Apostila de Matemática Financeira Sefaz

Matemática Financeira

Elmar Pessoa

Av. Domingos Ferreira, 2050 – 2º andar – Boa Viagem – Recife / PE – Tel.: 3465.8611

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Índice

1.- Juros Simples ........................................................................................................................ 4

1.1- Conceituação ....................................................................................................................... 4

1.2- Regime de Juros Simples ................................................................................................ 4 1.2.1- Taxa de Juros ................................................................................................................... 4 1.2.1.1- Taxas Porcentuais e Unitárias ................................................................................. 5

1.2.1.2- Taxas Proporcionais ................................................................................................... 5 1.2.1.3- Taxas Equivalentes ..................................................................................................... 5

1.2.2- Juros Comerciais e Juros Exatos ............................................................................... 5

1.2.3- Estabelecimento da Fórmula ....................................................................................... 6

1.2.4- Montante ............................................................................................................................ 6 1.3- Descontos Comercial e Racional ................................................................................... 9 1.3.1- Desconto Racional (por dentro) .................................................................................. 9

1.3.2- Desconto Comercial (por fora) .................................................................................. 10 1.3.3- Comparação entre Desconto por Dentro e Desconto por Fora ........................ 11

1.4- Equivalência de Capitais a Juros Simples ................................................................ 11

1.5- Questões de Concursos ................................................................................................. 13

2. Juros Compostos ................................................................................................................. 16 2.1- Noções Iniciais .................................................................................................................. 16

2.2- Taxas de Juros .................................................................................................................. 17

2.2.1- Taxas Equivalentes ....................................................................................................... 17 2.2.2- Taxa Real e Taxa Aparente ......................................................................................... 17

2.3- Taxas Efetivas e Taxas Nominais ................................................................................ 18 2.3.1- Taxa Efetiva .................................................................................................................... 18

2.3.2- Taxa Nominal .................................................................................................................. 18

2.3.3- Conversão da Taxa Nominal em Taxa Efetiva ....................................................... 19

2.4- Montante no Regime de Juros Compostos ............................................................... 19

2.5- Capitalização Contínua ................................................................................................... 21 2.6- Convenção Linear e Exponencial ................................................................................ 21

2.6.1- Convenção Linear ......................................................................................................... 21 2.6.2- Convenção Exponencial ............................................................................................. 21

2.7- Descontos Compostos ................................................................................................... 22

2.7.1- Desconto Racional Composto ................................................................................... 22

2.7.2- Desconto Comercial Composto ................................................................................ 23

2.7.3- Equivalência entre Taxas de Desconto Racional e Comercial Composto .... 24 2.8- Fluxos de Caixa ................................................................................................................. 25

2.8.1- Diagramas de Fluxo de Caixa .................................................................................... 25 2.9- Equivalência Composta de Capitais ........................................................................... 26

2.9.1- Capitais Equivalentes .................................................................................................. 26 2.9.2- Fluxos de Caixa Equivalentes ................................................................................... 27 2.10- Anuidade ou Rendas Certas ....................................................................................... 28

2.10.1- Capitalização ................................................................................................................ 29 2.10.2- Amortização ................................................................................................................. 32

2.10.2.1- Sistema Francês ou Price ..................................................................................... 33


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2.10.2.2- Sistema de Amortização Constante - SAC ....................................................... 34 2.10.2.3- Sistema de Amortização Misto - SAM ................................................................ 35 2.10.2.4- Sistema de Amortização Americano .................................................................. 36

2.11- Análise de Investimentos ............................................................................................. 37

2.11.1- Método do Valor Presente Líquido ......................................................................... 37

2.11.1.1- Custo de Oportunidade .......................................................................................... 37 2.11.2- Taxa Interna de Retorno ............................................................................................ 37

2.12- Questões de Concursos ............................................................................................... 39

3. Anexos – Tabelas Financeiras ......................................................................................... 46 3.1- Fator de Acumulação de Capital .................................................................................. 46

3.2- Fator de Acumulação de Capital de uma Série de Pagamentos ......................... 47

3.3- TABELA PRICE - Fator de Valor Atual de Uma Série de Pagamentos ............... 48

3.4- Fator de Valor Atual de uma Série de Pagamentos ................................................ 49

Referências Bibliográficas ..................................................................................................... 50


Elmar Pessoa



01 Juros Simples

1.- Juros Simples

1.1- Conceituação

Quando uma certa quantia em dinheiro é cedida por empréstimo ou depositada em algum tipo de aplicação financeira, recebe por sua aplicação uma remuneração chamada juro. Nessas transações devem ser consideradas quatro quantidades:

a) Capital (C): a quantia aplicada ou emprestada; b) Juros (j): a remuneração recebida pelo capital empregado; c) Tempo (t): o prazo de duração da transação; d) Taxa (i): que traduz as condições da transação

Portanto, juro é a remuneração paga a um capital. Ao capital acrescido dos juros é comum chamarmos montante. Assim, observamos que os juros são a variação entre o capital e o montante.

Capital Juros Montante

A pessoa que empresta é o credor e a que toma emprestado é o devedor. Os juros são referidos a 100 unidades monetárias (número fixo) e a unidade de tempo. Então, quando se diz que os juros são de 60% ao ano, significa que o devedor pagou ao credor, 60 reais para cada 100 reais que recebeu emprestado, em cada ano. Os prazos podem ser estabelecidos em qualquer unidade de tempo: ano, meses, dias etc.. Convenciona-se considerar o prazo de 1 ano, quando não é indicado explicitamente o prazo. Então, sendo enunciada simplesmente a taxa de 60%, subtende-se 60% ao ano.

1.2- Regime de Juros Simples

Chamamos de juros a remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i durante um certo tempo t. Se essa remuneração incide somente sobre o capital C, ao final do tempo t, dizemos que esses juros são juros simples. Em outras palavras, chamamos de regime de juros simples àquele onde se admite que os juros serão diretamente proporcionais ao tempo da operação considerada. Como os juros são a variação entre o capital e o montante e esta, na prática, ocorre ao longo do tempo, o valor dos juros deve sempre ser associado ao período de tempo que foi necessário para gerá-lo.

Exemplo: Se dissermos que um empréstimo de R$ 1.000,00 cobra juros de R$2,00, isto representa uma variação grande ou pequena? Depende. Se esta ocorreu em um ano, podemos dizer que é bem pequena. Mas se ocorreu em um dia, já não teremos a mesma opinião.

1.2.1- Taxa de Juros

A taxa de juros é a taxa porcentual que indica a proporção entre os juros e o capital. A taxa de juros deve sempre estar associada a um período de tempo.


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100% (100%+x)%

Capital C

+ x% + Juros

Montante M=?

1.2.1.1- Taxas Porcentuais e Unitárias Uma taxa porcentual representa uma razão centesimal fazendo o uso do símbolo %. Assim, temos:

%25100

25 (taxa porcentual)

Entretanto, podemos representar a razão centesimal na forma decimal, obtendo a forma unitária da taxa, ou taxa unitária:

25,0100

25 (taxa unitária)

1.2.1.2- Taxas Proporcionais Dizemos que duas taxas são proporcionais quando seu valores formam uma proporção direta com os respectivos tempos, se considerados numa mesma unidade.

Exemplo 01: As taxas de 72% ao ano e de 6% ao mês são proporcionais, pois:

mêsmeses 1

%6

12

%72

1.2.1.3- Taxas Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes quando produzem juros iguais ao serem aplicadas a capitais iguais e por período de tempo também iguais. Atenção: no regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais. Exemplo 02: Aplicar X reais, durante algum tempo, à taxa de juros simples de 2% a.m. nos daria juros iguais àqueles que obteríamos se aplicássemos os mesmos X reais, durante o mesmo tempo, mas à taxa de juros simples de 6% a.t. (ao trimestre). Então dizemos que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 6% a.t. Notemos que 2% a.m. e 6% a.t. são também taxas proporcionais, pois:

mêsmeses 1

%2

3

%6

1.2.2- Juros Comerciais e Juros Exatos

Existem situações onde o prazo de uma operação financeira é contado em dias enquanto a taxa de juros é indicada em outra unidade de tempo maior (mês, bimestre, quadrimestre, semestre, ano etc.). A contagem do número de dias envolvidos nestas situações será feita, na prática, de acordo com uma das duas convenções abaixo:

a) prazo comercial – consideram-se todos os meses com 30 dias (mês comercial) e o ano com 360 dias (ano comercial). Este é o caso mais freqüente nos problemas de juros simples e, os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados de juros comerciais ou juros ordinários.

b) prazo exato – consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas apresentadas. Cada mês poderá ter 30 dias (abril, junho, setembro e novembro), 28 dias (para fevereiro, sendo 29 se o ano for bissexto) ou 31 dias (janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro). O ano terá um total de 365 dias (ou 366 dias se for bissexto). Os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados juros exatos.


Elmar Pessoa



1.2.3- Estabelecimento da Fórmula

Para facilitar a resolução de problemas envolvendo juros simples, pode-se estabelecer uma fórmula de emprego muito simples: - Um capital 100 em 1 ano produz juros iguais a i - Um capital C em t anos produzirá juros iguais a j.

Capital Tempo Juros 100 1 i C t j

tCj

i 1100 =>

tCj

i

1100 =>

tCj

i

100

100

tiCj

A expressão acima pode ser considerada como uma fórmula geral para o cálculo de qualquer dos quatro elementos dos problemas de juros C, j, i ou t. IMPORTANTE:

a) A fórmula foi deduzida supondo que o tempo e a taxa de aplicação possuem a mesma periodicidade. Então, se isso não ocorrer, é necessário proceder as devidas transformações para torná-las compatíveis. Exemplo: se o período da aplicação for dado em anos e o capital capitalizado mensalmente, é necessário se transformar o período em meses ou tornar a taxa anual. - Um período 2 anos corresponde a um período de 2 x 12 = 24 meses. - Taxa de 5% ao mês corresponde a 5 x 12 = 60% ao ano.

1.2.4- Montante É a soma de um capital com os juros correspondentes:

M = C + j

Exercícios Resolvidos:

Exercício Resolvido 01. Capital de R$ 800,00 foi aplicado pelo prazo de 2 meses, à taxa de 3% ao mês. Qual o valor dos juros a receber? Solução:

100

tiCj

=>

100

23800 j => 00,48j

Portanto, os juros a receber são de R$ 48,00. Exercício Resolvido 02. Um capital de R$ 23.500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 9% a.a. Determine o montante desta aplicação. Solução:

Utilizando as fórmulas apresentadas, temos:

Compatibilização:

Se, em um ano (12 meses)......... a aplicação paga............ 9% em 1 mês................................... a aplicação paga............ x%

..%75,012

19% max


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100

tiCj

=>

100

875,0500.23 j => 00,410.1j

jCM => M = 23.500 + 1410 => M = 24.910,00

Portanto, o montante a receber é de R$ 24.910,00. Exercício Resolvido 03. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 8 meses resultou num montante de R$ 66.000,00. Qual foi a taxa mensal desta aplicação? Solução:

Utilizando as fórmulas apresentadas, temos:

jCM => 66.000 =50.000 + j => j = 16.000,00

100

tiCj

=>

100

8000.50000.16

i => ..%4 mai

Portanto, a taxa é de 4% a.m..

EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM 01 CÓD.:

De quanto será o juro produzido por um capital de R$2.300,00, aplicado durante 3 meses e 10 dias, à taxa de 12% ao mês?


Um capital de R$5.300,00 foi aplicado no dia 25 de março de um certo ano, à taxa anual de 10% . Considerando o critério de juros simples exatos, qual o valor do montante desta aplicação em 6 de junho do mesmo ano.


Uma duplicata de $600,00, vencida em 10/04/1999, somente foi paga em 22/06/1999. Admitindo que o banco cobre juros simples exatos de 60% a.a., calcule o montante desembolsado pelo devedor.


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Um artigo de preço à vista igual a $700,00 pode ser adquirido com entrada de 20% mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8% a.m., qual o valor do pagamento devido?


Um artigo pode ser comprado à vista com 10% de desconto ou em duas vezes iguais, “sem juros”, sendo a primeira prestação no ato e a segunda em 30 dias. Qual a taxa de juros mensais cobrada efetivamente pelo vendedor?


Elmar Pessoa



1.3- Descontos Comercial e Racional

Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data do seu vencimento. O documento que atesta a dívida é denominado genericamente por título de crédito. São exemplos de títulos de crédito as notas promissórias, as duplicatas e as letras de câmbio. Valor Nominal, ou de face é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título. Valor Líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data de vencimento do mesmo. É sempre menor que o valor nominal, pois o título sofreu um desconto. O valor líquido também é chamado de valor atual, valor descontado (que sofreu desconto – não confundir com “valor do desconto”), valor pago. Prazo de Antecipação é o intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a data de vencimento do mesmo. Vamos resumir o que temos até agora num esquema :

(ANTES DO VENCIMENTO)

(VENCIMENTO)

(PRAZO DE ANTECIPAÇÃO)

VALOR LÍQUIDO

VALOR NOMINAL

+DESCONTO

Observe que o desconto sempre é a diferença entre o valor nominal e o valor líquido. Estudaremos dois tipos de desconto: desconto racional e desconto comercial.

1.3.1- Desconto Racional (por dentro) Desconto “por dentro”, ou desconto racional é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor líquido.

Desconto “ por dentro” ou racional 100% é o valor líquido

Neste caso, o nosso esquema será:

100% (100% + d%)

+d% VALOR LÍQUIDO VALOR NOMINAL

DESCONTO

A fórmula matemática para o cálculo do desconto é mesma utilizada para se determinar o montante de uma aplicação:

Capitalização Desconto Racional

M = C + j => M = C + 100

tiC , onde:

M = Montante i = Taxa de juros C = Capital t = prazo de aplicação j = juros

N = L + d => N = L + 100

tiL , onde

N = Valor nominal i = Taxa de desconto L = Valor líquido t = prazo de antecipação d = valor do desconto

Atenção: A taxa de desconto, i%, é sempre proporcional ao prazo de antecipação do título.


Elmar Pessoa



1.3.2- Desconto Comercial (por fora)

Desconto “por fora”, ou desconto comercial é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor nominal.

Desconto “por fora” ou comercial 100% é o valor nominal

Neste caso, o nosso esquema será:

(100 –D) % 100%

+D% VALOR LÍQUIDO VALOR NOMINAL

DESCONTO

A fórmula matemática para o cálculo do desconto é mesma utilizada para se determinar os juros de uma aplicação, só que agora, o desconto é calculado sobre o valor nominal:

Capitalização Desconto Comercial

M = C + j => C = M - j => C = M - 100

tiC

Onde: M = Montante i = Taxa de juros C = Capital t = prazo de aplicação j = juros

N = L + D => L = N - D => L = N - 100

tiN

Onde: N = Valor nominal i = Taxa de desconto L = Valor líquido t = prazo de antecipação D = valor do desconto

Para resolver um problema de desconto simples, tudo que temos a fazer é utilizar as fórmulas sugeridas ou seguir os passos abaixo:

I) identificar qual o tipo do desconto no problema; II) procurar preencher o “esquema” correspondente de acordo com os dados do

problema; III) calcular o valor que precisamos no esquema, usando regra de três

Dica: Pense numa garrafa: O que há dentro dela? O líquido! => (por dentro = 100% é o líquido) O que há fora dela? O nome! => (por fora = 100% é o nominal)

Exercícios Resolvidos:

Exercício Resolvido 01: Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de R$650,00, descontado 2 meses antes do vencimento à taxa de 15%a.m. Solução: Utilizando as fórmulas, temos:

D = N - L, como o valor líquido não foi fornecido no problema, teremos que calculá-lo:

N = L + 100

tiL => 650 = L +

100

215 L => 650 = L + 0,3L =>

1,3L = 650 => L = 500,00

D = N – L => D = 650 – 500 => D = 150,00


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Exercício Resolvido 02: Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa de 12% ao mês, resultou um valor descontado de R$ 608,00. Solução: Utilizando as fórmulas, temos:

L = N - 100

tiN => 608 = N -

100

212 N => 608 = N - 0,24N =>

0,76N = 608 => N = 800,00

1.3.3- Comparação entre Desconto por Dentro e Desconto por Fora

O desconto por fora ou comercial é igual ao desconto por dentro ou racional, somado aos juros produzidos por este. Então:

Desconto Comercial = Desconto Racional + Juros Respectivos

Então, nas mesmas condições de taxa, prazo e capital, o desconto por fora (comercial) é maior que o desconto por dentro (racional), pois no primeiro cobra-se juros sobre o valor nominal e no segundo, sobre o valor atual (ou líquido).

1.4- Equivalência de Capitais a Juros Simples

Considere o problema da substituição de um ou mais compromissos financeiros por outros, com datas diferentes de vencimento, sem prejuízo para qualquer das partes interessadas (credor e devedor). Este problema pode ser resolvido pela equivalência de capitais. Dados dois conjuntos de capitais, cada um deles com sua data de vencimento, dizemos que eles são equivalentes, a uma mesma taxa de juros e para uma mesma data (data focal), se as somas dos valores atuais de cada um dos conjuntos, nesta data, forem iguais.


Dois títulos cujos valores nominais são R$ 15.000,00 e R$ 18.000,00, com vencimento para 2 e 6 meses, respectivamente, deverão ser substituídos por um único título, vencível em 4 meses. Se a taxa de desconto comercial simples é de 3% a.m., qual é o valor nominal novo título? (obs.: usar a data focal zero).

Atenção: no regime de juros simples, a mudança de uma data focal para outra pode alterar os resultados do problema.


Elmar Pessoa




Considerando a mesma situação do exemplo anterior, determinar o valor nominal do mesmo título na data focal 4 e comparar com o resultado anterior.


Elmar Pessoa



1.5- Questões de Concursos

QUESTÃO 01 CÓD.: 16

Ao entrar em vigor lei específica que estabeleceu novos direitos aos usuários de telecomunicações, uma operadora de telefonia celular perdeu 8% dos seus clientes. A empresa decidiu, então, diminuir sua margem de lucro sobre os serviços ao cliente, o que acarretou um aumento de 10% no número atual de clientes da empresa. Nessa situação, considerando que, após as medidas tomadas pela empresa, o número de clientes da operadora passou a ser de 80.960, então o número de clientes dessa operadora antes da perda dos 8% de clientes era

a) inferior a 73.500. b) superior a 73.500 e inferior a 75.500. c) superior a 75.500 e inferior a 77.500. d) superior a 77.500 e inferior a 79.500. e) superior a 79.500.

TCE/AC 2009

Analista de Controle Externo – Especialidade: Ciências Contábeis

Cespe/

UNB

Gab.: E

QUESTÃO 02 CÓD.: 46/47/48

Considerando que, para melhorar seu desempenho comercial, uma empresa planeja gastar em infra-estrutura R$ 315.000,00, em 3 parcelas, julgue os itens seguintes.

SQ01- Considere a seguinte situação hipotética. A empresa gastou, em infra-estrutura, 40% do montante referido acima e aplicou o restante em uma instituição financeira, antes de realizar os outros gastos. Após 5 meses do início da aplicação, sem ter feito uma nova aplicação ou retirada, o saldo da empresa nessa aplicação era de R$ 226.800,00. Nesse caso, se a instituição financeira opera no regime de juros simples, então a taxa mensal de juros pagos pela aplicação, no período mencionado, foi superior a 5%.

Prefeitura Municipal de Vila Velha / ES

2007

Técnico Municipal de Nível Superior I – Área de Atuação: Auditoria

UnB/

CESPE

GAB.:

E


A quantia de R$ 24.000,00 foi dividida em duas partes. A primeira foi investida à taxa de juros simples de 96% ao ano, durante 5 meses; a segunda foi investida à taxa de juros simples de 10% ao mês, durante 4 meses; os montantes produzidos pelos dois investimentos foram iguais. Em face dessas hipóteses, é correto afirmar que

a) as duas partes são iguais. b) a segunda parte é maior que a primeira. c) a primeira parte é superior a R$ 15.000,00. d) a segunda parte é inferior a R$ 10.000,00. e) a primeira parte é o dobro da segunda.

TCE/AC 2008 Analista de Controle Externo – Especialidade: Ciências Contábeis

CESPE/

Unb

Gab.: A


Sabendo-se que o ano de 2008 foi bissexto, conclui-se que uma quantia aplicada do dia 15 de janeiro até 10 de abril daquele ano à taxa de juros diários deve render o mesmo valor total de juros, não importando se o cálculo for feito por meio do método de juros comerciais ou de juros exatos.

ANTAQ 2009 Analista Administrativo – Especialidade: Ciências Contábeis

UnB/

CESPE

Gab.: E


Elmar Pessoa




No regime de juros simples, determinado capital investido durante 2,5 meses produziu o montante de R$ 12.000,00. O mesmo capital, investido durante de 5 meses, no mesmo regime de juros, produziu o montante de R$ 14.000,00. Nesse caso, é correto afirmar que esse capital é

a) inferior a R$ 9.400,00. b) superior a R$ 9.400,00 e inferior a R$ 9.800,00. c) superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00. d) superior a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.600,00. e) superior a R$ 10.600,00.


CESPE/

Unb

Gab.: C


Um capital foi aplicado pelo período de um ano, em uma conta remunerada, à taxa de juros de 10% ao mês. Considerando que o regime de capitalização foi de juros simples nos primeiros 10 meses e de juros compostos nos 2 últimos meses, que, durante esse ano, o investimento gerou um lucro de R$ 3.075,01, e desconsiderando taxas de administração e outras taxas, então é correto afirmar que o capital aplicado, em reais, foi



Cespe/

UNB

Gab.: A


Um comerciante que deve a um banco um título de valor nominal igual a R$ 23.450,00, com vencimento para daqui a dois meses, negociou com o banco a prorrogação da dívida por mais quatro meses. Considerando a data focal como sendo o momento atual e que, para o título acima, o banco adotou o desconto comercial simples à taxa de 60% ao ano, então o valor nominal, em reais, do novo título será



Cespe/

UNB

Gab.: D


Um título foi descontado dois meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto simples de 5% ao mês. Considerando que a diferença entre o desconto comercial (por fora) e o desconto racional (por

dentro) foi de R$ 200,00, e que 0,091 é valor aproximado para 11/1 , é correto afirmar que o valor

nominal desse título era



CESPE/

Unb

Gab.: E


Elmar Pessoa




Em um supermercado, um cliente comprou determinado produto e, na hora de pagar, o operador do caixa registrou um valor 9% superior ao preço impresso na etiqueta do produto. Para corrigir o erro, o operador do caixa efetuou um desconto de R$ 9,81 sobre o preço registrado, de modo que o cliente pagasse apenas o valor impresso na etiqueta. Nessa situação, o valor em reais registrado na embalagem do produto era igual a

a) 106,50. b) 109. c) 110,50. d) 112. e) 113,35.

TCE/AC 2009


Cespe/

UNB

Gab.: B

QUESTÃO 10 CÓD.:

Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi

a) R$ 24.000,00 b) R$ 20.800,00 c) R$ 15.200,00 d) R$ 12.500,00 e) R$ 10.400,00

CVM 2003 FCC Gab.: E


Elmar Pessoa



02 2. Juros Compostos

2.1- Noções Iniciais

Chamamos de regime de juros compostos àquele onde os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior. Ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a integrar o valor do capital ou montante que serviu de base para o seu cálculo, de modo que o total assim conseguido será a base de cálculo para os juros do próximo período. Exemplo: Vamos acompanhar os montantes, mês a mês, de uma aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% a.m. por um período de 4 meses no regime de juros compostos.

Período Juros no fim do período Montante

1º mês 10% de R$1.000,00 = R$ 100,00 R$1.100,00

2º mês 10% de R$1.100,00 = R$ 110,00 R$1.210,00

3º mês 10% de R$1.210,00 = R$ 121,00 R$1.331,00

4º mês 10% de R$1.331,00 = R$ 133,10 R$1.464,10

Observe que: a) os juros e o montante, no fim do 1º mês são iguais aos que seriam produzidos

no regime de juros simples; b) cada novo montante é obtido calculando-se um aumento de 10% sobre o

montante anterior, o que resulta em aumentos sucessivos a uma taxa fixa de 10%;

c) os juros vão se tornando maiores a cada mês, de modo que, após o 1º mês, a diferença entre um montante calculado no regime de juros compostos (Mc) e o correspondente no regime de juros simples (Ms) vai se tornando cada vez maior (ver quadro abaixo):

M Mc

Ms

C

1 tempo

Dá-se o nome de capitalização ao processo de incorporação dos juros ao capital ou montante de uma operação financeira. Contudo, é comum encontrarmos as expressões regime de capitalização simples e regime de capitalização composta no lugar de regime de juros simples e regime de juros compostos, respectivamente. Freqüentemente encontramos, nos enunciados dos problemas, outras expressões utilizadas para indicar o regime de juros compostos:

- Taxa composta de X% a.m. – indicando juros compostos com capitalização mensal;


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- Taxa de X% a.a. capitalizados semestralmente – indicando juros compostos e capitalização semestral;

- Capitalização composta, montante composto – indicando regime de juros compostos.

2.2- Taxas de Juros

2.2.1- Taxas Equivalentes

Dizemos que duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a capitais iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais.

nm ii )1()1( 21

Exercício Resolvido 01: Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalente à taxa composta de 20% ao mês? Solução: Pretendemos determinar uma taxa trimestral it equivalente a uma taxa mensal dada im=0,20 Como um trimestre equivale a 3 meses, teremos 1 e 3 como expoentes:

nm ii )1()1( 21 => 31 )1()1( mt ii => 31 )20,1()1( ti => 728,1)1( ti =>

sendo assim, %8,72728,0 ti

Portanto, a taxa trimestral composta equivalente a 20% a.m. é 72,8%.


(BANESPA/1997-FCC) Receber juros de 525% ao ano é equivalente a receber juros semestrais de:

2.2.2- Taxa Real e Taxa Aparente

Consideremos que um banco tenha oferecido uma determinada aplicação pagando uma taxa efetiva de 10% a.a.. Se no mesmo período for registrada uma inflação na ordem de 6% a.a., então diremos que a taxa de 10% a.a. oferecida pelo banco não foi a taxa real de remuneração do investimento mas uma taxa aparente, pois os preços, no mesmo período, tiveram um aumento de 6%. Se compararmos o que ocorreria com dois investimentos de $100,00, o primeiro sendo remunerado à taxa de 10% a.a. e o segundo recebendo apenas a correção monetária devido à inflação de 6% a.a., teremos: a) montante da aplicação a juros de 10%: 100 x 1,10 = 110,00 b) montante da aplicação sujeita apenas à taxa correção monetária de 6%: 100 x 1,06 = 106,00

Se o investidor recebesse, ao fim do investimento exatamente $106,00 não teria havido ganho nenhum pois o único acréscimo recebido teria sido o da correção monetária. Como o investidor recebeu $110,00, o seu ganho real foi de $4,00 em relação a $106,00, ou seja:


Elmar Pessoa



...%77,3...0377,0106

4

Sejam as taxas unitárias e referentes a um mesmo prazo

iR = taxa real; iI = taxa de inflação iA = taxa aparente

Poderíamos chegar ao mesmo resultado utilizando a relação:

)1()1()1( AIR iii

)10,01()06,01()1( Ri => 10,106,1)1( Ri => 06,110,1)1( Ri =>

=> ...0377,1)1( Ri => ...77,3...0377,0 Ri %

Observe que ao contrário do que possa parecer a princípio, a taxa aparente iA não é igual a soma da taxa de inflação iI com a taxa real iR , mas sim:

)( RIRIA iiiii

2.3- Taxas Efetivas e Taxas Nominais

2.3.1- Taxa Efetiva

Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com a unidade de tempo do período de capitalização dizemos que a taxa é efetiva. Exemplos:

a) taxa de 5% ao mês com capitalização mensal; b) juros de 10% ao trimestre capitalizados trimestralmente.

Nos enunciados de problemas de juros compostos onde se dá a taxa efetiva, freqüentemente se omite o prazo de capitalização, ficando subtendido que este é o mesmo indicado pela taxa. Exemplos:

a) taxa de 15% ao mês – significando 15% ao mês, com capitalização mensal. b) juros de 10% ao trimestre – significando 10% ao trimestre, com capitalização

trimestral.

2.3.2- Taxa Nominal

Entretanto, é comum encontrarmos também em problemas de juros compostos expressões como:

a) Juros de 60% ao ano, capitalizados mensalmente; b) Taxa de 24% ao ano, com capitalização bimestral.

Em tais expressões, observamos o que se convencionou chamar de taxa nominal que é aquela em que a unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. Podemos entender a taxa nominal como uma “taxa falsa”, geralmente dada com períodos em anos, que não devemos utilizar diretamente nos cálculos de juros compostos, pois não produzem resultados corretos. Em seu lugar, devemos usar uma taxa efetiva.


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2.3.3- Conversão da Taxa Nominal em Taxa Efetiva

A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização. Isso pode ser feito com uma regra de três simples e direta.


Um problema de juros compostos faz referência a uma taxa de juros de 72% ao ano com capitalizações mensais. Qual deverá ser a taxa mensal que usaremos para calcular o montante?


Uma aplicação financeira paga juros compostos de 8% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual é a taxa de juros efetiva trimestral praticada nesta aplicação?


(TCE/PI-2002-FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é:

2.4- Montante no Regime de Juros Compostos

Como vimos acima, no regime de juros compostos, o montante ao fim de determinado período resulta de um cálculo de aumentos sucessivos. Então, sejam:

C = Capital aplicado M = Montante da aplicação ao final de n períodos i = forma unitária da taxa efetiva da aplicação n = número de períodos de capitalização

Podemos expressar o montante M em função dos outros três elementos do seguinte modo:

n

fatoresn

iCiiiCM )1()1(...)1()1(

, ou seja niCM )1( (fórmula fundamental)


Elmar Pessoa



Na fórmula apresentada acima, o montante está isolado. Mas podemos calcular qualquer um dos quatro elementos nela envolvidos desde que conheçamos os outros três e isolemos convenientemente o elemento a ser calculado em cada caso. Apresentamos abaixo os outros elementos também isolados:

ni

MC

)1( 1 n

C

Mi

iC

M

n

1log

log

Se as duas últimas fórmulas lhe parecem assustadoras, não se desespere, pois felizmente existem as chamadas tabelas financeiras que foram desenvolvidas justamente para livrá-lo das contas mais complicadas. Assim, nós aprenderemos a consultar estas tabelas e poderemos trocar o trabalho mais pesado por umas poucas multiplicações e divisões.


(CEF/1998-FCC) Um capital de R$2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão


Calcular o capital que aplicado à taxa composta de 2% ao mês daria origem a um montante de R$3.656,97 ao fim de 10 meses.


Um capital de R$8.000,00 foi aplicado à taxa composta de 12% ao ano, gerando um montante de R$15.790,56. Determinar quanto tempo durou esta aplicação.


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2.5- Capitalização Contínua

É a capitalização que ocorre a cada instante infinitesimal. Sendo a capitalização contínua, o montante é calculado por meio da seguinte expressão:

tieCM onde 718,2e (base do logarítimo neperiano)


Um banco oferece uma aplicação financeira que rende 10% ao ano capitalizados continuamente. Você aplica R$100,00 por dois anos. Quanto terá ao final do primeiro ano?

2.6- Convenção Linear e Exponencial

2.6.1- Convenção Linear

Numa situação em que o número de períodos de capitalização não é inteiro, o cálculo do montante poderá ser feito usando-se uma técnica chamada convenção linear, que nos dará uma aproximação bem razoável para o valor do montante composto procurado. A técnica consiste em calcular o montante em duas etapas: 1ª etapa – Calcular o montante composto para o maior número possível de inteiros; 2ª etapa – Acrescentar ao resultado da 1ª etapa os juros simples proporcionais à parte fracionária restante do tempo de aplicação, calculados sobre o montante obtido na 1ª etapa do cálculo.


Calcular o montante para o capital inicial de R$10.000,00 aplicado a juros compostos de 6% ao ano, durante 8 anos e quatro meses.

2.6.2- Convenção Exponencial

Na convenção exponencial calcula-se o montante a juros compostos sobre o período total de aplicação (n + p), sendo n o número inteiro de períodos de capitalização e p o período fracionário.

pniCM )1(


Elmar Pessoa



IMPORTANTE: Verifica-se que o montante calculado pela convenção linear é maior que o calculado pela convenção exponencial. Isso acontece, como vimos, porque em um período fracionário do período de capitalização os juros simples são sempre maiores que os juros compostos. Exemplo 01: Calcular o montante produzido por R$10.000,00 aplicados à taxa composta de 12% ao mês, durante três meses e vinte dias. Solução: C = 100; i = 12% a.m

t = 3meses e 20 dias => t = 30

203 => t =

3

23 => t =

3

11mês

pniCM )1( => 3

11

)12,01(000.10 M

Nota: Para se calcular este montante se faz necessária a utilização de uma tabela logarítmica ou de uma máquina de calcular

3

11

)12,01(000.10 M => 515186,1000.10 M => 86,151.15M

2.7- Descontos Compostos

2.7.1- Desconto Racional Composto

Considere um título com valor nominal N, vencível em n períodos e um valor atual A que produz um montante igual a N quando aplicado por n períodos a uma taxa composta de i por período:

NiA n )1(

Denomina-se desconto racional composto à taxa i, com n períodos de antecipação, à diferença entre o valor nominal N e o valor atual A do título, conforme definidos acima.

D = N – A

Note a semelhança da fórmula apresentada acima com a fórmula de capitalização composta:

Compare: NiA n )1( e MiC n )1( => as fórmulas são as mesmas.


Determinar o desconto racional composto sofrido por um título cujo valor nominal é de R$16.872,90, se a taxa de juros compostos for de 4% a.m. e ele for descontado 3 meses antes do seu vencimento.


Elmar Pessoa




Um título foi pago dois meses antes do seu vencimento, obtendo, assim, um desconto racional composto à taxa de 20% a.m.. Sendo de R$1.728,00 o valor nominal do título, quanto foi pago por ele?

2.7.2- Desconto Comercial Composto

Dado um título de valor nominal N, denominamos desconto comercial composto para n períodos de antecipação e a uma taxa de d% ao período ao abatimento ocasionado por n descontos sucessivos de d%, calculados a partir do valor nominal do título, N. Podemos representar o desconto comercial composto pelo seguinte esquema:

Valor Líquido Descontos Sucessivos

Valor Nominal

Exemplo 01: Um título de R$1.000,00 deve ser resgatado três meses antes do seu vencimento, pelo critério do desconto comercial composto e a uma taxa de 10% a.m. O valor líquido pelo qual o título será resgatado é :

Valor Líquido

Valor Nominal

R$729,00 10%

R$810,00 10%

R$900,00 10%

R$1.000,00

Desc. Desc. Desc.

três descontos sucessivos de 10% Como o valor nominal era de R$1.000,00 mas foi resgatado por R$729,00 então o valor do desconto foi de:

R$1.000,00 - R$729,00 = R$271,00

Observação: O valor líquido ao final dos três descontos sucessivos poderia ser calculado multiplicando-se o valor nominal do título três vezes por 0,90 (pois 100% - 10% = 90%)

$ Líquido = $1.000,00 x 0,90 x 0,90 x 0,90 = 1000 x (0,90)³

$ Líquido = 1000 x 0,729 = R$ 729,00

Valor Líquido no Desconto Comercial Composto Generalizando o procedimento que descrevemos no exemplo anterior, podemos dizer que um título de valor nominal N, descontado pelo critério do desconto comercial composto, n períodos antes do seu vencimento e a uma taxa igual a i por período, apresentará um valor líquido L igual a:


Elmar Pessoa



niNL )1(

Note as semelhanças e as diferenças da fórmula acima com a fórmula de capitalização composta.

Exemplo 01: Um título de R$2.000,00 será resgatado três anos antes do seu vencimento, pelo critério do desconto comercial composto à taxa de 20% a.a. com capitalizações semestrais.

Qual o valor líquido? Dado: 531441,0)9,0( 6

Solução: Taxa nominal = 20% a.a. => Taxa efetiva = 10% a.s. => i = 0,10 Capitalizações semestrais Prazo de antecipação = 3 anos = 6 semestres => n = 6

niNL )1( => 6)1,01(000.2 L => 6)9,0(000.2 L => 531441,0000.2 L =>

=> 88,062.1L

2.7.3- Equivalência entre Taxas de Desconto Racional e Comercial Composto

Duas taxas de desconto são equivalentes se e somente se produzem descontos iguais quando aplicadas a um mesmo título e por igual prazo de antecipação. Considerando o mesmo período de capitalização para uma taxa iR de desconto racional e uma outra iC de desconto comercial, podemos afirmar que a equivalência entre iR e iC nos dará:

DC = DR => N – DC = N – DR => LC = LR => n

R

nc

i

NiN

)1()1(

=>

dividindo os dois membros por N e multiplicando-os por nRi )1( , teremos:

1)1()1( nR

nC ii ,

finalmente, calculando a raiz n-ésima de cada membro, encontramos:

nn nR

nC ii 1)1()1( => 1)1()1( RC ii


Determinar a taxa mensal de desconto racional equivalente à taxa de desconto comercial de 20% a.m..


Elmar Pessoa



2.8- Fluxos de Caixa Fluxos de caixa são os pagamentos e/ou recebimentos envolvidos em certa transação financeira e considerados ao longo de determinado intervalo de tempo. Muitas situações em nosso dia-a-dia envolvem fluxos de caixa. Exemplo: Em uma conta corrente bancária, a sucessão de débitos e créditos ocorridos em determinado mês é uma seqüência de fluxos de caixa.

2.8.1- Diagramas de Fluxo de Caixa

Com o objetivo de facilitar a visualização dos fluxos de caixa que compõem determinada transação financeira, usamos o diagrama de fluxos de caixa. Um diagrama de fluxos de caixa é um retrato de um problema financeiro que mostra as entradas e saídas de valores, ao longo do intervalo de tempo considerado para a situação. Os diagramas de fluxos de caixa podem representar qualquer situação prática onde ocorram fluxos (entradas/ saídas) de caixa. Assim desenhar um diagrama de fluxos de caixa é o primeiro passo que devemos dar para resolver um problema financeiro.

0 1 2 3 4 5 6

+250 +480

Diagrama de Fluxos de Caixa

-100 -100 -300 -270

No diagrama de fluxos de caixa representado acima foram utilizadas algumas convenções que iremos usar como padrão:

a) O eixo horizontal representa o intervalo de tempo envolvido na situação sob análise e é sempre dividido em períodos de tempo iguais. Usa-se preferencialmente o prazo de capitalização.

b) As flechas para cima representam fluxos de caixa positivos, isto é, dinheiro recebido, resgatado, dinheiro entrando, fluindo para dento da instituição.

c) As flechas para baixo representam fluxos de caixa negativos, ou seja, dinheiro pago, investido, dinheiro saindo, fluindo para fora da instituição.

d) Onde não existem flechas desenhadas, não há ocorrência de fluxos de caixa. e) Sempre que dois ou mais fluxos de caixa ocorrerem ao mesmo tempo (no

mesmo ponto da linha do diagrama) será considerado o seu valor líquido (soma ou diferença deles).

Exemplos de fluxos de caixa Exemplo 01: Uma pessoa investiu R$600,00 numa modalidade de aplicação que pagava juros capitalizados mensalmente, obtendo, após 6 meses, um montante de R$ 750,00.


Elmar Pessoa



0 1 2 3 4 5 6

600

750

Exemplo 02: Uma pessoa planeja depósitos mensais de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança, sendo o primeiro depósito feito logo no início do primeiro mês, o segundo no início do segundo mês, e assim sucessivamente, até o quinto depósito, e deseja prever qual será o montante que terá naquele momento.

0 1 2 3 4 5

M = ?

-100 -100 -100-100 -100

Exemplo 03: Uma loja oferece duas opções de pagamento ao vender determinado bem: - pagamento à vista no valor de R$ 500,00 ou; - pagamento em 6 parcelas mensais de R$ 100,00, vencendo a primeira na data

da compra.

0 1 2 3 4 5

-100 -100 -100 -100 -100 -100

500

2.9- Equivalência Composta de Capitais

2.9.1- Capitais Equivalentes

Dois conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando, transportado para uma mesma data e a uma mesma taxa de juros, produzirem, nesta data, valores iguais. A data para a qual os capitais são transportados é denominada data focal.

Exemplo 01: Certo título tem valor nominal de R$10.000,00 e vencimento dentro de quatro meses. Qual o valor pelo qual ele deverá ser resgatado hoje, se a taxa de juros considerada é de 1% a.m.? Solução: Inicialmente, construímos o diagrama de fluxo de caixa correspondente:


Elmar Pessoa



0 1 2 3 4

10.000

VA = ?

Como a data focal é anterior a data do título, devemos fazer uma descapitalização:

80,609.9040604,1

00,000.10

)01,01(

00,000.10

4

VA

Isto significa que os R$ 10.000,00 com vencimento dentro de quatro meses são equivalentes aos R$ 9.609,80 com vencimento imediato. Portanto o título deverá ser resgatado por R$ 9.609,80.

2.9.2- Fluxos de Caixa Equivalentes

Dois fluxos de caixa são ditos equivalentes quando, ao transportarmos para uma mesma data e à mesma taxa de juros as entradas e saídas de cada um deles, as somas dos valores presentes encontrados for a mesma nos dois fluxos.

Exemplo 01: Uma dívida deve ser resgatada em 4 meses por R$ 2.431,02. Entretanto, o devedor sugere a quitação da mesma em dois pagamentos, sendo o primeiro deles, daqui a três meses, de R$1.157,63 e o segundo, três meses depois, de R$ 1.340,10. Mostrar que o plano de pagamento proposto pelo devedor é equivalente ao original se considerarmos uma taxa de juros compostos de 5% a.m.. Solução: Vamos transportar para a data focal zero cada um dos valores a serem pagos: 1º fluxo (plano original):

0 1 2 3 4 (meses)

C

2.431,02

Como desejamos “voltar no tempo” por quatro meses o valor dado, faremos uma descapitalização:

niCM )1( => 4)05,01(02,431.2 C => 21551,1

02,431.2C => 00,000.2C

2º fluxo (plano sugerido pelo devedor):

0 1 2 3 4 5 6 (meses)

1.157,63 1.340,10

Cb

Ca

Ca + Cb


Elmar Pessoa



Transportando os valores dos dois pagamentos para a data focal zero, teremos:

anaa iCM )1( => 3)05,01(43,157.1 aC =>

15763,1

63,157.1aC => 00,000.1aC

bnbb iCM )1( => 6)05,01(10,340.1 bC =>

34010,1

10,340.1bC => 00,000.1bC

00,000.100,000.1 ba CC => 00,000.2 ba CC

Como a soma dos capitais do segundo fluxo na data focal zero é igual ao capital do primeiro, na mesma data, podemos dizer que os dois financiamentos são equivalentes.

Atenção: No regime de juros compostos a escolha da data focal não altera a equivalência. Podemos, assim, optar pela data mais conveniente para os cálculos de cada problema.


Na situação proposta no exemplo anterior, verificar que os dois planos são equivalentes utilizando a data focal 6.

2.10- Anuidade ou Rendas Certas

Denomina-se RENDA à sucessão de valores R1, R2, R3, ... usados para constituir-se um capital ou para pagamento parcelado de uma dívida. Cada um dos valores de R chama-se termo ou parcela. As rendas podem ser classificadas sob diversos aspectos:

1- Quanto ao número de termos: Renda Temporária: o número de termos é finito. Renda Perpétua: o número de termos é infinito.

2- Quanto ao valor de cada termo: Renda Constante: os valores dos termos são todos iguais. Renda Variável: os valores dos termos não são todos iguais.

3- Quanto à periodicidade dos seus termos: Renda Periódica: quando os pagamentos ocorrem a intervalos de

tempo iguais. Renda Não-Periódica: quando os pagamentos não ocorrem a intervalos

de tempo iguais.


Elmar Pessoa



4- Quanto à data de vencimento do primeiro termo: Renda Antecipada: vencimento do 1º termo ocorre no dia da compra ou

na assinatura do contrato. Exemplo: Compra de um bem financiado em 4 prestações mensais, devendo a 1ª prestação ser paga no dia da compra (entrada).

Renda Postecipada (ou Imediata): vencimento do 1º termo ocorre no fim do primeiro período, a contar da data da compra ou da assinatura do contrato. Exemplo: Compra de um bem financiado em 6 prestações mensais, vencendo a 1ª prestação 1 mês após a data da compra.

Renda Diferida (ou com Carência): vencimento do 1º termo ocorre após certo número de períodos a contar da data da compra ou do contrato. Exemplo: Compra de um bem financiado em prestações mensais, vencendo a 1ª prestação 6 meses após a compra.

Neste curso limitaremos nosso estudo às rendas certas, ou seja, aquelas que sejam temporárias, constantes e periódicas.

Nota: Quando o enunciado de um problema não deixar claro o tipo de renda em relação ao vencimento do primeiro termo, assumiremos a renda como postecipada, por tratar-se do tipo mais freqüente.

2.10.1- Capitalização

a) Rendas Postecipadas

Consideremos uma renda postecipada (1ª parcela no fim do 1º mês) composta por três parcelas mensais de R$100,00 sujeitas a juros compostos de 5% a.m. conforme ilustra o diagrama de fluxos de caixa abaixo:

O capital acumulado ao fim do terceiro mês será:

1ª parcela: 100 x (1,05)² = 110,25 2ª parcela: 100 x (1,05) = 105,00 3ª parcela: 100 = 100,00

Capital acumulado................. 315,25 As parcelas mais antigas foram acumulando mais juros de modo que estas parcelas, acrescidas de seus respectivos juros e postas em ordem crescente uma a uma formaram uma progressão geométrica (P.G.) que tem o valor da parcela, R$100,00, como seu primeiro termo e 1 + i = 1,05 como razão. O capital acumulado ao fim do terceiro mês é, portanto, a soma S dos três termos desta P.G. e poderia ser calculado em função do valor da parcela (R = 100), da razão da P.G. 1 + i = 1,05 e do número de termos (n = 3) pela expressão:

105,1

1)05,1(100

3

S 315,25

0 1 2 3 (meses)

100 100 100


Elmar Pessoa



Generalizando para n parcelas de valor R, aplicadas ao fim de cada um dos n períodos e sujeitas à taxa composta de i por período, o valor do capital acumulado S, na data n, será dado por:

s

0 ... n

...

1 2 3

R R R R

n parcelas

i

iRS

n 1)1(

O fator que multiplica o valor R da prestação é denominado fator de acumulação de capital

de uma série de pagamentos e é representado por in

S|

__ .

Como o cálculo de in

S|

__ é, via de regra, trabalhoso, os problemas relativos à acumulação

de capital costumeiramente vêm acompanhados de uma tabela que indica os valores de in

S|

__ para

cada valor n e de i dentro de uma certa faixa.


Calcular o montante gerado por 12 depósitos mensais e consecutivos de R$200,00, à taxa de 3% a.m., considerando que os depósitos sejam feitos ao final de cada mês.


Qual o valor da aplicação que devo fazer mensalmente, durante 6 meses e à taxa composta de 10% a.m., para conseguir um montante de R$3.086,25, se as aplicações são feitas ao fim de cada mês?


Elmar Pessoa



b) Rendas Antecipadas Consideremos uma renda antecipada (primeiro pagamento no início do 1º mês) composta por quatro parcelas mensais de R$100,00, sujeitas a juros compostos de 5% a.m. conforme ilustra o diagrama de fluxos de caixa abaixo:

0 1 2 3 (meses)

100 100 100 100

Como as parcelas são pagas antecipadamente, no início de cada mês, o pagamento da quarta e última parcela ocorrerá no início do quarto mês, ou seja, em n = 3. O capital acumulado até a quarta parcela (inclusive) será:

1ª parcela: 100 x (1,05)³ = 115,76 2ª parcela: 100 x (1,05)² = 110,25 3ª parcela: 100 x (1,05) = 105,00 4ª parcela: 100 = 100,00

Capital acumulado..................... 431,01

Observamos, então, que o capital acumulado ao fim do terceiro mês (n = 3) é a soma S de quatro termos em P.G.

Podemos Calcular o capital acumulado (S) em função do valor da parcela (R = 100), da razão da P.G. (1 + i = 1,05) e do número de termos (n + 1 = 4) pela expressão:

01,431105,1

1)05,1(100

4

S

Generalizando para n + 1 parcelas de valor R, aplicadas no início de cada um dos n períodos e sujeitas à taxa composta de i por período, o valor do capital acumulado S, na data n, será dado por:

S

0 ... n

...

R

n parcelas

R R R R

1 2 3

i

iRS

n 1)1( 1

, ou seja, in

sRS|1

____


Um popular deposita mensalmente a quantia de R$200,00. Qual será o valor do capital acumulado em 6 meses se o primeiro depósito ocorrer no início do primeiro mês e considerarmos uma taxa de juros de 2% a.m.?


Elmar Pessoa




Desejando formar um certo capital, um aplicador faz, a cada seis meses, um depósito de R$1.000,00 em uma conta remunerada que paga juros compostos de 3% ao semestre. Cinco anos após o início do investimento, o aplicador resgata o montante acumulado. Qual foi o valor resgatado se o aplicador não realizou depósito algum na ocasião?

S x = ?

0 ... 9 10 (semestres)

...

1000

10 depósitos

2 3

1000 1000 1000 1000

1

2.10.2- Amortização

Considere uma dívida que deve ser paga em prestações periódicas e com vencimentos ao fim de cada período. Quando a dívida vai sendo paga dizemos que ela está sendo amortizada. Amortização de uma dívida, portanto, é o processo de extinção progressiva da dívida através de prestações que deverão ser pagas periodicamente. As prestações devem ser suficientes para restituir o capital financiado bem como pagar os juros originados pelo financiamento do capital. Admitiremos sempre que os juros tenham taxa constante e sejam calculados, a cada período, somente sobre o saldo devedor (saldo da dívida). Assim, os juros relativos a um determinado período, quando não pagos, serão acrescidos ao saldo devedor. Os diferentes critérios utilizados para a composição dos valores das parcelas são chamados de sistemas de amortização. Ao estudarmos um sistema de amortização, é útil considerarmos cada prestação como sendo o resultado da soma de duas componentes básicas: juro e cota de amortização.

Valor da Prestação = Juro + Cota de Amortização

Dentre os diversos sistemas de amortização conhecidos, destacamos três, todos com prestações periódicas:

Sistema Francês ou Price – com prestações de valor fixo;

Sistema de Amortização Constante (SAC) – em cujas prestações, que têm valores decrescentes, a cota de amortização é constante;

Sistema de Amortização Misto (SAM) – onde cada uma das prestações tem valor igual à média aritmética dos valores das prestações correspondentes nos Sistemas Francês e SAC;

Sistema de Amortização Americano - durante todo o período do financiamento são devolvidos apenas os juros e, na última data, ocorre o pagamento do empréstimo acrescido dos juros de um período.


Elmar Pessoa



2.10.2.1- Sistema Francês ou Price

O Sistema Francês, às vezes denominado Sistema Price, apresenta as seguintes características:

O valor da prestação R é constante e periódico, podendo ser obtido pela fórmula abaixo, onde P é o valor financiado (principal);

1)1(

)1(

n

n

i

iiPR => para pagamentos postecipados

O juro pago em uma determinada prestação é sempre calculado sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior, sendo menor a cada prestação;

A cota de amortização, em uma dada prestação, é sempre igual a diferença entre o valor da prestação e o juro pago na mesma, sendo maior a cada prestação.

R

J5

A1 tempo

1 2 3 4 5

A2

A3

A4

A5

J2

J3

J4

J1

O valor da expressão que calcula R em função de P pode ser encontrado pronto,

para cada taxa i e cada quantidade n de períodos, na chamada tabela Price, sendo freqüentemente indicado pela expressão:

in

a|

____

1

Os valores da tabela Price admitem sempre que as prestações são postecipadas (pagas ao fim de cada período).


Um televisor que custa R$600,00 deve ser financiado em 6 pagamentos mensais e iguais, à taxa composta de 8% a.m., com a primeira parcela vencendo somente um mês após a compra. Qual será o valor da prestação deste financiamento?


Elmar Pessoa




Um carro usado está sendo vendido numa loja por R$3.000,00 à vista ou em 12 prestações mensais de R$440,28, sem entrada. Qual é a taxa mensal de juros que está sendo praticada neste financiamento?

2.10.2.2- Sistema de Amortização Constante - SAC

No sistema de amortização constante, a cota de amortização é constante em todas as prestações e o juro pago em cada um das prestações corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do período anterior. Como o saldo devedor decresce a cada período, o juro vai ficando menor a cada prestação que, assim, apresentará valores decrescentes. Admitiremos em nosso estudo somente o caso de prestações postecipadas, ou seja, com pagamentos ao final de cada período a partir do primeiro.

prestação (R$)

J5

A A A A A

0 1 2 3 4 5 tempo

A

J1J2 J3

J4

Cota de amortização: Como a cota de amortização é constante, podemos obtê-la dividindo o valor financiado P pelo número de prestações do financiamento n:

Cota de amortização: n

PA

Cálculo do Saldo Devedor: Ao pagarmos k prestações pelo SAC, teremos amortizado k cotas de amortização, restando então n-k cotas de saldo.

Desta forma, o saldo devedor ( kSD ) imediatamente após o pagamento da cota de número

k será:

AknSDk )(

Como n

PA , podemos escrever:

Pn

kn

n

PknSDk

)(


Elmar Pessoa



Cálculo do Juro: Como já afirmamos anteriormente, a componente de juro em cada uma das prestações corresponde ao total o juro calculado sobre o saldo devedor do período anterior. Assim, o valor Jk do juro pago na prestação de número k será calculado sobre o saldo devedor imediatamente após o pagamento da prestação de número k-1. Sendo i a taxa de juros do período, teremos:

1 kk SDiJ


Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja feito pelo Sistema de Amortização Constante a uma taxa mensal de 5%, pede-se:

a) o valor da cota de amortização. b) o valor do juro pago na primeira prestação. c) o valor da primeira parcela.


Um financiamento de R$ 5.000,00 pelo SAC deverá ser pago em 10 prestações mensais e consecutiva, sem carência, com juros de 5% a.m. Determinar:

a) o valor do juro pago na sétima prestação; b) o total dos juros pagos durante o financiamento.

2.10.2.3- Sistema de Amortização Misto - SAM

Neste sistema, cada uma das prestações é a média aritmética das prestações correspondentes calculadas pelo Sistema Francês e pelo SAC. O juro pago em cada prestação corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do período anterior. Em conseqüência, tanto a componente do juro quanto a da cota de amortização de uma dada parcela serão também as médias aritméticas dos valores correspondentes pelos sistemas Francês e SAC.


Elmar Pessoa




Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações pelo SAM, com juros de 5% ao mês. Qual será o valor da 7ª prestação?

2.10.2.4- Sistema de Amortização Americano

Nessa forma de amortização, durante todo o período do financiamento são devolvidos apenas os juros e, na última data, ocorre o pagamento do empréstimo acrescido dos juros de um período.


Seja um empréstimo de R$ 5.000,00 deverá ser pago em cinco prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja feito pelo Sistema de Americano a uma taxa mensal de 5% a.m., pede-se calcular o valor das prestações.


Elmar Pessoa



2.11- Análise de Investimentos

Quando procuramos decidir sobre aceitar ou não determinado projeto de investimento ou escolher entre duas ou mais alternativas de investimento, é importante identificar a alternativa mais vantajosa para o investidor. Dentre os métodos conhecidos em matemática financeira para avaliação de alternativas de investimento, discutiremos dois: o método do valor presente líquido e o método da taxa interna de retorno.

2.11.1- Método do Valor Presente Líquido

Denomina-se valor presente líquido ao valor líquido que um fluxo de caixa tem na data zero. Se o valor presente líquido de um investimento é igual a zero, isto significa que o retorno do investimento (a entrada ou as entradas de caixa) foi apenas suficiente para cobrir os custos do investimento (saídas). Se o valor presente líquido de um investimento é menor do que zero, isto significa que o retorno do investimento não foi suficiente para cobrir os custos do investimento. Em tal situação o investimento deve ser rejeitado, pois há prejuízo na operação. Por outro lado, se o valor presente líquido do investimento é maior do que zero, isto significa que o retorno do investimento foi mais do que suficiente para cobrir os custos do investimento. Em tal situação, o investimento poderá ser aceito pois há algum lucro na operação. Quando se busca decidir entre duas ou mais alternativas de investimento, deve-se dar preferência àquela que apresentar maior valor presente líquido.

2.11.1.1- Custo de Oportunidade

Considere que um investidor disponha de C reais e que ele consiga no mercado uma taxa de x% ao ano para aplicação de seu capital. Se neste mesmo período ele tiver a oportunidade de conseguir C + J reais pelo investimento de seu capital em um determinado negócio, diremos que o custo do capital ou custo de oportunidade deste negócio é de x%. Se o valor presente líquido de um dado investimento, ao custo de oportunidade de x%, for maior ou igual a zero, então é razoável aceitá-lo. Mas se o valor presente líquido do investimento, ao custo de oportunidade de x%, for menor que zero, então deve-se rejeitar o investimento. Exemplo 01: Um investidor tem a oportunidade de conseguir R$120,00 pela aplicação de R$100,00 durante um ano em determinado negócio. Supondo um custo de oportunidade de 15% ao ano, determine se este investidor deve ou não aceitar a aplicação. Solução:

Valor Presente Líquido: i

VFCVPL

1 =>

15,01

120100

VPL

34,104100VPL => 34,4VPL

Como o valor presente líquido do investimento proposto, ao custo de oportunidade de 15%, é maior do que zero, o investidor deve aceitar o negócio.

2.11.2- Taxa Interna de Retorno

Taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é uma taxa de juros que iguala o valor atual de todas as entradas com o valor atual de todas as saídas de caixa. Os fluxos de caixa podem admitir várias, uma única, ou nenhuma taxa interna de retorno.


Elmar Pessoa




O fluxo composto por uma entrada de R$1.000,00 no fim do primeiro mês, uma saída de R$2.300,00 no fim do segundo mês e uma entrada de R$1.320,00 no fim do terceiro mês, tem duas taxas internas de retorno distintas (10% a.m. e 20% a.m. – Verifique!)

0 1 2 3 (meses)

1000 1320

2300

No caso da compra de um bem com pagamento financiado em n prestações (uma entrada e n saídas), a taxa interna de retorno corresponde à taxa de juros do financiamento, pois a soma dos valores atuais de todas as parcelas deverá ser exatamente igual ao valor atual do financiamento.


Elmar Pessoa



2.12- Questões de Concursos


Acerca de taxas de juros, julgue os itens seguintes.

SQ01- Se um capital, investido no regime de juros compostos durante 5 meses, rende, de juros,

uma quantia igual ao valor aplicado, então a taxa mensal de juros dessa aplicação é igual a 12 5/1 .

SQ02- No regime de juros compostos, a taxa trimestral equivalente à taxa de 15% ao ano é igual a

115,1 3/1 .

SQ03- Considere que uma loja de eletrodomésticos ofereça as seguintes opções para a compra de uma geladeira: pagamento do preço à vista só daqui a 6 meses; ou 20% de desconto sobre o preço à vista se o pagamento for feito no momento da compra. Nesse caso, a taxa mensal de juros

compostos cobrada por essa loja é igual a 125,1 6/1 .

SQ04- Considerando-se que a quantia de R$ 10.000,00 tenha sido aplicada durante 1 ano à taxa de juros real de 10% ao ano, é correto afirmar que, se, nesse período, a inflação fosse de 25%, então a taxa aparente da aplicação, no período, seria de 37,5%, ou seja, o montante da aplicação, ao final do ano, corresponderia a R$ 13.750,00.

SQ05- No regime de juros compostos, a taxa de juros anual equivalente à taxa nominal anual de

24% capitalizada quadrimestralmente é igual a 108,1 3 .

A quantidade de itens certos é igual a:

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.


CESPE/

Unb

Gab.: D


Um indivíduo investiu, no dia de hoje, R$ 20.000,00 e, daqui a 3 meses, investirá mais R$ 10.000,00, em uma instituição financeira que remunera os investimentos à taxa de juros compostos de 9% ao

mês. Considerando 1,3 como valor aproximado para 309,1 , é correto afirmar que o montante, daqui

a 6 meses, será



CESPE/

Unb

Gab.: E


Elmar Pessoa



QUESTÃO 03 CÓD.: 52/53

Julgue os itens que se seguem.

SQ01- Considere-se que Mauro tenha aplicado o montante de R$ 10.000,00 em uma instituição financeira que paga juros compostos de 8% ao ano. Nessa situação, tomando-se 0,3 e 0,033 como

valores aproximados para )2(log10 e )08,1(log10 , respectivamente, é correto afirmar que o tempo

decorrido para que a aplicação realizada por Mauro alcance o montante de R$ 20.000,00 é inferior a 8 anos.

SQ02- Considere-se que uma aplicação de R$ 10.000,00 tenha alcançado, após um ano, um montante de R$ 11.550,00. Nesse caso, se a taxa de inflação no período foi de 10%, então a taxa real de juros dessa aplicação no período foi inferior a 6%.


2007


UnB/

CESPE

GAB.:

E, C


Um terreno foi vendido em 3 prestações mensais de R$ 10.000,00, iguais e consecutivas. A primeira prestação foi dada como entrada e a taxa de juros compostos do financiamento era de 4% ao mês. Com base nas informações acima, julgue o item a seguir.

Tomando 0,96 e 0,92 como valores aproximados, respectivamente, para 1)04,1( e

2)04,1( , é

correto afirmar que o preço a vista do terreno é inferior a R$ 30.000,00.


2007


UnB/

CESPE

GAB.: C

QUESTÃO 05 CÓD.: 28/29/30/31

Julgue os próximos itens, acerca de matemática financeira.

SQ01- Considere que os investimentos feitos na instituição financeira A são pagos a uma taxa de juros simples de 1% ao mês, enquanto os feitos na instituição financeira B são pagos a uma taxa de juros compostos também de 1% ao mês. Nessas condições, se o capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por um período de 3 meses em uma dessas instituições e o montante dessa aplicação, ao final dos 3 meses, foi superior a R$ 1.030,00, é correto concluir que o capital foi investido na instituição financeira B.

SQ02- Se um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado por um período de 2 meses, sem saques no período, e o montante desse investimento, ao final dos 2 meses, foi de R$ 2.205,00, então, nesse investimento, foi praticada a taxa de juros compostos de 5% a.m.

SQ03- Se uma dívida a ser saldada em 4 meses, contratada a juros compostos de 1% a.m., foi quitada com 2 meses de antecipação por R$ 1.020.100,00, então, na data original do vencimento, ela seria quitada por mais de R$ 1.050.000,00.

SQ04- Considere que R$ 2.000,00 tenham sido investidos em uma aplicação financeira que paga juros compostos de 5% a.m. e que, depois de certo período em que não houve qualquer saque ou nova aplicação nesse investimento, o montante era de R$ 2.315,25. Nessas condições, é correto concluir esse investimento foi feito por 3 meses.

SEFAZ/ES 2008 Auditor Fiscal da Receita Estadual CESPE/ Unb

Gab.:

C C E C


Elmar Pessoa




Um fundo de investimentos pratica a taxa nominal de juros compostos de 126% ao ano, capitalizados bimestralmente. Se forem investidos R$ 2.500,00 nesse fundo, o valor dos juros, em reais, obtidos por esse capital após quatro meses de aplicação será


TCE/AC 2009


Cespe/

UNB

Gab.: C


Um título com valor nominal de R$ 1.000,00 foi resgatado 8 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 6,4% ao mês. O valor do desconto obtido foi aplicado em um fundo de investimentos, remunerado sob uma taxa de juros compostos, capitalizados mensalmente, de modo que, 3 meses após a aplicação, o montante igualou-se ao valor nominal do título. Nessa

situação, sabendo-se que 38 = 512, é correto afirmar que a taxa mensal de juros usada pelo fundo

de investimentos foi igual a

a) 25%. b) 32%. c) 41,2%. d) 46,2%. e) 150%

TCE/AC 2009


Cespe/

UNB

Gab.: A

QUESTÃO 08 CÓD.: 98/99/100

Com relação a juros e descontos, julgue os itens a seguir.

SQ01- Desconto racional é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento.

SQ02- Duas taxas de juros são efetivas se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente fazer a aplicação com uma ou com outra taxa.

SQ03- Diferentemente do regime de juros simples, no regime de juros compostos, os juros são capitalizados.

ANTAQ 2009 Analista Administrativo – Qualquer Área de Formação

UnB/

CESPE

Gab.:

E E C


Elmar Pessoa




Considere que um título de valor nominal igual a R$ 6.000,00 deva ser descontado 5 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 4% ao mês. A respeito dessa situação, julgue os itens seguintes.

SQ01- O valor do desconto é superior a R$ 1.000,00.

SQ02- A taxa efetiva mensal da operação é de 5,5%.


2007


UnB/

CESPE

GAB.:

C, E


Para a compra de determinado bem, será tomado um empréstimo de R$ 189.000,00. Esse empréstimo será pago pelo Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), sem carência, em 24 prestações, à taxa de juros de 2% a.m., sendo que a primeira prestação vence 1 mês após a contratação do empréstimo. Com base nessas informações e tomando 18,91 como valor aproximado

para %224a , julgue os itens que se seguem.

SQ01- O valor relativo aos juros pagos na segunda prestação é R$ 3.780,00.

SQ02- Por ocasião do pagamento da primeira prestação desse empréstimo, a amortização da dívida foi superior a R$ 6.000,00.

SQ03- O saldo devedor após o pagamento da segunda prestação é inferior a R$ 170.000,00.

SEFAZ/ES 2008 Auditor Fiscal da Receita Estadual CESPE/ Unb

Gab.:

E C E


Um empréstimo de R$ 50.000,00 foi tomado segundo o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a ser pago em 3 prestações mensais com um mês de carência (onde serão pagos os juros do

período após 30 dias da concessão do empréstimo), a juros de 1% a.m. Sabendo que %13a =

2,940985, é correto afirmar que

SQ01- a primeira amortização é superior a R$ 16.500,00.

SQ02- o total de juros pagos foi de R$ 2.000,00.

SQ03- as prestações diminuem a cada mês.

SEFAZ/ES 2008 Consultor do Executivo – Área Fazendária – Formação 1: Administração

CESPE/ Unb

Gab.:

C E E


Um bem, cujo preço à vista é R$ 14.352,00, foi vendido em 7 prestações mensais, consecutivas e iguais e a primeira prestação foi paga no ato da compra. Se a taxa de juros compostos desse

financiamento foi de 4% ao mês e 0,76 é valor aproximado para 704,1 , então a prestação é



CESPE/

Unb

Gab.: D


Elmar Pessoa




Um financiamento no valor de R$ 65.000,00 deverá ser pago em 15 prestações anuais, consecutivas e iguais, à taxa de juros compostos de 2% ao ano, pelo sistema francês de amortização. A primeira prestação vencerá em um ano após a contratação do financiamento. Considerando-se que 0,74 é

valor aproximado para 1502,1

, é correto afirmar que o valor da primeira amortização do empréstimo

será



CESPE/

Unb

Gab.: A


Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como

valor aproximado para 24025,1

, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi


TCE/AC 2009


Cespe/

UNB

Gab.: B


Um banco emprestou R$ 40.000,00 para um cliente, à vista, sem prazo de carência, para ser quitado pelo sistema francês de amortização em 14 prestações anuais, iguais e consecutivas, com a primeira prestação vencendo um ano após a data da tomada do empréstimo. Sabendo que o banco

cobra 5% de juros compostos ao ano e tomando 0,5 como valor aproximado para 1405,1

, é correto

afirmar que o valor do saldo devedor, em reais, após o pagamento da terceira prestação, será

a) inferior a 29.000. b) superior a 29.000 e inferior 30.500. c) superior a 30.500 e inferior 32.000. d) superior a 32.000 e inferior 33.500. e) superior a 33.500.

TCE/AC 2009


Cespe/

UNB

Gab.: E


Elmar Pessoa




A adoção de diversas metodologias de amortização de empréstimos implica em diversidade de valores de amortização e juros. Considere que uma empresa capte R$ 36.000 à taxa efetiva mensal de 2,5% com pagamento em 12 meses. Com base nessa situação hipotética, assinale a opção correta.

a) Ao se adotar o sistema de amortização constante (SAC) o valor da prestação no décimo primeiro mês será de R$ 3.275 e o total de juros pagos, até aquela data, corresponde a R$ 5.975.

b) Ao se adotar o sistema de amortização constante (SAP) o valor da prestação no quarto mês será de R$ 3.690,80 e o total de juros pagos, até aquela data, corresponde a R$ 4.232,80.

c) Ao se adotar o SAC o valor da prestação no décimo mês será de R$ 3.225 e o total de juros pagos, até aquela data, corresponde a R$ 5.625.

d) Ao se adotar o SAP o valor da prestação no oitavo mês será de R$ 3.734,50 e o total de juros pagos, até aquela data, corresponde a R$ 7.135,80.

e) Ao se adotar o SAC o valor da prestação no sexto mês será de R$ 3.600 e o total de juros pagos, até aquela data, corresponde a R$ 4.275.

TCE/TO 2008 Analista de Controle Externo – Área: Apoio Técnico e Administrativo – Especialidade: Contabilidade

Cespe/

UNB

Gab.: C


A matemática financeira é utilizada em operações de empréstimos e financiamentos. Há diversos sistemas de amortização de dívidas e suas características interferem no valor da amortização e dos juros a serem pagos em cada período. Com base nessas informações e considerando que uma empresa captou R$ 15.000,00 à taxa efetiva mensal de 3% e prazo de pagamento de 10 meses, assinale a opção correta.

a) Ao se adotar o sistema de amortização progressiva (SAP), o registro contábil da operação descrita, no terceiro mês, será a débito de despesa de juros, no valor de R$ 604,70, a débito de empréstimo a pagar, no valor de R$ 3.420,30 e a crédito do disponível, no valor de R$ 4.025,00.

b) Ao se adotar o sistema de amortização misto (SAM), o registro contábil da operação descrita no sexto mês será a débito de amortização de juros e principal, no valor de R$ 1.745,00 e a crédito do disponível, no valor de R$ 1.745,00.

c) Ao se adotar o sistema de amortização constante (SAC), o registro contábil da operação descrita no sétimo mês será a débito de despesa de juros, no valor de R$ 120,00, a débito de empréstimo a pagar, no valor de R$ 1.500,00 e a crédito do disponível, no valor de R$ 1.620,00.

d) Ao se adotar o sistema de amortização progressiva (SAP), o registro contábil da operação descrita, no oitavo mês, será a débito de despesa de amortização, no valor de R$ 2.135,70, a débito de empréstimo a pagar, no valor de R$ 1.890,30 e a crédito do disponível, no valor de R$ 4.026,00.

e) Ao se adotar o sistema de amortização constante (SAC), o registro contábil da operação descrita, no quarto mês, será a débito de despesa de amortização de juros, no valor de R$ 260,00, a débito de empréstimo a pagar, no valor de R$ 1.500,00 e a crédito do disponível, no valor de R$ 1.760,00.

TCE/TO 2008 Analista de Controle Externo – Área: Controle Externo – Especialidade: Contabilidade

Cespe/

UNB

Gab.: C


Elmar Pessoa




O financiamento de R$ 12.000,00, com base no sistema de amortização constante (SAC), será quitado em parcelas mensais e consecutivas, com a 1.ª vencendo em um mês após a contratação da dívida. Na planilha a seguir, são informados alguns valores, em reais, correspondentes a essa

situação. No késimo mês após o início do financiamento, kS representa o saldo devedor; kA , o

valor da amortização; kJ , o valor dos juros devidos e kP é o valor da prestação.

Considerando essas informações e com base na planilha apresentada, assinale a opção correta.

a) 3P = R$ 2.500,00.

b) O total de juros pagos nesse financiamento foi superior a R$ 2.000,00.

c) 2J = R$ 600,00.

d) 4S = R$ 5.000,00.

e) O financiamento foi quitado em 7 parcelas.


CESPE/

Unb

Gab.: B


Um empréstimo de R$ 60.000,00 deve ser pago em 5 prestações anuais, consecutivas, pelo sistema de amortização constante (SAC). A primeira prestação de R$ 13.800,00 vence um ano após a tomada do empréstimo. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subseqüentes.

SQ01- A taxa de juros do financiamento é superior a 4% ao ano.

SQ02- O saldo devedor no final do segundo ano é inferior a R$ 35.000,00.


2007


UnB/

CESPE

GAB.:

E, E


Sabe-se que a remuneração da Caderneta de Poupança é igual à variação da TR (Taxa Referencial de Juros) mais juros de 6% a.a. (linear, ou seja, 0,5% a.m.). O montante de uma aplicação de R$2.000,00 por um mês, em que a TR foi igual a 0,65% é igual a

a) R$ 2.200,00 b) R$ 2.133,78 c) R$ 2.113,65 d) R$ 2.023,07 e) R$ 2.013,00

CEF 2001 Gerente FCC GAB.: D



03 3. Anexos – Tabelas Financeiras

3.1- Fator de Acumulação de Capital n

n ia )1(

i 0,5% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 15% 18%

n

1 1,005000 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,110000 1,120000 1,130000 1,150000 1,180000

2 1,010025 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,232100 1,254400 1,276900 1,322500 1,392400

3 1,015075 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,367631 1,404928 1,442897 1,520875 1,643032

4 1,020151 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,215506 1,262477 1,310796 1,360489 1,411582 1,464100 1,518070 1,573519 1,630474 1,749006 1,938778

5 1,025251 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,276282 1,338226 1,402552 1,469328 1,538624 1,610510 1,685058 1,762342 1,842435 2,011357 2,287758

6 1,030378 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340096 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 1,870415 1,973823 2,081952 2,313061 2,699554

7 1,035529 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 2,076160 2,210681 2,352605 2,660020 3,185474

8 1,040707 1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992563 2,143589 2,304538 2,475963 2,658444 3,059023 3,758859

9 1,045911 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,551328 1,689479 1,838459 1,999005 2,171893 2,357948 2,558037 2,773079 3,004042 3,517876 4,435454

10 1,051140 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628895 1,790848 1,967151 2,158925 2,367364 2,593742 2,839421 3,105848 3,394567 4,045558 5,233836

11 1,056396 1,115668 1,243374 1,384234 1,539454 1,710339 1,898299 2,104852 2,331639 2,580426 2,853117 3,151757 3,478550 3,835861 4,652391 6,175926

12 1,061678 1,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856 2,012196 2,252192 2,518170 2,812665 3,138428 3,498451 3,895976 4,334523 5,350250 7,287593

13 1,066986 1,138093 1,293607 1,468534 1,665074 1,885649 2,132928 2,409845 2,719624 3,065805 3,452271 3,883280 4,363493 4,898011 6,152788 8,599359

14 1,072321 1,149474 1,319479 1,512590 1,731676 1,979932 2,260904 2,578534 2,937194 3,341727 3,797498 4,310441 4,887112 5,534753 7,075706 10,147244

15 1,077683 1,160969 1,345868 1,557967 1,800944 2,078928 2,396558 2,759032 3,172169 3,642482 4,177248 4,784589 5,473566 6,254270 8,137062 11,973748

16 1,083071 1,172579 1,372786 1,604706 1,872981 2,182875 2,540352 2,952164 3,425943 3,970306 4,594973 5,310894 6,130394 7,067326 9,357621 14,129023

17 1,088487 1,184304 1,400241 1,652848 1,947900 2,292018 2,692773 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 5,895093 6,866041 7,986078 10,761264 16,672247

18 1,093929 1,196147 1,428246 1,702433 2,025817 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 6,543553 7,689966 9,024268 12,375454 19,673251

19 1,099399 1,208109 1,456811 1,753506 2,106849 2,526950 3,025600 3,616528 4,315701 5,141661 6,115909 7,263344 8,612762 10,197423 14,231772 23,214436

20 1,104896 1,220190 1,485947 1,806111 2,191123 2,653298 3,207135 3,869684 4,660957 5,604411 6,727500 8,062312 9,646293 11,523088 16,366537 27,393035

21 1,110420 1,232392 1,515666 1,860295 2,278768 2,785963 3,399564 4,140562 5,033834 6,108808 7,400250 8,949166 10,803848 13,021089 18,821518 32,323781

22 1,115972 1,244716 1,545980 1,916103 2,369919 2,925261 3,603537 4,430402 5,436540 6,658600 8,140275 9,933574 12,100310 14,713831 21,644746 38,142061

23 1,121552 1,257163 1,576899 1,973587 2,464716 3,071524 3,819750 4,740530 5,871464 7,257874 8,954302 11,026267 13,552347 16,626629 24,891458 45,007632

24 1,127160 1,269735 1,608437 2,032794 2,563304 3,225100 4,048935 5,072367 6,341181 7,911083 9,849733 12,239157 15,178629 18,788091 28,625176 53,109006


Elmar Pessoa

Concurso – SEFAZ/PE 47

3.2- Fator de Acumulação de Capital de uma Série de Pagamentos i

iS

n

in

1)1(

|__

i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 15%

n

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000 2,110000 2,120000 2,130000 2,150000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000 3,342100 3,374400 3,406900 3,472500

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000 4,709731 4,779328 4,849797 4,993375

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416323 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984711 6,105100 6,227801 6,352847 6,480271 6,742381

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975319 7,153291 7,335929 7,523335 7,715610 7,912860 8,115189 8,322706 8,753738

7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393838 8,654021 8,922803 9,200435 9,487171 9,783274 10,089012 10,404658 11,066799

8 8,285671 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,259803 10,636628 11,028474 11,435888 11,859434 12,299693 12,757263 13,726819

9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 11,026564 11,491316 11,977989 12,487558 13,021036 13,579477 14,163972 14,775656 15,415707 16,785842

10 10,462213 10,949721 11,463879 12,006107 12,577893 13,180795 13,816448 14,486562 15,192930 15,937425 16,722009 17,548735 18,419749 20,303718

11 11,566835 12,168715 12,807796 13,486351 14,206787 14,971643 15,783599 16,645487 17,560293 18,531167 19,561430 20,654583 21,814317 24,349276

12 12,682503 13,412090 14,192030 15,025805 15,917127 16,869941 17,888451 18,977126 20,140720 21,384284 22,713187 24,133133 25,650178 29,001667

13 13,809328 14,680332 15,617790 16,626838 17,712983 18,882138 20,140643 21,495297 22,953385 24,522712 26,211638 28,029109 29,984701 34,351917

14 14,947421 15,973938 17,086324 18,291911 19,598632 21,015066 22,550488 24,214920 26,019189 27,974983 30,094918 32,392602 34,882712 40,504705

15 16,096896 17,293417 18,598914 20,023588 21,578564 23,275970 25,129022 27,152114 29,360916 31,772482 34,405359 37,279715 40,417464 47,580411

16 17,257864 18,639285 20,156881 21,824531 23,657492 25,672528 27,888054 30,324283 33,003399 35,949730 39,189948 42,753280 46,671735 55,717472

17 18,430443 20,012071 21,761588 23,697512 25,840366 28,212880 30,840217 33,750226 36,973705 40,544703 44,500843 48,883674 53,739060 65,075093

18 19,614748 21,412312 23,414435 25,645413 28,132385 30,905653 33,999033 37,450244 41,301338 45,599173 50,395936 55,749715 61,725138 75,836357

19 20,810895 22,840559 25,116868 27,671229 30,539004 33,759992 37,378965 41,446263 46,018458 51,159090 56,939488 63,439681 70,749406 88,211811

20 22,019004 24,297370 26,870374 29,778079 33,065954 36,785591 40,995492 45,761964 51,160120 57,274999 64,202832 72,052442 80,946829 102,443583

21 23,239194 25,783317 28,676486 31,969202 35,719252 39,992727 44,865177 50,422921 56,764530 64,002499 72,265144 81,698736 92,469917 118,810120

22 24,471586 27,298984 30,536780 34,247970 38,505214 43,392290 49,005739 55,456755 62,873338 71,402749 81,214309 92,502584 105,491006 137,631638

23 25,716302 28,844963 32,452884 36,617889 41,430475 46,995828 53,436141 60,893296 69,531939 79,543024 91,147884 104,602894 120,204837 159,276384

24 26,973465 30,421862 34,426470 39,082604 44,501999 50,815577 58,176671 66,764759 76,789813 88,497327 102,174151 118,155241 136,831465 184,167841


Elmar Pessoa


3.3- TABELA PRICE - Fator de Valor Atual de Uma Série de Pagamentos 1)1(

)1(1

|____

n

n

ini

ii

a

i

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 15% n

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,110000 1,120000 1,130000 1,150000

2 0,507512 0,515050 0,522611 0,530196 0,537805 0,545437 0,553092 0,560769 0,568469 0,576190 0,583934 0,591698 0,599484 0,615116

3 0,340022 0,346755 0,353530 0,360349 0,367209 0,374110 0,381052 0,388034 0,395055 0,402115 0,409213 0,416349 0,423522 0,437977

4 0,256281 0,262624 0,269027 0,275490 0,282012 0,288591 0,295228 0,301921 0,308669 0,315471 0,322326 0,329234 0,336194 0,350265

5 0,206040 0,212158 0,218355 0,224627 0,230975 0,237396 0,243891 0,250456 0,257092 0,263797 0,270570 0,277410 0,284315 0,298316

6 0,172548 0,178526 0,184598 0,190762 0,197017 0,203363 0,209796 0,216315 0,222920 0,229607 0,236377 0,243226 0,250153 0,264237

7 0,148628 0,154512 0,160506 0,166610 0,172820 0,179135 0,185553 0,192072 0,198691 0,205405 0,212215 0,219118 0,226111 0,240360

8 0,130690 0,136510 0,142456 0,148528 0,154722 0,161036 0,167468 0,174015 0,180674 0,187444 0,194321 0,201303 0,208387 0,222850

9 0,116740 0,122515 0,128434 0,134493 0,140690 0,147022 0,153486 0,160080 0,166799 0,173641 0,180602 0,187679 0,194869 0,209574

10 0,105582 0,111327 0,117231 0,123291 0,129505 0,135868 0,142378 0,149029 0,155820 0,162745 0,169801 0,176984 0,184290 0,199252

11 0,096454 0,102178 0,108077 0,114149 0,120389 0,126793 0,133357 0,140076 0,146947 0,153963 0,161121 0,168415 0,175841 0,191069

12 0,088849 0,094560 0,100462 0,106552 0,112825 0,119277 0,125902 0,132695 0,139651 0,146763 0,154027 0,161437 0,168986 0,184481

13 0,082415 0,088118 0,094030 0,100144 0,106456 0,112960 0,119651 0,126522 0,133567 0,140779 0,148151 0,155677 0,163350 0,179110

14 0,076901 0,082602 0,088526 0,094669 0,101024 0,107585 0,114345 0,121297 0,128433 0,135746 0,143228 0,150871 0,158667 0,174688

15 0,072124 0,077825 0,083767 0,089941 0,096342 0,102963 0,109795 0,116830 0,124059 0,131474 0,139065 0,146824 0,154742 0,171017

16 0,067945 0,073650 0,079611 0,085820 0,092270 0,098952 0,105858 0,112977 0,120300 0,127817 0,135517 0,143390 0,151426 0,167948

17 0,064258 0,069970 0,075953 0,082199 0,088699 0,095445 0,102425 0,109629 0,117046 0,124664 0,132471 0,140457 0,148608 0,165367

18 0,060982 0,066702 0,072709 0,078993 0,085546 0,092357 0,099413 0,106702 0,114212 0,121930 0,129843 0,137937 0,146201 0,163186

19 0,058052 0,063782 0,069814 0,076139 0,082745 0,089621 0,096753 0,104128 0,111730 0,119547 0,127563 0,135763 0,144134 0,161336

20 0,055415 0,061157 0,067216 0,073582 0,080243 0,087185 0,094393 0,101852 0,109546 0,117460 0,125576 0,133879 0,142354 0,159761

21 0,053031 0,058785 0,064872 0,071280 0,077996 0,085005 0,092289 0,099832 0,107617 0,115624 0,123838 0,132240 0,140814 0,158417

22 0,050864 0,056631 0,062747 0,069199 0,075971 0,083046 0,090406 0,098032 0,105905 0,114005 0,122313 0,130811 0,139479 0,157266

23 0,048886 0,054668 0,060814 0,067309 0,074137 0,081278 0,088714 0,096422 0,104382 0,112572 0,120971 0,129560 0,138319 0,156278

24 0,047073 0,052871 0,059047 0,065587 0,072471 0,079679 0,087189 0,094978 0,103023 0,111300 0,119787 0,128463 0,137308 0,155430


Elmar Pessoa


3.4- Fator de Valor Atual de uma Série de Pagamentos n

n

in ii

ia

)1(

1)1(

|____

i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 15%

n

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 0,900901 0,892857 0,884956 0,869565

2 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 1,712523 1,690051 1,668102 1,625709

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 2,443715 2,401831 2,361153 2,283225

4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 3,102446 3,037349 2,974471 2,854978

5 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 3,695897 3,604776 3,517231 3,352155

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766540 4,622880 4,485919 4,355261 4,230538 4,111407 3,997550 3,784483

7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419 4,712196 4,563757 4,422610 4,160420

8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926 5,146123 4,967640 4,798770 4,487322

9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 5,537048 5,328250 5,131655 4,771584

10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567 5,889232 5,650223 5,426243 5,018769

11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886875 7,498674 7,138964 6,805191 6,495061 6,206515 5,937699 5,686941 5,233712

12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863252 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692 6,492356 6,194374 5,917647 5,420619

13 12,133740 11,348374 10,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,357651 7,903776 7,486904 7,103356 6,749870 6,423548 6,121812 5,583147

14 13,003703 12,106249 11,296073 10,563123 9,898641 9,294984 8,745468 8,244237 7,786150 7,366687 6,981865 6,628168 6,302488 5,724476

15 13,865053 12,849264 11,937935 11,118387 10,379658 9,712249 9,107914 8,559479 8,060688 7,606080 7,190870 6,810864 6,462379 5,847370

16 14,717874 13,577709 12,561102 11,652296 10,837770 10,105895 9,446649 8,851369 8,312558 7,823709 7,379162 6,973986 6,603875 5,954235

17 15,562251 14,291872 13,166118 12,165669 11,274066 10,477260 9,763223 9,121638 8,543631 8,021553 7,548794 7,119630 6,729093 6,047161

18 16,398269 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827603 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 7,701617 7,249670 6,839905 6,127966

19 17,226008 15,678462 14,323799 13,133939 12,085321 11,158116 10,335595 9,603599 8,950115 8,364920 7,839294 7,365777 6,937969 6,198231

20 18,045553 16,351433 14,877475 13,590326 12,462210 11,469921 10,594014 9,818147 9,128546 8,513564 7,963328 7,469444 7,024752 6,259331

21 18,856983 17,011209 15,415024 14,029160 12,821153 11,764077 10,835527 10,016803 9,292244 8,648694 8,075070 7,562003 7,101550 6,312462

22 19,660379 17,658048 15,936917 14,451115 13,163003 12,041582 11,061240 10,200744 9,442425 8,771540 8,175739 7,644646 7,169513 6,358663

23 20,455821 18,292204 16,443608 14,856842 13,488574 12,303379 11,272187 10,371059 9,580207 8,883218 8,266432 7,718434 7,229658 6,398837

24 21,243387 18,913926 16,935542 15,246963 13,798642 12,550358 11,469334 10,528758 9,706612 8,984744 8,348137 7,784316 7,282883 6,433771



Referências Bibliográficas

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: Editora Saraiva, 1991.

CESAR, Benjamin. Matemática Financeira: teoria e 840 questões. - 3.ed. – Rio de Janeiro: Editora Impetus, 2002.

LOCIKS, Júlio. AFRF – Conhecimentos Gerais (Matemática Financeira/ Estatística Básica) – Editora VESTCON, 1999.

BOVESPA – Site da Bolsa de Valores de São Paulo – www.bovespa.com.br

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Apostila de Matemática Financeira Sefaz