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IT 144 Hidrulica Aplicada Maro/2012

Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 1

HIDRULICA APLICADA

1. PRINCPIOS BSICOS E PROPRIEDADES FSICAS DOS FLUIDOS

1.1 Definio de Fluidos (Streeter,1909)

Um fluido uma substncia que se deforma continuamente quando submetida a

uma tenso de cisalhamento, no importando o quanto pequena possa ser essa

tenso. Uma fora de cisalhamento uma componente tangencial de fora que age

sobre a superfcie e, dividida pela rea da superfcie, d origem tenso de

cisalhamento mdia sobre a rea. Tenso de cisalhamento num ponto o valor da

relao entre a fora de cisalhamento e a rea quando a rea tende a um ponto.

Na Figura 1, uma substncia colocada entre duas placas paralelas bem

prximas e grandes de modo que as perturbaes nas bordas possam ser

desprezadas. A placa inferior fixa, e uma fora F aplicada na placa superior, a qual

exerce uma tenso de cisalhamento (F/A)na substncia entre as placas. A a rea da

placa superior. Quando a fora Fmovimenta a placa superior com uma velocidade (no

nula) constante, no importando quo pequena seja a intensidade de F, pode-se

concluir que a substncia entre as duas placas um fluido.

Figura 1 - Deformao resultante da aplicao de fora de cisalhamento constante.

O fluido em contato com a superfcie slida tem a mesma velocidade que a

superfcie; isto , no h escorregamento na superfcie. Este um fato experimental

que observado em ensaios com vrias espcies de fluido e materiais de superfcie. O

fluido na rea abcd escoa para a nova posio abcd com cada partcula fluida

movendo-se paralelamente placa e a velocidade uvariando linearmente de zero na

placa estacionria at U na placa superior. A experincia mostra que, mantendo-se


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outras grandezas constantes, F diretamente proporcional a Ae a Ue inversamente

proporcional a t. Em forma de equao,

tUA

F = (1)

na qual um fator de proporcionalidade que depende do fluido em estudo. Sendo a

tenso de cisalhamento ( AF= ):

tU

= (2)

A relao U/t a velocidade angular do seguimento ab ou a velocidade de

deformao angular do fluido, isto , a velocidade com que o ngulo bad diminui. A

velocidade angular tambm pode ser escrita du/dy, pois tanto U/t como du/dy

expressam a variao de velocidade divida pela distncia ao longo da qual a variao

ocorre. Entretanto, du/dy mais geral porque continua vlida nas situaes nas quais

a velocidade angular e a tenso de cisalhamento variam com y. O gradiente de

velocidade du/dy pode tambm ser entendido como a velocidade com a qual uma

camada se move em relao outra adjacente. Na forma diferencial,

dydu

= (3)

a relao entre a tenso de cisalhamento e a velocidade de deformao angular paraum escoamento unidimensional. O fator de proporcionalidade chamado viscosidade

do fluido, e a equao 3, Lei de Newton da Viscosidade.

Para fins de anlise feita freqentemente a hiptese de que um fluido no-

viscoso. Com viscosidade zero, a tenso de cisalhamento sempre zero, no

importando o movimento que o fluido possa ter. Se o fluido tambm considerado

incompressvel, ele ento chamado fluido perfeito ou ideal.

1.2 Viscosidade

De todas as propriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior

considerao no estudo dos escoamentos. Viscosidade a propriedade pela qual um

fluido oferece resistncia ao cisalhamento, ou seja, ao escoamento. A lei de Newton da

viscosidade (Eq. 3) estabelece que, para uma dada velocidade de deformao angular

de um fluido, a tenso de cisalhamento diretamente proporcional viscosidade.Melao e alcatro so exemplos de lquidos muito viscosos, enquanto que gua e ar


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apresentam viscosidades muito pequenas. Assim, um fluido de maior viscosidade

apresenta maior resistncia ao escoamento que, por sua vez, demandar maior

energia.

Um fluido em repouso ou movendo-se de modo que no haja movimento relativo

entre camadas adjacentes, no apresentar foras de cisalhamento aparente, embora

tenha viscosidade, porque du/dy zero em qualquer ponto do fluido. Assim no estudo

da esttica dos fluidos, no se consideram as foras de cisalhamento porque as

mesmas no existem nessa condio e as nicas tenses atuantes so as tenses

normais ou presses.

As dimenses da viscosidade so determinadas a partir da lei de Newton da

viscosidade (Eq. 3). Isolando a viscosidade :

dy/du= (4)

Introduzindo as dimenses F, L,T de fora, comprimento e tempo:

: F L-2 u : LT- 1 y: L

resulta com a dimenso F L-2

T. Com a dimenso da fora expressa em funo damassa pelo uso da segunda lei da mecnica de Newton, F M L T-2, a dimenso da

viscosidade pode ser expressa como M L-1 T 1.

A unidade de viscosidade no SI, o newton-segundo por metro quadrado (N s m-2)

ou o quilograma por metro por segundo (kg m-1 s-1), no tem nome especial.

- Viscosidade cinemtica

A viscosidade frequentemente chamada de viscosidade absoluta ou

dinmicapara se evitar confuso com a viscosidade cinemtica, que a relao entre

viscosidade e massa especfica do fluido:

= (5)

A viscosidade cinemtica aparece em muitas aplicaes, como por exemplo, no

coeficiente denominado nmero de Reynolds, utilizado na caracterizao dos regimes

de escoamento.


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A dimenso de L2T-1.A unidade SI de viscosidade cinemtica 1,0 m2 s-1, e

a unidade inglesa usual 1 ft2 s-1.

Como dito anteriormente, a presena da viscosidade gera uma resistncia ao

deslizamento dos fluidos, tanto no interior da massa lquida (atrito interno) quanto ao

longo de superfcies slidas (atrito externo). Quando um lquido escoa em contato com

uma superfcie slida, junto mesma criada uma camada fluida, aderente, que no

se movimenta. Um exemplo importante o que ocorre com o escoamento de um

lquido em um tubo. Forma-se junto s paredes uma pelcula fluida que no participa do

movimento. Assim, junto parede do tubo, a velocidade zero, sendo mxima na parte

central (Figura 2).

Figura 2 - Perfil de velocidade em uma tubulao.

Em conseqncia dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento

de um lquido em uma canalizao somente se verifica com certa dissipao de

energia, comumente denominada por perda de carga (Figura 3).

Figura 3 Demonstrao da ocorrncia da perda de carga.

A Tabela 1 apresenta os valores de viscosidade cinemtica da gua, em funo

da temperatura.


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Tabela 1 Valores de viscosidade cinemtica da gua

Temperatura (oC) Viscosidade (x 10-6m2s-1)0 1,795 1,5210 1,31

15 1,1420 1,0125 0,9030 0,8040 0,6650 0,5660 0,4870 0,4280 0,3790 0,33

100 0,30

1.3 Demais propriedades

a) Coeso e adeso

A primeira propriedade permite s partculas fluidas resistirem a pequenos

esforos de tenso. A formao de uma gota d'gua deve-se coeso.Quando um lquido est em contato com um slido, a atrao exercida pelas

molculas do slido pode ser maior que a atrao existente entre as molculas do

prprio lquido. Ocorreu ento a adeso.

b) Presso de vapor

Dependendo da presso a que est submetido, um lquido entra em ebulio auma determinada temperatura; variando a presso, varia a temperatura de ebulio.

Por exemplo, a gua entra em ebulio temperatura de 100oC quando a presso

1,033 kgf cm-2 (1 atm), mas tambm pode ferver a temperaturas mais baixas se a

presso tambm for menor. Portanto, presso de vapor corresponde ao valor da

presso em que h mudana da fase lquida para a gasosa.

Todo lquido tem temperatura de saturao de vapor (tv) (quando entra em

ebulio), que correspondem biunivocamente a presses de saturao de vapor ou

simplesmente tenses de vapor(pv).


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Essa propriedade fundamental na anlise do fenmeno da cavitao, pois

quando um lquido inicia a ebulio, inicia-se tambm a cavitao.

c) Massa especfica, peso especfico e densidade

A massa especfica() de um fluido definida como sua massa por unidade de

volume. O peso especfico () de uma substncia o seu peso por unidade de

volume. varivel com a posio, dependendo, portanto, da acelerao da gravidade.

g= (6)

uma interessante propriedade quando se trata da esttica dos fluidos ou de lquidos

com uma superfcie livre.

A densidade(d) de uma substncia a relao entre seu peso e o peso de um

igual volume de gua nas condies normais. Pode tambm ser expressa como

relao entre sua massa ou peso especfico e os da gua.

A Tabela 2 apresenta alguns valores de massa especfica, peso especfico e

presso de vapor dgua em funo da temperatura.

Tabela 2 Valores de massa especfica, peso especfico e presso de vapor dgua

Temperatura (oC) Massa especfica(kg m-3)

Peso especfico(N m-3)

Presso de vapordagua (Pa)

0 999,8 9.805 6112 999,9 9.806 ---4 1.000,0 9.810 ---5 999,9 9.806 87310 999,7 9.803 1.26615 999,1 9.798 1.70720 998,2 9.780 2.335

25 997,1 9.779 3.16930 995,7 9.767 4.23840 992,2 9.737 7.37750 988,1 9.697 12.33160 983,2 9.658 19.92470 977,8 9.600 31.16680 971,8 9.557 47.37290 965,3 9.499 70.132

100 958,4 9.438 101.357


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Exerccio: Dois dm3de um lquido pesam 1640 gf. Calcular o seu peso especfico, sua

massa especfica e sua densidade. Resposta: = 820 kgf m-3; = 83,59 kg m-3;

d = 0,82.

1.4 Smbolos adotados e unidades usuais em Mecnica dos fluidos

As grandezas fsicas so compatveis entre si atravs de medidas homogneas,

ou seja, referidas mesma unidade. Os nmeros sem dimenso de medidas nada

informam em termos prticos: o que maior: 8 ou 80? A pergunta necessita de sentido

porque no h termo de comparao. Evidentemente que 8 m3significa mais que 80

litros (80 dm3). Poderia ser de outra forma: 8 kg e 80 kg. As "unidades" de grandezasfsicas (dimenses de um corpo, velocidade, fora, trabalho ou potncia) permitem

organizar o trabalho cientfico e tcnico sendo que, com apenas sete grandezas

bsicas possvel formar um sistema que abranja todas as necessidades.

Tradicionalmente a Engenharia usava o denominado sistema MKS (metro, quilograma,

segundo) ou CGC (centmetro, grama, segundo), ou Sistema Gravitacional, em que

unidades bsicas (MKS) so:

Tabela 3 Grandezas e unidades do sistema gravitacional

GRANDEZAS UNIDADE SMBOLO DIMENSIONAL

Fora quilograma - fora kgf FComprimento metro m L

Tempo segundo s T

Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confuso entre

as noes de peso e massa, que do ponto de vista fsico so coisas diferentes. Amassa de um corpo refere-se sua inrcia e o peso de um corpo refere-se fora que

sobre este corpo exerce a acelerao da gravidade (g). Entre a fora (F) e a massa de

um corpo existe uma relao expressa pela equao (2 lei de Newton):

kmaF= (7)

em que

k = constante;

m = massa do corpo; ea = acelerao.


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H dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI (

Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, k igual a 1 (um)

pela definio da unidade de fora e no gravitacional pela definio da unidade de

massa, ou seja:

Sistema Absoluto a unidade de fora aquela que, ao agir sobre um corpo com

a massa de um quilograma, ocasiona uma acelerao de um metro por segundo, por

segundo (1m s-2), e se denomina Newton. A unidade de massa nesse sistema

correspondente a um bloco de platina denominado quilograma prottipo, guardado

em Sevres (Frana).

Sistema Gravitacional a unidade de fora igual a unidade de massa por

unidade de comprimento por segundo, por segundo, logo a unidade de massa nestesistema igual a ggramas. Melhor explicando, o Sistema Gravitacional torna o k igual

unidade pela definio da unidade de massa. Se um corpo de peso unitrio cai

livremente, a fora unitria atuar e a acelerao ser g; logo, para que a fora

unitria produza uma acelerao unitria, a unidade de massa ser equivalente a g

unidades de peso.

No sistema mtrico seria:

1kgf = unidade de massa x 1(m s-2), logo: unidade de massa = )kg(g)ms(1

)kgf(1 2 =

Em outras palavras, a fora gravitacional comunica massa de 1 kg a

acelerao g: 1,0 kgf = g x 1,0 kg. O importante entender que o peso de um corpo

pode se reduzir a zero ao sair da gravidade terrestre, mas sua massa permanecer a

mesma.

Por conveno internacional de 1960, foi criado o Sistema Internacional de

Unidades (SI), tambm conhecido por Sistema Absoluto, legalmente em vigor no Brasile na maioria dos pases do mundo, do tipo MLT (massa, comprimento, tempo) e no

FLT (fora, comprimento, tempo) como era o Sistema Gravitacional.

As unidades bsicas desse sistema so o quilograma (neste caso seria um

quilograma massa), o metro e o segundo. Deve-se atentar para a coincidncia de

nomenclatura entre a antiga unidade peso e a atual de massa, evitando-se, assim, as

confuses da advindas, infelizmente to freqentes. A Tabela 4 apresenta as

grandezas que compe o SI.


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As abreviaturas das unidades SI so escritas com letras minsculas nos termos

como horas (h), metros (m) e segundos (s). A exceo o litro, que ao invs de se

abreviar por l, utiliza-se a letra L. Quando uma unidade designada por um nome

prprio, a abreviatura (mas no o nome por extenso) escrita com letra maiscula.

Exemplos so o Watt (W), o Pascal (Pa) e Newton (N).

Tabela 4 Grandezas bsicas componentes do SI

GRANDEZA UNIDADE SMBOLOComprimento Metro mMassa Quilograma kgTempo Segundo sIntensidade de corrente Ampre ATemperatura termodinmica Kelvin K

Intensidade luminosa Candela cdQuantidade de matria mol mol

Os mltiplos e submltiplos, expressos em potncias de 103, so indicados por

prefixos, os quais tambm so abreviados. Os prefixos usuais so mostrados na

Tabela 5.

Tabela 5 Prefixos usualmente utilizados

Mltiplo PrefixoSI

Abreviatura Mltiplo PrefixoSI

Abreviatura

109 giga G 10-3 mili m10 mega M 10- micro 10 kilo k 10- nano n10- centi c 10- pico p

Apresenta-se a seguir (Tabela 6) as grandezas mais freqentes, com suas

respectivas unidades para os clculos relacionados com as atividades da hidrulica.

2. ESTTICA DOS FLUIDOS

a parte da Hidrulica que estuda os lquidos em repouso, bem como as foras

que podem ser aplicadas em corpos neles submersos.

2.1 Presso e Empuxo


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Tabela 6 Grandezas e unidades mais utilizadas

Grandeza Smbolo UnidadesRelao com asunidades bsicas Dimensional

rea m L

Volume m L

Velocidade m s-

L T-

Acelerao m s- L T-

Massa especfica kg m- M L-

Fora N Newton kg m s- M L T-2

Presso Pa Pascal N m- M L-1T-2

Energia J Joule N m M L T-2

Potncia W Watt J s-1 M L T-3

Viscosidade dinmica P Poise 0,1 N s m- M L-1T-1

Viscosidade cinemtica St Stokes 10- m s- L T-

Momento de inrcia m L

Peso especfico N m- M L- .T-

Quando se considera a presso, implicitamente relaciona-se uma fora

unidade de rea sobre a qual ela atua. Considerando-se, no interior de certa massa

lquida, uma poro de volume V, limitada pela superfcie A (Figura 4), se dA

representar um elemento de rea nessa superfcie e dF a fora que nela atua

(perpendicularmente), a presso ser:dAdF

p=

Considerando-se toda a rea, o efeito da presso produzir uma fora resultanteque se chama empuxo (E), sendo, s vezes chamada de presso total. Essa fora

dada pela integral: =A

pdAE

Se a presso for a mesma em toda a rea, o empuxo ser: E = p A.

Figura 4 - Massa lquida em repouso, com rea A.

2.2 Lei de Pascal


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Seja um lquido homogneo e em equilbrio, no interior do qual isola-se um

prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitrio (Figura 5). Se o prisma estiver

em equilbrio, a somatria das foras atuantes na direo X ser nula. (Fx = 0).

ds

dy

sen;.dssen.ps.dypx =1=1

pspx;dsdy

psdsdy

px;dsdy

dspsdypx ===

Figura 5 Foras atuantes em um prisma.

Na direo Y deve ocorrer o mesmo: Fy = 0, havendo o equilbrio. Logo:dwcos.dsps.dxpy +1=1

2

1+=

.dxdycos.dspsdxpy

Sendo o prisma elementar, suas dimenses so infinitesimais e, portanto, a

fora resultante de seu peso desprezvel. Portanto:

pspy;

ds

dxps

ds

dxpy;

ds

dxdspsdxpy ===

Ento, px = py = ps.

Este o princpio de Pascal, que se anuncia: Em qualquer ponto no interior de

uma massa lquida em repouso e homognea, a presso a mesma em todas as

direes.

A prensa hidrulica uma importante aplicao desta lei. Na Figura 6, considereque o dimetro do mbulo maior seja de 4 vezes o dimetro do mbulo menor. Se for


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aplicada uma fora F1= 50 N, a presso do fluido transmitir, ao mbulo maior, uma

fora F2de 16 x 50 N, ou seja, F2= 800 N. (p1= p2F1A2= F2A1)

Figura 6 Desenho esquemtico de uma prensa hidrulica.

A Figura 7 ilustra uma soluo real para obteno da movimentao de uma

carga, onde esto adicionados um reservatrio e duas vlvulas de reteno que

viabilizam o movimento alternativo do cilindro 1, provocando um movimento contnuo

do cilindro 2. O cilindro 1 e as duas vlvulas caracterizam uma bomba de pisto de

simples ao, ou seja, que produz vazo apenas em um sentido de movimentao do

mbulo.

Figura 7 Exemplo de aplicao da Lei de Pascal


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2.3 Lei de Stevin

Na Figura 8, A a rea das faces, P o peso da massa lquida e h a diferena

de nvel entre os pontos considerados. Como V.P = e h.AV= ento h.A.P = .

Se o sistema estiver em equilbrio, Fy = 0 e, portanto:

Figura 8 Demonstrao da Lei de Stevin.

hpp

ouhpp

AhApAp0ApAhAp

0ApPAp

1212

12

21

21

=

=

==+

=+

A diferena de presso entre dois pontos da massa de um lquido em equilbrio

igual diferena de nvel entre os pontos, multiplicada pelo peso especfico do

lquido.

Exerccio: calcular a fora P que deve ser aplicada no mbolo menor da prensa

hidrulica da Figura 9, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no mbolo maior.

Os cilindros esto cheios de um leo com densidade 0,75 e as sees dos mbolos

so, respectivamente, 40 e 4000 cm2. Resposta: 42,8 kgf.


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Figura 9 Desenho esquemtico de uma prensa hidrulica

2.4 Manometria

As presses so grandezas fsicas muito importantes no trabalho com fluidos,

haja vista a equao fundamental da Esttica dos fluidos, que expressa em termos

de presses e esforos.

No sculo XVII Torricelli executou sua conhecida e clebre experincia ao nvel

do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercrio em uma cuba, o lquido

fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milmetros de

altura.A concluso lgica era de que o ar atmosfrico tinha peso, por conseguinte

exercia presso. Esta presso, medida ao nvel do mar, correspondia a uma coluna de

mercrio de 762 mm de altura. Este valor de presso foi chamado de "uma atmosfera

Fsica". Como o peso especfico do mercrio 13.600 kgf m-3, vem:

13.600 kgf m-3x 0,762 m = 10.363 kgf m-2= 1,036 kgf cm-2

Como a densidade do mercrio 13,6, a mesma presso atmosfrica

equilibraria uma coluna de gua de: 13,6 x 0,762 = 10,36 m.

Na prtica da hidrulica se utiliza a atmosfera "tcnica" que vale 735 mm Hg.

735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf m-2= 1,0 kgf cm-2= 1,034 atm.

A presso atmosfrica medida por barmetros ou por bargrafos, que so

barmetros registradores. A presso atmosfrica varia com a altitude; para cada 100


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metros de elevao de altitude ocorre um decrscimo na presso atmosfrica de 0,012

atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a presso :

patm= 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm

Exerccio: A Figura 10 reproduz a experincia de Torricelli em uma certa localidade,

quando foi utilizado o mercrio como lquido manomtrico. Se, ao invs de mercrio,

tivesse sido utilizado um leo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna

de leo? Resposta: 11,20 mco (metros de coluna de leo)

Figura 10 Exemplo da experincia de Torricelli.

2.4.1 Tipos de presso

A um fluido com presso atmosfrica pode-se acrescentar ou "retirar presso.

Tais presses so denominadas efetivas" ou manomtricas, por que so medidas por

manmetros e podem ser positivas ou negativas.

Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar presso

atmosfrica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar serinjetado dentro do recipiente e a presso ir subindo concomitantemente, o que ser

mostrado pelo manmetro. O ponteiro girar para a direita (rea positiva) partindo do

valor zero.

Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a presso

manomtrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vcuo, ilustrada

com o sinal (-), a presso ir caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial

(zero). Neste ponto a presso reinante no interior do recipiente somente a presso

atmosfrica, a qual no acusada por manmetros.


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Com a continuao do processo, a presso passar a ser negativa, com o

ponteiro do manmetro girando para a esquerda; estar ocorrendo o que denomina-se

"vcuo" ou depresso. Desligando-se o conjunto, o manmetro estar marcando uma

presso negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2.

Praticamente um fluido est sujeito, portanto, a dois tipos de presso: a

atmosfrica e a efetiva. A somatria dos valores das duas presses dar o que

denomina-se presso absoluta. No exemplo considerado, sendo por hiptese a

presso igual a 0,9 atm, as presses absolutas sero:

a) para presso efetiva nula (ar presso atmosfrica no interior do recipiente)

Pabs= Patm+ Pef= 0,9 + 0,0 = 0,9 atm

b) para presso efetiva de 1,2 atmPabs= Patm+ Pef= 0,9 + 1,2 = 2,1 atm

c) para presso efetiva de -0,2 atm.

Pabs= Patm+ Pef= 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm

Pode-se verificar que na situao do caso c, a presso absoluta menor que a

presso atmosfrica local; logo, h depresso ou vcuo, no interior do recipiente.

Como j mencionado a presso efetiva medida por manmetros. Vacumetro o manmetro que mede presses efetivas negativas.

Exerccio: tomando como referncia a Figura 11 e sabendo que a presso da gua

numa torneira fechada (A) de 0,28 kgf cm-2, calcule:

a) a altura da gua (H) na caixa;

b) mantendo a presso no ponto A, qual seria a densidade do lquido se H fosse

igual a 3,2 m?Resposta: a) H = 0,8 m; b) d = 0,538

2.4.2 Classificao dos medidores de presso

a) Manmetro de lquido ou de coluna lquida

So aqueles que medem as presses em funo das alturas da coluna dos

lquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam:


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Figura 11 Reservatrio e canalizao.

a1) Tubo Piezomtrico, Piezmetro simples ou Manmetro Aberto

o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente

inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a presso (Figura 12). O lquido

circulante no conduto se elevar no tubo piezomtrico a uma altura h, que corrigida do

efeito da capilaridade, d diretamente a presso em altura de coluna lquida.

PA= h

Figura 12 Esquema de um tubo piezomtrico.


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A presso no ponto A ser: hPA = (Lei de Stevin), em que PA a presso em

A (N m-2ou kgf m-2); o peso especfico do lquido (N m-3ou kgf m-3) e h a altura de

coluna lquida acima do ponto A (m).

Observaes: o dimetro do tubo piezomtrico deve ser maior que 1,0 cm, quando o

efeito da capilaridade desprezvel. O tubo piezomtrico pode ser inserido em

qualquer posio em torno de uma tubulao que o lquido atingir a mesma altura h,

acima de A.

a2) Manmetro de tubo em U

usado quando a presso a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno.

Para tanto necessrio o uso de lquidos manomtricos que permitam reduzir ou

ampliar as alturas da coluna lquida. Esta reduo ou ampliao da coluna obtida

utilizando-se um outro lquido que tenha maior ou menor peso especfico, em relao

ao lquido escoante (Figura 13).

Figura 13 Esquema de um tubo em U.

Este outro lquido denominado lquido manomtrico, e deve apresentar algumas

caractersticas, como:

- no ser miscvel com o lquido escoante;

hy


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- formar meniscos bem definidos;

- ter densidade bem determinada.

Para pequenas presses os lquidos manomtricos mais comuns so: gua,

cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para

grandes presses, o lquido mais usado o mercrio.

Nos manmetros de tubo em U, a presso j no dada diretamente pela altura

da coluna lquida, mas atravs de equaes que caracterizam o equipamento.

Para se conhecer a presso em A, deve-se proceder da forma seguinte:

1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas lquidas e

cancele as colunas equivalentes;

2) Comeando em uma das extremidades escreva o valor da presso nesseponto; sendo incgnita use um smbolo;

3) Escreva em continuao o valor da presso representada por uma a uma

das colunas lquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso

especfico do fluido; cada parcela ser precedida do sinal (+) se a coluna

tender a escoar para adiante sob a ao da gravidade e (-) em caso

contrrio;

4) Atingindo-se o ltimo menisco a expresso ser igualada presso nesseponto, seja ela conhecida ou incgnita.

Baseando-se nestes preceitos, chega-se a dois pontos: 1 e 2, onde:

PA+ 1y - 2h = Patm = 0

O ndice 2 se refere s caractersticas do lquido manomtrico.

Quando o manmetro em forma de duplo U (Figura 14) ou mais (triplo U),

prefervel comear por um dos ramos at chegar ao outro.

321 PPP ; CB PP = ; ED PP =

0hyh)hx(P 2211211A =+++

0)hh()hyx(P 22111A =++++


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Figura 14 Esquema de um manmetro de duplo U.

Exerccio: a Figura 15 representa um manmetro instalado em uma tubulao. Calcule

a presso no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, kgf cm-2e Pa (atmosfera tcnica).

Considere:

- lquido escoando na tubulao: gua;- lquido manomtrico: mercrio;

- x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm.

Resposta: 4.204 kgf m-2; 0,4204 kgf cm-2; 42.040 Pa

Figura 15 Manmetro de duplo U.

- Com base no tensimetro de mercrio da Figura 16, mostre que o potencial

matricial no ponto A 12A hhh6,12 ++=


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Figura 16 Desenho esquemtico de um tensimetro de mercrio.

a3) Manmetro Diferencial

o aparelho usado para medir a diferena de presso entre dois pontos (Figura17).

Figura 17 Esquema de um manmetro diferencial.

B231A Pyh)hyx(P =+++


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123BA )hyx(yhPP +++=

Outro mtodo:

21 PP =

1A1 )hyx(PP +++= e hyPP 32B2 ++= hyP)hyx(P 32B1A ++=+++

132BA )hyx(hyPP +++=

em que PA PB a diferena de presso entre A e B.

a4) Manmetro inclinado

Aparelho usado para medir presses ou diferenas de presses muito pequenas.A inclinao do tubo em por finalidade ampliar a escala de leitura.

Conforme Figura 18, hPA = . Mas = senLh . Portanto: = senLPA .

Figura 18 Esquema de um manmetro inclinado.

Figura 19 Esquema de um manmetro inclinado diferencial.


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B121A PxhyP =++ h)xy(PP 21AB +=

Exerccio: considere o manmetro conectado a uma tubulao, como mostra a Figura

20. Sabendo que a densidade do leo 0,83, calcule a diferena de presso entre ospontos 1 e 2. Resposta: 90,10 kgf m-2

Figura 20 Exemplo de um manmetro diferencial.

b) Manmetro metlico ou de Bourdon

So os manmetros metlicos os mais utilizados na prtica, pois permitem

leitura direta da presso em um mostrador (Figura 21).

a bFigura 21 Manmetro (a) e vacumetro (b) metlicos.


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As presses so determinadas pela deformao de uma haste metlica oca,

provocada pela presso do lquido na mesma. A deformao movimenta um ponteiro

que se desloca em uma escala.

constitudo de um tubo metlico transversal (seo reta) elptica que tende a

se deformar quando a presso P aumenta. Com isso a seo reta tende a ser circular

que por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metlico e

movimenta o ponteiro sobre a escala graduada diretamente para medir a presso

correspondente deformao. Geralmente so utilizados para medir grandes

presses.

Os manmetros metlicos devem adquiridos levando em considerao algumas

caractersticas importantes, como: tamanho, fundo de escala, material de fabricao e

necessidade da presena de glicerina.

2.4.3 Relaes entre as unidades de presso

Atmosfera padro

1 atm = 760 mmHg = 1,033 kgf cm-2= 10,33 mca = 14,7 psi = 101.337 Pa =

10330 kgf m-2= 1,013 bar = 1013 mbar

Atmosfera tcnica

1 atm = 735 mmHg = 1,0 kgf cm-2= 10,0 mca = 14,7 psi = 105Pa = 104 kgf m-2=

1,0 bar = 1000 mbar

2.5 Empuxo exercido por um lquido sobre uma superfcie plana imersa

Freqentemente, o engenheiro encontra problemas relativos ao projeto de

estruturas que devem resistir s presses exercidas por lquidos. Tais so os projetos

de comporta, registros, barragens, tanques, canalizaes e outros.

2.5.1 Grandeza e direo do empuxo

A Figura 22 mostra uma rea de forma irregular, situada em um plano que faz

um ngulo com a superfcie livre do lquido.


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Para a determinao do empuxo que atua em um dos lados da mencionada

Figura, essa rea ser subdividida em elementos dA, localizada em profundidade

genrica h e a uma distncia de y da interseo 0.

Figura 22 Representao do empuxo.

A fora agindo em dA ser: dAsenyhdApdAdF ===

Cada uma das foras dF ser normal s respectivas reas.

A resultante ou empuxo (total) sobre total rea, tambm normal, ser dado por

.ydAsendAysendFFAA ===

A ydA o momento da rea em relao interseo 0. Portanto yAydAA = ,

expresso onde y a distncia do centro de gravidade da rea at 0, e A rea total.

AsenyF =

Como

ysen = h F = h A

O empuxo exercido sobre uma superfcie plana imersa uma grandeza tensorial

perpendicular superfcie e igual ao produto da rea pela presso relativa ao centro

de gravidade da rea.

2.5.2 Determinao do centro de presso


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A Figura 23 representa a posio do centro de presso que pode ser

determinada aplicando-se o teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante

em relao interseo 0 deve igualar-se aos momentos das foras elementares dF.

F yp= dF y

Na deduo anterior,

dAysendF = e AsenyF = .

Substituindo,

dAysendAysenyAyseny A A2

p ==

Logo:

yA

I

yA

dAyy

2A

p == ,

Figura 23 - Determinao do centro de presso

Nesta expresso, I o momento de inrcia em relao ao eixo-interseo.

Mais comumente, conhece-se o momento de inrcia relativo ao eixo que passa pelo

centro de gravidade (Tabela 7), sendo conveniente a substituio.

yAII 2o += (Teorema de Huygens)

yA

yAIyp

2

0+

= yA

Iyy 0p +=

Como 20 = kAI

, quadrado do raio de girao (da rea relativa ao eixo, passando

pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, y

k+y=y

2

p .


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O centro de presso est sempre abaixo do centro de gravidade a uma distncia

igual ay

k2, medida no plano da rea.

Tabela 7 Momento de inrcia de algumas figuras

Figura I0

Retngulo 30 bh121

I =

Tringulo 30 bh561

I =

Crculo64h

I4

0

=

Exerccio: numa barragem de concreto vertical est instalada uma comporta circular

de ferro fundido com 0,20 m de raio, situada a 4,0 m abaixo do nvel da gua.

Determine o empuxo que atua na comporta e a profundidade relativa ao seu centro de

presso. Respostas: 527,78 kgf e 4,202 m

3. HIDRODINMICA (Princpios gerais do movimento e Teorema de Bernoulli)

3.1 Movimento dos fluidos

A Hidrodinmica tem por objetivo o estudo dos movimentos dos fluidos.

Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo as diversas posies dos

seus pontos a um sistema de eixos retangulares 0x, 0y, 0z.O movimento desses fluidos ficar perfeitamente determinado se, em qualquer

instante t, forem conhecidas a grandeza e a direo da velocidade v, relativa a

qualquer ponto; ou, ento, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as

componentes vx, vy, e vz, dessa velocidade, segundo os trs eixos considerados.

Alm disso, h de se considerar tambm, os valores da presso p e da massa

especfica , que caracterizam as condies do fluido em cada ponto considerado.


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O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto,

cinco incgnitas, vx, vy, vz, p e , que so funes de quatro variveis independentes, x,

y, z, e t. A resoluo do problema exige um sistema de cinco equaes.

As cinco equaes necessrias compreendem: as trs equaes gerais do

movimento, relativas a cada um dos trs eixos; a equao da continuidade, que

exprime a lei de conservao das massas; e uma equao complementar, que leva em

conta a natureza do fluido.

So dois os mtodos gerais para a soluo de problema: o mtodo de Lagrange,

que consiste em acompanhar as partculas em movimento, ao longo da suas

trajetrias; e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a

variao das grandezas mencionadas.

3.2 Vazo ou descarga

Chama-se vazo ou descarga, numa determinada seo, o volume de lquido

que atravessa essa seo na unidade de tempo.

Na prtica, a vazo expressa em m s-1ou em outras unidades mltiplas ou

submltiplas. Assim, para o clculo de canalizaes, comum empregarem-se litros

por segundo (L s-1

); os perfuradores de poos e fornecedores de bombas costumamusar litros por hora (L h-1) ou metros cbicos por hora (m3h-1).

3.3 Classificao dos movimentos

Movimento permanente aquele cujas caractersticas (fora, velocidade,

presso) so funo exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento

permanente, a vazo constante em um ponto da corrente. Matematicamente:

0

t

;0

t

p;0

t

v=

=

=

permanenteNao

tardadoRe

Acelerado

uniformeNao

Uniforme

Permanente

Movimento


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As caractersticas do movimento no permanente, alm de mudarem de ponto

para ponto, variam de instante em instante, isto , so funo do tempo. De maneira

semelhante: 0t

;0tp

;0tv

O movimento permanente uniforme quando a velocidade mdia permanece

constante ao longo da corrente ( 0Lv=

). Neste caso, as sees transversais da

corrente so iguais. No caso contrrio, o movimento permanente pode ser acelerado

ou retardado ( 0Lv

), ou seja, no uniforme.

Um rio pode servir para ilustrao (Figura 24). H trechos regulares em que o

movimento pode ser considerado permanente e uniforme. Em outros trechos

(estreitos, corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente (vazo constante),

passa a ser acelerado. Durante as enchentes ocorre o movimento no permanente: a

vazo altera-se.

Figura 24 - Movimento permanente uniforme (a), acelerado (b) e no permanente (c).

3.4 Regimes de movimento

A observao dos lquidos em movimento leva- nos a distinguir dois tipos de

movimento, de grande importncia:

a) regime laminar;

b) regime turbulento.

Figura 25 - Regimes laminar e turbulento.


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Com o regime laminar, as trajetrias das partculas em movimento so bem

definidas e no se cruzam. J o regime turbulento caracteriza-se pelo movimento

desordenado das partculas.

3.5 Linhas e tubos de corrente

Em um lquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas

orientadas segundo a velocidade do lquido e que gozam da propriedade de no

serem atravessadas por partculas do fluido.

Figura 26 - Linhas e tubo de corrente.

Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante tconsiderado, uma

partcula de fluido animada de uma velocidade v. As linhas de corrente so, portanto,

as curvas que no mesmo instante t considerado, se mantm tangentes em todos os

pontos velocidade v. Pelo prprio conceito, essas curvas no podem cortar-se.

Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contnuo, pode-se considerarum tubo de corrente como uma figura imaginria, limitada por linhas de corrente. Os

tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da propriedade de

no poderem ser atravessados por partculas de fluido: as suas paredes podem ser

consideradas impermeveis. Esses conceitos so de grande utilidade no estudo do

escoamento de lquidos.

3.6 Equaes Gerais do Movimento


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Seja no interior da massa lquida (em movimento) um ponto M, fixo, de

coordenadas x, y, e z, ao redor do qual tomamos um cubo infinitesimal de arestas dx,

dy e dz. A massa contida no cubo dxdydz (Figura 27).

Sejam vx, vy, vz, as componentes da velocidade V com que as partculas

atravessam nos sucessivos instantes de tempo o cubo em questo. Sejam ainda P e

as presses e massas especficas, grandezas que so funes contnuas e uniformes

das coordenadas.

Figura 27 - Volume lquido elementar.

Sobre o prisma, agem os seguintes esforos:

- as foras externas que dependem do volume considerado, como o peso, por

exemplo, e que podem ser expressas por suas componentes segundo cada eixo e

por unidade de massa: X, Y e Z; e

- os esforos decorrentes das presses atuantes nas faces do prisma

3.7 Equao da conservao das massas Equao da continuidade

Se no interior do cubo no h vazios (Figura anterior), ou seja, se ele permanece

cheio de fluido durante o movimento, segue-se que a diferena entre a massa que

entrou e a que saiu durante o tempo dt igual variao da massa no interior do

mesmo.


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A massa fluida que durante o intervalo de tempo dt entra pelas trs faces do

prisma :

dxdydtvdxdzdtvdydzdtv zyx ++

De outra forma, considere o tubo de corrente da Figura 28. A quantidade de fluido com

massa especfica 1que passa pela seo A1, com velocidade mdia v1, na unidade de

tempo :

1111 Av

tm

=

Figura 28 - Tubo de corrente utilizado para demonstrao do Teorema de Bernoulli.

Por analogia, na seo 2 tem-se: 2222 Avt

m=

Em se tratando de regime permanente a massa contida no interior do tubo invarivel,

logo:

MtetanconsAvAv 222111 ===

Esta a equao da conservao da massa. Tratando-se de lquidos, que so

praticamente incompressveis, 1 igual a 2. Ento:

AvQouAvAvAv nn2211 ===


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A equao da continuidade mostra que, no regime permanente, o volume de

lquido que, na unidade de tempo, atravessa todas as sees da corrente sempre o

mesmo.

3.8 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos

Aplicando-se a equao de Euler (equaes gerais do movimento) aos lquidos

em movimento permanente, sob a ao da fora gravitacional, e em dois pontos de

uma tubulao, por exemplo, tem-se:

constantez2g

v

p

z2g

v

p

1

211

2

222

=++=++

Este o importante Teorema de Bernoulli que pode ser anunciado:

Ao longo de qualquer linha de corrente constante a soma das alturas cintica (g2

v2),

piezomtrica (

p) e geomtrica ou potencial (Z). Este teorema o prprio princpio da

conservao da energia. Cada um dos termos da equao representa uma forma de

energia. importante notar que cada um dos termos pode ser expresso em metros,

constituindo o que se denomina carga.

3.9 Demonstrao experimental do Teorema de Bernoulli

Em 1875, Froude apresentou importantes experincias sobre o teorema de

Bernoulli. Uma delas consiste numa canalizao horizontal e de dimetro varivel,

conectada a um reservatrio de nvel constante (Figura 29).


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Figura 29 - Ilustrao do Teorema de Bernoulli.

Instalando-se piezmetros nas diversas sees, verifica-se que a gua sobe alturas diferentes; nas sees de menor dimetro, a velocidade maior e, portanto,

tambm maior a carga cintica, resultando menor carga de presso. Como as sees

so conhecidas, podem-se verificar a distribuio e a constncia da carga total (soma

das alturas).

Exerccio: Um lquido incompressvel de massa especfica igual a 800 kg m -3 escoa

pelo duto representado na Figura 30 com vazo de 10 L s -1. Admitindo o escoamento

como ideal e em regime permanente, calcule a diferena de presso entre as sees 1

e 2 (1 N = 1 kg m s-2). Resposta: 3.058,10 kgf m-2ou 30.000 N m-2= 30.000 Pa = 30

kPa

Figura 30 Exemplo da aplicao da equao de Bernoulli.

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