Apostila de EstatsticaVolume 1 Edio 2009Curso:
MatemticaAmostragem, Sries Estatsticas, Distribuio de Freqncia,
Mdia, Mediana, Quartil, Percentil e Desvio PadroProf. Dr. Celso
Eduardo Tuna1EstatsticaCaptulo 1 - Introduo1.1 HistricoA estatstica
um ramo da matemtica aplicada.A partir do sculo XVI comearam a
surgir as primeiras anlises sistemticas de registros diversos como
os de nascimento, bitos, riquezas, casamentos. Esses registros
eramutilizados para principalmente cobrar impostos.No sculo XVIII ,
Godofredo Achenwall batizou esses estudos como uma nova cincia com
o nome de Estatstica. Surgiram tabelas mais complexas, representaes
grficas e clculo de probabilidade. Formou-se a ferramenta que
atravs da observao de partes (amostras) chega-se a concluses sobre
um todo (populao).1.2 Mtodo EstatsticoMtodo o conjunto de
procedimentos dispostos ordenadamente para se chegar a um desejado
fim.Dos mtodos cientficos pode-se destacar:Mtodo Experimental:
consiste emmanter constantes todas as causas (fatores, componentes,
variveis), menos uma, e variar essa ltima para descobrir seus
efeitos, caso existam.MtodoEstatstico:
diantedaimpossibilidadedemanter as causas constantes,
registram-seos resultados dessas variaes procurando determinar a
influncia (os efeitos) de cada uma delas.1.3 EstatsticaAEstatstica
parte da Matemtica Aplicada que fornece mtodos de coleta,
organizao, descrio, anlise e interpretao de dados, teis nas tomadas
de deciso.Estatstica Descritiva: coleta, organizao e descrio dos
dados.Estatstica Indutiva ou Inferencial: anlise e interpretao dos
dados. Permite obter concluses que transcendam os dados obtidos
inicialmente, objetivo essencial da Estatstica.Probabilidade: til
para analisar situaes que envolvem o acaso. Ex: a deciso de parar
de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada
doena.1.4 Mtodo Estatstico (Pesquisa)Exemplos:- Indstrias realizam
pesquisa entre os consumidores para o lanamento de um novo produto-
As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos
direcionem a campanha- Emissoras de tev utilizam pesquisas que
mostram a preferncia dos espectadores para organizar sua programao-
A pesquisa do desempenhodosatletas ou das equipes em uma partida ou
em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentosA
pesquisa composta basicamente de 5 fases21 aColeta de Dados Aps
planejamento e determinao das caractersticas mensurveis do objeto
em estudo, inicia-se a coleta de dados. Esta pode ser direta ou
indireta.A coleta direta feita sobre registros diversos:
nascimento, casamento, bitos, importao, registros escolares; ou
ainda quando os dados so coletados diretamente pelo pesquisador
atravs de questionrios (ex: censo).A coleta direta pode ser:
contnua; peridica (censos); ocasionalAcoleta
indiretaumacoletafeitasobre dados colhidosdeumacoletadireta
(ex:mortalidade infantil)2 aCrtica dos Dados Os dados coletados
devemser observados, procuradefalhas eimperfeies, afimdeno causarem
erro nos resultados. Exemplo 1 : Perguntas tendenciosas. Foi
realizada a seguinte pesquisa:O trfego contribui em maior ou menor
grau do que a indstria para a poluio atmosfrica ?Resposta: 45 %
para o trfego e 32 % para a indstria.A indstria contribui em maior
ou menor grau do que o trfego para a poluio atmosfrica ?Resposta:
24 % para o trfego e 57 % para a indstria.Exemplo2:
Preservaodaauto-imagem. Emumapesquisatelefnica94%dosentrevistados
disseram que lavam as suas mos aps usar o banheiro, mas a observao
em banheiros pblicos esse percentual cai para 68 %.Exemplo 3: Ms
Amostras. As pessoas devem ser escolhidas aleatoriamente para a
pesquisa, como por exemplo, numa pesquisa de opinio na rua, deve-se
entrevistar somente quem pisou em uma determinada marca
pr-determinada na calada.Exemplo 4. Ms perguntas. A pergunta deve
conter o linguajar prprio do entrevistado. Geralmente,
seoentrevistadonoentenderapergunta, eleresponderqualquer
coisa,poistem vergonhade perguntar.3 a Apurao dos Dados o
processamento dos dados obtidos4 aExposio dos Dados Atravs de
tabelas ou grficos, tornando mais fcil seu exame e aplicao de um
clculo estatstico5 aAnlise dos Resultados Atravs de mtodos de
estatstica indutiva ou inferencial obtm-se concluses e previses de
um todo atravs do exame de apenas uma parte desse todo.3Captulo 2 -
Populao e Amostra2.1 VarivelVarivelo conjuntoderesultadospossveis
de um fenmeno.A varivelpode ser qualitativa, quando seus valores so
expressos por atributos (ex: sexo, cor), ou pode ser quantitativa,
quando seus valores so expressos em
nmeros.Avarivelquantitativapodesercontnua,quando assumequalquer
valorentredoislimites(ex: peso, altura, medies), ou pode ser
discreta, quando s pode assumir valores pertencentes a um conjunto
enumervel (ex: nmero de filhos, contagens em geral, nmeros
inteiros).2.2 Preciso Apreciso da medida ser automaticamente
indicada pelo nmero de decimais comque se escrevem os valores da
varivel. Ex: 1,80 m indica uma medio com preciso de centsimos.2.3
ArredondamentoDe acordo com resoluo do IBGEQuando o primeiro
algarismo a ser abandonado 0, 1, 2, 3, ou 4, fica inalterado o
ltimo algarismo a permanecer. Ex: 53,24 passa a 53,2 ; 17,3452
passa a 17,3Quando o primeiro algarismo a ser abandonado 6, 7, 8,
ou 9, aumenta-se de uma unidade o ltimo algarismo a permanecer. Ex:
42,87 passa a 42,9 ; 25,08 passa a 25,1; 53,99 passa a 54,0Quando o
primeiro algarismo a ser abandonado 5, h duas solues:a)Seao 5seguir
emqualquer casaum algarismo diferente de 0, aumenta-se de uma
unidade o ltimo algarismo a permanecer. Ex: 2,352 passa a 2,4
;25,6501 passa a 25,7.b) Seo5for
oltimoalgarismoouseao5sseseguiremzeros, oltimoalgarismoaser
conservado s ser aumentado de uma unidade se for mpar. Ex: 24,75
passa a 24,8 ; 24,65 passa a 24,6 ; 24,7500 passa a 24,8 ; 24,6500
passa a 24,6Exerccios. Arredonde deixando nmero inteiro:2,38 =
24,65 = 0,351 = 4,24 = 328,35 = 2,97 = 6,829 = 5,55 = 89,99 =
Exerccios. Arredonde deixando uma casa decimal:2,38 = 24,65 = 0,351
= 4,24 = 328,35 = 2,97 = 6,829 = 5,55 = 89,99 = 42.4 Populao e
AmostraPopulao o conjunto de portadores de, pelo menos, uma
caracterstica comum.Amostra um subconjunto finito de uma populao.A
amostra escolhida atravs de processos adequados que garantam o
acaso na escolha2.5 Amostragem o processo de colher amostras. Nesse
processo, cada elemento da populao passa a ter a mesma
chancedeserescolhido. Dentreos processos de amostragem
pode-sedestacar trs: amostragem casual ou aleatria simples,
amostragem proporcional estratificada e amostragem sistemtica.a)
Amostragem casual ou aleatria simples: um sorteio, por exemplo,
para retirar uma amostra de 9 alunos de uma sala de 90 alunos,
utiliza-seumsorteiocomtodososnmeros dosalunos escritos empapis
dentrodeumsaco. Para amostras grandes utiliza-se a Tabela de Nmeros
Aleatrios (Pgina 40). Assim para o exemplo da sala de aula,
utilizando dois algarismos, atravs da leitura da primeira linha
(escolhida atravs de sorteio), obtm-se:Como a populao vai de 1 a 90
escolhe-se os 9 primeiros nmeros dentro dessa faixa:b) Amostragem
proporcional estratificada: comum termos populaes que se dividam em
subpopulaes (estratos) e como cada estrato pode ter um
comportamento diferente do outro, a amostra deve considerar a
existncia desses estratos e a sua proporo em relao populao.Exemplo:
supondo que uma sala de aula seja composta de 54 meninos e 36
meninas. Determine uma amostra de 9 pessoas:Sexo Populao Clculo
ProporcionalRegra de trs simplesAmostraMasculino 54 54 x 9 / 90 =
5,4 5Feminino 36 36 x 9 / 90 = 3,6 4Total 90 9 9Posteriormente,
utiliza-se a tabela de nmeros aleatrios para escolher 5 meninos e 4
meninas.Verifica-se que foi realizado um arredondamento dos nmeros
5,4 e 3,6. Esse arredondamento efetuado utilizando as regras de
arredondamento.5Exerccio: Em uma escola existem 250 alunos,
distribudos em sries conforme a tabela. Obtenha uma amostra de 40
alunos e preencha a tabela.Sries Populao Clculo Proporcional
Amostra1a352a323a304a285a356a327a318a27Total 250 40c) Amostragem
sistemtica quando a amostragem feita atravs de um sistema possvel
de ser aplicado pois a populao j se encontra ordenada.Exemplo 1: em
uma linha de produo, a cada 10 itens fabricados, retira-se 1 para
inspeo, tem-se uma amostra de 10 % da populao.Exemplo 2: em uma rua
com 900 prdios, deseja-se uma amostra de 50. 900/50 =18 (50 grupos
de 18 prdios cada). Faz-se um sorteio entre 1 e 18, por exemplo 4,
ento pesquisaramos o 4o prdio da rua, o 22o , o 40o , 58o , assim
por diante.Exerccios de Populao e Amostra1) Uma universidade
apresenta o seguinte quadro relativo aos seus alunos do curso de
Matemtica. Obtenha uma amostra proporcional estartificada de 100
alunos.Srie Qtde Amostra1a852a703a804a75Total 10062) Uma cidade X
apresenta o seguinte quadro relativo s suas escolas de 1o
grau:Escola Homens Mulheres Total AmostraHomens Mulheres TotalA 80
95B 102 120C 110 92D 134 228E 150 130F 300 290Total 120Obtenha uma
amostra proporcional estratificada de 120 estudantes73) Utilizando
a tabela de nmeros aleatrios, obtenha uma amostra de 10 pessoas de
uma sala de aula com 85 alunos, utilize a 10ae a 11a coluna para
comear o sorteio.4) Ordene uma amostra de 15 elementos de uma
populao ordenada formada por 210 elementos, sabendo que o elemento
de ordem 149 a ela pertence ?8Captulo 3 - Sries Estatsticas3.1
Sries EstatsticasSrie estatstica toda tabela que apresenta a
distribuio de um conjunto de dados estatsticos em funo da poca, do
local, ou da espcie.Pode-se classificar em: histrica, geogrfica,
especficaa) Sries histricas (cronolgicas, temporais) - descrevem os
valores da varivel, em determinado local, em funo do
tempoExemplo:Tabela Analfabetismo na faixa de 15 anos ou mais -
Brasil - 1900/2000Populao de 15 anos ou maisAno
Total(1)Analfabeta(1)Taxa de
Analfabetismo19009.7286.34865,3192017.56411.40965,0194023.64813.26956,1195030.18815.27250,6196040.23315.96439,7197053.63318.10033,7198074.60019.35625,9199194.89118.68219,72000119.53316.29513,6Fonte:
IBGE, Censo Demogrfico.Nota: (1) Em milharesb) Sries geogrficas
(espaciais, territoriais ou de localizao) - descrevem os valores da
varivel, em um determinado instante, em funo da regioExemplo:
Populao MundialEm milhes de pessoas - 1998Canad 30,5Argentina
36,1Japo 126,2Rssia 147,4Brasil 165,8Indonsia 206,3EUA 274ndia
982,2China 1255,6Fonte: O Estado de So Paulo, 01/01/20009c) Sries
Especficas (categricas) - descrevem os valores da varivel, em um
determinado instante e local, segundo especificaes.Custo mdio das
campanhas eleitorais em 1998, segundo estimativa dos candidatos em
milhes de reais. Fonte: TSE Presidente 25Governador 6Senador
3,5Deputado Federal 1,5Deputado Estadual 0,510Populao Mundial em
199830,5
36,1126,2147,4165,8206,3274982,21255,60200400600800100012001400ArgentinaBrasilEUAChinaem
milhesd) Sries Conjugadas - Tabela de Dupla Entrada a unio de duas
sries em uma s tabelaExemplo:Populao Mundial - em milhes de
pessoasPas 1998 2050Canad 30,5 42,3Argentina 36,1 54,5Japo 126,2
104,9Rssia 147,4 121,2Brasil 165,8 244,2Indonsia 206,3 311,8EUA 274
349,3ndia 982,2 1528,8China 1255,6 1477,7Fonte: O Estado de So
Paulo, 01/01/2000O exemplo acima uma srie geogrfica-histricaPodem
tambm existir sries conjugadas de trs ou mais entradas, fato mais
raro, pois dificulta a interpretao dos dados.11Custo mdio das
campanhas eleitorais em 1998, segundo estimativa dos candidatos em
milhes de reais. Fonte: TSE 2563,51,50,5051015202530Presidente
Governador Senador DeputadoFederalDeputadoEstadualMilhes de
Reais3.2 - Distribuio de freqnciaSer tratado em captulo a parte
devido a sua importncia.Exemplo: Idade na morte causada por arma de
fogoIdade na Morte Freqncia15 |- 25 2225 |- 35 1035 |- 45 645 |- 55
255 |- 65 465 |- 75 575 |- 85 13.3 Dados Absolutos e Dados
RelativosDados Absolutos: so resultantes de uma coleta direta, sem
outra manipulao seno a contagemDadosRelativos: so
resultantesdecomparaes, h um tratamentomatemtico dosdadospara uma
melhor interpretao.12Populao Mundial - em milhes de
pessoas020040060080010001200140016001800ArgentinaBrasilEUAChinaMilhes
de pessoas199820503.3.1 - As percentagensa) Considere a srie:Idade
na morte causada por arma de fogoIdade na Morte Freqncia15 |- 25
2225 |- 35 1035 |- 45 645 |- 55 255 |- 65 465 |- 75 575 |- 85
1Calculando a percentagem das pessoas em cada faixa etria, pode-se
preencher uma nova colunaIdade na Morte Freqncia %15 |- 25 22 4425
|- 35 10 2035 |- 45 6 1245 |- 55 2 455 |- 65 4 865 |- 75 5 1075 |-
85 1 2Total 50 100Pode-se agora tirar uma melhor concluso e tambm
construir um grfico de setores (pizza).13Idade da Morte causada por
arma de fogo15 |- 2544%25 |- 3520%35 |- 4512%45 |- 554%55 |- 658%65
|- 7510%75 |- 852%3.3.2 - Os ndicesOs ndices so razes entre duas
grandezas independentes. Ex:Relao candidato vaga = Qtde de
candidatos / Qtde de vagasDensidade demogrfica = populao / rea de
uma superfcieRenda per capita = renda total de uma populao /
populao3.3.3 - Os CoeficientesOscoeficientes sorazes
entreonmerodeocorrncias eonmerototal. aporcentagem expressa na
forma unitria. Ex:Coeficiente de evaso escolar = no de alunos
evadidos / no inicial de alunosCoeficiente de aproveitamento
escolar = no de alunos aprovados/ no final de alunos3.3.4 - As
TaxasAs taxas so os coeficientes multiplicados por uma potncia de
10, 100, 1000, etc para tornar o resultado mais inteligvel (claro)
Ex:Taxas de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000( l-se
mortes a cada 1000 habitantes)Taxa de evaso escolar = coeficiente
de evaso escolar x 100Exerccios:Exerccio 1 - Considere a tabela
abaixo:Ano Qtde de Analfabetos no Brasil acima de 15 anos em
milhares de hab.% de aumento1960 40233 ____1970 536331980 746001991
948912000 119533Complete a tabela com uma coluna de percentagem de
aumento de um perodo para o outro. No utilize casas decimais,
apenas nmeros inteiros.14Exerccio 2 - Considerando que o Brasil, em
2000, apresentou:Populao:164 milhes de habitantesSuperfcie:8 511
996 km2Nascimentos:6,2 milhesbitos:3,8 milhesCalcule:a) o ndice de
densidade demogrficab) a taxa de natalidadec) a taxa de
mortalidadeExerccio 3- Em certa eleio municipal foram obtidos os
seguintes resultadosCandidato % do total de votos Nmero de votosA
26B 24C 22Brancos e nulos 196Determine o nmero de votos obtido pelo
candidato vencedor.Exerccio 4 : A tabela abaixo apresenta a variao
percentual das vendas industriais de aparelhos domsticos,
comparando o perodo de julho e agosto de 2003 com o perodo de julho
e agosto de 2004.Vendas industriais de aparelhos domsticos Variao
percentual jul/ago 2003e jul/ago 2004Refrigeradores 15,06Freezers
verticais 4,97Freezers horizontais 42,61Lavadoras automticas -
18,18Foges - 0,17Condicionadores de ar 83,45Supondo que no perodo
dejul/ago de 2003 tenham sido vendidas 200.000 lavadoras
automticas, determine o nmero de unidades vendidas no mesmo perodo
de 2004.15Captulo 4 - Distribuio de Freqncia4.1 Tabela Primitiva e
RolTabela primitiva - elementos da varivel ainda no foram
numericamente organizadosEx:Total de pontos (acertos) obtidos por
40 alunos em um teste de 175 questes166 160 161 150 162 160 165 167
164 160162 161 168 163 156 173 160 155 164 168155 152 163 160 155
155 169 151 170 164154 161 156 172 153 157 156 158 158 161Rol - a
tabela primitiva ordenada (crescente ou decrescente).Ex:150 154 155
157 160 161 162 164 166 169151 155 156 158 160 161 162 164 167
170152 155 156 158 160 161 163 164 168 172153 155 156 160 160 161
163 165 168 1734.2 Distribuio de freqnciaCom isso pode-se construir
uma tabela denominada Distribuio de Freqncia, sendo a freqncia o
numero de elementos relacionados a um determinado valor da
varivel.Ex:Pontos Freqncia Pontos Freqncia Pontos Freqncia150 1 158
2 167 1151 1 160 5 168 2152 1 161 4 169 1153 1 162 2 170 1154 1 163
2 172 1155 4 164 3 173 1156 3 165 1157 1 166 1 total
40Paraumamelhor visualizaoeeconomiadeespao,
agrupam-seosvaloresemintervalos de classe.Ex:Total de pontos
(acertos) obtidos em um teste de 175 questes por 40 alunosTotal de
pontosFreqncia150 |- 154 4154 |- 158 9158 |- 162 11162 |- 166 8166
|- 170 5170 |- 174 3Total 40Para a confeco dessa tabela pode-se
pular o passo anterior, ou seja, do rol j partir para a tabela de
distribuio de freqncias com intervalos de classe.164.3 Elementos de
uma distribuio de freqnciaa) Classes de freqncia: so os intervalos
de variao da varivel, representados por i, sendo i = 1,2,3,4,...,k,
onde k o nmero total de classes.Em nosso exemplo k = 6b) Limites da
classe: so os extremos de cada classe.Limite superior LiLimite
inferior liO smbolo li |- Li significa incluso de li e excluso de
Lil2 = 154 e L2 = 158c) Amplitude de um intervalo de classe (h) a
medida do intervalo que define a classeh = Li - li h2 = 154-158 = 4
d) Amplitude total da distribuio(AT) a diferena entre o limite
superior da ultima classe (limite superior mximo) e o limite
inferior da primeira (limite inferior mnimo).AT = L(max) - l
(min)AT = 174 - 150 = 24 Deve-se notar que AT/h = k 24/4 = 6e)
Amplitude amostral (AA) : a diferena entre o valor mximo e o valor
mnimo da amostraAA = x(mx) - x(mn) AA = 173-150 = 23 f) Ponto mdio
de uma classe (xi) : o ponto que divide o intervalo de classe em
duas partes iguaisxi = (li+Li)/2 x2 = (154+158)/2 = 156 f) Freqncia
simples ou absoluta: o nmero de observaes correspondentes a essa
classe ou a esse valorf1 = 4f2 = 9f3 = 11f4 = 8f5 = 5f6 = 3n fk1 ii
40 f61 ii 4.4 Nmero de Classes, Intervalos de ClasseDeterminao do
nmero de classes: utiliza-se a regra de Sturges (obs: no
obrigatrio, apenas uma orientao)n log 3 , 3 1 k + onde, k o nmero
de classes e n o numero total de dados. Esta frmula nos permite
obter a seguinte tabelan k3 |-| 5 3176 |-| 11 412 |-| 22 523 |-| 46
647 |-| 90 791 |-| 181 8182 |-| 362 9Para determinao do intervalo
de classe h aplica-sekAAh Quando o resultado no exato, deve-se
arredond-lo para mais.No caso 4 8 , 36150 173h , ou seja, 6 classes
de intervalo 4.Exerccio: .As notas obtidas por 50 alunos de uma
classe foram:1 2 3 4 5 6 6 7 7 82 3 3 4 5 6 6 7 8 82 3 4 4 5 6 6 7
8 92 3 4 5 5 6 6 7 8 92 3 4 5 5 6 7 7 8 9Complete a distribuio de
freqncia abaixoi Notas xifi0 |- 22 |- 44 |- 66 |- 88 |- 10Total
504.5 Tipos de freqnciasa) Freqncia Simples ou Absoluta(fi) : o
valor que representa o nmero de dados de uma classe, onde :n fk1 ii
b) Freqncia Relativa(fri): a porcentagem entre a freqncia simples e
a freqncia total:[ ] % 100fffrk1 iiii No exemplo: fr3 = 11/40 =
0,275 x 100 = 27,5 %18 obvio que:% 100 frk1 ii O propsito das
freqncias relativas o de permitir a anlise e facilitar comparaes.c)
Freqncia Acumulada (Fi): o total das freqncias de todos os valores
inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.k 3 2
1 kf f f f F + + + + ouk1 ii kf FNo exemplo F3= f1+ f2+ f3=
4+9+11=24, o que significa que existem 24 alunos com estatura
inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira
classe)d) Freqncia Acumulada relativa(Fri): a porcentagem entre a
freqncia relativa acumulada da classe e a freqncia total da
distribuio.[ ] % 100fFFrk1 iiii No exemplo temos Fr3 = 24/40 = 0,6
= 60 %, o que significa que 60 % dos alunos acertaram menos de 162
questesPode-se ento montar a seguinte tabela:i Total de Pontos
xififri (%) FiFri (%)1 150 |- 154 152 4 10,00 4 10,002 154 |- 158
156 9 22,50 13 32,503 158 |- 162 160 11 27,50 24 60,004 162 |- 166
164 8 20,00 32 80,005 166 |- 170 168 5 12,50 37 92,506 170 |- 174
172 3 7,50 40 100,00Total 40 100,00Que nos ajuda a responder:1)
Quantos alunos acertaram entre 154, inclusive, e 158 questes ?
Resp. 9 alunos2) Qual a percentagem de alunos com total de pontos
inferior a 154? Resp. 10%3) Quantos alunos acertaram menos que 162
questes ? Resp. 24 alunos4) Quantos alunos obtiveram um total de
pontos no inferior a 158? Resp. 40-13 = 27 alunos4.6 Distribuio de
Freqncia sem Intervalo de ClasseQuando se trata de varivel discreta
de variao relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um
intervalo de classe, tomando a seguinte forma:Os resultados de um
lanamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:6 5 2 6 4 3 6 2 6
51 6 3 3 5 1 3 6 3 45 4 3 1 3 5 4 4 2 62 2 5 2 5 1 3 6 5 15 6 2 4 6
1 5 2 4 319i resultados fifriFiFri1 12 23 34 45 56 6Total 50
100Exerccio: Complete a tabela abaixo e responda:i Horas de estudo
por semanaxififriFiFri10 |- 5525 |- 1096310 |- 1557415 |- 2025520
|- 2511625 |- 306Total 100,0Qual a porcentagem de pessoas que
estudam menos de 15 horas ?Qual a porcentagem de pessoas que
estudam 20 ou mais horas ?204.7 Representao Grfica de uma
Distribuio de FreqnciaPode-se ser representado basicamente por um
histograma, por um polgono de freqncia ou por um polgono de
freqncia acumulada.a) Histograma : O histograma formado por um
conjunto de retngulos justapostos, cujas bases se
localizamsobreoeixohorizontal, detal
modoqueseuspontosmdioscoincidamcomos pontos mdios dos intervalos de
classe. Seja o exemplo:i Total de PontosxifiFi1 150 |- 154 152 4 42
154 |- 158 156 9 133 158 |- 162 160 11 244 162 |- 166 164 8 325 166
|- 170 168 5 376 170 |- 174 172 3 40Total 40Histograma024681012150
|- 154 154 |- 158 158 |-162 162 |- 166 166 |- 170 170 |-
174Estaturas (cm)Frequncias fi150 154158162166170174Total de
Pontosb) Polgono de freqncia : umgrfico emlinha, sendo as freqncias
marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos
pontos mdios dos intervalos de classe.024681012148 152 156 160 164
168 172 176Estaturas [cm]fTotal de Pontos21c)
Polgonodefreqnciaacumulada :
traadomarcando-seasfreqnciasacumuladassobre perpendiculares ao eixo
horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites
superiores dos intervalos de classe.051015202530354045150 154 158
162 166 170 174Estaturas [cm]FTotal de pontos024681012148 152 156
160 164 168 172 176Estaturas [cm]fiTotal de PontosPolgono de
freqncia com o histograma4.8 - A Curva de Freqncia. Curva PolidaO
polgono de freqncia nos fornece uma imagem real e a curva uma
imagem tendencial. A curva
polidadeumaamostralimitadaseassemelhamaisacurvaresultantedeumgrandenmerode
dados, do que o polgono de freqncia obtido da mesma amostra
limitada. Utiliza-se uma nova freqncia, denominada calculada
(fc).4f f 2 ffc) 1 i ( i ) 1 i (i+ + +No exemplo anterior
tem-se:22i Total de Pontos xifiFifc0 146 |- 150 148 0 0 (0+2*0+4)/4
= 11 150 |- 154 152 4 4 (0+2*4+9)/4 = 4,252 154 |- 158 156 9 13
(4+2*9+11)/4 = 8,253 158 |- 162 160 11 24 (9+2*11+8)/4 = 9,754 162
|- 166 164 8 32 (11+2*8+5)/4 = 85 166 |- 170 168 5 37 (8+2*5+3)/4 =
5,256 170 |- 174 172 3 40 (5+2*3+0)/4 = 2,757 174 |- 178 176 0 40
(3+2*0+0)/4 = 0,75Total 4014,258,259,7585,252,750,75024681012148
152 156 160 164 168 172 176Estaturas [cm]fcTotal de PontosExerccio-
Construa o histograma, o polgono de freqncia, o polgono de freqncia
acumulada e a curva polida da seguinte distribuio.i Total de Faltas
de uma sala com 60 alunosxififciFi01 0 |- 2 52 2 |- 4 153 4 |- 6
254 6 |- 8 105 8 |- 10 5623Captulo 5 - Medidas de Posio5.1
IntroduoAt agora os estudos de distribuio de freqnciaefetuados
nospermite localizar a maior e menorconcentraodos valores
deumadadadistribuio. Noentanto, paradestacar as tendncias
caractersticas necessita-se de elementos tpicos da distribuio que
so as: Medidas de posio Medidas de variabilidade ou disperso
Medidas de assimetria Medidas de curtoseAs medidas de posionos
orienta quanto a posio da distribuioemrelao aoeixo horizontal. As
medidas mais importantes so as medidas de tendncia central (os
dados tendem a se agrupar em torno de valores centrais).Dentre elas
destacam-se: A mdia aritmtica A mediana A modaOutras medidas de
posio so as separatrizes que so:A medianaOs quartisOs percentis5.2
Media Aritmtica ( x )nxxn1 ii onde xi so os valores da varivel e no
nmero de valores.a) Desvio em relao a mdia (di) x x di i b)
Propriedades: 0 dn1 ii A soma algbrica dos desvio em relao a mdia
nulaSomando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os
valores de uma varivel, a mdia do conjunto fica aumentada (ou
diminuda) dessa constante.Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma
constante (c) de todos os valores de uma varivel, a mdia do
conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa
constante.Exemplo: Seja a nota de 10 alunos: 8, 9, 7, 6, 10, 5,5,
5, 6,5, 7,5, 8,5A mdia 3 , 7105 , 8 5 , 7 5 , 6 5 5 , 5 10 6 7 9 8x
+ + + + + + + + +24Desvios: 8 - 7,3 0,79 - 7,3 1,77 - 7,3 -0,36 -
7,3 -1,310 - 7,3 2,75,5 - 7,3 -1,85 - 7,3 -2,36,5 - 7,3 -0,87,5 -
7,3 0,28,5 - 7,3 1,2Total 0,0c) para dados agrupados (distribuio de
freqncia sem intervalos de classe)Seja a seguinte distribuio:no de
filhos (xi) que se deseja terfifi . xi 0 2 01 6 62 10 203 12 364 4
16Total 34 78n1 iin1 ii if) x f (xtem-se ento: 3 , 2~294 , 23478x
d)paradadosagrupados(distribuiodefreqnciacomintervalosdeclasse).
Adota-seo seguinte: todos os valores includos em um determinado
intervalo de classe coincidem com o seu ponto mdio.Seja a seguinte
distribuio:i Total de pontosxififi . xi1 150 |- 154 152 4 6082 154
|- 158 156 9 14043 158 |- 162 160 11 17604 162 |- 166 164 8 13125
166 |- 170 168 5 8406 170 |- 174 172 3 516Total 40 6440tem-se ento:
161406440x pontosExerccio 1 - Complete a tabela e calcule a mdia
aritmtica da distribuio.Qtde de cursos de extenso realizados por
ano (xi) fifi . xi25pelos alunos do 3o Mat1 22 43 64 85 36
1Exerccio 2 - Complete a tabela e calcule a mdia aritmtica da
distribuio.i Salrio Mensal dos alunos do 3o Mat [R$]xififi . xi1
450 |- 550 82 550 |- 650 103 650 |- 750 114 750 |- 850 165 850 |-
950 136 950 |- 1050 57 1050 |- 1150 1Totale) Processo breveH uma
mudana de varivel x por outra y, tal que:hx xy0 iix0 uma constante
escolhida convenientemente entre os pontos mdios da distribuio, de
preferncia o de maior valor de freqncia, e h o intervalo de classe.
A mdia ento calculada por:26( ) ,_
+ n1 iin1 ii i0fh y fx xExemplo:Escolhendo x0 = 160e como h = 4i
Total de Pontos xifiyifi . yi1 150 |- 154 152 4 -2 -82 154 |- 158
156 9 -1 -93 158 |- 162 160 11 0 04 162 |- 166 164 8 1 85 166 |-
170 168 5 2 106 170 |- 174 172 3 3 9Total 40 10Ento: 161404 10160 x
+ pontosExerccio 3: Pelo processo breve, calcule a mdia aritmtica
da distribuio.i Salrio Mensal dos alunos do 3o Mat [R$]xifiyifi .
yi1 450 |- 550 82 550 |- 650 103 650 |- 750 114 750 |- 850 165 850
|- 950 136 950 |- 1050 57 1050 |- 1150 1Total27Exerccio 4: Pelo
processo breve, calcule a mdia aritmtica da distribuio.i Valor da
hora aula de profissionais da educao [R$]xi fi yi fi . yi1 30 |- 50
22 50 |- 70 83 70 |- 90 124 90 |- 110 105 110 |- 130 5Total5.3 A
Moda (Mo)Denomina-se moda o valor que ocorre com maior freqncia em
uma srie de valores.Caso 1) Dados no agrupados.Basta procurar o
valor que mais se repete. Ex:3,4,5,6,6,6,6,7,7,8,9 A srie tem moda
igual a 6 (valor modal 6)Pode acontecer tambm uma srie sem valor
modal. Ex:1,2,3,4,5,6,7,8,9 srie amodalPode acontecer tambm uma
srie com mais de uma moda. Ex:1,2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8,9 a srie tem
duas modas (2 e 6) - srie bimodalCaso 2) Dados agrupados.a) sem
intervalos de classe. Basta identificar o valor da varivel que
possui maior freqncia. Ex: Seja a seguinte distribuio: Mo = 3no de
filhos (xi) que se deseja terfi0 21 62 103 124 4Total 34b) com
intervalos de classe. A classe com maior freqncia denominada classe
modal, o clculo da moda bruta semelhante ao do ponto mdio do
intervalo de classe.2Lx Moi+ 28Ex: Seja a distribuio:i Total de
pontos xifi1 150 |- 154 152 42 154 |- 158 156 93 158 |- 162 160 114
162 |- 166 164 85 166 |- 170 168 56 170 |- 174 172 3Total 40Ento: a
classe modal i = 3, logo Mo = 160 pontosExerccio: Calcule a moda da
seguinte distribuio:iSalrio Mensal dos alunos do 3o Mat [R$]fi1 450
|- 550 82 550 |- 650 103 650 |- 750 114 750 |- 850 165 850 |- 950
136 950 |- 1050 57 1050 |- 1150 1Total 645.4 Mediana (Md)Amediana
onmeroqueseencontra no centro deuma sriedenmeros,ou seja,separa os
valores em dois subconjuntos de mesmo nmero de elementos.Caso 1 )
Dados noagrupadosDada uma srie de
valores:5,13,10,2,18,15,6,16,9Deve-se ento
orden-los:2,5,6,9,10,13,15,16,18Determina-se ento o valor central
que 10 (4 valores para cada lado) Md = 10Se a srie tiver nmero par
de valores, a mediana a mdia dos dois valores
centrais:2,5,6,9,10,15,16,18 Md = (9+10)/2 = 9,529Caso 2 ) Dados
agrupadosNo caso de distribuio de freqncia deve-se primeiramente
determinar a freqncia acumulada. Determina-se ento, ovalor que
divide a distribuio em duas partes iguais. Aplica-se ento:2fi a)
sem intervalos de classe. Dada a srie:no de filhos (xi) que se
deseja terfiFi0 2 21 6 82 10 183 12 304 4 34Total 34Ento:172342fi A
menor freqncia acumulada que supera esse valor 18, que corresponde
ao valor 2 da varivel.Md = 2No caso de iiF2f acontecer, a mediana
ser dada por: 2x xMd1 i i ++ . Exemplo:i no de filhos (xi) que se
deseja terfiFi1 0 2 22 1 6 83 2 10 184 3 12 305 4 6 36Total 363iF
182f , ento: 5 , 223 2Md +Exerccios:1) Calcule a mediana das
seguintes distribuies:i Qtde de anos de estudo (xi)fiFi1 13 62 14
143 15 244 16 165 17 8Total30i Qtde de disciplinas em
dependnciafiFi1 0 22 1 53 2 94 3 75 4 66 5 3Totalb) com intervalos
de classe: segue-se os seguintes passos:1o - Determina-se as
freqncias acumuladas2o - Calcula-se 2fi 3o- Marca-seaclasse
correspondente a freqncia acumulada imediatamente superior a2fi
(classe mediana) e emprega-se a frmula:( )iiifh ant F2fMd11]1
+ onde: o limite inferior da classe medianaF(ant) a freqncia
acumulada da classe anterior a classe medianah a amplitude do
intervalo da classe medianafi a freqncia do intervalo da classe
medianaExemplo:i Total de pontos fiFi1 150 |- 154 4 42 154 |- 158 9
133 158 |- 162 11 244 162 |- 166 8 325 166 |- 170 5 376 170 |- 174
3 40Total 40202402fi , logo classe mediana i = 3 = 158 F(ant) = 13
h = 4 f3 = 11[ ]5 , 160 5 , 2 158114 13 20158 Md + + No caso de
iiF2f acontecer, a mediana ser o limite superior da classe
correspondente. Exerccio: Calcule a mediana das seguintes
distribuies:iSalrio Mensal dos fiFi31alunos do 3o Mat [R$]1 450 |-
550 82 550 |- 650 103 650 |- 750 114 750 |- 850 165 850 |- 950 136
950 |- 1050 57 1050 |- 1150 1Total 64i Valor da hora aula de
profissionais da educao [R$]fi Fi1 30 |- 50 22 50 |- 70 83 70 |- 90
124 90 |- 110 105 110 |- 130 5Total5.5 Os QuartisDenomina-se
quartis os valores de uma srie que a dividem em quatro partes
iguais. Portanto, h trs quartis. So mais aplicados em distribuio de
freqncia com intervalos de classe.Primeiro Quartil (Q1) - 25 % dos
dados so menores que ele e os 75 % restantes so maiores.Segundo
Quartil (Q2) - coincide com a mediana, 50 % para cada lado.Terceiro
Quartil (Q3) - 75 % dos dados so menores que ele e os 25 %
restantes so maiores.Para o caso de dados agrupados, basta
aplicar:4f ki , sendo k o nmero de ordem do quartil. Ento:( )iii
1fh ant F4fQ11]1
+ ( )iii 2fh ant F4f 2Q1]1
+ ( )iii 3fh ant F4f 3Q1]1
+ Exemplo:i Total de Pontos fiFi1 150 |- 154 4 4322 154 |- 158 9
133 158 |- 162 11 244 162 |- 166 8 325 166 |- 170 5 376 170 |- 174
3 40Total 40Primeiro Quartil104404fi , logo classe do 1o Quartil i
= 2 = 154 F(ant) = 4h = 4 f2 = 9[ ]7 , 156 66 , 156 66 , 2 15494 4
10154 Q1 + + Segundo Quartil = Mediana202404f 2i , logo classe do
2o Quartil i = 3 = 158 F(ant) = 13h = 4 f3 = 11[ ]5 , 160 5 , 2
158114 13 20158 Md Q2 + + Terceiro Quartil30440 34f 3i, logo classe
do 3o Quartil i = 4 = 162 F(ant) = 24h = 4 f4 = 8[ ]165 3 16284 24
30162 Q3 + + Exerccio: Calcule os quartis da seguinte
distribuio:iSalrio Mensal dos alunos do 3o Mat [R$]fiFi1 450 |- 550
82 550 |- 650 103 650 |- 750 114 750 |- 850 165 850 |- 950 136 950
|- 1050 57 1050 |- 1150 1Total 645.6 Os PercentisDenomina-se
percentisosnoventaenove valoresqueseparamuma srieem 100
partesiguais. Indica-se da seguinte forma:P1,P2,P3,...P99Note-se
que: P50 = Md, P25 = Q1 e P75 = Q3Calcula-se da mesma forma que os
quartis, s que aplicando:33100f ki , sendo k o nmero de ordem do
percentil. ( )iii Kfh ant F100f kP11]1
+ Exemplo:i Total de Pontos fiFi1 150 |- 154 4 42 154 |- 158 9
133 158 |- 162 11 244 162 |- 166 8 325 166 |- 170 5 376 170 |- 174
3 40Total 40Tem-se para o oitavo percentil:2 , 310040 8100f 88 ki
> , logo classe do 8o Percentil i = 1 = 150F(ant) = 0h = 4f1 =
4[ ]2 , 153 2 , 3 15044 0 2 , 3150 P8 + + Exerccio: Calcule o
percentil de ordem 20 da seguinte distribuio:iSalrio Mensal dos
alunos do 3o Mat [R$]fiFi1 450 |- 550 82 550 |- 650 103 650 |- 750
114 750 |- 850 165 850 |- 950 136 950 |- 1050 57 1050 |- 1150
1Total 6434Captulo 6 - Medidas de Disperso ou de Variabilidade6.1
Amplitude total (AT)a) a amplitude total a diferena entre o maior
valor e o menor valor observado:MN MXx x AT Exemplo: 40, 45, 48,
52, 54, 62, e 70AT = 70 - 40 = 30Quanto maior a amplitude total ,
maior ser a disperso dos valores da varivel em torno da mdia.6.2
Varincia (s 2 ) e Desvio Padro (s) So mais estveis que a amplitude
total, no sofrem tanto a interferncia de valores extremos.a) para
dados no agrupadosA varincia a mdia aritmtica dos quadrados dos
desvios:( ) ( )nx xfx xs2ii2i 2 A varincia um nmero em unidade
quadrada em relao a mdia, por isso, definiu-se o desvio padro como
a raiz quadrada da varincia.O desvio padro a raiz quadrada da mdia
aritmtica dos quadrados dos desvios.Para evitar o acmulo de erro
por arredondamento, simplifica-se o clculo do desvio padro com a
seguinte:( )( )nxx x x2i 2i2i que resulta em:2i2inxnxs
,_
Obs: Quando calcula-se a varincia ou o desvio padro de uma
populao atravs de uma amostra dessa, deve-se substituir o
denominador n por n-1.Propriedades: 1a: Somando-se (ou
subtraindo-se) uma constante a (de) todos os valores de uma
varivel, o desvio padro no se altera.2a.: Multiplicando-se todos os
valores de uma varivel por uma constante (diferente de zero), o
desvio padro fica multiplicado por essa constante.Exemplo: Calcule
o desvio padro da seguinte srie:35i xixi21 8 642 10 1003 11 1214 15
2255 16 2566 18 324Total 78 109056 , 3 169 67 ,
18167861090nxnxs22i2i ,_
,_
b) para dados agrupados sem intervalos de classe: deve-se levar
em conta as freqncias.2i i2i in) x f (n) x f (s
,_
Exemplo:i Qtde de filhos que se deseja ter (xi)fifi . xifi .
xi21 0 2 0 02 1 6 6 63 2 12 24 484 3 7 21 635 4 3 12 48Total 30 63
16504 , 1 41 , 4 5 , 5306330165n) x f (n) x f (s22i i2i i ,_
,_
Exerccio: Determine o desvio padro.i Qtde de cursos de extenso
realizados por ano (xi) pelos alunos do 3o Matfifi . xifi . xi21 1
22 2 53 3 84 4 65 5 36 6 1Total 25c) para dados agrupados com
intervalos de classe: tambm leva-se em conta as freqncias e xi o
ponto mdio do intervalo de classe.Exemplo:36i Total de Pontos
xififixifixi21 150 |- 154 152 4 608 924162 154 |- 158 156 9 1404
2190243 158 |- 162 160 11 1760 2816004 162 |- 166 164 8 1312
2151685 166 |- 170 168 5 840 1411206 170 |- 174 172 3 516
88752Total 40 6440 103808057 , 5 31 25921 25952406440401038080n) x
f (n) x f (s2 2i i2i i
,_
,_
Processo breve: Da mesma maneira que o clculo da mdia, muda-se a
varivel X por outra Y, tal que:hx xy0 iie2i i2i in) y f (n) y f (h
s
,_
Exemplo:i Total de Pontos xifiyifiyifiyi21 150 |- 154 152 4 -2
-8 162 154 |- 158 156 9 -1 -9 93 158 |- 162 160 11 0 0 04 162 |-
166 164 8 1 8 85 166 |- 170 168 5 2 10 206 170 |- 174 172 3 3 9
27Total 40 10 8057 , 5 391941 , 1 4 9375 , 1 4 0625 , 0 2
4401040804 s2
,_
Resolva: Calcule o desvio padro pelo processo breve.iSalrio
Mensal dos alunos do 3o Mat [R$]xifiyifiyifiyi21 450 |- 550 82 550
|- 650 103 650 |- 750 114 750 |- 850 165 850 |- 950 136 950 |- 1050
57 1050 |- 1150 1Total 64i Peso kg xi fi yi fiyi fiyi21 30 |- 50 22
50 |- 70 8373 70 |- 90 124 90 |- 110 105 110 |- 130 5Total 376.3-
Coeficiente de Variao (CV) a porcentagem do desvio padro em relao a
sua mdia.100xsCV Exemplo: Para o exemplo anterior, das estaturas,
tem-se mdia de 161 cm e desvio padro de 5,57 cm% 5 , 3 459 , 3
10016157 , 5CV Resolva: Calcule o CV dos dois ltimos exerccios de
clculo de desvio padro pelo processo breve.a) 154 s755 xb) 88 , 21
s3 , 84 xConcluso:Quanto maior o CV maior ser a dispersoQuanto
menor o CV menor ser a disperso 38Exerccios deReviso: Os dados
abaixoreferem-sea idade das pessoas que compraramum determinado
produto novo durante um dia. Determine: i Idade
xifiFiyifiyifiyi2fixifixi21 0 |- 10 102 10 |- 20 263 20 |- 30 154
30 |- 40 85 40 |- 50 46 50 |- 60 37 60 |- 70 2Totala) Mdia;b)
Desvio Padro;c) Medianad) Primeiro Quartil e) Terceiro Quartilf)
P4039TABELA DE NMEROS
ALEATRIOS:40408932150972311229916322073342757935942988395656035421560876747584474574916234935131746759123109337217450307189335407780600288820706372086834667546346810691320345851104084166365822897141978695941043868637780477977193333448580141780949759877686879966037454142745453796307078437510500378583093737590226286543836876800576730823003125722700538301689920326750689597405860286819601124112049528138283980485177082961615151983952936177534213837738807768110421392168091675545344947813999458093014712611313253001937725501765137467538970112111052523380750230970336897517727838595892558022054866059876878316874668963654022101773365775259427436621224906489970798871207315091901829831364896115181688914188405174129325339876693647484235133399415818812097261575252075158945640950950433236556760229578486090415661235233453902954365950656447167206368438531733993385981171376932344579609703966195872248124344787138158269295941228645034328267090939214704686949555925388249364703967607068656392667935693003013317851707765870559065665062322895290515154075049442212741626122060525263928362659135082196503266631728435128126049801660722976814631460447529517437377115208678605224231550467329103837823078143436888191928142315820840169125240265294200671948613913158117036463891417260451239931841612848090475600458504180127180458420246064982507518348959926006168875265072022072006215092082299468593766175137865689131364878907136298873317890477294414511594471657695602100905289166922404721992775774549276543933774804732806365958682256338987294984371998002445073118581858686770073229964892954181431046936950086692053799947929094301224736024102895355009816296315631085885592091944821635693457216501299892911583695166753271682740207889140187891111853598538542929902140925063099011249715224683999215874147974870862745170451503944483690335383610689007152018074282728218735618048578403492944127549835280560282665660839516737917425542986055738304913638004352682254103537099780708631323905878440096122614123315293273314638127198837197327400595923132563294Tamanho
da Amostra para populaes finitas( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ] n / x 1
n / x z e 1 NN n / x 1 n / x zn2 22 + n = tamanho da amostraN =
tamanho da populaoe = % de erro na forma unitriaz = intervalo de
confiana, 1,96 para 95% de confiana (valor usual)2,58 para 99% de
confiana.x/n = proporo esperada. O valor de n mximo para x/n =
0,50Resultando em:[ ]( ) [ ]( ) 9604 , 0 e 1 NN 9604 , 0n50 , 0 1
50 , 0 96 , 1 e 1 NN 50 , 0 1 50 , 0 96 , 1n22 22+ + Exemplo:erro
2% 0,02z= 1,96x/n = 0,5Populao Amostra100 96200 185300 267400
343500 414600 480700 542800 600900 6551000 7061100 7551200 8001300
8441400 8851500 9231600 9601700 9961800 10291900 10612000 1091
Populao Amostra10000 193620000 214430000 222340000 226550000
229160000 230970000 232180000 233190000 2339100000 2345 Populao
Amostra100000 2345200000 2373300000 2382400000 2387500000
2390600000 2391700000 2393800000 2394900000 23951000000 2395
41Populao Amostra1000000 23952000000 23983000000 23994000000
24005000000 24006000000 24007000000 24008000000 24009000000
240010000000 2400115000000 2401Clculo do erro( ) ( ) [ ]nn / x 1 n
/ xz e para populao desconhecida( ) ( ) [ ]1 Nn Nnn / x 1 n / xz e
para populao conhecidapara z = 1,96 e x/n = 0,50 tem-se:n198 , 0 e
para populao desconhecida) 1 N ( nn N98 , 0 e para populao
conhecidaPopulao = 100Amostra Erro10 0,3020 0,2030 0,1540 0,1250
0,1060 0,0870 0,0680 0,0590 0,03100 0,00BibliografiaSTEVENSON, W.
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