apostila 1 estabilidade das construções

1

Estabilidade das Construções – Prof. Eng.º Civil Ederaldo Azevedo

_____________________________________

ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES

_____________________________________

Apostila 1: Conceitos Preliminares/Estática Básica

Prof. Engº Civil Ederaldo da Silva Azevedo

Macapá, fevereiro de 2011

2


1. INTRODUÇÃO A ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES

1.1. Projetos

Os Projetos de uma edificação podem ser divididos em 2 grupos:

Arquitetônico e Complementares.

Projeto arquitetônico é o conjunto de peças gráficas e escritas

necessárias à definição das características principais de uma obra de

arquitetura(Zake Tacla, 1984, p.356). Arquitetura é a arte de criar espaços

organizados e animados para abrigar os diferentes tipos de atividades

humanas.

Os Projetos complementares são considerados todos os demais que

integram o projeto da obra e podem ser divididos em dois subgrupos:

projeto das instalações e projeto estrutural.

Em resumo unificando diversos conceitos podemos definir projeto

como: a associação harmoniosa de elementos, com a finalidade de atingir

dois objetivos, o funcional e o de ordem estrutural.

Funcional: o projeto deve prever todas as áreas,

espaços necessários e instalações de tal modo que

se atinja os objetivos a que se destina.

Ordem Estrutural: prever todos os elementos

estruturais de tal modo que tenhamos um

conjunto estático, ou seja, em equilíbrio.

O projeto estrutural é aquele que determina, por meio de desenhos e

especificações, a configuração dos elementos estruturais (concreto, aço,

madeira, alvenaria etc.) que suportarão os esforços físicos incidentes na

edificação (peso próprio, vento, carga acidental etc.).

1.2. Estabilidade das Formas Arquitetônicas

A ciência que estuda os fenômenos relacionados com a estabilidade

das formas arquitetônicas é a Física.

Física é a ciência que estuda os fenômenos da natureza.

3


Devido à grande quantidade de fenômenos físicos, os pesquisadores

acharam conveniente reunir tais fenômenos em grupos, que

apresentassem propriedades comuns e que pudessem ser descritos por leis

também comuns.

Assim, o estudo da física foi dividido em seis ramos:

Mecânica: estuda os fenômenos relacionados com movimento dos corpos;

Calor: estudados os fenômenos térmicos;

Movimento ondulatório: estuda as propriedades das ondas que se propagam

por meio material;

Óptica: estuda os fenômenos relacionados com a luz;

Eletricidade: estuda os fenômenos elétricos e magnéticos;

Física moderna: compreende o estudo do desenvolvimento da Física a partir do

século XX, compreende a teoria da relatividade, a teoria quântica e a teoria do caos.

Sendo a forma arquitetônica um espaço construído e utilizado, não é

admitido de uma maneira geral qualquer tipo de movimento por parte da

forma construída, ou seja, as formas arquitetônicas devem estar paradas,

estáticas.

Assim a condição de movimento das formas arquitetônicas está

fundamentada no estudo da Mecânica, o ramo da Física que estuda

fenômenos relacionados com movimento dos corpos. A parte da mecânica

que estuda as condições de movimento dos corpos rígidos sob ação das

forças é chamada de mecânica dos corpos rígidos.

A mecânica dos corpos rígidos é dividida em estática e dinâmica.

A Estática estuda as condições de repouso dos corpos;

A Dinâmica as condições de movimento.

O estudo das condições de repouso das formas arquitetônicas está

fundamentada na Mecânica Estática.

1.3. Principios Básicos da Estática e da Mecânica

Os conceitos básicos usados na mecânica são os de espaço, tempo,

massa(peso) e força.

a) Espaço:

4


Está associado à posição de um ponto P. A posição de P pode ser

definida por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de

referência ou de origem, segundo três direções dadas. Esses comprimentos

são conhecidos como as coordenadas de P.

y

X=4 y=3 z=2

P (4,3,2)

P1 (4,0,2)

P2 (4,3,0)

P3 (0,3,2)

z

b) Massa:

Se aplicamos uma força de 1 N a um determinado corpo e nota-se

que o corpo tem uma aceleração de 10 m/s². Se a mesma força for aplicada

em um outro corpo e provocar uma aceleração de apenas 5 m/s², dizemos

que o segundo corpo é duas vezes mais maciço que o primeiro. Logo a

razão entre as massas de dois corpos é igual ao inverso da razão entre as

acelerações provocadas nesses dois corpos pela mesma força:

m2/m1=a1/a2.

Com base no que foi exposto é possível estabelecer uma escala de

massa para diferentes corpos. Assim foi escolhido um determinado corpo

para servir de base para todos os outros corpos. Esse corpo foi denominado

de corpo padrão e a ele foi atribuído um valor unitário de massa, 1kg(SI).

Mediante esse corpo padrão, faz-se uma comparação direta das

acelerações produzidas por uma mesma força e então se determina a

massa de um outro corpo.

c) Força

Todos nós temos idéias intuitivas sobre os conceitos de força.

Pensamos em força como sendo um esforço físico, ou mecânico, um

empurrão, ou um puxão, provocados por um ser humano,por uma máquina

ou por um fenômeno físico qualquer.

5


Essas noções são válidas no dia-a-dia, mas não para aplicação das leis

de Newton referentes aos problemas da física.

Força é a ação de um corpo sobre o outro, causando deformação

e/ou movimento. A ação se manifesta por contato ou a distância – o caso

das forças gravitacionais - os pesos – que tem sempre sentido vertical para

baixo.

Assim a força embora não tenha forma, não tenha massa, nem cor, é

um agente capaz de imprimir, cessar ou desviar o movimento a um corpo,

bem como mudar a sua forma geométrica

As forças encontradas na natureza, são distribuídas sobre os

elementos de seu volume(peso do corpo), ou sobre os elementos de

superfície, como a pressão da água sobre as paredes de um recipiente que

a contém.

Sendo as forças grandezas, elas podem ser medidas, e a elas

atribuída uma intensidade.

Na Mecânica Clássica as grandezas com que se trabalha são divididas

em duas categorias: Grandezas Escalares e Grandezas Vetoriais. As

Escalares o valor numérico é o suficiente para caracterizá-las e as Vetoriais,

além do valor numérico(intensidade) , são ainda caracterizados por sua

direção, sentido e ponto de aplicação.

Na Mecânica Vetorial, a força é tratada como concentrada. A força é

representado por um vetor e necessita para sua definição da sua

INTENSIDADE, DIREÇÃO, SENTIDO, e do PONTO DE APLICAÇÃO.

A unidade de força no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o

Newton (N), definido como a força que imprime à massa de 1kg uma

aceleração de 1 m/s².

1N = (1kg) x (1m/s²)= 1k.m/s²

As forças representadas na fig. 1A estão aplicadas em pontos

distintos, tem a mesma direção, sentidos opostos e intensidades diferentes,

sendo uma o dobro da outra.

P

4N 8N

P fig. 1A

6


ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS

Intensidade de uma força

Recordando: a intensidade de uma força é caracterizada por um

número e por uma unidade.

O sistema Internacional de Medidas (SI) indica que se use como

unidade de força o N (Newton) e seu múltiplo kN (kilo Newton).

1 kN = 1000 N

4N= intensidade da força

Direção de uma força

É definida pela reta ao longo da qual a força atua. È a linha de ação

da força. É caracterizado pelo ângulo que forma em relação a um sistema

de referências, normalmente eixos cartesianos.

y Linha de ação

α = ângulo

x

Sentido de uma força

Ao se definir uma força é muito importante indicar o seu sentido.

Sentidos diferentes provocam efeitos totalmente diferentes.

Normalmente, o sentido de uma força é indicado por uma seta que

se localiza na extremidade do segmento de reta.

sentido

7


Resultante de forças

Um conjunto de forças que atua sobre um ponto material, provoca

um efeito resultante nesse ponto e esse efeito chama-se Resultante de

forças, que nada mais é do que uma força aplicada no mesmo ponto que

provoca o mesmo efeito que o conjunto de forças.

Portanto um conjunto de forças atuante sobre um ponto material

pode ser representado por uma única força que provoque o mesmo efeito

sobre o ponto.

Resultante de duas forças:

As forças são grandezas vetoriais que seguem o seguinte princípio:

duas forças F1 e F2 aplicadas no mesmo ponto de um corpo rígido podem

ser substituídas por uma única força chamada de Força Resultante (R) que

proporcione o mesmo efeito sobre o ponto ou corpo rígido.

Esta Força Resultante (R) é determinada através da regra do

paralelogramo, que consiste na construção de um paralelogramo que

tenha as duas forças como lado, e a reta que liga o ponto de origem das

duas forças ao ponto que une as retas que formam o paralelogramo é a

Resultante(R).

Esta resultante é expressa como a soma vetorial das forças F1 e F2,

logo R=F1 + F2, conforme fig. 1B.

F1 R

R=F1 + F2

A F2

fig. 1B

8


Resultante de várias forças concorrentes

Usando o mesmo raciocínio, podemos utilizar a lei do paralelogramo,

sucessivamente, para encontrar a resultante de várias forças aplicadas no

mesmo ponto, fig. 1C. A resultante R pode ser expressa, como a soma

vetorial das forças P1, P2, P3 e P4.

𝑅 = Pi

4

𝑖=1

P1+P2 P1+P2+P3 P1+P2+P3+P4

P1 P2 P3 P1 P2 P3

A P4 A P4

Fig. 1C

Regra do triangulo

Derivando desta Lei é a regra do triângulo. Como o lado do

paralelogramo oposto à força P2 representa P2 em intensidade e direção,

pode-se desenhar metade do paralelogramo.

A regra consiste, portanto, em posicionar a origem de uma força à

extremidade da segunda, fig. 1D .

P1 P1

A R ≡ A P2

R=P1+P2

P2

fig. 1D

9


Se as forças aplicadas em A, fig. 1C1 estiverem contidas no mesmo

plano – forças coplananres – é mais prático a aplicação sucessiva da regra

do triangulo, fig. 1C2

P2

P1

P3

fig.1C1 A P4

P3 P4

P2

R=P1+P2+P3+P4

P1

Fig. 1C2

Decomposição de uma força em componentes

Da mesma forma que duas ou mais forças podem ser substituidas

por uma força resultante, uma força pode ser decomposta em várias forças

menores. Essas forças são chamadas de componentes, e tem o mesmo

efeito sobre o ponto material que a força original.

O processo de obtenção das componentes de uma força é chamado

de decomposição de forças (F) em componentes.

F1 F

A F2

10


Componentes cartesianas de uma força

Na maioria dos problemas do nosso estudo será necessário

decompor forças em duas componentes normais(perpendicular/90°) uma a

outra.

A decomposição é feita segundo eixos x e y na horizontal e na

vertical. Contudo, pode-se estabelecer para os eixos x e y duas direções

quaisquer, desde que estejam perpendiculares.

y

y F

Fy F Fy x

β Fx

α

Fx x

A determinação das componentes cartesianas de uma força pode ser

feito usando-se as regras trigonométricas do triangulo retângulo, como por

exemplo:

𝑠𝑒𝑛 ∝=cateto oposto

hipotenusa;

𝑐𝑜𝑠 ∝=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎;

𝑡𝑎𝑔 ∝=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒.

11


ba

c

lei dos senos

Z

YX

Sen a = Sen b = Sen c x y z

F

y Fy Fx= F. cos α

Fy F α Fx Fy= F.sen α

α

Fx x

Exercício de Fixação:

1. Uma força de 800 N é exercida sobre um mastro de bandeira por

um cabo de aço. Determinar as componentes horizontal e vertical

dessa força no ponto de fixação do cabo ao solo.

y

F=800N Fy

35°

Fx 35° x

12


F=800 N

cos 35°=Fx/-800 Fx= -800.cos 35° Fx= -655 N

sen 35°=Fy/800 Fy=800. sen 35° Fy= 459 N

Equilibrio de um ponto material

Diz-se que um ponto material está em equilibrio quando o conjunto

de forças que atua sobre ele tiver como resultante nula.

Nesse caso, o efeito global das forças consideradas é nulo, ou seja, o

somatório de todas as forças envolvidas no ponto material é zero.

FR = F1 + (-F2) 1200 N

FR = 1200 – 1200

F=0

A

1200 N

Algebricamente, as condições de equilibrio de um ponto material são

escritas da seguinte forma:

F A = 0(zero)

F1y F1

F2x F1x

F2 F2y

Decompondo-se as forças F1 e F2 nas suas componentes cartesianas

tem-se:

13


(Fx + Fy) = 0 ou Fx + Fy = 0

Donde se conclui que a condição necessária e suficiente para o

equilibrio de um ponto material é :

𝐅𝐱 = 𝟎 𝒆 𝐅𝐲 = 𝟎

Diagrama de corpo livre

Grande número dos problemas que envolvem estruturas reais pode

ser reduzido a problemas referentes a um ponto material,

convenientemente escolhido e esquematizado em um diagrama separado,

onde todas as forças que estão envolvidas sobre ele são representadas.

A esse diagrama chammamos de de diagrama de corpo livre. A

representação das forças sobre o ponto material é feita de maneira que

elas estejam saindo do ponto, ou seja, tracionando o ponto.

F P

Q

S

Exercicio resolvido:

1. Considerando que uma passarela para pedestres, cujo peso no

ponto A é 736 N, está suspensa por dois cabos de aço presos a

dosi pilares B e C, conforme mostra a figura, determine:

a) O estado de tensão em cada um dos casos;

14


b) O valor da tensão a que os cabos estão submetidos.r

B

C

A

F

50°30°

Diagrama de Corpo Livre

30°50°

736

RESOLUÇÃO:

Primeiro traçar um diagrama de corpo livre, onde estejam envolvidas

todas as forças atuantes sobre o ponto material escolhido. Como o que

interessa são tensões desenvolvidas nos cabos que suspendem a passarela

a partir do ponto A, o ponto material a ser escolhido é o ponto A.

Como o ponto A deve estar em equilibrio, as forças que atuam sobre

o ponto A devem formar um triangulo fechado, quando desenhadas de

modo que a origem de uma coincida com a extremidade de outra. Assim

os valores de TB e TC, podem ser determinados graficamente, se o

triangulo for desenhado em escala, ou trigonometricamente, ou ainda pode

ser resolvido de forma analítica.

15


736 N

TB

TC

40°

80°60°

30°

fig. 1 Triangulo de forças

Solução Trigonométrica:

Sen a = Sen b = Sen c x y z

Sen 80 ° = Sen 60° = Sen 40° 736 TB TC

TB= 647 N

TB= 480 N

Solução analítica: parte do principio de que o ponto A está em

equilíbrio sob ação das três forças que atuam sobre ele, a solução analítica

deve satisfazer as equações de equilíbrio desenvolvidas anteriormente.

16



30°50°

736 N

TBTC

𝟏. 𝐅𝐱 = 𝟎

TC.cos 30° - TB.cos 50° = 0

TC=TB.cos 50°/cós 30°

2. 𝐅𝐲 = 𝟎

- 736 N + TC.sen 30° + TB.sen50°=0


30°50°

736 N

TBTCTBy

TCy

TCxTBx

com as forças decompostas

Nota:

736 é negativo pois está no quadrante y negativo.

TBx (TB.cos50°) é negativo pois está no quadrante x dos negativos.

17


Substituindo TC, na equação 2, pelo valor encontrado na equação 1,

tem-se

-136N + TB.cos 50°/cos 30°. sen 30° + TB. Sem 50°=0

TB= 647N

Substituindo TB, na equação 1, tem-se

TC=647.cos 50°/cos 30°

TC= 480 N.

Os valores positivos encontrados para TB e TC indicam que os

sentidos adotados para as forças no diagrama de corpo livre estão corretos, e que

os cabos estão desenvolvendo tensões de tração. Se os resultados encontrados

fossem negativos significaria que os sentidos adotados para as forças, no

diagrama de corpo livre, estariam errados e, consequentemente, os cabos

estariam desenvolvendo tensões de compressão.

Momento de uma força:

As forças são percebidas somente pelos efeitos físicos que causam

nos corpos.

Uma força atua sobre determinado corpo imprimindo-lhe

movimentos ou modificando o estado do movimento, desde que não seja

equilibrada por outra força ou por um conjunto de forças.O movimento

produzido pode ser translação ou rotação.

Uma força F é representada por um vetor que define o seu módulo, a

sua direção e sentido, porém, o efeito de uma força sobre um corpo rígido

depende também do ponto de aplicação da força.

Dependendo do ponto de aplicação da força, essa poderá provocar

um movimento rotatório no corpo em relação a um ponto fixo chamado de

centro de rotação.

F

18


Fig. 2 – movimento de translação retilineo

O momento representa a tendência de rotação, em torno de um

ponto, provocada por uma força.

Portanto o movimento de rotação causado por uma força em relação

a um ponto fixo é denominado de Momento da Força M, cuja grandeza é

expressa pelo produto da força(F) pela menor distância(d) da linha de

atuação da força ao centro de rotação.

F

d MA= F.d

MA

A

Fig. 3 – movimento de rotação

Ampliação do trabalho realizado por uma força:

O momento de uma força está relacionado com a capacidade de

ampliação do trabalho a ser realizado pela força.

Arquimedes(287 – 212 a.C) dizia: “Dêem-me uma alavanca

suficientemente grande e um ponto fixo no espaço que eu tirarei a Terra da

órbita.”Essas palavras ditas por Arquimedes sugeriam há mais de 2 mil anos

que uma força aplicada a uma determinada distância de um ponto fixo

qualquer é ampliada pelo produto dessa força pela menor distância da

linha de atuação dessa força até o ponto fixo(braço de alavanca).

19


F

MFMP

P

A

L1 L2

fig. 4 - alavanca

No exemplo da figura acima, a capacidade de trabalho da força F é

ampliada pelo braço de alavanca existente entre a força e o ponto de apoio

A, cujo valor é dado pelo produto de F pela menor distância da linha de

atuação de F até o ponto A (L1), representado por MF (momento da força

F) em relação ao ponto A. O peso da pedra na ponta da alavanca

(representado por P), também terá seu trabalho ampliado pelo produto de

P pela distância até o ponto A (L2), representado por MP (momento da

força P) em relação ao ponto A.

Considerando que F e P tenham a mesma intensidade, os momentos

serão diferentes, onde MF > MP, já que L1 > L2. Consequentemente, haverá

um momento resultante (MR), que fará com que a pedra se desloque no

sentido MF no sentido de MF.

a

F

F

2

1

A

Linha de Atuação

Obs.: O momento de uma força não se altera quando se desloca o

ponto de aplicação da força ao longo da sua linha de atuação.

20


O momento da força F aplicada no ponto 1 em relação ao ponto fixo

A é dado por F.a.

MF1=F.a

O momento da força F aplicada no ponto 2 em relaçao ao ponto fixo

A é dado também por F.a.

MF2=F.a

Donde se conclui que MF1=MF2

Binário de forças

Duas forças F1 e F2, que tenham o mesmo módulo, linhas de ação

paralelas e sentidos opostos, formam um binário de forças.

F1

F2

Momento de um Binário de forças:

No exemplo abaixo, está representada uma gangorra de parque de

diversões, usada apenas por uma criança, representada pela força F.

21


F

R

L1 L2

A

Para que haja equilíbrio no sentido vertical, é necessário que exista,

no ponto de fixação da gangorra com apoio fixo, uma força R de mesma

intensidade, linha de ação paralela e sentido oposto. Isto acontecendo diz-

se que o sistema está em equilíbrio naquela direção. Porém, o binário de

forças F e R irá causar um movimento rotatório em torno do ponto fixo A.

Nesta mesma brincadeira da gangorra aplica-se os conceitos de

momento das forças pesos das crianças em torno do eixo O de apoio da

gangorra.

30 Kg

60 kg

2.00 2.00

O

30 Kg

fig. A

Ma MbMoleque. A Moleque. B

Na situação da fig.A os moleques estão em equilíbrio, numa posição

horizontal, gerando momentos idênticos em relação a O (pesos e distancias

iguais).

Se extrai que: Ma= 30.2=60 kgf.m;

Mb=30.2=60 kgf.m.

22


Ma=Mb;

Peso MolequeA= peso MolequeB;

Distancias iguais.

30 Kg

60 kg

1.5 2.50

O

30 Kg

fig. B


Na situação da fig. B, os moleques também tem pesos iguais, mas o

momento gerado pelo moleque da direita (Mb) é maior, pois é maior a

distancia deste ao ponto O, por isso este é que desce.

Se extrai que: Ma= 30.1,5=45 kgf.m;

Mb=30.2,5=75 kgf.m.

Ma≠Mb;

Peso MolequeA= peso MolequeB;

Distancias diferentes.

30 Kg

80 kg

1.50 2.50

O

50 Kg

fig. C


23


Na situação da fig. C, o equilibrio na horizontal, associado a iguais

momentos, só é possível porque o maior peso está a uma distância menor.

Se extrai que: Ma= 50.1,5=75 kgf.m;

Mb=30.2,5=75 kgf.m.

Ma=Mb;

Peso MolequeA ≠ peso MolequeB;

Distancias diferentes.

Sistemas de Forças:

Um sistema de forças é um conjunto de uma ou mais forças e/ou

momentos.

Deslocamentos associados:

Uma Força F quando aplicada a um corpo rígido impõe uma

tendencia de deslocamento linear ou translação.

Um Momento M quando aplicado a um corpo rígido impõe uma

tendencia de deslocamento angular ou rotação.

AÇÃO DESLOCAMENTO Força Translação

Momento Rotação

Graus de Liberdade:

No espaço, utilizando um sistema de eixos referenciais(x, y, z), os

deslocamentos lineares (translação D) e os deslocamentos angulares (rotações θ)

são expressos por suas componentes nos três eixos ortogonais x, y, z, as quais são

denominado de graus de liberdade.

Graus de Liberdade

Deslocamentos Componentes

Translação Dx, Dy e Dz Rotação Θx, Θy e Θz

24


y

Θy

Dz Dy Dx Θx x

Θz

z

fig. a

Qualquer movimento no espaço é definido por meio destes seis

componentes ou graus de liberdade(fig.a). Portanto são 6 os graus de liberdade

de cada ponto, ou nó, da estrutura como um todo.

y

Dy Dx x

Θz

z

fig. b

Nas análises planas que é o que propomos no nosso estudo fica-se

reduzido a 3 graus de liberdade(fig. b), um de rotação e duas translações.

Equações do Equilibrio Estático:

Um corpo rígido está em equilibrio quando está parado, em repouso,

ou seja, quando as forças externas que atuam sobre ele resultam em um sistema

de forças cuja resultante, velocidade e aceleração são iguais a zero, de modo a

satisfazer a primeira Lei de Newton: “Todo corpo tende a permanecer como

estiver. Em repouso ou em movimento uniforme, a menos que sobre ele atue

25


uma força externa resultante.” Significa que se a força resultante das forças que

atuam sobre as formas arquitetonicas é zero, essa estará em repouso (se

originalmente estiver em repouso).

Assim, um corpo rígido estará em equilibrio quando as forças

externas que atuam sobre ele podem ser reduzidas a uma força resultante igual a

zero e a um binário de forças nula.

Baseando-se na Primeira Lei de Newton, podem se escrever as

condições necessárias e suficientes para o equilibrio dos corpos rígidos na forma

de duas equações.

𝐅 = 𝟎 𝐌𝐨 = 𝟎

Considerando que vivemos em um espaço tridimensional

decompondo cada equação em suas componentes cartesianas, as condições

necessárias e suficientes para garantir o equilibrio dos corpos rígidos podem ser

expressas por seis equações escalares:

y

𝐅𝐲 = 𝟎

𝐌𝐲 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 x

𝐅𝐳 = 𝟎 𝐌𝐱 = 𝟎

Z 𝐌𝐳 = 𝟎

Em resumo: 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐅𝐳 = 𝟎 (equilibrio das forças)

𝐌𝐱 = 𝟎 𝐌𝐲 = 𝟎 𝐌𝐳 = 𝟎 (equilibrio de momentos)

Equilibrio em duas dimensões:

26


Devido à propriedade cumulativa das forças, que diz que a ação das

forças que atuam em um determinado plano se somam às dos planos

vinculados a ele, é possível simplificar consideravelmente a análise

estrutural.

Partindo desse princípio da propriedade cumulativa, a análise

estrutural pode ser feita em um planos bidimensionais, o que reduz o

sistema de seis equações para apenas três.

Assim adotando-se os eixos x e y para a definição do plano da

estrutura em análise, tem-se:

y

𝐅𝐲 = 𝟎

𝐌𝐲 = 𝟎

(0,0)a 𝐅𝐱 = 𝟎 x

𝐌𝐚 = 𝟎

Logo as equações resumem-se as seguintes:

𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌𝐚 = 𝟎

Onde “a” pode ser qualquer ponto no plano da estrutura.

Essas são as três equações necessárias e suficientes para a análise de

sistemas estruturais.

Apoios ou vínculos de uma estrutura:

As estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre

sí e exteriormente ao solo. Estas ligações são chamados de apoios ou vínculos.

A restrição aos movimentos de uma estrutura se dá por meio destes

apoios ou vínculos.

Os apoios ou vínculos são classificados em função do número de

graus de liberdade impedidos.

27


Nos apoios e nas direções dos deslocamentos impedidos, surgem as

forças reativas ou reações de apoio.

Representação dos apoios em Modelos Planos de Estruturas:

Existem formas de representação gráfica dos apoios associados as

direções de deslocamento dos modelos estruturais, planos de vigas, pórticos e

treliças.

Esses apoios são classificados, em função do número de

deslocamentos impedidos, conforme segue abaixo:

1. Apoio simples(do 1º genero)/apoio móvel

Impede a translação em uma das direções(vertical ou horizontal).

Permite a translação na direção perpendicular a impedida.

Permite a rotação (em torno de Z).

Rv Rv

fig. 1 - apoio simples (1º gênero)

=

2. Rótula (apoio do 2º genero)/apoio fixo

Impede a translação na direção X.

Impede a translação na direção Y.

Permite a rotação (em torno de Z).

28


RvRv

RhRh

fig. 2 - rótula (apoio do 2º gênero)

=

3. Engaste (apoio do 3º genero)/engastamento fixo

Impede a translação na direção X.

Impede a translação na direção Y.

Impede a rotação (em torno de Z).

ESTRUTURA

ENGASTE

=

Rv

Rh M

Rv

Rh M

fig.3 - engaste (apoio do 3º gênero)

Nota importante: O sentido adotado aos vetores (reações e

momentos) que representam as forças é intuitivo e arbitrário. A

confirmação do sentido correto será feita ao serem traçadas as

equações de equilíbrio. Se o sinal encontrado para a força for

positivo, significa que o sentido adotado está correto; se for negativo,

significa que o sentido está invertido.

Força( + ) = sentido adotado correto;

Força ( - ) = sentido adotado incorreto.

29


REFERÊNCIAS:

ALMEIDA, Maria Cascão Ferreira de. Estruturas isostáticas. São Paulo:

Oficina de Textos, 2009.

MACHADO JÚNIOR, Eloy Ferraz. Introdução à isostática. São Carlos:

EESC/USP, 1999, 2007.

SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: estruturas

isostáticas. 5.ed. Rio de Janeiro: Globo, 1981. V. 1.

VIERO, Edison Humberto. Isostática: passo a passo. 2. Ed. Caxias do

Sul, RS: Educs, 2008.

Documents

apostila 1 estabilidade das construções