Apostila Controle - 16 - Análise de Estabilidade

8/6/2019 Apostila Controle - 16 - Anlise de Estabilidade

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Controle de Sistemas Mecnicos

Anlise de estabilidadeAnlise de estabilidade

Estabilidade BIBO

Estabilidade ao impulso

Estabilidade a reposta natural

Estabilidade Assinttica Grfico Lugar das Razes

Projeto utilizando LR


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Definio de estabilidade BIBODefinio de estabilidade BIBO

ttupTtyento

ttuSe


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Condio de estabilidadeCondio de estabilidade

Para um sistema causal resulta que

Considerando a excitao limitada

Portanto, para uma resposta limitada necessrio e suficienteque


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Estabilidade pela anlise da RNEstabilidade pela anlise da RN

Foi mostrado que a resposta ao impulso

depende da resposta natural Se a resposta natural de um sistema tende a

infinito, o sistema ser instvel

Portanto, claro que a estabilidade dependeda resposta natural

A estabilidade depende, portanto, dos plos

do polinmio caracterstico


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EstabilidadeEstabilidadeAssintticaAssinttica

Utiliza-se assim o conceito de estabilidade assinttica,

que depende diretamente dos plos (e no das razes)do polinmio caracterstico.

J vimos a definio de plos : So pontos singularesda FT. Para mnima realizao, so as razes do

polinmio caracterstico, ou seja do denominador dafuno de transferncia.

E a definio de zeros : as razes do numerador dafuno de transferncia. um ponto nulo da FT.

O comportamento do sistema depender, portanto, daposio dos plos e zeros no plano complexo.


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EstabilidadeEstabilidadeAssintticaAssinttica

0

0

p j1 0 0

= +

x

x

Real

Imag

0 0>

p j2 0 0

= 0 0>

Um sistema dito

assintoticamente estvel

se todos os plos da FT

respectiva encontram-seno semi-plano esquerdo

do plano complexo (SPE).

MatLab: pzmap(np,dp)


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Estabilidade MarginalEstabilidade Marginal

0

0=

p j1 0

= x

x

Real

Imag

p j2 0

=

0

0>

x

Um sistema dito

marginalmente estvel

se existe um plo

simples na origem oupares conjugados

simples no eixo

imaginrio, com asdemais no SPE.


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InstvelInstvel

1 0 0p j = +x

x

Real

Imag

0

0>

2 0 0p j =

0

0>

x

x (dupla)

Um sistema dito

instvelse pelo menos

um dos plos estiver no

semi-plano direito doplano complexo (SPD),

ou ocorrerem razes

mltiplas no eixoimaginrio.


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Exemplo: EstabilidadeExemplo: Estabilidade assintticaassinttica

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P/ o sistema

apresenta-se a resposta

natural, a resposta auma excitao

harmnica de 8 rad/s e

a resposta a umaexcitao constante

unitria.

Observa-se que todas

so estveis.

uydt

dy

=+

0 1 2 3 4 5-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1


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Exemplo: Estabilidade marginalExemplo: Estabilidade marginal

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

P/ o sistema





unitria.

Observa-se que apenas

a ltima instvel.

udt

dy

=

0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5


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Exemplo: InstabilidadeExemplo: Instabilidade

0 1 2 3 4 50

50

100

150

P/ o sistema





unitria.

Observa-se que todas

so instveis.

uydt

dy

=

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

0 1 2 3 4 50

50

100

150


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ExerccioExerccio

Para o sistema encontrar e desenhar a

resposta ao impulso usando os comandoslsim , tf e impulse. Determinar o tipo deestabilidade atravs do posicionamento dos

plos, usando pzmap. Traar o diagrama deblocos no simulink e encontrar novamente aresposta ao impulso, usando o blocoderivativo e a fonte de sinal do degrau (step).

Utilizar o comando help para aprender sobrecada um dos comandos.

uyyy =++ &&&


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SoluoSoluo::Resultado esperadoResultado esperado

0 5 10 15 20 25-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


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Lugar das RazesLugar das Razes

Considera-se o controlador apenas um ganho

proporcional Kp

Varia-se o ganho Kp de 0ate + e calcula-se os

plos respectivos de malha fechada

Coloca-se os plos calculados no plano complexo

A curva assim traada chamada de grfico do

lugar das razes


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Recordando: Plos de malha fechadaRecordando: Plos de malha fechada

K(s) P(s)

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

abertamalha)(

)()()(

sD

sNsKsG =

)(

)()(

sD

sNsP =

fechadamalha)()()(

)()(

)(1

)(

)(

)()(

sNsKsD

sNsK

sG

sG

sR

sYsT

+=

+==


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Localizao dos plos MF a partir MALocalizao dos plos MF a partir MA

Os plos de malha fechada portanto exigem que

Considerando K(s) uma constante K

)(1

)(

)(

)()(

sG

sG

sR

sYsT

+==

1)(

0)(1

=

=+

sG

sG

osKP

sKP

180)](arg[

1)(

==


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Incio e fim do grfico Lugar das razesIncio e fim do grfico Lugar das razes

Nota-se que os plos de T(s):

paraKpequeno:

paraKgrande:

)()()(

)()(

)( sNsKsD

sNsK

sT +=

(Plos de G(s))0)( =sD

(Zeros de G(s))0)( =sNK

comea nos plos G(s)

termina nos zeros de G(s)

O Grfico do

Lugar das Razes=>


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Recordando: Plos de malha fechadaRecordando: Plos de malha fechada

com realimentao Hcom realimentao H

K(s) P(s)

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

H(s)

)(

)()(

sD

sNsP = abertamalha)()()( sPsKsG =

fechadamalha)()(1

)(

)(

)()(

sHsG

sG

sR

sYsT

+==


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Localizao dos plos MF a partir MALocalizao dos plos MF a partir MA

Os plos de malha fechada portanto exigem que

Portanto para obter os plos de malha fechada basta

obter o grfico do lugar das razes do ganho de

malha aberta

)()(1

)(

)(

)()(

sHsG

sG

sR

sYsT

+==

1)()(

0)()(1

=

=+

sHsG

sHsG

))()(( sHsGrlocus


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Exemplo de SSOExemplo de SSO

)4)(2(1

)()()(

++==

sssUsYsP

Encontrar o lugar das razes para a planta

abaixo


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SoluoSoluo

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

ImagAxis

Encontra-se o seguinte diagrama:

p=[-4 -2];

np=1;

dp=poly(p);

rlocus(np,dp)

OBS: Para esse

caso, os plos

sempre estaro

no SPE


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)4)(2(1

)()()(

++==

ssssUsYsP

Repetir para a planta abaixo


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SoluoSoluo

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

ImagAxis

* K> 47.6

Encontra-se o seguinte diagrama:p=[0 -4 -2];

np=1;

dp=poly(p);

rlocus(np,dp)

Obs: Nesse caso,

para o valor

deK > 47.6,

as razes

passam para

o SPD,

levando

instabilidade.


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)4)(2(186

)()()(

2

++ ++== sssss

sUsYsP

Repetir para a planta abaixo


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Exemplo : Diagrama do LRExemplo : Diagrama do LR

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Real Axis

ImagAxis

Encontra-se o seguinte diagrama:

p=[0 -4 -2];

np=[1 6 18];

dp=poly(p);

rlocus(np,dp)


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Projeto baseado no LRProjeto baseado no LR

Metodologia

Determina regies para os plos de malha fechada Traa o diagrama do lugar das razes

Estabelece soluo como a interseo

Compara resultados Refaz projeto se necessrio


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Exemplo: Uso do lugar das razesExemplo: Uso do lugar das razes

)4)(2(8

)()(

++=

ssssUsY

Calcular o ganho Kp para forar a localizao

dos plos do sistema de malha fechada quesatisfaam os parmetros do desempenhodesejados

PSS < 20%


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SoluoSoluo

Encontra-se o FA a partir do PSS

46,0

)100

(ln

)100ln(

22

=

+

=

PSS

PSS

p=[-4 -2 0];dp=poly(p)

np=8;

rlocus(np,dp), hold

alfa=acos(0.46);

a=tan(alfa);im=0:0.1:6;

re=-im/a;

plot(re,im)


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ContinuandoContinuando

Usando-se o cursor e o zoom, pode-se encontrar o valordo K

pque leva aos plos desejados

Kp=1,14Kp=1,14


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VerificandoVerificando

Observa-se que o PSS de 18,4 %, portanto adequado


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RefernciaReferncia

Critrio de Estabilidade de Nyquist

Ogata pg 427-443

Documents

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