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CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU
INSTITUTO EDUCACIONAL ALFA
APOSTILA
NOVAS TENDÊNCIAS DO ENSINO
DA MATEMÁTICA
MINAS GERAIS
2
A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A Educação Matemática pode ser caracterizada como uma área de atuação
que busca, a partir de referenciais teóricos consolidados, soluções e alternativas que
inovem o ensino de Matemática.
Vários autores definem o que entendem por Educação Matemática. Em 1993
durante o I Seminário de Educação Matemática, definiu-se educação matemática
como área autônoma de conhecimento com objeto de estudo e pesquisa
interdisciplinar. (SOUZA et al., 1991).
De acordo com Carvalho, “A Educação Matemática é uma atividade
essencialmente pluri e interdisciplinar. Constitui um grande arco, onde há lugar para
pesquisas e trabalhos dos mais diferentes tipos.” Para Bicudo a Educação
Matemática possui um campo de investigação e de ação muito amplo. Os
pesquisadores devem sempre analisar criticamente suas ações com o intuito de
perceber no que elas contribuem com a Educação Matemática do cidadão.
Portanto, para resumir, podemos dizer que a educação matemática é uma
área de estudos e pesquisas que possui sólidas bases na Educação e na
Matemática, mas que também está contextualizada em ambientes interdisciplinares.
Por este motivo, caracteriza-se como um campo de pesquisa amplo, que busca a
melhoria do processo ensino-aprendizagem de Matemática.
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Vamos então retomar a discussão inicial sobre as tendências da Educação
Matemática, porém com uma visão mais clara sobre o significado de Educação
Matemática.
O educador matemático é aquele que concebe a Matemática como um meio:
ele educa através da Matemática. Tem por objetivo a formação do cidadão e, devido
a isso, questiona qual a Matemática e qual o ensino são adequados e relevantes
para essa formação. Suas atividades se desenvolvem nas escolas de ensino
fundamental e médio, nas Secretarias de Educação e nos centros de formação de
professores. É o educador matemático um profissional responsável pela formação
educacional e social de crianças, jovens e adultos, dos professores de matemática
(de nível fundamental e médio) e também pela formação dos formadores de
professores. Suas pesquisas são realizadas, utilizando-se essencialmente
fundamentação teórica e métodos das Ciências Sociais e Humanas.
O SURGIMENTO DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA ENQUANTO CAMPO
PROFISSIONAL E CIENTÍFICO
Tomando por base o estudo de Kilpatrick (1992), poderíamos destacar pelo
menos três determinantes para o surgimento da Educação Matemática enquanto
campo profissional e científico. O primeiro é atribuído à preocupação dos próprios
4
matemáticos e de professores de Matemática sobre a qualidade da divulgação e
socialização das idéias matemáticas às novas gerações. Essa preocupação dizia
respeito tanto à melhoria de suas aulas quanto à atualização e modernização do
currículo escolar da Matemática. De acordo com Schubring (1999) a Matemática foi
a primeira das disciplinas escolares a deflagrar um movimento internacional de
reformulação curricular. Este movimento aconteceu a partir da Alemanha, no início
do século XX, sob a liderança do matemático Felix Klein.
O segundo fato é atribuído à iniciativa das universidades européias, no final
do século XIX, em promover formalmente a formação de professores secundários.
Isso contribuiu para o surgimento de especialistas universitários em ensino de
Matemática.
O terceiro fato diz respeito aos estudos experimentais realizados por
psicólogos americanos e europeus, desde o início do século XX, sobre o modo como
as crianças aprendiam a Matemática.
No entanto, em nível internacional, a pesquisa em Educação Matemática
daria um salto significativo a partir do “Movimento da Matemática Moderna”, ocorrido
nos anos 50 e 60. Esse movimento surgiu, de um lado motivado pela Guerra Fria,
entre Rússia e Estados Unidos e, de outro, como resposta à constatação após a 2a
Guerra Mundial, de uma considerável defasagem entre o progresso científico-
tecnológico e o currículo escolar então vigente. A Sociedade norte americana de
Matemática, por exemplo, optou, em 1958, por direcionar suas pesquisas ao
desenvolvimento de um novo currículo escolar de Matemática. Surgiram então
vários grupos de pesquisa envolvendo matemáticos, educadores e psicólogos. O
mais influente deles foi o School Mathematics Study Group , que se notabilizou pela
publicação de livros didáticos e pela disseminação do ideário modernista para além
das fronteira norte-americanas, atingindo também o Brasil.
É a partir desse período que também surgem, principalmente nos Estados
Unidos, os primeiros programas específicos de mestrado e doutorado em Educação
Matemática. Os estudos nessa área cresceram tanto, que, segundo Kilpatrick
(1992), até o final dos anos 80, já haviam sido realizados mais de cinco mil estudos
na área, a maioria nos Estados Unidos. O surgimento da Educação Matemática no
Brasil também teve início a partir do Movimento da Matemática Moderna, mais
precisamente no final dos anos 70 e durante a década de 80. É nesse período que
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surge a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e os primeiros
programas de pós-graduação em Educação Matemática.
Existem no Brasil, atualmente (2000), quase duas dezenas de programas
stricto sensu de Pós-graduação (mestrado e doutorado) em Educação Matemática.
Dentre eles: a UNESP- Rio Claro, USU- Rio de Janeiro, PUC- SP, FE-UNICAMP-
Campinas, FE-USP-SP, PUC-RJ, FEUFSC, UFRN, UFES, UFMS, UNISINOS,
FURB, UPF, UNIJUI. Temos hoje, no Brasil, uma comunidade de educadores
matemáticos que conta com uma associação própria (SBEM). Congregando cerca
de 12 mil associados.
O OBJETO DE ESTUDO DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Embora ainda em construção, poderíamos dizer que o objeto de estudo da
Educação Matemática consiste nas múltiplas relações e determinações entre
ensino, aprendizagem e conhecimento matemático. Isso não significa que uma
determinada investigação não possa priorizar o estudo de um desses elementos da
tríade, ou de uma dessas relações. Mas, ao mesmo tempo que isso acontece, os
outros elementos jamais podem ser totalmente ignorados.
Objetivos da pesquisa em Educação Matemática
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Embora os objetivos da investigação em Educação Matemática sejam
múltiplos e difíceis de serem categorizados, pois variam de acordo com cada
problema ou questão de pesquisa, podemos afirmar que, sob um aspecto amplo e
não imediato, existem dois objetivos básicos:
♦ um, de natureza pragmática, que visa a melhoria da qualidade do ensino e da
aprendizagem da Matemática;
♦ outro, de natureza científica, que visa desenvolver a Educação Matemática
enquanto campo de investigação e produção de conhecimentos.
Algumas questões ou perguntas específicas da investigação em Educação
Matemática
Apesar da Educação Matemática estar na interseção de vários campos
científicos (Matemática, Psicologia, Pedagogia, Sociologia, Epistemologia, Ciências
Cognitivas,...) ela tem seus próprios problemas e questões de estudo, não podendo
ser vista como aplicação particular desses campos.
Existem dois tipos básicos de perguntas quando se faz pesquisa em
Educação Matemática e têm a ver com os objetivos expostos anteriormente:
♦ Aquelas que surgem diretamente da prática de ensino, ou melhor, da reflexão do
educador sobre sua própria prática e sobre a prática dos outros.
♦ Aquelas que são geradas a partir de investigações ou estudos precedentes ou da
própria literatura.
Tendências temáticas e metodológicas da pesquisa em Educação Matemática
De acordo com Kilpatrick (1994) existem sete temáticas de investigação, em
Educação Matemática, “em alta” nos anos 90. São elas:
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♦ Processos de ensino/aprendizagem de Matemática;
♦ Mudanças curriculares;
♦ Emprego de tecnologias no ensino de Matemática;
♦ Prática docente;
♦ Desenvolvimento profissional (de professores);
♦ Práticas de avaliação; contexto sócio-cultural e político do ensino/aprendizagem de
Matemática.
1. Processos de ensino/aprendizagem de Matemática:
Nesta temática estão relacionados os estudos que tem como objeto de
pesquisa o processo de ensino e aprendizagem de Matemática. A principal mudança
verificada nos últimos anos é que estes estudos deixaram de focalizar aspectos
muito gerais da aprendizagem e passaram a focalizar a aprendizagem de conteúdos
matemáticos mais específicos. O foco de estudo mais prestigiado pelas pesquisas
tem sido o processo de contagem e as operações fundamentais com números
naturais, nas séries iniciais. Só mais recentemente, maior atenção tem sido dada ao
estudo dos números racionais, da Álgebra, da Geometria, da Probabilidade e do
Cálculo Diferencial e Integral.
Relacionadas a esta temática são encontradas as seguintes tendências:
♦ Ensino médio e superior passaram a ser, também, fortes objetos de investigação;
♦ À medida que surgem novas aplicações da Matemática, têm surgido pesquisas
sobre como elas poderiam ser ensinadas ou aprendidas;
♦ As respostas corretas e incorretas às tarefas ou problemas matemáticos e as
estratégias utilizadas pelos alunos e outros sujeitos para obtê-las, continuam ainda a
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interessar os pesquisadores da área;
♦ Ainda são pesquisados os esquemas cognitivos gerais e as estruturas cognitivas
desenvolvidas pelos alunos frente à solução de problemas;
♦ As pesquisas sobre aprendizagem individual é ainda predominante em relação
àquela que ocorre em grupos de alunos nos processos interativos em sala de aula;
♦ As atitudes, crenças e concepções dos alunos frente à Matemática continuam
atraindo a atenção dos investigadores, embora seja notada uma leve mudança nos
últimos anos, tendo surgido também interesse pelas representações sociais.
Além dessas tendências apontadas, verificamos recentemente a emergência
de estudos metacognitivos, isto é, aqueles que procuram investigar o modo como os
alunos percebem e relatam seu processo de solução de problemas ou de
aprendizagem de algum conceito matemático. Essas pesquisas têm freqüentemente
utilizado como recurso de coleta de dados os mapas conceituais elaborados pelos
próprios alunos.
2. Mudanças curriculares:
A primeira questão que surge para o investigador, com relação a esse tema,
é: “quais são os fatores que provocam as mudanças curriculares e como estas se
processam na prática escolar?”
Podemos apontar, além das pressões sociais, econômicas e políticas em
relação à formação dos novos profissionais, a pressão dos especialistas e
acadêmicos em querer transpor para a sala de aula os resultados de suas pesquisas
sobre o ensino da Matemática. Um terceiro tipo de mudança é atribuída aos próprios
professores que, através da pesquisa-ação, tentam, eles mesmos, produzir as
inovações curriculares que julgam convenientes.
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O estudo dessas mudanças e, sobretudo, dos efeitos dessas mudanças,
constituem temas ou problemas de interesse da pesquisa em Educação Matemática:
♦ Efeitos do Movimento da Matemática Moderna na prática escolar ou no ideário dos
professores de Matemática;
♦ Estudos comparativos entre diversos países tanto em relação ao currículo
proposto oficialmente quanto em relação ao currículo “em ação” (aquele que
efetivamente acontece na sala de aula) ou àquele que os alunos realmente
aprendem;
♦ Efeitos do uso da modelagem matemática – explorando o estudo de problemas da
vida real – no ensino e na aprendizagem de Matemática nas escolas;
♦ Efeitos do uso de tecnologias educacionais (vídeo, calculadoras, computadores,
internet) no ensino de Matemática – que podem promover uma mudança na
abordagem (ou prática pedagógica) e no modo de ver e conceber a Matemática e
seu ensino;
♦ A importância do estudo da história e epistemologia das idéias matemáticas na
configuração do currículo;
♦ Devido à recente concepção de que a aprendizagem representa um processo de
construção social de significados, a pesquisa tem passado a dar mais atenção à
visão e aos sentidos que os alunos apresentam em relação às idéias e
representações matemáticas do que simplesmente às informações que os alunos
recebem em aula e são capazes de devolvê-las nas provas.
♦ Outra mudança da investigação em Educação Matemática que se tem verificado
ultimamente é a maior importância atribuída pelos investigadores ao currículo em
ação – aquele que efetivamente acontece em classe - em detrimento daquele
proposto ou planejado e supostamente avaliado pelos professores.
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3. Emprego de novas tecnologias no ensino de Matemática:
A atenção dos investigadores e elaboradores de tecnologia educacional e
vídeo interativo foi direcionada ao desenvolvimento de projetos e programas para o
ensino, alguns para alunos e outros para professores, para serem manejados por
professores e não por técnicos.
As novas tecnologias permitem aos estudantes não apenas estudar temas
tradicionais de maneira nova, mas também explorar temas novos como a geometria
fractal.
Embora as calculadoras, sobretudo as gráficas, que produzem gráficos e
trabalham com funções algébricas) sejam ainda utilizadas e investigadas em sala de
aula, atualmente, os microcomputadores e a internet vem ganhando cada dia mais
espaço e adeptos tanto na prática escolar como na pesquisa educacional.
Entretanto, pouco ainda se conhece sobre o impacto das novas tecnologias
em sala de aula, tanto no que diz respeito às crenças, às habilidades, às
concepções e reações de professores, alunos e pais como, também, ao próprio
processo de ensino.
Alguns acreditam (sobretudo os responsáveis pelas políticas educacionais)
que as novas tecnologias são a nova panacéia para solucionar todos os males da
educação...
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4. Práticas docentes (crenças, concepções e saberes práticos):
Até meados da década de 70, as pesquisas em Educação Matemática
focalizavam mais a aprendizagem que o processo de ensino ou o trabalho didático-
pedagógico.
Quando os estudos sobre o processo de ensino começaram a aparecer com
mais freqüência, estes revelavam uma preocupação maior com os efeitos dos
diferentes métodos ou materiais de ensino na aprendizagem dos alunos. Estes
estudos compreendiam basicamente testagem ou validação de novas técnicas ou
materiais de ensino.
A partir da metade da década de 80, os pesquisadores passaram a
interessar-se, por um lado, sobre como os professores manifestam seus
conhecimentos e suas crenças no processo de ensino e, por outro lado, sobre como
os alunos aprendem e compreendem aspectos específicos da Matemática.
No início da mesma década, Thompson (1984) deu início às investigações
sobre a relação entre as concepções e crenças dos professores e sua prática
pedagógica. Os resultados dos estudos que se seguiram mostram que o
conhecimento e as crenças dos professores transformam-se continuamente e
afetam, de modo significativo, a forma como os professores organizam e ministram
suas aulas.
A partir dos anos 80, surgem também estudos que investigam os
conhecimentos profissionais dos professores. Estudos mais recentes, partindo do
pressuposto que os professores produzem, na prática, saberes práticos sobre a
Matemática escolar, currículo, atividade, ensino, aprendizagem, mostram que esses
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saberes práticos transformam-se continuamente sobretudo quando realizam uma
prática reflexiva ou investigativa.
5. Desenvolvimento profissional (de professores):
Os estudos sobre os saberes profissionais do professor têm revelado baixos
níveis de compreensão e domínio do conhecimento matemático a ser ensinado.
Relacionado a esse problema, ainda continua em alta o debate sobre que tipo de
conhecimento matemático devem ter os professores e como devem combiná-lo com
seu conhecimento pedagógico. Se a pesquisa não pode decidir sobre isso, pelo
menos ela pode aprofundar nossa compreensão sobre como os professores utilizam
seu conhecimento no ensino.
Os estudos de correlação entre as características dos professores e sua
relação com o desempenho dos alunos têm sido, em sua maior parte, improdutivos.
Por isso, os pesquisadores começaram a entrar em sala de aula para avaliar de
perto a ação e o desempenho docente.
Os estudos que relacionam ações específicas do professor com o
desempenho dos alunos, muito freqüentes na década de 70, foram aos poucos
dando lugar às investigações do tipo:
• Contraste entre professor principiante e professor experiente;
• Tentativas (alternativas) para melhorar a prática pedagógica do professor;
• Descrições de como o professor “constrói significados e percebe sua vida
profissional”;
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• Estudo das crenças e concepções do professor;
• Estudo de alguns programas de formação continuada ou permanente.
6. Práticas de avaliação:
Muitas mudanças curriculares fracassaram porque entraram em conflito com
as avaliações externas. Existe hoje um esforço para que as mudanças da prática
docente em sala de aula venham acompanhadas de mudanças também no processo
de avaliação.
Em todos os países do mundo, em função da crescente interferência do
governo na educação, tem havido nos últimos anos um aumento das avaliações
externas. Estas, entretanto, nem sempre estão sintonizadas com os princípios de
uma Educação Matemática crítica ou transformadora. O que tem ocorrido, com
freqüência, é uma adaptação da prática docente aos princípios e critérios que regem
essas avaliações.
Kilpatrick (1994) lamenta que as pesquisas em Educação Matemática não
tenham se debruçado sobre este problema. Na verdade, as pesquisas que
investigam a avaliação e as políticas públicas têm sido muito tímidas quanto à
análise dos processos de adoção, adaptação ou resistência dos professores às
avaliações externas.
Numa visão mais abrangente do problema, a avaliação no processo e, do
processo de ensino e aprendizagem de Matemática tem sido muito pouco
investigada pelos educadores matemáticos.
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7. Contexto sócio-cultural e político do ensino e aprendizagem de Matemática:
As pesquisas que buscam relacionar o ensino e aprendizagem de Matemática
ao contexto sócio-cultural foram a grande novidade da pesquisa em Educação
Matemática nos anos 80. Nesse contexto, a Matemática e a Educação Matemática,
são vistas como práticas sócio-culturais que atendem a determinados interesses
sociais e políticos.
São inúmeras as pesquisas que procuram investigar a relação entre a cultura
da Matemática escolar, a cultura matemática que o aluno traz para a escola e a
cultura matemática produzida pelos trabalhadores (adultos e algumas crianças
trabalhadoras) ao realizar suas atividades profissionais.
Esta é a área de investigação em que o Brasil mais tem se destacado
internacionalmente:
• Na Etnomatemática – linha de pesquisa criada e desenvolvida pelo educador
matemático brasileiro mais reconhecido internacionalmente, Ubiratan D’Ambrósio;
• Nos estudos de cognição matemática em diferentes contextos sócio-culturais –
linha de investigação desenvolvida no Brasil pelo grupo de Recife;
• Nas determinações sócio-políticas e ideológicas na prática do ensino de
Matemática.
• Portanto, da ausência de crítica, nos anos 70, passamos a um período (anos 80)
de amplas discussões políticas, sociais e ideológicas. De uma preocupação muito
grande com o como ensinar?, passamos para o por que, para que e para quem
ensinamos Matemática?.
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Entretanto, alguns destes estudos brasileiros, ao priorizar aspectos
pedagógicos e sócioculturais muito amplos do fenômeno educacional, deixaram para
segundo plano aspectos mais específicos do saber matemático, além de descuidar
do próprio processo de investigação.
Algumas linhas internacionais de pesquisa em Educação Matemática
De acordo com levantamento realizado por Batanero e col (1992) os
programas de Mestrado e Doutorado em Educação Matemática têm realizado
trabalhos dentro das seguintes linhas de pesquisa:
♦ Resolução de problemas;
♦ Informática, computadores e ensino/aprendizagem de Matemática;
♦ Geometria, visualização e representação espacial e pensamento geométrico;
♦ Álgebra e pensamento geométrico;
♦ Desenvolvimento curricular;
♦ Avaliação e atribuição de notas
♦ Proporcionalidade e pensamento proporcional;
♦ Aritmética e pensamento aritmético
♦ Tecnologia educacional (vídeos, uso de calculadoras,...);
♦ Formação e treinamento de professores;
♦ Estatísticas e probabilidade e pensamento estatístico e probabilístico;
♦ Ensino de cálculo e pensamento diferencial;
♦ Atitudes, concepções e crenças de professores;
♦ Atitudes em relação à Matemática;
♦ Diferenças individuais;
♦ História e Filosofia da Matemática e da Educação Matemática;
♦ Educação infantil ou alfabetização matemática;
♦ Linguagem no ensino de Matemática e lógica matemática no ensino;
♦ Raciocínio analógico, cálculo mental, estimativas;
♦ Modelagem matemática;
♦ Funções, gráficos e pensamento funcional;
♦ Ensino interdisciplinar com aplicações;
♦ Etnomatemática;
♦ Instrução conceptual e processual;
♦ Metodologia da pesquisa em Educação Matemática;
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♦ Provas e demonstrações
♦ Processos cognitivos;
♦ Construtivismo;
♦ Fatores sociais e afetivos e estudantes com dificuldades de aprendizagem;
♦ Professores escolares como pesquisadores;
♦ Teoria e Epistemologia em Educação Matemática;
♦ Crenças, concepções e representações sociais de alunos;
♦ Abordagens investigativas para a Matemática.
O QUE SÃO TENDÊNCIAS DA
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA?
A área da Educação tem sido alvo de constantes pesquisas que buscam
inovar a sala de aula e desenvolver uma prática docente criativa e adequada às
necessidades da sociedade do século XXI.
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A Educação Matemática não ficou de fora deste processo. Ao contrário,
também abre espaço para pesquisas e discussões que envolvam o ensino da
Matemática.
Neste contexto, surgem tendências tanto na área da Educação como na de
Educação Matemática, que envolvem diferentes abordagens consideradas
importantes quando aplicadas ao processo de ensino-aprendizagem.
Pesquisadores da educação matemática mostram diferentes abordagens
quando tratam das tendências da Educação Matemática. Para entender a evolução
histórica, é necessário conhecer o trabalho de Fiorentini, que apresenta uma
categorização a partir da análise histórica do ensino da Matemática ao longo dos
anos. O autor definiu aspectos para diferenciar cada uma das tendências como, por
exemplo, a concepção de ensino,aprendizagem e de Matemática, as finalidades e os
valores atribuídos ao ensino de Matemática e a relação professor-aluno.
As tendências apresentadas são: empírico-ativista, formalista-moderna,
tecnicista e suas variações, construtivista, histórico-crítica e sócioetnoculturalista.
Vamos conhecer um pouco das concepções gerais destas tendências!
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Na década de 1930, com o nascimento da Escola Nova, a Matemática é
ensinada pelos seus valores utilitários, suas relações com as outras ciências e suas
aplicações para resolver problemas do dia-a-dia. Utilizam-se atividades
experimentais, a resolução de problemas e o método científico acreditando-se que o
aluno aprende fazendo. Esta forma de trabalho é chamada de tendência empírico-
ativista.
Nas décadas de 1960 e 1970 o ensino de Matemática foi influenciado por um
movimento de renovação conhecido como Matemática Moderna. Neste período,
caracteriza-se a tendência formalista-moderna, com ênfase no uso da linguagem,
no rigor e nas justificativas. O ensino era centrado no professor e distanciava-se das
aplicações práticas.
Nos anos setenta, surge a tendência tecnicista, na qual os conteúdos são
apresentados como uma instrução programada. Os recursos e as técnicas de ensino
passam a ser o centro do processo ensino-aprendizagem. Os alunos e o professor
passam a meros executores de um processo desenvolvido por especialistas.
O construtivismo é a base da tendência construtivista, que considera o
conhecimento matemático resultante da ação interativa-reflexiva do indivíduo com o
meio ambiente. Destaca-se o aprender a aprender e o desenvolvimento do
pensamento lógico-formal.
19
A tendência histórico-crítica trata de uma aprendizagem significativa, que
acontece quando o aluno consegue atribuir sentido e significado às idéias
matemáticas e sobre elas é capaz de pensar, estabelecer relações, justificar,
analisar, discutir e criar.
A tendência sócioetnocultural traz uma visão antropológica, social e política
da Matemática e da Educação Matemática. Parte-se de problemas da realidade,
inseridos em diversos grupos culturais, que gerarão temas de trabalho na sala de
aula.
As tendências apresentadas pelo pesquisador Fiorentini seguem uma
evolução histórica vivenciada pelo processo educacional. Podemos dizer que as
tendências da Educação Mxatemática vêm acompanhando as da área da Educação.
20
Atualmente, outros autores citam formas de trabalho que podem ser
consideradas tendências da Educação Matemática. Por exemplo, Carvalho trata das
tendências em Educação Matemática quando apresenta as linhas de pesquisa em
Educação Matemática fornecidas em 1993 por instituições que atuavam nesta área
tais como: resolução de problemas, informática e Educação Matemática,
etnomatemática.
Já Bicudo, Viana e Penteado6 apresentam como diretrizes de pesquisa a
visão histórica da Matemática, a ideologia presente nos discursos matemáticos
(linguagem matemática) e a etnomatemática. Para Lopes e Borba uma tendência é
uma forma de trabalho que surgiu a partir da busca de soluções para os problemas
da Educação Matemática.
A partir do momento que é usada por muitos professores ou, mesmo que
pouco utilizada, resulte em experiências bem sucedidas, estamos diante de uma
verdadeira tendência. Colocam, ainda, que a Educação Matemática crítica, a
etnomatemática, a modelagem matemática, o uso de computadores e a escrita na
Matemática são verdadeiras tendências. Assim, podemos perceber que, apesar de
citarem diferentes formas de trabalho ou linhas de pesquisa, os autores concordam
que a utilização de uma tendência no processo ensino-aprendizagem da Matemática
pode contribuir para que professores e alunos vivenciem diferentes formas de
ensinar e aprender Matemática.
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Nesta apostila, vamos dar ênfase ao estudo de algumas tendências. No
entanto, antes disso vamos apresentar um panorama sucinto sobre as tendências
atuais da Educação Matemática.
AS TENDÊNCIAS ATUAIS NO ENSINO
DE MATEMÁTICA – EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Com a deflagração de
um processo de discussão
coletiva direcionado pela
Secretaria da Educação,
envolvendo principalmente
professores e pedagogos
para se compor as Diretrizes
Curriculares, a Educação
Matemática que já vinha
conquistando seu espaço passa a ser considerada oficialmente como campo de
estudo.
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O “professor de matemática” está sendo desafiado a ser substituído pelo
“educador matemático” que vê a matemática como um campo investigativo, onde ele
vai construir seus próprios métodos e não apenas seguir modismos de opinião
pública.
A Secretaria de Estado da Educação por meio das Diretrizes Curriculares,
(2009), apresenta as tendências metodológicas que compõe o campo de estudo da
Educação Matemática: Etnomatemática, Modelagem Matemática, Mídias
Tecnológicas, História da Matemática, Investigação Matemática e Resolução de
Problemas.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CRÍTICA
A educação matemática crítica surge na década de 1980 como um
movimento que promove debates acerca do tema poder. Ao levar em consideração
os aspectos políticos da educação matemática praticada, busca respostas para
perguntas tais como:
Para quem a Educação Matemática deve estar voltada?
A quem interessa?
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Quando se tenta responder perguntas deste tipo, levantam-se debates sobre
questões de preconceito, democracia, interesses políticos etc. Ao trabalhar com a
matemática crítica é possível mostrar ao aluno uma outra faceta do papel da
Matemática na sociedade, tornando-a uma ferramenta importante na busca de uma
sociedade mais justa.
ETNOMATEMÁTICA
Segundo D'Ambrosio (1987): Etno (sociedade, cultura, jargão, códigos, mitos,
símbolos) + matema (explicar, conhecer) + tica (tchné, arte e técnica). Raízes sócio-
culturais da arte ou técnica de explicar e conhecer.
A etnomatemática prioriza a cultura local onde quer que o trabalho seja
desenvolvido valorizando sempre a matemática presente nas diferentes culturas.
Tem como ponto de partida o conhecimento prévio, isto é, o conhecimento adquirido
com as experiências e observações fora do âmbito escolar dos alunos. Partindo dos
conceitos informais trazidos pelos alunos, a etnomatemática, contraria a concepção
de que todo conhecimento matemático é adquirido na escola, pois se vale desses
conceitos e de situações existentes na comunidade escolar para formalizar os
conceitos.
24
O professor precisa se inteirar dos costumes, para perceber se os conceitos
que os alunos têm sobre determinados assuntos são válidos, e assim saber o que
pode ser mudado ou complementado. Isso exige muita disponibilidade do professor.
Os principais trabalhos nesta linha são: D'Ambrosio (1986); Carraher, Carraher &
Schlieman (1988), entre outros.
MODELAGEM MATEMÁTICA
A Modelagem Matemática é conceituada por diferentes autores, alguns com
conceitos mais detalhados, outros menos. Contudo, todos dão a entender que se
trata da arte de transformar problemas da realidade em problemas para serem
resolvidos em sala de aula, analisando os resultados.
Ao falar sobre as atividades de modelagem matemática em sala de aula,
Burack (2004) apresenta as etapas para o encaminhamento e desenvolvimento
desse trabalho: escolha do tema; pesquisa exploratória; levantamento dos
problemas; resolução do (s) problema (s) e desenvolvimento da Matemática
relacionada ao tema; análise crítica da (s) solução (es). De acordo com o autor, o
grande desafio para o professor é que os problemas levantados com a pesquisa
exploratória determinam o conteúdo matemático a ser trabalhado e, muitas vezes,
25
diferem dos conteúdos trabalhados na série em que está se desenvolvendo esta
atividade de modelagem. Cabe ao professor, romper com a sequência estabelecida,
“abrir parênteses” e trabalhar com os problemas encontrados de acordo com o nível
dos alunos.
A modelagem, como uma alternativa metodológica para o ensino de
Matemática na Educação Básica é uma estratégia desafiadora, que rompe as
barreiras do ensino tradicional na perspectiva de um ensino, onde o aluno participa
na construção dos conceitos e dos conhecimentos matemáticos.
MÍDIAS TECNOLÓGICAS
De acordo com Moran (2007), o uso de novas tecnologias na escola está
sendo implantado gradativamente. Este uso tem sem dúvida seus pontos positivos,
no entanto, sabemos que, muitas vezes a tecnologia é usada sob o pretexto de
modernização, tentando ocultar os problemas sérios que a escola enfrenta. As
tecnologias precisam ser compreendidas como ferramentas que auxiliam o trabalho
do professor, pois os conteúdos, as informações podem estar contidas em grande
quantidade em um pequeno espaço como CD-ROM, Pen Drive e, até mesmo, estar
disponíveis na internet, porém o professor é indispensável no processo de
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interpretação, de relacionamento, de julgamento, para fazer as considerações e tirar
as conclusões, fazendo as complementações necessárias. No Paraná, no Portal
Dia-a-Dia Educação (http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br), o professor tem
disponível um site da disciplina de matemática (http://matematica.seed.pr.gov.br)
que tem a finalidade de informar os professores, servindo como recurso de apoio a
implementação de tecnologias na prática pedagógica.
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A História da Matemática, de acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado
do Paraná (2009), pode servir como referência na elaboração de atividades e
problemas favorecendo o entendimento de conceitos matemáticos.
Ela nos mostra que as grandes descobertas matemáticas surgiram da
necessidade ou pela curiosidade em descobrir as relações entre medidas para se
chegar a uma fórmula matemática, ou a uma constante numérica, como é o caso do
p.
Através da história da Matemática o estudante pode ser instigado a
compreender como o conhecimento matemático é construído tornando-o, assim
mais significativo para o aluno.
27
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
De acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (2009), a
prática pedagógica da investigação matemática vem despontando como um
caminho aceito e recomendado por muitos estudiosos como forma de proporcionar
ao aluno uma melhor compreensão da disciplina.
As atividades investigativas devem ser desafiadoras e preparadas com
antecedência pelo professor, que poderá usar um mesmo texto com questões
diferentes aos grupos participantes. Podemos dividir em três etapas a atividade de
investigação: a introdução da tarefa, a sua realização pelos alunos com
acompanhamento do professor e a discussão/reflexão entre alunos de grupos
diferentes com a participação do professor.
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Das tendências metodológicas, para o ensino da matemática, entendemos
que, por meio da resolução de problemas, é que a matemática se desenvolve por
manter um elo, com todas as outras tendências da Educação Matemática. Os
problemas são importantes porque trazem ideias novas, impulsionando os diversos
ramos da matemática, muitas vezes sem estarem diretamente ligados. De acordo
com Polya (2006) à medida do possível, é importante que os problemas sejam
provocativos, pois quando o aluno é desafiado, suas emoções de entusiasmo na
busca de solução são despertadas.
Para esse autor, se o professor apresentar aos alunos problemas que
desafiem a curiosidade certamente vai despertar o interesse dos mesmos, para
resolvê-los. A satisfação gerada, pela solução encontrada, pode ativar um talento
natural para a matemática que poderá ser um instrumento profissional ou até mesmo
a própria profissão. Isso significa dizer que ninguém pode saber o gosto de alguma
coisa sem antes experimentá-la. O autor ressalta ainda que, os problemas precisam
estar adequados ao nível dos alunos, isto é, nem tão difíceis para que não
desanimem frente às dificuldades encontradas e nem tão fáceis para que não
percam o interesse por julgarem fáceis demais.
Segundo Polya (2006), outra questão que não pode ser desconsiderada pelo
professor é o momento da explicação de como se resolve um problema. É preciso
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deixar claro aos alunos que essa não é tarefa fácil, pois podemos encarar um
problema de diferentes maneiras. Muitas vezes, o nosso entendimento do problema,
quando lemos pela primeira vez é parcial, só vai se completando na medida em que
lemos mais atentamente e, dessa forma, nos organizamos em busca da solução.
Para resolver um problema não podemos seguir regras, ou simplesmente
fazer o uso de algum algoritmo, pois os problemas quando bem formulados exigem
muito mais que uma forma mecânica para resolver. Os problemas variam muito, mas
de uma maneira geral, existem etapas que podem ajudar na resolução. Essas
etapas não são rígidas nem infalíveis e podem variar quanto ao número, geralmente
de três a cinco, podendo ser mais, ou menos.
Polya (2006) apresenta quatro etapas principais para resolução de problemas:
• Compreender o problema: quem vai resolver um problema, primeiramente precisa
entender o que se pede, através de uma leitura atenta, ou até mais de uma,
interpretando corretamente, para saber o que se pretende calcular. São partes
importantes de um problema: a incógnita; os dados fornecidos pelo problema e a
condição que deve ser satisfeita relacionando esses dados conforme as condições
estabelecidas no enunciado.
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• Elaboração de um plano: depois de interpretar o problema é preciso escolher uma
estratégia de ação, que pode variar muito dependendo da natureza do problema.
Pode se iniciar com o esboço de uma figura geométrica, com um gráfico, uma tabela
ou um diagrama; fazer uso de uma fórmula; tentativa-e-erro sistemática, entre
outras.
• Executar o plano: se o plano foi bem elaborado, não fica tão difícil resolver o
problema, seguindo passo a passo o que foi planejado, efetuando todos os cálculos,
executando todas as estratégias, podendo haver maneiras diferentes de resolver o
mesmo problema. O importante é que o professor acompanhe todos os passos,
questionando o aluno, podendo dar alguma ajuda, mas que o aluno se sinta o
idealizador e realizador do plano.
• Retrospecto ou verificação: depois de encontrar a solução é hora de verificar se as
condições do problema foram satisfeitas, se o resultado encontrado faz sentido.
Pode-se questionar também sobre outras maneiras de resolver o mesmo problema,
como também a resolução de outros problemas correlatos, usando a mesma
estratégia.
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Entendemos que todas as etapas mencionadas são importantes, mas se a
primeira não acontecer a contento, nenhuma outra poderá levar ao objetivo final que
é a resolução e o entendimento do problema. Uma leitura bem feita, para que o
aluno consiga captar todas as informações contidas no enunciado do problema, isto
é, investigar tudo o que o problema encerra, é mais que meio caminho andado para
se chegar a solução. É papel do professor de Matemática, como educador, propiciar
as condições necessárias aos alunos, através de problemas bem formulados.
Conforme o nível de compreensão dos alunos, o professor pode ir adequando os
problemas, para que os mesmos possam fazer uma leitura interpretativa. Cabe
ainda ao professor, acompanhar e questionar o aluno, para saber se houve
entendimento, auxiliando-o, quando ele apresentar dificuldades. Para Butts (apud
Dante, 2005), primeiramente, é necessário distinguir um problema de um exercício.
Segundo esse autor, o exercício serve apenas para treinar uma habilidade em
praticar determinados processos algorítmicos, e o problema é descrito como uma
situação, onde não se sabe de antemão por qual meio se chega à solução, não
existindo nenhum algoritmo que possa previamente considerar como caminho.
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NUMA
PERSPECTIVA METODOLÓGICA
A resolução de problemas, no final da década de 80, começa a ter uma nova
dimensão, despontando como metodologia de ensino. Osborne e Kasten (1996)
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afirmam que usar um problema como recurso para desenvolver e introduzir tópicos
de matemática pode ser considerado uma metodologia importante que pode
contribuir com o trabalho do professor.
Considera-se como um problema toda situação que pode ser problematizada,
tais como: jogos, em que se busca uma estratégia para vencer, qualquer tipo de
atividade planejada, levantamento e seleção de informações, qualquer atividade que
requeira uma atitude investigativa. Uma situação problematizada não se resolve
simplesmente através de fórmulas ou aplicação de uma determinada regra, é
necessário uma atitude de investigação mais profunda, onde a resposta encontrada
não é mais importante do que o caminho percorrido para se chegar até ela.
Na Resolução de Problemas como metodologia de ensino, os conceitos e as
técnicas operatórias são apresentadas aos alunos fazendo uma relação entre a idéia
matemática e o contexto. Diniz (2001) afirma que a resolução de problemas é um
caminho para se ensinar matemática. Nessa perspectiva, por meio da resolução de
problemas, como ponto de partida, é possível introduzir novos conceitos, fazer a
conexão com outros ramos da matemática e iniciar novos conteúdos. Na resolução
de problemas, a comunicação é essencial, seja ela oral, escrita, ou através de
desenhos. Isso possibilita ao professor, observar as mudanças de atitudes e
acompanhar o progresso do aluno, bem como, interferir nas dificuldades
encontradas, seja para o desenvolvimento das estratégias planejadas, ou mesmo
para entender determinados conceitos.
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BIBLIOGRAFIA
BICUDO, M. A. V. (org.) Educação matemática. São Paulo: Moraes, 1985.
BURAK, D. Modelagem matemática e a sala de aula. In: I EPMEM-Encontro
Paranaense da Modelagem Na Educação Matemática, 2004, Londrina. Anais do I
EPMEM, 2004. Disponível em: www.dionisioburak.com.br/. Acesso em: 05/09/09.
DANTE L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo:
Ática, 2005.
GIOVANI J.R. e BONJORNO J.R. Matemática completa. São Paulo: FTD. 2005.
MORAN J.M. Desafios na Comunicação Pessoal. 3ª Ed. São Paulo: Paulinas,
2007, p. 162-166.
OSBORNE A. e KASTEN M.B. Opiniões sobre a resolução de problemas no
currículo para os anos 80: um relatório. In: A resolução de problemas na
matemática escolar. São Paulo: Atual, 1996.
PARANÁ, SEED. Diretrizes curriculares de matemática para a educação básica,
Curitiba, 2009.
34
PARRA, C; SAIZ, I. (org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas.
Porto Alegre: Artes médicas, 1996.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
SMOLE K.S. E DINIZ M.i. Aprender matemática resolvendo
problemas/Coordenado por Vânia Marincek-Porto Alegre: Artmed Editora. 2001.
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ATIVIDADES DE FIXAÇÃO
01) Resolver a expressão 12 + [-6 - (-5 + 9)]
a) 10
b) 6
c) 4
d) 2
02) Resolver a expressão 2 - (-8 + 5) - (6 - 1)
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
03) Resolver a expressão 10 + [-8 - (-1 + 2)]
a) 1
b) 3
c) 5
d) -5
04) O m.m.c. de dois números naturais consecutivos é igual:
a) ao quociente deles
b) a 1
c) ao produto deles
d) à soma deles
05) A leitura correta de 2.500.204 é:
a) dois milhões e quinhentos mil, duzentos e quatro
b) dois milhões e quinhentos mil e duzentos e quatro
c) dois milhões, quinhentos mil, duzentos e quatro
d) dois milhões, quinhentos mil e duzentos e quatro
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06) A soma de quatro números consecutivos é 206. Qual é o maior deles ?
a) 50
b) 53
c) 51
d) 52
7) Achar o lado do quadrado que tem área equivalente
ao do retângulo que mede 40 dm de largura e 9 m de
comprimento.
a) 60m
b) 36dm
c) 36m
d) 6m
8) A relação entre dois números é de 6 para 1. Se a soma dos dois números é igual
a 56, qual é o maior ?
a) 48
b) 38
c) 35
d) 24
9) A velocidade de um automóvel é de 72 km/h. Qual será a sua velocidade em m/s?
a) 259,2
b) 25,92
c) 20
d) 12,96
10) Quantos alfinetes de 8 cm de comprimento podem ser feitos com um fio de
arame de 25 hm de comprimento?
a) 31.250
b) 3.125
c) 312.500
d) 312,5