Apostila de Análise de Séries Temporais

Apostila de Anlise de Sries Temporais

Autor: Prof. Manoel Ivanildo Silvestre BezerraDMEC/ FCT / UNESPCurso de Estatstica

Disciplina Semestral - 2006

Sumrio

1 Introduo 41.1 Exemplos de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Estacionariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Conceitos Bsicos 72.1 Processo Estocstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Especificao de um Processo Estocstico . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Mdias e Covarincias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Propriedades da Esperana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Propriedades da Varincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3 Propriedades da Covarincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.4 Propriedades da Correlao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.5 Outras Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Exemplo 1: O passeio aleatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Exemplo 2: (Mdia-Mvel de ordem 1) . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Estacionariedade para um Processo Estocstico . . . . . . . . . . . . 122.5.1 Rudo Branco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 A Funo de Autocorrelao Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Modelos de Decomposio 173.1 Modelo com Mdia constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Mtodo de Regresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Tendncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Tendncia Ciclca ou Sazonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.3 Tendncia Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Sazonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.1 Sazonalidade determinstica - mtodo de regresso . . . . . . 21

3.4 Anlise Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Modelos de Suavizao Exponencial 234.1 Modelos para sries localmente constantes . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1 Mdias Mveis Simples (MMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Suavizao Exponencial Simples (SES) . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Modelos para sries que apresentam Tendncia . . . . . . . . . . . . 254.2.1 Suavizao Exponencial Biparamtrica de Holt (SEH) . . . . 25

4.3 Modelos para sries sazonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3.1 Suavizao Exponencial Sazonal de Holt-Winters (HW) . . . 25

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5 Modelos de Box-Jenkins para Sries Estacionrias 275.1 Processo Linear Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Modelo Mdias-Mveis (MA(q)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2.1 O modelo MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2.2 O Modelo MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3 Modelo Autoregressivo AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3.1 O Modelo AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3.2 O Modelo AR(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3.3 O Processo Autoregressivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.4 O Modelo Autoregressivo-Mdias Mveis ARMA(p,q) . . . . . . . . 345.4.1 O modelo ARMA(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.5 Invertibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Modelos para Sries Temporais No-Estacionrias 396.1 O Modelo Autoregressivo-Integrado-Mdias-Mveis ARIMA(p,d,q) . 39

6.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.1.2 Algumas Transformaes para tornar a srie Estacionria . . 40

6.2 Formas do Modelo ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2.1 Forma da Equao Diferenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2.2 Forma de Choques Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2.3 Termo constante no Modelo ARIMA . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3 Construo dos Modelos ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3.1 Funo de Autocorrelao Parcial (facp) . . . . . . . . . . . . 436.3.2 A Funo de Autocorrelao Parcial Amostral (fapa) . . . . . 44

6.4 Idendificao (ou Especificao) dos Modelos ARIMA . . . . . . . . 446.4.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.5 Intervalo de Confiana para a FAC Amostral . . . . . . . . . . . . . 456.6 Exerccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Estimao dos Parmetros 477.1 Estimativas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1.1 Processos AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.1.2 Processos MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.1.3 Processos ARMA(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2 O Mtodo dos Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.2.1 Modelo Autoregressivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.2.2 Modelos Mdias-Mveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2.3 Modelos ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.2.4 Estimativas da Varincia do Rudo . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.3 Estimativas de Mnimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3.1 Modelos Autoregressivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.3.2 Modelos Mdias Mveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3.3 Modelos Autoregressivos-Mdias-Mveis . . . . . . . . . . . . 53

7.4 Estimativas de Mxima Verossimilhana . . . . . . . . . . . . . . . . 537.5 Mnimos Quadrados No-Condicional para o Modelo ARMA . . . . 557.6 Propriedades das Estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8 Diagnstico do Modelo 588.1 Anlise Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.2 Autocorrelao dos Resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.3 O Teste de Box-Pierce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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9 Previso com Modelos ARIMA 619.1 Clculo da Previso de Erro Quadrtico Mdio Mnimo . . . . . . . 619.2 Tendncia Determinstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.3 Previso ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.3.1 Modelo AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.3.2 Erro de Previso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.3.3 Modelo MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.3.4 Erro de Previso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.3.5 O Caminho Aleatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.3.6 Erro de Previso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.4 Modelo ARMA Estacionrio - Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . 669.4.1 Modelo ARMA(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.5 Modelos No-Estacionrios ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.5.1 Modelo ARIMA(1,1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.5.2 Erro de Previso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.6 Atualizao das Previses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.7 Intervalo de Confiana para Previso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.8 Transformaes e Previses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.9 Resumo de Previses para alguns Modelos ARIMA . . . . . . . . . . 69

9.9.1 AR(1): Zt = (Zt1 ) + at . . . . . . . . . . . . . . . 699.9.2 MA(1): Zt = + at at1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.9.3 IMA(1,1) com termo constante: Zt = Zt1 + 0 + at at1 709.9.4 IMA(2,2): Zt = 2Zt1 Zt2 + 0 + at 1at1 2at2 . . 70

9.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10 Modelos Sazonais 7210.1 Sazonalidade Determinstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.2 Identificao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.3 Estimao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.4 Previso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.5 Sazonalidade Estocstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.6 Identificao, Estimao e Verificao . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.7 Exemplos de Modelos Sazonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.7.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.7.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.7.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.7.4 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.7.5 Exemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.7.6 Exemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.7.7 Exemplo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.7.8 Exemplo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A Esperana Condicional 79

B Predio de Erro Quadrtico Mdio Mnimo 80

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Captulo 1

Introduo

Uma srie temporal qualquer conjunto de observaes ordenadas no tempo. Algunsexemplos so citados abaixo:a) Estimativas trimestrais do Produto Interno Bruto (PIB);b) Valores dirios da temperatura em Presidente Prudente;c) ndices dirios da bolsa de valores de So Paulo;d) Quantidade anual de chuva na cidade do Recife;e) Um registro de mars no porto de Santos.Nos exemplos de a) a d) temos sries temporais discretas, enquanto que e)

um exemplo de srie contnua. Podemos obter uma srie temporal discreta a partirda amostragem de uma srie temporal contnua considerando intervalos de temposiguais, t. Assim para analisar a srie e) ser necessrio amostr-la, convertendo-ae observando-a no intervalo de tempo [0, T ], supondo uma srie discreta com Npontos, onde N = Tt (T horas).Existem dois enfoques utilizados na anlise de sries temporais. Em ambos, o

objetivo construir modelos para estas sries. No primeiro enfoque, a anlise feita no domnio temporal e os modelos propostos so modelos paramtricos (comum nmero finito de parmetros). No segundo, a anlise conduzida no domniode frequncias e os modelos propostos so modelos no-paramtricos.Dentre os modelos paramtricos temos, por exemplo, os modelos ARIMA, que

sero estudados neste curso nos prximos captulos.No domnio de frequncias temos a anlise espectral, que tem inmeras apli-

caes em cincias fsicas e engenharia, principalmente na engenharia eltrica, eque consiste em decompor a srie dada em componentes de frequncias e onde aexistncia do espectro a caracterstica fundamental. Este tipo de anlise no serestudado nestas notas de aulas, para detalhes o aluno deve consultar Jenkins eWatts (1968), Koopmans (1974), Morettin (1979), Marple (1987) e Kay (1988).

1.1 Exemplos de sriesExemplo1: Vamos supor que desejamos medir a temperatura do ar, de um local,durante 24 horas, poderamos obter um grfico semelhante a figura abaixo:

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[email protected] CAPTULO 1. INTRODUO

Figura 1.1: Temperatura do ar, de dado local, durante 24 horas.

Cada curva do grfico chamada de trajetria ou srie temporal ou funoamostral. No grfico acima Z(j)(t) o valor da temperatura no instante t, paraa j esima trajetria (j-simo dia de observao). Para cada t fixo, teremos osvalores de uma varivel aleatria Z(t) que ter certa distribuio de probabilidade.Na realidade o que chamamos de srie temporal, uma parte de uma trajetria,dentre muitas que poderiam ter sido observadas. O parmetro t pode ser funo dealgum outro parmetro fsico como por exemplo: espao e volume.Exemplo 2:Seja

Z(t) = [Z1(t), Z2(t), Z3(t)]0 (1.1)

um vetor (r 1) e (p 1) onde as trs componentes denotam, a altura, a temper-atura e a presso de um ponto no oceano, respectivamente, e t=(tempo, latitude,longitude), ou seja, uma srie multivariada (r=3) e multidimensional (p=3).Exemplo 3: Seja Z(t) o nmero de acidentes ocorridos em rodovias do estado

de So Paulo, por ms. Neste exemplo r=1 e p=2, com t=(ms, rodovia).

1.2 ObjetivosDada uma srie temporal {Z(t1), ..., Z(tN )} , observada nos instantes t1, ..., tN ,podemos estar interessados em:i) Investigar o mecanismo gerador da srie temporal;ii) Fazer previses de valores futuros da srie; podendo ser a curto ou longo

prazo;iii) Descrever apenas o comportamento da srie atravs de grficos;iv) Procurar periodicidades relevantes nos dados.Em todos estes casos podemos construir modelos probabilsticos ou estocsticos,

tanto no domnio do tempo como no domnio da freqncia, por exemplo: um sinalaleatrio com freqncia medida em Hz. Devemos construir modelos simples e commenor nmero de parmetros possveis.

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[email protected] CAPTULO 1. INTRODUO

1.3 EstacionariedadeUma srie temporal estacionria quando ela se desenvolve aleatoriamente, notempo, em torno de uma mdia constante, refletindo alguma forma de equilbrioestvel. Entretanto, a maior parte das sries que encontramos na prtica apresentaalguma forma de no estacionariedade. As sries econmicas apresentam em geraltendncias lineares positivas ou negativas. Podemos ter, tambm, uma forma deno-estacionariedade explosiva, como o crescimento de uma colnia de bactrias.A classe dos modelos ARIMA (autoregressivos-integrados-mdias-mveis), sero

capaz de descrever de maneira satisfatria sries estacionrias e no-estacionrias,mas que no apresentam comportamento explosivo. Este tipo de estacionariedade chamado homogneo; a srie pode ser estacionria, flutuando ao redor de um nvel,por um certo tempo, depois mudar de nvel e flutuar ao redor de um novo nvel eassim por diante, ou ento mudar de inclinao, ou ambas as coisas. A figura 1.2ilustra esta forma de no-estacionariedade.

Figura 1.2: Srie no estacionria quanto ao nvel e inclinao.

Como a maioria dos procedimentos de anlise estatstica de sries temporaissupem que estas sejam estacionrias, devemos transformar os dados originais, seestes no formam uma srie estacionria. A transformao mais comum consisteem tomar diferenas sucessivas da srie original, at se obter uma srie estacionria.A primeira diferena de Zt definida por

Zt = Zt Zt1, (1.2)

a segunda diferena :

2Zt = [Zt] = [Zt Zt1] (1.3)2Zt = Zt Zt12Zt = Zt 2Zt1 + Zt2

De modo geral, a n esima diferena de Zt nZt = n1Zt

. Em situaes

normais, ser suficiente tomar uma ou duas diferenas para que a srie se torneestacionria.

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Captulo 2

Conceitos Bsicos

Neste captulo vamos descrever os conceitos bsicos utilizados dentro da teoria dosmodelos de sries temporais. Inicialmente vamos introduzir os conceitos de proces-sos estocsticos, mdia e funo de covarincia, processo estacionrio, e funo deautocorrelao.

2.1 Processo EstocsticoSeja T um conjunto arbritrio. Um processo estocstico uma famlia Z = {Zt, t T}tal que, para cada t T, Zt uma varivel aleatria (v.a.) definida num espao deprobabilidades (,A, P ) .O conjunto T normalmente tomado como o conjunto dos inteirosZ = {0,1,2, ...}

ou o conjunto dos reais R. Como, para t T, Zt uma v.a. definida sobre , narealidade Zt uma funo de dois argumentos, Z(t,), t T, .

Figura 2.1: Um processo estocstico interpretado como uma famlia de variveisaleatrias.

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[email protected] CAPTULO 2. CONCEITOS BSICOS

Figura 2.2: Um processo estocstico interpretado como uma famlia de trajetrias.

O conjunto dos valores {Zt, t T} chamado espao dos estados, E, do processoestocstico, e os valores de Zt so chamados estados. Onde Zt e T podem serdiscretos ou contnuos.

2.2 Especificao de um Processo EstocsticoSejam t1, t2, ..., tn elementos quaisquer de T e consideremos

F (Z1, ..., Zn; t1, ..., tn) = P {Z(t1) 5 z1, ..., Z (tn) 5 zn} (2.1)ento, o processo estocstico Z = {Z(t), t T} estar especificado se as distribuiesfinito-dimensionais de (2.1), so conhecidas para todo n = 1.Contudo, em termos prticos, no conhecemos todas essas distribuies finito-

dimensionais. Estudaremos ento certas caractersticas associadas a (2.1) e quesejam simples de calcular e interpretar.Uma maneira de especificar o processo Z seria determinar todos os produtos dos

momentos, ou seja,

(r1, ..., rn; t1, ..., tn) = EZr1(t1)...Z

rn(tn)

(2.2)

(r, t) =

Z

...

Z

Zr11 ...Zr1n f(z1, ..., zn; t1, ..., tn)dz1...dzn

onde f(Z, t) a funo de densidade e probabilidade de F (Z, t). Porm o que vainos interessar so os momentos de baixa ordem, ou seja, os chamados processos esta-cionrios de 2a ordem. Consideramos somente os momentos de primeira e segundaordem, que sero apresentados a seguir.

2.3 Mdias e CovarinciasPara um processo estocstico {Zt : t = 0,1,2, ...} a funo mdia (f.m.) defini-da por

= E (Zt) , para t = 0,1,2, ... (2.3)e a funo de autocovarincia (facv) como

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t,s = Cov(Zt, Zs) = E [(Zt t) (Zs s)] para t, s = 0,1,2, ... (2.4)

onde E [(Zt t) (Zs s)] = E (ZtZs) ts.A funo de autocorrelao (fac) dada por

t,s = Corr(Zt, Zs) =t,st,t.s,s

(2.5)

onde t,s = Cov(Zt, Zs), t,t = V ar(Zt) e s,s = var(Zs).

2.3.1 Propriedades da Esperana

E1. Se h (x) uma funo tal queR |h (x)| f (x) dx


2.3.4 Propriedades da Correlao

CR1. 1 5 Corr 5 1.CR2. Corr (a+ bX, c+ dY ) = sin al (bd)Corr(X,Y ) onde

sin al (bd) =

1 se bd > 00 se bd = 01 se bd < 0

CR3. Corr(X,Y ) = CovXXX

, YYY

.

CR4. Corr(X,Y ) = 1 se e somente se existem constantes a e b tal queP (Y = a+ bX) = 1.

2.3.5 Outras Propriedades Importantes

i) t,t = V ar(Zt), t,t = 1ii) t,s = s,t0 , t,s = s,tiii)

t,s

5 t,ts,s,

t,s5 1, ou 1 5 t,s 5 1.

Na correlao podemos verificar que valores prximos de 1 indicam forte de-pendncia (linear) e valores prximos de 0 indicam fraca dependncia (linear). Set,s = 0, Zt e Zs so no-correlacionadas. Agora se Zt e Zs so independentes,ento t,s = 0.Para analisar as propriedades da covarincia de vrios modelos de sries tempo-

rais, o seguinte resultado ser utilizado: se c1, c2, ..., cm e d1, d2, ..., dn so constantese t1, t2, ..., tm e s1, s2, ..., sn so pontos no tempo, ento

Cov

mXi=1

ciZ(ti),nXj=1

djZ(sj)

=

mXi=1

nXj=1

cidjCov [Z(ti), Z(sj)] (2.6)

podemos dizer que, a covarincia entre duas combinaes lineares a soma detodas as covarincias entre termos de suas combinaes lineares. Esta expressopode ser verificada utilizando as propriedades de esperana e covarincia. Comocaso especial, podemos obter o seguinte resultado

V ar

"nXi=1

ciZ(ti)

#=

nXi=1

c2iV ar [Z(ti)] + 2nXi=2

i1Xj=1

cicjCov [Z(ti), Z(tj)] (2.7)

2.4 Exemplos

2.4.1 Exemplo 1: O passeio aleatrio

Seja a1, a2, ... variveis aleatrias independentes, identicamentes distribudas, cadauma com mdia 0 e varincia 2a. A srie temporal, Zt, construda da seguintemaneira:

Z1 = a1 (2.8)

Z2 = a1 + a2...

Zt = a1 + a2 + ...+ at

ou

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Zt = Zt1 + at (2.9)

Obtendo a funo mdia de (2.8) temos:

t = E(Zt) = E (a1 + a2 + ...+ at)

= E (a1) + E (a2) + ...+E (at)

= 0 + 0 + ...+ 0 = 0

como E (at) = 0, ns temos:

t = 0 p/ todo t

e tambm

V ar (Zt) = V ar (a1 + a2 + ...+ at)

= V ar (a1) + V ar (a2) + ...+ V ar (at)

= 2a + 2a + ...+

2a = t

2a

ou

V ar (Zt) = t2a

Observe que a varincia do processo cresce linearmente com o tempo. Suponhaagora que 1 5 t 5 s, teremos ento

t,s = Cov(Zt, Zs)

= Cov (a1 + a2 + ...+ at, a1 + a2 + ...+ as)

= Cov (a1, a1) + Cov (a2, a2) + ...+ Cov (at, at)

= 2a + 2a + ...+

2a = t

2a

onde

Cov (at, as) = 0 para t 6= s

temos ento que a facv dada por

t,s = t2a, para 1 5 t 5 s

e a fac dada por

t,s =q

ts , para 1 5 t 5 s

O passeio aleatrio um exemplo simples que representa diversos fenmenoscomo o movimento comum de preos e ttulos e tambm a posio de pequenaspartculas suspensas dentro de um fludo, chamado movimento Browniano.

11


2.4.2 Exemplo 2: (Mdia-Mvel de ordem 1)

SuponhaZt = at 0.5at1

onde at so v.a.i.i.d. com mdia zero e varincia 2a.

t = E (Zt)

= E (at) 0.5E (at1) = 0

e

V ar(Zt) = V ar (at 0.5at1)= 2a + 0.5

22a = 1.252a.

Tambm

Cov (Zt, Zt1) = Cov (at 0.5at1, at1 0.5at2)= 0.5Cov (at1, at1)

ou

t,t1 = 0.52a

Alm disso

Cov (Zt, Ztk) = 0 para k = 2

ento podemos concluir que

t,s =

0.52a se |t s| = 10 se |t s| > 1

Para t,s temos

t,s =0.4 se |t s| = 10 se |t s| > 1

2.5 Estacionariedade para um Processo Estocsti-co

A estacionariedade a suposio mais importante para um processo estocstico,com relao ao estudo que faremos. A idia bsica de estacionariedade que asleis de probabilidade que atuam no processo no mudam com o tempo, isto , oprocesso mantm o equilbrio estatstico.Especificamente um processo estocstico Z(t) considerado estritamente esta-

cionrio se a distribuio conjunta de Z(t1), Z (t2) , ..., Z (tn) a mesma distribuioconjunta de Z(t1 k), Z (t2 k) , ..., Z (tn k) , para todos os tempos t1, t2, ..., tn epara todos os lags(posies) k (constante).Quando n = 1, a distribuio de Zt igual a distribuio de Ztk para qualquer

k, ou seja, se os Z 0s so identicamente distribudos, E (Zt) = E (Ztk), para todo te k, e as funes mdia, t, e varincia V ar (Zt) = V ar (Ztk) so constantes paratodo tempo t.

12


Quando n = 2, a distribuio de (Zt, Zs) a mesma de (Ztk, Zsk) , do qualtemos Cov (Zt, Zs) = Cov (Ztk, Zsk) para todo t, s e k.Fazendo k = s temos:

t,s = Cov (Zt, Zs) = Cov (Ztk, Zsk)

= Cov(Zts, Zss) = Cov(Zts, Z0)

= ts,0

e agora k = t

t,s = Cov (Ztt, Zst) = Cov (Z0, Zst)

= Cov (Z0, Zts)

= 0,st

da podemos concluir que

t,s = 0,|ts|, onde |t s| =t s p/ t > ss t p/ s > t

A covarincia entre Zt e Zs depende somente da diferena temporal |t s| eno dos tempos t e s. Alem disso, para um processo estacionrio simplificando anotao temos

k = Cov (Zt, Ztk) e (2.10)

k = Corr (Zt, Ztk) =k0

As propriedades gerais para um processo estacinrio so:

i) 0 = V ar (Zt) , 0 = 1 (2.11)

ii) k = k, k = kiii) |k| 5 0, |k| 5 1.

Se um processo estritamente estacionrio e tem varincia finita, ento a facvdepende somente de um certo lag k.Uma definio que semelhante a estritamente estacionria mas matematica-

mente mais fraca, a seguinte: um processo estoctico Zt dito ser fracamente (oude segunda-ordem) estacionrio se:i) a funo mdia constante p/ todo tempo t,ii) t,tk = 0,k p/ todo tempo t e de lag k.

2.5.1 Rudo Branco

Um importante exemplo de processo estacionrio o rudo branco, o qual definidocomo uma seqncia de variveis aleatrias independente, identicamente distribu-das {at}. Muitos processos podem ser construdos a partir do rudo branco. Pode-severificar facilmente que a seqncia {at} estritamente estacionria

P [a (t1) 5 x1, a (t2) 5 x2, ..., a (tn) 5 xn]= P [a (t1) 5 x1]P [a (t2) 5 x2] ...P [a (tn) 5 xn]

13


so variveis aleatrias independentes

= P [a (t1 k) 5 x1]P [a (t2 k) 5 x2] ...P [a (tn k) 5 xn]identicamente distribudas

= P [a (t1 k) 5 x1, a (t2 k) 5 x2, ..., a (tn k) 5 xn].

Temos tambm que t = E (at) constante com facv dada por

t,s =V ar(at) se t = s0 se t 6= s

e fac dada por

k =1 para k = 00 para k 6= 0

O termo rudo branco resulta do fato que em uma anlise de freqncia do mod-elo, podemos mostrar que todas as freqncias so iguais. Geralmente assumimosque o rudo branco tem mdia zero e varincia 2a.

2.6 A Funo de Autocorrelao AmostralConsidere uma sequncia de valores Z1, Z2, ..., Zt. Assumindo que esta srie sejaestacionria, vamos estimar a funo de autocorrelao k (fac) para k = 1, 2, ..., N1. O caminho mais indicado calcular as correlaes amostrais entre os pares(Z1, Zk+1) , (Z2, Zk+2) , ..., (Ztk, Zt). A fac amostral rk definida como:

rk =ckc0, k = 0, 1, 2, ..., N 1

onde

ck =1

N

NkXt=1

Zt Z

Zt+k Z

, k = 0, 1, ...,N 1.

ento

bk = rk =NkPt=1

Zt Z

Zt+k Z

nPt=1

Zt Z

2 , k = 0, 1, ..., N 1.sendo Z a mdia amostral, temos ainda que ck = ck e rk = rk.O grfico de rkk chamado de correlograma.

2.7 Exerccios1) Suponha E (X) = 2, V ar (X) = 9, E (Y ) = 0, V ar (Y ) = 4, e Corr(X,Y ) = 1/4.Encontre:a) V ar(X + Y )b) Cov(X,X + Y )c) Corr(X + Y,X Y )2) SeX e Y so dependentes mas V ar (X) = V ar (Y ) , encontre Cov (X + Y,X Y ) .3) Seja X uma varivel aleatria com mdia e varincia 2, e seja Zt = X

para todo t.a) Mostrar que Zt estritamente e fracamente estacionria.

14


b) Encontre a funo de autocovarincia de Zt.c) Fazer o grfico de Zt em funo de t.4) Mostre que a funo de autocorrelao do exemplo 1 :

t,s =

rt

s, para 1 5 t 5 s

5) Seja {at} um rudo branco com mdia zero. Encontre a funo de autocor-relao para os seguintes processos:a) Zt = at + 1/3at1.b) Zt = at + 2at1 + 0.5.6) Suponha Zt = 5+ 2t+Xt, onde Xt uma srie estacionria com mdia zero

e facv k. Encontre:a) A funo mdia para Zt.b) A facv para Zt.c) Zt uma srie estacionria?7) Suponha Zt uma srie estacionria com funo de autocovarincia k.a) Mostrar que Wt = Zt = Zt Zt1 estacionria e encontre a mdia e a

facv para Wt.b) Mostrar que Ut = Wt = 2Zt estacionria (no precisa encontrar neces-

sariamente a facv).8) SejaXt uma srie estacionria com X = 0, 2 = 1 e k = (mdia, varincia

e fac, respectivamente). Suponha que t e t > 0, funes no-constantes. A srieobservada formada como:

Zt = t + tXt

Para a srie Zt determine: a) A mdia, a varincia e a facv.b) Mostrar que a fac de Zt depende somente de um lag k. Zt estacionria?9) Suponha Cov (Xt,Xtk) = k que no depende de t, mas E (Xt) = 3t.a) Xt estacionria?b) Seja Zt = 7 3t+Xt. Zt estacionria?10) Suponha Zt = A+Xt, onde Xt estacionria e A uma varivel aleatria,

com mdia A e varincia 2A, mas independente de Xt. Encontre:

a) A mdia de Zt, em termos das mdias de A e Xt.b) A fac de Zt, em termos da varincia de A e facv de Xt.11) Suponha Zt = 0 + 1t+Xt onde Xt estacionria.a) Mostrar que Zt no estacionria, mas Zt estacionria.b) Generalizando, mostrar que se Zt = t+Xt no-estacionria, onde t um

polinmio em t de grau d, ento mZt estacionria para m = d e no estacionriapara 0 5 m < d.12) Seja Zt uma srie estacionria com facv k. Seja Z =

1n

nPt=1Zt

Mostrar que

V arZ=

1

n

n1Xk=n+1

1 |k|

n

k

=0n+2

n

n1Xk=1

1 k

n

k

13) Calcular a mdia e a facv para cada um dos seguintes processos. Dentro decada caso determine se o processo estacionrio.a) Zt = 0 + tat.b) Wt = Zt, onde Zt definido como em a)c) Zt = at.at1.

15


14) Considere a srie temporal abaixo:ANO Produto Interno Bruto1964 27.6141965 44.0731966 63.7461967 86.1711968 122.4301969 161.9001970 208.3001971 276.8071972 363.1671973 498.3071974 719.519Dados em milhes de Cruzeiros.FONTE: Boletim do Banco do Brasil, dezembro de 1976a) Faa o grfico da srie; ela estacionria?b) Obtenha a primeira diferena da srie e faa o grfico correspondente; a

diferena estacionria?c) Mesmas questes de b) para a segunda diferena.15) Considere a srie abaixo:Exportao de suco concentrado de laranjaANO 1970 1971 1972 1973 1974 1975Valor 15 35 41 64 60 82ANO 1976 1977 1978 1979 1980Valor 101 177 333 432 460Dados em US$ 1.000.000FONTE: Revista Veja, no 468, Fev. de 1981.a) A srie estacionria? Tem tendncia?b) Considere a diferena Zt; estacionria?c) Tome agora logZt; a srie estacionria?d) Investigue se a srie logZt estacionria ou no.

16

Captulo 3

Modelos de Decomposio

Nas sries temporais, em geral, a funo mdia totalmente aleatria em funo dotempo, e ns vimos que numa srie estacionria a funo mdia constante paratodo o tempo. Frequentemente ns precisamos modelar sries que exibem compor-tamentos com alguma tendncia. Neste captulo apresentaremos alguns mtodos demodelagem para tendncias determinsticas e estocsticas.

3.1 Modelo com Mdia constanteConsidere o modelo

Zt = +Xt (3.1)

onde E (Xt) = 0 para todo t. Desejamos estimar utilizando a srie Z1, Z2, ..., Zn.A estimativa mais comum de a mdia amostral:

b = Z = 1n

nXt=1

Zt (3.2)

O b um estimador no-viciado de , ou seja, E Z = . Para analisar apreciso de Z como estimativa de , devemos fazer algumas suposies sobre Xt.Vamos supor {Xt} uma srie estacionria com fac k. Ento a mesma fac aplica-sea {Zt}, ou seja, se {Zt} estacionria ento:

V arZ=

0n

n1Xk=n+1

1 |k|

n

k (3.3)

V arZ=

0n

"1 + 2

n1Xk=1

1 k

n

k

#.

Se a srie {Xt} um rudo branco, ento k = 0 para k = 1 e V arZ= 0n =

2

n . Para muitos processos estacionrios, a fac decai rapidamente quando o k cresce,alm disso

Xk=0

k

[email protected] CAPTULO 3. MODELOS DE DECOMPOSIO

Zt = cos

2t

12+

, t = 0,1,2, ...

onde U [0, 1] . Sobre a suposio (3.4) acima e dado que o tamanho da amostran grande, temos a seguinte aproximao para (3.3)

V arZ 0n

Xk=

k, para n grande. (3.5)

Note que a varincia inversamente proporcional ao tamanho da amostra n.

3.2 Mtodo de RegressoOmtodo clssico de anlise de regresso pode ser utilizado para estimar os parmet-ros do modelo assim como suas tendncias. Ns vamos considerar precisamente astendncias: linear, quadrtica, sazonais e cosseno.

3.2.1 Tendncia Linear

Considere o modelo com tendncia determinstica linear

Zt = 0 + 1t+Xt (3.6)

onde 0 e 1 so o intercepto e a inclinao, respectivamente, e os parmetrosdesconhecidos. O mtodo clssico de minmos quadrados (ou regresso) utilizadopara estimar os parmentros 0 e 1, que minimizam

Q (0,1) =nXt=1

(Zt 0 1t)2. (3.7)

A soluo pode ser obtida calculando as derivadas parciais com relao a 0 e 1igualando-as a zero, encontrando as equaes normais

N0 + 1

nXt=1

t =nXt=1

Zt (3.8)

0

nXt=1

t+ 1

nXt=1

t2 =nXt=1

tZt.

Da encontraremos os seguintes estimadores de minmos quadrados:

b0 = Z b1t (3.9)b1 = nXt=1

Zt Z

t t

nPt=1

t t

2onde t = (n+ 1) /2, t = 1, 2, ..., n. Uma forma matricial de representar o problemaseria:

Z = Y +X (3.10)

onde

18


Z =

Z1...Zt

, Y =

1 11 2......

1 t

, =

01

e X =

X1...Xt

(3.11)

com t = 1, 2, ..., n.

teremos ento o seguinte estimador de minmos quadrados

b = YTY1YTZ. (3.12)3.2.2 Tendncia Ciclca ou Sazonal

Vamos considerar o seguinte modelo para a tendncia sazonal

Zt = t +Xt (3.13)

onde t = t+12, e E (Xt) = 0 para todo t. A suposio mais geral para t quetemos 12 constantes (parmetros) 1,2, ...,12, que poderemos escrever como:

t =

1, para t = 1, 13, 25, ...2, para t = 2, 14, 26, ...

...12, para t = 12, 24, 36, ...

(3.14)

Sendo este o modelo de mdias sazonais.

3.2.3 Tendncia Cosseno

O modelo de mdias sazonais contm 12 parmetros independentes, mas algumasvezes no adequado para estimar tendncias sazonais quando, por exemplo, algunsmeses do ano so semelhantes. Em alguns casos a tendncia sazonal pode ser mod-elada economicamente com curvas cossenos que incorpora uma esperada, e suave,mundana de tempos em tempos entretanto preservando a sazonalidade.Considere a curva cosseno

t = cos (2ft+)

onde a amplitude, f a freqncia, e a fase da curva. Como t varia, a curvaoscila entre um mximo de e um minmo de . Desde que a curva se repete,extamente a cada 1/f unidade de tempos, 1/f o perodo. Para dados mensais, amais importante freqncia f = 112 , na qual a curva cosseno se repetir a cada 12meses.

3.3 SazonalidadeNesta seo ser ajustada uma srie para a componente sazonal, ou seja, estima-sea srie e subtrai-se de Zt no modelo. A seguir tem-se um modelo com tendncia esazonalidade

Zt = Tt + St + at, t = 1, ...,N. (3.15)

Um procedimeto de ajuste sazonal consiste:a) Obter estimativas bSt de St.

19


Tabela 3.1: Observaes mensais de uma srie temporal com p annosAnos Jan Fev Mar Dez Mdias

1 2 3 121 Z11 Z12 Z13 Z112 Z1.2 Z21 Z22 Z23 Z212 Z2....

......

.... . .

......

p Zp1 Zp2 Zp3 Zp12 Zp.Mdias Z.1 Z.2 Z.3 Z.12 Z

b) CalcularZSAt = Zt bSt (3.16)

Se o modelo for multiplicativo, da forma

Zt = TtStat (3.17)

a srie sazonalmente ajustada ser

ZSAt = Zt/bSt (3.18)O modelo (3) geralmente adequado para sries econmicas, que apresentam um

crescimento exponencial. Estimando St comete-se um erro de ajustamento sazonal,dado por:

t = St bSto procedimento de ajustamento sazonal timo se minimizar E

2t.

Sem perda de generalidade considere o caso que tem-se dados mensais e o nmerototal de observaes, N, mltiplo de 12, isto , N = 12p, p = nmero de anos, demodo que os dados podem ser representados como na tabela 3. Considere o modeloabaixo

Zij = Tij + Sj + aij , i = 1, ..., p; j = 1, ..., 12.

neste modelo a sazonalidade considerada constante. Para sazonalidade no-constante, ou seja, o padro sazonal muda de ano para ano, deve-se consideraro modelo

Zij = Tij + Sij + aij , i = 1, ..., p; j = 1, ..., 12.

A notao da tabela 3. padro com:

Zi. =1

12

12Xj=1

Zij , i = 1, ..., p.

Z .j =1

p

pXj=1

Zij , j = 1, ..., 12.

Z =1

12p

pXj=1

12Xj=1

Zij =1

N

NXt=1

Zt

20


3.3.1 Sazonalidade determinstica - mtodo de regresso

Os mtodos de regresso so timos para sries que apresentam sazonalidade deter-minstica, ou seja, esta pode ser prevista perfeitamente a partir de meses anteriores.Ento, no modelo 3. tem-se que

Tt =mXj=0

jtj ;

St =X

jdjt

onde djt so variveis peridicas e at rudo branco, com mdia zero e varincia2a.Supondo a sazonalidade constante, j no depende de T. Pode-se ter, por ex-

emplo,

djt =

1, se o perodo t corresponde ao ms j, j = 1, ..., 12.

0, caso contrrio.

Neste caso,d1t + d2t + ...+ d12,t = 1, t = 1, ..., N.

de modo que a matriz de regresso no de posto completo, mas de posto m+ 12(temos m+ 13 parmetros). Impondo-se a restrio adicional:

12Xj=1

j = 0

obtm-se um modelo de posto completo:

Zt =mXj=0

jtj +

11Xj=1

jDjt + at

onde agora

Djt =

1, se o perodo t corresponde ao ms j,1, se o perodo t corresponde ao ms 12

0, caso contrrio.

Utilizando o mtodo de mnimos quadrados pode-se obter os estimadores de je j , ou seja, a partir de uma amostra Z1, ..., ZN obtm-se o modelo matricial:

Z = C +D+ a (3.19)

onde

Z =

Z1...ZN

, C =

1 1 11 2 2m...

.... . .

...1 N Nm

, =

01...m

D =

D11 D12 D1,11D21 D22 D2,11...

.... . .

...DN1 DN2 DN,11

, =

12...

11

, a =

a1a2...aN

21


A equao (3.) pode ser escrita na forma:

Z = X + a

onde

X = [C : D] e =

de modo que: b = hX0Xi1X0Zso os estimadores de mnimos quadrados.

3.4 Anlise ResidualPodemos notar que, o componente estocstico no observado {Xt} pode ser esti-mado, ou predito, por

bXt = Zt btPredito um termo realmente melhor. Ns utilizamos o termo estimativa para umparmetro desconhecido, e o termo predito para uma estimativa de uma varivelaleatria no observada. Ns chamamos bXt o t esima estimativa residual. Sea tendncia do modelo rasoavelmente correta, ento os resduos comportam-semais ou menos igual ao verdadeiro componente estocstico, e vrias suposies so-bre o componente estocstico podem ser confirmadas observando os resduos. Se ocomponente estocstico rudo branco, ento os resduos comportam-se semelhantea variveis aleatrias independentes (normal) com mdia zero e desvio padro S.Desde que o ajuste de mnimos quadrados de alguma tendncia contenha um termoconstante, automaticamente podemos produzir resduos com mdia zero, se consid-erarmos os resduos padronizado bXt/S, e ser possvel checar a independncia e anormalidade.

3.5 Exerccios1) Verifique as equaes (3.9) para as estimativas de minmos quadrados quando

Zt = 0 + 1t+Xt.

2) Suponha Zt = + at at1. Encontre a V ar(Z) onde

Z =1

n

nXt=1

Zt

3) Suponha Zt = + Zt1 + at. Verifique que

V ar(Z) 1 + 1

0n

22

Captulo 4

Modelos de SuavizaoExponencial

A anlise de regresso teve durante muito tempo razovel aceitao como mtodo deajustar modelos auto-regressivos, com o objetivo de calcular previses de srie tem-porais. Entretanto, quando o nmero de observaes muito pequeno, tal anliseno apropriada, pois a hiptese bsica de independncia dos resduos quase sem-pre violada, produzindo estimadores inconsistentes, nos impossibilitando de testarhipteses e estabelecer intervalos de confiana para os parmetros (Morettin e Toloi,1985).

4.1 Modelos para sries localmente constantesConsidere o caso da srie temporal Z1, ..., ZN , localmente composta de seu nvelmais um rudo aleatrio,

Zt = t + at, t = 1, ...,N.

onde E (at) = 0, V ar(at) = 2a e t um parmetro desconhecido, que pode vriarlentamente com o tempo.

4.1.1 Mdias Mveis Simples (MMS)

Procedimento - A tcnica de mdia mvel consiste em calcular a mdia aritmticadas r observaes mais recentes, isto ,

Mt =Zt + Zt1 + ...+ Ztr+1

r

ou

Mt =Mt1 +Zt Ztr

r

Sendo assim, Mt uma estimativa do nvel t que no leva em conta as obser-vaes mais antigas, o que razovel devido ao fato do parmetro variar suavementecom o tempo.Determinao de r - Um valor grande de r faz com que a previso acompanhe

lentamente as mudanas do parmetro ; um valor pequeno implica numa reaomais rpida.Casos Extremos - i) Se r = 1, ento o valor mais recente da srie utilizado

como previso de todos valores futuros; ii) Se r = N , ento a previso ser igual a

23

[email protected] 4. MODELOS DE SUAVIZAO EXPONENCIAL

mdia aritmtica de todos os dados observados. Este caso s indicado quando asrie altamente aleatria.Assim, o valor de r deve ser proporcional aleatoriedade de at. Deveria-se

escolher o valor de r de tal maneira que a previso tivesse o menor EQMMP (erroquadrtico mdio mnimo de previso).Vantagens - i) Simples aplicao; ii) Para nmero pequeno de observaes; iii)

Permite uma flexibilidade grande devido variao de r de acordo com o padroda srie.Desvantagens - i) Somente para prever sries estacionrias, pois os pesos

atribudos s r observaes so todos iguais; ii) Necessidade de armazenar pelomenos (r 1) observaes; e iii) dificuldade em determinar o valor de r.Na prtica, o mtodo MMS no utilizado frequentemente, pois o mtodo AES

possui as vantagens anteriores e mais algumas.

4.1.2 Suavizao Exponencial Simples (SES)

ProcedimentoA SES pode ser descrita matematicamente por:

Zt = Zt + (1 )Zt1, Z0 = Z1, t = 1, ..., N. (4.1)

Zt = t1Xk=0

(1 )k Ztk + (1 )t Z0, t = 1, ..., N. (4.2)

onde Zt denominado valor exponencialmente suavizado e a cte de suavizao,0 6 6 1. A equao (3.) pode ser obtida de

Mt =Mt1 +Zt Ztr

r

substituindo Ztr por Zt1 e 1r por . Fazendo a expanso de (3.) temos que

Zt = Zt + (1 )Zt1 + (1 )2 Zt2 + ...

significa que o SES uma mdia ponderada que d pesos maiores s observaesmais recentes, eliminando uma das desvantagens do mtodo de MMS.Determinao da cte Quanto menor for o valor mais estveis sero as previses finais, uma vez que

a utilizao de baixo valor de implica que pesos maiores so dados s observaespassadas e, consequentemente, qualquer flutuao aletria, no presente, exercerum peso menor no clculo da previso. Quanto mais aleatria a srie estudada,menores sero os valores da cte de suavizao. O efeito de grande ou pequeno completamente anlago (em direo oposta) ao efeito do parmetro r no mtodoMMS.Vantagens - i) fcil entendimento; ii) aplicao no dispendiosa; iii) grande

flexibilidade permitida pela variao da cte de suavizao ; iv) necessidade dearmazenar Zt, Zt e ; v) o valor de = 2r1 fornece previses semelhantes aomtodo MMS com parmetro r.A principal desvantagem a dificuldade em determinar o valor mais apropriado

da cte de suavizao, que pode ser superada atravs da utilizao da suavizaoexponencial adaptativo de Trigg e Leach (Moretti e Toloi, 1985).

24


4.2 Modelos para sries que apresentamTendnciaAs tcnicas apresentadas anteriormente no so adequadas para analisar sries tem-porais que apresentem tendncia. Considere ento a srie temporal no sazonal

Zt = t + Tt + at, t = 1, ..., N

onde t o nvel, Tt a tendncai e at o rudo branco com mdia zero e varinciaconstante.

4.2.1 Suavizao Exponencial Biparamtrica de Holt (SEH)

ProcedimentoO mtodo SES quando aplicado a uma srie que apresenta tendncia linear

positiva (ou negativa), fornece previses que subestimam continuamente os valoresreais. Para evitar esse erro sistemtico, um dos mtodos aplicveis o SEH. Essemtodo similar, em princpio, ao SES, a diferena que ao invs de suavizar s onvel, ele utiliza uma nova constante de alisamento para modelar a tendncia dasrie.Os valores do nvel e da tendncia da srie, no instante t, sero estimados por

Zt = AZt + (1A)Zt1 + bTt1 , 0 < A < 1 e t = 2, ..., N (4.3)bTt = C Zt Zt1+ (1 C) bTt1, 0 < C < 1 e t = 2, ..., N (4.4)

as constantes A e C so denominadas ctes de suavizao.Determinao das ConstantesO procedimento anlogo ao de determinao da constante de suavizao de um

SES, s que ao invs de escolher o valor de que torna a soma de EQMP mnimo,escolhe-se o valor do vetor (A,C) tal que isto ocorra (Morettin e Toloi, 1985).Vantagens e Desvantagens - As vantagens so semelhantes s do mtodo

anterior. A desvantagem principal dificuldade em determinar os valores maisapropriados das ctes de suavizao, A e C.

4.3 Modelos para sries sazonaisPara sries sazonais que apresentam um padro de comportamento mais complexo,existem outras formas de suavizao tais como os mtodos de Holt-Winters e omtodo de suavizao exponencial geral.

4.3.1 Suavizao Exponencial Sazonal de Holt-Winters (HW)

ProcedimetoExistem dois tipos de procedimento cuja utilizao depende das caractersticas

da srie considerada. Tais procedimentos so baseados em trs equaes com con-stantes de suavizao diferentes, que so associadas a cada uma das componentesdo padro da srie: nvel, tendncia e sazonalidade.Considere ento a srie sazonal com tendncia aditiva

Zt = t + Tt + St + at, t = 1, ..., N

onde t o nvel, Tt a tendnca, St a sazonalidade e at o rudo branco commdia zero e varincia constante. As estimativas do fator sazonal, nvel e tendncia

25


da srie so dados por:

bSt = D Zt Zt+ (1D) bSts, 0 < D < 1Zt = A

Zt bSts+ (1A)Zt1 + bSt1 , 0 < A < 1bTt = C Zt Zt1+ (1 C) bTt1, 0 < C < 1.

respectivamente A, C e D so as constantes de suavizao. Existem tambm a sriesazonal multiplicativa.Vantagens e Desvantagens - As vantagens so semelhantes s da utilizao

do mtodo de Holt, sendo que os mtodos de HW so adequados anlise de sriecom padro de comportamento mais geral. As desvantagens so as dificuldades emdeterminar os valores mais apropriados das constantes de suavizao e a impossi-bilidade e/ou dificuldade de estudar as propriedades estatsticas, tais como mdiae varincia de previso e, consequentemente, construo de um intervalo de confi-ana. Um procedimento alternativo que no possui tais desvantagens a SuavizaoExponencial Geral de Brown.As contantes de suavizao (A,C,D) devem ser determinadas de tal forma que

a soma de quadrado dos erros de suavizao seja mnima.Para maiores detalhes, principalmente sobre previso, consultar Morettin e Toloi

(2004) e outros autores l citados.

26

Captulo 5

Modelos de Box-Jenkins paraSries Estacionrias

Apresentaremos neste captulo os principais modelos de Box-Jenkins para estimaoe previso de sries temporais. Sendo estes modelos pertencentes a famlia dosautoregressivos-mdias-mveis (ARMA), subdividindo em dois outros modelos: oautoregressivo (AR) e mdias-mveis (MA).

5.1 Processo Linear GeralSeja Zt uma srie temporal observada, at o rudo branco, ou seja, uma seqnciade variveis aleatrias independentes identicamente distribudas, com E (at) = 0, evarincia 2a para todo t. Podemos representar um modelo linear geral como umacombinao linear ponderada, do termo atual, mais os termos passados do rudobranco:

Zt = at + 1at1 + 2at2 + ... (5.1)

ondeXi=1

2i

[email protected] 5. MODELOS DE BOX-JENKINS PARA SRIES

ESTACIONRIAS

V ar (Zt) = V arat + at1 +

2at2 + ...

= V ar(at) + 2V ar(at1) +

4V ar(at2) + ...

(desde que os a0ts sejam independentes)= 2a

1 + 2 + 4 + ...

= 2a

1

1 2(soma de uma srie geomtrica)

Tambm

Cov (Zt, Zt1) = Covat + at1 +

2at2 + ..., at1 + at2 + 2at3 + ...

= Cov(at1, at1) + Cov

2at2,at2

+ ...

= 2a+ 3 + 5 + ...

= 2a

1 2

Alm disso

Corr (Zt, Zt1) =2a

12

2a1

12=

De maneira semelhante podemos calcular:

Cov (Zt, Ztk) = 2ak

1 2

e

Corr (Zt, Zt1) = k, k = 0, 1, 2, ...

importante observar que o processo definido desta maneira estacionrio. Aestrutura de autocovarincia depende somente do lag na posio k.Para o processo linear geral definido em (4.1) vamos ter:

E (Zt) = 0

k = Cov (Zt, Ztk) = 2a

Xi=0

ii+k, k = 0

com 0 = 1.

5.2 Modelo Mdias-Mveis (MA(q))Considere a srie Zt, fazendo os

0s = 0s no processo linear geral e tomando asrie como finita, chamamos de mdias-mveis de ordem q o modelo:

Zt = at 1at1 2at2 ... qatq (5.2)ou abreviadamente MA(q)

Esta terminologia vem do fato que Zt obtido aplicando os pesos 1,1,2, ...,q,as variveis at, at1, at2, ..., atq e ento movendo os mesmos pesos 1 unidade dotempo a frente e aplicando-lhes a at+1, at,at1, ..., atq+1 para obter Zt+1.

28


ESTACIONRIAS

5.2.1 O modelo MA(1)

Considere o seguinte modelo:

Zt = at 1at1

onde

E (Zt) = 0

e a varincia igual a:

0 = V ar(Zt) = V ar (at 1at1)= 2a +

22a = 2a

1 + 2

temos ainda que a facv :

1 = Cov (Zt, Zt1)

= Cov (at 1at1, at1 1at2)= Cov (at1, at1) = 2a

e para k = 2 teremos

k = Cov (Zt, Ztk) = 0

E a fac ser dada por:

k =

1, k = 02a

2a(1+2)=

(1+2) , k = 1

0, k = 2

5.2.2 O Modelo MA(q)

Considere o modelo dado em (4.2)

Zt = at 1at1 2at2 ... qatq

onde

E (Zt) = 0

e a varincia

0 = V ar (Zt) = V ar (at 1at1 2at2 ... qatq)=

1 + 21 + ...+

2q

2a

a facv dada por

1 = Cov (Zt, Zt1)

= Cov (at 1at1 ... qatq, at1 1at2 ... qatq1)= 12a + 122a + ...+ q1q2a= (1 + 12 + ...+ q1q)2a, para k = 1

29


ESTACIONRIAS

e

2 = (2 + 13 + ...+ q2q)2a, para k = 2

e para k = q + 1 vamos ter k = 0. Enquanto que a fac ser dada por

k =

(k+1k+1+...+qkq

1+21+...+2q

, k = 1, ..., q

0, para k > q

5.3 Modelo Autoregressivo AR(p)Chamamos de autoregressivo de ordem p o modelo:

Zt = 1Zt1 + 2Zt2 + ...+ pZtp + at (5.3)

ou simplesmente AR(p)

onde os Zt1, Zt2, ..., Ztp so independentes de at. Os valores da srie Zt souma combinao linear dos p valores passados mais um termo at, no qual incorporacoisas na srie at o tempo t que no explicado pelos valores passados.

5.3.1 O Modelo AR(1)


Zt = Zt1 + at

onde

E (Zt) = 0, para todo t

e a varincia

0 = V ar (Zt) = V ar (Zt1 + at)

= 2V ar (Zt1) + 2a =

20 + 2a

=2a

1 2, || < 1.

A facv para k = 1

1 = Cov (Zt, Zt1) = E (ZtZt1)

= E [(Zt1 + at) (Zt2 + at1)]

= E [Zt1Zt2 + Zt1at1 + atZt2 + atat1]

= 2E [Zt1Zt2] + E [Zt1at1] + E [atZt2] +E [atat1]

onde

E (atZtj) = 0, j > 0

6= 0, j < 0= 2a, j = 0

30


ESTACIONRIAS

sendo assim temos

1 = 21 +

2a

=

1 22a

para k = 2

2 = 1.

No geral a facv ser

k =k

1 22a, para k = 0, 1, 2, ...

e a fac para o caso geral ser

k =k0= k, para k = 0, 1, 2, ...

Desde que || < 1, a fac uma exponencial decrescente, a medida que k cresce.Se 0 < < 1, todas as correlaes so positivas; se 1 < < 0 a autocorrelaode lag 1 negativa (1 = ) e os sinais das autocorrelaes so alternadamentepositivo e negativo.Considere o modelo AR(1):

Zt = Zt1 + at

substituindo t por t 1, temos:

Zt1 = Zt2 + at1

agora substituindo Zt1 em Zt, temos:

Zt = (Zt2 + at1) + at= 2Zt2 + at1 + at

repetindo este processo k 1 vezes, vamos ter:

Zt = at + at1 + 2at2 + ...+

k1at(k1) + kZtk

para k grande vamos ter:

Zt = at + at1 + 2at2 + ... = 0at + 1at1 + 2at2 + ... (5.4)

onde || < 1 e j = j . Temos ainda que os at so independente de Zt1, Zt2, ...e 2a > 0, a soluo de Zt = Zt1 + at ser estacionria se e somente se || < 1.

5.3.2 O Modelo AR(2)


Zt = 1Zt1 + 2Zt2 + at (5.5)

onde at independente de Zt1 e Zt2. Para analisar a estacionariedade desteprocesso AR(2), vamos introduzir o polinmio caracterstico:

31


ESTACIONRIAS

(x) = 1 1x 2x2

e a equao caracterstica

1 1x 2x2 = 0

A equao quadrtica, acima tem duas razes (possivelmente complexas). Supon-ha at independente de Zt1, Zt2, ..., uma soluo estacionria para a equao (4.5)existir se e somente se a raiz da equao caracterstica AR excede a unidade emvalor absoluto. Este procedimento pode ser generalizado para o modelo AR(p).Para o caso AR(1) a equao caracterstica 1x = 0 com raiz 1/, que exceda 1em valor absoluto se e somente se || < 1. Para a equao caracterstica do AR(2)temos a seguinte soluo:

x =1

q21 + 42

22as razes da equao acima excede a 1 em mdulo se e somente se, simultaneamente

1 + 2 < 1, 2 1 < 1 e |2| < 1.Essas so as condies de estacionariedade para o AR(2).Para encontrar a fac para o AR(2), multiplicamos ambos os lados da equao

(4.5) por Ztk, k = 1, 2, ..., e tomamos as esperanas

k = E (ZtZtk) = E [(1Zt1 + 2Zt2 + at)Ztk]

= E (Zt1Ztk) +E (2Zt2Ztk) +E (atZtk) .

Assumindo estacionariedade, mdias zero, e que at independente de Ztk nstemos

k = 1k1 + 2k2, k = 1, 2, ... (5.6)

dividindo por 0

k0

= 1k10

+ 2k20

, k = 1, 2, ... (5.7)

k = 1k1 + 2k2, k = 1, 2, ...

As equaes (4.6) e/ou (4.7) so chamadas de equaes de Yule-Walker. Parak = 1, 0 = 1, 1 = 1 temos

1 = 10 + 21

1 =1

1 2e para k = 2

2 = 11 + 20

=21 + 2 (1 2)

1 2.

32


ESTACIONRIAS

Podemos calcular sucessivamente os valores de k atravs das equaes de Yule-Walker.A varincia do processo AR(2) obtida atravs da equao (4.5)

0 = V ar (Zt) = V ar (1Zt1 + 2Zt2 + at)

= 210 + 220 + 2121 +

2a

=21 +

22

0 + 2121 +

2a

utilizando as equaes de Yule-Walker vamos ter

0 =(1 2)2a

(1 2)1 21 22

2212

Os coeficientes j no processo linear geral (4.1) para um AR(2) so mais com-plexos do que o AR(1). Entretanto, podemos substituir a representao (4.1) edefinir a equao do AR(2) para Zt, Zt1, e Zt2 e obter os coeficientes de aj .Encontrando

0 = 1

1 10 = 0

e

j 1j1 2j2 = 0, j = 2, 3, ...

Estas equaes podem ser resolvidas recursivamente obtendo 0 = 1, 1 = 1,2 =

21 + 2, e assim por diante.

5.3.3 O Processo Autoregressivo geral

Considere agora o modelo autoregressivo de ordem p

Zt = 1Zt1 + 2Zt2 + ...+ pZtp + at (5.8)

com polinmio caracterstico

(x) = 1 1x 2x2 ... pxp

e a correspondente equao caracterstica AR

1 1x 2x2 ... pxp = 0.

Considerando que at independente de Zt1, Zt2, ..., uma soluo estacionriapara a equao (4.8) existe se e somente se as p razes da equao caracterstica AR maior do que a unidade em mdulo.Assumindo que a equao (4.8) estacionria e multiplicando-a por Ztk, di-

vidindo pela varincia e tomando as esperanas temos:

k = 1k1 + 2k2 + ...+ pkp, k = 1. (5.9)Fazendo k = 1, 2, ..., p na equao (4.9) e utilizando 0 = 1 e k = k, obtemos asequaes de Yule-Walker

33


ESTACIONRIAS

1 = 1 + 21 + ...+ pp1 (5.10)

2 = 11 + 2 + ...+ pp2...

p = 1p1 + 2p2 + ...+ p

Dados os valores 1,2, ...,p, estas equaes podem ser resolvidas para obtermos:1, 2, ..., p. Para obter a varincia multiplicamos a equao (4.8) por Zt, e tomamosas espereranas encontrando:

0 = 11 + 22 + ...+ pp + 2a

utilizando k = k/0 podemos escrever

V ar (Zt) = 0 =2a

1 11 22 ... pp(5.11)

observando que

E (atZt) = Eat1Zt1 + 2Zt2 + ...+ pZtp + at

= E

a2t= 2a

e a varincia do processo expressa em termos dos parmetros 1,2, ...,p,2a, e

os desconhecidos valores de 1, 2, ..., p.Assumindo estacionariedade, o processo pode ser expressado na forma linear

geral da equao (4.1), mas os pesos so funes complicadas dos parmetros1,2, ...,p, mas podem ser encontrados numericamente.

5.4 O Modelo Autoregressivo-Mdias Mveis AR-MA(p,q)

Se considerarmos uma srie formada pelas as partes autoregressiva e mdias-mveis,vamos ter um modelo mais geral de sries temporais, ou seja, se

Zt = 1Zt1 + 2Zt2 + ...+ pZtp + at 1at1 2at2 ... qatq (5.12)

ns dizemos que Zt um processo autoregressivo mdias-mveis de ordens p e q,respectivamente, e parmetros 0s e 0s, ou abreviadamente ARMA(p,q).

5.4.1 O modelo ARMA(1,1)

Considere o seguinte modelo

Zt = Zt1 + at at1 (5.13)onde E (Zt) = 0, para todo t, E (at) = 0 e V ar (at) = 2a. Vamos obter as equaesde Yule-Walker, antes porm, observamos que:

E (atZt) = E [at (Zt1 + at at1)] = 2a

e

34


ESTACIONRIAS

E (at1Zt) = E [at1 (Zt1 + at at1)]= 2a 2a = ( )2a

Se multiplicamos a equao (4.13) por Ztk e tomamos as esperanas, temos:

k = E (ZtZtk) = E [(Zt1 + at at1)Ztk]= E (Zt1Ztk) +E (atZtk)E (at1Ztk)

variando o k

0 = 1 + 2a ( )2a, k = 0 (5.14)

1 = 0 2a, k = 1

e

k = k1, k = 2 (5.15)resolvendo as equaes (4.14) e (4.15) vamos ter a varincia:

0 =

1 2+ 2

1 2

a facv

k =(1 ) ( )

1 2k12a, para k = 1

e a fac

k =(1 ) ( )1 2+ 2

k1, para k = 1

A forma linear geral pode ser obtida da mesma maneira que a equao (4.5),definimos

Zt = at + ( )Xj=1

j1atj

onde j = ( )j1, para j = 1. Com a condio de estacionariedade || < 1,ou a raiz da equao 1 x = 0 maior do que 1 em valor absoluto.O modelo ARMA(1,1) equivalente a:

AR () : (1 x)(1 x)Zt =

1 x+ 2x ...

(1 x)Zt = at

e

MA () : Zt =(1 x)(1 x)at =

1 + x+ 2x2 + ...

(1 x) at

A funo de autocorrelao do modelo ARMA(1,1) semelhante a do AR(1)(exponenciais amortecidas), o primeiro comporta-se como exponenciais amortecidaspara k > 0, enquanto que o segundo o comportamento de exponenciais amortecidaspara k = 0.

35


ESTACIONRIAS

Para o modelo geral ARMA(p,q), ns temos que dado que at independentede Zt1, Zt2, ..., uma soluo estacionria para Zt, satisfazendo a equao (4.13)existe, se e somente se, as razes da equao caracterstica AR, (x) = 0, excede aunidade em valor absoluto.Se as condies de estacionariedade so satisfeitas, ento o modelo pode ser

escrito como um processo linear geral com os pesos j determinados da seguinteforma:

0 = 1

1 = 1 + 12 = 2 + 2 + 11

...

j = jpjp + ...+ 1j1

onde j = 0 para j > 0 e j = 0 para j > q.Agora assumindo estacionariedade pode-se mostrar que a fac satisfaz:

k = 1k1 + 2k2 + ...+ pkp, k > q (5.16)

Podemos tambm desenvolver para k = 0, 1, ..., q que envolve 1, 2, ..., q.Teorema: Se Xt v ARMA(p1, q1) e Yt v ARMA(p2, q2), sendo Xt e Yt in-

dependentes, seja Zt = Xt + Yt ento Zt v ARMA(p, q) onde p 5 p1 + p2,q 5 max(p1 + q2, p2 + q1).Prova: Seja X (B)Xt = X (B) t e Y (B)Yt = Y (B) at onde X ,Y , X

e Y so polinmios em B de ordem p1, p2, q1 e q2, respectivamente. Onde t e atso rudos brancos independentes. Como Zt = Xt+ Yt, ento multiplicando Zt porX (B)Y (B) temos:

X (B)Y (B)Zt = X (B)Y (B)Xt + X (B)Y (B)Yt

como X (B)Xt = X (B) t ARMA(p1, q1) e Y (B)Yt = Y (B) at ARMA(p2, q2)vamos ter:

X (B)Y (B)Zt = X (B)Y (B) t + X (B) Y (B) atAR (p1 + p2) = MA (q1 + p2) +MA (p1 + q2)

Utilizando o fato que a soma de dois processos de mdias mveis independentestambm um processo MA de ordem igual ou menor ao max das ordens, temos queZt um processo ARMA(p, q) onde p 5 p1 + p2, q 5 max(p1 + q2, p2 + q1).

5.5 InvertibilidadeNs vimos que um processo AR pode ser reescrito como um processo MA de ordeminfinita atravs de pesos 0s. Alm disso podemos escrever um processo MA comoum autoregressivo. Considere o modelo abaixo:

Zt = at at1 (5.17)reescrevendo a equao acima como at = Zt+at1, e ento substituindo t por t1e at1 na equao modificada, temos:

36


ESTACIONRIAS

at = Zt + (Zt1 + at2)

= Zt + Zt1 + 2at2

Se || < 1, podemos continuar a substituio e obter:

at = Zt + Zt1 + 2Zt2 + ...

Zt =Zt1 2Zt2 ...

+ at

ento se || < 1, ns vimos que o MA(1) pode ser invertido (transformado) paraum AR(), ento dizemos que o modelo MA(1) invertvel.Para um modelo geral MA(q), definimos o polinmio caracterstico MA

como:

(x) = 1 1x 2x2 ... qxq

e a correspondente equao caracterstica

1 1x 2x2 ... qxq = 0

Pode-se ento, demonstrar que o modelo MA(q) invertvel, e existiro constantesj , tal que:

Zt =Xj=1

jZtj + at

se e somente se as razes da equao caracterstica MA excede a unidade em valorabsoluto.Proposio: Um processo linear geral ser estacionrio se a srie (x) converge

para |x| 5 1; ser invertvel se (x) converge para |x| 5 1.Podemos tirar algumas concluses sobre estacionariedade e invertibilidade, so

elas:1) Para o modelo AR(p) no h restries sobre os parmetros j para assegurar

a invertibilidade.2) Para o modelo MA(q) no h restries sobre os parmetros j para que o

processo seja estacionrio.3) Para o modelo ARMA(p,q) o processo estacionrio se as raizes da equao

caracterstica (x) = 0 excede a unidade em valor absoluto e o processo invertvelse todas as razes (x) = 0 excede a unidade em valor absoluto, ou seja, fora docrculo unitrio.

5.6 Exerccios1) Esboe a fac para cada um dos seguintes modelos ARMA:a) AR(2) com 1 = 1.2 e 2 = 0.7b) MA(2) com 1 = 1 e 2 = 0.6c) ARMA(1,1) com = 0.7 e = 0.42) Suponha Zt um processo AR(1) com 1 < < 1.a) Encontre a facv para Wt = Zt Zt1 em termos de e 2a.b) Em particular, mostrar que V ar (Wt) = 22a/ (1 + ) .3) Encontre a fac para o processo definido por

Zt = 5 + at 0.5at1 + 0.25at2

37


ESTACIONRIAS

4) Descreva as caractersticas importantes da fac dos seguintes modelos: a)MA(1), b) MA(2), c) AR(1), d) AR(2) e e) ARMA(1,1).5) Para o modelo ARMA(2,1)

Zt = 0.8Zt1 + at + 0.7at1 + 0.6at2

mostrar quea) k = 0.8k1 para k = 3 eb) 2 = 0.81 + 0.6

2a/0.

6) Considere dois processos MA(2), um com 1 = 2 = 1/6 e outro com 1 = 1e 2 = 6. Mostrar que estes processos tem extamente a mesma fac. Como so asrazes dos correspondentes polinmios caractersticos, compare-as.7) Considere o no-estacionrio modelo AR(1)

Zt = 3Zt1 + at

a) Mostrar que Zt = Pj=1 (1/3)

j at+j satisfaz a equao AR(1) e realmenteestacionria.b) Quando est soluo no satisfatria.8) Considere o modelo

Zt = at1 at2 + 0.5at3

a) Encontre a facv para Zt.b) Mostrar que Zt um modelo estacionrio ARMA(p,q). Identifique p, q e os

0s e 0s.9) Considre os modelos:i) Zt = at + 0.8at1.ii) Zt 0.4Zt1 = at 0.3at1 + 0.8at2iii) Zt = 0.3Zt1 + 0.6Zt2 + at.Pede-se:a) Escreva-os utilizando o operador X;b) Identifique cada um dos modelos abaixo, assim como os seus parmetros;c) Verifique se cada um deles so estacionrios e/ou invertveis.

38

Captulo 6

Modelos para SriesTemporais No-Estacionrias

Os modelos apresentados at o momento so adequados para sries estacionrias, ouseja, aquelas onde a mdia constante por todo tempo, mas em geral, na prtica,as sries so no-estacionrias. Como, por exemplo, as sries econmicas. Paratorna a srie estacionria deve-se tomar diferenas quantas vezes for necessrio, atatingir estacionariedade. O procedimento o seguinte:

Wt = Zt Zt1= (1X)Zt= Zt

Os modelos que apresentaremos a partir de agora, sero para sries cujo comporta-mento so no-estacionrio.

6.1 OModelo Autoregressivo-Integrado-Mdias-MveisARIMA(p,d,q)

As sries Zt, tais que, tomando-se um nmero finito de diferenas, d, tornam-seestacionrias, so chamadas no-estacionrias homogneas. Se

Wt = dZt

estacionria, podemos representar Wt por um modelo ARMA(p,q), ou seja,

(X)Wt = (X) at (6.1)

Se Wt uma diferena de Zt, ento Zt uma integral de Wt, da dizemosque Zt segue um modelo autoregressivo-integrado-mdias-mveis, ou modelo ARI-MA(p,d,q),

(X)dZt = (X) at (6.2)

de ordem (p,d,q), se p e q so as ordens de (X) e (X) , respectivamente.No modelo (5.1) todas as razes de (X) esto fora do crculo unitrio. Escrever

(5.2) equivalente a escrever

(X)Zt = (X) at (6.3)

39

[email protected] 6. MODELOS PARA SRIES TEMPORAIS

NO-ESTACIONRIAS

onde (X) um operador autoregressivo no-estacionrio, de ordem p+d, com drazes iguais a 1 (sobre o crculo unitrio) e as restantes p esto fora do crculounitrio, ou seja,

(X) = (X)d = (X) (1X)d (6.4)Portanto o modelo (5.2) supe que a d-sima diferena da srie Zt pode ser rep-resentada por um modelo ARMA, estacionrio e invertvel. Na maioria dos casosusuais, d=1 ou d=2, que correspondem a dois casos interessantes e comuns de no-estacionariedade homgenea:1) Sries no-estacionrias quanto ao nvel: oscilam ao redor de um nvel mdio

durante algum tempo e depois saltam para outro nvel temporrio. Para torn-las estacionrias suficiente tomar uma diferena, este o caso tpico de srieseconmicas.2) Sries no-estacionrias quanto a inclinao: oscilam numa direo por algum

tempo e depois mudam para outra direo temporria. Para torn-las estacionrias necessrio tomar a segunda diferena.

6.1.1 Exemplos

Alguns casos particulares do modelo ARIMA:i) ARIMA(0,1,1): Zt = (1 X) atii) ARIMA(1,1,1): (1 X)Zt = (1 X) atiii) ARIMA(p,0,0): AR(p); ARIMA(0,0,q): MA(q); ARIMA(p,0,q): ARMA(p,q).Um modelo que considerado importante o caso i) IMA(1,1): Integrado-

Mdias-Mveis. Utilizado especialmente na rea de economia.

6.1.2 Algumas Transformaes para tornar a srie Estacionria

Tomar diferenas pode no ser suficiente para se alcanar estacionariedade, princi-palmente, no caso das sries econmicas. Uma transformao, no linear, utilizadapara srie Zt Zt = lnZt, que ser suficiente para obter a homogeneidade. Outroprocedimento usualmente, utilizado em sries temporais econmicas :

lnZt = lnZt lnZt1

A principal razo para se fazer uma transformao tentar estabilizar a varin-cia. Uma transformao, tambm adequada, seria: utilizar um grfico que traz noeixo das abscissas mdias de subconjuntos de observaes da srie original e no eixodas ordenadas a amplitude de cada um destes subconjuntos. Seja Zt1 , ..., Ztk umsubconjunto com k observaes, ento calculamos:

Z =1

k

kXi=1

Zti

(medida de posio)

e

W = max (Zti)min (Zti)(medida de variabilidade)

o parZ,W

ser um ponto do grfico. O nmero de elementos em cada subsrie

pode ser igual ao perodo, no caso de sries sazonais. Se W independente deZ, obteremos pontos espalhados ao redor de uma reta paralela ao eixo das abscis-sas e neste caso no haver necessidade de transformao. Se W for diretamenteproporcional a Z, a transformao logartmica apropriada.

40


NO-ESTACIONRIAS

Uma classe geral de transformaes que podem ser utilizadas a de Box-Cox,definida por:

Z()t =

(Zt c , 6= 0

lnZt, = 0

onde e c so parmetros a serem estimados. Para c = 1 temos:

Zt 1

lnZt se 0

6.2 Formas do Modelo ARIMAO modelo ARIMA dado em (5.2) pode ser representado de trs formas:a) Em termos de valores prvios de Zt e do valor atual e prvios de at;b) Em termos de valor atual e prvios de at;c) Em termos de valores prvios de Zt e do valor atual de at.

6.2.1 Forma da Equao Diferenas

Esta a forma usual do modelo, til para calcular previses:

Zt = 1Zt1 + 2Zt2 + ...+ p+dZtpd + at 1at1 ... qatq (6.5)

onde (X) = 1 1X 2X2 ... p+dXp+d.

6.2.2 Forma de Choques Aleatrios

Uma forma conveniente para se calcular a varincia dos erros de previso :

Zt = at + 1at1 + 2at2 + ... (6.6)

= (X) at

Desta equao obtemos (X)Zt = (X) (X) at (6.7)

e utilizando (5.3) segue-se que

(X) (X) = (X) . (6.8)

Logo, os pesos j da forma (5.6) podem ser obtidos de (5.8) identificando-se coefi-cientes de X,X2, etc.:

1 1X ... p+dXp+d 1 + 1X + 2X

2 + ...= 1 1X ... qXq

6.2.3 Termo constante no Modelo ARIMA

No modelo ARIMA(p,d,q)

(X)Wt = (X) at (6.9)

onde Wt = dZt.

Se um termo constante for omitido, ento E (Wt) = W = 0. O modelo acima podedescrever o que chamaramos de tendncias estocsticas, no sentido que o proces-so no estacionrio e muda de nvel e/ou inclinao, no decorrer do tempo. Atendncia (ou no-estacionariedade) estocstica caracterizada pela existncia de

41


NO-ESTACIONRIAS

zeros de (X) = 1X sobre o crculo unitrio. Alm da no-estacionariedade es-tocstica, muitas sries podem apresentar uma tendncia determinstica. Podemoster Zt como a soma de um polinmio mais um processo ARIMA(p,d,q):

Zt =mXj=0

jtj +

(X)d (X)

at (6.10)

= Tt + Yt

onde Tt uma tendncia determinstica e Yt um processo ARIMA(p,d,q). Segue-seque Zt no-estacionrio se m > 0 e/ou d > 0.Tomando d diferenas temos:

dZt = 0 + (X) (X)

at, se m = d (6.11)

dZt = (X) (X)

at, se m < d

onde 0 = dd!, obtendo-se uma srie estacionria. Significando que podemos incluiruma tendncia polinomial determinstica de grau d no modelo, bastando acrescentaruma constante 0 :

(X)Zt = 0 + (X) at (6.12)

Se m > d, podemos obter um modelo no-estacionrio, tomando d diferenas,devido a tendncia determinstica, e tomando m diferenas, obteremos um processoestacionrio, mas no invertvel.Se 0 6= 0,

Wt = Wt1 + ...+ pWtp + 0 + at 1at1 ... qatq (6.13)

e obtemos a mdia

W = E (Wt) = 1W + ...+ pW (6.14)

=0

1 1 ... pou

0 = W1 1 ... p

(6.15)

e se fWt =Wt E (Wt)teremos:

(X)fWt = (X) atNo que segue, quando d > 0, suporemos W = 0 e portanto 0 = 0.

6.3 Construo dos Modelos ARIMANesta seo vamos apresentar os estgios do ciclo iterativo do mtodo de Box eJenkins, para construo dos modelos ARIMA, que so: 1) identificao; 2) esti-mao e 3) verificao. Dentre estes estgios o mais dficil fase de identificaodo modelo ARIMA, que ser utilizado para ajustar os dados. Esta escolha feita apartir das autocorrelaes e autocorrelaes parciais estimadas, dentre as quais es-peramos que representem adequadamente as verdadeiras quantidades tericas, queso desconhecidas. Anteriormente definimos a facv e fac, agora vamos definir afuno de autocorrelao parcial (facp).

42


NO-ESTACIONRIAS

6.3.1 Funo de Autocorrelao Parcial (facp)

Ns podemos definir a correlao entre Zt e Ztk removendo o efeito das variveisZt1, Zt2, ..., Ztk+1. Esta medida, para sries estacionrias, chamada a auto-correlao parcial at a posio k e ser denotada por kk, se Zt uma srienormalmente distribudos, ou seja,

kk = Corr (Zt, Ztk/Zt1, Zt2, ..., Ztk+1) (6.16)

onde kk o coeficiente de correlao da distribuio de Zt, Ztk condicional aZt1, Zt2, ..., Ztk+1. Um mtodo geral para encontrar a facp para um processoestacionrio com fac k o seguinte : para um dado k, mostra-se que kk satisfazas equaes de Yule-Walker:

j = k1j1 + k2j2 + ...+ kkjp, j = 1, 2, ..., k (6.17)

Mais explicitamente

1 = k1 + k21 + ...+ kkj1 (6.18)

2 = k11 + k2 + ...+ kkk2...

k = k1k1 + k2k2 + ...+ kk

Estas equaes podem ser resolvidas sucessivamente para k = 1, 2, ..., e obtendo-sekk, da seguinte maneira:

11 = 1 (6.19)

22 =

1 11 2

1 11 1

= 2 211 21

e para k = 3

kk =

1 1 21 1 22 1 3

1 1 21 1 12 1 1

(6.20)

em geral

kk =|P k ||Pk| (6.21)

onde Pk a matriz de autocorrelao, e P k a matriz Pk com a ltima colunasubstituda pelo vetor de autocorrelao.Pode-se demonstrar que, para os processos estudados temos:(i) um processo AR(p) tem facp kk 6= 0, para k 5 p e kk = 0, para k > p;(ii) Um processo MA(q) tem facp que se comporta de maneira similar a fac de

um processo AR(p), para o MA(1) temos:

22 = 2

1 + 2 + 4

e

kk = k1 2

1 2(k+1)

, k = 1

(iii)Um processoARMA(p,q) tem facp que se comporta como a facp de um processoMA.

43


NO-ESTACIONRIAS

6.3.2 A Funo de Autocorrelao Parcial Amostral (fapa)

Para srie temporal observada vamos precisar calcular a estimativa da fapa. Nschamamos esta funo estimada de funo de autocorrelao parcial amostral edenotamos por bkk.Levinson (1974) e Durbin (1960) descobriram um mtodo eficiente para obter as

solues para as equaes (5.18), considerando as facp ou fapa. Eles demonstraramque independentemente as equaes (5.18) podem ser resolvidas recursivamentecomo segue:

kk =

k k1Pj=1

k1,jkj

1k1Pj=1

k1,jj

(6.22)

ondekj = k1,j kkk1,kj , para j = 1, 2, ..., k 1. (6.23)

Por exemplo, utilizando 11 = 1, ns temos

22 =2 1111 111

=2 211 21

Nas estimativas vamos substituir bk por rk, e obtemos fapa bkk.6.4 Idendificao (ou Especificao) dos Modelos

ARIMAO objetivo da identificao determinar os valores de p,d e q do modelo ARI-MA(p,d,q), alm de obter estimativas preliminares dos parmetros a serem utiliza-dos no estgio de estimao.

6.4.1 Procedimento

I) Inicialmente diferenamos a srie Zt, tantas vezes quantas necessrias, para seobter uma srie estacionria, de modo que o processo dZt seja reduzido a umARMA(p,q). O nmero de diferenas, d, necessrias para que o processo se torneestacionrio, alcanado quando a fac amostral deWt = dZt decresce rapidamentepara zero;II) Identificamos o processo ARMA(p,q) resultante, atravs da anlise das fac e

facp estimadas, cujo comportamentos devem ser semelhantes aqueles das respectivasquantidades tericas (AR, MA e ARMA).- Geralmente, na prtica d=0, 1, ou 2, e ser suficiente inspecionar as primeiras

15 ou 20 autocorrelaes da srie e de suas diferenas.- Convm testar se E (Wt) = W zero, comparandoW com o seu desvio-padro

estimado. A tabela abaixo fornece as varincias de W para alguns modelos usuais.Se d=0, W = Z.

Tabela - Varincias Aproximadas p/ W , n = N d

AR (1) MA (1) ARMA (1, 1)c0(1+r1)n(1r1)

c0(1+2r1)n

c0n

h1 +

2r21r1r2

iAR (2) MA (2)c0(1+r1)(12r21+r2)

n(1r1)(1r2)c0(1+2r1+2r2)

n

44


NO-ESTACIONRIAS

6.5 Intervalo de Confiana para a FAC AmostralApresentaremos a seguir o intervalo de confiana para a faca, antes porm, sabemosque a faca definida como:

bj = bjb0 = rj = cjc0 , j = 0, 1, ..., N 1 (6.24)onde

cj =1

N

NjXt=1

Zt Z

(Zt+j Z)

, j = 0, 1, ..., N 1 (6.25)

sendo

Z =1

N

NXt=1

Zt e rj = rj (6.26)

temos que a varincia de rj

V ar (rj) =1

N

Xk=

2k + k+jkj 4jkkj + 22k2j

(6.27)

para um processo estacionrio normal (Gaussiano).Para um processo em que as autocorrelaes so nulas para k > q, obtem-se:

V ar (rj) =1

N

"1 + 2

qXk=1

2k

#, j > q (6.28)

substituindo k por rk, temos:

2 (rj) =1

N

"1 + 2

qXk=1

r2k

#, j > q (6.29)

Para N suficientemente grande, sob a hiptese H0 : j = 0, j > q a distribuio N0,2(rj)

. Assim, pode-se construir um intervalo de confiana aproximado para

as autocorrelaes:rj t(rj) (6.30)

onde t o valor da estatstica t-Student com N 1 graus de liberdade, tal queP (t < t < t) = .Na prtica utiliza-se t = 2, de modo que podemos considerarj como significativamente diferente de zero se

|rj | > 2(rj), j > q. (6.31)Para facp sob a hiptese que o processo AR(p),

V arbjj w 1N , j > p. (6.32)

De modo que

bjj w 1

N, j > p. (6.33)

Alm disso, para N grande,bjj ter distribuio aproximadamente normal, commdia zero e varincia (5.32), de modo que consideraremos jj significativamentediferente de zero se bjj > 2

N, j > p. (6.34)

45


NO-ESTACIONRIAS

6.6 Exerccos1) Considere os dois modelos:

A : Zt = 0.9Zt1 + 0.09Zt2 + at

B : Zt = Zt1 + at 0.1at1

a) Identifique e especifique os modelos ARIMA.b) Qual a semelhana entre eles? (Compare os pesos 0s e 0s).2) Identifique e especifique cada modelo ARIMA:a) Zt = Zt1 0.25Zt2 + at + 0.5at1b) Zt = 2Zt1 Zt2 + atc) Zt = 0.5Zt1 + 0.5Zt2 + at 0.5at1 + 0.25at2.3) Suponha que {Zt} gerada como

Zt = at + cat1 + cat2 + ...+ ca0, t > 0

a) Encontre a funo mdia e a facv para Zt. Zt estacionria?b) Encontre a funo mdia e facv para Zt. Esta srie estacionria?c) Identifique e especifique Zt como um modelo ARIMA.4) Suponha que Zt = A+Bt+Xt onde A e B so variveis aleatrias indepen-

dentes do passeio aleatrio Xt.a) A srie Zt estacionria?b) A srie Zt estacionria?5) De uma srie de 100 observaes, obteve-se: r1 = 0.49, r2 = 0.31, r3 =

0.21, r4 = 0.11, e |rk| 5 0.09 para k > 4. Com base somente nestas informaes,que modelo ARIMA ns poderamos especificar para esta srie?6) Um srie estacionria de tamanho N = 121 produz as seguintes autocorre-

laes parciais estimadas: b11 = 0.8, b22 = 0.6, b33 = 0.08, e b44 = 0.00. Basedosomente nestas informaes, que modelo poderamos especificar para esta srie?7) Para uma srie de 169 observaes, encontramos que: r1 = 0.41, r2 = 0.42,

r3 = 0.26, r4 = 0.21, e r5 = 0.16. Qual modelo se ajustaria a este padro deautocorrelaes?8) As autocorrelaes amostrais para a primeira diferena so dadas na tabela

abaixo (N = 100).

FACA 1 2 3 4 5 6Zt 0.97 0.97 0.93 0.85 0.80 0.71Zt -0.42 0.18 -0.02 0.07 -0.10 -0.09

Baseado nas informaes, quais modelos ARIMA poderamos identificar para asrie?9) Para a srie de tamanho 64, as facp amostrais so dadas por:

1 2 3 4 5 60.47 -0.34 0.20 0.02 0.15 -0.06

Quais modelos poderamos considerar neste caso?10) Suponha Xt um processo estacionrio AR(1) com parmetro , mas que

podemos somente observarZt = Xt +Nt

onde Nt um rudo branco independente de Xt.a) Encontre a fac para o processo Zt em termos de ,2X , e

2N .

b) Qual modelo ARMA podemos identificar para Zt?

46

Captulo 7

Estimao dos Parmetros

Neste captulo vamos trabalhar com a estimao dos parmetros para o modeloARIMA, considerando a srie temporal observada Z1, Z2, ..., Zn. Assumiremos queo modelo j foi especificado, isto , ns j especificamos os valores para p,d e q ut-lizando os mtodos do captulo 5. Com relao a sries no-estacionrias, faremosa d-sima diferena da srie observada at torna-l um processo estacionrio AR-MA(p,q). Na prtica, ns trabalhamos com a d-sima diferena da srie temporaloriginal, estimando os parmetros, a partir, do modelo completo. Para simplificar oestudo sobre estimao, definimos Z1, Z2, ..., Zn como um processo estacionrio ob-servado da srie original, depois de diferenada adequadamente. Primeiramenteapresentaremos as estimativas preliminares, em seguida apresentaremos os esti-madores do mtodo do momentos, de mnimos quadrados e o estimador de mximaverossimilhana.

7.1 Estimativas Preliminares na identificao do modelo que so obtidas as estimativas preliminares, que seroutilizadas como valores iniciais, para as estimativas finais dos parmetros. Estasestimativas so obtidas atravs das rj da srie Wt = dZt.

7.1.1 Processos AR(p)

Para esses processos, resolvemos as equaes de Yule-Walker, com bj substitudopor rj . A estimativa da varincia do rudo banco :

b2a = b0 1 11 ... ppcom b0 substitudo por c0, e os j por suas estimativas bj .7.1.2 Processos MA(q)

Para esses processos, vamos utilizar a equao

j =k + 1k+1 + ...+ qkq

1 + 21 + ...+ 2q

, j = 0, 1, ..., q

= 0, j > q.

substituindo j por rj e j por bj e a varincia do rudo estimada comob2a = b0

1 + b21 + ...+ b2q47

[email protected] CAPTULO 7. ESTIMAO DOS PARMETROS

onde b0 = c0.7.1.3 Processos ARMA(p,q)

Para esses processos, obtemos as estimativas iniciais para 1, ...,p, resolvendo asequaes: bj = b1bj1 + ...+ bpbjp, j = q + 1, ..., q + psubstituindo bj por rj . Depois a partir das relaes entre as autocorrelaes 1, ..., q,1, ...,p e 1, ..., q, obtemos b1, ...,bq e b2a.Obs.: Na tabela 9.2 do Morettin (1987) temos estimativas iniciais para os

parmetros dos modelos mais utilizados na prtica.

7.2 O Mtodo dos MomentosO mtodo dos momentos geralmente um dos mais faceis, dos mtodos para obterestimativas dos parmetros. O mtodo consiste de equacionar momentos amostraiscom momentos tericos e resolver as equaes resultante para obter estimativas dosparmetros desconhecidos.

7.2.1 Modelo Autoregressivo

Considere o modelo AR(1). Para este modelo ns temos: 1 = . Ento podemosestimar simplesmente por: b = r1Agora consideramos o caso AR(2). A relao entre os parmetros 1 e 2 e os

vrios momentos dado pelas equaes de Yule-Walker:

1 = 1 + 122 = 11 + 2

O mtodo dos momentos substitui 1 por r1 e 2 por r2 para obter:

r1 = 1 + r12r2 = r11 + 2

resolvendo estas equaes obtemos:

b1 = r1 (1 r2)1 r21 (7.1)e b2 = r2 r211 r21 (7.2)Para o caso geral AR(p) o procedimento semelhante: substituimos k por rk nasequaes de Yule-Walker para obter:

r1 = 1 + r12 + ...+ rp1p (7.3)

r2 = r11 + 2 + ...+ rp2p...

rp = rp11 + rp2 + ...+ p

Estas equaes lineares sero resolvidas para obter b1, ..., bp, em termos de r1, ..., rp.O mtodo recursivo de Durbin-Levinson (equaes 5.22) um algoritmo adequadopara resolver estas equaes, mas estar sujeito a erros, principalmente se soluoest no limite de estacionariedade (na circunferncia de raio unitrio).

48


7.2.2 Modelos Mdias-Mveis

Para o caso do modelo MA o mtodo dos momentos, no to fcil. Vamos con-siderar o processo MA(1). Da fac do MA temos:

1 =1 + 2

, || < 1. (7.4)

Podemos resolver a equao acima com relao a . Se |r1| < 0.5,ento as duasrazes so dadas por:

12r1

1

4r21 10.5

Dentre as solues s uma satisfaz a condio de invertibilidade, que pode ser escritacomo: b = 1 + 1 4r210.5

2r1(7.5)

Se r1 = 0.5, a soluo real nica, ou seja, 1, mas por outro lado, no invertvel. Se |r1| > 0.5, no existe solues reais, e o mtodo dos momentosno produz um estimador adequado para , alm disso a especificao do modelotorna-se duvidosa.Para modelos MA(q), de ordem grande, o mtodo dos momentos torna-se bas-

tante complicado. As equaes resultantes em funo dos 0s, no so lineares,entretanto, e suas solues preciso ser numricas. Porm haver vrias solucesmltiplas, das quais somente uma ser invertvel.

7.2.3 Modelos ARMA

Para esse modelo vamos considerar somente o ARMA(1,1). Da equao abaixo(captulo 4):

k =(1 ) ( )1 2+ 2

k1, para k = 1 (7.6)

Notando que 2/1 = , ns podemos primeiro estimar comob = r2r1

(7.7)

Ento podemos substituir (6.7) em (6.6) e obter

r1 =

1 bb 1 2b + 2 (7.8)

par obter a estimativa de b, resolvemos a equao em funo de , e considerandosomente a soluo invertvel.

7.2.4 Estimativas da Varincia do Rudo

O parmetro final a ser estimado a varincia 2a. Dentre todos os casos, nspodemos primeiro estimar 0 = V ar (Zt) pela varincia amostral

S2 =

nPt=1

Zt Z

2n 1 (7.9)

e da utilizamos a relao (captulo 4) que existe entre 0, 2a e os

0s, e 0s paraestimar 2a.

49


Para os modelos AR(p), temos:

b2a = 1 b1r1 ... bprpS2 (7.10)Em particular, para um processo AR(1),

b2a = 1 r21S2 (7.11)desde que b1 = r1.Para o caso MA(q), ns temos:

b2a = S21 + b21 + ...+ b2q (7.12)

Para o processo ARMA(1,1), temos:

b2a =1 b2

1 2bb+ b2S2 (7.13)7.3 Estimativas de Mnimos QuadradosComo j sabemos, o mtodo dos momentos no satisfatrio para modelos comtermos mdias mveis, precisaramos aplicar outros mtodos, e uma das alternativa o mtodo de mnimos quadrados.

7.3.1 Modelos Autoregressivos

Considere o caso AR(1), onde

Zt = (Zt1 ) + at (7.14)

Ns podemos v-lo como um modelo de regresso com varivel preditora Zt1 evarivel resposta Zt. A estimao de mnimos quadrados consiste em minimizara soma de quadrados das diferenas (Zt ) (Zt1 ) . Desde que somenteZ1, Z2, ..., Zn so observados, ns podemos somente somar de t = 2 at t = n. Seja

S (, ) =nXt=2

[(Zt ) (Zt1 )]2 (7.15)

Onde S geralmente chamada de funo da soma de quadrados condicional. Deacordo com o princpio de mnimos quadrados, ns estimamos e com respeito aosvalores que minimizam S (, ) , dado os valores observados da srie Z1, Z2, ..., Zn.Vamos considerar as derivadas S/ = 0 e S/ = 0. Ou seja,

S

=nXt=2

2 [(Zt ) (Zt1 )] (1 + ) = 0

simplificando e resolvendo para , temos

=

nPt=2Zt

nPt=2Zt1

(n 1) (1 ) (7.16)

50


Para n grande, temosnXt=2

Ztn 1

nXt=2

Zt1n 1 Z

Alm disso, temos que a equao (6.) reduz-se a

b Z Z1 = Z (7.17)

Podemos dizer ento que b = Z.Considere a minimizao de S

, Z

com relao a

S

=nXt=2

2Zt Z

Zt1 Z

Zt1 Z

= 0

simplificando e resolvendo para , temos

b =nPt=2

Zt Z

Zt1 Z

nPt=2

Zt1 Z

2 (7.18)Exeto para o termo

Zn Z

2, b = r1; alm disso os estimadores de mnimos

quadrados e mtodo dos momentos so quase idnticos, especialmente para grandesamostras.Para o processo geral AR(p), os mtodos utilizados para obter as equaes (6.16)

e (6.17) podem facilmente ser extendidos para produzir o mesmo resultado, ou seja,b = Z.Para generalizar as estimativas dos 0s, ns podemos considerar o modelo de

segunda ordem, AR(2). Substituindo b por Z na funo da soma de quadradoscondicional

S (1,2) =nXt=3

Zt Z

1

Zt1 Z

2

Zt2 Z

2(7.19)

Fazendo S/1 = 0, temos

2nXt=3

Zt Z

1

Zt1 Z

2

Zt2 Z

Zt1 Z

= 0 (7.20)

que podemos escrever comonXt=3

Zt Z

Zt1 Z

=

nXt=3

Zt1 Z

21 +

nXt=3

Zt2 Z

Zt1 Z

2

(7.21)

Agora se dividimos ambos os lados pornPt=3

Zt Z

2, obtemos:

r1 = 1 + r12 (7.22)

Fazendo o mesmo para S/2 = 0, vamos ter

r2 = r11 + 2 (7.23)

Podemos verificar que trata-se das equaes de Yule-Walker amostrais para o modeloAR(2).Inteiramente anlogo ao resultado obtido, segue-se para o caso do modelo geral

AR(p), as estimativas de mnimos quadrados dos 0s, podem ser obtidas resolvendo-se as equaes amostrais de Yule-Walker, e com uma boa aproximao.

51


7.3.2 Modelos Mdias Mveis

Considere agora a estimao de mnimos quadrados de no modelo MA(1):

Zt = at at1 (7.24)

Vamos supor que o modelo MA(1) invertvel, ou seja, || < 1, ento podemosexpress-lo como

Zt = Zt1 2Zt2 ...+ at (7.25)que um modelo AR() . Alm disso, podemos obter o estimador de mnimosquadrados, escolhendo o valor do parmetro que minimiza

S () =X

a2t (7.26)

onde, implicitamente, at = at () uma funo da srie observada e o parmetro .Da equao (6.25), claramente podemos observar que o problema de mnimos

quadrados no-linear nos parmetros. Alm disso, para o caso simples MA(1),S no pode ser minimizado analiticamente, e precisamos recorrer a tcnicas deotimizao numrica.Para uma da srie observada Z1, Z2, ..., Zn e um particular valor de , vamos

reescrever a equao (6.24) como

at = Zt + at1 (7.27)

Utilizando a equao (6.27), os valores a1, ..., an podem ser calculados recursiva-mente dado um o valor inicial a0. Um condio inicial, que se utiliza a0 = 0,obtendo

a1 = Z1 (7.28)

a2 = Z2 + a1...

an = Zn + an1

e alm disso calculamos S () =Pnt=1 a

2t , condicional a a0 = 0 para o particular

valor de .Para o caso simples de um parmetro, podemos variar no intervalo (1, 1), que

garante invertibilidade do modelo, e encontrar a soma de mnimos quadrados. Paraos modelos MA(q), um algoritmo de otimizao numrica, como o Gauss-Newton, prefervel. A aproximao de Gauss-Newton consiste em aproximar at = at ()para uma funo linear de em torno da estimativa inicial b. Que

at () atb+ b dat

bd

(7.29)

Nota-se que dat () /d pode ser calculado recursivamente diferenciando ambos oslados da equao (6.27) para obter

dat ()d

=dat1 ()

d+ at1 () (7.30)

com valor incial dat () /d = 0.Desde que a aproximao em (6.28) linear em , a soma de quadrados calcu-

lada pode ser

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Apostila de Análise de Séries Temporais