Apostila de Física Exercícios e Resoluções

8/14/2019 Apostila de Fsica Exerccios e Resolues

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IF { UFRJ { 2004/1Fsica 1 { IFA (prof. Marta)

GUIA DE ESTUDO 2Modulo 2: As Leis do Movimento

1. INTRODUC ~AO

Neste modulo, estudaremos os princpios da dinamica | a descric~ao do movi-mento de um corpo a partir de suas interac~oes. Esta discuss~ao tem por baseas Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de forca, massa,referenciais inerciais, e faremos aplicac~oes.

Leituras indispensaveis

Os topicos citados acima correspondem aos captulos 4 (sec~oes 4.1 a 4.5) e 5(sec~oes 5.1 a 5.3), e as sec~oes 13.1 e 13.2 do captulo 13 do livro texto, de H.M. Nussenzveig.

2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA

Atividade 1

Discuss~ao

{ da lei da inercia e o conceito de referenciais inerciais (sec~oes 4.1 e4.2);

{ do conceito de forca e massa, e a segunda lei de Newton (sec~oes 4.3e 4.4);

{ da terceira lei de Newton (sec~ao 4.5);

{ das interac~oes fundamentais (sec~ao 5.1);

{ e dos exemplos 1 a 6 da sec~ao 4.5 do livro texto (pag. 78 a 80).

Atividade 2

Resoluc~ao dos exerccios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Din^amica.

Atividades extras 1

1. Leia todo o captulo 4 do livro.

2. Resolva os exerccios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6.


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3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto.

Atividade 3

Discuss~ao sobre as interac~oes fundamentais e as forcas de contato (se-c~oes 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da sec~ao 5.3.

Atividade 4

Resoluc~ao dos exerccios 8 e 14 da Lista 6.

Atividades extras 2

1. Leia todo o captulo 5.

2. Releia o captulo 4.

3. Resolva todos os exerccios ja feitos novamente.

4. Resolva os exerccios 16 a 21 da Lista 6.

Atividade 5

Discuss~ao da cinematica da rotac~ao (sec~oes 3.7 e 3.8 do livro texto) eo exemplo 4 da sec~ao 5.3 do livro texto.

Atividade 6

Resoluc~ao de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^a-mica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~ao Inerciais).

Atividades extras 3

1. Leia as sec~oes 3.7 e 3.8 do livro texto.

2. Releia o captulo 5.

3. Resolva os exerccios 18 a 24 do captulo 3 do livro texto.

4. Resolver problemas que caram para tras no Guia de Es-

tudo 1, das listas 1, 2 e 3.

Atividade 7Resoluc~ao dos problemas 20 e 25 da Lista 6.


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Atividade 8

Discuss~ao dos conceitos de velocidade relativa (sec~ao 3.9), mudanca desistema de referencia, referenciais inerciais e n~ao inerciais (sec~oes 13.1,13.2 e 13.3 do livro texto), exemplicando com exerccios das Listas 8e 9.

3. ATIVIDADES FINAIS DO M ODULO 2

1. Releia os captulos 4 e 5 do livro texto.

2. Termine a lista de exerccios de 6, s obre Din^amica.

3. Faca os exerccios do Captulo 4 e 5 do livro texto.

4. Releia os captulos 2 e 3, fazendo todos os exerccios que faltavam(inclusive os de movimento circular e de movimento relativo).

5. Leia as sec~oes 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto.

6. Resolva os problemas 1, 3 e 4 do captulo 13 do livro texto.

7. Resolva todos os exerccios das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^a-mica), 7 Cinematica do Movimento Circular), 8 (Movimento Relativo)

e 9 (Referenciais N~ao Inerciais).


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Lista de exerccios 5

Vetores Novamente

1. Represente em termos dos unitarios , ^ das direc~oes x; y os vetoresrepresentados na gura.

x

y

1 21

2

1

32

1

3

2

ar

br

c

r

2. Considere os vetores:

~a = 3 + 2^

~b = + 2^

~c = 2 ^~d = 2 3^

(a) Represente cada um destes vetores num plano (x; y).

(b) Represente neste plano os vetores ~a + ~b e 2 ~c.

(c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores

(i) ~a

(ii) ~b

(iii) ~d

(iv) ~a + ~b(v) 3 ~c

(vi) ~a 2~b

(vii) ~c + ~d


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3. O produto escalar de dois vetores e uma operac~ao que associa a doisvetores ~a e ~b um numero real de valor igual a a b cos , onde e oangulo entre ~a e ~b , medido de ~a para ~b . Usa-se a notac~ao pararepresentar o produto escalar. Da gura e da denic~ao, observa-se que

~a ~b = a b cos = a ba ;

onde ~ba e a projec~ao de ~b sobre a direc~ao denida por ~a .

abr

ar

br

Demonstre que

(a) ~a ~a = a2.

(b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a ~b = 0 , ~a?~b.

(c) i ^ = 0 ; = 1 ; ^ ^ = 1 .

(d) ax = ~a

(e) ~a ~b = ~b ~a(f) ~a

~b + ~c

= ~a ~b + ~a ~c.

(g) Se ~a = ax + ay ^ + az k e ~b = bx + by ^ + bz k , ent~ao

~a ~b = ax bx + ay by + az bz

4. Para ~a = 2^ , ~b = 2 + 3^ e ~c = + ^ calcule

(a) ~a +~b

(b) 3~c

(c) 2~a ~b

(d) ~a ~b + ~c

(e) ~b (~a 2 ~c)


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5. Um bloco de massa m esta apoiado e em repouso sobre um plano in-clinado de um angulo em relac~ao a horizontal.

x

y

(a) Isole o bloco e indique todas as forcas que atuam sobre ele.

(b) Com os eixos da gura, calcule a componente x e a componente y

de cada uma das forcas atuando sobre o corpo.(c) Calcule o modulo de cada uma das forcas e o angulo entre cada

uma delas e o eixo x.

6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as forcas constantes, ex-pressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de umsistema de coordenadas cartesianos como

~F1 = + 2^ 3 k

~F2 = ^ k

~F3 = i + ^

O observador que descreve este sistema e um observador inercial.

(a) Calcule a forca resultante sobre este corpo.

(b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas forcas e daforca resultante.

(c) Calcule o angulo que a forca ~F1 faz com o eixo x.

(d) Calcule o angulo entre as direc~oes das forcas ~F2 e ~F3.

(e) Obtenha o angulo que a forca resultante faz com o eixo z.

(f) Obtenha o vetor unitario da direc~ao denida pela forca ~F1.

(g) Qual o vetor acelerac~ao deste corpo?

(h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~v = 12^16 k,e sua posic~ao em relac~ao a um ponto xo para o observador valevecr = 0, qual a trajetoria que o corpo descreve?


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7. Considere o vetor posic~ao de uma partcula de massa m = 0; 5 kgmedido por um observador xo a um sistema inercial:

~r(t) = 5 t2 + (10 t 4) ^ + 6 exp (2 t) k.

(a) Obtenha o valor do vetor posic~ao desta partcula nos instantes detempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s.

(b) Obtenha a express~ao que descreve a velocidade desta partculacomo func~ao do tempo, ~v(t).

(c) Obtenha a express~ao que descreve a acelerac~ao desta partculacomo func~ao do tempo.

(d) Calcule os valores da velocidade e da acelerac~ao da partcula nosinstantes t = 1 s e t = 4 s.

(e) Calcule a forca resultante sobre a partcula no instante t = 4 s.


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Dinamica de uma Partcula

1. Quais as forcas que atuam sobre a mac~a da gura? Onde est~ao asreac~oes a essas forcas? Considere as mesmas perguntas com a mac~acaindo. Despreze a resistencia do ar.

2. Ao caminhar, a forca de atrito e que aparentemente produz o movi-mento. Qual o sentido desta forca? Explique.

3. Um homem de peso PH, de pe sobre uma superfcie, empurra umarmario de peso PA. Considerando a existencia de atrito entre a su-perfcie do sapato do homem e o ch~ao, bem como entre o armarioe o ch~ao, esquematize claramente as forcas aplicadas no armario, nohomem e no ch~ao. Especique a origem de cada uma dessas forcas.

4. Uma partcula tem um peso de 22 N num ponto onde g = 9; 8 m=s2. (a)Quais s~ao o peso e a massa da partcula, se ela for para um ponto no

espaco onde g = 4; 9 m/s2? (b) Quais s~ao o peso e a massa da partcula,se ela for deslocada para um ponto do espaco onde a acelerac~ao de quedalivre seja nula?

5. Suponha que no futuro a \ Companhia de Pesquisas Lunares" montelaboratorios na Lua e na Terra, mantendo um servico de foguetes entreeles. Nos dois laboratorios s~ao usados quilograma-padr~ao. Um bloco demasa 10 kg e usado como \carrinho" para experiencias em uma mesasem atrito, sendo acelerado na Terra e na Lua. (a) Quando o blocoesta na Lua, sua massa e igual a massa lida na Terra?

Os experimentadores possuem uma balanca de mola A, calibrada emNewtons. Eles a usam para puxar o bloco por uma mesa lisa com umaforca de 4 N. (b) No laboratorio da Terra, com uma forca de 4 N, qualsera a acelerac~ao do bloco? Explique. (c) No laboratorio da Lua, coma mesma forca de 4 N, qual sera a acelerac~ao do bloco? Explique.


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Os experimentadores possuem tambem uma balanca de mola B, n~aograduada. No laboratorio da Terra, eles a calibram em \quilogramas-peso", suspendendo em sua extremidade quilogramas-padr~ao. Outrabalanca n~ao graduada C esta disponvel. Ela e calibrada no Labo-ratorio da Lua, da mesma forma que B foi na Terra, e sua unidadee \quilograma-peso". (d) No laboratorio da Terra, puxa-se o mesmobloco com a balanca de mola B (calibrada em quilogramas no Labo-ratorio da Terra). Se a leitura da balanca for 2,0, qual e a acelerac~aodo bloco? (e) No laboratorio da Lua, o mesmo bloco e puxado com amesma balanca B (calibrada na Terra e enviada de foguete para Lua).Se a leitura for 2,0, a acelerac~ao do bloco sera maior, menor ou igual

a encontrada no item anterior? Explique. (f) No laboratorio da Lua,o mesmo bloco e puxado, agora com o auxlio da balanca C (calibradana Lua). Se a leitura for 2,0, a acelerac~ao do bloco sera maior, menorou igual a encontrada no item (e)?

6. Dois blocos, de massas M e m, est~ao em contato apoiados sobre umamesa horizontal lisa. Uma forca ~F de modulo F e que faz um angulo com a horizontal e aplicada sobre o bloco M, como mostrado na gura.Calcule o valor da forca de contato entre os dois blocos em func~ao dosdados do problema e da acelerac~ao da gravidade g. Calcule tambem osvalores da normais de contato entre os blocos e a superfcie.

Fr

M m

6Ex.

Fr

1m

2m

7Ex.

7. Dois blocos est~ao em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma forcahorizontal e aplicada a um dos blocos, como mostrado na gura. (a) Sem1 = 2; 3 kg, m2 = 1; 2 kg e F = 3; 2 N, determine a forca de contatoentre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma forca F for aplicada

a m2, ao inves de m1, a forca de contato entre os dois blocos vale 2,1N, que n~ao e o mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferenca.

8. Tres blocos s~ao ligados, como mostrado na gura abaixo, por os demassa desprezvel. Os blocos est~ao apoiados sobre uma mesa horizontal


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lisa, e s~ao puxados para a direita por uma forca horizontal de moduloT3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule(a) a acelerac~ao do sistema e (b) as tens~oes T1 e T2 da gura.

1m 2m 3m

1T 2T

3Tr

8Ex.

9. Um arquivo, com peso de 556 N, esta parado sobre o ch~ao. O coeciente

de atrito estatico entre ele e o ch~ao e 0,68 e o de atrito cinetico e 0,56.Em quatro diferentes tentativas para move-lo, foi empurrado com forcashorizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine,para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o modulo da forca deatrito sobre ele. O arquivo esta sempre parado antes de cada tentativa.

10. Um bloco de massa 2 kg esta apoiado sobre uma mesa plana e lisa.Voce o empurra com o dedo, exercendo uma forca horizontal de modulo5,0 N. Qual a acelerac~ao provocada no bloco? Qual o valor da forcanormal de contato entre o bloco e a superfcie da mesa?

10Ex.

11Ex.

11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobrea mesa plana e lisa. Voce passa a empurra-lo com uma forca de mesmomodulo 5,0 N, mas agora fazendo um angulo = 30 com a horizontal.Qual a acelerac~ao do bloco? E qual o valor da forca normal de contatoentre o bloco e a superfcie?

12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, e apoiado

sobre uma mesa plana mas n~ao lisa. O coeciente de atrito estaticoentre o bloco e a superfcie vale 0,25 e o coeciente de atrito cineticovale 0,20.


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(a) Voce o empurra com o dedo, exercendo uma forca horizontal demodulo 4,0 N. Qual a acelerac~ao provocada no bloco? Qual o valor daforca normal de contato entre o bloco e a superfcie da mesa?

(b) Voce agora aumenta o empurr~ao, passando a exercer uma forcahorizontal de modulo 8,0 N. Qual a acelerac~ao provocada no bloco?Qual o valor da forca normal de contato entre o bloco e a superfcie?

(c) Voce passa a empurrar o bloco com uma forca de modulo 8,0 N quefaz um angulo = 30 com a horizontal. Qual a acelerac~ao do bloco,agora? E qual o valor da forca normal de contato entre o bloco e asuperfcie?

13. Um preso num carcere decide escapar deslizando por uma corda forne-cida por um cumplice. Tem como companheiro de cela um macaco, demassa 40 kg. Para isso, xa um extremo da corda a um gancho situadona parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende umpouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de60 kg. O gancho pode suportar uma trac~ao de 400 N sem quebrar. A

janela esta a 15 m do nvel do solo. Para n~ao se arriscar, o preso resolvevericar a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Aodescer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula.Qual a velocidade mnima com que o macaco e o preso dever~ao atingir

o solo de modo a n~ao quebrar o gancho?14. Um bloco de massa m e colocado sobre outro bloco de massa M, e o

conjunto e apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior,aplica-se uma forca horizontal ~F de modulo F. Observa-se que os doisblocos movem-se juntos, o de cima n~ao deslizando sobre o de baixo. Oscoecientes de atrito estatico e cinetico entre os blocos valem respec-tivamente E e C , e o atrito entre o bloco e a superfcie de apoio edesprezvel. Qual o valor maximo FMAX que a forca F pode ter paraque o bloco m n~ao se mova em relac~ao ao bloco M? Qual o valor,quando F = FMAX, da forca de contato entre os dois blocos?

m

M


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15. Um bloco de 4,0 kg e colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Parafazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que e mantido xo,uma forca horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima.O conjunto de blocos e agora colocado sobre uma mesa horizontal sematrito (veja a gura). Determine (a) a forca horizontal F maximaaplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b)a acelerac~ao resultante dos blocos.

kg04,

kg05,

16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~ao li-gados por um o, como mostra a gura. A polia e o o tem massasdesprezveis, e n~ao ha atrito entre A e a superfcie horizontal.

(a) Calcule a acelerac~ao do sistema e a forca F exercida pelo o em A.

(b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0

B deveriater a massa de B para que a forca F0 atuando sobre A seja o dobro daforca F calculada no item (a)?

(c) Comente o resultado do item (b)

para os casos em que mA = mB

e mA < mB .

A

B

16Ex.

17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg esta sobre um plano liso com in-clinac~ao de 30, preso por uma corda que passa por uma polia, demassa e atrito desprezveis. Na outra extremidade da corda esta colo-cado um segundo bloco de massa m2 = 2,30 kg, que ca penduradoverticalmente (veja gura). Quais s~ao

(a) os modulos das acelerac~oes de cada bloco e

(b) o sentido da acelerac~ao de m2?(c) Qual a tens~ao na corda?

1m2m

10Ex.

18. Dois blocos s~ao ligados atraves de uma polia, como mostrado na gura.A massa do bloco A e de 10 kg e o coeciente de atrito cinetico e 0,20.


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O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante.Qual a massa de B?

1m

2m

19. A gura mostra dois blocos em contato (m = 16 kg e M = 88 kg) quen~ao est~ao presos um ao outro. O coe ciente de atrito estatico entre elese E = 0,38, mas na superfcie embaixo de M n~ao ha atrito. Qual a

forca horizontal mnima F necessaria para manter m em contato comM?

atritosem

19Ex.

Fr

20Ex.

20. Uma forca horizontal ~F, de modulo 50 N, empurra um bloco de peso20 N contra uma parede vertical. O coeciente de atrito estatico entre

a parede e bloco e 0,40 e o de atrito cinetico e 0,30. Suponha queinicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco comecara a semover? (b) Qual a forca exercida pela parede sobre o bloco?

21. Uma partcula de massa m = 2 kg oscila sobre o eixo x de acordo coma equac~ao x = 0;2 sen(5t =6), onde x e dado em metros e t emsegundos. Qual a forca que age sobre a partcula em t = 0 s? Qual ovalor maximo dessa forca?

22. Um corpo de massa 1 kg cai de uma altura de 5 m sobre um monte deareia, e afunda 5 cm ate parar. Se supusermos que a forca de resistenciaque atua no corpo quando ele penetra na areia e constante, quanto elavale?

23. Um corpo de massa 0,5 kg, e com dimens~oes desprezveis esta caindoverticalmente em direc~ao a superfcie da Terra. Quando esta a 10 m de


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altura, com velocidade de 10 m/s, sofre a ac~ao de um forte tuf~ao que lheimprime uma forca de componente horizontal dada por 3t (em Newtons,com t em segundos) e de componente vertical 10 N dirigida para cima.Quais a velocidade e a posic~ao da partcula em cada instante? Quala equac~ao da trajetoria descrita pela partcula? Esboce a curva destatrajetoria.

24. Um homem de 80 kg pula para um patio, da beirada de uma janela queesta a apenas 0,50 m acima do solo. Ele esqueceu de dobrar os joelhos,quando aterrisou, e o seu movimento cessou numa distancia de 2,0 cm.(a) Qual a acelerac~ao media do homem, entre o primeiro instante emque seus pes tocaram o ch~ao, ao instante em que cou completamenteparado? (b) Qual a forca que o impacto transmitiu a sua estruturaossea?

25. Um disco de massa M que esta ligado por um o leve a outra massam pode deslizar sobre a mesa com atrito desprezvel, como mostradona gura. Qual deve ser o valor da massa m para que o disco descrevaum movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular !?

rm

M

26. Um motociclista habilidoso dirige ao longo de uma circunferencia hori-zontal em torno das paredes verticais de um poco cilindrico de raio R.(a) Com que velocidade mnima ele deve andar se o coeciente de atritoestatico entre os pneus e a parede e E? (b) Calcule esta velocidadepara R = 5 m e E =0,9.

27. Uma curva circular de auto-estrada e projetada para velocidades de60 km/h. (a) Se o raio da curva e 150 m, qual deve ser o angulode inclinac~ao da rodovia? (b) Se a curva n~ao fosse inclinada, qualdeveria s er o coeciente de atrito mnimo entre os pneus e a estradapara permitir o trafego a essa velocidade sem derrapagem?


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28. Uma crianca coloca uma cesta de piquenique na parte externa de umcarrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Quala velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deveser o coeciente de atrito estatico entre a cesta e o carrossel, para quea cesta n~ao deslize sobre este?

29. Um pendulo conico e formado por massa de 50 g presa p or um cord~aode 1,2 m. A massa gira formando um crculo horizontal de 25 cm deraio. (a) Qual e a sua velocidade? (b) Qual a sua acelerac~ao? (c) Quala tens~ao no cord~ao?

30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante,

tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu pesoaparente no ponto mais baixo?


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Cinematica do Movimento Circular

1. Um prato giratorio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rotac~oes porminuto. Qual a velocidade angular de rotac~ao deste disco?

2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta a

cada 2 s egundos. Calcule o modulo da velocidade do objeto se eleestiver a uma distancia (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O.

3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em umponto que dista 10 cm de seu eixo de rotac~ao vale 0; 1 m/s. Emt = 2 s, sua velocidade e o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual aacelerac~ao angular media deste corpo? (b) Supondo que a velocidadeangular esta aumentando uniformemente, quanto tempo sera necessariopara que ela passe a valer ! = 3 rad/s?

4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma distancia ` = 10 cm em

torno de um ponto O com perodo de rotac~ao xo e igual a 4 s. Quala forca resultante agindo sobre este objeto?

5. O objeto do exerccio anterior num certo instante passa a descrever ummovimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. Aacelerac~ao angular vale 0; 1 rad/s2. Qual a forca resultante agindosobre o objeto?

6. Na lista de exerccios 2, sobre Vetores, voce demonstrou no exerccio9 uma relac~ao entre os vetores unitarios na representac~ao polar e osvetores unitarios na representac~ao cartesiana,

r = cos + sen ^

= sen + cos ^


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Observando que a direc~ao destes dois vetores varia com o tempo, calcule

d r

d te

d

d t

A partir destas express~oes, e usando que o movimento e circular (r econstante)

~r = r r

demonstre que~v = ! r

~a = !2 r r + r

onde ! = d=dt e = d!=dt.


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Fs1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18



Movimento Relativo

1. Um piloto de ultraleve esta voando, e quer ir de um ponto A a umponto B distantes entre eles de 2 km. O vento esta soprando a seufavor, na direc~ao A-B. A velocidade do vento em relac~ao ao ch~ao e de

20 km/h, e o piloto consegue imprimir ao seu aparelho uma velocidadede 40 km/h em relac~ao ao ar. Qual a velocidade que um observador noch~ao mede para o ultraleve? Quanto tempo ele leva para ir de A ateB? Se as condic~oes do vento continuarem iguais, e ele resolver voltarde B para A, quanto tempo ele vai levar? E qual a sua velocidade,observada do ch~ao, na volta?

2. A distancia entre dois pontos A e B e L. Um avi~ao voa de A ate B evolta, com velocidade de modulo v constante em relac~ao ao ar. Calculeo tempo total que gastara para realizar o percurso, se o vento sopracom uma velocidade de modulo u:

(a) ao longo da linha que une A a B, indo de A para B;

(b) na direc~ao perpendicular a linha que une A e B.

Demonstre que a durac~ao da viagem sempre e maior quando ha vento.

3. Um trecho de rio tem largura constante d, e a agua move-se com ve-locidade de modulo u em relac~ao as margens. Um barco parte de umponto A em uma das margens, para alcancar um ponto B na outra,desenvolvendo uma velocidade de modulo v em relac~ao a agua. Quala orientac~ao que ele deve tomar, e que tempo levara para atravessar o

rio, se(a) o ponto B ca diretamente oposto a A?

(b) o ponto B e t al que o tempo de travessia e o menor possvel?


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Fs1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19

4. Um navio a vapor navega em direc~ao ao Sul a 25 km/h em uma regi~aoonde o vento sopra de Sudeste a 18 km/h. Qual o angulo que a fumacasaindo da chamine forma com a direc~ao Norte?

5. Um navio esta navegando paralelamente a uma linha costeira reta comvelocidade de modulo v. No instante que ele passa por um porto, umbarco da guarda-costeira sai para intercepta-lo com uma velocidade demodulo u (u > v). Que direc~ao o barco da guarda costeira deve seguirpara alcancar o navio no menor tempo possvel?

6. Um bebado sobe um rio num barco a remo, com velocidade constante.Ao passar sob uma ponte, deixa cair uma garrafa de cachaca quase

vazia. Ele somente nota o fato apos ter remado meio hora. Nesseinstante ele retorna, remando com a mesma intensidade ate encontrara garrafa, que se encontrava a um quilometro da ponte, rio abaixo.Ache a velocidade do rio. (Sugest~ao: utilize um sistema de referenciaparado em relac~ao a agua.)

7. Duas partculas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com veloci-dades constantes ~v1 = 2 cm/s e ~v2 = 3^ cm/s. No instante t = 0 elasest~ao nas posic~oes dadas por x1 = 3 cm, y1 = 0, x2 = 0, e y2 = 3 cm.Obtenha o vetor ~r2 ~r1 que representa a posic~ao da partcula 2 comrespeito a partcula 1, como func~ao do tempo. Determine em que ins-

tante de tempo elas estar~ao com a menor separac~ao possvel, e qual eesta dist^ancia de maxima aproximac~ao.


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Fs1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20



Referenciais N~ao Inerciais

1. Um homem entra numa farmacia e pesa-se em uma balanca calibradaem Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevadorque possui uma balanca tambem calibrada em Newtons. O que lera se

repetir a pesagem dentro do elevador(a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelerac~ao cons-

tante de 2 m/s2?

(b) subindo entre o terceiro e o decimo andares com velocidade cons-tante de 7 m/s?

(c) subindo entre o decimo e o decimo segundo andares com desace-lerac~ao de 2 m/s2?

(d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerandoa raz~ao de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constante

de 7 m/s, e nalmente desacelerando a raz~ao de 2 m/s2

?

2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave pos-sui acelerac~ao ~a e esta num local do espaco onde n~ao existe campogravitacional algum. O alvo esta na mesma altura das m~aos do ob-servador, e a uma distancia L deste. A velocidade inicial do projetiltem modulo v0. Faca um desenho mostrando a trajetoria seguida peloprojetil, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dadosdo problema, ache o angulo que o projetil deve fazer com a horizontalao ser arremessado para que ele atinja o alvo.


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Fs1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21

tt

6~a

-L

3. Um garoto esta sobre a carroceria de um caminh~ao, que corre sobre osolo plano com acelerac~ao ~a na direc~ao de seu movimento. Com queangulo com a vertical o garoto deve lancar uma bola de massa m para

que, quando a bola cair, ele possa apanha-la sem se mover?

4. O passageiro de um avi~ao, nervoso na decolagem, tira sua gravata edeixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durantea corrida para alcar voo, que dura 30 s, a gravata faz um angulo de150 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, equanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ehorizontal, e que a acelerac~ao do motor e constante.

5. Um objeto de massa m esta preso por uma corda de massa desprezvelao teto de um vag~ao. Num determinado instante, o vag~ao e colocado

em movimento, com uma acelerac~ao ~a horizontal de modulo constante,para a direita. O objeto ent~ao encosta na parede (como na gura). Oangulo que o o faz com o teto e . O atrito entre o objeto e a paredee desprezvel.

-~a

u

(a) Faca um diagrama das forcas que agem sobre o objeto, para umobservador xo numa estac~ao,

(b) Faca um diagrama das forcas que agem sobre o objeto, para um ob-servador dentro do vag~ao, e diga onde est~ao atuando suas reac~oes.


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Fs1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22

(c) Calcule o valor da forca de contato entre o objeto e a parede dovag~ao.

6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superfciesem atrito inclinada de 300 em relac~ao a horizontal. Suponha que estasuperfcie seja acelerada para a esquerda com acelerac~ao ~a constante.A magnitude da acelerac~ao e tal que o objeto n~ao desliza. (a) Desenheum diagrama que mostre as forcas que atuam sobre o objeto, em umsistema inercial xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelerac~ao paraque o objeto n~ao deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do pontode vista de um observador (n~ao inercial) que move-se junto com o plano

inclinado.

300 ~a

AA

AAm

7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas demesma massa m s~ao colocados em cabines montadas nas extremidadesopostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho e girado comvelocidade angular num crculo vertical em torno do ponto medio dabarra, O. Cada cabine possui uma balanca, e os astronautas se pesamsobre elas. Quando a barra com as cabines car exatamente na ver-tical, (a) faca um diagrama das forcas que agem sobre cada um dosastronautas para um observador xo na Terra; (b) repita este itempara um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a me-dida da balanca feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Quevelocidade de rotac~ao e necessaria para produzir a sensac~ao de impon-

derabilidade na cabine de cima? Nesta situac~ao, qual a leitura feita nabalanca da outra cabine?


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Fs1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23

-O

8. Um corpo de massa m esta apoiado em um suporte dentro de umcilindro de raio R que gira com velocidade angular constante emtorno de seu eixo de simetria, como mostrado na gura. Sendo ocoeciente de atrito estatico entre o corpo e a parede interna do cilindro,pergunta-se: (a) Qual o menor valor de para que o qual se pode retiraro suporte sem que o corpo deslize em relac~ao a parede do cilindro? (b)O que acontece com o valor da forca de atrito se for maior do que o

valor mnimo encontrado no item anterior?


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Fs1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24


TEXTO COMPLEMENTAR 1

Vetores

Muitas das grandezas usadas na Fsica n~ao podem ser representadas porum unico numero. Grandezas como a posic~ao de um objeto, sua velocidade,a forca aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especicac~aoprecisa, n~ao so de um valor numerico { a distancia a um ponto de referencia, ovalor medido no odometro de um carro, a intensidade da forca { mas tambem

de direc~ao e sentido.De uma maneira simplicada, um vetor e uma grandeza que p ode ser

representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmentoe o modulo do vetor, sua direc~ao e fornecida pela direc~ao da reta que suportao semento, e o sentido e dado pela orientac~ao do segmento. Um vetor emgeral e representado gracamente por uma letra com uma seta em cima, como~a; seu modulo e representado por j~aj = a.

ar

Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto e, um

vetor e um representante de um conjunto de segmentos orientados partindode diferentes pontos do espaco. Um vetor tambem e um elemento de umconjunto { chamado espaco vetorial { que associado a duas operac~oes, aadic~ao e a multiplicac~ao por escalar, tem algumas propriedades: e fechadoem relac~ao a estas duas operac~oes (a soma de dois vetores e um vetor,...),o elemento neutro da adic~ao (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos osvetores possuem elemento inverso em relac~ao a adic~ao, ....

Um exemplo de vetor bem conhecido e o vetor deslocamentode um objetopontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser represen-tado por um vetor ~d com modulo igual a distancia entre os pontos A e B,

direc~ao denida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B.

AB

dr


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Fs1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25

Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento nal que cor-responde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada.Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois doponto B ao ponto C, resulta num deslocamento nal de A a C.

A

B

1dr

C2

dr

dr

A operac~ao de adic~ao de dois vetores e denida de forma analoga a somade dois vetores deslocamentos. O vetor ~c que resulta da soma de dois outrosvetores ~a e~b, ~c = ~a+~b, e o vetor correspondente ao segmento de reta orientado

obtido de acordo com a \regra do paralelogramo". Esta regra de soma temeste nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo quepode ser formado com lados ~a e ~b.

ar

br

bacr

rr

+=

A adic~ao de vetores e comutativa

~a + ~b = ~b + ~a

e e distributiva:~a +

~b + ~c

=

~a + ~b

+ ~c

o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente.Um deslocamento ~d de um ponto A a um ponto B dene uma direc~ao,

a direc~ao da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre amesma direc~ao pode ser escrito como o produto deste deslocamento ~d porum numero real , de forma tal que a distancia percorrida seja d. Se epositivo, os sentidos s~ao os mesmos. Para voltar de B ate A, o deslocamentopode ser representado por um vetor com a mesma direc~ao, mesmo modulo e

sentido oposto, ~d.

AB

dr

dr

2dr


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Fs1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26

A operac~ao de multiplicac~ao de um vetor ~b por um escalar (um numero

real) e denida como sendo uma operac~ao cujo resultado e um vetor ~b{ cujo modulo e dado por jj b,

{ cuja direc~ao e a mesma direc~ao do vetor ~b,{ e cujo sentido e o de ~b no caso em que > 0, e contrario se < 0.

Desta maneira, a diferenca de dois vetores e a soma de dois vetores, oprimeiro com o produto escalar do segundo pelo numero real 1:

~a ~b = ~a +~b

:

ar

br

bacr

rr

+=badr

rr

=

Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m)na direc~ao de A para B pode ser o padr~ao de medida de todos os vetores quetem a direc~ao AB.

Da mesma maneira que e necessaria uma unidade de medida, um padr~ao,para a descric~ao de grandezas escalares (como t emperatura, massa), pre-cisamos de um padr~ao de medida para vetores. Mas a especi cac~ao de umvetor exige modulo, direc~ao e sentido; um padr~ao para descreve-lo n~ao podeser um simples numero, tem que ter tambem direc~ao e sentido. Ou seja, e

tambem um vetor.Um vetor cujo modulo vale 1 unidade e chamado de vetor unitario. A sua

representac~ao e feita usuamente por um \chapeu" (acento circunexo) sobreuma letra: a. Da operac~ao de multiplicac~ao por escalar, podemos escreverimediatamente

~d = a d :

AB

dr

d

E para obter-se o vetor unitario associado a um vetor qualquer basta divid-lopelo seu modulo:

d =1

d~d :


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Fs1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27

Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coor-denadas { cartesiano ou outro qualquer. No espaco, s~ao necessarias trescoordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, por-tanto, precisamos de suas tres componentes ao longo de tres eixos { ou detres unitarios de direc~oes independentes. O sistema de tres vetores unitariosmais comum e um sistema constitudo de tres unitarios mutuamente perpen-diculares, com a convenc~ao de ordem indicada na gura abaixo.

i j)

k

x

y

z

Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida comosendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamentoatraves das coordenadas do ponto nal. Num plano, a descric~ao ca comona gura. As coordenadas do ponto A s~ao as componentes segundo os eixosx e y: A = (xA; yA).

y

xO

A

Ax

Ay )y,x( AA=A

O vetor ~OA = ~d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo aoeixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposic~ao ca

~rA = ~xA + ~yA

como mostrado na gura. Se denimos os unitarios das direc~oes x e y comosendo e ^, temos

~rA = xA + yA ^

y

xO

A

jyixr AAA +=r

Ax

Ay)y,x( AA=A

O vetor componente de ~rA na direc~ao x, ~xA, tem modulo igual a jxAj, poisxA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~xA


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Fs1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28

coincidir ou n~ao com o sentido do unitario . O mesmo ocorre para o vetorcomponente de ~rA na direc~ao de y, yA. Assim,

~xA = xA ; ~yA = yA ^ :

y

xO

A

jyix

yxr

AA

AAA

+=

=+=rrr

Axr

Ayr

Os valores xA e yA s~ao chamadas de componentes do vetor ~rA segundo oseixos x e y, ou segundo as direc~oes dos unitarios e ^.

A

r

x

y

x

y

=

=

senry

cosrx

Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r; ), onde rcorresponde a distancia a origem de coordenadas e o angulo que a direc~aoOA faz com um eixo arbitrario { no caso o eixo x. As duas descric~oesA = (r; ) = (x; y) est~ao relacionadas atraves das express~oes

x = r cos ; y = r sen

r =q

x2 + y2 ; = arctgy

xe e imediatamente claro que 0 < 2, x e y podem ser maiores, iguais oumenores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao modulodo vetor ~OA.

As operac~oes de adic~ao de vetores e multiplicac~ao por escalar podem serfeitas em termos de componentes.

ar

br

xxx bac +=

xaxb xc

bacr

rr

+=

cr

x

Da gura, para a adic~ao de vetores

cx =

~a +~bx

= ax + bx


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Fs1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29

e de forma analogacy =

~a + ~b

y

= ay + by

Para a multiplicac~ao de um vetor por um escalar,

ar

xx ab =

xa

abr

r

=

x

br

xb

bx = ( ~a)x = ax ; by = ( ~a)y = ay :

Duas outras operac~oes com vetores s~ao usadas para a denic~ao de con-ceitos fsicos.

A primeira operac~ao e o chamado produto escalar de dois vetores. Nestaoperac~ao, a um par de vetores ~a e ~b associa-se um numero real ~a ~b denidocomo

~a ~b = a b cos

onde e o angulo entre as direc~oes de ~a e ~b.

ar

br

ba

= cosaab

Esta denic~ao e equivalente a dizer que o produto escalar de ~a por ~b e oproduto do modulo de ~b pela projec~ao de ~a na direc~ao de ~b. Geometricamente,verica-se trivialmente que

~a ~b = ~b ~a

~a ~a = a2

~a ~b = 0 (a 6= 0; b 6= 0) () ~a?~b

~a ~b + ~c

= ~a ~b + ~a ~c

Se os vetores ~a e ~b s~ao paralelos, ~a ~b = a b. Se s~ao anti-paralelos (seus

sentidos s~ao opostos) ~a ~b = a b.Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as pro-

priedades anteriores. Se ~a = ax + ay ^ + az k e ~b = bx + by^ + bz k , ent~ao

~a ~b =

ax + ay ^ + az k

bx + by ^ + bz k

= ax bx + ay by + az bz


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Fs1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30

Da denic~ao do produto escalar, tambem, pode-se demonstrar que

ax = ~a ; ay = ~a ^ ; az = ~a k

cos =~a ~b

a b

O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~oes em Fsica coma denic~ao de trabalho realizado por uma forca ~F num deslocamento:

WFAB =Z

~F d~r :

A outra operac~ao, o produto vetorial entre dois vetores, associa a doisvetores ~a e ~b um terceiro vetor c

~c = ~a ~b

com o modulo dado por c = a b sen, onde e o (menor) angulo entre ~a e ~b,

com direc~ao perpendicular ao plano que contem ~a e ~b, e sentido dado pelachamada \regra da m~ao direita". Esta denic~ao esta ilustrada na gura aseguir.

ar b

r

c

r bacr

rr

=

ar

br

senb

cr

reac =

O produto vetorial de dois vetores n~ao e comutativo { a ordem dos fatorestroca o sinal do resultado. Suas propriedades tambem p odem ser vericadasfacilmente da denic~ao,

~a ~b = ~b ~a

~a ~b + ~c

= ~a ~b + ~a ~c

~a ~b = ~a ~ba~a = 0

O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos e nulo.


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Fs1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31

Em componentes,

~a ~b = (ay bz az by) + (az bx ax bz) ^ + (ax by ay bx) k

O produto vetorial aparece em Fsica na denic~ao de torque de uma forcaem relac~ao a um ponto, e momento angular de uma partcula em relac~ao aum ponto:

= ~r ~F

~LO = ~r ~p = m ~r ~v


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Fs1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32


Lista de exerccios 6 { Respostas

1. Peso (reac~ao sobre a Terra) e sustentac~ao (reac~ao sobre a ponta docabo). Quando a mac~a esta caindo, atua apenas o peso.

2. No sentido do movimento do corpo.

3. No armario: peso, normal, atrito e empurr~ao do homem. No homem:peso, normal, atrito, reac~ao ao empurr~ao.

4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg.

5. (Discutir com o professor.)

6. Forca de contato entre os blocos: de modulo Fcos m=(M + m), ho-rizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M. Forca decontato entre m e a superfcie: mg, vertical e para cima. Forca decontato entre M e a superfcie: Mg + Fsen , vertical e para cima.

7. (a) 1; 1 N.

8. (a) 0; 97 m/s2

; (b) T1 = 11; 6 N, T2 = 34; 8 N.

9. (a) N~ao, fat = 222 N. (b) N~ao, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d)Sim, fat = 311 N.

10. a = 2; 5 m/s2, N = 20 N.

11. a = 2; 2 m/s2, N = 22 N.

12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2,N = 24 N, caso a forca tenha direc~ao e sentido como na gura doexerccio 11.

13. macaco: v 0; homem: v 10 m/s2.

14. FMAX = E (M + m) g; f = Emg e n = mg s~ao as duas componentesda forca de contato entre os dois blocos.


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Fs1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33

15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2.

16. (a) a = mBg=(mA + mB), F = mAmBg=(mA + mB).

(b) m0B = 2mAmB=(mA mB).

17. (a) 0; 75 m/s2; (b) para baixo; (c) 21; 3 N.

18. Supondo que o angulo de inclinac~ao do plano e de 30, mB = 3; 3 kg.

19. 421 N.

20. (a) N~ao. (b) Componente vertical: 20 N, para cima; componente hori-

zontal: 50 N para a esquerda.21. F(0) = 5 N, FMAX = 10 N.

22. 1000 N.

23. Sistema de coordenadas: unitarios na direc~ao horizontal, com o sen-tido do tuf~ao, ^ para cima; a origem esta no ch~ao, bem embaixo do pontoinicial do corpo. ~v(t) = 3t2 + 10 (t 1) ^, ~r(t) = t3 + 5 (t2 2t + 2)^.

24. (a) 250 m/s2; (b) 2; 0 104 N.

25. m = M g=(!2r).

26. (a) vMIN =q

gR=E ; (b) vMIN = 13; 9 m/s = 50 km/h.

27. (a) 10; (b) 0,19.

28. (a) 0,96 m/s. (b) 0,02.

29. (a) 0,72 m/s, tangente ao crculo; (b) 2,1 m/s2, apontando para o centrodo crculo; (d) 0,5 N.

30. 192 kg.


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1


GUIA DE ESTUDO 3

Modulo 3: Trabalho e Energia

1. INTRODUC ~AO

Neste modulo, estudaremos os conceitos de trabalho e energia. Vamosdiscutir a lei da conservac~ao da energia mecanica de uma partcula, o ques~ao energia cinetica, energia potencial, e o trabalho de forcas. Comecare-

mos abordando o movimento unidimensional e a seguir generalizaremos nossoestudo para o caso do movimento geral.

Leituras indispensaveisOs topicos citados acima correspondem aos captulos 6 (sec~oes 6.1 a 6.5) e 7(sec~oes 7.1 a 7.3 e parte da sec~ao 7.6) do livro texto, de H. M. Nussenzveig.


Atividade 1

Discuss~ao

| da conservac~ao de energia mecanica num campo gravitacional (sec~ao6.1),

| da denic~ao de trabalho de uma forca,

| da denic~ao de energia cinetica e energia potencial de um corpo.(sec~ao 6.2).

Atividade 2

Resoluc~ao dos exerccios 1 e 4 da Lista 10, Trabalho e energia.

Atividades extras 1

1. Leia as sec~oes 6.1 e 6.2 do captulo 6 do livro.

2. Resolva os exerccios 2, 3, 5 e 6 da lista de trabalho eenergia.


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Fs1 { 04/1 { G.3 | p. 2

3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e 9 da lista 5 (movimentorelativo e referencias n~ao inerciais).

4. Resolva os problemas 6.2 e 6.14 do livro texto.

Atividade 3

Discuss~ao sobre o trabalho de uma forca constante de direc~ao qualquer,introduzindo o conceito de produto escalar de dois vetores (sec~ao 7.1);o trabalho de uma forca no caso do movimento geral (sec~ao 7.2); asforcas conservativas (sec~ao 7.3); e potencia (item a da sec~ao 7.6).

Atividade 4

Resoluc~ao dos exerccios 9 e 14 da lista de Trabalho e Energia.

Atividades extras 2

1. Leia as sec~oes 7.1 a 7.3 e item a da sec~ao 7.6 do captulo7 do livro texto.

2. Resolva os exerccios 8 e 10 da lista de trabalho e energia.

3. Resolva os problemas 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 e 7.19 do livrotexto.

Atividade 5

Discuss~ao sobre trabalho de uma forca variavel (sec~ao 6.3) e a con-servac~ao da energia mecanica no movimento unidimensional (sec~ao 6.4).

Atividade 6

Resoluc~ao dos exerccios 16 e 19 da lista de trabalho e energia (ououtros, a criterio do professor).

Atividades extras 3

1. Leia as sec~oes 6.3 e 6.4 do captulo 6 do livro.

2. Resolva os exerccios 17, 18, 20 e 21 da lista de trabalhoe energia.

3. Resolva os problemas 6.6, 6.7 e 6.13 do livro texto.


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Fs1 { 04/1 { G.3 | p. 3

Atividade 7

Discuss~ao do movimento unidimensional sob a ac~ao de forcas conser-vativas.

Atividade 8

Resoluc~ao dos exerccios 24 e 25 da lista de trabalho e energia.

Atividades extras 4

1. Termine de ler o captulo 6 do livro.

2. Resolva os exerccios 23, 26 e 27 da lista de trabalho eenergia.

3. Resolva os problemas 7.15, 7.16, 7.17, 7.18 e 7.20 dolivro texto.

Atividade 9

Resoluc~ao de exerccios e problemas escolhidos pelo professor.

Atividades extras 5Releia os captulos 6 e 7 (exceto as sec~oes 7.4, 7.5 e 7.6b)do livro texto.

1. Termine a lista de exerccios de trabalho e energia.

2. Faca toda a lista de exerccios 5, sobre movimento rela-tivo e referenciais n~ao inerciais.

3. Termine tudo que voce deixou para tras.

4. De uma lida na discuss~ao sobre forcas n~ao-conservativasna sec~ao 8.12 do livro de Alonso&Finn (voc^e pode en-contra-lo na biblioteca do Instituto de Fsica).

3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA

1. Leia novamente os captulos 6 e 7 do livro texto.

2. Faca todos os problemas das Listas de 1 a 10 e os do livro (Cap. 6 e7) que voce ainda n~ao fez.

3. Leia o texto complementar anexo sobre conservac~ao de energia.


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Fs1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4


TEXTO COMPLEMENTAR 2

A Conservac~ao da EnergiaRichard P. Feynman

Texto extrado do Captulo 3 | Os grandes princpios de conservac~ao

| do livro O que e uma lei fsica (The Character of Physical Law),

de Richard P. Feynman, vers~ao baseada na traduc~ao portuguesa de

Carlos Fiolhais, editora Gradiva.

Quando estudamos as leis da fsica, descobrimos que s~ao numerosas, com-plicadas e pormenorizadas. Existem leis da gravitac~ao, da eletricidade e domagnetismo, das interac~oes nucleares, etc. Mas todas essas leis particularesparecem obedecer a grandes princpios gerais. Exemplos destes ultimos s~aoos princpios de conservac~ao, algumas caractersticas de simetria, a formageral dos princpios da mecanica quantica e, infeliz ou felizmente, o fato,

ja referido, de todas as leis terem uma natureza matematica. Hoje querofalar-lhes dos princpios de conservac~ao.

O fsico usa palavras correntes com um sentido particular. Para ele uma

lei de conservac~ao signica que existe um numero que pode calcular numdado momento e que, embora a Natureza passe por uma grande profus~ao demudancas, se voltar a repetir o calculo, o resultado e o mesmo. Esse numeroe, pois, invariante. Um exemplo e a conservac~ao de energia. Existe umaquantidade, que se calcula segundo uma certa regra. O resultado do calculoe sempre o mesmo, independentemente do que aconteca.

Podemos agora ver como isso pode ser util. Suponhamos que a fsica, oumelhor a Natureza, e um grande jogo de xadrez, com milh~oes de pecas, eque estamos tentando descobrir as leis desse jogo, jogado muito rapidamentepor grandes deuses, sendo difcil observa-los e compreender as respectivas jo-

gadas. No entanto, conseguimos apreender algumas regras e, dentre estas, haalgumas que n~ao exigem a observac~ao de todos os movimentos. Por exemplo,suponhamos que so existe um bispo branco sobre o tabuleiro. Como o bispose move nas diagonais, portanto sempre em casas da mesma cor, se deixar-mos de observar o jogo dos deuses por uns momentos e voltarmos depois a


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prestar atenc~ao ao jogo, esperamos encontrar ainda um bispo branco, talveznuma outra posic~ao, mas numa casa da mesma cor. E essa a essencia dasleis de conservac~ao. N~ao precisamos ver todos os pormenores para sabermosalguma coisa sobre o jogo.

E certo que no xadrez esta lei particular n~ao e necessariamente valida emtodas as circunstancias. Se deixarmos de olhar o tabuleiro por muito tempo,pode acontecer que o bispo seja capturado, que um pe~ao seja promovido arainha ou que um deus decida que e prefervel que este pe~ao seja promovidoa bispo, cando o novo bispo numa casa preta. Infelizmente, pode aconte-cer que algumas das leis que compreendemos hoje n~ao sejam perfeitamenteexatas, mas vou considera-las tal qual as conhecemos.

Disse-lhes que usamos palavras correntes num sentido tecnico. Umapalavra que gura no ttulo desta palestra e \grande" | \Os grandes prin-cpios de conservac~ao". N~ao se trata de um termo tecnico: foi colocado nottulo apenas para obter um efeito mais dramatico. Podia muito bem terdito \As leis de conservac~ao". Ha algumas leis de conservac~ao que n~ao fun-cionam totalmente; s~ao so aproximadamente verdadeiras, o que n~ao impedeque muitas vezes sejam uteis. Podemos chamar-lhes \pequenas" leis de con-servac~ao. Embora va mencionar mais tarde uma ou duas destas leis que n~aofuncionam totalmente, as leis principais que vou discutir s~ao, tanto quantopodemos armar hoje, absolutamente rigorosas.

Comecarei pela lei mais facil de compreender, que diz respeito a con-

servac~ao da carga eletrica. Existe um numero, a carga eletrica total no uni-verso, que n~ao varia, seja o que for que suceda. Se perder carga num lugar,acabo por encontra-la noutro. A conservac~ao refere-se ao conjunto de todasas cargas eletricas. Este fato foi descoberto experimentalmente por Faraday.

(...)Foram descobertas outras leis de conservac~ao, que s~ao analogas aos prin-

cpios de contagem que vimos. Por exemplo, os qumicos pensavam a certaaltura que, em quaisquer circunstancias, o numero total de atomos de sodiose conservava. Os atomos de sodio, porem, n~ao s~ao permanentes. E possveltransformar atomos de um elemento noutro, desaparecendo completamente o

elemento original. Uma outra lei na qual se acreditou durante algum tempoarmava que a massa total de um objeto e invariante. A sua validade dependeda maneira como se dene a massa e se esta e relacionada ou n~ao com aenergia. A lei de conservac~ao da massa esta includa numa outra lei de quevou falar a seguir: a lei de conservac~ao da energia.


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A conservac~ao da energia e um pouco mais difcil, porque desta vez temosum numero que n~ao varia com o tempo e n~ao se refere a nenhum objetoparticular. Gostaria de usar uma analogia um pouco grosseira para explicaro que se passa.

Imaginemos que uma m~ae deixa o seu lho sozinho num quarto a brincarcom 28 cubos absolutamente indestrutveis. A crianca brinca com os cubosdurante todo o dia e a m~ae, quando regressa a casa, verica que ainda existem28 cubos; constatando, assim, a conservac~ao dos cubos! A cena repete-sedurante algum tempo, ate que um dia, ao voltar a casa, encontra so 27cubos. No entanto, encontra um cubo cado fora da janela, para onde acrianca o tinha atirado. A primeira coisa que e necessario compreender numa

lei de conservac~ao e que tem de se vericar se a materia observada n~ao passapara o outro lado da parede. O inverso tambem poderia ter acontecido: umamigo podia ter vindo brincar com a crianca, trazendo alguns cubos consigo.Obviamente, estas quest~oes tem de ser consideradas quando se discutem leisde conservac~ao. Suponhamos que um dia, ao contar os cubos, a m~ae notaque so ha 25, mas suspeita de que a crianca escondeu tres numa caixa debrinquedos. \Vou abrir a caixa", diz ent~ao. \N~ao", responde a crianca, \vocen~ao pode abrir a caixa." Como a m~ae e inteligente, diria: \Sei que a caixavazia pesa 600 g e que cada cubo pesa 100 g, de modo que vou pesar a caixa."Assim, para obter o numero total de cubos a m~ae escreveria

Numero de blocos observados + Peso da caixa 600g100g

sendo o resultado 28. Este metodo funciona bem durante algum tempo, masum dia a soma n~ao da certo. A m~ae verica, porem, que o nvel de aguasuja numa bacia mudou. Sabe que a profundidade da agua e de 6 cm, se n~aohouver cubos no fundo, e que o nvel subiria de 0,5 cm se um cubo estivessedentro da agua. Junta ent~ao um novo termo, cando agora com

Numero de blocos observados +Peso da caixa 600g

100g+

+ Altura da agua 6cm

0; 5cm

sendo o novo total de 28. A medida que aumenta o engenho do rapaz, au-menta tambem o da m~ae, que, de cada vez, tem de somar mais termos, todos


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representando cubos. Do ponto de vista matematico, trata-se de calculosabstratos, uma vez que os cubos est~ao escondidos.

Gostaria agora de concluir a minha analogia e de dizer o que ha de seme-lhante e de diferente entre a conservac~ao dos cubos e a conservac~ao da energia.Em primeiro lugar, suponhamos que em nenhuma das situac~oes a m~ae viucubos. O termo \numero de cubos visveis" nunca aparece. Ent~ao a m~aeestaria sempre a calcular termos como \cubos na caixa", \cubos na agua",etc. O mesmo se passa com a energia: n~ao existem cubos, tanto quanto sabe-mos. Alem disso, ao contrario do caso dos cubos, os numeros que aparecemno caso da energia n~ao s~ao inteiros. Penso no que poderia acontecer a pobrem~ae se, quando calculasse um termo, encontrasse 6 cubos e 1=8, ao calcular

um outro, obtivesse 7=8 de cubo, sendo o resto 21, o que ainda totaliza 28.E o que acontece no caso da conservac~ao da energia.Descobrimos para a energia um esquema com uma serie de regras. A

partir de cada conjunto de regras podemos calcular um numero para cadatipo diferente de energia. Quando adicionamos todos os numeros, referentes atodas as diferentes formas de energia, resulta sempre o mesmo total. Todavia,tanto quanto sabemos, n~ao existem unidades reais, n~ao ha pequenas esferasde energia. Trata-se de uma abstrac~ao, puramente matematica: ha apenasum numero que n~ao varia, qualquer que seja o modo como e calculado. N~aoconsigo dar melhor interpretac~ao do que esta.

Esta energia assume varias formas, a semelhanca dos cubos na caixa, na

agua, etc. Existe energia devida ao movimento, chamada \ energia cinetica",energia devida a interac~ao gravitacional, chamada \energia potencial gravita-cional", energia termica, energia eletrica, energia da luz, energia elastica, porexemplo, numa mola, energia qumica, energia nuclear | e existe tambem aenergia que qualquer partcula tem pelo simples fato de existir, energia quedepende diretamente da respectiva massa. Esta ultima deve-se a Einstein,como com certeza sabem. E = mc2 e a famosa equac~ao que representa a leide que estou a falar.

Embora tenha mencionado um grande numero de energias, gostaria de ex-plicar que n~ao somos completamente ignorantes e que conhecemos, de fato, as

relac~oes entre algumas destas energias. Por exemplo, aquilo a que chamamos\energia termica" e, em grande medida, a energia cinetica do movimento daspartculas no interior de um objeto. A energia elastica e a energia qumicatem ambas a mesma origem, nomeadamente as forcas interatomicas. Quandoos atomos se rearranjam segundo uma nova estrutura, verica-se que ha uma


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variac~ao de energia, implicando essa mudanca que algo mais tem de aconte-cer. Por exemplo, na combust~ao de qualquer coisa varia a energia qumica eocorre um uxo de calor: o balanco de energia tem de estar certo. As energiaselastica e q umica provem de interac~oes entre os atomos. Sabemos hoje queestas interac~oes s~ao uma combinac~ao de duas coisas, a energia eletrica e aenergia cinetica, embora esta ultima seja descrita por uma formula quantica.A energia da luz n~ao e mais do que energia eletrica, uma vez que a luz e hojeinterpretada como uma onda eletromagnetica. A energia nuclear n~ao podeser representada em func~ao das outras; de momento so posso dizer que e o re-sultado das forcas nucleares. N~ao estou falando apenas da energia produzida.No nucleo de uranio existe uma determinada quantidade de energia; quando

se desintegra, a quantidade de energia nuclear muda, mas a quantidade to-tal de energia no mundo n~ao varia: no decurso da desintegrac~ao liberta-se,portanto, calor e materia, a m de que a energia seja conservada.


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Trabalho e Energia

1. Um bloco de massa m = 0; 5 kg move-se com velocidade ~v0 constantesobre uma mesa horizontal lisa. Calcule o trabalho realizado por todasas forcas que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre os pontosA e B distantes 3 m entre si.

A B

vr

1Ex.

b

h

vr 2Ex.

2. Um bloco de massa m = 0; 2 kg move-se com velocidade ~v0 constantesobre um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. Calculeo t rabalho realizado por cada uma das forcas que atuam no bloco desdeo alto ate a base do plano inclinado.

3. Um bloco de massa m move-se sobre uma mesa horizontal. O coe-ciente de atrito cinetico entre a superfcie da mesa e o bloco e c.

Calcule o trabalho realizado por todas as forcas que atuam sobre obloco no seu deslocamento entre o ponto A, onde sua velocidade e ~v0,e o ponto B, onde o bloco para, em func~ao dos dados (m, c, v0 e g).

4. Um bloco de massa m = 0; 5 kg sobe um plano inclinado com alturah = 3 m e base b = 4 m. O coeciente de atrito cinetico entre o blocoe a superfcie e = 0; 25, a velocidade do bloco quando ele comeca asubir o plano inclinado e 8 m/s, e a acelerac~ao da gravidade pode serconsiderada como g = 10 m=s2.

(a) Calcule o trabalho realizado por todas as forcas que atuam no

bloco desde o incio da subida ate o ponto que o bloco para.(b) Calcule a variac~ao da energia cinetica do bloco.

(c) Calcule a distancia que o bloco percorreu ate parar.


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5. Para empurrar um caixote de 25; 0 kg numa rampa sem atrito quefaz um angulo de 30 com a horizontal, um operario exerce uma forcaconstante de 200 N, paralela a rampa. Se o caixote se desloca de 1; 5 m,qual o trabalho executado sobre o caixote

(a) pelo operario,

(b) pelo peso do caixote,

(c) pela forca normal exercida pela rampa sobre o caixote?

(d) Qual a variac~ao na velocidade do caixote, se ele parte do repouso?

6. Considere um corpo de massa m movendo-se sob a ac~ao de uma forca

~F constante. Demonstre que neste caso | em que a forca resultantee constante | o \teorema trabalho-energia cinetica" e equivalente aequac~ao v2f = v

2i + 2~a ~r (as vezes chamada de \equac~ao de Tor-

ricelli"), onde ~vf e a velocidade nal, ~vi e a velocidade inicial, ~a e aacelerac~ao do corpo e ~r e a distancia percorrida pelo corpo entre osinstantes inicial e nal. Mostre que se o movimento e unidimensional,esta express~ao pode ser escrita como v2f = v

2i + 2 a x, onde ~r = x .

7. Um homem de 90 kg pula de uma janela para uma rede de bombeiros,10 m abaixo. A rede se estica de 1; 0 m antes de deter a queda earremessar o homem para cima. Qual a energia potencial da rede esti-

cada, supondo que a energia mecanica e conservada?

8. Considere o sistema constitudo por um corpo de massa m ligado aum o de comprimento ` preso a um ponto A. Sabe-se que a tens~aomaxima suportada pelo o e igual a 2mg. Se a massa e solta de umponto B situado na mesma horizontal de A, a que distancia vertical habaixo desta horizontal a corda se rompe?

AB

l h


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9. Um objeto de massa m desliza ao longo de uma pista sem atrito con-tendo uma curva circular vertical de raio r, como mostrado na gura.O objeto parte do repouso de um ponto A na pista, a uma altura hacima da base da curva, passa por B, na base e da a volta na curva.

(a) Determine o modulo da velocidade do objeto nos pontos B, C eDda gura.

(b) Determine a menor altura h para que o corpo de uma volta com-pleta na pista circular.

(c) Determine a altura h0 tal que, quando a partcula atingir o pontoD, ela exerca sobre a pista uma compress~ao igual ao seu proprio

peso.

A

B

C

Dh

r

9Ex.

30

10Ex.

10. Um pendulo de 1 m de comprimento e amarrado ao topo de um armario,como mostra a gura.O peso e elevado de tal modo que a corda faca umangulo de 30 com a vertical, e, ent~ao, liberado. Se o lado do armariotiver comprimento 0; 5 m, que angulo a corda fara com a vertical quandoo p eso estiver em seu ponto mais alto sob o armario? Admita que todosos efeitos de atrito s~ao desprezveis.

11. Um objeto de massa m e amarrado num suporte no teto usando-seuma corda na e exvel de comprimento l. Ele e deslocado ate que acorda esteja esticada horizontalmente, como mostra a gura, e depoise deixado livre.

(a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela esta diretamenteabaixo do ponto de suspens~ao, na base de sua oscilac~ao.

(b) Ache a tens~ao na corda neste ponto, imediatamente antes da cordatocar no pino.


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(c) A corda e interceptada por um pino, como mostra a gura. Quala distancia b mnima para que a massa realize um giro completoem torno do pino?

l

b

11Ex.

1m

2m

h

12Ex.

12. Analise, usando considerac~oes de energia, o movimento da maquina deAtwood mostrada na gura. A corda e a polia tem massas desprezveis,a polia n~ao tem atrito, e m1 > m2. O sistema esta inicialmente emrepouso.

(a) Se voce considerar o topo da mesa sobre a qual m2 repousa comoo nvel de referencia, qual a energia total do sistema?

(b) O sistema e l iberado e m1 desce. Escreva uma express~ao para aenergia total do sistema pouco antes de m1 atingir a mesa.

(c) Com os resultados dos itens (a) e (b), determine a velocidade doscorpos pouco antes de m1 atingir a mesa.

(d) Quando m1 atinge a mesa, a corda torna-se frouxa. Use consi-derac~oes de energia para determinar a que distancia m2 se elevadepois disso.

13. Uma bola de 0; 5 kg e lancada verticalmente para cima com velocidadeinicial de 20 m/s e atinge uma altura de 15m. Calcule a perda deenergia devida a resistencia do ar. Considere g = 9; 8 m/s2.

14. (a) Usando o teorema trabalho-energia, ache a distancia mnima paraparar um automovel se movendo numa superfcie horizontal ondeo coeciente de atrito entre os pneus e a estrada e e a velocidadeinicial e v0.

(b) Qual seria a distancia mnima se v = 25; 82 m/s (96; 564 km/h) e = 0; 8?


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(c) Ache a resposta do item (a) supondo que haja um \tempo dereac~ao" tr entre o instante em que o motorista e avisado paraparar e o momento em que os freios s~ao aplicados.

(d) Qual a resposta do item (b) se o tempo de reac~ao do motorista forde 0; 65 s? Considere g = 9; 81 m/s2.

15. Um modo simples de se medir o coeciente de atrito cinetico entre duassuperfcies e mostrado na gura. Um bloco de massa m desliza numasuperfcie horizontal; a interface entre os dois e a interface de atrito aser es tudada. Este bloco e acelerado atraves de uma distancia h pelaqueda da massa m0. Depois da massa m0 bater no ch~ao, a massa m

continua a se mover ao longo da superfcie, ate parar, devido ao atrito,apos percorrer uma distancia adicional d. Usando a conservac~ao deenergia, determine:

(a) uma express~ao para o coeciente de atrito cinetico em termos dasgrandezas mensuraveis m; m0; h e d;

(b) o coeciente de atrito no caso em que m = 0; 200 kg, m0 = 20; 0 kg,h = 0; 200 m e d = 0; 500 m.

'm

m h

h

d15Ex.

1 2 3 4 5 6 7x (m)

-3

-2

-1

0

1

2

3

F (N) Ex. 16

16. Uma forca F paralela ao eixo x varia conforme o graco da gura.

(a) Determine o trabalho realizado pela forca atuando sobre uma part-cula que se move de x = 0 ate x = 3 m.

(b) Calcule o trabalho realizado por F quando a partcula passa dex = 3 m a x = 6 m.

(c) Ache o trabalho realizado no percurso de x = 0 ate x = 6 m.


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17. O graco da gura representa a variac~ao de uma forca unidimensionalem func~ao da distancia a origem do eixo x. Esta forca esta agindo sobreuma partcula de massa 2 kg que esta com velocidade 3 m/s no pontox = 0. Qual e a sua velocidade em x = 4 m?

1 2 3 4x ( m )

0

1

2

3

F (N) Ex. 17

m18Ex.

h

18. A mola representada na gura tem a massa desprezvel e sua constanteelastica tem um valor igual a k. Um bloco de massa m e largado,num certo instante, de uma altura h acima do topo da mola. Supondodesprezveis os possveis atritos, sabendo que o bloco desliza ao longode um cilindro vertical e que a extremidade inferior da mola esta xa,calcule o deslocamento maximo do topo da mola.

19. Um bloco de massa m e empurrado por uma forca ~Fext contra uma molade constante elastica k. O bloco comprime a mola a uma velocidade

constante, ate uma distancia d em relac~ao a posic~ao de equilbrio damola. A velocidade do bloco (e de seu extremo) pode ser consideradacomo sendo muito pequena, de forma tal que podemos desprezar aenergia cinetica do bloco no processo de compress~ao da mola. Logoque a mola ca comprimidade de d, solta-se o bloco e este desliza pelapista, como mostra a gura. N~ao existe atrito em parte alguma.

k m extF

r

d

19Ex.

B

C

h


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(a) Qual e o trabalho Wext realizado pela forca ~Fext? Em que foitransformado este trabalho?

(b) Qual e a velocidade ~v0 do bloco quando chega ao ponto B, a peda pista curvilnea?

(c) Qual a altura que o bloco atinge, ao chegar ao ponto C, onde para?

(d) Calcule os valores das grandezas obtidas nos itens anteriorespara o caso em que k = 200 dinas/cm, d = 2 m e m = 2 g.Indique as unidades de cada grandeza que calcular. Considereg = 10 m/s2.

20. Um objeto move-se ao longo do eixo x impulsionado por duas forcas,

~F1 e ~F2, como mostrado na gura. O modulo da forca ~F1 varia com xe o de ~F2 e constante e igual a 20 N.

(a) Determine o trabalho realizado por ~F1 quando o objeto se movede x = 0 ate x = 3 m.

(b) Qual o trabalho correspondente realizado por ~F2?

(c) Qual a velocidade do objeto em x = 3 m, se ele parte do repousoem x = 0 e seu peso e de 80 N? Suponha que n~ao exista atritoentre o corpo e a superfcie e considere g = 10 m/s2.

1Fr

2F

r

60

20Ex.

km

21Ex. C

Ch

Bh

B

21. Um bloco de massa m = 0; 2 kg esta encostado em uma mola compri-mida de 8 cm em relac~ao ao seu comprimento normal. Ao ser liberadaa mola, o bloco desloca-se plano inclinado acima, chegando ao pontoB (altura hB = 1; 8 m) com velocidade vB = 4 m/s. Considere queno trecho ate B n~ao ha atrito. A partir de de B o atrito n~ao e mais

desprezvel, e o bloco nalmente para no ponto C(altura hC = 2; 2 m).A inclinac~ao do plano e de 30.

(a) Calcule, em func~ao dos dados do problema, o valor da constanteelastica da mola.


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(b) Qual o trabalho realizado pela forca de atrito desde o instanteinicial ate o instante em que o bloco para?

(c) Determine o coeciente de atrito entre o bloco e a superfcie doplano inclinado no trecho BC.

22. Considere dois observadores, o primeiro xo ao solo e o outro num tremque se move com velocidade uniforme u em relac~ao ao solo. Cada umdeles observa que uma partcula de massa m, inicialmente em repousoem relac~ao ao trem, e acelerada por uma forca constante aplicada a eladurante um intervalo de tempo t, e orientada no sentido do movimento.

(a) Mostre que, para cada observador, o trabalho realizado pela forcae igual ao acrescimo de energia cinetica da partcula, mas que umobservador (no trem) mede estas grandezas como sendo 1=2ma2t2,enquanto que o outro (no solo) encontra 1=2ma2t2 + maut, ondea e a acelerac~ao da partcula vista pelos dois observadores.

(b) Explique as diferencas entre os trabalhos realizados pela mesmaforca em termos das diferentes distancias nas quais os observadoresmedem a forca que atua durante o tempo t. Explique as diferentesenergias cineticas nais medidas por cada observador em func~ao dotrabalho que a partcula poderia realizar ao ser trazida ao repouso,em relac~ao ao sistema de referencia de cada observador.

23. Considere o sistema constitudo por uma massa m apoiada numa mesahorizontal lisa e presa a uma extremidade de uma mola de massa des-prezvel e constante elastica k. A outra extremidade da mola esta xa.

(a) Calcule a energia potencial do sistema e trace o graco desta func~ao.

(b) Se o sistema massa-mola for comprimido de uma distancia d emrelac~ao ao seu comprimento de equilbrio, qual e a energia total dosistema?

(c) Para a energia do item (b), quais as regi~oes do espaco em que amassa pode ser encontrada?

(d) Calcule os valores maximo e mnimo da velocidade da massa. Emque pontos esses valores ocorrem?


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Fs1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 17

24. Uma partcula desloca-se sobre um eixo x sob ac~ao de uma forca resul-tante conservativa cuja energia potencial esta representada no graco.No instante inicial a partcula estava no ponto x1, afastando-se daorigem do eixo x.

x7 x8 x9x4 x5x2 x3x6x1

x

U(x)

(a) Descreva o movimento da partcula quando a energia mecanica totale E1. Caso existam, quais s~ao os pontos de invers~ao neste movimento?

(b) Repita o item (a) no caso em que a energia mecanica total e E2.

(c) Idem para o caso em que a energia mecanica total e E3.

(d) Em que regi~oes do eixo x a forca resultante aponta para a origemdo eixo x? Justique todas as suas respostas.

25. Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x esta sujeito a umaforca dada porF(x) = 2x

onde x e dado em metros e F em Newtons.

(a) Determine a energia potencial U em func~ao de x, considerandoU(0) = 0.

(b) Trace o graco de U contra x.

(c) Qual o ponto de equilbrio estavel e qual a energia do corpo nestasituac~ao?

(d) Se em x = 0 o corpo tem velocidade v0 = 1 m/s, qual a regi~ao dex para a qual o corpo oscila?

26. Uma partcula de massa m = 2 kg move-se ao longo de uma linha retaem uma regi~ao em que a sua energia potencial varia como na gura.


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Fs1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 18

N~ao ha forcas dissipativas agindo. Quando x!1

, a energia potencialse anula.

x2

x1

6

-5

x

U(x)

(a) Sabendo-se que a partcula se aproxima da origem (x = 0) e que

sua energia cinetica quando esta muito longe dela e de 10 J, determineo modulo de sua velocidade ao passar pelos pontos x1 e x2.

(b) Em que regi~ao a partcula pode ser encontrada se sua energia totalfor de 3 J?(c) Neste caso, quanta energia deve ser fornecida a partcula para queela se afaste indenidamente da origem?

27. A energia potencial de uma partcula de massa m em func~ao de suaposic~ao x esta indicada na gura. Calcule o perodo de uma oscilac~aocompleta, caso a partcula tenha uma energia mecanica total dada porE = 3U0=2.

E

2U 0

U 0

0 bx

U(x)


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Fs1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 19


Lista de exerccios 10 { Respostas

1. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 0 J.

2. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6; 0 J; WATRITO = 6; 0 J.

3. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6; 0 J; WATRITO = 12

m v2.

4. (a) WNORMAL = 0 J; WPESO = 0 J; WATRITO = 4; 0 J;

(b) Ec = 16; 0 J; (c) 4; 0 m.5. (a) 300; 0 J; (b) 187; 5 J; (c) 0 J; (d) 3; 0 m/s.

6. (Leia a demonstrac~ao no livro texto, e discuta com seu professor.)

7. 9; 9 103 J.

8. 23

`.

9. (a) vB =p

2 g h ; vC =q

2 g (h r) ; vD =q

2 g (h 2r) ;(b) h = 5 r=2; (c) h0 = 3r.

10. arccos 0; 73 = 43.

11. (a)p

2g` ; (b) 3mg ; (c) 25

`.

12. (a) m1 g h ; (b)1

2(m1 + m2) v2 + m2 g h ;

(c)q

m1m2m1+m2

2 g h ; (d) m1m2m1+m2 h.

13. 25 J.

14. (a) v2

=(2g); (b) 42 m; (c) v2

=(2g) + v tr ; (d) 59 m.

15. (a) = (m0 h) = [(m + m0) d + m h]; (b) 0; 39.

16. (a) 7; 5 J; (b) 3; 0 J; (c) 4;5 J.

17. 3; 9 m/s.


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Fs1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 20

18. mg=k 1 + q1 + 2kh=(mg) .

19. (a) WEXT = 12

kd2; em energia potencial elastica; (b) v =q

k=md;

(c) h = kd2=(2mg); (d) WEXT = 0; 4 J, v = 20 m/s, h = 20 m.

20. (a) 0 J; (b) considerando o angulo entre ~F2 e a horizontal como sendode 60, 30 J; (c) 2; 7 m/s.

21. Usando g = 10 m/s2, (a) k = 1625 N/m, (b) WAT = 0; 8 J, (c) 0; 6.

22. (Discuta com o seu professor).

23. (a) Considerando a energia potencial elastica igual a zero quando a molan~ao esta comprimida nem distendida, Ep =1

2k x2 (x e o deslocamento

da massa em relac~ao a posic~ao de equilbrio do sistema). (b) E = 12

k d2.

(c) d x + d. (d) vMAX = +q

k=m;d e vMIN = q

k=m;d; ambasocorrem quando x = 0.

24. As energias n~ao est~ao indicadas na gura; considere E1 como sendo aenergia associada a linha pontilhada mais baixa, E2 a seguinte, e E3 amais alta. (a) Movimento oscilatorio entre os pontos x1 e x3; pontos deinvers~ao x1 e x3. (b) O corpo move-se aumentando sua velocidade atex2, e comeca, a partir da, a ter sua velocidade reduzida, ate parar em

x4; nesse ponto, e acelerado para x = 0. (c) O corpo move-se ate x9 eretorna. (d) Ate o primeiro maximo (n~ao indicado na gura, antes dex1) a forca e negativa (aponta para a origem do eixo); a forca tambemaponta para x = 0 em: x2 < x < x4 e x > x6.

25. (a) U(x) = x2. (c) x = 0; para ocorrer equilbrio estavel, E = 0. (d)0; 7 x 0; 7.

26. (a) T(x1) = 4 J, T(x2) = 15 J. (b) Substitua no enunciado \se suaenergia total for de 3J" por \se sua energia total for de 5 J": emx = x1. (c) Nesse caso, 11 J.

27. Na gura, falta a indicac~ao do valor de x para o qual a energia potencialsalta do valor U para o valor 1; 5 U; considere esse valor como sendo1; 5 b.

perodo completo = 2 bq

7

12m=U.


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1


GUIA DE ESTUDO 4

Modulo 4: A Rotac~ao de um Corpo

1. INTRODUC ~AO

Neste modulo, estudaremos o movimento de rotac~ao de um corpo, e asgrandezas que usamos para descreve-lo: coordenada, velocidade e acelerac~aoangulares. Introduziremos o conceito de torque ~ de uma forca em relac~ao aum ponto, e momento angular ~L de um corpo em relac~ao a um ponto. Dis-

cutiremos a relac~ao entre eles, a \segunda lei" para rotac~oes. Tudo ilustradocom o movimento planetario e as leis de Kepler.

Leituras indispensaveis:Os topicos citados acima correspondem a parte dos captulos 10 (sec~oes 10.1a 10.8), 11 (sec~oes 11.3 e 11.4, e parte da sec~ao 11.2) e a revis~ao do captulo3 (sec~oes 3.7 e 3.8) do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de Fsica Basica,Vol. 1 { Mec^anica, 3a edic~ao, Editora Edgard Blucher Ltda.


Atividade extra 1

1. Resolva os exerccios 1 a 4 da Lista de Exerccios 11, maisuma sobre vetores.

Atividade 1

Discuss~ao sobre as leis de Kepler e sobre a lei da gravitac~ao universalde Newton (sec~oes 10.1 a 10.8 do livro texto); e uma revis~ao sobre adescric~ao do movimento circular (sec~oes 3.7 e 3.8 do livro texto), coma obtenc~ao da relac~ao entre raio medio da orbita e perodo (a terceiraLei de Kepler).

Atividade 2

Demonstrar, a partir da lei da gravitac~ao universal de Newton, a ter-ceira lei de Kepler para uma orbita circular (o problema inverso doresolvido na sec~ao 10.6 do livro texto).


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Fs1 { 04/1 { G.4 | p. 2

Atividades extras 2

1. Leia as sec~oes 10.1 a 10.8 do captulo 10 do livro texto.

2. Resolva os problemas 3, 4 e 6 da Lista de exerccios 12(Rotac~oes, Torque e Momento Angular da Partcula).

3. Resolva o problema 7 da Lista 11 (... E Mais Vetores).

4. Resolva os problemas 3.18, 3.19 e 3.20 do captulo 3 dolivro texto.

5. Resolva os problemas 10.1, 10.2 e 10.3 do captulo 10 dolivro texto.

Atividade 3Discuss~ao:

| o que e o produto vetorial de dois vetores, quais suas propriedadese maneiras de calcula-lo (pequeno trecho as paginas 229 e 230 da sec~ao11.2 do livro texto);

| o conceito de torque de uma forca;

| o conceito de momento angular de um corpo;

| e como reescrever a segunda lei de Newton para rotac~oes: d~Ldt

= ~res

;

| e, nalmente, como demonstrar as leis de Kepler a partir da lei da

gravitac~ao universal de Newton.

Atividade 4

Resoluc~ao dos problemas 9, 11, 12, 13 e 14 da Lista 12.

Atividades extras 3

1. Leia (releia!) as sec~oes 3.7 e 3.8 do livro texto.

2. Leia a parte da sec~ao 11.2 referente ao produto vetorialde dois vetores.

3. Leia as sec~oes 11.3 e 11.4 do livro texto.

4. Resolva todos os exerccios (os que faltam) da Lista 11,sobre vetores e produto vetorial.

5. Resolva todos os exerccios (os que faltam) da Lista 12.


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Fs1 { 04/1 { G.4 | p. 3

Atividade 5

Resoluc~ao de problemas, a criterio do professor.

Atividades extras 4

1. Releia tudo que foi indicado nas aulas anteriores.

2. Resolva todos os problemas da Lista 12 (rotac~oes, torquee momento angular) que voc^e ainda n~ao resolveu.

3. Leia as sec~oes 3.4, 3.5 e 3.6 do captulo 3.

3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA

1. Releia tudo: captulos 1 (todo), 2 (todo), 3 (todo), 4 (todo), 5 (excetosec~ao 5.4), 6 (todo), 7 (sec~oes 7.1, 7.2, 7.3 e parte a da sec~ao 7.6), 10(exceto sec~oes 10.9, 10.10 e 10.11), 11 (apenas as sec~oes 11.3 e 11.4,mais a denic~ao de produto vetorial na sec~ao 11.2).

2. Refaca todos os exemplos resolvidos do livro.

3. Termine ou refaca todos os problemas indicados neste e nos guias an-teriores.

4. Faca o que voce ainda n~ao fez.


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Fs1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 4



... e Mais Vetores

1. O produto vetorial de dois vetores e uma operac~ao que associa a doisvetores ~a e ~b um terceiro vetor ~c = ~a ~b denido por um vetor:

{ de modulo c = a b sen , onde e o menor angulo entre ~a e ~b ;

{ de direc~ao perpendicular tanto a direc~ao de ~a quanto a direc~ao de ~b;

{ de sentido (por convenc~ao) obtido atraves da regra da m~ao direita:colocando a m~ao direita com a palma aberta na direc~ao do vetor~a, tente fechar a palma levando-a de ~a para ~b atraves do menorangulo; quando o movimento de ir de ~a para ~b fechar a m~ao, osentido que o polegar apontar e o sentido de ~c.

Usa-se a notac~ao para representar o produto vetorial. Da gura eda denic~ao, observa-se que

c = j~a ~bj = a b sen = a b? ;onde ~b? e a projec~ao de ~b sobre a direc~ao perpendicular a ~a .

)

ar

br

br

bacrrr

==

ar

bacrrr

==

br

1

2

Demonstre que

(a) j~a ~bj = S, onde S e a area do paralelogramo de lados denidospor ~a e ~b.


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Fs1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 5

(b) ~a

~a = 0.

(c) ~a ~b = ~b ~a.(d) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a ~b = 0 , ~a k ~b.(e) Se e um numero real qualquer, ~a

~b

= (~a)b =

~a ~b

=

~a ~b.(f) ~a

~b + ~c

= ~a ~b + ~a ~c.

2. Considere um sistema de eixos cartesianos x;y;z

como na gura. Os unitarios destes eixos s~ao os

vetores , ^ e k respectivamente.

Demonstre as express~oes a seguir.x

y

z

(a) = ^ ^ = k k = 0 ; ^ = k ; k = ^; ^ k = .(b) Se ~a = ax + ay ^ + az k e ~b = bx + by ^ + bz k , ent~ao

~a ~b = (aybz azby) + (azbx axbz) ^ + (axby aybx) k

3. Para ~a = + ^, ~b = ^ , ~c = ^ + 2 k , e ~d = 2 + ^ k calcule

(a) ~a +~b

(b) ~a ~b(c) ~a ~b(d) ~a ~b(e)

~a + ~b

~a ~b

(f)

~a + ~b

~a ~b

(g) ~c ~d(h) ~c ~d(i) ~a

~c + ~d

(j)

~a ~b

~c


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Fs1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 6

4. Calcule o produto vetorial ~a

~b entre os vetores ~a e ~b onde

(a) ~a = 3 ^ + k e ~b = 6 + 2^ 2 k;(b) ~a e o vetor que liga os pontos O e B, e ~b e o vetor que liga os

pontos A e B do cubo de aresta 1 m da gura.

A B

O

C

5. Mostre, baseado na denic~ao geometrica do produto vetorial ou usandosua express~ao em componentes, que:

(a) a area do paralelogramo cujos lados s~ao formados pelos vetores ~a

e ~b e j~a ~b j;(b) a area do triangulo cujos lados s~ao formados pelos vetores ~a e ~b

e 12 j ~a ~b j;(c) se ~a e ~b s~ao dois vetores quaisquer, ent~ao

j~a

~b

j2 = a2 b2

~a

~b2

;

(d) se , , s~ao os angulos opostos aos tres lados ~a , ~b , ~c de umtriangulo, ent~ao (lei dos senos)

a

sen=

b

sen=

c

sen;

(e) se ~a , ~b s~ao dois vetores quaisquer,

~a +~b

~a ~b

= 2~a ~b

(interprete geometricamente este resultado);(f) ~a

~b ~c

= ~b ( ~a ~c ) ~c

~a ~b

;

(g)

~a ~b

~c =

~b ~c

~a = ( ~c ~a ) ~b.


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Fs1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 7

6. (a) Mostre que o modulo do produto triplo

j

~a ~b

~c je o volume do paraleleppedo cujos lados s~ao denidos pelos ve-tores ~a , ~b e ~c .

(b) Calcule a area da superfcie deste paraleleppedo.

(c) Considere ~a = + ^, ~b = ^ e ~c = + 2 k . Calcule a area dasuperfcie e o volume do paraleleppedo denido por estes vetores.Considere as unidades dadas no S.I.

7. Dene-se o vetor torque de uma forca em relac~ao a um ponto como

~FO = ~r ~Fonde ~r e o vetor que dene a posic~ao, em relac~ao ao ponto O, do pontode aplicac~ao da forca.

O

rv

Fr

aplicadaforaa

queemponto

Considere um objeto num ponto cuja posic~ao em relac~ao a um obser-vador xo a um ponto O e descrito por

~r = + 2^ kSobre este corpo a forca resultante atuando vale

~F = 3 ~(todas as unidades est~ao em unidades do SI.)

Calcule o torque da forca ~F em relac~ao ao ponto O.

Calcule o torque da forca ~F em relac~ao ao ponto O' cuja posic~ao emrelac~ao a O e descrita por ~OO0 = .

Os dois valores s~ao iguais?


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Fs1 { 04/1 { G.4 | p. 8



Rotac~oes, Torque e Momento Angular

1. Um LP (tambem chamado de \disco de vinil") gira num toca-discosque descreve 33 rpm. Estime a velocidade de um ponto proximo aperiferia, no incio do disco, e proximo a seu centro, no nal do disco,ambas medidas por um observador xo a Terra.

2. Para o problema anterior, estime a desacelerac~ao do prato do toca-discos quando a agulha chega a seu m e o prato para, supondo adesacelerac~ao constante e o tempo de parada da ordem de 10 s.

3. Quais os modulos da velocidade e da acelerac~ao, para um observadorsuposto inercial, xo ao seu eixo de rotac~ao, de um corpo parado sobrea superfcie da Terra (a) sobre o Equador; (b) na latitude de 23 (Riode Janeiro); (c) no polo Sul? Despreze o movimento da Terra em tornodo Sol.

4. Quais os modulos da velocidade e da acelerac~ao da Terra em seu movi-

mento de rotac~ao em torno do Sol? Suponha a orbita da Terra circular,e procure em tabelas os dados que voce precisa.

5. Um motor que move um moinho e desligado quando este ultimo gira a240 rpm. Apos 10 s, a velocidade angular e 180 rpm. Se a desacelerac~aoangular p ermanecer constante, quantas rotac~oes adicionais ele faz ateparar?

6. As duas polias d

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Apostila de Física Exercícios e Resoluções