, conforme o caso:
a) 2
442211
222
−+
−+
− YXYXYX
b) a! c) ))()(( 312111 YXYXYX +++
d) )()()()()()( 322212312111 YXYXYXYXYXYX +++++
e) ).)...()(( 2211 nn YXYXYX
9 – Considere os seguintes valores:
X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 X5 = 10 X6 = 12 X7 = 14 X8 = 16 Y1 = 1 Y2 = 3 Y3 = 5 Y4 = 7 Y5 = 9 Y6 = 11 Y7 = 13 Y8 =15
Calcule os seguintes somatórios e produtórios:
a) )3(8
1
5
2
−∑∑= =i j
iX b) ∑=
−
8
1
2
2i
ii Y
X c) ∏
=
4
1i
iX
d) ∏=
4
2 3i
iiYX
10 – Desenvolver:
a) ∑=
+
3
1
2 1
i ji b) ∑∑
≠= = +
−5
41
4
2
22 )(
jj i ji
jji c)
25
1
)8(
+∑
=i
i
d) ∏=
+5
1
)8(i
i
11 – Se ∑=
=3
1
12i
iX ∑=
=3
1
2 56i
iX e 31 =Y 52 =Y 63 =Y , calcule:
a) ∑=
3
1
9i
b) ∑=
3
1
12i
iX c) )2(3
1
21 −∑
=i
X d) )(3
1i
i
iYX∑=
12 – Se X1 = 2, X2 = 4, X3 = 6 e Y1 = 3, Y2 = 5, Y3 = 6, calcule:
a) )(3
1i
i
iYX∑=
b) )5)(2(3
1
−−∑=
i
i
i YX
12
13 – Calcule X9 e X21, sabendo-se que:
∑=
=50
1
200i
iX ∑=
=50
1
2 1206i
iX ∑≠=
=50
2191
190
eii
iX ∑≠=
=50
2191
2 1154
eii
iX
14 – Dados:
i fi Xi
1 3 10 2 5 11 3 9 15 4 10 19
Calcule: a) ∑=
4
1i
iX b) ∑=
4
1i
if c) ∑=
4
1i
ii Xf d)
∑
∑
=
=
4
1
4
1
i
i
i
ii
f
Xf
15 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação mais apropriada um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades diferentes, dividiu-as em 7 grupos (G), sendo que dentro de cada um destes grupos havia 4 ovelhas de mesma idade e homogeneidade para as demais características. Dentro de cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir ao acaso, os 4 tipos de alimentação (TA) às ovelhas do grupo. O experimento se iniciou logo após as ovelhas terem sido submetidas a uma tosquia e se encerrou quando já era o momento de se realizar uma nova tosquia, da qual obtiveram-se os seguintes resultados, expressos em unidade de medida de lã por animal:
GRUPOS TA
1 2 3 4 5 6 7 Totais
1 30 32 33 34 29 30 33 221 2 29 31 34 31 33 33 29 220 3 43 47 46 47 48 44 47 322 4 23 25 21 19 20 21 22 151 Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 Calcular:
a) ∑=
4
1.
i
iX b) ∑=
7
1.
j
jX c) ∑=
4
1
2.
i
iX d) ∑=
7
1
2.
j
jX
e) 24
1. )(∑
=i
iX f) 27
1. )(∑
=j
jX g) ∑∑==
7
1
2.
4
1.
j
j
i
i XX
h) X.. i) ∑∑= =
4
1
7
1i j
ijX j) ∑∑= =
4
1
7
1
2
i j
ijX
k) ∑∑= =
4
1
7
1
2)(i j
ijX l) ∑=
4
11
i
iX m) ∑=
7
11
j
jX n) ∑=
4
1
21
i
iX
o) ∑=
7
1
21
j
jX p) 24
17 )(∑
=i
iX q) ∑=
4
1
27
i
iX r) 27
14 )(∑
=j
jX s) ∑=
7
1
24
j
jX
13
RESPOSTAS 1 – a) 63 b) 51 c) 14 d) -60 2 – a) 5(3+ 1/j) b) 429/20 3 – X1 = 2 ou 6; X2 = 6 ou 2
4 – a) 40 b) 240 c) 1600 d) 80/9 e) 0 f) 80 g) 80/9 h) 4 5 – a) 1 b) 24 c) 93 6 –a) 30 + 60b b) 16 c) 159 d) 63cb e) 150 7 – a) 12 b) 29 c) 45 d) 30 e) 10 f) 17/20 g) 108864 h) 80 9 – a) 192 b) 140 c) 19,59 d) 746,66 10 – a) 5(3 + 1/j) b) -18 c) 3025 d) 154440 11 – a) 27 b) 144 c) 50 d) 3X1 + 5X2 + 6X3 12 – a) 62 b) 4 13 – X9 = 4 e X21 = 6 14 – a) 55 b) 27 c) 410 d) 410/27 15 – a) 914 b) 914 c) 223726 d) 119412 e) 835396 f) 835396 g) 109142568 h) 914 i) 914 j) 32050 k) 835396 l) 125 m) 221 n) 4119 o) 6999 p) 17161 q) 4623 r) 22801 s) 3281