APOSTILA DE AJUSTAMENTO

8/3/2019 APOSTILA DE AJUSTAMENTO

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Material Didático

Autor: Prof. Joel Gripp Júnior



2

RN1

RN2

CAPITULO 1

AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES

1.1- INTRODUÇÃO

Ao obter uma medida que se requer confiança, qualquer pessoa intuitivamente

repetirá observações e não irá confiar em apenas uma observação. Mas a partir de várias

observações de uma mesma grandeza, que resultado final representa maior confiança e que

seja único deverá ser utilizado?

O ajustamento de observações cuida da resolução de problemas deste tipo, bem

como a estimativa da precisão da solução adotada.

O ajustamento de observações leva, além de uma solução única, a coerência de

observações a modelos matemáticos apropriados a cada caso.

Nos casos mais simples realizam-se medidas sobre as próprias incógnitas.

Quando tais incógnitas se ligam por equações de condição o problema se torna um pouco

menos simples. Outras vezes medem-se grandezas que se vinculam às incógnitas através de

relações funcionais conhecidas, é o caso das observações indiretas ou parâmetros (ex.:

coordenadas, altitudes, etc.). Em qualquer caso o que se busca, é purificar as observações das

inconsistências que as acompanham, ou melhor dizendo, ajustá-las juntamente com

parâmetros (quando existem), a um modelo matemático.

Algumas dificuldades podem surgir quando se pretende ponderar as observações

onde se deve atribuir “mais peso” àquelas que merecem maior confiança; isto pressupõe o

conhecimento da precisão com que as medidas são efetuadas.

Seja os seguintes exemplos para enfatizar alguns pontos importantes do ponto de

vista prático:

Ex.: 1- A figura ao lado esquematiza uma pequena rede denivelamento geométrico; em função dos desníveis medidos. Aaltitude de RN1 pode ser transportada até RN2; como sãoinúmeros os caminhos possíveis, resultaram inúmeras soluções.



3

O ajustamento, entretanto, conduzirá a uma solução única tornando as

observações coerentes com um modelo matemático.

Alternativamente, a altitude de RN2 pode ser “fixada” como a RN1; neste caso as

observações são ajustadas de tal maneira que o transporte de altitudes a partir de RN1

produza em RN2 um valor idêntico pré-fixado.

Ex.:2 – P e Q são vértices de uma cadeia detriangulação já ajustados razão pela qual suascoordenadas são consideradas “fixas”. Na poligonalPABCQ medem-se os lados (eletronicamente) e osângulos. Admitindo que tais observações sejam, numcaso ideal, isentos de erros; mesmo assim ascoordenadas transportadas a partir de P não “fecham”em Q.

Pois bem, o ajustamento deverá alterar os valores corretos para garantir aqueles fechamentosem obediência a um modelo matemático.

Ex.: 3 – Os ângulos medidos de um quadrilátero

completo de uma triangulação geodésica; após

ajustados, a soma dos ângulos de todos os triângulos

esféricos do quadrilátero deverão satisfazer à condição

matemática de que o correspondente é igual a 180º mais

o excesso esférico.

1.2- O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (M.M.Q)

Considerando o caso da medida direta de uma grandeza x; sejam b1, b2, b3......bn

os valores obtidos em uma série de n observações.

Na impossibilidade de obter o verdadeiro valor de x deve-se se contentar com

uma estimativa que seja confiável. Adotando, o valor x com base em um certo critério e

calculando as diferenças temos:

nn V b x

V b x

V b x

.22

11

ou x –bi= V i para i= 1,2,3,..........n



4

Tais diferenças (Vi) são resíduos, isto é, os valores, a priori desconhecidos, que

somados às observações reproduzem o valor escolhido x.

Poderia-se, mudando o critério eleger um valor diferente x’; resultaria um novo

conjunto de resíduos: x’-bi= Vi’ e assim por diante x’’-bi=Vi’’; etc..

Qual dos valores x, x’, x’’ deve-se adotar? Em outras palavras, como escolher umcritério que permite, das observações repetidas bi, discrepantes entre si, extrair um valor

único para representar a incógnita x?

A quase dois séculos o geodesista fez sua opção, seguindo o caminho indicado

por GAUSS e LEGENDRE: ACEITAR COMO MELHOR ESTIMATIVA DE X O VALOR

QUE TORNA MÍNIMA A SOMA DOS QUADRADOS DOS RESÍDUOS.

O critério supra caracteriza o método dos mínimos quadrados (M.M.Q) instituído

independentemente pelos dois grandes matemáticos acima citados.

Até a bem pouco, o M.M.Q, quando referido, conservava a notação original deGauss, respeitada universalmente [v.v]= min, o colchete indicando somatório, com variações

subentendidas de 1 a n e sem utilizar expoentes.

Quando as observações não oferecem o mesmo grau de confiança são

“homogeneizadas” através de pesos pi:

n

i

iiv p

1

2 min ou [p.v.v]= min

Modernamente prefere-se a linguagem matricial;

sendo V o vetor coluna dos resíduos e P uma matriz quadrada(matriz dos pesos)

Como será visto com o desenvolver do assunto, o ajustamento é uma grande

ferramenta às várias áreas da engenharia de levantamentos, tais como: Topografia, Geodésia,

Fotogrametria, Astronomia, etc.

min

min

PV V

V V

t

t



5

´CAPÍTULO 2

TEORIA DOS ERROS

2.1. INTRODUÇÃO

Na medida de uma determinada grandeza, certos fatores como limitação humana,

imperfeição instrumental e instabilidade da natureza fazem com que as medidas nunca

tenham exatidão absoluta. Um operador repetindo várias vezes uma mesma medida, os

resultados nunca serão idênticos, por mais que seja o cuidado utilizado nas determinações.

Assim, pode-se afirmar que todas as medidas contêm erros.

Com a finalidade de conhecer bem a teoria dos erros, serão apresentados, a

seguir, alguns conceitos importantes e de uso comum no ajustamento de observações.

2.2. ALGUNS CONCEITOS

2.2.1 Erro Absoluto Verdadeiro

É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza física e o seuverdadeiro valor.

Na prática, não se conhece o valor real ou verdadeiro da grandeza; conhece-se o

valor mais provável desta grandeza.

2.2.2 Erro Absoluto Aparente (E)

É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza (xi) e seuvalor mais provável ( x ).

x x E ii

2.2.3 Erro verdadeiro e Erro Aparente

Por analogia ao conceito anterior, só que se considerando o sinal da diferençaentre a medida.

x xe ii

2.2.4 Resíduo (v)

No ajustamento denomina-se de resíduo ao inverso do erro aparente, ou seja, é acorreção e que tem sinal contrário do erro aparente.

ii x xv

2.2.5 Discrepância

É a diferença entre os valores de duas medidas de uma mesma grandeza, obtidas

por dois operadores diferentes. As vezes é incorretamente chamada de erro.



6

2.2.6 Erro Relativo (er)

É a relação entre o erro absoluto e o valor mais provável da grandeza ( x ).

x

E er

Considerando um grupo de observações resultante de repetições, o erro relativo é

mais utilizado, em ajustamento de observações, como sendo a relação entre o desvio padrão

de uma série de determinações da grandeza e o valor mais provável correspondente.

Comumente, expressa-se o erro relativo, em termos de fração, colocando-se a unidade no

numerador.

Ex.: x = 229,314m e n= 0,012m então,

109.19

1

314,229

012,0

r

r

e

e

2.2.7 Erro Tolerável (Tolerância)

Considera-se normalmente como sendo o triplo do desvio padrão da média

ntol 3 A razão de se adotar esta expressão será estudada oportunamente.

2.3. TIPOS DE ERROS EM FUNÇÃO DA SUA ORIGEM E CARACTERÍSTICAS

2.3.1 Erros Grosseiros

Erros cometidos nas medições por desatenção ou confusão do operador. Estasmedições devem ser repetidas.

Ex.: erro de anotação, erro na leitura de um ângulo, erro de cálculo, etc.

Para evitar erros grosseiros deve-se sempre repetir cuidadosamente as medições.

2.3.2 Erros Sistemáticos

Podem ser expressos por uma função matemática. Se as causas dos erros são

conhecidas, pode-se calcular o erro e eliminá-lo. São erros cumulativos.



7

Caracterizam-se por ocorrer sempre em um mesmo sentido e conservarem em

medições sucessivas, o mesmo valor. Decorrem das imperfeições do observador, do

instrumento e do método usado. São três os tipos de erros sistemáticos:

a)

Erros sistemáticos introduzidos pelo observadorEx.: erros cometidos por deficiência de visão

b) Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento

Ex.: Uso de instrumentos em condições diferentes daquelas para as quais foramcalibradas ou, por exemplo:

Suponha uma distância obtida a partir de oito trenadas e supondo que cada

trenada equivale a 10m, a distância total seria de 80m. Detectando posteriormente que a trena

tem na realidade 10,10m.. Conclui-se que a distância tem um erro sistemático de 80cm.

c) Erros sistemáticos introduzidos pelo método

Ex.: Utilização de um método baseado em equação matemática nãorepresentativa da realidade do fenômeno.

Sempre que possível os erros pessoais podem ser minimizados pela substituição

do observador humano por um mecânico ou eletrônico.

Os erros instrumentais são reduzidos por meio de uma aferição ou calibração do

aparelho, por comparação com um padrão de confiança.

Às vezes pode-se corrigir o instrumento fazendo o mesmo fornecer resultados

sem erros sistemáticos ou, então calcular o erro e corrigir os resultados das medições.

2.3.3 Erros Acidentais

Ocorrem de causas desconhecidas e incontroláveis.

Caracterizam-se por ocorrerem ao acaso, qualquer que sejam os observadores, os

instrumentos e os métodos. Em geral são erros pequenos, porém inevitáveis e encontrados

em todas as observações, causando discrepâncias que a princípio apresentam sem qualquer

conformidade matemática. A sua influência sobre as observações é aleatória, não permitindo

outro tratamento se não baseado na teoria da probabilidade.

Pode-se dizer que os erros acidentais são os que ainda restam na determinação deuma grandeza, em que foram tomados todos os cuidados para eliminar os erros grosseiros e

sistemáticos.

Se for realizado um número grande de observações, a experiência tem

demonstrado que estes erros revelam alguma regularidade, ou seja, seguem uma distribuição

de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal.



8

11

2

2

n

en

i

i

2.4. CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES

2.4.1 Diretas

As medições são efetuadas diretamente, em relação à grandeza procurada, sem

que existam meios para verificação do erro, uma vez que não se conheçam os seus valores

reais ou teóricos. Ex.: uma distância ou ângulo isolado.

2.4.2 Indiretas

As observações não são feitas diretamente sobre as grandezas procuradas, mas a

outras a elas ligadas por meio de relações conhecidas. Ex.: coordenadas, áreas, etc.

2.4.3 Diretas condicionadas

As observações são feitas diretamente, e são independentes entre si, porém se

prendem a alguma equação de condição conhecida.

Ex.: Na medida de três ângulos (a, b, c) de um triângulo plano, tem-se quea+b+c= 180º

2.5. VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRANDEZA

O valor mais provável de uma grandeza, medida diversas vezes pelo mesmo

operador, utilizando o mesmo equipamento e o mesmo método, ou seja, medidas com um

grau idêntico de confiabilidade, é a MÉDIA ARITMÉTICA dos valores encontrados.

No caso de observações obtidas com diferentes graus de confiabilidade, o valor

mais provável deverá ser obtido considerando-se um fator de proporcionalidade ao qual

denominamos de PESO.

Obs: Oportunamente o PESO será elucidado em detalhes.

2.6. MEDIDAS DE PRECISÃO

Precisão é a consistência da medida ou grau de refinamento de um grupo de

medidas. Nas medições os termos mais comumente usados para expressar a precisão são a

variância e o desvio padrão ou erro quadrático.

2.6.1 Variância

Definida como a média do quadrado dos erros aparentes. Comum para o calcula

da variância adotar o seguinte critério:

Se o número de observações (n) for menor que 30, a variância é obtida por:

Somatório do quadrado dos erros aparentes Número de observações menos um



9

11

2

n

en

i

i

n

en

i

i

1

2

Se o número de observações n for maior do que 30 teremos:

2.6.2 Desvio PadrãoÉ a raiz quadrada da Variância.

ou

Seja qual for o tipo de observação, o resultado terá maior valor, se além de

apresentado o valor para a grandeza desejada, for apresentado também a precisão com que

esta foi obtida.

Dependendo da grandeza, ao invés de se ter o desvio padrão como precisão, écomum apresentar o erro relativo no lugar deste, é o caso por exemplo de distâncias.

n

en

i

i

1

2

2 Somatório do quadrado dos erros aparentes Número de observações



10

y

x

CAPÍTULO 3

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Como já foi mencionado, os erros acidentais ocorrem de forma aleatória e

tendendo a obedecer a distribuição normal ou Lei de Gauss.Considerando uma operação qualquer de medição efetuada um grande número de

vezes, nas mesmas condições (mesmo operador, instrumento e método, etc.) a teoria das

probabilidades mostra e a experiência permite verificar que os erros acidentais produzidos

gozam das seguintes propriedades:

1º) a um erro positivo corresponde um erro negativo de mesmo valor absoluto (os

erros positivos e negativos de mesmo valor absoluto têm igual probabilidade)

2º) os erros pequenos são os mais numerosos ( o erro nulo é o mais provável)

A curva que representa a Lei de Gauss tem forma de um sino e goza dasseguintes propriedades:

a) É simétrica em relação ao eixo dos y, isto é, os erros positivos e negativos demesmo valor absoluto têm igual probabilidade;

b) As ordenadas correspondentes aos erros pequenos são as maiores, isto é, os

erros pequenos têm maior probabilidade do que os grandes;

c) A curva tem por assíntota o eixo dos x, isto é, o erro tem uma

probabilidade nula;

d) A curva apresenta dois pontos de inflexão correspondentes a (desvio

padrão);

e) A probabilidade de se cometer um erro, em valor absoluto, menor que (erro

compreendido entre + e - ) é igual à área assinalada na figura.

- +

F(x)

- +x

dE E F P )(



11

f) A área total limitada pela curva, isto é, a probabilidade de se cometer

simultaneamente todos os erros é, portanto, igual à unidade (100%)

A curva da lei de Gauss pode ser representada analiticamente pela:

Onde: = desvio padrão E= erro considerado, ou se temos uma medida x e uma média x ,

E= x- x.

Se for considerado na equação da Lei de Gauss desvios padrões =1, =2 e

=3, as curvas correspondentes seriam:

ou, quanto maior for o desvio padrão (menor

precisão), mais achatada será a curva.

É comum encontrar tabelas que fornecem os valores resultantes das integrais (que

representam probabilidades):

ou P= probabilidade = área sob a curva

Como aplicação simples, pode-se fazer:

1) Encontrar a probabilidade dos erros menores, em valor absoluto, do que um desvio

padrão (1 ) ,ou seja, encontrar a àrea sob a curva limitada pelas abscissas + e - .

P1 (x< - ) = 0,1587 P2= (x< + )= 0,8413 P= P2- P1= 68,26%

y

-x

2

2

2.1

21)(

E

e E F

y

-x

12

2

2

.1

2

1 X E

E

E

dE eP

y

x+

y

-x

+

-3 -2 -1 +1 +2 +3



12

2) Para o esmo raciocínio anterior, considerando-se 2 , obtem-se:

P= 95,45%

3) Idem, considerando 3 :

P= 99,73%

Obs.: As aplicações anteriores serão úteis quando for apresentado o estudo da tolerância nos

levantamentos.

Na prática, se o número de observações for grande, pode-se verificar uma

concordância perfeita com a curva de Gauss, se for marcado em abscissas as grandezas dos

erros (erros aparentes), e em ordenadas, o número de ocorrências correspondentes.

y

-2x

+2

y

-3x

+3



13

CAPÍTULO 4

LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS – FÓRMULA ALGÉBRICA

4.1 INTRODUÇÃO

Se a partir de uma relação matemática obtém-se alguma grandeza em função deoutras que possuem erros, então a grandeza obtida também conterá erros. Assim, por

exemplo, se for obtido a área de um quadrilátero cujos lados são L1 e L2 com desvio padrão

1 e 2, então a área obtida terá um desvio padrão A devido a propagação de L1 e L2.

Com a finalidade de conseguir variâncias (ou desvios padrões) de grandezas

obtidas assim, indiretamente, faz-se o uso da lei de propagação de erros.

A lei de propagação de erros (ou variâncias) deve ser recorrida quando deseja- se

fazer uma análise de erros visando, por exemplo, a realização de uma pré-análise.

Inicialmente será deduzida a lei de propagação de erros envolvendo apenas

grandezas não correlacionadas.

4.2 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS:

Suponha Y= F(X1, X2) função das grandezas não correlacionadas X1 e X2 de

desvios padrões conhecidos x1 e x2. Se numa dada medida da série de observações

tivermos os erros Ex1 e Ex2 nas grandezas X1 e X2, a correspondente função ficará:

Y+ Ey= F(X1+Ex1, X2+Ex2)

Desenvolvendo a função F em série de Taylor e desprezando os termos de 2ª

ordem e superiores, vem:

E então, como Y= F(X1, X2)

Que elevando ao quadrado:

Considerando que as grandezas X1 e X2 foram medidas com várias repetições e

somando os valores obtidos devido a estas repetições, vem:

22

11

21 ),( x

X

F x

X

F y E E X X F E Y

22

11

x

X

F x

X

F y E E E

2

22

2121

2

11

2 .2 x

X

F x x

X

F

X

F x

X

F E E E E Ey



14

Mas sendo X1 e X2 não correlacionados, = 0, logo

Dividindo pelo número de vezes em que as grandezas forma medidas, vem:

mas

Substituindo:

Considerando Y como sendo função de m outras grandezas ou Y= F(X1, X2,......,Xm).

Que é a equação geral da lei de propagação de erros para os casos em que não há correlação

entre as grandezas medidas.

4.3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DE ERROS

1º) Uma distância de aproximadamente 490m deve ser medida com uma trena de 50m

de comprimento. Sendo que o desvio padrão de cada “trenada” é conhecido e considerado

igual a d= 5mm. Qual seria o desvio padrão da distância total D? A função que relaciona a distância total D ao segmento dado é:

D= d1+d2+d3+......+d10, logo D= f (d1,d2,d3,......,d10)

As derivadas parciais, são:

11d

D ; 12d

D ; 13d

D ;............; 110d

D

n

i

x

X

F n

i

x x

X

F

X

F n

i

x

X

F n

i

E E E E Ey1

22

2

2121

211

21

2

11

2 .2

n

i

x x E E 1

21.

n

i

x

X

F n

i

x

X

F n

i

E E Ey1

22

2

21

21

2

11

2

n

i

x

X

F n

i

x

X

F n

i n

E

n

E

n

Ey

1

22

2

21

21

2

11

2

,1

22

n

i n

Ey y ,1

2

112

n

i n

Ex x

n

i n

Ex x

1

2

222

22

2

21

2

2

1

2 x x y

X

F

X

F

m

Xm

F

X

F

X

F x x x y2

2

22

2

2

12

2

1

2 .......



15

E a equação da lei de propagação dos erros se torna:

2º) Qual o desvio padrão da área de um lote retangular que tem os seguintes lados:

L1 = 30m , L1= 50mm. L2 = 10m , L2= 30mm

A área pode ser obtida por A=L1.L2

As derivadas parciais são:

e

102

2

102

2

2

21

2

2

1

2 ....... d d d Dd

D

d

D

d

D

102

22

122

1.......11 d d d D

251.......2512512 D

22 250mm D

mm D 16

21

L L

A1

2

L L

A

22

2

21

2

2

1

2 L L A

L

A

L

A

222

1122

22

L L L L A

22222 )030,0(30)050,0(10 A

810,0250,02 A

222 )(060,1 m A

2

0296,1 m A



16

n

E n

i

i

1

2

2

CAPITULO 5

LEI DE PROPAGAÇÃO DOS ERROS (COVARIÂNCIAS)

FORMA MATRICIAL

5.1 INTRODUÇÃO

5.1.1 COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

O termo covariância, aqui simbolizado por xy, é usado para denominar uma

medida numérica da correlação entre duas observações x e y ou entre duas funções medidas.

Duas medidas (ou funções) são não correlacionadas quando são independentes

entre si. Por exemplo, numa poligonal os ângulos e distâncias obtidos por diferentes

instrumentos e métodos cujas fontes de erros são também diferentes. Um outro exemplo seria

ângulos medidos em diferentes estações de uma triangulação.

Como exemplo de medidas correlacionadas pode-se citar coordenadas e ângulos

ou distâncias, um poderá ser obtido do outro. Um outro exemplo, coordenadas x e y de

estações também de uma poligonal, porque ambas (x e y) podem ser obtidas dos mesmos

ângulos e distâncias.

Para o estudo e cálculo da covariância, será estudado anteriormente, um pouco

mais, a variância e o desvio padrão.

Suponha que uma grandeza x foi medida n vezes e que somente erros acidentais

estão influenciando as medidas x1, x2, x3,......... xn. Os valores dos erros individuais serão:

Onde x0 é o valor verdadeiro da grandeza medida.

Os erros acidentais Ei das medidas repetidas ocorrem com igual probabilidade de

serem positivos (+) e negativos (- ). Se o número de observações for suficientemente grande

(tendendo a ), a soma dos erros tenderá a zero.

A variância ( 2 ) das medidas é definida como a média dos quadrados dos erros

e o desvio padrão 2

0

022

011

.................

x x E

x x E x x E

nn



17

11

2

2

n

e

n

i

i

Geralmente, porém, o valor verdadeiro da grandeza medida não é conhecido na

prática e o número de medidas é limitado a um número finito. Para um pequeno número

(n<30) de repetições adota-se para o cálculo de variância:

Sendo e o erro aparente ou

Suponha duas grandezas correlacionadas x e y, medidas n vezes. Os valores doserros individuais serão:

1ª GRANDEZA 2ª GRANDEZA

Uma estimativa para a covariância xy de x e y pode ser calculado como sendouma média da soma do produto dos pares de erros escolhidos aleatoriamente nas duasgrandezas:

Combinação x e y para n tendendo ao infinito.

Se não houver correlação entre x e y então a probabilidade de erros serem (+) ou(-) serão iguais e randomicamente distribuídas, e o valor de xy, tenderá a zero para umnúmero n suficientemente grande (tendendo ao infinito)

A fim de avaliar quão forte é a correlação entre duas observações, o coeficientede correlação ( xy ) poderá ser examinado. Este pode ser obtido por:

Pode-se dizer que: -1 < xy < 1

Se xy = 1, então há uma perfeita relação entre x e y ou, a grandeza y é

função de x (ou vice-versa) Se xy = 0, então x e y são não correlacionados (x e y tendem a variar

juntos).

x xe ii

0

022

011

....................

x x E

x x E

x x E

n Xn

X

X

n

Ey Exn

i

ii

xy1

)(

0

022

011

....................

Y Y E

Y Y E

Y Y E

nYn

Y

Y

y x

xy

xy



18

5.1.2 MATRIZ VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA (MVC)

Suponha inicialmente as grandezas x1, x2, e x3 de variâncias x12, x2

2, e x32 e

covariâncias x1x2, x1x3 e x2x3. A matriz quadrada cujas componentes são variâncias e

covariâncias devidamente dispostas, denomina-se Matriz Variância-Covariância (MVC)

que é comumente simbolizada por x:

ou simplesmente;

e numa forma generalizada:

A matriz x é simétrica porque ij é igual a ji e também pode ser denominada

simplesmente de Matriz Covariância, pois a variância é um caso particular da covariância

para i = j.

5.1.3 REVISÃO DE ALGUNS ELEMENTOS DE ESTATÍSTICA

a) Função de distribuição (de probabilidade) acumulada

A função de distribuição (de probabilidade) acumulada de uma variável

aleatória x no ponto x é definida por:

P(x < x ) = F( x) (probabilidade de que a v. a. assuma um valor inferior ou

igual a x).

Para o caso de uma variável aleatória discreta a f.d.a. reveste a forma:

F( xi) = P (x < xi) = , para todo i tal que xi < x.

32

2313

3222

12

312112

x x x x x

x x x x x

x x x x x

X

32

23

13

3222

12

312112

X

n

X

nn

n

n

221

222

21

11212

...

............

...

....

n

i

i x p1

)(



19

b) Esperança Matemática

Define-se “valor esperado”, “valor médio”, “expectância”, “esperança

matemática” ou simplesmente esperança da variável aleatória discreta x por:

No caso de uma variável aleatória contínua, define-se a esperança

matemática como:

Se a variável discreta assumir um número finito de valores.

A média aritmética de n observações pode ser obtida por:

Se dos r valores distintos, xi ocorrer com uma freqüência n j, a fórmula

anterior assumirá a forma:

sendo a freqüência relativa.

Se n o f i p(xi) e x E(x) ou quando o tamanho da amostra tende

para o infinito a média amostral se avizinha da média da população da qual se

originou.

c) Variância

Em relação à esperança matemática é definida como sendo:

, que desenvolvendo resulta:

1

)()(i

i x p xi x E

dx x f x x E i

)()(

n

i

i x p xi x E

1

)()(

1

1

i

xin

x

r

i j

j j

r

i j

j j f x

n

xn x

n

n f

j

j

22 )()( x E x E x xVar

222 )()( x E x E x222 )( x x E x



20

d) Covari ância

Considerando duas variáveis x e y, a covariância que exprime o grau de

dependência entre as duas variáveis, em relação à esperança matemática pode

ser obtida por:

Cov(x,y) = ou após o desenvolvimento

Se não houver dependência E(xy) = E(x) . E(y) e xy = 0

5.2 MATRIZ VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA – MVC

A matriz variância-covariância já foi apresentada anteriormente, e se apresenta na

forma:

Esta matriz relaciona variáveis x1, x2, ..., xn que podem estar dispostos num vetor

Simbolizando por Ux como sendo o vetor de E(x) ou

Desenvolvendo a expressão Matricial (X – Ux) . (X – Ux)T obtem-se:

)()( y y x x E xy

)()()( y E x E xy E xy

y x xy E xy )(

nnnn

n

n

X

221

2222

21

112112

...

............

...

....

n x

x

x

2

1

nn u

u

u

x E

x E

x E

Ux2

1

2

1

)(

)(

)(

))(())(())((

.......................................................

))(())(())((

))(())(())((

2211

2222221122

1122111111

nnnnnnnn

nn

nn

u xu xu xu xu xu x

u xu xu xu xu xu x

u xu xu xu xu xu x



21

E daí conclui-se:

a) x = E{(X – Ux) . (X – Ux)T} e pode-se ver que:

b) A diagonal da matriz variância-covariância (MVC) é constituída de variâncias

e os demais elementos são covariâncias.

c) A MVC é simétrica, pois ij é igual a ji

d) A variância é um caso particular de covariância para i = j.

5.3 LEI DE PROPAGAÇÃO DE COVARIÂNCIAS

Considerando duas variáveis aleatórias y e x, onde y é uma função linear de x.

Sendo C um vetor mX1 de constantes e G umamatriz de coeficientes.

A Esperança matemática de y é:

Anteriormente foi visto que pode-se fazer:

y = E{(Y – Uy) . (Y – Uy)T} , então substituindo I e II nesta equação, vem:

que desenvolvendo, permite chegar em:

que é a Lei de propagação das covariâncias

A fórmula anterior á válida para o caso de y= F(x) ser linear. Para o caso de

função não linear, tem-se que fazer uma linearização usando desenvolvimento de Taylor

Assim, se Y = F(x) é não linear, o desenvolvimento de Taylor nos conduz a:

onde X0 contém valores aproximados

para X

)})({(

}){()})({(

221112

2111111

211

u xu x E

u x E u xu x E

111 C X GY mmnmmI

C X E GGx E Y E Ux }{}{}{II

T C xGE C GX C x E GC Gx E y )(

T G X GY

00

0 X X x

F xF xF Y

X



22

d1

d2

d3

d

b2b1

bb3

Sendo

4

3

2

1

d

d

d

d

D (Matriz das observações)

Os elementos da matriz D são resultantes da aplicação dos valores aproximados

de x nas derivadas parciais.

Para esta função, não linear, com a aplicação da linearização de Taylor, por um

desenvolvimento idêntico da aplicação da lei de propagação das covariâncias, chega-se em:

5.4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA LEI DE PROPAGAÇÃO DAS

COVARIÂNCIAS NA FORMA MATRICIAL

1º) As observações das direções di (figura) conduziu aos seguintes resultados:

ij2 =

a) Calcular a matriz variância-covariância dos ângulos bi

b) Calcular o coeficiente de correlação entre os ângulos (b1 e b2; b1 e b3; b3 e b4;

e b1 e b4)

nm

n

mmm

n

n

X

D

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

F

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

0

T D X DY

3”2 para i=j

0 para i j



23

Do enunciado já se pode observar que a MVC das direções é:

As equações envolvidas são:

A matriz G dos coeficientes será:

O sistema na forma matricial é: B = G. D

Ou

A MVC de B (ou dos ângulos) será:

Então:

"3000

0"300

00"30

000"3

D

234

143

132

121

d d b

d d b

d d b

d d b

0110

1001

01010011

G

43

2

1

01101001

0101

0011

43

2

1

d d

d

d

bb

b

b

T G DG B

2)("

6033

0633

3363

3336

0100

1010

10010111

0330

3003

03030033

0100

1010

1001

0111

"3000

0"300

00"30

000"3

0110

1001

0101

0011

B

B

B



24

00 4343 bbbb

b) Calcular o coeficiente de correlação entre os ângulos:

b1) b1 e b2

Da Matriz B pode-se tirar:

Há correlação entre b1 e b2, pois b1b2 0 (ou b1 e b2 tendem a variar juntos e

no mesmo sentido; para + ou para -)

b2) b1 e b3

e temos:

(idem)

b3) b3 e b4

mas

logo, não há correlação entre b3 e b4

b4) b1 e b4

e temos:

logo, há correlação entre b1 e b4 ou b1 e b4 tendem a variar juntos e em sentido

contrário (uma para + e outra para -) devido o coeficiente ser negativo.

21

21

21

bb

bb

bb

43

43

43

bb

bb

bb

41

41

41

bb

bbbb

3

66

66

41

42

4

12

1

bb

bb

bb

5,02

1

6

3

66

331bb

31

31

31

bb

bb

bb

3

66

66

31

32

3

12

1

bb

bb

bb

5,02

1

6

3

66

331bb

5,02

1

6

3

66

3

3

66

66

21

21

22

2

12

1

bb

bb

bb

bb



25

CAPITULO 6

O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS E OS PESOS NAS OBSERVAÇÕES

6.1 O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Como já foi comentado anteriormente, quando se realiza um número redundante

de observações, necessita-se realizar um ajustamento de observações a fim de que as

observações se tornem consistentes e a solução seja única. Entre as diferentes alternativas ou

métodos que podem fornecer a solução, o método dos mínimos quadrados é o aceito como

melhor por satisfazer diversos requisitos estatísticos ( é uma solução de variância mínima, é

uma solução de máxima verossimilhança, etc...)

O método dos mínimos quadrados (M. M. Q.) tem como princípio: a soma

dos quadrados dos resíduos deve ser mínima.

Assim, tendo-se n observações, e sendo que cada observação possua um resíduo

v , o princípio diz:

= v12 + v2

2 + …+ vn2 = sendo V um vetor que contém

os resíduos V = [v1, v2, v3,…, vn]T.

Se as n observações forem obtidas com diferentes níveis de confiabilidade

necessário se torna a introdução de uma ponderação, ou seja, um peso; e nesse caso o

M.M.Q. se apresenta como: = v1

2 p1+ v22 p2+ …+ vn

2 pn =

Admitindo-se que para um problema se possa formular um modelo matemático

11 L X Anuun sendo n o número de observações e u o número de equações. Algebricamente

o modelo seria:

Se o vetor L contiver elementos oriundos de observações (neste caso

normalmente utiliza-se o símbolo Lb), o modelo matemático seria inconsistente devido ao

fato das observações possuírem erros que são inevitáveis.

,1

2mínimoV V v T

n

i

i

.1

2mínimoPV V pv T

n

i

ii

)(....

...........................................................

...........................................................

)(....

)(....

32211

22222222121

11112121111

cl xa xa xa

bl xa xa xa

al xa xa xa

nununnnn

uu

uu



26

As correções (ou resíduos) a serem introduzidos nas observações para remover a

inconsistência devem ser obtidas a partir da aplicação do método dos mínimos quadrados.

Assim: ab LV L X A ˆ e

Aplicando o M.M.Q. : = VT.V =

Para ser mínimo a primeira derivada de tem que ser igual a zero.

Para melhor compreensão do desenvolvimento acima proposto, faz-se necessário

conhecer algumas propriedades aplicadas às matrizes.

1ª) (A + B – C)T = AT + BT – CT

2ª) (A.B.C)T = CT . BT . AT

3ª)

4ª)

Desenvolvimento

= VT.V =

Então:

Logo:

Esta última equação matricial representa o conjunto de u equações normais e u

incógnitas. A solução do sistema é única e satisfaz o princípio dos mínimos quadrados.

Qualquer método de resolução de sistemas de equações poderá ser utilizado,

porém a solução por inversão de matrizes apresenta alguma vantagem, conforme será visto

posteriormente.

Assim:

Se as observações forem feitas com desigual confiança, aplica-se o M.M.Q.considerando a matriz Peso (P), ou:

= VT.P.V = e procedendo de forma

análoga à anterior, chega-se em:

b L X AV ˆ

mínimo L X A L X A b

T

b )ˆ()ˆ(

02ˆ2ˆ b

T T L A X A A X

0ˆb

T T L A X A A

bT T

b

T T T T

b

T T

L A A A X

L A A A X A A A A

L A X A A

1

11

)(ˆ

)(ˆ)(

ˆ

mínimo L X AP L X A b

T

b )ˆ()ˆ(

AY X

AY X T

AX X

AX X T

2

mínimo L X A L X A b

T

b )ˆ()ˆ(



27

A

Considerando-se observações com igual confiabilidade, ou seja, matriz Peso

igual à matriz identidade, o modelo matemático matricial poderá ser

apresentado algebricamente da forma a seguir, onde se consideram n equações e apenas três

incógnitas:

Uma vez estabelecido um problema, pode-se montar as equações envolvidas, e

então se estas forem lineares a solução que atende o M.M.Q. poderá ser obtida simplesmente

seguindo-se o raciocínio anteriormente elucidado. Não sendo as equações lineares, antes de

aplicar o método, estas deverão ser linearizadas, conforme será estudado à frente.

Os diferentes tipos de problemas que aparecem, podem ser subdivididos em

função de suas características, ou seja, do tipo de modelo matemático definido pelas

equações envolvidas, dando origem aos chamados métodos de ajustamento e que serão

melhor estudados nos próximos capítulos.

A seguir, será feito um exemplo numérico de aplicação do M.M.Q. ainda numa

forma geral sem definir o método de ajustamento a ser utilizado.

Exemplo numérico:

Na figura acima as distâncias AB, BC, CD, AC e BD forma medidas e os valores

observados foram 100,000m; 100,000m; 100,080m; 200,040m e 200,000m; respectivamente.

Todas as medidas são não correlacionadas e têm a mesma precisão. Se as medidas forem

ajustadas de acordo com o princípio dos mínimos quadrados, qual será o resultado da

distância ajustada entre A e D?

Solução:

Com as distâncias AB, BC e CD que serão simbolizadas por x1, x2 e x3 já se teria

a distância AD desejada, porém foram realizadas cinco medidas de distâncias, logo se tem

0ˆb

T T PL A X PA A

0ˆb

T T L A X A A

0

0

0

3333223113

2332222112

1331221111

biiiiiiii

biiiiiiii

biiiiiiii

la xaa xaa xaa

la xaa xaa xaa

la xaa xaa xaa

L5 = 200,000m

L = 200,040m

L1 = 100,000m L2 = 100,000m L3 = 100,080m

A B C D



28

duas observações redundantes. Para cada observação se pode formular uma equação

envolvendo as grandezas ajustadas x1a, x2

a e x3a.

ou

ou

ou

ou

ou

Aplicando o M.M.Q. tem-se que a soma do quadrado dos resíduos deve ser

mínima então:

= v12 + v2

2 + v32 + v4

2 + v52 = mínimo

=( 000,1001a x )2 + ( 000,1002

a x )2 + ( 080,1003a x )2 + ( 040,20021

aa x x )++ ( 000,20032

aa x x )2 = mínimo

Para minimizar , suas derivadas parciais com relação a cada uma das distâncias

x1a, x2

a e x3a devem ser iguais a zero

Desenvolvendo e rearranjando, as três equações se tornam:

2x1a + x2

a = 300,040 (a)

x1a + 3x2

a + x3a = 500,040 (b)

x2a + 2x3

a = 300,080 (c)

As três equações anteriores que possuem três incógnitas, formam um sistema de

equações normais que uma vez resolvido, fornecerá resultados consistentes. Em se tratando de apenas três equações e do tipo como as anteriores, a resolução

pode ser feita, devido a facilidade, inclusive por meio de substituições de umas nas outras,

ou:

Dividindo (a) por 2 e subtraindo de (b) vem:

2,5x2a + x3

a = 350,020 e

x3a = 350,020 – 2,5 x2

a

aa

aa

a

a

a

x xvl

x xvl

xvl

xvl

xvl

3255

2144

333

222

111

000,200

040,200

080,100

000,100

000,100

325325

214214

3333

2222

1111

aaaa

aaaa

aa

aa

aa

x xl x xv

x xl x xv

xl xv

xl xv

xl xv

0000,2002080,1002

0000,2002040,2002000,1002

0040,2002000,1002

323

3

32212

2

211

1

aaa

a

aaaaa

a

aaa

a

x x x x

x x x x x x

x x x x



29

substituindo na (c ) vem:

x2a = 99,990m Logo: x3

a = 100,045m e x1a = 100,025m

então, a distância ajustada entre A e D é: AD = x1a + x2

a + x3a = 300,060m.

6.2 PESO NAS OBSERVAÇÕES

O peso de uma observação é a confiança relativa de um valor observado

comparado com algum outro valor. Em outras palavras, pesos são estimativas ou expressões

das confianças relativas das observações. Uma grande precisão é indicada por um pequeno

desvio, implicando uma boa observação e um peso grande.

A expressão geral do peso é dada por: onde 02 é um valor igual à

variância de uma observação cujo peso é considerado unitário, e i2 é a variância da

observação i.

O peso de uma observação, é portanto, inversamente proporcional ao quadrado

do desvio padrão correspondente. Assim, tendo-se L1, L2, L3,…, Ln observações, de padrões

1, 2,…, n, os pesos serão:

21

20

i p ;2

2

2

20 p .......

2

2

n

n p 0

logo: p1 12 = p2 2

2 = ..... = pn n2 = 0

2

Pode-se, portanto, atribuir a uma observação um peso qualquer e calcular os

pesos dos demais.

6.2.1. Matriz dos Pesos

Seja a matriz variância-covariância X relativa às grandezas dos elementos de X.

Atribuindo a um dos seus componentes o peso unitário e designando por 02 o valor

correspondente à variância dessa componente.

A matriz dos pesos relativos aos elementos de X, que é simétrica, poderá ser

obtida por: Px = 02

X-1

2

2

i

i p 0



30

No caso das componente de x serem independentes entre si, a matriz variância-

covariância X será diagonal, e a matriz dos pesos que também será diagonal, terá como

elementos da diagonal2

20

1

xii

ii p

6.2.2 Casos Particulares na Atribuição de Pesos

6.2.2.1 Peso no Nivelamento

Os pesos são inversamente proporcionais ao comprimento das seções a serem

niveladas. Assim, quanto maior a seção a ser nivelada menor será o peso.

6.2.2.2 Peso nas medidas angulares

Os pesos são proporcionais ao número de vezes em que os ângulos são medidos.

6.2.3 Considerações sobre a Atribuição de Pesos

Como se pode ver, a atribuição de pesos, em geral, não deve ser feita

simplesmente pelo fato do número de repetições ser diferente, mas sim considerando- se

outras causas diversas, como: que instrumento(s) foi(am) utilizado(s)? Qual(is)

operador(es)? Em que condição(es) ambiental(is)?

Assim, verifica-se que a atribuição de pesos não é tão simples como podeparecer, é um campo ainda cheio de dúvidas e tido como um dos mais complexos no

ajustamento de observações.



31

CAPITULO 7

MÉTODOS DE AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES

7.1 MÉTODO DOS PARÂMETROS

No caso de observações indiretas, deseja-se estimar grandezas que se vinculam às

grandezas observadas através de algum modelo matemático. Para distinguir estes dois tipos

de grandezas é usual denominar as primeiras, ou observações indiretas de PARÂMETROS, o

que explica a denominação de MÉTODO PARAMÉTRICO.

Assim: Parâmetros são grandezas que não podem ser obtidas diretamente, e como

exemplo tem-se coordenadas, áreas, etc...

7.1.1. Obtenção de grandezas observadas

EQUAÇÃO DE OBSERVAÇÃO: O modelo matemático para o ajustamento pelo

método dos parâmetros é o seguinte:

onde La é um vetor (nX1) dos valores observados ajustados;

Xa é um vetor (mX1) dos parâmetros ajustados.

Como se vê, os valores observados ajustados são expressos explicitamente como

uma função dos parâmetros ajustados.

Através das operações do ajustamento aplicando o método dos mínimos

quadrados, obtém-se as observações ajustadas.

onde Lb é um vetor (nX1) dos valores observados;

V é um vetor (nX1) dos resíduos (ou correções) que transformam osvalores observados brutos (Lb) em valores ajustados (La).

E os parâmetros ajustados:

onde X0 é um vetor (mX1) cujas componentes são valores aproximados dos

parâmetros;

X é um vetor (mX1) das correções que convertem os parâmetrosaproximados (X0) em parâmetros ajustados (Xa).

)( aa X F L

V L L ba

X X X a 0



32

Das equações La = Lb + V e La = F(Xa) pode-se fazer: Lb + V = F(Xa).

Linearizando F(Xa) pela fórmula de Taylor, vem:

Lb + V = F(Xa) = F(X0 + X) = F(X0) +

0 X Xaa

X

F

Fazendo F(X0) = L0 , ou seja, chamando de L0 o vetor (nX1) resultante da

aplicação nas funções F dos valores aproximados dos parâmetros X0.

Chamando de A a matriz (nxm) (sendo n o número de observações e m o número

de parâmetros), resultante da aplicação dos valores aproximados dos parâmetros X0 nas

derivadas parciais, ou

Pode-se escrever: Lb + V = L0 + AX V = AX + L0 - Lb

Fazendo L = Lo – Lb obtém-se o modelo matemático linearizado do método dos

parâmetros:

Esta última equação sintetiza, na realidade, sob a forma matricial, n equações de

observações, ou:

Os elementos da matriz dos coeficientes A, de n linhas e m colunas, são

representados por:

para i = 1,2,3...., n e j = 1,2,3...., m

Algebricamente, a primeira linha do sistema de equações representado

matricialmente atrás, poderá se escrever:

112121111 .... l xa xa xavmm e o mesmo ocorrerá com as outras linhas.

0 X Xaa

mn X

F A

V = AX + L

nm

Xoam

n

a

n

a

n

amaa

amaa

n l

l

l

x

x

x

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

v

v

v

2

1

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

aj

iij

xF a



33

A solução pelo método dos mínimos quadrados é obtida fazendo-se

VTPV = min,, onde P é a matriz dos pesos das observações.

Então: = VTPV = (AX + L )T. P. (AX + L) = min.

= (XTAT +LT ).P.(AX + L)

= XTATPAX + XTATPL + LTPAX + LTPL

= XTATPAX + 2XTATPL + LTPL = min

igualando a zero a primeira derivada em relação a X tem-se:

022 PL APAX A X

T T

ou é comum fazer: N = ATPA e U =ATPL

e então

Tem-se assim um novo sistema de equações, que é denominado SISTEMA DE

EQUAÇÕES NORMAIS e cuja solução atende o princípio do método dos mínimos

quadrados.

A matriz N é quadrada (m x m) e simétrica.

Para obtenção do vetor das correções X, pode-se resolver o sistema por qualquer

método de resolução disponível, porém fazendo a resolução utilizando-se a inversão da

matriz N, alguma vantagem se terá, conforme será elucidado posteriormente, então se:NX + U = 0 NX = -U e X = -N-1U ou

e assim com os valores dos elementos do vetor X, pode-se converter os parâmetros

aproximados em ajustados por: Xa = X0 + X

De posse dos parâmetros ajustados poder-se-á também obter as observações

ajustadas utilizando-se La = F(Xa) ou calculando-se os resíduos V e aplicando em La=Lb + V

ATPAX +ATPL = 0

=

X = -(ATPA)-1ATPL



34

7.2. OBTENÇÃO DA PRECISÃO DAS GRANDEZAS OBSERVADAS OU MATRIZ

VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA NO AJUSTAMENTO PELO MÉTODO PARAMÉTRICO.

Antes do ajustamento necessita-se estimar a precisão das medidas para compor a

MVC dos valores observados ( Lb) e, a partir do peso a priori 0

2

, chegar à matriz dospesos:

Após o ajustamento pode-se obter a MVC das variáveis aleatórias envolvidas no

processo: X, Xa , La

7.2.1. MVC DAS CORREÇÕES ( x)

Para isto faz-se o seguinte:

X = -N-1ATPL = -N-1ATP(L0 – Lb)

X = -N-1ATPL0 + N-1ATPLb

Aplicando a lei de propagação de covariância:

x = G. Lb.GT com G = N-1AP e fazendo o desenvolvimento chega-se em:

7.2.2. MVC DOS PARÂMETROS( x

a)

Na equação Xa = X0 + X o vetor X0 é constante, então

7.2.3. MVC DOS VALORES OBSERVADOS AJUSTADOS ( La):

La = Lb + V = Lb +AX + L = Lb + AX + L0 – Lb

La = AX + L0

Aplicando a Lei de Propagação: La = A. X. AT

La = 02 .A.N-1AT

P = 02 . Lb

-1

x = 02 .N-1

xa = x = 02 .N-1



35

7.2.4. VARIÂNCIA DA OBSERVAÇÃO DE PESO UNITÁRIO:

7.2.4.1. Escolha de 02 a priori

Para iniciar o ajustamento necessita-se conhecer a matriz dos pesos das

observações:

A variância da unidade de peso 02 é dita a priori e costuma ser adotada pelo

calculista.

7.2.4.2. Variância a posteriori 20ˆ

Após o ajustamento pode-se estimar um valor 20ˆ em função dos resíduos. A

esse 20ˆ denomina-se variância da unidade de peso a posteriori .

O valor estimado de 20ˆ pode ser obtido pela fórmula:

sendo n nº de observações m nº de parâmetros

O 20 a priori deve ser comparado ao 2

0ˆ a posteriori e até deve ser realizado o

teste de hipótese aplicando x

2

(qui-quadrado). No caso de 2

0ˆ e 20 serem significativamente diferente, deve-se proceder uma

análise cuidadosa do ajustamento. Pode haver erro na MVC dos valores observados, ou

podem os resíduos estar excessivamente grandes em decorrência de uma falta grosseira ou de

erros sistemáticos; pode o modelo matemático não ser consistente com as observações, etc.

P = 02 Lb

-1

mn

PV V T 2

0



36

7.3 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS PARÂMETROS

São conhecidas as coordenadas dos vértices P1, P2, P3 e P4 e foram observadas

as distâncias dos mesmos a uma estação desconhecida P, bem como o ângulo :

Caderneta de campo com ângulo e distâncias observadas com o respectivo desvio

padrão:

Lb distância (m)

Lb1

Lb2

Lb3

Lb4

Lb5

244,512

321,570

773,154

279,992

0,012

0,016

0,038

0,014

2,0’’

ângulo

123º38’01,4’’

SOLUÇÃO:

a) Estabelecimento de Equações (ou modelo matemático)

Como parâmetros têm-se as coordenadas ajustadas da estação P, logo

- O vetor dos parâmetros ajustados é:

- O vetor das observações ajustadas é:

a

a

a

a

a

a

l

l

l

ll

L

5

4

3

2

1

E como equação para cada observação tem-se:

x(m) y(m)P1 842,281 925,523 P2 1.337,544 996,249 P3 1.831,727 723,962 P4 840,408 658,345

P

P2

P1

P3

l1l2

l3l

P

Calcular as coordenadasajustadas da estação P

a

a

y

x Xa



37

b) Modelo linearizado

As equações devem ser linearizadas aplicando TAYLOR e então chega-se em

equações na forma: AX + L = V

b1) – Cálculo de L L =L0 – Lb = F(X0) - Lb

Para obtermos L0 = F(X0) precisa-se obter valores aproximados para os

parâmetros ou seja coordenadas do ponto P.

Consideremos os seguintes valores: X0 = 0

0

2,825

2,1065

y

x

l20

= 321,60382

l30

=773,18353

l40

=279,95006

l50 =

2,825523,925

2,1065281,8422,825249,996

2,1065544,1337 11 tgtg

l50

= 123º38’19,87’’

Então: L = L0 – Lb =

b2) Cálculo da Matriz 5A2

´

a

a

a

aba

aiaii

b

i

a

i

y y

x xtg

y y

x xtgvll

i y y x xvll

1

11

2

21555

2

122 4e3,2,1para))()((

m y y x xl ii 65,453.244))()(( 2

12

02

00

1

''47,18

04194,0

02953,0

03382,0

05835,0

"4,01'38º123

992,279

154,773

570,321

512,244

''87,19'38º123

95006,279

18353,773

60382,321

45365,244

Xo

aa

aa

aa

Xoa

ya

l

xa

l

ya

l

xa

l

ya

l

xa

l

X

F A

55

22

11



38

2

1

12

2

25

2

1

12

2

25

1

1

4e1,2,3 ipara

aa

a

aa

a

a

a

a

a

l

xa x

l

xa x

ya

l

l

ya y

l

ya y

xa

l

li

ya yi

ya

l

li

xa xi

xa

lsendo:

Aplicando “no ponto” xa = xo e ya = yo

573787,312.1163394,5

596017,0802972,0

130937,0991391,0531862,0846831,0

410397,0911907,0

A :então e

''573787,131200636354,0

'5,163394' 0000250.045365,244

2,1065281,842

603816,321

2,1065544,1337

596017,0 802972,0

130937,0 991391,0

531862,0 846831,0

410397,045365,244

2,825523,925

911907,045365,244

2,1065281,842

25

5

225

44

33

22

1

11

1

11

rd ya

l

rd xa

l

ya

l

xa

l

ya

l

xa

l

ya

l

xa

l

l

y y

ya

l

l

x x

xa

l

Yo

a

Xo

a

Yo

a

Xo

a

Yo

a

Xo

a

Yo

a

Xo

a

a

o

Yo

a

a

o

Xo

a



39

c) Matriz dos Pesos

Como já se viu anteriormente:

Considerando as observações independentes entre si, a MVC se reduz a uma

matriz diagonal, cuja inversa pode ser obtida tomando na diagonal principal o inverso davariância de cada observação e fazendo ainda o

2 = 1:

d) Equações Normais

Como foi visto anteriormente: NX + U = ATPAX+ATPL = 0

X = -N-1.U

Fazendo as devidas multiplicações, chega-se em:

014281,0

055400,0.-X então e

984978,031.6

618710,649

00000230,000000059,0

00000059,000007981,0

:se-teminversa aoEncontrand

54110,811.43404304,208.3

04304,208.301960,553.12

1

1

U N

PL A

PA A

PA A N

T

T

T

e) Parâmetros Ajustados

a

aa

y

x X X X

1867,825

2554,1065

01281,02,825

055400,02,10650

120 b

LP

2

2

2

2

2

20000

0014,0000

00038,000

000016,00

0000012,0

P



40

CAPITULO 8

8.1 MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO OU DOS CORRELATOS

O método das equações de condição (ou dos correlatos) não envolve parâmetros,o modelo matemático é função dos valores observados ajustados. Como exemplo clássico de

aplicação deste método tem-se quando são medidos os três ângulos de um triângulo, e estes

deverão satisfazer a uma equação matemática conhecida, ou seja, os valores observados,

depois de ajustados, deverão satisfazer ao modelo matemático:

Triângulo plano Triângulo esférico

(A)a + (B)a + (C)a – 180º = 0 (A)a + (B)a + (C)a – (180º+ ) = 0

Em se tratando de valores simplesmente observados, é sabido que:

(A) + (B) + (C) – 180º 0 (T. plano)

(A) + (B) + (C) – (180º+ ) 0 (T. esférico)

Por este exemplo já dá para se ver que as observações deverão ser tratadas ou

ajustadas, a fim de satisfazer a condição matemática.

O modelo matemático que caracteriza observações condicionadas, na forma

matricial é:

onde F simboliza r funções e o vetor La tem dimensão n x 1.

Assim tendo-se como resultado n observações ajustadas, que podem ser obtidas

por:

então:

aplicando a aproximação linear da série de Taylor em forma matricial, vem:

F(La) = F(Lb + V) = F(Lb) + 0V L

F

b La

A

B

C

A

B

C

F(La) = 0

La = Lb + V F(Lb + V) = 0



41

V W

A função F(Lb) dos valores observados, tem o significado de um erro de

fechamento e será simbolizado por W.

Chamando de B a matriz r x n (sendo r o número de equações e n o número de observações)resultante da aplicação dos valores observados Lb nas derivadas parciais, ou:

E aí se pode escrever que é modelo linearizado do método dos correlatos,

representativo de r equações de condição transformadas, ligando n incógnitas vi.

Esta última equação sintetiza, na realidade, sob a forma matricial, n equações de

observações, ou:

Para que as incógnitas se subordinem no M.M.Q e ao mesmo tempo satisfaçam

às equações de condição, utiliza-se a técnica lagrangiana em forma matricial definindo a

função :

sendo K o vetor (r x 1) dos “multiplicadores de Lagrange” (ou “correlatos”)

Igualando a zero as derivadas parciais em relação a V e a K tem-se:

W = F(Lb)

B= La L

F

0

0

0

2

1

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

nn

Lban

r

a

r

a

r

anaa

anaa

w

w

w

v

v

v

L

F

L

F

L

F

L

F

L

F

L

F

L

F

L

F

L

F

= VTPV - 2KT(BV + W) = mínimo

0 0)(2

0 022

W BV W BV K

K BPV K BPV V

T T



42

A primeira das equações matriciais anteriores:

I) nPn . nV1 - nBT

r . rK1 representa n equações algébricas

A segunda representa r equações algébricas lineares.

II)

Resolvendo ( I ) em relação a V ou V = P-1BTK e introduzindo este vetor na ( II)

B.P-1 BTK + W = 0, obtém-se a equação matricial representativa do sistema de r equações

normais que proporciona os r multiplicadores de Lagrange (correlatos):

Ou K = -M -1

.W com M = BP-1 B

T

Uma vez obtido o vetor dos correlatos K, chega-se no vetor dos resíduos com

Com os resíduos conhecidos, pode-se então chegar nas observações ajustadas:

8.2 M.V.C. dos Valores observados ( La)

Sem apresentar as deduções, por serem um pouco extensas, mas ciente de que é

resultado de aplicação da lei de propagação de covariâncias às equações envolvidas, a

M.V.C. das observações ajustadas poderá ser obtida utilizando-se:

111120 ... P B M BPP L T

a lembrando que M = BP-1 B

T

Pode-se reescrever a equação anterior da seguinte forma:

1112

0.. P B M B I P L T

a

Sendo I uma matriz identidade, mas pode-se ver que Lb = 120 P , logo:

11 .. P B M B I L L T

ba

Assim vê-se que a segunda parte desta última equação representa uma melhoria

às precisões, introduzida com o ajustamento.

rBn . nV1 + rW1 = 0

W BP BK T .).( 11

V = P-1 BT K

La = Lb + V



43

VARIÂNCIA DA OBSERVAÇÃO DE PESO UNITÁRIO A POSTERIORI (2

0ˆ )

O valor estimado de 20ˆ pode ser calculado com a fórmula:

sendo r o número de equações de condição.

Pode-se demonstrar que VTPV = -KTW

r

PV V T 2

0



44

8.3. DESENVOLVIMENTO ITERATIVO DO MÉTODO CONDICIONADO

O método condicionado é uma função apenas dos valores observados ajustados,

sendo que o modelo matemático para a i-ésima interação é: (*)

Com o desenvolvimento interativo, o vetor Lb, dos valores observados, deverá sermelhor após cada interação. Então:

A equação (*) linearizada por Taylor é:

F(Lai) = F(Lai-1 + V i) = F(Lai-1) + 0)(1

1

i

ii

aia

Laa

L L L

F

Onde: i

Laa

B L

F

ii

1

e F(Lai-1) = W i

E então Bi .Vi + Wi = 0

Após aplicar o M.M.Q, vem: W BP BK T .).( 11 e V = P-1 B

T K

e os valores ajustados são: iaaV L L

ii 1

Observações:

a) A matriz Bi deve ser recalculada para cada interação, tomando o valor da derivada

parcial no ponto observado ajustado melhorado ( Lai-1).

b) O vetor do erro de fechamento W i, também deve ser recalculado para cada interação

tomando o valor de Lai-1.

c) Quando Lai = Lai-1 ocorrerá a convergência, e então V i = 0 e conseqüentemente

F(Lai) = 0.

d) A MVC dos valores observados ajustados será:

F Lai = 0

e11 iaaab V L L L L

iii

111120 ... P B M BPP L iiT

ia



45

8.4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS

CORRELATOS OU DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO

Ajustamento de uma rede de nivelamento geométrico pelo método das equações de condição.

Obs: As setas do esquema indicam o sentido em que o terreno se eleva

SOLUÇÃO

1) O número de observações são nove (n= 9 ) (desníveis medidos) e o número de pontoscujas altitudes não são conhecidas (incógnitas) são cinco (u = 5), então o número deequações de condição r = n – u = 4. Assim, devem ser formuladas 4 equações de condiçãoindependentes entre si.

Assim, devem ser formuladas 4 equações de condição independentes entre si.

Dentre as várias possibilidades sejam por exemplo:

0

0

0)(

0)(

6743

532

879

8621

aaaa

aaa

A B

aaa

c B

aaaa

llll

lll

hhlll

hhllll

As equações de condição transformadas se escrevem: lb1+v1 + lb2+v2 + lb6 +v6 + lb8+v8 – (h B - hC ) = 0

v1+v2+v6 +v8+ [lb1+lb2+lb6 +lb8 - (h B - hC )] = 0

logo, v1+v2+v6 +v8+w1 = 0

Esquema da rede

Altitudes conhecidashA = 33,831m hB = 19,316m hC = 2,791m

A

B

C

l8

l9

l7

l6

l3

l4

l5

l1

l2

Desníveis Observados Linha h = Lb comprimento

l1 10,038 m 1,14 km l2 8,297 2,84 l3 1,949 3,21 l4 -5,217 6,03 l5 10,244 6,75 l6 1,562 0,84

l7 4,837 2,94 l8 -3,370 2,01 l9 -15,979 5,28



46

Por um desenvolvimento análogo chega-se nas outras equações. E as equaçõessão:

v1+v2+v6+v8+w1 = 0 v9+v7+v8 +w2 = 0 BV + W = 0 v2+v3-v5 +w3 = 0 v3+v4+v7-v6+w1 = 0

O modelo sendo linear os coeficientes dos resíduos já representam as derivadasparciais, resultando:

001101100

000010110

111000000

010100011

94 B

O vetor dos erros de fechamento:

.)(

7

2

3

2)(

)(

)(

6743

532

879

8621

mm

llll

lll

hhlll

hhllll

LF W

bbbb

bbb

C Bbbb

C Bbbbb

b

2) Equações Normais

MK + W = 0 K = - M-1W, sendo M = BP-1BT

Já são conhecidas as matrizes W e B; para escrever a Matriz dos pesos, admite-se:

a) que as observações são independentes (a matriz será diagonal);

b) que os pesos são inversamente proporcionais aos comprimentos das linhas;

c) admitir a variância da unidade de peso a priori 02 = 1



47

3) Cálculo do vetor dos resíduos

V = P-1 BT K

57,0

07,0

06,0

37,0

094,0031,0034,0035,0 031,0097,0019,0050,0

034,0019,0117,0046,0

035,0050,0046,0185,0

02,1321,394,284,0

21,380,12084,2

94,2023,1001,2

84,084,201,283,6

0094,284,0003,621,300

000075,6021,384,20

28,501,294,2000000

001,2084,000084,214,1

280,500000000

001,20000000

0094,2000000

00084,000000

000075,60000

0000003,6000

00000021,300

000000084,20

0000000014,1

1

1

1

1

W M K

M

B BP M

BP

p

T



48

4) Desníveis ajustados

5) Variância da unidade de peso a posteriori

6) Verificações

As equações de condição, tanto naturais como transformadas, prestam-se as

verificações, as primeiras mediante os desníveis ajustados e as segundas mediante os

resíduos. Por exemplo:

16,5251 = 16,525

O mesmo poderia ser feito com as outras equações.

(mm.)

3,0

9,0

8,1

2,0

5,0

4,3

6,1

8,0

4,0

PV

0028,50

0001,201,2

94,2094,20

84,00084,0

075,600

03,6000

21,321,300

084,2084,2

00014,1

1-1 K B BP T T

9793,15

3709,3

8352,4

5622,1

2435,10

2204,5

9474,12962,8

0376,10

V L Lba

r

PV V T 2

0

77,4

7

2

3

2

57,007,006,037,0KTW VTPV

525,163709,35622,12962,80376,108621 c Baaaa hhllll



7) Altitudes

As altitudes das estações novas são obtidas das altitudes fixas somando-se os

respectivos desníveis ajustados, independentemente do “caminho percorrido”; assim:

hr = hc +l1a = 2,791 + 10,038 = 12,829 ou

hr = hb – l8a –l6a –l2a = 12,829 etc.

8) MVC das observações ajustadas: La = Lb [I – BT M-1B P-1]

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APOSTILA DE AJUSTAMENTO