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5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com
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Controle de Sistemas Mecânicos
Sistemas FluídicosSistemas Fluídicos
Sistema de nível de reservatório
Sistema de dois níveis independentes
Sistema de dois níveis dependentes
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Controle de Sistemas Mecânicos
Sistema simplesSistema simples
qs
qe
p
u(t)
d(t)
Primeira ordem: controle de nível de líquido
em reservatório
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Controle de Sistemas Mecânicos
Controle de nível de líquido em tanqueControle de nível de líquido em tanque
Pode-se notar:
o reservatório uma tubulação de
entrada do fluido
uma tubulação desaída
duas válvulas quecontrolam as duasvazões
três instrumentos para
medição das vazões eda pressão diferencialna base do reservatório
dois sinais de controle
qs
qe
p
u(t)
d(t)
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Controle de Sistemas Mecânicos
Controle de nível Controle de nível
Parâmetro Valor Unidade Variável
Altura do tanque 4 m H
Nível máximo 3 m Hmax
Área da base 4*pi m2 A
Volume 37,68 m3 V
Curso das válvulas 0-25 mm d
Pressão 0-6 Bar pResistência 140 s/m2 R
Alguns
dadostécnicos
do
sistema
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Controle de Sistemas Mecânicos
Representação em blocosRepresentação em blocos
Processo
Vazão de entrada - Vazão de saída
(m3 /s)
Nível do tanque
(m)
O sistema pode ser representado na forma
entradas - saídas
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Controle de Sistemas Mecânicos
Funcionamento básicoFuncionamento básico
A variação do volume do líquido no reservatório é
a diferença entre as vazões de entrada e a desaída
Pode ser representada pela equação diferencial
ordinária de primeira ordem
)()(
)(
t qt qdt
t dV
se−=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Vazão de saída e altura da colunaVazão de saída e altura da coluna
A vazão de saída depende diretamente da altura
da coluna do líquido, para uma dada posição daválvula de saída.
Adota-se então o coeficiente de resistência dado
na tabela para relacionar a altura da coluna e avazão de saída respectiva
)(1)( t h R
t q s = )(1)( t h R
t q s =
Escoamento laminar Escoamento laminar Escoamento turbulentoEscoamento turbulento
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Controle de Sistemas Mecânicos
Equação diferencial respectivaEquação diferencial respectiva
Considerando escoamento laminar na
restrição de saída e o volume como
)()()(
t qt qdt
t dV se −= )(
1)( t h
Rt q s =)()( t Aht V =
)(1
)()(
t h R
t qdt
t dh A e −=
)()()(
t Rqt hdt
t dh RA e=+
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Controle de Sistemas Mecânicos
Mudança de variável Mudança de variável
Introduzindo as variáveis de perturbação
Substituindo na equação diferencial temos
eee qqq
hhh
ˆ
ˆ
+=
+=
)(ˆ)()(ˆ)()(ˆ
t q Rt q Rt ht hdt
t hd RA ee +=++
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Controle de Sistemas Mecânicos
E.D. em torno do equilíbrioE.D. em torno do equilíbrio
No regime estacionário temos
Portanto
Logo a E.D. em torno do equilíbrio fica
)()( t q Rt h e=
)(ˆ)()(ˆ)()(ˆ
t q Rt q Rt ht hdt
t hd RA ee +=++
ee qq
hh
=
=
)(ˆ)(ˆ)(ˆ
t q Rt hdt
t hd RA e=+
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Controle de Sistemas Mecânicos
FTO para a planta em questãoFTO para a planta em questão
)(ˆ140)(ˆ)(ˆ
1759 t qt hdt
t hd e=+
Usando os dados da tabela encontram-se
e portanto
ou ainda
1401759*4*140 === Re pi RA
)(ˆ)(ˆ)(ˆ
t q Rt h
dt
t hd RA e=+
)(ˆ11759
140)(ˆ t q
pt h e
+=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Generalizando a E.D. do SPOGeneralizando a E.D. do SPO
Equação diferencial ordinária de primeira
ordem genérica
onde τ é chamado de constante de tempo e K 0
de ganho estático
)(ˆ)(ˆ)(ˆ
t q Rt h
dt
t hd RA e=+
R K =0 RA=τ )()(
)(0 t u K t y
dt
t dy=+τ
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Controle de Sistemas Mecânicos
Parâmetros SPOParâmetros SPO
A constante de tempo τ está associada à
velocidade com que o sistema responde• menor constante de tempo o sistema é mais rápido
• maior constante de tempo o sistema é mais lento
• maior constante de tempo, mais tempo para atingir oregime permanente.
O ganho estático K 0 está diretamente associado a
resposta estática equivalente para uma entrada
unitária
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Controle de Sistemas Mecânicos
Raiz do PC de um SPORaiz do PC de um SPO
Dado o SPO na forma padronizada
O PC da equação geral de um SPO
A raiz do PC pode ser encontrada facilmente através da
equação algébrica
1)( += p p PC τ
01 =+ pτ τ
α 1
−=
)()()(0 t u K t y
dt
t dy=+τ
Raiz real
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Controle de Sistemas Mecânicos
Posição geométrica da raiz Posição geométrica da raiz
ℑ
ℜ
τ
1−
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama de blocos de SPODiagrama de blocos de SPO
Isolando o termo de maior ordem temos
)()()(
0 t u K t ydt
t dy=+τ )(
1)()( 0 t yt u
K t y
τ τ −=&
)(t y&
-
)(t y
∫ )(t u
τ
0 K
τ
1
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Controle de Sistemas Mecânicos
Sistema simplesSistema simples
qs
qe
p
u(t)
d(t)
Primeira ordem: controle de nível de líquido
em reservatório com escoamento turbulento
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Controle de Sistemas Mecânicos
Equação diferencial respectivaEquação diferencial respectiva
Considerando escoamento laminar na
restrição de saída e o volume como
)()()(
t qt qdt
t dV se −= )(
1)( t h
Rt q s =)()( t Aht V =
)(1
)()(
t h R
t qdt
t dh A e −=
)()()(
t Rqt hdt
t dh RA e=+
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Controle de Sistemas Mecânicos
Expandindo em serie de Taylor Expandindo em serie de Taylor
Linearizando o termo não linear da E.D. temos
Substituindo na equação temos
))()(()(2
1)()( t ht h
t ht ht h −+=
)())()(()(2
1
)(
)(t Rqt ht ht ht hdt
t dh
RA e=−++
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Controle de Sistemas Mecânicos
Mudança de variável Mudança de variável
Introduzindo as variáveis de perturbação
Substituindo na equação já linearizada temos
eee qqq
hhh
ˆ
ˆ
+=
+=
)(ˆ)()(ˆ)(2
1)(
)(ˆ
t q Rt q Rt ht h
t hdt
t hd RA ee +=++
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Controle de Sistemas Mecânicos
E.D. em torno do equilíbrioE.D. em torno do equilíbrio
No regime estacionário temos
Portanto
Logo a E.D. em torno do equilíbrio fica
)()( t q Rt h e=
)(ˆ)()(ˆ)(2
1)(
)(ˆt q Rt q Rt h
t ht h
dt
t hd RA ee +=++
ee qq
hh
=
=
)(ˆ)(ˆ)(2
1)(ˆt q Rt h
t hdt
t hd RA e=+
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Controle de Sistemas Mecânicos
Dois tanques independentesDois tanques independentes
q2
qe
p1
u(t)
d1(t)
qs
p2
d2(t)
Considerar a planta abaixo, onde o nível do segundo
tanque não interfere com a vazão do primeiro
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama de blocosDiagrama de blocos
Nível 2
P1
qe(t)
Vazão de
entrada
P2
Nível 1
y2(t)y
1(t)
Podem ser considerados dois blocos em cascata
)()()( 1011
1 1t u K t y
dt t dy =+τ )()()( 202
22 2
t u K t ydt
t dy =+τ
)()()(
tanqueumdenívelE.D.
t Rqt hdt
t dh RA e=+
-
)(1 t y
∫
)(t u
1
01
τ
K
1
1
τ
-
)(2 t y
∫ 2
02
τ
K
2
1
τ
01
1
K
)(1 t u )(2 t u
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Controle de Sistemas Mecânicos
Função de transferência global Função de transferência global
)()1)((
)( 1
21
2
21
022 t u
p p
K t y+++
=τ τ τ τ
Encontra-se facilmente e EDG correspondente
)1)(1(1
1
1)(
)(
)(
)(
21
02
2
02
011
012
1
2
++=
++==
p p
K
p
K
K p
K
t q
t h
t u
t y
e τ τ τ τ
)()()(
)()(
10222
212
22
21 t u K t ydt
t dy
dt
t yd =+++ τ τ τ τ
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Controle de Sistemas Mecânicos
Dois tanques interligadosDois tanques interligados
)()(4)( t d t ut y −=
q2
qe
p1
u(t)
d1(t)
qs
d2(t)
p22
h
1h
Os dois tanques abaixo não são independentes
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Controle de Sistemas Mecânicos
Modelagem matemáticaModelagem matemática
)(11
)(1 21
111
1
211
2
2
1
1 hh R A
q Adt
dh
hh R
q
qqdt
dh
Ae
e −−=⇒
−=
−=
Podem-se escrever as seguintes equações:
• Tanque 1:
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Controle de Sistemas Mecânicos
Modelagem matemáticaModelagem matemática
222
2112
2
2
2
222 1)(
11
h R A
hh R Adt
dh
h R
q
qqdt dh A
s
s
−−=⇒
=
−=
Podem-se escrever as seguintes equações:
• Tanque 2:
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama de blocosDiagrama de blocos
-
)(1 t y∫
)(t u
1
1 A
11
1
R A
-
)(2 t y∫
12
1 R A
2212
11
R A R A
+
11
1
R A
Observe o acoplamento entre os dois níveis
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Controle de Sistemas Mecânicos
Equação diferencial de 2 Equação diferencial de 2 aa ordemordem
Pode-se mostrar que a FTO e a EDG de 2 a
ordem respectivas são
1)()()(
)(
212211
2
2211
2
1
2
++++=
p R A R A R A p R A R A
R
t u
t y
)()()(
)()(
)( 1222
21212
2
2
21 t u Rt y
dt
t dy R A
dt
t yd =++++ τ τ τ τ
Notar a similaridade com a EDG anterior
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Controle de Sistemas Mecânicos
ExercícioExercício
Encontrar a função de transferência
operacional dos dois tanques interligados,saída h2 e entrada q e
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Controle de Sistemas Mecânicos
Função de transferênciaFunção de transferência
Aplicar operador p para obter FT h2/qe
)(1121
111
1 hh R A
q Adt
dhe −−=
1221
222
111
R A
R A
R A
=
=
=
τ
τ
τ
)(11 21
11
1 hhq A
ph e −−= τ
2
11
1
1
111hq Ah p e
τ τ +=
+ 2
11
1
1
1 111 hq A
h pe
τ τ τ +=
+
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuaçãoContinuação
2
22
21
12
2 1)(
1h
R Ahh
R Adt
dh−−=
2
2
21
21
2
1)(
1hhh ph
τ τ −−=
1
21
2
221
111hh p
τ τ τ =
++
1221
222
111
R A
R A
R A
=
=
=
τ
τ
τ
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuaçãoContinuação
1
21
2
221
111hh p
τ τ τ =
++ 2
11
1
1
1 111hq
Ah
pe
τ τ
τ +=
+
+
+=
++ 2
11
1
121
2
221
11
1
1111 hq A p
h p eτ
τ
τ τ τ τ
+=
+
++ 2
1121
2
1
1
221
111111hq
Ah
p p e
τ τ τ
τ
τ τ
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuaçãoContinuação
+=
+
++ 21121
21
1
221
111111 hq A
h p
p eτ τ τ
τ
τ τ
( )
+=+
++ 2
1121
121
221
11111 hq A
h p p eτ τ
τ τ
τ τ
+=
+++++ 2
1121
12
2212
1
21
12
1
1111hq
Ah p p p p e
τ τ
τ
τ τ τ
τ
τ
τ τ
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuaçãoContinuação
+=
+++++2
1121
12
212
21221221121
2
2121 11)(hq
A
h p p
e
τ τ
τ
τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
+=+++++ 2
1121
2121221221221121
2
2121
11))(( hq
Ah p p e
τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
+=
+++++ 2
1121
12
2212
1
21
12
11111 hq
Ah p p p p e
τ τ
τ
τ τ τ
τ
τ
τ τ
+=+++++ 2
1
21
1
21221221221121
2
2121 ))(( hq Ah p p eτ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
+=+++++ 22
1
21221221221121
2
2121 ))(( hq A
h p p e τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuaçãoContinuação
+=+++++ 22
1
21221221221121
22121 ))(( hq
Ah p p e τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
eq A
h p p1
2122121221121
2
2121 ))((τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ =++++
eq A
h p p121
21221
21
212
21 )1)((τ
τ τ τ τ
τ
τ τ τ τ =++++
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Controle de Sistemas Mecânicos
ContinuaçãoContinuação
eq A
h p p121
21221
21
212
21 )1)((τ
τ τ τ τ
τ
τ τ τ τ =++++
1221
222
111
R A
R A R A
=
==
τ
τ τ
eq Rh p R A p 222121
2
21 )1)(( =++++ τ τ τ τ
1)()()(
)(
2121
2
21
22
++++=
p R A p
R
t q
t h
e τ τ τ τ
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Controle de Sistemas Mecânicos
Generalizando a E.D. do SSOGeneralizando a E.D. do SSO
Para um SSO, a EDG é
Fazendo uso do operador derivativo,
FTO e o PC
012
2)( a pa pa p PC ++=
)()()()(
0012
2
2 t ubt yadt
t dya
dt
t yd a =++
)()( 001
2
2 t ubt ya pa pa =++
( )01
2
2
0
)(
)(
a pa pa
b
t u
t y FTO
++==
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Controle de Sistemas Mecânicos
Definindo os parâmetros padronizadosDefinindo os parâmetros padronizados
Parâmetros padronizados
2
0
aa
n =ω
20
1
2 aa
a=
ζ
0
00
a
b K =
Freqüência natural não amortecidaFreqüência natural não amortecida
Fator de amortecimentoFator de amortecimento
Ganho estáticoGanho estático
nζω τ
1= Constante de tempoConstante de tempo
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Controle de Sistemas Mecânicos
ED e FTO padronizada do SSOED e FTO padronizada do SSO
Substituindo os parâmetros na EDG
temos a equação diferencial padronizada (EDP) SSO
e a FTO
2
0
a
an =ω
20
1
2 aaa=ζ
0
00
ab K =
)()()2( 20
22 t u K t y p p nnn ω ω ζω =++
)()()()(0012
2
2 t ubt yadt
t dyadt
t yd a =++
)2()(
22
20
nn
n
p p
K p P
ω ζω
ω
++=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Raízes do PC de um SSORaízes do PC de um SSO
02 22 =++ nn p p ω ζω
O PC da equação geral de um SSO
As raízes do PC podem ser encontradas facilmente através da
equação algébrica
As duas raízes podem ser:
22
2)( nn p p p PC ω ζω ++=
122,1 −±−= ζ ω ζω α nn
–Reais diferentes –Reais iguais
–Um par complexo conjugado
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Controle de Sistemas Mecânicos
Variação do fator de amortecimentoVariação do fator de amortecimento
ζ > 1: as raízes são reais simples
ζ = 1: raízes reais duplas
ζ < 1: raízes complexas conjugadas
122,1 −±−= ζ ω ζω α nn
122,1 −±−= ζ ω ζω α nn
nω α −=2,1
22,1 1 ζ ω ζω α −±−= nn j
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Relações geométricas das raízesRelações geométricas das raízes
ζ = const . ℑ
ω ζ n 1 2−
−ζω n
θ
α
ω σ λ i+=
cosα =ω n const = .
•
nω
ω σ λ i−= 21 ζ ω −− n
ℜ
ω ω ζ d n= −1 2
ζ α =)cos(
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ReferênciaReferência
Tanques interligados
Ogata pg 79,100-101