1. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC NDICE (GEOMETRIA PLANA) CAPTULO 01- Elementos PrimitivosPag. 06 CAPTULO 02- TringulosPag. 14 CAPTULO 03- Quadrilteros Pag. 22 CAPTULO 04- Polgonos Regulares Pag. 28 CAPTULO 05- ngulos Relacionados a ArcosPag. 32 CAPTULO 06- Relaes Mtricas na Circunferncia Pag. 39 CAPTULO 07- Teorema de TalesPag. 42 CAPTULO 08- Semelhana de TringulosPag. 44 CAPTULO 09- Relaes Mtricas no Tringulo RetnguloPag. 51 CAPTULO 10- reas de Figuras Planas Pag. 54 CAPTULO 11- reas de Figuras Circulares Pag. 64 CAPTULO 12- Questes de VestibularesPag. 70 GABARITO DAS QUESTESPag. 84Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 5

2. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECCaptulo 1 Elementos Primitivos1) DEFINIES DE ELEMENTOS BSICOS DA GEOMETRIA1.1) PONTO: a menor unidade de medida da Geometria. No existe nada menor do que o ponto na Geometria Plana.1.2) RETA: formado por infinitos pontos colineares ( isto , em uma mesma linha). Uma reta no possui origem e destino, portanto um ente geomtrico infinito.1.3) PLANO: formado por infinitas retas e consequentemente tambm formado por infinitos pontos. r PPlano Ponto PReta r 1.4) SEMIRETA: uma reta que possui um ponto de origem mas no possu um ponto de destino.semi reta AB A1.5) SEGMENTO DE RETA: uma reta que possui um ponto de origem e outro ponto de destino. Bsegmento AB AProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 6 3. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC2) NGULOS2.1) REGIO CONVEXA : Uma regio convexa se, se somente se, o segmentodeterminado por dois pontos quaisquer dessa regio estiver contido nela.2.2) REGIO CNCAVA: Uma regio cncava se, e somente se, existir algumsegmento de reta cujas extremidades pertence a ela, mas no esteja contido nela.2.3) NGULOS A unio de duas semi-retas distintas no opostas de mesma origem chamamosngulo. Considere as semi-retas PA e PB no colineares da figura. O conjunto uniodessas duas semi-retas chamado ngulo. As semi-retas PA e PB so chamadas ladosdesse ngulo. O ponto P chamado vrtice desse ngulo.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 7 4. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC2.3.1) EXTERIOR E INTERIOR DE UM NGULO Dois semi-planos abertos (semi-plano menos a reta que a origem)determinados pelas retas que contm os lados do ngulo, considere aqueles que nocontm pontos do ngulo. O conjunto unio desses dois semi-planos chamado exteriordo ngulo. O conjunto complementar, em relao ao plano do ngulo, da unio dessengulo com seu exterior chamado interior do ngulo. 2.3.2) SEMI-RETA INTERNA A UM NGULOUma semi-reta interna a um ngulo quando tem origem no vrtice do ngulo epontos internos do ngulo pertencem a ele 2.3.3) NGULOS CONSECUTIVOS Dois ngulos so consecutivos quando tm o mesmo vrtice e tm um lado emcomum. APB e BPC so consecutivos (tm o lado PB comum). Note que neste casoeles tm apenas os pontos de um lado comum.RDT e RDS so consecutivos (tm o lado RD comum). Note que neste casoeles tm tambm pontos internos em comum.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha8 5. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC2.3.4) NGULOS ADJACENTESDois ngulos so chamados adjacentes se so consecutivos e no tm pontosinternos em comum. APB e BPC so adjacentes. APB e APC so consecutivos e no so adjacentes. 2.3.5) NGULOS CONGRUENTES Dois ngulos so congruentes se, e somente se, tm a mesma medida. 2.3.6) BISSETRIZ DE UM NGULO uma semi-reta interna a esse ngulo que o divide em duas partes iguais.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha9 6. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC 2.3.7) NGULO RETO o ngulo que tem a sua medida valendo 90o e sua representao dada porduas semi-retas perpendiculares. 2.3.8) NGULO AGUDO E OBTUSO Se um ngulo no nulo for menor que um ngulo reto, ele chamado nguloagudo e se um ngulo no raso (180o ) for maior que um ngulo reto ele chamadongulo obtuso. 2.3.9) NGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARESDois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas for 90.Cada um deles chamado complemento do outro.Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas for 180.Cada um deles chamado suplemento do outro.Dois ngulos so replementares quando a soma de suas medidas for 360.Cada um deles chamado replemento do outro.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 10 7. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC 2.3.10) NGULOS NULO, COMPLETO, RASO E RETO ngulo nulo aquele que tem medida igual a 0. ngulo completo aquele que tem medida igual a 360. ngulo raso aquele que tem medida igual a 180o . ngulo reto aquele que tem medida igual a 90o . 2.3.11) NGULOS OPOSTOS PELO VRTICE um par de ngulos formados por duas retas concorrentes e por sua vez , possuem a mesma medida.EXERCCIOS DE FIXAOQ1. Sejam AB e BC segmentos adjacentes e sejam M e N pontos mdios de AB e AC,respectivamente. Se AB = 4 cm e BC = 10 cm, a medida de MN, em centmetros, :a) 2b) 5c) 7d) 9e) 14Q2. Sejam A, M, B e N pontos colineares nesta ordem. Sabendo que AB = 12 e queMA NA== 3 , a medida de MN :MB NBa) 6b) 8c) 9d) 15e) 18Q3. Seja O o ponto mdio de um segmento AB e seja M um ponto qualquer situado em umdos prolongamentos de segmento AB. Assinale a alternativa VERDADEIRA. 1 13a) OM =( MA + MB) c) OM =( MA + MB)e) OM =( MA + MB) 2 44 1 2b) OM = ( MA + MB)d) OM = ( MA + MB) 3 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 11 8. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ4. As bissetrizes de dois ngulos consecutivos formam um ngulo de 60o . Se um dosngulos mede 36o, a medida do outro :a) 72ob) 84oc) 86od) 94oe) 100oQ5. O suplemento de um ngulo excede o prprio ngulo em 50o . o complemento dessengulo mede em graus:a) 65b) 50c) 45d) 35e) 25Q6. A diferena entre o complemento de um ngulo e a nona parte de seu suplemento de6o . A medida desse ngulo, em graus, :a) 36b) 45c) 67d) 72e) 80Q7. (UFMG) Na figura, BE ED , AE EC e AED = 144o . O ngulo BEC , em graus, mede; a) 30ob) 32oc) 34od) 36oe) 54oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha12 9. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ8. Classifique em verdadeira ou falsa as seguintes sentenas.a) ( ) Dois ngulos consecutivos so adjacentes.b) ( ) Dois ngulos adjacentes so consecutivos.c) ( ) Dois ngulos adjacentes so opostos pelo vrtice.d) ( ) Dois ngulos opostos pelo vrtice so adjacentes.e) ( ) Dois ngulos opostos pelo vrtice so consecutivosf) ( ) Dois ngulos suplementares so adjacentes.g) ( ) Dois ngulos complementares so adjacentesh) ( ) Dois ngulos adjacentes so complementaresi) ( ) Os ngulos de medida 10o, 20o e 60o so complementaresj) ( ) Os ngulos de medidas 30o, 60o, 90o so suplementaresQ9. O suplemento de um ngulo excede este ngulo em 120o . Determine este ngulo.Q10. O complemento da tera parte de um ngulo excede o complemento desse ngulo em30o . Determine esse ngulo.Q11. O suplemento do triplo do complemento da metade de um ngulo igual ao triplo docomplemento desse ngulo. Determine esse ngulo.Q12. O suplemento do complemento de um ngulo excede a tera parte do complemento dodobro desse ngulo em 85o . Determine esse ngulo.Q13. Dois ngulos so suplementares e a razo entre o complemento de um e o suplementodo outro, nesta ordem, 1/8 . Determine esses ngulos.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha13 10. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECCaptulo 2Tringulos1) DEFINIODados trs pontos A, B e C no de uma mesma reta ( no alinhados ou no colineares )a unio dos segmentos AB, AC e BC chamamos tringulo ABC e indicamos por ABC .2) ELEMENTOS DE UM TRINGULOVRTICES : so os pontos A, B e CLADOS: so os segmentos AB, AC e BC NGULOS INTERNOS: so os ngulos BAC , ABC e ACBNGULOS EXTERNOS: Os ngulos adjacentessuplementares dos ngulos internos de um tringulo. , e so ngulos externos do tringuloPermetro: a soma das medidas dos lados.2p = a+ b+ c ( permetro )Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 14 11. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC3) CLASSIFICAO DOS TRINGULOS3.1) QUANTO AOS LADOS Tringulo Equiltero: Possui todos os lados congruentes. Tringulo Issceles: Possui dois lados congruentes. Tringulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes.3.2) QUANTO AOS NGULOS Tringulo Acutngulo: Todos os seus ngulos so agudos. Tringulo Retngulo: Um de seus ngulos reto. Tringulo Obtusngulo: um de seus ngulos obtuso.4) MEDIANA, BISSETRIZ, ALTURA E MEDIATRIZ4.1) Mediana : o segmento cujas extremidades so um vrtice e o ponto mdio do ladooposto a esse vrtice. AM a mediana relativa ao lado BC ou mediana relativa ao vrtice A. As trs medianas de um tringulo concorrem num mesmo ponto G que chamado baricentro do tringulo. Propriedade do BARICENTRO: O baricentro divide cada mediana na proporo 2 : 14.2) Bissetriz: o segmento contido na bissetriz de um ngulo interno do tringulo, cujasextremidades so um vrtice e o ponto de interceco da bissetriz com o lado oposto.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 15 12. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECAS a bissetriz relativa ao lado BC ou bissetriz relativa ao vrtice A. As trs bissetrizes de um tringulo concorrem num mesmo ponto O que chamado incentro do tringulo. Propriedade do INCENTRO: O incentro o centro de uma circunferncia inscrita no tringulo4.3) Altura : o segmento contido numa reta perpendicular, por um vrtice, reta quecontm o lado posto a esse vrtice, cujas extremidades so esse vrtice e o ponto deinterseco dessas retas. AH a altura relativa ao lado BC ou altura relativa ao vrtice A. As trs alturas de um tringulo concorrem num mesmo ponto P que chamado ortocentro do tringulo. Propriedade do ORTOCENTRO: O ortocentro o vrtice do ngulo reto no tringulo retngulo4.4) Mediatriz: a reta perpendicular a cada um de seus lados pelo seu ponto mdio. As trs mediatrizes de um tringulo concorrem num mesmo ponto P que chamado circuncentro do tringulo. Propriedade do CIRCUNCENTRO: O circuncentro o centro de uma circunferncia circunscrita ao tringuloProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 16 13. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC5) SOMA DOS NGULOS DO TRINGULO.5.1) SOMA DOS NGULOS INTERNOSA soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180o. Conseqncia: Os ngulos agudos de um tringulo retngulo so complementares.5.2) SOMA DOS NGULOS EXTERNOSA soma dos ngulos externos de um tringulo, igual a soma dos doisngulos internos opostos.OBSERVAES:Em um tringulo issceles, os ngulos da base so congruentes.Em um tringulo equiltero os seus ngulos so congruentes e iguais a 60o .ngulos de Duas Paralelas Cortadas por uma TransversalDadas duas retas r e s paralelas cortadas poruma transversal, os ngulos determinados porelas so assim determinados:ALTERNOS INTERNOS: (a e f) e ( d e e)esses pares de ngulos so congruentes.ALTERNOS EXTERNOS: (b e g) e ( c e h) esses pares de ngulos so congruentes.COLATERAIS INTERNOS: (a e e) e ( d e f)esses pares de ngulos so suplementares.COLATERAIS EXTERNOS: (b e h) e (c e g)esses pares de ngulos sosuplementares.CORRESPONDENTES: (b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f) esses pares de ngulos socongruentes.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 17 14. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC EXERCCIOS DE FIXAOQ1. Observe a figura. Nela, as retas r e s so paralelas. A medida do ngulo x, em graus :a) 110ob) 120oc) 130od) 140oe) 150oQ2. (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r so paralelas, e a reta s perpendicular reta t. amedida, em graus, do ngulo :a) 36ob) 32oc) 24od) 20oe) 18oQ3. (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s so paralelas. A medida do ngulo b :a) 20ob) 80oc) 100od) 120oe) 130oQ4. O ngulo B, no vrtice de um tringulo issceles ABC, metade do ngulo A. A medidado ngulo C, em graus, :a) 30ob) 36oc) 45od) 60oe) 72oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 18 15. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC Q5. (UFMG) Na figura, BD bissetriz de ABC , ECB = 2 ( EAB) e a medida do ngulo ECB 80o . A medida do ngulo CDB :a) 40ob) 50oc) 55od) 60oe) 65oQ6. (UFMG) Na figura, AC = CB = BD = e = 25o . O ngulo x mede:a) 50ob) 60oc) 70od) 75oe) 80oQ7. (UFMG) Observe a figura. Nessa Figura, AD = DB, C = 60o e DC o dobro de B . Arazo AC/BC igual a: Aa) 1/3b) 1/2c) 3 3d) 2 2d) 3/2B DCoQ8. Em um tringulo retngulo, um ngulo agudo mede 20 . O ngulo formado pela bissetrizdo ngulo reto com a mediana relativa hipotenusa mede, em graus:a) 22o30b) 25oc) 20od) 30oe) 40oQ9. (UFMG) Num tringulo ABC, o ngulo interno C mede radianos. Se a bissetriz 6interna do ngulo A corta o lado BC no ponto D tal que AD = DC, ento o ngulo interno bmede:a) /2 c) /6e) n.d.ab) /3 d) /4Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha19 16. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ10. Num tringulo retngulo, as bissetrizes dos ngulos agudos se interceptam formandoum ngulo obtuso de:a) 100ob) 120oc) 130od) 135oe) 150oQ11. (UFMG) Num tringulo ABC, o ngulo mede /7 radianos. A medida do ngulo agudo formado pelas bissetrizes internas dos ngulos B e C , em radianos :a) /7b) 2 /7c) 3 /7d) 4 /7e) 5 /7 Q12. (UFMG) Num tringulo ABC, tem-se : AB = AC e = 124o 22 50. O ngulo B mede:a) 27o 18 5b) 27o 47 35c) 27o 48 5d) 27o 48 25e) 27o 48 35Q13. Observe a figura. Nela os tringulos so formados com os prolongamentos dos ladosdo heptgono, no regular, ABCDEFG. A soma A1+A2+ ... + A14, em graus mede:a) 180ob) 240oc) 360od) 540oQ14. Observe a figura. Nela AB = AC e AD = DE = EF = FB = BC. A medida do ngulo , emgraus :a) 20b) 30oc) 36od) 45oe) 60oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha20 17. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ15. Num tringulo ABC, escaleno, AB = 3m, BC = 5m e o permetro, em metros, umnmero inteiro. A soma dos possveis valores do lado AC :a) 35b) 27c) 25d) 17e) 15Q16. Um Tringulo escaleno ABC tem os lados AB=6, AC=10 e o lado BC medido por umnmero inteiro. Sendo o maior ngulo do tringulo. A diferena entre a maior e a menormedida do lado BC :a) 4b) 5c) 8d) 9e) 10Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 21 18. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC Captulo 3Quadrilteros2) DEFINIOConsidere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, trs a trs no colineares (noalinhados), de modo que os segmentos AB , BC , CD e AD interceptam-se apenas nasextremidades, a reunio desses quatro segmentos um quadriltero.1.1) PROPRIEDADES DE UM QUADRILTEROA soma dos ngulos internos de um quadriltero convexo igual a 360o A soma dos ngulos externos de um quadriltero convexo igual a 360o 1.2) TRAPZIO Um quadriltero um trapzio se, e somente se, tem dois lados paralelos. Os lados paralelos so chamados de bases. 1.2.1) CLASSIFICAO DO TRAPZIOTRAPZIO ISSCELES: o trapzio cujos lados que no so bases socongruentes.TRAPZIO ESCALENO: o trapzio cujos lados que no so bases, no socongruentesTRAPZIO RETNGULO: o trapzio que tem um lado no base perpendiculars bases e o outro oblquo s bases.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha22 19. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC 1.3) PARALELOGRAMOUm quadriltero que possui os lados opostos respectivamente paralelos. EXERCCIOS DE FIXAO Q1. No paralelogramo ABCD da figura, ABC o dobro de AMD e AM = MB. Se o permetrode ABCD 24 cm, ento o lado BC, em centmetros, :a) 4 cmb) 5 cmc) 6 cmd) 8 cme) 9 cmQ2. (UNESP) Considere as seguintes proposies: todo quadrado um losango todo retngulo um paralelogramo todo quadrado um retngulo todo tringulo equiltero isscelesPode-se afirmar que:a) s uma verdadeirab) todas so verdadeiras c) s uma falsad) duas so verdadeiras e) todas so falsasProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha23 20. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ3. (UFMG) Seja P o conjunto de todos os paralelogramos. Seja R o conjunto de todos osretngulos. Seja L o conjunto de todos os losangos. Seja Q o conjunto de todos osquadrados. Marque a alternativa ERRADA.a) RPb) LPc) RL =Qd) Q R =e) RL = PQ4. (FUVEST) No retngulo a seguir, o valor em graus de + :a) 50b) 90c) 120d) 130e) 220Q5. Na figura, ABCD um quadrado e DCE um tringulo equiltero. A medida do nguloAEB , em graus :a) 150b) 120c) 110d) 75Q6. Observe a figura. Nela ABCD um retngulo e o tringulo DEC equiltero. Se AB = 12cm, ento , o segmento EF, em centmetros, medea) 2b) 3c) 4d) 5Q7. Num quadriltero convexo ABCD, as diagonais AC e BC medem, respectivamente, 12cm e 8 cm. Unindo-se os pontos mdios dos lados do quadriltero ABCD, obtemos um novoquadriltero cujo permetro, em centmetros, :a) 10b) 15c) 20d) 24Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 24 21. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ8. Na figura. M e N so pontos mdios de AB e AC, respectivamente. Assinale a afirmativaFALSA.a) MN // BCb) AC + BC = 2 CMc) BC = 2 MNd) PC = 2PMe) PB = 2 PNQ9. Na figura abaixo, o ponto Q mdio de AB, e o segmento PQ paralelo ao lado BC.Sendo AC = 30, a medida do segmento PM :a) 5b) 10c) 15d) 20e) 25Q10. (UFMG) NA figura, ABCD um paralelogramo e M o ponto mdio de DC.Se AM = 6 , a medida de AO, em cm, : 3a) 3 4 5b) 6 9 2c) 6 3 7d) 6 9e) 2Q11. Observe a figura abaixo. Nela, AB = 3 cm, AC = 9 cm, BD = CD, BDA = 1 reto ,e M ponto mdio de BC. O valor do segmento DM, em centmetros :a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 25 22. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ12. Na figura, ABCD um paralelogramo, EF AD e AE = ED. Se BF = 40o, ento BCD , em graus, mede:a) 100ob) 110oc) 120od) 130oQ13. No trapzio issceles da figura, DB bissetriz de D e perpendicular a BC. O ngulo xmede:a) 30ob) 35oc) 40od) 45oe) 50oQ14 (FUVEST) No trapzio ARTP da figura, RB e AB esto contidos nas bissetrizes de R eA. Se B = 70o , o valor de P + T :a) 140ob) 130oc) 120od) 110oe) 100oQ15. (UFMG) O trapzio ABCD issceles, com AB // DC, AD = BC. A diagonal AC perpendicular ao lado BC. Os ngulos agudos do trapzio so a metade dos seus ngulosobtusos. A base menor mede 2 cm. A medida de AD, em cm. :a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha26 23. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ16. Na figura, M e P so , respectivamente, pontos mdios de AB e MB. Se MN = 8, PQmede:a) 10b) 12c) 16d) 18e) 24Q17. (FAAP) No trapzio abaixo, o segmento MN que une os pontos mdios M e N dasdiagonais e a base AB tm ambos 7 cm de comprimento. Calcular o comprimento l da baseDC.a) 7b) 10c) 12d) 21Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha27 24. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECCaptulo 4Polgonos Quaisquer e Polgonos regulares1) DEFINIOUm polgono simples um polgono convexo, se e somente se, a reta determinada pordois vrtices consecutivos quaisquer deixa todas os demais (n-2) vrtices num mesmosemiplano dos dois que ela determina. Se um polgono no polgono convexo, diremos queele um plano cncavo. 1.1) NOMENCLATURA De acordo com o nmero n de lados, alguns polgonos convexos recebemnomes especiais. Isto : Observao: O nmero de vrtices de um polgono igual ao nmero de lados 1.2) SOMA DOS NGULOS INTERNOS A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo de n lados dada pela expresso a seguir: Si = ( n 2)180 oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 28 25. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC 1.3) SOMA DOS NGULOS EXTERNOSA soma das medidas dos ngulos externos de um polgono convexo de n lados dada por:Se = 360o 1.4) NMERO DE DIAGONAISO nmero de diagonais de um polgono convexo de n lados dado pelaexpresso a seguir: n(n 3)d=22) POLGONOS REGULARES Quando se trata de polgonos regulares podemos verificar as seguintes definies: 2.1) ngulo Interno ( Ai ) e ngulo Externo ( Ae )Como um polgono regular de n lados tem n ngulos internos congruentes entre si, temos:Si (n 2)180o Se 360oAi = = eAe = =n nn nProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha29 26. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC EXERCCIOS DE FIXAOQ1. Se em um polgono convexo, o nmero de diagonais quatro vezes o nmero de lados,ento, a quantidade de ngulos retos que cabem na soma de seus ngulos internos, :a) 9b) 11c) 12d) 16e) 18Q2. De um dos vrtices de um polgono convexo podemos conduzir, no mximo 9 diagonais.A soma de seus ngulos internos, em graus, :a) 720ob) 1080oc) 1440od) 1800oe) 2160oQ3. O nmero de lados de dois polgonos convexos so nmeros pares consecutivos e umdeles possui 11 diagonais a mais do que o outro. A soma do nmero de lados dessepolgono :a) 12b) 14c) 16d) 18e) 20Q4. (PUC-MG) Qual polgono regular possui ngulo interno de 108o ?a) Pentgonob) Hexgonoc) Heptgonod) Octgonoe) DodecgonoQ5. (PUC) O ngulo formado pelas bissetrizes internas de dois ngulos consecutivos de umpolgono regular de 20 lados, em graus, :a) 80b) 72c) 36d) 20e) 18Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 30 27. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ6. Dados dois polgonos com n e n+6 lados, respectivamente, calcule n, sabendo que umdos polgonos tem 39 diagonais mais do que o outro.Q7. Trs polgonos convexos tm n, n+1, n+2 lados, respectivamente. Sendo 2700o a somade todos os ngulos internos dos trs polgonos, determine o valor de n.Q8. Os nmeros que exprimem o nmero de lados de trs polgonos so n-3, n, n+3.Determine o nmero de diagonais de cada um dos polgonos, sabendo que a soma de todosos seus ngulos internos vale 3240o .Q9. Trs polgonos tm o nmero de lados expressos por nmeros inteiros consecutivos,sabendo que o nmero total de diagonais dos trs polgonos igual a 28, determine opolgono com maior nmero de diagonais.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha31 28. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC Captulo 5 ngulos Relacionados a Arcos3) DEFINIES BSICAS CORDA: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferncia. DIMETRO: Qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferncia. ARCO: Qualquer uma das duas partes em que uma circunferncia fica dividida por dois quaisquer de seus pontos. Esses dois pontos so as extremidades dos arcos.4) NGULO CENTRAL Dada uma circunferncia de centro O, ngulo central qualquer ngulo que temvrtice em O AB ngulo central Os lados do ngulo central determinam na circunferncia dois pontos, no caso, A e B. A medida do menor arco AB j foi definida como a medida do ngulo AB. Ento, sendo a a medida do arco AB, sabemos que a tambm a medida de AB. A medida do ngulo central igual a medida do arco compreendido entre seus lados: m(AB) = m(AB) Para simplificar: AB = aProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha32 29. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC3) NGULO INSCRITO Dada uma circunferncia, dizemos que um ngulo inscrito nessa circunferncia se oseu vrtice um ponto dela e os seus lados contm, cada um deles, uma corda.AB = 24) NGULO EXCNTRICO INTERIORB C V AB + CD = DA2OA medida de um ngulo de vrtice interno circunferncia igual semi-soma das medidasdos arcos determinados pelo seus lados5) NGULO EXCNTRICO EXTERIORBC AB CD =2 V D A A medida de um ngulo de vrtice externo circunferncia igual semi-diferena dosarcos determinados pelo seus lados.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 33 30. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC6) NGULO DE SEGMENTOABV=B = A 2 OA medida de um ngulo de segmento igual metade do arco por ele determinado.7) SEGMENTOS TANGENTES Toda reta tangente circunferncia perpendicular ao raio no ponto de tangncia. Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos tangentes a umacircunferncia, com A e B na circunferncia entoPA = PB.8) QUADRILTERO CIRCUNSCRITOUm quadriltero circunscrito a uma circunferncia se, e somente se, seus quatro ladosso tangentes circunferncia. Se um quadriltero convexo circunscrito a umacircunferncia, a soma de dois dos seus lados opostos igual soma dos outros doislados.Logo AB+CD = AD + BCProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 34 31. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ1. Observe a figura. Nela AB = OD e = 25 . Sabendo que O o centro da circunfernciaa medida de CBE , em graus, :f) 30og) 37o 30h) 45oi) 60oj) 75oQ2. Observe a figura. Nela, A, B e C so pontos da circunferncia de centro O. Sabendo que,OC = a , OBC = b , ACB = c , podemos afirmar que f) a=b+cg) b=a+ch) c=a+bi) 2b = a - cj) 2a = b - cQ3. Observe a figura. Nela A, B, C ,D e E so pontos da circunferncia de centro O,EPA = 25o e AO = PD. Medida de DBE , em graus : f) 25og) 30oh) 35oi) 40oj) 45oQ4. Na figura AB e CD so respectivamente os lados do quadrado e tringulo equilteroinscrito no crculo. A diferena , em graus, :f) 85og) 95oh) 100oi) 105oj) 80oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha35 32. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ5. Numa circunfer6encia de centro O, os pontos A, B e C so vrtices de um tringuloequiltero. Seja D um quarto ponto da circunferncia no coincidente com os demais. Sobrea medida x do ngulo ADC , podemos afirmar quef) 60og) 120oh) 60o ou 120oi) 45oj) 45o ou 150oQ6. Numa circunferncia est inscrito um tringulo ABC. Seu lado BC igual ao raio dacircunferncia. O ngulo BAC mede:a) 15ob) 30oc) 36od) 45oe) 60oQ7. Na figura temos O como o centro do crculo, AB = AC , BH = HC e AM = MC. A relao e : a) = 2b) = 2 c) = d) =3e) + = 90oQ8. Observe a figura. Nela, os pontos B, C, D e E pertencem circunferncia. Se ADE = 40oe DCE = 50o , ento a medida do ngulo DE, em graus :a) 10ob) 20oc) 30od) 40oe) 50oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 36 33. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ9. Na figura, O o centro de uma circunferncia cujo raio igual a PA.. O ngulo central xmede:k) 80ol) 40om) 35on) 30oo) 20oQ10. Na figura abaixo, AP tangente e AB secante circunferncia. Se o arco b = 100o e = 50o, a medida do arco a, em graus, igual a:k) 50ol) 60om) 65on) 75oo) 80oQ11. Na figura, APB = e AEB = . O ngulo PD = x, em funo de e , : 2 k) 2 l) 2 +m) 3n) + Q12. Observe a figura. Nela, o quadriltero ABCD est inscrito na circunferncia de centroO. Se ADC = 112o , a medida de EBC : k) 68ol) 72om)108on) 112oo)120oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha37 34. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ13. Observe a figura. Nessa figura D um ponto da circunferncia de centro C e dimetroAB, e M e N so pontos mdios dos segmentos AC e AD, respectivamente. A medida MN emfuno do dimetro AB : ABk)5 2l)AB 5 ABm) 4 ABn)3 ABo) 2Q14. Na figura, o crculo est inscrito no tringulo ABC cujos lados medem AB = 9 cm, BC =8 cm e AC = 5 cm e M o ponto de tangncia. A medida de MB :f) 5 cmg) 5,5 cmh) 6 cmi) 6,5 cmj) 7 cmQ15. Se AB = 10 cm, ento o permetro hachurado vale (E, B e T so pontos de tangncia)f) 10 cmg) 15 cmh) 20 cmi) 30 cmj) N.D.AProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 38 35. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC Captulo 6Relaes Mtricas na Circunferncia1) Relao entre duas cordas Quando duas cordas se cruzam no interior de um crculo, o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre essas cordas igual ao produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra.A DPPA PB = PC PDC OB2) Relao mtrica das secantes Quando duas secantes se cortam externamente a um crculo, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa igual ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte externa.A B P PA PB = PC PDO D C3) Relao mtrica entre secante e tangente Quando, de um ponto exterior, traamos uma tangente e uma secante a um crculo, a medida da tangente a mdia proporcional entre a medida da secante inteira e a medida da sua parte externa.t A PR PA 2 = PB PC em que t OAO BCProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha39 36. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC EXERCCIOS DE FIXAOQ1. Observe a figura. Nela DP > PC, AP = 9 cm, BP = 4 cm e CD = 15 cm. O comprimentode segmento DP, em cm, :a) 3b) 6c) 9d) 12e) 14Q2. Observe a figura. Nela , O o centro do crculo, OC = 5 cm, AB = 12 cm e BC = 2 cm. Oraio do crculo, em centmetros, :a) 3 5b) 3 6c) 3 3d) 5 3e) 6Q3. Observe a figura. Nela C o centro da circunferncia, AB = 10 cm, PB = 8 cm e PC = 16cm. O raio da circunferncia, em centmetros, mede:a) 10b) 11c) 4 7d) 6 3Q4. Ne figura, AB tangente ao crculo e AE secante passando pelo centro C. Se AB = 15cm e AD = 9 cm, ento o raio do crculo, em cm, mede;a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 40 37. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ5. Na figura, o dimetro AB perpendicular corda CD no ponto E. Se AE x EB = 2, entoa corda CD mede:p) 2q) 2r) 5s) 8t) N.R.A.Q6. Numa circunferncia de raio 13 metros, traa-se uma corda de 24 metros. A distncia dacorda ao centro da circunferncia , em metros:a) 5b) 8c) 11d) 20e) 25Q7. Na figura, PB = 25 cm e BC = 144 cm. Se PA tangente circunferncia, ento PAmede:a) 13b)50c) 60d) 65e) 70Q8. Na figura, O o centro da circunferncia; AB = a, AC = b e AO = x. O valor de x, emfuno de a e b, : a+ba) 2b) a bc) 2 a 2 b 2 a2 bd) 2b 2e) impossvel calcular por falta de dadosProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha41 38. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC Captulo 7 Teorema de Talles1) DEFINIES Feixe de Paralelas : um conjunto de retas pertencentes a um mesmo plano ( coplanares ) paralelas entre si. Transversal do feixe de retas paralelas: uma reta do plano do feixe que concorre com todas as retas do feixe. Pontos correspondentes de duas transversais: So pontos destas transversais que esto numa mesma reta do feixe. Segmentos correspondentes de duas transversais: So segmentos cujas extremidades so os respectivos pontos correspondentes.A e A, B e B, C e C, D e D so pontos correspondentesAB e AB, CD e CD so segmentos correspondentes2) TEOREMA DE TALLES Se duas retas so transversais de um feixe de retas paralelas, ento a razo entre doissegmentos quaisquer de uma delas igual razo entre os respectivos segmentoscorrespondentes da outra. No caso da figura acima, podemos dizer que:AB BCCD AD = === ... ou seja, os segmentos correspondentes formam um proporo.A B BCCD A DProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha42 39. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECEXERCCIOS DE FIXAOQ1. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t so paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm eDF = x+3. A medida de x, em centmetros a) 2b) 3c) 4d) 6e) 9Q2. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t so paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF = 6cm. A medida do segmento BE, em centmetros, :a) 4,8b) 6c) 7,2d) 8,8e) 9,6Q3. Os tringulos ABE e ACD so retngulos em B e C, respectivamente. Sabendo-se queAB = 3 cm, BC = 2 cm e AE = 4 cm, a medida de AD :a) 7 cm 15b)cm4 20c)cm3 15d)cm5e) N.D.AProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha43 40. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECCaptulo 8 Semelhana de Tringulos1) DEFINIESDois tringulos so semelhantes se, e somente se, possuem os trs ngulosordenadamente congruentes e os lados homlogos ( correspondentes ) proporcionais. Dois lados homlogos so tais que cada um deles est em um dos tringulos e ambosso opostos a ngulos congruentes.2) RAZO DE SEMELHANAa b cSendo k a razo entre os lados homlogos,= = = k , k chamado razo deab c semelhana dos tringulos.Se k = 1, os tringulos so congruentes.3) CASOS OU CRITRIOS DE SEMELHANA. 1O CASO (AA)Se dois tringulos possuem dois ngulos ordenadamente congruentes, ento eles sosemelhantes.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 44 41. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC 2O CASO (LAL)Se dois lados de um tringulo so proporcionais aos homlogos de outro tringulo e osngulos compreendidos so congruentes, ento os tringulos so semelhantes. 3O CASO (LLL)Se dois tringulos tm os lados homlogos proporcionais, ento eles so semelhantes.4) CONSEQUNCIAS DOS CASOS DE SEMELHANA:Se a razo de semelhana de dois tringulos k, ento: A razo entre lados homlogos k; A razo entre os permetros k; A razo entre as alturas homlogas k; A razo entre as medianas homlogas k; A razo entre as bissetrizes internas homlogas k; A razo entre os raios dos crculos inscritos k; A razo entre os raio dos crculos circunscritos k; A razo entre dois elementos lineares homlogos k;E os ngulos homlogos so congruentes.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 45 42. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECEXERCCIOS DE FIXAOQ1. Os lados de um tringulo ABC so AB = 15 cm, BC = 10 cm e AC = 20 cm. Se AM = 3cm, MN // AC e MP // BC, o permetro do paralelogramo MNCP, em centmetros :a) 26b) 30c) 32d) 36e) 40Q2. Se a altura de um tringulo escaleno 10,2 metros, o baricentro dista da base:a) 2,5 mb) 5,1 mc) 3,6 md) 3,7 me) 3,4 mQ3. Na figura AC // BD e BC // DE. Ento:a) OB = (3OA)(OE )OA + OEb) OB = 2c) OB = 2 (OA)(OE )d) OB = (OA)(OE )e) OB = (OA)(OE )Q4. Num tringulo ABC, AB = 6 cm e BC = 3 cm. Se a bissetriz NA determina sobre o ladoBC o segmento BN =1,8 cm, a medida do lado AC, em centmetros, :a) 1,2b) 3,8c) 4d) 4,2e) 5,6Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha46 43. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ5. No tringulo ABC, de permetro igual a 88 cm, a bissetriz do ngulo A determina sobre olado BC, que mede 22 cm. Segmentos de 12 cm e 10 cm. Calcule os outros dois lados dotringulo.a) 28 e 38b) 26 e 40c) 22 e 44d) 30 e 36e) n.d.aQ6. Num tringulo issceles ABC, de 15 cm de permetro, a base AC = 3 cm. Se AM e ANso respectivamente, mediana e bissetriz, ento, o segmento MN, em centmetros, mede;a) 1b) 1,6c) 2d) 2,4e) n.d.aQ7. Na figura, os ngulos assinalados so retos, temos, necessariamente, x pa) = y m x mb) = y pc) xy = pmd) x2 + y 2 = p2 + m2 1 1 1 1e) + = + x y m pQ8. Na figura ABCD paralelogramo BE perpendicular a CD e BF perpendicular a CD.Se BE = 12 , BF = 6 e BC = 8, ento AB mede:a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha47 44. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ9. O losango ADEF est inscrito no tringulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 m, BC= 8 cm e AC = 6 m, o lado l do losango mede:a) 5mb) 3mc) 2md) 4me) 8mQ10. No paralelogramo ABCD da figura, AB = 4 3 m, AD = 3 m e BM = 2 m. O segmento CNmede:3a) 2b) 3c) 2 3 5 3d)2e) 3 3Q11. Na figura ADEF um quadrado e ABC, um tringulo cujos catetos AB e AC mede 1 cme 3 cm , respectivamente. O lado do quadrado, em cm , : 1a) 4 1b) 3 1c) 2 3d) 4 2e) 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 48 45. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ12. No trapzio ABCD, MN paralelo a AB. Se AB = 36 cm, DC = 12 cm e as alturas dostrapzios ABCD e MNCD so, respectivamente, 15 cm e 10 cm, pode-se afirmar que amedida de MN, em cm, :a) 16b) 24c) 28d) 36e) 48Q13. Na pirmide regular de base quadrada da figura, M o ponto mdio de DE, CMpertence ao plano da base, CM perpendicular a DE e AB perpendicular a CM. Se DE =200 m, AB = 5 m, AC = 7 m e AM = 75 m, ento a altura da pirmide, em metros :a) 150b) 145c) 140d) 135e) 130Q14. Observe a figura. Nessa figura, os segmentos AD e BC so paralelos, AD = 8, AB = 3 eBC = 7. Sendo P o ponto de interseo das retas AB e DC, a medida do segmento BP :a) 22b) 21c) 24d) 23Q15. O tringulo ABC da figura ( BC = 3m ) sofre um deslocamento lateral de 2 m ocupandoa posio do tringulo ABC. Sabendo que o permetro do tringulo ABC 16 cm, ento opermetro do tringulo BCD em metros:a) 16b) 16/3c) 8d) 6e) 4/3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 49 46. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ16. O tringulo ABC equiltero, AD=DE=EF=FB, DG // EH // FI // BC , DG+EH+FI+= 18. Opermetro do tringulo ABC :a) 12b) 24c) 36d) 48e) 54Q17. O tringulo ABC da figura equiltero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE :a) 76/11b) 78/11c) 80/11d) 77/11e) 79/11Q18. Na figura, CD = 30 e a razo entre os raios CP = R e QD = r 5. Sendo A e B pontosde tangncia, ento, MD :a) 1/6b) 1/5c) 5d) 6e) 15Q19. Dois crculos de raios 6 cm e 4 cm tm centro na altura relativa base do tringuloissceles da figura e so tangentes exteriormente. A altura do tringulo relativa base, emcentmetros, :a) 16b) 26c) 30d) 32e) 36Q20. O lado do quadrado inscrito no tringulo ABC de base AC = 8 m e altura BH = 2 m :a) 1mb) 1,2 mc) 1,5 md) 1,6 mProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha50 47. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECCaptulo 9Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo5) ELEMENTOS Considerando um tringulo ABC, retngulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC,com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes:6) RELAES MTRICASCom base nas semelhanas dos tringulos abaixo e com os elementos j caracterizadosacima, temos:RELAES MTRICAS1) b2 = n a2) c2 = a m3) h2 = m n4) bc=ah5) Teorema de Pitgoras : a2 = b2 + c2Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 51 48. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC EXERCCIOS DE FIXAOQ1. Um tringulo tem catetos AB = 4 m e AC = 3 m. A soma da hipotenusa com a alturarelativa a ela :a) 2,4b) 5c) 5,2d) 7,4e) 8Q2. Em um trapzio issceles, as bases medem 14 m e 10 m e a altura mede 5 m. O valorda diagonal, em metros, :a) 10b) 12c) 11d) 13e) 15Q3. Em um tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa o dobro do produto dos catetos.Ento, um dos ngulos agudos vale;a) 75ob) 60oc) 45od) 15oe) 10oQ4. Uma folha de papel quadrada ABCD dobrada de modo que o vrtice C coincide com oponto M mdio de AB. Se o lado de ABCD 1, o comprimento BP :a) 0,3b) 0,325c) 0,375d) 0,45e) 0,5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 52 49. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ5. Na figura, OAB, OBC e OCD so tringulos retngulos em A, B e C, respectivamente eAO = AB = BC = CD = 1. o segmento OD mede:a) 2 mb) 3 mc) 2 md) 5 me) 4 mQ6. Essa figura representa um trecho retilneo de estrada entre os quilmetros 148 e 150. Ospontos A e B representam duas escolas que esto a uma distncia de 200 m e 100 m,respectivamente da estrada. A quantos metros do quilmetro 148 deve ser construda umapassarela que seja eqidistante das duas escolas?a) 500b) 800c) 850,3d) 992,5e) 1000Q7. Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango so a e b, ento a medida doraio do crculo inscrito nesse losango , em metros:ab ab a 2b 22ab 2a 2 b 2a) b)c) d)e) 2 a2 + b2a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2Q8. No tringulo retngulo ABC da figura, a hipotenusa a mede 3 m e b/c = 2. A altura AHmede:a) 1b) 6/5c) 7/5d) 8/5e) 9/5Q10. Observe a figura. No tringulo retngulo issceles ABC, o ngulo reto. O ponto Dpertence reta AB. Se CD = 13 cm e BC = 2 2 cm, a medida do segmento BD em cm :a) 1b) 3/2c) 2d) 21e) 5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha53 50. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC Captulo 10 reas de figuras planas7) INTRODUOAssim como as medidas de segmentos e as medidas de ngulos, a forma rigorosa para seconceituar reas vista em um curso de terceiro grau.Vamos aqui enunciar algumas propriedades que nos leva s frmulas de algumas regiespoligonais. Para simplificar os enunciados muitas vezes quando falarmos polgono estaremosquerendo dizer regio poligonal: rea de um polgono vai significar, de agora em diante, reada regio poligonal que ele determina.8) REA DO TRINGULOA rea do tringulo dada pela formula: Aqui, importante saber que qualquer lado do tringulo pode ser tomado comoBASE x ALTURAbase, desde que se utilize a altura2relativa ao respectivo lado na aplicao da frmulaVeja as figuras:Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha54 51. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC3) REA DO TRINGULO EM FUNO DE DOIS LADOS E DO NGULO Caso seja fornecido apenas dois lados de um tringulo e o ngulo compreendido por esteslados, podemos calcular a sua rea pelas expresses abaixo:4) REA DO TRINGULO EM FUNO DOS LADOSCaso seja fornecido apenas os lados do tringulo, a sua rea pode ser calculada atravs da frmula de HERO.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 55 52. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC4) CLCULO DO RAIO DA CIRCUNFERNCIA INSCRITA4.1) Circunferncia inscritaSeja I o incentro de um tringulo ABC qualquer. Unindo-se o ponto I aos trs vrticesdo tringulo, este fica decomposto nos tringulos BIC, AIC e AIB. Logo:5) REA DO PARALELOGRAMOA rea do paralelogramo qualquer dada pela frmula:Do mesmo modo que ocorre com o tringulo, tambm no BASE x ALTURAparalelogramo qualquer lado pode ser tomado como base.A altura ser a distncia desse lado ao lado oposto.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha56 53. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC6) REAS DOS PARALELOGRAMOS NOTVEISOs paralelogramos notveis so o retngulo, o losango e o quadrado. Suas reas tambmso dadas pela frmula:BASE x ALTURAPorm, como as diagonais do losngo so perpendiculares, possvel expressar sua reaem funo de suas diagonais.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 57 54. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC7) REAS DO TRAPZIO A rea de um trapzio qualquer dada pela frmula:( BASE MAIOR+ BASE MENOR ) x ALTURA 2 Essa frmula pode ser obtida facilmente decompondo o trapzio em dois tringulos.EXERCCIOS DE FIXAOQ1. Na figura, ABCD e EFGH so quadrados. Sabendo-se que AE = 4 cm e EB = 2 cm, area do quadrado EFGH :a) 4 cm2b) 12 cm2c) 16 cm2d) 18 cm2e) 20 cm2Q2. Observe a figura. Nessa figura, est representado um canteiro retangular de 6 metros delargura por 10 metros de comprimento, cercado por um passeio de largura constante. Se area do passeio de 36 m2 a medida de sua largura :a) 1b) 0,5c) 2d) 1,5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha58 55. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ3. Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB perpendicular a AD, BC perpendicular a CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, ento a rea do terreno:f) 1500 m2g) 1600 m2h) 1700 m2i) 1800 m2j) 2000 m2Q4. Lucas, proprietrio do terreno sombreado na figura, cujo preo era de R$ 1000,00 ometro quadrado, trocou-o por outro, do mesmo valor, situado numa regio onde o metroquadrado valia R$ 900,00. A rea do novo terreno de:e) 3600 m2f) 9000 m2 40 mg) 12600 m2h) 14000 m2i) 16200 m2Q5. A rea do paralelogramo ABCD a. Ento a rea de um tringulo ABE, onde E pertence reta suporte de DC :a) a/4b) a/3c) a/2d) 2a/3e) aQ6. Considere NQ = MP = MN/3, sendo MN a base do retngulo KNML. Se a soma dasreas dos tringulos NQL e PLM 16, a rea do retngulo KMNL :a) 24b) 32c) 48d) 72e) 96Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 59 56. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ7. No paralelogramo ABCD, AB = BD = CD, AD= (1/2 ) AB. Se AB = 4 cm, ento a rea doparalelogramo, em cm2, :a) 8b) 4 2c) 6 2d) 6 3e) 2 15Q8. Considere o tringulo ABC tal que AB = 8 cm, ABC = 60o e rea 16 3 cm2. Ento, o ladooposto ao ngulo ABC mede, em cm:a) 2 2b) 4 2c) 4 3d) 4e) 8Q9. Num tringulo retngulo, um dos ngulos mede 30o . A rea desse tringulo em funodo comprimento a de sua hipotenusa dada por: a2a)2 a2 3b)8 2 ac)4 3a 2d)8 a2 3e)4Q10. Num tringulo retngulo de 14 cm2 de rea, a hipotenusa mede65 cm. A soma doscomprimentos dos catetos, em centmetros, :a) 9b) 11c) 13d) 15e) 17Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 60 57. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ11. Se a rea de um tringulo retngulo issceles 9 m2, o seu permetro, em metros, :a) 3 + 3b) 3 + 2 3c) 3 + 6 3d) 6 + 3e) 6 + 6 2Q12. A rea do trapzio ABCD 7 cm2 e a do quadrado CDEF 4 cm2 . a medida de baseAB :a) 4,5b) 5c) 5,5d) 6e) n.d.aQ13. Considere um trapzio issceles ABCD, em que AB = BC = CD = 4 cm. Se AD = 8 cm,pode-se afirmar que a rea do trapzio, em cm2, :a) 4 3b) 6 3c) 8 3d) 12 3e) 24 3Q14. Num trapzio de rea 48 cm2, o segmento cujos extremos so pontos mdios dos ladosno paralelos mede 36 cm. Ento, a altura desse trapzio, em cm, :a) 2/3b) 3/4c) 4/3d) 3/2e) 12Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha61 58. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ15. Na figura, ABCD um trapzio de altura 8 cm e EF paralelo a AB. Se AB = 12 cm,CD = 6 cm e AE = ED, ento a rea do trapzio ABFE :a) 21 cm2b) 36 cm2c) 38 cm2d) 42 cm2e) 84 cm2Q16. Um hexgono regular de rea 12 3 m2 est inscrito num crculo cujo raio, em metrosmede:a) 2b) 2 2c) 2 3d) 3e) 3 2Q17. Observe a figura. BC a hipotenusa do tringulo ABC, AE = (1/4)AB, FC = (1/4) AC e area do quadriltero BCFE igual a 30. A rea do tringulo AEF igual a:a) 10b) 20c) 60/13d) 80/13e) 90/13Q18.Nessa figura, os pontos M. N. P. Q so pontos mdios dos lados do quadrado ABCD,cuja rea mede 16 cm2. A rea do quadrado RSTV, em cm2, mede:a) 4b) 8c) 10d) 16/3e) 16/5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 62 59. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ19. Na figura, o hexgono regular ABCDEF est inscrito no circulo de centro O. Se AB = 4cm, a rea do quadriltero ABOF :a) 8 2 cm2b) 8 3 cm2c) 16 cm2d) 16 2 cm2e) 16 3 cm2Q20. A rea de um losango 120 m2 e uma de suas diagonais mede 10 m. O lado dolosango, em metros, :a) 9b) 11c) 13d) 15e) 16Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 63 60. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC Captulo 11 reas de figuras circulares1) REA DO CRCULOA rea do crculo de raio r dada pela frmula:2) REA DA COROA CIRCULARConsidere dois crculos concntricos, isto , de mesmo centro, de raios R e r, R > r.Chama-se coroa circular o conjunto de todos os pontos que pertencem ao circulo maior eque no esto no interior do crculo menor.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha64 61. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC3) REA DO SETOR CIRCULARChama-se setor circular a interseco de um crculo qualquer com um ngulo tambmqualquer que tenha seu vrtice no centro do crculo.O setor circular uma frao do crculo. Desse modo, para calcular a rea de um setorcircular basta descobrir qual a frao que ele representa do crculo.4) REA DO SEGMENTO CIRCULARChama-se segmento circular qualquer uma das partes em que um crculo fica dividido poruma corda qualquer.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha65 62. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECEXERCCIOS DE FIXAOQ1. Na figura, o tringulo ABC est inscrito na semicircunferncia e o comprimento do arcomenor AB 1/6 do comprimento da circunferncia. Ento, a razo entre as reas do tringulodo ABC e do disco mostrado na figura : 3f) 2 g) 6h) 3i) 6 6j) Q2. Na figura, o tringulo OPA equiltero e PB perpendicular reta que tangencia ocrculo no ponto A. Se a rea do tringulo PBA 2 3 m2, ento o raio da circunferncia ,em metros:f) 1g) 4h) 4 3i) 8j) 8 3Q3. Observe a figura. Nessa figura, h um quadrado, uma circunferncia de raio 1 e quatrotringulos equilteros. Cada tringulo tem um vrtice na circunferncia. A rea da regiohachurada :f) 2(3 3 4) 1+ 3g) 4 1+ 3h) 2i) 2( 3 1)Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha66 63. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ4. Se os lados de um tringulo ABC medem, respectivamente, 30 cm, 40 cm e 50 cm,ento a rea do crculo inscrito neste tringulo mede:f) 10 cm 2g) 5 2 cm 2h) 5 cm 2i) 100 cm 2j) 25 cm 2Q5. Na figura, o crculo est inscrito no tringulo equiltero de lado 3 metros. A reahachurada , em m2: 9 3 f) 12 3 3 g) 12 3 3 h)4 2 3 i)4 9 3 j)4Q6. Na figura abaixo, o ngulo mede 30o e o lado BC = 2 cm. A rea hachurada , em cm2: 2 3 3f) 3 2 3 3g)12 2 + 4 3h) 3 2 3i)6 2 + 3j)3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 67 64. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ7. Na figura, o tringulo ABC est inscrito na semicircunferncia de centro O e raio a. SeBC = 30o , a medida da rea hachurada : a2b)( 3 ) b) a 2 ( 3 )2 a2 3c)( 1)d) a 2 ( )22e) a 2 ( 1)Q8. Observe a figura. Nela a circunferncia maior C tem raio 2, e cada uma dascircunferncias menores, C1, C2, C3 e C4, tangente a C e a um lado do quadrado inscrito.Os centros de C1, C2, C3 e C4 esto em dimetro de C perpendiculares a lados do quadrado.A soma das reas limitadas por essas quatro circunferncias menores :f) 8 (3 + 2 2 )g) (3 + 2 2 )h) (3 2 2 )i) 2 (3 2 2 )Q9. A figura representa os quadrados ABCD e EFGH circunscrito e inscrito na circunfernciade centro O . Sendo o lado maior do quadrado igual a 4, a rea hachurada, :f) 4 4g) 4 8h) 4 + 8i) 2 + 8j) 16 8Q10. Observe a figura. Nela, a circunferncia de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE,EF, FG, GH e H congruentes. O valor da rea sombreada em funo de r, :a) r 2 ( 2)b) 2r 2 ( 1)c) 2r 2d) r 2 ( 2)Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 68 65. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQ11. A rea de uma coroa circular de raios r e R, sendo R>r, :a) ( R r ) 2b) ( R + r ) 2c) ( R 2 r 2 )d) ( R r )( R + r )e) 2 ( R r )Q12. Seja d a distncia entre os centros de dois discos de raios r1 e r2, com r1 < r2. Adiferena de suas reas de d (r1 r2 ) . Sobre as posies relativas de suas circunferncias,conclui-se que:a) no tm pontos comunsb) so concntricasc) so tangentes interiormented) so tangentes exteriormentee) tm dois pontos em comum.Q13. Nessa figura, o tringulo ABC equiltero DF e EF so arcos de circunferncia de raioa e centros em A e C respectivamente. Ento, a rea da regio sombreada : a2a)( 3 )2 a2b) 36 a2c)3d) a 2 ( 3 ) a2e)(3 3 ) 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 69 66. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECCaptulo 12 Questes de vestibularesQUESTO 01 (UFSM RS)A soma de dois ngulos igual a 100. Um deles o dobro do complemento do outro. Arazo do maior para o menor :a( )6b( )5c( )4 d()3 e( )2QUESTO 02 (UFMG)Na figura, OM a bissetriz do ngulo AB, ON a bissetriz do ngulo BC e OP abissetriz do ngulo CD. A soma PD + MN igual a: a. ( ) rad 2 b. ( ) rad 4 c. ( ) rad 6 d. ( ) rad 3e. ( ) radQUESTO 03 (UFES)Se as retas r e s da figura so paralelas, ento 3 + vale:a ( ) 225 b( ) 195 c ( ) 215 d() 175 e () 185Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha70 67. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 04 (Fuvest - SP)No quadriltero ABCD abaixo, ABC = 150, AD = AB = 4cm, BC = 10cm, MN = 2cm , sendo M e N,respectivamente, os pontos mdios de CD e BC . A medida, em cm2, da rea do tringuloBCD :a. ( ) 10b( ) 15c( ) 20 d() 30e() 40QUESTO 05 (UFU-MG)Do ponto P partem duas semi-retas que encontram as paralelas r e t, nos pontos indicadosna figura. Sabendo-se que MR = 6cm; MS = 20cm; RQ = 32cm; PQ = 24cm; os valores dos segmentosPM, PS e QS so, respectivamente:a. ( )9cm, 15cm, 10cmb. ( )15cm, 10cm, 9cmc. ( )10cm, 15cm, 9cmd. ( )10cm, 9cm, 15cme. ( )9cm, 10cm, 15cmQUESTO 06 (FEI - SP)O ngulo interno do polgono regular em que o nmero de diagonais excede de 3 o nmerode lados :a( ) 60 b() 72c( ) 108 d.() 150 e. () 120Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 71 68. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 07 (Unifor - CE)A moldura de um retrato formada por trapzios congruentes, como est representado nafigura abaixo. A moldura d uma vota completa em torno do retrato. Quantos trapziosformam essa moldura?a( )7b( )8c( )9d.() 10 e. ( ) 11QUESTO 08 (UFJF - MG)Em um pentgono convexo, os ngulos internos formam uma P.A. de razo r. O valor de rtal que o maior ngulo desse pentgono mea 128 :a( ) 10 b( ) 15 c( ) 20d.() 27 e. () 36QUESTO 09 (ITA - SP)A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono regular 2 160. Ento o nmerode diagonais deste polgono, que no passam pelo centro da circunferncia que ocircunscreve, a( ) 50b( ) 60c( ) 70 d.() 80e. () 90QUESTO 10 (PUC - SP)O ngulo interno de um polgono regular de 170 diagonais igual a:a( ) 80 b( ) 170 c ( ) 162 d.() 135 e. () 81Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha72 69. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 11 (Fac.Fed. Odont. Diamantina - MG)Considere um tringulo ABC issceles,retngulo em e cujo permetro igual a4(2 + 2 ) m. O valor da hipotenusa BC , em m, :a( )4b( ) 3 2c( )5 d.()4 2e. () 2QUESTO 12 (UFU - MG) Na figura abaixo, OA e OB so perpendiculares. BC a bissetriz do ngulo DBA e AC a bissetriz do ngulo EB. A medida do ngulo BCA : a. ( ) 4 b. ( ) 3 c. ( ) 6d. ( ) 12 e. ( ) 2QUESTO 13 (Fuvest - SP)Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ngulo mede 40 ento o ngulo XYZ mede:a( ) 40 b( )50 c( ) 60d.()70e. ()90Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha73 70. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 14 (PUC SP)Na figura, BC = CA = AD = DE . O ngulo CD mede:a( ) 10b( )20 c( ) 30d.()40e. ()60QUESTO 15 (UCMG) Na figura, o ngulo ADC reto. O valor, em graus, do ngulo CBD :a( ) 95b( )100c( ) 105 d.()110 e. ( )120QUESTO 16 (FATEC - SP)Na figura, r a bissetriz do ngulo ABC . Se = 40 e = 30, ento:a. ( ) = 0b. ( ) = 5c. ( ) = 35d. ( ) = 15e. ( )os dados so insuficientes para a determinao de .Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 74 71. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 17 (UFMG)Na figura AC = CB = BD e = 25. O ngulo x mede:a( ) 50 b( ) 60c( ) 70 d.()75 e. ( )80QUESTO 18 (FEI - SP)Na figura dada, a soma 1 + 2 + 3 + ... + 8 vale: a( ) 180 b ( ) 270 c () 360d.()720 e. ()n.r.a.QUESTO 19 (Mack - SP)O tringulo ABC da figura equiltero AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE 76a. ( ) 11 77b. ( ) 11 78c. ( ) 11 79d. ( ) 11 80e. ( ) 11Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha75 72. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 20 (Fatec SP)Na figura, ABCD um retngulo. A medida do segmento EF :a( ) 0,8 b( )1,4c( ) 2,6d.()3,2e. ( )3,8QUESTO 21 (Cesgranrio - RJ)No tringulo retngulo ABC da figura, os seis quadrados tm o lado igual a 2cm. Ahipotenusa BC mede:a( )6 5b( ) 12cm c ( ) 12 2 cm d.() 12 3 cm e. ( )18cmQUESTO 22 (Cesgranrio - RJ)O lampio representado na figura est suspenso por duas cordas perpendiculares pressas1 6ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem e , a distncia do lampio ao teto :2 5a. ( )1,69b. ( )1,3c. ( )0,6 1d. ( ) 26e. ( ) 13Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 76 73. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 23 (PUC - SP)A figura mostra um hexgono regular de lado a. A diagonal AB mede: a 32a 2a( ) 2a b()a 2c( )d.()a 3e. ( )2 3QUESTO 24 (PUC - SP)Os pontos mdios dos lados de um quadrado de permetro 2p so vrtices de um quadradode permetro: p 2p 2a( ) b( )c()p 2d.( )2p 2e. ()4p 242QUESTO 25 (UFSC)No teste abaixo d o somatrio das afirmaes corretas. Dada a circunferncia de centro O,onde AB uma corda e t uma tangente no ponto B, ento, com base na figura abaixo, correto afirmar:01. OB perpendicular a t. 02. O ngulo ABC () um ngulo de segmento, e o ngulo AV B () um ngulo inscrito.04. + = 9008. = 116. = 2132. = = 2Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 77 74. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 26 (Unisantos - SP)Na figura abaixo, o valor de x :a( ) 31b( ) 38c( ) 48d.()50QUESTO 27 (UCBA)A medida do ngulo x, representado na figura, :a( ) 10b( ) 15c( ) 20d.()25e. () 30QUESTO 28 (Mack - SP) Na figura, sabe-se que m(CD) = 20 e m(CD) = 70. Ento AMB igual a:a. ( )50b. ( )45c. ( )60d. ( )2230e. ( )30Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 78 75. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 29 (FESP - SP)Os valores dos ngulos a, b e c so, respectivamente:a. ( ) 58, 32, 116b. ( ) 32, 58, 64c. ( ) 58, 32, 64d. ( ) 32, 58, 116e. ( ) n.r.a.QUESTO 30 (EPCAR - SP)De um ponto P, traa-se uma tangente e uma secante a um crculo. Se o segmento PT datangente mede 8m e o segmento PB da secante mede 16m, qual deve ser, em m2, a rea docrculo, se a secante contm o dimetro do mesmo?a. ( ) 12b. ( ) 18c. ( ) 24d. ( ) 30e. ( ) 36QUESTO 31 (EPCAR - SP)A rea da figura hachurada, no diagrama, vale:a. ( ) 4,0b. ( ) 3,5c. ( ) 3,0d. ( ) 4,5e. ( ) 5,0Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha79 76. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 32 (Cesgranrio - RJ)Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e 2,80m de altura, as portas e janelasocupam uma rea de 4m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a comprade 10% a mais da metragem a ladrilhar, A metragem de ladrilhos a comprar :2 2 2 2 2a( ) 24,40m b( ) 24,80m c() 25,50m d()26,40m 26,80mQUESTO 33 (UFMG) Na figura, os ngulos ABC , ACD e CD so retos. Se AB = 2 3m e CE = 3m , a razo entre as reas dos tringulos ABC e CDE :a. ( )6b. ( )4c. ( )3d. ( )2e. ( )3QUESTO 34 (UCMG)A rea hachurada :a. ( )ab 22b. ( a b )c. ( ) a + b 2d. ( )(a + b)a 2 + b2e. ( )2Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 80 77. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 35 (UCMG)Na figura, AB = 6, BC = 10, BM = 5, BR = 2,5 e MN paralelo a RS e a AB . Ento a rea do trapzioRSNM;a. ( vale 7,5 )b. ( ) vale 10,5c. ( ) vale 13,5 2d. ( ) da rea do tringulo ABC 3e. ( ) a metade da rea do tringulo ABCQUESTO 36 (UFSM - RS)Um marceneiro deseja fazer uma mesa na forma de um octogono regular. Para isso, dispede uma tbua na forma de um quadrado de lado x cm, do qual far o tampo da mesa,retirando os cantos, conforme indica a figura. O comprimento de cada lado da mesa, em cm,ser: 2xa. ( ) 2 +2xb. ( ) 2+ 2 2xc. ( ) 2 xd. ( ) 3 2 xe. ( ) 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 81 78. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 37 (Fuvest - SP)A seco transversal de um mao de cigarros um retngulo que acomoda exatamente oscigarros como na figura. Se o raio dos cigarros R, as dimenses do retngulo so:a. ( ) 14R e 2R (1 + 3 )b. ( ) 7R e 3Rc. ( ) 14R e 6Rd. ( ) 14R e 3Re. ( ) (2 + 3 3 )R e 2R 3QUESTO 38 (EPCAR - SP)Se A for a rea de um quadrado inscrito em uma circunferncia, ento a rea do quadradocircunscrito mesma circunferncia equivalente a: 4 7a( ) A b( ) 2Ac( ) Ad( )2 2 A e ( )3 2A 3 3QUESTO 39 (EPCAR - SP)Na figura, tem-se um hexgono regular inscrito em um crculo de raio r. Tem-se tambm 6arcos de crculo com centros nos vrtices do hexgono e cujos raios so iguais ao lado dohexgono. Calcule a superfcie da regio sombreada.2a. ( ) ( 3 )r2b. ( ) (2 3 )r2c. ( ) (2 3 3 )r2d. ( ) ( 3 3 )r2e. ( ) (3 2 3 )rProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 82 79. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECQUESTO 40 (EPCAR - SP)Na figura, contm semicrculos de raio a e centro nos vrtices do quadrado menor. Calcule area da regio sombreada. 2a. ( ) 2a2b. ( ) a2c. ( ) 2a2d. ( ) a (4 )2e. ( ) a ( 2)Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha83 80. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MGTel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBEC GABARITO GEOMETRIA PLANACaptulo 1Captulo 2 Captulo 3Captulo 4Captulo 51)b 1) b 1) a1)e 1) b2)c 2) e 2) b2)d 2) b3)a 3) c 3) e3)b 3) d4)b 4) e 4) d4)a 4) b5)e 5) d 5) a5)e 5) c6)d 6) d 6) c6)5 6) b7)d 7) b 7) c7)6 7) c8)a) F8) b 8) b8)5,20,44 8) ab) V9) a 9) a9) dc) F10) d10) c 10) ed) F11) c11) b Captulo 10 11) be) F12) e12) b 12) df) F13) c13) a 1) e13) cg) F14) a14) a 2) a14) ch) F15) d15) b 3) d15) ci) F16) a16) b 4) dJ) F 17) d 5) c9) 30o Captulo 11Captulo 7 6) c10) 45o7) e11) 80oCaptulo 91) a1) b 8) e12) 15o9) b2) b2) d13) 80o e 100o 1)d 10) b 3) d3) c 2)d 11) e 4) d 3)c 12) b 5) cCaptulo 6Captulo 8 6) a 4)c 13) d 5)c 7) a1) d1) d15)b 14) c 6)d 8) d2) a2) e16)c 15) d 7)a 9) b3) c3) d17)c 16) b 8)b 17) e 10) a4) e4) c18)c 11) d5) d 9)a 18) e5) d19)e 12) c6) a6) a20) d19) b 20) c 13) e7) d7) b8) d8) eCaptulo 12 Questes de Vestibulares9) d10) c 1) C 2) A 3) B 4) C 5) C 6) E 7) D 8) A 9)C 10)C11) d 11) D 12) A 13) D 14) B 15) B 16) B 17) D 18) C12) c 19) E 20) B 21) A 22) E 23) D 24) C 25) 63 26) C13) e 27) C 28) E 29) A 30) E 31) D 32) D 33) B 34) E14) b 35) A 36) A 37) A 38) B 39) C 40) AProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 84 81. ENSINO F UNDAME NTAL , MDIO E TCNICOAv. Tancredo Neves, 3500 Bairro Universitrio Cep.: 35.170-056 Coronel Fabriciano MG Tel.: (031) 3846-5755 Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:padredeman@padredeman.com.brMantenedora: Unio Brasiliense de Educao e Cultura UBECReferncias Bibliogrficas:Fundamentos de Matemtica ElementarOdvaldo Dolce e Jos Nicolau PompeoExerccios de Geometria PlanaManoel Benedito Rodrigues e lvaro Zimmermann AranhaMatemticaManoel Jairo Bezerra e Jos Carlos PutnokiDe Olho no VestibularGiovanni & BonjornoVestibulares de Universidades BrasileirasProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha85