Apostila de Isostática -

7/23/2019 Apostila de Isosttica -

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____________________________________________________________________________________Prof.: Rogrio de Carvalho Paes de Andrade

e-mail: [email protected]

Apostila

deIsosttica

Viga biapoiada Viga Gerber

Prtico biapoiado Trelia

Modelo espacial de uma estrutura de rampa Perspectiva


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Curso de anlise estrutural Reviso 2 (01/2015)Estruturas isostticas Prof.: Rogrio de C. P. de Andrade

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Sumrio

Introduo____________________________________________________________________ 2

Condies de equilbrio________________________________________________________ 3

Graus de liberdade____________________________________________________________ 3

Apoios _____________________________________________________________________ 4

Estabilidade e estaticidade _____________________________________________________ 4

Lista de exerccios n. 1 ________________________________________________________ 6

Cargas_______________________________________________________________________ 8Cargas concentradas __________________________________________________________ 8

Cargas distribudas ___________________________________________________________ 8

Carga momento ______________________________________________________________ 8

Lista de exerccios n. 2 ________________________________________________________ 9

Esforos internos_____________________________________________________________ 11

Definio __________________________________________________________________ 11

Lista de exerccios n. 3 _______________________________________________________ 17

Prticos simples______________________________________________________________ 21

Definio __________________________________________________________________ 21


Vigas Gerber_________________________________________________________________ 25

Definio __________________________________________________________________ 25

Lista de exerccios n. 5 _______________________________________________________ 27Trelias simples______________________________________________________________ 30

Definio __________________________________________________________________ 30


Bibliografia__________________________________________________________________ 40


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Introduo

A estrutura um conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade

de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificao. Quando se projeta uma estrutura, a anlise

do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificaes que conduzem amodelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma

determinada situao de projeto, devem ser considerados vrios fatores. Os principais so:

Projeto arquitetnico:

-Aspectos funcionais (dimenso do espao interno, iluminao, limitaes do espao

exterior,...)

-Aspectos estticos (sistemas diferentes geram formas diferentes)

Carregamento atuante:

-Permanente

-Acidental

Condies de fabricao, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, iamento)

Material estrutural a ser utilizado (cada material possui caractersticas mecnicas

peculiares): o material deve estar adequado ao tipo de esforos solicitantes as estrutura

Para identificao do sistema estrutural mais adequado deve-se:

1.) Identificar as possveis opes;

2.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ;

Os sistemas estruturais so modelos de comportamento idealizados para representao e

anlise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma conveno. Esta

conveno pode ser feita em funo da geometria das peas estruturais que compem o conjunto

denominado sistema estrutural.

Quanto geometria, um corpo pode ser identificado por trs dimenses principais que

definem seu volume. Conforme as relaes entre estas dimenses, surgem quatro tipos de peas

estruturais:

Barra: duas dimenses da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.

Barra de elementos delgados: as trs dimenses principais so de diferentes ordens de

grandeza. o caso dos perfis metlicos, onde a espessura muito menor que as dimenses da

seo transversal, que menor que o comprimento da pea. As barras de elementos delgados

so tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceo feita

solicitao por toro.


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Folhas ou lminas: duas dimenses de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira

dimenso. Subdividem-se em:

Placas: carregamento perpendicular ao plano mdio.

Chapas: carregamento contido no plano mdio.

Cascas: superfcie mdia curva.

Bloco: as trs dimenses so da mesma ordem de grandeza.

Condies de equilbrio

Para um corpo, submetido a um sistema de foras, estar em equilbrio, necessrio que

elas no provoquem nenhuma tendncia de translao nem rotao a este corpo.Equaes universais da esttica:

Fx = 0 Mx = 0

Fy = 0 My = 0

Fz = 0 Mz = 0

A condio necessria e suficiente para que um corpo esteja em equilbrio, submetido a

um sistema de foras, que satisfaa as equaes universais da esttica.

Graus de liberdade

No espao, uma translao pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos

triortogonais e, uma rotao, como a resultante de 3 rotaes, cada uma em torno de um eixos,

dizemos que uma estrutura no espao possui um total de 6 graus de liberdade (3 translaes e 3

rotaes, segundo 3 eixos triortogonais).

evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar

toda tendncia de movimento da estrutura, a fim de ser possvel seu equilbrio. Esta restrio

dada por apoios, que devem impedir as diversas tendncias possveis de movimento, atravs do

aparecimento de reaes destes apoios sobre a estrutura, nas direes dos movimentos que elesimpedem, isto , dos graus de liberdade que eles restringem.


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Os apoios so em nmero superior ao necessrio para impedir todos os movimentos

possveis da estrutura. Neste caso, teremos menor nmero de equaes que de incgnitas,

conduzindo a um sistema indeterminado. As equaes universais da esttica no ser, ento,

suficientes para a determinao das reaes de apoio, sendo necessrias equaes adicionais decompatibilidade de deformaes, conforme ser visto na cadeira de Teoria da estruturas.

A estrutura ser dita hiperesttica, continuando o equilbrio a ser estvel, alis, poderamos dizer,

um pouco impropriamente, que o equilbrio mais que estvel.

RESUMO:

N. INCGNITAS < N. EQUAES = HIPOSTTICA

N. INCGNITAS = N. EQUAES = ISOSTTICA

N. INCGNITAS > N. EQUAES = HIPERESTTICA

Ex.: classificar as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade.

a)

b)

c)


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Lista de exerccios n. 1

Classifique as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade.

a)

Resp.: Isosttica

b)

Resp.: Isosttica

c)

Resp.: Hiposttica

d)

Resp.: Hiposttica

e)

Resp.: Hiperesttica


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f)

Resp.: Hiperesttica

g)

Resp.: Isosttica

g)

Resp.: Hiperesttica

i)

Resp.: Hiperesttica


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Cargas

Classificao das cargas em relao sua lei de distribuio.

No estudaremos, por ora, a classificao das cargas quanto sua ocorrncia em relao ao

tempo.

Cargas concentradas

As cargas concentradas so uma forma aproximada de tratar cargas distribudas segundo

reas de contato to pequenas.

Cargas distribudas

Os tipos mais usuais de cargas distribudas que ocorrem na prtica so as cargas

uniformemente distribudas (constante) e as cargas triangulares (casos de empuxo de terra e de

gua) indicadas abaixo.

Carga uniformemente distribuda Carga linearmente distribuda

A resultante de um carregamento distribudo igual rea compreendida entre a linha

que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual est aplicado, sendo seu ponto de

aplicao o centro de gravidade da referida rea.

Carga momento

A estrutura tambm pode, alm de estar solicitada por cargas-forca (concentrada e ou

distribudas), estar solicitada por cargas-momento. A carga-momento caracterizada pelo seu

mdulo, direo,sentido e ponto de aplicao.


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Calcular as reaes de apoio das estruturas abaixo:

Obs.:considerar todas as cotas em metro.

1

VA = 3,0 KN () / HA = 0

VC = 3,0 KN ()

2

VA = 15,0 KN () / HA = 0

VB = 15,0 KN ()

3

MA = 1,5 kN.m () / VA = 0 / HA = 0

4

VA = 41,25 KN () / HA = 8,66kN ()

VD = 43,75 KN ()


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5

VA = 250 KN () / HA = 0

VC = 380 KN ()

6

VB = 363,75 KN () / HB = 43,3 kN ()

VD = 341,25 KN ()

7

VB = 300 KN () / HB = 34,64 kN ()

VD = 340 KN ()

8

MA = 652,5 kN.m () / VA = 205 KN () / HA = 43,3 kN ()


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Esforos internos

Definio

Considera-se a barra abaixo com um plano de carga paralelo ao plano xy e passando pelo centrode cisalhamento. Desta forma os esforos solicitantes se resumem a: fora normal (N), fora

cortante (Q) e momento fletor (M).

As equaes dos esforos solicitantes so determinadas efetuando-se cortes ao longo do

comprimento da barra em equilbrio, e equilibrando-se a parte esquerda ou direita do corte

Deve-se considerar um novo corte toda vez que as equaes forem alteradas, ou seja, toda vez

que se modificar o carregamento.


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Devido ao carregamento que atua na parte esquerda ou direita do corte, surgem esforos

resultantes da fora Frl na direo x, do eixo longitudinal da barra, de fora Frt na direo y,

transversal ao eixo da barra, e de momento Mr.

Conhecendo-se os esforos ativos e reativos, possvel determinar os esforos resultantes (Frl,Frt e Mr), que so equilibrados pelos respectivos esforos solicitantes (N, Q e M) atravs das

equaes de equilbrio da esttica (Fx = 0; Fy = 0 e M = 0).

Para traar os diagramas dos esforos solicitantes necessrio determinar, em cada corte, as

respectivas equaes, considera-se um novo corte toda vez que as equaes dos esforos

solicitantes forem alterados, ou seja, toda vez que surgir um novo esforo, ativo ou reativo. Alm

disso, deve-se respeitar as convenes de sinais adotados, a fim de definir os sentidos dos

esforos solicitantes em cada seo transversal da barra.

Convenes de sinais

Admitem-se os esforos positivos conforme os sentidos indicados abaixo.

Fora normal (N) positiva se tracionar o trecho considerado.

Fora cortante (Q) positiva desde que o binrio provoque giro no sentido horrio.

Momento fletor (M) positivo se provoca trao nas fibras inferiores.


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Resumo da conveno de sinais positivos

+N N

Atravs de relaes diferenciais (p, Q e M) possvel prever as formas dos diagramas de

momento fletor (M) e da fora cortante (Q) em funo da carga (p).

Tipo de carga Cortante (Q) Fletor (M)

Concentrada Constante Funo do 1

Uniformemente distribuda Funo do 1 Funo do 2

Linearmente distribuda Funo do 2 Funo do 3

Exemplos:

Ex.: 1- Viga biapoiada submetida a uma carga concentrada.

1 Passo - Clculo das reaes de apoio

Fx=0 (+)HA= 0

Fy=0 (+)

VA+VC- P = 0

VA = P - VC

MA=0 (+)

P.a - VC.l = 0

- VC.l = - P.a x(-1)

VC= P.a / l

como b = l - aVA= P.b / l


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2 Passo - Clculo dos esforos internos

Ponto B (esquerda)

Fx=0N = 0

Fy=0

Q + P.b / l = 0

Q = - P.b / l

MA=0

M - (P.b / l).a = 0

M = (P.b / l).a

3 Passo - Diagrama dos esforos

Obs.: ao se criar uma seo sob uma carga concentrada haver a necessidade de se analisar a

seo sem e com a carga concentrada para os esforos que sero afetados com o surgimento da

fora.


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Ex.: 2- Viga biapoiada submetida a um carregamento uniformemente distribudo.

1 Passo - Clculo das reaes de apoio

Fx=0 (+)

HA= 0

Fy=0 (+)

VA+VB- q.l = 0

VA = q.l - VB

MA=0 (+)

(q.l).(l/2) - VB.l = 0

- VB.l = - q.l/2 x(-1)

VB= q.l/2

logo:

VA= q.l / 2

2 Passo - Clculo dos esforos internos

Seo S (ao meio do vo)

Fx=0

N = 0

Fy=0

Q + q.l/2 q.l/2 = 0

Q = 0

M=0

M + (q.l/2).(l/4) (q.l/2).(l/2) = 0

M + (q.l/8) - (q.l/4) = 0

M + (q.l - 2q.l)/8 = 0

M = q.l/8


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3 Passo - Diagrama dos esforos


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Calcular o que se pede para as estruturas abaixo:

Obs.:considerar todas as cotas em metro.

a) as reaes de apoio;b) os esforos internos;

c) o diagrama dos esforos solicitantes.

1

DEC (kN)

VA = 3,0 kN () / HA = 0

VC = 3,0 kN ()

DMF (kN.m)

2

DEC (kN)

VA = 15,0 kN () / HA = 0

VB = 15,0 kN ()DMF (kN.m)

3

DMF (kN.m)

MA = 1,5 kN.m () / VA = 0 / HA = 0


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4

DEN (kN)

VA = 41,25 kN () / HA = 8,66 kN ()

VD = 43,75 kN ()

DEC (kN)

DMF (kN.m)

5

DEC (kN)

VA = 250 kN () / HA = 0

VC = 380 kN ()

DMF (kN.m)


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6

DEN (kN)

VB = 363,75 kN () / HB = 43,3 kN ()

VD = 341,25 kN ()

DEC (kN)

DMF (kN.m)

7

DEN (kN)

VB = 300 kN () / HB = 34,6 kN ()

VD = 340 kN ()

DEC (kN)

DMF (kN.m)


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8

DEN (kN)

MA = 652,5 kN.m () / VA = 205 kN ()HA = 43,3 kN ()

DEC (kN)

DMF (kN.m)


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Prticos simples

Definio

Os prticos planos so estruturas formadas por elementos (ou barras) cujos eixos, com

orientaes arbitrrias, pertencem todos a um nico plano (plano da estrutura).O carregamento atuante tambm pertence ao plano da estrutura. Os ns que

interconectam os elementos dos prticos podem ser rgidos ou articulados.

Existem quatro tipos fundamentais de prticos isostticos planos, aos quais chamamos

prticos simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com

que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os assim chamados

prticos compostos.

Para se traar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar os

momentos fletores atuantes em seus ns, lig-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual

penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada

uma das barras que constituem o quadro. Os diagramas so marcados, como no caso das vigas,

perpendicularmente ao eixo de cada barra.

Para a obteno dos diagramas de esforos cortantes e esforos normais imediata, a partir do

conhecimento das reaes de apoio, sendo indiferente o lado para o qual marcamos os valores,

interessando apenas o sinal (positivo se o esforo de trao e negativo no caso de compresso).

A fim de evitar confuso com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares

usadas para o traado dos diagramas, pode-se hachurar, se julgado til para maior clareza, a rea

compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro.

So os seguintes os tipos estticos de quadros simples isostticos.

a) Prtico biapoiado b) Prtico engastado e livre

A

B

D

C

A

B C


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c) Prtico triarticuladod) Prtico biapoiado, com articulao e tirante

(ou escora)

A

B

E

DC

A

B

D

C

A barra AC no prtico da letra (d) estar submetida apenas a um esforo normal (N) constante, nocaso de ser de trao, a barra ser denominada tirante e, no caso de ser de compresso, ser

denominada de escora.

Obs.: esta barra AC descarregada e rotulada nas extremidades, possuindo em todas as seesM = Q = 0.

Exemplo:

2kN/m

A

B

D

C


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Para os prticos abaixo, calcule:

a) as reaes de apoio;

b) os esforos internos nas sees indicadas com a letra S;

c) o diagrama dos esforos solicitantes.1)

3kN/m

10kN

S2

S1

S3

2,

0

2,

0

2,5 2,5

5,0

1,

0

1,

0

A

B

D

C

2)

S2

S1

1,5

5kN

2,

0

2,

0

1,5

A

B C

10kN/m

a) Reaes de apoio

VA= 3,55 kN () / HA= 10 kN ()

VD= 11,5 kN ()

b) Esforos internosS1 S2 S3

N (kN) -3,5 0 -11,5

Q (kN) 0 / 10 -4 0

M (kN.m) 20 19,4 0

a) Reaes de apoio

VA= 5 kN () / HA= 40 kN ()

MA= 95 kN.m ()

b) Esforos internosS1 S2

N (kN) -5 0

Q (kN) 20 5

M (kN.m) -35 -7,5

c)

DEN (kN)

c)

DEN (kN)

DEC (kN) DEC (kN)

DMF (kN.m) DMF (kN.m)


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3)

A

B C

3kN/m

S2

S1

1,

5

1

,5

3,0 3,0

4)

5kN

S2

S1 S3

2,

0

2,

0

2,5

7,0

2,51,0 1,0

A

CB

F

D E

a) Reaes de apoio

VA= 9 kN () / HA= 0 kNVC= 9 kN ()

b) Esforos internosS1 S2

N (kN) -9 0

Q (kN) 0 0

M (kN.m) 0 13,5

a) Reaes de apoio

VA= 9 kN () / HA= 5 kN ()VF= 5 kN ()

b) Esforos internosS1 S2 S3

N (kN) -9 0 -5

Q (kN) -5 / 0 2 0

M (kN.m) -10 0,3 0

c)

DEN (kN)

c)

DEN (kN)

DEC (kN)DEC (kN)

DMF (kN.m)

DMF (kN.m)


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Vigas Gerber

DefinioAs vigas Gerber recebem este nome em homenagem ao engenheiro alemo Heinrich

Gerber (1832-1912). As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem

estrutural e construtiva.Estruturalpermitir deformaes, evitando o surgimento de esforos internos devidos a

recalques diferenciais nos apoios.

Construtivospermitir o lanamento de vigas pr-moldads em vos sobre leitos de rio ou de

difcil acesso.

Esta soluo nos permite a execuo em separado dos trechos ABE, EF e FCD, com o

que poderamos escorar inicialmente o trecho ABE e concret-lo, a seguir, transferiramos o

escoramento para o trecho FCD que seria posteriormente concretado e encerrando a execuo da

estrutura, poderamos pr-fabricar a viga EF, lanando-a atravz de uma grua.

As vigas Gerber tem lugar de grande importncia na Engenharia estrutural, e a tendncia

desta importncia aumentar, tendo em vista o desenvolvimento das tcnicas de pr-fabricao e

montagem de estruturas.

Os dentes Gerber nada mais so do que rtulas (M = 0) convenientemente introduzidas na

estrutura de forma a, mantendo a sua estabilidade, torn-la isosttica. As vigas Gerber podem,

portanto, ser consideradas como uma associao de vigas simples (biapoiadas, biapoiadas com

balanos ou engastadas e livres), umas com estabilidade prpria (CEP) e outras sem estabilidadeprpria (SEP).

Importante ressaltar que as partes identificadas como SEPso tambm estveis,

entretanto a estabilidade delas depende da estabilidade das vigas sobre as quais se apoiam.

As vigas Gerber, por serem associaes de vigas isostticas simples, podem ser

calculadas estabelecendo o equilbrio de cada uma de suas partes, resolvendo inicialmente as

vigas simples que no possuem estabilidade prprio (SEP). A determinao das foras reativas

das vigas SEPpermite pelo princpio da ao e reao a aplicao da ao destas sobre as vigas

simples com estabilidade prpria (CEP).


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Ex.: Separe as estruturas abaixo em trechos SEPe CEP.

a)

A B C

b)

A B C D E F G H

c)

A B C


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Para as estruturas abaixo, faa:

a) indique os trechos com estabilidade prpria (CEP) e os trechos sem estabilidade prpria

(SEP);b) calcule as reaes de apoio;

c) o diagrama dos esforos solicitantes.

1)

11m

3m 2m 3m 2m 1m

60kN20kN/m

A B C D E F

a)

CEP Trecho CF

SEP Trecho AC

b)

VB= 125 kN ()

VD= 60 kN ()

VF= 35 kN ()

c)

DEC (kN)

DMF (kN.m)


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2)

19m

2m 4m 2m 5m

A B C D E

2m2m

10kN/m

H

10kN/m

20kN/m30kN

2m

F G

a)

CEP Trecho CF

SEP Trechos: AC e FH

b)

VB= 45 kN ()

VD= 101 kN ()

VE= 109 kN ()

c)

DEC (kN)

DMF (kN.m)


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3)

12m

1m 1m 2,5m

A C D E

1m1m

I

2m

G H

10kN 20kN5kN.m

1m 2,5m

B F

a)

CEP Trecho CG

SEP Trechos: AC e GI

b)

VA= 5 kN ()

VD= 16,3 kN ()

VF= 7 kN ()VI= 1,7 kN ()

c)

DEC (kN)

DMF (kN.m)


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Trelias simples

DefinioTrelia ideal um sistema reticulado indeformvel cujas barras possuem todas as suas

extremidades rotuladas e cujas cargas esto aplicadas nestas rtulas (ns).

A denominao trelia plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjuntopertencerem a um nico plano. A sua utilizao na prtica pode ser observada em pontes,

viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc.

Exemplo:

Observaes:

Qualquer polgono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus

vrtices deformvel (hiposttico) com exceo dos casos abaixo:

As trelias surgiram como um sistema mais econmico que as vigas para

vencerem vos maiores ou suportar cargas maiores.

Embora o caso mais geral seja o de trelias espaciais, o mais frequente o de

trelias planas, que ser o estudado em nosso curso.

Imaginam-se as barras rotuladas em suas extremidades (isto , sendo livre sua

rotao relativa nos ns), conforme figura (a). No frequente, no entanto, a

unio destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos ns

atravs de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as

barras concorrentes, conforme figura (b).

Figura (a) Figura (b)


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Estas ligaes criaro sempre pequenas restries livre rotao relativa das barras nos

ns, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras, sendo desprezado o seu

efeito.

Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no

mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um nico ponto em cada n (PT: pontode trabalho), os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria

que vamos desenvolver, sendo ela vlida do ponto de vista prtico.

Solicitaes internas

Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma trelia por terem suas

extremidades rotuladas, no absorvem momento, desenvolvem apenas esforos normais

constantes ao longo da barra.Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma trelia.

Sabe-se que uma rtula no transmite momento, apenas esforos na direo do eixo e

perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas s esto aplicadas nos ns.

A anlise do equilbrio mostra que nas extremidades das barras de uma trelia s existem

esforos na direo do eixo longitudinal da mesma e que so de mesmo mdulo, porm sentidos

contrrios. A existncia de esforos perpendiculares ao eixo da barra (esforo cortante)

descartada pois as barras no so carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades

momentos nulos.

Concluso:A nica solicitao interna desenvolvida o Esforo Normal constante ao longo da

barra. Como o esforo normal constante ao longo da barra, podemos calcular o seu valor em

uma seo qualquer da barra.


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Classificao da estaticidade de uma trelia

Sejam:

b nmero de barras;

r nmero de reaes externas;n nmero de ns ou rtulas.

As incgnitas do problema sero em nmero de b + r, ou seja, o nmero de reaes e o

nmero de barras.

O nmero de equaes ser de 2n, pois em cada n se aplicam as equaes de equilbrio

de um ponto material. (Fx=0 Fy=0).

Ento, se

r + b < 2n Trelia hiposttica;

r + b = 2n a princpio tratar-se de uma trelia isosttica, porm no pode ser confirmado

sem antes analisarmos os apoio externos (condies de equilbrio esttico);

r + b > 2n Trelia hiperesttica, sendo vlidas as observaes anteriores para a trelia

isosttica.

Exemplo:

A B

b = 5

r = 3

n = 4

b + r 5 + 3 8

2 n 2 x 4 8

Como b + r = 2 n, a trelia externamente biapoiada e internamente possui a lei de

formao de uma trelia simples (r + b = 2n), ento classificada como isosttica.


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Mtodos de anlise das trelias

Mtodo dos Ns

o mtodo natural de resoluo que consiste em se estudar o equilbrio de cada n

isolado. Deve-se INICIAR E PROSSEGUIRpelos ns que possuam apenas duas incgnitas

determinar (esforo normal de 2 barras). Aplicam-se as equaes de equilbrio esttico em cada

n: (Fx=0 Fy=0).

Note-se que se o n tiver mais de 2 barras serem determinadas, as 2 equaes no so

suficientes para a soluo do sistema.

ROTEIRO:

1 Passo clculo das reaes externas (se necessrio);

2 Passo escolha do 1 n ser examinado;

3 Passo aplicao das equaes de equilbrio no n escolhido;4 Passo resolvido o primeiro n, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se

ele acresce apenas duas incgnitas (2 barras serem determinadas).

Obs.:este mtodo apresenta o problema de acumular os erros de clculo que por acaso sejam

cometidos.

Mtodo de Ritter ou Mtodo das Sees

O mtodo de Ritter permite que se calculem os esforos normais apenas em algumas

barras que possam nos interessar.

ROTEIRO:

1 Passo clculo das reaes externas (se necessrio);

2 Passo cortar a trelia por sees de Ritter que devem:

a) atravessar toda a trelia dividindo-a em 2 partes

b) interceptar no mximo 3 barras que no sejam ao mesmo tempo paralelas ou concorrentes.

c) cortada a trelia em 2 partes, substitui-se a parte retirada pelos esforos normais

desenvolvidos pelas barras cortadas, que devem ser calculados, de maneira que as partes

ficam em equilbrio;

d) os esforos normais sero encontrados pelo equilbrio das partes, podendo-se dispor almdas equaes fundamentais de equilbrio esttico, da condio de n onde a soma dos

momentos em qualquer n da trelia deva ser zero, pois as rtulas no absorvem momento.

Obs.:este mtodo acrescenta mais condies as j conhecidas e so usadas as condies que

nos parecerem mais convenientes, podendo-se facilmente mesclar os 2 mtodos sem problema

algum.

Mtodo de Cremona

um mtodo grfico que preconiza a justaposio dos polgonos de foras que traduzemo equilbrio de cada n. Est em desuso em funo da mecanizao dos clculos.


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Exemplo de aplicao para o mtodo dos ns

Determinar as reaes de apoio e os esforos internos das barras da trelia dada.

1 Passo - Reaes de apoio

Fx = 0 (+)

-HA+ 6 = 0

-HA= - 6 x(-1)

HA= 6 kN

Fy = 0 (+)

VA+ VB- 20 = 0

VA+ VB= 20

MA= 0 ( +)

20 x 2 + 6 x 1,5 VBx 4 = 0

40 + 9 - 4VB= 0

VB= 12,25 kN

Logo

VA= 20 VB

VA= 20 12,25

VA= 7,75 kN


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2 Passo Esforos internos

Tg = 1,5 / 2 = 0,75 37 (Sen 37 = 0,60 e Cos 37 = 0,80)

N A

Fy = 0 (+)

7,75 + NACx Sen 37 = 0

7,75 + NACx 0,60 = 0

NAC= -12,92 kN (compresso)

Fx = 0 (+)

- 6,0 + NAD+ NACx Cos 37 = 0

- 6,0 + NAD+ (- 12,92) x 0,80 = 0

- 6,0 + NAD 10,34 = 0

NAD= 16,33 kN (trao)

N D

Fy = 0 (+)

NDC 20 = 0

NDC= 20,0 kN (trao)

Fx = 0 (+)

- NDA+ NDB= 0NDB= NDA

NDB= 16,33 kN (trao)

N B

Fy = 0 (+)

12,25 + NBCx Sen 37 = 0

12,25 + NBCx 0,60 = 0

NBC= - 20,42 kN (compresso)


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Exemplo de aplicao para o mtodo de Ritter ou mtodo das sees

Determinar as reaes de apoio e os esforos internos das barras da trelia dada.

1 Passo - Reaes de apoio

Fx = 0 (+)

HA= 0

Fy = 0 (+)

VA+ VB 18 36 = 0

VA+ VB= 54

MA= 0 ( +)

18 x 2 + 36 x 4 VBx 6 = 0

180 6VB= 0

VB= 30,0 kN

Logo

VA= 54 VB

VA= 54 30,0

VA= 24,0 kN


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2 Passo Esforos internos

Tg = 2 / 2 = 1,0 45 (Sen 45 = Cos 45 = 0,71)

Seo 1-1 (a esquerda)

Fy = 0 (+)

24 18 + NEDx Cos 45 = 0

6 + NEDx 0,71 = 0

NED= - 8,45 kN (compresso)

ME= 0 ( +)

24 x 2 + NCDx 2 = 0

NCD= - 24,0 kN (compresso)

Fx = 0 (+)

NEF+ NEDx Cos 45 + NCD= 0

NEF+ (- 8,45) x 0,71 + (- 24) = 0

NEF 6 24 = 0

NEF= 30,0 kN (trao)

N A

Fy = 0 (+)

24 + NACx Sen 45 = 024 + NACx 0,71 = 0

NAC= - 33,8 kN (compresso)

Fx = 0 (+)

NAE+ NACx Cos 45 = 0

NAE+ (- 33,8) x 0,71 = 0

NAE= 24,0 kN (trao)

N E

Fy = 0 (+)

- 18 + NEC+ NEDx Sen 45 = 0

- 18 + NEC+ (- 8,45) x 0,71 = 0

- 18 + NEC- 6 = 0

NEC= 24,0 kN (trao)


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N B

Fy = 0 (+)

30 + NBDx Cos 45 = 0

30 + NBDx 0,71 = 0NBD= - 42,25 kN (compresso)

Fx = 0 (+)

NBF NBDx Cos 45 = 0

NBF ( 42,25) x 0,71 = 0

NBF+ 30 = 0

NBF= 30,0 kN (trao)

N F

Fy = 0 (+)

NFD- 36 = 0

NFD= 36 kN (trao)


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Determinar os esforos normais atuantes nas trelias abaixo.

a)

RespostasEsforos externos:

VA= 40 kN () HA= 20 kN ()

VB= 60 kN ()

Esforos internos:

NAB= 0

NAC= + 200 kN (!)

NA"= + 2#$ kN (!)

NB"= % 600 kN (C)

NC"= % 200 kN (C)

NCE= 0

NC&= + 2#$ kN (!)

NE&= % 200 kN (C)

N"&= % 400 kN (C)

b)Respostas

Esforos externos:

VA= 40 kN () HA= 0

VB= 40 kN ()

Esforos internos:

NAC

= NC"

= % '$64 kN (C)NA&= + '$2$ kN (!)

N&= + #0 kN (!)

NC&= % 200 kN (C)

N&"= + 4*6 kN (!)

N"= 0

c)Respostas

Esforos externos:

HA= '00 kN ()

VE= 60 kN () HE= *0 kN ()

Esforos internos:

NAB= % *,0 kN (C)

NBC= NC"= % ,00 kN (C)

NE&= + *#2 kN (!)

N&= + 6'4 kN (!)

N"= + 444 kN (!)

NAE= + 2,0 kN (!)

NA&= % $,2 kN (C)

NB= % 2#2 kN (C)

NB&= + '26 kN (!)NC= 0

20kN

20kN

10 kN

20 kN

20 kN

20 kN

10 kN

20 kN

10 kN 20 kN

10 kN 20 kN

10 kN


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Bibliografia

Anlise Estrutural, Jos Carlos Sussekind, Vol I, Editora Globo, 1984;

Estruturas Isostticas, Maria C. F. de Almeida, Editora Oficina de Textos, 2009;

Estruturas Isostticas, Bernardo Gorfin e Myriam Marques de Oliveira, Editora LTC;

Apostila sobre trelias, professora Maria Regina C. Leggerini / Silvia B. Kalil, PUC-RS.

Documents

Apostila de Isostática -