Apostila Geometria Descritiva(Sarah Rabelo)

8/6/2019 Apostila Geometria Descritiva(Sarah Rabelo)

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Geometria Descritiva Professora Sarah Rabelo

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GGeeoommeettrriiaa DDeessccrriittiivvaa

Professora: Sarah Rabelo

1 Introduo

A GD tem por objetivos: A representao de figuras do espao, a fim de... ...estudar sua forma, dimenso e posio.

- GD a base terica de numerosas aplicaes profissionais, que vo da Engenharia Arquitetura, bem como Desenho Industrial, Pintura, Escultura...

- A GD desenvolve a habilidade de imaginar objetos ou projetos no espao, e noapenas a leitura ou interpretao de desenhos.

- A GD utiliza um sistema de projees elaborado por Garpard Monge, conhecido como

sistema mongeano, ortogonal ou didrico:

o Sistema de representao: purao Mtodo de projetividade: um dado ente (figura) e sua imagem em

correspondnciao Tcnica: linha de terra, conveno de traos, notao...o Processo: dupla imagem por projees ortogonais

2 Teoria Geral das P rojees2.1 Definio

A noo mais intuitiva imaginarmos um objeto (ente) e sua imagem (representao).

Projeo vem de PROJETAR: atirar longe,arremessar, lanar algo sobre uma superfcie...


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2.2 Sistemas de Pro jeo

Como j dito, o objetivo da GD representar no plano, atravs de projees, as figurasdo espao. H duas formas principais de projetar uma figura F em um plano :

(a) Utilizando um sistema de projeo central:

A projeo de cada ponto FP o ponto obtido dainterseo de com a reta OP .O o ponto fixo, o cent ro de proje o.

(b) Utilizando um sistema de projeo cilndrica:

A projeo de cada ponto FP o ponto obtido dainterseo de com a reta que passa por P e paralela

a uma direo fixa , a direo de projeo.

O sistema de projeo utilizado na GD a projeo cilndrica ortogonal (a direo deprojeo perpendicular ao plano de projeo):

Na maioria das vezes, h perda de informaes sobre a figura!!! Assim, para obterinformaes mais precisas sobre uma figura, necessrio utilizar mais de um plano deprojeo...


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3. MTODO DE MONGE

Gaspard Monge, criador da Geometria Descritiva, a definiu como sendo a parte da Matemtica quetem por fim representar sobre um plano as figuras do espao, de modo a poder resolver, com o auxlio daGeometria Plana, os problemas em que se consideram as trs dimenses.

O QUE A PROJEO DE UM PONTO?

Projeo de um ponto sobre um plano o p daperpendicular ao plano conduzido pelo ponto. O plano ditoplano de projeo e a reta a reta projetante do ponto. Porm,no espao um ponto no est bem determinado apenas com umaprojeo. Ento mostramos como se determina um ponto Aatravs do mtodo das projees de Monge.

PLANOS DE PROJEO

Planos de projeo so dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e ooutro plano vertical. Os dois planos so ilimitados em todos os sentidos.

Chama-se Linha de Terra - LT a interseo dos dois planos.

O 1 diedro formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Anterior (HA).

O 2 diedro formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Posterior (HP).

O 3 diedro formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Posterior (HP).O 4 diedro formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Anterior (HA).


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PURA

pura a representao de uma figura do espao pelas suas projees no plano. O interessante dapura observar a figura no plano e imaginar como essa figura se apresenta no espao.

OBTENO DA PURA

Para obter a pura, gira-se o Plano Vertical de Projeo (PV) em torno da Linha de Terra no sentido

horrio, de tal forma que este coincida com o Plano Horizontal de Projeo (PH). Esta nova representaorecebe o nome de pura.

3.1. ESTUDO DO PONTO

Para determinar a posio de um ponto (A) necessrio projet-lo sobre os dois planos de projeoA projeo horizontal designa-se por A ou (A1) e a projeo vertical por (A) ou (A2).


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3.1.1. COORDENADAS

Um ponto no espao determinado por trs coordenadas: altitude (eixo Z), longitude (eixo X) elatitude (eixo Y).

Plano de perfil: plano perpendicular aos planos de projees passando por O. Um ponto tem abscissapositiva se est frente do plano de perfil e negativa se estiver atrs.

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Seja o ponto P situado no primeiro diedro e projetado no HP e no VS.


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Linha de chamada o segmento que une as duas projees de um ponto e sempre perpendicular LT.

Abscissa de um ponto P a, distncia da Linha de chamada do ponto P at o Plano de Perfil. Assim,abscissa a coordenada do eixo X.

Afastamento de um ponto P a distncia deste ponto ao plano vertical de projeo. Assim, afastamento a coordenada do eixo Y.


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Cota de um ponto P a distncia deste ponto ao plano horizontal de projeo. Assim cota a coordenadado eixo Z.

DETERMINAO DE UM PONTO

Um ponto P est determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. Exemplo: P(-2,4,2).

3.1.2. POSIES DO PONTO

O ponto pode ocupar nove posies diferentes em relao aos planos de projeo. So elas:

1. Ponto no 1 diedroDepois do rebatimento, o (S) ficar em coincidncia com o (P) e a projeo vertical A acompanhar oplano (S) no seu deslocamento. As projees so separadas pela linha de terra, estando a projeo verticaA acima e a horizontal A abaixo da referida linha.


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2. Ponto no 2 diedroDepois do rebatimento, a projeo B vem colocar-se no (P), sobre BB0 (ou seu prolongamento) conformea cota seja maior ou menor que o afastamento. Na pura correspondente verificamos que ambas asprojees esto acima da linha de terra, fato este que caracteriza o ponto no 2 diedro.

3. Ponto no 3 diedroDepois do rebatimento, o (S) ficar em coincidncia com o (P) e o (I) ficar em coincidncia com o (A)ento a projeo vertical C ir cair em C1 no prolongamento de CC0. Na pura correspondente verificamosque as projees so separadas pela linha de terra, estando a projeo horizontal C acima e a vertical C

abaixo dessa linha.

4. Ponto no 4 diedroDepois do rebatimento, a projeo vertical D vem cair sobre DD0 (ou seu prolongamento). Na puracorrespondente verificamos que ambas as projees esto abaixo da linha de terra, fato este quecaracteriza que o ponto est no 4 diedro.


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5. Ponto no plano vert ical superior (S)Estando o ponto (E) no (S) o seu afastamento ser nulo, coincidindo, ento sua projeo vertical E com oprprio ponto (E), e a projeo horizontal E estar sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeoE cair em E1 sobre o (P). Na pura, a projeo vertical E est acima da linha de terra e a horizontal E,est sobre essa linha.

6. Ponto no plano vert ical inferior (I)Estando o ponto (F) no (I) o seu afastamento ser nulo. Sua projeo vertical F coincide com o prprioponto (F), e a projeo horizontal F estar sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeo F cairem F1 sobre o (A). Na pura, a projeo vertical F est abaixo da linha de terra e a horizontal Fpermanece sobre essa linha.

7. Ponto no plano horizontal ante rior ( A)Estando o ponto (G) no (A) sua cota ser nula, coincidindo, ento sua projeo horizontal G com o prprioponto (G), e a projeo vertical G estar sobre a linha de terra. Na pura, a projeo horizontal G estabaixo da linha de terra e a vertical G, est sobre essa linha.


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8. Ponto no plano horizontal posterior (P)Estando o ponto (J) no (P) sua cota ser nula, coincidindo, ento sua projeo horizontal J com o prprioponto (J), e a projeo vertical J estar sobre a linha de terra. Na pura, a projeo horizontal J est acimada linha de terra e a vertical J, est sobre essa linha.

9. Ponto na l inha de te rra

Nessa posio, o ponto no ter cota nem afastamento. Nada se altera com o rebatimento, j que a linha deterra fixa. A pura do ponto nessa posio representada na figura ao lado.

Tudo quanto te vier s mos para fazer, faze-o conforme as tuas foras, pois na

sepultura para onde tu vais no h cincia, nem indstria, nem sabedoria alguma.

(Ecles. 9:10).


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3.1.3. PLANOS BISSETORES

Denomina-se plano bissetor de um ngulo diedro, o plano que divide este diedro em dois iguaisnesse caso, o plano bissetor forma um ngulo de 45 com os planos vertical e horizontal.

Existem dois planos bissetores:

O primeiro divide os diedros I e III, chamado de bissetor impar e denotado por I.

O segundo divide os diedros II e IV, chamado de bissetor par e denotado por P.

OBS.: Um ponto pertence ao plano bissetor se a cota e o afastamento tiverem o mesmo valor.

3.1.4. SIMETRIA DE PONTOS

Dois pontos (A) e (B) so simtricos em relao a um plano (), quando este plano o mediador dosegmento formado pelos dois pontos, isto , quando o plano perpendicular ao segmento formado poresses dois pontos e contendo o seu ponto mdio, onde o segmento (A)(M) igual ao segmento (M)(B).


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Consideremos a simetria de um ponto em relao:

a) aos planos de projeo

Um ponto (B) simtrico a um ponto (A) em relao ao plano horizontal de projeo ( ) quandopossui a mesma abscissa, o mesmo afastamento em grandeza e sentido, e a cota da mesma grandeza,porm de sentido contrrio.

Como nos mostra a pura abaixo, os afastamentos dos pontos (A) e (B) so iguais e ambos positivos

(mesmo sentido) e cotas iguais de sentido contrrio.

Um ponto (D) simtrico a um ponto (C) em relao ao plano vertical de projeo () quando possua mesma abscissa, a mesma cota em grandeza e sentido, e o afastamento da mesma grandeza, porm desentido contrrio.

Na pura observamos que os pontos tm projees verticais coincidentes CD e projees horizontaisC e D simtricas em relao linha de terra.


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b) aos planos bissetores

Seja (A) e a reta que representa o 1 bissetor (I). Verifica-se que a figura (A)AMA um retnguloigual ao formado por (B)BMB, e, como (A) e (B) so simtricos (portanto mesma abscissa), a cota de umdos pontos igual ao afastamento do outro e vice-versa.

A pura se caracteriza por abscissas iguais, afastamento e cota de um dos pontos iguaisrespectivamente a cota e afastamento do outro, isto , as projees de nomes contrrios simtricas emrelao linha de terra.

Seja o ponto (A) e a reta que representa o 2 bissetor (P). Por razes anlogas ao caso anteriorverifica-se que as abscissas so iguais e que a cota de um simtrica ao afastamento do outro.

A pura se caracteriza por abscissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota de (B)igual ao afastamento de (A). Portanto, as projees de nomes contrrios so coincidentes.


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c) linha de terra

Se a figura (a) onde a linha de terra a mediatriz do segmento (A)(B), ento so iguais osretngulos que se observam na figura e os pontos simtricos em relao linha de terra possuem abscissasiguais e cotas e afastamentos simtricos.

A pura (b) caracterizada pelas projees de mesmo nome dos dois pontos (A) e (B), simtricas emrelao linha de terra.

Obs.: A simetria em relao linha terra o produto das simetrias em relao aos planos ()horizontal e () vertical e, assim, para obter o simtrico de um ponto dado em relao linha de terra,pode-se efetuar a simetria em relao a um dos planos de projeo e a seguir a simetria desse ltimo emrelao ao outro plano.

Assim, na figura (c), determina-se o ponto (C) simtrico de (A) em relao a () e depois o ponto (B)simtrico de (C) em relao a () ou o ponto (D) em relao a () e depois o ponto (B) em relao a ().

EXERCCIOS:

1) Determinar as posies dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F) e (G), dados por suas projeesna figura abaixo:


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2) Representar a pura dos pontos abaixo e determinar suas posies:

(A) [-1; -2; -1]

(B) [0; 1,5; -2]

(C) [1,5; 1; 1,5]

(D) [3; 0; -2]

(E) [-2; 2; 0]

(F) [2; -1; 0]

(G) [4,5; 2; 0]

(H) [-3; 0; 0]

(I) [6; -1,5; 0]

(J) [8; -1; 1]

3) Representar a pura de um ponto (A) no 2 diedro com cota igual a 1/3 do afastamento:

4) So dados os pontos (A) [1; 1; 1,5] e (B) [3; -1; 2]. Pede-se determinar as projees de um ponto:

(a) simtrico a (A) em relao ao (I)

(b) simtrico a (B) em relao ao (P)

5) Determinar as coordenadas de um ponto (B) simtrico a (A) [1; 0; -2] em relao a ():


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3.2 ESTUDO DA RETA3.2.1 P rojeo da reta

A projeo de uma reta sobre um plano o lugar das posies de todos os seus pontos sobre esseplano.

Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e o plano (). Baixando em todos os pontos da retaperpendiculares ao plano, os ps dessas perpendiculares do lugar a projeo ortogonal da reta.

Essas perpendiculares formam um plano () perpendicular ao plano () e que o plano projetante dareta. A projeo de uma reta sobre um plano s deixa de ser uma reta, quando ela lhe for perpendicular,pois neste caso, a projeo ser um ponto, j que a projetante de todos os seus pontos se confundem coma prpria reta.

Quando uma reta for paralela a um plano a sua projeo sobre este plano igual e paralela prpriareta (Figura abaixo (a)). Se a reta (A)(B) for paralela ao plano (), sua projeo nesse plano a reta AB. Asduas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelogramo no qual (A)(B)=AB. Diz-se ento que a reta se projeta em verdadeira grandeza (V.G.).

Quando uma reta for oblqua a um plano (Figura (b)) a projeo menor que a reta do espao, poisela forma com sua projeo e as projetantes um trapzio retngulo, em que a projeo do plano, sendo

perpendicular s bases menor que a reta do espao.

O comprimento da projeo de uma reta sobre um plano varia com a inclinao dela sobre o planoEla passa por todos os valores, de zero (caso do ponto quando a reta perpendicular ao plano) at o limitemximo igual ao comprimento da reta (caso da reta paralela ao plano).


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Determinao de uma reta:

A posio de uma reta no espao fica bem determinada quando so conhecidas as projees dessareta sobre dois planos ortogonais.

Sejam na figura (a) os dois planos () e () perpendiculares e AB e AB respectivamente, asprojees da reta (A)(B) cuja posio queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpendicularao plano (), o mesmo acontecendo com AB em relao a (). Cada um dos planos que so os planos

projetantes da reta nos respectivos planos de projeo, deve conter a reta do espao, que ser, ento, ainterseo desses dois planos projetantes.

Para se designar a reta cujas projees so AB e AB escreve-se; reta (A)(B) (figura (b)). A retapode tambm ser designada por letras minsculas.

3.2.2 P ertinncia de ponto a reta

Regra geral:

Um ponto pertence a uma reta, quando as projees desse ponto esto sobre as projees demesmo nome da reta, isto , a projeo horizontal do ponto sobre a projeo horizontal da reta e projeo

vertical do ponto tambm sobre a projeo vertical da reta.

Na figura abaixo, temos a pura de pontos que pertencem a retas correspondentes, isto , ponto AApertencendo a reta rr; ponto CC pertencendo a reta (E)(F) dada pelas projees EF e EF.


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3.2.3 Posies da reta (nomenclatura)

Em relao aos planos de projeo, a reta pode ocupar vrias posies, as quais determinam nomese propriedades particulares. So as seguintes retas:

1) Reta qualquer

a reta oblqua aos dois planos de projeo. Sua pura caracterizada por possuir ambas projees

oblquas linha de terra.

2) Retas segundo o paralelismo em relao aos planos de projeo

Reta horizontal (ou de nvel):

a reta paralela ao plano horizontal () e oblqua ao vertical (). Sua pura caracterizada porpossuir a projeo vertical paralela linha de terra e a projeo horizontal oblqua essa mesma linha. Aprojeo horizontal representa a verdadeira grandeza.


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Reta frontal (ou de frente):

a reta paralela ao plano vertical () e oblqua ao horizontal (). Sua pura caracterizada porpossuir a projeo horizontal paralela linha de terra e a projeo vertical oblqua a essa mesma linha. Aprojeo vertical representa a verdadeira grandeza.

Reta frontohorizontal (paralela linha de terra):

a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeo () e (). Sua pura caracterizadapor possuir ambas as projees paralelas linha de terra. Qualquer das projees (que so iguais)representa a verdadeira grandeza.


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3) Retas segundo o perpendicularismo em relao aos planos de projeo

Reta vertical:

a reta perpendicular ao plano horizontal (). Sua pura caracterizada por possuir a projeohorizontal reduzida a um ponto (chamada projeo pontual) e a vertical perpendicular linha de terra, eque representa a V.G.

Obs: A reta vertical sempre paralela ao plano vertical, pois perpendicular ao plano horizontal.

Reta de topo:

a reta perpendicular ao plano vertical (). Sua pura caracterizada por possuir projeo verticareduzida a um ponto (chamada projeo pontual) e a horizontal perpendicular linha de terra, e querepresenta a V.G.

Obs: A reta de topo sempre paralela ao plano horizontal, pois perpendicular ao plano vertical.


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Reta de perfil:

uma reta oblqua dos dois planos de projeo numa posio particular: perpendicular (ouortogonal) linha de terra. A figura abaixo mostra uma reta de perfil situada num plano ( I) que perpendicular aos dois planos de projeo (plano de perfil). A pura caracterizada pelas projeesperpendiculares a linha de terra. A reta de perfil no tem verdadeira grandeza.

Como no estudo do ponto, a reta tambm pode estar contida dentro de qualquer um dos semiplanosou em coincidncia com a linha de terra. No primeiro caso, a reta possuir sempre uma das projees sobrea linha de terra e, no segundo, ambas projees coincidem com essa linha.

Na figura abaixo se observa uma reta situada no plano vertical superior (S) e sua puracorrespondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua prpria projeo vertical, apresenta-se (empura) a projeo vertical acima da linha de terra e a horizontal sobre a mesma.


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Na figura abaixo, observamos uma reta situada no plano vertical inferior (I) e sua puracorrespondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua prpria projeo vertical, apresenta-se (empura) a projeo vertical abaixo da linha de terra e a horizontal sobre a mesma.

Aqui observamos uma reta situada no plano horizontal anterior (A) e sua pura correspondenteNesse caso, em que a reta coincide com sua prpria projeo horizontal, apresenta-se (em pura) aprojeo horizontal abaixo da linha de terra e a vertical sobre a mesma.

Na figura a seguir, observamos uma reta situada no plano horizontal posterior (P) e sua puracorrespondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua prpria projeo horizontal, apresenta-se (empura) a projeo horizontal acima da linha de terra e a vertical sobre a mesma.

Quando a reta coincide com a linha de terra, a pura da figura abaixo sua representao.

As retas podem ainda, ocupar qualquer posio particular dentro dos planos de projeo, isto , compontos em vrios diedros.


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EXERCCIO:

1) Representar as puras das retas (A)(B); (C)(D) e (E)(F) e nome-las:

(A) [-2; 3; 5]

(B) [1; 8; 5]

(C) [0; -4; 3]

(D) [3; -4; 0]

(E) [-3; 8; 1]

(F) [3; 1; 6]

3.2.4. Traos de reta

Chama-se trao de uma reta sobre um plano o ponto em que essa reta fura ou atravessa esse planoLogo, quando uma reta for paralela a um plano, no ter trao sobre esse plano. O trao sobre o plano () o trao vertical e por conveno representa-se por (V), e o trao sobre o plano () o trao horizontal e

por conveno representa-se por (H).Seja na figura abaixo a reta (u) e o ponto (V) a interseo da reta (u) no plano (). Para se obter otrao (V) de uma reta, basta determinar o ponto da reta (u) que tem afastamento nulo.

Em pura, para se achar o trao vertical da reta uu, prolonga-se a projeo horizontal at a linha deterra, onde fica determinada a projeo horizontal V. De V, uma linha de chamada faz conhecer V comoindica a pura. Esse ponto V que coincide com o ponto objetivo (V) um ponto da reta (u) e seuafastamento nulo.

Da mesma maneira, obtm-se o trao horizontal, como seguem as figuras abaixo:


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Ateno: a projeo horizontal V do trao vertical (V) e projeo vertical H do trao horizontal (H) estosempre obrigatoriamente sobre a linha de terra.

Conclui-se ento, que uma reta s possui os dois traos quando oblqua aos dois planos ()()(reta qualquer e reta de perfil). As demais retas, como horizontal, frontal, vertical e de topo, possuemapenas um trao e finalmente, a frontohorizontal, por ser paralela aos dois planos no possui trao nessesplanos.

O conhecimento da determinao dos traos de uma reta nos permite traar retas subordinadas

condio de passarem por diedros dados.Na figura a seguir, a reta (r) do 1 diedro passa pelo 2 e 4 diedros. Vemos que os traos so

obtidos prolongando a reta nos sentidos indicados pelas setas: trao vertical (V) no sentido da seta 1 etrao horizontal (H) no sentido da seta 2. indiferente determinar-se primeiro um ou outro trao. Empura, os traos da reta (r) so obtidos prolongando-se as projees r e r em sentidos contrrios at alinha de terra.

Na figura da reta (u) no 1 diedro passando pelo 4 e 3 diedros, vemos que ambos os traos soobtidos prolongando a reta (u) num nico sentido, indicado pela seta 3. Primeiro, determina-se o traohorizontal (H) e depois o vertical (V). Em pura, os traos da reta (u) so obtidos prolongando-se asprojees u e u no mesmo sentido.

Exemplo:Dada a reta (A)(B) pede-se:(a) Sua pura;

(b) Seus traos;

(c) Os diedros que ela atravessa;

(d) A sua posio no espao.

(A) [0; -2; -1] (B) [4; 2; 2,5]


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Traos de reta de perfil:

Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e (H) e (V) os seus traos respectivamente sobre () e ()Utiliza-se, na reta de perfil, o rebatimento do plano de perfil que a contm, no caso o tringulo (H)V(V)Esse rebatimento consiste em gir-lo de 90 no sentido-horrio, at que fique em coincidncia com o planovertical (), sendo esse giro feito em torno de sua interseco com o plano vertical (), que no caso (V)VCom esse rebatimento, os pontos (A) e (B) descrevero no espao arcos de crculos horizontais e vemcoloca-se em (A1) e (B1) respectivamente, sobre retas traadas por A e B paralelamente a linha de terra.

No plano horizontal o ponto A descreve um arco de crculo de raio AV e vem cair em A1 do mesmomodo que B vem cair em B1. Desses pontos A1 e B1 traam-se no plano vertical as paralelas a (V)V quedeterminam as posies (A1) e (B1) aps o rebatimento.

Vejamos a pura. Seja (A)(B) dada por suas projees A e A e B e B. Faz-se o centro em HV edescrevem-se os raios de crculo AA1 e BB1 at situa-los em A1 e B1 na linha de terra. Traa-seperpendiculares linha de terra e tem-se os pontos (A1) e (B1) e, portanto, a reta (A1)(B1) nos encontroscom as paralelas a linha de terra traadas por A e B respectivamente. Teremos em (A 1)(B1) a verdadeiragrandeza da reta dada e um V(V) do seu trao vertical. No plano horizontal, o trao H e teremos quefazer o alamento (inverso do rebatimento). Assim prolongando a reta (A1)(B1), teremos em H1 sobre alinha da terra o trao horizontal rebatido, ento, com o mesmo centro em HV e raio HH1 descreve-se, emsentido anti-horrio, o arco H1H, sendo H trao horizontal.

Obs.: a regra geral sempre rebater a projeo horizontal no sentido anti-horrio.


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3.2.5. Posies relativas a duas retas

Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M) comum areta (s) e ao plano (). Nota-se que, enquanto a reta (r) estsituada no plano (), a reta (s) tem nesse plano apenas um ponto(M). Ento esse ponto (M) e a reta (r) definem o plano () e a reta(s) a ele no pertence.

Diz-se ento, que as retas (r) e (s) so reversas ou no

coplanares, ou seja, no esto no mesmo plano.Se a reta (s) tambm pertencer ao mesmo plano () da reta(r), as retas so, ento, coplanares, isto , definem um plano,podendo ser concorrentes ou paralelas. Logo, temos as retas (r) e(s) que so concorrentes, pois tem um ponto em comum (M), quese diz prprio, e as retas (r1) e (s1) que so paralelas por no teremponto comum (diz-se que o ponto imprprio, isto , no existe).

Retas concorrentesDuas retas so concorrentes quando:

1 - O ponto de interseo das projees verticais e o das projees horizontais estiverem numamesma linha de chamada. Observa-se essa situao no espao e na sua pura correspondente.

2 - Duas projees de mesmo nome se confundem e as duas outras se cortam. Observa-se essasituao no espao e na sua pura correspondente. Nesse caso, as duas retas concorrentes admitem ummesmo plano projetante e por isso suas duas projees de mesmo nome coincidem. A pura mostra ainda,duas projees horizontais coincidentes e as verticais concorrentes em O. Poderia ser o inverso, ou seja, asprojees horizontais concorrentes e as verticais coincidentes.


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3 - Uma das projees de uma das retas se reduz a um ponto situado sobre a projeo de mesmonome de outra reta. A situao do espao definida pela figura abaixo e na sua pura correspondente. Nocaso, considerou-se uma reta vertical (u) e, portanto, como projeo pontual a horizontal u.

Retas paralelas

Analogamente, aos trs casos anteriores, duas retas so paralelas quando:

1 - As duas projees de mesmo nome so paralelas. Observa-se essa situao no espao e na suapura correspondente.

2 - Duas projees de mesmo nome se confundem e as duas outras so paralelas. o caso dasduas retas paralelas admitirem um mesmo plano projetante. Observa-se essa situao no espao e na suapura correspondente. Poderia ser o inverso, ou seja, as projees horizontais paralelas e as verticaiscoincidentes, o que no altera a condio de paralelismo das duas retas.


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3 - As duas projees sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto. o caso de duasretas verticais ou de topo que obrigatoriamente so paralelas entre si. A situao do espao definida pelafigura abaixo e na sua pura correspondente (retas verticais no caso).

Retas de perfil paralelas ou concorrentes:

No caso de retas de perfil, a condio de paralelismo das projees correspondentes, apesar denecessria no suficiente.

Consideremos dois casos:

1) Retas situadas no mesmo plano de perfil

2) Retas situadas em planos de perfil distintos

No 1 caso, as retas tero a mesma abscissa, elas podero ser paralelas ou concorrentes (nuncareversas, pois esto num mesmo plano).

No 2 caso, podem ser paralelas ou reversas e nunca concorrentes, porque esto situadas cada umaem planos paralelos entre si, todas as retas de qualquer deles sero paralelas ao outro, e nesse caso, asabscissas das retas so diferentes.Duas retas de perfil quando possuem abscissas iguais, logo no mesmo plano de perfil, tero suas projeesde mesmo nome superpostas; quando de abscissas diferentes, tero projees de mesmo nome paralelas.

Observemos as figuras abaixo e suas respectivas puras.


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EXERCCIOS:

1) Representar a pura das retas (A)(B) e (C)(D) e defini-las quanto a posio:

(A) [3; 2; 1](B) [3; 1; 3]

(C) [-3; -2; -2](D) [0; -2; -2]

2) Dada a reta (A)(B), onde (A) [0; 2; -3] e (B) [5; 2; 4], pede-se:

a) Sua pura;b) Seus traos;

c) Os diedros que ela atravessa;d) A sua posio no espao.

3) Por um ponto (A) [2; 2; 2] traar em pura uma reta (A)(B) paralela a uma reta dada (C)(D):(B) [0; ?; ?](C) [-1; -1; 3]

(D) [3; 0; -1]

4) Dada uma reta (A)(B) de perfil, pede-se:a) Sua verdadeira grandeza traada em pura;

b) Os diedros que atravessa.

(A) [0; 3; -3](B) (B) [?; 1; 2]

5) D-se uma reta de perfil (A)(B) e um ponto (M) no mesmo plano da reta. Pede-se traar por (M), em pura,

uma reta (M)(N) de 2 cm e paralela a reta (A)(B).(A) [0; 1; 1]

(B) [0; 3; 3](M) [?; 5; 5,5]

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Apostila Geometria Descritiva(Sarah Rabelo)