Apostila de Isostática

Revisão: 0 Data: 07/2013

____________________________________________________________________________________ Prof.: Rogério de Carvalho Paes de Andrade

e-mail: [email protected]

Apostila de

Isostática

Viga biapoiada Viga Gerber

Pórtico biapoiado Treliça

Modelo espacial de uma estrutura de rampa Perspectiva

Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade Estruturas isostáticas e-mail: [email protected]

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Sumário

Introdução ____________________________________________________________________ 2

Condições de equilíbrio ________________________________________________________ 3

Graus de liberdade____________________________________________________________ 3

Apoios _____________________________________________________________________ 4

Estabilidade e estaticidade _____________________________________________________ 4

Lista de exercícios n.º 1 ________________________________________________________ 6

Cargas _______________________________________________________________________ 8

Cargas concentradas __________________________________________________________ 8

Cargas distribuídas ___________________________________________________________ 8

Carga momento ______________________________________________________________ 8

Lista de exercícios n.º 2 ________________________________________________________ 9

Esforços internos _____________________________________________________________ 11

Definição __________________________________________________________________ 11

Lista de exercícios n.º 3 _______________________________________________________ 17

Pórticos simples ______________________________________________________________ 20

Definição __________________________________________________________________ 21


Vigas Gerber _________________________________________________________________ 25

Definição __________________________________________________________________ 25


Treliças simples ______________________________________________________________ 30

Definição __________________________________________________________________ 30


Bibliografia __________________________________________________________________ 40


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Introdução

A estrutura é um conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade

de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise

do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a

modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma

determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são:

Projeto arquitetônico:

-Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço

exterior,...)

-Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes)

Carregamento atuante:

-Permanente

-Acidental

Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento)

Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas

peculiares): o material deve estar adequado ao tipo de esforços solicitantes as estrutura

Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se:

1º.) Identificar as possíveis opções;

2º.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ;

Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e

análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta

convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto

denominado sistema estrutural.

Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que

definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças

estruturais:

Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.

Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de

grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da

seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados

são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à

solicitação por torção.


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Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira

dimensão. Subdividem-se em:

Placas: carregamento perpendicular ao plano médio.

Chapas: carregamento contido no plano médio.

Cascas: superfície média curva.

Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.

Condições de equilíbrio

Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que

elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo.

Equações universais da estática:

∑Fx = 0 ∑Mx = 0

∑Fy = 0 ∑Mx = 0

∑Fz = 0 ∑Mx = 0

A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, submetido a

um sistema de forças, é que satisfaça as equações universais da estática.

Graus de liberdade

No espaço, uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos

triortogonais e, uma rotação, como a resultante de 3 rotações, cada uma em torno de um eixos,

dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade (3 translações e 3

rotações, segundo 3 eixos triortogonais).

É evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar

toda tendência de movimento da estrutura, a fim de ser possível seu equilíbrio. Esta restrição é

dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, através do

aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que eles

impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem.


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Apoios

A função dos apoios é a de restringir os graus de liberdade das estruturas, despertando com

isto reações nas direções dos movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do

número de graus de liberdade impedidos. Para o caso das estruturas planas carregadas no

próprio plano, que é o mais frequente da análise estrutural, existem 3 graus de liberdade a

combater.

a) apoio do 1º gênero ou charriot

b) apoio do 2º gênero, articulação ou rótula

c) apoio do 3º gênero ou engaste

Estabilidade e estaticidade

Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos

possíveis da estrutura. Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número

de equações de equilíbrio disponíveis, isto é, número de incógnitas igual ao números de

equações, chegando-se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema.

Dizemos, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável.

Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos

possíveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas,

chegando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita

hipostática e será, então instável. As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as

construções.


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Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos

possíveis da estrutura. Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas,

conduzindo a um sistema indeterminado. As equações universais da estática não será, então,

suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de

compatibilidade de deformações, conforme será visto na cadeira de Teoria da estruturas.

A estrutura será dita hiperestática, continuando o equilíbrio a ser estável, aliás, poderíamos dizer,

um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável.

RESUMO:

• N.º INCÓGNITAS < N.º EQUAÇÕES = → HIPOSTÁTICA

• N.º INCÓGNITAS = N.º EQUAÇÕES = → ISOSTÁTICA

• N.º INCÓGNITAS > N.º EQUAÇÕES = → HIPERESTÁTICA

Ex.: classificar as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade.

a)

b)

c)


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Lista de exercícios n.º 1

Classifique as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade. a)

Resp.: Isostática b)

Resp.: Isostática c)

Resp.: Hipostática d)

Resp.: Hipostática e)

Resp.: Hiperestática


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f)

Resp.: Hiperestática g)

Resp.: Isostática g)

Resp.: Hiperestática i)

Resp.: Hiperestática


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Cargas

Classificação das cargas em relação à sua lei de distribuição.

Não estudaremos, por ora, a classificação das cargas quanto à sua ocorrência em relação ao

tempo.

Cargas concentradas

As cargas concentradas são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas segundo

áreas de contato tão pequenas.

Cargas distribuídas

Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são as cargas

uniformemente distribuídas (constante) e as cargas triangulares (casos de empuxo de terra e de

água) indicadas abaixo.

Carga uniformemente distribuída Carga linearmente distribuída

A resultante de um carregamento distribuído é igual à área compreendida entre a linha

que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual está aplicado, sendo seu ponto de

aplicação o centro de gravidade da referida área.

Carga momento

A estrutura também pode, além de estar solicitada por cargas-forca (concentrada e ou

distribuídas), estar solicitada por cargas-momento. A carga-momento é caracterizada pelo seu

módulo, direção,sentido e ponto de aplicação.


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Calcular as reações de apoio das estruturas abaixo: Obs.: considerar todas as cotas em metro. 1 –

VA = 3,0 KN (↑) / HA = 0

VC = 3,0 KN (↑)

2 –

VA = 15,0 KN (↑) / HA = 0

VB = 15,0 KN (↑)

3 –

MA = 3,0 kN.m (↶) / VA = 0 / HA = 0 4 –

VA = 41,25 KN (↑) / HA = 8,66kN (→)

VE = 43,75 KN (↑)


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5 –

VA = 250 KN (↑) / HA = 0

VC = 380 KN (↑)

6 –

VB = 363,75 KN (↑) / HB = 43,3 kN (→)

VD = 341,25 KN (↑)

7 –

VB = 300 KN (↑) / HB = 34,64 kN (←)

VD = 340 KN (↑)

8 –

MA = 652,5 kN.m (↶) / VA = 205 KN (↑) / HA = 43,3 kN (→)


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Esforços internos

Definição Considera-se a barra abaixo com um plano de carga paralelo ao plano xy e passando pelo centro

de cisalhamento. Desta forma os esforços solicitantes se resumem a: força normal (N), força

cortante (Q) e momento fletor (M).

As equações dos esforços solicitantes são determinadas efetuando-se cortes ao longo do

comprimento da barra em equilíbrio, e equilibrando-se a parte à esquerda ou à direita do corte

Deve-se considerar um novo corte toda vez que as equações forem alteradas, ou seja, toda vez

que se modificar o carregamento.


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Devido ao carregamento que atua na parte à esquerda ou à direita do corte, surgem esforços

resultantes da força Frl na direção x, do eixo longitudinal da barra, de força Frt na direção y,

transversal ao eixo da barra, e de momento Mr.

Conhecendo-se os esforços ativos e reativos, é possível determinar os esforços resultantes (Frl,

Frt e Mr), que são equilibrados pelos respectivos esforços solicitantes (N, Q e M) através das

equações de equilíbrio da estática (∑Fx = 0; ∑Fy = 0 e ∑M = 0).

Para traçar os diagramas dos esforços solicitantes é necessário determinar, em cada corte, as

respectivas equações, considera-se um novo corte toda vez que as equações dos esforços

solicitantes forem alterados, ou seja, toda vez que surgir um novo esforço, ativo ou reativo. Além

disso, deve-se respeitar as convenções de sinais adotados, a fim de definir os sentidos dos

esforços solicitantes em cada seção transversal da barra.

Convenções de sinais Admitem-se os esforços positivos conforme os sentidos indicados abaixo.

Força normal (N) → é positiva se tracionar o trecho considerado.

Força cortante (Q) → é positiva desde que o binário provoque giro no sentido horário.

Momento fletor (M) → é positivo se provoca tração nas fibras inferiores.


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Resumo da convenção de sinais positivos

+

N N

Através de relações diferenciais (p, Q e M) é possível prever as formas dos diagramas de

momento fletor (M) e da força cortante (Q) em função da carga (p).

Tipo de carga Cortante (Q) Fletor (M)

Concentrada Constante Função do 1º

Uniformemente distribuída Função do 1º Função do 2º

Linearmente distribuída Função do 2º Função do 3º

Exemplos:

Ex.: 1 - Viga biapoiada submetida a uma carga concentrada.

1º Passo - Cálculo das reações de apoio

∑Fx=0 (→+)

HA = 0

∑Fy=0 (↑+)

VA +VC - P = 0

VA = P - VC

∑MA=0 (+)

P.a - VC.l = 0

- VC.l = - P.a x(-1)

VC = P.a / l

como b = l - a

VA = P.b / l


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2º Passo - Cálculo dos esforços internos

Ponto B (esquerda)

∑Fx=0

N = 0

∑Fy=0

Q + P.b / l = 0

Q = - P.b / l

∑MA=0

M - (P.b / l).x = 0

M = (P.b / l).x

3º Passo - Diagrama dos esforços solicitantes

Obs.: ao se criar uma seção sob uma carga concentrada haverá a necessidade de se analisar a

seção sem e com a carga concentrada para os esforços que serão afetados com o surgimento da

força.


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Ex.: 2 - Viga biapoiada submetida a um carregamento uniformemente distribuído.

1º Passo - Cálculo das reações de apoio

∑Fx=0 (→+)

HA = 0

∑Fy=0 (↑+)

VA +VB - q.l = 0

VA = q.l - VB

∑MA=0 (+)

(q.l).(l/2) - VB.l = 0

- VB.l = - q.l²/2 x(-1)

VB = q.l/2

logo:

VA = q.l / 2

2º Passo - Cálculo dos esforços internos

Seção S (ao meio do vão)

∑Fx=0

N = 0

∑Fy=0

Q + q.l/2 – q.l/2 = 0

Q = 0

∑M=0

M + (q.l/2).(l/4) – (q.l/2).(l/2) = 0

M + (q.l²/8) - (q.l²/4) = 0

M + (q.l² - 2q.l²)/8 = 0

M = q.l²/8


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3º Passo - Diagrama dos esforços solicitantes

²


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Lista de exercícios n.º 3 Calcular o que se pede para as estruturas abaixo: Obs.: considerar todas as cotas em metro.

a) as reações de apoio;

b) os esforços internos;

c) o diagrama dos esforços solicitantes.

1 –

DEC (kN)

VA = 3,0 KN (↑) / HA = 0

VC = 3,0 KN (↑)

DMF (kN.m)

2 –

DEC (kN)

VA = 15,0 KN (↑) / HA = 0

VB = 15,0 KN (↑)

DMF (kN.m)

3 –

DMF (kN.m)

MA = 3,0 kN.m (↶) / VA = 0 / HA = 0

4 –


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DEN (kN)

VA = 41,25 KN (↑) / HA = 8,66kN (→)

VE = 43,75 KN (↑)

DEC (kN)

DMF (kN.m)

5 –

DEC (kN)

VA = 250 KN (↑) / HA = 0

VC = 380 KN (↑)

DMF (kN.m)

6 –


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DEN (kN)

VB = 363,75 KN (↑) / HB = 43,3 kN (→)

VD = 341,25 KN (↑)

DEC (kN)

DMF (kN.m)

7 –

DEN (kN)

VB = 300 KN (↑) / HB = 34,64 kN (←)

VD = 340 KN (↑)

DEC (kN)

DMF (kN.m)

8 –


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DEN (kN)

MA = 652,5 kN.m (↶) / VA = 205 KN (↑) / HA = 43,3 kN (→)

DEC (kN)

DMF (kN.m)

Pórticos simples


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Definição

Os pórticos planos são estruturas formadas por elementos (ou barras) cujos eixos, com

orientações arbitrárias, pertencem todos a um único plano (plano da estrutura).

O carregamento atuante também pertence ao plano da estrutura. Os nós que

interconectam os elementos dos pórticos podem ser rígidos ou articulados.

Existem quatro tipos fundamentais de pórticos isostáticos planos, aos quais chamamos

pórticos simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com

que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os assim chamados

pórticos compostos.

Para se traçar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar os

momentos fletores atuantes em seus nós, ligá-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual

penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada

uma das barras que constituem o quadro. Os diagramas são marcados, como no caso das vigas,

perpendicularmente ao eixo de cada barra.

Para a obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços normais é imediata, a partir do

conhecimento das reações de apoio, sendo indiferente o lado para o qual marcamos os valores,

interessando apenas o sinal (positivo se o esforço é de tração e negativo no caso de compressão).

A fim de evitar confusão com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares

usadas para o traçado dos diagramas, pode-se hachurar, se julgado útil para maior clareza, a área

compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro.

São os seguintes os tipos estáticos de quadros simples isostáticos.

a) Pórtico biapoiado b) Pórtico engastado e livre

A

B

D

C

A

B C

c) Pórtico triarticulado d) Pórtico biapoiado, com articulação e tirante


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(ou escora)

A

B

E

DC

A

B

D

C

A barra AC no pórtico da letra (d) estará submetida apenas a um esforço normal (N) constante, no caso de ser de tração, a barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será denominada de escora. Obs.: esta barra AC é descarregada e rotulada nas extremidades, possuindo em todas as seções M = Q = 0. Exemplo:

2kN/m

A

B

D

C



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Para os pórticos abaixo, calcule:

a) as reações de apoio;

b) os esforços internos nas seções indicadas com a letra S;


1)

3kN/m

10kN

S2

S1

S3

2,0

2,0

2,5 2,5

5,01,

01

,0

A

B

D

C

2)

S2

S1

1,5

5kN

2,0

2,0

1,5

A

B C

10kN/m

a) Reações de apoio VA = 3,55 kN (↑) / HA = 10 kN (←) VD = 11,5 kN (↑)

b) Esforços internos

S1 S2 S3

N (kN) -3,5 0 -11,5

Q (kN) 0 / 10 -4 0

M (kN.m) 20 19,4 0

a) Reações de apoio

VA = 5 kN (↑) / HA = 40 kN (←)

MA = 95 kN.m (↶) b) Esforços internos

S1 S2

N (kN) -5 0

Q (kN) 20 5

M (kN.m) -35 -7,5

c)

DEN (kN)

c)

DEN (kN)

DEC (kN)

DEC (kN)

DMF (kN.m)

DMF (kN.m)


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3)

A

B C

3kN/m

S2

S11

,51,

5

3,0 3,0

4)

5kN

S2

S1 S3

2,0

2,0

2,5

7,0

2,51,0 1,0

A

CB

F

D E

a) Reações de apoio VA = 9 kN (↑) / HA = 0 kN VC = 9 kN (↑) b) Esforços internos

S1 S2

N (kN) -9 0

Q (kN) 0 0

M (kN.m) 0 13,5

a) Reações de apoio VA = 9 kN (↑) / HA = 5 kN (→) VF = 5 kN (↑) b) Esforços internos

S1 S2 S3

N (kN) -9 0 -5

Q (kN) -5 / 0 2 0

M (kN.m) -10 0,3 0

c)

DEN (kN)

c)

DEN (kN)

DEC (kN)

DEC (kN)

DMF (kN.m)

DMF (kN.m)


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Vigas Gerber

Definição As vigas Gerber recebem este nome em homenagem ao engenheiro alemão Heinrich

Gerber (1832-1912). As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem

estrutural e construtiva.

Estrutural → permitir deformações, evitando o surgimento de esforços internos devidos a

recalques diferenciais nos apoios.

Construtivos → permitir o lançamento de vigas pré-moldads em vãos sobre leitos de rio ou de

difícil acesso.

Esta solução nos permite a execução em separado dos trechos ABE, EF e FCD, com o

que poderíamos escorar inicialmente o trecho ABE e concretá-lo, a seguir, transferiríamos o

escoramento para o trecho FCD que seria posteriormente concretado e encerrando a execução da

estrutura, poderíamos pré-fabricar a viga EF, lançando-a atravéz de uma grua.

As vigas Gerber tem lugar de grande importância na Engenharia estrutural, e a tendência

desta importância é aumentar, tendo em vista o desenvolvimento das técnicas de pré-fabricação e

montagem de estruturas.

Os dentes Gerber nada mais são do que rótulas (M = 0) convenientemente introduzidas na

estrutura de forma a, mantendo a sua estabilidade, torná-la isostática. As vigas Gerber podem,

portanto, ser consideradas como uma associação de vigas simples (biapoiadas, biapoiadas com

balanços ou engastadas e livres), umas com estabilidade própria (CEP) e outras sem estabilidade

própria (SEP).

Importante ressaltar que as partes identificadas como SEP são também estáveis,

entretanto a estabilidade delas depende da estabilidade das vigas sobre as quais se apoiam.

As vigas Gerber, por serem associações de vigas isostáticas simples, podem ser

calculadas estabelecendo o equilíbrio de cada uma de suas partes, resolvendo inicialmente as

vigas simples que não possuem estabilidade próprio (SEP). A determinação das forças reativas

das vigas SEP permite pelo princípio da ação e reação a aplicação da ação destas sobre as vigas

simples com estabilidade própria (CEP).


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Ex.: Separe as estruturas abaixo em trechos SEP e CEP.

a)

A B C

b)

A B C D E F G H

c)

A B C


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Para as estruturas abaixo, faça:

a) indique os trechos com estabilidade própria (CEP) e os trechos sem estabilidade própria

(SEP);

b) calcule as reações de apoio;


1)

11m

3m 2m 3m 2m 1m

60kN20kN/m

A B C D E F

a)

CEP → Trecho CF

SEP → Trecho AC

b)

VB = 125 kN (↑)

VD = 60 kN (↑)

VF = 35 kN (↑)

C)

DEC (kN)

DMF (kN.m)


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2)

19m

2m 4m 2m 5m

A B C D E

2m2m

10kN/m

H

10kN/m

20kN/m30kN

2m

F G

a)

CEP → Trecho CF

SEP → Trechos: AC e FH

b)

VB = 45 kN (↑)

VD = 101 kN (↑)

VE = 109 kN (↑)

C)

DEC (kN)

DMF (kN.m)


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3)

12m

1m 1m 2,5m

A C D E

1m1m

I

2m

G H

10kN 20kN5kN.m

1m 2,5m

B F

a)

CEP → Trecho CG

SEP → Trechos: AC e GI

b)

VA = 5 kN (↑)

VD = 16,3 kN (↑)

VF = 7 kN (↑)

VI = 1,7 kN (↑)

C)

DEC (kN)

DMF (kN.m)


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Treliças simples Definição

Treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suas

extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas (nós).

A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto

pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes,

viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc.

Exemplo:

Observações:

• Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus

vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo:

• As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para

vencerem vãos maiores ou suportar cargas maiores.

• Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de

treliças planas, que será o estudado em nosso curso.

• Imaginam-se as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua

rotação relativa nos nós), conforme figura (a). Não é frequente, no entanto, a

união destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós

através de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as

barras concorrentes, conforme figura (b).

Figura (a) Figura (b)


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• Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos

nós, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras, sendo desprezado o seu

efeito.

• Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no

mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó (PT: ponto

de trabalho), os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria

que vamos desenvolver, sendo ela válida do ponto de vista prático.

Solicitações internas

Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas

extremidades rotuladas, não absorvem momento, desenvolvem apenas esforços normais

constantes ao longo da barra.Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça.

Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo e

perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós.

A análise do equilíbrio mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem

esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos

contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é

descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades

momentos nulos.

Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida é o Esforço Normal constante ao longo da

barra. Como o esforço normal é constante ao longo da barra, podemos calcular o seu valor em

uma seção qualquer da barra.


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Classificação da estaticidade de uma treliça

Sejam:

b – número de barras;

r – número de reações externas;

n – número de nós ou rótulas.

As incógnitas do problema serão em número de b + r, ou seja, o número de reações e o

número de barras.

O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio

de um ponto material. (∑Fx=0 ∑Fy=0).

Então, se r + b < 2n – Treliça hipostática;

r + b = 2n – a princípio tratar-se de uma treliça isostática, porém não pode ser confirmado

sem antes analisarmos os apoio externos (condições de equilíbrio estático);

r + b > 2n – Treliça hiperestática, sendo válidas as observações anteriores para a treliça

isostática.

Exemplo:

A B

b = 5 r = 3 n = 4 b + r → 5 + 3 → 8 2 n → 2 x 4 → 8 Como b + r = 2 n, a treliça é externamente biapoiada e internamente possui a lei de

formação de uma treliça simples (r + b = 2n), é então classificada como isostática.


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Métodos de análise das treliças Método dos Nós

É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó

isolado. Deve-se INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à

determinar (esforço normal de 2 barras). Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada

nó: (∑Fx=0 ∑Fy=0).

Note-se que se o nó tiver mais de 2 barras à serem determinadas, as 2 equações não são

suficientes para a solução do sistema.

ROTEIRO:

1º Passo → cálculo das reações externas (se necessário);

2º Passo → escolha do 1º nó à ser examinado;

3º Passo → aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido;

4º Passo → resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se

ele acresce apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas).

Obs.: este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculo que por acaso sejam

cometidos.

Método de Ritter ou Método das Seções

O método de Ritter permite que se calculem os esforços normais apenas em algumas

barras que possam nos interessar.

ROTEIRO:

1º Passo → cálculo das reações externas (se necessário);

2º Passo → cortar a treliça por seções de Ritter que devem:

a) atravessar toda a treliça dividindo-a em 2 partes

b) interceptar no máximo 3 barras que não sejam ao mesmo tempo paralelas ou concorrentes.

c) cortada a treliça em 2 partes, substitui-se a parte retirada pelos esforços normais

desenvolvidos pelas barras cortadas, que devem ser calculados, de maneira que as partes

ficam em equilíbrio;

d) os esforços normais serão encontrados pelo equilíbrio das partes, podendo-se dispor além

das equações fundamentais de equilíbrio estático, da condição de nó onde a soma dos

momentos em qualquer nó da treliça deva ser zero, pois as rótulas não absorvem momento.

Obs.: este método acrescenta mais condições as já conhecidas e são usadas as condições que

nos parecerem mais convenientes, podendo-se facilmente mesclar os 2 métodos sem problema

algum.

Método de Cremona

É um método gráfico que preconiza a justaposição dos polígonos de forças que traduzem

o equilíbrio de cada nó. Está em desuso em função da mecanização dos cálculos.


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Exemplo de aplicação para o método dos nós

Determinar as reações de apoio e os esforços internos das barras da treliça dada.

1 º Passo - Reações de apoio

ΣFx = 0 (→ +)

-HA + 6 = 0

-HA = - 6 x(-1)

HA = 6 kN

ΣFy = 0 (↑ +)

VA + VB - 20 = 0

VA + VB = 20

ΣMA = 0 ( +)

20 x 2 + 6 x 1,5 – VB x 4 = 0

40 + 9 - 4VB = 0

VB = 12,25 kN

Logo

VA = 20 – VB

VA = 20 – 12,25

VA = 7,75 kN


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2 º Passo – Esforços internos

Tg = 1,5 / 2 = 0,75 → 37º (Sen 37º = 0,60 e Cos 37º = 0,80)

Nó A

ΣFy = 0 (↑ +)

7,75 + NAC x Sen 37º = 0

7,75 + NAC x 0,60 = 0

NAC = -12,92 kN (compressão)

ΣFx = 0 (→ +)

- 6,0 + NAD + NAC x Cos 37º = 0

- 6,0 + NAD + (- 12,92) x 0,80 = 0

- 6,0 + NAD – 10,34 = 0

NAD = 16,33 kN (tração)

Nó D

ΣFy = 0 (↑ +)

NDC – 20 = 0

NDC = 20,0 kN (tração)

ΣFx = 0 (→ +)

- NDA + NDB = 0

NDB = NDA

NDB = 16,33 kN (tração)

Nó B

ΣFy = 0 (↑ +)

12,25 + NBC x Sen 37º = 0

12,25 + NBC x 0,60 = 0

NBC = - 20,42 kN (compressão)


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Exemplo de aplicação para o método de Ritter ou método das seções

Determinar as reações de apoio e os esforços internos das barras da treliça dada.

1 º Passo - Reações de apoio

ΣFx = 0 (→ +)

HA = 0

ΣFy = 0 (↑ +)

VA + VB – 18 – 36 = 0

VA + VB = 54

ΣMA = 0 ( +)

18 x 2 + 36 x 4 – VB x 6 = 0

180 – 6VB = 0

VB = 30,0 kN

Logo

VA = 54 – VB

VA = 54 – 30,0

VA = 24,0 kN


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2 º Passo – Esforços internos

Tg = 2 / 2 = 1,0 → 45º (Sen 45º = Cos 45º = 0,71)

Seção 1-1 (a esquerda) ΣFy = 0 (↑ +)

24 – 18 + NED x Cos 45 = 0

6 + NED x 0,71 = 0

NED = - 8,45 kN (compressão)

ΣME = 0 ( +)

24 x 2 + NCD x 2 = 0

NCD = - 24,0 kN (compressão)

ΣFx = 0 (→ +)

NEF + NED x Cos 45º + NCD = 0

NEF + (- 8,45) x 0,71 + (- 24) = 0

NEF – 6 – 24 = 0

NEF = 30,0 kN (tração)

Nó A

ΣFy = 0 (↑ +)

24 + NAC x Cos 45º = 0

24 + NAC x 0,71 = 0

NAC = - 33,8 kN (compressão)

ΣFx = 0 (→ +)

NAE + NAC x Cos 45º = 0

NAE + (- 33,8) x 0,71 = 0

NAE = 24,0 kN (tração)

Nó E

ΣFy = 0 (↑ +)

- 18 + NEC + NED x Cos 45º = 0

- 18 + NEC + (- 8,45) x 0,71 = 0

- 18 + NEC - 6 = 0

NEC = 24,0 kN (tração)


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Nó B

ΣFy = 0 (↑ +)

30 + NBD x Cos 45º = 0

30 + NBD x 0,71 = 0

NBD = - 42,25 kN (compressão)

ΣFx = 0 (→ +)

– NBF – NBD x Cos 45º = 0

– NBF – (– 42,25) x 0,71 = 0

– NBF + 30 = 0

NBF = 30,0 kN (tração)

Nó F

ΣFy = 0 (↑ +)

NFD - 36 = 0

NFD = 36 kN (tração)


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Lista de exercícios n.º 6 Determinar os esforços normais atuantes nas treliças abaixo. a)

Respostas

Esforços externos:

VA = 40 kN (↓) HA = 20 kN (←)

VB = 60 kN (↑)

Esforços internos:

NAB = 0

NAC = + 20,0 kN (T)

NAD = + 28,3 kN (T)

NBD = - 60,0 kN (C)

NCD = - 20,0 kN (C)

NCE = 0

NCF = + 28,3 kN (T)

NEF = - 20,0 kN (C)

NDF = - 40,0 kN (C) b)

Respostas

Esforços externos:

VA = 40 kN (↑) HA = 0

VB = 40 kN (↑)

Esforços internos:

NAC = NCD = - 136,4 kN (C)

NAF = + 132,3 kN (T)

NFG = + 89,0 kN (T)

NCF = - 20,0 kN (C)

NFD = + 47,6 kN (T)

NDG = 0 c)

Respostas

Esforços externos:

HA = 100 kN (→)

VE = 60 kN (↑) HE = 70 kN (←)

Esforços internos:

NAB = - 75,0 kN (C)

NBC = NCD = - 50,0 kN (C)

NEF = + 78,2 kN (T)

NFG = + 61,4 kN (T)

NGD = + 44,4 kN (T)

NAE = + 25,0 kN (T)

NAF = - 35,2 kN (C)

NBG = - 28,2 kN (C)

NBF = + 12,6 kN (T)

NCG = 0

20kN

20kN

10 kN

20 kN

20 kN

20 kN

10 kN

20 kN

20 kN 20 kN

20 kN 20 kN

20 kN


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Bibliografia

• Análise Estrutural, José Carlos Sussekind, Vol I, Editora Globo, 1984;

• Estruturas Isostáticas, Maria C. F. de Almeida, Editora Oficina de Textos, 2009;

• Estruturas Isostáticas, Bernardo Gorfin e Myriam Marques de Oliveira, Editora LTC;

• Apostila sobre treliças, professora Maria Regina C. Leggerini / Silvia B. Kalil, PUC-RS.

Documents

Apostila de Isostática